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INGENIERIA CIVIL APUNTE COMPLETO DE RESISTENCIA DE MATERIALES Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore

A la memoria de mis padres Coco y Ade

UTN. BA - ING CIVIL- RESIST.de MATERIALES- Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Rev2020

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INTRODUCCION. 1-Definición de resistencia de materiales- Diferencia con la teoría matemática de la elasticidad. La resistencia de materiales y la teoría matemática de la elasticidad son dos disciplinas integrantes de la mecánica de sólidos deformables y ambas abordan una problemática común referida a la resistencia y deformación de los cuerpos. En particular la resistencia de materiales aborda problemas sencillos en lo cuales es posible plantear una hipótesis de deformación que se cumpla experimentalmente y valide los resultados analíticamente obtenidos. Toda vez que la situación enunciada no sea posible es necesario recurrir al campo de la teoría matemática de la elasticidad.

2-Ubicación de la asignatura dentro de la currícula de Ingeniería Civil.

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3-Hipótesis generales. El cuerpo en estudio esta constituido por material continuo, homogéneo, isótropo y

elástico. Continuo: Implica que colma la totalidad del volumen que ocupa. Esta hipótesis permite la aplicación del cálculo diferencial. Homogéneo: El material presenta iguales propiedades en todos los puntos del cuerpo. Isótropo: El material presenta igual comportamiento en toda dirección. Elástico: En la descarga no registra deformaciones permanentes.

Principio de Saint Venant: Los análisis desarrollados no contemplan situaciones particulares de secciones transversales y los puntos que sobre ella se ubican en relación a la forma de aplicación de las cargas. Tampoco los cambios bruscos de sección ni los cambios de dirección (discontinuidades geométricas).

Análisis lineal: implica el cumplimiento simultáneo de las siguientes tres hipótesis: 1-Hipótesis de linealidad mecánica: Las tensiones son proporcionales a las deformaciones hasta la deformación de fluencia. (Ley de Hooke).

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2-Hipótesis de linealidad cinemática: Luego de la deformación, los corrimientos experimentados por los puntos del cuerpo resultan pequeños en relacion a las dimensiones del mismo. Por otra parte el ángulo de rotación (expresado en radianes) experimentado por cualquier segmento definido entre dos puntos infinitamente próximos del cuerpo, es suficientemente pequeño para que resulte aproximadamente igual al seno y a la tangente y el coseno tienda a la unidad. (puede comprobar el lector que un ángulo de 1° cumple la hipótesis pero un ángulo de 45° no)

3-Hipótesis de linealidad estática: Las ecuaciones de equilibrio se plantean sin considerar la deformación del cuerpo. (Teoría de primer orden).

El cumplimiento simultáneo de las tres hipótesis habilita la aplicación sin restricciones del PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS. El principio establece que: Si sobre un cuerpo actúan varios estados de causa deformante, cualquier efecto que provoquen en forma conjunta es igual a la suma del efecto provocado por cada uno de ellos actuando separadamente, independientemente del orden en que actúen. Como caso particular importante del principio resulta que: Si para una causa de valor A el efecto es de valor B entonces si la causa adopta valor nxA el efecto resulta de valor nxB.

Los sistemas de fuerzas actuantes crecen lentamente hasta su valor final (acción estática).

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ESTADO DE TENSION Y DEFORMACION EN EL ENTORNO DE PUNTOS DE MEDIOS CONTINUOS. RELACION TENSION - DEFORMACION. ENERGIA DE DEFORMACION. TEORIAS DE FALLA. 1-Concepto de tensión en un punto según un plano. Considérese un cuerpo solicitado por un sistema de fuerzas en equilibrio, bajo cuya acción experimenta un pequeño cambio de forma y volumen (se deforma).Una vez que el cuerpo se deformó se lo estudia cortado por un plano de normal ň tal como se muestra:

Si se separa el mismo en las dos partes en que ha quedado dividido:

Quedan evidenciadas las fuerzas interiores (actúan según el principio de acción y reacción), en cada punto de ambas secciones definidas por el corte. Si se ubica un punto B en cualquiera de las dos secciones (las secciones son planas y presentan igual normal que el plano con el cual se ha cortado el cuerpo), se define como Tensión en el punto B según el plano de normal ň, al vector que surge de la siguiente expresión:

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Como por un punto pasan infinitos planos, se dice definido el Estado de tensión en un punto cuando se conocen los infinitos vectores tensión asociados a los infinitos planos pasantes por el mismo. La tensión configura un nuevo tipo de magnitud (se conocen las escalares y vectoriales) denominada tensorial. Las magnitudes tensoriales son aquellas que, para su completo conocimiento, requieren de dos vectores. En efecto, la tensión (primer vector) en un punto no queda definida si no se aclara a que plano pertenece. El plano se caracteriza por su versor normal (segundo vector).

2-Tensiones normales y tangenciales. El vector Tensión en el punto B según el plano de normal ň puede ser reemplazado por dos componentes ortogonales entre si: Una de ellas coincidente con ň denominada Tensión normal y la otra ubicada en el plano denominada Tensión tangencial. Se grafica:

3-Ecuaciones de equivalencia entre los esfuerzos característicos y las tensiones de una sección transversal correspondiente a una barra solicitada. Considérese una barra solicitada y cortada por un plano normal a su eje, de manera que quede definida la sección transversal de la misma. Se grafica:

Es posible entonces, escribir ecuaciones de equivalencia entre los esfuerzos característicos y las tensiones tal como se indican a continuación:

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Obsérvese que a las tensiones tangenciales se las designa con dos subíndices: el primero correspondiente con la tensión normal y el segundo con su dirección. En referencia a las ecuaciones de equivalencia que preceden se efectúan los siguientes comentarios: 1-Al leer las mismas se puede observar que: tanto el esfuerzo normal como el momento flexor se relacionan con las tensiones normales. A diferencia, el esfuerzo de corte y el momento de dirección Z, se relacionan con las tensiones tangenciales. 2-El momento de dirección Z puede resultar una parte o la totalidad del momento torsor dependiendo de la forma de la sección transversal. El motivo será explicado al desarrollar la solicitación por esfuerzo de corte y en particular el concepto de centro de corte. 3-Como se sabe, los esfuerzos característicos varían en función de Z. A diferencia, las tensiones varían en función de Z, pero además en cada sección transversal varían punto a punto, es decir en función de X e Y. Es objeto de la Resistencia de Materiales estudiar la ley de variación de las mismas. 4-Es importante destacar que:

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4a-Si se conoce la ley de variación de las tensiones en la sección transversal, mediante su integración es posible conocer los esfuerzos característicos en la misma (ver ecuaciones de equivalencia). 4b-A diferencia, conocidos los esfuerzos característicos no es posible definir en forma biunívoca la ley de variación de las tensiones en la sección transversal. Es decir, varias funciones de tensión pueden conducir al mismo esfuerzo interno. Para salvar la indeterminación, la resistencia de materiales plantea hipótesis sencillas, pero experimentalmente comprobables, respecto de la deformación del cuerpo frente a la solicitación que se analiza. Este tema resultará más claro cuando se estudien las distintas solicitaciones. 4c-Toda vez que no se pueda establecer una hipótesis sencilla en referencia a la deformación del cuerpo solicitado, se deberá analizar el problema dentro del campo de la teoría matemática de la elasticidad.

4-Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales (Cauchy). Enunciado: Las componentes de tensión tangencial correspondientes a dos planos perpendiculares entre si y dirigidas perpendicularmente a la arista intersección entre ambos, resultan ser de igual módulo y ambas se acercan o se alejan de dicha arista.

Demostración: Para la demostración se considera hexaedro de aristas diferenciales ubicado en el entorno del punto B y se asume conocido el vector tensión correspondiente a cada uno de los planos que lo componen. Gráficamente:

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En la figura, las tensiones que corresponden a los planos posteriores no se representan para no complicarla, pero resultan iguales y de sentido opuesto a las indicadas en los planos frontales. Por convención, las tensiones normales son positivas cuando resultan salientes del plano al que corresponden (tensiones de tracción). Lógicamente si las tensiones normales son de sentido opuesto, representan tensiones de compresión. Las tensiones tangenciales se referencian al sistema de coordenadas adoptado. Si se plantea el equilibrio del sistema de fuerzas originado por las tensiones por reducción el punto B y se tiene presente que las ecuaciones de proyección de fuerzas resultan idénticamente nulas se tiene:

MBX=0 → τYZ .dx.dz.dy – τZY .dx.dy.dz=0 →

τYZ = τZY

MBY=0 → –τXZ .dy.dz.dx + τZX .dx.dy.dz=0 → τXZ = τZX MBZ=0 → τXY .dy.dz.dx – τYX .dx.dz.dy=0 →

τXY = τYX

Quedando demostrado el presente teorema.

5-Determinación del vector tensión en un punto según un plano, conocidas las tensiones en tres planos ortogonales entre sí, pasantes por el punto. Previamente se desarrolla una aplicación necesaria de geometría analítica:

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Efectuado el desarrollo que precede, se analiza a continuación el problema enunciado en el titulo:

El plano según el cuál se pretende determinar el vector tensión tiene normal ň y área dA y en el límite resulta pasante por el punto B. Entonces, si se plantea el equilibrio del sistema de fuerzas originado por las tensiones y se tiene presente que dichas fuerzas resultan todas concurrentes al punto B resulta:

Dividiendo por dA (que resulta distinto de cero) y reordenando se tiene:

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En forma matricial:

Si se recuerda el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, para definir el estado de tensión en un punto solo resulta necesario conocer seis componentes de tensión a saber:σx,σy,σz

τxy, τyz y τxz.

A la matriz conformada por las componentes conocidas de tensión se la denomina Tensor de Tensiones. Dicho tensor caracteriza el estado de tensión en el punto.

6- Planos ,direcciones y tensiones principales. Al estudiar el estado de tensión en un punto ,todo plano con tensión tangencial nula se denomina plano principal su versor normal define la dirección principal y la tensión asociada (σ) se denomina tensión principal. Gráficamente:

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Para la determinación se parte del siguiente análisis:

Operando:

La expresión que precede es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas y por lo tanto es siempre compatible. Ahora bien: una posibilidad es que el sistema sea compatible determinado, en cuyo caso el determinante asociado a la matriz de los coeficientes de las incógnitas resulta distinto de cero y las incógnitas (l, m y n en este caso) todas nulas (solución trivial). Otra posibilidad es que el sistema sea compatible indeterminado, es decir que el determinante asociado a la matriz de los coeficientes de las incógnitas resulte nulo y consecuentemente existan infinitas soluciones (en el caso que se analiza infinitos vectores de componentes proporcionales a l, m y n que definen la dirección de la tensión principal o, lo mismo, son ortogonales al plano principal). La primera posibilidad es inviable para el problema que se analiza, dado que los tres cosenos directores no pueden resultar simultáneamente nulos, pues la dirección principal no puede formar 90° con los tres ejes coordenados y por otra parte no se cumpliría que la suma de los cuadrados de los cosenos directores sea igual a la unidad. La segunda posibilidad es adecuada para el problema que se analiza, puesto que si bien conduce a infinitos vectores que definen la dirección principal, todos ellos tienen asociado el mismo versor. Consecuentemente se adopta esta posibilidad como solución y se desarrolla en lo que sigue:

Desarrollando el determinante que precede se llega a la expresión que se indica a continuación conocida como ecuación de Lagrange.

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En referencia a la ecuación indicada se efectúan los siguientes comentarios: 1-Según las leyes del algebra lineal, la misma presenta tres raíces reales cuyo ordenamiento es:

Si las tres raíces son distintas de cero, el estado de tensión en el punto se denomina triple o espacial. (I3 es distinto de cero). Si dos de las raíces son distintas de cero, entonces el estado de tensión en el punto resulta doble o plano (I3 igual a cero e I2 es distinto de cero) y finalmente cuando una sola de las raíces es distinta de cero el estado de tensión en el punto se denomina simple o lineal (I2 e I3 resultan nulos). 2-Cada tensión principal se encuentra asociada a una dirección principal (que define a la vez el plano principal).Dicha dirección se obtiene reemplazando el valor de la tensión principal en el sistema de ecuaciones homogéneas, compatible e indeterminado. La operatoria algebraica se ejemplifica mas adelante. Las direcciones principales resultan ortogonales entre si por tratarse de una matriz simétrica. 3- I1, I2 e I3 son los invariantes lineal, cuadrático y cúbico respectivamente. Ellos expresan claramente que: las tensiones, planos y direcciones principales son independientes del tensor con que se caracterice el estado de tensión en el punto, Las expresiones de cálculo de los invariantes se indican a continuación:

I1=σx + σy + σz = σ1 + σ2 + σ3 I2= (σx.σy – τxy2) + (σy.σz – τyz2) + (σx.σz – τxz2) = σ1.σ2 + σ2.σ3 + σ1.σ3 I3= Determinante del tensor de tensiones=σx.σy.σz + 2.(τxy.τyz.τxz) – (σx.τ2yz+σy.τ2xz+ 2 + σz.τ xy) =σ1.σ2 .σ3 Se aclara que desde el punto de vista del algebra lineal todo lo analizado en este punto representa un problema de autovalores, autovectores y diagonalización de matrices.

7- Determinación de la tensión tangencial en el plano octaédrico para un punto del cuerpo. Definición de plano octaédrico: Es aquel igualmente inclinado respecto de las tres direcciones principales. Su denominación surge dado que es posible definir un plano con dichas características en cada octante.

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A continuación se desarrolla:

La ventaja de expresar la tensión tangencial octaédrica en función de los invariantes, radica en la posibilidad de determinar su valor independientemente del sistema de referencia en que se conozca el tensor de tensiones que caracteriza el estado de tensión en el punto.

8-Tensor esférico y tensor desviador. Estado de tensión hidrostático. Considérese el estado de tensión en un punto caracterizado por el tensor principal resultando las tres tensiones principales iguales entre si. El estado de tensión es triple o espacial ya que I3 es distinto de cero.

σ1=σ2=σ3=σe Se demuestra a continuación que en cualquier plano de versor normal ň (L; M; N) (obsérvese que las componentes del versor normal del plano se indican en mayúsculas al estar referido a la terna principal) la tensión es

σe. Es decir que todos los planos, direcciones y tensiones son principales.

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En función del desarrollo que precede es posible descomponer el tensor de tensiones que caracteriza el estado de tensión en un punto como se indica:

Si en el entorno del punto se establece un hexaedro de aristas diferenciales, el estado de tensión caracterizado por el tensor esférico (I1e= 3σe) le origina cambio de volumen y el caracterizado por el tensor desviador (I1d=0) le origina cambio de forma. Se puede concluir:

La existencia o no de cambio de volumen tiene directa relación con el invariante I1. Ejemplo N° 1 El estado de tensión en el entorno del punto B perteneciente a un cuerpo solicitado, queda caracterizado como se grafica a continuación:

Se pide:

a)- Escribir el tensor de tensiones.

b)- Determinar los invariantes y clasificar el estado de tensión.

I1=σx + σy + σz = 10Mpa

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I2= (σx.σy – τxy2) + (σy.σz – τyz2) + (σx.σz – τxz2) = - 725 Mpa2 I3= Determinante del tensor de tensiones=σx.σy.σz + 2.(τxy.τyz.τxz) – (σx.τ2yz+σy.τ2xz+ 2 3 + σz.τ xy) = - 750 Mpa Como I3 es distinto de cero el estado de tensión en el punto B es TRIPLE O ESPACIAL.

c)- Determinar el vector tensión y sus componentes para el plano de normal ň(0.5;0.5;0.7071) pasante por el punto B.

d)- Determinar tensiones, direcciones y planos principales. Tensiones principales:

Direcciones principales: Se parte de la expresión:

Determinación de la dirección principal 1 En la expresión anterior se reemplaza σ= σ1= 31.9542Mpa .El versor de la dirección principal 1 presenta componentes (l1, m1, n1). Desde el punto de vista operativo, primero se determina un vector cualquiera de la dirección (de componentes a1, b1, c1) y a partir del mismo se determina el versor.

