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• Guillermo Antonio Molina Gazmuri

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Universidad Católica del Norte

Apunte para un curso de Cálculo 1 (Primera Versión Experimental)

Maura Álvarez D. Luis Del Campo C. Guillermo Guevara B. Michel Molina del S.

27 de febrero de 2014

Apunte para un curso de Cálculo 1 - Universidad Católica del Norte

Índice general Introducción

8

1. Los Números Reales, Cuerpo Ordenado

11

1.1. Nociones Básicas sobre la teoría de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2. Los Números Reales como Cuerpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4. Orden en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6. Intervalos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.8. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.10. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1.12. Apéndice al Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2. Puntos y Rectas en el Plano Cartesiano

70

2.1. El Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.3. La Recta en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.5. Ecuaciones de la Recta en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

2.7. Determinación de algunos elementos principales del triángulo . . . . . . . .

106

2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

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2.9. Familia de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.11. Apéndice al Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Las Cónicas

118 122

3.1. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

3.3. La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

3.5. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

3.7. La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

3.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

4. Funciones Reales

163

4.1. Definiciones y Ejemplos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

4.3. Álgebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

4.5. Composición y Funciones Invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

4.7. Algunas Propiedades de Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

4.9. Monotonía de una Función Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

4.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.11. Una Aplicación a Modelos Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

4.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5. Límite y Continuidad de Funciones Reales

217

5.1. Límite de una Función Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

5.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

5.3. Límites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

5.5. Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

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5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244

5.7. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

5.9. Discontinuidades Reparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255

5.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 5.11. Límites Infinito y Límites en el Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

5.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 5.13. Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.14. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 6. Derivada de Funciones Reales

276

6.1. Definición y derivadas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

276

6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

290

6.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

6.5. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

6.7. Derivadas de orden superior y otras notaciones . . . . . . . . . . . . . . . .

299

6.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304

6.9. Interpretación física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304

6.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 6.11. Derivación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

6.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 6.13. Variables ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

6.14. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 7. Gráfico de Funciones Reales y Extremos

328

7.1. Extremos y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

329

7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

342

7.3. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

342

7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345

7.5. Trazado de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345

7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

7.7. Problemas simples de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

350

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7.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía

357 359

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Este apunte ha sido escrito para los estudiantes de un primer curso de cálculo para Ingenierías en la Universidad Católica del Norte. Esperamos que sea un real aporte al proceso formativo y que juntos podamos mejorarlo.

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Agradecimientos 1 A todos quienes han aportado con sugerencias para mejorar este apunte. Gracias por tomarse el tiempo y revisar cada una de las paginas aquí presentadas, especialmente a aquellos colegas de los Departamentos de Matemáticas y de Ciencias Básicas de la UCN que nos hicieron llegar sus comentarios.

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Introducción En cualquier curso de matemática, para alcanzar el exito es necesario tener una base sólida en los prerequisitos. No importa cuan mínima sea esta base, lo que resulta indispensable es que el estudiante maneje con absoluta claridad y soltura los conceptos elementales que le permitan ir entendiendo y aplicando los nuevos conocimientos. Desafortunadamente, la práctica nos muestra que nuestros estudiantes de los primeros años en la universidad no tienen las conductas mínimas de entrada necesarias, mucho menos las que desearíamos. La gran mayoría demuestra absoluto desconocimiento de las operaciones básicas de la aritmética y del álgebra, así como también en geometría. Tienen dificultades para trabajar con numeros decimales, fracciones, raíces, potencias, expresiones algebraicas, etc. Si quisieramos mejorar las conductas de entrada de los estudiantes de primer año, posiblemente tendríamos que utilizar un semestre, y quizas más, para nivelarlos. Como hoy en día se requiere avanzar rapidamente en el logro de los objetivos y, con la intención de subsanar y mejorar las conductas de entrada en una forma apropiada, sin provocar mayor retraso, pretendemos entregar las herramientas necesarias de la aritmética y el álgebra dentro del propio curso de cálculo, entendiendo si que esto no es suficiente. A pesar de lo anterior no podemos ni debemos escudarnos en la preparación previa del estudiante. Es imprescindible también que él comprenda que la mayor responsabilidad del éxito, su éxito, recae en él mismo, y dependerá de su propio esfuerzo. En la universidad, el futuro profesional debe ser el motor de su propia formación. Debe mantener un estudio permanente que le permita alcanzar la independencia necesaria que lo llevará a ser un buen profesional, y ojalá de excelencia. Lo anterior, también debe tenerlo claro el profesor a cargo. En este apunte se pretende abordar el cálculo desde un punto de vista mas bien intuitivo, no obstante, algunas definiciones se darán formalmente. Los tres primeros capítulos están dedicados a los conceptos básicos necesarios para el estudio del cálculo. Sólo a partir del cuarto capítulo comenzamos el estudio del cálculo propiamente tal. En dicho capítulo se inicia el estudio de límite y continuidad de funciones reales. En este apunte, evitamos el uso excesivo de la simbología matemática, ya que ésta tiende a confundir al estudiante. Dejamos la labor de la presentación simbólica para algún curso de álgebra, donde parece más apropiado hacer una introducción a la lógica matemática y ahí entregar la simbología básica usual. 8

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Al final del primer y del segundo Capítulo, hemos considerado Apéndices, con la intención que el estudiante pueda recurrir a él si tiene alguna duda respecto a ciertas operaciones básicas o a los elementos principales de un triángulo, los que se utilizan frecuentemente en dichos capítulos. Estos apéndices no pretenden sustituir los conocimientos que debiera tener el estudiante, tan sólo pretende ser una ayuda, la que el estudiante puede consultar cada vez que sea necesario.

Al Estudiante Creemos necesario hacerle algunos comentarios y recomendaciones al estudiante, lector de estas notas, ya que frecuentemente vemos errores que lo llevan a demorar su aprendizaje. En tal sentido hacemos las siguientes sugerencias: 1. En cada clase se debe mantener la máxima atención y concentración posible el tiempo que ésta dure, de modo que se aproveche en forma óptima. 2. Si durante la clase el profesor propone un ejemplo sin resolverlo de inmediato, se debe intentar obtener la solución para luego comparar con lo que hace el profesor. Preocuparse del procedimiento y no conformarse sólo con el resultado. 3. El estudio debe ser permanente, constante, ojalá a diario. Especialmente antes de cada clase resulta muy útil repasar la anterior. 4. El punto anterior debe ser bien entendido: no resulta conveniente que todo el tiempo disponible sea dedicado al estudio, es decir, se debe dejar algún tiempo para la recreación y la distracción, sin abusar de ésta, de modo que el estudio no se transforme en algo sofocante y estresante. 5. Para un mejor aprendizaje y memorización de fórmulas, recomendamos hacer un listado con ellas y cada vez que se va a usar una, copiarla en el desarrollo del problema en cuestión, aunque resulte excesivo. Esto permite memorizar las fórmulas de manera natural; es decir, no sólo grabamos una fórmula, sino que vamos aprendiendo su uso en las situaciones que corresponde. 6. La matemática es una ciencia que se basa esencialmente en los símbolos. Esto quiere decir que si un par de objetos matemáticos son representados por los símbolos A y 9

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a, respectivamente, entonces se debe asumir que tales objetos son diferentes, a menos que se diga explicitamente lo contrario. Debe entenderse que como letras, A y a son lo mismo, pero no como símbolos matemáticos. 7. El estudiante debe comprender que la mayor responsabilidad del éxito, su propio éxito, recae en él mismo. En tal sentido, es necesario que busque lograr su independencia en el estudio, esto es, debe tratar de no depender del profesor o el ayudante y ser capaz de usar bibliografía sin mayores problemas y jamás conformarse con lo estudiado del cuaderno o las guías de ejercicios dadas en la asignatura.

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Capítulo 1

Los Números Reales, Cuerpo Ordenado Si observamos con atención, podemos ver que ningún estudio, en casi cualquier área de la matemática puede prescindir de la aritmética y el álgebra básica. Ambas resultan ser la base esencial de toda teoría matemática. Por lo anterior, al comenzar el estudio del cálculo debemos considerar la necesidad de repasar, los conceptos elementales de la aritmética y el álgebra para tener una base mínima para nuestro estudio. Entre estos conceptos trataremos el de conjunto, para el cual dedicaremos la primera sección de este capítulo dando algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos.

1.1.

Nociones Básicas sobre la teoría de conjuntos.

La palabra Conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de libros, de lápices, números, etc. Es decir esta palabra denota una colección de elementos, que guardan alguna característica en común. En Matemáticas, el concepto de Conjunto, es considerado primitivo y ni se da una definición formal de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos. De igual modo, se consideran primitivas las ideas de elemento y pertenencia en un conjunto. Los conjuntos se denotan usualmente por letras mayúsculas A, B, C, .... y a los objetos que lo forman se les llama miembros o elementos (más usado este último) del conjunto.

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Trataremos dos formas de describir un conjunto: la forma tabular de extensión o enumeración de sus elementos y la forma intensiva o por comprensión. Referido a la forma tabular, podemos ejemplificar la misma con los siguientes ejemplos: A = {a, b, c}, B = {primavera, otoño, verano, invierno}, C = {1, 2, 3, . . .} O sea, como hemos ejemplificado, esta forma se caracteriza por expresar los elementos del conjunto separados por coma, y todos estos encerrados entre llaves. Cabe destacar que los conjuntos pueden ser finitos, o infinitos, según por ejemplo el conjunto C. En la forma intensiva, se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Veamos el siguiente ejemplo: D = {números mayores que 2} Por lo frecuente del uso de este concepto, recordemos que si A es un conjunto y a es un elemento de este conjunto A, entonces escribimos: a∈A ;

a pertenece a A (o al conjunto A), o bien a es un elemento de A (o del conjunto A), o bien a está en A (o en el conjunto A).

En caso contrario, es decir, si a no es un elemento del conjunto A, escribimos: a∈ /A ;

a no pertenece a A (o al conjunto A), o bien a no es un elemento de A (o del conjunto A), o bien a no está en A (o en el conjunto A).

Si dos elementos x, y son iguales, usamos el símbolo = para expresarlo escribiendo: x = y ; x es igual a y, o bien x e y son iguales. Es claro que x = y es lo mismo que y = x. Si por el contrario, x e y no son iguales, es decir, son distintos o diferentes, usamos el símbolo = para expresarlo: x = y ;

x no es igual a y, o bien x e y no son iguales, o bien x e y son diferentes o distintos.

Como antes, obviamente que x = y es equivalente a y = x.

Seguidamente podemos comentar otras propiedades de los conjuntos y las relaciones entre ellos. Es decir, sean A, B conjuntos diremos que: 12

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A ⊂ B si y solo sí (por definición) x ∈ A, entonces, x ∈ B. Esto se lee A está incluido en (o es subconjunto de) B.

A = B si y solo sí (por definición) A ⊂ B y B ⊂ A A veces expresamos la relación A ⊆ B, donde el símbolo ⊆ expresa que A ⊂ B o es todo

el conjunto B.

También podemos realizar operaciones básicas entre conjuntos, tales como la unión, la intersección y la diferencia. Dichas operaciones se definen, respectivamente, de la siguiente forma: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}, A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}, A \ B = A − B = {x : x ∈ A y x ∈ / B}. En este primer capítulo definiremos el conjunto de los números reales como cuerpo, y veremos algunas operaciones algebraicas elementales, orden, inecuaciones, valor absoluto y terminamos con una breve introducción al símbolo sumatoria y a la inducción matemática.

1.2.

Los Números Reales como Cuerpo.

Los números han estado en nuestras vidas desde antes de nacer. Nuestras madres nos han esperado 36 semanas y desde el momento mismo de nacer somos sometidos a mediciones 3500 gramos y 51 cm. Nuestro nacimiento queda marcado por un determinado día y mes en el cual celebramos nuestro cumpleaños. Más adelante, recibimos un número que nos acompañará toda la vida el RUT y así podríamos continuar con nuestra relación con los números. Los primeros números que conocemos cuando somos pequeños pertenecen al conjunto de los números naturales que se designa por N que nos sirven para contar. N = {0, 1, 2, 3, 4, .......} con estos números podíamos realizar en los primeros años del

colegio dos operaciones: la

adición y la multiplicación. Estas operaciones se llaman

operaciones binarias y tienen la propiedad de clausura, es decir, la suma de dos números naturales es un número natural y el producto de dos números naturales también es un número natural.

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Sin embargo, no podíamos realizar las operaciones inversas sustracción y división para cualquier par de números naturales. Por ejemplo: 20 − 35 = −15 ∈ / N ( primer problema)

25 ÷ 4 =6,25∈ / N (segundo problema)

De allí, entonces surge la necesidad de nuevos conjuntos. Para solucionar el primer

problema se tiene el conjunto de los números enteros, que se designa por Z Z = {..... − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}

En el cual es posible realizar las operaciones binarias de adición, sustracción y multiplicación N⊂Z Para solucionar el segundo problema, se tiene el conjunto de números racionales, que se designa por Q (números decimales finitos e infinitos periódicos) a Q = { / a, b ∈ Z con b = 0} b En este nuevo conjunto podemos realizar las cuatro operaciones fundamentales: adición, sustracción, multiplicación y división. N⊂Z⊂Q Sin embargo, nuevamente tenemos problema si tratamos de resolver ecuaciones de la forma x2 = a donde a es un número positivo que no es un cuadrado perfecto. No existe ningún número racional que al elevarlo al cuadrado sea igual a 2. De allí la necesidad de contar con un nuevo conjunto, el conjunto de los números irracionales que denotamos por I (números decimales infinitos no periódicos). Entonces ¿cuáles son los números reales? Definimos R = Q ∪ I

Si nos fijamos,

N⊂Z⊂Q⊂R

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De esta forma hemos definido naturalmente el conjunto de los números reales, que denotamos por R, cuyos elementos son los números reales. Estos elementos pueden ser denotados por cualquier símbolo, pero preferentemente los denotaremos por letras minúsculas, como a, b, c,. . . ,a1 , b1 , c1 ,. . . , x, y, z,. . . , α, β, γ,. . . ,α1 , β 1 , γ 1 ,. . . , etc. Como hemos observado, en R tenemos bien definidas dos operaciones binarias (esto quiere decir que operan sólo dos elementos a la vez), la Suma o Adición y el Producto o Multiplicación de números reales: Suma (o Adición) Si x, y ∈ R, entonces su suma es otro número real que denotamos por x + y. Es decir

x, y ∈ R, entonces x + y ∈ R. Producto (o Multiplicación) Si x, y ∈ R, entonces su producto es otro número real que denotamos por x · y. Es decir

x, y ∈ R, entonces x · y ∈ R. Observación 1 Es usual escribir el producto de dos números x e y, simplemente por xy. El conjunto de los números reales R con estas dos operaciones forma lo que llamamos un Cuerpo (o Campo), debido a que se satisfacen las siguientes propiedades (Axiomas, pues se aceptan sin mayor cuestionamiento): Axioma 1 (Conmutatividad) La suma y el producto en R son conmutativas, es decir, si x, y ∈ R, entonces: (i) x + y = y + x. (ii) x · y = y · x. Axioma 2 (Asociatividad) La suma y el producto en R son asociativas, es decir, si x, y, z ∈ R, entonces: (i) x + (y + z) = (x + y) + z. (ii) x · (y · z) = (x · y) · z.

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Axioma 3 (Distributividad) El producto es distributivo (o se distribuye) respecto a la suma en R, es decir, si x, y, z ∈ R, entonces: x · (y + z) = x · y + x · z. Axioma 4 (Existencia de Neutros) Existen dos números reales distintos, llamados Cero y Uno, que denotamos por 0 y 1, que actúan como neutros para la suma y el producto, respectivamente. Es decir, 0, 1 ∈ R, 0 = 1, son tales que si x ∈ R, entonces: (i) x + 0 = 0 + x = x. (ii) x · 1 = 1 · x = x. Axioma 5 (Inverso Aditivo) Todo número real posee un inverso aditivo. Es decir, si x ∈ R, entonces existe y ∈ R, tal que x + y = y + x = 0. Axioma 6 (Inverso Multiplicativo) Todo número real no nulo posee un inverso multiplicativo. Es decir, si x ∈ R, x = 0, entonces existe z ∈ R, tal que x · z = z · x = 1. Observación 2 Como veremos, el inverso aditivo y el inverso multiplicativo son únicos para cada número real, cuando existe. Por tal razón denotaremos estos inversos por: y = −x,

inverso aditivo de x.

z = x−1 , inverso multiplicativo de x = 0.

Observación 3 El acuerdo por todos conocidos, es que la expresión xy +z, quiere decir que se están sumando el número xy con el número z. Así, queda establecido que xy+z = (xy)+z, ya que x (y + z) = xy + xz. De este conjunto de axiomas se deducen casi la totalidad de las propiedades aritméticas de las operaciones suma y producto de números reales. A modo de ejemplo demostraremos algunas propiedades y dejaremos las restantes como ejercicios.

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Teorema 2 (Leyes de Cancelación) Sean x, y, z ∈ R, entonces (i) x + z = y + z sí, y sólo sí, x = y.

(ii) Si z = 0 y x · z = y · z, entonces x = y. Demostración. (i) Notar que en este caso tenemos una equivalencia x + z = y + z ⇐⇒

x = y.

x + z = y + z ⇔ x + z − (y + z) = 0 ⇔ x − y + (z + (−z)) = 0, (Asociatividad) ⇔ x − y + 0 = 0, (Inverso aditivo) ⇔ x − y = 0, (Neutro aditivo) ⇔x=y Esto demuestra que si x + z = y + z, entonces x = y. Si asumimos que x = y, es evidente que se cumple que x + z = y + z. (ii) La demostración es análoga usando el neutro y el inverso multiplicativo además de la asociatividad del producto y la hipótesis. Corolario 3 (Unicidad del Inverso Aditivo) Si x ∈ R, entonces su inverso aditivo −x es único.

Demostración. Supongamos que −x y x1 son inversos aditivos de x. Entonces tenemos

que:

x + (−x) = 0 y x + x1 = 0, es decir x + (−x) = x + x1 , y por Teorema anterior x1 = −x. Corolario 4 (Unicidad del Inverso Multiplicativo) Si x ∈ R, x = 0, entonces su inverso multiplicativo x−1 es único.

Demostración. La demostración es análoga al anterior usando la ley de cancelación para el producto.

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Observación 4 Dado que x−1 es el inverso multiplicativo de x, para x = 0, entonces

tenemos que x−1 x = 1, es decir, x es el inverso multiplicativo de x−1 , por lo que se deduce que x−1 = 0. Esto también se justificará con la propiedad de absorción del número 0.

De los teoremas anteriores podemos deducir que la ecuación lineal en R tiene solución y tal solución es única. Es decir, tenemos los siguientes teoremas: Teorema 5 Sean a, b ∈ R. Entonces la ecuación lineal x + a = b, tiene una única solución en R. Es decir, existe un único x ∈ R, que satisface esta ecuación. Este único x es x = b + (−a).

Demostración. Basta notar que x = b + (−a) satisface la ecuación dada y aplicar la ley de cancelación para la adición y la unicidad del inverso aditivo. Observación 5 El número x del teorema anterior se escribe como x = b + (−a) = b − a. Teorema 6 Sean a, b ∈ R, a = 0. Entonces la ecuación lineal ax = b, tiene una única solución en R. Es decir, existe un único x ∈ R, que satisface esta ecuación.

Este único x es x = b · a−1 .

Demostración. Como antes, basta notar que x = b · a−1 satisface la ecuación dada y

aplicar la ley de cancelación para el producto y la unicidad del inverso multiplicativo.

1 Observación 6 El número x del teorema anterior se escribe como x = b · a−1 = b · = a b = b/a. a Observación 7 Usando los dos teoremas anteriores, podemos probar fácilmente que la ecuación lineal general, ax + b = c, tiene solución y tal solución es única. Teorema 7 El elemento 0 ∈ R es absorvente, es decir, para todo x ∈ R, se cumple que 0 · x = x · 0 = 0.

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Demostración. Notar que x · 0 = x · (0 + 0)

(Neutro Aditivo)

= x · 0 + x · 0 (Distributividad)

Además x · 0 = x · 0 + 0 (Neutro Aditivo) Así, tenemos que x·0+x·0=x·0+0 De donde, usando la Ley de Cancelación, obtenemos que x · 0 = 0. Observación 8 El Teorema anterior muestra por qué el número 0 es el único real que no tiene inverso multiplicativo. Además, es claro que es el único real con la propiedad absorvente. Observación 9 Vemos que el número 0 es su propio inverso aditivo y es el único real con esta propiedad. Usando la unicidad del inverso aditivo y el Teorema anterior, podemos obtener la regla de los signos, como se muestra en el siguiente teorema. Teorema 8 Para a, b ∈ R, se verifica que: (i) − (−a) = a. (ii) (−a) · b = a · (−b) = −ab. (iii) (−a) · (−b) = ab.

(v) − (a − b) = −a + b

(iv) − (a + b) = −a − b.

Demostración. Sólo probaremos (i). Para esto, basta notar que − (−a) es el inverso

aditivo de −a por lo que

− (−a) + (−a) = 0,

pero −a es el inverso aditivo de a, por lo que a + (−a) = 0. Así, − (−a) + (−a) = a + (−a) ,

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y por la ley de cancelación para la suma (o bien por la unicidad del inverso aditivo) − (−a) = a.

Observación 10 Es fácil ver que los números 1 y −1 son, cada uno, su propio inverso

multiplicativo, y son los únicos reales con esta propiedad. Además, esto muestra que efectivamente 1 = 0, es decir, justifica lo señalado en el Axioma 4 (Existencia de Neutros).

Usando un argumento análogo al de la regla de los signos, podemos probar, fácilmente el siguiente corolario: Corolario 9 Sean a, b ∈ R, con a = 0. Entonces:
−1 −b b b = =− . (i) a−1 = a. (ii) a −a a −b b (iii) = . −a a

Demostración. Usar un argumento análogo al usado en la regla de los signos, por la

unicidad del inverso multiplicativo. Teorema 10 Sean a, b, c, d ∈ R. Entonces: (i) Para b = 0 y d = 0, tenemos que

a c ad + bc + = . b d bd (ii) Para b = 0 y d = 0, tenemos que ac a c · = . b d bd (iii) Para b = 0, c = 0 y d = 0, tenemos que a/b ad = . c/d bc (iv) Para a = 0 y b = 0, tenemos que: (ab)−1 = a−1 b−1 . (v) Para a = 0 y b = 0, tenemos que:  a −1 b

=

b . a

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Demostración. Sólo probaremos (i): a c + b d

= a · b−1 + c · d−1

(Observación 6)


 a · b−1 + c · d−1 · 1 (Neutro multiplicativo)
 = a · b−1 + c · d−1 · bd · (bd)−1 (Inverso multiplicativo)
 = a · b−1 · b · d + c · d−1 · b · d · (bd)−1 (Distributividad) =

= (a · d + b · c) · (bd)−1

(Inverso, neutro multip. y conmut.)

=

(Observación 6)

ad + bc bd

Teorema 11 Sean a, b ∈ R. Entonces ab = 0 si, y sólo si, a = 0 o bien b = 0. Demostración. Notar que en este caso tenemos una equivalencia: ab = 0 ⇐⇒

(a = 0 o bien b = 0) .

Esto quiere decir que tenemos dos proposiciones: ab = 0 =⇒

(a = 0 o bien b = 0) ,

y (a = 0 o bien b = 0)

=⇒ ab = 0.

Asumamos que ab = 0. Supongamos que a = 0. Entonces existe su inverso multiplicativo

a−1 y tenemos que

b = 1·b (Neutro multiplicativo)
−1  = a · a · b (Inverso multiplicativo) = a−1 · (ab)

(Asociatividad)

= 0.

(Absorción del Cero, Teor. 7)

=

a−1

·0

(Hipótesis)

Análogamente, si suponemos que b = 0 obtenemos que a = 0.

Por otra parte, si asumimos que a = 0 o bien b = 0, entonces es claro, por Teorema 7,

que ab = 0. 21

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Corolario 12 Si x ∈ R, entonces x2 = 0 si, y sólo si, x = 0.

1.3.

Ejercicios

1. Demuestre la Ley de Cancelación para el Producto: Si z = 0 y x · z = y · z, entonces x = y.

2. Demuestre la Unicidad del Inverso Multiplicativo: Si x ∈ R y x = 0, entonces su inverso multiplicativo x−1 es único.

3. Demuestre la Ley de los Signos: (a) (−a) · (−b) = ab.

(b) (−a) · b = a · (−b) = −ab.

4. Verifique, formalmente, las siguientes propiedades: (a) − (a + b) = −a − b.
−1 (c) a−1 = a.

(e)

1.4.

(b) − (a − b) = −a + b. (d)

b −b = . −a a

−b b b = =− . a −a a

Orden en R.

Asumimos que en R existe un subconjunto, que denotamos por R+ y lo llamamos el conjunto de los números reales positivos, es decir, sus elementos son llamados los números reales positivos. En R+ tenemos que se satisfacen los siguientes axiomas, llamados Axiomas de Orden en R: Axioma 7 (No positividad del 0) El número real 0 no es un número real positivo, es decir 0 ∈ / R+ . Axioma 8 (R+ es Cerrado para la suma y el producto) La suma y el producto de dos números reales positivos, es un número real positivo. Es decir, si x, y ∈ R+ , entonces

x + y ∈ R+ y xy ∈ R+ .

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Axioma 9 (Tricotomìa) Si x ∈ R, entonces se cumple una, y sólo una de las siguientes afirmaciones:

x ∈ R+ , o bien − x ∈ R+ , o bien x = 0. El conjunto de los números reales positivos R+ nos permite definir el orden en R. De esta forma tenemos la siguiente definición: Definición 1 Sean x, y ∈ R. Decimos que x es menor que y, lo que denotamos por x < y, si la diferencia y − x es un número real positivo. Es decir:

x < y si, y sólo si, y − x ∈ R+ . Ejemplo 1 3 < 5, ya que 5 − 3 = 2 ∈ R+ .

−6 < −3, ya que − 3 − (−6) = 3 ∈ R+ .

−3 < 1, ya que 1 − (−3) = 4 ∈ R+ .

A partir de la definición de y ( x es mayor que y) sí, y sólo sí, y < x. b) x ≤ y ( x es menor o igual que y) sí, y sólo sí, x = y o bien x < y. c) x ≥ y ( x es mayor o igual que y) sí, y sólo sí, x = y o bien x > y. Corolario 13 (Transitividad de y ∧ y > z, entonces x > z. (iii) Si x ≥ y ∧ y ≥ z, entonces x ≥ z. Observación 13 Como en el caso de menor estricto 0 si, y sólo si,

0 0} . Es decir, los números reales positivos son exactamente los números reales mayores que 0. Esto explica y justifica el Axioma 7. Teorema 14 (Tricotomía) Sean x, y ∈ R, entonces se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

x < y, o bien x > y, o bien x = y. 24

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Demostración. Sea z = y − x. entonces, como z ∈ R, por Axioma 9 (Tricotomía), se

cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

z ∈ R+ , o bien − z ∈ R+ , o bien z = 0. De donde tenemos que: Si z ∈ R+ , entonces y − x ∈ R+ . Por lo tanto x < y.

Si −z ∈ R+ , entonces x − y ∈ R+ . Por lo tanto y < x, es decir x > y.

Si z = 0, entonces y − x = 0, es decir x = y. Teorema 15 Sean x, y ∈ R. Se cumple que:

(i) Si c ∈ R, x < y sí, y sólo sí, x + c < y + c. (ii) Si c > 0, x < y sí, y sólo sí, cx < cy.

(iii) Si c < 0, x < y sí, y sólo sí, cx > cy. Demostración. Sólo probaremos (iii), dejando (i) y (ii) como ejercicios. que

Si c < 0, entonces −c > 0. Luego, aplicando (ii) y la definición correspondiente, tenemos x < y ⇐⇒

−cx < −cy

⇐⇒ −cx + cy < 0 ⇐⇒

cy < cx

⇐⇒

cx > cy.

Corolario 16 Si x ∈ R, entonces: (i) x = 0 sí, y sólo sí, x2 > 0.

(ii) 1 > 0.

Corolario 17 Sean x, y ∈ R, entonces: (i) xy > 0 sí, y sólo sí,

x > 0 ∧ y > 0, o bien x < 0 ∧ y < 0. (ii) xy < 0 sí, y sólo sí, x > 0 ∧ y < 0, o bien x < 0 ∧ y > 0. 25

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Observación 14 Similares resultados valen si sustituimos el signo > o bien 0, luego tenemos que x · x−1 > 0. Esto significa que x y x−1 deben tener el mismo signo, según el Corolario anterior. Es decir, (i) x > 0 sí, y sólo sí, x−1 > 0. (ii) x < 0 sí, y sólo sí, x−1 < 0. Corolario 18 Sean x, y ∈ R, con y = 0. Entonces x (i) > 0 sí, y sólo sí, y x > 0 ∧ y > 0 o bien x < 0 ∧ y < 0. (ii)

x < 0 sí, y sólo sí, y x > 0 ∧ y < 0 o bien x < 0 ∧ y > 0.

Otras propiedades simples que pueden ser útiles, son las que se presentan en el siguiente corolario Corolario 19 Dados x, y, z ∈ R, se tiene que: (i) Si 0 ≤ x ≤ y, entonces 0 ≤ x2 ≤ y 2 .

(ii) Si x ≤ y ≤ 0, entonces x2 ≥ y 2 ≥ 0.

(iii) Si x ≤ y ≤ z y además z = x, entonces y = x = z.

Corolario 20 Si x, y ∈ R, x ≥ 0, y ≥ 0, tenemos que x2 ≤ y 2 ⇐⇒ x ≤ y. Observación 16 Similares propiedades valen si utilizamos x ≤ y, o bien x > y, o bien

x ≥ y.

1.5.

Ejercicios

1. Si x ∈ R, pruebe que:

i) x = 0 si, y sólo si, x2 > 0 .

ii) 1 > 0 . 26

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2. Para x, y ∈ R, con y = 0, pruebe que x > 0 si, y sólo si, x > 0 ∧ y > 0 , o bien, x < 0 ∧ y < 0 . i) y ii)

1.6.

x < 0 si, y sólo si, x > 0 ∧ y < 0 , o bien, x < 0 ∧ y > 0 . . y

Intervalos en R.

En R tenemos muchos subconjuntos, algunos de los cuales juegan un importante rol en el cálculo. Ya hemos definido R+ . Ahora introduciremos otros subconjuntos, ellos son el conjunto de los números reales negativos y los intervalos. Decimos que x ∈ R es un número real negativo si x < 0. El conjunto de los números

reales negativos lo denotamos por R− . Es decir R− = {x ∈ R : x < 0}. Es claro que 0 ∈ / R− . Por lo tanto, por la tricotomía, tenemos que R = R− ∪ {0} ∪ R+ . Notamos que si x ∈ R− y z ∈ R+ , entonces tenemos que x < 0 < z.

(1.1)

Esto hace natural ordenar los números reales en una recta, llamada Recta Real. Así, a cada número real le asociamos un punto de la recta y viceversa. Es decir, tenemos una correspondencia biunívoca (única en ambas direcciones) entre los números reales y los puntos de la recta, la recta real. Para esto, fijamos un punto que llamamos Origen y al cual le asignamos el número real 0. Así, por (1.1), es natural pensar que los números reales negativos están a la izquierda del 0, mientras que los positivos están a la derecha del 0.

