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CAPÍTULO 1

Series de Fourier

En esta introducción se repasa la formulación de las series de Fourier y se introduce la transformada de Fourier como una generalización de la serie de Fourier. Denote por gT0 (t ) una señal periódica con periodo T0. Se se usa una expansión en serie de Fourier de esta señal, es posible resolverla en una suma infinita de términos seno y coseno. La expansión se puede expresar en la forma trigonométrica ∞

gT0 (t ) = a0 + 2

∑  a

n

cos ( 2 πnf 0 t ) + bn sen ( 2 πnf 0 t ) 

(1.1)

n =1

donde f0 es la frecuencia fundamental:

f0 =

1 T0

(1.2)

Los coeficientes an y bn representan las amplitudes de los términos de senos y cosenos, respectivamente. La cantidad nf0 representa el n-ésimo armónico de la frecuencia fundamental f0. Cada uno de los términos cos ( 2 πnf 0 t ) y sen ( 2 πnf 0 t ) se denomina una función base. Estas funciones base forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo T0 en que satisfacen el siguiente conjunto de relaciones:

 T0 2 , m = n cos ( 2 πmf 0 t ) cos ( 2 πnf 0 t ) dt =  m≠n 2  0,

∫

T0 2

∫

T0 2

∫

T0 2

−T0

−T0 2

−T0

cos ( 2 πmf 0 t ) sen ( 2 πnf 0 t ) dt = 0 para toda m y n

 T0 2 , m = n sen ( 2 πmf 0 t ) sen ( 2 πnf 0 t ) dt =  m≠n 2  0,

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Para determinar el coeficiente a0, se integran ambos lados de la Ec. (1.1) en un periodo completo. Así se encuentra que a0 es el valor medio de la señal periódica gT0 (t ) durante un periodo, como muestra el promedio en el tiempo

a0 =

1 T0

∫

T0 2

−T0 2

gT0 (t ) dt

(1.6)

Para determinar el coeficiente an, se multiplican ambos lados de la Ec. (1.1) por cos ( 2 πnf 0 t ) y se integra sobre el intervalo de −T0/2 a T0/2. Después, utilizando las Ecs. (1.3) y (1.4), se encuentra que

an =

1 T0

∫

T0 2

∫

T0 2

−T0 2

gT0 (t ) cos ( 2 πnf 0 t ) dt , n = 1, 2, …

(1.7)

gT0 (t )sen ( 2 πnf 0 t ) dt , n = 1, 2, …

(1.8)

En la misma forma se encuentra que

bn =

1 T0

−T0 2

Haykin-Moher: Analog and Digital Communications (2007)

2

Una pregunta básica que surge en este punto es la siguiente: Dada una señal periódica gT0 (t ) de periodo T0, ¿cómo sabemos que la expansión en serie de Fourier de la Ec. (1.1) es convergente en que la suma infinita de términos en esta expansión es exactamente igual a gT0 (t ) ? Para resolver este dilema, tenemos que demostrar que para los coeficientes a0, an y bn calculados de acuerdo con las Ecs. (1.6) a (1.8), esta serie converge efectivamente a gT0 (t ) . En general, para una señal periódica gT0 (t ) de forma arbitraria, no hay garantías de que la serie de la Ec. (1.1) convergerá a gT0 (t ) o que los coeficientes a0, an y bn siquiera existirán. Una demostración rigurosa de la convergencia de la serie de Fourier está fuera del alcance de ese texto. Aquí simplemente afirmamos que una señal periódica gT0 (t ) puede expandirse en una serie de Fourier si la señal gT0 (t ) satisface las condiciones de Dirichlet: 1.

La función gT0 (t ) es uno a uno en el interior del intervalo T0.

2.

La función gT0 (t ) tiene como máximo un número finito de discontinuidades en el intervalo T0.

3.

La función gT0 (t ) tiene un número finito de máximos y mínimos en el intervalo T0.

4.

La función gT0 (t ) es absolutamente integrable; esto es,

∫

T0 2

−T0 2

gT0 (t ) dt < ∞

Las señales periódicas que se encuentran usualmente en los sistemas de comunicación satisfacen las condiciones de Dirichlet. En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge al valor promedio justo a la izquierda del punto y al valor justo a la derecha del punto.


SERIE DE FOURIER EXPONENCIAL COMPLEJA

La serie de Fourier de la Ec. (1.1) puede escribirse en una forma mucho más sencilla y más elegante con el uso de exponenciales complejas. Esto se hace si se sustituye En la Ec. (1.1) la forma exponencial por el coseno y el seno, vale decir:

1 expj ( 2 πnf 0 t ) + exp ( − j 2 πnf 0 t )  2 1  expj ( 2 πnf 0 t ) − exp ( − j 2 πnf 0 t )  sen ( 2 πnf 0 t ) = 2j  cos ( 2 πnf 0 t ) =

Así se obtiene ∞

gT0 (t ) = a0 +

∑ ( a

n

− jbn ) exp ( j 2 πnf 0 t ) + ( an + jbn ) exp ( − j 2 πnf 0 t ) 

(1.9)

n=1

Denote por cn un coeficiente complejo relacionado con an y bn por

 an − jbn , n > 0  cn =  a0 , n=0  a + jb , n < 0 n  n

(1.10)

Entonces, la Ec. (1.9) se puede simplificar y obtener ∞

∑c

exp ( j 2 πnf 0 t )

(1.11)

gT0 (t )exp ( − j 2 πnf 0 t ) dt , n = 0, ± 1, ± 2, …

(1.12)

gT0 (t ) =

n

n =−∞

donde

cn =

1 T0

∫

T0 2

−T0 2

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3

La expansión en serie de la Ec. (1.11) se conoce como la serie de Fourier exponencial compleja. Los coeficientes cn se denominan los coeficientes de Fourier complejos. La Ec. (1.12) establece que, dada una señal periódica gT0 (t ) , podemos determinar el conjunto complejo de de los coeficientes de Fourier complejos. Por otra parte, la Ec. (1.11) afirma que, dado este conjunto de coeficientes, podemos reconstruir exactamente la señal periódica original gT0 (t ) . De la matemática del análisis real y complejo, la Ec. (1.12) es un producto interno de la señal con las funciones base exp ( j 2 πnf 0 t ) , por cuya combinación lineal todas las funciones periódicas cuadrado integrables pueden expresarse usando la Ec. (1.11). Según esta representación, una señal periódica contiene todas las frecuencias (tanto positivas como negativas) que están relacionadas armónicamente con la fundamental. La presencia de frecuencias negativas es simplemente un resultado del hecho d que el modelo matemático de la señal en la forma descrita por la Ec. (1.11) requiere el uso de frecuencias negativas. En efecto, esta representación también requiere del uso de funciones base de valores complejos – a saber, exp ( j 2 πnf 0 t ) – las cuales tampoco tienen significado físico. La razón para usar funciones base de valores complejos y componentes de frecuencias negativas es sencillamente para proporcionar una descripción matemática compacta de una señal periódica, lo que se adapta muy bien al trabajo tanto teórico como práctico.


ESPECTRO DISCRETO

La representación de una señal periódica por una serie de Fourier es equivalente a la resolución de la señal en sus diferentes componentes armónicas. Por tanto, al usar la serie de Fourier exponencial compleja, se encuentra que una señal periódica gT0 (t ) con periodo T0 tiene componentes en las frecuencias 0, ±f0, ±2f0, ±3f0, … , y así sucesivamente, donde f0 = 1/T0 es la frecuencia fundamental. Esto es, en tanto que la señal gT0 (t ) existe en el dominio del tiempo, se puede decir que su descripción en el dominio de la frecuencia consiste de componentes en las frecuencias 0, ±f0, ±2f0, ±3f0, … , denominadas el espectro. Si se especifica la señal periódica gT0 (t ) , se puede determinar su espectro; recíprocamente, si se especifica el espectro, se puede determinar la señal correspondiente. Esto significa que una señal periódica gT0 (t ) puede especificarse en dos formas equivalentes: 1.

Una representación en el dominio del tiempo, donde gT0 (t ) se define como una función del tiempo.

2.

Una representación en el dominio de la frecuencia, donde la señal se define en términos de su espectro.

Aunque estas dos descripciones son aspectos separados de un fenómeno dado, ellas no son independientes entre sí, sino que están relacionadas, como muestra la teoría de Fourier. En general, el coeficiente de Fourier cn es un número complejo y, por tanto, se puede expresar en la forma

cn = cn exp  j arg ( cn )  El factor cn

(1.13)

define la amplitud de la n-ésima componente armónica de la señal periódica gT0 (t ) , de manera

que una gráfica de cn versus la frecuencia produce el espectro discreto de la amplitud de la señal. Una gráfica de

arg ( cn ) versus la frecuencia da el espectro discreto de la fase de la señal. Nos referiremos al espectro como un espectro discreto puesto que tanto la amplitud como la fase de cn tienen valores diferentes de cero solamente en frecuencias discretas que son múltiplos enteros (tanto positivos como negativos) de la frecuencia fundamental. Para una función periódica gT0 (t ) de valores reales se encuentra, a partir de la definición del coeficiente de Fourier cn dado por la Ec. (1.12) que

c −n = cn∗

(1.14)

donde cn∗ es el conjugado complejo de cn. Por tanto, tenemos que

c −n = cn

(1.15)

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4

y

arg ( c −n ) = − arg ( cn )

(1.16)

Es decir, el espectro de amplitud de una señal periódica de valores reales es simétrico (una función par de n) y el espectro de fase es de simetría impar (una función impar de n) con respecto al eje vertical que pasa por el origen. EJEMPLO Tren Periódico de Pulsos Considérese un tren periódico de pulsos rectangulares de duración T y periodo T0, como muestra la Fig. 1.1. Por conveniencia para el análisis, el origen se ha escogido para que coincida con el centro del pulso. Esta señal puede describirse analíticamente en un periodo en la forma siguiente:

  A, gT0 (t ) =   0,

T T ≤t≤ 2 2 por el resto del período

−

(1.17)

FIGURA 1.1 Tren periódico de pulsos rectangulares de amplitud A, duración T y periodo T0.

Usando la Ec. (1.12) para evaluar el coeficiente de Fourier complejo cn, se obtiene

cn = =

1 T0

∫

T 2

−T 2

A exp ( − j 2 πnf 0 t ) dt

A  nπT  sen  , nπ  T0 

n = 0, ± 1, ± 2. …

(1.18)

donde T/T0 se denomina el ciclo de trabajo. La notación se puede simplificar usando la función sinc:

sinc ( λ ) =

sen ( πλ ) πλ

(1.19)

 TA  = T sinc ( f nT )  0

(1.20)

y entonces podemos reescribir la Ec. (1.18) como

cn =

TA  nT sinc  0 T0  T0

En la Fig. 1.2 se grafica el espectro de amplitud cn y el espectro de fase arg ( cn ) versus la frecuencia discreta

f n = n T0 para un ciclo de trabajo T/T0 igual a 0.2. Con base en esta figura, se puede señalar lo siguiente: 1.

La separación entre líneas en el espectro de amplitud en la Fig. 1.2(a) la determina el periodo T0.

2.

La envolvente del espectro de amplitud es determinada por la amplitud del pulso A, la duración del pulso T y el ciclo de trabajo T/T0.

3.

Los cruces con cero ocurren en la envolvente del espectro de amplitud en las frecuencias que son múltiplos enteros de 1/T.

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5

arg(cn) (grados)

FIGURA 1.2 Espectro discreto de un tren periódico de pulsos rectangulares para un ciclo de trabajo T/T0 = 0.2. (a) Espectro de amplitud. (b) Espectro de fase.

4.