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El sistema de ecuaciones homogéneas, compatible e indeterminado es, en este caso, el que se indica a continuación:

- 51.9542.a1 + 10.b1 + 5.c1 =0 10.a1 - 1.9542.b1 + 0.c1 =0 5.a1 + 0.b1 - 31.9542.c1 =0 Las ecuaciones que preceden son linealmente dependientes (puede comprobar el lector que el determinante de la matriz de los coeficientes resulta nulo). La forma de resolver dicho sistema es asignar valor a una de las incógnitas y obtener las restantes. En el caso que se analiza se plantea a1= 1 y se obtienen b1= 5.117183502 c1= 0.156473953. El versor de la dirección principal 1 se obtiene como sigue:

l1= a1 / (a12 + b12 + c12)0.5 =0.1917 m1= b1 / (a12 + b12 + c12)0.5 =0.981 n1= c1 / (a12 + b12 + c12)0.5 =0.03

ň1=(0.1917 ; 0.981 ; 0.03) Determinación de la dirección principal 2 (se opera igual que con la dirección principal 1)

σ= σ2= 1.02156Mpa - 21.02156.a2 + 10.b2 + 10.a2 + 28.97844.b2 + 5.a2 + 0.b2 -

5.c2 =0 0.c2 =0 1.02156.c2 =0

a2= 1 b2= - 0.345084138 c2= 4.894475116 l2= a2 / (a22 + b22 + c22)0.5 = 0.1997 m2= b2 / (a22 + b22 + c22)0.5 = - 0.0689 n2= c2 / (a22 + b22 + c22)0.5 = 0.97743

ň2=(0.1997 ; - 0.0689 ; 0.97743) Determinación de la dirección principal 3

σ= σ3= -22.97576Mpa 2.97576.a3 + 10.b3 + 5.c3 =0 10.a3 + 52.97576.b3 + 0.c3 =0 5.a3 + 0.b3 + 22.97576.c3 =0

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a3= 1 b3= - 0.188765578 c3= - 0.217621 l3= a3 / (a32 + b32 + c32)0.5 = 0.961 m3= b3 / (a32 + b32 + c32)0.5 = - 0.18139 n3= c3 / (a32 + b32 + c32)0.5 = - 0.20912

ň3=(0.961 ; - 0.18139 ; - 0.20912) La ortogonalidad de los versores principales entre si, puede verificarse efectuando producto escalar y comprobando que el mismo resulta nulo.

ň1.ň2 = (0.1917; 0.981; 0.03). (0.1997; -0.0689; 0.97743) =0 ň2.ň3 = (0.1997; -0.0689; 0.97743). (0.961; -0.18139; -0.20912) =0 ň1.ň3 = (0.1917; 0.981; 0.03). (0.961; -0.18139; -0.20912) =0 Los planos principales quedan definidos por los versores principales obtenidos. e)- En función del tensor de tensiones expresado según la terna principal, verificar las componentes de tensión en el plano cuyo versor normal coincide con el del eje X. El versor de la dirección X en referencia a la terna principal resulta:

ňX= (l1 ; l 2 ; l 3)= (0.1917 ; 0.1997 ; 0.961) Entonces, teniendo siempre presente que el punto que se analiza es el B se puede escribir:

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Las componentes de tensión en el plano cuyo versor normal coincide con el de la dirección X han quedado verificadas. Se propone al lector verificar las componentes de tensión en los planos cuyos versores normales coinciden con los de las direcciones Y y Z.

f)- Determinar el módulo de la tensión tangencial octaédrica. g)- Descomponer el tensor de tensiones indicado en el punto a en la suma del tensor esférico y el tensor desviador.

Puede comprobar el lector que: Si se obtienen las tensiones principales correspondientes al estado de tensión caracterizado por el tensor desviador y a cada una de ellas se le suma determinadas en el punto d. Es decir:

σ1 = σ1d + σe

σe

, se obtienen las tensiones principales

σ2 = σ2d + σe

σ3 = σ3d + σe

Así también, las direcciones principales pueden ser determinadas mediante el tensor desviador Lo expresado tiene sustento teórico en el hecho que σe es tensión principal en toda dirección.

h)- Determinar la máxima tensión tangencial e indicar en que planos se produce. Si bien la justificación teórica de este apartado se desarrolla en el punto siguiente, se enuncia lo siguiente: 1-La máxima tensión tangencial (de la cuál solo interesa su módulo) es siempre:

Τmáx.=0.5(σ1 - σ3) 2- Los planos en que ocurre presentan versor normal igualmente inclinado (45°) respecto de las direcciones principales 1 y 3,implicando entonces que dicho versor forma 90° con la dirección principal 2.Los planos de máxima tensión tangencial presentan ,en general, tensión normal. Para el ejemplo planteado resulta:

ΤBmáx.= 27.47 Mpa

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9-Determinación de la tensión tangencial máxima. Antes de iniciar el desarrollo del tema indicado, se repasa la ecuación de la circunferencia para un sistema de ejes

σ-Τ.Es decir:

Considérese conocido el estado de tensión en un punto a partir del tensor principal Si se desea analizar como varía la tensión asociada al haz de planos cuyo eje sostén es la dirección principal 2 (su versor normal presenta M=0), el procedimiento es el que continua:

En función del resultado obtenido, es posible determinar las expresiones de cálculo de la tensión normal y de la tensión tangencial tal como sigue:

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Por convención, cuando el momento de la fuerza originada por la tensión tangencial respecto de P (punto interior al triangulo ABC) resulta horario, dicha tensión se considera positiva. Operando:

La última expresión es la ecuación de una circunferencia con las siguientes características: Centro: [0.5 (σ1+σ3); 0]

Radio= 0.5 (σ1-σ3)

parámetro= 2 α

Gráficamente:

Para interpretar correctamente el parámetro de la circunferencia, se ruega observar detenidamente la figura que precede.

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Idéntico análisis al efectuado para el haz de planos que presentan M=0 puede efectuarse para los haces de planos que presentan L=0 o N=0 dando lugar a la siguiente construcción grafica:

Si bien para la tensión normal es importante conocer el signo (positivo tracción y negativo compresión), de la tensión tangencial solo interesa el módulo. Consecuentemente es habitual simplificar la construcción gráfica tal como precede.

Las circunferencias presentadas son debidas a Christian Otto Mohr (1835-1918) A continuación se justifica (no es demostración), mediante un ejemplo numérico sencillo, que cualquier plano pasante por B que se analice, queda ubicado en el triangulo curvilíneo rayado de la construcción anterior. Para ello se adoptan los siguientes valores al azar de las tensiones principales:

σ1 = 30 Kn/cm2 σ2 = 18 Kn/cm2 σ3 = 10 Kn/cm2 Entonces es posible construir la siguiente tabla cuyos valores puede verificar el lector teniendo en cuenta los conocimientos hasta aquí adquiridos:

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La representación grafica de los valores obtenidos es la que se muestra:

El análisis efectuado permite concluir que:

σ1 y σ3 representan valores extremos de la tensión normal. La máxima tensión tangencial (de la cuál solo interesa su módulo) es siempre:

Τmáx.=0.5 (σ1 - σ3) La expresión surge de la simple observación de la figura. La máxima tensión tangencial ocurre en dos planos ortogonales entre si cuyo versor normal presenta M=0 y surgen de rotar 45° los planos principales 1 y 3. A continuación se efectúa una representación grafica que pone de manifiesto el resultado obtenido:

Finalmente, la tensión normal en los planos de máxima tensión tangencial resulta:

σ=0.5 (σ1 + σ3) Es decir, el centro de la circunferencia de M=0

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10- Estados tensionales de particular interés. Son los que ocurren en los puntos ubicados sobre las distintas secciones transversales de una barra solicitada. Se describen a continuación: 10.1- Estado tensional general. Corresponde al caso en que simultaneamente se desarrollan tensiones normales (esfuerzo normal y/o momento flexor) y tensiones tangenciales (esfuerzo de corte y/o momento torsor). Se trata de un estado tensional plano que produce cambio de forma y de volumen del hexaedro diferencial aislado en el entorno del punto que se analiza. Se representa la circunferencia de Mohr para la situación:

Para el análisis efectuado,

σ1 y σ3 resultan siempre de distinto signo (ver construcción grafica)

Se recuerda la convención de signos:

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10.2- Estado tensional de solicitación axil. Se produce cuando en la sección transversal actúa esfuerzo normal y/o momento flexor (solo tensiones normales). Se trata de un estado tensional simple que produce cambio de forma y de volumen del hexaedro diferencial aislado en el entorno del punto que se analiza. Se representa la circunferencia de Mohr para la situación:

10.3- Estado tensional de corte puro. Se produce cuando en la sección transversal actúa esfuerzo de corte y/o momento torsor (solo tensiones tangenciales). Se trata de un estado tensional plano que produce cambio de forma del hexaedro diferencial aislado en el entorno del punto que se analiza. Se representa la circunferencia de Mohr para la situación:

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ESTADO DE DEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE PUNTOS DE MEDIOS CONTINUOS. 1-Concepto de deformación La deformación es, en sentido generalizado, el cambio de forma y volumen que experimenta un cuerpo solicitado por fuerzas u otras causas, como consecuencia de la variación de distancia entre sus puntos y la rotación de los segmentos infinitesimales definidos entre los mismos. En la naturaleza no existen los cuerpos perfectamente rígidos y por lo tanto todos en mayor o menor medida al ser solicitados se deforman. En el contexto, los cuerpos son las estructuras y las deformaciones en estudio resultan de pequeña magnitud.

2- Concepto de deformación en el entorno de un punto según una dirección. Considérese un cuerpo eficientemente vinculado (se restringe así todo movimiento roto-traslatorio) y solicitado por fuerzas de acción estática. En dicho cuerpo se identifica un punto A (el cual se considera fijo antes y después de la deformación para simplificar la exposición) y un punto B ubicado a distancia infinitamente pequeña de A (dl) en la dirección caracterizada por el versor ň. Todo lo hasta aquí expresado se grafica a continuación:

A medida que las fuerzas se incrementan hasta llegar a su valor final, el cuerpo experimenta el proceso de deformación, alcanzándose la situación que se indica:

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Se define entonces deformación en el entorno del punto A según la dirección ň mediante la expresión:

La magnitud definida resulta adimensional dado que se trata del cociente entre dos longitudes. Como por un punto pasan infinitas direcciones se dice conocido el estado de deformación en su entorno cuando se conocen los infinitos vectores deformación asociados a las infinitas direcciones pasantes por el mismo. La deformación es también una magnitud de tipo tensorial pues asigna un vector a cada dirección. De la expresión anterior se deduce que:

La última expresión será de utilidad en los desarrollos que siguen.

3-Deformaciones longitudinales y transversales. Dado un punto A y una dirección definida por su versor ň existirá un vector deformación al cuál se le puede definir dos componentes: una de la dirección del versor ň y otra perpendicular a la misma. A la primera de las componentes se la denomina Deformación longitudinal y a la segunda de ellas Deformación transversal. Lo expresado se grafica:

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4-Determinación del estado deformación en el entorno de un punto cuando se conocen las componentes de deformación asociadas a tres direcciones ortogonales entre si, pasantes por el mismo. Por sencillez de exposición se desarrolla un caso plano y luego se generaliza al caso espacial.

A continuación y considerando fijo el punto A, se aplican de a una las componentes de deformación asociadas a las direcciones X e Y, con el objeto de visualizar el fenómeno físico de la deformación. En dirección X.

Analíticamente:

εXA,n.dl = εx.dl.l + εyx.dl.m

y dividiendo por dl

εXA,n = εx.l + εyx.m

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En dirección Y.

Analíticamente:

εYA,n.dl = εxy.dl.l + εy.dl.m

y dividiendo por dl

εYA,n = εxy.l + εy.m

Se muestra a continuación el elemento diferencial deformado como consecuencia de la acción conjunta de las componentes de deformación:

Extendiendo el resultado al caso general (espacial) y expresando matricialmente se tiene:

Se demuestra a continuación que, para que el tensor precedente resulte efectivamente el tensor de deformaciones, se debe cumplir la igualdad de las deformaciones transversales en coordenadas cruzadas. Es decir:

εxy=εyx , εyz=εzy , εxz=εzx

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Para la demostración se parte de considerar que dichas deformaciones no resultan iguales. Como consecuencia, el tensor analizado no resulta simétrico pero admite ser descompuesto en la suma de un tensor simétrico y un tensor antisimétrico tal como se indica a continuación (por sencillez se analiza un caso plano y luego se generaliza el resultado obtenido):

Si a continuación se describe el movimiento de un elemento diferencial ubicado en el entorno del punto A mediante el tensor antisimétrico resulta:

De la simple observación de la figura que precede, se concluye que el elemento diferencial rota sin deformarse respecto de un eje de dirección z pasante por el punto A (movimiento de cuerpo rígido). Por lo tanto: Para que el tensor inicial no incluya movimiento de cuerpo rígido (y por lo tanto represente realmente

ε

ε

al tensor de deformaciones) debe cumplirse la igualdad yx= xy dado que el ángulo de rotación rígida (ver figura) se relaciona con la diferencia entre los términos igualados. Mediante análisis análogos se obtienen las siguientes igualdades:

εyz=εzy , εxz=εzx

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5-Angulo de distorsión. Dadas dos direcciones ortogonales entre si antes de la deformación y pasantes por el punto en estudio, se denomina ángulo de distorsión a la variación del ángulo recto luego del proceso de deformación. A continuación se grafica y se cuantifica recordando que el ángulo en estudio cumple con la teoría de pequeñas rotaciones:

Un resultado positivo del ángulo de distorsión implica que los segmentos (inicialmente ortogonales entre si) se acercan. En caso contrario los mismos se alejan.

6-Comentarios sobre el estado de deformación. 6.1-El tratamiento algebraico del estado de deformación en el entorno de un punto es análogo al del estado de tensión ya analizado. En particular es posible la determinación de direcciones y deformaciones principales. 6.2-No necesariamente la clasificación del estado de deformación debe coincidir con la correspondiente al estado de tensión. Así por ejemplo a un estado simple de tensiones puede corresponderle un estado triple de deformaciones. 6.3-Para los puntos ubicados en la sección transversal de una barra solicitada se tiene: 6.3.1- Estado tensional de solicitación axil. Se trata de un estado de tensión simple acompañado de un estado de deformación triple del hexaedro diferencial aislado en el entorno del punto que se analiza. 6.3.2- Estado tensional general. Se trata de un estado de tensión doble acompañado de un estado de deformación triple del hexaedro diferencial aislado en el entorno del punto que se analiza. 6.3.3- Estado tensional de corte puro. Se trata de un estado de tensión doble acompañado de un estado de deformación doble del hexaedro diferencial aislado en el entorno del punto que se analiza. Luego que el lector complemente su conocimiento al relacionar tensiones con deformaciones podrá comprobar lo precedentemente indicado.

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7-Roseta de deformación. Una roseta de deformación es un arreglo de tres extensometros eléctricos (strain gage) utilizado en laboratorio para medir el estado de deformación en el entorno de un punto de un elemento plano solicitado mediante un estado plano de tensiones. La situación no implica que el estado de deformación también resulte plano. Mediante este procedimiento se obtienen las deformaciones longitudinales correspondientes a tres direcciones que dependen del tipo de roseta. La más común en el medio local es la denominada roseta a 60°.A continuación se adjunta una foto:

A partir del resultado de laboratorio es posible mediante expresiones analíticas, obtener las componentes de deformación correspondientes a un sistema de referencia previamente establecido y a partir de dicha situación efectuar el estudio detallado de tensiones y deformaciones. Se indica a continuación la expresión de transformación para un sistema de coordenadas X, Y, Z considerando a Z como la dirección principal de tensión nula.

Se recuerda que las deformaciones principales resultan valores máximos y mínimos pudiendo ser obtenidas recurriendo al análisis matemático a partir de la expresión precedente.

