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Apuntes de Geodesia Física

Curso 2005-2006

Apuntes de Geodesia Física

Autora: Yolanda Rubio Modificado y actualizado por Martín Rodriguez Vales

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Apuntes de Geodesia Física

Curso 2005-2006

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Apuntes de Geodesia Física

Curso 2005-2006

Índice de contenido 1.- INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA FÍSICA............................................................................. 6 1.1.- Definición y objeto de la Geodesia Física...............................................................................6 1.2.- Diferencia entre geodesia geométrica y geodesia física:.........................................................7 1.3.- Consideraciones históricas sobre la figura de la Tierra y sus métodos de estudio..................8 2.- TEORÍA DEL POTENCIAL. EL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE........................... 11 2.1.- Ley de Newton de la Gravitación Universal......................................................................... 11 2.2.- Campo de fuerza newtoniano. Intensidad de campo y potencial. ........................................ 11 2.2.1.- Campo newtoniano debido a una masa puntual:........................................................... 11 2.2.2.- Campo newtoniano debido a un sistema de masas puntuales:.......................................13 2.2.3.- Campo newtoniano debido a un cuerpo extenso:.......................................................... 14 2.3.- Definición y propiedades de la superficie equipotencial: intensidad de campo y potencial: 15 2.4.- Flujo vector intensidad de campo. Teorema de Gauss.......................................................... 16 2.4.1.- Caso de una masa puntual interior m.............................................................................17 2.4.2.- Caso de una masa exterior a la superficie:.....................................................................18 2.4.3.- Caso varias masas interiores......................................................................................... 18 2.5.- Ecuaciones de Laplace y de Poisson. Funciones armónicas................................................. 18 2.6.- Campo y potencial de las fuerzas centrífugas....................................................................... 20 2.7.- Gravedad y potencial gravitatorio terrestres..........................................................................21 2.8.- Superficies de nivel y líneas de la plomada:......................................................................... 22 2.9.- Desarrollo del potencial gravitatorio terrestre. Polinomios de Legendre..............................23 2.10.- Problemas de contorno de la teoría del potencial. Solución de la ecuación de Laplace en armónicos esféricos........................................................................................................................27 2.10.1.- Teorema de Stockes:....................................................................................................27 2.10.2.- Primer problema de contorno de la teoría del potencial o problema de Dirichlet:......27 3.- EL POTENCIAL Y LA GRAVEDAD NORMAL. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA................................................................................................................................... 31 3.1.- La función geopotencial........................................................................................................ 31 3.2.- Esferoide de Bruns: teoría del primer orden de aproximación..............................................32 3.3.- Primera fórmula de Clairaut en aproximación de primer orden............................................32 3.3.1.- 1ª método:..................................................................................................................... 33 3.3.2.- 2ª método:...................................................................................................................... 34 3.4.- Gravedad normal en el esferoide de Bruns o elipsoide de nivel:.......................................... 35 3.5.- Esferoide de Helmert:............................................................................................................37 3.6.- El elipsoide de nivel.............................................................................................................. 37 3.7.- Teoría de Pizzetti y Somigliana. Fórmula internacional de la gravedad............................... 37 3.8.- Ventajas del uso del elipsoide como figura de referencia:.................................................... 38 3.9.- Gravedad normal en el elipsoide:.......................................................................................... 38 3.10.- Sistema Geodésico de Referencia....................................................................................... 39 3.10.1.- Sistema Geodésico de Referencia 24-30 (1924-1930):............................................... 39 3.10.2.- Sistema Geodésico de Referencia 1967 ......................................................................40 3.10.3.- Sistema Geodésico de Referencia de 1980:.................................................................41 3.10.4.- Sistema Geodésico de Referencia WGS84:.................................................................41 3.10.5.- Conversión de anomalías gravimétricas por cambio de sistema geodésico de referencia:..................................................................................................................................41 4.- EL CAMPO DE LA GRAVEDAD ANÓMALO. DETERMINACIÓN DEL GEOIDE............. 43 Página 3

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4.1.- Potencial normal y potencial perturbador..............................................................................43 4.2.- Conceptos de anomalía de gravedad, ondulación del geoide y desviación de la vertical..... 43 4.3.- Fórmula de Bruns.................................................................................................................. 45 4.4.- Fórmula o ecuación fundamental de la geodesia física:........................................................ 45 4.5.- Aproximación esférica de la ecuación Fundamental de la Geodesia Física:.........................47 4.6.- Anomalía de la gravedad fuera del geoide:........................................................................... 48 4.7.- Fórmula de Stokes................................................................................................................. 49 4.8.- Evaluación práctica de la fórmula integral de Stokes........................................................... 49 4.9.- Componentes de la desviación de la vertical. Fórmulas de Vening- Meinesz...................... 51 5.- REDUCCIÓN DE LOS VALORES OBSERVADOS DE LA GRAVEDAD............................. 54 5.1.- Objeto de las reducciones. Tipos de reducciones.................................................................. 54 5.2.- Reducción aire libre o Faye...................................................................................................54 5.3.- Reducción Bouguer............................................................................................................... 55 5.3.1.- Reducción por lámina o placa Bouguer:........................................................................56 5.3.2.- Corrección topográfica:................................................................................................. 56 5.3.3.- Reducción Bouguer completa:.......................................................................................58 5.4.- Consideraciones generales sobre la isostasia........................................................................ 59 5.5.- El sistema isostático Pratt-Hayford....................................................................................... 60 5.6.- El sistema isostático Airy-Heiskanen....................................................................................61 5.7.- Compensación regional de Vening-Meinesz o Regional...................................................... 62 5.8.- Reducciones isostáticas. Anomalías isostáticas.................................................................... 63 5.8.1.- Sistema de Airy-Heiskanen:.......................................................................................... 64 6.- MEDIDAS DE GRAVEDAD.......................................................................................................65 6.1.- Las medidas de gravedad. Métodos para su determinación.................................................. 65 6.2.- Clasificación según los tipos de medida:..............................................................................65 6.3.- Clasificación según los métodos de medición:......................................................................65 6.4.- Métodos absolutos y relativos:.............................................................................................. 65 6.5.- Péndulo matemático o simple:...............................................................................................66 6.6.- Péndulo físico o compuesto:..................................................................................................67 6.7.- Péndulo reversible................................................................................................................. 68 6.8.- Métodos basados en el movimiento libre de graves:.............................................................69 6.8.1.- Caída libre:.....................................................................................................................69 6.8.2.- - Movimiento libre simétrico (elevación y caída):........................................................ 70 6.9.- Gravímetros........................................................................................................................... 70 6.9.1.- Gravímetro lineal........................................................................................................... 71 6.9.2.- Gravímetros no lineales o astáticos. Astatización......................................................... 72 6.9.2.1.- Correcciones a las medidas gravimétricas............................................................. 77 6.9.2.2.- Correcciones:......................................................................................................... 78 7.- SISTEMAS DE ALTITUDES...................................................................................................... 80 7.1.- Introducción. Números o cota geopotencial..........................................................................80 7.2.- Altitudes dinámicas............................................................................................................... 81 7.3.- Corrección dinámica:.............................................................................................................82 7.4.- Reducción de la gravedad de Poincaré y Prey.......................................................................82 7.5.- Altitudes ortométricas. Corrección ortométrica.................................................................... 83 7.6.- Corrección ortométrica:.........................................................................................................84 7.7.- Altitudes normales. Corrección normal.................................................................................85 7.8.- Comparación de diferentes sistemas de altitudes.................................................................. 87

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1.1.1.-

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA FÍSICA Definición y objeto de la Geodesia Física

El objeto principal de la geodesia física es el estudio de la figura de la tierra, entendiendo por ello el estudio de su forma y dimensiones. Este estudio puede considerarse bajo dos aspectos: • Geométrico: geodesia geométrica. A partir de medidas de elementos geométricos (ángulos y distancias) sobre la superficie terrestre se busca determinar la superficie matemática regular que represente con suficiente precisión la figura de la tierra. Desde el punto de vista práctico la geometría de la tierra considera el elipsoide de revolución que se define por dos parámetros geométricos: • a,b: semiejes mayor y menor • a: semieje mayor a−b 1 α : aplanamiento geométrico α= ≈ • a 300 Sobre este elipsoide se realizan los cálculos geodésicos que llevan al conocimiento de las coordenadas geodésicas de puntos situados sobre la superficie terrestre que son: ϕ g : latitud geodésica λ g : longitud geodésica h: altitud elipsoidal Cuando intervienen las observaciones astronómicas tenemos las coordenadas astronómicas: ϕ a : latitud astronómica λ a : longitud astronómica

n- normal al geoide n’- normal al elipsoide ε - desviación de la vertical

H: altitud ortométrica (geoide)

La diferencia entre las dos altitudes es la ondulación del geoide: h=H+N • Dinámico: geodesia física. El estudio de la figura de la tierra esta basado en el conocimiento del campo gravitatorio terrestre lo que implica conocer g, la intensidad del .campo gravitatorio terrestre, tanto en módulo como en dirección. Podríamos deducir el potencial gravitatorio terrestre, ya que: →

g = gradW . El potencial, como magnitud escalar, es una función de un punto, o también podemos utilizar las coordenadas esféricas: π W = W(x,y,z) =W(R, θ , λ ) θ - colatitud = − ϕ 2 Conociendo el potencial gravitatorio podemos definir las superficies equipotenciales o superficies Página 5

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de nivel en las que W(x,y,z) = cte. Del campo gravitatorio terrestre tendremos distintas superficies de nivel entre las que distinguimos W = Wo correspondiente al geoide. La línea de la plomada es aquella que corta perpendicularmente a todas las superficies equipotenciales. Es una línea curva y la longitud medida sobre ella desde el punto de la superficie al geoide es la denominada altitud ortométrica (H). Dos puntos sobre la misma superficie de nivel tienen el mismo potencial para distinta H.

El objeto de la geodesia física por tanto, es la determinación del geoide (conocer su forma) y el conocimiento de la función potencial del campo gravitatorio terrestre W. La superficie libre de los océanos idealizada, que coincide con el nivel medio de los mares en reposo, coincide con el geoide. 1.2.-

Diferencia entre geodesia geométrica y geodesia física:

En la geodesia geométrica tenemos en cuenta las direcciones del vector gravedad, ya que la medición del arco de grado se basa en la fórmula s1 = ϕ 2 − ϕ1 donde las direcciones de la vertical s en los extremos del arco de meridiano s determinan el ángulo ϕ 2 − ϕ1 , que también esta presente en las fórmulas necesarias para hallarla en el módulo elipsódico: s α = R (ϕ 2 − ϕ1 ) s α ϕ 2 − ϕ1 = º s1º = R.1 s1º 1º En la geodesia física tenemos en cuenta los valores del módulo del vector gravedad. En este caso la figura exterior de la tierra debe determinarse en función de la magnitud de la fuerza de gravedad como resultante de las fuerzas de atracción newtoniana y centrífuga. La fuerza centrífuga varía según la distancia del punto al eje de rotación, será máxima en puntos del Ecuador, y nula en los polos. También la fuerza de atracción newtoniana se ve afectada por la forma de dicha superficie. Es decir, la forma de la tierra influye sobre los valores de la gravedad, por tanto, del estudio de dichos valores podrá deducirse la figura de la tierra. La geofísica nace cuando Newton enuncia la ley de gravitación universal en 1687. A partir de aquí se inicia el estudio experimental para determinar la fuerza de atracción terrestre sobre la unidad de masa que hemos llamado gravedad terrestre y es la resultante de dos fuerzas coincidentes en módulo pero no en dimensiones (realmente son intensidades de campo o aceleraciones): →