El espectro de fase toma los valores 0 grados y ±189°, dependiendo de la polaridad de sinc ( nT T0 ) ; en la Fig. 1.2(b) se usaron 180 grados y −180 grados para preservar la simetría impar.

1.1 Transformada de Fourier En la sección anterior, se usó la serie de Fourier para representar una señal periódica. Ahora se desea desarrollar una representación similar para una señal g(t) que es no periódica en término de señales exponenciales complejas. Para hacer esto, primero se construye una función periódico gT0 (t ) de periodo T0 en una forma tal que g(t) define un ciclo de esta función periódica, como se ilustra en la Fig. 1.3. En el límite, se permite que el periodo T0 se vuelva infinitamente grande, de modo que se puede escribir

g( f ) = lím gT0 (t ) T0 → ∞

(1.21)

Si se representa la función periódica gT0 (t ) en términos de la forma exponencial compleja de la serie de Fourier, se tiene que ∞

gT0 (t ) =

∑c n =−∞

n

 j 2 πnt  exp    T0 

(1.22)

donde

cn =

1 T0

T0 2

⌠  ⌡ −T

0

 j 2 πnt  gT0 (t )exp  − dt T0   2

(1.23)

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FIGURA 1.3 Ilustración de una función del tiempo definida arbitrariamente para construir una forma de onda periódica. (a) Función del tiempo g(t) definida arbitrariamente. (b) Forma de onda periódica gT0 (t ) basada en g(t).

Los exponentes en las Ecs. (1.22) y (1.23) se han escrito a propósito en la forma mostrada porque se desea permitir que T0 tienda a infinito de acuerdo con la Ec. (1.21). Defina

∆f =

1 T0

(1.24)

fn =

n T0

(1.25)

y

G ( f n ) = cnT0

(1.26)

Por tanto, al hacer este cambio de notación en la representación en serie de Fourier de gT0 (t ) dada en las Ecs. (1.22) y (1.23), se obtiene la siguiente relación para el intervalo − T0 2 ≤ t ≤ T0 2 : ∞

∑ G( f

gT0 (t ) =

n

) exp ( j 2 πf nt ) ∆f

(1.27)

n =−∞

donde

G ( fn ) =

∫

T0 2

−T0 2

gT0 (t )exp ( − j 2 πf n t ) dt

(1.28)

Ahora se permite que el periodo T0 tienda a infinito o, equivalentemente, que su recíproco ∆f tiende a cero. Entonces se encuentra que, en el límite, la frecuencia discreta fn tiende a la variable de frecuencia continua f y la suma discreta en la Ec. (1.27) se convierte en una integral que define el área bajo una función continua de la frecuencia f – a saber, G( f )exp ( j 2 πft ) . También, conforme T0 tiende a infinito, la función gT0 (t ) tiende a g(t). Por tanto, las Ecs. (1.27) y (1.28) se convierten, respectivamente, en

g( t ) =

∫

∞

−∞

G( f )exp ( j 2 πft ) df

(1.29)

g(t )exp ( − j 2 πft ) dt

(1.30)

donde

G( f ) =

∫

∞

−∞

De manera que hemos alcanzado nuestro objetivo de representar una señal g(t) definida arbitrariamente en términos de funciones exponenciales en todo el intervalo −∞ < t < ∞. Dada la función g(t), la Ec. (1.30) define la transformada de Fourier G( f ) . Inversamente, la Ec. (1.29) define la transformada de Fourier inversa de G( f ) .

CAPÍTULO 2

REPRESENTACIÓN DE FOURIER DE SEÑALES Y SISTEMAS En términos matemáticos, una señal se describe comúnmente como una función del tiempo, que es cómo usualmente vemos la señal cuando se muestra en un osciloscopio. Sin embargo, como se señaló en el Capitulo 1, desde la perspectiva de un sistema de comunicación, es importante que se conozca el contenido de frecuencia de la señal en cuestión. La herramienta matemática que relaciona la descripción de la señal en el dominio de la frecuencia con su descripción en el dominio del tiempo es la transformada de Fourier. De hecho, hay varias versiones disponibles de la transformada de Fourier. En este capítulo, el estudio se confina principalmente a dos versiones específicas:


La transformada de Fourier continua, o simplemente la transformada de Fourier (TF), la cual opera con funciones continuas tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.




La transformada de Fourier discreta, o TFD, la cual trabaja con datos discretos tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.

La mayor parte del material que se presenta en este capitulo se enfoca en la transformada de Fourier, ya que la principal motivación del capítulo es la determinación del contenido de frecuencia de una señal en tiempo continuo o la evaluación de lo que le sucede a este contenido de frecuencia cuando la señal se pasa a través de un sistema lineal e invariable en el tiempo (LIT). En contraste, la transformada de Fourier discreta, estudiada al final del capítulo, aparece cuando se requiere la evaluación del contenido de frecuencia de la señal en una computadora digital o evaluar lo que sucede a la señal cuando es procesada por un dispositivo digital, como en las comunicaciones digitales. La gran cantidad de material presentado en este capítulo enseña las lecciones siguientes:
Lección 1: La transformada de Fourier de una señal especifica las amplitudes complejas de las componentes que constituyen la descripción en el dominio de la frecuencia o contenido espectral de la señal. La transformada de Fourier inversa recupera en forma única la señal, dada su descripción en el dominio de la frecuencia.
Lección 2: La transformada de Fourier está dotada de varias propiedades importantes, las cuales, individual y colectivamente, proporcionan información invaluable sobre la relación entre una señal definida en el dominio del tiempo y su descripción en el dominio de la frecuencia.
Lección 3: Una señal sólo puede estar estrictamente limitada en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia, pero no en ambos.
Lección 4: El ancho de banda es un parámetro importante en la descripción del contenido espectral de una señal y de la respuesta de frecuencia de un filtro lineal e invariable en el tiempo.
Lección 5: Un algoritmo ampliamente utilizado denominado el algoritmo de la transformada de Fourier rápida proporciona una herramienta poderosa para calcular la transformada de Fourier discreta; es la herramienta matemática para los cálculos digitales que involucran la transformación de Fourier.

2.1 La Transformada de Fourier 

DEFINICIONES

Sea g(t ) una señal determinista no periódica, expresada como alguna función del tiempo t. Por definición, la transformada de Fourier de la señal g(t ) es dada por la integral

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∫

G( f ) =

∞

−∞

g(t )exp ( − j 2 πft ) dt

(2.1)

donde j = −1 y la variable f denota la frecuencia; la función exponencial exp ( − j 2 πft ) se conoce como el núcleo de la fórmula de definición de la transformada de Fourier. Dada la transformada de Fourier G( f ) , la señal original g(t ) se recupera exactamente usando la fórmula para la transformada de Fourier inversa:

g( t ) =

∫

∞

−∞

G(f)exp ( j 2 πft ) df

(2.2)

donde la función exponencial exp ( j 2 πft ) es el núcleo de la fórmula que define la transformada de Fourier inversa. Los dos núcleos de las Ecs. (2.1) y (2.2) son, por tanto, el conjugado complejo uno del otro. Observe también que en las Ecs. (2.1) y (2.2) se usaron letras minúsculas para denotar la función del tiempo y letras mayúsculas para denotar las función de frecuencia correspondiente. Se dice que las funciones g(t ) y G( f ) constituye un par de transformadas de Fourier. En el Apéndice 2, se deducen las definiciones de la transformada de Fourier y su inversa, comenzando con la serie de Fourier de una señal periódica. Nos referimos a la Ec. (2.1) como la ecuación de análisis. Dada la conducta en el dominio del tiempo de un sistema, ahora podemos analizar la conducta de un sistema en el dominio de la frecuencia. La ventaja básica de transformar la conducta en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia es que la resolución en sinusoides eternas presenta la conducta como la superposición de efectos en estado estacionario. Para sistemas cuya conducta en el dominio del tiempo es descrita por ecuaciones diferenciales lineales, las soluciones separadas de estado estacionario usualmente son fáciles de entender en términos tanto teóricos como experimentales. Inversamente, nos referimos a la Ec. (2.2) como la ecuación de síntesis. Dada la superposición de efectos de estado estacionario en el dominio de la frecuencia, podemos reconstruir la conducta original en el dominio del tiempo del sistema sin ninguna pérdida de información. Las ecuaciones de análisis y síntesis, consideradas lado a lado como se muestra en la Fig. 2.1, enriquecen la representación de señales y sistemas posibilitando mirar la representación en dos dominios interactivos: el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Ecuación de análisis:

G( f ) =

∫

∞

−∞

g(t )exp ( − j 2 πft ) dt

Descripción en el dominio del tiempo: g(t)

Descripción en el dominio de la frecuencia: g(t) G(f) Ecuación de síntesis:

g( t ) =

∫

∞

−∞

G( f )exp ( j 2 πft ) df

Figura 2.1 Dibujo de la interacción entre las ecuaciones de análisis y síntesis representadas en la transformación de Fourier.

Para que exista la transformada de Fourier de una señal g(t ) , es suficiente, pero no necesario, que g(t ) satisfaga tres condiciones conocidas colectivamente como las condiciones de Dirichlet: 1.

La función g(t ) es biunívoca, con un número finito de máximos y mínimos en cualquier intervalo de tiempo finito.

2.

La función g(t ) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo de tiempo finito.

3.

La función g(t ) es absolutamente integrable, es decir,

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∫

∞

g(t ) dt < ∞

−∞

Sin temor a una equivocación, es posible ignorar el problema de la existencia de la transformada de Fourier de una función del tiempo g(t ) cuando ella es una descripción especificada con precisión de una señal físicamente realizable (por ejemplo, una señal de voz o una de video). En otras palabras, la realizabilidad física es una condición suficiente para la existencia de una transformada de Fourier. Para la realizabilidad física de una señal 2

∞

g(t ) , la energía de la señal definida por ∫−∞ g(t ) dt debe satisfacer la condición ∞

∫

2

g(t ) dt < ∞

−∞

Una señal así se conoce como una señal de energía. Por tanto, lo que estamos afirmando es que todas las señales de energía son transformables en el sentido de Fourier. 

NOTACIONES

Las fórmulas para la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa presentadas en las Ecs. (2.1) y (2.2) están escritas en términos de dos variables: el tiempo t medido en segundos (s) y la frecuencia f medida en hertz (Hz). La frecuencia f está relacionada con la frecuencia angular ω como

ω = 2 πf que se mide en radianes por segundo (rad/s). Se pueden simplificar las expresiones para los exponentes en los integrandos de las Ecs. (2.1) y (2.2) utilizando ω en vez de f. Sin embargo, se prefiere el uso de f por dos razones. Primero, el uso de la frecuencia resulta en simetría matemática entre las Ecs. (2.1) y (2.2) en una forma natural. Segundo, los contenidos espectrales de las señales de comunicación (es decir, señales de voz y video) usualmente se expresan en hertz. Una notación abreviada conveniente para las relaciones de la transformada de las Ecs. (2.1) y (2.2) es dada por

G( f ) = F [ g ( t ) ]

(2.3)

g(t ) = F −1 [G( f )]

(2.4)

y

donde F[ ] y F−1[ ] juegan los papeles de operadores lineales. Otra notación abreviada conveniente para el par de transformadas de Fourier, representadas por g(t ) y G( f ) , es

g ( t ) ⇌ G( f )

(2.5)

Las notaciones abreviadas descritas en las Ecs. (2.3) a (2.5) se usan en el texto cuando sea apropiado. 

