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• Percy Joel Gómez Mamani

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

PROBLEMAS RESUELTOS DE ARITMÉTICA ENTERA Y MODULAR ARITMÉTICA ENTERA 1) Usar el Algoritmo de Euclides para calcular d = mcd (a, b), y encontrar x e y tales que d = ax + by. a) a = 1312, b = 800 Solución: Encontrando d = a x + b y → d = 1312 x + 800 y Por el algoritmo de Euclides tenemos: 1312 = 800 + 512 800 = 512 + 288 512 = 288 + 224 288 = 224 + 64 224 = 64(3) + 32 64 = 32(2) + 0 = = (1312 , 800) 32 → d mcd ⇒ 32 = 224 − 64 (3) 32 = [512 − 288] − 3 [288 − 224]

32 = 512 − 4 [288] + 3 [224] 32 = [1312 − 800] − 4 [800 − 512] + 3 [512 − 288] 32 = 1312 − 5[800] + 7 [512] − 3 [288] 32 = 1312 − 5 [1312 − 512] + 7 [512] − 3[800 − 512] 32 = −4[1312] + 15[512] − 3[1312 − 512] 32 = −7 [1312] + 18 [512] 32 = −7 [1312] + 18[1312 − 800] 32 = 11[1312] − 18 [800]

= 32 1312 18)  + 800  (11)  (−  x0

a

b

• x = 11, •

y0

y = -18

Reemplazando x e y en d = ax + by d = ax + by 32 = 1312 (11) + 800 (-18) 32 = 14432 + (-14400) 32 = 32

b) a = 322, b = 406 Solución: Encontrando d = ax + by → d = 332x + 406y Por el algoritmo de Euclides tenemos: 406 = 322 + 84 322 = 84(3) + 70 84 = 70 + 14

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 70 = 14(5) + 0 = = (322 , 406) 14 → d mcd → 14 = 84  − 70 

14 = 406-322-[322-(3)84] 14 = 406-2(322)+(3)[406-322] 14 = 406(4)+322(-5)

14= 322   (− 5) + 406  (4) a

x0

b

y0

•

x = -5

•

Reemplazando x e y en d = ax + by

y=4

d = ax + by 14 = 322 (-5) + 406 (4) 14 = -1610 - 1624 14 = 14 c) a = 721, b = 448. Solución: Encontrando d = ax + by → d = 721x + 448y Por el algoritmo de Euclides tenemos: a = 721, b = 448 Solución d = mcd (721,448) = 7 •

Aplicando el Algoritmo de Euclides 721 = 448 (1) + 273 448 = 273 (1) + 175 273 = 175 (1) + 98 175 = 98 (1) + 77 98 = 77 (1) + 21 77 = 21 (3) +14 21 = 14 (1) + 7 14 =

•

7 (2) + 0 d

Proceso inverso del Algoritmo 7 = 21 + (-1) 14 7 = 21 + (-1) [77 + (-3) 21]

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 7 = (-1) 77 + (4) 21 7 = (-1) 77 + (4) [98 + (-1) 77] 7 = (4) 98 + (-5) 77 7 = (4) 95 + (-5) [ 175 + (-1) 98] 7 = (-5) 175 + (9) 98 7 = (-5) 175 + (9) [273 + (-1) 175] 7 = (9) 273 + (-14) 175 7 = (9) 273 + (-14) [448 + (-1) 273] 7 = (-14) 448 + (23) 273 7 = (-14) 448 + (23) [721 + (-1) 448] 7 = (23) 721 + (-37) 448 x = 23, •

y = -37

Reemplazando x e y

d = ax +by

7 = 721 (23) + 448 (-37) ⇒ 7 = 16583 + 16576 ⇒ 7 = 7 2.

Se dispone de un suministro ilimitado de agua, un gran cubo con un desagüe y dos garrafas que contienen 7 y 9 litros respectivamente. ¿Cómo podría ponerse un litro de agua en el cubo? Solución 7x + 9y = 1 n x: Número de garrafas de 7 litros vertidas o retiradas del cubo

(+) vertida

y: Número de garrafas de 9 litros vertidas o retiradas del cubo

(-) retirada

d = mcd (7, 9) =1 •

Aplicando Algoritmo de Euclides 9 = 7(1) + 2

n 1 = =1 d 1

7 = 2 (3) + 1 2= •

1 (2) + 0 d

Proceso inverso del Algoritmo 1 = 7 + (-3) 2 1 = 7 + (-3) [9 + (-1) 7]

x=4

1 = (-3) 9 + (4) 7

y = -3

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 7 (4) + 9 (-3) = 1 luego: 28 -

27 = 1

entonces 1 = 1

Luego se vierten 4 garrafas de 7 litros y se retiran 3 garrafas de 9 litros. 3. Calcular las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones dionfáticas: a)

28x + 36y = 44 Solución n 44 = = 11 4 d

d = mcd (28,36) = 4 36 = 28 (1) + 8 28 = 8 (3) + 4 8=

4 (2) + 0 d

4 = 28 + 8 (-3) 4 = 28 + (-3) [36 + (-1) 28] 4 = (-3) 36 + (4) 28 28 (4) + 36 (-3) = 4 •

Multiplicando x 11 x e y, d 28 (44) + 36 (-33) = 44

b x = xo + t a x = 44 +

xo = 44,

yo = -33

a y = yo − t b

36 t 4

y = −33 −

28 t 4

x = 44 + 9t

y = -33 - 7t

44 + 9t > 0

-33 - 7t < 0

t > -4.88

t >- 4.71 t

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

……..