→

→

g = FN + FC

→

FN - fuerza newtoniana o gravitacional →

FC - fuerza centrífuga

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cm (C.G.S.) sg 2 Los valores de la gravedad sobre la superficie terrestre (es decir, sin tener en cuenta las variaciones por altitud, o lo que es lo mismo: considerando el valor de la gravedad reducidos al geoide) oscilan entre 978 y 983 gales. Esta variación de 5 gales es debida a la variación de la latitud. Como valor m medio se utiliza 981 gales = 9,81 2 . sg La gravedad varía dependiendo de la latitud y de la altura del punto. Galileo midió dicha aceleración obteniendo un valor en gales: 1 gal= 1

1.3.- Consideraciones históricas sobre la figura de la Tierra y sus métodos de estudio Vamos a distinguir las distintas determinaciones de las dimensiones de la tierra: 1- Modelo esférico: - Pitágoras hizo referencia sobre la redondez de la tierra. - Eratóstenes fue el primer geógrafo y geodesta que se basó en observaciones astronómicas para determinar las dimensiones de la tierra. En el solsticio de verano en Siena, observó el momento en que la luz solar iluminaba el fondo de un pozo, es decir, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la superficie terrestre. Se trasladó a Alejandría (situada aproximadamente sobre el mismo meridiano que Siena) y a la misma hora del siguiente solsticio de verano observó y midió la proyección de la sombra sobre el fondo de un pozo, de manera que conociendo la profundidad del pozo, y la longitud de la sombra pudo determinar de modo aproximado el ángulo con que los rayos del sol incidían sobre la superficie tg α = q p , ángulo equivalente a la diferencia angular, con vértice en el centro de la tierra, entre Siena y Alejandría. Y conociendo aproximadamente la distancia entre ambos lugares D R= determinó el radio de la tierra: α - Durante la Edad Media se pierde todo interés por el conocimiento de las dimensiones de la tierra. Este interés resurge en el siglo XVI. - En el siglo XVII se impulsan los métodos de medida de las dimensiones de la tierra basados en la medición de la longitud de un arco de un grado sobre un meridiano. Intentan demostrar la esfericidad de la tierra basándose en que si las medidas del arco de un grado realizadas a diferentes latitudes son iguales, la tierra tendrá forma esférica. Holandeses y franceses realizan la primera medición del arco de grado interesante. La aplicación de métodos de triangulación, tablas de logaritmos para cálculos trigonométricos y el desarrollo del anteojo para realizar observaciones, mejoran e incrementan la fiabilidad de las mediciones. 2- Modelo elipsódico: La idea surge después de que Newton enunciara en 1687 la ley de gravitación universal. Huyggens y Newton tratan de encontrar en la física la explicación y los métodos para determinar la forma de la tierra. Newton considera que en algún momento la tierra fue fluida, y debido al movimiento de rotación y la consiguiente fuerza centrífuga supone un alargamiento del semieje mayor correspondiente a la posición ecuatorial. Propone el modelo de elipsoide de revolución con achatamiento polar, y llega a esta conclusión teniendo en cuenta sus conocimientos sobre la fuerza centrifuga, y la de atracción entre las masas. Presupone que la tierra es de densidad homogénea. Intentó determinar las a−b 1 α= ≈ dimensiones de los semiejes del elipsoide, y obtuvo un aplanamiento: a 231 Página 7

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Huyggens consideró toda la masa terrestre concentrada en su centro y calculó el aplanamiento obteniendo el valor de 1 258 . Seguidamente se intentó comprobar la validez del modelo newtoniano por el método geométrico consistente en la medición del arco de un grado. Si el modelo es correcto, deben obtenerse arcos de mayor longitud a medida que aumenta la latitud. La-familia Cassini en Francia* (1700-1718), prolongan el arco de Picard (medido sobre el meridiano de París) tanto hacia el sur hasta Polieu como hacia el norte de París hasta Dunquerque, realizando, por triangulación, medida de su longitud. Los resultados obtenidos contradicen el modelo newtoniano, ya que la longitud del arco de 1° en el sur es mayor que las obtenidas para posiciones de latitud superior, y en base a ello proponen un modelo con achatamiento ecuatorial y. ensanchado por los polos. Para aclarar esta controversia organizan en el siglo s.XVIII dos expediciones con el propósito de medir el arco de grado en latitudes extremas: - 1735-1742 Perú (zona del actual Ecuador) para medir el arco que atravesaba el ecuador. Participan Godieu,Bouquer, La Condamíne, y marines españoles, - 1736-1737 Laponia. Participan Clairaut, Maupestus,... Como consecuencia de estas mediciones se comprobó y se aceptó como válido el modelo de elipsoide de rotación con achatamiento polar de Newton. Surge un interés por medir las dimensiones del elipsoide, tanto por métodos geométricos como físicos (métodos gravimétricos). 3- El geoide y métodos actuales: - Clairaut en 1743 sugiere una distribución de la masa de la tierra por capas elipsóidicas de densidades variables. Sus estudios teóricos ponen de manifiesto el teorema para la obtención del aplanamiento por métodos gravimétricos: γ polo − γ ecuador 3 a−b β= α+β = m α= γ ecuador 2 a w 2a m= γ ecuador v2 ρ Fc = m.w 2 .ρ Fc = m

m- masa v- velocidad ρ − radio de curvatura w- velocidad de rotación terrestre ρ= a

Para calcular la gravedad en un punto cualquiera: γ punto = γ ecuador (1 + β.sen 2 ϕ punto )

En esta ecuación aparecen dos incógnitas, β y γ ecuador , (la latitud es conocida por observación astronómica), por lo que sí medimos la gravedad en dos puntos tendremos un sistema de dos ecuaciones para darles solución. Pero con este método, para deducir α necesitamos conocer también a (semieje mayor), que sigue siendo determinado por métodos geométricos. - En el siglo XIX Gauss propone incorporar el método de mínimos cuadrados para aumentar las precisiones en los cálculos de triangulación. Se continúan las mediciones para determinar los parámetros del elipsoide, pero los errores obtenidos son superiores a los que cabría esperar, de lo cual se dedujo que no se trataba exactamente de un elipsoide. Es entonces cuando la desviación de la vertical deja de ser tratada como un error de observación. Gauss propone como figura de la tierra el geoide: superficie de nivel (o sup. equipotencial del campo gravitatorio) con la que coincide, en parle, la correspondiente al Página 8

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nivel medio de los mares en reposo. - Aparecen otras figuras que contribuyen al desarrollo de la gravimetria. Stockes a finales del sigloXIX llega a una fórmula integral que permite calcular la ondulación del geoide por métodos gravimétricos. - Vening Meinesz en 1927 como consecuencia de estudios teóricos basados en la fórmula de Stockes propone calcular la desviación de la vertical por métodos gravimétricos. Miden anomalías de la gravedad en base a las cuales se pueden conocer tanto la ondulación como la desviación de la vertical. - Molodensky en 1945 define un sistema normal de altitudes e introduce una superficie equipotencial de referencia el quasi-geoide. - Actualmente conocidas las posiciones de los satélites, y utilizando la reflexión sobre la superficie del océano de una emisión de ecorrádar podemos conocer la posición del nivel medio de los mares con respecto al elipsoide.

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2.- TEORÍA TERRESTRE 2.1.-

DEL

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POTENCIAL.

EL

CAMPO

GRAVITATORIO

Ley de Newton de la Gravitación Universal

La enuncia basándose en observaciones astronómicas a planetas en su giro alrededor del sol, aceptado ya el modelo heliocéntrico (no geocéntrico). La forma de atracción entre dos partículas o puntos materiales m y m’, situados a una distancia L, es proporcional al producto de las masas e inversamente al cuadrado de la distancia que las separa: m.m' F=G 2 L Es una fuerza atractiva, su dirección es la de la línea imaginaria que une las dos masas y su sentido depende de la posición de las partículas. G es la constante de la gravitación universal y representa la fuerza que se ejercen dos masas unitarias situadas a la unidad de distancia. Tiene dimensión de magnitud física: [G] = F.L2 .M −2 = M −1 .L3 .T −2 F = M.L.T −2 La primera medida de G la realizó Cavendish en 1798 y su valor es: N⋅m2 , en unidades del sistema internacional. Kg 2 Como 1⋅N=1⋅Kg⋅m⋅s−2 entonces, m3 G=6.6⋅10−11 Kg⋅s 2 G=6.6⋅10−11

También podremos calcularlo para el sistema cegesimal: dy⋅cm2 G=6.6⋅10−8 , expresado en ucgs. gr2 Como sabemos que una dina equivale a 1⋅dy=1⋅gr⋅cm⋅s−2 , por tanto: 3 −8 cm G=6.6⋅10 gr⋅s2 Para conocer numéricamente la fuerza es necesario conocer el valor de esta constante. Toda partícula que se desplaza alrededor de otra con una relación inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, lo que va a describir es una elipse o una hipérbola según la energía. 2.2.2.2.1.-

Campo de fuerza newtoniano. Intensidad de campo y potencial. Campo newtoniano debido a una masa puntual:

Supongamos una masa m situada en un cierto punto O'( ε, η, ζ ). Situamos una masa unidad en un punto P(x,y,z): Página 10

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→

Definimos la magnitud intensidad de campo f n en P como la fuerza atractiva que la masa m (atrayente) ejerce sobre dicha masa unidad a la distancia l. Según la ley de gravitación universal: → m f N = f N = G. 2 l → m → ∂V → ∂V → ∂V → → i+ j+ k = f ( x, y, z) es función vectorial del punto y donde f N = −G. 2 . u = gradV = ∂x ∂y ∂z l N Kg.m.s −2 = = m.s − 2 Kg Kg Esta magnitud tiene carácter vectorial. Para describirla nos valemos de un vector unitario en la → dirección O'P y cuyo sentido nos determina el signo adoptado para f N , en este caso negativo. tiene dimensiones de aceleración:

→

u=

→

l l

donde

→

→

→

→

→

l = O' P = ( x − ε) i + ( y − η) j + (z − ζ ) k

l = ( x − ε) 2 + ( y − η) 2 + (z − ζ ) 2 x−ε→ y−η→ z−ζ → x −ε i+ j+ k son los cosenos directores cos α = , l l l l y−η z−ζ cos β = y cos γ = . l l Las expresiones cartesianas del vector intensidad de campo serán: → m m (f N ) x = −G. 2 cos α = −G. 3 .( x − ε) = − f N cos α l l → m m (f N ) y = −G. 2 . cos β = −G. 3 .( y − η) = − f N cos β l l → m m (f N ) z = −G. 2 cos γ = −G. 3 .(z − ζ ) = − f N cos γ l l Demostraremos que este campo de fuerzas es conservativo o irrotacional, es decir, deriva de una m función potencial. Por tanto, existe una función potencial (función de punto) V = G. = V( x, y, z) l →

Las componentes u =

→

de naturaleza tal que f N = gradV . Para ello comprobaremos la identidad de cada una de las componentes del vector grad V con las del vector intensidad de campo. Página 11

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Supondremos, a la hora de derivar, que la masa puntual m permanece fija en sus coordenadas ε, η, ζ , siendo variable la posición del punto P(x,y,z): ∂l 2( x − ε) − G.m. ∂V ∂ 1 x−ε ∂x = −G.m. 2l (gradV) x = = G.m. .( ) = = −G.m. 3 = (f N ) x 2 2 ∂x ∂x l l l l ∂l 2( y − η) − G.m. ∂V ∂ 1 ∂y y−η (gradV) y = = G.m. .( ) = = −G.m. 22l = −G.m. 3 = (f N ) y 2 ∂y ∂y l l l l ∂l 2(z − ζ ) − G.m. ∂V ∂ 1 z−ζ ∂z = −G.m. 2l (gradV) z = = G.m. .( ) = = −G.m. 3 = (f N ) z 2 2 ∂z ∂z l l l l →

Se verifica así que f N = gradV y se dice entonces que es un campo de fuerzas conservativo o irrotacional. Si consideramos la masa atrayente situada en el origen de coordenadas: ε = η = ζ = 0 . 2.2.2.-

Campo newtoniano debido a un sistema de masas puntuales:

En este caso se aplica el principio de superposición que afecta a los vectores intensidad de campo y a los potenciales, de tal modo que: →

→

→

→

n →

f N = f N1 + f N 2 + ... + f Nn = ∑i =1 f N y estará dirigido hacia el centro de masas del sistema. →

Como f

N

deriva del potencial:

m1 f N1 = gradV1 siendo V1 = G. l 1 m2 → f N 2 = gradV2 siendo V2 = G. l 2 mn → f Nn = gradVn siendo Vn = G. l n En base a las propiedades de la función gradiente: →

→

f N = gradV1 + gradV2 + ... + gradVn = grad(V1 + V2 + ... + Vn ) = gradV n mi donde V = V1 + V2 + ... + Vn = G.∑i =1 li

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2.2.3.-

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Campo newtoniano debido a un cuerpo extenso:

Suponemos una masa distribuida de forma continua (no necesariamente homogénea, sino "sin huecos") en un cuerpo de volumen τ . Consideramos elementos de masa infinitesimal (dm) en torno a punto P’( ε, η, ζ )que distará l del punto P(x.y,z).