ESPECTRO CONTINUO

Mediante el uso de la operación de la transformada de Fourier, una señal de tipo pulso g(t ) de energía finita se expresa como una suma continua de funciones exponenciales con frecuencias en el intervalo de −∞ a ∞. La amplitud de una componente de frecuencia f es proporcional a G( f ) , donde G( f ) es la transformada de Fourier de g(t ) . Específicamente, en cualquier frecuencia f, la función exponencial exp ( j 2 πft ) es ponderada por el factor

G( f ) df , que es la contribución de G( f ) en un intervalo infinitesimal df centrado en la frecuencia f. Por tanto, la función g(t ) se puede expresar en términos de la suma continua de esas componentes infinitesimales, como muestra la integral

g( t ) =

∫

∞

−∞

G( f )exp ( j 2 πft ) df

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Reafirmando lo que se mencionó previamente, la transformación de Fourier proporciona una herramienta para resolver una señal dada g(t ) en sus componentes exponenciales complejas que ocupan todo el intervalo de frecuencias desde −∞ hasta ∞. En particular, la transformada de Fourier G( f ) de la señal define la representación en el dominio de la frecuencia de la señal en que ella especifica amplitudes complejas de las diferentes componentes de frecuencia de la señal. Equivalentemente se puede definir la señal en términos de su representación en el dominio del tiempo mediante la especificación de la función g(t ) en cada instante del tiempo t. La señal está definida en forma única por cualquiera de las representaciones. En general, la transformada de Fourier G( f ) es una función compleja de la frecuencia f, de manera que se puede expresar en la forma

G( f ) = G( f ) exp  jθ ( f ) 

(2.6)

donde G( f ) se denomina el espectro de amplitud continuo de g(t ) y θ( f ) se conoce como el espectro de fase continuo de g(t ) . Aquí, el espectro se conoce como un espectro continuo porque tanto la amplitud como la fase de

G( f ) están definidos en forma única para todas las frecuencias. Para el caso especial de una función g(t ) de valores reales, se tiene que

G (− f ) = G * ( f ) y

θ( − f ) = −θ( f ) En consecuencia, se puede afirmar lo siguiente sobre el espectro de una función de valores reales. 1.

El espectro de amplitud de la señal es una función par de la frecuencia; esto es, el espectro de amplitud es simétrico con respecto al origen f = 0.

2.

El espectro de fase de la señal es una función impar de la frecuencia; esto es, el espectro de fase es antisimétrico con respecto al origen f = 0.

Estas dos afirmaciones se resumen diciendo que el espectro de una función de valores reales exhibe simetría conjugada. EJEMPLO 2.1 Pulso Rectangular Considere una función caja o pulso rectangular de duración T y amplitud A, como se muestra en la Fig. 2.2(a). Para definir el pulso matemáticamente en una forma conveniente, usamos la notación

  1, rect(t ) =   0, 

1 1 ≤t≤ 2 2 1 1 t 2 2

−

(2.7)

que representa una función rectangular de amplitud unitaria y duración unitario centrada en t = 0. Entonces, en términos de la función “estándar”, podemos expresar el pulso rectangular de la Fig. 2.2(a) simplemente como

t g(t ) = A rect   T  La transformada de Fourier del pulso rectangular g(t ) es dada por

G( f ) =

∫

T 2

−T 2

= AT

A exp ( − j 2 πft ) dt

sen ( πfT ) πfT

(2.8)

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Figura 2.2 (a) Pulso rectangular. (b) Espectro de amplitud.

Para simplificar la notación en el resultados anterior y en los resultados subsiguientes, se introduce otra función estándar – a saber, la función sinc – definida por

sinc ( λ ) =

sen ( πλ ) πλ

(2.9)

donde λ es la variable independiente. La función sinc juega un papel importante en la teoría de la comunicación. Como muestra la Fig. 2.3, tiene su valor máximo de uno en λ = 0 y tiende a cero conforme λ tiende a infinito, oscilando a través de valores positivos y negativos. Pasa por cero en λ = ±1, ± 2, … , y así sucesivamente.

Figura 2.3 La función sinc

Por tanto, en términos de la función sinc, podemos reescribir la Ec. (2.8) como

t A rect   ⇌ AT sinc ( fT ) T  El espectro de amplitud G ( f )

(2.10)

se muestra en la Fig. 2.2(b). El primer cruce de cero del espectro ocurre en

f = ± 1 T . A medida que se disminuye la duración T del pulso, este cruce se mueve hacia arriba en frecuencia. Inversamente, conforme se incrementa la duración T del pulso, el primer cruce de cero se mueve hacia el origen. Este ejemplo muestra que la relación entre las descripciones de una señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia es una relación inversa. Es decir, un pulso angosto en el tiempo tiene una descripción de frecuencia

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significativa en una amplia gama de frecuencias, y viceversa. Sobre esta relación inversa se dirá más en la Sección 2.3. Observe también que en este ejemplo, la transformada de Fourier G( f ) es una función de la frecuencia f de valores reales y simétrica. Esto es una consecuencia directa del hecho de que el pulso rectangular g(t ) mostrado en la Fig. 2.2(a) es una función simétrica del tiempo t. EJEMPLO 2.2 Pulso Exponencial Un pulso exponencial que decrece y truncado se muestra en la Fig. 2.4(a). Este pulso se define matemáticamente en una forma conveniente usado la función escalón unitario

 1, t > 0  1 u(t ) =  , t = 0 2  0, t < 0

(2.11)

FIGURA 2.4 (a) Pulso exponencial decreciente. (b) Pulso exponencial creciente.

Entonces el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) se puede expresar como

g(t ) = exp ( − at ) u(t ) Reconociendo que g(t ) es cero para t < 0, la transformada de Fourier del pulso es ∞

∫ exp ( −at ) exp ( − j2πft ) dt = ∫ exp − ( a + j2πf ) t  dt

G( f ) =

0

∞

0

=

1 a + j 2 πf

El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial decreciente de la Fig. 2.4(a) es por tanto

exp ( − at ) u(t ) ⇌

1 a + j 2 πf

Un pulso exponencial creciente y truncado como el mostrado en la Fig. 2.4(b), se define como

g(t ) = exp ( at ) u ( −t )

(2.12)

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Observe que u( −t ) es igual a la unidad para t < 0, a un medio en t = 0 y cero para t > 0. Con g(t ) igual a cero para t > 0, la transformada de Fourier de este pulso es

G( f ) =

∫

0

exp ( at ) exp ( − j 2 πft ) dt

−∞

Reemplazando t con −t, ahora se puede escribir

G( f ) = =

∫

∞

0

exp ( a − j 2 πf ) t  dt

1 a − j 2 πf

El par de transformadas de Fourier para el pulso exponencial creciente de la Fig. 2.4(b) es entonces

exp ( − at ) u( −t ) ⇌

1 a − j 2 πf

(2.13)

Los pulsos exponenciales decreciente y creciente de la Fig. 2.4 son ambos funciones asimétricas del tiempo t. Sus transformadas de Fourier son por tanto de valores complejos, como muestran las Ecs. (2.12) y (2.13). Además, a partir de estos pares de transformadas de Fourier, se observa fácilmente que pulsos exponenciales truncados creciente y decreciente tienen el mismo espectro de amplitud, pero el espectro de fase de uno es el negativo del espectro de fase del otro.


Problema de Ejercicio 2.1 Evalúe la transformada de Fourier de la onda sinusoidal amortiguada g(t ) = exp ( −t ) sen ( 2 πf c t ) u(t ) , donde u(t) es la función escalón unitario.




Problema de Ejercicio 2.2 Determine la transformada de Fourier inversa de la función de frecuencia G( f ) definida por los espectros de amplitud y fase mostrados en la Fig. 2.5.

FIGURA 2.5 Función de frecuencia G( f ) para el Problema 2.2.

2.2 Propiedades de la Transformada de Fourier Es útil tener una idea de la relación entre una función del tiempo g(t ) y su transformada de Fourier G( f ) y también de los efectos que diferentes operaciones sobre g(t ) tienen sobre la transformada G( f ) . Esto puede alcanzarse mediante un examen de ciertas propiedades de la transformada de Fourier. En esta sección, se describen catorce propiedades, las cuales se demostrarán, una por una. Estas propiedades se resumen en la Tabla A8.1 del Apéndice 8 al final del libro. PROPIEDAD 1 Linealidad (Superposición). Sea g1 (t ) ⇌ G1 ( f ) y g2 (t ) ⇌ G2 ( f ) . Entonces, para todas las constantes c1 y c2, se tiene que

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c1 g1 (t ) + c 2 g2 (t ) ⇌ c 1G1 ( f ) + c 2 G2 ( f )

(2.14)

La demostración de esta propiedad se deduce simplemente de la linealidad de las integrales de definición de G( f ) y g(t ) . La Propiedad 1 permite hallar la transformada de Fourier G( f ) de una función g(t ) que sea una combinación lineal de otras dos funciones g1 (t ) y g2 (t ) cuyas transformadas de Fourier G1 ( f ) y G2 ( f ) son conocidas, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2.3 Combinaciones de Pulsos Exponenciales Considere un pulso exponencial doble definido por (véase la Fig. 2.6(a))

 exp ( − at ) , t > 0  g(t ) =  1, t=0  exp ( at ) , t 0  g(t ) =  0, t=0  − exp ( at ) , t0 t=0 t 0, se obtiene ∞

 1 f  F  g ( at )  = ⌠ g( τ)exp  − j 2 π   τ  dτ a ⌡ −∞ a   1 f = G  a a Por otra parte, si a < 0, los límites de integración se intercambian de modo que tenemos el factor de multiplicación − ( 1 a ) o, el equivalente, 1 a . Esto completa la demostración de la Ec. (2.20). Observe que los factores de dilación a y 1/a usados en las funciones del tiempo y de la frecuencia en la Ec. (2.20) son recíprocos. En particular, la función g( at ) representa a g(t ) comprimida en el tiempo por el factor a, en tanto que la función G ( f a ) representa a G( f ) expandida en frecuencia por el mismo factor a, suponiendo que

0 < a < 1 . Por tanto, la regla de dilación establece que la compresión de una función g(t ) en el dominio del tiempo es equivalente a la expansión de su transformada G( f ) en el dominio de la frecuencia por el mismo factor, o viceversa. Para el caso especial e que a = −1, la regla de dilación de la Ec. (2.20) se reduce a la propiedad de reflexión, la cual establece que si g(t ) ⇌ G( f ) , entonces

g( −t ) ⇌ G( − f )

(2.21)

Refiriéndonos a la Fig. 2.4, vemos que el pulso exponencial creciendo mostrado en la parte (b) de la figura es la reflexión del pulso exponencial decreciente mostrado en la parte (a) con respecto al eje vertical. Por tanto, al aplicar la regla de reflexión a la Ec. (2.12) que pertenece al pulso exponencial decreciente, vemos rápidamente que la transformada del pulso exponencial creciente es 1 ( a − j 2 πf ) , que es exactamente lo mismo que se obtuvo en la Ec. (2.13). PROPIEDAD 3 Regla de Conjugación Sea g(t ) ⇌ G( f ) . Entonces para una función del tiempo de valores complejos

g(t ) , tenemos g * (t ) ⇌ G * ( − f ) donde el asterisco denota la operación de obtener el conjugado complejo. Para demostrar esta propiedad, sabemos por la transformada de Fourier inversa que

(2.22)

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g( t ) =

∞

∫

−∞

G( f )exp ( j 2 πft ) df

Tomando los conjugados complejos de ambos lados, se obtiene

g * (t ) =

∫

∞

−∞

G * ( f )exp ( − j 2 πft ) df

Ahora, reenlazando f con −f da −∞

∫ G * (− f )exp ( j2πft ) df = ∫ G * (− f )exp ( j2πft ) df

g * (t ) = −

∞

∞

−∞

Esto es, g * (t ) es la transformada inversa de G * ( − f ) , que es el resultado deseado. Como un corolario a la regla de conjugación de la Ec. (2.22), podemos decir que si g(t ) ⇌ G( f ) , entonces

g * ( −t ) ⇌ G * ( f )