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RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES EN EL ENTORNO DE UN PUNTO. LEY DE HOOKE GENERALIZADA. Se grafican los diagramas correspondientes a tensiones normales y tangenciales del material en consideración:

El módulo de elasticidad transversal se relaciona con el longitudinal mediante el coeficiente de Poisson (µ) a partir de la expresión:

La expresión indicada será justificada al estudiar el concepto de energía de deformación.

1-Relación entre tensiones normales y deformaciones longitudinales. Se analiza en lo que sigue un elemento diferencial en el entorno de un punto:

εx=σx/E Por analogía si actúa la tensión

σy

εy=-µσx/E εz=-µσx/E

se obtiene:

εx=-µσy/E

εy=σy/E εz=-µσy/E

UTN. BA - ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Finalmente si actúa la tensión

σZ

30

resulta:

εx=-µσz/E

εy=-µσz/E εz=σz/E

Si simultáneamente actúan las tres tensiones normales las expresiones que resultan se indican a continuación:

εx=(σx - µσy - µσz)/E

εy=(σy- µσz - µσx)/E

εz=(σz - µσx - µσy)/E

En terna principal las expresiones se indican como sigue:

ε1=(σ1- µσ2 - µσ3)/E

ε2=(σ2- µσ3 - µσ1)/E

ε3=(σ3 - µσ1 - µσ2)/E

2-Relación entre las tensiones tangenciales y el ángulo de distorsión.

γxy =Τxy/G

Análogamente:

γyz =Τyz/G

γxz =Τxz/G

3-Comentario importante. Es necesario destacar que las relaciones obtenidas ajustan con las hipótesis establecidas respecto del material constitutivo del cuerpo que se analiza. En especial es determinante la hipótesis de isotropía que permite independizar las deformaciones longitudinales de las tensiones tangenciales y las distorsiones de las tensiones normales. Consecuentemente, las direcciones principales de tensión coinciden con las direcciones principales de deformación. Mas adelante se justifica la presente afirmación con mayor rigurosidad.

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4-Variación especifica de volumen en el entorno de un punto. Se parte para el análisis, de un hexaedro de aristas unitarias ubicado en el entorno del punto que se analiza. Por simplicidad se refiere el problema a la terna principal:

v= ∆V/V= [(1+ ε1). (1+ ε2). (1+ ε3) - 1] / 1 Operando algebraicamente y teniendo presente que los productos entre componentes de deformación resultan infinitésimos de orden superior se obtiene:

v =Variación especifica de volumen= ε1+ε2+ε3=I1def I1def: es el invariante lineal del tensor de deformaciones. Haciendo uso de las relaciones entre tensiones normales y deformaciones longitudinales, reemplazando y operando algebraicamente se puede expresar la variación específica de volumen como sigue:

v=Variación especifica de volumen= (1-2µ). I1tens /E La última expresión permite afirmar que: 1-El cambio de volumen del elemento diferencial es función del invariante lineal de tensiones o deformaciones. 2-Al haber considerado en el análisis un aumento de volumen se concluye que isótropos debe resultar menor a 0.5.

µ para los materiales

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ENERGIA DE DEFORMACION. 1-Principio de equivalencia entre el trabajo y la energía. El principio indicado en el titulo, es la forma que adopta el primer principio de la termodinámica aplicado al sólido deformable. En dicha situación el proceso es considerado adiabático (sin intercambio de calor con el medio). En virtud del párrafo precedente, si sobre un cuerpo deformable actúa un sistema de fuerzas en equilibrio, entonces el trabajo desarrollado por el sistema de fuerzas exteriores resulta igual a la energía potencial elástica (o energía de deformación) acumulada por el cuerpo. A su vez ambas cantidades resultan iguales al trabajo de las fuerzas de reacción elástica (conocidas como fuerzas interiores) cambiado de signo (se debe tener presente que las fuerzas interiores se oponen a la deformación y por lo tanto desarrollan trabajo negativo).

We=U=-Wi 2-Análisis de la energía de deformación (U). Se analiza a continuación la energía acumulada en el entorno de los infinitos puntos constitutivos del cuerpo en estudio, considerando un diferencial de volumen asociado a cada uno de ellos. Gráficamente:

En el caso más general el estado de tensión en el entorno del punto puede presentar tensiones normales y tangenciales. Se estudia en lo que sigue y en forma separada la energía acumulada por el elemento diferencial de volumen en presencia de cada una de ellas.

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Caso de tensiones normales:

Si el diferencial de energía de deformación se refiere al diferencial de volumen, se obtiene la energía de deformación por unidad de volumen denominada habitualmente energía específica de deformacion. Es decir:

Caso de tensiones tangenciales:

En este caso la energía específica de deformación resulta:

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σ σ σ τ τ

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τ

Si se considera que sobre el elemento diferencial de volumen actúan X, Y, Z, XY, YZ y XZ, las cuales crecen simultáneamente desde cero hasta su valor final, entonces la energía específica de deformación se expresa como:

Si el estado de tensión en el entorno del punto se caracteriza por el tensor principal, la expresión anterior se escribe como sigue:

Reemplazando las deformaciones principales en función de la Ley de Hooke generalizada y luego de operar algebraicamente se arriba a la siguiente expresión para la energía especifica de deformación en función de los invariantes del estado de tensión en el punto.

3-Descomposición de la energía especifica de deformación. Como se sabe, un cuerpo solicitado se deforma (cambia de volumen y de forma).En particular puede cuantificarse en el entorno de cada punto, la energía especifica de deformación correspondiente al cambio de volumen y también la correspondiente al cambio de forma. Lógicamente la suma de ambas se corresponde con la energía específica total de deformación. Es decir:

Considérese conocido el estado de tensión en el entorno de un punto a partir del tensor principal. La descomposición del mismo en tensor esférico (cambio de volumen) y tensor desviador (cambio de forma) es la que se indica a continuación:

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Si se aplica la expresión general de la energía específica de deformación al tensor esférico resulta cuantificada dicha energía correspondiente al cambio de volumen. Entonces:

Finalmente, la energía específica correspondiente al cambio de forma (comúnmente denominada energía específica de distorsión) puede obtenerse aplicando la expresión general de la energía específica de deformación al tensor desviador. Entonces:

Puede comprobar el lector que si µ tiende a 0.5 (limite del coeficiente de Poisson para los materiales caracterizados por las hipótesis iniciales) entonces la energía especifica correspondiente al cambio de volumen tiende a cero y la energía especifica total coincide con la correspondiente al cambio de forma.

4-Justificación de la expresión G=E/2(1+µ). Para la justificación se determina la energía específica de deformación en el entorno de un punto, correspondiente al estado de tensión de corte puro. Primero se determina en función de las tensiones tangenciales y luego en función de las tensiones principales. Entonces:

La energía específica de deformación depende exclusivamente del estado de tensión y deformación en el entorno del punto y no del tensor con que se los caracterice. Por lo tanto igualando las expresiones de la energía obtenidas en función de las tensiones tangenciales y de las tensiones principales resulta:

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5-Justificación de la coincidencia de las direcciones principales de tensión y deformación para los materiales isótropos. Considérese que el estado tensional en el entorno de un punto solo origina cambio de forma del hexaedro diferencial aislado en el entorno del mismo. Para que dicha situación ocurra el tensor de tensiones debe resultar desviador (I1=0).Gráficamente:

Aplicado relaciones entre tensiones y deformaciones resulta:

εx=(σx - µσy - µσz)/E=[σx - µ(I1 - σx)]/E Análogamente:

εxy =Τxy/2G Análogamente:

como I1=0

εx=(1+µ)σx/E

εy=(1+µ)σy/E εz=(1+µ)σz/E o, lo mismo:

εxy = (1+µ)Τxy/E

εyz = (1+µ)Τyz/E εxz = (1+µ)Τxz/E

El tensor de deformaciones queda escrito en función del tensor de tensiones como sigue:

Como se puede observar se trata de dos tensores proporcionales y por lo tanto presentan las mismas direcciones principales. Ahora bien, para que lo expresado pueda extenderse a un caso general seria necesario sumar un tensor esférico de tensiones. Pero dicho tensor genera infinitos planos principales con igual tensión principal en todos ellos y por lo tanto no modifica las direcciones principales del estado tensional general, las cuales se determinan mediante el tensor desviador.

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TEORIAS DE FALLA. 1-Planteo del problema. Considérese un cuerpo solicitado por un sistema de fuerzas en equilibrio y dos puntos A y B pertenecientes al mismo.

LA IDEA ES DEFINIR EN CUAL DE LOS PUNTOS EL ESTADO TENSIONAL ES MAS PELIGROSO Para dar respuesta a la inquietud planteada, surgen las distintas teorías de falla cuyo enunciado general resulta: DOS ESTADOS TENSIONALES SON IGUALMENTE PELIGROSOS CUANDO PRESENTAN IGUAL:…….. …………………………………….(VER INDICADORES).

Indicadores Cada indicador mencionado a continuación define una teoría de falla distinta. a-Tensión principal máxima. En este caso es necesario tener presente que el material puede presentar igual o distinto comportamiento a tracción y compresión. b-Deformación principal máxima. En este caso es necesario tener presente que el material puede presentar igual o distinto comportamiento a tracción y compresión. c-Tensión tangencial máxima (Tresca). Se recuerda que de la tensión tangencial solo interesa el módulo. d-Tensión tangencial octaédrica. e-Energía especifica total. f-Energía especifica de cambio de forma (o de distorsión) (Von Mises).

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Definido el punto con el estado tensional más peligroso, es necesario analizar que proximidad a la falla presenta. Para ello se lo transforma en un estado de tensión de solicitación axil equivalente (el estado de tensión de solicitación axil es sencillo de generar en laboratorio) de acuerdo a la teoría de falla que se pretenda. Es decir:

2-Determinación de la tensión equivalente. A continuación se determina la tensión equivalente de acuerdo a las distintas teorías de falla. a-Tensión principal máxima. Considerando que

σ1 es la tensión principal máxima

σeq=σ1

resulta:

b-Deformación principal máxima. Considerando que

ε1 es la deformación principal máxima resulta:

σeq/E=(σ1-µσ2-µσ3)/E

σeq=(σ1-µσ2-µσ3)

c-Tensión tangencial máxima (Tresca).

σeq/2=(σ1-σ3)/2

σeq=σ1-σ3

d-Tensión tangencial octaédrica.

0.4714σeq=0.4714(I1 -3I2)0.5 2

σeq=(I12-3I2)0.5

e-Energía especifica total.

σeq2/2E=[I12-2(1+µ)I2]/2E

σeq=[I12-2(1+µ)I2]0.5

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f-Energía especifica de cambio de forma (o de distorsión) (Von Mises).

(1+µ)σeq /3E=(1+µ) [I1 -3I2]/3E 2

2

σeq=(I12-3I2)0.5

El lector puede observar dos cuestiones de interés: 1-La expresiones obtenidas en los puntos d y f son coincidentes. 2-Cuando µ tiende a 0.5 (el cambio de volumen tiende a 0) la expresión del punto e tiende a la del punto f.

3-Comparación de la tensión equivalente. Conocida la tensión equivalente mediante cualquiera de las teorías de falla mencionadas, la misma se compara con la tensión de falla del material constitutivo del cuerpo, obtenida en un ensayo de solicitación axil (tracción o compresión según el tipo de material). Como se sabe, dentro del campo de la Ingeniería Civil, el acero y el hormigón son los materiales más habituales en la construcción de estructuras. Acero Se lo ensaya a tracción y como es un material de comportamiento dúctil debe cumplirse:

σeq≤σadm=σfluencia / coef. seg. EL COEFICIENTE DE SEGURIDAD PROMEDIO PARA EL ACERO ES 1.5. Hormigón Se lo ensaya a compresión y como es un material de comportamiento frágil debe cumplirse:

σeq≤σadm=σrotura / coef. seg. EL COEFICIENTE DE SEGURIDAD PROMEDIO PARA EL HORMIGON ES 3.0.

4-Teorías de falla adecuadas a materiales dúctiles y frágiles. A continuación y considerando como estado tensional existente el de corte puro, se determina la tensión equivalente mediante las distintas teorías de falla y el resultado obtenido se compara con datos experimentales. Entonces:

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a-Tensión principal máxima. Considerando que

σ1 es la tensión principal máxima

resulta:

σeq=τ

b-Deformación principal máxima. Considerando que

ε1 es la deformación principal máxima resulta: σeq=(1+µ)τ

c-Tensión tangencial máxima (Tresca):

d-Tensión tangencial octaédrica:

e-Energía especifica total:

σeq=2τ

σeq=1.732τ

σeq=[2(1+µ)]0.5 τ

f-Energía especifica de cambio de forma (o de distorsión) (Von Mises):

σeq=1.732τ

Si particularmente la tensión tangencial es la de fluencia y la tensión equivalente (tensión normal) también es la de fluencia, considerando resulta:

τ

a- fluencia=

τ

µ

entre 0.2 y 0.3 y aplicando las expresiones precedentes

σfluencia b-τfluencia=(0.77 a 0.83)σfluencia c-τfluencia=0.50σfluencia

d- fluencia=0.577

σfluencia e-τfluencia=(0.62 a 0.64)σfluencia f-τfluencia=0.577σfluencia

Al ensayar a tracción y torsión el acero utilizado en construcciones metálicas (material dúctil), la relación entre la tensión tangencial de fluencia y la tensión normal de fluencia es 0.6 en promedio y consecuentemente las teorías de falla indicadas en los puntos c a f son de aplicación. A diferencia, la falla del hormigón (material frágil) se produce como consecuencia de las tensiones principales y por lo tanto le son aplicables las teorías de falla indicadas en los puntos a y b.

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5-Aplicación de las teorías de falla al estado tensional que se origina en el entorno de un punto correspondiente a la sección transversal de una barra solicitada. A continuación y para el estado tensional más general que puede ocurrir en el entorno de un punto perteneciente a la sección transversal de una barra solicitada (las tensiones normales son debidas a solicitación axil y/o flexión y las tensiones tangenciales son debidas a solicitación por torsión y/o corte) se determinan los parámetros de mayor interés:

La mayor parte de los problemas que se desarrollan en Resistencia de Materiales refieren al acero (material dúctil) como material constitutivo de los elementos estructurales que se analizan. Desde el punto de vista práctico la teoría más utilizada es la que considera la energía específica del cambio de forma o de distorsión (Von Mises) como el motivo de falla del material. Su expresión analítica resulta entonces:

σeq=[I12-3I2]0.5=[σZ2+3τZ2]0.5 Se recuerda que la expresión coincide con la aportada por la teoría que considera a la tensión tangencial octaédrica como causal de falla. Aunque con menor frecuencia, también se utiliza la teoría que considera la máxima tensión tangencial (Tresca) como motivo de falla del material. En este caso la expresión analítica es la que sigue:

σeq=σ1-σ3=[σZ2+4τZ2]0.5 Como se puede observar, el resultado aportado por Tresca es más conservador que el aportado por Von Mises.

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6- Breve comentario sobre la teoría de falla empírica de Mohr. Dado determinado material y conocidos los resultados de laboratorio del ensayo de tracción, compresión y torsión (tensión de fluencia para materiales dúctiles y de rotura para materiales frágiles) es posible construir la envolvente de falla del material tal como se grafica a continuación:

Mediante la representación precedente es posible evaluar el coeficiente de seguridad de todo estado tensional que representado por la circunferencia de Mohr quede ubicado dentro de la envolvente de falla del material. Gráficamente:

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En Mecánica de suelos (Geotecnia) se utiliza la teoría de falla de Mohr-Coulomb a partir de los resultados de laboratorio del ensayo de corte directo. Es objeto de la metodología obtener dos parámetros de importancia referentes a la muestra de suelo que se analiza: la cohesión (C) y el ángulo de fricción interna (Φ).A continuación se grafica el procedimiento:

Para cada valor de carga P (σ) se determina el valor de carga H (τ) necesario para producir la rotura del suelo sobre el plano de deslizamiento indicado en la figura. Se representa la circunferencia de Mohr correspondiente y se repite el procedimiento variando P. La recta que resulta tangente a las circunferencias trazadas permite definir la cohesión y el ángulo de fricción interna de la muestra de suelo analizada.