Esta es la representación geométrica de los números reales. En la práctica, no hacemos mayores comentarios y aceptamos la recta real como si se tratase del propio conjunto de los números reales. Es decir, no hacemos diferencia entre los puntos de la recta y los números reales. Con esta idea y gracias a las desigualdades, podemos definir ciertos subconjuntos especiales de R, los que juegan un importante rol en cálculo: los Intervalos. Para esto, sean a, b ∈ R, con a < b, entonces definimos los siguientes intervalos: 27

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1. Intervalo Cerrado [a, b] es el conjunto dado por: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} . Notamos que a, b ∈ [a, b], es decir, [a, b] incluye sus dos extremos. La representación gráfica de este conjunto es:

2. Intervalo Abierto (a, b) es el conjunto dado por: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} . Notamos que a, b ∈ / (a, b), es decir, (a, b) excluye sus dos extremos. La representación

gráfica de este conjunto es:

3. Intervalo Cerrado a la Izquierda y Abierto a la Derecha [a, b) es el conjunto dado por: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} . Notamos que a ∈ [a, b) y b ∈ / [a, b), es decir, [a, b) incluye sólo su extremo izquierdo. La representación gráfica de este conjunto es:

4. Intervalo Abierto a la Izquierda y Cerrado a la Derecha (a, b] es el conjunto dado por: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} . Notamos que a ∈ / (a, b] y b ∈ (a, b], es decir, (a, b] incluye sólo su extremo derecho. La representación gráfica de este conjunto es:

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5. Intervalo Cerrado (a la Izquierda) Infinito a la Derecha [a, +∞) es el conjunto dado por: [a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x} = {x ∈ R : x ≥ a} . Notamos que a ∈ [a, +∞), es decir, [a, +∞) incluye su extremo finito (izquierdo). La representación gráfica de este conjunto es:

Notar en la gráfica que el intervalo continua indefinidamente hacia la derecha, y eso es lo que representa el símbolo +∞. 6. Intervalo Abierto (a la Izquierda) Infinito a la Derecha (a, +∞) es el conjunto dado por: (a, +∞) = {x ∈ R : a < x} = {x ∈ R : x > a} . Notamos que a ∈ / (a, +∞), es decir, (a, +∞) excluye su extremo finito (izquierdo). La representación gráfica de este conjunto es:

Como en el caso anterior, notar en la gráfica que el intervalo continua indefinidamente hacia la derecha, y eso es lo que representa el símbolo +∞. 7. Intervalo Cerrado (a la Derecha) Infinito a la Izquierda (−∞, b] es el conjunto dado por: (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} = {x ∈ R : b ≥ x} . Notamos que b ∈ (−∞, b], es decir, (−∞, b] incluye a su extremo finito (derecho). La

representación gráfica de este conjunto es:

Análogamente a los casos anteriores, notar en la gráfica que el intervalo continua indefinidamente hacia la izquierda, y eso es lo que representa el símbolo −∞. 29

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8. Intervalo Abierto (a la Derecha) Infinito a la Izquierda (−∞, b) es el conjunto dado por: (−∞, b) = {x ∈ R : x < b} = {x ∈ R : b > x} . Notamos que b ∈ / (−∞, b), es decir, (−∞, b) excluye a su extremo finito (derecho). La

representación gráfica de este conjunto es:

Como el caso anterior, notar en la gráfica que el intervalo continua indefinidamente hacia la izquierda, y eso es lo que representa el símbolo −∞. Observación 17 Es importante entender que los símbolos +∞ y −∞ no representan ningún

número real y sólo expresan la idea que el intervalo continúa indefinidamente a la derecha o a la izquierda, según corresponda. Observación 18 También podemos aceptar la notación de intervalos para los siguientes conjuntos: (a) R = (−∞, +∞) = {x ∈ R : −∞ < x < +∞} . (b) {a} = [a, a] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ a} . (c) Φ = (a, a) = (a, a] = [a, a) = {} (conjunto nulo o vacío). Observación 19 Observamos que R− = (−∞, 0) = {x ∈ R : x < 0} y R+ = (0, +∞) = {x ∈ R : x > 0} . Y por lo tanto, es claro que R = R− ∪ {0} ∪ R+ = (−∞, 0) ∪ {0} ∪ (0, +∞) .

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Ejemplo 2 Sean A = (−3, 2), B = [0, 3), C = [−4, 2], D = (1, 3], E = [3, +∞) y F = (4, 6]. Graficar los conjuntos A, B, C, D, E y F , y hallar y graficar los siguientes conjuntos: A ∪ B, A ∩ B, D ∩ E y (A ∪ E) ∩ (D ∪ F ). A continuación representaremos sobre una recta real cada uno de los conjuntos dados (en forma independiente).

Realizando las operaciones pedidas, considerando las deficniciones dadas: A ∪ B = (−3, 2) ∪ [0, 3) = {x ∈ R : x ∈ (−3, 2) ∨ x ∈ [0, 3)}. Podemos ver esta unión

graficamente, para lo cual básta destacar ambos conjuntos en una mísma recta real y todo lo ensombrecido será la unión.

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Así, A ∪ B = (−3, 2) ∪ [0, 3) = (−3, 3). Notar que −3, 3 ∈ / A ∪ B, ya que −3, 3 ∈ /Ay

−3, 3 ∈ /B

A ∩ B = (−3, 2) ∩ [0, 3) = {x ∈ R : x ∈ (−3, 2) ∧ x ∈ [0, 3)}. Como antes, podemos

destacar estos conjuntos, pero ahora de modo diferente cada uno y la intersección será lo ensombrecido común

Así, la región de la recta que es común a ambos conjuntos es A∩B = (−3, 2)∩[0, 3) = [0, 2). Observamos que en este caso 0 ∈ A ∩ B, ya que 0 ∈ A y 0 ∈ B, además 2∈ / A ∩ B, ya que 2 ∈ / A.

D ∩ E = (1, 3] ∩ [3, +∞) = {x ∈ R : x ∈ (1, 3] ∧ x ∈ [3, +∞)}. En este caso nos interesa lo que tienen en común estos conjuntos

Vemos que en este caso los conjuntos sólo tienen un punto en común, por lo que D ∩ E = (−1, 3] ∩ [3, +∞) = {3}. (A ∪ E) ∩ (D ∪ F ) = {x ∈ R : x ∈ A ∪ E ∧ x ∈ D ∪ F } = {x ∈ R : (x ∈ A ∨ x ∈ E) ∧ (x ∈ D ∨ x ∈ F )}.

Como la unión es simple de ver, ensombrecemos las uniones de una forma y luego

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vemos la región común a ambas uniones

Por lo tanto, (A ∪ E) ∩ (D ∪ F ) = (1, 2) ∪ {3} ∪ (4, 6]. En este caso tenemos que

−1, 2, 4 ∈ / (A ∪ E) ∩ (D ∪ F ), ya que −1, 4 ∈ / D∪F ∧ 2 ∈ / A ∪ E. Además 3, 6 ∈ (A ∪ E) ∩ (D ∪ F ), ya que 3, 6 ∈ A ∪ E ∧ 3, 6 ∈ D ∪ F .

1.7.

Ejercicios

1. Dados los conjuntos: A = {x ∈ R / − 3 < x ≤ 5}, B = {x ∈ R / x ≤ 3}, C = {x ∈ R / − 5 ≤ x ≤ 4}, D = {x ∈ R / − 4 < x < 5}, Escribir, en notación de intervalos y graficar los siguientes conjuntos: i) A ∩ C . iv) (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) .

ii) A ∩ (B ∪ C) .

iii) A ∩ B ∩ C .

v) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) .

vi) (B ∩ D) ∪ C .

2. Repetir el ejercicio anterior con los siguientes conjuntos (intervalos): A = (−∞, 2], B = (−4, 1), C = [−3, 3), D = (−2, +∞) .

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1.8.

Inecuaciones

En esta sección estamos interesados en el trabajo con desigualdades desde la perspectiva de las inecuaciones, las cuales son desigualdades en las que aparece (a lo menos) un valor desconocido (incógnita). Para nuestro trabajo, podemos decir que una inecuación es una desigualdad de alguna de las siguientes formas: F (x) < G (x) , o bien F (x) ≤ G (x) , Observación 20 Es claro que la primera inecuación es equivalente a G (x) > F (x) , y la segunda es equivalente a G (x) ≥ F (x) . En cualquier caso, F (x) y G (x) son expresiones que dependen de x, donde x es la variable desconocida (incógnita). Entenderemos por una solución de una inecuación, cualquier valor real para x que al ser sustituído en la inecuación correspondiente, la desigualdad se satisface. Así, resolver una inecuación significa hallar el conjunto solución S, dado por, el conjunto de todos los x ∈ R para los cuales se satisface la desigualdad correspondiente, es decir, S = {x ∈ R : F (x) < G (x)} , (según la desigualdad que corresponda). En las inecuaciones podemos tener infinitas soluciones, es decir, el conjunto solución puede ser un conjunto infinito. De hecho, estos conjuntos infinitos son intervalos o uniones de intervalos. Para resolver una inecuación se procede en forma semejante a como se procede con las ecuaciones, sólo que en este caso se deben considerar, además, las propiedades dadas para las desigualdades. En nuestros primeros ejemplos indicaremos las propiedades que se han utilizado y haremos algunos comentarios para explicar lo hecho. 34

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Observación 21 Siempre expresaremos la solución de una inecuación en la notación de intervalo, excepto, evidentemente, si la solución es vacía o un conjunto discreto (conjunto finito de puntos), o todo R. Ejemplo 3 Resolver la inecuación

3x − 2 ≤ 7x + 3.

3x − 2 ≤ 7x + 3

/ + (2)

(Teor. 15(i))

3x ≤ 7x + 5

/ + (−7x)

(Teor. 15(i))

3x − 2 + 2 ≤ 7x + 3 + 2 −7x + 3x ≤ −7x + 7x + 5


 / · − 41

−4x ≤ 5
1
 − 4 · (−4x) ≥ − 14 · 5

(Teor. 15(iii))

x ≥ − 45

  Por lo tanto S = − 45 , +∞ .

En este ejemplo, por tratarse de una inecuación lineal, lo primero que intentamos es agrupar los términos independientes a un lado de la desigualdad, por ello hemos sumado 2, utilizando el Teorema 15(i). A continuación agrupamos todo lo que contiene la incognita al otro lado de la desigualdad, por esto hemos sumado (−7x), usando el mismo teorema. Luego multiplicamos por − 41 para dejar libre la incognita, utilizando el Teorema 15(iii), que

además produce que el signo de desigualdad se invierta. Ejemplo 4 Resolver la inecuación omitiendo algunos pasos: 4x + 5 < 3 − 6x 10x < −2 x < − 51

4x + 5 < 3 − 6x. Procederemos como antes, pero / + (−5 + 6x) (Teor. 15(i))
1 / · 10 (Teor. 15(ii))

35

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Así, S = −∞, − 51 .

Ejemplo 5 Resolver la inecuación algunos pasos:

4x − 5 ≥ 7 + x. Procederemos como antes omitiendo

4x − 5 ≥ 7 + x 3x ≥ 12 x≥4

/ + (5 − x)
 / · 13

Por lo tanto S = [4, +∞). Ejemplo 6 Resolver la inecuación (x + 1) (x − 3) ≥ 0. Vemos que esta inecuación es muy diferente a las anteriores, ya que aparece un término cuadrático: (x + 1) (x − 3) = x2 −2x−3.

En este caso tenemos un producto que debe ser no negativo. Por las propiedades de los reales (regla de los signos, Corolario 17), sabemos que para que esto ocurra (x + 1) y (x − 3) deben ser ambos no negativos o ambos no positivos. Es decir, en este caso el conjunto solución será S = {x ∈ R : (x + 1 ≥ 0 ∧ x − 3 ≥ 0) ∨ (x + 1 ≤ 0 ∧ x − 3 ≤ 0)} . Vemos que esto significa que S es la unión de dos conjuntos, S = S1 ∪ S2 , donde S1 = {x ∈ R : x + 1 ≥ 0 ∧ x − 3 ≥ 0} y S2 = {x ∈ R : x + 1 ≤ 0 ∧ x − 3 ≤ 0} . De esta forma, S1 = {x ∈ R : x + 1 ≥ 0 ∧ x − 3 ≥ 0} = {x ∈ R : x ≥ −1 ∧ x ≥ 3} = {x ∈ R : x ≥ −1 } ∩ {x ∈ R : x ≥ 3} = [−1, +∞) ∩ [3, +∞) ,

Así, S1 = [3, +∞). 36

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Por otra parte S2 = {x ∈ R : x + 1 ≤ 0 ∧ x − 3 ≤ 0} = {x ∈ R : x ≤ −1 ∧ x ≤ 3} = {x ∈ R : x ≤ −1 } ∩ {x ∈ R : x ≤ 3} = (−∞, −1] ∩ (−∞, 3] ,

Luego, S2 = (−∞, −1]. Como, S = S1 ∪ S2 ,

entonces S = (−∞, −1] ∪ [3, +∞).

Notar que lo importante es buscar el (o los) intervalos donde (x + 1) y (x − 3) son tales

que (x + 1) (x − 3) ≥ 0. Esto se puede ver resumidamente en la siguiente tabla, la que

muestra el comportamiento de (x + 1) y (x − 3) en R, que ha sido dividido en intervalos

considerando los puntos donde cada factor lineal cambia de signo, esto es x + 1 cambia de signo donde x + 1 = 0, es decir, en x = −1, mientras que x − 3 cambia de signo donde x − 3 = 0, es decir, en x = 3:

x+1

−∞

x−3

(x + 1)(x − 3)

− − +

−1

3

+∞

+

+

−

+

−

+

Vemos entonces que (x + 1) (x − 3) es positivo entre −∞ y −1, y además entre 3 y +∞,

y como también nos interesan los valores donde (x + 1) (x − 3) se anula, entonces debemos

incluir los puntos donde esto ocurre exactamente, en x = −1 y x = 3. Por lo tanto, la

solución es S = (−∞, −1] ∪ [3, +∞), como nos lo indica la tabla.

37

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Ejemplo 7 Resolver la inecuación x2 + 2x − 3 < 5. En este ejemplo podemos proceder

como en el anterior. Para ello primero procuramos obtener una factorización como antes: x2 + 2x − 3 < 5

/ + (−5)

x2 + 2x − 8 < 0 (x + 4) (x − 2) < 0 Así, buscamos los valores de x para los cuales (x + 4) (x − 2) es estrictamente negativo. Como antes, por la regla de los signos, tenemos que el conjunto solución es S = {x ∈ R : (x + 4) (x − 2) < 0} = {x ∈ R : (x + 4 < 0 ∧ x − 2 > 0) ∨ (x + 4 > 0 ∧ x − 2 < 0) } Observamos que en este problema estamos interesados en los intervalos donde (x + 4) y (x − 2) tienen signos distintos, es decir, donde (x + 4) (x − 2) es negativo. Para esto,

primero hallamos los puntos donde cada factor lineal cambia de signo. Haciendo x + 4 = 0,

obtenemos x = −4, y haciendo x − 2 = 0, se obtiene x = 2. Así podemos recurrir a nuestra tabla:

x+4

−∞

x−2

(x + 4)(x − 2)

−4

2

+∞

−

+

+ +

+

− −

−

+

Por lo tanto, S = (−4, 2), donde se han excluído los extremos, −4 y 2, ya que no nos

interesan los puntos donde el producto se anula.

x2 − x 5 +1 ≤ . Como antes, debemos utilizar la x+1 x+1 regla de los signos. Para ello, lo primero es dejar la inecuación en la forma F (x) ≤ 0. Ejemplo 8 Resolver la inecuación

38

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x2 − x 5 +1≤ x+1 x+1 5 x2 − x +1− ≤0 x+1 x+1 x2 − x + x + 1 − 5 ≤0 x+1 x2 − 4 ≤0 x+1 (x + 2) (x − 2) ≤0 x+1 Cada factor lineal cambia de signo, respectivamente, en los puntos donde x + 2 = 0 (es decir, en x = −2), x − 2 = 0 (es decir, en x = 2) y x + 1 = 0 (es decir, en x = −1). Con

esto, construimos nuestra tabla:

x+2

−∞ −2

x−2

x+1 (x+2)(x−2) x+1

−

+

−

−

−1

2

+∞

+

+

−

−

−

+

+

+

−

+

−

+

Como buscamos los valores de x para los cuales

(x+2)(x−2) x+1

≤ 0, necesitamos los intervalos

donde la fracción es negativa y donde se anula (que son los valores donde el numerador se

anula). Además no podemos incluír los valores donde se indetermina (que son los valores donde el denominador se anula). Por lo tanto:

Es decir, el conjunto solución es S = (−∞, −2] ∪ (−1, 2]. Es importante notar que se

han incluído los valores x = −2 y x = 2 en la solución porque son los valores que anulan

la fracción (el numerador), en tanto que se excluyó el valor x = −1 porque en este valor la

fracción se indetermina (se anula el denominador).

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Ejemplo 9 Resolver la inecuación

x x+1 ≤ . Procediendo como antes, tenemos: x+1 x−1 x x+1 ≤ x+1 x−1 x+1 x − ≤0 x+1 x−1

x (x − 1) − (x + 1)2 ≤0 (x + 1) (x − 1) x2 − x − x2 − 2x − 1 ≤0 (x + 1) (x − 1) −3x − 1 ≤ 0. (x + 1) (x − 1) Los valores donde se anulan los factores lineales son x = − 31 , x = −1, x = 1. Así, nuestra

tabla para los signos es

−∞ −1

− 13

−3x − 1

+

+

x+1

− −

−

+

−

x−1

+

1

+∞

−

−

+

+

+

−

−

+


 Luego S = −1, − 31 ∪ (1, +∞).

Observación 22 El estudiante ahora debe ser capaz de explicar por qué en la solución se incluye el valor − 13 y se excluye los valores −1 y 1. Además, no hemos escrito en la tabla

la fracción correspondiente simplemente por comodidad, pués sabemos que en la última fila aparece ésta. Aprovechando uno de los Ejemplos 8 o 9, es muy interesante destacar el por qué es vital comparar inicialmente con cero (es decir, llevarlo a la forma F (x) ≤ 0 ó F (x) ≥ 0), 40

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antes de trabajar algebraícamente en el mismo para obtener su solución. A continuación resolvamos el ejemplo 9 de una manera que pareciera muy natural, y veamos que llegamos a una solución incorrecta. x+1 x ≤ x+1 x−1 x(x − 1) ≤x+1 x+1

   · (x − 1), (incorrecto)    · (x + 1), (incorrecto)

x(x − 1) ≤ (x + 1)2

x2 − x ≤ x2 + 2x + 1 −3x ≤ 1 x≥−

1 3

 1  Siendo la solución incorrecta S = − , +∞ . 3 La solución dada no es la correcta, puesto que los pasos señalados como incorrectos, varian totalmente la solución. No podemos multiplicar por factores que involucren la variable, a menos que sepamos, o hagamos suposiciones, de que el factor que se multiplique sea positivo. Observación 23 Proponemos que realicen el ejemplo 8, cometiendo el mismo error, y verifiquen que llegan a una solución incorrecta.

1.9.

Ejercicios

1. Expresar las siguientes desigualdades en notación de intervalos y graficar en la recta real: (a) x ≤ −2

(b) x > 5

(c) − 1 < x ≤ 8

(d) − 4 ≤ x < 0

(e) − 3 > x ≥ −5

(f) 8 ≥ x > 1

2. Resolver las siguientes inecuaciones: (a) 3x − 2 > 6 − 2x

(b) x2 + 1 ≤ x (x − 3)

(c) (6x + 2) (x − 1) ≤ (2x − 3) (3x − 2)

(d) 2x − 1 < 3x + 2 ≤ 14

3. Resolver las siguientes inecuaciones:

41

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(a)

4

x+2 x−1

(b)

2x2 + 3 2 ≥− 2 x3 − x x −1

(h)

Valor Absoluto

Las desigualdades nos permiten definir el concepto de valor absoluto de un número real, lo que a su vez nos permite resolver otro tipo de inecuaciones. Definición 3 Sea x ∈ R. El Valor Absoluto de x es el número real denotado por |x| y definido por

|x| = Ejemplo 10

  x,

si x ≥ 0,

 −x, si x < 0.

 π π   |3| = 3, |−2| = 2, −  = , |0| = 0, 2 2  √  √  √  √  √  √ 2  2      , =  5 = 5, − 3 = 3, −  2  2   x + 3, si x + 3 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −3, |x + 3| =  − (x + 3) , si x + 3 < 0 ⇐⇒ x < −3.

Observación 24 Vemos que |x| es siempre un número no negativo, por lo que podemos interpretarlo como la distancia de x al origen en la recta real

Teorema 21 Para x, y ∈ R, se tiene que: i) |x| ≥ 0. Más aún, |x| = 0 sí, y sólo sí, x = 0. ii) |−x| = |x|. iii) |x − y| = |y − x|. 42

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iv) − |x| ≤ x ≤ |x|. v) x ≤ |x|. Demostración. Sólo probaremos (i),(ii) y explicaremos (iii). Además, (iv) es evidente. Para (i), sea x ∈ R. Entonces:

si x ≥ 0, tenemos que |x| = x ≥ 0,

si x ≤ 0, entonces tenemos que −x ≥ 0 y |x| = −x ≥ 0.

Así, en cualquier caso, |x| ≥ 0.

Ahora, si x = 0, es claro que |x| = 0. Además, si suponemos que |x| = 0, entonces x = 0

y −x = 0, por lo que en cualquier caso x = 0. Para (ii), sea x ∈ R. Entonces:

si x < 0, tenemos que, −x > 0. Luego |x| = −x y | − x| = −x, siendo así | − x| = |x|,

si x > 0, tenemos que, −x < 0. Luego |x| = x y | − x| = −(−x) = x, siendo así

| − x| = |x|,

Ahora, si x = 0, vale que | − x| = |0| = 0 y |x| = |0| = 0. Para (iii), basta aplicar (ii), ya que x − y = − (y − x).

Observación 25 Es importante entender la idea de este teorema: por una parte, (i) dice que el valor absoluto de un número es siempre no negativo y es nulo sólo si el número en cuestión es cero. La parte (ii) nos dice que el valor absoluto de un número y el de su inverso aditivo son iguales. Además, (iv) nos indica que un número cualquiera siempre es menor o igual que su valor absoluto, lo que es natural, ya que el valor absoluto de un número es siempre no negativo, no importando el signo del número en sí. Observación 26 El número |x − y| = |y − x| puede ser interpretado como la distancia, en

la recta real, entre los puntos x e y:

Teorema 22 Sea a ∈ R+ . Entonces i) |x| > a sí, y sólo sí, x < −a ∨ a < x. ii) |x| < a sí, y sólo sí, −a < x < a (lo que equivale a decir que −a < x ∧ x < a). 43

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iii) |x| = a sí, y sólo sí, x = a ∨ x = −a. Demostración. Sólo probaremos (ii). Si x ≥ 0, entonces |x| = x. Luego x < a. Además, como a > 0, entonces −a < 0 ≤ x < a.

por lo tanto −a < x < a.

Si x ≤ 0, entonces −x ≥ 0, y como |x| = −x, entonces −x < a. De esto, tenemos que

−a < x ≤ −x < a y por lo tanto −a < x < a.

Observación 27 Es importante notar que el teorema anterior nos da cierta simetría con el valor absoluto, la cual podemos observar geométricamente en los siguientes casos, que incluye los que no se han dado en el teorema: 1. |x| > a ⇐⇒ x < −a ∨ a < x

2. |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ∨ a ≤ x

3. |x| < a ⇐⇒ −a < x < a ⇐⇒ −a < x ∧ x < a

4. |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ∧ x ≤ a

44

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5. |x| = a ⇐⇒ x = −a ∨ x = a

Utilizando el teorema anterior, podemos resolver algunas ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 11 Resolver la ecuación |3x + 2| = 3. |3x + 2| = 3 ⇔ 3x + 2 = −3 ∨ 3x + 2 = 3 ⇔

3x = −5 ∨ 3x = 1 x = − 53 ∨ x =

⇔



Así, S = − 35 , 31 .

(Teor. 22(iii))

1 3

  Ejemplo 12 Resolver la ecuación x2 − x − 1 = 1.  2  x − x − 1 = 1 ⇔

x2 − x − 1 = −1 ∨ x2 − x − 1 = 1

⇔

x2 − x = 0 ∨ x2 − x − 2 = 0

⇔

x (x − 1) = 0 ∨ (x + 1) (x − 2) = 0

(Teor. 22(iii))

⇔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = 2 Así, S = {−1, 0, 1, 2}. Ejemplo 13 Resolver la inecuación |1 − 2x| > 4. |1 − 2x| > 4 ⇔

|2x − 1| > 4

⇔ 2x − 1 < −4 ∨ 4 < 2x − 1 ⇔ ⇔



 Así, S = −∞, − 23 ∪ 52 , +∞ .

(Teor. 21(ii)) (Teor. 22(i))

2x < −3 ∨ 5 < 2x x < − 32 ∨

5 2

0, tenemos que, S = R−

2 7 .

Ejemplo 20 Para la inecuación |4x + 3| ≤ 0, tenemos que, S = − 34 .

Otras propiedades del valor absoluto se resumen en el siguiente teorema

Teorema 23 Para x, y ∈ R, se cumple que: i) |x · y| = |x| |y|.    x  |x| , para y = 0. ii)   = y |y| √ iii) |x| = x2 . iv) |x|2 = x2 . v) ||x| − |y|| ≤ |x − y|. vi) |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular). Demostración. Sólo probaremos la desigualdad triangular (vi). |x + y|2 = (x + y)2

(Por (iv))

= x2 + 2xy + y 2

(Cuadrado de un binomio)

≤ x2 + 2 |xy| + y 2

(Teor. 21(v))

≤ |x|2 + 2 |x| |y| + |y|2 (Por (i)) ≤ (|x| + |y|)2 De donde |x + y| ≤ |x| + |y|, por Corolario 24. 47

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Observación 28 Notamos que este teorema nos dice, simplemente, que el valor absoluto de un producto (respectivamente cociente) es el producto (respectivamente cociente) de los valores absolutos. Un caso particular interesante de (ii) se obtiene cuando el numerador es 1 y tenemos algún x = 0 en el denominador    −1   1  x  =   = 1 = |x|−1 .  x  |x|

La propiedad (iii) es evidente si x ≥ 0, y debe entenderse que en

√ x2 , lo primero es el

cuadrado, que produce un número positivo, y luego la raiz positiva de tal número. No se debe pretender cancelar la raíz y el cuadrado (ver Observación 30). La propiedad (iv) es una consecuencia inmediata de (iii), basta tomar el cuadrado en esta última. Observación 29 En la propiedad (v), así como en la desigualdad triangular, la igualdad se alcanza sólo si x e y tienen el mismo signo, si son iguales o bien si alguno de ellos es cero (o ambos). Observación 30 Notemos lo siguiente: (−4)2 = 16. Luego  √ (−4)2 = 16 = 4.

(1.2)

Así, en estas circunstancias no podemos cancelar la raíz con el cuadrado, ya que obtendríamos una contradicción:

 √ 4 = 16 = (−4)2 = −4,

donde hemos usado (1.2) y hemos cancelado la raiz con el cuadrado. Distinto es el caso √ 2 ( x) = x, ya que aquí se asume que x ≥ 0, porque en caso contrario no tendría sentido la √ raíz x en R. A continuación presentamos otros ejemplos de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Ejemplo 21 Resolver la ecuación |2x + 1| = |x + 2|.

48

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|2x + 1| =1 |x + 2|    2x + 1     x+2  =1 2x + 1 2x + 1 =1 ∨ = −1 x+2 x+2

|2x + 1| = |x + 2| ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

; x = −2

⇐⇒ 2x + 1 = x + 2 ∨ 2x + 1 = −x − 2 ⇐⇒

x = 1 ∨ x = −1

Es decir, S = {−1, 1}. Nota: De la ecuación |2x + 1| = |x + 2|, podemos ver que, por Teorema 22(iii) |2x + 1| = |x + 2| ⇐⇒

2x + 1 = |x + 2| ∨ 2x + 1 = − |x + 2|

⇐⇒ ± (2x + 1) = x + 2 ∨ ± (2x + 1) = − (x + 2) Lo que se reduce a 2x + 1 = x + 2 ∨ 2x + 1 = − (x + 2) , que fueron las ecuaciones que resolvimos en definitiva. Por lo tanto, podemos desconsiderar la restricción tomada x = −2, que de hecho no se hace necesaria en este ejemplo, ya que x − 2 no se anula, pués x = 2 no es solución del problema original.

Como hemos visto en la solución del ejemplo 21, ésta se ha obtenido aplicando directamente las propiedades que plantea el Teorema 21. Veamos otra manera más universal de resolver este tipo de ejercicios, considerando el mismo ejemplo Primero buscaremos los valores críticos (valores que anulan los valores absolutos o módulos): x = − 12 , x = −2 y construimos la tabla: −∞

2x + 1 x+2

− 12

−2

− −

− +

+∞

+ +

De esta manera se generan 3 intervalos, dado que x puede estar en cualquiera de los tres intervalos y la solución final será la unión de las soluciones de cada caso. 49

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Caso 1:(−∞, −2) . Si x ∈ (−∞, −2), 2x + 1 < 0, x + 2 < 0

luego:

−(2x + 1) = −(x + 2) −2x − 1 = −x − 2 −x = −1 x=1 Como esta solución es válida sólo si x < −2, hacemos la intersección : S1 = {1} ∩ (−∞, −2) = Φ 

Caso 2: −2, − 21 . Si x ∈ −2, − 12 , 2x + 1 < 0, x + 2 > 0 luego: −(2x + 1) = x + 2

−2x − 1 = x + 2 −3x = 3 x = −1
 S2 = {−1} ∩ −2, − 21 = {−1}.


Caso 3: − 21 , +∞ . Si x > − 12

2x + 1 > 0,

x+2>0

luego:

2x + 1 = x + 2 x=1   1 S3 = {1} ∩ − , +∞ = {1} 2

La solución final es la unión de los tres casos: S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = {−1, 1} Para finalizar debemos comprobar si los valores críticos satisfacen la inecuación: Si x = − 12 :

  1 1 2 − +1=− +2 2 2 3 0= 2 50

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Si x = −2: |2 (−2) + 1| = | − 2 + 2| 3=0 Como estas igualdades no son verdaderas, entonces ninguno de los puntos críticos satisface la inecuación en cuestión. Por tanto la solución final sigue siendo S = {−1, 1}.   x + 2  ≥ 3.  Ejemplo 22 Resolver la inecuación  x − 2    x + 2 x+2   ≥ 3 ⇐⇒ ≤ −3 x − 2 x−2

∨

x+2 3≤ x−2



Por lo que podemos resolver cada inecuación separadamente, recordando que la solución final será S = S1 ∪ S2 , donde S1 y S2 son las soluciones de cada una de estas. Para la primera, tenemos x+2 x−2

≤ −3

x+2 +3 ≤ x−2

=⇒

=⇒ =⇒ =⇒

x + 2 + 3x − 6 x−2 4x − 4 x−2 x−1 x−2

0

≤

0

≤

0

≤ 0.

Los factores lineales cambian de signo en x = 1 y x = 2. Luego −∞

x−1 x−2

1

2

+∞

−

+

+ +

+

− −

−

+

Así, S1 = [1, 2).

51

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Para la segunda inecuación, tenemos 3 ≤

x+2 x−2

=⇒

3−

x+2 x−2

3x − 6 − x − 2 x−2 2x − 8 x−2 x−4 x−2

≤

0

≤

0

≤

0

≤ 0.

Los factores lineales cambian de signo en x = 4 y x = 2. Luego −∞

x−4 x−2

2

4

+∞

−

−

+

+

+

+

−

+

−

Así, S2 = (2, 4]. Por lo tanto, tenemos que S = S1 ∪ S2 = [1, 2) ∪ (2, 4], que también puede ser escrito

como S = [1, 4] − {2}.