(2.23)

Este resultado se obtiene directamente de la Ec. (2.22) aplicando la regla de reflexión descrita en la Ec. (2.21). PROPIEDAD 4 Dualidad Si g(t ) ⇌ G( f ) , entonces

G(t ) ⇌ g( − f )

(2.24)

Esta propiedad se deduce directamente de la relación de definición de la transformada de Fourier inversa de la Ec. (2.2), reemplazando primero t con −t, y escribiéndola entonces en la forma

g( −t ) =

∫

∞

−∞

G( f )exp ( − j 2 πft ) df

Finalmente, intercambiando t y f (esto es, reemplazado t con f en el lado izquierdo de la ecuación y f con t en el lado derecho), se obtiene

g( − f ) =

∫

∞

−∞

G(t )exp ( − j 2 πft ) dt

que es la parte expandida de la Ec. (2.24) al pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. EJEMPLO 2.4 Pulso Sinc Considérese una señal g(t ) en la forma de una función sinc, como se muestra por

g(t ) = A sinc ( 2 Wt ) Para evaluar la transformada de Fourier de esta función, aplicamos las propiedades de dualidad y dilación al par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.10). Entonces, reconociendo que la función rectangular es una función par del tiempo, se obtiene el resultado

A sinc ( 2 Wt ) ⇌

A  f  rect   2W  2W 

(2.25)

la cual se ilustra en la Fig. 2.8. Vemos entonces que la transformada de Fourier de un pulso sinc es cero para f > W . También se observa que el pulso sinc mismo sólo está limitado asintóticamente en el tiempo en el sentido que tiende a cero conforma t tiende a infinito; esta característica asintótica lo que hace que la función sinc sea una señal de energía y por tanto transformable en el sentido de Fourier.

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FIGURA 2.8 (a) Pulso sinc. (b) Transformada de Fourier G( f ) .

PROPIEDAD 5 Corrimiento en el Tiempo Si g(t ) ⇌ G( f ) , entonces

g ( t − t0 ) ⇌ G( f )exp ( − j 2 πft0 )

(2.26)

donde t0 es una constante de corrimiento (desplazamiento) real del tiempo. Par demostrar esta propiedad, tomamos la transformada de Fourier de g ( t − t0 ) y después hacemos τ = ( t − t0 ) o, el equivalente, t = τ + t0 . Entonces se obtiene

F  g ( t − t0 )  = exp ( − j 2 πft0 )

∫

∞

−∞

g( τ)exp ( − j 2 πτ ) dτ

= exp ( − j 2 πft0 ) G ( f ) La propiedad de corrimiento en el tiempo establece que si una función g(t ) es desplazada a lo largo del eje del tiempo por una cantidad t0, el efecto es equivalente a multiplicar su transformada de Fourier G( f ) por el factor

exp ( − j 2 πft0 ) . Esto significa que la de G( f ) no es afectada por el corrimiento en el tiempo, pero su fase es cambiada por el factor lineal − j 2 πft0 , el cual varía linealmente con la frecuencia f. PROPIEDAD 6 Corrimiento en Frecuencia Si g(t ) ⇌ G( f ) , entonces

exp ( j 2 πf c t ) g(t ) ⇌ G ( f − f c )

(2.27)

donde fc es una constante de frecuencia real. Esta propiedad se deduce del hecho de que

F  exp ( j 2 πf c t ) g(t ) =

∫

∞

−∞

g(t )exp  − j 2 πt ( f − f c )  dt

= G ( f − fc ) Esto es, la multiplicación de una función g(t ) por el factor exp ( j 2 πf c t ) es equivalente a desplazar su transformada de Fourier G( f ) a lo largo del eje de frecuencia por la cantidad fc. Esta propiedad es un caso especial del teorema de modulación estudiado más adelante bajo la Propiedad 11; básicamente, se obtiene un desplazamiento de la banda de frecuencias en una señal utilizando el proceso de modulación. Observe la dualidad entre las operaciones de corrimiento en el tiempo y corrimiento en frecuencia descritas en las Ecs. (2.26) y (2.27).

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EJEMPLO 2.5 Pulso de Radio Frecuencia (RF) Considérese el pulso g(t ) mostrado en la Fig. 2.9(a), el cual consiste de una onda sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia fc, que se extiende en duración desde t = −T/2 hasta t = T/2. Esta señal se conoce algunas veces como un pulso de RF cuando la frecuencia fc cae en la banda de frecuencias de radio. La señal g(t ) de la Fig. 2.9(a) puede expresarse matemáticamente como

t g(t ) = rect   cos ( 2 πf c t ) T 

(2.28)

FIGURA 2.9 (a) Pulso de RF de amplitud unitaria y duración T. (b) Espectro de amplitud.

Para hallar la transformada de Fourier de la señal de RF, usamos primero la fórmula de Euler para escribir

cos ( 2 πf c t ) =

1 exp ( j 2 πf c t ) + exp ( − j 2 πf c t )  2

Por tanto, si se aplica la propiedad de corrimiento de frecuencia al par de transformadas de la Ec. (2.10) y después se invoca la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, se obtiene el resultado deseado:

T t rect   cos ( 2 πf c t ) ⇌ sinc T ( f − f c )  + sinc T ( f + f c )  T  2

{

}

(2.29)

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En el caso especial de f cT ≫ 1 , es decir, la frecuencia fc es grande comparada con el recíproco de la duración del pulso T, se puede usar el resultado aproximado

T  2 sinc T ( f − f c )  ,  G( f ) =  0, T  sinc T ( f + f c )  , 2

f >0 f =0

(2.30)

f 0 t=0 t 0  sgn(t ) =  0, t=0  − exp ( at ) , t < 0 

(2.73)

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cuando el parámetro a tiende a cero. La señal g(t), mostrada con la curva de guiones en la Fig. 2.17(a), sí satisface las condiciones de Dirichlet. Su transformada de Fourier se derivó en el Ejemplo 2.3; el resultado es dado por [véase la Ec. (2.19)]:

G( f ) =

− j 4πf 2

a + ( 2 πf )

2

El espectro de amplitudes G( f ) se muestra como la curva de guiones en la Fig. 2.17(b). En el límite, conforme a tiende a cero, tenemos que

F [ sgn(t )] = lím

a→0

=

−4 πf 2

a + ( 2 πf )

2

1 j πf

Es decir,

sgn(t ) ⇌

1 j πf

(2.74)

El espectro de amplitudes de la función signo se muestra como la curva continua en la Fig. 2.17(b). Aquí vemos que para a pequeña, la aproximación es muy buena excepto cerca del origen en el eje de frecuencias. En el origen, el espectro de la función de aproximación g(t) es cero para a > 0, en tanto que el espectro de la función signo tiende a infinito.

5.

Función Escalón Unitario

La función escalón unitario u(t) es igual a +1 para tiempo positivo y cero para tiempo negativo. Se definió previamente en la Ec. (2.11) y se reproduce aquí por conveniencia:

 1, t > 0  1 u(t ) =  , t = 0 2  0, t < 0 La forma de onda de la función escalón unitario se muestra en la Fig. 2.18(a). A partir de esta ecuación de definición y la de la función signo, o a partir de las dos formas de onda de las Figs. 2.17(a) y 2.18(a), vemos que la función escalón unitario y la función signo están relacionadas por

u(t ) =

1 [sgn(t ) + 1] 2

FIGURA 2.18 (a) Función escalón unitario. (b) Espectro de amplitudes.

(2.75)

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36

Por tanto, si se utilizan la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier y los pares de transformadas de las Ecs. (2.67) y (2.75), se encuentra que la función escalón unitario es representada por el par de transformadas de Fourier

1 1 + δ( f ) j 2 πf 2

u(t ) ⇌

(2.76)

Esto significa que el espectro de la función escalón unitario contiene una función delta ponderada por el factor de 1/2 y ocurre en la frecuencia cero, como se muestra en la Fig. 2.18(b). 6.

Integración en el Dominio del Tiempo (Revisitado)

La relación de la Ec. (2.41) describe el efecto de la integración sobre la transformada de Fourier de una señal g(t), suponiendo que G(0) = 0. Ahora se considerará el caso más general, donde no se hace ninguna suposición. Sea

y (t ) =

∫

t

g( τ ) d τ

(2.77)

−∞

La señal integrada y(t) puede considerarse como la convolución de la señal original g(t) y la función escalón unitario u(t), como muestra la relación

y (t ) =

∫

∞

g( τ)u(t − τ) dτ

−∞

donde la función escalón unitario desplazada en el tiempo u(t − τ) se define como

 1, τ < t  1 u(t − τ) =  , τ = 0 2  0, τ > t Reconociendo que la convolución en el dominio del tiempo se transforma en una multiplicación en el dominio de la frecuencia de acuerdo con la Propiedad 12, y utilizando el par de transformadas de Fourier de la Ec. (2.76) para la función escalón unitario u(t), se encuentra que la transformada de Fourier de y(t) es

1  1  Y ( f ) = G( f )  + δ( f )  j 2 πf 2 

(2.78)

donde G(f) es la transformada de Fourier de g(t). De acuerdo con la propiedad de selección de una función delta formulada en el dominio de la frecuencia, tenemos que

G( f )δ( f ) = G(0)δ( f ) Por tanto, la Ec. (2.78) se puede reescribir en la forma equivalente:

Y( f ) =

1 1 G( f + G(0) δ( f ) j 2 πf 2

En general, el efecto de integrar la señal g(t) es entonces descrito por el par de transformadas de Fourier

∫

t

−∞

g( τ ) d τ

⇌

1 1 G( f + G(0) δ( f ) j 2 πf 2

Éste es el resultado deseado, el cual incluye la Ec. (2.41) como un caso especial (esto es, cuando G(0) = 0).




Problema de Ejercicio 2.10 Considérese la función

 1  1 g( t ) = δ  t +  − δ  t −   2  2

(2.79)

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1 . La integración de g(t) con respecto al 2 tiempo t produce la función rectángulo unitario rect(t ) . Use la Ec. (2.79) para demostrar que

la cual consiste de la diferencia entre dos funciones delta en t = ±

rect(t )

sinc( f )

⇌

la cual es una forma especial de la Ec. (2.10),

2.5 Transformadas de Fourier de Señales Periódicas Es bien conocido que mediante el uso de la serie de Fourier, una señal periódica puede representarse como una suma de exponenciales complejas. También, en un sentido de límite, las transformadas de Fourier pueden definirse para exponenciales complejas, como lo demuestran las Ecs. (2.69), (2.71) y (2.72). Por tanto, parece razonable representar una señal periódica en términos de una transformada de Fourier, siempre y cuando se permita que esta transformada incluya funciones delta. Considérese entonces una señal periódica gT0 (t ) , donde el subíndice T0 denota el periodo de la señal. Sabemos que gT0 (t ) puede representarse en términos de la serie exponencial compleja de Fourier como ∞

∑c

gT0 (t ) =

exp ( j 2 πnf 0 t )

n

(2.80)

n =−∞

donde cn es el coeficiente de Fourier complejo, definido por

cn =

1 T0

∫

T0 2

−T0 2

gT0 (t )exp ( − j 2 πnf 0 t ) dt

(2.81)

y f0 es la frecuencia fundamental definida como el recíproco del periodo T0; es decir,

f0 =

1 T0

(2.82)

Sea g(t) una función de tipo pulso, la cual es igual a gT0 (t ) en un periodo y es cero para otros valores de t; esto es,

  g (t ), g(t ) =  T0  0,

T0 T ≤t≤ 0 2 2 otros valores de t −

(2.83)

