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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

4 SEMESTRE GRUPO “A”

ALEJO REYES GIANNI VALERIE

ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

ARCOS Y CABLES

M.E. PÉREZ CRUZ PEDRO

TUXTLAGUTIÉRREZ, CHIAPAS. A 22 DE NOVIEMBRE DE 2013.

Índice Definición de arco………………………………………….……………..2 Antecedentes………………………………………………………………2 Clasificación de arcos…………………………..……………….……….5 Arco Falso…………………………………………..……………..………10 Uso de los arcos……………………………………….…………………11 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos circulares………………………………………………………..15 Análisis de arcos……………………………………………………..…..16 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos parabólicos…………………………………………..………….21 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos elípticos………………………………………………………...30 Curva del eje del arco……………………………..…………………….36 Los Cables Definición…………………………………………………...37 La Historia De Los Cables………………………………………………38 Características de los cables………………………………………..…40 Clasificación de los cables……………………………………………. 44 Cable rectilíneo……………………………………………………………51 Cable parabólico………………………………………………………….57 Cable catenario……………………………………………………….…..64 Bibliografía ………………………………………………………………..70

1

DEFINICIÓN DE ARCO Un arco es una estructura plana constituida por un elemento curvo de sección transversal despreciable frente a su longitud, y cuya curvatura es pequeña comparada con su sección transversal. Los dos puntos extremos pueden ser sustentados de distintas formas y las cargas exteriores son habitualmente verticales ANTECEDENTES Históricamente, los arcos eran las únicas formas factibles que podían usarse para erigir grandes estructuras hechas de materiales con resistencia despreciable a la tensión, como son ladrillos y piedras. Los arcos de mampostería hechos con esos materiales se han usado durante miles de años. El arco acartelado se usó extensamente en Egipto antiguo como unidad arquitectónica. Solo se ha encontrado un arco verdadero de origen antiguo, descubierto en una tumba de Tebas alrededor del año 1500 A.C. en ese país. Los asirios y babilonios usaron también muy comúnmente el arco acartelado, estos últimos usando arcos puntiagudos de ladrillo en la construcción de sus alcantarillas. Estos existieron ya en 1500 A.C. y posiblemente muchos siglos antes. Se dice que existía una serie de arcos de ladrillo cruzando el Éufrates en el año 2000 A.C. En general sin embargo, muy poca de estas estructuras antiguas eran arcos verdaderos. Parece ser que el arco verdadero se usó primeramente en un grado apreciable por los etruscos, pueblo de origen asiático que invadió la Italia del norte alrededor de 1300 A.C. gradualmente, en los siguientes 100 años, se desarrollaron ciertas reglas empíricas según las cuales podían construirse arcos verdaderos de algunos tipos. Los ingenieros del Imperio Romano desarrollaron el arco verdadero a un punto en el que, por 5 siglos (desde alrededor de 200 A.C., quizá hasta 200 D.C.) se construyeron muchos puentes de arcos y acueductos, en todas partes del Imperio. Los ejemplos principales de este periodo son de bloques de piedra cortada, colocados sin mortero. La caída del Imperio Romano en Occidente en 476 D.C. marcó el comienzo de la Edad Negra y la cesación de la mayor parte de la construcción de caminos y puentes 2

en la mayor parte de Europa. En 1176 D.C. la construcción del Puente de Londres original se comenzó; y esta estructura antiestética que consistía de una serie de arcos de claro pequeño, duró 6 ciclos. En el siglo Xll los miembros de una orden religiosa conocida como Fratres Pontes (“Hermanos del Puente”) se dedicaron a la reparación de los puentes existentes así como a la construcción de nuevos. En el siglo XlV fue construido el primer puente con una cubierta de mampostería soportada por nervaduras de arco. En todos estos siglos sin embargo, no fue igualada en Europa la habilidad de constructora de los romanos. Comenzando en Italia en el siglo XlV y extendiéndose de haya al resto de Europa, el renacimiento fue un periodo de nuevo desarrollo de la vida económica y nuevo interés en el arte y la construcción. Se necesitaron caminos y puentes y los constructores debieron nuevamente a aprender a construir arcos. Igual que los arcos de los romanos, se construían por reglas empíricas. El francés, Lahire (1640-1718), fue el primero en aplicar los principios de estática en un intento de analizar el arco, y, en un artículo publicado en 1773, coulomb consideraba los tipos de fallas de arcos y proponía una teoría. Sin embargo, ambos consideraban que el arco era inelástico. En su trabajo sobre la resistencia material publicado en 1826, Navier (1785-1836) parece haber aportado la primera contribución importante a la teoría de flexión de barras curvas. Aparentemente incluía en su teoría solamente los efectos de la deformación de flexión sin embargo, Navier explicaba cómo podían considerarse los esfuerzos axiales. Aplicó su teoría para encontrar las componentes de reacción horizontal de arcos simétricos circulares y parabólicos. No parece haberse prestado especial atención a la cuestión de la forma más ventajosa del arco hasta que Yvon Villarceau (1813-1883) presentó una famosa memoria sobre arcos a la Academia Francesa de Ciencias en 1845. Villarceau entendía que la solución completa requería la consideración de las deformaciones elásticas de la nervadura; sin embargo, razonaba que no existía suficiente información respecto a las propiedades elásticas de los materiales y por lo tanto consideraba que los bloques del arco eran absolutamente rígidos. Su conclusión fue que el mejor eje para el arco en un caso dado sería el que considera con el polígono funicular para las cargas aplicadas. 3

El francés J. V. Ponselet (1788-1867), fue aparentemente el primero en sugerir (en un artículo publicado en 1852) que un arco debe considerarse como una barra elástica se ha de aplicarse una teoría básica. Jacques Bresse (1822-1883), francés también, publicó un libro en 1854 que trataba de la deflexión de barras curvas y en este incluía los efectos tanto de deformaciones axiales como de flexión y demostraba la aplicación de su teoría en el diseño de arcos. En 1886, C. Culmann (1821-1881) un alemán publicaba su famoso libro sobre estática gráfica, parte del cual está dedicado a la consideración de análisis de arcos y muros de retención. Culmann introdujo el importante concepto del centro elástico que permite el análisis de arcos no articulados sin usar ecuaciones simultáneas. E. Winkler (1855-1888) un alemán, publicaba en 1867 un libro sobre resistencia de materiales sin bien Navier y Bresse habían considerado previamente la deflexión de barras curvas para la cual la relación de 1 radio inicial de curvatura al espesor radial de la barra es grande, Winkler discutía el caso en que esta relación es pequeña. Cuando esta relación es menor de 10, los errores incurridos al aplicar la teoría ordinaria de deflexión generalmente se vuelven importantes. Esto naturalmente, no se encuentra en el diseño de puentes de arco pero se aplica el gancho, eslabones de cadenas y diseños similares. Winkler discutía los problemas de arcos doblemente articulados previamente considerados por Bresse y extendía la teoría para incluir arcos no articulados. En el libro de Winkler se incluían tablas para las diferentes condiciones de cargas para arcos circulares y parabólicos con sección transversal constante. Otto Mohr (1834-1918) aportó dos contribuciones importantes a la teoría elástica de los arcos. La primera apareció en un artículo publicado en 1870, en el que Mohr presentaba la idea del cálculo de la línea de influencia para la componente de reacción horizontal de un arco doblemente articulado como el diagrama de momento flexionante para una viga conjugada cargada con el diagrama y/El para el arco. (El término y es la distancia vertical del plano de las articulaciones al eje del arco en cualquier sección). Mohr obtenía este diagrama de momentos por métodos gráficos. Su segunda contribución, que apareció un artículo publicado en 1881 fue una extensión del concepto del centro elástico (punto neutro) que incluía arcos articulados. Principalmente como resultado de los trabajos de Winkler y Mohr, suplementados por pruebas cuidadosamente controladas y que fueron conducidas por la Sociedad de 4