∞

-4,88 Satisface para ∀ t ∈ ℤ Para: t = 1 x = 44 + 9t

y = -33 - 7t

x = 44 + 9

y = -33 -7

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28x + 36y = 44 ⇒

28(53) + 36 (-40) = 44

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO x = 53

y = -40

1484 - 1440 = 44 44 = 44

b)

66x + 550y = 80 Solución d = md (60,550) = 22 •

Aplicando Algoritmo de Euclides n 80 = = 3.636 d 22

550 = 66(8) + 22 66 =

22 (3) + 0 d

∴

no ∃ solución, x que a dividir n/d no da como resultado un número entero.

c)

966x + 686y = 70 d = mcd (966,686) = 14 966 = 686 (1) + 280 686 = 280 (2) + 126 280 = 126 (2) +28 126 = 28 (4) + 14 28 = 14 (2) + 0 n •

Proceso inverso del Algoritmo 14 = 126 + (-4) 28 14 = 126 + (-4) [280 + (-2) 126] 14 = (-4) 280 + (9) 126 14 = (-4) 280 + (9) [686 + (-2) 280] 14 = (9) 686 + (-22) 280 14 = (9) 686 + (-22) [966 + (-1) 686] 14 = (-22) 966 + (31) 686 966 (-22) + 686 (31) = 14 Multiplicando x 5 966 (-110) + 686 (155) = 70 xo = -110, x = xo +

yo = 155

b t d

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a y = yo− t d

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO x = −110 +

686 t 14

y = 155 −

966 t 14

x = -110 + 49t

y = 155 - 69t

-110 + 49t > 0

155 - 69t > 0

49t > 110

69t < 155

t > 2.244

t < 2.246 t ∈ℤ

-∞

-2

-1

0

1

2

+∞

2.244 2.246 t = -1 x = -110 + 49t

y = 155 - 69t

x = -110 + 49(-1)

y = 155 - 69 (-1)

x = -110 - 49

y = 155 + 69

x = -159

y = 224

966x + 686y = 70 966 (-159) + 686 (224) = 70 -153594 + 153664 = 70 70 = 70 4.

Determinar los valores de C ∈ ℤ+, 10 < C < 20, para lo que la ecuación Dionfática 84x + 990y = c tiene solución y determinarla en su caso. Solución 84x + 990y = c,

a = 84,

b = 990

n=c

d = mcd (84,16) = 6 990 = 84(11) + 66 84 = 66(1) + 18 66 = 18(3) +12 18 = 12(1) + 6 12 = 6 (2) + 0 d 6 = 18 + (-1) 12 6 = 18 + (-1) [66 + (-3) 8] 6 = (-1) 66 + (4) 18 Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 6 = (-1) 66 + (4) [84 + (-1) 66] 6 = (4) 84 + (-5) 66 6 = (4) 84 + (-5) [990 + (-11) 84] 6 = (-5) 990 + (59) 84 84 (59) + 990(-5) = 6

x = 59,

y = -5

10 < c < 20 n 12 = = 2, d 6

n 18 = =3 d 6

→

con los demás números no existe un número entero al dividir n/d.

x=2

→

84 (59) + 990 (-5) = 6 84 (118) + 990 (-10) = 12 9912 + 990 = 12 12 = 12

x =3 →

84 (59) + 990 (-5) = 6 84(177) + 990(-15) = 18 14868 - 14850 = 18 18 = 18

∴

c = 12 ó 18

 990  990 x = 118 + t ,177 + t 18  12  5.

 84  84 y = − 10 + t ,−15 + t  18  12 

Un turista tiene 1000 coronas checas y quiere cambiar ese dinero en una cantidad exacta de libras chipriotas y zlotys polacos. El cambio que ofrece una cierta oficina de cambio es el siguiente: Un zloty polaco = 13 coronas checas. Una libra = 18 coronas checas. La oficina no proporciona fracciones de ninguna moneda, ¿de cuántas formas diferentes puede hacerlo?. Describir una de dichas formas. Solución

El número de coronas Checas = 1000 El número de libras chipriotas = x El número de zlotys polacos = y 18x + 13y = 1000 a = 18,

b = 13,

n = 1000

18 = 13(1) +5

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 13 = 5(2) +3 5 = 3(1) + 2

d = mcd (13,18) = 1

3 = 2(1) + 1

n/d = 1000/1 = 1000

2 = 1(2) + 0 Proceso inverso del Algoritmo 1 = 3 + (-1) 2 1 = 3 + (-1) [5 + (-1) 3] 1 = (-1) 5 + (2) 3 1 = (-1) 5 + (2) [13 + (-2) 5] 1 = (2) 13 + (-5) 5 1 = (2) 13 + (-5) [18 + (-1) 13] 1 = (-5) 18 + (7) 13 13(7) + 18(-5) = 1 18(-5000) + 13(7000) = 1000 ⇒ xo = -5,000, ⇒

yo = 7,000

x = -5000 + 13 t > 0 → y = 7000 – 18 t > 0

→

384,62 ⇒

t > +384,62 t < 388,89

388,89 t ∈ { 385,386,387,388}

Una solución: t = 386

→

x = -5000 +13 (386) = 18 y = 7000 – 18 (386) = 52

Comprobando: 18 (18) + 13 (52) = 1000 6. ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras sean 16?. En caso afirmativo, hallar los múltiplos que cumplan esa condición? Solución Para 28a = 16 + 100b;

a,b≥0

⇒

28a - 100b = 16

* Algoritmo de Euclides 100 = 28(3) + 16 28 = 16 (1) + 12 16 = 12 (1) + 4 12 = 4 (3) + 0

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO * Proceso Inverso del Algoritmo 4 = 16 - 12 4 = [100 - 28(3)] - [28 - 16] 4 = 100 - 28 (4) + [100 - 28(3)] 4 = 100(2) - 28(7) * Multiplicando por 4 16 = 100(8) - 28(28) 16 = 28 (-28) + 100 (8) xo = -28 ∧ yo = 8 , a = 28, b = 100