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1

ESFUERZO AXIL O NORMAL EN REGIMEN ELASTICO. 1- Análisis de barras solicitadas por fuerzas. En lo que sigue se considera una barra de eje recto, de sección transversal constante y área A, constituida por un material de módulo de elasticidad longitudinal E también constante y cargada de forma que sus infinitas secciones transversales solo presenten esfuerzo axil. Gráficamente:

Se plantea como hipótesis y se verifica experimentalmente, que luego del proceso de deformación originado por el estado de carga, en cualquier sección transversal de la barra todos los puntos pertenecientes a la misma experimentan idéntico corrimiento, el cuál resulta perpendicular a dicha sección transversal. A continuación se grafica lo expresado en este párrafo, para un elemento diferencial aislado de la estructura indicada en la Figura 1 suponiendo fija una de las caras.

Si el corrimiento longitudinal experimentado por cualquier punto de la sección transversal, se refiere a la longitud inicial del elemento diferencial analizado (dz), se obtiene el régimen de deformaciones longitudinales que ocurre en dicha sección transversal. Es decir:

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2

Haciendo uso de la Ley de Hooke es posible encontrar el régimen de tensiones normales asociado al régimen de deformaciones longitudinales definido por la expresión anterior:

Aplicando la ecuación de equivalencia y teniendo en cuenta la constancia de la tensión normal en la sección transversal resulta:

Cuando el elemento en estudio resulta comprimido, es necesario evaluar adicionalmente la posibilidad de deformación lateral del mismo. El fenómeno indicado se conoce como pandeo y genera la necesidad de ajustar la expresión anterior. Esta situación será oportunamente estudiada pues requiere previamente analizar la solicitación por flexión y abandonar la hipótesis de linealidad estática. Dado que el baricentro de cada sección transversal puede experimentar un corrimiento longitudinal diferente, es posible definir la función corrimiento longitudinal integrando en forma indefinida la expresión:

La constante de integración surge de la condición de borde del problema.

Ejemplos de aplicación. Caso isostático 1: Para la estructura que continúa determinar: N(z) ;

Resolución:

N(z)=F

σ(z)=F/A

σ(z) ; ξ(z) ; ε(z)

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3

ε(z)=ξ´(z)=F/E.A ξ(z) = F.z /E.A En particular si Z=L se tiene:

ξ(L) = F.L /E.A

Expresión mas conocida como:

∆L=N.L /E.A

Las dos últimas expresiones serán reiteradamente mencionadas y utilizadas en los desarrollos que siguen.

El producto E.A se denomina rigidez axil de la barra. Caso isostático 2: Para la estructura que continúa determinar: N(z) ;

Resolución:

N(z)=q(L-z)

σ(z)=q(L-z)/A ε(z)=ξ´(z)=q(L-z)/E.A ξ(z) =q(L.z - 0.5z2)/E.A

σ(z) ; ξ(z) ; ε(z)

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4

Gráficamente:

Caso hiperestático: Para la estructura que continúa determinar: N(z) ;

σ(z) ; ξ(z) ; ε(z)

Resolución: En este caso se desconoce la función esfuerzo normal pero es conocida la función fuerza distribuida longitudinal. Entonces, partiendo de la expresión:

ε(z)=ξ´(z)=N(z)/E.A Si se deriva una vez respecto de la variable resulta:

ξ´´(z)= - qz(z)/E.A

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5

Teniendo en cuenta la función fuerza distribuida para el caso que se analiza resulta:

ξ´´(z)= - q(L-z)/L.E.A Integrando una vez respecto de la variable resulta:

ξ´(z)= - q(L.Z-0.5Z 2)/L.E.A

+ C1

Integrando nuevamente se tiene:

ξ(z)= - q(0.5L.Z2-0.1667Z 3)/L.E.A

+ C1.Z + C2

Aplicando las condiciones de borde del problema se tiene: Si Z=0 → ξ(0)=0=

-q.0 + C1.0 + C2 → C2=0 -

2

Si Z=L → ξ(L)=0= 0.3333q.L /E.A + C1.L → C1= 0.3333q.L/E.A Finalmente:

ξ(z)= - q(0.5L.Z2-0.1667Z 3)/L.E.A

+ 0.3333q.L.Z/E.A

Conocida la función corrimiento longitudinal es posible expresar las restantes funciones como sigue: Función deformación longitudinal.

ε(z)=ξ´(z)= - q(L.Z-0.5Z 2)/L.E.A

+ 0.3333q.L/E.A

Función tensión normal.

σ(z)=ε(z).E= - q(L.Z-0.5Z 2)/L.A

+ 0.3333q.L/A

Función esfuerzo normal.

N(z)=σ(z).A= - q(L.Z-0.5Z 2)/L + 0.3333q.L Queda a criterio del lector graficar las funciones y efectuar el análisis crítico de los resultados obtenidos.

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6

2- Análisis de barras solicitadas por variación de temperatura uniforme. Introducción: En esta sección se analiza el caso de elementos estructurales que varían uniformemente su temperatura con respecto al momento de construcción. Se estudia primero un caso isostático y luego un caso hiperestático con el objeto de determinar las diferencias de respuesta. Caso isostático:

La variación de temperatura actuando en sistemas isostáticos NUNCA origina solicitaciones. En efecto, por reducción del sistema de fuerzas exteriores (HA, VA y VB) al punto A se tiene:

RZ=0→ HA=0

RY=0→ VA + VB =0

MXA=0→ -VB.L =0

→ HA = VA = VB =0

Al no generarse reacciones de vínculo externo tampoco se generan reacciones de vínculo interno, confirmando lo enunciado en el párrafo que precede. Esta situación no implica que la barra no se deforme como consecuencia de la variación de temperatura. La función corrimiento longitudinal resulta:

ξ(z)

= - λ . ∆T . (L - Z)

λ es el coeficiente de dilatación térmica del material. Tanto para el Acero como para el Hormigón vale 0.00001 1/ºC, situación que permite trabajar sin inconvenientes en ese aspecto con el material compuesto Hormigón Armado (Hormigón reforzado con barras de Acero) Finalmente la función deformación longitudinal resulta en este caso:

ε(z) = ξ´(z) = λ. ∆T

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7

Caso Hiperestático:

Se utiliza para la resolución el caso isostático previamente desarrollado.Entonces, aplicando superposición de efectos resulta:

Observando la figura precedente se tiene la siguiente ecuación de compatibilidad (así se denomina toda ecuación que refiere a deformaciones):

i

i

ξhB= 0 = ξ B, ∆T + ξ B, HB Operando con dicha expresión es posible obtener HB como sigue:

0= - λ. ∆T. L + HB.L / E.A → HB = E.A.λ.∆T Obtenido el valor de HB es posible graficar el sistema isostático equivalente al sistema hiperestático como se indica a continuación:

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8

Conclusiones. Al resolver el sistema hiperestático (a diferencia del isostático) es necesario conocer las características geométricas y mecánicas (E.A) pues es necesario considerar la deformación de la estructura. A diferencia del caso isostático, la barra presenta esfuerzo normal negativo y constante de valor HB. (si la variación de temperatura es negativa, la barra resulta traccionada.). Obsérvese también que, para determinado material y determinada variación de temperatura, HB resulta proporcional al área de la sección transversal. Si se determina la tensión normal (uniforme en toda la barra) la misma resulta:

σ=N/A=HB/A=E.λ.∆T → σ= E.λ.∆T La última expresión es importante pues indica que, a diferencia del caso de fuerzas, en variación de temperatura la tensión normal no puede ser controlada modificando el área de la sección transversal. Por este motivo cuando la tensión normal resulta incompatible con la admisible del material, se decide recurrir a estructuras isostáticas que, como ya se estudió, se dilatan o contraen libremente. A continuación se obtienen formalmente las funciones: corrimiento longitudinal, deformación longitudinal, esfuerzo normal y tensión normal:

ξh(z) = ξi∆T (z) + ξiHB (z) = - λ.∆T.( L - Z ) + HB.( L - Z )/E.A Reemplazando HB por el valor anteriormente obtenido resulta:

ξh(z)

= - λ.∆T.( L - Z ) +

λ.∆T.( L - Z ) →

ξh(z)=0 para todo z

Dado que la función deformación longitudinal es la primera derivada de la función corrimiento longitudinal resulta entonces:

εh(z)= 0 para todo z Las funciones esfuerzo normal y tensión normal, como ya se sabe, dependen exclusivamente de la reacción de vínculo HB (causa deformante fuerza). De esta forma:

Nh(z)= - λ.∆T.E.A compresión constante

σh(z) = - λ.∆T.E compresión constante

UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020

9

3- Análisis de barras compuestas por más de un material. Caso de vinculación isostática.

En la estructura que precede se determina: a) El corrimiento longitudinal de la sección A (ξA). b) El esfuerzo normal en cada uno de los materiales. Entonces:

ξA=N1.L/E1.A1 → N1=ξA.E1.A1/L ξA=N2.L/E2.A2 → N2=ξA.E2.A2/L H=N1+N2=ξA.E1.A1/L+ξA.E2.A2/L=ξA.(E1.A1+E2.A2)/L

ξA=H.L/(E1.A1+E2.A2) N1=H.E1.A1/(E1.A1+E2.A2)

N2=H.E2.A2/(E1.A1+E2.A2)

Los resultados obtenidos serán de utilidad en el caso que continúa. Caso de vinculación hiperestática.

En la estructura de la figura determinar: a) El diagrama de esfuerzos normales en cada uno de los materiales. b) El corrimiento longitudinal de las secciones B y C (ξB y

ξC).

10 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Resolución: Dado que se trata de una estructura hiperestática se resolverá obteniendo el sistema isostático equivalente al sistema híperestático tal como se indica a continuación:

La ecuación de compatibilidad es la que se escribe:

i

Calculo de

i

i

ξ A,Fuerzas

ξ D,Fuerzas=0 i

i

ξhA=0=ξ A,Fuerzas + ξ A,HA i

ξ C,Fuerzas=0 + 50Knx100cm/(21000x468+11000x272)Kn=3.9x10 cm -4

ξ B,Fuerzas=3.9x10 cm + 50Knx100cm/(11000x272)Kn=2.061x10 cm i

-4

-3

ξ A,Fuerzas=2.061x10 cm + 0Knx200cm/(21000x304+11000x272)Kn= 2.061x10 cm -3

-3

11 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Calculo de

i

ξ D,HA=0 i

i

ξ A,HA i

ξ C,HA=0 - HAx100cm/(21000x468+11000x272)Kn= -7.8x10 cm.HA / Kn -6

ξ B,HA= -7.8x10 cm.HA / Kn - HAx100cm/(11000x272)Kn= -4.122x10 cm.HA / Kn i

-6

-5

ξ A,HA= -4.122x10 cm.HA / Kn - HA x200cm/(21000x304+11000x272)Kn= i ξ A,HA= -6.255x10 cm.HA / Kn -5

-5

Reemplazando en la ecuación de compatibilidad se tiene:

HA=32.95Kn

El sistema isostático equivalente al sistema híperestático resulta entonces:

Determinacion de esfuerzos normales. Tramo AB

Nhacero=-32.95Knx(21000x304)Kn/(21000x304+11000x272)Kn=-22.435Kn Nhcobre=-32.95Knx(11000x272)Kn/(21000x304+11000x272)Kn=-10.515Kn Tramo BC

Nhcobre=(50Kn - 32.95Kn)=17.05Kn Tramo CD

Nhacero=(50Kn - 32.95Kn)x(21000x468)Kn/(21000x468+11000x272)Kn=13.071Kn Nhcobre=(50Kn - 32.95Kn)x(11000x272)Kn/(21000x468+11000x272)Kn=3.979Kn

12 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Representación de los diagramas de esfuerzos normales para ambos materiales.

Determinación de

ξhC

El corrimiento solicitado puede ser determinado teniendo en cuenta cualquiera de los materiales.Es decir: Considerando el acero:

ξhD=0

ξhC=0 + 13.071Knx100cm/(21000x468)Kn= 1.33x10 cm -4

Considerando el cobre:

ξhD=0

ξhC=0 + 3.979Knx100cm/(11000x272)Kn= 1.33x10 cm -4

Determinación de

ξhB

ξhB= 1.33x10 cm + 17.05Knx100cm/(11000x272)Kn= 7.03x10 cm -4

-4

13 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020

4- Aplicación del principio de los trabajos virtuales (PTV) a la determinación de magnitudes cinemáticas consecuencia de la deformación axil de las barras. En este apartado se estudia la aplicación indicada en el titulo, para una estructura reticulada (por definición las barras son de eje recto con esfuerzo axil constante) solicitada como se indica en la figura que continúa:

En primer lugar se procede a su dimensionamiento considerando que la misma se construye con caños de acero de espesor 3/16¨=4.76mm (1¨=25.4mm).Los datos del material son los que se indican: Acero F-24 (σf =240Mpa)

ν=coeficiente de seguridad=1.6 σt adm=σf / ν=150Mpa

σc adm = 0.333.σt adm

E=210000MPa

λ=coef de dilatación termica=0.00001 1/°C

Se determina a continuación el diámetro exterior de los caños para que resistan admisiblemente. Del análisis estático de la estructura surgen los siguientes valores de esfuerzo normal en las barras: NAB=50Kn (tracción) NBC=40Kn (compresión) Como se sabe, en los sistemas isostáticos solicitados por variación de temperatura no se generan reacciones de vínculo externo ni interno. Recordando la expresión tiene:

σ =N/A

y teniendo presente que 1Kn=100Kg y 1MPa=10Kg/cm2 se

Barra AB

AABnec= 5000Kg/1500kg/cm2=3.33cm2 El diámetro exterior del caño surge de la siguiente expresión: 3.33cm2=(π/4).[De2– (De – 0.952)2] cm2 → De=2.71cm .Se adopta comercialmente De=1 ¼¨ Finalmente para la barra AB es necesario un caño de (1 ¼ x 3/16)¨ A=4.03cm2

14 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Barra BC

ABCnec= 4000Kg/500kg/cm2=8cm2 El diámetro exterior del caño surge de la siguiente expresión: 8cm2= (π/4).[De2– (De – 0.952)2] cm2 → De=5.83cm .Se adopta comercialmente De=2 ½¨ Finalmente para la barra BC es necesario un caño de (2 ½ x 3/16)¨ A=8.78cm2 La reducción en la tensión admisible de compresión respecto de la de tracción obedece a considerar, al menos en forma conceptual, el fenómeno de pandeo ya enunciado. A continuación se determina el corrimiento vertical del nudo B (ηB) aplicando el principio de los trabajos virtuales (PTV). Se desarrolla en forma práctica y luego se justifica. Para ello se parte de los siguientes dos sistemas.

DV:(deformación virtual).Es la estructura con el estado de carga original donde se encuentra presente la magnitud cinemática a determinar (ηB en este caso).

