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Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

APUNTES DE INGENIERÍA ANTISÍSMICA

Profesor Dr. Ing. Mario Durán L.

Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

TABLA DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 4 1.1. GENERALIDADES ......................................................................................... 4 1.2. TIPOS DE SOLICITACIONES ........................................................................ 4 1.3. DISCRETIZACIÓN ......................................................................................... 4 1.3.1. MASAS CONCENTRADAS .................................................................. 4 1.3.2. DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS ............................................ 4 1.4. FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO......................... 5 1.4.1. PRINCIPIO DE D'ALEMBERT .............................................................. 5 1.4.2. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES ...................................................... 5 1.4.3. PRINCIPIO DE HAMILTON (PRINCIPIO VARICIONAL) ...................... 5 2. SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD. ................................................. 7 2.1. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO..................................................................... 8 2.1.1. EQUILIBRIO DIRECTO (D’ALEMBERT) .............................................. 8 2.1.2. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES ...................................................... 8 2.1.3. PRINCIPIO DE HAMILTON .................................................................. 8 2.2. VIBRACIONES LIBRES. ................................................................................ 9 2.2.1. VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO .......................... 10 2.2.2. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS ........................................ 11 2.3. RESPUESTA A CARGA ARMÓNICA. ......................................................... 16 2.3.1. SIN AMORTIGUAMIENTO. ................................................................ 16 2.3.2. CON AMORTIGUAMIENTO. .............................................................. 17 2.4. RESPUESTA A DESPLAZAMIENTOS Y ACELERACIONES BASALES. .. 19 2.5. TRANSMISIBILIDAD. ................................................................................... 23 2.6. SISTEMAS GENERALIZADOS CON 1 GRADO DE LIBERTAD.................. 27 2.6.1. CONJUNTO DE CUERPOS RÍGIDOS. .............................................. 27 2.6.2. SISTEMAS CON ELASTICIDAD DISTRIBUIDA. ................................ 33

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2.6.3. EXPRESIONES GENERALES PARA SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD GENERALIZADOS. ..................................................................... 42 2.7. SOLUCIÓN EXACTA AL PROBLEMA DE VIBRACIÓN EN VIGAS. ............ 46 2.8. RESPUESTA A CARGAS PERIÓDICAS. .................................................... 50 2.8.1.

SERIES DE FOURIER. ..................................................................... 50

2.8.2.

FORMA EXPONENCIAL DE LA SERIE DE FOURIER. .................... 52

2.9. RESPUESTA A CARGAS IMPULSOS. ........................................................ 54 2.9.1.

IMPULSO SINUSOIDAL. .................................................................. 54

2.9.2.

IMPULSO RECTANGULAR. ............................................................. 55

2.9.3.

ANÁLISIS APROXIMADO PARA IMPULSOS CORTOS. ................. 56

2.10. RESPUESTA A UNA CARGA DINÁMICA CUALQUIERA. ......................... 57 2.10.1. INTEGRAL DE DUHAMEL ................................................................ 57 2.10.2. CÁLCULO NUMÉRICO DE LA INTEGRAL DE DUHAMEL. ............. 60 2.10.3. ANÁLISIS DE RESPUESTA EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS (FOURIER) .................................................................................................... 62 2.11. ANÁLISIS DE RESPUESTA PARA COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL NO-LINEAL. ......................................................................................................... 64 3. SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD. .................................... 68 3.1. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO. ................................................................. 68 3.2. EVALUACIÓN DE LAS MATRICES DE LA ESTRUCTURA. ....................... 70 3.2.1.

PROPIEDADES ELÁSTICAS. .......................................................... 70

3.2.2.

PROPIEDADES DE MASAS. ............................................................ 80

3.2.3.

PROPIEDADES DE AMORTIGUAMIENTO. ..................................... 85

3.3. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS. .......................................... 85 3.4. ANÁLISIS DE RESPUESTA DINÁMICA. ..................................................... 92 3.4.1.

SIN AMORTIGUAMIENTO. .............................................................. 92

3.4.2.

CON AMORTIGUAMIENTO.............................................................. 93

3.4.3.

VIBRACIONES LIBRES CON CONDICIONES INICIALES. ............. 95

3.4.4.

MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO. ................................................. 96

4. ANÁLISIS SÍSMICO. ....................................................................................... 99 4.1. FUNDAMENTOS DE SISMOLOGÍA. ........................................................... 99 _________________________________________________________________________________________________ Curso de Ingeniería Antisísmica, Apuntes de Clases Profesor Dr. Ing. Mario Durán L Pág. 2

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4.2. RESPUESTA SÍSMICA DE SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD: ESPECTROS. .................................................................................................... 104 4.3. RESPUESTA SÍSMICA DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD Y MASA CONCENTRADA. .............................................................. 109 4.4. ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL. .............................................................. 115 4.5. PRINCIPIO EN QUE SE BASA LA AISLACIÓN SÍSMICA CON UN SISTEMA DE MASA SINTONIZADA. ................................................................ 117

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DINÁMICA DE ESTRUCTURAS 1.