Generalizando la fórmula del potencial correspondiente a un elemento diferencial de masa: dm ρ .dτ dm V = G. = G ∫∫∫τ v para todo volumen: V = G ∫∫∫τ l l l ρ v = ρ v (ε, η, ζ ) - función de punto denominada densidad cúbica dτ = dε.dη.dζ - diferencial de volumen Es la fórmula general del potencial en un cuerpo extenso. →

→

Obtenemos ahora el vector intensidad de campo como gradiente de la función potencial: F N = f n . u (f N ) x =

∂V ∂ dm ∂ 1 x−ε x−ε = G. ∫∫∫τ = G ∫∫∫τ  dm = − G ∫∫∫τ dm = −G ∫∫∫τ ρ v dτ 3 ∂x ∂x l ∂x  l  l l3

(f N ) y =

y−η y−η ∂V ∂ dm ∂ 1 = G. ∫∫∫τ = G ∫∫∫τ  dm = − G ∫∫∫τ dm = −G ∫∫∫τ ρ v dτ ∂y ∂y l ∂y  l  l3 l3

(f N ) z =

∂V ∂ dm ∂ 1 z−ζ z−ζ = G. ∫∫∫τ = G ∫∫∫τ  dm = − G ∫∫∫τ dm = −G ∫∫∫τ ρ v dτ 3 ∂z ∂z l ∂z  l  l l3

Sumando las componentes obtendremos la función intensidad como: →

→

f

N

= −G ∫∫∫τ

→

→

( x − ε) i + ( y − η) j + ( z − ζ ) k l3

dm = −G ∫∫∫τ

dm → u1 l2

→

En este caso u 1 no es constante. Varía en dirección y sentido dependiendo de la posición del diferencial de masa y del punto P. Las fórmulas del potencial siguen inalteradas dado que a la hora de derivar consideramos que el diferencial de masa no varía de posición, ε = η = ζ = ctes . La variación de la posición del diferencial de masa y por tanto de sus coordenadas, son consideradas a la hora de integrar sobre el volumen para hallar la función intensidad.

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2.3.- Definición y propiedades de la superficie equipotencial: intensidad de campo y potencial: Definimos superficie equipotencial como el lugar geométrico de los puntos en que el potencial es constante. Para cada valor de V tendremos una superficie equipotencial. V = V( x , y, z) = V(R , θ, λ ) = cte Ej.: El vector grad V tiene la dirección de la normal a la superficie equipotencial en el punto considerado, y dirigida en el sentido del crecimiento de la función. En el caso de la tierra la función V crece con la profundidad. Vamos a demostrar que en una superficie equipotencial no varía el potencial y que entre dos superficies equipotenciales la máxima variación está en la perpendicular a ambas. Para demostrar la perpendicularidad nos desplazamos desde el punto P(x,y,z) hasta otro infinitamente próximo (x+dx, y+dy, z+dz): dV =

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z →

→

→

⇒ →

→

y gradV =

donde ∂l = ∂x. i + ∂y. j + ∂z. k

→ →

dV = gradV. ∂l = FN . ∂l ∂V → ∂V → ∂V → i+ j+ k = ∇h ∂x ∂y ∂z

1. Al pasar de P a Q situado en la misma superficie equipotencial, lo haremos a lo largo del vector →

∂l t tangencial y la variación del potencial será nula, por lo que: 0=gradV. ∂l .Al tratarse de un t

producto escalar entre dos vectores de módulos no nulos, el coseno del ángulo que forman ha de ser nulo; por tanto son perpendiculares. 2. Si nos desplazamos al punto Q' en la dirección del vector normal ∂l n : →

⇒

dV ≠ 0

dV = gradV. ∂l n = gradV .dn. cos 0 = gradV .dn

⇒

gradV =

∂V es la derivada ∂n

→

direccional de la función V en la dirección de la normal siendo ∂l n = dn . 3. La circulación del vector intensidad de campo a lo largo de un contorno cerrado es cero; es decir, → el trabajo necesario para desplazar una masa bajo la acción de la fuerza f N a lo largo de un contorno cerrado es nulo. En el caso de la "masa unidad, su expresión será:Trabajo = → →

→

∫ f N . ∂l = ∫ gradV. ∂l = ∫ dV = 0 4. Si el contorno no es cerrado, sino que la masa se desplaza desde el punto A al B, tendremos: → →

→

Trabajo = ∫AB f N . ∂l = ∫AB gradV. ∂l = ∫AB dV = VB − VA , por lo que deducimos que el trabajo no depende del camino recorrido, sino exclusivamente de la posición de los puntos extremos. 5. Estudiamos ahora el valor de la función potencial cuando actúa sobre una masa situada en un punto del infinito. Para ello, se estudia inicialmente su influencia sobre un punto situado a gran distancia, y se comprueba que V tiende al mismo valor que el que produciría una masa puntual situada en el centro de masas del cuerpo y en la que se encontrase concentrada toda la masa de dicho cuerpo. V = G.

M R

⇒

lim R − >∞ V = lim R − >∞ G.

M =0 R

6. Se considera ahora la siguiente situación:

Página 14

M = ∑ dm

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M M V G . r1 r2 Si multiplicamos ahora por un ri cualquiera situado en la alineación de la figura tendremos: M⋅r i M⋅r i G. V⋅r iG . r1 r2 , tomando límites: M⋅r i M⋅r i lim r i ∞ G .  lim r i ∞ V⋅r ilim r i ∞ G . r1 r2 G⋅M⋅1lim r i  ∞ V⋅r i G⋅M⋅1

Sabemos que el potencial respecto a la masa tomará valores entre: G .

⇒ lim R − >∞ V.R = G.M = cte Se dice que la función potencial está normalizado al infinito. V.R = G.M

2.4.-

Flujo vector intensidad de campo. Teorema de Gauss

Teorema de Gauss: el flujo del vector intensidad de campo a través de una superficie cerrada evaluado algebraicamente respecto a la normal exterior es negativo e igual al producto de la constante 4πG por la masa encerrada en su interior. 2.4.1.-

Caso de una masa puntual interior m

Considero una superficie cerrada de cualquier forma alrededor del punto O donde se encuentra m. Tomo un elemento de superficie infinitesimal dS en torno al punto P y lo represento mediante un → vector ∂S de módulo igual a dS, dirección perpendicular al elemento de superficie y sentido hacia el exterior de la superficie S. Veremos que sólo influyen las masas interiores y no las exteriores a la superficie: Página 15

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→ →

Flujo = Φ = ∫∫S f N . dS = −4πGm int erior → →

Flujo = Φ = ∫∫S f N . dS = ∫∫S f N .dS. cos α donde α = π − ϕ Flujo = ∫∫S − f N .dS. cos ϕ = ∫∫S − G.

m r2

⇒

cos α = − cos ϕ

.dS. cos ϕ

→ donde dS. cos ϕ = dS n , es decir, la proyección del vector dS sobre la dirección radial OP , siendo dS n un elemento de casquete esférico con radio r y centro en O:

Flujo = ∫∫S − G.m. dΩ =

dS n

=

r2

dS n 2

r dS. cos ϕ r2

= −G.m ∫∫S

dS n r2

es el ángulo sólido elemental o ángulo sólido subtendido desde O por cualquier

elemento de superficie dS o cualquier elemento de superficie esférica dS n . Se mide en estereorradianes y el ángulo sólido completo es de Ω = 4π estereorradianes.

Por tanto: Flujo = −G.m ∫∫S dΩ

siendo Ω = ∫∫S dΩ = ∫∫S

dS n r2

=

4πr 2 r2

= 4π

Flujo = −4πGm int erior

Un flujo elemental será: →

→

Flujo = f N . dS = f N dS. cos α = −f N dS. cos ϕ = −G 2.4.2.-

m r2

dS. cos ϕ = −G.m.dΩ

Caso de una masa exterior a la superficie:

I1⋅∂ S10 I2⋅∂ S20 Por tanto: d =d  1d  2=0 La contribución neta de una masa exterior a la superficie cerrada es cero, ya que los flujos

Página 16

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elementales dos a dos se anulan. 2.4.3.-

Caso varias masas interiores

Caso de tener varias masas interiores m int = ∑in=1 m i y el flujo será: →

→

Flujo = ∫∫S f N . dS = −4πG (m1 + m 2 + ... + m n )

Si el cuerpo tuviese parte de su masa dentro del cuerpo del que se calcula el flujo y parte fuera del mismo, tendríamos que considerar únicamente la parte que se encuentra en el interior. 2.5.-

Ecuaciones de Laplace y de Poisson. Funciones armónicas →

Definida f N como grad V , sabemos que el campo de gravitación newtoniano es conservativo o irrotacional. Veremos que el potencial V cumple una serie de propiedades a tener en cuenta. Ecuación de Poisson: el operador laplaciano del potencial V es igual a − 4πGρ siendo ρ la densidad cúbica en el punto considerado:

dm = ρ.dτ

⇒

ρ=

∆V = −4πGρ

dm dτ

En un punto fuera de la masa atrayente, donde ρ = 0 , se verifica la ecuación de Laplace: ∆V = 0 . Para demostrarlo nos valdremos de dos teoremas: → →

- Teorema de Gauss: ∫∫S f N . dS = −4πGM int dm = ρ.dτ

⇒

M int = ∫∫∫τ ρ.dτ

⇒

→ →

∫∫S f N . dS = −4πG ∫∫∫τ ρ.dτ → →

→

- Teorema de la divergencia o de Gauss Ortogradsky: ∫∫S f N . dS = ∫∫∫S div f N .dτ τ - volumen encerrado por la superficie S. Igualando ambas expresiones: →

− 4πG ∫∫∫τ ρ.dτ = ∫∫∫S div f N .dτ →

f N = gradV = ∇V

⇒

⇒

→

∫∫∫τ − 4πGρ.dτ = ∫∫∫ div f N .dτ S

→

→

div f N = div(gradV) = div(∇V) = ∇. f N = ∇.∇V = ∇ 2 V = ∆V

Al ser dos integrales extendidas al mismo volumen, podemos agruparlas en una integral única, →

sacando factor común dτ , y sustituyendo el valor de div f N : ∭τ −4πGρ−ΔV . dτ=0

Ecuación que se cumplirá cuando 4πGρ + ∆V = 0 ⇒ ∆V = −4πGρ , siendo la Ecuación de Poisson que se cumple siempre que exista masa y puede comprobarse si conocemos la función V. En caso de que no exista masa se cumplirá la ecuación de Laplace. Una función se denomina armónica en los puntos de una región si cumple la ecuación de Laplace. Toda función armónica es analítica, es decir, es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden en aquellos puntos en que está definida y cumple la ecuación de Laplace. Por tanto las soluciones V de la ecuación de Laplace son armónicas. 2.6.-

Campo y potencial de las fuerzas centrífugas

Página 17

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Consideramos un sistema de ejes cartesianos. En una determinada posición P hay una masa unidad arrastrada por el movimiento de rotación del sistema. Sobre esta partícula actúa una fuerza centrífuga en la dirección del radio de la circunferencia que describe dicha partícula al girar el sistema y de sentido hacia fuera. →