⇒ mcd(28,100) = 4 x = xo +

b t d

a y = yo− t d x = -28 + 25 k

Así por ejemplo:

∧ y=8–7k

k = 2 en (x)

Como es múltiplo de 28 se tiene: 28 (x) = 28 (-28 + 25.2)

= 28.22

= 616 Para k = 3 se tiene que x = - 28 + 75 = 47 Como es múltiplo de 28 se tiene: 28 (x) = 28 (-28 + 25.3)

= 28.47

= 1316 Y así sucesivamente….. Para (y) no se cumple por que seria negativo Otra forma de solución Para que el número sea múltiplo de 28 debe cumplir con la condición de ser múltiplo de 4 y de 7, de la condición observamos que el número dado es: abc……….16 entonces: Por la condición de multiplicidad por 4 se sabe que las dos últimas cifras deben ser múltiplo de 4 y esto el número lo cumple. Por lo tanto sólo debemos comprobar que el número sea múltiplo de 7 lo cual se comprueba por el criterio de la divisibilidad del 7. Analizando los números que terminan en 16 y son múltiplos de de 7: 616 = 7 (88) 1316 = 4 (188) 2016 = 7 (288) 2716 = 7 (388)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 3416 = 7 (488)……….etc. Se observa que el primer número que cumple con la condición es 616 y de allí se va aumentando de 700 en 700 lo que podemos concluir es: abc………..16 = 616 mod 700.

7.

Estudiar si son o primos, los números 811, 476, 911 a)

811

→

28
0 ⇒ 89 > 10000 ⇒ t > 112.34 ⇒ t > 112 69000 − 614 < 0 ⇒ 614 > 69000 ⇒ t > 112.38 ⇒ Pata t = 113 Verificación de la solución X = - 10000 + 89 (113) = -10000 + 10 057 = 57 Y = 69000 - 614 (113) = 69000 - 69382 = - 382 Por lo tanto X = 57 o sea compra 57 acciones de Repsol Y = - 382 vende 382 acciones de Azucarera.

12. Se presentan 800 manuscritos a un concurso literario. Después de una primera selección, en las que se eliminan mas de 300 manuscritos, se pretende almacenar los manuscritos eliminados en cajas de la misma capacidad y que todas las cajas estén completas, para que no se extravíe ningún manuscrito. En principio, se preparan cajas con capacidad de 6 manuscritos, pero sobran 3, de modo que se agrandan las cajas para que contengan 7 manuscritos cada una; pero sobran 5, se agrandan todavía un poco más las cajas para que contengan 11 manuscritos cada una, en cuyo caso ya no sobra ningún manuscrito. ¿Cuántos manuscritos quedan en concurso después de la primera selección? Solución Sea x: Nº de manuscritos eliminados, después de la primera selección ⇒ x > 300 y se verifica el siguiente sistema de congruencias:  x = 3 mod 6   x = 5 mod 7  x = 0 mod 11 

............. (1) ..............(2) ...............(3)

El sistema anterior tiene solución ⇔ mcd (6,7 ) = mcd (6,11) = mcd (7,11) = 1

m = (6 )(7 )(11) = 462

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO De (1) =(2) se tiene:

x = 3 mod 6 = 3 + 6 a

……..(1)

x = 3 mod 6 = 3 + 6 a = 5 mod 7 ⇒ 6 a = 2 mod 7 = 9 mod 7 2 a = 3 mod 7 = 10 mod 7 ⇒ a = 5 mod 7 = 5 + 7 b ………(4) Ahora (4) en (1) se tiene:

x = 3 + 6 (5 + 7 b ) = 33 + 42 b , ………………………………….(5) esto lo igualamos a la ecuación (3)

x = 33 + 42 b = 0 mod11 = 33 mod 11 ⇒ 42 b = 0 mod11 = 44 mod 11 ⇒ 21b = 22 mod11 = 33 mod11 ⇒ 7 b = 11 mod 11 = 77 mod 11 ⇒

b = 11 mod 11 = 0 mod 11 = 0 + 11 c

⇒ b = 11 c

……(6)

Ahora (6) en (5) se tiene: x = 33 + 42 (11c ) = 33 + 462 c = 33 + 462 t ; t ∈ ℤ Luego: x = 33 + 462 t ; t ∈ ℤ

; para t = 1

x = 33 + 462 =495 ⇒ Entonces, después de la primera selección, quedan en el concurso: 800 – 495 = 305 CANDIDATOS.

PROBLEMAS Aritmética modular 1 1.-

Considera lo enteros 2, 7, 17, 23, 45, 67, 86, 124 y 132.

¿Cuáles de ellos son congruentes con 2 módulo 3, cuáles lo son módulo 7 y cuáles lo son módulo 11? Sepáralos en clases de congruencia módulo 6. Solución En la siguiente tabla los tienes clasificados. Módulo

Números

3

2, 17, 23 y 86

7

2, 23 y 86

15

17

Módulo 6 se encuentran en las clases:

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2.-

Clase

Números

0

132

1

7 y 67

2

2 y 86

3

45

4

124

5

17 y 23

¿Qué resto dará la división de 124235 · 245761 entre 3? Justifica la respuesta

Solución Como 124235 de de resto 2 y 245761 da de resto 1, el producto dará de resto 2 · 1 = 2. 3.-

Sea x un entero que da de resto 3 cuando lo dividimos entre 5.

¿Dará x2 el mismo resto que 32 cuando lo dividamos entre 5? ¿Dará 2x el mismo resto que 23 cuando lo dividamos entre 5? Justifica las respuestas. Solución La primera es cierta ya que como x da de resto 3, x2 = x · x dará el mismo resto que 3 · 3 = 32, es decir, resto 4. La segunda es falsa ya que, por ejemplo, 8 da de resto 3 al dividirlo entre 5 y, sin embargo, 28 = 256 da de resto 1 mientras que 23 = 8 da de resto 3. ¡ Se puede definir la potencia, pero no la exponencial ! 4.-

Del número 2345_33 hemos perdido la cifra de las centenas.