La señal periódica gT0 (t ) puede ahora expresarse en términos de la función g(t) como la sumatoria infinita ∞

gT0 (t ) =

∑ g (t − mT ) 0

(2.84)

m =−∞

Con base en esta representación, podemos considerar a g(t) como una función generadora, en que ella genera la señal periódica gT0 (t ) . Como es de tipo pulso con alguna energía finita, la función g(t) posee transformada de Fourier. En consecuencia, a la luz de las Ecs. (2.82) y (2.83), podemos reescribir la fórmula para el coeficiente de Fourier complejo cn como

cn = f 0

∫

∞

−∞

g(t )exp ( − j 2 πnf 0 t ) dt

= f 0 G ( nf 0 )

(2.85)

donde G ( nf 0 ) es la transformada de Fourier de g(t), evaluada en la frecuencia f = nf0. Podemos entonces reescribir la fórmula de la Ec. (2.80) para la reconstrucción de la señal periódica gT0 (t ) como

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38 ∞

gT0 (t ) = f 0

∑ G ( nf ) exp ( 2πnf t ) 0

(2.86)

0

n =−∞

Por tanto, eliminando gT0 (t ) entre las Ecs. (2.84) y (2.86), ahora podemos escribir ∞

∞

∑

g ( t − mT0 ) = f 0

m =−∞

∑ G ( nf ) exp ( j2πnf t ) 0

0

(2.87)

n =−∞

que define una forma de la fórmula de la suma de Poisson. Finalmente, usando la Ec. (2.69), la cual define la transformada de Fourier de una función exponencial compleja, en la Ec. (2.87), se deduce el par de transformadas de Fourier: ∞

∞

∑

g ( t − mT0 )

f0

⇌

m =−∞

∑ G ( nf ) δ ( f − nf ) 0

0

(2.88)

n =−∞

para la señal periódica gT0 (t ) cuya frecuencia fundamental f0 = 1/T0. La Ec. (2.88) simplemente afirma que la transformada de Fourier de una señal periódica consiste de funciones delta que ocurren en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental f0, incluyendo el origen, y cada función delta es ponderada por un factor igual al valor correspondiente de G ( nf 0 ) . En efecto, esta relación simplemente proporciona un método para mostrar el contenido de frecuenta de la señal periódica gT0 (t ) . Es interesante observar que la función tipo pulso g(t), la cual constituye un periodo de la señal periódica gT0 (t ) , tiene un espectro continuo definido por G(f). Por otra parte, la señal periódica gT0 (t ) misma tiene un espectro discreto. En palabras, es posible entonces resumir la transformación incluida en la Ec. (2.88) en la forma siguiente: La periodicidad en el dominio del tiempo tiene el efecto de cambiar el espectro de una señal de tipo pulso en una forma discreta definida en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, y viceversa.

EJEMPLO 2.11 Función de Muestreo Ideal Una función de muestreo ideal, o peine de Dirac, consiste de una secuencia infinita de funciones delta espaciadas uniformemente, como muestra la Fig. 2.19(a). Esta forma de onda se denota por ∞

δT0 (t ) =

∑ δ (t − mT )

(2.89)

0

m =−∞

Observamos que la función generadora g(t) para función de muestreo ideal gT0 (t ) consiste simplemente de la función delta δ(t). Por tanto, tenemos que G(f) = 1 y

G ( nf 0 ) = 1 para toda n Por tanto, el uso de la Ec. (2.88) produce el nuevo resultado ∞

∑ m =−∞

∞

δ ( t − mT0 )

⇌

f0

∑ δ ( f − nf ) 0

(2.90)

n =−∞

La Ec. (2.90) afirma que la transformada de Fourier de un tren periódico de funciones delta con separación igual a T0 segundos, consiste de otro conjunto de funciones delta ponderados por el factor f0 = 1/T0 y espaciados regularmente con separación de f0 Hz a lo largo del eje de frecuencias como en la Fig. 2.19(b). En el caso especial de T0 = 1, un tren periódico de funciones delta es, como un pulso gaussiano, su propia transformada de Fourier.

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FIGURA 2.19 (a) Peine de Dirac (b) Espectro.

Si se aplica la transformada de Fourier inversa al lado derecho de la Ec. (2.90), se obtiene la relación ∞

∑

∞

δ ( t − mT0 ) = f 0

m =−∞

∑ exp ( j2πnf t ) 0

(2.91)

n =−∞

Por otra parte, si se aplica la transformada de Fourier al lado izquierdo de la Ec. (2.90), se obtiene la relación dual ∞

T0

∑

∞

exp ( j 2 πmfT0 ) =

m =−∞

∑ δ ( f − nf ) 0

(2.92)

n =−∞

donde se utilizó la relación de la Ec. (2.82). Las Ecs. (2.91) y (2.92) son duales entre sí, en que las funciones delta aparecen en el dominio del tiempo en la Ec. (2.91), en tanto que el la Ec. (2.92), las funciones delta aparecen en el dominio de la frecuencia.




Problema de Ejercicio 2.11 Usando la fórmula de Euler cos x =

(2.91) y (2.92) en términos de funciones coseno.

1 exp ( jx ) + exp ( − jx )  , reformula las Ecs. 2

2.6 Transmisión de Señales A Través de Sistemas Lineales: La Convolución Revisitada Con la teoría de la transformada de Fourier presentada en la sección anterior a nuestra disposición, estamos listos para entrarle al estudio de una clase especial de sistemas conocidos como lineales. Un sistema se refiere a cualquier dispositivo o fenómeno físico que produce una señal de salida en respuesta a cualquier señal de entrada. Se acostumbra referirse a la señal de entrada como la excitación y a la señal de salida como la respuesta. En un sistema lineal, el principio de superposición se cumple; esto es, la respuesta de un sistema lineal a varias excitaciones aplicadas simultáneamente es igual a la suma de las respuestas del sistema cuando cada excitación se aplica individualmente. Ejemplos importantes de sistemas lineales incluyen los filtros y canales de comunicación que opera en su región lineal. Un filtro se refiere a un dispositivo selectivo en frecuencias que se usa para limitar el

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espectro de una señal a alguna banda de frecuencias. Un canal se refiere a un medio físico que conecta el transmisor y el receptor de un sistema de comunicación. Se desea evaluar los efectos de transmitir señales a través de filtros y canales de comunicación lineales. Esta evaluación puede llevarse a cabo en dos formas, dependiendo de la descripción adoptada para el filtro o el canal. Esto es, podemos usar ideas en el dominio del tiempo o de la frecuencia, como se describe a continuación.



RESPUESTA EN EL TIEMPO

En el dominio del tiempo, un sistema lineal se describe en términos de su respuesta al impulso, la cual se define como la respuesta del sistema (con cero condiciones iniciales) a un impulso unitario o función δ(t) aplicado en la entrada del sistema. Si el sistema es invariable en el tiempo, entonces esta propiedad implica que un impulso unitario desplazado en el entrada del sistema produce una respuesta al impulso en la salida, desplazada en exactamente la misma cantidad. En otras palabras, la forma de la respuesta al impulso de un sistema lineal invariable en el tiempo es la misma no importa cuando se aplique el impulso unitario al sistema. Por tanto, suponiendo que el impulso unitario o función delta se aplica en el instante t = 0, podemos denotar la respuesta al impulso de un sistema lineal invariable en el tiempo por h(t). Suponga que el sistema se somete a una excitación arbitraria x(t), como en la Fig. 2.20(a). Para determinar la respuesta y(t) del sistema, comenzamos por aproximar primero a x(t) por una función de tipo escalera compuesta por pulsos rectangulares angostos, cada uno de duración ∆τ, como se muestra en la Fig. 2.20(b). Claramente, la aproximación mejora para ∆τ pequeña. Conforme ∆τ tiende a cero, cada pulso tiende, en el límite, a una función delta ponderada por un factor igual a la altura del pulso multiplicada por ∆τ. Considérese un pulso típico, que muestra sombreado en la Fig. 2.20(b), el cual ocurre en t = τ . Este pulso tiene un área igual a x( τ)∆τ . Por definición, la respuesta del sistema a un impulso unitario o función delta δ(t) que ocurre en t = 0, es h(t). Se deduce entonces que la respuesta del sistema a una función delta, ponderada por el factor x( τ)∆τ y que ocurre en t = τ , debe ser x( τ)h(t − τ)∆τ . Para hallar la respuesta y(t) en algún instante t, aplicamos el principio de superposición. Por tanto, sumando las diferentes respuestas infinitesimales debidas a los diferentes pulsos de entrada, obtenemos en el límite, conforme ∆τ tiende a cero,

Entrada x(t)

Respuesta al impulso h(t)

Salida y(t)

aproximación

FIGURA 2.20 (a) Sistema lineal con entrada x(t) y salida y(t). (b) Aproximación escalonada de la entrada x(t).

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y (t ) =

∫

∞

x( τ)h(t − τ) dτ

(2.93)

−∞

Esta relación se conoce como la integral de convolución. En la Ec. (2.93) están involucradas tres escalas de tiempo diferentes: tiempo de excitación τ, tiempo de respuesta t y tiempo de memoria del sistema ( t − τ ) . Esta relación es la base del análisis en el dominio del tiempo de sistemas lineales e invariables en el tiempo. Ella establece que el valor actual de la respuesta de un sistema lineal e invariable en el tiempo es una integral ponderada sobre la historia pasada de la señal de entrada, ponderada de acuerdo a la respuesta al impulso del sistema. Por tanto, la respuesta al impulso actúa como una función de memoria para el sistema. En la Ec. (2.93), se calcula la convolución de la excitación x(t) con la respuesta al impulso h(t) para producir la respuesta y(t). Puesto que la convolución es conmutativa, se deduce que también podemos escribir

y (t ) =

∫

∞

h( τ)x(t − τ) dτ

(2.94)

−∞

donde h(t) se convoluciona con x(t).

EJEMPLO 2.12 Filtro de Línea de Retardo Considérese un filtro lineal e invariable en el tiempo con respuesta al impulso h(t). Se hacen dos suposiciones: 1.

Causalidad, lo que significa que la respuesta al impulso h(t) es cero para t < 0.

2.

Soporte finito, lo que significa que la respuesta al impulso del filtro es de cierta duración finita Tf, de manera que podemos escribir h(t) = 0 para t ≥ Tf.

Bajo estas dos suposiciones, la salida del filtro y(t) producida en respuesta a la entrada x(t), se puede expresar como

y (t ) =

∫

Tf

0

h( τ)x(t − τ) dτ

(2.95)

Suponga que la entrada x(t), la respuesta al impulso h(t) y la salida y(t) son muestreadas uniformemente con la tasa de ( 1 ∆τ ) muestras por segundo, de modo que podemos tomar t = n ∆τ y

τ = k ∆τ donde k y n son enteros y ∆τ es el periodo de muestreo. Suponiendo que ∆τ es lo suficientemente pequeña de manera que el producto h( τ)x(t − τ) permanezca esencialmente constante para k ∆τ ≤ τ ≤ ( k + 1 ) ∆τ para todos los valores de k y τ, podemos aproximar la Ec. (2.95) por una suma de convolución como la mostrada por N −1

y ( n ∆τ ) =

∑ h ( k ∆τ) x ( n ∆τ − k ∆τ) ∆τ k =0

donde N ∆τ = T f . Define el peso

wk = h ( k ∆τ ) ∆τ ,

k = 0, 1, … , N − 1

(2.96)

Entonces podemos escribir la fórmula para y ( n ∆τ ) como N −1

y ( n ∆τ ) =

∑ w x ( n ∆τ − k ∆τ) k

k =0

(2.97)

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La Ec. (2.97) puede realizarse usando la estructura mostrada en la Fig. 2.21, la cual consiste de un conjunto de elementos de retardo (donde cada uno produce un retardo de ∆τ segundos), un conjunto de multiplicadores conectados a las tomas de la línea de retardo, un conjunto correspondiente de pesos suplidos a los multiplicadores y un sumador para añadir las salidas de los multiplicadores. Esta estructura se conoce como un filtro de línea de retardo o filtro transversal. Observe en la Fig. 2.21 que la separación entre tomas (derivaciones) o incremento básico de retardo es igual al periodo de muestreo de la secuencia de entrada {x ( n ∆τ )} .