   2x + 1   ≤ 2. Ejemplo 23 Resolver la inecuación  x+3     2x + 1  2x + 1   −2 ≤ ≤2  x + 3  ≤ 2 ⇐⇒ x+3 2x + 1 2x + 1 ∧ ≤2 ⇐⇒ −2 ≤ x+3 x+3

52

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Resolvemos cada inecuación por separado, sabiendo que S = S1 ∩ S2 , donde S1 y S2 son la

solución de cada una de ellas.

2x + 1 x+3 2x + 1 +2 x+3 4x + 7 x+3

−2 ≤ 0

≤

0

≤

Los factores lineales cambian de signo en x = − 74 y x = −3, −3 − 74

−∞

4x + 7 x+3

−

−

+

+

+

+

−

+

−

  Así, S1 = (−∞, −3) ∪ − 74 , +∞ .

+∞

Para la segunda inecuación

2x + 1 x+3 2x + 1 −2 x+3 −5 x+3 5 x+3

≤ 2 ≤ 0 ≤ 0 ≥ 0

El factor lineal cambia de signo en x = −3, −∞

5

x+3

+ − −

−3

+∞

+ + +

Así, S2 = (−3, +∞).

53

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  Por lo tanto, S = − 74 , +∞

Ejemplo 24 Resolver la inecuación |x + 3| < |2x − 1|.

En este caso podemos hacer un análisis de los signos de los factores que aparecen en valor

absoluto y resolver varias inecuaciones dependiendo de esos signos. Sin embargo, preferiremos hacer el siguiente análisis para llegar a una inecuación como la del anterior ejemplo. Primero observemos que el miembro izquierdo se anula para x = −3, y para dicho valor,

el miembro derecho toma el valor 7, por lo que x = −3 es una solución de la inecuación;

es decir, el miembro izquierdo efectivamente se anula en algún momento, por lo que no podemos dividir por |x + 3|: x = −3 =⇒ |−3 + 3| =

0

< |2 · (−3) − 1|
0, 5 − x > 0

luego:

2x + 3 + 5 − x ≥ 5

x ≥ −3 esta última desigualdad corresponde al intervalo: [−3, +∞)     3 3 [−3, +∞) ∩ − , 5 = − , 5 2 2 Caso 3: (5, +∞) . Si Si x ∈ (5, +∞)

2x + 3 > 0

5−x 5

(5) |3x − 2| < 7

(6) |5x − 4| ≤ 2

  x − 4 ≥5 (7)  x − 1   x + 2  ≤1 (10)  3 − x

(13) |x + 1| ≥ 10 − x

  x − 4 ≤5 (8)  x − 1

(11) |x + 1| ≥ |x|

  x + 2 >1 (9)  3 − x

(12) |2 + x| ≤ |6 − 3x|

(14) |x − 3| < 5 − |x|

59

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1.12.

Apéndice al Capítulo 1

Algunas Operaciones Algebraicas Elementales Usando las propiedades que fueron dadas en el Capítulo 1 de este apunte, es fácil ver que se cumplen los siguientes teoremas, de los que sólo probaremos, a modo de ejemplo, el primero de ellos. Teorema 24 (Cuadrado de un Binomio) Dados a, b ∈ R, se cumple que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Demostración. Basta desarrollar el cuadrado como producto aplicando las propiedades ya vistas: (a + b)2 = (a + b) (a + b)

(Definición de Cuadrado)

= (a + b) a + (a + b) b (Distributividad) = a2 + ba + ab + b2 =

a2

+ 2ab + b2

(Distributividad) (Conmutatividad)

Observación 31 La fórmula anterior nos indica cómo podemos obtener un cuadrado de binomio a partir de un binomio de la forma x2 + bx, es decir, cómo podemos completar cuadrado. Para esto, notar que debemos obtener una expresión de la forma (x + α)2 + C, por lo que se debe tener que (x + α)2 + C = x2 + 2αx + α2 + C = x2 + bx. De esto, resulta claro que el término bx debe ser el doble del producto de los términos x y α. Por lo que el procedimiento es el siguiente:
2
2 
2  x2 + bx = x2 + bx + 21 b − 12 b Sumamos y restamos 21 b   b 2 b2 = x+ − . (Los primeros tres términos 2 4 forman un cuadrado de binomio) Ejemplo 26 Completar cuadrado para la expresión x2 + 4x.  
2 x2 + 4x = x2 + 4x + 22 − 22 Sumamos y restamos 21 4 = 22 = (x + 2)2 − 22

(Los primeros tres términos

forman un cuadrado de binomio)

2

= (x + 2) − 4. 60

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Ejemplo 27 Completar cuadrado en la variable y: y 2 − y. 
2
2 
2 Sumamos y restamos − 12 = 14 y 2 − y = y 2 − y + − 21 − − 21 2
2
(Los primeros tres términos = y − 21 − − 21 forman un cuadrado de binomio)

2
= y − 21 − 41 .

Ejemplo 28 Completar cuadrado en las dos variables: x2 + y 2 + 6x + 3y + 1.

 x2 + y 2 + 6x + 3y + 1 = x2 + 6x + y 2 + 3y + 1 

2 
3 2 = x2 + 6x + 32 − 32 + y 2 + 3y + 32 − 2 +1
 2 = (x + 3)2 − 9 + y + 23 − 49 + 1 
2 = (x + 3)2 + y + 32 − 41 4 .

Teorema 25 (Suma por Diferencia) Dados a, b ∈ R, se cumple que: (a + b) (a − b) = a2 − b2 .

Demostración. Basta desarrollar el producto aplicando las propiedades ya vistas. Teorema 26 (Diferencia de Cubos) Dados a, b ∈ R, se cumple que:
 a3 − b3 = (a − b) a2 + ab + b2 .

Demostración. Basta desarrollar el producto aplicando las propiedades ya vistas. Corolario 27 (Suma de Cubos) Dados a, b ∈ R, se cumple que:
 a3 + b3 = (a + b) a2 − ab + b2 .

Demostración. Es sólo sustituir b por −b en el Teorema anterior. Continuando de esta forma, podemos verificar otras operaciones como las anteriores: Teorema 28 Sean a, b, c ∈ R. Entonces se cumple que: (i) (Cubo de un Binomio)

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . (ii) (Cuadrado de un Trinomio) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 61

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(iii) (Producto de Binomios) (x + α) (x + β) = x2 + (α + β) x + αβ. Observación 32 Notar que el producto de binomios nos da una idea de como factorizar un trinomio cuadrático mónico de la forma x2 + bx + c. Esta consiste en hallar α y β, tales que se cumpla la igualdad: x2 + bx + c = x2 + (α + β) x + αβ. Es decir, α y β deben satisfacer α + β = b y αβ = c. Ejemplo 29 Factorizar el trinomio cuadrático: x2 + x − 6. Para factorizar este trinomio cuadrático usamos la idea de la observación anterior. Es decir, queremos hallar α y β tales que x2 + x − 6 = x2 + (α + β) x + αβ, o sea α + β = 1 y αβ = −6. De esto, tenemos que la única posibilidad es α = 3 y β = −2. Por lo tanto x2 + x − 6 = (x + 3) (x − 2) . Ejemplo 30 Simplificar la fracción dada: x4 − 8x . x3 + x2 − 6x Notar que en el numerador y en el denominador no existe el término independiente. Por lo tanto podemos factorizar por x, ambas expresiones. Al hacer esto veremos que en el numerador aparecerá una diferencia de cubos y en el denominador aparecerá un trinomio cuadrático que factorizamos como en ejemplo anterior (en este caso, de hecho, será el mismo

62

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trinomio): x4 − 8x x3 + x2 − 6x


 x x3 − 8 x (x2 + x − 6)

=

x3 − 8 x2 + x − 6
 (x − 2) x2 + 2x + 4 = (x + 3) (x − 2)

=

x2 + 2x + 4 . x+3

= Ejemplo 31 Simplificar la expresión:

x3 − 27 2x − 2 · 2 . − 4x + 3 x + 3x + 9

x2

Procediendo en forma similar al ejemplo anterior, tendremos:
 (x − 3) x2 + 3x + 9 x3 − 27 2x − 2 2 (x − 1) · 2 = · 2 2 x − 4x + 3 x + 3x + 9 (x − 3) (x − 1) x + 3x + 9 = 2. Observación 33 Usando el procedimiento dado en la Observación 9, podemos factorizar un trinomio cuadrático no mónico de la forma ax2 + bx + c. Para este caso, la factorización final será de la forma ax2 + bx + c = a (x − α) (x − β) . Para esto, hacemos un arreglo que nos permita obtener un trinomio cuadrático mónico:  1
2 ax2 + bx + c = a ax + bx + c a  1
2 2 = a x + abx + ac a  1 = (ax)2 + b (ax) + ac . a Si hacemos z = ax, obtenemos un trinomio cuadrático mónico en la variable z:  1
2 ax2 + bx + c = z + bz + ac . a

Así, aplicamos la técnica al trinomio z 2 + bz + ac. Es decir, buscamos α y β tales que α + β = b y αβ = ac, lo que nos llevará a lo deseado. 63

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Ejemplo 32 Factorizar el trinomio 2x2 + x − 1.

Aplicando lo dicho en la observación anterior, tenemos:  1
2 2 2x + x − 1 2x2 + x − 1 = 2
 = 12 4x2 + 2x − 2  1 (2x)2 + (2x) − 2 . = 2 Haciendo z = 2x, factorizando y volviendo a la variable original, tenemos que:  1
2 2x2 + x − 1 = z +z−2 2 1 = (z + 2) (z − 1) 2 1 = (2x + 2) (2x − 1) 2   1 1 = 2 (x + 1) 2 x − 2 2   1 . = 2 (x + 1) x − 2

Observación 34 En la práctica, es común evitar pasos excesivos en factorizaciones como la del ejemplo anterior. En la medida que se logra manejar con soltura y confianza los procedimientos, algunos de los pasos van siendo naturalmente evitados. Antes de dar nuestro próximo ejemplo, recordemos algunas propiedades de las potencias y raíces, las que daremos sin mayores comentarios en la siguiente observación: Observación 35 Para a, b, p, q ∈ R, apropiados, tenemos que: (i) ap · aq = ap+q . (ii) ap · bp = (ab)p .  √ √ √ √ a a (iii) a b = ab. (iv) √ = . b b Notar que (iii) y (iv) son simplemente casos particulares de (ii). Observación 36 Recordar que para racionalizar una fracción en la que aparece una raíz cuadrada, se procede como se indica a continuación: √ √ √ a· b a a b a b √ = √ · √ = √ 2 = b b b b b 64

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Ejemplo 33 Racionalizar

√5 . 2

5 √ 2

= = =

Ejemplo 34 Racionalizar

√ 5 2 √ ·√ 2 2 √ 5· 2
√ 2 2 √ 5· 2 2

√6 . 3

6 √ 3

= = = =

√ 6 3 √ ·√ 3 √ 3 6· 3
√ 2 3√ 6· 3 3√ 2· 3

Observación 37 Es importante recordar que si n ∈ Z+ , entonces 1

a n = a1/n =

√ n a.

Y así, en general se tiene que, para a, b apropiados  √ n √ √ √ a a n (ii) √ = . (i) n a n b = n ab. n b b Ejemplo 35 Por medio de factorización, hallar las raíces de la ecuación: 3x4 − 14x2 + 8 = 0. Lo primero que observamos es que la ecuación no es cuadrática en x, pero si es cuadrática en x2 . Por tal razón reescribimos la ecuación para hacer una primera sustitución z = x2 : 3z 2 − 14z + 8 = 0. Por tratarse de una ecuación, multiplicamos toda ella por 3 y aplicamos la técnica al trinomio cuadrático que ahí aparece: 9z 2 − 3 · 14z + 24 = 0 (3z)2 − 14 (3z) + 24 = 0. 65

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Así, hacemos u = 3z, para obtener: u2 − 14u + 24 = 0 (u − 12) (u − 2) = 0. Volviendo a la variable z:

y en la variable original:

(3z − 12) (3z − 2) = 0   2 = 0, 3 (z − 4) 3 z − 3



9 x2 − 4 x2 − 32 = 0      2 2 9 (x + 2) (x − 2) x + x− =0 3 3 Por lo tanto, las raíces son: x1 = −2, x2 = 2,  √ √ √ √ 2 2 2 3 6 x3 = − = −√ = −√ · √ = − , 3 3 3 3 3  √ √ √ √ 2 2 2 3 6 =√ =√ ·√ = . x4 = 3 3 3 3 3 Observación 38 Recordar que si tenemos la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0;

a = 0,

podemos hallar sus raíces usando la conocida fórmula: √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a Esta fórmula se obtiene por completación de cuadrado, como mostramos a continuación: ax2 + bx + c = 0   b 2 a x + x = −c a b c x2 + x = − a a  2  2 b c b b =− + x2 + x + a 2a a 2a 66

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hemos sumado y restado a ambos lados de la ecuación, para mantener la igualdad, obteniendo un cuadrado de binomio al lado izquierdo. Por lo tanto:   c b2 −4ac + b2 b 2 =− + 2 = x+ 2a a 4a 4a2   b 2 b2 − 4ac x+ = 2a 4a2 √ b b2 − 4ac x+ =± 2a 2a √ 2 b b − 4ac x=− ± , 2a 2a √ −b ± b2 − 4ac x= . 2a La naturaleza de las raíces dependerá del signo del discriminante que aparecen en la raíz, ∆ = b2 − 4ac: (i) Si ∆ > 0, entonces las dos raíces son reales y distintas: √ √ −b − b2 − 4ac −b + b2 − 4ac x1 = , x2 = . 2a 2a De modo que el trinomio cuadrático ax2 + bx + c se factoriza como: ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) . Luego, la ecuación ax2 + bx + c = 0;

a = 0,

es equivalente a a (x − x1 ) (x − x2 ) = 0, la que equivale a (x − x1 ) (x − x2 ) = 0. (ii) Si ∆ = 0, entonces las dos raíces son reales e iguales: x1 = x2 = −

b . 2a

De modo que el trinomio cuadrático ax2 + bx + c se factoriza como ax2 + bx + c = a (x − x1 )2 = a (x − x2 )2 . 67

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Luego, la ecuación ax2 + bx + c = 0;

a = 0,

es equivalente a a (x − x1 )2 = 0, la que equivale a (x − x1 )2 = 0. Esto quiere decir, en este caso, que la raíz es múltiple y tiene multiplicidad 2. (iii) Si ∆ < 0, entonces las dos raíces son complejos conjugados: √ −b + i 4ac − b2 x1 = x2 = . 2a De esta forma el trinomio cuadrático ax2 + bx + c se factoriza como ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) = a (x − x1 ) (x − x1 ) . Luego, la ecuación ax2 + bx + c = 0;

a = 0,

es equivalente a a (x − x1 ) (x − x1 ) = 0, la que equivale a (x − x1 ) (x − x1 ) = 0.

Observación 39 Es importante entender que la fórmula nos dará inmediatamente las raíces exactas, pero también resultará siempre un buen ejercicio intentar primero una factorización.

Ejercicios 1. Hallar el valor de las siguientes expresiones:
3 2
2 3
3 2m n mn 3x2 y3 − xy2 ; B= ; A= m2 n3 9x2 y 3 − x4 y 9 5x4 y5 + 10x3 y 4  ; D= 25x6 y 8

 3 27x9 y 3 E=  ; 3x4 y4 68

C=


2 3 4x − 16y 2

; (4x3 + 8x2 y)2   √ 2x2 y xy 3 x3  F =  . 3 x2 y 2 3 x4 y10

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2. Descomponer por medio de factorizaciones:
2 (b) 16x10 − 2x5 + 3

(a) 64m2 − (m − 2n)2 (c) (a + 2x + 1)2 − (a + x − 1)2

(d) a2 − 6ax + 9x2

(g) 36z 4 − 84z 2 w3 + 49w6

(h) 8a3 − 1 − 12a2 + 6a

3. Factorizando en el miembro izquierdo de cada identidad, verificar que estas son verdaderas:

2
2
 (a) x2 − 2x + 1 x2 + x + 1 + x3 + 1 = 2 x6 + 1 . x + 2y + x3 + 2x2 y = x + 2y. x2 + 1  (c) 32 1 + 80 (92 + 1) (94 + 1) (98 + 1) = 3.

(b)

4. Simplificar las siguientes expresiones: (a)

8x2 + 7xy 64x2 − 49y 2

(b)

x2 − 25 x2 + x − 20

(c)

x2 + 4x − 12 x2 + 8x + 12

(d)

64 − x2 2x2 − 21x + 40

(e)

6x − 3x2 3x2 − 13x + 14

(f)

64 − x3 16 + 12x − 4x2

5. Realice las operaciones que se indican y escribir el resultado en su forma más simple: (a)

4x 2x − 2 x+1 x −1

(c)

x−1−

x+6+

12 x−2 16 x−2

x3 − 12x x2 − 11x + x2 − 49 x+7     a2 a (a + 1) (d) a + 1 + + 1− 1−a (1 + a) (a2 − 1) (b)

6. Resolver las siguientes ecuaciones y verificar las soluciones obtenidas: 3x + 2 6 (a) (x − 5) (x − 2) = (x − 3) (x + 1) (b) − =0 x−1 5 (c)

x−1 3x + 5 x+3 − = 2 x −9 x+3 x−3

(d)

 √ √ x+ x+8 = 2 x

√ (f) x2 − 6x + 9 = 4 x2 − 6x + 6

√ x+3 (e) √ = x−1 x+1

69

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Capítulo 2

Puntos y Rectas en el Plano Cartesiano Podemos decir que la geometría analítica es un área de la matemática que permite unificar los métodos de la geometría y del álgebra para resolver diferentes problemas y situaciones matemáticas. Así, los métodos a utilizar son los métodos analíticos; es decir, en la solución de problemas geométricos usamos las técnicas y los métodos algebraícos. Recordemos que los números reales fueron representados geométricamente por la recta real; es decir, como puntos de una recta. De esta forma si x, y ∈ R, entonces la distancia entre ellos está dada por |x − y| = |y − x|.

Como parte del nombre de este capítulo lo indíca, nuestro trabajo ahora será en el plano, el cual representará, unívocamente, al conjunto R2 = R × R.

2.1.

El Plano Cartesiano

Un concepto fundamental en la geometría analítica es el de Sistema de Coordenadas. En este sistema de coordenada representaremos el conjunto R2 , el cual se define como R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} .

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Es decir, R2 es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales de la forma (x, y). Observación 40 Recordar que (x, y) es un par ordenado, lo que quiere decir que (x1 , y1 ) = (x2 , y2 )

s´ı, y s´ olo s´ı, x1 = x2 ∧ y1 = y2 ,

Es decir, dos pares ordenados son iguales si tienen exactamente las mismaas respectivas componentes. Por lo anterior, obtenemos que (x1 , y1 ) = (x2 , y2 )

s´ı, y s´ olo s´ı, x1 = x2 ∨ y1 = y2 .

Es decir, dos pares oredenados son distintos si difieren en alguna de las respectivas componentes. Cada elemento del conjunto R2 lo representamos geométricamente como un punto del plano y, recíprocamente, cada punto del plano representa un elemento de R2 . Por lo tanto, si (x, y) ∈ R2 , decimos que es un punto del plano y los números x, y son llamados las coordenas del punto (x, y). De esta forma, no hacemos mayor diferencia entre los elementos

de R2 y los puntos del plano, considerándolos, de ahora en adelante, como el mismo objeto matemático. Así, si P es un punto del plano al que le corresponden las coordenadas (x, y), escribimos P (x, y). Dado que R2 es un producto cartesiano, R2 = R × R, y como R es representado por

una recta, parece natural representar R2 como un sistema formado por dos rectas perpendiculares, una horizontal, llamada eje de las absisas (o eje X o eje de las x), en el cual se representa la primera coordenada de los puntos (la abscisa), y otra vertical, llamada eje de las ordenadas (o eje Y o eje de las y), en el cual se representa la segunda coordenada de los puntos (la ordena). Estas rectas perpendiculares forman el llamado Sistema de Coordenadas Cartesianas Rectangulares o Sistema de Coordenadas Rectangulares.

71

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Al punto de intersección de las dos rectas le llamamos Origen del sistema y le asignamos el elemento (o punto) (0, 0). En el eje X, a la derecha del origen representamos las abscisas positivas y a la izquierda del origen las abscisas negativas. Similarmente, en el eje Y , arriba del origen representamos las ordenadas positivas y abajo del origen las negativas. Nota: Es usual y conveniente, además de natural, tomar en ambos ejes la misma unidad de medida, lo que permite mantener ciertas simetrías y regularidades conocidas de la geometría euclideana. 

Ejemplo 36 Graficar los puntos A (3, 0), B (0, 2), C − 21 , 12 , D −2, − 32 , E (3, −1).

Un concepto elemental, pero de importancia fundamental en la geometría analítica, es el de distancia entre dos puntos. Si P1 y P2 son dos puntos del plano, la distancia entre ellos la denotaremos por d (P1 , P2 ) Para obtener esta distancia, asumamos que P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) son dos puntos del plano. Por simplicidad, supondremos que estos puntos son los que se muestran en la figura

En el triángulo P1 CP2 , por ser recto en C, tenemos que (d (P1 , P2 ))2 = (P1 P2 )2 = (P1 C)2 + (CP2 )2 , pero (P1 C)2 = |x1 − x2 |2 = (x1 − x2 )2 ;

y

(CP2 )2 = |y1 − y2 |2 = (y1 − y2 )2 .

72

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Luego (d (P1 , P2 ))2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 , y así

 d (P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .

Según esto, hemos obtenido el siguiente teorema,

Teorema 29 (Distancia entre dos Puntos) Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) dos puntos del plano. Entonces la distancia entre P1 y P2 , denotada por d (P1 , P2 ), es  d (P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 . Ejemplo 37 Hallar la distancia entre los puntos P (−3, −2) y Q (4, 1).

Del teorema anterior, sabemos que

Por lo tanto, tenemos

 d (P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .

 √ √ d (P, Q) = (−3 − 4)2 + (−2 − 1)2 = 49 + 9 = 58.

Ejemplo 38 Hallar el perímetro del cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son los puntos A (−2, −3), B (−1, 4), C (3, 7), D (6, 3).

73

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El perímetro p es p = d (A, B) + d (B, C) + d (C, D) + d (D, A) , y recordando que la distancia entre dos puntos es  d (P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 , tenemos que  √ √ √ (−2 + 1)2 + (−3 − 4)2 = 1 + 49 = 50 = 5 2.  √ √ d (B, C) = (−1 − 3)2 + (4 − 7)2 = 16 + 9 = 25 = 5.  √ √ d (C, D) = (3 − 6)2 + (7 − 3)2 = 9 + 16 = 25 = 5.  √ √ d (D, A) = (6 + 2)2 + (3 + 3)2 = 64 + 36 = 100 = 10. d (A, B) =

Por lo tanto p = d (A, B) + d (B, C) + d (C, D) + d (D, A) √ √ = 5 2 + 5 + 5 + 10 = 5 2 + 20  √ 2+4 . =5

Ejemplo 39 Verificar que los puntos A (2, 4), B (9, 3) y C (6, 7) son los vértices de un triángulo isósceles.

Para ser un triángulo isósceles, dos de sus lados deben ser iguales en magnitud (deben tener la misma longitud). Usando la fórmula para la distancia entre dos puntos  d (P1 , P2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 , 74

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tenemos que  √ √ √ d (A, B) = (2 − 9)2 + (4 − 3)2 = 49 + 1 = 50 = 5 2.  √ √ d (B, C) = (9 − 6)2 + (3 − 7)2 = 9 + 16 = 25 = 5.  √ √ d (C, A) = (6 − 2)2 + (7 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5. Así, dado que d (B, C) = d (C, A) = 5, el triángulo es isósceles. Observación 41 Si P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) son los extremos del segmento de recta P1 P2 y P (x, y) es el punto que divide dicho segmento en la razón P1 P , P P2

k=

se puede mostrar que las coordenadas de P se obtienen por las ecuaciones: x=

Es importante notar que

x1 + kx2 1+k

P1 P P P2

∧

y=

y1 + ky2 , 1+k

k = −1.

es una razón de segmentos dirigídos, por lo que puede ser

negativa. Cuando el punto P está en el segmento P1 P2 (entre P1 y P2 ) entonces dicha razón es positiva, pero si P no está en tal segmento, entonces la razón será negativa. Después de los primeros ejemplos explicaremos los posibles casos para la razón k =

P1 P P P2 .

Ejemplo 40 Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento P1 P2 en la razón k = 21 , donde P1 = P1 (2, 4) y P2 = P2 (8, −4). x=

2 + 12 · 8 x1 + kx2 2+4 12 = = 3 = = 4, 1 1+k 3 1+ 2 2

y=

4+ y1 + ky2 = 1+k

1 2

· (−4)

3 2

=

4−2 3 2

4 = . 3

75

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Es decir, P = P 4, 43 .

Ejemplo 41 Dados los puntos P1 (−4, 2) y P2 (8, 4), hallar la razón k en la cual el punto 
P 4, 10 divide al segmento P1 P2 . 3 Una forma de hallar k es recordando que k=

P1 P , P P2

sólo que en este caso debe tomarse en cuenta que P1 P y P P2 son segmentos dirigídos es decir P1 P y P P2 son distancias dirigídas, por lo que alguna de ellas podría ser negativa. Esto quedará claro en la observación posterior a este ejemplo. Otra forma de hallar k es aplicar directamente las fórmulas que nos dan las coordenadas 
de P (x, y) = P 4, 10 3 . x1 + kx2 −4 + k · 8 x=4= = , 1+k 1+k entonces 4 + 4k = −4 + 8k 4k = 8 k = 2. También, tenemos que y=

10 y1 + ky2 2+k·4 = = , 3 1+k 1+k

luego 10 + 10k = 6 + 12k 2k = 4 k = 2. 76

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divide al segmento P1 P2 en la razón Por lo tanto el punto P 4, 10 3 k=

2 P1 P =2= . P P2 1

Observación 42 Si k ≥ 0, el punto P se encuentra en el propio segmento P1 P2 (entre P1

y P2 ). En este caso tenemos que: (i) Si k = 0, tenemos que

P1 P P P2

= 0, entonces P1 P = 0 = d (P1 , P ), es decir P = P1 .

(ii) Si 0 < k < 1, entonces 0
1, entonces

P1 P > 1, P P2

Por lo tanto |P1 P | = d (P1 , P ) > d (P, P2 ) = |P P2 |. Luego, la distancia de P1 a P es

mayor que la distancia de P a P2 ; es decir el punto P está más próximo del punto

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P2 :

(iv) Si k = 1, entonces

P1 P = 1, P P2 Por lo tanto |P1 P | = d (P1 , P ) = d (P, P2 ) = |P P2 |. Luego, el punto P es el punto

medio del segmento P1 P2 , y en este caso particular, las coordenadas de P (x, y) son las coordenadas del punto medio del segmento P1 P2 , esto es, x=

x1 + x2 2

∧

y=

y1 + y2 , 2

Observación 43 Si k < 0, entonces el punto P se encuentra en la recta que pasa por P1 y P2 , pero fuera del segmento P1 P2 . En este caso tenemos que: (i) Si −1 < k < 0, entonces

P1 P < 0, P P2 Por lo tanto |P1 P | = d (P1 , P ) < d (P, P2 ) = |P P2 |. Luego, la distancia de P1 a P es −1
d (P, P2 ) = |P P2 |. Luego, la distancia de P1 a P es

mayor que la distancia de P a P2 ; es decir el punto P está más próximo del punto P2 :

Observación 44 En cualquier caso, k = −1, es decir, k jamás tomará el valor −1. Ejemplo 42 Dado el segmento P1 P2 , cuyos extremos son P1 (2, −4) y P2 (8, 4), hallar el

punto P (x, y) que lo divide en la razón k = − 21 .
 2 + − 21 · 8 x1 + kx2 2−4 x= = = 1 = −4 1 1+k 1− 2 2
 −4 + − 12 · 4 y1 + ky2 −4 − 2 y= = = = −12. 1 1 1+k 2 2

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Así, P (x, y) = P (−4, −12).

Ejemplo 43 Hallar el área del triángulo isósceles de vértices A (2, 4), B (9, 3), C (6, 7), dado en el Ejemplo 39.

Por el ejemplo 39, sabemos que los lados iguales de este triángulo son AC y BC. Así, podemos tomar como base el lado AB. Por lo tanto la altura del triángulo será hc , que sabemos que intersecta al lado AB en su punto medio M (x, y). Calculamos las coordenadas de este punto:

Así, M = M


11 2

 , 72 . El área es

x=

x1 + x2 2+9 11 = = 2 2 2

y=

y1 + y2 4+3 7 = = . 2 2 2 A∆ =

1 b · hc , 2 80

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donde b es la base del triángulo y hc es la altura del mísmo tomada desde el vértice C:  b = d (A, B) = (x1 − x2 )2 + (y1 + y2 )2  √ (2 − 9)2 + (4 − 3)2 = 49 + 1

=

√ √ 50 = 5 2.

= y hc

 = d (C, M) = (x1 − x2 )2 + (y1 + y2 )2

     11 2 7 2 50 = 6− + 7− = 2 2 4 =

5√ 2. 2

Luego A∆ = =

2.2.

1 b · hc 2

=

1 √ 5√ 5 2 2 2 2

25 √ √ 2 2 = 4

25 . 2

Ejercicios

−−−→ 1. Los extremos de un segmento dirigído P1 P2 son P1 (4, −2) y P2 (1, 2). Hallar las coor−−→ P1 P denadas del punto P (x, y) que divide a este segmento en la razón −−→ = k, para: P P2 (a) k =

1 2

(b) k =

2 3

(c) k = 2

2. Dados los puntos A (3, 4) y B (−1, 1), hallar las coordenadas del punto P que divide AP 1 al segmento AB en la razón = . PB 4 3. Dados los puntos A (1, 2) y B (7, 5), hallar las coordenadas del punto P que divide al AP segmento AB en la razón = 2. PB 4. Dados los puntos A (3, 4) y B (−1, 1), hallar las coordenadas del punto P que divide AP 1 al segmento AB en la razón =− . PB 4 −−−→ 5. Considere el segmento P1 P2 , donde P1 (6, 8) y P2 (x2 , y2 ). Si el punto P (9, 2) divide −−−→ al segmento P1 P2 en la razón k = 37 , hallar las coordenadas de P2 . 81

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6. Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo. Verificar cuales de estos triángulos son equiláteros, escaleno o isósceles y luego calcular su área: a) A (0, 5); B (−3, 4); C (−1, 2). b) A (−1, 4); B (−4, −1); C (−1, −2). 7. Calcular el perímetro y la longitud de las diagonales del cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A (−4, −3); B (6, 3); C (3, 9); D (−2, 6). 8. Los puntos A, B y C que se indícan, son los vértices de un triángulo. Usando distancia entre dos puntos, clasificar los triángulos como triángulo rectángulo, equilátero, escaleno o isosceles, según corresponda:

2.3.

(a) A (0, 4) , B (1, 2) , C (−5, −1)

(b) A (1, 1) , B (7, 3) , C (8, −10)

(c) A (0, 5) , B (−3, 4) , C (−1, 2)

(d) A (−3, 2) , B (1, −1) , C (−2, −5)

La Recta en el Plano

El principal concepto para trabajar analíticamente con la recta en el plano es el de pendiente. Para poder definir este concepto se necesitan nociones elementales de trigonometría, ya que la definición es por medio de la tangente del ángulo de inclinación. Este último concepto es el que se da a continuación. Definición 4 (Ángulo de Inclinación) Sea L una recta en el plano. Se llama ángulo de inclinación de L al ángulo α que forma esta recta con el eje X en la dirección positiva de éste último, medido desde dicho eje hacia la recta.