Sabiendo que era congruente con 1 módulo 7, ¿se puede encontrar la cifra que habíamos perdido? Solución Nuestro número 2345x33 = 2345000 + 100 · x + 33.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO Como 2345000 da de resto 0 al dividirlo entre 7, 100 da de resto 2 y 33 da de resto 5, nuestro número dará el mismo resto que 2 · x + 5 al dividirlo entre 7. El único dígito x tal que 2 · x + 5 da de resto 1 es el 5, por lo que nuestro número era el 2345533. 5.-

Miramos el calendario y vemos que es jueves.

¿Qué día de la semana será dentro de un año y 20 días? Justifica la respuesta. Solución Un año y 20 días son 385 días. Como 385 da de resto 0 al dividirlo entre 7 (días de la semana), volverá a ser jueves

ARITMÉTICA MODULAR 2 1) Encontrar el menor residuo no negativo mód 7 de los números: 23, 35, −48, −64. a) 23 23 = r mod 7 ≡ 2 mod 7

∴ el menor residuo no negativo es 2. b) 35 35 = r mod 7 ≡ 0 mod 7

∴ el menor residuo no negativo es 0. c) -48 -48 = r mod 7 ≡ 1 mod 7

∴ el menor residuo no negativo es 1. d) -64 - 64 = r mod 7 ≡ 6 mod 7

∴ el menor residuo no negativo es 6 2) Sabiendo que 1234567 ≡ 7(mód10), 90123 ≡ 3(mód10), 2468 ≡ 18(mód25) y que 13579 ≡ 4 (mód25) calcular el valor del menor residuo no negativo a tal que:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO a) 1234567 × 90123 ≡ a(mód10). Se tiene que: 1234567 ≡ 7(mód10)

, 90123 ≡ 3(mód10)

multiplicando: 1234567 × 90123 ≡ 21(mód10) ≡ 1(mód10)

∴ el menor residuo no negativo es 1. b) 2468 × 13579 ≡ a(mód25). Se tiene que: 2468 ≡ 18(mód25) , 13579 ≡ 4(mód25) multiplicando: 2468 × 13579 ≡ 72(mód25) ≡ 22(mód25)

∴ el menor residuo no negativo es 22. 5) Comprobar si 1213141516171819 y 192837465564738291 son divisibles por 11. ¿Qué cifra falta en la igualdad 871782_1200 = 14!? Para efectuar el desarrollo de esta pregunta usaremos los criterios de divisibilidad: 

1213141516171819  −+ −+−+ −+−+−+ −+−+

→ -1+2-1+3-1+4-1+5-1+6-1+7-1+8-1+9 = 36 36 ≡ 3(mod 11) por lo que se llega a la conclusión que el número: 1213141516171819 no es divisible por 11  19   2837     4 6556      7 38   291 +− + − + − + − + − + − + − + −+

→ 1-9+2-8+3-7+4-6+5-5+6-7+3-8+2-9+1 = -32 -32 ≡ 1(mod 11) por lo que se llega a la conclusión que el número: 19283746556738291 no es divisible por 11  871782a1200 = 14!

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104

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO En este caso como el número es igual a un factorial y se desea conocer una de sus cifras es necesario aplicar varios criterios de divisibilidad a la vez: Criterio de divisibilidad por 3: 8+7+1+7+8+2+a+1+2 = 36 + a Como 36 es múltiplo de 3 entonces para que todo el numero sea divisible por 3 necesariamente: a ≡ mod 3 .....................(1) Criterio de divisibilidad por 7:

87178       2 a 12 2 3 1 2 3 1  2 3 1  +

+

−

[8(2)+3(7)+1(1)]-[7(2)+8(3)+2(1)]+[a(2)+1(3)+2(1)]= 2a+3 2a +3 ≡ mod 7 .....................(2) Criterio de divisibilidad por 11: 87178       2 a 12 + − + − + − + −+

8-7+1-7+8-2+a-1+2=2+a 2 + a ≡ mod 11 .....................(3) De las ecuaciones (1), (2) y (3) a sólo puede tomar el valor de 9 ∴a = 9 6. Comprobar mediante un ejercicio que en Z6, Z8, Z15 existen x, y tales que xy=0 siendo x ≠ 0 ≠ y ¿Existe algún ejemplo en Z7 ? a)

En Z6:

* 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 2 4 0 2 4 0 3 0 3 0 3 0 4 2 0 4 2

xy = 0 2×3 = 0 3× 2 = 0 3× 4 = 0 4×3 = 0

5 0 5 4 3 2 1

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105

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO b)

En Z8:

* 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

xy = 0 2× 4 = 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 0 2 4 2 3 0 3 6 1 4 7 2 5

4× 2 = 0 4× 4 = 0

4 0 4 0 4 0 4 0 4 5 0 5 2 7 4 1 6 3 6 0 6 4 2 0 6 4 2

4× 6 = 0 6× 4 = 0

7 0 7 6 5 4 3 2 1 c)

En Z15:

* 0

0 1 0 0

2 0

3 0

4 0

5 0

1 2

0 1 0 2

2 4

3 6

4 8

5 6 7 ... ... ... 14 10 12 14 ... ... ... 13

3 4

0 3 0 4

6 8

9 12 12 1

0 5

3 9

6 ... ... ... 12 13 ... ... ... 11

5 .

0 5 10 . . .

0 .

5 .

10 .

0 .

5 .

... ... ... 10 . . . .

. . . .

. . . .