→

Fc = m.a c . u = m. →

→ v2 .u = m.ω 2 .rp . u r

→

rp

→

→

m' = 1 ; u = = x i + y j rp rp

⇒

→

→

2

Fc = 1.ω .rp .

rp rp

→

→

= ω2 (x i + y j )

En el sistema de ejes cartesianos tiene las siguientes componentes: (Fc ) x = ω 2 x , (Fc ) y = ω 2 y y →

→

(Fc ) z = 0 . Esta componente es nula porque la F es perpendicular al eje z. Tratamos F como un c c

campo vectorial función de punto. Dimensionalmente coincide con una aceleración. Podemos comprobar que es conservativo o que deriva de un potencial: →

→

i j → → ∂ ∂ rot Fc = ∇ × Fc = ∂x ∂y 2 ω x ω2 y

→

Fc = gradΦ c

→

k ∂ → =0 ∂z 0

Debemos encontrar la función que cumple las tres ecuaciones diferenciales: ω 2 x =

∂Φ ω 2 y = ∂Φ , y ∂y ∂x

∂Φ . De la última vemos que Φ no va a depender de la variable z. De la 2ª obtenemos que ∂z 1 1 Φ = ∫ ω 2 y.dy = ω 2 y 2 + f 2 ( x ) y de la 1ª que Φ = ∫ ω 2 x.dx = ω 2 x 2 + f 1 ( y) donde la constante de 2 2 0=

integración es una función que dependerá del resto de las variables. En este caso únicamente de y, dado que la tercera componente de Fc nos indica que no depende de z. Buscamos los valores de las funciones que figuran como constantes de integración. Suelen corresponderse con los términos que aparecen en el resto de las soluciones correspondientes a sus 1 2

1 2

variables, así f1 ( y) = ω 2 y 2 y f 2 ( x ) = ω 2 x 2 , de lo que deducimos que la expresión correcta para el potencial será: Φ=

1 2 2 1 2 2 1 2 2 ω x + ω y = ω (x + y 2 ) 2 2 2

Página 18

Apuntes de Geodesia Física →

→

→

Φ=

1 2 2 ω rp 2

rp2 = x 2 + y 2

⇒

rp = x i + y j

⇒

Curso 2005-2006

→

→

→

→

Fc = ω 2 ( x i + y j ) = ω 2 . rp = gradΦ

Calculamos el operador laplaciano que como no es nulo no cumple la ecuación de Laplace, luego no es armónica: ∆Φ c =

∂ 2Φ c ∂x

2

+

∂ 2Φ c ∂y

2

= ω 2 + ω 2 = 2ω 2 .

El potencial centrífugo en coordenadas esféricas es: rp = R.senθ

2.7.-

⇒

Φc =

1 2 2 1 2 2 ω rp = ω R sen 2 θ 2 2

Gravedad y potencial gravitatorio terrestres

Se llama gravedad terrestre o intensidad de campo gravitatorio terrestre a la fuerza resultante sobre la unidad de masa de la fuerza newtoniana debida al cuerpo de la tierra y de la fuerza centrífuga →

→

→

debida a la rotación terrestre: g = f N + Fc . Una masa unidad en reposo sobre la superficie de la tierra está sometida a estas dos fuerzas. No tenemos en cuenta los efectos de atracción lunisolares o de otros astros ni las fuerzas de Coriolis. Las variaciones que se producen debidas a estas otras causas son temporales, y habrá que realizar las correcciones necesarias a las observaciones experimentales para hallar la g correcta. Métodos para calcular la gravedad g: 1- Experimento de Cavendish: g =

4π 2 L T2

2- Medición de longitudes recorridas por un cuerpo en caída libre durante un intervalo de tiempo: S = v 0 .t +

1 2 g.t 2

Como hemos visto ambas fuerzas derivan de potenciales y haciendo uso de las propiedades del gradiente tendremos que: →

g = gradV + gradΦ c = grad( V + Φ c ) = grad( W ) W = V + Φ c - es el potencial gravitatorio terrestre.

∂W x−ε = −G ∫∫∫τ 3 dm + ω 2 x , ∂x l ∂W y−η ∂ W z − ζ gy = = −G ∫∫∫τ 3 dm + ω 2 y y g z = = −G ∫∫∫τ 3 dm . ∂y ∂z l l

Las componentes del vector intensidad son: g x =

Página 19

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Propiedades de los potenciales: - Como ∆V = −4πGρ y ∆Φ c = 2ω 2 ⇒ ∆W = −4πGρ + 2ω 2 - Si estamos fuera de las masas atrayentes: ρ = 0 , ∆V = 0  ∆W = 2ω 2 , no armónica. - Expresión cartesiana del potencial gravitatorio: W = G ∫∫∫τ

dm 1 2 2 + ω (x + y 2 ) l 2

dm 1 y Φ c = ω2 (x 2 + y 2 ) l 2 dm 1 2 2 + ω R sen 2 θ En esféricas: W = G ∫∫∫τ l 2

siendo V = G ∫∫∫τ

2.8.-

Superficies de nivel y líneas de la plomada:

Partimos de la expresión W = V + Φ c que igualada a una constante representa una superficie de nivel o superficie equipotencial del campo gravitatorio: W ( x, , y, z) = cte o W (R , θ, λ) = cte .De todas las superficies equipotenciales, distinguimos como geoide aquella en la que el valor del potencial coincide con el que toma dicho potencial en puntos correspondientes al nivel medio de los mares en reposo, es decir, coincide en parte con el nivel medio del mar: W = W0 . La línea de la plomada es una línea geométricamente curva, perpendicular a todas las superficies →

equipotenciales desde el punto considerado hasta el geoide: g = gradW . →

El vector g es tangente a la línea de la plomada en cada punto. →

dW = gradW. dl n =

∂W ∂W ∂W dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

→

→

→

como g = gradW ⇒ dW = g . dl n Podemos demostrar que gradW es perpendicular a la superficie de nivel W = cte dado que si nos desplazamos a lo largo del vector tangente a ella obtenemos que dW = gradW.dl i . cos α = 0 ⇒

La altitud ortométrica H es la distancia medida a lo largo de la línea de la plomada desde el geoide o superficie de referencia y el punto considerado: PP0 gradW =

2.9.-

dW dn dn

dn = dH

⇒

g=−

dW dH

Desarrollo del potencial gravitatorio terrestre. Polinomios de Legendre

Supongamos un punto fuera de las masas atrayentes, se cumple entonces la ecuación de Laplace. Página 20

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Cuando esto sucede, dicha función puede desarrollarse en términos de las funciones armonicoesféricas. Al desarrollar la función 1 l nos aparecerán los polinomios de Legendre, también denominados armónicos esféricos de superficie zonales. 1- Desarrollamos por el teorema del coseno: V = G ∫∫∫τ

dm ρ.dτ = G ∫∫∫τ l l

  r'  2  r' l 2 = R 2 + r ' 2 −2Rr '. cos γ = R 2 1 +   − 2 cos γ  R   R  

−

1

2   2 ⇒ 1 = 1 1 +  r '  − 2 r ' cos γ  l R   R  R  r' 2- Mediante desarrollo de Taylor y haciendo los cambios cos γ = t y = h obtenemos como R

[ R

]

1

− resultado que: 1 = 1 1 + h 2 − 2ht 2

l

3-Aplicamos a nuestro desarrollo mediante Taylor que: (1 + x )

−

1 2

=1−

1 3 15 3 y x + x2 − x ... 2 8 48

obtendremos lo siguiente: 1 1 1 2 3 15 2  = 1 − (h − 2ht ) + (h 2 − 2ht ) 2 − (h − 2ht ) 3 + ... l R 2 8 48 

como: (h 2 − 2ht ) 2 = h 4 − 4h 3 t + 4h 2 t 2 (h 2 − 2ht ) 3 = h 6 − 3h 4 2ht + 3h 2 4h 2 t 2 − 8h 3 t 3 1 1 1 2 3 15 6  = 1 − (h 2ht ) + (h 4 − 4h 3 t + 4h 2 t 2 ) − (h − 3h 4 2ht + 3h 2 4h 2 t 2 − 8h 3 t 3 + ...) l R 2 8 48 

4- Agrupamos en potencias de h:  1 1 0 15   1 3   3 = 1h + ht + h 2  − + t 2  + h 3  − t + t 3  + h 4 ... l R 6   2 2   2  1 3 3 15 Los polinomios de legendre son: − + t 2 ; − t + t 3 ... 2 2 2 6

5- Sustituimos los valores de h y t: n

1 1 ∞  r'  r' n = ∑ n =0   Pn (cos γ ) = ∑∞ n =0 n +1 Pn (cos γ ) l R R R

La expresión general de los polinomios de legendre es: Pn ( t ) =

1 n

dn

2 .n! dt

n

( t 2 − 1) n

Para los distintos grados de n los valores de los polinomios son los siguientes: n=0 n =1 n=2 n =3

P0 (cos γ ) = 1 P1 (cos γ ) = t = cos γ 1 3 1 3 P2 (cos γ ) = − + t 2 = − + cos 2 γ 2 2 2 2 3 5 3 3 5 P3 (cos γ ) = − t + t = − cos γ + cos 3 γ 2 2 2 2

Lo introducimos en la expresión del potencial: V = G ∫τ

n 1  dm  r'  = G ∫τ  ∑∞ P (cos γ )  dm   n n =0 l R  R 

Calculamos los dos primeros términos del potencial: Página 21

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1 M ∫τ dm = G R R 1 n = 1 V1 = G 2 ∫τ r '. cos γ.dm R V = V0 + V1 + ... n=0

V0 = G

→ →

→ →

Pero R . r ' = R.r '.cos γ

V=G

1 R

2 ∫τ

r'

⇒

cos γ =

R = cte R’ = variable

R . r ' Xx '+ Yy'+ Zz' = R.r ' R . r'

[

Xx '+ Yy'+ Zz' 1 1 dm = G 3 ∫τ ( Xx '+ Yy'+ Zz') dm = G 3 X ∫τ x ' dm + Y ∫τ y' dm + Z∫τ z' dm R.r ' R R

]

Recurriendo a la dinámica del sólido, sabemos que las coordenadas del centro de masas de un ∫ x '.dm ' ∫τ y'.dm ∫ z'.dm cuerpo vienen dadas por las expresiones: x 'c = τ , yc = y z 'c = τ . M

M

M

Si hacemos coincidir el origen del sistema de referencia con el centro de masas del cuerpo que crea el potencial, en este caso la tierra: x 'c = y 'c = z 'c = 0 ⇒ ∫τ x '.dm = ∫τ y'.dm = ∫τ z'.dm = 0 . Por lo que V1 = 0 y V2 = G

1 R

3 ∫τ

1 3 r ' 2  cos 2 γ − dm . 2 2

Como no sabemos la distribución de densidades, lo escribiremos en función de los momentos y de los productos de inercia del cuerpo de la tierra respecto al sistema de referencia con origen en el centro de la misma. 1 2 Xx '+ Yy'+ Zz' R 2 .r ' 2 3 2 2 ( ) r '. cos γ − r ' dm r '. cos γ = r ' = , como y  ∫τ  2  R R3 2 R2 2 1  3  Xx '+ Yy'+ Zz'  1  R 2 r ' 2  V2 = G 3 ∫τ   dm  −  R 2  R 2   R  2  1 V2 = G 3( Xx '+ Yy'+ Zz') 2 − R 2 r ' 2 dm , pero R 2 = X 2 + Y 2 + Z 2 y r ' 2 = x ' 2 + y' 2 + z' 2 3 ∫τ 2R 1 V2 = G 3( Xx '+ Yy'+ Zz') 2 − X 2 + Y 2 + Z 2 x ' 2 + y' 2 + z' 2 dm 3 ∫τ 2R 1 2 2 2 2 2 2 V2 = G ∫τ [3 X x ' + Y y' + Z z' +2XYx ' y'+2XZx' z'+2YZy' z' − 2R 3 − X 2 x ' 2 + X 2 y ' 2 + X 2 z ' 2 + Y 2 x ' 2 + Y 2 y ' 2 + Y 2 z ' 2 + Z 2 y' 2 + Z 2 x ' 2 + Z 2 y ' 2 + Z 2 z ' 2 ] V2 = G

