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• Victor JFiestas

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INTRODUCCION Un arco es una estructura plana constituida por un elemento curvo de sección transversal despreciable frente a su longitud, y cuya curvatura es pequeña comparada con su sección transversal. Los dos puntos extremos pueden estar sustentados de distintas formas y las cargas exteriores son habitualmente verticales. Los arcos son una de las estructuras más utilizadas desde la antigüedad. Ello es debido a que, si su geometría es adecuada, soportan grandes cargas transversales y las transmiten a los apoyos extremos trabajando básicamente a compresión, con muy poco esfuerzo de flexión. Esto permite utilizar en su construcción materiales que no soportan bien la tracción, como el hormigón en masa o sencillamente ladrillos o bloques de piedra independientes, adosados unos a otros. La figura muestra las disposiciones más habituales de los arcos.

Los arcos están normalmente sometidos a fuertes cargas verticales, aplicadas bien desde la parte superior del arco o desde la inferior (figura 6.2), así como a cargas debidas a empujes de viento, frenado, etc. Son también frecuentes las cargas térmicas o las debidas a los asientos de los apoyos, que pueden ser importantes en arcos de gran tamaño.

Es posible encontrar también arcos formando parte de otras estructuras planas más complejas, del tipo celosía o pórtico

GENERALIDADES HIPOTESIS FUNDAMENTAL La hipótesis fundamental para el estudio de los arcos es que su curvatura es pequeña en comparación con las dimensiones transversales de su sección o lo que es lo mismo, que el radio de curvatura es mucho mayor que el canto de la sección. Esta simplificación es aplicable normalmente si la relación entre el radio de curvatura y el canto es superior a 10. La suposición de pequeña curvatura hace que no sea necesario aplicar una teoría especial de piezas curvas, sino que es directamente aplicable la teoría convencional de flexión de vigas, considerando únicamente que el dominio de la estructura es curvo. Los primeros trabajos sobre arcos empleando estas hipótesis se deben a Navier (1826) y a Bresse (1854). La energía acumulada en un arco tiene la misma expresión que para un pórtico plano, pero sustituyendo la coordenada longitudinal x por la longitud del arco s.

siendo N el esfuerzo axial y M el momento flector en una sección cualquiera del arco. La variación de temperatura a lo largo de la sección del arco se supone lineal, definida por sus valores medio Tm y gradiente Tg. Tanto el esfuerzo axial como el momento flector son en general variables a lo largo de la directriz. El canto normalmente también es variable. Habitualmente no se considera la energía debida al esfuerzo cortante pues, por su propia definición, los arcos son esbeltos, con lo que la energía de cortante no es significativa. En muchos casos

también se desprecia la energía de esfuerzo axial, como seve más adelante. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Para hallar las ecuaciones de equilibrio se aísla un elemento s que corresponde a unángulo , tal y como se muestra en la figura .

EQUILIBRIO RADIAL DE FUERZAS

Cuando s tiende a cero el ángulo el coseno del mismo tienden a:

también lo hace, y el seno y

siendo R el radio de curvatura de la sección. Sustituyendo estos valores, dividiendo por s y tomando el límite cuando s 0 la ecuación de equilibrio radial queda:

Esta ecuación es equivalente a la de las vigas rectas, con la diferencia de que en ella hay un nuevo término en el que intervienen el esfuerzo axial N y el radio de curvatura R. Si este radio de curvatura tiende a infinito, la ecuación anterior coincide con la habitual de las vigas rectas. EQUILIBRIO DE MOMENTOS Tomando momentos en el elemento diferencial respecto a su lado derecho se obtiene:

Procediendo igual que con la ecuación de equilibrio de fuerzas se llega a:

que es la ecuación equivalente a la de flexión de vigas rectas. ARCOS ARICULADOS Se trata de una estructura isostática, cuya disposición geométrica general puede verse en la figura. No se especifica en principio su forma, sino sólo la posición de los apoyos A, B y de la clave C.

Las reacciones en las articulaciones se pueden hallar aislando los dos elementos AC y CB, como se indica en la figura 6.6. Tomando momentos respecto de A en el elemento AC, y respecto de B en el elemento CB, se obtiene:

donde: MA extAC es el momento respecto de A de las fuerzas exteriores comprendidas entre A y C, y MB extCB es el momento respecto de B de las fuerzas exteriores entre C y B. Ambos momentos se consideran positivos en sentido antihorario. De las dos ecuaciones anteriores se obtienen las reacciones en la clave C.

Las reacciones en los apoyos se obtienen del equilibrio de fuerzas horizontal y vertical de cada tramo:

Los esfuerzos en el interior del arco se obtienen aislando un tramo AP, donde P es un punto cualquiera situado entre A y B. El origen del sistema de coordenadas se sitúa en A, con lo que las coordenadas de P son x,y. El momento flector M se obtiene tomando momentos respecto de P: M Ay x Ax y MP extAP donde M extAP es el momento respecto de P de las fuerzas exteriores aplicadas entre A y P. Se considera positivo en sentido antihorario.

Los esfuerzos axial N y cortante Q se obtienen aplicando el equilibrio de fuerzas en las direcciones X e Y:

donde Fx FextAPy , extAP son las resultantes, según X e Y, de las fuerzas exteriores aplicadas entre A y P. El valor que se obtiene para el esfuerzo axial es: DEFORMACION EN LA CLAVE La deformación vertical en la clave C se obtiene aplicando el método de la fuerza virtual unitaria. La figura 6.8. muestra el caso virtual.