1

6 0

7 0

... ... ... 14 ... ... ... 0

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

04 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5 0 5 3 1 6 3 2

6 0 6 5 4 3 2 1

d)

xy = 0 3× 5 = 0 3 ×10 = 0 5× 3 = 0 5× 6 = 0 5× 9 = 0 5 ×12 = 0 6×5 = 0

En Z7:

* 0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 4 6 1 3 5

3 0 3 6 2 5 1 4

4 0 4 1 5 2 6 3

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∴ No ∃ el caso X.Y=0 cuando X, Y ≠ 0 en Z7

106

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 7)

Hallar los elementos inversibles de Z6, Z7 y Z8.

De los cuadros utilizados en los ejercicios anteriores: •

Z6 : Elementos inversibles : {5.5 =1 5 ∈ Z6 y son primos con 6.

3.3 = 1  • Z8 : Electos inversibles : 5.5 = 1 7.7 = 1  3, 5 y 7 ∈ Z8 y son primos con 8.

•

8)

2.4 = 1 3.5 = 1  Z7 : Electos inversibles : 4.2 = 1 5.3 = 1  6.6 = 1

2, 3, 4, 5 y 6 ∈ Z7 y son primos con 7. Hallar el inverso de: a)

6 en Z11 Por Euclides extendido:

11 = 6.1 + 5 = 6 5.1 − 1

1= 6 − 5.(1) 1 =6 − (11 − 6.(1)) Luego: = 1 6.(2) − 11 1 = 6.2(mód11) (6) −1 = 2enZ11 El inverso de 6 es 2 en Z11 b)

6 en Z17 Por Euclides extendido:

17 = 6.2 + 5 = 6 5.1 + 1

1= 6 − 5.(1) 1 =6 − (17 − 6.(2)) Luego: = 1 6.(3) − 17 1 = 6.3(mód17) (6) −1 = 3enZ17 El inverso de 6 es 3 en Z17

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107

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

c)

6 en Z10

= 10 3.(3) + 1 Por Euclides extendido:

= 1 10 − 3.(3) Luego: 1 = −3.3(mód10) (3) −1 =−3 =10 − 3 =7 El inverso de 6 es 7 en Z10 d)

5 en Z12

12 = 5.2 + 2 Por Euclides extendido: = 5 2.2 + 1 1= 5 − 2.(2) 1= 5 − 2(12 − 5.(2)) Luego: = 1 5.(5) − 12.2 1 = 5.5(mód12)

(5) −1 = 5enZ12 El inverso de 5 es 5 en Z12 e) 4 en Z11 11 = 2 (4) + 3 4 = 1 (3) + 1 3= 3 (1) + 0 Luego: 1 = 4 – 3 = 4 – [ 11 – 1 (4) ] 1 = 3 (4) – 11 El inverso de 4 es 3 en Z11 f) 7 en Z15 15 = 2 (7) + 1 7 = 7 (1) + 0 Luego: 1 = 15 – 2 (7) [7]-1 = - 2 = [13 - 15] =13 El inverso de 7 es 13 en Z15 g) 7en Z16 Por Euclides extendido:

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16 = 7.2 + 2 = 7 2.3 + 1

108

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 1= 7 − 2.(3) 1= 7 − 3(16 − 7.(2)) Luego: 1 7.(7) − 16.3 = 1 = 7.7(mód16) (7) −1 = 7enZ16 El inverso de 7 es 7 en Z16 h) 777en Z1009 1009 = 777 + 232 777 = 3(232) + 81 232 = 2 (81) + 70 81 = 1 (70) + 11 70 = 6(11) + 4 11 = 2 (4) + 3 4 = 1 (3) + 1 3 = 3 (1) + 0 Luego: 1 = 4 – 3 = 4 – [11 -2 (4)] = 3 (4) – 11 = 3 [70- 6 (11) ] – 11 = 3 [70] 19 (11) = 3 (70) - 19 [81 -70] = 22 (70) – 19 (81) = 22 [232 – 2(81)] - 19 (81) = 22 [232] – 63 (81) = 22 [232] - 63 [777- 3(232)] = 211 (232) – 63 (777) = 211 [1009 -777] – 63 (777) = - 274 (777) + 211 (1009) Luego: [777]-1 =[ - 274] = [1009 – 274 ] = 735 El inverso de 777 es 735 en Z1009 9) Si p es primo, demostrar que en Zp los únicos elementos que coinciden con su inverso son 1 y − 1. Solución: Para demostrar esto sabemos que se cumple que:

• ( Z p + 1)( Z p + a ) = Z p + 1 Z p + a = Z p +1 →a= 1 • ( Z p − 1)( Z p + b) = Z p + 1 Z p − b = Z p +1 → b =−1