1

[ [

]

(

)(

(

(

)]

)

Agrupando términos tendremos los siguientes términos integrales: X2 Y2 Z2

G

5 ∫τ

( 2x ' 2 − y' 2 − z' 2 )dm

XY

5 ∫τ

( 2 y' 2 − x ' 2 − z' 2 )dm

XZ

5 ∫τ

( 2z' 2 − y' 2 − x ' 2 )dm

YZ

2R G 2R G 2R

G 2R 5 G 2R 5 G 2R 5

)

∫τ 6x ' y' dm = 0 ∫τ 6 x ' z' dm = 0 ∫τ 6 y' z' dm = 0

Aparecen en estos tres últimos términos los productos de inercia respecto a dos planos del sistema de referencia aplicados al cuerpo de la tierra. Si los ejes están referidos son los ejes principales de inercia del cuerpo. Dichos productos de inercia son nulos y por tanto las integrales en las que intervienen son nulos. Página 22

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Px 'y ' = ∫τ x ' y' dm

respecto a los planos (x=0, y=0) Px 'z ' = ∫τ x ' z' dm respecto a los planos (x=0, z=0) Py 'z ' = ∫τ y' z' dm respecto a los planos (y=0, z=0) Si los ejes a los que están referidos son los ejes principales de inercia del cuerpo, dichos productos de inercia son nulos y por tanto las integrales en que intervienen son nulas. Por eso en Geodesia utilizamos un elipsoide de revolución para que tengamos ejes principales de inercia. GX 2 2R 5 GY 2 5

2R GZ 2 2R

2 2 2 ∫τ (2x ' − y' −z' )dm = 2 2 2 ∫τ (2 y' − x ' −z' )dm =

5 ∫τ

(2z' 2 − y' 2 − x ' 2 )dm =

GX 2 2R 5 GY 2 5

2R GZ 2 2R

[

]

[

]

2 2 2 2 2 2 ∫τ ( x ' + y' ) + ( x ' + z' ) − 2( y' + z' ) dm = 2 2 2 2 2 2 ∫τ ( x ' + y' ) + ( y' + z' ) − 2( x ' + z' ) dm =

5 ∫τ

[( x ' + z ' 2

2

]

) + ( y' 2 + z' 2 ) − 2( y' 2 + x ' 2 ) dm =

GX 2 2R 5 GY 2 2R 5 GZ 2 2R 5

(C + B − 2 A ) (C + A − 2B)

( A + B − 2C)

Sabemos que el momento de inercia de un sistema de partículas respecto a un eje es igual al sumatorio de los productos de sus masas por los cuadrados de las distancias que las separan de dicho eje I = ∑in=1 m i ri2 , así para un cuerpo extenso tendremos I = ∫c r 2 dm . Por lo tanto, llamando: A = ∫τ ( y' 2 + z' 2 )dm ⇒ Momento de inercia respecto del eje x. B = ∫τ ( x ' 2 + z' 2 )dm

⇒

C = ∫τ ( y' 2 + x ' 2 )dm

⇒

Momento de inercia respecto del eje z.

2

2

2

Ya que ( y' + z' ) , ( x ' + z' ) y ( y' 2 + x ' 2 ) son las respectivas distancias de dm a los ejes x, y y z. De manera que el término V2 nos quedará: V2 =

2

Momento de inercia respecto del eje y.

G 2R

5

[X

2

(C + B − 2A ) + Y 2 ( A + C − 2B) + Z 2 ( A + B − 2C)

Recopilando estos tres términos: V = V0 + V1 + V2 = G

]

[

M G +0+ X 2 (C + B − 2A) + Y 2 (A + C − 2B) + Z 2 (A + B − 2C) 5 R 2R

]

Para calcular el potencial gravitatorio terrestre con esta aproximación, sólo habría que añadir a esta expresión la del potencial centrifugo: W = V + Φc = G

[

]

M G 1 +0+ X 2 (C + B − 2A ) + Y 2 ( A + C − 2B) + Z 2 ( A + B − 2C) + ω 2 (X 2 + Y 2 ) 5 R 2 2R

En caso de que los ejes del sistema de referencia no sean los principales del cuerpo, habría que añadir los términos, en este caso no nulos, correspondientes a los productos de inercia. Hemos impuesto tres condiciones: 4- Origen en el centro de masas de la tierra. 5- Ejes del sistema son los principales de inercia del cuerpo. 6- Simétrica en torno al Z(A-B) de inercia también. Ahora imponemos una cuarta condición: La tierra tiene simetría rotacional en torno al eje Z, es decir, en los momentos de inercia respecto a los ejes x e y son iguales A = B ≠ C . Por otra parte haremos coincidir el eje Z con el eje medio de rotación terrestre. De modo que A será el momento de inercia respecto a un eje ecuatorial y C respecto al eje de rotación polar. Sustituyendo por tanto B por A tenemos: V=G

[

M G + X 2 (C − A) + Y 2 (C − A) + Z 2 (2A − 2C) R 2R 5

]

Página 23

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V=G

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[

M G + (C − A ) X 2 + Y 2 + 2 Z 2 5 R 2R

⇒

R 2 = X 2 + Y 2 + Z2

] ⇒

X 2 + Y 2 = −Z 2 + R 2

V=G

[

M G + (C − A ) R 2 − 3Z 2 5 R 2R

]

Sabemos que existe un estrechamiento polar y un ensanchamiento ecuatorial. Los momentos de inercia serán distintos debido a la irregular distribución de las masas en el interior de la tierra. Lógicamente las masas estarán más alejadas del eje z que de los ejes x e y. La expresión de V en coordenadas esféricas es: V=G

[

M G + (C − A ) R 2 − 3R 2 cos 2 θ R 2R 5

]

Z = R. cos θ

Sacando factor común R 2 y realizando un cambio de signo e introduciendo 1/2 en el paréntesis: M 2⋅G 3 1 V =G − 3  C− A  cos2 θ− R 2R 2 2

[

3 2

como P2 (cos θ) = cos 2 θ −

]

1 2

⇒

V=G

M C−A  1− P2 (cos θ)   2 R  M.R 

1 2

La expresión de Φ c = ω 2 (X 2 + Y 2 ) en esféricas: X = R.senθ. cos λ

A la expresión

⇒

Y = R.senθ.senλ

C−A M.a 2

Φc =

1 2 2 ω R sen 2 θ 2

.la llamamos J 2 o factor de forma dinámica. Es un coeficiente ya que C-A

tiene dimensiones de momento de inercia, y M.a 2 sería el momento de inercia de una masa M sita a la distancia a del eje de rotación. a = cte y es el semieje de la ecuatorial asignado a modelos esféricos, o el radio de la menor esfera que envuelva toda la masa de la tierra; tangente, por tanto, a ésta en el ecuador. Si la tierra fuese esférica A = C ⇒ J 2 = 0 . J2 =

C−A M.a 2

⇒

C−A = J 2a 2 M

⇒

V=G

 M a2 1 − J 2 2 P2 (cos θ) R  R 

El coeficiente J 2 se llama también coeficiente del segundo armónico zonal en el desarrollo del potencial o también coeficiente de elipticidad geopotencial. Este potencial esta limitado al coeficiente n = 2. Para hallar la expresión general del potencial newtoniano V, buscamos a partir de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. En general: V=G

n  M a J P (cos θ ) 1 − ∑∞    n n n =2 R  R 

Vamos a imponer otra condición: Suponemos la tierra simétrica respecto al plano ecuatorial. Vemos en tal caso que los términos impares del desarrollo son nulos, quedando exclusivamente los términos pares. Consideraremos a partir del término n = 2, porque como hemos visto V0 =

W≈G

M a 1 − ∑∞n =1   R  R

2n

G.M y V1 = 0 . R

 1 M J 2n P2 n (cos θ) + ω 2 R 2 sen 2 θ = G R  2

Definimos otra constante

m=

 2⋅a 3 G⋅M

donde

  a2 1 ω2 R 3 sen 2 θ 1 − J 2 2 P2 (cos θ) + 2 G.M R  

v 2 (ω.a ) 2 = = ω 2 a es la aceleración centrífuga en un a a

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punto del ecuador (radio a) y G

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M a2

la aceleración newtoniana en dicho punto. Por tanto m es la

razón entre la fuerza centrífuga y la atracción newtoniana sobre la unidad de masa en un punto del ecuador, y se denomina constante geodinámica si se aplica a la tierra. M

a2

1

R3



2 Si multiplicamos y dividimos por a 3 tenemos: W ≈ G 1 − J 2 2 P2 (cos θ) + m 3 sen θ R  2 a R  Expresión desarrollada de W limitada a términos hasta n = 2.

2.10.- Problemas de contorno de la teoría del potencial. Solución de la ecuación de Laplace en armónicos esféricos 2.10.1.-

Teorema de Stockes:

Una función armónica en el exterior de una superficie S queda determinada de forma única por sus valores de S, es decir, hay una sola función armónica V que toma sobre una superficie unos valores de contorno dados. Este teorema es importante a la hora del cálculo del potencial gravitatorio terrestre. 2.10.2.-

Primer problema de contorno de la teoría del potencial o problema de Dirichlet:

Consiste en determinar la función armónica V a partir de los valores de contorno dados. Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas: ∆V = 0. Para ello se requiere un cambio de coordenadas de cartesianas a esféricas sabiendo que: X = R.senθ.senλ

Y = R.senθ. cos λ

Z = R. cos θ

X 2 + Y 2 = R 2 .sen 2 θ

La expresión del laplaciano de V será: ∆V =

∂  2 ∂V  1 ∂  ∂V  1 ∂2V R + sen θ + =0     ∂R  R 2 senθ ∂θ  ∂θ  R 2 sen 2 θ ∂λ2 R 2 ∂R  1

Al igualar a cero tenemos la ecuación diferencial de Laplace que intentaremos resolver para hallar la función potencial V, que dependerá de las tres variables V = V(R , θ, λ) . Dadas las características de esta solución de V, podemos considerarla compuesta de una función radial f(R) y de otra función Yn (θ, λ) ⇒ V(R , θ, λ) = f (R )Yn (θ, λ) , y a su vez esta última función Yn (θ, λ) podemos ponerla como producto de otras dos funciones de tal manera que V (R , θ, λ) = f (R )g (θ)h (λ ) . Hemos disgregado la ecuación diferencial inicial en tres ecuaciones diferenciales, cada una de ellas en función de una sola variable: h (λ) = sen (mλ ) o h (λ) = cos(mλ )

Yn (θ, λ )

g(θ) = Pnm (cos θ)

P mn (cos θ)sen (mλ) P mn (cos θ) cos(mλ)

Estos son los armónicos esféricos de superficie o funciones armónico-esféricas de superficie. Son apropiadas para representar al potencial V en superficie dado que no dependen del radio R. Multiplicadas por la función f(R) tenemos las funciones armónicas esféricas sólidas. Las funciones f, g y h son funciones armónico-esféricas por tanto. La función radial es del tipo: f (R ) =

1 R n +1

siendo n ≥ 0 .