Tomando momentos respecto de A en AC, y respecto de B en CB se obtiene:

de donde se calculan las reacciones en la clave en el caso virtual:

Las reacciones en los apoyos son:

Los esfuerzos en el caso virtual se indican en la figura

La deformación en la clave se obtiene aplicando el teorema de Crotti-Engesser, con la expresión de la energía dada por la ecuación (6.1):

ARCO SIN MOMENTO FLECTOR Sea un arco triarticulado simétrico, cargado con una carga distribuida uniforme q, como se muestra en la figura 6.10. Se desea determinar qué forma debe tener el arco para que no aparezcan momentos en él.

La reacción vertical en la clave es nula por simetría (ver capítulo 9). Aislando el tramo AC se obtienen las restantes reacciones:

Imponiendo la condición M=0 y despejando la coordenada y en función de la x se obtiene la ecuación de la forma del arco, que es una parábola simétrica con la concavidad hacia abajo:

El esfuerzo axial es:

El esfuerzo cortante es:

Teniendo en cuenta la relación geométrica

se obtiene:

Es decir que el arco está sometido únicamente a un esfuerzo axial, sin flexión ni cortante. Este resultado explica el interés de usar arcos de directriz parabólica para soportar cargas verticales, pues se pueden utilizar materiales que no soportan la tracción ni el esfuerzo cortante, o incluso elementos aislados, ya que éstos se sujetan unos a otros por rozamiento al estar el arco siempre a compresión. ARCO BIARTICULADO Este arco es hiperestático de grado h=1 (figura 6.12). Para su análisis se elige como incógnita redundante la reacción horizontal en el apoyo izquierdo Ax .

Por superposición, los valores del esfuerzo axial N y del momento flector M son:

Caso 0

La reacción vertical en A se obtiene tomando momentos respecto de B de todo el arco:

Los esfuerzos axial y cortante y el momento flector valen:

donde el superíndice extAP se refiere a todas las fuerzas exteriores actuantes entre A y P.

Caso 1 La reacción vertical en A se obtiene, como en el caso 0, tomando momentos respecto de B de todo el arco:

Los esfuerzos axial y cortante y el momento flector valen:

La condición de compatibilidad se obtiene aplicando el segundo teorema de Engesser a la energía complementaria dada por la expresión (6.1):

Sustituyendo en la ecuación anterior el valor de los distintos esfuerzos y despejando, se obtiene el valor de la reacción hiperestática:

Los esfuerzos finales en el arco son:

ARCO BIARTICULADO AIRANTADO Es frecuente el empleo de un tirante de sujeción entre los dos apoyos, con objeto de eliminar la componente horizontal de la reacción en un apoyo. De hecho, si todas las cargas son verticales este arco no produce ninguna reacción horizontal sobre el terreno.

Se supone que el tirante tiene una flexibilidad axial de valor ty que en él hay un esfuerzo de pretensión inicial N0t definido por un alargamiento equivalente t: El arco es hiperestático de grado 1, y para su análisis se adopta como incógnita redundante X el esfuerzo en el tirante. Se identifica con el subíndice a al esfuerzo axial del arco y con t al del tirante. CASO 0 Este caso (figura 6.16) es igual que el caso 0 del arco biarticulado, por lo tanto los esfuerzos son los mismos que en él. El esfuerzo en el tirante es nulo.

Caso 1. Se aplica un valor unidad al esfuerzo en el tirante, como se observa en la figura. Los esfuerzos que se producen son:

ARCO BIEMPOTRADO El arco biempotrado (figura 6.18) es hiperestático de grado 3, y para su estudio se consideran como incógnitas hiperestáticas los tres esfuerzos en el apoyo A: Ax , Ay , MA.

Caso 0. Los esfuerzos en este caso dependen de las cargas exteriores y son: N0 ,M0 ,Q0 . Caso 1. Se aplica un valor unitario de la reacción horizontal, y los esfuerzos son:

EJERCICIOS RESULETOS Calcular los esfuerzos internos en un arco biarticulado simétrico, con directriz parabólica definida por su flecha f y su luz L, y que está sometido a una carga uniforme hacia abajo q. Despreciar la energía de esfuerzo axial, y suponer que la rigidez a flexión varía según la ley de la secante.

La directriz del arco es:

La flexibilidad a flexión sigue la ley 0 cos , donde 0 es la flexibilidad en la clave. Tomando como incógnita hiperestática la reacción horizontal en el apoyo izquierdo (figura el diagrama de flectores del caso 0 es: Tomando como incógnita hiperestática la reacción horizontal en el apoyo izquierdo , el diagrama de flectores del caso 0 es:

La reacción en el apoyo izquierdo viene dada por la ecuación

Esta es la misma reacción que aparece en un arco triarticulado de la misma directriz, con carga uniforme. El diagrama de momentos flectores viene dado por la ecuación¨

No aparecen momentos flectores, al igual que ocurre en el arco triarticulado. En realidad esto es debido a que se ha considerado el arco rígido axialmente; si no se hace esta suposición sí que aparecen momentos flectores. Los esfuerzos axiales y cortantes

Teniendo en cuenta la relación

se obtiene que

Como era de esperar, el arco tampoco está sometido a esfuerzos cortantes, al ser éstos la derivada del momento flector. El comportamiento de este arco es por lo tanto similar al del arco de tres articulaciones. Los valores extremos de N se producen en los apoyos y en la clave, y valen

Calcular los esfuerzos en el arco del ejercicio, pero cargado con una fuerza puntual P en su clave. Los momentos flectores en el caso 0 son:

La reacción horizontal es ahora ecuación

El diagrama de flectores es ecuación

º El momento máximo está en:

El momento máximo positivo aparece en la clave, bajo la carga, y vale