SE:(sistema equilibrado).Es la estructura cargada con una fuerza unitaria adimensional en correspondencia con la magnitud cinemática a determinar (ηB en este caso). Dos magnitudes, una estática y la otra cinemática, se dicen correspondientes o complementarias cuando el trabajo desarrollado entre ellas es máximo en valor absoluto. Se adjunta un resumen de magnitudes correspondientes:

15 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Al indicar el sentido de la fuerza unitaria en el SE, se esta suponiendo el sentido positivo de la incógnita cinemática a determinar. Para ello, el trabajo entre ambas magnitudes debe plantearse SIEMPRE POSITIVO. Planteados ambos sistemas, se determinan los esfuerzos normales. Es decir:

Por ultimo se aplica la siguiente expresión:

Reemplazando valores:

1.ηB=1.333x50Knx400cm/84630Kn + (-1.666) x (-40Kn) x500cm/184380Kn + + (-1.666) x0.0002 x500cm = 0.3153cm + 0.1808cm - 0.1667cm = 0.33cm

ηB=0.33cm - Opine el lector críticamente sobre el resultado obtenido El resultado positivo para el corrimiento implica que el sentido correcto es coincidente con el de la fuerza unitaria. A diferencia, un resultado negativo hubiera indicado en sentido contrario a la fuerza unitaria. A continuación se redacta por partes el enunciado del Principio de los trabajos virtuales en arreglo a la aplicación práctica precedente con el objeto de justificarla teóricamente: Si sobre una estructura actúa un sistema de fuerzas en equilibrio (SE)

16 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 y la misma es virtualmente deformada (DV)

Como se observa, la deformación virtual (DV) es absolutamente independiente del sistema de fuerzas en equilibrio (SE), es pequeña (cumple con la hipótesis de linealidad cinemática) y compatible con las condiciones de vinculo de la estructura. Entonces, el trabajo desarrollado por las fuerzas exteriores del sistema equilibrado (SE) en la deformación virtual (DV) es igual al trabajo de las fuerzas interiores (puestas estas en evidencia) del sistema equilibrado (SE) en la deformación virtual (DV). Es decir:

WVe= WVi Para el caso analizado:

Teniendo presente que el esfuerzo normal es constante resulta la expresión ya utilizada. Es decir:

Ahora bien, existe otro estado de carga que afecta a las estructuras y recibe el nombre de cedimiento de vínculo. Dado que una estructura presenta vínculos externos e internos es posible el estudio de ambos casos.

¿Que particularidad presenta este estado de carga?

17 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Caso de vinculación isostática – cedimiento de vinculo externo

En este caso NUNCA se generan reacciones de vínculo externo ni esfuerzos característicos (el calculo de reacciones de vinculo externo es idéntico al caso de variación de temperatura) y la estructura se traslada (dξ,CV=0)

Caso de vinculación hiperestática – cedimiento de vinculo externo

En este caso se generan reacciones de vínculo externo y esfuerzos característicos y la estructura se deforma. Las reacciones de vínculo externo se indican a continuación:

Queda a criterio del lector, analizar como surgen las reacciones de vinculo externo que preceden, como asi también la determinación y representación grafica de las funciones N(z) ; σ(z) ; ξ(z) ;

ε(z).

Caso de vinculación isostática – cedimiento de vinculo interno

En este caso NUNCA se generan reacciones de vínculo externo ni esfuerzos característicos (el calculo de reacciones de vinculo externo es idéntico al caso de variación de temperatura) y la estructura se traslada (dξ,CV=0)

El lector debe analizar que ocurre si el apoyo móvil se transforma en fijo.

18 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 A continuación se somete la estructura inicial a cedimiento de vínculo como se grafica y se determina ηB aplicando el principio de los trabajos virtuales (PTV). :

Entonces:

dξ

,CV=0 resulta SIEMPRE para el estado de carga cedimiento de Teniendo en cuenta que vínculo actuando en sistemas isostáticos :

WVi=0 En función de esta situación se determina la magnitud cinemática solicitada: Dado que

WVi=0 y WVe=WVi → WVe=0

1.ηB – 1.333x2cm + 1.333x0.5cm=0 →

ηB=2cm

19 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 5- Método de las incógnitas estáticas. Tiene por objeto la resolución de estructuras hiperestáticas (obtención del sistema isostático equivalente al sistema híperestático) de una manera sistemática y utilizando el principio de los trabajos virtuales para la obtención de los términos intervinientes en la ecuación de compatibilidad. En particular y dentro del método, al sistema isostático utilizado en la resolución se lo denomina sistema fundamental y todo término correspondiente a dicho sistema se identifica con un cero como supraíndice. Ejemplo 1: Estructura con un grado de hiperestaticidad.

Considerando uno de los infinitos sistemas fundamentales superposición de efectos se tiene:

y aplicando el principio de

20 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 La ecuación de compatibilidad resulta en este caso:

ηhB=0=η0B,Fuerzas + [η0B,RB=1]xRB Aplicando PTV resulta:

η0B, Fuerzas (En este caso el SE es el S2 y la DV es el S1).Entonces: η0B, Fuerzas = -1.356442cm η0B, RB=1 (En este caso el SE es el S2 y la DV es el S2).Entonces: η0B, RB=1 = 0.05550883cm/Kn Finalmente:

RB=24.4365Kn El sistema isostático equivalente al híperestático resulta:

h

Si se pretende conocer el corrimiento horizontal del nudo E en el sistema híperestático ( ξ E ), la DV es la que precede y el SE el que se indica a continuación:

Operando resulta:

ξhE=0.3966cm

21 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Ejemplo 2: Estructura con dos grados de hiperestaticidad.

La estructura presenta las mismas características geométricas y mecánicas que la del ejemplo 1 Considerando uno de los infinitos sistemas fundamentales superposición de efectos se tiene:

y aplicando el principio de

22 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 El sistema de ecuaciones de compatibilidad es el que se indica a continuación:

ηhB=η0B,CAUSAS + [η0B,RB=1]xRB + [η0B,EAE=1]xEAE ∆I

h

AE=

∆I0AE,CAUSAS + [∆I0AE,RB=1]xRB + [∆I0AE,EAE=1]xEAE

ηhB= -RB/K= -0.02cm/Kn.RB ∆I

h

AE=

-EAE.(L/E.A)AE=-0.03011693cm/Kn.EAE

Aplicando PTV resulta:

η0B, causas (En este caso el SE es el S2 y la DV es el S1).Entonces: η0B, causas + 0.5x2cm + 1x0.5cm = -1.356442cm + (-0.5)x0.00001x(-20) x400cm

1x

η0B, causas= -2.816442cm ∆I0AE, causas

(En este caso el SE es el S3 y la DV es el S1).Entonces:

0

1x∆I AE, causas + 0x2cm -0.6325x0.5cm = -0.00882381cm+0x0.00001x(-20) x400cm

∆I0AE, causas= 0.3074262cm

η0B, RB=1 (En este caso el SE es el S2 y la DV es el S2).Entonces: η0B, RB=1 = 0.05550883cm/Kn η0B, EAE=1 (En este caso el SE es el S2 y la DV es el S3).Entonces: η0B, EAE=1 = -0.0102762cm/Kn

23 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020

∆I0AE, RB=1

(En este caso el SE es el S3 y la DV es el S2).Entonces:

∆I0AE, RB=1 = -0.0102762cm/Kn ¡Obsérvese la igualdad de los dos últimos términos calculados!

∆I0AE, EAE=1

(En este caso el SE es el S3 y la DV es el S3).Entonces:

∆I0AE, EAE=1 = 0.02328965cm/Kn Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las incógnitas:

RB=37.4978Kn

EAE=1.4613Kn

El sistema isostático equivalente al híperestático resulta:

Si se pretende conocer el giro relativo entre las secciones F y G en el sistema híperestático

h

(∆θ FG ), la DV es la que precede y el SE el que se indica a continuación:

Finalmente resulta:

1x∆θ

h

FG +

0x2cm + 0x0.5cm = -0.035381 + 0x0.00001x(-20) x400cm

∆θ

h

FG =

-0.035381

El signo negativo significa: en sentido contrario al supuesto en el SE.

24 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020

6- Análisis de recipientes cilíndricos y esféricos de pared delgada sometidos a presión interior. Introducción: El presente desarrollo es válido exclusivamente para recipientes de pared delgada, (radio medio/espesor =>10) en cuyo caso pueden despreciarse las tensiones en dirección radial. Recipientes cilíndricos

La pared del recipiente se encuentra sometida a la acción de tensiones normales longitudinales y circunferenciales consideradas constantes en el espesor: Tensiones longitudinales – (

σL)

De la simple observación de cada una de las partes en que ha quedado dividido el recipiente se concluye que: Transversalmente el sistema de fuerzas originado por la presión interior resulta equilibrado. 2

Longitudinalmente la fuerza ejercida por la presión sobre las tapas (p.π.r ) resulta equilibrada por las tensiones normales

σL actuando sobre el area de de la sección transversal del recipiente

(σL.2 π.r.e) .O sea:

σL.2 π.r.e = p.π.r2 Operando se tiene finalmente:

σL=p.r /2.e

25 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Tensiones circunferenciales – (

σC)

En este caso de la figura de análisis surge que: Horizontalmente el sistema de fuerzas originado por la presión resulta equilibrado. Verticalmente el sistema de fuerzas generado por la presión es equilibrado por las tensiones normales

σC actuando sobre la sección de corte. Es decir:

El resultado recuadrado a la derecha es importante, pues indica que la resultante de fuerzas verticales debidas a la presión es igual al valor de la misma por la proyección de la superficie del semicilindro de ancho b sobre el plano horizontal (ver figura). Esta consideración será tenida en cuenta al analizar recipientes esféricos. Operando algebraicamente se tiene:

σC=p.r/e De acuerdo a lo desarrollado ,en un recipiente cilíndrico sometido a presión interior la tensión longitudinal es la mitad de la tensión circunferencial. A continuación se grafica el estado de tensión en el entorno de un punto ubicado sobre la pared del recipiente, despreciando las tensiones radiales. Obsérvese que se trata de tensiones principales.

En relación a las deformaciones principales, aplicando la ley generalizada de Hooke se tiene:

εL= 1/E (σL – µ.σC) Donde E y material.

µ

εC= 1/E (σC – µ.σL)

representan el módulo de elasticidad longitudinal y el coeficiente de Poisson del

26 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Recipientes esféricos.

En este caso solo existen tensiones normales circunferenciales de igual valor en cualquier dirección que se analice dada la simetría multidireccional del elemento estructural en estudio. La tensión circunferencial (tensión principal en cualquier dirección) es de valor:

σC=p.r/2.e y la deformación principal resulta entonces:

εC=1/E (σC – µ.σC) La expresión de la tensión circunferencial se demuestra a continuación intersectando a la esfera con un plano cualquiera pasante por su centro. Entonces:

De la observación de la figura de análisis surge que: Horizontalmente el sistema de fuerzas originado por la presión resulta equilibrado. Verticalmente el sistema de fuerzas generado por la presión es equilibrado por las tensiones normales

σC

actuando sobre la sección de corte. Es decir:

σC.2.π.r.e = p.π.r2 Operando:

σC=p.r/2.e Expresión que se quería demostrar.

27 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Ejemplo de aplicación Para el tanque que se grafica a continuación, construido en chapa de acero (σadm=150MPa) y destinado a contener un gas a 20 atmósferas de presión, se pide: a-Determinar el espesor de las paredes y las tapas para que resistan admisiblemente. b-Diseñar la cantidad y el diametro de los pernos roscados con doble tuerca (σadm=50MPa), que soportan la unión del tanque propiamente dicho con las tapas. Se aclara que al indicar la tensión admisible de los pernos se ha tenido en cuenta la disminución de resistencia que se origina como consecuencia de las roscas. c-Indicar el incremento del radio del tanque y de las tapas a causa de la deformación (E=210000MPa, µ=0.30)

Resolución: Se aplica la teoría de falla de la máxima tensión tangencial (Tresca) El espesor de las paredes del tanque resulta de la expresión de la tensión circunferencial de recipientes cilíndricos. Entonces, si se tiene presente que 1atm.=1kg/cm2 se tiene:

σC=p.r/e → etanque = 20kg/cm2. 250cm/1500 kg/cm2=3.33cm El espesor de chapa que supera al calculado y que se puede adquirir en el mercado comercial es

e=11/2’’= 38mm y es el que finalmente se adopta. El espesor de las tapas del tanque resulta de la expresión de la tensión circunferencial de recipientes esféricos.Entonces:

σC=p.r/2e → etapas = 20kg/cm2. 250cm / 2.1500 kg/cm2 = 1.67cm El espesor de chapa que supera al calculado y que se puede adquirir en el mercado comercial es 3/4’’= 19mm y es el que finalmente se adopta.

etapas = 3/4’’= 19mm El diseño de los pernos de unión tapa-tanque se efectúa alternativamente utilizando la expresión de la tensión longitudinal del tanque o de la tensión circunferencial de las tapas.A continuación se desarrolla:

Fpernos = σLCIL.ACIL = (p.r / 2.eCIL). 2.π.r.eCIL= π.p.r2 Fpernos = σCESF.AESF = (p.r / 2.eESF). 2.π.r.eESF= π.p.r2

28 UTN. BA -ING CIVIL-RESIST.de MATERIALES-Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re:2020 Como se puede observar, por uno u otro camino se obtiene el mismo resultado.

Fpernos

= 20kg/cm2

.π. (250cm)2 =3926991 kg

Se adoptan 30 pernos (1 cada 12º).Entonces la fuerza en cada perno resulta:

Fc/perno= 130900kg Recordando que la tensión admisible de los pernos es de 500 kg/cm2 entonces el diámetro necesrio de los pernos es:

Ac/perno = 130900kg/500kg/cm2 = 261.8cm2 → Φc/perno = 18.26cm El diámetro de perno que supera al calculado y que se puede adquirir en el mercado comercial o bien fabricar es 7 1/4’’= 184mm y es el que finalmente se adopta.

Φc/perno = 7 1/4’’= 184mm La deformación circunferencial del tanque es:

εCtanque=p.r.(1 – 0.5µ)/E.e=20kg/cm2 . 250cm (1- 0.15)/2100000kg/cm2 .3.8cm= 5.33.10-4 Por lo tanto el tanque incrementa su radio luego de la deformación en:

∆r tanque = 5.33 .10-4 . 250 cm = 1.4 mm → ∆r tanque = 1.4 mm La deformación circunferencial de las tapas es:

εCtapas=p.r.(1 – µ)/ 2.E.e =20kg/cm2 . 250cm (1- 0.30)/2.2100000kg/cm2 .1.9cm= 4.39.10-4 Por lo tanto las tapas incrementan su radio luego de la deformación en:

∆r tapas = 4.39 .10-4 . 250 cm = 1.1 mm → ∆r tapas = 1.1 mm La diferencia de incremento de radio entre el tanque y las tapas puede generar efectos localizados en el encuentro entre ambos elementos estructurales que deberían ser evaluados, escapando su análisis el alcance del presente trabajo.

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1 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

SOLICITACIÓN POR TORSION EN REGIMEN ELASTICO. 1-Introducción En el presente trabajo se desarrolla la torsión uniforme (momento torsor constante) de barras prismáticas de eje recto que tienen la posibilidad de alabear libremente(torsión de Saint Venant). Bajo dicha situación solo se generan tensiones tangenciales (estado tensional de corte puro). Los casos de torsión uniforme con alabeo restringido o bien lo de torsión no uniforme con o sin alabeo restringido (torsión de Vlasov) se desarrollan habitualmente en el curso de construcciones metálicas y de madera. En este caso además de tensiones tangenciales se generan tensiones normales.

Se aclara que en el caso de secciones transversales que no alabean (forma circular en todas sus variantes) o bien, el alabeo es despreciable (tubos de pared delgada de forma cuadrada y rectangular), aun en el caso de torsión no uniforme es posible el análisis bajo las consideraciones de la torsión de Saint Venant.

2- Análisis de barras de sección transversal circular. En lo que sigue se considera una barra de sección circular maciza (es posible extender los resultados a la sección con forma de anillo). La barra es de eje recto, de sección transversal constante y se encuentra constituida por un material de módulo de elasticidad transversal G también constante. Además las infinitas secciones transversales se encuentran solicitadas exclusivamente por torsión. Gráficamente:

Para el caso analizado, existe una hipótesis particular respecto de la deformación que se enuncia a continuación: Hipótesis de Coulomb. Las secciones transversales inicialmente planas y circulares continúan siéndolo luego de la deformación, rotando entre sí en forma relativa respecto del eje de la barra sin experimentar corrimientos longitudinales. La hipótesis planteada tiene sustento experimental. Como las rotaciones se encuadran dentro de la linealidad cinemática, las generatrices del cilindro inicialmente rectas permanecen rectas luego de la deformación.