Según los valores de n y m tenemos: n ≠ m tenemos los armónicos esféricos de superficie teserales (θ, λ ) . n = m tenemos los armónicos esféricos de superficie sectoriales (θ, λ) . m = 0 : sen (mλ ) = sen 0 = 0 m Pn (cos θ) = Pn (cos θ)

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cos(mλ ) = cos 0 = 1

que son las funciones de Legendre o armónicos de superficie zonales. Vemos que éstas solo dependen de θ , o sea, son los ceros del estudio de las funciones anteriores, o los puntos de cambio de signo de dichas funciones. Sabemos que la combinación lineal de funciones armónicas es también una función armónica, por tanto, la solución V es una combinación lineal de estas: V = AV1 + BV2 + ... + NVn donde las V son las funciones y el resto son los coeficientes. Entonces: V = V( R , θ, λ ) = ∑∞ n =0 K n

1 R n +1

Yn (θ, λ )

Aquí los Kn son los coeficientes y las Vn =

1 R n +1

Yn (θ, λ) son las funciones armónicas. También

a  R

podemos escribirlo como: V = V(R , θ, λ) = ∑∞n =0  Si R>a

a   R

⇒

n +1

⇒

0  ρ < ρ 0 D+h h h  D  ∆ρ = ρ − ρ 0 =  − 1.ρ 0 = ρ 0 ⇒ ∆ρ = ρ0 D+h D+h D+h  ρ 0 .D = ρ.(D + h )

•

⇒

ρ=

Para una columna que subyace bajo el agua: D h' D.ρ 0 = (D − h ' )ρ + h ' ρ W ρ0 − ρ =ρ ⇒ D−h ' D−h ' w Página 58

.

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h' h' h'  D  ∆ρ = ρ − ρ 0 =  − 1.ρ 0 − ρW = (ρ 0 − ρ W ) (ρ 0 − ρ W ) ⇒ ∆ρ = D − h' D − h' D − h'  D − h'  gr h' ⇒ ∆ρ = 1.643 La densidad media del agua del mar ρ W = 1.027 3 siendo h' la D − h' cm

profundidad a que se encuentra la sección superior de la columna. Vemos, por tanto, que estamos considerando que la corteza no es de densidad constante, no es homogénea. Nuestra compensación isostática será debida a esta diferencia de densidades. Por debajo de las zonas de montaña la densidad de la columna es menor que 2,67, por ello las anomalías de Bouguer son negativas y hablamos de que existe una deficiencia de masa. Por el contrario debajo delos océanos la densidad es mayor, de ahí que las anomalías de Bouguer sean positivas y hablamos de exceso de masa. Es decir, los excesos de masa quedan compensados por defectos de masa internos, y bajo los océanos existe un exceso. Si la tierra estuviese compensada isostáticamente al 100%, la masa que sobresale sería totalmente la que falta en el interior. No es así, aunque sí lo está en un porcentaje muy elevado. Esta corteza no se corresponde con la del modelo corteza-manto-núcleo, sino que se aproxima a lo que denominamos litosfera (la profundidad de las placas litosféricas varia de 80 a 120 kms), que comprende la corteza y parte superior del manto, y descansa sobre la astenosfera (zona en que existe el equilibrio). Vemos que las fórmulas de este sistema están deducidas en términos de igualdad de masa. Podría haberse formulado en términos de igualdad de presión. 5.6.-

El sistema isostático Airy-Heiskanen

Actualmente es el más utilizado, y el que debemos utilizar si queremos realizar compensaciones isostáticas.

Hipótesis de Airy (1855): suponía que la capa más externa de la tierra (corteza) está flotando sobre una capa inferior de densidad mayor, sobre una especie de magma denso. Al igual que en el caso anterior, estamos considerando un modelo plano, y para el cálculo de los valores de la raíz y antirraíz, realizamos también una compensación local o por columnas verticales de igual sección. Igualmente se formulará en términos de igualdad de masas. Página 59

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Suponemos que la densidad de la corteza se mantiene constante y que la superficie de compensación se encuentra situada aproximadamente a T = 30 km de profundidad bajo el geoide. gr La densidad correspondiente a dicha superficie será: ρ1 = 3.27

cm 3

A una columna que sobresale h por encima del geoide le corresponderá una raíz de profundidad t por debajo del nivel de compensación. Para calcular el valor de t comparamos el empuje ejercido por el exceso de masa de altura h, con el de compensación en sentido contrario, correspondiente al defecto de masa (le llamamos defecto porque el espacio ocupado por la raíz de densidad ρ 0 < ρ1 debería estar ocupado por el magma de densidad ρ1 , por tanto falta una cantidad de masa igual a t (ρ1 − ρ 0 ) ) de profundidad t bajo el magma denso. Es semejante al equilibrio mantenido por un iceberg, pero sin tener en cuenta la zona T comprendida entre el geoide y el nivel de compensación. El empuje ejercido por la corteza sobre el manto será el ejercido por la parte que sobresale h más el ejercido por la raíz t. No tenemos en cuenta la parte de la columna correspondiente a T dado que si h no existe, la columna no tendría una raíz t, y en tal paso sólo existe la parte T, que está en equilibrio. Empuje de h y t: (h.ρ 0 + t.ρ 0 )g (h.ρ 0 + t.ρ 0 )g = t.ρ1 .g Empuje compensador: t.ρ1 .g h.ρ 0 = t.(ρ1 − ρ 0 )

⇒

t=

ρ0 2.67 h= h = 4.45h ρ1 − ρ 0 3.27 − 2.67

Decimos que está formulado en igualdad de masas, ya que está fórmula equivale a igualar el exceso de masa h.ρ 0 con el defecto de masa t.(ρ1 − ρ 0 ) . Vemos que t > h . Por lo tanto, cuanto mayor sea h, mayor será la profundidad t de la raíz. El espesor de la corteza en este caso será: T + h + t Debajo de una columna oceánica existirá una antirraíz. Donde debiera haber material de densidad ρ 0 existe material de ρ 0 < ρ1 , por eso hablamos de la existencia de un exceso de masa. La deficiencia de masa, debida a la diferencia entre las densidades de la corteza y del agua ρ 0 − ρ W (donde debería haber corteza hay agua), queda compensada en el interior por un exceso de masa, debido ahora a la diferencia entre las densidades del magma denso y de la corteza ρ1 − ρ 0 (donde debería haber corteza hay magma). h ' (ρ 0 − ρ W ) = t ' (ρ1 − ρ 0 )

⇒

t' =

ρ0 − ρ W 2.67 − 1.027 h' = h ' = 2.74h ' ρ1 − ρ 0 0.6

Vemos que t ' > h ' . Por lo tanto, el espesor de la corteza por debajo del agua será: T – h’ – t’ Vemos que en este sistema varia la profundidad de la corteza, manteniéndose constante su densidad. 5.7.-

Compensación regional de Vening-Meinesz o Regional

Es una modificación del modelo de Airy - Heiskanen, ya que hace una compensación regional en vez de local. Pero en la práctica, este modelo apenas ha sido utilizado para el cálculo de compensaciones isostáticas. Suponemos que la corteza descansa sobre una superficie inferior cuyo comportamiento es de tipo elástico. La superficie de discontinuidad que separa la corteza y el manto (Discontinuidad de Mohorovicic) se comporta como una membrana elástica, con lo cual la deformación producida para compensar un exceso de masa h no queda localizada en forma prismática justo debajo de dicho

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exceso, como se supone en el modelo de Airy-Heiskanen, sino repartida sobre dicha superficie. 5.8.-

Reducciones isostáticas. Anomalías isostáticas

El objeto de la reducción isostática de los valores observados de la gravedad es la regularización de la corteza1 basándonos en un determinado modelo de isostasia. Puede decirse que estamos transportando los excesos de masa h al interior. En el modelo de Pratt-Hayford las densidades de las columnas variaban de manera que la masa de todas y cada una de ellas por encima de la superficie de compensación era idéntica. La columna de altura D tenía la misma masa que la D + h. Si comprimiésemos la columna de altura D + h (sin variar su sección) hasta reducirla a la medida D, o lo que es lo mismo, si la masa correspondiente a la zona h (lo que llamamos exceso de masa) de dicha columna la introdujésemos en la zona D, su densidad aumentarla de ρ a ρ 0 , por ello decimos que estamos transportando los excesos de masa al interior, y de esta manera, se regulariza la corteza, se regulariza su densidad al valor de ρ 0 . En definitiva, ha sido lo mismo que rellenar la corteza con la masa que sobresale. En el modelo de Airy-Heiskanen, lo que varía no son las densidades de los bloque, sino sus dimensiones, por lo que la profundidad o espesor de la corteza es diferente bajo cada bloque. Para regularizar la corteza hemos de trasladar los excesos de masa de cada columna hasta su raíz de manera que la densidad de ésta aumentará de ρ 0 hasta el valor de ρ1 , ya que la masa del exceso de h es precisamente la que le falta a la raíz t para tener la misma densidad que el manto. De este modo, quedará regularizado el espesor o profundidad de la corteza a un valor T = cte. La masa de la antirraíz t’ la llevaremos a la zona oceánica h’ donde hay defecto de masa. Llamamos δ1 a la corrección isostática o efecto de compensación isostática total. La gravedad reducida con correcciones isostática será: g1 = g obs + δ F − δ BS + δ t + δ1 La anomalía en este caso será: ∆g1 = g red − γ = g 1 − γ Vimos que la corrección Bouguer − δ BS + δ t = − δ T crecía negativamente con la altura. Este efecto queda amortiguado (no extinguido) al incluir las correcciones isostáticas, debido a que si el modelo utilizado para el cálculo de las reducciones isostáticas fuese perfecto y el método utilizado el correcto, las correcciones isostáticas compensan la Bouguer δ I = − δ T y en este caso: ∆g1 = g1 − γ = g obs + δ F − δ BS + δ t + δ1 = g obs + δ F = ∆g F

Es decir, el valor delas anomalías tras aplicar todas las reducciones se asemeja al de las anomalías aire-libre. Efectivamente, al introducir correcciones isostáticas vemos que se suavizan los valores de las anomalías de gravedad. Se comprueba que los valores de la anomalía ∆g1 (anomalía con correciones isostáticas incluidas) son muy pequeños, y están distribuidos de una manera aleatoria. Cómo realizar las reducciones isostáticas en la práctica: A la hora de calcular la reducción isostática, también llamado efecto de compensación isostática, hemos de elegir un modelo de subdivisión de la Tierra en torno a la estación del tipo zonas circulares y compartimentos (p. ej. el modelo de Hayford) que se extienda a toda la superficie terrestre. Hay que considerar tanto las zonas literales como las zonas numéricas. Este efecto de compensación será igual al sumatorio de los efectos cada uno de los compartimentos de las diferentes zonas: δ1 = ∑ (k 1 ) q Tanto para el cálculo de reducciones isostáticas en el sistema Pratt como en el Airy se utiliza el modelo de división de Hayford. Nunca se realizan correcciones isostáticas sin realizar las topográficas de las zonas numéricas. Por 1 Aquí el término corteza se refiere a la zona comprendida entre el geoide y la superficie de compensación.