Entrada muestreada x(n∆τ)

Retardo ∆τ

Pesos w0

Retardo ∆τ

w1

Retardo ∆τ

w2

wN−3

w N−2

Retardo ∆τ

wN−1

Salida muestreada y(n∆τ)

FIGURA 2.21 Filtro de línea de retardo.



CAUSALIDAD Y ESTABILIDAD

Se dice que un sistema es causal si no responde antes de que se aplique la excitación. Para que un sistema lineal e invariable en el tiempo sea causal, es claro que la respuesta al impulso h(t) debe anularse para tiempo negativo, como se expresó en el Ejemplo 2.12. Es decir, podemos afirmar formalmente que la condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal e invariante en el tiempo sea causal es

h(t ) = 0,

tB

(2.116)

Pendiente = −2πt0 FIGURA 2.23 Respuesta de frecuencia de un filtro de pasabajas ideal. (a) Respuesta de amplitud. (b) Respuesta de fase; fuera de la banda −B ≤ f ≤ B, la respuesta de fase toma una forma arbitraria (no mostrada en la figura).

El parámetro B define el ancho de banda del filtro. El filtro de pasabajas ideal es, por supuesto, no causal porque viola el criterio de Paley-Wiener. Esta observación también puede confirmarse al examinar la respuesta al impulso h(t). Por tanto, si se evalúa la transformada de Fourier inversa de la función de transferencia de la Ec. (2.116), se obtiene

h( t ) =

∫

B

−B

exp  j 2 πf ( t − t0 )  df

(2.117)

donde los límites de integración se han reducido a la banda de frecuencias en la cual H ( f ) no se anula. La Ec. (2.117) se integra rápidamente y se obtiene

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h(t) =

sen  2 πB ( t − t0 )  π ( t − t0 )

= 2 B sinc  2 B ( t − t0 ) 

(2.118)

La respuesta al impulso tiene un pico de amplitud de 2B centrado en el instante t0, como muestra la Fig. 2.24 para t0 = 1/B. La duración del lóbulo principal de la respuesta al impulso es 1/B y el tiempo de crecimiento desde el cero al comienzo del lóbulo principal hasta el valor pico es 1/2B. En la Fig. 2.24 se ve que, para cualquier valor finito de t0, hay cierta respuesta desde el filtro antes del instante t = 0 en cual se aplica el impulso unitario a la entrada; esta observación confirma que el filtro de pasabajas ideal es no causal. Sin embargo, observe que siempre podemos hacer que el retardo t0 sea lo suficientemente grande para que se satisfaga la condición

sinc  2 B ( t − t0 )  ≪ 1 para t < 0 Al hacer esto, es posible construir un filtro causal que aproxime un filtro de pasabajas ideal, y la aproximación mejora conforme se aumenta el retardo t0.

FIGURA 2.24 Respuesta al impulso del filtro ideal de pasabajas.


RESPUESTA A UN PULSO DE FILTROS DE PASABAJAS IDEALES

Considérese un pulso rectangular x(t) de amplitud unitaria y duración T, el cual se aplica a un filtro de pasabajas ideal de ancho de banda B. El problema es determinar la respuesta y(t) del filtro. La respuesta al impulso h(t) del filtro la define la Ec. (2.118). Claramente, el retardo t0 no tiene efecto sobre la forma de la respuesta del filtro y(t). Sin pérdida de generalidad, podemos entonces simplificar la exposición haciendo t0 = 0, en cuyo caso la respuesta al impulso de la Ec. (2.118) se reduce a

h(t ) = 2 B sinc ( 2 Bt )

(2.119)

Con la entrada x(t) = 1 para −(T/2) ≤ t ≤ (T/2), la respuesta al impulso del filtro la da la integral de convolución:

y (t ) =

∫

∞

x( τ)h(t − τ) dτ

−∞

= 2B

∫

T 2

−T 2

= 2 B⌠

sinc [ 2 B ( t − τ )] dτ

T 2

⌡−T

 sen B ( t − τ )  dτ  ( )  2  2 πB t − τ 

(2.120)

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Defina una nueva variable adimensional

λ = 2 πB(t − τ) Entonces, cambiando la variable de integración de τ a λ, la Ec. (2.120) se puede reescribir como

y (t ) =

1 π

∫

2 πB( t +T 2 )

2 πB( t −T

 sen λ    dλ 2)  λ 

2 πB( t −T 2 ) sen λ 1  2 πB( t +T 2 )  sen λ       dλ −   dλ   π 0  λ   λ   0 1 = Si  2 πB ( t + T 2 )  − Si  2 πB ( t − T 2 )  π

∫

=

∫

{

}

(2.121)

En la Ec. (2.121) se introdujo una nueva expresión denominada la integral seno, la cual se define por

Si(u) =

∫

u

0

sen x dx x

(2.122)

Desafortunadamente, la integral seno Si(u) no puede ser evaluada en forma cerrada en términos de funciones elementales. Sin embargo, puede ser integrada en una serie de potencias, que, a su vez, conduce a la gráfica dibujada en la Fig. 2.25. A partir de esta figura, se hacen tres observaciones:

1.

La integral seno Si(u) es una función oscilatoria de u; tiene simetría impar en torno al origen u = 0.

2.

Tiene sus máximos y mínimos en múltiplos de π.

3.

Tiende al valor límite (π/2) para valores positivos grandes de u.

En la Fig. 2.25 vemos que la integral seno Si(u) oscila con una frecuencia de 1/2π. En forma correspondiente, la respuesta del filtro y(t) también oscilará con una frecuencia igual a la frecuencia de corte (esto es, el ancho de banda) B del filtro de pasabajas, como se indica en la Fig. 2.26. El valor máximo de Si(u) ocurre en umáx = π y es igual a

π 1.8519 = ( 1.179 ) ×   2

FIGURA 2.25 La integral seno Si(u).

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Tiempo t

FIGURA 2.26 Respuesta de un filtro de pasabajas ideal a un pulso cuadrado.

Se puede demostrar que la respuesta del filtro y(t) tiene máximos y mínimos en

tmáx = ±

T 1 ± 2 2B

con

1 [ Si ( π ) − Si ( π − 2 πBT )] π 1 = [ Si ( π ) + Si ( 2 πBT − π ) ] π

y ( tmáx ) =

donde, en la segunda línea, se usó la propiedad de simetría impar de la integral seno. Sea

Si ( 2 πBT − π ) =

π( 1 ± ∆) 2

donde ∆ es el valor absoluto de la desviación en el valor de Si ( 2 πBT − π ) expresado como una fracción del valor final +π/2. Por tanto, reconociendo que

Si ( π ) = ( 1.179 ) ( π 2 ) se puede redefinir y ( tmáx ) como

1 ( 1.179 + 1 ± ∆ ) 2 1 ≈ 1.09 ± ∆ 2

y ( tmáx ) =

(2.123)

Para un producto tiempo-ancho de banda BT >> 1, la desviación fraccional ∆ tiene un valor muy pequeño, en cuyo caso podemos hacer dos observaciones importantes a partir de la Ec. (2.123):

1.

El porcentaje de sobrepaso en la respuesta del filtro es aproximadamente 9 por ciento.

2.

El sobrepaso es prácticamente independiente del ancho de banda del filtro B.

El fenómeno básico que sirve de soporte a estas dos observaciones se denomina el fenómeno de Gibbs. La Fig. 2.26 muestra la naturaleza oscilatoria de la respuesta del filtro y el 9 por ciento de sobrepaso que caracteriza la respuesta, suponiendo que BT >> 1.

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La Fig. 2.27 muestra la respuesta del filtro para cuatro productos tiempo-ancho de banda: BT = 5, 10, 20 y 100, suponiendo que la duración del pulso T es 1 segundo. La Tabla 2.1 muestra las frecuencias correspondientes de oscilación y los porcentajes de sobrepasos para estos productos, confirmando así las observaciones 1 y 2. TABLA 2.1 Frecuencia de Oscilación y Porcentaje de Sobrepaso para Producto Tiempo-Ancho de Banda Variable BT

Frecuencia de Oscilación

Porcentaje de Sobrepaso

5 Hz

9.11

10

10 Hz

8.98

20

20 Hz

8.99

100

100 Hz

9.63

y(t)

5

y(t)

Tiempo t (s) (a)

Tiempo t (s) (b)

FIGURA 2.27 Respuesta de pulso de un filtro ideal de pasabajas para una duración del pulso de T = 1 s y producto tiempo-ancho de banda (BT) variable. (a) BT = 5, BT = 10.

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y(t)

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y(t)

Tiempo t (s) (c)

Tiempo t (s) (d)

FIGURA 2.27 (continuación) (C) BT = 20. (d) BT = 100.

La Fig. 2.28 muestra la respuesta del filtro a señales periódicas cuadradas de frecuencias fundamentales diferentes: f0 = 0.1, 0.25, 0.5 y 1 Hz y con el ancho de banda del filtro de pasabajas con un valor fijo en B = 1 Hz. De la Fig. 2.28 podemos extraer las observaciones siguientes:




Para f0 0.1 Hz, en correspondencia con un producto tiempo-ancho de banda BT = 5, el filtro distorsiona en algo el pulso cuadrado de la entrada, pero la forma de la entrada todavía es evidente en la salida del filtro. A diferencia de la entrada, la salida del filtro tiene tiempos de elevación y caída diferentes de cero y que son proporcionales al ancho de banda del filtro. También, la salida exhibe oscilaciones tanto en los bordes delanteros como en los traseros.




Conforme aumenta la frecuencia fundamental f0 de la señal cuadrada de la entrada, el filtro de pasabajas elimina más de las componentes de frecuencias más altas de la entrada. Por tanto, cuando f0 = 0.25 Hz, correspondiente a BT = 2, sólo la frecuencia fundamental y la componentes de la primera armónica pasan por el filtro; los tiempos de elevación y caída de la salida son ahora significativos en comparación con la duración T del pulso de la entrada. Cuando f0 = 0.5 Hz, correspondiente a BT = 1, sólo se preserva la

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componente de la frecuencia fundamental de la onda cuadrada de la entrada, lo que resulta en una salida que es esencialmente sinusoidal.




Cuando la frecuencia fundamental de la onda cuadrada de la entrada es incrementada todavía más hasta el valor alto de f0 = 1 Hz, lo que corresponde a un producto tiempo-ancho de banda de BT = 0.5, la componentes de cd se convierte en la salida dominante y la forma de la onda cuadrada de la entrada es destruida completamente por el filtro.

y(t)

A partir de estos resultados, se obtiene una conclusión importante: Cuando se usa un filtro ideal de pasabajas, debemos utilizar un producto tiempo-ancho de banda BT ≥ 1 para asegurar que la señal en la entrada del filtro se pueda reconocer a partir de la salida resultante. Un valor de BT mayor que la unidad tiende a reducir el tiempo de elevación y también el tiempo de caída de la respuesta al pulso del filtro.

y(t)

Tiempo t (s) (a)

Tiempo t (s) (b)

FIGURA 2.28 Respuesta del filtro ideal de pasabajas a una señal cuadrada de frecuencia variable f0. (a) f0 = 0.1 Hz. (b) f0 = 0.25 Hz.

