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• Giulio Mora Cabrera

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CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA

 

Idealizamos las dos situaciones en que se encuentra la barra, que forma parte de una armadura. De la geometria inicial del sistema podemos deducir: ∆ = ∆ =

− −

= ∆ = 

∆



+ ∆ ;

=

∆

Entonces la matriz de rigidez de la barra, estará en función a los grados de libertad que tiene cada uno de los extremos, como se trata de una armadura plana, la matriz de rigidez de la barra será de 4x4, tal como se muestra en el siguiente esquema:

=

−

− −

−

= −

− −



−

Tambien podemos denotar la matriz de la siguiente manera:

=

− = − CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA 1. Enumerar los elementos de la armadura (barras) 2. Enumerar los nudos de las armadura. 3. Ubicar el sistema de coordinadas globales, además de ubicar las coordenas de los nudos de acuerdo al origen determinado. 4. Enumerar los grados de libertad de los nudos, en cada dirección (X e Y), considerando por inciar en los nudos donde no se encuentran ubicados los apoyos (fijo o móvil) 5. Determinar la dirección inicio-fin de cada una de las barras. 6. Construir la matriz de rigideces de cada barra 7. Ensambalr la matriz de rigidez de la armadura. Ejemplo: Construir la matriz de rigidecez de la siguiente armadura, si (E=2.1x106 ; A = 0.4x0.4 m2)

De acuerdo a la metodología: 1. Enumerar los elementos de la armadura (barras)

2. Enumerar los nudos de las armadura.

3. Ubicar el sistema de coordinadas globales, además de ubicar las coordenas de los nudos de acuerdo al origen determinado.

4. Enumerar los grados de libertad de los nudos, en cada dirección (X e Y), considerando por inciar en los nudos donde no se encuentran ubicados los apoyos (fijo o móvil)

5. Determinar la dirección inicio-fin de cada una de las barras.

La grafica final sería:

6. Construir la matriz de rigideces de cada barra Matriz de rigidez de la barra 1

∆ = ∆ =

− = 4 − 0 = 4 − = 4 − 0 = 4

= ∆ + ∆ = 4 + 4 = 4√2 ∆ 4 ∆ 4 √2 √2 = = = ; = = = 2 2 4√2 4√2 Construyendo la matriz de la barra:

√2 2

√2 2

=

√2 2

(2.1 10 )(0.4 0.4) 4√2

− −

√2 2 √2 2

√2 2

√2 2 −

√2 2

√2 2

√2 2 −

− √2 2

√2 2

√2 2

−

√2 2

− √2 2

√2 2

√2 2

√2 2

− √2 2

√2 2 √2 2

√2 2

√2 2

√2 2

29 698.49

29 698.49

−29 698.49 −29 698.49

29 698.49

29 698.49

−29 698.49 −29 698.49

= −29 698.49 −29 698.49

29 698.49

29 698.49

−29 698.49 −29 698.49

29 698.49

29 698.49

Matriz de rigidez de la barra 2

∆ = ∆ =

− = 4 − 0 = 4 − = 4 − 4 = 0

= ∆ + ∆ = 4 + 0 = 4 ∆ 4 ∆ 0 = = = 1 ; = = = 0 4 4 Construyendo la matriz de la barra:

(2.1 10 )(0.4 0.4) = 4

(1)

(1)(0)

−(1)

−(1)(0)

(1)(0)

(1 )

−(1)(0)

−(1)

−(1)

−(1)(0)

(1)

(1)(0)

−(1)(0)

−(1)

(1)(0)

(1)

84 000

0

−84 000

0

0

0

0

0

−84 000

0

84 000

0

0

0

0

0

=

Matriz de rigidez de la barra 3

∆ = ∆ =

− = 0 − 0 = 0 − = 4 − 0 = 4

= ∆ + ∆ = 0 + 4 = 4 ∆ 0 ∆ 4 = = = 0 ; = = = 1 4 4 Construyendo la matriz de la barra:

(2.1 10 )(0.4 0.4) = 4

(0)

(0)(1)

−(0)

−(0)(1)

(0)(1)

(1 )

−(0)(1)

−(1)

−(0)

−(0)(1)

(0)

(0)(1)

−(0)(1)

−(1)

(0)(1)

(1)

0

0

0

0

0

84 000

0

−84 000

0

0

0

0

0

−84 000

0

84 000

=

7. Ensamblar la matriz de rigidez de la armadura. Matriz para ensamblar de la barra 1

29 698.49

29 698.49

−29 698.49 −29 698.49

0

0

29 698.49

29 698.49

−29 698.49 −29 698.49

0

0

−29 698.49 −29 698.49

29 698.49

29 698.49

0

0

−29 698.49 −29 698.49

29 698.49

29 698.49

0

0

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Matriz para ensamblar de la barra 2