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109

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO 10) a) Demostrar que los enteros menores que 11, excepto el 1 y el 10, pueden agruparse de dos en dos de manera que cada uno de ellos es el inverso del otro en Z11 . Solución: En el problema anterior demostramos que 1 y -1 son los únicos elementos que coinciden con sus inversos cuando la base es un primo. En este caso 11 es un primo y el 10 en esta base es equivalente a -1 en conclusión la misma demostración anterior seria para este problema. b) Demostrar que 10! ≡ −1(mód11). Solución: Para demostrar este ejemplo tenemos solo que demostrar la letra “c” debido que es el caso general. c) Demostrar, que si p es primo entonces (p − 1)!≡ − 1(mód p), (Teorema de Wilson). Utilizar este resultado para encontrar el resto de dividir 15! por 17. Solución: Si p es un numero primo entonces para todo a, 1≤ a < p vale que el resto de dividir ap−1 por p es 1. En aritmética módulo p eso es que ap−1 ≡ 1 (módp). Demostración: Como p es primo, entonces Zp es un cuerpo (cada elemento distinto de 0 es invertible puesto que en ZN, con N 2 IN, N > 0 que a sea invertible equivale a MCD(a,N) = 1 y si p es primo entonces todo numeró entre 1 y p− 1 cumple esa condición). Para J desde 1 hasta p − 1 hacemos variar J definiendo la función f(J) = a · J mód p. Esta función es inyectiva puesto que si f(J) = f(I) entonces a · J = a · I mód p de aquí resulta que a ·(J − I) = 0 mód p. Como a 6= 0 mód p es invertible, o sea que existe su inverso b tal que b · a = 1 mód p (Este valor b puede calcularse con el AEE, por ejemplo). Multiplicando por b a ambos lados de a · (J − I) = 0 mód p obtenemos que b · a · (J − I) = b · 0 mód p o sea 1 ·(J −I) = J −I = 0 mód p. Se concluye que J = I por lo que f es inyectiva. Pero Zp es un conjunto finito y una función inyectiva en un conjunto finito también es sobreyectiva. Por lo tanto resulta que al J recorrer todos los valores posibles J = 1, · · · , p− 1 de Zp también f(J) hace lo mismo solo que posiblemente en un orden distinto. Multiplicando todos los valores de J entre si tenemos: 1 × 2 × 3 × · · · × p − 1 mód p (*) Que será igual modulo p, por lo que dijimos recién, al producto f(1) × f(2) × f(3) × · · · × f(p − 1) mód p = a1 × a2 × a3 × · · · × a(p − 1) mód p = ap−1 × 1 × 2 × 3 × · · · × p − 1 mód p (X) Igualando (_) con (X) y simplificando obtenemos ap−1 = 1 mód p Esto es lo que querríamos demostrar. 9)

Usar el teorema de Fermat para calcular los restos de dividir

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110

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

Pequeño teorema de Fermat Si el cuerpo de trabajo es un primo p: mcd (a, p) = 1 ⇒ aφ(p) mod p = 1 Entonces a ∗ x mod p = 1 y aφ(n) mod p = 1 Además, en este caso φ(p) = p-1 por lo que igualando las dos ecuaciones de arriba tenemos: ∴ aφ(p) ∗ a-1 mod p = x mod p ∴ x = ap-2 mod p Luego x será e inverso de a en el primo p. a)

347 entre 23 47

3

≡ x(mód 23)

p = 23 → p − 1= 22 _; a = 3 Dado que 23 es primo y no divide a 3

⇒a

p −1

= 1(módp )

= 2(22) + 3 ⇒ = 47 r1 3

3 ≡ 3(mód 23) 22

3 3

22

≡ 3 (mód 23) 22

(mód 23) ≡ 1(mód 23)

1(mód 23) ≡ r 2 = 1 x=

r +r 1

2

⇒x= 4

Sabemos que: ∴ 3 ≡ 4(mód 23) 47

Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que: 322 = 1(mod 23) Para llegar a la expresión original hacemos: ( )2 → 344 = 1(mod 23) x33 → 344.33 = 1(mod 23).33 347 = 1(mod 23)4(mod 23) 347 = 4(mod 23) ∴ El residuo de dividir entre 23 es 4

b)

6592 entre 11

6

592

≡ x(mód11)

p = 11 → p − 1 = 10 Dado que 11 es primo y no divide a 6

⇒a

p −1

= 1(módp )

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111

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO = 59(10) + 2 ⇒= 592 r1 2

6 ≡ 6(mód11) 10

6 6

10

≡ 6 (mód11) 10

(mód11) ≡ 1(mód11)

1(mód11) → r 2 = 1 x=

r +r 1

2

⇒x= 3

Sabemos que: ∴6

592

≡ 3(mód11)

Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que: 610 = 1(mod 11) Para llegar a la expresión original hacemos: ( )59 → 6590 = 1(mod 11) x62 → 6590.62 = 1(mod11).62 6592 = 1(mod11).3(mod11) 6592 = 3(mod11) ∴ El residuo de dividir entre 11 es 3

c)

315 entre 17 15

3

≡ x(mód17)

p = 17 → p − 1 = 16 Dado que 17 es primo y no divide a 3 ⇒a

p −1

= 1(módp )

15 = 17(1) − 2 ⇒ r 1 =−2

3 ≡ 10(mód17) 3 ≡ 10 (mód17) 10 (mód17) ≡ −2(mód17) 10 (mód17) ≡ 4(mód17) 10 (mód17) ≡ 40(mód17) 3

15

5

2 4

5

40(mód17) ≡ 6(mód17)

∴ 3 ≡ 6(mód17) Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que: 316 = 1(mod17) Para llegar a la expresión original hacemos: 15

Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

112

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO → 316 = 1(mod17) → 315.3 = 1(mod17) = 315.3 mod17 + 1 + 17 315.3 = 18(mod17) 315 = 6(mod17) ∴ El residuo de dividir entre 17 es 6 d)

1590 entre 13

15

90

≡ x(mód13)

p = 13 → p − 1 = 12 Dado que 13 es primo y no divide a 15

⇒a

p −1

= 1(módp )

90 = 12(7) + 6 ⇒ r =1 6

15 ≡ 2(mód13)

15 ≡ 2 (mód13) 2 (mód13) ≡ 1(mód13) 1(mód 23) ≡ r = 1 x = r +r ⇒ x = 12

12

12

2

1

2

7

Sabemos que: ∴15 ≡ 7(mód13) 90

Otra forma de resolución También podemos representar la expresión de otra forma: 1590 = (2(mod13))90 = 1590 mod13 + 290.........(1) Del teorema de Fermat se cumple que: 212 = 1(mod13) Para llegar a la expresión original hacemos: ( )7 → 284 = 1(mod13)

x26 → 284.26 = 1(mod13).26 290 = 1(mod13).12(mod11) 290 = 12(mod13)............(2) Reemplazando (2) en (1): = 1590 mod13 + 290