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Observación 45 El ángulo de inclinación α de una recta, se mide en el sentido positivo, es decir, contra reloj y se considera 0 ≤ α < π (en radianes). Observación 46 Sea L una recta que no intersecta al eje X. Entonces L es una recta horizontal, es decir, paralela al eje X y perpendicular al eje Y . En general, si L es una recta horizontal, definimos su ángulo de inclinación como α = 0. Por lo tanto, α = 0 si, y sólo si, la recta L es una recta horizontal.

Observación 47 Sea L una recta cuyo ángulo de inclinación es α. Entonces, 0 < α < si, y sólo si, la recta L está inclinada hacia la derecha:

π 2

π si, 2 y sólo si, la recta L es una recta vertical, es decir, si, y sólo si, L es paralela al eje Y y Observación 48 Sea L una recta cuyo ángulo de inclinación es α. Entonces, α =

perpendicular al eje X:

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Observación 49 Sea L una recta cuyo ángulo de inclinación es α. Entonces si, y sólo si, la recta L está inclinada hacia la izquierda:

π 0 sí, y 2

π < α < π. Por lo tanto, m < 0 sí, y 2

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sólo sí, la recta está inclinada hacia la izquierda:

π . Por lo tanto, m no 2 existe (o no está definida) sí, y sólo sí, la recta es una recta vertical: (iv) m no existe sí, y sólo sí, tan α no existe sí, y sólo sí, α =

Es fácil calcular la pendiente de una recta si conocemos dos puntos distintos por donde ella pasa. Es decir, podemos conocer la pendiente de una recta si conocemos dos puntos por donde ella pasa. En efecto, sea α el ángulo de inclinación de la recta L. Probaremos el caso π 0 ≤ α < . Asumamos que la recta L que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) en el 2 plano coordenado:

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En el triángulo P1 CP2 , tenemos el ángulo de inclinación α, como se muestra en la figura y podemos calcular su tangente:

CP2 , P1 C pero CP2 = y2 − y1 , P1 C = x2 − x1 , por lo que se tiene: m = tan α =

m = tan α = Esto demuestra el siguiente teorema.

y1 − y2 y2 − y1 = . x2 − x1 x1 − x2

Teorema 31 Si L es una recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), entonces la pendiente m de L está dada por m=

y 1 − y2 y2 − y1 = ; x1 = x2 . x1 − x2 x2 − x1

π π . Para < α < π, 2 2 podemos usar el ángulo suplementario β de α (donde α + β = π) y el hecho que Observación 51 La demostración fue dada para el caso 0 ≤ α < tan α = tan (π − β) = − tan β. Observación 52 Es importante notar que si x1 = x2 , la pendiente de la recta L no está definida según la fórmula del Teorema 31, y de hecho L es una recta vertical, por lo que π π y así tan α = tan no está definida. Esto ratifica la idea que la pendiente de una α= 2 2 recta vertical no está definida. Ejemplo 45 Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2, −1) y B (6, 2).

Podemos considerar que P1 = A (2, −1) y P2 = B (6, 2). De esta forma tendremos que: m=

−1 − 2 −3 3 y1 − y2 = = = . x1 − x2 2−6 −4 4 88

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√ 
Ejemplo 46 Hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A −1, 3 √ 
y B 1, − 3 .

Dado que m = tan α, podemos usar trigonometría para hallar α una vez calculada la pen√  √ 

diente m. En este caso tomemos P1 = A −1, 3 y P2 = B 1, − 3 . Entonces: √ √ √ √ y1 − y2 3+ 3 2 3 m= = = = − 3. x1 − x2 −1 − 1 −2

Luego,

 √  2π . α = arctan (m) = arctan − 3 = 3

Asumamos ahora que tenemos dos rectas L1 y L2 . Sean α1 , m1 el ángulo de inclinación y la pendiente, respectivamente, de L1 , y sean α2 , m2 el ángulo de inclinación y la pendiente, respectivamente, de L2 . Entonces L1 y L2 son paralelas (L1  L2 ) si, y sólo si, α1 = α2 si,

y sólo si, tan α1 = tan α2 si, y sólo si, m1 = m2 .

Es decir, tenemos el siguiente corolario Corolario 32 Dos rectas en el plano son paralelas sí, y sólo sí, sus pendientes son iguales. 89

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Asumamos que tenemos dos rectas L1 y L2 , donde α1 y α2 son los ángulos de inclinación de ellas, respectivamente, como en la figura.

Sea θ el ángulo que se forma entre las rectas L1 y L2 , medido desde L1 a L2 . Notar que α1 + θ + β = π, α2 + β = π. Luego, de la segunda ecuación, β = π − α2 . Así, sustituyendo en la primera ecuación

obtenemos que

α1 + θ + π − α2 = π, es decir θ = α2 − α1 . Por trigonometría, tan θ = tan (α2 − α1 ) tan α2 − tan α1 = , 1 + tan α2 · tan α1

y, dado que tan α2 = m2 y tan α1 = m1 , obtenemos la fórmula tan θ =

m2 − m1 . 1 + m2 · m1

Esto demuestra el teorema que enunciamos a continuación y que nos permite hallar el ángulo entre dos rectas de las que se conoce sus pendientes. 90

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Teorema 33 Sean L1 y L2 dos rectas en el plano con pendientes m1 y m2 ,respectivamente. Si θ es el ángulo formado por estas rectas, medido desde L1 a L2 , entonces se cumple que tan θ =

m2 − m1 . 1 + m2 · m1

Nota: Invitamos al lector a rehacer la demostración del teorema anterior intercambiando la posición de las rectas L1 y L2 . Ejemplo 47 Hallar el ángulo que forman las rectas L1 y L2 , si L1 pasa por los puntos P (−3, 3) y Q (1, −2), y L2 pasa por el origen y por el punto B (3, 2).

Lo primero a hacer es hallar las pendientes correspondientes m1 y m2 . Para ésto, tenemos que: L1 pasa por P (−3, 3) y Q (1, −2). Luego m1 =

3+2 5 y1 − y2 = =− . x1 − x2 −3 − 1 4

L2 pasa por el origen y por el punto B (3, 2). Luego m2 =

y1 − y2 0−2 2 = = . x1 − x2 0−3 3

Así, si θ es el ángulo que forman las rectas, medido de L1 a L2 , tenemos que tan θ = =

5 2 m2 − m1 3 +
4  = 1 + m2 · m1 1 + 23 · − 54 23 12

1−

5 6

=

23 . 2

91

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Por lo tanto, aplicando la función inversa de la tangente, tenemos que   23 ≈ 85o , θ = arctan 2

o bien



23 θ = arctan 2



≈

17 π. 36

Sean L1 y L2 dos rectas del plano con pendientes m1 y m2 , respectivamente. Intuitivaπ mente podemos observar que L1 y L2 son perpendiculares (L1 ⊥ L2 ) sí, y sólo sí, θ = , sí, 2 y sólo sí, tan θ no está definida sí, y sólo sí, 1 + m2 · m1 = 0, si y sólo si, m2 · m1 = −1. Es decir, se dedujo el siguiente corolario

Corolario 34 Dos rectas en el plano son perpendiculares sí, y sólo sí, el producto de sus pendientes es −1. Nota: La demostración formal de este corolario, se basa en semejanza de triángulos y la fórmula obtenida para la pendiente. Hemos preferido la presentada aquí, por su simplicidad y el carácter intuitiva de ella. Ejemplo 48 Sean P (−1, 3), Q (0, 0) y R (2, 4) tres puntos del plano. Verificar que la recta que pasa por P y por el punto medio del segmento QR, es perpendicular a éste último. Sea M (x0 , y0 ) el punto medio del segmento QR. Sabemos que x0 =

x1 + x2 , 2

y0 =

y1 + y2 . 2

Así, tomando P1 = Q y P2 = R, tenemos M = (1, 2). En efecto x0 =

0+2 =1 , 2

y0 =

0+4 =2 . 2

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Sea L1 la recta que pasa por los puntos P y M, con pendiente m1 . Sea L2 la recta que pasa por los puntos Q y R, con pendiente m2 . Recordando que m= tenemos que m1 = Así,

y 1 − y2 , x1 − x2

1 4−0 3−2 = − , m2 = =2 . −1 − 1 2 2−0 1 m1 · m2 = − · 2 = −1 . 2

Por lo tanto, L1 ⊥ L2 .

2.4.

Ejercicios

1. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B: (a) A (0, 4) , B (−5, −1)

(b) A (7, 3) , B (8, 10)

2. Hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A y B, donde: (a) A (4, 6) y B (1, 3) .

(b) A


√ 3, −2 y B (0, 1) .

3. La recta L1 forma un ángulo de 60o con la recta L2 . Si la pendiente de L1 es m1 = 1, hallar la pendiente m2 de L2 . 4. La recta que pasa por los puntos A (1, 2) y B (−1, −1) es perpendicular a la que pasa por los puntos P (−4, 1) y Q (λ, −3). Hallar el valor de λ.

2.5.

Ecuaciones de la Recta en el Plano

A partir de la fórmula de la pendiente de una recta, podemos obtener una representación analítica de ella, es decir, una representación por medio de una ecuación, la cual representará a todos los puntos de dicha recta y sólo a esos puntos. En efecto, sea P (x, y) un punto arbitrario de la recta L. Por la ecuación que nos da la pendiente, sabemos que para la recta L que pasa por P0 y P , se tiene que m=

y − y0 , x − x0 93

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de donde obtenemos y − y0 = m (x − x0 ) . Así, hemos obtenido el siguiente resultado. Teorema 35 (Ecuación Punto-Pendiente) Sea L una recta que pasa por el punto P0 (x0 , y0 ) y cuya pendiente es m. Entonces la ecuación de esta recta L es: y − y0 = m (x − x0 ) . Observación 53 Debe entenderse que la ecuación de la recta representa a todos los puntos que pertenecen a ella y sólo a esos puntos. Es decir, si tenemos un punto cuyas coordenadas satisfecen la ecuación de la recta, entonces el punto pertenece a la recta y, recíprocamente, si un punto pertenece a la recta, entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de ella. De esta forma, si las coordenadas de un punto no satisfacen la ecuación de la recta, ese punto no pertenece a tal recta y, recíprocamente, si un punto no pertenece a una recta, entonces sus coordenadas no satisfacen la ecuación de tal recta. Ejemplo 49 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (−2, 3) y cuya pendiente es m = −4.

En este caso, tenemos que P0 = A y m = −4, entonces y − y0 = m (x − x0 ) y − 3 = −4 (x + 2) y − 3 = −4x − 8 4x + y + 5 = 0 . 94

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Ejemplo 50 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (−2, −4) y B (1, 3).

En este caso no está dada directamente la pendiente, pero la podemos calcular con la fórmula m= Tomando P1 = A y P2 = B, obtenemos m=

y1 − y2 . x1 − x2

−4 − 3 7 = . −2 − 1 3

Luego, según la ecuación Punto-Pendiente:

y − y0 = m (x − x0 ) , se tiene que, usando P0 = A: 7 (x + 2) 3 3y + 12 = 7x + 14 y+4=

/·3

7x − 3y + 2 = 0. Notar que si tomamos P0 = B, obtenemos la misma ecuación. En efecto −4 − 3 (x − 1) −2 − 1 7 y−3 = (x − 1) 3 3y − 9 = 7x − 7 y−3 =

7x − 3y + 2 = 0. 95

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Este último ejemplo nos dá una forma de obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ), sin calcular previamente la pendiente de ella. En efecto, sabemos que y − y0 = m (x − x0 ) , y dado que

y 1 − y2 , x1 − x2 podemos reemplazarlo en la ecuación de la recta, usando P0 = P1 , con lo cual: m=

y − y1 =

y1 − y2 (x − x1 ) . x1 − x2

Es decir, obtenemos el siguiente corolario: Corolario 36 (Ecuación Punto-Punto) Sea L la recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ). Entonces, la ecuación de la recta L es: y − y1 =

y1 − y2 (x − x1 ) . x1 − x2

Observación 54 Al hacer uso de la ecuación anterior, podemos tomar P0 = P1 o bien P0 = P2 , y la ecuación final será la misma, como ocurrió en el ejemplo. Ejemplo 51 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (−1, 4) y Q (3, −2).

Según el último teorema, tenemos que y − y1 =

y1 − y2 (x − x1 ) . x1 − x2 96

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Entonces, tomando P1 = P y P2 = Q, obtenemos, 4+2 (x + 1) −1 − 3 3 y − 4 = − (x + 1) 2 2y − 8 = −3x − 3 y−4=

3x + 2y − 5 = 0. Con lo hecho hasta ahora respecto a las ecuaciones de la recta, resulta simple probar los siguientes resultados, los que daremos sin demostración para dejarlos propuestos al lector. Corolario 37 (Ecuación Principal) Si una recta L tiene pendiente m e intersecta al eje Y en el punto (0, b), entonces su ecuación es y = mx + b.

Observación 55 La ecuación de una recta que pasa por el origen, tiene la forma y = mx , donde m es la pendiente de tal recta. De lo anterior, si consideramos m = 0, y por el conocimiento de la inclinación de la recta según su pendiente, podemos bosquejar fácil y rapidamente una recta que pasa por el origen. En efecto, si y = mx, entonces: (a) La recta pasa por el origen y, m > 0 si, y sólo si la recta está inclinada hacia la

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derecha.

(b) La recta pasa por el origen y, m < 0 si, y sólo si, la recta está inclinada hacia la izquierda.

(c) La recta pasa por el origen y, m = 0 si, y sólo si, la recta coincide con el eje X. (d) La recta pasa por el origen y no está definida su pendiente si, y sólo si, la recta coincide con el eje Y . Corolario 38 (Ecuación Simétrica) Si una recta L intersecta al eje X en el punto (a, 0) y al eje Y en el punto (0, b), donde a = 0 y b = 0, entonces la ecuación de L es x y + = 1. a b

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En los ejemplos en los que hemos hallado la ecuación de una recta, siempre hemos llegado a una ecuación de la forma Ax + By + C = 0. Esta es la ecuación general de la recta y una ecuación como esta siempre representa a alguna recta si A = 0 o bien si B = 0. Esto lo expresamos en el siguiente teorema, el cual es consecuencia de lo hecho hasta ahora.

Teorema 39 (Ecuación General) Una ecuación lineal en dos variables, de la forma Ax + By + C = 0, con A = 0 o bien B = 0, representa una recta y es llamada la Ecuación General de la recta.

Además:

A (i) Si B = 0, entonces la pendiente de la recta es m = − , e intersecta al eje Y en el B   C punto 0, − . B   C (ii) Si A = 0, la recta intersecta al eje X en el punto − , 0 . A

Observación 56 Es interesante notar que el teorema anterior nos indica cómo graficar una recta a partir de su ecuación general. Basta recordar que si tenemos dos puntos diferentes en el plano, existe una única recta que pasa por dichos puntos. Así, si conocemos la ecuación de la recta podemos determinar fácil y rápidamente los puntos donde ella intersecta a los ejes coordenados. Para esto, tomamos sucesivamente x = 0 y luego y = 0 en la ecuación y despejamos la otra variable, obteniendo los puntos de la forma (0, b) y (a, 0), respectivamente. Es decir, si la ecuación de la recta es Ax + By + C = 0, tendremos: C , B

x=0

=⇒

y=b=−

y=0

=⇒

C x=a=− , A

asumiendo que B = 0 o bien A = 0, según sea el caso. 99

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Ejemplo 52 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (4, 1) y Q (−5, 4). Obtener la pendiente y las intersecciones con los ejes para escribir la ecuación en su forma principal y simétrica.Una forma de proceder es la siguiente: recordando la ecuación PuntoPunto: y − y1 = tenemos:

y1 − y2 (x − x1 ) , x1 − x2

4−1 (x + 5) −5 − 4 1 y − 4 = − (x + 5) 3 3y − 12 = −x − 5 y−4=

/·3

x + 3y − 7 = 0. Así:

1 A =− . B 3 Para determinar las intersecciones con los ejes, tenemos: m=−

si y = 0

=⇒

x = 7, es decir a = 7.

si x = 0

=⇒

y = 37 , es decir b = 73 .

Por lo tanto, la ecuación principal es: y = mx + b 1 7 y =− x+ . 3 3 La ecuación simétrica es: x y + =1 a b x y + = 1. 7 7/3

100

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Ejemplo 53 Dadas las recta L1 y L2 de acuaciones: L1 :

x − 2y − 1 = 0,

L2 :

x + y − 7 = 0,

hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de L1 y L2 y es: (a) paralela a la recta L3 de ecuación 3x + y − 1 = 0,

(b) perpendicular a la recta L4 de ecuación 2x − y + 2 = 0.

Las rectas L1 y L2 y su intersección, las presentamos en la figura:

Sea P = L1 ∩ L2 . Esto significa que P ∈ L1 y P ∈ L2 ; entonces las coordenadas de P (x, y)

satisfacen, simultaneamente, la ecuación de L1 y la ecuación de L2 . Por lo tanto, para hallar las coordenadas de P , debemos resolver el sistema:   x − 2y − 1 = 0   x+y−7 = 0 

de donde, x = 5, y = 2. Es decir P = P (5, 2).

(a) Sea L la recta que pasa por P y es paralela a L3 . Sean m y m3 las pendientes de L y L3 , respectivamente. Como la ecuación de L3 es 3x + y − 1 = 0 y L  L3 , entonces A 3 m = m3 = − = − = −3.Así, la recta L pasa por P (3, 1) y tiene pendiente m = −3. B 1 Por lo tanto, su ecuación está dada por: y − y1 = m (x − x1 ) y − 2 = −3 (x − 5) 3x + y − 17 = 0.

101

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(b) Sea L la recta que pasa por P y es perpendicular a L4 . Sean m y m4 las pendientes de L y L4 , respectivamente. Como la ecuación de L4 es 2x − y + 2 = 0 y L ⊥ L4 , entonces A 2 1 m · m4 = −1, y como m4 = − = − = 2, tenemos que m = − .Así, la recta L pasa B −1 2 por P (3, 1) y tiene pendiente m = −3. Por lo tanto, su ecuación está dada por: y − y1 = m (x − x1 ) y − 2 = − 12 (x − 5) x + 2y − 9 = 0.

Observación 57 A partir de cualquiera de las ecuaciones estudiadas, particularmente de la ecuaciòn general, podemos obtener los siguientes casos particulares: (1) Si L es una recta horizontal, sabemos que su pendiente es m = 0 (y su ángulo de inclinación es α = 0). Además, en este caso todos los puntos de L tienen la misma ordenada; es decir, los puntos de L son de la forma (x, b), donde b es el punto del eje Y en que la recta intersecta a dicho eje. Así, tendremos que la ecuación de esta recta es y = b. 102

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(2) Si L es una recta vertical, sabemos que su pendiente no está definida (y su ángulo π de inclinación es α = ). Además, en este caso todos los puntos de L tienen la misma 2 abscisa; es decir, los puntos de L son de la forma (a, y), donde a es el punto del eje X en que la recta intersecta a dicho eje. Así, tendremos que la ecuación de esta recta es x = a.

Usando la ecuación general de la recta podemos determinar la distancia a ella desde cualquier punto del plano. La fórmula para esto es dada por el siguiente teorema, que daremos sin demostración. Teorema 40 Sea L una recta cuya ecuación general es Ax + By + C = 0 y sea P1 (x1 , y1 ). Entonces la distancia de P1 a L, que denotamos por d (P1 , L), es d (P1 , L) =

|Ax1 + By1 + C| √ . A2 + B 2

103

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Ejemplo 54 Sea A (2, 3) un punto del plano. Sea L la recta que pasa por el punto Q (−2, 1) y cuya pendiente es m = −2. Hallar la distancia de A a L.

Dado que tenemos un punto por donde la recta L pasa y su pendiente, podemos hallar

su ecuación general: y − y1 = m (x − x1 ) y − 1 = −2 (x + 2) 2x + y + 3 = 0.

Ahora podemos usar la fórmula del teorema para calcular la distancia d = d (A, L): |2 · 2 + 1 · 3 + 3| |Ax1 + By1 + C| √ √ = 2 2 A +B 2 2 + 12 √ 10 = √ = 2 5. 5

d (A, L) =

Ejemplo 55 Hallar la distancia entre las rectas paralelas L1 y L2 , cuyas ecuaciones son: L1 :

3x + 4y − 7 = 0,

L2 :

3x + 4y + 3 = 0.

Podemos graficar estas rectas para tener una idea de cómo resolver este problema:

104

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Como las rectas son paralelas, todos los puntos de L1 se encuentran a la misma distancia de L2 , y viceversa. Por lo tanto podemos tomar cualquier punto P1 de una de las rectas y calcular su distancia a la otra. Por comodidad y simplicidad, tomamos un punto tal que alguna de sus coordenadas es nula (x = 0 o bien y = 0). En este caso tomaremos el punto P1 = P1 (−1, 0) ∈ L2 y calcularemos la distancia d = d (P1 , L1 ). Así: d (P1 , L1 ) = =

2.6.

|Ax1 + By1 + C| |3 · (−1) + 4 · 0 − 7| √ √ = 2 2 A +B 3 2 + 42 10 = 2. 5

Ejercicios

1. La ecuación de una recta es 3x−2y +6 = 0. Determinar cuales de los siguientes puntos pertenecen a dicha recta: A (−1, 2), B (2, 6), C (−4, −9), D (3, −1). 2. Dada la recta L : 3x + 4y − 2 = 0, determinar la relación que ella cumple con las siguientes rectas (paralelismo, perpendicularidad, coincidencia, intersección): L1 : 15x + 20y − 10 = 0.

L2 : 8x − 6y + 5 = 0.

L3 : 9x + 12y + 7 = 0.

L4 : 3x + y − 4 = 0.

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (−2, −1) y que tiene pendiente m = −2.

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2, −1) y que tiene pendiente m = 23 .

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (6, −5) y B (3, 4). 6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (−6, −1) y tiene pendiente m = 32 .

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (4, 2) y es: (a) Paralela al eje X. (b) Paralela al eje Y . (c) Paralela a la recta de ecuación 3x + 2y − 5 = 0.

(d) Perpendicular a la recta de ecuación 3x − 4y + 1 = 0. 105

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8. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta de ecuación 6x − 2y + 11 = 0, sabiendo que pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones: 3x + 2y + 8 = 0 y 2x − 9y − 5 = 0. 9. Verifique, de tres formas diferentes, que los puntos A (12, 1), B (−3, −2) y C (2, −1) son colineales.

10. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A (2, 2, ), B (3, −1) y C (6, 1). 11. Los puntos P (3, 2); Q (5, −1); R (6, 4) son los puntos medios de los lados de un triángulo ABC. Hallar los vértices de tal triángulo.

12. Hallar la distancia del origen a cada una de las rectas: 3x+5y −11 = 0 y 6x+10y−5 = 0.

2.7.

Determinación de algunos elementos principales del triángulo

Para esta sección el estudiante puede apoyarse en el material presentado en el Apéndice al presente Capítulo. El objetivo de esta sección es resolver problemas en los que intervienen algunos elementos principales del triángulo. Ejemplo 56 Calcular el área del triángulos ABC, cuyos vértices son los puntos A (−2, 3), B (−1, −3) y C (5, 0).

Para resolver este problema, podemos hallar la ecuación de la recta que contiene a uno de los lados y luego calcular la distancia a dicha recta desde el vértice opuesto, con lo que 106

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obtendremos la altura del triángulo. Luego calculamos la longitud del lado utilizado antes y así tenemos la base del triángulo. Designemos por LAB la recta que contiene al lado AB (recta que pasa por los puntos A y B). Entonces su ecuación es: y1 − y2 (x − x1 ) y − y1 = x1 − x2 3+3 y−3= (x + 2) −2 + 1 y − 3 = −6 (x + 2) 6x + y + 9 = 0. Luego: |Ax1 + By1 + C| √ A2 + B 2 |6 · 5 + 1 · 0 + 9| 39 √ = =√ . 2 2 37 6 +1

hc = d (C, LAB ) =

Por otra parte:  c = d (A, B) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2  √ = (−2 + 1)2 + (3 + 3)2 = 37 .

Por lo tanto, el área del triángulo es: 1 √ 39 39 1 . Ar∆ = · c · hc = · 37 · √ = 2 2 2 37

Ejemplo 57 Hallar el circuncentro del triángulos cuyos vértices son los puntos A (−2, 3), B (−1, −3) y C (5, 0).

107

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Dado que el circuncentro es el punto en que se intersectan las tres simetrales, bastará hallar la ecuación de dos de ellas y luego intersectarlas. Hallaremos Sa y Sb . Para esto, notar que Sa es perpendicular a BC y pasa por el centro de este segmento. Similarmente, Sb es perpendicular a AC y pasa por el centro de tal segmento. Sean P y Q los puntos medios de los lados AC y BC, respectivamente, y m1 y m2 las pendientes de tales segmentos. Entonces, recordando que las coordenadas del punto medio de un segmento son x=

x1 + x2 , 2

y la pendiente es m= tenemos: 

y1 + y2 , 2

y 1 − y2 , x1 − x2

 3 3 3−0 3 P =P =P , , m1 = =− . 2 2 −2 − 5 7     3 −3 − 0 1 −1 + 5 −3 + 0 , = Q 2, − , m2 = = . Q=Q 2 2 2 −1 − 5 2 Por lo tanto, mb =

7 3

−2 + 5 3 + 0 , 2 2



y=



y ma = −2. Luego, la ecuación de Sb es: y − y1 = m1 (x − x1 )   7 3 3 x− y− = 2 3 2

/·6

7x − 3y − 6 = 0, y la ecuación de Sa es: y − y1 = m1 (x − x1 ) y+

Así, debemos resolver el sistema:

de donde x =

27 28 ,

3 2

= −2 (x − 2)

/·2

4x + 2y − 5 = 0.   7x − 3y − 6 = 0   4x + 2y − 5 = 0 

y = 47 . Por lo tanto, el circuncentro es C 108


27

4 28 , 7

 .

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Ejemplo 58 Hallar la ecuación de la recta que contiene a la transversal de gravedad tb del triángulos cuyos vértices son los puntos A (−2, 3), B (−1, −3) y C (5, 0).

Según la definición, la recta que contiene a la transversal de gravedad tb , pasa por el punto B y por el punto medio P del lado AC. Las coordenadas del punto P fueron calculadas en
 el ejemplo anterior, P = P 32 , 23 . Por lo tanto, la ecuación de la recta requerída Lb es: y − y1 =

y+3= y+3=

y1 − y2 (x − x1 ) x1 − x2 −3 − −1 −

3 2 3 2

(x + 1)

9 (x + 1) 5

/·5

5y + 15 = 9x + 9 9x − 5y − 6 = 0. Observación 58 En el ejemplo anterior hemos hallado la ecuación de la recta que contiene a una transversal de gravedad. Ésta es la forma correcta de expresarlo, pero es común, usando un lenguaje muy informal, además de incorrecto, decir hallar la ecuación de la transversal de gravedad. Similarmente con las alturas. Por lo tanto, debe entenderse que cuando se pide la ecuación de las alturas, de las transversales de gravedad o de las bisectrices interiores, en realidad se refiere a las rectas que las contienen.

109

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2.8.

Ejercicios

1. Hallar la ecuación de las simetrales del triángulo cuyos vértices son los puntos A (0, 4), B (1, 2), C (−5, −1). 2. Hallar el ortocentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A (1, 1), B (7, 3), C (8, −10). 3. Hallar el incentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A (−3, 2), B (1, −1), C (−2, −5).

4. Hallar el centro de gravedad del triángulo que determinan las rectas 5x − 7y + 27 = 0; 9x − 2y + 15 = 0 y 4x + 5y + 11 = 0.

5. Los vértices de un triángulo son los puntos A (1, 5), B (3, −2), C (−1, 1). a) Hallar el área del triángulo. b) Hallar el ortocentro del triángulo. c) Hallar la ecuación de las simetrales del triángulo. d) Hallar la ecuación de las transversales de gravedad del triángulo (rectas que contienen a las transversales de gravedad). 6. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son : 5x−7y+27 = 0; 9x−2y+15 = 0 y 4x + 5y + 11 = 0. a) Hallar el perímetro del triángulo. b) Hallar el área del triángulo. c) Hallar los ángulos interiores del triángulo. d) Hallar la ecuación de las simetrales.

2.9.

Familia de rectas

Si analizamos lo hecho hasta ahora, podremos ver que la ecuación de una recta queda totalmente determinada si conocemos dos condiciones geométricas independientes, que ellas satisfacen. Específicamente, debemos tener algún par de los siguientes: la pendiente y un 110

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punto por donde pasa, o bien, dos puntos (distintos) por donde pasa, o bien, la pendiente y la intersección con el ejes Y , o bien las intersecciones con los ejes (que no sea el origen). Si observamos con atención, veremos que las dos últimas son casos particulares de las dos primeras, por lo que éstas resultan ser las determinantes. Por lo anterior, si sólo conocemos una condición geométrica, entonces la recta que la satisface no será única, y de hecho hay infinitas rectas que satisfacen una única condición geométrica. Ejemplo 59 Si la pendiente es conocida: Las rectas cuya pendiente es m = 2,

Ejemplo 60 Si se conoce un punto por donde pasa: Las rectas que pasan por el punto P (3, −1),

Definición 6 La totalidad de la colección de las rectas que satisfacen una única condición geométrica dada, es llamada Familia o Haz de Rectas. 111

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Ejemplo 61 Haz de rectas cuya pendiente es m = 2. Recordando la ecuación principal, y = mx + b, y dado que sólo conocemos la pendiente, entonces podemos escribir la ecuación de esta familia de rectas como y = 2x + λ. Hemos utilizado λ para indicar que ese valor no es conocido. Dándole valores a λ podemos obtener miembros particulares de la familia. Ejemplo 62 Has de rectas que pasan por el punto P (3, −1).

De acuerdo a la ecuación punto-pendiente, y − y0 = m (x − x0 ), y dado que sólo cono-

cemos el punto por donde pasa, la ecuación que representa a esta familia es y + 1 = λ (x − 3) .

Como antes, hemos utilizado λ para indicar que ese valor no es conocido. Dándole valores a λ, podemos obtener miembros particulares de la familia. En los ejemplos hemos utilizado λ como un valor general que no conocemos, o más bien, como un valor arbitrario. Este valor λ es llamado el Parámetro de la familia o haz de rectas. Al asignarle valores particulares al parámetro λ, obtenemos miembros particulares de la familia. Ejemplo 63 Hallar el haz de rectas cuya pendiente es m = −3, e identificar al miembro que pasa por el punto P (2, −1).

Utilizando la ecuación principal, y = mx + b, y dado que sólo conocemos la pendiente

m = −3, obtenemos que el haz de rectas está representado por (2.1)

y = −3x + λ.

Como queremos el miembro particular que pasa por el punto P (2, −1), debemos determinar el valor del parámetro λ para que ello ocurra. Así, entendiéndo que esto significa que las

coordenadas de este punto P satisfacen la ecuación, sustituimos dichas coordenadas en la ecuación (2.1), con lo que obtenemos −1 = −3 · 2 + λ

⇒

λ = 5.

112

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Por lo tanto, el miembro de la familia dada en (2.1), es y = −3x + 5 o bien 3x + y − 5 = 0.

Ejemplo 64 Hallar el haz de rectas perpendiculares a la recta 2x − 3y + 6 = 0. Identificar el miembro que pasa por el origen.

A 2 = − −3 = 23 . Como la Sea m0 la pendiente de la recta dada. Sabemos que m0 = − B

familia que buscamos está formada por las rectas perpendiculares a la dada, entonces la pendiente m de dicha falimia, satisface que m · m0 = −1. Es decir m·

2 = −1 3

3 de donde m = − . 2

Así, queremos la familia de rectas cuya pendiente es m = − 32 . por lo tanto, nuestro problema se remite al procedimiento anterior. Luego, la familia está representada por y = mx + λ es decir,

3 y = − x + λ, o bien 3x + 2y − λ = 0. (2.2) 2 Ahora, como queremos identificar al miembro que pasa por el origen O (0, 0), las coordendas

de este punto deben satisfacer la ecuación. Por lo tanto 3·0+2·0−λ = 0

⇒

λ = 0.