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ello muchas veces se habla de reducción topo-isostática como suma de ambas. 5.8.1.-

Sistema de Airy-Heiskanen:

Las fórmulas para calcular el efecto de la compensación isostática son: • Zonas continentales Fz=2⋅⋅G⋅   r 21h 2−  r 21h 21− r 22h 2  r 22h 21

h1=THs , h=THst , •

 =1− 0=3.27−2.67 g/cm3=600 Kg/m3

Zonas oceánicas Fz=−2⋅⋅G⋅   r 21h 2− r 21h21−  r 22h 2 r 22h21 

h1=T−t'H s ,

h=THs

Con  =1−0 =3.27−2.67 g/cm 3=600 Kg/m 3 en los dos casos

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6.-

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MEDIDAS DE GRAVEDAD

6.1.-

Las medidas de gravedad. Métodos para su determinación

Estas medidas son necesarias para conocer como está distribuida la gravedad sobre la superficie terrestre. Necesario para conocer el campo gravitatorio terrestre. Llamamos unidad gravimétrica u.g. a la décima del miligal. Es una unidad de uso fecuente en prospección gravimétrica. 6.2.•

•

6.3.-

Clasificación según los tipos de medida: Absolutas: como resultado de una medida absoluta se obtiene el valor de la gravedad en el punto de observación. Por tanto el instrumento a utilizar ha de darnos el valor de la gravedad en un punto, con independencia del valor de la gravedad en cualquier otro punto. Este tipo de mediciones son las más laboriosas y delicadas. Se realizan sólo en determinados "puntos base". Relativas: como resultado de una medición relativa, se deduce la diferencia de gravedad entre dos puntos. No obtenemos la gravedad en el punto de observación. Si con el mismo instrumento obtenemos lecturas en varios puntos, deduciremos diferencias de gravedad entre ellos. Se utilizan para enlazar puntos base en los que se conoce la gravedad absoluta. De este modo, podremos conocer la gravedad en todos los puntos. Clasificación según los métodos de medición: •

•

6.4.-

Dinámicos: se observa el movimiento de un cuerpo bajo la acción de gravedad midiéndose el tiempo empleado por éste para pasar de una posición a otra. Entre los diferentes instrumentos dinámicos varían el cuerpo y el movimiento a observar. Se emplean en determinaciones absolutas de gravedad. Inicialmente fueron empleados en determinaciones relativas. Estáticos: se observa el cambio en la posición de equilibrio de un cuerpo sometido a la acción de la gravedad y a otra fuerza antagonista que equilibra a ésta, generalmente ejercida por un elemento elástico. El cambio en la posición de equilibrio se traduce en un desplazamiento (cantidad medible) lineal o angular del cuerpo. Se utiliza para medidas relativas.

Métodos absolutos y relativos:

7. Métodos absolutos (son todos métodos dinámicos): • Péndulos: fue el primer instrumento que se utilizó para medir la gravedad. El que fue fundamentalmente utilizado es el péndulo reversible. • Péndulo matemático o simple • Péndulo físico o compuesto • Péndulo reversible Página 63

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Basados en el movimiento libre de graves: cuerpo pequeño o partícula material que se mueven bajo la acción de la gravedad. • Caída libre • Movimiento libre simétrico (elevación y caída) Como resultado de una medida absoluta de la gravedad obtenemos un valor de la gravedad en el punto. Actualmente los métodos pendulares están en desuso, se emplean los basados en el movimiento libre de graves. 8. Métodos relativos: • Péndulos de relativas: son métodos dinámicos. En desuso. • Gravímetros: métodos estáticos. Todos los utilizados en la actualidad. •

6.5.-

Péndulo matemático o simple:

Consiste en un punto material de masa m suspendido mediante un hilo inextensible de longitud l fijo por el extremo opuesto oscilando alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto fijo O. La masa del hilo es despreciable frente a la masa del punto material. Si se desplaza un ángulo α de su posición de equilibrio y se deja libre, se inicia un movimiento oscilatorio en torno a la posición de equilibrio. Para saber cuál es la ecuación que rige el movimiento del péndulo, hemos de conocer la fuerza peso, que se descompone en dos componentes, siendo la tangencial la que nos interesa. Esta componente es tangente a la trayectoria del péndulo, el cual, describe una circunferencia de radio l. Ft = m.g.senα es la fuerza que provoca el movimiento. Ft = m.a t siendo a t =

d 2α dt 2

l la aceleración tangencial = aceleración angular x radio.

La ecuación del movimiento es: m.g.senα = −m

d 2α dt

2

l

⇒

d 2α dt

2

g = − senα l

Ecuación diferencial que integrada adecuadamente nos lleva a deducir el periodo de oscilación que es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos posiciones consecutivas idénticas (incluso en la dirección de su movimiento) o tiempo empleado en una oscilación completa: 2 2  l  1 α  1.3  4 α + ... 1 +   sen 2 +   sen g   2  2  2.4  2  α , siendo el valor máximo que aparezca en la oscilación, se corresponde con la amplitud.

T = 2π

Este es el periodo de oscilación para oscilaciones de cualquier amplitud. Para oscilaciones de pequeña amplitud se puede confundir el seno de un ángulo con el valor del ángulo en radianes: sen

α α ≈ . 2 2

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La fórmula práctica para oscilaciones de pequeña amplitud es: T = 2π

l 1  1 + α2  .  g  16 

No obstante el período depende de la amplitud por lo que todos los métodos pendulares implicaban unas correcciones por amplitud, dado que, por muy pequeña que quisiera hacerse esa amplitud, siempre tenia un valor apreciable. Aplicando estas correcciones se deducía un valor T0: lim α →0 T = T0 = 2π

l g

que se acepta como fórmula correcta para oscilaciones de muy pequeña amplitud. En este caso, si conseguimos medir el tiempo T0 con precisión (para lo cual medimos el que tarda en oscilar n veces y promediamos) y conocemos la longitud del péndulo con precisión, se puede obtener valor de la 4π 2 l gravedad: g = T02 El péndulo matemático es un ideal. En la realidad se producen deformaciones que afectan al hilo, e incluso al soporte, por ello en la práctica se han utilizado más los péndulos físicos.

6.6.-

Péndulo físico o compuesto:

Es un sólido rígido oscilando en torno a un eje horizontal, siendo esta oscilación debida solamente a la acción de la gravedad. El cuerpo que se toma como sólido es un cuerpo con un cierto eje de simetría, como lo puede ser una barra prismática. La fuerza peso se manifestará actuando sobre el centro de gravedad. El punto de suspensión O es la intersección del eje de oscilación con el plano perpendicular a él y que contiene a la fuerza peso. La ecuación de su movimiento de oscilación vendrá dada por la igualdad entre el momento (fuerza x distancia) respecto al eje de giro, de la fuerza peso, y el de las fuerzas exteriores: m.g.h.senα = −I

d 2α

⇒

2

dt 2 siendo M e = −I d α

dt 2

d 2α dt

2

=−

m.g.h senα I

el momento de las fuerzas exteriores respecto al eje de giro; igual al

momento de inercia respecto al eje de giro I por la aceleración angular

d 2α dt 2

.

Comparando esta ecuación de movimiento con la del péndulo simple, vemos que existe gran semejanza, ya que obtendremos: Sin más que igualar l e =

d 2α dt

2

=−

g senα Ie

I , que dimensionalmente es una longitud dado que m.h = kg × m y m.h

I = kg × m 2 . Le es la denominada longitud equivalente del péndulo físico. Representa la longitud que

debiera tener un péndulo matemático para que, colocado en el mismo lugar que el físico, oscilase Página 65

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con el mismo periodo que este. Para obtener la gravedad y el período podemos emplear las mismas expresiones: g=

4π 2 l e T02

T0 = 2π

l l = 2π e m.g.h g

Vemos que, la utilización de este tipo de péndulos requiere igualmente de la medición de tiempos y de longitudes. Es necesario conocer bien la Le. 6.7.-

Péndulo reversible

Si ahora transformamos la expresión l e =

I aplicando el teorema de Steiner que dice: "El m.h

momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo a él más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre dichos ejes". Por lo tanto, poniendo el momento de inercia respecto a O en función del correspondiente a un eje paralelo que pase por el centro de masas G del cuerpo: I = I G + m.h 2

⇒

le =

I G + m.h 2 m.h

⇒

m.h 2 − l e .m.h + I G = 0

⇒

h 2 − l e .h +

IG

m

=0

De esta ecuación de segundo grado sacamos dos soluciones: h1 y h2. Por la propiedad de las raíces de este tipo de ecuaciones: ah2 + bh + c = 0 siendo h1 y h2 soluciones, entonces h1 + h2=

b tenemos a

que: h1 + h2= le (una longitud no puede ser negativa). El péndulo físico tiene el mismo periodo de oscilación en torno a un eje horizontal que pasa por O1, situado a una distancia h1 del centro de gravedad, que en tomo a un eje O2, situado a la distancia h2 del mismo y alineado con O1 y con dicho centro de gravedad G. Se dice entonces que el péndulo es reversible respecto a dichos ejes. Para todo péndulo físico existirá otro eje respecto al cual será reversible. Como el periodo viene dado por T0 = 2π

le donde h1 + h2= le tanto si el cuerpo está suspendido g

del eje O1 como si lo está del O2, concluimos que el cuerpo tendrá el mismo período de oscilación tanto si lo hacemos oscilar respecto al eje horizontal que pasa por O1 como si lo hacemos oscilar respecto al eje horizontal que pasa por O2. Pero conocer le si tengo que emplear su expresión l e =

I requiere conocer I, m, la posición del m.h

punto G, medir la h... ; es decir, es muy complicado a la hora de realizar las medidas absolutas de gravedad, por ello se ideó el péndulo reversible, cuya ventaja es que nos permite conocer le fácilmente. Catre en el año 1818 realizó una medida de gravedad en Londres utilizando un péndulo que fue denominado péndulo reversible de Catre. En este péndulo los ejes O1 y O2 son fijos, por lo que también lo será le, pero existen dos masas que pueden fijarse al cuerpo principal en posiciones distintas, de manera que variando las masas de posición ha de conseguirse que el periodo de oscilación del sistema sea el mismo respecto a ambos ejes, de este modo sabremos que el sistema es reversible y puesto que la distancia le es conocida, no será necesario medir la masa del cuerpo, ni conocer la posición de su centro de gravedad, ni su momento de inercia,...

Página 66

Apuntes de Geodesia Física

T1 = T2 T = 0 = 2π

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le g

donde g =

4π 2 l e T02

Se utilizaron mucho. Por ejemplo para dar la gravedad en Postdam. La primera medida de gravedad absoluta que se realizó en Madrid en 1877, fue hecha por Barraquer utilizando un péndulo reversible de Repsold, basado en el anterior, pero con las modificaciones propuestas por Bessel en 1864 y Repsold. Actualmente los métodos pendulares hace ya tiempo que se encuentran en desuso. 6.8.-

Métodos basados en el movimiento libre de graves:

Son los empleados en la actualidad. Se basan en la medición de tiempos y distancias, actualmente posible con las precisiones necesarias. 6.8.1.-

Caída libre:

Se utiliza la ecuación del movimiento uniformemente acelerado: z = z 0 + v 0 t + 1 2 gt . El origen de espacios no ha de coincidir necesariamente con el de tiempos. Cuando t0 = O 2

generalmente z 0 ≠ 0 . En esta ecuación t0 y z 0 son constantes, y también lo será

1 g. 2

Se deja caer el cuerpo, y se miden los tiempos empleados (con relojes de cuarzo,...) y las distancias recorridas (por métodos de medida interferométricos) por el grave respecto a un instante de referencia. La precisión en la medida de g avanzará en la medida en que lo hagan los sistemas de medición de tiempo y de distancias. En la práctica se miden n distancias y n tiempos, y se realiza un ajuste de observaciones: z i = z 0 + v 0 t i + 1 gt i2 2 z1 = z 0 + v 0 t 1 + 1 gt 12 2 z 2 = z 0 + v 0 t 2 + 1 gt 22 2 1 z3 = z0 + v0 t 3 + gt 2 2 3 2( (z1 − z 2 )( t 1 − t 3 ) − (z1 − z 3 )(t 1 − t 3 ) ) Despejando: g = ( t 1 − t 2 )( t 1 − t 3 )( t 2 − t 3 )

El número mínimo de observaciones será de tres:

Página 67

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6.8.2.-

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- Movimiento libre simétrico (elevación y caída):

Observamos los instantes de paso del móvil por el nivel I y por el nivel II tanto en el ascenso como en el descenso. Los niveles están en posiciones intermedias de la trayectoria. No deben elegirse ni en el punto inicial ni en el punto más alto de la trayectoria. Utilizando la ecuación del movimiento y considerándolo como un solo movimiento uniformemente decelerado, y no como un decelerado hasta la posición más alta y uno acelerado desde ésta, podremos escribir: 2 z 2 = z 0 + v 0 t 2 − 1 gt 22 Ascenso: z1 = z 0 + v 0 t 1 − 1 2 gt 1 2 2 Descenso: z 3 = z 0 + v 0 t 3 − 1 2 gt 3 = z 2

g=

8(z1 − z 2 ) 2

(t 4 − t1 ) − (t 3 − t 2 )