= 1590 mod13 + 12(mod13) 1590 = 12(mod13) ∴ El residuo de dividir entre 13 es 12 Comprobar Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

113

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO e)

1254577 entre 13

125

4577

≡ x(mód13)

p = 13 → p − 1 = 12 Dado que 13 es primo y no divide a 125 ⇒a

p −1

= 1(módp )

4577 = 12(381) + 5 ⇒ = r1 5

125 ≡ 8(mód13)

125 ≡ 8 (mód13) 8 (mód13) ≡ 1(mód13) 1(mód13) ≡ r = 1 x = r +r ⇒ x = 12

12

12

2

1

2

6

Sabemos que: ∴125

4577

≡ 6(mód13)

Otra forma de resolución También podemos representar la expresión de otra forma: 1254577 = (8(mod13)) 4577 4577 125 = mod13 + (8) 4577 ........(1) Del teorema de Fermat se cumple que: 812 = 1(mod13) Para llegar a la expresión original hacemos: ( )381 → 84572 = 1(mod13)

x85 → 84572.85 = 1(mod13).85 84577 = 1(mod13).8(mod13) 84577 = 8(mod13)............(2) Reemplazando (2) en (1): 4577 = 125 mod13 + (8) 4577 ........(1) 4577 = 125 mod13 + 8(mod13)

1254577 = 8(mod13) ∴ El residuo de dividir entre 125 es 8 10)

a) ¿Cuál es la última cifra de la representación en base 10 de 793?

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114

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

7

≡ r (mód10); r = ??

93

7 ≡ 7(mód10)

7 ≡ 9(mód10) 7 ≡ −1(mód10) 2 7 ≡ (−1) (mód10) 7 ≡ 1(mód10) 2 2

46

46

92

7 ≡ 7(mód10)

7 7

92

× 7 ≡ 7(mód10)

≡ 7(mód10) → r = 7 b) ¿Cuál es el último dígito de 23 189? 93

23 ≡ 3(mód10)

23 ≡ 9(mód10) ≡ −1(mód10) 2 23 ≡ (−1) (mód10) 23 ≡ 1(mód10) 2

94

94

188

23 ≡ 3(mód10) 188

× 23 ≡ 3(mód10)

189

≡ 3(mód10) → último dígito=3

23 23 11)

Un reloj analógico se pone en la hora a las 12 en punto del día terminado. ¿Qué hora marcaría de transcurridas 5100 horas exactas, si no se para nunca y es totalmente preciso? 100

5 5 5

2

50

≡ 1(mód12) → 52 (mód12) ≡ 1(mód12)

100

12)

≡ x(mód12)

≡ 1(mód12) ∴ Marcaría la 1 de la madrugada.

Resolver las siguientes ecuaciones. a)

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115

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

5 x ≡ 1(mód11) 10 ≡ (−1)(mód11) 2.5 x ≡ 2.1(mód11) − x ≡ 2(mód11) x ≡ (−2)(mód11) → x 0 =−2 mcd =1 → x = x 0 + 11t ∴ x =−2 + 11t

b)

4 x ≡ 3(mód 7) 36 ≡ 1(mód 7) 9.4 x ≡ 9.3(mód 7) x ≡ 27(mód 7) ≡ (−1)(mód 7) → x 0 =−1 mcd =1 → x = x 0 + 7t ∴ x =−1 + 7t

c)

3 x ≡ 9(mód15) x ≡ 3(mód15) mcd = 3 ∴ x = 3 + 5t

d)

2 x ≡ 5(mód 7) 8 ≡ 1(mód 7) 2.4 x ≡ 4.5(mód 7) x ≡ 20(mód 7) ≡ (−1)(mód 7) → x 0 =−1 mcd =1 → x = x 0 + 7t ∴ x =−1 + 7t

e)

13)

5 x ≡ 7(mód15) 5 no divide a 7; Resolver las ecuaciones a)

∴ ∃ solución.

66x=42 en Z168

Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

116

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

66 x ≡ 42(mód168) 11x ≡ 7(mód168) 55 ≡ (−1)(mód 28) 5.11x ≡ 5.7(mód 28) (−1) x ≡ 35(mód 28) 7(mód 28) → x ≡ (−7)(mód 28) ∴ x0 = −7 mcd =6 → mcd =1 ⇒ x = x 0 + 28t

b)

∴ x =−7 + 28t

21x=18 en Z30 21x ≡ 18(mód 30)

7 x ≡ 6(mód10) 21 ≡ 1(mód10) 3.7 x ≡ 3.6(mód10) x ≡ 18(mód10) ≡ −2(mód10) ∴ x0 = −2 mcd =3 → mcd =1 ⇒ x = x 0 + 10t

c)

∴ x =−2 + 10t

35x= 42 en Z49 35 x ≡ 42(mód 49)

5 x ≡ 6(mód 7) 15 ≡ 1(mód 7) 3.5 x ≡ 3.6(mód 7) x ≡ 18(mód 7) ≡ −3(mód10) ∴ x0 = −3 mcd =7 → mcd =1 ⇒ x = x 0 + 7t

∴ x =−3 + 7t

14)

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117

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO a)

¿Qué entero al dividirlo por 2 da de resto 1 y al dividirlo por 3 da también de resto 1?

x ≡ 1(mód 2)

x ≡ 1(mód 3)

Usando el teorema chino del resto:

n a

1

=2

1

=1

c=

n

1

c

2

=

n

n a n

1

n

2

=3

2

=1

n = 2.3 ⇒ n = 6

= 6 / 2 → c1 = 3

2

= 6 / 3 → c1 = 2

a 1 = 1  ⇒ c1 = 3  d 1 = 1

3 x ≡ 1(mód 2) x ≡ 1(mód 2)

d

1

n = n1.n 2

=1

2 x ≡ 1(mód 3) − x ≡ 1(mód 3) x ≡ (−1)(mód 3)

d

2

= −1

Luego: = x

x

0

+ nt

x= a .c .d + a .c .d = 0

1

1

1

2

2

2

1.3.1 + 1.2.(−1)= 1

∴ x =1 + 6t → (t ∈ Z )