Así, el miembro particular deseado es 3x + 2y = 0. 113

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Ejemplo 65 Hallar el haz de rectas que pasa por el punto P (−2, 1), e (a) identificar el miembro que además pasa por el punto P1 (3, −1). (b) identificar el miembro que además tiene pendiente m1 = 14 . Como se conoce un punto por donde pasa, pero no la pendiente, entonces usamos la ecuación punto-pendiente: y − y0 = λ (x − x0 ), es decir (2.3)

y − 1 = λ (x + 2) es el haz de rectas que pasa por el punto P (−2, 1).

(a) Si queremos el miembro que pasa por el punto P1 (3, −1), entonces usamos el hecho que las coordenadas de P1 satisfacen la ecuación (2.3), con lo que podremos hallar el valor particular de λ: −1 − 1 = λ (3 + 2)

⇒

λ=

2 5

Así, el miembro de la familia tiene la ecuación: y−1=

2 (x + 2) 5

o bien

2x − 5y + 9 = 0.

(b) En el segundo caso, queremos el miembro de la familia que tiene pendiente m = 14 . Sustituyendo nuevamente en la ecuación (2.3) de la familia, tenemos y−1 =

1 (x + 2) 4

o bien

x − 4y + 6 = 0.

114

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Un caso particularmente importante e interesante, es cuando estamos interesados en la familia de rectas que pasa por la intersección de dos rectas conocidas. Supongamos que tenemos dos rectas que se intersectan L1 y L2 cuyas ecuaciones son conocidas L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0,

(2.4)

L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0.

(2.5)

Asumamos que P0 (x0 , y0 ) es el punto de intersección de L1 y L2 (L1 ∩ L2 = {P0 }). Entonces,

si λ1 ,λ2 ∈ R, de las ecuaciones (2.4) y (2.5), se cumple que

λ1 (A1 x + B1 y + C1 ) + λ2 (A2 x + B2 y + C2 ) = 0.

(2.6)

Asumiendo que λ1 y λ2 no se anulan simultaneamente, y dado que P0 está en ambas rectas, debemos tener que las coordenadas de P0 satisfacen ambas ecuaciones, (2.4) y (2.5). Es decir A1 x0 + B1 y0 + C1 = 0,

(2.7)

A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0

(2.8)

En particular, en (2.6), tenemos que λ1 · 0 + λ2 · 0 = 0, lo cual vale para todo λ1 y λ2 . Por lo tanto, la ecuación (2.6) representa a todas las rectas que pasan por L1 ∩ L2 = {P0 }.

Notar que, en particular, si λ1 = 0 y λ2 = 0, entnces en la ecuación (2.6) obtenemos

la ecuación de L1 , pero si λ1 = 0 y λ2 = 0, entonces en la ecuación (2.6) obtenemos la ecuación de L2 .

115

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Suponiéndo que λ1 = 0 , de la ecuación (2.6), podemos obtener (A1 x + B1 y + C1 ) + o bien, si hacemos λ =

λ2 (A2 x + B2 y + C2 ) = 0. λ1

λ2 λ1 ,

(A1 x + B1 y + C1 ) + λ (A2 x + B2 y + C2 ) = 0,

(2.9)

λ ∈ R, y esta ecuación representa a la familia o haz de rectas que pasan por la intersección

de L1 y L2 , excepto a la propia L2 .

Ejemplo 66 Dadas las rectas L1 y L2 , cuyas ecuaciones son L1 : x − 2y − 1 = 0, L2 : x + y − 7 = 0, Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de L1 y L2 y que es paralela a la recta de ecuación 3x + y − 1 = 0.

Como se trata de la intersección de las rectas, usamos la ecuación (2.9), la que en este ejemplo resulta ser (x − 2y − 1) + λ (x + y − 7) = 0. Esta ecuación representa a todas las rectas que pasan por la intersección de L1 y L2 , excepto a la propia L2 . Desarrollando esta última ecuación, tendremos x − 2y − 1 + λx + λy − 7λ = 0. de donde (λ + 1) x + (λ − 2) y − (7λ + 1) = 0 116

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(2.10)

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Como queremos hallar la recta que es paralela a 3x + y − 1 = 0, entonces debe tener la A misma pendiente que ésta: m = − B = − 31 = −3. Pero en la ecuación (2.10), la pendiente

λ+1 es m = − λ−2 . Por lo tanto

−

λ+1 = −3 λ−2

⇒

λ + 1 = 3λ − 6

⇒

7 λ= . 2

Reemplazando este valor en (2.10), tenemos que       7 7 7 +1 x+ −2 y− 7· +1 =0 2 2 2 es decir

9 3 51 x+ y− = 0, 2 2 2 y multiplicando esta última ecuación por 32 : 3x + y − 17 = 0, que es la ecuación de la recta que pasa por la intersección de L1 y L2 y es paralela a

3x + y − 1 = 0.

2.10.

Ejercicios

1. Considerar la recta L de ecuación 3x + 7y + 2 = 0. a) Hallar el haz de rectas paralelas a L. Identificar y graficar tres miembros de la familia, especificando el valor del parámetro en cada caso. b) Hallar el haz de rectas perpendiculares a L. Identificar y graficar tres miembros de la familia, especificando el valor del parámetro en cada caso. 117

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2. Usando familia de rectas, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y que es perpendicular a la recta de ecuación 5x − y + 11 = 0.


√  3. Una recta pasa por el punto A 3 5, −3 y su distancia al origen es 3. Hallar la ecuación de dicha recta. Usar familia de rectas.

4. Una recta pasa por el origen y por la intersección de las rectas 3x + 2y − 14 = 0 y

x − 3y − 1 = 0. Hallar la ecuación de la recta sin determinar el punto de intersección.

5. Una recta pasa por la intersección de las rectas 3x + y − 9 = 0 y 4x − 3y + 1 = 0, y su distancia al origen es 2. Hallar la ecuación de dicha recta.

2.11.

Apéndice al Capítulo 2

Algunos Elementos Principales del Triángulo En esta sección recordaremos algunos elementos principales del triángulo que son aplicados en ejemplos y problemas en los que intervienen. Definición 7 (Alturas de un Triángulo) Se llama Altura de un triángulo al segmento de recta perpendicular bajado desde un vértice al lado contrario.

Observación 59 Si bien la altura de un triángulo es un segmento de recta, es usual llamar también altura, a la recta que contiene dicho segmento. Observación 60 En todo triángulo tenemos tres alturas que designaremos por ha , hb y hc . Estos símbolos los usamos, en un abuso de notación, tanto para las alturas en sí como para sus longitudes.

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Las tres alturas se intersectan en un punto que llamamos Ortocentro. El ortocentro puede ser un punto en el interior de la región acotada por el triángulo o bien un punto en el exterior de dicha región. Es usual que las longitudes de los lados de un triángulo las denotamos con la letra minúscula correspondiente al vértice opuesto: a, b y c, respectivamente. Además, recordar que los ángulos interiores de un triángulo, son los formados por los lados de éste. Usualmente se designan con el mísmo símbolo del vértice: ∢A, ∢B y ∢C, o bien ∢α, ∢β y ∢γ, o simplemente α, β y γ.

Definición 8 (Simetrales de un Triángulo) Se llama Simetral de un triángulo a la recta que pasa por el punto medio de un lado y que es perpendicular a éste.

Observación 61 En cada triángulo tenemos tres simetrales, que denotaremos por Sa , Sb y Sc , haciendo referencia al lado en donde son perpendiculares. Las tres simetrales de un triángulo se intersectan en un punto que llamamos Circuncentro. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo; es decir, el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo. El circuncentro puede ser un punto en el interior de la región acotada por el triángulo o bien un punto en el exterior de dicha región. 119

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Definición 9 (Transversales de Gravedad) Se llama Transversal de Gravedad de un triángulo al segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Observación 62 En cada triángulo tenemos tres transversales de gravedad, las que podemos denotar por ta , tb y tc . Las tres transversales de gravedad se intersectan en un punto que llamamos Centro de Gravedad. Este punto, el centro de gravedad, está en el interior de la región acotada por el triángulo y divide a cada transversal de gravedad en la razón 1 : 2 . Observación 63 En el ejemplo anterior hemos hallado la ecuación de la recta que contiene a una transversal de gravedad. Ésta es la forma correcta de expresarlo, pero es común, usando un lenguaje muy informal, además de incorrecto, decir hallar la ecuación de la transversal de gravedad. Similarmente con las alturas. Por lo tanto, debe entenderse que cuando se pide la ecuación de las alturas, de las transversales de gravedad o de las bisectrices interiores, en realidad se refiere a las rectas que las contienen. Definición 10 (Bisectrices Interiores) La Bisectriz Interior de un Ángulo de un triángulo, es la semirecta que divide al ángulo en dos de iguales medidas.

Observación 64 En cada triángulo tenemos tres bisectrices interiores, las que podemos denotar por bα , bβ y bγ . 120

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Las tres bisectrices interiores se intersectan en un punto que llamamos Incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. De esto, se tiene que el incentro equidista de los tres lados del triángulo y está en el interior de la región acotada por dicho triángulo.

121

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Capítulo 3

Las Cónicas Las cónicas son figuras geométricas planas que surgen al intersectar un plano con un cono de dos hojas. Dichas intersecciones generan Circunferencias, Parábolas, Elipses e Hipérbolas. Durante muchos siglos el estudio de las cónicas no marcó una importancia relevante en el desarrollo histórico de las matemáticas, hasta que algunos físicos y matemáticos se empezaron a dar cuenta que el mundo que nos rodea está lleno de ellas. Por ejemplo, Galileo estudió la trayectoria parabólica de los proyectiles y Kepler se fascinó con la trayectoria elíptica de los planetas.

3.1.

La Circunferencia

Definición 11 (Circunferencia) Una Circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a una mísma distancia r > 0 de un punto fijo C. El punto fijo C es llamado el Centro de la circunferencia y r es su Radio. De la definición, podemos establecer que una circunferencia con centro C y radio r, denotada por C (C, r), es el conjunto de puntos P del plano dado por C (C, r) = {P / d (P, C) = r}

122

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Ejemplo 67 Sea C(2, 1) el centro de la circunferencia C (C, r) de radio 5 (r = 5), verifiquemos si los puntos P1 (6, 4) y P2 (7, 3) pertenecen a la circunferencia.

De acuerdo a la definición, para que el punto (6, 4) pertenezca a C (C, 5) Tiene que verificarse que d (P1 , C) = 5, luego  √ (6 − 2)2 + (4 − 1)2 = 25 = 5 d (P1 , C) =

por lo tanto P1 pertenece a C (C, 5). Haciendo un procedimiento análogo para P2  √ d (P1 , C) = (7 − 2)2 + (3 − 1)2 = 29 = 5

De donde se concluye que P2 no hace parte de la circunferencia de centro C(2, 1) y radio 5. Usando la definición, podemos obtener una ecuación de la circunferencia con centro y radio conocidos, es decir, una representación analítica de todos los puntos de la circunferencia C (C, r), que representa a dichos puntos y sólo a ellos. Dado un punto fijo C(h, k) que representa el centro de la circunferencia de radio r. Todos los puntos de la forma (x, y) que pertenecen a C (C, r) deben verificar  (x − h)2 + (y − k)2 = r

Es decir, la ecuación de la circunferencia con centro C (h, k) y radio r > 0, es (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . Teorema 41 (Ecuación Centro-Radio) Si C (h, k) es el centro de una circunferencia cuyo radio es r > 0, entonces su ecuación está dada por (x − h)2 + (y − k)2 = r2 . 123

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Observación 65 Un caso particularmente simple se obtiene cuando el centro de la circunferencia es el origen, es decir, cuando C (h, k) = C (0, 0). En este caso, la ecuación tiene la forma x2 + y2 = r2 .

Ejemplo 68 Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C (−3, −5) y cuyo radio es r = 7.

Según lo dado en el teorema, se tiene que: (x − h)2 + (y − k)2 = r2 (x + 3)2 + (y + 5)2

= 72

gráficamente la ecuación representa lo siguiente:

124

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Ejemplo 69 Un diámetro de una circunferencia es el segmento de recta AB, donde A = A (−1, −2) y B = B (5, 4). Hallar la ecuación de la circunferencia.

Dado que AB es un diámetro, entonces el centro de la circunferencia se encuentra en

el punto medio de dicho segmento. Por lo tanto:     −1 + 5 −2 + 4 x1 + x2 y1 + y2 , =C , = C (2, 1) . C (h, k) = C 2 2 2 2 Luego r = d (C, A) = d (C, B), es decir: r = d (C, A)  = (x1 − x2 )2 + (y1 + y2 )2  (−1 − 2)2 + (−2 − 1)2 = √ = 18 √ = 3 2. Así, tenemos que: (x − h)2 + (y − k)2 = r2

(x − 2)2 + (y − 1)2 = 18

Ejemplo 70 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (0, 5) y B (2, 1), sabiendo que su centro está en la recta de ecuación x + y − 1 = 0.

Sea L la recta de ecuación x + y − 1 = 0. Sea C (h, k) el centro de la circunferencia.

Como C ∈ L, entonces las coordenadas de C satisfacen la ecuación de L, es decir, se cumple

que

h + k − 1 = 0.

125

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Ademas, sabemos que d (C, A) = r y d (C, B) = r. Por lo tanto, debe tenerse que d (C, A) = d (C, B)   2 2 (0 − h) + (5 − k) = (2 − h)2 + (1 − k)2

h2 + 25 − 10k + k2 = 4 − 4h + h2 + 1 − 2k + k2 4h − 8k + 20 = 0 h − 2k + 5 = 0 .

Por lo tanto, sólo es necesario resolver el sistema lineal   h + k = 1   h − 2k = −5 

de donde obtenemos que h = −1 y k = 2. Es decir, C = C (−1, 2) Además, r = d (C, A) =

d (C, B), entonces

r = d (C, A) =

 √ (−1 − 0)2 + (2 − 5)2 = 10 .

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

(x + 1)2 + (y − 2)2 = 10

Si consideramos la ecuación de una circunferencia dada en teorema 1, podemos desarrollar los cuadrados y agrupar términos de la siguiente manera: (x − h)2 + (y − k)2 = r2

x2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k2 − r2 = 0.

Luego, si hacemos D = −2h, E = −2k y F = h2 + k 2 − r2 , tenemos que la ecuación de la

circunferencia toma la forma:

x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, 126

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que es llamada Ecuación General de la Circunferencia. Observación 66 Es importante tener en cuenta que una ecuación como la anterior no siempre representa una circunferencia. Esto queda de manifiesto en el siguiente teorema. Teorema 42 Una ecuación de segundo grado en x e y de la forma x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0, representa: o bien una circunferencia, o bien un punto, o bien el conjunto vacío. Demostración. A partir de la ecuación dada, por completación de cuadrados, podemos obtener una ecuación que nos permite hacer un breve análisis para llegar a nuestro resultado. x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + Dx + y 2 + Ey = −F E2 D2 E 2 D2 + y 2 + Ey + = + −F 4 4 4 4 2
2

x + D2 + y + E2 = 41 D2 + E 2 − 4F

x2 + Dx +

Claramente podemos tener que D2 + E 2 − 4F > 0, o bien D2 + E 2 − 4F = 0, o bien

D2 + E 2 − 4F < 0. Por lo tanto:

(i) Si D2 + E 2 − 4F > 0, entonces podemos hacer r =

1 2

√ D2 + E 2 − 4F y la ecuación

representa una circunferencia de centro y radio dados por:   D E 1 2 C − ,− ; r= D + E 2 − 4F . 2 2 2

(ii) Si D2 + E 2 − 4F = 0, entonces la ecuación es

    D 2 E 2 x+ + y+ = 0, 2 2

y así, representa un único punto, el punto de coordenadas   D E . − ,− 2 2 127

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(iii) Si D2 + E 2 − 4F < 0, entonces tenemos que

    D 2 E 2 x+ + y+ < 0, 2 2

por lo que la ecuación representa al conjunto vacío.

Observación 67 La ecuación del teorema anterior es un caso particular de la ecuación de segundo grado: Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, con A = 0 y C = 0. Si A = C, entonces podemos dividir toda la ecuación por A = C,

obteniendo

x2 + y 2 + D′ x + E ′ y + F ′ = 0 y luego se aplica el teorema anterior a esta última ecuación con los nuevos coeficiente D′ , E′ y F ′. Ejemplo 71 Determinar si la ecuación dada representa o no una circunferencia: x2 + y 2 + 6x − 2y − 15 = 0. Aplicando directamente el teorema anterior, e identificando D = 6, E = −2 y F = −15.

Tenemos:

D2 + E 2 − 4F = 36 + 4 + 60 = 100 > 0, por lo que la ecuación representa una circunferencia con centro y radio dados por:   D E 1 2 C − ,− = C (−3, 1) ; r= D + E 2 − 4F = 5. 2 2 2

Otra forma de proceder es sin el uso directo del resultado del teorema. En lugar de esto,

completamos cudrados como en la demostración de dicho teorema y analizamos lo obtenido: x2 + y 2 + 6x − 2y − 15 = 0

x2 + 6x + y2 − 2y = 15

x2 + 6x + 9 + y 2 − 2y + 1 = 9 + 1 + 15 (x + 3)2 + (y − 1)2 = 25, 128

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por lo que vemos que en el lado derecho de esta ecuación hemos obtenido 25 > 0. Así, la ecuación representa una circunferencia de centro y radio: C = C (−3, 1) ; √ r = 25 = 5.

Ejemplo 72 Determinar si la siguiente ecuación representa o no una circunferencia: 2x2 + 2y 2 + 12x − 8y − 28 = 0. Procederemos como en la segunda forma del ejemplo anterior: 2x2 + 12x + 2y 2 − 8y = 28 

= 28 2 x2 + 6x + 2 y 2 − 4y 

2 x2 + 6x + 9 + 2 y 2 − 4y + 4 = 18 + 6 + 28 2 (x + 3)2 + 2 (y − 2)2

=

54

(x + 3)2 + (y − 2)2

=

27,

por lo que vemos que en el lado derecho de esta ecuación hemos obtenido 27 > 0. Así, la ecuación representa una circunferencia de centro y radio dados por: C = C (−3, 2) ; √ √ r = 27 = 3 3.

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Observación 68 Recordar que si tenemos una circunferencia de radio r, entonces: (i) El área de la región encerrada por la circunferencia es: Ao = πr2 . (ii) La longitud total de la circunferencia (perímetro de la circunferencia) es: po = 2πr. Ejemplo 73 Hallar el perímetro y el área de la circunferencia representada por la ecuación: x2 + y 2 − 8x + 4y = 0. Basta hallar el radio de la circunferencia. Para esto podemos usar el teorema 2 o proceder como en el último ejemplo, que será lo que haremos en este caso. x2 − 8x + y2 + 4y = 0

x2 − 8x + 16 + y 2 + 4y + 4 = 16 + 4 (x − 4)2 + (y + 2)2 = 20,

por lo que tenemos que el centro y radio de la circunferencia son: C = C (4, −2) ; √ √ r = 20 = 2 5.

Luego: Ao = πr2 = 20π ; √ po = 2πr = 4 5π. 130

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Observación 69 Nótese que en la gran mayoría de ejemplos ilustrados previamente, el uso del método de completación de cuadrados es importante para identificar de manera más simple los elementos que caracterizan una circunferencia a partir de su ecuación general, por ello, se le recomienda al lector que se tome el tiempo adecuado para aprender, entender, recordar o perfeccionar dicho método.

3.2.

Ejercicios

1. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 que es tangente a la recta de ecuación 3x − 4y − 1 = 0 en el punto A (3, 2). 2. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (3, −2) y que es tangente a la recta de ecuación 3x − 4y − 2 = 0.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (2, 3) y que es tangente a la recta 3x + 4y + 2 = 0. 4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (4, −1), B (0, −7), C (−2, −3).

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 3 = 0 y es perpendicular a la recta de ecuación 3x + y + 3 = 0.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con 4x2 + 4y 2 − 16x + 20y + 25 = 0 y tangente a la recta 5x − 12y = 1.

7. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 13 que es tangente a la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 2y − 20 = 0 en el punto P (2, 4). 8. Dada la ecuación x2 + y 2 − 8x − 6y + 17 = 0, determinar si ésta representa una circunferencia o no. Si lo fuese, indicar su centro, su radio y graficar.

9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 2) y es tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y2 + 8x + 7 = 0. 10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias C1 : x2 + y2 + 7x − 8y + 1 = 0 y C2 : x2 + y2 − 5x − 4y + 1 = 0 y cuyo centro

está sobre la recta 2x − y + 4 = 0.

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11. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (−4, 2) y que tiene un diámetro de 8 unidades. 12. Hallar el valor de k de modo que la ecuación x2 + y 2 − 8x + 10y + k = 0 represente una circunferencia de radio 7.

13. Hallar una circunferencia que es tangente a las rectas de ecuaciones 3x − 4y + 1 = 0 y 4x + 3y − 7 = 0, sabiéndo que pasa por el punto P0 (2, 3).

3.3.

La Parábola

La segunda cónica que estudiaremos es la parábola. Además, veremos algunos de sus elementos y propiedades principales. Nuestro estudio pretende lograr que el alumno pueda reconocer una parábola, su gráfica y sus elementos principales. Presentaremos una definición general, pero en este curso nos concentraremos sólo en dos tipos de parábolas. Definición 12 (Parábola) Una Parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo F y a una recta fija L, son iguales. El punto fijo F es llamado el Foco de la parábola y la recta fija L es la Directríz de la parábola. De la definición de la parábola, podemos decir que la parábola con foco F y directríz L, es el conjunto dado por P (F, L) = {P / d (P, F ) = d (P, L)} .

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En la parábola tenemos los siguientes elementos principales: L : Directriz.

F : Foco.

Además, tenemos: V : Vértice. Punto equidistante de la directriz L y del foco F. L1 : Eje Focal. Recta perpendicular a la directriz L que pasa por el foco F y el vértice V . AA′ : Lado Recto. Segmento perpendicular al eje focal L1 , que pasa por el foco F , determinando los puntos A y A′ en la parábola. |p| : Distancia de V a F (y también distancia de V a L). A partir de la definición de la parábola, es fácil obtener la representación de ésta por medio de una ecuación. De hecho, los dos casos que estudiaremos en este capítulo son aquellos donde el eje focal es paralelo al eje X y donde el eje focal es paralelo al eje Y . (Eje Focal Paralelo al Eje X) Observemos y analicemos la siguiente gráfica de una parábola con eje focal paralelo al eje X:

Notemos que el foco está ubicado en el punto F (h + p, k) con p > 0, y la ecuación de la directriz L es x = h − p. Por lo tanto si P (x, y) reprsenta un punto que está sobre la 133

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parábola, entonces por defición d (P, F ) = d (P, L)  |1 · x + 0 · y − (h − p)| √ (x − (h + p))2 + (y − k)2 = 1 2 + 02  (x − (h + p))2 + (y − k)2 = |x − (h − p)| (x − (h + p))2 + (y − k)2 = (x − (h − p))2

x2 − 2x (h + p) + (h + p)2 + (y − k)2 = x2 − 2x (h − p) + (h − p)2

−2xh − 2xp + h2 + 2hp + p2 + (y − k)2 = −2xh + 2xp + h2 − 2hp + p2 −2xp + 2hp + (y − k)2 = 2xp − 2hp

(y − k)2 = 4xp − 4hp

(y − k)2 = 4p (x − h) .

Ahora bien, observemos que si la parábola abre hacia la izquierda tenemos lo siguiente:

Donde nuevamente el foco está ubicado en el punto F (h + p, k) con p < 0 y la ecuación de la directriz L es x = h−p. Por lo tanto si P (x, y) reprsenta un punto que está sobre la parábola, y de manera análoga al procedimiento previo, obtenemos la ecuación (y − k)2 = 4p (x − h).

Por lo tanto, en general tenemos el siguiente resultado:

Teorema 43 La ecuación de la parábola con vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje X es: (y − k)2 = 4p (x − h) , donde |p| es la distancia del vértice V al foco F (y del vértice V a la directriz L). La longirud del lado recto es |4p| y:

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Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. (Eje Focal Paralelo al Eje Y)

Si el eje focal es horizontal la parábola abre hacia arriba y hacia abajo. En este caso el foco está ubicado en el púnto (h, k + p). Los gráficos anteriores muestran el caso para p > 0 y p < 0. Utilizando la definición y estableciendo un procedimiento similar al hecho para el eje focal vertica se obtiene el siguiente resultado: Teorema 44 La ecuación de la parábola con vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje Y es: (x − h)2 = 4p (y − k) , donde |p| es la distancia del vértice V al foco F (y del vértice V a la directriz L). La longirud

del lado recto es |4p| y:

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba.

Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo. Ejemplo 74 Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V (2, 4) y cuyo foco es el punto F (−3, 4). Hallar, además, la ecuación del eje focal, la ecuación de la directríz y la longitud del lado recto. Para resolver estos problemas es conveniente ir haciendo un bosquejo de la situación

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desde el enunciado.

Es fácil ver que |p| = 5, ya que es la distancia del vértice V al foco F . Como el foco está

a la izquierda del vértice, entonces la parábola se abre hacia la izquierda, por lo que p = −5.

Además, vemos que el eje focal es paralelo al eje X, por lo que tenemos que la ecuación será de la forma: (y − k)2 = 4p (x − h) Por lo tanto: (y − 4)2 = −20 (x − 2)

y2 − 8y + 16 = −20x + 40

y2 + 20x − 8y − 24 = 0.

La ecuación del eje focal, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto son, respectivamente: L1 : L : LLR :

y = 4, x = 7, |4p| = 20.

Ejemplo 75 Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto F (−1, 4) y cuya directriz es la recta y = 6. Hallar, además, la ecuación del eje focal, el vértice, longitud del lado recto y las coordenadas de los extremos de éste último. 136

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Como el vértice está a la misma distancia del foco y la directriz, entonces éste es V (−1, 5). Además, |p| = 1 y la parábola se abre hacia abajo, por lo que tenemos que p = −1.

Vemos entonces que la ecuación es de la forma:

(x − h)2 = 4p (y − k) , por lo tanto: (x + 1)2 = −4 (y − 5)

x2 + 2x + 4y − 19 = 0.

La longitud del lado recto es |4p| = 4, por lo tanto las coordenadas de los extremos del lado recto son A (1, 4) y A′ (−3, 4). La ecuación del eje focal L es: x = −1.

Observación 70 Si hacemos un breve análisis del parámetro p en la ecuación de la parábola, veremos que cuanto menor sea el valor de |p| más cerrada será la parábola y cuanto mayor

sea éste valor, más abierta será la parábola. Para ver esto, es suficiente analizar el valor de la longitud del lado recto |4p|.

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Observación 71 Si una parábola tiene su vértice en el origen, entonces V (h, k) = V (0, 0). Luego: (i) Si la parábola tiene eje focal paralelo al eje X, su ecuación es y 2 = 4px .

En este caso, el eje focal coincide con el eje X. (ii) Si la parábola tiene eje focal paralelo al eje Y, su ecuación es x2 = 4py .

En este caso, el eje focal coincide con el eje Y . Observación 72 Consideremos la ecuación de la parábola con vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje X: (y − k)2 = 4p (x − h) ,

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entonces, desarrollando los cuadrados y agrupando, tenemos: y2 − 2ky + k2 = 4px − 4ph

y 2 − 4px − 2ky + k2 + 4ph = 0 .

Si hacemos D = −4p, E = −2k y F = k2 + 4ph, obtenemos la ecuación general de la parábola con eje focal paralelo al eje X:

y 2 + Dx + Ey + F = 0 . Análogamente, si consideramos la ecuación de la parábola con vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje Y : (x − h)2 = 4p (y − k) , entonces, desarrollando los cuadrados y agrupando, tenemos: x2 − 2hx + h2 = 4py − 4pk

x2 − 2hx − 4py + h2 + 4pk = 0 .

Si hacemos D = −2h, E = −4p y F = k2 + 4pk, obtenemos la ecuación general de la

parábola con eje focal paralelo al eje X:

x2 + Dx + Ey + F = 0 . Luego estamos en condiciones de plantear el siguiente resultado: Teorema 45 Una ecuación de segundo grado en x e y de la forma Ax2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0 . En este caso tenemos que: (i) Si A = B = 0, entonces la ecuación puede representar una circunferencia. (ii) Si A = 0 y B = 0, la ecuación representa una parábola si D = 0 y en tal caso, es una parábola con eje focal paralelo al eje X.

(iii) Si B = 0 y A = 0, la ecuación representa una parábola si E = 0 y en tal caso, es una parábola con eje focal paralelo al eje Y

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Ejemplo 76 Determinar si la ecuación que se da a continuación representa una parábola. En caso de ser así, hallar: vértice, foco, ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, longitud del lado recto y coordenadas de los extremos del lado recto y graficar: x2 − 4x + 4y + 16 = 0 . Notamos que en este caso A = 1 = 0 y E = 4 = 0, por lo que la ecuación representa

una parábola con eje focal paralelo al eje Y . Además, completando cuadrados tenemos: x2 − 4x + 4y + 16 = 0

x2 − 4x + 4 = −4y − 16 + 4 (x − 2)2 = −4 (y + 3) .

Así, el vértice de la parábola es el punto V (2, −3). Luego 4p = −4, de tal forma p = −1,

por lo que la parábola abre hacia abajo. Por lo tanto, el foco de la parábola es F (2, −4).

Además tenemos que la ecuación de la directriz L es: la ecuación del eje focal L1 es: la longitud del lado recto es:

y = −2 , x = 2, |4p| = 4.

De esto último, obtenemos que las coordenadas de los extremos del lado recto son: A (4, −4)

y

A′ (0, −4) .

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Ejemplo 77 Determinar si la ecuación que se da a continuación representa o no una parábola. En caso de ser así, hallar: vértice, foco, ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, longitud del lado recto, coordenadas de los extremos del lado recto y graficar: 4y 2 − 12x + 4y + 13 = 0 . En este ejempo, B = 4 = 0 y D = −12 = 0, por lo que la ecuación representa una

parábola con eje focal paralelo al eje X. Además:

4y2 + 4y = 12x − 13   1 2 = 12x − 13 + 1 4 y +y+ 4   1 2 = 12x − 12 4 y+ 2   1 2 y+ = 3 (x − 1) . 2 
Así, el vértice de la parábola es V 1, − 12 y 4p = 3, por lo que p = 43 , por lo que la parábola

se abre hacia la derecha. Además tenemos que

la ecuación de la directriz L es: la ecuación del eje focal L1 es: la longitud del lado recto es:

1 , 4 1 y=− , 2 |4p| = 3.

x=

De esto último, obtenemos que las coordenadas de los extremos del lado recto son:     7 1 7 A ,− y A′ , −2 . 4 2 4

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3.4.

Ejercicios

1. El foco de una parábola es el punto F (3, −2) y su directriz es la recta y = 1. Hallar la ecuación de esta parábola y sus elementos principales faltantes (vértice, foco, directriz, eje focal, longitud del lado recto) y graficar. 2. Dada la ecuación y 2 −4y−6x+13 = 0, determinar si ella representa o no una parábola. En caso de serlo, determinar sus elementos principales y graficar.

3. Dada la ecuación x2 −4x+6y −8 = 0, determinar si ella representa o no una parábola. En caso de serlo, determinar sus elementos principales y graficar.