Ingenieros y Arquitectos austriacos, la teoría elástica fue finalmente aceptada para el análisis de arcos. Contribuciones más recientes a la teoría y método del análisis de arcos son las de A. Strassner en 1927, J. Melan y T. Gesteschi en 1931, y E. Morch en 1935. Al correr de los siglos con forme mejoraban los métodos de análisis y diseño así como materiales y métodos de construcción, los claros de los nuevos puentes de arcos han ido constantemente en aumento. El puente de arco carretero más largo que existe al momento de escribir lo presente, es el puente de Kill Van Kull, que conecta Estaten Islán con Bayonne, New Jersey, y tiene un claro de 504 m El ferroviario de acero más grande, con un claro también de 503 M está sobre la bahía Sídney, Australia. Ambos puentes tienen largueros de arrostramiento con dos articulaciones. El arco de concreto reforzado más largo se encuentra en Suecia, y es el Sando Arch, con un claro de 260 m Y el mayor arco Fierroviario existente se encuentra en Esla, En España con un claro de 194 m para claros más cortos es posible analizar el arco como una estructura elástica, despreciando los efectos de cambio de forma del eje del arco que resultan de las deformaciones elásticas; en otras palabras, la deflexión del arco se desprecia. Para claros cortos los errores resultantes no son significativos. Cuando el claro del arco es largo, sin embargo, el ignorar la deflexión elástica, generalmente resulta en sobreesfuerzos significativos y quizás serios (En 1935 fue publicada una teoría para la deflexión de arcos por A. Freudenthal. Se puede obtener información adicional en la forma de artículos, en las transacciones de la American Society Of Civil Enginneers). Clasificación de arcos Los arcos pueden clasificarse sobre la base de los materiales de los cuales se construyen. Los más comunes son acero, completo reforzado y madera. Desde el punto de vista de comportamiento estructural, los arcos se clasifican también como no articulados (algunas veces designados como fijos); doblemente articulados o triplemente articulados. (El arco triplemente articulado es determinado y no se considerará en esta discusión).los arcos se clasifican conveniente y necesariamente en cuanto a la forma y posición estructural de la nervadura.

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De acuerdo a su geometría

La geometría que guarda el eje de una estructura curva puede ser muy variada, y en ocasiones resulta ser compuesta; pero los arcos más usados son los circulares, parabólicos y elípticos. En los arcos circulares es conveniente elegir un marco de referencia que tenga su origen en el centro del círculo y calcular con las ecuaciones paramétricas la geometría del arco, figura 3.1.1.1.

x  r cos  y  rsen 

Figura 3.1.1.1 Arco circular

Cuando se presenta un arco parabólico, la mejor ubicación del origen es el vértice de la parábola, uno de los ejes cartesianos debe coincidir con el eje de la parábola y se realizan los cálculos recordando que la ecuación de la parábola es la que se muestra en la figura 3.1.1.3.

Y 

4h 2 x b2

Figura 3.1.1.3 Arco parabólico

6

Existen otros tipos de arcos menos usados como por ejemplo, el arco carpanel que consiste en tres trazos circulares, como se ve en la figura 3.1.1.4.

Figura 3.1.1.4 Arco carpanel

En los arcos elípticos también es conveniente ubicar el origen del sistema de referencia en el centro de la elipse y recurrir a las ecuaciones paramétricas, figura 3.1.1.2.

x  a cos  y  bsen

Figura 3.1.1.2 Arco elíptico

El arco catalán se utiliza en zonas bajo escaleras; se logra con dos trazos circulares como se observa en la figura 3.1.1.5.

Figura 3.1.1.5 Arco catalán

7

Otros tipos de arcos son el equilátero, escarzano, conopial y herradura, figura 3.1.1.6.

a) Arco equilátero

c) Arco conopial

b) Arco escarzano

d) Arco de herradura o árabe

Figura 3.1.1.6 Otros tipos de arcos

A manera de resumen se presenta en la figura 3.1.1.7, los diferentes tipos de arcos que existen de acuerdo a su geometría.

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Clasificación de acuerdo al número de apoyos Por sus apoyos los arcos pueden ser:

Simples.- Es simple aquella estructura curva que posee un apoyo libre y el otro articulado, figura 3.1.1.8.

Figura 3.1.1.8 Arco parabólico simple

Triartículado.- Este tipo de arco tiene ambos apoyos articulados y ello obliga por isostaticidad, a poseer una tercera articulación dentro de su eje, figura 3.1.1.9.

9

Figura 3.1.1.9 Arco elíptico triarticulado

Cuando hay una estructura curva empotrada en un extremo y libre en el otro se tiene un arco en cantilivier, figura 3.1.1.10.a. Desde luego también es posible aunque menos frecuente, que se tengan estructuras curvas isostáticas de otro tipo; prueba de ello es el arco que aparece en la figura 3.1.1.10.b compuesto por un arco circular y parabólico, un apoyo empotrado y otro articulado, a la vez posee dos articulaciones intermedias de tal manera que se cumpla la isostaticidad en la estructura.

a) Arco en cantilivier

b) Arco circular de AB y parabólico en BD

Figura 3.1.1.10 Otros tipos de arcos

Arco Falso 10

Un Falso arco o también llamado a veces arco en ménsula, arco acartelado o arco maya, es una construcción con forma de arco obtenida a base de colocar a ambos lados de un vano bloques de piedra escalonados de manera uniforme, hasta que se encuentran en un punto medio. La extrusión de un falso arco produce una falsa bóveda.

A diferencia de un "verdadero" arco, un falso arco no funciona puramente a compresión, que es el tipo de esfuerzo más adecuado para piedras y ladrillos, por lo que, a pesar de suponer un avance frente al sistema adintelado, su eficiencia es limitada.

Uso de los arcos Las estructuras de arcos soportan cargas principalmente de modo axial, una estructura de arco tenderá a tener momentos internos más pequeños que los encontrados en vigas y marcos. El uso del arco denota la búsqueda de una estética que se aleje de la mediocridad general en el diseño que rige este tipo de estructuras.

Los arcos pueden usarse para cubrir superficies, ya sea colocándolos paralelos, resultando en una superficie en forma de cilindro, o radialmente, dando una superficie de domo. El acero ha permitido la construcción de arcos de grandes luces y muy livianos usando secciones tubulares, para aligerar el consumo de material y aumentar su eficiencia a compresión, con el control de la tendencia al pandeo.

Las formas de arco más comunes en puentes son el semicircular o de medio punto, el de más fácil construcción y menos empuje; y el rebajado, que permite mayor espacio bajo el puente.

Los arcos biempotrados se construyen generalmente en concreto reforzados y en cañones profundos, donde los apoyos pueden soportarse en roca resistente. Los biarticulados son los más comunes, en estos; la reacción horizontal algunas veces se da

11

por el terreno y en otras mediante un elemento interno a tensión, son los denominados arcos atirantados.

Los arcos triarticulados son estructuras isostáticas compuestas que ligadas al sistema tierra por dos articulaciones utilizan una tercera para unir los elementos que la constituyen, se usan comúnmente para solucionar aquellos problemas mecánicos o estructurales que no permiten el empleo de marcos rígidos, en el caso de estructuras de puentes para los cuales se esperan hundimientos diferenciales y en general para todos aquellos problemas que requieren estructuras que tengan posibilidad de aceptar deformaciones de rango pequeño.

Para su construcción, análisis y diseño, son necesarios las siguientes condiciones:



No deben constituir un mecanismo, es decir no debe existir afinidad de velocidad para un punto común a los dos elementos del sistema.



Debe ser una estructura isostática, es decir

GH  0

En la figura 3.1.2.1 se muestran ejemplos de este tipo de arcos:

12

a) Arco triarticulado de madera laminada

b) Puente triarticulado de Salginatobel, Suiza

Figura 3.1.2.1 Arcos triarticulados

Como los arcos son usados ampliamente en la construcción de puentes, según la colocación del tablero del mismo también se clasifican en:  Arco con tablero superior: Son aquellos en los cuales las cargas se transmiten al arco mediante elementos a compresión, denominados montantes o paráles, figura 3.1.2.2.a.

 Arco con tablero inferior: Son aquellos en los cuales las cargas son transmitidas al arco mediante elementos a tensión denominados tirantes o tensores, figura 3.1.2.b.

 Los arcos con tablero intermedio: son menos comunes y se presentan en varios arcos en serie en los cuales el tablero se sostiene mediante elementos a compresión cerca de los apoyos y con tensores en la luz central.

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a)

Arco biarticulado con tablero superior

b) Arco biarticulado con tablero inferior

Figura 3.1.2.2 Arcos con tablero superior e inferior

Aunque los esfuerzos internos preponderantes en los arcos son de compresión, también se presentan momentos flectores por causa de cargas concentradas, generalmente excéntricas.