2

⇒

g=

z 4 = z 0 + v 0 t 4 − 1 gt 24 = z1 2 8H

T22

− T12

siendo H = z − z 2 1 T1 = t 3 − t 2 T2 = t 4 − t 1

Actualmente se fabrican estaciones portátiles para la medida absoluta de la gravedad que consisten en cámaras de vacío en las que cae el cuerpo y utilizan métodos interferométricos para medir la distancia. Son caras y grandes. 6.9.-

Gravímetros

Un gravímetro en general consiste en un sistema elástico que se deforma bajo la acción de la gravedad. Los métodos estáticos se utilizan en medidas relativas. El resultado da la medición es una lectura expresada en divisiones de la escala que utilice el instrumento. La gravedad está relacionada con la lectura G = f (L) donde f (L) es una función que debemos conocer. El calibrado consiste en determinar esta función; es la llamada función de calibrado, que será facilitada por el constructor del gravímetro. Estacionando el gravímetro en dos puntos: ∆g 21 = g 2 − g1 Punto 1: g1L1 g L ∆L 21 = L 2 − L1 Punto 2: 2 2 Para pasar de diferencias de lecturas a diferencias de gravedad hemos de conocer la constante del gravímetro: ∆g 21 = cte × ∆L 21 = C × ∆L 21 las unidades de C son miligales / división de la escala del gravímetro. g 2 − g 1 = C( L 2 − L 1 ) (L 2 − L1 ) es el número de divisiones Existen gravímetros con una C única para todo el rango de observación que se pueda realizar con él Página 68

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y hay en los que la constante varía según el rango de lectura. Existen, en general, dos modelos de gravímetros estáticos: • Geodésicos de amplio rango: deben de ser capaces de medir diferencias de gravedad entre dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre, aunque existan entre ellos grandes diferencias de altitud y de latitud (amplio rango). Son los más caros. Ej: LaCoste-Romberg". • Prospector: son modelos de pequeño rango. Se utilizan en prospecciones gravimétricas. Por ejemplo: no pueden medir diferencias de más de 200 miligales. Por lo que, si la gravedad entre dos puntos tiene una variación mayor que el rango de medición del instrumento, para conocer su diferencia de gravedad habremos de realizar medidas intermedias reinicializando la escala del instrumento. Son más baratos y sencillos. 6.9.1.-

Gravímetro lineal

Basados en resortes o muelles: son los más utilizados. Existen también de gas, fibras,... • Lineales o balanza de resorte vertical: llamado Pesón por los franceses. En desuso. Basados en el mismo principio que los sismómetros de componente vertical. Está constituido por un resorte (hilo enrollado en hélice) con longitud inicial L0 del cual se suspenderá un cuerpo de masa m. En su posición de equilibrio la longitud del resorte será L. L0- longitud inicial del resorte sin la deformación debida a la masa m. m -suponemos que la masa está concentrada en el centro de gravedad del cuerpo. g - es la gravedad que queremos conocer. No es posible conocerla mediante una única observación. Viendo la variación longitudinal del resorte al situar el instrumento en dos puntos distintos, podremos conocer el incremento de la gravedad entre ellos. Cuando el instrumento se encuentra en equilibrio (posición 1) actuarán las siguientes fuerzas: • Peso = m.g • Tensión correspondiente a la fuerza elástica: T = K(L-L0) donde K es la constante recuperadora o elástica del resorte. Esta constante depende de su naturaleza, es decir del material del cual está hecho, de su coeficiente de elasticidad,...; en definitiva, del comportamiento elástico del mismo. Ecuación del equilibrio: •

P=T

⇒

m.g = K(L- L0)

⇒

g=

K (L − L 0 ) m

⇒

g = f(L)

Si cambio el instrumento de lugar, cambiarán g y L. Si desplazamos la masa una distancia z desde su posición de equilibrio (posición 2), el sistema oscila y trabaja como un péndulo vertical. La ecuación del movimiento del sistema será: T = m.a = m Resolviendo esta ecuación: z = z 0 . cos(ω0 t + ϕ 0 )

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d2z dt 2

= −kz

⇒

m

d2z dt 2

+ kz = 0

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2π K  2π  es la frecuencia angular característica del resorte: ω02 = =   T0 m  T0  2π T0 = = 2π m es el periodo característico del sistema. Depende de la constante recuperadora K ω ω0 =

0

del resorte y de la masa. El usuario no puede modificar este T0. Es algo fijo por construcción. Sensibilidad mecánica del instrumento: depende de la construcción y las características elásticas del instrumento; de la masa utilizada m y de la constante recuperadora del resorte K y es directamente proporcional al cuadrado del periodo característico T0. m.∆g = K.∆L

⇒

∆L m T02 = = ∆g K 4π 2

Se procura construir gravímetros con grandes T0 para poder apreciar pequeñas variaciones o incrementos de la gravedad. Pero la sensibilidad, en la práctica, esta limitada. Por ejemplo: sí queremos que nuestro instrumento aprecie diferencias de gravedad de una décima de miligal y aproximando el valor de la gravedad g = lOOO gales , dividimos la expresión m.∆g = K.∆L por m.g = K(L - Lo) término a término: ⇒

∆L = ( L − L 0 )

Si L − L 0 = 0.5m

∆g ∆L = g L − L0

∆g g

⇒

∆L = 0.5m

10 −1 mgal 6

10 mgal

= 0.5 × 10 −7 metros = 0.05micras

Es decir, para poder medir variaciones de una décima de miligal, deberíamos poder apreciar en nuestro instrumento un incremento de longitud ∆L de media décima de micra. Podríamos construir un instrumento en el que L – L0 fuese muy grande, de manera que el ∆L no resultase un valor tan pequeño, y por lo tanto tan difícil de apreciar, pero un instrumento de tales proporciones no sería manejable. Concluimos que con esta disposición o configuración del instrumento, la sensibilidad tiene un límite. Debido a esto aparecen los llamados gravímetros no lineales. 6.9.2.-

Gravímetros no lineales o astáticos. Astatización

Dentro de éstos están los llamados gravímetros astáticos, también llamados inestables en algunos Página 70

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libros. En física, la palabra astático es sinónimo de equilibrio indiferente. Los llamados gravímetros astáticos trabajan en unas condiciones tales que las zonas de equilibrio estable e inestable son muy próximas y se dirá que las condiciones de astatismo perfecto se habrán alcanzado cuando el equilibrio sea indiferente. Esquema básico del gravímetro astático: La masa está en el extremo de un brazo o balancín o palanca capaz de girar en torno a un eje horizontal que pasa por su extremo. El sistema mecánico es capaz de girar en torno a un eje horizontal que pase por O. Se mantiene en equilibrio bajo la acción de la fuerza peso y de la tensión o fuerza elástica que se desarrolla en el resorte. Es un sistema con un sólo grado de libertad. En este caso la variación es angular. Ahora la ecuación de equilibrio vendrá dada en función de las fuerzas que se ejercen respecto al eje de giro. El equilibrio viene dado por tanto como igualdad de momentos en torno al eje de giro.

Ecuación de equilibrio: Momento de la fuerza peso: M g = OG ∧ P y su módulo M g = a.m.g.sen (α + δ) Momento del resorte de módulo M R =T⋅ Deducción del valor de λ : Tenemos dos expresiones para el área del triángulo OCD: 1 b.d.senα 2 1 Lλ 2

1 1 b.d b.d.senα = Lλ  senα = λ 2 2 L

Tendremos por tanto M R = K (L − L 0 )λ = K (L − L 0 )

bd senα L

El momento resultante será: M = M g + M R Estos momentos ejercen giros opuestos sobre el eje de giro y por lo tanto: M = Mg − MR

La condición de equilibrio será M = 0. Tendremos: M g − M R = 0 a.m.g.sen (α + δ) − K ( L − L 0 )

bd senα = 0 L

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Ahora la sensibilidad se define como

dα ya que α es ahora la magnitud que principalmente varía dg

al variar la gravedad. Estudios realizados sobre la sensibilidad pusieron de manifiesto que si L0 = 0 pueden conseguirse mayores sensibilidades. Los resortes que cumplen esta condición son los llamados resortes de longitud cero. Esto no quiere decir que en algún momento la longitud del resorte sea nula, quiere decir que, dentro del rango de actuación del instrumento, el resorte se comporta de tal manera que la tensión que ejerce es directamente proporcional a su longitud: T = KL, de manera que esta clase de resortes se ajusta a una gráfica del tipo:

Vemos que el origen está contenido en la prolongación de la gráfica de la función, lo cual quiere decir que si la tensión fuese nula, la longitud del resorte sería nula también; de ahí su denominación. Los límites de actuación o rango del resorte están comprendidos entre L1...Ln. La fabricación de resortes de longitud cero es complicada. Los resortes de este tipo fueron una aportación muy importante para los gravímetros. Los resortes generalmente se ajustan a una gráfica de este otro tipo, en la que podemos ver que existe una longitud de que la tensión se anule:

Este tipo de gravímetros no lineales, está basado en el sismómetro de componente vertical de LaCoste con la incorporación de este tipo de resortes. Son los utilizados en la actualidad. Ej: gravímetro LaCoste-Romberg. Si L 0 = 0

⇒ M R = Tλ = KL

bd senα = K.b.d.senα L

⇒

a.m.g.sen (α + δ) − Kbdsenα = 0

Para aumentar la sensibilidad consiguiendo así un sistema astático, el montaje debe hacerse de tal modo que: α + δ = 90 siendo α mucho mayor que δ . El ángulo δ suele ser del orden de pocos segundos. Y la máxima sensibilidad se conseguirá si δ = 0 en cuyo caso la sensibilidad será infinita, ya que el sistema tendría un periodo propio de oscilación infinito. Con estas condiciones decimos que la astatización es perfecta. (a.m.g − Kbd)senα = 0

Se cumplirá para cualquier valor de α si: a.m.g − Kbd = 0 por tanto esta es la condición de

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a.m g K.b a.m Vemos que d es proporcional a g ya que en todos los términos son constantes. Los cambios de K.b

equilibrio (LaCoste-Romberg) de donde: d =

gravedad están relacionados con la variación necesaria en d para mantener el equilibrio del sistema. De manera que, si g varía, hemos de modificar el valor de d para que el sistema recupere de nuevo el equilibrio. Si en el punto D situamos un tornillo micrométrico graduado, en vez de una unión fija, podremos controlar la variación necesaria de la distancia d para mantener el brazo horizontal en cada punto, de manera que podremos relacionar la variación de la gravedad existente entre dos puntos con las lecturas realizadas sobre el tornillo micrométrico necesarias para mantener en ambos puntos el instrumento en la situación de equilibrio. Sistemas astáticos: Teníamos que M g = M g (g, α) y M R = M R (α) La condición de equilibrio del sistema consiste en que. la suma vectorial de ambos momentos sea cero: M = M g + M R = 0 Ambos vectores actúan en la misma dirección y sentidos contrarios. Considerando sus módulos: M = Mg − MR = 0

Mg = MR

Representando las funciones Mg y MR respecto a la variable α , existirá equilibrio en aquellos puntos de corte tales como α 1 y α 2, en los que se cumple que M g = M R . Para analizar el tipo de equilibrio existente entre estos puntos de corte, hemos de estudiar las variaciones de Mg y MR, en definitiva, la variación del momento resultante M respecto de α : ∂M >0 ∂α ∂M 0 vemos que M g > M R

⇒

M>0

⇒

En α1 − dα con α1 + dα y dα < 0 vemos que M g < M R

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∂M >0 ∂α

⇒

M0. ∂α

En ambos casos da positivo y por ello decimos que α 1 es un punto en el que el equilibrio es inestable. Analicemos ¡as proximidades del punto α 2 para lo que consideramos puntos tales como α 2 + dα y α 2 − dα : En α 2 + dα con dα > 0 vemos que M g < M R

⇒

∂M 0

⇒

pero en este

∂M