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (1, 1) y por los extremos del lado recto de la parábola x2 − 6x − 8y + 17 = 0. 5. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el foco de la parábola y 2 +5x = 0 y que es tangente a la recta 5x − 12y = 1. 6. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (4, −1) y pasa por el foco de la parábola x2 + 16y = 0. Demuestre que la circunferencia es tangente a la directriz de la parábola. 7. Un arco parabólico tiene 18 metros de altura en su centro y 24 metros de base. Hallar la altura de un punto que se encuentra sobre el arco a 10 metros del eje de simetría de éste. 8. El cable de suspención de un puente colgante adquiere la forma de un arco parabólico. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados por una distancia de 500 metros, quedándo el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. Tomando como eje X la horizontal que define el puente y como eje Y el eje de simetría del arco parabólico, hallar la altura de un punto del arco que se encuentra situado a 80 metros de tal eje. 9. Una estructura metálica tiene la forma de dos arcos parabólicos como lo muestra la figura. La altura del arco mayor es de 25 metros y su base mide 18 metros, mientras que la altura del arco menor es de 18 metros y su base mide 12 metros. Ambos arcos

142

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están unidos por 5 soportes equidistantes. Hallar la longitud total de los soportes.

π , 2 describe una trayectoria parabólica. Un proyectil es lanzado desde el suelo, de modo

10. Cuando es lanzado un proyectil con algún ángulo de inclinación α, con 0 < α
0, b > 0 y c > 0 debido a que cada una de ellas corresponde a una distancia distinta: c :

Distancia entre el centro y cada uno de los focos.

a :

Distancia entre el centro y cada uno de sus vértices.

b :

Distancia entre el centro y cada uno de los extremos del eje menor.

Observación 76 Las coordenadas de los focos son F1 (h + c, k) y F2 (h − c, k). Además las coordenadas de los vértices están dadas por V1 (h + a, k) y V2 (h − a, k). Los extremos del eje

menor son los puntos B1 (h, k + b) y B2 (h, k − b).

Observación 77 El vértice V1 (h + a, k) está sobre la elipse, luego verifica la definición, es decir d(V1 , F1 ) + d(V1 , F2 ) = k , de donde se obtiene (a − c) + (a + c) = k 2a = k Observación 78 El punto de coordenadas B1 (h.k+b) está sobre la elipse, y en ese instante los ejes menor y mayor, junto con los segmentos que representan las distancias de dicho

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punto con los focos forman dos triángulos rectángulos congruentes

de la definición tenemos d (B, F1 ) + d (B, F2 ) = k   b2 + c2 + b2 + c2 = 2a  b2 + c2 = a b2 + c2 = a2

por lo tanto la expresión b2 = a2 − c2 establece una relación entre a, b y c, la cuál es

equivalente a a2 = b2 + c2 . Notemos que a > b y a > c.

Ahora bien, sea P (x, y) cualquier punto sobre la elipse, de acuerdo a la definición y lo mencionado en las observaciones tenemos: d (P, F1 ) + d (P, F2 ) = k d (P, F1 ) + d (P, F2 ) = 2a utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos se tiene:   (x − (h + c))2 + (y − k)2 + (x − (h − c))2 + (y − k)2 = 2a   (x − (h + c))2 + (y − k)2 = 2a − (x − (h − c))2 + (y − k)2

elevando al cuadrado y simplificando algunos términos obtenemos:

 2hc − 2xc = 4a2 − 4a x2 − 2x(h − c) + h2 − 2hc + c2 + y 2 − 2ky + k2 − 2hc + 2xc  4hc − 4xc − 4a2 = −4a x2 − 2x(h − c) + h2 − 2hc + c2 + y 2 − 2ky + k2  c(x − h) + a2 = a x2 − 2x(h − c) + h2 − 2hc + c2 + y2 − 2ky + k2 146

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nuevamente elevando al cuadrando y simplificando: c2 (x − h)2 + a4 = a2 x2 − 2a2 hx + a2 h2 + a2 c2 + a2 y 2 − 2a2 ky + a2 k2 c2 (x − h)2 + a4 = a2 (x − h)2 + a2 (y − k)2 + a2 c2 teniendo en cuenta la relación b2 = a2 − c2 a4 − a2 c2 = (a2 − c2 )(x − h)2 + a2 (y − k)2 a2 b2 = b2 (x − h)2 + a2 (y − k)2

de donde se obtiene

(x − h)2 (y − k)2 + =1 a2 b2 Así, hemos establecido una ecuación que representa a una elipse con centro C(h.k), semieje mayor de longitud a y semieje menor de longitud b, con eje focal paralelo al eje x. Cuando el eje focal es vertical, y utilizando la misma notación del caso anterior, tenemos la siguiente elipse:

Observación 79 En este caso los focos están ubicados en los puntos F1 (h, k+c) y F2 (h, k− c) y los vértices tienen coordenadas V1 (h, k + a) y V2 (h, k − a). Como antes, la distancia entre el centro y los focos es c y la distancia entre el centro y los vértices es a. 147

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De manera análoga al estudio que se hizo para la elipse con eje focal horizontal se puede hacer el estudio para la para la elipse con eje focal vertical, obteniendo un resultado similar en cuanto a la ecuación y a algunos elementos que se pueden establecer en dichas figuras. Los resultados obtenidos y la extensión de dichos resultados a los dos casos (Eje focal horizontal y vertical) vamos a resumirlos en el siguiente teorema. Teorema 46 La ecuación (x − h)2 (y − k)2 + = 1, a2 b2

con a > b

representa la relación de todos los puntos que se encuentran sobre una elipse con eje focal horizontal. La ecuación

(x − h)2 (y − k)2 + = 1, con a > b b2 a2 representa la relación de todos los puntos que se encuentran sobre una elipse con eje focal vertical (las ecuaciones anteriores son conocidas como ecuaciones ordinarias de la elipse). Observación 80 Las elipses representadas en ambas ecuaciones tienen longitud del eje mayor 2a y longitud del eje menor 2b. La relación entre las distancias a, b y c es a2 = b2 + c2 . Observación 81 Es importante comprender las gráficas presentadas anterioremente y las relaciones entre ellas, ya que esto nos evita tener que memorizar coordenadas de algunos puntos de la elipse, es mucho más conveniente entender los conceptos y definiciones que memorizar una serie de fórmulas que resulta inútiles si no hemos comprendido su significado. Ejemplo 78 Los focos de una elipse son los puntos (3, 8) y (3, 2) y la longitud de su eje menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse y las coordenadas de sus vértices. Solución 47 Como conocemos los focos, podemos establecer que su eje focal es paralelo al eje Y . Conocidos los focos, tenemos que el centro es (3, 5) y por lo tanto c = 3. Además, sabemos que la longitud del eje menor es 8, entonces b = 4. Por lo tanto, como b2 = a2 − c2 se tiene 16 = a2 − 9, de donde a = 5. De esta forma La ecuación de le elipse queda: (x − 3)2 (y − 5)2 + =1 16 25 148

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Los vértices son V1 (3, 0) y V2 (3, 10). Si el centro de la elipse es el origen, las ecuaciones toman una forma más simple Eje Focal Horizontal Eje Focal Vertical

x2 y2 + 2 =1 a22 b y2 x + 2 =1 b2 a

Para calcular la longitud del lado recto, observemos la gráfica que representa la parábola x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

a > b.

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notemos que los lados rectos están sobre las rectas x = c y x = −c. Reemplazando x = c en la ecuación de la elipse se tiene y2 c2 + a2 b2 y2 b2 y2 b2 y2 b2

= 1

c2 a2 2 a − c2 = a2 2 b = a2 b2 y = ± a = 1−

Teniendo en cuenta la simetría de la elipse, podemos concluir que la medida del lado recto 2b2 es . a x2 y 2 + = b2 a2 1, obtenemos el mismo resultado ya que los lados rectos están ubicados sobre las rectas y = c 2b2 e y = −c. Por lo tanto la longitud de cada lado recto en cualquier caso es . a Observación 82 Si se hace un análsis similar para la elipse con eje focal vertical

Excentricidad Si consideramos varias elipses con el mismo lado mayor, se verá que unas son más alargadas o achatadas que otras. Esta característica de la elipse de ser más o menos redondeada, se mide con un número llamado excentricidad, el cuál denotaremos por e, el cuál es el cociente de c (distancia de un foco al centro) y a (distancia de un vértice al centro) e=

c . a

Notemos que la excentricidad es c e= = a

√ a2 − b2 a

Si e está muy próxima de cero (e ≈ 0). entonces b está muy próximo de a, por lo que los lados

mayor y menor son muy próximos; es decir, la elipse se parece mucho a una circunferencia. Si por el contrario, e está muy próximo de 1 (e ≈ 1), entonces b es muy pequeño; es decir,

el lado menor es muy pequeño, por lo que la elipse es más achatada. Como 0 < c < a, se

150

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deduce que la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

Ecuación General de la Elipse A continuación haremos el estudio de la ecuación general de la elipse para cada uno de los casos: (Caso 1) Resolviendo la ecuación ordinaria de la elipse de eje focal paralelo al eje Y se tiene:

(x − h)2 (y − k)2 + =1 b2 a2

se tiene ax2 − 2a2 hx + a2 h2 + b2 y 2 − 2b2 ky + b2 k2 − a2 b2 = 0 y ordenando podemos escribir a2 x2 + b2 y 2 − 2a2 hx − 2b2 ky + a2 h2 + b2 k2 − a2 b2 = 0 que podemos escribirla como Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, con A > C (Caso 2) Resolviendo la ecuación ordinaria de la elipse de eje focal paralelo al eje X (x − h)2 (y − k)2 + =1 a2 b2 151

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tenemos b2 x2 + a2 y 2 − 2b2 hx − 2a2 ky + b2 h2 + b2 k2 − a2 b2 = 0 que podemos escribirla como Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, con A < C Podemos concluir que una ecuación de dos variables puede representar una elipse si AC > 0. Ejemplo 79 Dada la ecuación: 9x2 + 4y 2 − 18x + 32y + 37 = 0 encuentre su ecuación

ordinaria y sus elementos principales.

Solución 48 Ordenando y completando cuadrados de binomios se tiene:

 9 x2 − 2x + 4 y 2 + 8y = −37

9 (x − 1)2 + 4 (y + 4)2 = −37 + 9 + 64

Dividiendo por 36 tenemos:

(x − 1)2 (y + 4)2 + =1 4 9 La cual representa una elipse con su eje focal paralelo al eje Y , con centro (1, −4), a = 3 √ b = 2. Por lo tanto c = 5, y podemos resumir:   √  √  C (1, −4) , V1 (1, −7) y V2 (1, −1) , F1 1, −4 − 5 y F2 1, −4 + 5 L. Eje mayor 6

3.6.

L. Eje menor 4

8 L. Lado Recto 3

√ 5 e= 3

Ejercicios

1. Dada la elipse

x2 8

2

+ y12 = 1, graficarla y hallar la longitud de los semiejes, coordenadas

de los focos y la excentricidad. 2. Hallar la ecuación de las elise que satisfacen las condiciones que se indican en cada caso: a) Longitud de lado recto igual a 5 unidades, vértices V1 (−10, 0) y V2 (10, 0). 152

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b) Focos F1 (3, 8), F2 (3, 2) y longitud de su eje menor igual a 8 unidades. 
c) Centro C (1, −1) un de sus focos F 21 , −1 y excentricidad igual a 12 .

3. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos en el eje X y que pasa √  √ 

por los puntos P1 −3, 2 3 y P2 4, 34 5 . 4. Comprobar que el lugar geométrico de un punto P (x, y) que se mueve de modo que la suma de distancias a los puntos fijos P1 (2, −3) y P2 (2, 7) es constante e igual a 12,

es una elipse.

5. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los cuatro puntos: (−6, 4), (−8, 1), (2, −4), (8, −3) y cuyos ejes son paraleos a los ejes coordenados.

6. Hallar la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje Y , cada lado recto tiene longitud igual a 2 unidades, su centro es el vértice de la parábola y2 + 8x − 6y + 1 = 0 y pasa por el foco de dicha parábola.

7. Hallar el lugar geométrico de un punto P (x, y) que se mueve de modo que su distancia al punto fijo P0 (3, 2) es la mitad de su distancia a la recta x + 2 = 0. 8. Un punto P (x, y) se mueve de modo que el producto de las pendientes de las rectas que unen P con los puntos fijos P1 (−2, 1) y P2 (6, 5), respectivamente, es constante e igual a −4. Comprobar que el lugar geométrico descrito por P es una elipse. √  9. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto A 27 , 3 , tiene su centro en el

origen, su eje menor está en el eje X y la longitud de su eje mayor es el doble de la

de su eje menor. Calcular la longitud de cada lado recto y la excentricidad.

3.7.

La Hipérbola

Definición 14 (Hipérbola) La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y) del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos distintos llamados focos es constante.

Inicialmente haremos el estudio de la hipérbola con centro en el origen para hacer más fáciles los cálculos, pero con el objetivo final de establecer la ecuación de la hipérbola con 153

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centro en un punto C(h, k).

(Caso 1) Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal, el eje X Sean F1 (−c, 0) y F2 (c, 0) las coordenadas de los focos, el punto medio del segmento F1 F2 representa el centro de la hipérbola y será el origen O (0, 0). Definamos las coordenadas de los vértices como V (−a, 0) y V (a, 0). Por definición, un punto P (x, y) está en dicha hipérbola sí y sólo si

  P F1 − P F2  = 2a.

Para deducir la ecuación, vamos a suponer que dicha diferencia es positiva, es decir:   2 2 (x + c) + y − (x − c)2 + y 2 = 2a Antes de elevar al cuadrado, separemos las raíces y resolvamos los cuadrados de binomio:   x2 + 2cx + c2 + y 2 = 2a + x2 − 2cx + c2 + y 2

Elevando al cuadrado tenemos

 x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 + 4a x2 − 2cx + c2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2

De donde:

O simplemente

 4cx − 4a2 = 4a x2 − 2cx + c2 + y 2  a x2 − 2cx + c2 + y 2 = cx − a2 154

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Elevando nuevamente al cuadrado se tiene: a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = c2 x2 − 2a2 cx + a4
2 
 c − a2 − a2 y 2 = a2 c2 − a2

Si llamamos b2 = c2 − a2 , entonces se tiene

b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2 de donde ontenemos la siguiente ecuación: x2 y 2 − 2 =1 a2 b Tal como lo hicimos en la elipse, definiremos sus elementos principales: Eje Focal Recta que contiene a los focos. Vértices Puntos donde la hipérbola corta el eje focal. Lado Recto Cuerdas perpendiculares al eje focal que pasan por los focos. Eje Transverso Segmento que une los vértices. Eje Normal Eje perpendicular al eje focal. Eje Conjugado Segmento “imaginario” que se encuentra en el eje normal. (Caso 2) Ecuación canónica de la hipérbola con eje focal, el eje Y Si el eje focal es el eje Y , se puede hacer un desarrollo similar y concluiremos que la ecuación de la hipérbola es:

y 2 x2 − 2 =1 a2 b

Observación 83 Para calcular la longitud del lado recto, vamos a utilizar la hipérbola del Caso 1. Observemos que las rectas que contienen a los lados rectos son x = −c y x = c.

Por la simetría de la figura, calcularemos uno de ellos (los dos tienen la misma longitud). Si reemplazamos x = c y despejamos el valor de y, se tiene c2 y2 − a2 b2 y2 b2

= 1

c2 −1 a2 b2 y = ± a

Asi, la longitud de cada lado recto es

=

2b2 . a 155

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c . Como siempre a c > a, por lo tanto se deduce que la excentricidad de la hipérbola es mayor que 1. Observación 84 La excentricidad de la hipérbola está dada por e =

Ejemplo 80 Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (−2, 0) y (2, 0) 5 y su excentricidad es e = . 2 Solución 49 Conociendo los vértices, podemos deducir que a = 2 y como la excentricidad 5 es e = entonces c = 5 y según la relación b2 = c2 − a2 , se tiene b2 = 25 − 4 = 21. Por lo 2 tanto, la ecuación de la hipérbola es x2 y 2 − =1 4 21

Si el centro no es el origen, significa que la gráfica está desplazada. Si designamos el nuevo centro por C (h, k) se tienen las siguientes ecuaciones: (Caso 1) Si el eje focal es paralelo al eje X, la ecuación ordinaria de la hipérbola es:: (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2 (Caso 2) Si el eje focal es paralelo al eje Y , la ecuación ordinaria de la hipérbola es: (y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2 Observación 85 A diferencia de la elipse para la hipérbola puede tenerse que a > b o bien a < b o bien a = b. Ejemplo 81 Los focos de una hipérbola son los puntos (0, −4) y (6, −4) y la longitud de

su eje transverso es 4. Hallar la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus vértices, su excentricidad y las longitudes de los otros ejes. 156

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Solución: Como conocemos los focos, podemos deducir que su eje focal es paralelo al eje X, el centro es (3, −4) y c = 3. Además como el eje transverso es 4, entonces a = 2. √ Por lo tanto, como b2 = c2 − a2 se tiene b2 = 9 − 4, de donde b = 5 La ecuación de la hipérbola queda:

(x − 3)2 (y + 4)2 − =1 4 5 3 Los vértices son V1 (−6, 3) y V2 (−2, 3) y la excentricidad es e = . Las longitudes son: 2 √ Lado Recto 5 Eje conjugado 2 5

Asíntotas de una hipérbola Las curvas que representan las ecuaciones de las hipérbolas en un plano, están estrechamente relacionadas con un par de rectas llamadas asíntotas, las cuáles permiten dibujar con mayor precisión la gráfica de dicha cónica. El gráfico que observamos a continuación relaciona las rectas asíntotas con una hipérbola con eje focal vertical. Se le recomienda al lector que haga la construcción (que será de manera análoga) que va a ver a continuación pero tomando una parábola con eje focal horizontal.

157

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Para hipérbolas con ejes focales verticales, tenemos las rectas asíntotas L1 y L2 . las cuáles pasan por los puntos (h, k), (h + b, k + a) y (h, k), (h − b, k + a) respectivamente. Lo que caracteriza a las rectas asíntotas es el hecho que la hiérbola tiende a coincidir con estas rectas. Observación 86 Para establecer las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola se establecen las coordenadas de dos puntos por donde pasan dichas rectas y se obtiene la ecuación de la recta. Para la figura anterior concluimos que las ecuaciones de la rectas son las siguientes: a (x − h) + k b a : y = − (x − h) + k b

L1 : L2

y=

Observación 87 Notemos que si tenemos la hipérbola x2 y 2 − 2 =1 a2 b cuyas asíntotas ya conocemos: y =

b b x e y = − x, las cuáles podemos escribir como: a a

bx − ay = 0

∧

bx + ay = 0

entonces (bx − ay)(bx + ay) x y  x y  − ab + ab a b   a b  x y x y a2 b2 − + a b a b  x y x y − + a b a b x2 y 2 − 2 a2 b

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0

vemos que el lado izquierdo de esta última ecuación es idéntico al lado izquierdo de la ecuación de la hipérbola. Esto nos da una forma simple de hallar las asíntotas de una hiperbola a partir de su ecuación ordinaria. Observación 88 Para la hipérbola (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2 158

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las asíntotas son

x−h y−k x−h y−k + =0 ∧ − =0 a b a b las que se pueden obtener como en el caso de la ecuación ordinaria mostrado en la observación anterior. Ejemplo 82 Hallar las asíntotas de la hipérbola de ecuación:

y2 x2 − =1 16 25

Solución 50 Notemos que es una hipérbola con eje focal vertical, centro en (0, 0), a = 4 y b = 5. luego podemos utilizar las ecuaciones anteriores, obteniedo: 4 L2 : y = − x 5

4 L1 : y = x 5 Gráficamente tenenos lo siguiente:

Ecuación general de la hipérbola a) Resolviendo los paréntesis de la ecuación de la hipérbola de eje focal paralelo al eje Y (y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2 se tiene b2 y 2 − 2b2 ky + b2 k2 − a2 x2 + 2a2 hx − a2 h2 − a2 b2 = 0 y ordenando podemos escribir b2 y 2 − a2 x2 + 2a2 hx − 2b2 ky − a2 h2 + b2 k2 − a2 b2 = 0 que podemos escribirla como Cy 2 − Ax2 + Dx + Ey + F = 0 159

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b) Resolviendo los paréntesis de la ecuación de la hipérbola de eje focal paralelo al eje X (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2 se tiene b2 x2 − a2 y 2 − 2b2 hx + 2a2 ky + b2 h2 − a2 k2 − a2 b2 = 0 que podemos escribirla como Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Podemos concluir que una ecuación de dos variables puede representar una hipérbola si AC < 0. Ejemplo 83 Dada la ecuación: 4x2 − 9y 2 − 32x + 18y + 19 = 0 encuentre su ecuación

ordinaria y sus elementos principales. Solución:

Ordenando y completando cuadrados de binomios se tiene:

 4 x2 − 8x − 9 y 2 − 2y = −19

4 (x − 4)2 − 9 (y − 1)2 = −19 − 9 + 64

Dividiendo por 36 se tiene:

(x − 4)2 (y − 1)2 − =1 9 4 La cuál representa una hipérbola con su eje focal paralelo al eje X, con centro (4, 1), a = 3, b=2 Por lo tanto c =

√ 13

√ √

 Y podemos resumir: C (4, 1) V1 (1, 1) y V2 (7, 1), F1 4 − 13, 1 y F2 4 + 13, 1

Longitud Eje transverso 6. Longitud Eje conjugado 4. Longitud Lado Recto excentricidad es e =

√ 13 3 .

Calculando las asíntotas se tiene: 2x + 3y − 11 = 0 ∧ 2x − 3y − 5 = 0

160

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8 3

y la

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Observación 89 Dos hiperbolas tales que el eje transveso de una coincide con el eje conjugado de la otra, son llamadas Hipérbolas Conjugadas, y se dice que cada una es la hipérbola conjugada de la otra.

Asi, es fácil ver que las hipérbolas x2 y 2 − 2 =1 a2 b

y

y 2 x2 − 2 =1 a2 b

son hipérbolas conjugadas.

3.8.

Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes hipérbolas determinar: vértices, focos, excentricidad, longitud de cada lado recto, asíntotas y gráfica. a) 4x2 − 45y 2 = 180. b) x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0. c)

(y − 2)2 (x + 1)2 − = 1. 25 144

2. En cada caso siguiente hallar la ecuación de la hipérbola que se describe: a) Longitud del eje imaginario (eje conjugado) 24, focos F1 (0, −13) y F2 (0, 13). b) Centro C (−3, 6), a = 5, excentricidad e = 2 y eje focal vertical.

161

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c) Los extremos del eje transverso son los puntos (2, 3) y (2, −1), y la longitud del eje conjugado es 6.

3. Hallar una hipérbola con centro en el origen, ejes que coinciden con los ejes coordenados y que pase por los puntos A (3, 1) y B (9, 5). 4. Hallar el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve de modo que la diferencia de sus distancias a los puntos fijos A (0, 3) y B (0, −3) es constante e igual a

5.

5. Comprobar que el lugar geométrico descrito por un punto P (x, y) que se mueve de modo que el producto de las pendientes de las rectas que lo unen a los puntos fijos A (−2, 1) y B (3, 2) es constante e igual a 4, representa una hipérbola. 6. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen, un vértice en el punto (6, 0) y una de sus asíntotas es la recta 4x − 3y = 0. Graficar y determinar los

elementos principales de esta hipérbola.

7. Hallar el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve de modo que su diatancia al punto fijo (0, 6) es

3 2

de la correspondiente a la recta y −

8 3

= 0.

8. Los vértices de una hipérbola son los puntos V1 (−2, −4) y V2 (−2, 2). La longitud de

cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la curva, las coordenadas de sus focos, su excentricidad y asíntotas.

9. Los focos de la elipse

(x−1)2 8

2

+ (y−4) = 1, son los vértices de una hipérbola y, a su vez, 14

los focos de esta última coinciden con los vértices de la elipse. Hallar la ecuación de dicha hipérbola. 10. Una pista de patinaje en el hielo se puede diseñar mediante la ecuación de la siguiente cónica: 4x2 − 9y 2 − 6x + 54y − 29 = 0. Cuatro patinadores se encuentran ubicado en cada uno de los extremos de sus lados rectos.

a) Hallar la ubicación de cada uno de los patinadores. b) Hallar la distancia entre los cuatro patinadores (una unidad = a 1 metro).

162

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Capítulo 4

Funciones Reales En este capítulo estudiaremos las funciones reales. Nuestro interés es hacer un estudio dirigido al uso de las funciones en el cálculo. Debiéramos concentrarnos en las propiedades básicas, algebraicas y geométricas, de las funciones. Sin embargo pretendemos hacer un eficiente estudio de las funciones destacando algunos ejemplos clásicos y de uso frecuente. Sabemos que para un curso de cálculo lo presentado en este capítulo puede resultar excesivo. A pesar de ello, creemos útil para el alumno tener este material, entendiendo que podemos omitir parte de él.

4.1.

Definiciones y Ejemplos Básicos

Comenzaremos con una definición general de función para luego concentrarnos en las funciones reales de una variable real. Definición 15 (Función) Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función de A en B, que abreviamos por f : A −→ B, es una correspondencia que a cada elemento de A le asocia (o asigna) un único elemento de B. A los conjuntos A y B de la definición anterior, se les conoce como Dominio de la función y Codominio de la función f (o conjunto de llegada) respectivamente. Los mismos son denotados como le sigue A = Dom (f) , B = Cod (f) . 163

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Si x ∈ A y la función f le asocia el elemento y ∈ B, decimos que y es la Imagen de x

bajo f y escribimos

y = f (x) , también decimos que x es la preimagen de y bajo f. El Recorrido o la Imagen de f, que denotamos por Recf o Imf, es el conjunto de todas las imagenes de los elementos de A, es decir Rec (f) = {y ∈ B / ∃ x ∈ A ∧ y = f (x)} = {f (a) / a ∈ A} . Observación 90 Según definición anterior, vale que Rec(f ) ⊆ B En general, una función f : A −→ B puede ser representada por una tabla de valores de

doble entrada, un conjunto de pares ordenados, un diagrama, una fórmula o un gráfico. Lo más usual es utilizar una fórmula (o varias) para definir una función, así como un gráfico para representarla geométricamente Como hemos señalado, nuestro interés son las funciones reales (en rigor, funciones reales de una variable real), es decir, funciones cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales R. Es decir, consideramos el conjunto de llegada B = R. Como nuestro trabajo será desarrollado para funciones reales, podemos dar las siguientes definiciones de dominio y recorrido para éste tipo de funciones: Definición 16 (Dominio y Recorrido) Si f es una función real, su dominio es el conjunto de todos los valores reales x para los cuales f (x) está definida, es decir: Dom (f ) = {x ∈ R / f (x) ∈ R} . Consecuentemente, el recorrido de f será el conjunto de todos los valores reales que toma esta función, es decir: Rec (f) = {y ∈ R / ∃ x ∈ Dom (f ) ∧ y = f (x)} = {f (x) / x ∈ Domf } . Observación 91 A pesar de la definición anterior, si tenemos la función f : A → B,

entonces estamos estableciendo que su dominio es el conjunto A. La definición dada para el dominio de una función f, corresponde al “ dominio máximo” de una función para la cual no se ha hecho ningún tipo de restricción. 164

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Observación 92 En general, si tenemos la función y = f (x), podemos decir que x es una variable independiente e y es una variable dependiente. En tal caso decimos que y es una función de x o que y es una variable que depende de x. Observación 93 Notar que para hallar el dominio de una función f, simplemente debemos hallar todos los valores de x para los cuales f (x) está definida, mientras que para hallar el recorrido, debemos hallar todos los y = f (x), para los cuales x ∈ Dom (f). Aplicaremos

estas ideas en nuestros próximos ejemplos.

Ejemplo 84 Consideremos la función dada por la fórmula f (x) =

1 . x

Para determinar Dom (f), tenemos que: f (x) =

1 ∈R x

⇐⇒

x = 0.

Así, Dom (f) = R − {0}.

Para hallar Rec(f), tenemos que: y=

así, x=

1 x

1 x= , y

⇐⇒

1 ∈ R − {0} y

⇐⇒

y = 0.

Por lo tanto, Rec(f) = R − {0}. Ejemplo 85 Sea f la función dada por la fórmula f (x) = Para determinar Dom (f), tenemos que: f (x) =

 x2 − 1 .

 x2 − 1 ∈ R

⇐⇒

x2 − 1 ≥ 0,

es decir, debemos resolver esta última inecuación: x2 − 1 ≥ 0

⇐⇒

(x + 1) (x − 1) ≥ 0.

165

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Construímos nuestra tabla para los signos de los factores lineales:

Por lo tanto, x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Es decir, Dom (f) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Para hallar Rec(f), notemos primero que y=

 x2 − 1 ≥ 0,

ya que estamos considerando la raíz positiva. Así, tenemos que debe ser y ≥ 0. Por otra parte, despejando x en función de y, tenemos: y=

 x2 − 1

⇐⇒

 x = ± y 2 + 1,

por lo que debemos tener que y2 + 1 ≥ 0, pero esto siempre ocurre ya que es la suma de dos números no negativos. Así, y ∈ R. Por lo tanto, Rec(f) = R+ ∪ {0} = [0, +∞).

Observación 94 Lo que hemos hecho en los ejemplos es hallar el dominio "máximo"para la función en cuestión. Aclaramos esto porque podríamos considerar dominios menores que los hallados, dependiendo de nuestro interés o del problema específico. En general asumimos que al buscar el dominio de una función, para la que no se ha impuesto nigún tipo de restricción previa, estamos buscando el dominio máximo de definición de ella, a menos que se indíque explícitamente otra cosa. Ejemplo 86 Sea f : [0, 1] → R la función dada por f (x) =

1 x+1 .

En este ejemplo tenemos que el dominio de la función está preestablecido, es decir se le

ha impuesto una condición y esa condición es que Dom (f) = [0, 1]. Esto quiere decir que esta función está definida sólo en [0, 1], independiente de lo que pudiera creerse al respecto. Para hallar Rec(f), debemos observar el dominio. Es decir, el hecho de tener un dominio bien definido, en este caso un intervalo, afectará el recorrido. Lo primero que debemos observar es que y = recordemos que

1 x+1 ,

pero x ∈ [0, 1], por lo que y ≥ 0, ya que x + 1 > 0. Además,

y ∈ Rec (f) si, y s´ olo si, existe x ∈ Dom (f) : y = f (x) , 166

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es decir, específicamente y ∈ Rec (f) si, y s´ olo si, existe x ∈ [0, 1] : y = Así, y ∈ Rec(f ) debe ser tal que si y = sigue

y=

1 x+1 ,

1 x+1

entonces x ∈ [0, 1]. Entonces procedemos como ⇒

y según lo señalado, debemos tener que x = 1−y ≤1 y

⇔

x=

1−y y

tales que y > 0 y además 0≤

1 . x+1

0≤

1−y , y

∈ [0, 1], es decir, debemos hallar los y ∈ R

1−y y

∧

1−y ≤ 1. y

Resolviendo estas inecuaciones y considerando que y > 0, obtenemos Rec(f ) =

1

 .

2, 1

Definición 17 (Gráfico de una función) Si f es una función real, el Gráfico de f, denotado por Gr (f), es el conjunto dado por: Gr (f) = {(x, y) / x ∈ Dom (f) ∧ y = f (x)} = {(x, f (x)) / x ∈ Dom (f)} . Ya que Gr (f ) ⊆ R2 , podemos representar este conjunto en el plano cartesiano, es decir

en el sistema de coordenadas cartesianas. Esta representación geométrica del gráfico de una función será una curva, la curva dada por y = f (x) ,

x ∈ Dom (f ) .

Esto quiere decir que la primera coordenada, que corresponde a los elementos del dominio, estarán en el eje X, mientras que la segunda coordenada, que corresponde al recorrido (la imagen de la primera coordenada bajo f) estará en el eje Y .