La eficiencia del arco para soportar cargas con respecto a las vigas se presenta por la acción de la reacción horizontal en los apoyos, que disminuye los momentos flectores de viga que se presentan en la estructura. Es necesario no confundir los arcos con las vigas curvas, ya que estas tienen reacciones verticales solamente; estáticamente hablando son arcos aquellas piezas estructurales que en sus apoyos se producen empujes horizontales cualquiera que sea la carga aplicada. En la figura 3.1.2 se presenta las partes que conforman un arco, el arco origina dos cubiertas características: la bóveda y la cúpula.

14



Bóveda: Constituida por el movimiento de traslación del arco, generalmente recto.



Cúpula: Movimiento rotatorio del arco, en ella se presentan dos problemas técnicos; asentamiento en tramos cuadrados y empujes oblicuos.

Figura 3.1.2 Partes que conforman un arco

Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos circulares

Para el caso de los marcos se definían los intervalos donde tenía vigencia una determinada función, y en tales casos se mantenía la dirección del cortante y de la normal por ser estructuras de eje recto.

BC En el tramo

del marco de la figura 3.2.1 se observa que los puntos

P

Q y

tiene la

BC dirección como la línea de acción de la fuerza normal, y en dirección perpendicular actúa la fuerza cortante.

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Figura 3.2.1 Marco biarticulado

En cambio en el arco de la figura 3.2.2, el punto

R

tiene una dirección para el cortante

S distinto a la del punto y lo mismo sucede con las direcciones de acción de la fuerza normal. Esto es propio de la configuración curva de los arcos y por ello se debe definir una función que represente la dirección de la fuerza normal y de la fuerza cortante.

Figura 3.2.2 Arco simple

Análisis de arcos

En primer lugar se fija el sistema de referencia con el origen en el centro de la circunferencia, figura 3.2.3, enseguida se fija un punto P cualquiera dentro del arco, cuyo radio vector forma un ángulo



con el eje.

16

Figura 3.2.3 Sistema de referencia

En el punto P se trazan dos vectores unitarios:

x  r cos



ev y  rsen Vector unitario en la dirección del cortante,

eN 

Vector unitario en la dirección de la normal,

Los sentidos de los vectores se han tomado en el supuesto de entrar por la izquierda en ____

ev dicha estructura, como

OP lleva la dirección del radio vector

, sus coordenadas son:

ev   cos  , sen  Como el vector es unitario se verifica que:

ev  cos 2   sen 2  1

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De igual forma se tiene que:

e N    sen , cos  

eN 

  sen  2   cos  2

1

Por otro lado, el producto interno de dos vectores permite calcular las proyecciones de uno sobre el otro así:

Pr oy a b 

a .b a

El vector resultante de todas las fuerzas activas y reactivas a la izquierda de la sección figura 3.2.4, es:



R   Ax , Ay  W  r  x 



Figura 3.2.4 Análisis de arcos

18

ev Ahora bien si se conoce un vector unitario en la dirección del cortante vector resultante

Pr oyeV R 

R

y se conoce un

, la proyección del vector será:

ev .R  ev .R ev

Pero, por definición, la proyección de todas las fuerzas aplicadas a la izquierda de la sección

ev

R

sobre la dirección de

es la fuerza cortante, por tanto:

V  ev R .

De igual forma la fuerza normal es:

N  eN R .

Ejemplo numérico

Encontrar los diagramas de los elementos mecánicos del arco circular mostrado en la figura 3.2.5.

19

Figura 3.2.5 Arco circular simple



Isostaticidad de la estructura

GH  NCR  NEC  NED GH  0

NCR  3 GL  3n  NCR NEC  0 GL  3 2   3 NED  3 33 GL  3

De donde la estructura es estáticamente determinada



Cálculo de las reacciones

F

x

0

2*3 0 2 B x  3 Ton

 Bx 

F

y

0

Ay  B y  0 ........... ecuación 3.2.1

Haciendo la suma de momentos en todo el arco se tiene:

20

 MB  0 h  2*3  3 Ay    0 3 2  h Ay   1 Ton 3

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación 3.2.1:

B y   Ay  1 Ton

 By

Nótese que el sentido propuesto para

, no fue el correcto figura 3.2.6:

Figura 3.2.6 Diagrama de cuerpo libre

21

q 

Para el cálculo de los elementos mecánicos, se considera una carga

y

con respecto a la distancia tiene, figura 3.2.7:

que varia

; de acuerdo al teorema de triángulos semejantes se

Q q  h y Qy 2 q   y h 3

Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos parabólicos

El hecho de haberse utilizado el arco con tanta frecuencia se debe a que esta estructura trabaja a compresión y el elemento constructivo fundamental que resiste perfectamente este tipo de fuerza es la piedra, el cual es uno de los materiales más empleados por el hombre y prueba de ello son las grandes construcciones de la antigüedad.

Las reacciones horizontales en un arco parabólico son menores a las producidas en un arco circular o elíptico, y el análisis para este tipo de arcos es similar al antes descrito, véase el siguiente ejemplo.

22

Ejemplo numérico

Considérese el arco en forma parabólica mostrado en la figura 3.3.1 sujeto a cargas puntuales, como el arco es simétrico basta calcular una sección de él:



Calculo de las reacciones

   Fx  0  Ax  0

   Fy  0

 15  10  10  10  15  Ay  By  0 Ay  By  60 Ton

........................................ ecuación 3.3.1

Figura 3.3.1 Arco

parabólico

23

 MA  0

 36 Ay  15 30   10 24   1018  1012   15 6   0  Ay  30 Ton



 By  30 Ton

Se toma el origen coordenado en el vértice de la parábola figura 3.3.2 y en cuyo caso la ecuación de la curva es:

y

4 (60) 2 x 36 2

y

5 2 x 27

y

4h 2 x b2

,

sustituyendo valores:

Figura 3.3.3 Sistema de referencia

La estructura presenta los siguientes intervalos, a saber:

 18  x  12

0 x6

,

,

 12  x  6

6  x  12

y

y

6  x  0

12  x  18

24



Los elementos mecánicos entrando por la izquierda y comenzando por el momento flexionante es como sigue:

M  Ay  x  18  0

 M  30 x  18 M  30 x  540

Tramo

 12  x  6

, figura 3.3.4:

M  Ay  x  18  15 x  12   0

 M  30 x  18  15 x  12  M  360  15 x

6  x  0 Figura 3.3.4 Tramo

Tramo

6  x  0

, figura 3.3.5

M  Ay  x  18  1512  x   10 6  x   0

 M  30 x  18  1512  x   10 6  x  M  300  5 x

25



Para calcular la fuerza cortante se necesitan el vector unitario en dirección cortante figura 3.3.6 y la resultante a la izquierda de la sección, estos son:

Tramo

 18  x  12

, figura 3.3.3:

eV    sen , cos  



R  0, Ay



y De la ecuación de la parábola:

Tg  La

5 2 x 27

dy dx , es decir:

Tg  

10 x 27 Figura 3.3.6 Vectores unitarios

Y según la figura 3.3.7 se tiene que:



10 x

ev   

Efectuando

V  R .eV 

100 x 2  729

,

el



27 

100 x 2  729 

producto

interno

810 100 x 2  729

26



El cálculo para obtener la fuerza normal es el siguiente:

eV El vector unitario

equivale:

e N    cos  , sen    27 10 x eN    ,  100 x 2  729 100 x 2  729  

Y la resultante es igual a:



R  0, Ay



Entonces:

N  R .eV , sustituyendo valores:

N

300 x 100 x 2  729

eV    sen , cos   R   0,15



10 x

ev   

100 x  729 2

,



27 

100 x  729  2

27

Efectuando el producto interno:

V  R .eV 



405 100 x 2  729

El cálculo para obtener la fuerza normal es el siguiente:

N  R .eV Como:

e N    cos  , sen    27 10 x eN    ,  100 x 2  729 100 x 2  729  

Entonces:

N

150 x 100 x 2  729

eV    sen , cos   R   0,5

28



10 x

ev  

100 x  729 2



,



27 

100 x  729  2

Efectuando el producto interno:

V  R .eV 



135 100 x 2  729

El cálculo para obtener la fuerza normal es el siguiente:

N  R .eV Como:

e N    cos  , sen    27 10 x eN    ,  100 x 2  729 100 x 2  729   Entonces:

N

50 x 100 x 2  729

Por simetría en la estructura, los tramos restantes es similar al estudiado solo se invierten los signos:

29

V 

N 

135 100 x 2  729

50 x 100 x  729 2

V 

N 

405 100 x 2  729

150 x 100 x  729 2

V 

N 

810 100 x 2  729

300 x 100 x 2  729

Tabulando las ecuaciones para los diferentes intervalos se tiene:

En la figura 3.3.8 se muestran las gráficas de los elementos mecánicos.