2 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Análisis conceptual del estado tensional. La hipótesis enunciada garantiza que en cada punto de la sección transversal solo se generen tensiones tangenciales de dirección perpendicular al radio con crecimiento lineal desde el baricentro hasta el borde exterior. Gráficamente:

1-No es posible la existencia de tensiones tangenciales de dirección radial pues dejaría de cumplirse sobre la superficie exterior de la barra (que se encuentra libre de tensiones) el teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales de Cauchy.

2-Tampoco pueden existir tensiones normales pues existirían corrimientos longitudinales de los puntos de la sección transversal incompatibles con la hipótesis de Coulomb. Análisis Se extrae de la barra indicada en la Figura 1, un elemento de longitud diferencial ubicado a distancia Z del extremo empotrado y se analiza una vez ocurrida la deformación:

3 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Aplicando la ecuación de equivalencia entre el momento torsor y las tensiones tangenciales se tiene:

Comentarios: 1- De la expresión de deformación surge que: en el caso que el momento torsor resulte constante a lo largo del eje de barra, entonces el ángulo específico o unitario de torsión también resulta constante. 2- El producto G.IPG recibe el nombre de rigidez a torsión. En general, dicho término se designa como G.J donde J es el módulo de torsión. Si bien para la sección circular coincide con el momento de inercia polar baricéntrico, el mismo presenta una expresión particular para cada tipo de sección transversal. Lo expresado se analiza en lo que sigue. 3- Observando la expresión de resistencia se concluye que cuando r = R la tensión tangencial resulta máxima. Es decir,

Wt es el módulo resistente a torsión. Expresiones del módulo de torsión (J) y del módulo resistente (Wt) para la sección circular

A continuación se analiza mediante un ejemplo práctico, que ocurre cuando la sección transversal se encuentra compuesta por más de un material.

4 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Ejemplo N°1: Para la barra empotrada graficada a continuación se solicita determinar el giro en la sección B y las tensiones en la sección transversal.

τ adm bronce = 4 Kn/cm

2

Gbronce = 4100 Kn/cm2

τ adm aluminio = 1.8 Kn/cm

2

JBr = π (204-104) cm4 / 32 = 14726,215 cm4

Galuminio = 2600 Kn/cm2

Jal = π (104) cm4 / 32 = 981.7477 cm4

Para la resolución del problema es necesario tener presente que el ángulo específico de torsión debe resultar único para todos los elementos constitutivos de la sección transversal. Entonces:

θ’ = Mt / (Gbr. Jbr + Gal. Jal) θ’=2000Kncm/[(4100kN/cm2.14726,215cm4+2600kN/cm2.981.7477cm4)]=

3.178133.10-5rad/cm

Cálculo de giro en B:

θA=0

θ B = θ A + θ’ . 1m = 0.003178133 rad

Distribución del momento torsor en ambos materiales y cálculo de tensiones: Mt bronce = θ’. (G.J) bronce = 3.178133.10-5/cm. 4100 Kn/cm2 .14726.215 cm4 = 1918.88 Kncm Mt aluminio = θ’. (G.J) aluminio = 3.178133.10-5/cm .2600 kN/cm2 .981.7477 cm4 = 81.12 Kncm Se verifica que:

Mt = Mt bronce + Mt aluminio = 2000KNcm

5 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

3- Análisis de la sección transversal de forma rectangular. Aclaración importante: Para la sección transversal que se analiza, la hipótesis de Coulomb no se cumple, dado que las secciones transversales se alabean (experimentan corrimientos longitudinales). El estudio no es posible dentro del campo de la resistencia de materiales y es necesario recurrir a la teoría matemática de la elasticidad. Resultados del análisis. En lo que sigue sólo se indican los resultados que se obtienen haciendo uso de la teoría matemática de la elasticidad por escapar su desarrollo el alcance del presente trabajo. 1-Expresión de resistencia:

τ máx = Mt / Wt En este caso se debe conocer la expresión de Wt (módulo resistente a torsión) para definir la tensión tangencial máxima. Dicho valor resulta función de la relación de lados tal como se indica

2-Expresión de deformación:

θ’ =ángulo específico de torsión= Mt / (G*J) En este caso es necesario conocer cómo se determina J (módulo de torsión). Dicho valor resulta, para la sección rectangular analizada, función de la relación de lados tal como se indica a continuación:

6 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

Análisis cualitativo de la distribución de tensiones en la sección rectangular mediante analogías Antes de iniciar el desarrollo se indica el concepto de “analogía”. Dos problemas físicos de naturaleza distinta se dicen análogos cuando para su resolución arrojan la misma tipología de ecuaciones diferenciales. A continuación se comentan brevemente dos analogías que describen conceptualmente el régimen de tensiones en la sección transversal solicitada por torsión. Analogía hidrodinámica. Compara el problema de torsión con el movimiento plano de un fluido incompresible y no viscoso en régimen estacionario. El tubo que aloja el fluido es de igual sección que la analizada y de longitud suficientemente grande como para no alterar el resultado. Comparación: Luego de agitar el fluido (equivalente a aplicar el momento torsor) y esperar la estabilización del proceso (régimen estacionario) se concluye que: Las líneas de corriente del fluido son análogas al flujo de tensiones. La velocidad de circulación de las partículas es análoga en módulo, dirección y sentido con las tensiones. Cuando la sección de pasaje del fluido disminuye, la velocidad aumenta y análogamente ocurre con la tensión. En determinado punto analizado, toda partícula que pasa por el mismo presenta la velocidad definida para dicho punto, situación análoga ocurre con la tensión en un punto. La velocidad de partículas resulta tangente al contorno y lo mismo ocurre con las tensiones. En los ángulos convexos la velocidad de circulación del fluido es nula. Lo mismo ocurre con las tensiones. (Principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales de Cauchy). Todo lo indicado se grafica a continuación en términos de líneas de corriente, flujos de tensiones y diagramas de tensiones.

7 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

Analogía de la membrana Prandtl La analogía de la membrana permite visualizar la magnitud de la tensión tangencial originada por la torsión en cualquier punto de la sección transversal y permite estimar el módulo de torsión (J) de dicha sección. Procedimiento En la tapa de un recipiente hermético (una caja) se recorta la forma de la sección transversal a estudiar. Se recubre la forma seccional con una membrana (por ejemplo una película jabonosa o bien una lámina fina de latex) y se somete al recipiente a determinada presión. Bajo dicho procedimiento se establecen las siguientes analogías con el problema de torsión:

La presión es representativa del momento torsor. El volumen encerrado por la membrana y el plano de la sección en estudio permite determinar el módulo de torsión (J). La pendiente de la recta tangente en cada punto de la membrana deformada permite evaluar la tensión tangencial.

8 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Graficando:

Por comparación con la seccion transversal circular cuyos parámetros referidos a torsión se conocen ( J y Wt ), es posible mediante la analogía indicada determinar idénticos parámetros para la sección transversal que se necesite estudiar.(Ver Resistencia de Materiales - Feodosiev).

4- Análisis de secciones transversales de pequeño espesor (pared delgada) Dentro de este ítem se analizan las secciones transversales abiertas (perfiles laminados IPN, UPN y ANGULOS) y también las secciones transversales cerradas (tubos circulares, rectangulares y cuadrados). Cada caso se evalúa de forma distinta tal como a continuación se desarrolla. 4-1) Sección transversal abierta de pequeño espesor. Se estudian los perfiles laminados, pudiéndose extender el procedimiento a otras secciones transversales abiertas de pequeño espesor. Sea un IPN 160 solicitado por un momento torsor Mt de 5Knm y G=80000 Mpa.

9 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 El régimen de tensiones puede ser obtenido considerando la sección como un conjunto de rectángulos, teniendo muy presente que el ángulo específico de torsión debe ser único para todos los elementos de la sección analizada.

El valor calculado de J representa el 94% del valor tabulado. El presente ejemplo se continúa con el valor calculado aunque en forma práctica se utiliza el valor tabulado.

θ’= Mt / (G.J)perfil = Mt ala / ( G. Jala) = Mt alma / ( G. Jalma) = 500Kncm/ ( 8000Kn/cm2 * 5.07 cm4) = 0.0123274 rad/cm Mt ala = Mt . Jala / J = 500 Kncm . 1.948 cm4 / 5.07 cm4 = 192.11 Kncm Mt alma = Mt . J alma / J = = 500 Kncm . 1.174 cm4 / 5.07 cm4 = 115.78 Kncm Se debe cumplir que Mt = Mt ala + Mt alma + Mt ala , es necesario realizar esta verificación antes de continuar. Mt = 2*Mtala + Mt alma = 500 Kncm Para determinar la tensión tangencial máxima de cada uno de los rectángulos se debe realizar:

τ máx ala = M

t ala

=

Wt ala

τ máx alma = M

t alma

Wt alma

Mt . Jala

=

Mt . 0.307 bf tf3 =

J .0.307 bf tf2

J 0.307 bf tf2

=

=

Mt . J alma J .0.333 b tw2

Mt . tf = 93.69 Kn/cm2 . J

Mt . 0.333 b tw3 = J 0.333 b tw2

Mt . tw = 62.13 Kn/cm2 . J

Conclusiones: 1 La mayor tensión tangencial ocurre en las alas por resultar más rígidas que el alma. Esta situación se da sistemáticamente en perfiles laminados de acero. 2 Si se tiene en cuenta que la tensión tangencial admisible del acero F24 es del orden de 9 kN/cm2, el perfil sólo podría ser torsionado por un momento del orden del 9% del aplicado en el presente ejemplo Mtadm=0.45Knm.

En definitiva los perfiles abiertos no son aptos para resistir torsión.

10 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 4-2) Sección transversal cerrada de pequeño espesor

El problema planteado responde a la teoría general de recintos simplemente conexos de pared delgada.

Antes de iniciar el desarrollo analítico se indican algunas cuestiones conceptuales: a) si se aplica la analogía de la membrana al caso en estudio, se observa que la pendiente de la recta tangente a la membrana es constante en el espesor. Por este motivo puede afirmarse que las tensiones tangenciales consecuencia de la torsión resultan constantes en el espesor y además se consideran tangentes a la línea media.

b) si bien para la sección circular de pequeño espesor se cumple la hipótesis de Coulomb y por lo tanto las secciones no alabean ( no experimentan corrimientos longitudinales ), ocurre que en otras formas seccionales que conforman recintos cerrados de pequeño espesor el alabeo puede considerarse despreciable. Lo enunciado puede observarse en las tablas de perfiles. En ella los perfiles laminados (secciones abiertas de pared delgada) indican una propiedad geométrica de la sección transversal denominada módulo de alabeo (CW) ver última columna de la tabla. A diferencia, dicho parámetro no se indica para los tubos estructurales de forma rectangular y cuadrada (no confundir CW con C: constante torsional que es equivalente al módulo resistente a 6 3 torsión. El módulo de alabeo se indica en la tabla en cm y la constante torsional en cm ).

c) Teniendo en cuenta que la tensión tangencial es constante en el espesor del recinto cerrado, si se corta el recinto en dos puntos con planos de normal coincidente con la tangente a la línea media en cada punto de corte y se analiza una franja diferencial de ancho dz se tiene: Planteando equilibrio de fuerzas sobre el eje longitudinal se tiene:

τ

1.

e1.dz –

Entonces

τ

τ

1.

2.e2.dz

e1 =

τ

=0

2.e2

11 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Como los puntos adoptados fueron adoptados sin ninguna particularidad, es posible extender el resultado a los infinitos puntos ubicados sobre la línea media, resultando:

τ (l) .e(l) = cte Esta expresión indica que: la tensión crece a medida que el espesor disminuye. Interpretando el resultado desde la analogía hidrodinámica a medida que la sección de pasaje del fluido disminuye, la velocidad de las partículas aumenta, manteniéndose constante el caudal (caudal=sección x velocidad). Expresados los conceptos se determina a continuación el régimen de tensiones y el ángulo específico de torsión. Régimen de tensiones (Primera fórmula de Bredt) En este caso se plantea la equivalencia entre el momento torsor y las tensiones tangenciales.

En un punto A cualquiera ubicado sobre la línea media, se toma la

τ

(l)

que es constante

en el espesor e(l) y tangente a dicha línea media. Se considera un dA en el entorno de A de valor dA = e(l).dl. Se reduce el sistema de fuerzas generado por las tensiones tangenciales a un punto O arbitrario.

En este caso las ecuaciones de proyección de fuerzas no son de utilidad, entendiéndose que la resultante de fuerzas debe resultar nula pues la sección sólo se encuentra torsionada. Si resulta de utilidad la ecuación de momento y la misma se plantea como:

τ

Mt = ∫ L (l) . e(l) . OA(l) . dl del signo de la integral:

como se sabe Mt =

τ

τ

(l) . e(l)

(l).e(l)

.∫

L

= cte. y por lo tanto se puede indicar fuera

OA(l) . dl

Si se tiene en cuenta que el producto OA(l) . dl representa el doble del área encerrada por el triángulo elemental OBC y que además la sumatoria de todos los triángulos elementales OBC representan el área encerrada por la línea media se tiene finalmente que: ∫ L OA(l) . dl = 2 Ω siendo Ω el área encerrada por la línea media, finalmente: Mt =

τ

(l) . e(l)

.2Ω

12 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

τ

(l) =

Mt / (2 Ω . e(l) )

Teniendo en cuenta la ecuación, la tensión tangencial es máxima cuando el espesor es mínimo. Entonces:

τ

máx =

Mt / (2 Ω . emín)

τ

La expresión anterior puede escribirse como

máx =

Mt / Wt en dónde Wt = 2. Ω. emín .

Lo expresado sólo tiene por objeto poder crear la idea que, independientemente de la forma seccional que se trate la expresión de la tensión tangencial máxima es Lógicamente Wt tiene distintas expresiones en función del caso que se trate.

τ

máx=

Mt / Wt

Se aclara que en la tabla de perfiles CIRSOC para tubos estructurales el modulo resistente se encuentra tabulado con el nombre de constante torsional (C) Ángulo específico de torsión (Segunda fórmula de Bredt). En este caso es necesario hacer uso del principio de equivalencia entre el trabajo de las fuerzas exteriores y la energía de deformación:

We = U El trabajo de las fuerzas exteriores teniendo en cuenta que θ’= dθ/dz, resulta: We = ½ Mt .θ’. dz La energía de deformación asociada al volumen analizado es: U=∫

v

½

τ

U=∫

L

(l) .

γ (l). dV = ∫ L ½ (τ 2(l) / G ). e(l) . dl . dz

½ (Mt2 / 4 Ω2. e2(l) ) / G . e(l) . dl . dz

Dado que dz no depende de la variable l se puede escribir: U = ½ Mt2 . dz . ∫ G . 4 . Ω2

l

dl / e(l)

Igualando el trabajo exterior con la variación de energía de deformación se tiene: We = U

Operando:

⇒

θ’=

½ Mt .

θ’. dz = ½ Mt2. dz

G . 4 . Ω2

Mt / G . [(4 . Ω2 ) / ∫

Dando a la expresión anterior la forma habitual, se tiene: Entonces J resulta en este caso: J = 4 . Ω2 / (∫

l

l

l

dl / e(l)

dl / e(l)]

θ’=

dl / e(l))

∫

Mt / ( G . J )

13 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 A efectos de indicar cómo se opera con la última expresión, se calcula J para dos formas seccionares habituales: Tubo circular de pared delgada: e = cte = es el espesor y D = es el diámetro medido sobre la línea media. J = 4 . Ω2 / (∫ ∫

l

l

dl / e(l))

Ω = π . D2/4

y

⇒

Ω2 = π2.D4/16

dl / e(l) = π . D/e reemplazando y operando:

J = π . D3 . e/ 4 En este caso por tratarse de una sección circular J coincide con IPG (momento de inercia polar baricéntrico) determinado bajo el concepto de línea pesada, coincidente la misma con la línea media. Sección rectangular de pared delgada: J = 4 . Ω2 / (∫ Ω = a.b ∫

l

l

⇒

dl / e(l)) Ω2 = a2.b2

dl / e(l) = ( b/e1 + a/e2 + b/e3 + a/e4)

Reemplazando: J = 4 . a2.b2/ ( b/e1 + a/e2 + b/e3 + a/e4)

τ

Ejemplo N°2:Para la estructura construida en acero ( G = 80000 MPa adm = 90 MPa ) que se indica a continuación y considerando que el perfil angular puede alabear libremente, se solicita: a) Determinar el momento torsor admisible Mtadm. b) Calcular para Mtadm el giro en la sección D.