167

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Resulta interesante, e importante en muchos casos, notar que si tomamos cualquier punto P (x, y) de la curva y = f (x), la altura a la que se encuentra P desde el eje X es exactamente f (x). Si f (x) > 0, el punto P se encuentra sobre el eje X; si f (x) = 0, el punto P se encuentra en el eje X; si f (x) < 0, el punto P se encuentra bajo el eje X. En cualquier caso, la distancia de P al eje X es |f (x)|. Por otra parte, la distancia del punto P

al eje Y es |x|. Si x > 0, el punto P se encuentra a la derecha del eje Y ; si x = 0, el punto P se encuentra en el eje Y ; si x < 0, el punto P se encuentra a la izquierda del eje Y .

A continuación daremos un conjunto de ejemplos de funciones y su gráficos (cuando sea posible) considerados básicos. En algunos casos estos ejemplos son en sí definiciones de ciertas funciones importantes de uso frecuente, Ejemplo 87 (Función Constante) Sea c ∈ R (fijo). La función costante se define por la fórmula

f (x) = c, para cualquier x. Vemos fácilmente que Dom (f) = R

y

Rec (f) = {c} .

Si hacemos y = f (x), tenemos la curva y = c, que sabemos que es una recta horizontal. Es decir, el gráfico de la función constante es una recta horizontal que intersecta al eje Y en y = c:

Dos funciones constantes particularmente importantes son los casos cuando c = 0 y cuando c = 1. En estos casos tenemos: Función Nula: La función nula, o función identicamente nula, que podemos denotar por O, está definida por la fórmula O (x) = 0, para cualquier x. 168

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Evidentemente y

Dom (O) = R

Rec (O) = {0} .

Vemos que esta función representa, gráficamente, al eje X:

Función Idénticamente 1: La función idénticamente 1, que podemos denotar por 1, está definida por la fórmula 1 (x) = 1, para cualquier x. Es claro que y

Dom (1) = R

Rec (1) = {1} .

Evidentemente, el gráfico de la función identicamente 1 es una recta horizontal, dada por y = 1:

Ejemplo 88 (Función Identidad) La función identidad, que denotaremos simplemente por I, se define por la fórmula I (x) = x, para cada x. Claramente tenemos que Dom (I) = R

y

Rec (I) = R.

Si hacemos y = I (x), tenemos la curva y = x, 169

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que es la recta que pasa por el origen y tiene pendiente m = 1:

Ejemplo 89 (Función Lineal) Para a, b ∈ R, definimos la función lineal con coeficientes a y b por la fórmula

f (x) = ax + b, para cualquier x. Claramente tenemos que Dom (f) = R. Además, para hallar el recorrido de esta función, asumiendo que a = 0, tenemos que: y = ax + b

⇐⇒

x=

b 1 y− , a a

es decir, ya que x ∈ R, tenemos que y ∈ R. Por lo tanto Rec(f) = R. Si hacemos y = f (x), tenemos la curva

y = ax + b, la cual es una recta con pendiente m = a y que intersecta al eje Y en el punto y = b:

Observación 95 Notar que si en la función lineal se tiene que a = 0, obtenemos una función constante: f (x) = b. 170

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Por otra parte, si a = 1 y b = 0, obtenemos la función identidad: f (x) = x = I (x) . Por lo tanto, una función constante y la función identidad son casos particulares de funciones lineales. Ejemplo 90 (Función Cuadrática) Sean a, b, c ∈ R, con a = 0. La función cuadrática con coeficientes a, b, c está definida por la fórmula:

f (x) = ax2 + bx + c. Es claro que Dom (f) = R. El recorrido y el gráfico de esta función dependen de cada caso particular, es decir, dependen de los coeficientes a, b, c. Notar que si hacemos y = f (x), tenemos la curva y = ax2 + bx + c, que es una parábola con eje focal paralelo al eje Y . Si a > 0, es una parábola que se abre hacia arriba. Si a < 0, es una parábola que se abre hacia abajo. Un ejemplo particularmente importante de función cuadrática lo obtenemos para a = 1 y b = c = 0: f (x) = x2 . Ya sabemos que Dom (f) = R. Además, vemos que y = x2 ≥ 0. Así: y = x2

⇐⇒

√ x = ± y,

por lo que debe ser y ≥ 0. Es decir, Rec(f) = R+ ∪ {0} = [0, +∞). Por otra parte, sabemos que la curva y = x2 , es una parábola con vértice en el origen, se abre hacia arriba y su eje

focal coincide con el eje Y . por lo tanto, el gráfico de esta función cuadrática es el que se muestra en la siguiente figura:

Observación 96 Se puede probar (ver ejercicio 4) que dada f(x) = ax2 + bx + c se tiene 
 

 b b que: si a > 0, Rec(f ) = f − 2a , +∞ y si a < 0, Rec(f ) = − ∞, f − 2a 171

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Ejemplo 91 (Función Cúbica) Para a, b, c, d ∈ R, con a = 0, la función cúbica con coeficientes a, b, c, d se define por la fórmula

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vemos que Dom (f) = R. Además, se puede verificar que Rec(f) = R. El gráfico de una función cúbica depende de cada ejemplo en particular, es decir, depende de los coeficientes a, b, c, d. Un caso particular de función cúbica se obtiene si a = 1 y b = c = d = 0: f (x) = x3 . Evidentemente, Dom (f ) = R. Además, y = x3

⇐⇒

x=

√ 3 y,

por lo que y ∈ R. Así, Rec(f) = R. El gráfico de esta función es:

Ejemplo 92 (Función Polinomial) Sean n ∈ Z+ y a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R, fijos. Una

función polinomial con coeficientes a0 , a1 , a2 , . . . , an , se define por la fórmula: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn .

El dominio de esta función es, claramente, Dom (f ) = R. El recorrido y el gráfico de esta función dependerán de cada caso en particular, es decir, dependerán de los coeficientes a0 , a1 , a2 , . . . , an . Observación 97 Es importante notar que: (i) Si a1 = a2 = . . . = an = 0, entonces la función polinomial es una función constante: f (x) = a0 , para x ∈ R. 172

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(ii) Si a1 = 0 y a2 = a3 = . . . = an = 0, entonces la función polinomial es una función

lineal:

f (x) = a0 + a1 x, para x ∈ R. (iii) Si a2 = 0 y a3 = a4 = . . . = an = 0, entonces la función polinomial es una función

cuadrática:

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 , para x ∈ R. (iv) Si a3 = 0 y a4 = a5 = . . . = an = 0, entonces la función polinomial es una función

cúbica:

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , para x ∈ R. Por lo tanto, vemos que los ejemplos anteriores son todos ejemplos particulares de funciones polinomiales. Ejemplo 93 (Función Racional) Una función racional, es una función de la forma: f (x) =

p (x) , q (x)

donde p y q son funciones polinomiales. Es claro que el dominio de esta función, será el conjunto donde q no se anula: Dom (f ) = {x ∈ R / q (x) = 0} = R − {x ∈ R / q (x) = 0} . El recorrido y el gráfico de esta función, dependerán de cada caso en particular, es decir, dependerán de p y q. Observación 98 Toda función polinomial es una función racional en la que q es la función identicamente 1, es decir, q (x) = 1, para todo x ∈ R. Ejemplo 94 (Función Irracional) Una función irracional es aquella función cuya ex presión matemática contenga un (o más) radicales en la forma n g(x) donde g(x) es una

función polinónica o racional de forma general.

Para determinar Dom(f), este dependerá de la paridad de n: si n es par, el radical está definido si g(x) ≥ 0. En el ejemplo siguiente veremos un caso particular de este tipo de

función: la función Raiz Cuadrada.

173

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Ejemplo 95 (Función Raíz Cuadrada) Definimos la función raíz cuadrada por la fórmula: f (x) =

√ x .

Para determinar Dom (f), notamos que f (x) =

√ x∈R

⇐⇒

x ≥ 0.

Así, Dom (f) = R+ ∪ {0} = [0, +∞) . Para el recorrido, notar que estamos considerando la raíz no negativa, por lo que y = f (x) = √ x ≥ 0. Más aún, tenemos y= por lo que y ∈ R. Es decir

√ x

y∈R

⇐⇒ ∧

x = y2,

y ≥ 0,

de donde obtenemos que Rec (f ) = R+ ∪ {0} = [0, +∞) . Ahora, si hacemos y = f (x), tenemos y=

√ x,

de donde y 2 = x. Esta última ecuación representa la parábola con vértice el origen que se abre hacia la derecha y cuyo eje focal coincide con el eje X:

174

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Pero este gráfico no representa una función, ya que a cada x ∈ [0, +∞) le corresponden

dos valores diferentes de y. Además, como hemos considerado la raíz positiva, tenemos que √ Rec(f) = [0, +∞), entonces el gráfico de la función f (x) = x es la rama superior de la parábola:

√ Ejemplo 96 Un caso semejante al anterior es si consideramos f (x) = − x. Aquí: Dom (f) = R+ ∪ {0} = [0, +∞)

∧

Rec (f) = R− ∪ {0} = (−∞, 0] ,

y el gráfico corresponde a la rama inferior de la parábola:

Ejemplo 97 (Función definida por Tramos) Sean I1 , I2 , I3 , . . . , In subconjuntos de R, con n ∈ Z+ , los cuales tienen a lo más un punto en común. Una función definida por tramos (o definida por partes) con dominio I1 ∪ I2 ∪ I3 ∪ . . . ∪ In , es una función definida por   f1 (x) , si x ∈ I1 ,      f2 (x) , si x ∈ I2 , f (x) = .. .. ..   . . .     f (x) , si x ∈ I , n

n

donde cada fi es una función real definida en Ii , i = 1, 2, 3, . . . n. El recorrido y el gráfico

175

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de esta función, dependerán de las funciones fi y los correspondientes Ii , i = 1, 2, 3, . . . n.

Ejemplo 98 (Función Escalón Unitario) La función escalón unitario es un caso particular de función definida por tramos y está dada por  0 , si x < 0, U (x) = 1 , si x ≥ 0. por lo tanto, es claro que Dom (U ) = R y Rec(U ) = {0, 1}. Además, vemos que esta función

está formada por dos funciones constante: para x < 0 es la función nula, U (x) = 0, y para x ≥ 0 es la función identicamente 1, U (x) = 1. Así, el gráfico de esta función es

Ejemplo 99 (Función Valor Absoluto) La función valor absoluto se define por: f (x) = |x| . Dado que el valor absoluto está definido para cualquier real, es claro que Dom (f) = R. Además, como |x| ≥ 0, para todo x ∈ R, entonces es evidente que Rec(f) = R+ ∪ {0} =

[0, +∞).

176

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Notar que, por la definición de valor absoluto, esta función es una función definida por tramos: f (x) = |x| =



x,

si x ≥ 0,

−x , si x < 0.

Así, para obtener el gráfico de la función valor absoluto, tenemos: Para x < 0, hacemos y = f (x), obteniendo la ecuación y = −x, que es la recta que pasa por el origen con pendiente m = −1. Por lo tanto, para x < 0

tenemos que la función es la semi recta de pendiente m = −1 en el segundo cuadrante. Para x ≥ 0, hacemos y = f (x), obteniendo la ecuación y = x,

que es la recta que pasa por el origen con pendiente m = 1. Por lo tanto, para x ≥ 0,

tenemos que la función es el rayo que nace en el origen y tiene pendiente m = 1 en el primer cuadrante. Por lo tanto, el gráfico de la función valor absoluto es:

Observación 99 También podemos considerar esta función como un caso particular de las √ funciones racionales, pues f(x) = |x| = x2 . Ejemplo 100 Consideremos la función dada en nuestro primer ejemplo: f (x) =

1 . x

177

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Como hemos dicho Dom (f) = R − {0}. Para determinar el recorrido de f, si y = f (x), tenemos:

1 ⇐⇒ x por lo tanto y =  0. Así, Rec(f) = R − {0}. y=

1 x= , y

Para graficar esta función, notar que: 1 Si x < 0, entonces f (x) = < 0. Además, cuanto más próximo de cero está x (por la x izquierda), menor es el valor de f (x) (negativo), y cuanto menor es el valor de x (negativo), más próximo de cero está f (x) (negativo). 1 Si x > 0, entonces f (x) = > 0. Además, cuanto más próximo de cero está x (por la x derecha), mayor es el valor de f (x) (positivo), y cuanto mayor es el valor de x (positivo), más próximo de cero está f (x) (positivo).

(El gráfico de esta función es, de hecho, una hipérbola). Ejemplo 101 Sea f la función dada por la fórmula  f (x) = 3 − 4 − x2 .

Para determinar el dominio de f , debemos tener que

4 − x2 ≥ 0 (2 + x) (2 − x) ≥ 0, 178

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por lo que recurrimos a la tabla para los signos de los factores lineales:

así, x ∈ [−2, 2], es decir Dom (f) = [−2, 2].

Para determinar el recorrido, lo primero que notamos es que f (x) = 3 −

 4 − x2 ≤ 3,

ya que a 3 se le está restando una cantidad positiva, es decir, si y = f (x) = 3 −

tenemos que y ≤ 3. Por otra parte, despejando x, tenemos:  y = 3 − 4 − x2  y − 3 = − 4 − x2

√ 4 − x2 ,

(y − 3)2 = 4 − x2

y debemos tener que

x2 = 4 − (y − 3)2  x = ± 4 − (y − 3)2  x = ± 4 − y 2 + 6y − 9  x = ± −y 2 + 6y − 5, −y 2 + 6y − 5 ≥ 0 y 2 − 6y + 5 ≤ 0

(y − 5) (y − 1) ≤ 0. Luego

Por lo que 1 ≤ y ≤ 5, pero como ya sabemos que y ≤ 3, entonces debemos tener que 1 ≤ y ≤ 3, es decir, Rec(f) = [1, 3].

179

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Para hallar el gráfico de f , de los cálculos anteriores, tenemos que si y = f (x), entonces  y = 3 − 4 − x2  y − 3 = − 4 − x2 (y − 3)2 = 4 − x2

x2 + (y − 3)2 = 4

Esta última ecuación es una circunferencia con centro en C (0, 3) y radio r = 2:

Es claro que este gráfico no representa una función, pero en él se encuentra el gráfico de f. De hecho, basta notar que hemos dicho que el recorrido de esta función es Rec(f) = [1, 3], por lo que el gráfico de f es la semicircunferencia inferior:

180

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Definición 18 (Igualdad de Funciones) Diremos que dos funciones f y g son iguales, lo que escribiremos como f = g, si se cumple que Dom (f) = Dom (g) = D y f (x) = g (x) , para todo x ∈ D. En caso contrario, decimos que ellas son distintas, o diferentes, y escribimos f = g. Ejemplo 102 Por trigonometría, sabemos que f (x) = cos 2x y g (x) = −1 + 2 cos2 x,

satisfacen que

Dom (f) = Dom (g) = R y f (x) = cos 2x = −1 + 2 cos2 x = g (x) , para todo x ∈ R . Por lo tanto, en este caso, tenemos que f = g. Ejemplo 103 Consideremos las funciones definidas por las fórmulas: f (x) = Podemos ver que se cumple que f (x) = Pero

x2 − 1 x−1

∧

g (x) = x + 1 .

x2 − 1 = g (x) = x + 1 , x−1

para todo x = 1 .

Dom (f) = R − {1} = Dom (g) = R . Por lo tanto, f = g. De hecho, estas funciones coinciden en cada punto x = 1, ya que en x = 1, la función f no está definida, mientras que g si lo está.

181

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Definición 19 (Imagen Directa e Imagen Inversa) Sea f una función real y sean A ⊆ Dom (f) y B ⊆ Rec(f ).

(i) La Imagen (directa) de A por f (o bajo f), denotada f (A), es el conjunto formado

por las imágenes de los elementos del conjunto A; es decir: f (A) = {y ∈ Rec (f) / ∃ x ∈ A ∧ y = f (x)} = {f (x) / x ∈ A} . (ii) La Imagen Inversa de B, denotada f −1 (B), es el conjunto de las preimágenes de los elementos de B; es decir: f −1 (B) = {x ∈ Dom (f) / f (x) ∈ B} .

Ejemplo 104 Sea f : R −→ R, la función dada por f (x) = x2 + 1. Consideremos los

conjuntos A = {−2, −1, 0, 2, 3, 4} ⊂ Dom (f) y B = {1, 4, 5, 19} ⊂ Rec(f). Entonces: f (A) = {f (x) / x ∈ A} = {f (x) / x ∈ {−2, −1, 0, 2, 3, 4}} = {f (−2) , f (−1) , f (0) , f (2) , f (3) , f (4)} = {5, 2, 1, 10, 17} . Notar que f (−2) = f (2) = 5.

182

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Por otra parte: f −1 (B) = {x ∈ Dom (f) / f (x) ∈ B} = {x ∈ R / f (x) ∈ {1, 4, 5, 19}}  √ √ √  √ = 0, − 3, −2, −3 2, 3, 2, 3 2 .

Notar que, en particular, tenemos:

f −1 (10) = {−3, 3} .    √ √  3 3 4 , . f −1 = − 3 3 3 Es decir, la imagen inversa de un elemento del recorrido, puede estar constituída por más de un elemento del dominio. Esto también quiere decir que, en este caso, f −1 no define una función. Ejemplo 105 Sea f : R −→ R, la función dada por f (x) = 2x + 1. Consideremos los conjuntos A = (−5, 4] ⊂ Dom (f) = R y B = [−3, 1] ⊂ Rec(f) = R. Entonces: f (A) = f ((−5, 4]) = {f (x) / x ∈ A} = {2x + 1 / x ∈ (−5, 4]} Vemos que f (x) ∈ f (A)

⇐⇒

x ∈ A,

esto es y = f (x) ∈ f ((−5, 4])

⇐⇒

x ∈ (−5, 4] .

Por lo tanto podemos proceder como sigue: y = 2x + 1 pero x ∈ (−5, 4], por lo que

⇒

1 1 x= y− , 2 2

1 1 −5 < y − ≤ 4. 2 2

Resolviendo estas dos inecuaciones, obtenemos que y ∈ (−9, 9]. Así, f (A) = f ((−5, 4]) = (−9, 9] .

183

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Por otra parte, f −1 (B) = {x ∈ Dom (f) / f (x) ∈ B}

f −1 ([−3, 1]) = {x ∈ R / f (x) ∈ [−3, 1]}

= {x ∈ R / 2x + 1 ∈ [−3, 1]} . Ahora vemos que x ∈ f −1 (B)

⇐⇒

f (x) ∈ B,

es decir x ∈ f −1 ([−3, 1])

⇐⇒

2x + 1 ∈ [−3, 1] .

Por lo tanto, procedemos como sigue: −3 ≤ 2x + 1 ≤ 1 −4 ≤ 2x ≤ 0

/−1 1 /· 2

−2 ≤ x ≤ 0. Por lo tanto, f −1 (B) = f −1 ([−3, 1]) = [−2, 0] .

4.2.

Ejercicios

1. Para las siguientes funciones, hallar dominio, recorrido y graficar. (a) f (x) = x2 + 2.

(b) f (x) = x − 3 − 14 x2 .

√ (c) f (x) = − x + 2.

(d) f (x) = 3 +

√ x + 2.

(f) f (x) = 2 +

√ 3 − x.

(e) f (x) = 3 − (g) f (x) =

√ x − 2.

√ 4 − x2 .

(i) f (x) = 1 +

√ (h) f (x) = − 4 − x2 .

√ 5 − 4x − x2 .

(i) f (x) = 2 −

√ 3 + 2x − x2 .

2. Consideremos la función f (x) = x2 + 2. Sea B = [0, 6] ⊆ Rec(f ). Hallar la imagen inversa f −1 (B) de B bajo f .

184

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√ 3. Para la función f (x) = 1 − 2 x + 3 y el conjunto B = R− . Hallar la imagen inversa de B bajo f.

4. Sea la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c con a = 0, b, c reales. Demuestre que conociendo que Dom(f)  se tiene que:     = R, entonces b si a > 0, Rec(f) = f − 2a , +∞ ; y si a < 0, Rec(f) = − ∞, f −

5. Determine el dominio de la siguiente función irracional √ √ x2 − x − 2 + x − 3 x + 5 g(x) = x−5

4.3.

b 2a

 .

Álgebra de Funciones

Consideraremos como el álgebra de funciones, las operaciones básicas que podemos definir entre funciones reales. Estas definiciones resultan absolutamente natural y permiten tener una base formal para lo que necesitaremos en el cálculo. Definición 20 (Álgebra de Funciones) Sean f y g dos funciones reales tales que sus dominios coinciden, Dom (f) = Rec(g) = D, y sea λ ∈ R. Definimos las nuevas funciones: f puntualmente, es decir, por: f +g , f −g , λ·f , f ·g y g (i) Suma: (f + g) (x) = f (x) + g (x) , para todo x ∈ D. (ii) Resta o Sustracción: (f − g) (x) = f (x) − g (x) , para todo x ∈ D. (iii) Producto por Escalar: (λ · f ) (x) = λ · f (x) , para todo x ∈ D. (iv) Producto: (f · g) (x) = f (x) · g (x) , para todo x ∈ D. (v) Cuociente:   f (x) f (x) = , para todo x ∈ D, con g (x) = 0. g g (x) 185

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x−1 ,y x+3 g : [0, +∞) −→ R, dada por g (x) = 1 − x. Entonces tenemos que los dominios coinciden, Ejemplo 106 Consideremos las funciones f : [0, +∞) −→ R, dada por f (x) =

Dom (f) = Dom (g) = [0, +∞). Así, podemos definir las funciones que siguen: Suma: (f + g) (x) = f (x) + g (x) = =

x − 1 + x + 3 − x2 − 3x x−1 +1−x = x+3 x+3

2 − x − x2 . x+3

Producto por escalar (tomemos,   3 · f (x) = 2   3 · g (x) = 2

por ejemplo, λ = 23 ): 3 3x−1 3x − 3 · f (x) = = . 2 2x+3 2x + 6 3 3 3 − 3x · g (x) = (1 − x) = . 2 2 2

Producto:

(f · g) (x) = f (x) · g (x) =

x−1 x2 − 2x + 1 x−1 · (1 − x) = − · (x − 1) = − . x+3 x+3 x+3

Cuociente:   f (x) = g

f (x) = g (x)

x−1 x+3 1−x

También podemos calcular el cuociente:   g g (x) 1−x (x) = = x−1 f f (x) x+3

= −

= −

x−1 1 = − . (x + 3) (x − 1) x+3

(x + 3) (x − 1) = − (x + 3) . x−1

Observación 100 Para poder definir las funciones anteriores, la variable en que se aplica debe pertenecer, cuando corresponda, tanto al dominio de una de las funciones como al de la otra. Por esta razón se ha exigido la igualdad de los dominios. Sin embargo esta restricción no es necesaria. Podemos considerar un dominio común, que será menor que los originales, tomando la intersección de los dominios: D = Dom (f) ∩ Dom (g) . Así, las operaciones dadas en el álgebra de funciones podrán ser definidas en D. Esto tendrá sentido siempre que D = Φ. 186

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Ejemplo 107 Considerar las funciones f (x) =

1 x−2

Hallar Dom (f ), Dom (g), f + g, f · g y estas nuevas funciones.

g (x) = x2 − 4.

∧

f , indicando los dominios donde están definidas g

Es claro que Dom (f) = R − {2} y Dom (g) = R. Entonces D = Dom (f) ∩ Dom (g) = (R − {2}) ∩ R = R − {2} . Entonces: 1 + x2 − 4 x−2 x3 − 2x2 − 4x + 9 , x ∈ D = R − {2} . = x−2

(f + g) (x) = f (x) + g (x) =


 1 · x2 − 4 x−2 2 x −4 (x + 2) (x − 2) = = x−2 x−2

(f · g) (x) = f (x) · g (x) =

x ∈ D = R − {2} .

= x+2 ,   f g

(x) = = = =

f (x) , x ∈ D = R − {2} ∧ g (x) = 0, g (x) 1 x − 2 , x ∈ D = R − {2} ∧ x2 − 4 = 0, x2 − 4 1 , x ∈ D = R − {2} ∧ x = ±2, 2 (x − 4) (x − 2) 1 , x ∈ D = R − {−2, 2} . 3 2 x − 2x − 4x + 8

Es fácil verificar las siguientes propiedades para las operaciones con funciones. Teorema 51 Sean f, g, h funciones reales tales que D1 = Dom (f) ∩ Dom (g) = Φ y

D2 = Dom (f) ∩ Dom (g) ∩ Dom (h) = Φ. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: (a) Conmutatividad: f +g =g+f

y

f ·g =g·f ,

en D1 .

187

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(b) Asociatividad: f + (g + h) = (f + g) + h ,

en D2

y f · (g · h) = (f · g) · h ,

en D2

(c) Distributividad: f · (g + h) = (f · g) + (f · h) ,

en D2

(d) Neutro Aditivo: La función Nula O (x) = 0, para todo x ∈ R, actúa como el neutro para la suma de funciones; es decir:

f +O =O+f =f ,

en Dom (f) .

(e) Inverso Aditivo: Si consideramos la función −f , con Dom (−f) = Dom (f), dada por (−f ) (x) = −f (x), entonces −f es el inverso aditivo de f ; es decir: −f + f = f + (−f) = O . (f ) Neutro Multiplicativo: La función Identicamente 1, 1 (x) = 1, para todo x ∈ R, actúa como el neutro para el producto de funciones; es decir: f ·1=1·f =f ,

en Dom (f) .

Demostración. Como las operaciones son definidas puntualmente, es fácil demostrar estas propiedades. A modo de ejemplo sólo probaremos (a). Para esto, basta ver que: (f + g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f ) (x) , para todo x ∈ D1 .

Análogamente para f · g = g · f . Es usual escribir la función nula simplemente como 0, sin mayores comentarios ni com-

plicaciones, pero debe entenderse que no es el número real cero, sino que es la función que a cada x le asigna el 0. Análogamente, para la función identicamente 1, escribimos simplemente 1 sin olvidar que se trata de la función que a cada x le asigna el 1.

188

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4.4.

Ejercicios

Para cada par de funciones, hallar un dominio común donde definir f + g, f · g y

f g

e

indicar una fórmula para cada una de éstas. √ 1. f (x) = x2 + 2 y g (x) = − x + 2. 2. f (x) = 3 +

√ √ x + 2 y g (x) = 3 − 4 − x2 .

3. f (x) =

√ √ 4 − x2 y g (x) = 3 − x − 2.

4. f (x) =

2x − 1 y g (x) = 5 − 4x − x2 . x+3

5. f (x) = 3 +

4.5.

√ x2 + 2 x + 2 y g (x) = 2 . x −2

Composición y Funciones Invertibles

La idea general de la composición de funciones es que si tenemos dos funciones reales g : A −→ B y f : B −→ D, ¿cómo y bajo qué condiciones podríamos definir una función h : A −→ D utilizando las dos anteriores? Esto lo resuelve la siguiente definición.

Definición 21 (Función Compuesta) Sean g y f dos funciones reales tales que el recorrido de g está incluído en el dominio de f, Rec(g) ⊆ Dom (f). Entonces podemos definir la

Función Compuesta de f y g, que denotamos por f ◦ g, y está dada por la fórmula: (f ◦ g) (x) = f (g (x)) , para x ∈ Dom (g).

189

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Notar que según nuestra definición, tenemos que (f ◦ g) : Dom (g) →Rec(f) √ x y g (x) = x − 2. Verificaremos si están o no definidas x+1 las funciones compuestas: f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f y g ◦ g. Ejemplo 108 Sean f (x) =

Primero determinaremos el dominio y el recorrido de cada función. Es evidente que

Dom (f) = R − {−1}. Para el recorrido de f, tenemos: y=

x x+1

xy + y = x x (y − 1) = −y y x= , 1−y por lo que Rec(f) = R − {1}.

Para g, debemos tener x − 2 ≥ 0, por lo que Dom (g) = [2, +∞). Para el recorrido, lo

primero que observamos es que

y=

√ x − 2 ≥ 0,

es decir, ya sabemos que y ≥ 0. Además: y=

√ x−2

y2 = x − 2

x = y2 + 2 ,

por lo que y ∈ R. Así, y ≥ 0 ∧ y ∈ R. Por lo tanto Rec(g) = [0, +∞). Para f ◦ g, tenemos:

Rec (g) = [0, +∞) ⊂ Dom (f ) = R − {−1} . Luego f ◦ g si está definida y (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f √ x−2 = √ . x−2+1


√  x−2

Para g ◦ f , tenemos: Rec (f) = R − {1}  Dom (g) = [2, +∞) . 190

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Entonces esta compuesta g ◦ f, no está definida. Para f ◦ f, tenemos:

Rec (f ) = R − {1}  Dom (f) = R − {−1} , por lo que f ◦ f no está definida. Para g ◦ g, tenemos:

Rec (g) = [0, +∞)  Dom (g) = [2, +∞) , por lo que esta compuesta no está definida. √ x+1 y g (x) = − 1 − x2 . Verificaremos si están o no definidas x+2 las funciones compuestas: f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f y g ◦ g.

Ejemplo 109 Sean f (x) =

Como antes, primero determinaremos el dominio y el recorrido de cada función. Clara-

mente se tiene que Dom (f) = R − {−2}. Para el recorrido de f, tenemos: y=

x+1 x+2

xy + 2y = x + 1 xy − x = 1 − 2y 1 − 2y , x= y−1 por lo que y = 1; es decir, Rec(f) = R − {1}.

Para g, debemos tener 1 − x2 ≥ 0, es decir (1 + x) (1 − x) ≥ 0.

Luego

Por lo tanto, Dom (g) = [−1, 1]. Para el recorrido de g, lo primero que podemos observar es que

 y = − 1 − x2 ≤ 0 , 191

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es decir, ya sabemos que y ≤ 0. Además:

 y = − 1 − x2

y 2 = 1 − x2  x = ± 1 − y2 .

Vemos que debemos tener 1 − y2 ≥ 0, por lo que obtendremos que −1 ≤ y ≤ 1. Así, y ≤ 0 ∧ −1 ≤ y ≤ 1, por lo que Rec(g) = [−1, 0]. Para f ◦ g, tenemos:

Rec (g) = [−1, 0] ⊂ Dom (f) = R − {−2} , por lo que f ◦ g está definida y:

Para g ◦ f , tenemos:

   (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f − 1 − x2 √ − 1 − x2 + 1 = √ . − 1 − x2 + 2

Rec (f) = R − {1}  Dom (g) = [−1, 1] , por lo que g ◦ f no está definida. Para f ◦ f, tenemos:

Rec (f ) = R − {1}  Dom (f) = R − {−2} , por lo que f ◦ f no está definida. Para g ◦ g, tenemos:

Rec (g) = [−1, 0] ⊂ Dom (g) = [−1, 1] , por lo que g ◦ g está definida y:

   √  2 (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g − 1 − x = − 1 − (1 − x2 ) = − x2 = − |x| .

Es fácil darse cuenta que la composición de funciones no es una operación conmutativa. Por ejemplo si consideramos las funciones f (x) = x2 y g (x) = 1 − x, tendremos, en los

dominios correspondientes:

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (1 − x) = (1 − x)2 = 1 − 2x + x2 . 192

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Mientras que:


 (g ◦ f) (x) = g (f (x)) = g x2 = 1 − x2 .

Por lo tanto f ◦ g = g ◦ f.

Teorema 52 Sean f y g dos funciones reales tales que f ◦ g está definida. Entonces: (a) Dom (f ◦ g) ⊆ Dom (g). (b) Rec(f ◦ g) ⊆ Rec(f ).