30

a) Momento flexionante

b) Gráfica de la normal

31

c) Gráfica del cortante

Figura 3.3.8 Gráfica de los elementos mecánicos

4 Análisis y gráficas de los elementos mecánicos en arcos elípticos

Se sabe que un arco triarticulado al momento de sustentar cargas verticales no solo presenta reacciones verticales, sino también reacciones horizontales; estas reacciones evitan el fenómeno de “coceo”, es decir, la tendencia que un arco presenta de abrirse hacia los lados. Para evitar este fenómeno muchas veces se recurre a colocar un tensor en sus apoyos figura 3.4.1, esto impide que el arco se abra.

Figura 3.4.1 Fenómeno de coceo

32

Como ya se dijo, para el caso de un arco parabólico las reacciones horizontales pueden llegar a ser relativamente pequeñas, pero en los arcos elípticos pueden ser más importantes, esto puede corroborarse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo numérico

Considérese a continuación un arco elíptico con sus dos apoyos articulados cuyo claro es mayor que el peralte soportando una carga puntual en la cumbrera, en el cual presenta una articulación más para cumplir con la isostaticidad de la estructura, figura 3.4.2.

Figura 3.4.2 Arco elíptico triarticulado

Como siempre la meta será dibujar los diagramas de los elementos mecánicos, como primer lugar:

 Calculo de las reacciones. 

Realizando suma de momentos de todo el arco.

33

 MA  0

30C y  15(5)  0 C y  2.5 Ton

Realizando suma de momentos del tramo BC:

 MB  0

15C y  C X (10)  0 Cx  3.75 Ton



Realizando suma de fuerzas en y:

   Fy  0

Ay  C y  5 Ton

 Ay  2.5 Ton



Realizando suma de fuerzas en x:

   Fx  0 Ax  C x  0

 Ax  C x  3.75 Ton

34

Figura 3.4.3 Cálculo de las reacciones

 Para el cálculo de los elementos mecánicos se definen los intervalos:

180º    90º

,

 15  x  0

0  y  10 ;

90º    0 0  x  15 10  y  0 ;



Para el primer intervalo:

x  15 cos  y  10sen

180º    90º

;

,

 15  x  0

0  y  10 ;

x2 y2  1 225 100 Se sabe que:

35

Figura 3.4.4 Tramo

180º    90º

El momento flexionante será:

M  2.515  x   3.75 y M  2.515  15 cos   3.7510 sen  M  37.5  37.5 cos  37.5sen

Para el cálculo de la fuerza cortante y la fuerza normal se obtiene los vectores unitarios correspondientes:

eV   cos  , sen  

eN    sen ,cos  

Y la resultante de todas las fuerzas de la parte izquierda de la sección considerada será:

R   3.75,2.5

36

Del

producto puntual de los vectores se obtiene las ecuaciones:

V  R .eV  3.75 cos   2.5 sen N  R .e N  3.75 sen  2.5 cos 



Para el segundo intervalo:

90º    0 0  x  15 10  y  0 ;

;

De acuerdo con la figura 3.4.5 el momento flexionante será:

M M M M

 2.515  x   3.75 y  5 x  2.515  15 cos   3.7510sen   515 cos   37.5  37.5 cos  37.5sen  75 cos   37.5  37.5 cos  37.5sen

90º    0 Figura 3.4.5 Tramo

37

Los vectores unitarios son:

eV   cos  , sen 

e N    sen , cos  

La resultante a la izquierda de la sección será:

R   3.75,2.5  5 R   3.75,2.5

Y las fuerzas cortante y normal son:

V  3.75 cos   2.5sen N  3.75sen  2.5 cos 

Se calcula para diferentes valores de



, empleando las ecuaciones anteriores se tiene:

38

La gráfica de los elementos mecánicos se muestra en la figura 3.4.6.

a) Momento flexionante

b) Gráfica de La normal

39

c) Gráfica del cortante

Figura 3.4.6 Gráfica de los elementos mecánicos

Curva del eje del arco Es ventajoso estructuralmente debido a que los momentos internos que resultan de las cargas aplicadas son mucho más pequeños que los que resultarían si se aplicaran las mismas cargas a una armadura o viga del mismo claro. Esto desde luego, se debe a los momentos negativos que resultan de las fuerzas horizontales de los extremos. La fig. 13-2a muestra una viga simple y el diagrama de momentos resultantes de una carga simple concentrada. La fig. 13-2b, muestra un arco con el mismo claro, sujeto a la misma carga y el diagrama de momentos resultante. Es obvio que el momento positivo máximo se reduce grandemente por la acción del arco. Al mismo tiempo naturalmente, existirán esfuerzos axiales importantes en la nervadura del arco. Los momentos de la nervadura deben ser tan pequeños como sean pequeños como sea posible. En consecuencia, el eje central de la nervadura, ya sea sólida o arriostrada debe aproximarse lo más posible al polígono funicular para carga muerta más, quizás alguna o porción de la carga viva. El polígono funicular se aproxima bastante a un segmento de círculo una curva circular de centros múltiples o una parábola. La economía de un arco cualquiera en particular naturalmente, está sujeta a la influencia en la relación elevación/claro. En muchos casos esta relación determinada por las condiciones del lugar si la estructura corresponde a un puente; o por claros verticales, si se trata de un hangar, edificio industrial o similar. Cuando las condiciones permiten usar la relación elevación/claro más económica, es probable que esta relación se encuentre 0.25 a 0.30, aunque algunas consideraciones especiales pueden hacer estos límites impracticables.

LOS CABLES 40

DEFINICIÓN Los cables son talvez el medio más simple para soportar cargas. Ellos se usan para soportar puentes y sistemas de techo, como tirantes en grúas torres de radio de acero y otras estructuras similares, así como en muchas otras aplicaciones. Para el estudiante, podría ser que el uso más común fuera los sistemas teleféricos en cientos de pistas aquí alrededor del mundo. Los cables de acero se fabrican a bajo costo a partir de alambres de acero de alta resistencia, ofreciendo así,probablemente, la razón más baja de costo a resistencia de cualquier miembro estructural común. Posteriormente, éstos se pueden manipular y montar fácilmente aun en claros muy largos. LA HISTORIA DE LOS CABLES. Se desconoce la fecha en que por primera vez el hombre utilizó un cable, pero del hecho de haberse encontrado un ejemplar de cable metálico en las ruinas de Pompeya se desprende que el arte de trenzar alambre para formar cordones y arrollar estos formando cables, era ya conocido hace más de 1.800 años. Según apunta la introducción de esta obra de PUbliCan - Ediciones de la Universidad de Cantabria, entre principios del siglo XIX y la actualidad, la investigación, fabricación y utilización de los cables metálicos ha sido constante y permanente, hasta llegar a obtener la idoneidad para cualquiera de las actividades industriales, obras públicas y de construcción donde el cable es considerado como un elemento fundamental. Otras fuentes señalan que el primer cable metálico de la historia fue diseñado en 1834 por Wilhelm Albert, ingeniero de minas y propietario de una mina de carbón en Alemania. Albert inventó el proceso de trefilar y retorcer alambres de hierro y de este modo construyó el primer antecesor del cable de acero, que pasó a reemplazar con ventajas las cadenas que entonces se utilizaban en la industria minera. Los cables de acero evolucionaron mucho desde aquellos comienzos, pero su concepción básica sigue siendo la misma: un conjunto de alambres reunidos helicoidalmente formando una cuerda metálica apta para resistir esfuerzos de tracción y con adecuadas condiciones de flexibilidad.

