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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Ingeniería Antisísmica

Introducción a la Dinámica Estructural Ing. Rafael Salinas Basualdo

DINAMICA ESTRUCTURAL „

Estudio de las características y comportamiento de las estructuras debido a cargas dinámicas (varían en el tiempo). - Sismos - Viento - Cimentación de máquinas - Vibraciones - Propagación de ondas - Ensayos no destructivos

1

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

Fuente: urban.arq.virginia.edu

DEFINICION „

Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel que solo es posible un tipo de movimiento, movimiento, es decir, decir, la posició posición del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada. U (desp.) M (masa) K (rigidez)

2

RIGIDEZ „

„

Cuando se aplica una fuerza a una estructura, estructura, esta se desplazará desplazará en la direcció dirección de la fuerza. fuerza. La rigidez se define como el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido. producido. Sistemas rígidos tienen deformaciones pequeñ pequeñas (gran rigidez), rigidez), y sistemas flexibles tienen deformaciones grandes (poca rigidez). rigidez).

RIGIDEZ (LINEAL-ELASTICO) P K 1

P=KU U

3

La rigidez elástica es determinada con fórmulas de la Mecánica de Materiales:

RIGIDEZ Elástico Inelástico

P

Fluencia Ductilidad Ca

a rg

K

sc De

1 Uy

ar

µ=

ga

Um

Um Uy

U

4

Algunas estructuras pueden ser idealizadas como sistemas de 1 GDL, como el pórtico de una crujía bajo la acción de una carga lateral:

En estática, pórtico tiene GDL activos.

el 6

2

3

5

1

2

6 4

Solamente un GDL queda si el pórtico se supone como un piso (viga) rígido apoyado por columnas con masa relativamente pequeña.

rigid beam

M m

1

3

Considerando deformaciones 1 axiales nulas, 3 GDL desaparecen.

La masa de este sistema de 1 GDL es M, la masa del piso o techo.

massless

La rigidez es determinada con fórmulas de la Mecánica de Materiales: u =1 12EI

k

K=

24 EI L3

1

6EI

3

2

L

L

6EI

12EI

2

L

3

L

Considerando la flexibilidad de la viga, la rigidez lateral será:

I kv = v Lv kc =

Ic Lc

K pórtico

1

m

rigid beam

M

La rigidez lateral de un muro es, considerando deflexiones por flexión y corte:

h

massless

t

l 24 EI c  1 + 6γ  = h 3  4 + 6γ

  γ = k v / k c 

kmuro =

Et 3

h h 4  + 3  l l

5

Sistemas de Masa Discreta y de Masa Distribuida

Sistemas Discretos Forma de modo = vector Número de frecuencias naturales igual al número de GDL

φ11    φ1 = φ21  φ   31 

Las formas de modo quedan definidas con un factor multiplicativo. multiplicativo. Convenció Convención:

φ11 = 1

Sistemas Distribuidos Número infinito de frecuencias naturales

Forma de modo = funció función

Convenció Convención:

 πx    L 

φ1( x ) = A sin

A =1

SISTEMAS EQUIVALENTES (Serie) P

Equilibrio

P=F1=F2

Compatibilidad

U=U1+U2

Constitutivas

F1=K1 U1 F2=K2 U2

U2 K2 U1 K1

Sistema Equivalente

P=Ke U 1 1 1 = + K e K1 K 2

6

SISTEMAS EQUIVALENTES (Paralelo) P U1 K1

Equilibrio

P=F1+F2

Compatibilidad

U=U1=U2

Constitutivas

F1=K1 U1 F2=K2 U2

U2 K2

Sistema Equivalente

P=Ke U K e = K1 + K 2

MODELOS U

M

K

K

M U

7

ECUACION DE MOVIMIENTO „

Newton

„

D’Alembert

ΣF = Ma = MU&& ΣF = 0

K

U

M

F=Fo f(t)

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE KU

.. MU

U F=Fo f(t)

MU&& + KU = F = Fof (t ) Ecuacion diferencial de movimiento (equilibrio dinámico)

8

VIBRACION LIBRE K

M

U

MU&& + KU = 0 Solución de la ecuacion diferencial de movimiento

U = UG U = UG = A sen(ωt) + B cos (ωt) Ü = - ω2 [A sen(ωt) + B cos (ωt)] (- M ω2 + Κ ) (A sen(ωt) + B cos (ωt) ) = 0

PROPIEDADES DINAMICAS K

M

Frecuencia circular de vibración

Periodo natural de vibración

Frecuencia natural de vibración

U

K M

ω= T=

2π

f =

ω 1 T

(rad/seg)

= 2π

M K

(seg)

(Hertz, Hz, 1/seg)

9

PROPIEDADES DINAMICAS

Estructura Flexible Periodo Largo Frecuencia Baja

Estructura Rígida Periodo Corto Frecuencia Alta Fuente: urban.arq.virginia.edu

VIBRACION LIBRE K

M

U

MU&& + KU = 0

U = A sen(ωt) + B cos (ωt)

ω=

Condiciones iniciales:

K M

t=0, desplazamiento inicial . U(0). = Uo y velocidad inicial U(0) = Uo . U = Uo/ω sen(ωt) + Uo cos (ωt)

10

. t=0, U(0) = Uo y U(0) = Uo

Despl./Amplitud

VIBRACION LIBRE

. t=0, U(0) = Uo y U(0) = 0

Despl./Amplitud

Tiempo/T

. . t=0, U(0) = 0 y U(0) = Uo

Despl./Amplitud

Tiempo/T

Tiempo/T

VIBRACION LIBRE U = A sen(ωt) + B cos (ωt) . U = Uo/ω sen(ωt) + Uo cos (ωt)

ω=

K M

2

 .  2 U  C =  o  +Uo ω    U tan φ = . 0 U 0/ ω

U = C sen(ωt+φ)

Desplazamiento

C es la amplitud φ es el ángulo de fase

Tiempo

11

VIBRACION FORZADA K

M

U F=Fo f(t)

MU&& + KU = F = Fof (t ) Solución de la ecuacion diferencial de movimiento

U = UG + UP

CARGA SUBITA F=Fo MU&& + KU = Fo

t

UP = Fo/K U = A sen(ωt) + B cos (ωt) + Fo/K Si el sistema parte del reposo

t=0, U(0) = 0, Î B=-Fo/K . t=0, U(0) = 0, Î A=0 Î U = Fo/K (1- cos (ωt) ) = Uest (1- cos (ωt) )

12

CARGA SUBITA Respuesta a carga subita 2.5 U/Uest

2 1.5 1 0.5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Tiem po/T

U = Fo/K (1- cos (ωt) ) = Uest (1- cos (ωt) ) U = Uest FAD FAD = (1- cos (ωt) ) FAD, Factor de Amplificación Dinámica

CARGA PULSO F=Fo td Tramo 1, Tramo 2,

t

0 < t