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y(t)

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y(t)

Tiempo t (s) (c)

Tiempo t (s) (d)

FIGURA 2.28 (continuación) (c) f0 = 0.5 Hz. (d) f0 = 1 Hz.



APROXIMACIÓN DE FILTROS IDEALES DE PASABAJAS

Un filtro puede caracterizarse mediante la especificación de su respuesta al impulso h(t) o, equivalentemente, por su función de transferencia H ( f ) . Sin embargo, la aplicación de un filtro normalmente involucra la separación de señales con base en sus espectros (esto es, sus contenidos de frecuencia). Esto, a su vez, significa que el diseño de filtro usualmente se realiza en el dominio de la frecuencia. Hay dos pasos básicos en el diseño de un filtro:

1.

La aproximación de una respuesta de frecuencia prescrita (esto es, la respuesta de amplitud, respuesta de fase o ambas) mediante una función de transferencia realizable.

2.

La realización de la función de transferencia de aproximación mediante un dispositivo físico.

Para que una función de transferencia de aproximación H ( f ) sea físicamente realizable, ella debe representar un sistema estable. La estabilidad se define aquí con base en el criterio de entrada acotada-salida acotada descrita en la Ec. (2.100) que envuelve la respuesta al impulso h(t). Para especificar la condición correspondiente para la estabilidad en términos de la función de transferencia, el enfoque tradicional es reemplazar j2πf con s y redefinir la función de transferencia en términos de s. La nueva variable s ahora puede tener una parte real y también una

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parte imaginaria. En consecuencia, nos referimos a s como la frecuencia compleja. Denote por H ′(s ) la función de transferencia del sistema, definido en la forma que se acaba de describir. Ordinariamente, la función de transferencia de la aproximación H ′(s ) es una función racional, la cual puede por tanto expresarse en la forma factorizada

H ′(s ) = H ( f ) j 2 πf = s =K

( s − z1 )( s − z2 ) ⋯ ( s − zm ) ( s − p1 )( s − p2 ) ⋯ ( s − pn )

donde K es un factor de escala; z1, z2, … , zm se denominan los ceros de la función de transferencia y p1, p2, … pn se denominan sus polos. Para una función de transferencia de pasabajas, el número de cero, m, es menor que el número de polos, n. Si el sistema es causal, entonces la condición de entrada acotada-salida acotada para estabilidad se satisface si todos los polos de la función de transferencia H ′(s ) se restringen a estar en el lado izquierdo del plano s; esto es equivalente a la condición

Re ([ pi ]) < 0 para toda i Observe que la condición para estabilidad involucra sólo los polos de la función de transferencia H ′(s ) ; los ceros pueden estar en cualquier parte del plano. Se pueden diferenciar dos tipos de sistemas, dependiendo de las ubicaciones de los m ceros en el plano s:




Sistemas de fase mínima, caracterizados por una función de transferencia cuyos polos y ceros están todos restringidos al lado izquierdo del plano s.




Sistemas de fase no mínima, cuyas funciones de transferencia pueden tener ceros en el eje imaginario y también en el lado derecho del plano s.

Los sistemas de fase mínima se distinguen por la propiedad de que la respuesta de fase de esta clase de sistemas lineales invariables en el tiempo está relacionada en forma única con la respuesta de ganancia. En el caso de filtros de pasabajas, donde el requerimiento principal es la aproximación de la respuesta de amplitud ideal mostrada en la Fig. 2.23, podemos mencionar dos familias populares de filtros: los filtros Butterworth y los filtros Chebyshev, los cuales tienen todos sus ceros en s = ∞. En un filtro Butterworh, los polos de la función de transferencia H ′(s ) están en un círculo cuyo centro está en el origen y su radio es 2πB, donde B es el ancho de banda de 3 dB del filtro. Por otra parte, en un filtro Chebyshev los polos están en una elipse. En ambos casos, por supuesto, los polos están confinados al lado izquierdo del plano s. Considerando a continuación el tema de la realización física de un filtro, vemos que hay dos opciones básicas para esta hacer esta realización, una analógica y la otra digital:




Filtros analógicos, construidos usando (a) inductores y capacitores o (b) capacitores, resistores y amplificadores operacionales. La ventaja de los filtros analógicos es la sencillez de su implementación.




Filtros digitales, para los cuales las señales son muestreadas en el tiempo y sus amplitudes cuantizadas. Estos filtros se construyen utilizando hardware digital; de aquí su nombre. Una característica importante de un filtro digital es que es programable, ofreciendo así un alto grado de flexibilidad en el diseño. En efecto, se tiene un intercambio de complejidad por flexibilidad.

2.8 Correlación y Densidad Espectral: Señales de Energía En esta sección, continuamos con la caracterización de señales y sistemas considerando la clase de señales de energía y por tanto concentrándonos en la noción de energía. La caracterización de señales y sistemas se completa en la Sección 2.9, donde se considera la otra clase de señales, las señales de potencia. En particular, aquí se introduce un nuevo parámetro denominado densidad espectral, la cual se define como el cuadrado del espectro de amplitud de la señal de interés. Resulta que la densidad espectral es la transformada de Fourier de la función de correlación, la cual se introdujo por primera vez bajo la Propiedad 13 en la Sección 2.2.

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FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN

Considérese una señal de energía x(t) que, con el objetivo de generalizar, se supone de valores complejos. Siguiendo el material presentado bajo el teorema de correlación (Propiedad 13) en la Sección 2.2, definimos formalmente la función de autocorrelación de la señal de energía x(t) para un retraso τ como

∫

Rx =

∞

x(t )x * (t − τ) dt

(2.124)

−∞

De acuerdo con esta fórmula, la función de autocorrelación Rx(τ) proporciona una medida de la semejanza entre la señal x(t) y su versión retardada x(t − τ), es decir, lo bien que la señal x(t) se adapta a una copia de sí misma cuando la copia es desplazada τ unidades en el tiempo. Como tal, se puede medir usando el arreglo mostrado en la Fig. 4.29. El retardo τ juega el papel de una variable de escaneo o de búsqueda. Observe que Rx(τ) es de valores complejos si x(t) es de valores complejos. Integrador

Retardo ajustable τ

Conjugación compleja

FIGURA 2.29 Esquema para medir la función de autocorrelación Rx(τ) de una señal de energía x(t) para un retardo τ.

De la Ec. (2.124) se ve rápidamente que el valor de la función de autocorrelación Rx(τ) para τ = 0 es igual a la energía de la señal x(t); es decir,

Rx (0) = 

∫

∞

2

x(t ) dt

−∞

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

El teorema de la energía de Rayleigh, estudiado bajo la Propiedad 14 en la Sección 2.2, es importante porque no sólo proporciona un método útil para evaluar la energía de una señal de pulso, sino que también resalta el cuadrado del espectro de amplitud de la energía de la señal medida en el dominio de la frecuencia. A la luz de este teorema, formalmente se define la densidad espectral de energía o espectro de la densidad de energía de una señal de energía x(t) como

Ψ x ( f ) = X( f )

2

(2.125)

donde X ( f ) es el espectro de amplitud de x(t). Claramente, la densidad espectral de energía Ψx(f) es una cantidad real no negativa para toda f, aunque la señal x(t) puede ser ella misma de valores complejos.



RELACIONES DE WIENER – KHINTCHINE PARA SEÑALES DE ENERGÍA

Refiriéndonos al teorema de correlación descrito en la Ec. (2.53), sea g1 (t ) = g2 (t ) = x(t ) , donde x(t) es una señal de energía y por tanto tiene transformada de Fourier. Bajo esta condición, el lado izquierdo resultante de la Ec. (2.53) define la función de autocorrelación Rx(τ) de la señal x(t). Como corresponde, en el dominio de frecuencia, tenemos que G1 ( f ) = G2 ( f ) = X( f ) , en cuyo caso el lado derecho de la Ec. (2.53) define la densidad espectral de energía Ψx(f). Sobre esta base, podemos entonces afirmar que dada una señal de energía x(t), la función de autocorrelación Rx(τ) y la densidad espectral de energía ψx(f) forman un par de transformadas de Fourier. Específicamente, tenemos el par de relaciones:

Ψx ( f ) =

∫

∞

−∞

Rx ( τ)exp ( − j 2 πf τ ) dτ

(2.126)

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y

∫

Rx ( τ) =

∞

−∞

Ψ x ( f )exp ( j 2 πf τ ) df

(2.127)

Observe, sin embargo, que la transformación de Fourier en la Ec. (2.126) se realiza con respecto al retraso ajustable τ. El par de ecuaciones (2.126) y (2.127) constituyen las relaciones de Wiener – Khintchine para señales de energía. De las Ecs. (2.126) y (2.127) se deducen rápidamente las dos propiedades siguientes: 1.

Haciendo f = 0 en la Ec. (2.126), tenemos que

∫

∞

−∞

Rx ( τ) dτ = Ψ x (0)

la cual afirma que el área total bajo la curva de la función de autocorrelación de valores complejos de una señal de energía de valores complejos es igual a la densidad espectral de energía Ψx(0) de valores reales a la frecuencia cero. 2.

Si se hace τ = 0 en la Ec. (2.127), se tiene que

∫

∞

−∞

Ψ x ( f ) df = Rx (0)

la cual establece que el área total bajo la curva de la densidad espectral de energía de valores reales de una señal de energía es igual a la energía total de la señal. Este segundo resultado es simplemente otra forma de enunciar el teorema de la energía de Rayleigh.

EJEMPLO 2.13 Función de Autocorrelación del Pulso Sinc Del Ejemplo 2.4, la transformada del pulso sinc

x(t ) = A sinc ( 2 W t ) es dada por

X( f ) =

A  f  rect   2W  2W 

Puesto que la función rectangular rect ( f 2 W ) no es afectada cuando se eleva al cuadrado, la densidad espectral de energía de x(t) es entonces 2

 f   A  Ψx ( f ) =   rect    2W   2W  Tomando la transformada de Fourier inversa de ψ x ( f ) , se encuentra que la función de autocorrelación del pulso sinc A sinc ( 2 Wt ) es dada por

Rx ( τ) =

A2 sinc ( 2 Wt ) 2W

(2.128)

la cual tiene una forma de onda semejante que el propio pulso sinc, graficada como una función del retardo τ. Este ejemplo nos enseña que algunas veces es más fácil usar un procedimiento indirecto basado en la densidad espectral de energía para determinar la función de autocorrelación se una señal de energía en lugar de usar la fórmula para la función de autocorrelación.



EFECTO DEL FILTRADO SOBRE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

Supóngase ahora que la señal de energía x(t) se pasa a través de un sistema lineal invariable en el tiempo de función de transferencia H ( f ) , y se produce la señal de salida y(t) como se ilustra en la Fig. 2.20(a). Entonces, de acuerdo con la Ec. (2.109), la transformada de Fourier de la salida y(t) está relacionada con la transformada de Fourier de la entrada x(t) como

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Y ( f ) = H ( f )X ( f ) Elevando al cuadrado la amplitud de ambos lados de esta ecuación, se obtiene rápidamente que 2

Ψ y ( f ) = H( f ) Ψ x ( f ) donde, por definición, Ψ x ( f ) = X ( f )

2

(2.129)

2

y Ψ xy ( f ) = Y ( f ) . La Ec. (2.129) establece que cuando se transmite una

señal de energía a través de un filtro lineal e invariable en el tiempo, la densidad espectral de energía de la salida resultante es igual a la densidad espectral de energía de la entrada multiplicada por el cuadrado de la respuesta de amplitud del filtro. La sencillez de esta afirmación refuerza la importancia de la densidad espectral como un parámetro para caracterizar la distribución de la energía de una señal transformable en el sentido de Fourier en el dominio de la frecuencia. Adicionalmente, con base en las ecuaciones de Wiener – Khintchine (2.126) y (2.127) y la relación de la Ec. (2.129), podemos describir un método indirecto para evaluar el efecto del filtrado lineal e invariante en el tiempo sobre la función de autocorrelación de una señal de energía: 1.