14 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Dado que se trata de una estructura isostática (es una barra empotrada en un extremo) el diagrama de Mt es constante e igual a Mtadm. Primero se obtiene el Mtadm de cada forma seccional y se adopta el menor valor. Sección circular maciza D = 15 cm

τ máx = Mt / Wt

⇒ Mt adm =

τ adm .π. D / 16 3

Mt adm = 9 kN / cm2 . π. (15 cm)3/ 16

Mt adm = 5964.12 Kncm Sección tubo 10*10*0.635 cm

Se aplica teoría de sección transversal cerrada de pequeño espesor:

τ máx = Mt / Wt

⇒ Mt adm =

τ adm . 2.Ω.e

Mt adm = 9 Kn / cm2 . 2. (9.365 cm)2 . 0.635 cm

Mt adm = 1002.45 Kncm Perfil ángulo 10*10*0.635 cm

Se aplica teoría de sección transversal abierta de pared delgada.

τ máx = Mt / Wt

⇒ Mt adm =

τ adm . W

t

Mt adm = 9 Kn / cm2. (1/3.9.52 cm.(0.64cm)2 + 1/3.10.16cm. .(0.64cm)2)

Mt adm = 24.18 Kncm Obsérvese como Mt adm decrece bruscamente en el perfil abierto de pared delgada. Finalmente Mt adm queda fijado por dicha forma seccional ⇒Mt adm = 24.18 Kncm A continuación se calcula θD para Mt adm.

θA = 0 sección empotrada. θB = θA + θ’AB . 2m =

24.18 Kncm . 200cm (8000 Kn /cm2).π(15cm)4/32

θC = θB + θ’BC . 2m = 1.2163*10-4 rad + θC = 1.2163*10-4 rad

= 1.2163x10-4 rad.

24.18 Kncm . 200cm (8000 Kn/cm2)4. (9.365 cm)4/ (4.9.365cm/0.635cm)

+ 1.159*10-3 rad = 1.28063x10-3 rad.

15 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

θD = θC + θ’CD . 2m = 1.28063* 10-3 rad +

24.18 Kncm . 200cm 2

8000Kn/cm .[1/3.9.52cm.(0.64cm)3+1/3.10.16cm.(0.64cm)3]

θD = 1.28063* 10-3 rad + 0.35145 rad = 0.3527 rad. = 20.21° ¿θD cumple la linealidad cinemática? Queda a criterio del lector recalcular Mt adm para lograr el objetivo perseguido Ejemplo N°3: Para la estructura indicada a continuación que presenta G.J=cte se solicita determinar las reacciones de vínculo externo y trazar el diagrama de momentos torsores.

Se trata de un sistema hiperestático de primer grado. Se resuelve a continuación mediante el método de las incógnitas estáticas. Entonces:

La ecuación de compatibilidad resulta en este caso:

θhc = 0 = θ0c;Mt

+

(θ0c;Mc=1)x Mc

16 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Aplicando PTV resulta:

0=

- (1.Mt.b/GJ) + (12.L/GJ)x Mc Mc= Mt.b/ L

Finalmente:

El resultado obtenido indica que las reacciones de vínculo se distribuyen en forma inversa a las longitudes parciales a y b ( siempre que G.J = cte ). La distribución de reacciones es análoga a la que ocurre en una viga simplemente apoyada (estructura isostática) cargada con una fuerza vertical, tal como se muestra a continuación:

Se aprovecha para indicar, como consecuencia de lo hasta aquí desarrollado, la distribución de reacciones de vínculo para el caso hiperestático que se grafica en lo que sigue (EA=cte):

Queda a criterio del lector resolver el problema original en la condición JAB = 2 JBC y G=cte en toda la barra.

17 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

5 - Análisis de un caso de torsión no constante en la barra. En todo lo desarrollado siempre se ha considerado que el momento torsor es constante en tramos de la barra analizada. En este punto se desea alertar sobre la posibilidad de otro tipo de variación del diagrama del momento torsor. Para mostrar dicha situación se analiza un caso práctico de un balcón tomado de una viga de borde que apoya en dos columnas. A continuación se grafica:

Esquema de cálculo de la viga:

Obsérvese que en este caso, el diagrama de momentos torsores resulta de variación lineal.

18 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

6 - Curvas isostáticas. Como se ha visto en todos los casos analizados, frente a la solicitación por torsión el estado de tensión en el entorno de un punto A ubicado en la sección transversal queda caracterizado por la existencia exclusiva de tensiones tangenciales tal cómo se grafica a continuación:

Como se sabe, se trata de un estado plano de tensiones conocido como estado de corte puro.

A continuación para una barra torsionada se representan las curvas isostáticas de tracción y de compresión. Las curvas isostáticas son aquellas que indican la trayectoria de las tensiones principales de tracción y de compresión. Para un determinado punto, la tangente a la isostática de tracción forma 90° con la tangente a la isostática de compresión:

Si por ejemplo la barra analizada fuera de hormigón armado, las trayectorias de las tensiones principales de tracción indicarían (en forma teórica) que las barras de acero de refuerzo deberían disponerse según las mismas. Se recomienda al lector efectuar un ensayo sencillo con una barrita de tiza, sometiéndola a torsión con los dedos, a efecto de comprobar experimentalmente todo lo indicado en este punto.

19 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020

Anexo. Sección transversal cerrada de pequeño espesor múltiplemente conexa. Sea una sección doblemente conexa de módulo de elasticidad trasversal G constante y solicitada a torsión.

Por equilibrio longitudinal se tiene:

τ

2.e2.b

+

τ

τ ,τ y τ 1

2

Aplicando la ecuación de equivalencia entre

Mt

12.e12.

τ

1.e1.c.a +

τ

1.e1.c.a

+

τ

2.e2.c.b

+

τ

1.e1.b = 0

(1)

12 son incógnitas.

y

resulta:

Mt =

b-

τ

τ

y tomando momentos respecto de P

2.e2.c.b

Mt = MtR1 + MtR2

= 2.

τ

τ

1.e1.Ω1 + 2.

2.e2.Ω2

(2)

Considerando las expresiones de recinto simplemente conexos:

Recordar: las integrales curvilíneas requieren adoptar un sentido positivo de circulación Para el caso de análisis

θ’R1 = θ’R2

Las expresiones (1) (2) y (3) resuelven el problema.

20 UTN. BA-ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo. Marco Belfiore Re:2020 Ejemplo: Para el recinto múltiplemente conexo de la figura solicitado por Mt=500Knm y construido en acero (G = 8000 Kn/cm2) se solicita: a)-Determinar el régimen de tensiones tangenciales. b)-Determinar el ángulo específico de torsión.

Aplicando la ecuaciones (1) (2) y (3), se obtiene: (1) e1.τ 1 = e2.τ 2 + e12tτ 12 ⇒ 1.27cm.τ 1 = 1.27cm.τ 2 + 2.54cm.τ 12

τ 1 = τ 2 + 2.τ 12 (2) Mt = MtR1 + MtR2 = 2 .Ω1.e1.τ 1 + 2 .Ω2.e2.τ 2 = 2 = 9244.791cm3 .τ 1 + 13926,646cm3 .τ 2 (3) τ 1.(2.49.365cm + 73.73cm) + τ 12. (73.73cm) = τ 2.(2.74.365cm + 73.73cm) - τ 12. (73.73 cm) 3639.68145cm2

τ 1 = 2.014 Kn/cm2

τ 2 = 2,253 Kn/cm2 MtR1 = 18621.4 Kncm

θ’= 5.813924.10-6 1/cm Diagrama y flujo de tensiones.

⇒

5482.93145 cm2

τ 12 = -0.119 Kn/cm2 (τ 12 es MtR2 = 31378.6 Kncm J = 1075000 cm4

hacia arriba)

1 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020

SOLICITACION POR FLEXION EN REGIMEN ELASTICO. 1-Hipótesis particular para flexión (Bernouilli-Navier). Las secciones transversales inicialmente planas y perpendiculares al eje de barra permanecen planas y perpendiculares al eje de barra luego de la deformación.

La intersección del plano donde se ubica la sección transversal antes de la deformación y el plano que contiene idéntica sección luego de la deformación es una recta que recibe el nombre de línea neutra y será de fundamental importancia en el estudio de la flexión. Gráficamente:

Si en la sección transversal se considera un diferencial de área (dA) y el mismo se traslada sobre las restantes secciones transversales en dirección paralela al eje de barra queda entonces definido el concepto de fibra.

De la simple observación de la figura 1 surge que: a)-Algunas fibras se alargan (se traccionan) y otras se acortan (se comprimen) en dirección longitudinal. b)-Las fibras ubicadas a nivel de la línea neutra presentan corrimiento longitudinal nulo. Consecuentemente la deformación longitudinal es nula al igual que la tensión normal. La conservación plana de las secciones puede verse afectada por el esfuerzo de corte (tensiones tangenciales-distorsiones). En barras largas (Longitud de barra / Altura de la sección transversal > 4) dicho efecto puede despreciarse. Caso contrario los desarrollos que siguen pierden validez.

2 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020

2-Clasificación habitual de la solicitación por flexión. 2.1)-En función del esfuerzo de corte. Flexión constante: cuando el esfuerzo de corte resulta nulo. Flexión variable: en presencia de esfuerzo de corte. 2.2)-En función del esfuerzo normal. Flexión simple: cuando el esfuerzo normal resulta nulo. Flexión compuesta: en presencia de esfuerzo normal. 2.3)-En función de los ejes principales de inercia baricéntricos de la sección transversal. Considérese la representación grafica que continua:

Se define: Flexión recta: cuando el vector momento flexor coincide en dirección con un eje principal de inercia baricéntrico de la sección transversal analizada. Flexión oblicua: cuando el vector momento flexor no coincide en dirección con ninguno de los ejes principales de inercia baricéntricos de la sección transversal analizada. Línea de fuerzas: Es la recta perpendicular a la dirección del vector momento flexor. Pertenece al plano de la sección transversal y pasa por su baricentro.

3 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020

3-Análisis de secciones transversales pertenecientes a barras de eje recto constituidas por un único material y solicitadas por flexión simple recta. Teniendo en cuenta la figura 1 de página 2 es posible el desarrollo que continua:

Refiriendo el análisis de la sección transversal solicitada a flexión a dos ejes: uno de ellos que contenga a la línea neutra (eje LN) y otro que contenga a la línea de fuerzas (eje LF) se tiene:

Aplicando la ecuación de equivalencia entre el esfuerzo normal y las tensiones normales se tiene:

La integral nula es el momento estático de la sección transversal respecto del eje que contiene a la línea neutra (eje LN) implicando que dicho eje resulta baricéntrico (el punto O coincide con G). Por lo tanto se puede concluir:

En flexión simple (N=0) la línea neutra es baricéntrica.

4 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Planteando la ecuación de equivalencia entre el momento flexor respecto del eje que contiene a la línea de fuerzas (MLF) y las tensiones normales se tiene:

La integral nula es el momento centrífugo de la sección transversal respecto de los ejes que contienen a la línea neutra y a la línea de fuerzas (eje LN y eje LF) implicando que dichos ejes resultan conjugados de inercia. Se recuerda que la relación entre ejes conjugados de inercia es biunívoca (cada eje admite un único eje conjugado de inercia) y que los ejes principales de inercia constituyen un caso particular de ejes conjugados de inercia como consecuencia de resultar ortogonales entre si. De lo expuesto se puede concluir:

Siempre la línea neutra y la línea de fuerzas se ubican sobre ejes que resultan conjugados de inercia. Para finalizar, planteando la ecuación de equivalencia entre el momento flexor respecto del eje que contiene a la línea neutra (MLN) y las tensiones normales se tiene:

La última expresión (ILN es el momento de inercia respecto del eje que contiene a la línea neutra) permite determinar la tensión normal en los distintos puntos de la sección transversal Se trata de una función lineal nula sobre la línea neutra y máxima en las fibras mas alejadas de la misma. Si el esfuerzo normal es nulo y particularmente el vector momento flexor coincide con un eje principal de inercia baricéntrico (caso de flexión simple recta que se pretende analizar) la situación se grafica a continuación:

5 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 De la simple observación de la expresión de la tensión normal surge que la misma será máxima cuando la distancia d2 resulte máxima. Es decir:

Si se denomina

We1=modulo resistente elastico1=I1/d2max resulta:

EXPRESIÓN FINAL DE RESISTENCIA PARA LA FLEXIÓN SIMPLE RECTA. Se aclara que en la tabla de perfiles CIRSOC al modulo resistente elástico se lo denomina con la letra S y en perfiles asimétricos el valor tabulado es Smínimo correspondiente a dmáximo. EN LO QUE SIGUE EL PROBLEMA DE FLEXION SE REFIERE SIEMPRE A LOS EJES PRINCIPALES DE INERCIA BARICENTRICOS DE LA SECCION TRANSVERSAL. El estudio de la deformación por flexión es motivo de un capitulo particular hecho por el cual se omite en esta etapa.

4-Análisis de secciones transversales pertenecientes a barras de eje recto constituidas por un único material y solicitadas por flexión compuesta oblicua. Considérese la situación de solicitación que se grafica a continuación:

6 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Aplicando el principio de superposición de efectos, el estado de solicitación para la sección transversal se estudia como la suma de dos flexiones rectas en presencia de esfuerzo normal tal como se indica a continuación:

La ecuación de la línea neutra (ecuación de una recta) surge de igualar a cero la expresión general de resistencia. Es decir:

Para trazar la línea neutra en forma practica (se reitera se trata de una recta y por lo tanto alcanza conocer para su trazado dos puntos de la misma), se iguala a cero la coordenada d1LN y se obtiene la coordenada d2LN y viceversa. Puede observarse a partir de la ecuación de la línea neutra que: 1-Si N=0 (flexión simple) la linea neutra es baricéntrica. 2-Si N es distinto de 0 (flexión compuesta) la linea neutra deja de ser baricéntrica.

7 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Ejemplo N°1. Para la estructura indicada a continuación se solicita dimensionar con coeficiente de seguridad 1.6 un perfil IPB de acero F-24.Despreciar el esfuerzo de corte y no considerar el peso propio del perfil. En la sección transversal dimensionada determinar la posición de la linea neutra y trazar el diagrama de tensiones normales.

Resolución La sección mas solicitada es la de empotramiento, por lo tanto se indican los esfuerzos internos en dicha sección y los puntos más peligrosos donde se hace necesario estudiar el valor de la tensión normal.

Observando la figura se tiene que: En el punto A N tracciona, M1 tracciona y M2 comprime. En el punto B N tracciona, M1 tracciona y M2 tracciona. En el punto C N tracciona, M1 comprime y M2 comprime. En el punto D N tracciona, M1 comprime y M2 tracciona.

8 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 El análisis efectuado indica que el punto B es el más peligroso. Consecuentemente se dimensiona el perfil en función de dicho punto teniendo en cuenta que se encuentra a distancia máxima de las líneas neutras parciales LN1 y LN2.Entonces:

Utilizando la tabla de perfiles CIRSOC se prueba con un perfil elegido al azar para iniciar el proceso de tanteo hasta llegar a la solución. A continuación se desarrolla: Se prueba con IPB-240.