41

Previamente, en Alemania, se habían desarrollado cables que se utilizaron en minería y que consistían en tres secciones de alambre del mismo tamaño, de hierro forjado, que se entrelazaban entre ellos a mano, para hacer un filamento. Después, tres o cuatro filamentos más, se entrelazaban entre sí, para formar el cable de acero, muy rudimentario. Estos cables hechos a mano, fueron conocidos como “Cables Albert”, debido al oficial minero en las montañas de las minas de plata de Harz, que promocionaba su uso. Estos cables no eran muy flexibles, pero resultaron superiores a las cadenas que tendían a romperse sin advertencia. Desafortunadamente, el tedioso proceso de fabricarlas, impidió el uso en otras áreas, ya que ninguna tenía un corazón que soportara los filamentos exteriores. Se abandonó su uso en 1850. Mientras tanto, en Londres, Andrew Smith, experimentaba varias formas de anclar los barcos al muelle utilizando cables de acero. Así, al abrirse el negocio del ferrocarril Blackwall, utilizó la técnica de las cuerdas de cáñamo en este negocio. Al mismo tiempo, otro inglés, Robert Newall, notó la conveniencia de utilizar maquinaria en lugar del torcido a mano, que fue probado con éxito en el negocio del ferrocarril, lo que los llevó a una disputa de patentes en 1845, mismo que al final condujo a la fusión de ambas compañías, como Smith and Newall y continúan hasta la fecha. Smith, pronto dejó Inglaterra con la fiebre del oro en California. El estilo del cable de Newall, que era fabricado de seis filamentos, cada uno con su respectiva fibra en el núcleo y todos retorcidos helicoidalmente sobre un núcleo central, pronto dominó el mercado Inglés. Sin embargo, la mayor contribución inglesa a la industria, fue la idea de hacer los filamentos en una máquina conocida como trefiladora. En Pensilvania, un sistema de transportación a campo traviesa, conocido como Allegheny Portage RR, aceptaron probar un cable de acero hecho a mano en 1842, como sustituto a los cables de cáñamo, que tendían a pudrirse en poco menos de un año. La prueba fue satisfactoria y la compañía cambió a cables de alambre. Esto atrajo la atención de la compañía Morris Transportation System en New Jersey y a muchas mas compañías de transporte de carbón, incluyendo a Delaware & Hudson Co. en New York y Lehigh Co. En Pensilvania. Estos cables de acero, fueron nombrados por el topógrafo John Roebling. Que aunque él retorcía los cables a mano, como Albert, adoptó la construcción del cable en seis filamentos mas el núcleo, como Smith y Newall; sin embargo, estaba construída totalmente de alambre, utilizando un núcleo o alma, que era idéntico a los seis filamentos exteriores, cada uno compuesto de 19 alambres. Roebling logró el primer avance en la teoría de los cables de alambre, al dares cuenta que los defectos de los cables de seis filamentos, podían corregirse al combinar alambres de diferente diámetro en los filamentos, por lo que diseñó la construcción Warrington, en tres

42

tamaños. Empezando con un filamento de siete alambres de un mismo tamaño, al que le añadió una capa exterior de 12 alambres de dos tamaños alternados. Después de numerosas pruebas, encontró que daban un ligero mejor servicio en algunas aplicaciones. Aunque el objetivo original de la invención era crear una mejor redondez, los nuevos filamentos arrojaban en efecto colateral de mayor significado. Porque había menos espacio en los huecos dentro del mismo filamento, el mayor factor de llenado permitía a los filamentos hacerlos como se les conoce, bajo el principio de poner igual, donde cada alambre en la cubierta exterior es acuñado por dos alambres en una capa interior, creando mejor soporte sin el efecto de cruzamientos interiores. Este principio de poner igual, no fue obvio hasta la introducción de las modernas trefiladoras de alta velocidad alrededor de 1850.

Características de los cables

El cable es la estructura típica cuya forma es la más eficiente que se ha construido para soportar fuerzas de tensión, es muy flexible y cambia de forma bajo la acción de cargas concentradas, no posee rigidez a la flexión, ni resiste fuerzas de compresión. En la naturaleza, la telaraña sirve de ejemplo y muestra las bondades de su comportamiento. Los cables son elementos flexibles que tienen diversas aplicaciones en Ingeniería, como elementos estructurales sirven para soportar cargas; se utilizan en algunas estructuras como conductores en las líneas de transmisión eléctrica, puentes, elevadores, estructuras pretensazas y postensadas, etc., figura 5.1.1.

43

Figura 5.1.1 Uso de los cables

Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería, por ejemplo; los puentes colgantes no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar una vereda con otra en zonas rurales, las garruchas o poleas, los tensores o contravientos para luminarias y postes, armaduras, etc. Por su flexibilidad los cables solo resisten fuerzas de tracción (tensión), se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio por el solo trabajo a tracción del elemento. El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Por ejemplo, cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal adquieren una forma parabólica figura 5.1.2.

44

Figura 5.1.2 Cable parabólico

Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso que en este caso no es una carga uniforme, forman una curva llamada catenaria; un ejemplo de este último caso es el de las redes de energía, figura 5.1.3.

a) Cable recto

b)

Cable catenario

Figura 5.1.3 Otros tipos de cables

El cable colgante es el elemento estructural que se usa en los grandes claros, su forma parabólica ha sido prácticamente imbatible y empleada en los puentes de mayor claro, figura 5.1.4.

45

Figura 5.1.4 Colgantes

Puentes

El cable no solo funciona estructuralmente en el plano, sino que se puede usar para cubrir áreas figura 5.1.5, colocando grupos de cables paralelos, uno junto a otro o usando conjuntos de cables que conformen sistemas de doble curvatura, unos cables con curvatura convexa y otros perpendiculares con curvatura cóncava; los cables también se usan en sistemas radiales, que permiten cubrir superficies redondas.

a) Techo de tensado poligonal

b) Techo tensado en forma de silla de montar

c) Estadio de Raleig

Figura 5.1.5 Cables en techos

46

El desarrollo tecnológico ha creado los cables de alta resistencia: los torones de acero galvanizado, usados con formas estructurales nuevas en los modernos puentes atirantados con cables rectos, conformados por torones paralelos de diámetros pequeños de 15mm, que se anclan individualmente, estos cables de peso reducido son mucho más fáciles de colocar y reemplazar que los antiguos cables colgantes en los cuales los procesos de colocación eran muy tediosos y demorados, y su reemplazo prácticamente era imposible figura 5.1.6.

Figura 5.1.6 Puentes atirantados

En este capítulo, se consideran cables flexibles, que no se alargan. Como son flexibles no resisten la flexión, y por ello el momento flexionante en cualquier sección transversal es nulo. Lo mismo sucede con la fuerza cortante, de tal manera que el único elemento mecánico que se presenta es la fuerza normal positiva, o sea la fuerza de tensión.

Clasificación de los cables Los cables se clasifican de acuerdo con las solicitaciones que soportan y la geometría que dichas cargas definen, en:

47

 Cables de elementos rectilíneos: Este tipo de cables mantiene cargas verticales concentradas en puntos llamados nodos, y por ello la conformación geométrica del mismo es de tipo recto o poligonal. Para su solución se requiere conocer la posición de tres de los nodos y al menos una coordenada de todos los demás. Cuando el peso del cable es despreciable en comparación a las cargas concentradas que soporta, se presenta un cable de elementos rectilíneos o de cargas concentradas, figura 5.1.1.1.

Figura 5.1.1.1 Cables de elementos rectilíneos

Para resolver este tipo de cables basta calcular las reacciones en los apoyos y posteriormente conformar sistemas de fuerzas concurrentes en cada nodo o punto de acción de las cargas y aplicar el Método de los Nodos, el cual fue estudiado en el capítulo anterior. Los nodos o puntos de concurrencia deben tener definida alguna de sus coordenadas generalmente la horizontal para que el problema sea determinado, y uno de ellos debe quedar definido en ambas coordenadas.

 Cables parabólicos: En estas estructuras la carga se presenta repartida uniformemente según su eje horizontal y por ello la forma que adopta el cable es parabólico, figura 5.1.1.2.