0

0

0

0

0

0

0

84000

0

0

0

−84 000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−84000

0

0

0

84 000

=

Matriz para ensamblar de la barra 3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

84 000

0

−84000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

−84000

0

8400 0

0

0

0

0

0

0

0

=

Finalmente la matriz ensamblada sera la suma de las tres matrices anteriores

=

29698.49

29698.49

-29698.49

-29698.49

0

0

29698.49

113698.49

-29698.49

-29698.49

0

-84000

-29698.49

-29698.49

113698.49

29698.49

-84000

0

-29698.49

-29698.49

29698.49

29698.49

0

0

0

0

-84000

0

84000

0

0

-84000

0

0

0

840000

Construyendo la matriz de desplazamientos 

Tomando en consideración las condiciones de movimiento de cada uno de los nudos, y la numeración de los desplazamientos del grafico resumen siguiente:

=

=

0 0 0

o

o

o o

En el nudo 2, no tiene ninguna condicion de apoyo, por lo que bajo efecto de las cargas este se puede desplazar en ambas direcciones; por lo que U1 y U2 serán incognitas. En el nudo 1, como el nudo está sobre un apoyo movil, este genera solo un grado de libertad en la misma dirección del plano de apoyo, por lo que en el caso de la armadura planteada U3 (paralelo al eje Y) será también incognita y U4 (paralelo al eje X) por el tipo de apoyo no generara dezplazamiento alguno En el Nudo 3, esta sobre un apoyo fijo, por lo que este no tiene ningun movimiento; entonces U5 y U6 son cero. La matriz de desplazamientos se divide en conocidos y los desconocidos.

Construyendo la matriz de cargas



Tomando en consideración las condiciones de movimiento de cada uno de los nudos, y la numeración de los desplazamientos del grafico resumen siguiente:

=

−5 5 0 =

o o o o

En el nudo 2, estan actuando dos cargas cargas, la 1° en el sentido negativo del eje Y de 5 toneladas y la 2° tambien de cinco toneladas en el sentido positivo del eje X En el nudo 1, como el nudo está sobre un apoyo movil, sólo se va a generar un reacción perpendicular la plano de apoyo, es decir en el sentido del eje X (R4x) En el Nudo 3, esta sobre un apoyo fijo, por lo se van a generar dos reacciones uno paralelo al eje Y (Ry5) y otra paralela al eje X (R6x) La matriz de cargas se divide en las cargas conocidas y desconocidas.

Finalmente la matriz de la armadura a resolver seria la siguiente:

Cargas

Desplazmientos

Matriz de Rigidez de la Armadura

−5

29698.49

29698.49

-29698.49

-29698.49

0

0

5

29698.49

113698.49

-29698.49

-29698.49

0

-84000

0

-29698.49

-29698.49

113698.49

29698.49

-84000

0

-29698.49

-29698.49

29698.49

29698.49

0

0

0

0

0

-84000

0

84000

0

0

0

-84000

0

0

0

840000

0

=

La submatriz que tenemos que resolver es para calcular los desplazamientos desconocidos −5 5

=

0

29698.49

29698.49

-29698.49

29698.49

113698.49

-29698.49

-29698.49

-29698.49

113698.49

Para calcular los desplazamientos invertimos la submatriz de rigideces y la multiplicamos por la matriz de cargas:

=

0.0000575

-0.0000119

0.0000119

−5

-0.0000119

0.0000119

0.0000000

5

0.0000119

0.0000000

0.0000119

0

Finalmente los desplazamientos serán: -0.00034693 =

0.00011905 -0.00005952

La submatriz para calcular las reacciones o cargas desconocidas sera la siguiente: -29698.49

-29698.49

29698.49

0

0

-84000

0

-84000

0

=

=

-29698.49

-29698.49

29698.49

-0.00034693

0

0

-84000

0.00011905

0

-84000

0

-0.00005952

Finalmente las reacciones serán:

=

5 5 -10

Finalmente se calculan la fuerzas en cada una de las barras de acuerdo a la siguiente ecuación:

Entonces para la barra 1 será: -Cx

Cx Cy -0.70710678 0.70710678 0.70710678 0.707106781

F1

F1 =

-Cy

0.0000000 U4 -0.0000595 U3 0.0001190 U2 -0.0003469 U1

7.071066576

Para la barra 2 será: -Cx F2 =

F2 =

-Cy -1

Cx 0

Cy 1

0

10

Referencia: Ing° Alain Elvis Alanoca Aragón

0.0000000 0.0000000 0.0001190 -0.0000595

U6 U5 U2 U1