CRIPTOGRAFÍA Observación: Para los siguientes ejercicios, se numerarán las letras del alfabeto del siguiente modo: ABCDEFG0 1 2 3 4 5 6 HIJKLMN7 8 9 10 11 12 13 NOPQRST14 15 16 17 18 19 20 UVWXYZ21 22 23 24 25 26 1) Codificar el mensaje "COMPLETO" aplicando las siguientes funciones código: a) (p + 13)mód27 Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO Solución: Como el mensaje a codificar es “COMPLETO” ubicamos los valores reales para luego encontrar su equivalencia:  C=2 → p = 2 → (2 + 13) mod 27 → 15(mod 27) → ahora p=15 → O  O=15 → p = 15 → (15 + 13) mod 27 → 28(mod 27) → 1(mod 27) → ahora p=1 → B  M=12 → p = 12 → (12 + 13) mod 27 → 27(mod 27) → 0(mod 27) → ahora p=0 → A  P=16 → p = 16 → (16 + 13) mod 27 → 29(mod 27) → 2(mod 27) → ahora p=2 → C  L=11 → p = 11 → (11 + 13) mod 27 → 24(mod 27) → ahora p=24 → X  E=4 → p = 4 → (4 + 13) mod 27 → 17(mod 27) → ahora p=17 → Q  T=20 → p = 20 → (20 + 13) mod 27 → 33(mod 27) → 6(mod 27) → ahora p=6 → G ∴" COMPLETO " codificado en (p+13)mod27 es "OBACXQGB" b) (5p + 7)mód27. Solución: Como el mensaje a codificar es “COMPLETO” ubicamos los valores reales para luego encontrar su equivalencia:  C=2 → p = 2 → (5(2) − 7) mod 27 → 3(mod 27) → ahora p=3 → D  O=15 → p = 15 → (5(15) − 7) mod 27 → 68(mod 27) → 14(mod 27) → ahora p=14 → Ñ  M=12 → p = 12 → (5(12) − 7) mod 27 → 53(mod 27) → 26(mod 27) → ahora p=26 → Z  P=16 → p = 16 → (5(16) − 7) mod 27 → 83(mod 27) → 2(mod 27) → ahora p=2 → C  L=11 → p = 11 → (5(11) − 7) mod 27 → 48(mod 27) → 21(mod 27) → ahora p=21 → U  E=4 → p = 4 → (5(4) − 7) mod 27 → 13(mod 27) → ahora p=13 → N  T=20 → p = 20 → (5(20) − 7) mod 27 → 93(mod 27) → 12(mod 27) → ahora p=12 → M

∴" COMPLETO " codificado en (5p-7)mod27 es "DÑZCUNMÑ" 2) Descodificar los siguientes mensajes, que han sido codificados usando las funciones que se indican: a) CEBTUÑUPB QX CNFB (codificado por (p + 13)mód27 ). Solución: Como hay que descubrir la palabra ubicaremos el mensaje codificado con los valores que por el momento esta adquiriendo:  C=2 → 2(mod 27) = p + 13 → mod 27 = p + 11 → p = 16 → P  E=4 → 4(mod 27) = p + 13 → mod 27 = p + 9 → p = 18 → R  B=1 → 1(mod 27) = p + 13 → mod 27 = p + 12 → p = 15 → O  T=20 → 20(mod 27) = p + 13 → p = 7 → H

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO       

∴

U=21 → 21(mod 27) = p + 13 → p =8 → I Ñ=14 → 14(mod 27) =p + 13 → p =1 → B P=16 → 16(mod 27) = p + 13 → p =3 → D Q=17 → 17(mod 27) = p + 13 → p = 4 → E X=24 → 24(mod 27) = p + 13 → p = 11 → L N=13 → 13(mod 27) = p + 13 → p = 0 → A F=5 → 5(mod 27) = p + 13 → mod 27 = p + 8 → p = 19 → S Remplazando los codigos con sus respectivas letras notamos que el mensaje

"CEBTUÑUPB QX CNFB" que estuvo codificado en (p+13)mod27 es "PROHIBIDO EL PASO"

b)NHZANHZTQH VTUQPAZH (codificado por (5p + 7)mód27 ). Solución: Como hay que descubrir la palabra ubicaremos el mensaje codificado con los valores que por el momento esta adquiriendo:  N=13 → 13(mod 27) = 5 p + 7 → 6(mod 27) = 5 p → p = 12 → M  H=7 → 7(mod 27) = 5 p + 7 → 0(mod 27) = 5 p → p = 0 → A  Z=26 → 26(mod 27) = 5 p + 7 → 19(mod 27) = 5 p → p = 20 → T  A=0 → 0(mod 27) = 5 p + 7 → 20(mod 27) = 5 p → p = 4 → E  T=20 → 20(mod 27) = 5 p + 7 → 13(mod 27) = 5 p → p = 8 → I  Q=17 → 17(mod 27) = 5 p + 7 → 10(mod 27) = 5 p → p = 2 → C  V=22 → 22(mod 27) = 5 p + 7 → 15(mod 27) = 5 p → p = 3 → D  U=21 → 21(mod 27) = 5 p + 7 → 14(mod 27) = 5 p → p = 19 → S  P=16 → 16(mod 27) = 5 p + 7 → 9(mod 27) = 5 p → p = 18 → R Remplazando los codigos con sus respectivas letras notamos que el mensaje ∴"NHZANHZTQH VTUQPAZH" que estuvo codificado en (5p+7)mod27 es "MATEMATICA DISCRETA"

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