48

Figura 5.1.1.2 Cable parabólico

Para resolver un cable de este tipo se necesita conocer una de las coordenadas de un punto y la posición de los apoyos. También es necesario conocer la carga

w

L

uniformemente repartida , el claro del mismo y la ubicación de los apoyos, con estos datos es posible calcular la ecuación del cable y la fuerza máxima que soporta. El sistema de referencia por lo general se ubica en el punto más bajo del cable para facilitar su análisis.

 Cables catenarios: El cable que mantiene su propio peso de manera uniformemente distribuida según su eje presenta una deflexión tipo cadena y por ello se denomina cable catenario, figura 5.1.1.3.

49

Figura 5.1.1.3 Cable catenario

Son cables catenarios todas las líneas de conducción del fluido eléctrico o los alambres telefónicos que soportan exclusivamente su peso.

 Cables elípticos: Cuando un cable soporta cargas repartidas en forma uniformemente creciente hacia los extremos, alcanza una conformación elíptica, aunque estos tipos de cables son poco usuales, figura 5.1.1.4.

Figura 5.1.1.4 Cable elíptico

Análisis de cables Para el estudio del equilibrio de un cable se debe considerar el quinto principio de la Estática: “Un cuerpo deformable está en equilibrio, si y solo si toda porción de él considerada rígida se encuentra en tal estado”.

50

Es decir el sistema de fuerzas que obra sobre dicha porción está en equilibrio porque sus coordenadas vectoriales son nulas. Considérese el cable mostrado en la figura 5.1.2.1, sujeto a cualquier tipo de carga; los soportes A y B sobre los cuales está suspendido el cable que tiene una distribución de

 (x ) carga

y que actúa verticalmente sobre el mismo plano del cable.

Figura 5.1.2.1 Cable sujeto a una carga arbitraria

Se toma como diagrama de cuerpo libre un elemento de longitud

s

, figura 5.1.2.2.

Figura 5.1.2.2 Diagrama de cuerpo libre de una sección del cable

T

T  T

Las fuerzas y tienen componentes horizontales y verticales, formulando las ecuaciones de equilibrio se tiene:

51

F

x

0

 T cos  (T  T ) cos(   )  0 T cos  (T  T ) cos (   )  0

F

y

0

 Tsen   (T  T ) sen(   )   ( x)  0

Se dividen las dos expresiones por

x

y se toma el límite cuando

x

tiende a cero:

d (T cos  )  0 .......................... ecuación 5.1.2.1 dx d (Tsen  )   ( x) ....................... ecuacion 5.1.2.2 dx Para que la ecuación 5.1.2.1 se cumpla es necesario que:

T cos  cons tan te  H

.......... ecuacion 5.1.2.3

Donde H representa la componente horizontal a lo largo del cable. Esto es indicativo ya que en cualquier punto del cable la componente horizontal de la tensión tendrá el mismo valor. Integrando la ecuación 5.1.2.2 se tiene:

Tsen   W ( x)dx  C1 ......................... ecuación 5.1.2.4

La ecuación 5.1.2.3 al sustituirla en la ecuación 5.1.2.4, permite un mejor desarrollo:

52

H sen   W ( x )dx  C1 cos sen 1   W ( x)dx  C1 cos H

Pero

sen dy  tan   cos  dx

dy 1  W ( x) dx  C1 dx H 

; sustituyendo se obtiene:

Integrando nuevamente:

 1  Y   W  x  dx  C1  dx  C2   H  Y 

1 H

 W  x  dx  C  dx  C 1

...................... ecuación 5.1.2.5

2

La ecuación anterior es la ecuación general de la curva de deflexión de un cable con

W (x) sistema de carga

, donde las constantes

acuerdo a las condiciones de los soportes A y

C1 C 2

B

y

se determinan en cada caso de

.

Para calcular la longitud del cable se tiene que: L

L   ds

ds 2  dx 2  dy 2

0

, siendo Despejando y sustituyendo: 2

ds 

(dx 2  dy 2 )dx 2  dy   1   dx 2 dx  dx 

53

L

L 0

2

 dy  1   dx ......................... ecuación 5.1.2.6  dx 

La ecuación 5.1.2.6 permite calcular la longitud de un cable desde el punto más bajo del mismo, hasta uno de sus apoyos.

Si ahora se considera una porción del cable procurando que un extremo coincida con la parte más baja del mismo y se toma en cuenta la expresión 5.1.2.3, se llega a las

W proposiciones siguientes de acuerdo con la figura 5.1.2.3 donde total del cable en el tramo considerado.

representa la carga

Figura 5.1.2.3 Diagrama de cuerpo libre



Las fuerzas T, y H mantienen el equilibrio de la porción del cable considerado como cuerpo rígido. La adición vectorial de sus vectores debe ser nula, de la figura 5.1.2.3, se obtiene que:

Tan  

dy W  dx H

Que es la ecuación diferencial de todo el cable y de la adición gráfica de los vectores T,

W y H (Teorema de Pitágoras), puede expresarse la ecuación:

54

T 

H 2 W 2 

H 2   x 

2

............................... ecuación 5.1.2.7

Esta expresión permite calcular la tensión en un punto dado del cable y la relación de la carga total respecto a la carga horizontal que ejerce el cable en su punto más bajo.

Cable rectilíneo Para cables sometidos a cargas puntuales, en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable y la forma del cable dependerá de P y de su punto de aplicación, figura 5.2.1.

Figura 5.2.1 Cable de elementos rectilíneos

Como se expresó anteriormente, los cables cuando están sometidos a cargas concentradas superiores al peso del mismo, pierden la forma curva y toman formas rectas, semejantes a un polígono.

55

Para el estudio de estos cables se supone que los tramos entre los puntos de aplicación de las cargas son rectos, por lo que la tensión del cable se puede determinar mediante un modelo similar al usado en las armaduras mediante el método de los nudos, la tensión es axial y sigue la trayectoria de los cables. La tensión en cada tramo del cable se puede encontrar mediante un simple equilibrio de fuerzas en cada nodo, el cual mediante los vectores puede manejarse de manera sencilla. Se supone que no existe fricción entre el cable y el apoyo cuando se cambia la dirección del cable, como sucede en la parte superior de las torres de los puentes colgantes, y por lo tanto la componente horizontal de la tensión del cable será la misma en todos los puntos del cable. Para determinar la componente horizontal H se deben plantear las condiciones de equilibrio de todo el cable (entre los apoyos) y determinar un conjunto de ecuaciones. Adicionalmente, se debe hacer un corte en el cable por el sitio donde se conozcan las coordenadas del cable y plantear un diagrama de cuerpo libre y aplicar las ecuaciones del equilibrio; con estas dos ecuaciones se puede obtener la componente horizontal de la tensión en el cable.

Proceso de análisis Para resolver un cable conviene establecer una secuencia de cálculo para S simplificar su análisis; analizando la sección , de la figura 5.2.1 se obtienen los

i  1, 2 , 3, ... n

L, h, yi , xi , Pi

siguientes datos:

, para

.

El aumento o la disminución de los datos hacen que el cable sea hipostático o hiperestático, respectivamente. Las incógnitas que se presentan son las siguientes:

 Reacciones en los puntos externas

A

y

B

, es decir las tensiones en las secciones

 Tensiones en todos los tramos del cable  Geometría del cable Para determinar la tensión en cada tramo se empieza por determinar las reacciones, estas comprenden cuatro incógnitas lo cual hace que el sistema sea estáticamente indeterminado. Para poder obviar esta indeterminación es necesario conocer la posición de un punto del cable. 56

Suponiendo que se conoce la posición de la carga figura 5.2.2.

P2

con coordenadas

 x2 , y 2 

,

P2 Figura 5.2.2 Ubicación de la carga

Entonces tomando la porción de cable

F

x

ACD

figura 5.2.3, se tiene:

0

 TDE cos   Ax Lo cual indica que la componente horizontal de la tensión en cualquier tramo es constante. De la figura 5.2.2 tomando momentos con respecto al punto B se obtiene una

Ay

Ax relación entre

y

.

En la figura 5.2.3, tomando momentos con respecto al punto D se obtiene otra Ay

Ax

relación entre

y

, que con la anterior se pueden resolver simultáneamente Ay

Ax

para determinar

y

.