Determine la transformada de Fourier de x(t) y h(t) para obtener X ( f ) y H ( f ) , respectivamente.

2.

Use la Ec. (2.129) para determinar la densidad espectral de energía Ψ y ( f ) de la salida y(t).

3.

Determine Ry ( τ) mediante la aplicación de la transformada de Fourier inversa a Ψ y ( f ) , obtenida en el punto 2.

EJEMPLO 2.14 Energía de una Versión Filtrada a Pasabajas de un Pulso Rectangular Se pasa un pulso rectangular de amplitud unitaria y duración unitaria a través de un filtro ideal de pasabajas de ancho de banda B, como se ilustra en la Fig. 2.30(a). La parte (b) de la figura muestra la forma de onda del pulso rectangular. La respuesta de amplitud del filtro se define por [véase la Fig. 2.30(c)]

 1, H( f ) =   0, Entrada x(t)

−B≤ f ≤ B otros valores de f

Filtro ideal de pasabajas

Salida y(t)

FIGURA 2.30 (a) Filtrado de pasabajas ideal. (b) Entrada al filtro. (c) Respuesta de amplitud del filtro.

Haykin-Moher: Analog and Digital Communications (2007)

59

El pulso rectangular que constituye la entrada al filtro tiene energía unitaria. Se desea evaluar el efecto de variar el ancho de banda B sobre la energía de la salida del filtro. Comenzamos con el par de transformadas de Fourier

rect(t ) ⇌ sinc ( f ) que representa la versión normalizada del par de transformadas de Fourier dado en la Ec. (2.10). Por tanto, con la entrada al filtro definida por x(t ) = rect ( t ) su transformada de Fourier es igual a X ( f ) = sinc ( f ) Por tanto, la densidad espectral de energía de la entrada del filtro es igual a

Ψ x ( f ) = X( f )

2

= sinc 2 ( f )

(2.130)

Esta densidad espectral de energía normalizada se grafica en la Fig. 2.31.

Frecuencia normalizada, f

FIGURA 2.31 Densidad espectral de energía de la entrada al filtro x(t); en la figura sólo se muestran los valores para frecuencias positivas.

Para evaluar la densidad espectral de energía Ψ y (t ) de la salida del filtro y(t), usamos la Ec. (2.129), y se obtiene 2

ψ y ( f ) = H( f ) ψx ( f )  ψ ( f ), = x  0,

−B≤ f ≤ B otros valores de f

(2.131)

Por tanto, la energía de la salida del filtro es ∞

∫ =2 ∫

Ey =

−∞

Ψ y ( f ) df =

B

0

∫

B

−B

Ψ x ( f ) df = 2

∫

Ψ y ( f ) df B

0

sinc 2 ( f ) df

(2.132)

Haykin-Moher: Analog and Digital Communications (2007)

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Como la entrada del filtro tiene energía unitaria, también podemos considerar el resultado dado en la Ec. (2.132) como la razón entre la energía de la salida del filtro y la de la entrada al filtro para el caso general de un pulso rectangular de amplitud arbitraria y duración arbitraria, procesado por un filtro ideal de pasabajas de ancho de banda B. En consecuencia, en general podemos escribir

ρ=

Energía de la salida del filtro Energía de la entrada del filtro

=2

∫

B

0

sinc2 ( f ) df

(2.133)

Energía de salida Energía de entrada

De acuerdo con la Fig. 2.30(b), el pulso rectangular aplicado a la entrada del filtro tiene duración unitaria; por tanto, la variable f en la Ec. (2.133) representa una frecuencia normalizada. La Ec. (2.133) se grafica en la Fig. 2.32. Esta figura muestra que justo por encima del 90 por ciento de la energía total de un pulso rectangular está dentro del lóbulo espectral principal de este pulso.

Ancho de banda normalizado del filtro de pasabajas

FIGURA 2.32 Relación energía de salida-a-energía de entrada versus ancho de banda normalizado.



INTERPRETACIÓN DE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

La Ec. (2.129) es importante puesto que no sólo relaciona la densidad espectral de energía de salida de un sistema lineal invariable en el tiempo con la densidad espectral de la energía de entrada, sino que también proporciona una base para la interpretación física del concepto mismos de la densidad espectral de energía. Para ser específicos, considérese el arreglo mostrado en la Fig. 2.33(a), en donde una señal de energía x(t) se pasa a través de un filtro de banda angosta seguido por una medidor de energía. La Fig. 2.33(b) muestra la respuesta de amplitud idealizada del filtro. Esto es, el filtro es uno de pasabanda cuya respuesta de amplitud está definida por

  1, H( f ) =   0, 

∆f ∆f ≤ f ≤ fc + 2 2 otros valores de f

fc −

(2.134)

Suponemos que el ancho de banda ∆f del filtro es lo suficientemente pequeño para que la respuesta de amplitud de la señal de entrada x(t) sea esencialmente plana en el intervalo de frecuencias cubierto por la pasabanda del filtro. En consecuencia, podemos expresar el espectro de amplitud de la salida del filtro mediante la fórmula aproximada

∆f ∆f  ≤ f ≤ fc +  X ( fc ) , fc − Y ( f ) = H ( f ) X( f ) =  2 2  0, otros valores de f 

(2.135)

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Entrada x(t)

61 Salida Energía del filtro de salida y(t) Ey Medidor de energía

Filtro de banda angosta H(f)

FIGURA 2.33 (a) Diagrama de bloques de sistema para medir la densidad espectral de energía. (b) Respuesta de amplitud idealizada del filtro. (c) Densidad espectral de energía de la salida del filtro.

De forma correspondiente, la densidad espectral de energía Ψ y ( f ) de la salida del filtro y(t) está aproximadamente relacionada con la densidad espectral de energía Ψ x ( f ) de la entrada del filtro x(t) en la forma siguiente:

∆f ∆f  ≤ f ≤ fc +  Ψ ( f ) , fc − Ψy ( f ) =  x c 2 2  0, otros valores de f 

(2.136)

Esta relación se ilustra en la Fig. 2.33(c), la cual muestra que solamente las componentes de frecuencia de la señal x(t) que están dentro la angosta pasabanda del filtro de pasabanda ideal llegan a la salida. Por el teorema de la energía de Rayleigh, la energía de la salida del filtro y(t) es dada por ∞

∫ Ψ ( f ) df = 2 Ψ ( f ) df ∫

Ey =

−∞

y

∞

0

y

En vista de la Ec. (2.136), podemos aproximar Ey como

Ey = 2 Ψ x ( f c ) ∆f

(2.137)

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62

El factor de multiplicación 2 cubre las contribuciones de las componentes de frecuencias tanto negativas como positivas. La Ec. (2.137) se puede reescribir en la forma

Ψ x ( fc ) ≈

Ey 2 ∆f

(2.138)

La Ec. (2.138) establece que la densidad espectral de energía de la entrada del filtro en alguna frecuencia fc es igual a la energía de la salida del filtro dividida por 2∆f, donde ∆f es el ancho de banda del filtro centrada en fc. Por tanto, la densidad espectral de energía de una señal de energía para cualquier frecuencia f se puede interpretar como la energía por unidad de ancho de banda, la cual es contribuida por las componentes de frecuencia de la señal alrededor de la frecuencia f. Por tanto, el arreglo mostrado en el diagrama de bloques de la Fig. 2.33(a) proporciona la base para medir la densidad espectral de energía de una señal de energía. Específicamente, utilizando un filtro de pasabanda variable para escanear la banda de frecuencia de interés y determinando la energía de la salida del filtro para cada ajuste de la frecuencia de media banda del filtro, se obtiene una gráfica de la densidad espectral de energía versus frecuencia. Sin embargo, observe que para que se cumpla la fórmula de la Ec. (2.138) y por tanto, para que funcione el arreglo de la Fig. 2.33(a), el ancho de banda ∆f debe permanecer fijo para fc variable.



CORRELACIÓN CRUZADA DE SEÑALES DE ENERGÍA

La función de autocorrelación proporciona una medida de la semejanza entre una señal y su propia versión retardada. En una forma similar, la función de correlación cruzada se puede usar como una medida de la semejanza entre una señal y la versión retardada de una segunda señal. Denote por x(t) y y(t) un par de señales de valores complejos. La función de correlación cruzada de este par de señales se define por

Rxy ( τ) =

∫

∞

x(t )y * (t − τ) dt

(2.139)

−∞

Vemos que si las dos señales x(t) y y(t) son algo semejantes, entonces la función de correlación cruzada Rxy(τ) será finita en algún intervalo de τ, dando así una medida cuantitativa de la semejanza, o coherencia, entre ellas. Se dice que las señales de energía x(t) y y(t) son ortogonales en todo el intervalo de tiempo si Rxy(0) es cero; esto es, si

∫

∞

x(t )y * (t ) dt = 0

(2.140)

−∞

La Ec. (2.139) define un valor posible para la función de correlación cruzada para un valor específica de la variable de retardo τ. Se puede definir una segunda función de autocorrelación para las señales de energía x(t) y y(t) como

Ryx ( τ) =

∫

∞

y(t )x * (t − τ) dt

(2.141)

−∞

A partir de las definiciones de las funciones de correlación cruzada Rxy ( τ) y Ryx ( τ) que se acaban de dar, se obtiene la relación fundamental ∗ Rxy ( τ) = Ryx ( −τ)

(2.142)

La Ec. (2.142) indica que, a diferencia de la convolución, la correlación no es en general conmutativa; esto es, Rxy ( τ) ≠ Ryx ( τ) . Para caracterizar el comportamiento de la correlación cruzada de señales de energía en el dominio de la frecuencia, se introduce la noción de densidad espectral cruzada. Específicamente, dado un par de señales de energía de valores complejos x(t) y y(t), definimos sus densidades espectrales cruzadas, denotadas por Ψ xy ( f ) y

Ψ yx ( f ) , como las respectivas transformadas de Fourier de las funciones de correlación cruzada Rxy ( τ) y Ryx ( τ) , como muestran las relaciones

Haykin-Moher: Analog and Digital Communications (2007)

Ψ xy ( f ) =

63

∫

∞

∫

∞

−∞

Rxy ( τ)exp ( − j 2 πf τ ) dτ

(2.143)

Ryx ( τ)exp ( − j 2 πf τ ) dτ

(2.144)

y

Ψ yx ( f ) =

−∞

De acuerdo con el teorema de correlación (esto es, Propiedad 13 de la Sección 2.2), tenemos entonces que

Ψ xy ( f ) = X ( f )Y * ( f )

(2.145)

Ψ yx ( f ) = Y ( f )X * ( f )

(2.146)

y

A partir de estas dos relaciones, vemos rápidamente dos propiedades de la densidad espectral cruzada: 1.

A diferencia de la densidad espectral de energía, la densidad espectral cruzada es, en general, de valores complejos.

2.

Ψ xy ( f ) = Ψ ∗yx ( f ) , de donde se deduce que, en general, Ψ xy ( f ) ≠ Ψ yx ( f )




Problema de Ejercicio 2.15 Deduzca la relación de la Ec. (2.142) entre dos funciones de correlación cruzada Rxy ( τ) y Ryx ( τ) ,




Problema de Ejercicio 2.16 Considere el pulso exponencial decreciente

 exp ( − at ) , t > 0  g(t ) =  1, t=0  0, t0 t=0 t