Se prueba con IPB-300.

Se prueba con IPB-360.

SE ADOPTA FINALMENTE IPB-360 Para el perfil adoptado se determina a continuación la posición de la linea neutra y se traza el diagrama de tensiones normales en base a las siguientes expresiones: Ecuación de la linea neutra.

Ecuación de resistencia para cualquier punto de la sección transversal.

9 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Representación grafica de la linea neutra y del diagrama de tensiones normales.

Ejemplo N°2. Dimensionar la estructura del ejemplo N°1 considerando la sección transversal indicada a continuación y efectuar la comparación económica.

Resolución. Luego de varios tanteos que no se indican en el presente desarrollo se adoptan 2IPN-360 cuya verificación se efectúa a continuación:

A=2x97cm2=194cm2 We1=2x1090cm3=2180cm3 We2=2x (818+97x7.152)cm4/14.3cm=807cm3

Análisis económico. El perfil IPB-360 pesa 142Kg/m. El peso de 2IPN-360 es 152.2Kg/m. Se deja a criterio del lector la evaluación técnico-económica de los resultados obtenidos

10 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Ejemplo N°3. Indicar si es necesario modificar la sección transversal dimensionada en el ejemplo N°1 en el caso que, por razones constructivas, la fuerza de 30Kn se aparte 3cm del eje de barra generando un momento torsor constante de 90Kncm. Resolución Como se sabe, las máximas tensiones tangenciales ocurren en el ala del perfil. Se grafica:

Análisis del punto E.

Análisis del punto F.

Del análisis desarrollado surge que no es necesario modificar la sección transversal previamente dimensionada. Comentario sobre la sección transversal dimensionada en el ejemplo N°2. En este caso fueron dimensionados 2IPN-360 apareados y no puede garantizarse constructivamente que la combinación de perfiles funcione a torsión como un tubo cerrado. Por dicho motivo si se pretende efectuar el mismo análisis a torsión que el efectuado para el ejemplo N°1 resulta necesario considerar que cada perfil resiste el 50% del momento torsor total.

11 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020

5-Definición de centro de presión y excentricidad. Relacion entre el centro de presión y la linea neutra. Concepto de núcleo central. Su determinación. Considérese la siguiente figura de análisis:

En dicha figura puede identificarse un punto cualquiera ubicado en el plano que contiene a la sección transversal en el cual se aplica una fuerza F cuya dirección coincide con el eje de barra (Z). El punto referido se denomina centro de presión (CP) y se encuentra a distancia e (excentricidad) del baricentro (G) de la sección transversal. Por reducción de la fuerza F al baricentro de la sección transversal (G) resultan los siguientes esfuerzos internos:

N=F Gráficamente:

M1=F.e2=N.e2

M2=-F.e1=-N.e1

12 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 A continuación se determina la ecuación de la linea neutra en función de las coordenadas del centro de presión: La ecuación general de la linea neutra se conoce:

Si se reemplaza en la expresión M1 y M2 en función del esfuerzo normal y las coordenadas del centro de presión resulta:

Si N es distinto de cero al igual que el área de la sección transversal (A) se llega a la expresión final de la linea neutra en función de las coordenadas del centro de presión:

Obsérvese que la linea neutra solo depende de las coordenadas del centro de presión y de las características geométricas de la sección transversal. Se grafica en lo que sigue la ubicación relativa entre el centro de presión y la linea neutra:

13 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 La figura que precede permite efectuar varios análisis de especial interés a saber: 1)-Si se considera que la paralela baricéntrica a la linea neutra divide el plano que contiene a la sección transversal en dos semiplanos, entonces puede concluirse que el centro de presión pertenece a distinto semiplano que la linea neutra. 2)-Teniendo en cuenta las expresiones de cálculo de d1LN y d2LN puede observarse que:

2a)-Si el centro de presión tiende a ubicarse en el baricentro (caso de solicitación axil) entonces la linea neutra tiende a ubicarse en la recta impropia dado que e1 y e2 tienden a cero. 2b)-Si la linea neutra tiende a pasar por el baricentro (caso de flexión simple) entonces el centro de presión tiende a ubicarse en la recta impropia dado que

e1 y e2 tienden a un número muy grande.

2c)-Más específicamente, cada centro de presión ubicado sobre la recta impropia define una linea neutra baricéntrica de distinta dirección. c3)-En función de lo analizado en el punto 2 es posible enunciar el principio de reciprocidad entre el centro de presión y la linea neutra tal como sigue: Si para un centro de presión CP corresponde una linea neutra LN, entonces a cada centro de presión ubicado sobre LN le corresponde una linea neutra de distinta dirección pasante por CP. Gráficamente:

Concepto de núcleo central. Su determinación. Se define como núcleo central de la sección transversal, el lugar geométrico de los puntos que adoptados como centros de presión conducen a que la misma presente tensiones de un solo signo en todos sus puntos.

14 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Para lograr el objetivo, todo centro de presión ubicado en el núcleo central debe generar una linea neutra que no corte a la sección transversal (caso contrario se generarían tensiones de doble signo).En la condición de frontera la linea neutra podrá resultar tangente a la sección transversal en su contorno y entonces el centro de presión se ubicará en el bode del núcleo central. La condición de frontera es la que se utiliza en la determinación práctica del núcleo central. Determinación del núcleo central de la sección transversal rectangular.

Determinación del núcleo central de la sección transversal circular.

15 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Aclaración importante: Toda linea neutra tangente al contorno de la sección transversal que se adopte para la determinación del núcleo central no debe simultáneamente cortar a dicha sección transversal.Gráficamente:

Las líneas neutras que no deben considerarse presentan la particularidad de ser tangentes al contorno de la sección transversal y a su vez cortar a la misma. Conceptualmente si la linea neutra corta a la sección transversal significa que las tensiones normales resultan de doble signo (tracción y compresión) en clara oposición al concepto de núcleo central. Finalmente puede observarse que el perímetro del núcleo central es una poligonal de igual número de lados que la cantidad de líneas neutras tangentes al contorno de la sección transversal que se tracen para su determinación.

6-Análisis de estructuras apoyadas en el suelo. Para mejor comprensión, el tema mencionado en el titulo se desarrolla mediante un ejemplo numérico. Sea entonces la siguiente estructura de hormigón armado:

16 UTN. BA - ING CIVIL - RESIST. de MATERIALES -Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 Se solicita: a)- Determinar las dimensiones del plano de contacto de la base con el suelo teniendo en cuenta que la tensión admisible del suelo (compresión) es σS°adm=2Kg/cm2.El hormigón presenta peso unitario 2500kg/m3 y tensión admisible a compresión σH°adm=70Kg/cm2 (obsérvese que la tensión admisible del hormigón es mucho mayor que la del suelo). Resolución practica: La carga total conocida resulta:

P=100000Kg + 2500x (0.40x0.40x3.0) Kg =101200Kg

El lado d de la base se determina como sigue:

d= (101200/2)0.5cm=225cm Se adopta d=235cm y se verifica que no se supere la tensión admisible del suelo considerando el peso propio de la base. Entonces: P=100000Kg + 2500x (0.40x0.40x3.0+ 2.35x2.35x0.50) Kg =108103Kg

σS=108103Kg/(235x235)cm2=1.96Kg/cm2εmax=3εf Conclusión: Si bien el ejemplo tratado tiene por objeto presentar al lector algunas situaciones particulares de interés, queda claro que el estado de carga de colapso determinado es absolutamente teórico, pues al alcanzarse el mismo la deformación de la estructura es absolutamente inadmisible.

¿Cual seria, a criterio del lector, el máximo estado de carga que la estructura puede soportar?

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8)-Determinación del estado de carga de colapso por el método de combinación de mecanismos simples. 8.1-Desventajas frente al método de escalones de carga. Se determina el mecanismo de colapso sin conocer el orden en que se producen las articulaciones plásticas. No es posible, en forma sencilla, efectuar control de deformación de la estructura. No contempla la reducción del momento nominal como consecuencia del esfuerzo axil en flexión compuesta.

8.2-Estrategia del método. a)-Dada una estructura, se propone un posible mecanismo de colapso. Es decir:

b)-Se determina por aplicación del principio de los trabajos virtuales el valor de P que conduce al equilibrio del sistema de fuerzas actuante sobre el mecanismo de colapso supuesto. O sea:

0.5P x θ x H + P x 0 = 4 x Mn x θ + 2 x Mn x 0 → P=8Mn/H c)- Finalmente se hace actuar sobre la estructura dada el valor de carga determinado y si en ninguna sección de la misma se supera Mn, se dice entonces que se esta en presencia del mecanismo de colapso y la configuración de carga de colapso de la estructura.

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8.3-Definiciones. Carga estática: Es el valor que surge de imponer a la estructura una solución equilibrada no necesariamente compatible donde en ninguna sección de la misma se supere Mn.

Teorema estático (o de la seguridad): Toda carga estática es menor o a lo sumo igual que la carga de colapso.

Pest ≤ Pc Justificación: La estructura precedente fue resuelta al desarrollar el método de los escalones de carga. En dicha resolución se obtuvo: Pc=6Mn/L El teorema estático es importante, pues establece que una solución equilibrada impuesta a la estructura, resulta segura frente al colapso. Carga cinemática: Es el valor necesario para lograr el equilibrio del sistema de fuerzas actuante sobre un posible mecanismo de colapso de la estructura.

Teorema cinemático (o de la inseguridad): Toda carga cinemática es mayor o a lo sumo igual que la carga de colapso.

Pcin ≥ Pc Justificación: La estructura precedente fue resuelta al desarrollar el método de los escalones de carga. En dicha resolución se obtuvo: Pc=6Mn/L

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El teorema cinemático establece que si el mecanismo de colapso es incorrecto, entonces la carga de colapso determinada supera la real dejando a la estructura del lado de la inseguridad Carga de colapso: Es el valor necesario para lograr el equilibrio del sistema de fuerzas actuante sobre un posible mecanismo de colapso de la estructura verificando además que ninguna sección supere Mn (condición de admisibilidad plástica). La carga de colapso cumple simultáneamente la definición de carga estática y carga cinemática. Teorema de unicidad: La carga de colapso coincide con la mayor carga estática y la menor carga cinemática.

Pest ≤ Pc ≤ Pcin Justificación: El presente teorema queda justificado mediante el teorema estático y el cinemático.

8.4-Distintos mecanismos simples de colapso.

8.5-Combinación de mecanismos simples de colapso. El objetivo es combinar mecanismos simples para lograr la menor carga cinemática posible. A continuación se ejemplifica en forma sencilla:

UTN. BA - ING CIVIL-RESIST. de MATERIALES - Ing. Juan Eduardo Marco Belfiore Re: 2020 a)-Determinación de la carga cinemática a partir de un mecanismo de viga.

Aplicando PTV resulta:

2.5Pcin1 x θ x 2m + Pcin1 x 0 = 4 x Mn x θ + 2 x Mn x 0 → Pcin1=0.8Mn/m b)-Determinación de la carga cinemática a partir de un mecanismo de pórtico.

Aplicando PTV resulta:

2.5Pcin2 x 0 + Pcin2 x θ x 4m = 4 x Mn x θ + 2 x Mn x 0 → Pcin2=1Mn/m

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C)- Determinación de la carga cinemática a partir de un mecanismo combinado de pórtico y viga.

Aplicando PTV resulta:

2.5Pcin3 x θ x 2m + Pcin3 x θ x 4m = 6 x Mn x θ → Pcin3=0.667Mn/m Se puede observar que combinando mecanismos simples de colapso se obtiene menor carga cinemática. Para dicho valor (Pcin3) se verifica a continuación que ninguna sección de la estructura supere Mn. d)- Verificación de admisibilidad plástica (M≤Mn) en todas las secciones de la estructura. Para poder trabajar con un sistema isostático, se analiza el mecanismo de colapso mediante el cual se obtuvo Pcin3 (menor carga cinemática) restituyendo la continuidad en una cualquiera de las articulaciones plásticas. Es decir:

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En la estructura isostática precedente es posible el trazado del diagrama de momentos flexores tal como se grafica a continuación:

Puede observarse que en ninguna sección de la estructura se supera el valor Mn. Por este motivo se ha obtenido la carga y el mecanismo de colapso. e)- Carga de colapso y mecanismo de colapso.

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Re:2020

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ARTICULACION RESISTENCIA DE MATERIALES-ESTRUCTURAS DE HORMIGON ARMADO 1-Introducción. En el presente trabajo se desarrolla el problema de flexión simple en secciones rectangulares de hormigón armado, haciendo uso del concepto de sección homogénea que resulta conocido para el lector. Se aplican las prescripciones del reglamento CIRSOC 201-2005 (reglamento base ACI-318 1999-2005).

2-Hipótesis Es válida la hipótesis de Bernouilli-Navier. 3-Comportamiento de materiales. Hormigón.

En los desarrollos que siguen se utiliza Hormigón H-30 por ser de uso habitual en la práctica profesional conjuntamente con el H-21, resultando entonces los siguientes valores:

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Re:2020

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Acero.

En los desarrollos que siguen se utiliza Acero ADN-420 (acero de dureza natural) por ser de uso habitual en la práctica profesional, resultando entonces los siguientes valores:

4-Análisis del estado I (sección no fisurada). En este caso el hormigón y el acero se encuentran en régimen elástico lineal y además no se supera la resistencia máxima a tracción del hormigón (fr). El presente se denomina estado de servicio y es utilizado en la determinación de magnitudes cinemáticas, Por ende en la resolución de estructuras hiperestáticas (ecuaciones de compatibilidad). Determinación del máximo momento flexor. Sea la siguiente sección transversal solicitada a flexión simple y tratada como sección homogénea. Resulta entonces:

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Re:2020

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El valor del máximo momento flexor del estado I surge del siguiente análisis tensional: Hormigón fibra extrema inferior.

fr = 0.345Kn/cm2 = (MI x 18.88cm / 90102cm4) → MI = 16.46 Knm Hormigón fibra extrema superior. 4

0.45f´c = 1.35Kn/cm2 = (MI x 21.12cm / 90102cm )

→ MI = 57.59 Knm

Armadura.

fy = 42Kn/cm2 = (MI x 13.88cm / 90102cm4)x8.158 → MI = 334.20 Knm Finalmente el valor correcto de máximo momento flexor del estado I es el menor de los tres determinados. Es decir:

MI = 16.46 Knm 5-Análisis del estado II (sección fisurada). El hormigón se fisura por superarse su máxima resistencia a tracción (fr) pero, las tensiones de compresión en el mismo, responden al régimen elástico lineal (fc=0.45f´c).El acero permanece en régimen elástico lineal. Determinación del máximo momento flexor. Sea la siguiente sección transversal solicitada a flexión simple y tratada como sección homogénea. Resulta entonces:

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Re:2020

4

El valor del máximo momento flexor del estado II surge del siguiente análisis tensional: Hormigón fibra extrema superior. 4

0.45f´c = 1.35Kn/cm2 = (MII x 12.8cm / 37745cm )

→ MII = 39.81 Knm

Armadura.

fy = 42Kn/cm2 = (MII x 22.2cm / 37745cm4)x8.158 → MII = 87.53 Knm Finalmente el valor correcto de máximo momento flexor del estado II es el menor de los dos determinados. Es decir:

MII = 39.81 Knm 6-Análisis del estado III (sección en estado limite de resistencia). El hormigón y el acero se encuentran en régimen elasto-plástico. Permite la determinación del momento nominal (Mn) de la sección transversal tal como se desarrolla a continuación:

Se parte de considerar que la armadura ha alcanzado la tensión de fluencia. Entonces:

T = 42 Kn/cm2x6.78cm2 = 284.76Kn Como se trata de flexion simple se debe cumplir: 2

0.85x3Kn/cm x15cmx0.85C = 284.76Kn

→

T=C

C=8.76cm

→ εs=0.009 (el acero está en fluencia)

Finalmente:

Mn = T x (d – 0.425C) = C x (d – 0.425C) = 89Knm