57

Figura 5.2.3 Porción ACD del cable

A

By

B x   Ax

Una vez determinadas las reacciones en se obtiene y como quedan completamente las reacciones. Habiéndose determinado las reacciones se puede tomar cualquier porción del cable para hallar la tensión correspondiente. AC Por ejemplo, tomando la porción

, figura 5.2.4, se tiene que:

TCDy  Ay  P1

TCDx  Ax Y Y como:

Tg 2 

T CDy TCDx



y2  y1 x2  x1

x 2 , x1

y2

Y además

y1

y

son conocidos, por tanto se puede determinar la posición vertical

P1 de la carga

.

Repitiendo el procedimiento para cualquier otro tramo se obtiene la tensión en ese punto y la posición de la carga concentrada correspondiente.

Figura 5.2.4 Porción AC del cable

Ejemplo numérico: Resolver el cable de elementos rectilíneos mostrado en la figura 5.2.5

58

Figura 5.2.5 Cable rectilíneo 1) Cálculo de las reacciones



M

A

0

40 By  2 Bx  (30 *10)  (50 * 25)  0 40 By  2 Bx  1550 .................................. ecuación 5.2.1

  M D  0 Tramo DB ( parte derecha )

15By  6 Bx  0 ...................................... ecuación 5.2.2

Resolviendo las ecuaciones 5.2.1 y 5.2.2, se tiene que:

By  44.286 KN Bx  110.71 KN Aplicando las ecuaciones del equilibrio:

   Fx  0

   Fy  0

By  Ay  30  50  0

 Ax  Bx  0

By  Ay  80

Ax  Bx  110.71 KN

 Ay  80  By  35.714 KN

59

1) Cálculo de las tensiones en los nodos, para ello se consideran las fuerzas internas de la figura 5.2.6:

Figura 5.2.6 Fuerzas internas

Nodo A

   Fx  0

 Ax  TAC cos1  0 TAC 

Ax .................... ecuación 5.2.3 cos1

   Fy  0

Ay  TAC sen1  0

TAC 

Ay sen1

.................... ecuación 5.2.4

Igualando las expresiones 5.2.3 y 5.2.4, se tiene:

Ay Ay Ax   Tg1  cos 1 sen 1 Ax

 1  17.879º  TAC  116.328 KN  T  Nodo C

60

   Fx  0

 116.328 cos1  TCD cos  2  0 110.710 .................... ecuación 5.2.5 cos 2

TCD 

   Fy  0

 30  116.328sen1  TCD sen 2  0 5.714 .................... ecuación 5.2.6 sen 2

TCD 

Igualando las expresiones 5.2.5 y 5.2.6, se tiene:

110.710 5.714 5.714   Tg 2   0.0516 cos 2 sen 2 110.710

  2  2.954º  TCD  110.857 KN  T 

Nodo D

   Fx  0

TDB cos 3  110.857 cos  2  0 TDB 

110.7097 .................... ecuación 5.2.7 cos3

   Fy  0

 50  TDB sen3  110.857 sen 2  0 TDB 

44.287 .................... ecuación 5.2.8 sen 3

Igualando las expresiones 5.2.7 y 5.2.8, se tiene:

61

110.7097 44.287 44.287   Tg 3  cos3 sen 3 110.7097

 3  21.8028º  TDB  119.239 KN  T  Para comprobar los cálculos, se emplea el nodo B, en el que las fuerzas deben de coincidir: Nodo B

   Fx  0

Bx  TBD cos3  0 Bx  TBD cos3  110.7096 KN

   Fy  0

By  TBD sen3  0 By  TBD sen3  44.287 KN

La figura 5.2.7, presenta a manera de resumen los resultados obtenidos:

Figura 5.2.7 Propiedades geométricas y fuerzas en el cable

Cable parabólico

62

Cuando un cable soporta cargas distribuidas, estas se pueden considerar como cargas concentradas suficientemente próximas, de tal manera que el cable adquirirá una forma curva polígonal con infinito número de lados, figura 5.3.1.

Figura 5.3.1 Cable parabólico



Sea la carga uniforme a lo largo de la horizontal. Para determinar la forma que adquiere el cable con este tipo de carga se toma una porción de cable desde su ( x, y ) punto más bajo hasta un punto de coordenadas , figura 5.3.2. La tensión en T este punto será tangente a la curva.

Figura 5.3.2 Porción de un cable parabólico

Tomando momentos con respecto al punto

x 2  yH 2

 x, y

se tiene que:

y , despejando a

, se tiene que:

63

x 2 2H

y

.............................. ecuación 5.3.1

Que es la ecuación de una parábola con origen en el punto más bajo del cable, T con esta ecuación es posible determinar el valor de en dicho punto al que se le T0

denomina del cable.

, para esto es necesario conocer la posición de al menos un punto

Considerando el triángulo de fuerzas de la porción del cable desde su punto más bajo, figura 5.3.3; se puede determinar la tensión en cualquier punto a saber:



T  H 2   2x2



1

....................... ecuación 5.3.2

2

Figura 5.3.3 Triangulo de fuerzas

De la ecuación 5.3.2 se deduce que la máxima tensión estará en el punto más alto del

T0 cable y que la mínima tensión estará en el punto más bajo y es

S . La longitud

del

( x, y ) punto más bajo del cable, a un punto de coordenadas 5.1.2.6 y es: x



 dy  S    1    dx  0 

está dado por la ecuación

2 1/ 2

 

dx 

Considerando la figura 5.3.3 y sustituyendo valores se tiene: x



dx    1    0 



x     To    2

1

2

dx .......................... ecuación 5.3.3

64

La integral anterior puede resolverse con la serie siguiente:

 dx  x  1  

2 y   3 x

2

2 y    5 x

4

  ...  y x  0.5

y x

Esta serie converge para valores de , generalmente es mucho menor de 0.5 de tal manera que se obtiene una buena aproximación con los dos primeros términos de la serie. Para llegar a la solución de un cable con carga parabólica, es decir; para obtener sus reacciones, el valor de la tensión en cualquier punto y su geometría general, es necesario conocer la posición de sus apoyos y las coordenadas de cualquier punto de su eje longitudinal o una coordenada cualquiera de su punto inferior. Según esto se tiene dos casos, cada uno de los cuales se analiza de diferente forma:

 Cuando los datos que se tienen son la posición de los apoyos y un punto intermedio cualquiera, en este caso el análisis se realiza como si fuera un arco de tres articulaciones, figura 5.3.4.

Figura 5.3.4 Primer caso: Se conocen la posición de los apoyos y un punto cualquiera

Para esté caso particular, los diagramas de cuerpo libre con los cuales se trabajaría según los tramos AC y BC del cable; planteando y resolviendo un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas. Para la geometría general, en función de la ecuación de la parábola, puede encontrarse la posición de cualquier punto y además, en función de la inclinación de la tangente a dicho punto, se puede obtener el valor de la tensión para cualquier sección del cable.

65

 Cuando los datos que se tienen son la posición de los apoyos y una coordenada de relación entre cualquiera de estos y el punto inferior del cable, figura 5.3.5.

Figura 5.3.5 Segundo caso: Se conoces la ubicación de los apoyos y el punto más bajo

Al no existir cargas con componentes horizontales, la componente horizontal, tanto de las reacciones como de una tensión cualquiera del cable, permanece constante, por tanto:

H  cons tan te

Que corresponde al valor de la tensión en el punto inferior del cable, ya que la pendiente de la tangente en dicho punto es nula. Por lo tanto, aunque se desconozca una dimensión de la posición del punto inferior del cable, puede obtenerse con facilidad en la forma siguiente:

 El planteamiento de las condiciones analíticas de equilibrio proporciona seis

H  cons tan te

ecuaciones, una de las cuales, conocido el valor queda independiente en el sistema. Esta permite calcular la dimensión faltante en la posición inferior del cable.  Una vez obtenidos los valores de las reacciones, de la fuerza horizontal en el punto inferior del cable y su geometría general, para calcular la tensión del cable en cualquier punto se aplica la fórmula 5.1.2.6, y la ecuación del cable está dado por la ecuación 5.3.1. Ejemplo numérico:

66

Resolver el cable parabólico mostrado en la figura 5.3.6 sabiendo que la tensión máxima en el cable es de 160 kN.