INTRODUCCIÓN

1.1. GENERALIDADES 1.2. TIPOS DE SOLICITACIONES 1.3. DISCRETIZACIÓN 1.3.1. MASAS CONCENTRADAS

: ( )

0 Figura 1-1. Modelo de masas concentradas para una barra empotrada de masa correspondiente desplazamiento asociado.

con su

1.3.2. DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS

: ( )

+ ·

+ ...

2··

Ej

Figura 1-2. Modelo de desplazamientos generalizados de una barra empotrada de masa . _________________________________________________________________________________________________ Curso de Ingeniería Antisísmica, Apuntes de Clases Profesor Dr. Ing. Mario Durán L Pág. 4

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1.4. FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO 1.4.1. PRINCIPIO DE D'ALEMBERT 2º Ley de Newton:

: Vector de posición de la masa : Vector de la fuerza aplicada i m

cte

Escrito de otra forma: Definiendo la fuerza de inercia como:

e tiene el principio de d’Alembert (1.1)

1.4.2. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES “Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas y se le somete a un desplazamiento virtual (cualquier desplazamiento compatible con las restricciones geométricas el trabajo total hecho por las fuerzas es cero” Ejemplo: desplazamiento virtual

:

1.4.3. PRINCIPIO DE HAMILTON (PRINCIPIO VARICIONAL)

(1.2)

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: Energía cinética total del sistema : Energía potencial del sistema, incluye energía de deformación más la energía potencial de las fuerzas externas conservativas. : Trabajo de las fuerzas no conservativas, incluyendo amortiguamiento y las fuerzas externas no conservativas. : Variación con respecto a los desplazamientos en el intervalo a .

Fuerzas conservativas: no cambian ni dirección ni magnitud durante el desplazamiento.

s

1

s

2

Figura 1-3. Representación gráfica del Principio Variacional de Hamilton.

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2.

SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD.

Idealización: Basta 1 sola coordenada o parámetro para definir la configuración de la estructura deformada. ()

()

()

()

()

()

()

1

() ; ·

Figura 2-1. Modelos idealizados de un solo grado de libertad.

Modelo: I

()

() ()

()

Figura 2-2. Sistema idealizado de un solo grado de libertad: componentes básicos; fuerzas en equilibrio.

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2.1. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO 2.1.1. EQUILIBRIO DIRECTO (D’ALEMBERT)

: Amortiguamiento “viscoso”

(2.1)

2.1.2. DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES

Ecuaci n 2.1.3. PRINCIPIO DE HAMILTON

Introduciendo en (1.2):

Haciendo la variación:

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Integrando por partes el 1º término:

Debido a la condición del principio de Hamilton en t1 y t2 la variación del desplazamiento es cero (ver figura 1-3) desaparece el primer término de la derecha. Introduciendo en ecuación anterior:

Factorizando

Ya que

:

es cualquiera, se tiene entonces la ecuación (2.1)

2.2. VIBRACIONES LIBRES. Para encontrar la solución general de la ecuación de movimiento (2.1), es preciso encontrar primero la solución de la ecuación homogénea (sin segundo miembro): (2.2) La solución tiene la forma: (2.3) Introduciendo en (2.2) queda: Definiendo:

(2.4)

(2.5)

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La solución no trivial de (2.4) implica: (2.6) Los valores de se obtienen de la solución de (2.6) (ecuación característica) que depende del amortiguamiento 2.2.1. VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO Para

se obtiene de (2.6):

Introduciendo en (2.3): (2.7)

La solución (2.7) se puede expresar más fácilmente utilizando las ecuaciones de Euler: cos

sen

Definiendo nuevas constantes A y B se tiene: sen

cos

Las constantes A y B se calculan fácilmente a partir de las condiciones iniciales .

(2.8) y

De (2.8) se obtiene:

De este modo, introduciendo en (2.8): (2.9)

Mediante transformación trigonométrica se obtiene: cos

(2.10)

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En que tan La ecuación (2.10) representa un movimiento armónico simple, es la frecuencia circular o velocidad angular del movimiento y es medida en radianes por unidad de tiempo. La frecuencia cíclica o simplemente frecuencia es: (2.11) El valor recíproco es el período: (2.12) La representación gráfica del movimiento representado por la ecuación (2.10) es:

()

(0)

Figura 2-3. Movimiento armónico simple no amortiguado en vibraciones libres.

2.2.2. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS Para el caso ≠ se obtiene de

6):

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(2.13) Existen 3 casos dependiendo del valor del argumento de la raíz: Amortiguamiento crítico. (2.14) En ese caso se obtiene de (2.13):

Introduciendo en (2.3):

Con las condiciones iniciales

y (2.15)

La ecuación (2.15) representa un movimiento sin oscilación:

()

Figura 2-4. Amortiguamiento crítico en vibraciones libres (movimiento sin oscilación).

Se define como grado de amortiguamiento de la estructura a la relación: (2.16) Para amortiguamiento crítico es =1. Normalmente se da como un porcentaje. Movimiento sobre-amortiguado. Cuando el argumento de la raíz en (2.13) es positivo. Esto es: _________________________________________________________________________________________________ Curso de Ingeniería Antisísmica, Apuntes de Clases Profesor Dr. Ing. Mario Durán L Pág. 12

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Para el movimiento sobre-amortiguado es >1 En este caso se obtiene de (2.13):

Se observa que: S1≠ 2 y S1