Figura 5.3.6 Cable parabólico sobre un puente

1) Cálculo de las reacciones

MA  0

100 B y  100  * 50  0 B y  50

   Fx  0 Ax  Bx  H

   Fy  0

B y  Ay  100 Ay  100  B y

 Ay  50 y  20

2) De la ecuación de la parábola (ecuación 5.3.1) y sustituyendo el valor de se tiene:

67

20 

x 2 x 2  2(62.5 ) 125

 x 2  125(20)  2500  x  50 m 3) Considerando la porción del cable CB figura 5.3.7, y haciendo momentos con respecto al punto C se obtiene:

  MC  0

50 By  20 H   50  * 25  0 50 By  20 H  1250 Sustituyendo B y  50 se tiene : 50(50 )  20 H  1250 H 

1250  62.5 20 Figura 5.3.7 Porción CB del cable

Considerando la figura 5.3.7 y dado que el punto C es el más bajo, se sabe que:

W  50



W, H y T ; sustituyendo los valores de

en la ecuación 5.1.2.6 y resolviendo para

, se tiene:

T2 W2  H2

160 2  (50 ) 2  (62.5 )2 25600  2500 2  3906.25 2

  1.999  2 KN / m  H  124.94 KN  T0

y W  100 KN

68

Usando la expresión de la curva de deflexión dado por la ecuación 5.1.2.5 se obtiene lo siguiente:





1 W ( x )dx dx  C1 x  C2 H Donde : H  124.94 KN  T0

Y 

W  2x Sustituyendo los valores anteriores:





1 2 x dx dx  C1 x  C2 124.94   1 2x2 Y  dx  C1 x  C2 124.94  2 1 x3 Y  *  C1 x  C2 124.94 3 x3 Y   C1 x  C2 374.82 Y 

Si Y  0  x  0  C2  0 Si Y  20  x  50  C1  6.2699

La ecuación de la curva de deflexión es:

x3 Y   6.2699 374.82 La longitud del cable se puede determinar usando la ecuación 5.3.3:

69

L

2

 dy   dx  dx 

L   1  0

50

2

2x  1   dx  124.94 

L  2



0

La ecuación anterior se puede resolver usando la expresión siguiente, que está en función de las coordenadas de un punto del cable:

 2  y L  x 1  *   3  x 

2

2 y    5 x

4

  ... 

Sustituyendo los valores y resolviendo para



2  20  L  2 * 50  1  *   3  50  

2

L

se obtiene:

2  20    *   5  50   4

 L  109.6427 m

Cable catenario En la realidad pueden combinarse diferentes tipos de cargas formando una combinación geométrica más compleja, pero para su solución, basta aplicar el principio de superposición una vez resuelta la ecuación diferencial para cada condición de carga. Ahora bien, por medio de la estática puede encontrarse la solución de un cable considerando que cualquier punto de él se comporta como una articulación; debido a que el momento flexionante en cualquier sección del cable vale cero, esto permite estudiar los cables en forma similar que los arcos de tres articulaciones. Cuando un cable es suspendido sin carga, es decir soportando su propio peso, la carga distribuida a lo largo de la horizontal deja de ser uniforme; sin embargo, si el cable es homogéneo, la carga es uniforme a lo largo de su longitud.

70

La figura 5.4.1 representa un cable soportando su propio peso y la distribución de la carga a lo largo de la horizontal.

Figura 5.4.1 Cable catenario

Como no se conoce la distribución de la carga a lo largo de la horizontal ni, obviamente el centroide bajo la curva de carga, no se puede utilizar el mismo método que para un cable parabólico, por tanto el procedimiento de cálculo es diferente. Considérese un cable que soporta su propio peso, el cual se toma una porción del mismo entre el punto más bajo (que no es el origen de coordenadas) y un punto de coordenadas

 x, y  y las fuerzas actuantes como se muestra en la figura 5.4.2.

Figura 5.4.2 Porción de un cable

De acuerdo con la fórmula general:

T 

H 2  s2 S 2 ............................ ecuacion 5.4.1

71

Considérese que la constante

C  H /

, sustituyendo se tiene que:

T   C2  S2

H  C W  S ,

y

La proyección horizontal de una pequeña longitud del cable es:

dx  ds cos  

H ds T

Sustituyendo H y T por sus valores:

dx 

Cds  C S 2

2



ds 1  (S / C )2

Integrando desde P hasta Q la expresión anterior: S

X  0

ds 1  (S / C )

2

 Csenh 1

S C

Lo anterior se puede escribir así:

S  Csenh

X C

Sustituyendo el valor de C:

S

H X senh ................................. ecuación 5.4.2  H

La igualdad anterior permite conocer la longitud de una catenaria en función de su carga

 

H y de la proyección horizontal de la fuerza de tensión

.

Por otra parte del triángulo de fuerzas de la figura 5.4.2 se sabe que:

72

Tan  

dy  S W   dx H H

 dy 

W Sdx S dx   dx H C C dy  senh

S / C  senh X / C  Pero

, entonces:

X dx C

x

Integrando desde P hasta Q la

X X  y  C   senh dx  C  cosh  C C  0

x

0



X   C  cosh  1 C  

x

0

expresión anterior:

y  C  C cosh

X C C

Sustituyendo el valor de C:

H X cosh  H

Y

...................... ecuación 5.4.3

La ecuación anterior es la de una catenaria con eje vertical, elevando ambos miembros de las ecuaciones 5.4.2 y 5.4.3 al cuadrado y restando una de otra se tiene:

Y2  S2 

H2  X X  cosh 2  senh 2  2    H H 

cosh 2 A  senh 2 A  1

Y2  S2 

Teniendo en cuenta la identidad

:

H2  C 2 ............................... ecuación 5.4.4 2

S2 Despejando

y sustituyendo este valor en T:

 H S Y     2

2

2

 H   

T   C2  S2   

2

2   H    Y2        

 T  Y ......................... ecuación 5.4.5 73

La relación anterior indica que la tensión, en cualquier punto, es directamente proporcional a la distancia vertical medida desde el eje x, por tanto la tensión máxima se tendrá en el punto del cable que posea mayor valor de su ordenada. Cuando un cable que soporta su propio peso está suficientemente tenso, se puede suponer que la carga está uniformemente distribuida sobre la horizontal, con esta condición, se puede reemplazar la catenaria por una parábola, que simplifica notablemente su solución, sin introducir errores significativos. Ejemplo numérico: Un cable de transmisión pesa 0.3 lb/ft y tiene una tensión máxima admisible de 1500 lb debe tenderse entre dos torres que se encuentran separados 2450 ft en el sentido horizontal y a las elevaciones de 7200 ft y 6500ft, figura 5.4.3. Determine la longitud mínima necesaria del cable.

Datos:

  0.3lb / ft Tmáxadm  1500lb X  claro  2450 ft Lmín  S  ? Figura 5.4.3 Cable catenario

En primer lugar se obtiene el diagrama de cuerpo libre, figura 5.4.4:

74

Figura 5.4.4 Diagrama de cuerpo libre

F

x

Haciendo dirección:

, se determina que las reacciones en los apoyos son iguales en esa

   Fx  0 Ax  B x  H

Las ecuaciones que se utilizarán en la solución de este problema son:

Y 

H  x  cosh     H 

Y 2  S2  T  Y

......................... ecuación 5.4.3

H2 ................................ ecuacion 5.4.4 2 ....................................... ecuación 5.4.5

De la ecuación 5.4.5 se obtiene el valor de

Y

Y

:

1500  5000 ft 0.3

Sustituyendo valores en la ecuación 5.4.3 se tiene:

75

 0.3 2450     H

5000 

H cosh 0.3

5000 

H  735  cosh   0.3  H 

Despejando a H y utilizando el método numérico de iteración de punto fijo, véase el anexo 4 y resolviendo para H, se tiene:

1500  735  cosh    H   H  1283.7866 lb H

Sustituyendo valores en la ecuación 5.4.4:

1283.79 2  18 312 312.63 0 .3 2 S 2  6 687 687.37

5000 2  S 2 

 S  2 586.056 ft La flecha máxima se obtiene con la siguiente expresión:

y máx  Y 

H 

1283.7866 0 .3  720.7 ft

y máx  5000  y máx

76

Bibliografía

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 PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL Profesor Francisco D’Amico D’Agosto http://es.scribd.com/doc/51723971/36/Arcos-Circulares  http://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/13615/Estructuras%20formadas%20por %20cables.pdf?sequence=1

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