Teorema 53 Sean f , g,h funciones reales tales que (f ◦ g) ◦ h y f ◦ (g ◦ h) están definidas. Entonces se cumple la propiedad asociativa; es decir:

(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) . Observación 101 Debido al teorema anterior, escribimos esa composición como f ◦ g ◦ h,

es decir,

f ◦ g ◦ h = (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) . Observación 102 Para poder definir la composición f ◦ g, para f y g funciones reales,

hemos señalado que se debe satisfacer la condición Rec(g) ⊆ Dom (f). Sin embargo tal

condición puede ser relajada"si B = Rec(g) ∩ Dom (f ) = Φ. En tal caso, podemos definir

f ◦ g en A = g −1 (B). Esto quiere decir que, simplemente tomamos como dominio de la compuesta el conjunto formado por los elementos de Dom (g) cuyas imagenes están en Dom (f); es decir, tomamos Dom (f ◦ g) = {x ∈ Dom (g) / g (x) ∈ Dom (f)} . Por lo que se está cumpliendo solamente la inclusión en el Teorema 2 a) anterior, es decir, Dom(f ◦ g) ⊂ Dom(g). Ejemplo 110 Sean f (x) =

√ x+1 1 − x2 y g (x) = . Podemos ver fácilmente que x+2

Dom (f ) = [−1, 1] ; Rec (f) = [0, 1] Dom (g) = R − {−2} ; Rec (g) = R − {1} .

193

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Vemos que Rec (g) = R − {1}  Dom (f ) = [−1, 1]. Pero podemos definir A = {x ∈ Dom (g) / g (x) ∈ Dom (f )} = {x ∈ R − {−2} / g (x) ∈ [−1, 1]}   x+1 ∈ [−1, 1] = x ∈ R − {−2} / x+2 es decir, para x = −2, debemos tener que −1 ≤

x+1 ≤1 , x+2

que equivale a resolver las inecuaciones x+1 x+1 ∧ ≤1 x+2 x+2 2x + 3 −1 0≤ ∧ ≤0 . x+2 x+2

−1 ≤

Por lo tanto

Por lo que

Luego

  3 S1 = (−∞, −2) ∪ − , +∞ y S2 = (−2, +∞) 2   3 S = S1 ∩ S2 = − , +∞ 2

  Así, podemos definir f ◦ g : − 23 , +∞ −→ R, donde 

x+1 x+2







x+1 x+2

2

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f = 1−  √ x2 + 4x + 4 − x2 − 2x − 1 2x + 3 = . = 2 |x + 2| (x + 2)

194

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Es interesante notar que la composición de funciones tiene la propiedad de distribución (por la derecha) respecto a las operaciones del álgebra de funciones. Específicamente tenemos el siguiente teorema. Teorema 54 (Composición y álgebra de Funciones) Sean f , g, h funciones reales f están definidas. Entonces se cumple que: tales que f ◦ g, f ◦ h, f ± g, f · g, g (i) (f ± g) ◦ h = (f ◦ h) ± (g ◦ h) . (ii) (f  · g)  ◦ h = (f ◦ h) · (g ◦ h) . f f ◦h (iii) ◦h= , siempre que g ◦ h no se anule. g g◦h Demostración. Sólo probaremos (ii): [(f · g) ◦ h] (x) = (f · g) (h (x)) = f (h (x)) · g (h (x)) = (f ◦ h) (x) · (g ◦ h) (x) = [((f ◦ h)) · (g ◦ h)] (x) Una composición interesante, ya que induce a pensar en el concepto de inversa de una función, es aquella que se realiza con la función identidad. Sea I : R −→ R, la función

identidad, I (x) = x, para todo x ∈ R. Entonces, si f es una función real, restringiendo el dominio y/o el recorrido de I si fuese necesario, tenemos:

(f ◦ I) (x) = f (I (x)) = f (x) , (I ◦ f ) (x) = I (f (x)) = f (x) . Es decir, la función identidad actúa como el "neutro"para la composición de funciones. Debido a lo anterior, resulta natural preguntarse, para una función dada f ¿podemos hallar su inversa respecto a la composición? Es decir ¿podemos hallar una función g, tal que f ◦ g = I y g ◦ f = I? En general, esto no vale para cualquier función. Por ello tenemos

la siguiente definición.

Definición 22 (Función Invertible) Sea f : A −→ B una función real. Se dice que f es invertible si existe una función g : B −→ A, tal que f ◦ g = IB

(Identidad en B),

g ◦ f = IA

(Identidad en A). 195

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En esta definición, la función g es llamada la Inversa de f y la denotamos por f −1 = g. Así, decir que f : A −→ B es una función invertible, significa que existe una función f −1 : B −→ A, tal que

(i) f ◦ f −1 = IB , esto es:

 f ◦ f −1 (x) = f f −1 (x) = x ,

para todo x ∈ B.


−1  f ◦ f (x) = f −1 (f (x)) = x ,

para todo x ∈ A.

(ii) f −1 ◦ f = IA , es decir:

De acuerdo a nuestra definición, tenemos que si f es una función invertible, entonces, en los dominios apropiados, se cumple que: y = f −1 (x)

si, y s´ olo si,

f (y) = x.

Ejemplo 111 Sea f : R −→ R, dada por f (x) = 3x − 2. Entonces, su inversa es f −1 :

R −→ R, con f −1 (x) = 31 x + 32 . En efecto, notemos que en este caso A = B = R, y    

−1  2 1 2 1 −1 x+ =3 x+ −2=x+2−2=x , f ◦f (x) = f f (x) = f 3 3 3 3 para todo x ∈ R. Por lo tanto f ◦ f −1 = I en R. Por otra parte,


−1  1 2 2 2 f ◦ f (x) = f −1 (f (x)) = f −1 (3x − 2) = (3x − 2) + = x − + = x , 3 3 3 3

para todo x ∈ R. Por lo tanto f −1 ◦ f = I en R.

1 Ejemplo 112 Si f : R − {0} −→ R − {0}, es la función dada por f (x) = . Entonces x 1 f −1 : R − {0} −→ R − {0}, con f −1 (x) = . En efecto, notar que en este caso se tiene x −1 que f = f , de hecho A = B = R − {0} y  

−1  1 −1 =x , f ◦f (x) = f ◦ f (x) = (f ◦ f) (x) = f (f (x)) = f x

para todo x = 0. Por lo tanto, f ◦ f −1 = I en R − {0}. Así, f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = I en R − {0}.

196

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Ejemplo 113 Sea f : [3, +∞) −→ [0, +∞), dada por f (x) =

√ x − 3. Entonces f −1 :

[0, +∞) −→ [3, +∞), con f −1 (x) = x2 + 3. En efecto, ahora tenemos que A = [3, +∞) y B = [0, +∞), y √


  f ◦ f −1 (x) = f f −1 (x) = f x2 + 3 = (x2 + 3) − 3 = x2 = |x| = x,

para todo x ≥ 0. Por lo tanto f ◦ f −1 = I en [0, +∞).

Por otra parte, 
√ 2
−1 
√ x − 3 + 3 = x − 3 + 3 = x, f ◦ f (x) = f −1 (f (x)) = f −1 x − 3 =

para todo x ≥ 3. Por lo tanto f −1 ◦ f = I en [3, +∞).

Observación 103 Debe quedar claro que cuando se habla de una función invertible o de la inversa de una función, se está haciendo en referencia a la composición de funciones. Por lo tanto, si f es una función invertible y f −1 su inversa, esta última es una notación que no debemos confundirla con otras similares. Observación 104 Notar que si f es una función invertible, con inversa f −1 , entonces esta
−1 = f, por última también es invertible, es decir, f −1 es invertible y su inversa es f −1 definición.

Corolario 55 Toda función invertible tiene una única inversa. Demostración. Sea f : A −→ B una función real invertible y supongamos que f −1 :

B −→ A y h : B −→ A son dos inversas de f. Entonces tenemos que
 h = h ◦ I = h ◦ f ◦ f −1 = (h ◦ f) ◦ f −1 = I ◦ f −1 = f −1 .

Para establecer una condición bajo la cual una función es invertible, necesitamos el concepto de función Biyectiva, A continuación definimos este concepto y damos algunos ejemplos y observaciones al respecto. Definición 23 Sea f : A −→ B una función real. Definimos:

(a) Función Inyectiva: Diremos que f es una función Inyectiva si, y sólo si, a cada

imagen bajo f le corresponde una única preimagen. Es decir, f es inyectiva si, y sólo si, para x1 , x2 ∈ Dom (f ) = A, se cumple que f (x1 ) = f (x2 )

=⇒

x1 = x2 ,

197

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es decir, si son iguales las imagenes de dos elementos del dominio, entonces estos elementos tienen que ser iguales. Notar que lo anterior equivale a x1 = x2

=⇒

f (x1 ) = f (x2 ) ,

(b) Función Sobreyectiva: Diremos que f es una función Sobreyectiva si, y sólo si, el recorrido de f es todo B. Es decir, f es sobreyectiva si, y sólo si, se cumple que Rec (f) = f (A) = B. (c) Función Biyectiva: Diremos que f es una función Biyectiva si, y sólo si, ella es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Cuando nos referimos a la inyectividad de una función, es usual hablar de función uno a uno, lo que muchas veces lo abreviamos escribiendo 1-1. Para el caso de una función sobreyectiva, usualmente se habla simplemente de función sobre. x . Para determinar x−2 si f es o no biyectiva, debemos verificar si ella es o no inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo 114 Sea f : R − {2} −→ R, la función dada por f (x) = Para la inyectividad: f (x1 ) = f (x2 )

⇒

x2 x1 = x1 − 2 x2 − 2

⇒

x1 x2 − 2x1 = x1 x2 − 2x2

⇒

−2x1 = −2x2

⇒

x1 = x2 ,

por lo tanto f es inyectiva. Para la sobreyectividad: y = f (x)

⇒

y=

x x−2

⇒

xy − 2y = x

⇒

xy − x = 2y

⇒

x=

2y , y−1

de donde y = 1, es decir Rec(f) = R − {1}. Por lo que f no es sobreyectiva. 198

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Ejemplo 115 Sea f : [−1, +∞) −→ (−∞, 1], dada por f (x) = 1 −

√ x + 1. Determinar si

f es o no biyectiva

Debemos determinar si f es o no inyectiva y sobreyectiva: Para la inyectividad: f (x1 ) = f (x2 )

⇒ ⇒

√ √ x1 + 1 = 1 − x2 + 1 √ √ − x1 + 1 = − x2 + 1

1−

⇒

x1 + 1 = x2 + 1

⇒

x1 = x2 ,

por lo que f es inyectiva. Para la sobreyectividad: Notar que y = f (x) = 1 −

que, al menos, y ≤ 1. Además:

y = f (x)

√ x + 1 ≤ 1. Por lo que ya sabemos

⇒

√ x+1 √ y−1 = − x+1

⇒

(y − 1)2 = x + 1

⇒

x = (y − 1)2 − 1

⇒

x = y 2 − 2y,

⇒

y =1−

de donde vemos que y ∈ R. Así, y ≤ 1 ∧ y ∈ R. Luego y ≤ 1; es decir Rec(f) = (−∞, 1].

Entonces, f es sobreyectiva. Por lo tanto f es una función biyectiva.

Teorema 56 Una función f : A −→ B es invertible sí, y sólo sí, ella es biyectiva. Ejemplo 116 La función f : R − {2} −→ R, dada por f (x) = que no es sobreyectiva, por lo que no es invertible.

x , no es biyectiva, ya x−2

Ejemplo 117 La función f : [−1, +∞) −→ (−∞, 1], dada por f (x) = 1 −

√ x + 1, es

biyectiva, y así es invertible; esto es, existe f −1 : (−∞, 1] −→ [−1, +∞). Para hallar una fórmula para f −1 (x), recordar que

y = f −1 (x)

⇐⇒

x = f (y) .

199

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Por lo tanto: x = f (y) = 1 −

√ y+1

Es decir

⇒

√ x−1 = − y+1

⇒

(x − 1)2 = y + 1

⇒

y = (x − 1)2 − 1

⇒

y = x2 − 2x.

f −1 (x) = x2 − 2x. Notar que el cálculo realizado para hallar f −1 (x) apareció cuando estabamos determinando el recorrido de f, pero con las variables invertidas. Es interesante notar que si f : A −→ B es una función la cual no es sobreyectiva,

entonces podemos redefinirla de modo que sí lo sea. Para esto, basta definirla de A en su recorrido. Es decir, basta definir f : A −→ Rec (f) , con lo que la hemos forzado a ser sobreyectiva. Un caso particular de lo anterior, lo tenemos si la función f es inyectiva pero no sobreyectiva. Es decir, no es biyectiva, pero al redefinirla como f : A −→ Rec(f), la hacemos

automáticamente biyectiva. De esta fórma, f −1 existe y f −1 : Rec(f ) −→ A. Lo anterior

quiere decir que para que una función sea invertible, podemos considerar suficiente el que sea inyectiva, ya que la podemos obligar a ser sobreyectiva sin alterarla en lo esencial. Ahora, si la función f : A −→ B no es inyectiva, podemos redefinirla restringiendo el

dominio. Para ésto, si se tiene que

f (x1 ) = f (x2 ) , con x1 = x2 , entonces podríamos quitar del dominio el valor x2 (o bien el valor x1 ). Esto

quedará claro cuando veamos el caso de una función cuadrática. Lamentablemente esto puede no ser tan simple como en el caso de la no sobreyectividad. x , no es x−2 invertible, ya que no es sobreyectiva, aunque si es inyectiva. Luego, en este caso podemos

Ejemplo 118 Ya vimos que la función f : R − {2} −→ R, dada por f (x) =

redefinir esta función como se indicó antes. Ya que Rec(f ) = R−{1}, redefinimos haciendo: f : R − {2} −→ R − {1} , con f (x) =

x . x−2

200

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De esta forma f es biyectiva, por lo que es invertible. Para hallar la inversa, recordar que y = f −1 (x)

⇐⇒

x = f (y) .

Así, tenemos: x = f (y) = xy − 2x = y

y y−2

xy − y = 2x 2x y= . x−1

Por lo tanto, f −1 : R − {1} −→ R − {2}, con

f −1 (x) =

2x . x−1

Como antes, notamos que el cálculo hecho para hallar la inversa apareció de hecho al determinar el recorrido de la función, pero con las variables intercambiadas. √ Ejemplo 119 Sea f : [3, +∞) −→ R, la función dada por f (x) = 2 + x − 3. Determinar si f es o no invertible. En caso de no serlo, verificar si es posible redefinirla de modo que lo sea. En cualquier caso, hallar f −1 . Para la inyectividad: f (x1 ) = f (x2 )

⇒

2+

⇒

√ √ x1 − 3 = 2 + x2 − 3 √ √ x1 − 3 = x2 − 3

⇒

x1 − 3 = x2 − 3

⇒

x1 = x2 ,

por lo que f es inyectiva. Para la sobreyectividad: Lo primero que podemos notar, claramente, es que y = f (x) = √ 2 + x − 3 ≥ 2, por lo que y ≥ 2. Además √ √ y = f (x) = 2 + x − 3 ⇒ y−2= x−3 ⇒

(y − 2)2 = x − 3

⇒

x = (y − 2)2 + 3

⇒

x = y 2 − 4y + 7,

201

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por lo que y ∈ R. Así, y ≥ 2

∧ y ∈ R. Es decir y ≥ 2. Por lo tanto Rec(f) = [2, +∞).

En consecuencia, f no es sobreyectiva.

Vemos entonces que f definida como está no es invertible, pues no es biyectiva (no es sobreyectiva). Redefiniéndola como f : [3, +∞) −→ [2, +∞) , con f (x) = 2 +

√ x − 3,

resulta ser invertible y su inversa es f −1 : [2, +∞) −→ [3, +∞) , con f −1 (x) = x2 − 4x + 7. Ejemplo 120 Consideremos la función f : R −→ R, dada por f (x) = x2 − 1. Veremos que

esta función no es inyectiva ni sobreyectiva. Para la inyectividad: f (x1 ) = f (x2 )

⇒

x21 − 1 = x22 − 1

⇒

x21 = x22

⇒

|x1 | = |x2 | ,

vemos entonces que dos reales que difieren sólo en el signo tienen la misma imagen. Por ejemplo, si x1 = −1 y x2 = 1, tenemos que x1 = x2 , pero f (x1 ) = f (−1) = 0 = f (1) = f (x2 ) . En consecuencia, la función f no es inyectiva. Para la sobreyectividad: Notamos que y = f (x) = x2 − 1 = −1 + x2 ≥ −1, es decir,

y ≥ −1. Además

y = f (x) = x2 − 1

⇒ ⇒

y + 1 = x2 √ x=± y+1 ,

de donde y + 1 ≥ 0, es decir y ≥ −1. Por lo tanto Rec(f ) = [−1, +∞). Así, la función no

es sobreyectiva.

Resulta simple redefinir la función para que ella sea sobreyectiva. Para poder redefinirla de modo que sea inyectiva, podemos examinar el gráfico de esta función para ver la mejor forma de decidir su redefinición. De los cálculos anteriores observamos que tenemos x2 = y + 1, 202

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es decir, tenemos una parábola con vértice V (0, −1), la cual se abre hacia arriba:

Por lo tanto, podemos redefinir esta función de dos formas diferentes. Primer caso: Redefinimos f como f : (−∞, 0] −→ [−1, +∞) , con f (x) = x2 − 1. Así, f es invertible y su inversa es √ f −1 : [−1, +∞) −→ (−∞, 0] , con f −1 (x) = − x + 1. Notar que esto significa que nos hemos quedado sólo con la rama izquierda de la parábola

Segundo caso: Redefinimos f como f : [0, +∞) −→ [−1, +∞) , con f (x) = x2 − 1. Así, f es invertible y su inversa es f −1 : [−1, +∞) −→ [0, +∞) , con f −1 (x) =

√ x + 1.

Notar que esto significa que nos hemos quedado sólo con la rama derecha de la parábola

203

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Observación 105 Si tenemos una función f invertible y conocemos su gráfico, entonces podemos graficar fácilmente su inversa, ya que el gráfico de f −1 será el reflejo simétrico del grafico de f respecto a la recta y = x. Ejemplo 121 Para f : (−∞, 0] −→ [−1, +∞) , con f (x) = x2 − 1, sabemos que √ f −1 : [−1, +∞) −→ (−∞, 0] , con f −1 (x) = − x + 1. Los gráficos de f y de f −1 son,

respectivamente:

Ejemplo 122 En el caso de f : [0, +∞) −→ [−1, +∞) , con f (x) = x2 − 1, tenemos que √ f −1 : [−1, +∞) −→ [0, +∞) , con f −1 (x) = x + 1, y sus gráficos son:

Observación 106 Es fácil ver que una función real es inyectiva si, y sólo si, cualquier 204

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recta paralela al eje X intersecta el gráfico de tal función en, a lo más, un punto. Consecuentemente, las funciones cuadráticas (sin restringuir) no son inyectivas

Finalizamos esta sección con un corolario que puede ser fácilmente probado usando la unicidad de la función inversa. Corolario 57 Sean f y g dos funciones invertibles tales que f ◦ g está definida. Entonces

f ◦ g es invertible y se cumple que su inversa es

(f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .

4.6.

Ejercicios

1. Para las siguientes funciones, hallar dominio, recorrido y verificar si existen las composiciones f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g, redefinir si fuese necesario. x+1 2x − 1 , g (x) = . (a) f (x) = x+3 x−2 (b) f (x) = 3 +

√ x+2

(c) f (x) = 1 +

, g (x) = 2 −

√ x − 2.

√ √ 5 − 4x − x2 , g (x) = 1 − 5 − 4x − x2

2. Para las siguientes funciones, hallar dominio, recorrido y verificar si son invertibles o no. En caso de no ser invertibles, redefinir para que lo sea, hallar f −1 y graficar f y f −1 . (a) f (x) = x2 + 2. (c) f (x) = 3 + (e) f (x) =

√ x + 2.

√ 4 − x2 .

(g) f (x) = 1 +

√ 5 − 4x − x2 .

√ (b) f (x) = − x + 2. (d) f (x) = 3 −

√ x − 2.

(f) f (x) = 3 −

√ 4 − x2 .

(h) f (x) = 1 −

√ 5 − 4x − x2 .

205

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4.7.

Algunas Propiedades de Simetría

En esta sección definiremos lo que es una función par y lo que es una función impar. Además daremos sus propiedades geométricas de simetría según su paridad. Es importante observar, como lo señalaremos, que las funciones no se dividen en funciones par y funciones impar, ya que existen algunas que no son ni par ni impar. Más aún, existe una función que es par e impar a la vez. Un buen ejercicios para el lector es determinar esa función antes que se la indíquen. Definición 24 Sea f una función real cuyo dominio es simétrico respecto al origen; es decir, x ∈ Dom (f ) sí, y sólo sí, −x ∈ Dom (f).

(a) Función Par: Decimos que f es una función par si se cumple que f (−x) = f (x) ,

para todo x ∈ Dom (f) .

(b) Función Impar: Decimos que f es una función impar si se cumple que f (−x) = −f (x) ,

para todo x ∈ Dom (f) .

Ejemplo 123 Toda función constante es una función par. En efecto, si f (x) = c, para todo x ∈ R, entonces es claro que f (−x) = c = f (x) ,

para todo x ∈ R .

Ejemplo 124 La función identidad es una función impar, ya que si I (x) = x, para x ∈ R, entonces

I (−x) = −x = −I (x) ,

para cada x ∈ R .

Ejemplo 125 La función cuadrática f (x) = x2 , para x ∈ R, es una función par. En efecto f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x) ,

para cada x ∈ R.

Ejemplo 126 La función cúbica f (x) = x3 , para x ∈ R, es una función impar. En efecto f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x) ,

para cada x ∈ R.

Ejemplo 127 De álgebra, sabemos que la función coseno es una función par. En efecto, por trigonometría sabemos que si f (x) = cos x, para x ∈ R, entonces f (−x) = cos (−x) = cos x = f (x) ,

para cada x ∈ R.

206

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Ejemplo 128 De álgebra, sabemos que la función seno es una función impar. En efecto, por trigonometría sabemos que si f (x) = sin x, para x ∈ R, entonces f (−x) = sin (−x) = − sin x = −f (x) ,

para cada x ∈ R.

Ejemplo 129 Analizar la paridad de la función f : R −→ R, dada por f (x) =

x − x3 . x2 + 1


 − x − x3 −x − (−x)3 −x + x3 x − x3 f (−x) = = = − = −f (x) , = 2 2 x +1 x2 + 1 x2 + 1 (−x) + 1 para cada x ∈ R. Por lo tanto, la función es una función impar. Ejemplo 130 Analizar la paridad de la función dada por f (x) = 2 − 3x4 − x sin x, para x ∈ R.

f (−x) = 2 − 3 (−x)4 − (−x) sin (−x) = 2 − 3x4 + x sin (−x) = 2 − 3x4 − x sin x = f (x) , para cada x ∈ R. Por lo tanto, la función es una función par. Ejemplo 131 Analizar la paridad de la función dada por f (x) = 1 + para x ∈ R− {0}. f (−x) = 1 +

3 − x2 , definida x3

3 3 3 2 2 2 3 − (−x) = 1 + −x3 − x = 1 − x3 − x , (−x)

para cada x ∈ R− {0}. Vemos que, en este caso, la función no es par ni impar, ya que f (−x) = 1 − y f (−x) = 1 −

3 − x2 = f (x) x3

3 − x2 = −f (x) . x3

Según los ejemplos, vemos que existen funciones que son función par y existen las que son función impar, pero además, existen las que no son ni función par ni función impar. Sin embargo cualquier función cuyo dominio es simétrico respecto al origen puede ser escrita como la suma de una función par y una función impar. Para esto, supongamos que f es una función cuyo dominio es simétrico respecto al origen. Definamos las funciones fp y fi por 1 (f (x) + f (−x)) , 2 1 fi (x) = (f (x) − f (−x)) . 2

fp (x) =

207

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con Dom (fp ) = Dom (fi ) = Dom (f ). Entonces es fácil verificar que fp es una función par y que fi es una función impar, y además f = fp + fi . 3 − x2 , definida para x ∈ R− {0}, x3 como la suma de una función par más una función impar. Ejemplo 132 Escribir la función dada por f (x) = 1 +

Debemos hallar las funciones fp y fi mencionadas anteriormente.      1 1 3 3 1 2 2 fp (x) = [f (x) + f (−x)] = 1− 3 −x + 1+ 3 −x = 2 − 2x2 = 1−x2 . 2 2 x x 2     1 1 3 3 1 6 3 fi (x) = [f (x) − f (−x)] = 1 − 3 − x2 − 1 + 3 − x2 =− 3 =− 3 , 2 2 x x 2x x y claramente f = fp + fi . En el ejemplo vemos que escribir la función f como la suma de una función par y una función impar significa simplemente separarla en las partes correspondientes de ella; es decir, podemos identificar la parte par y la parte impar de la función y esas serán las funciones fp y fi . Los siguientes teoremas son muy simples de demostrar a partir de las definiciones que hemos dado. Teorema 58 Sean f y g dos funciones reales y sea λ ∈ R. En los dominios donde están definidas las operaciones que se indican, se cumple que:

(i) Si f y g son funciones par, entonces también son funciones par: f ± g, f · g,

f g,

λf y

f ± λ.

(ii) Si f y g son funciones impar, entonces también son funciones impar: f ± g y λf, mientras que f · g y

f g

son funciones par.

(iii) Si f es una función par y g es una función impar, entonces son impar las funciones: f · g,

f g

y

g f,

mientras que la función f ± g no es p ar ni impar.

Demostración. A modo de ejemplo, sólo probaremos la primera parte de (ii). Por hipótesis tenemos que f (−x) = −f (x) y g (−x) = −g (x). Luego (f + g) (−x) = f (−x) + g (−x) = −f (x) − g (x) = − (f (x) + g (x)) = − (f + g) (x) , por lo que f + g es una función impar. 208

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Teorema 59 Sean f y g dos funciones reales tales que f ◦ g está definida. (i) Si g es una función par, entonces f ◦ g es una función par. (ii) Si f es una función par y g es una función par o bien una función impar, entonces f ◦ g es una función par. (iii) Si f y g son funciones impar, entonces f ◦ g es una función impar. Demostración. A modo de ejemplo, sólo probaremos (iii). Por hipótesis tenemos que f (−x) = −f (x) y g (−x) = −g (x) . Luego (f ◦ g) (−x) = f (g (−x)) = f (−g (x)) = −f (g (x)) = − (f ◦ g) (x) , por lo que f ◦ g es una función impar. Una interesante propiedad de las funciones par y de las funciones impar, son de tipo geométrico y su comportamiento de simetría. Para ver esto, supongamos que f es una función par. Entonces, f (−x) = f (x) , para todo x ∈ Dom (f) , lo que quiere decir que los puntos (x, f (x)) y (−x, f (x)), para x ∈ Dom (f), pertenecen al

gráfico de f simultáneamente. Es decir, si el punto (x, f (x)) pertenece a la curva, entonces

también pertenece a ella el punto (−x, f (x)) y viceversa. Así la curva y = f (x) es simétrica respecto al eje Y , esto es, para cada punto de la curva su simétrico respecto al eje Y también es un punto de la curva.

Supongamos ahora que f es una función impar. Entonces f (−x) = −f (x) , para todo x ∈ Dom (f) , lo que quiere decir que los puntos (x, f (x)) y (−x, − f (x)), para x ∈ Dom (f), pertenecen

al gráfico de f simultaneamente. Es decir, si el punto (x, f (x)) pertenece a la curva, entonces 209

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también pertenece a ella el punto (−x, − f (x)) y viceversa. Así la curva y = f (x) es

simétrica respecto al origen, lo que significa que para cada punto de la curva su simétrico respecto al origen también es un punto de la curva.

Al estudiar límites, continuidad y derivación de funciones reales, volveremos al estudio del gráfico de las funciones reales para determinarlo con mayor precisión.

4.8.

Ejercicios

1. En cada caso decidir si la función es par, impar o ninguna de las dos: √ (a) f (x) = x2 + 2. (b) f (x) = − x + 2. (c) f (x) = 3 + (e) f (x) =

√ x + 2.

√ 4 − x2 .

(g) f (x) = 1 +

√ 5 − 4x − x2 .

(d) f (x) = 3 −

√ x − 2.

(f) f (x) = 3 −

√ 4 − x2 .

(h) f (x) = 1 −

√ 5 − 4x − x2 .

2. En cada caso escribir la función dada como una suma de una función par y otra impar: 2x − 1 x+2 . (b) f (x) = . (a) f (x) = x+3 2x − 1 (c) f (x) = 3 +

4.9.

√ x+2

(d) f (x) =

x2 + 2 x2 − 2

Monotonía de una Función Real

En muchas circunstancias es importante saber o conocer el comportamiento de una función, en especial en lo que se refiere a su gráfica. A continuación, definiremos el concepto de monotonía de una función.

210

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Definición 25 Sea f una función real definida en un intervalo abierto I ⊂ R.

(a) Función Creciente: Diremos que f es una función creciente en I si se cumple que

para todo x1 , x2 ∈ I, con x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) ≤ f (x2 ) .

Observación 107 Diremos que f es estrictamente creciente en I si vale la desigualdad estricta f (x1 ) < f(x2 ). (b) Función Decreciente: Diremos que f es una función decreciente en I si se cumple que para todo x1 , x2 ∈ I, con x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) ≥ f (x2 ) .

Observación 108 Diremos que f es estrictamente decreciente en I si vale la desigualdad estricta f (x1 ) > f(x2 ). (c) Función Monótona: Diremos que f es una función monótona en I si se cumple que ella es creciente en I, ó bien, si ella es decreciente en I. Ejemplo 133 Una función constante f (x) = c, para todo x ∈ R, no es creciente ni decreciente, cualquiera que sea el intervalo que se considere, pero ella no cambia de compor-

tamiento nunca. Es decir, es una función monótona en todo R, la cual no es ni creciente ni decreciente.

211

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x , definida para todo x ∈ R, con x = 1. Analicemos esta x−1 función en el intervalo (1, +∞). Ejemplo 134 Sea f (x) =

Sean x1 ,x2 ∈ (1, +∞), con x1 < x2 . Queremos verificar si f (x1 ) < f (x2 )

o bien

f (x1 ) > f (x2 ) .

A priori no sabemos cuál de estas desigualdades se cumple, por lo que asumiremos la primera y veremos que está ocurriendo en ese caso. x Notar que f (x) = > 0, para todo x ∈ (1, +∞), siendo, además, x1 , x2 > 1. x−1 Entonces: x1 x2 < f (x1 ) < f (x2 ) =⇒ x1 − 1 x2 − 1 x2 − 1 x1 − 1 =⇒ < x2 x1 1 1 =⇒ 1− −

1 x1

1 x1 x1 − 1 > x1 x2 > x2 − 1

>1−

f (x1 ) > f (x2 ) .

Por lo tanto, la función f es decreciente en (1, +∞). Así, f es monótona en (1, +∞), y podemos decir que es monótona decreciente.

212

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En realidad, se puede probar que esta función es monótona decreciente en todo su dominio R − {1}.

Ejemplo 135 Consideremos la función cuadrática f (x) = x2 . Sabemos que esta función no es monótona en R, ya que de hecho es monótona decreciente en (−∞, 0) y es monótona creciente en (0, +∞).

4.10.

Ejercicios

1. Analizar la monotonía de cada una de las siguientes funciones: 2x − 1 x+2 (a) f (x) = . (b) f (x) = . x+3 2x − 1 √ x2 + 2 (c) f (x) = 3 + x + 2 (d) f (x) = 2 x −2

2. Analizar la monotonía de cada una de las siguientes funciones: √ (a) f (x) = x2 + 2. (b) f (x) = − x + 2. √ √ (c) f (x) = 3 + x + 2. (d) f (x) = 3 − x − 2. √ √ (e) f (x) = 4 − x2 . (f) f (x) = 3 − 4 − x2 . √ √ (g) f (x) = 1 + 5 − 4x − x2 . (h) f (x) = 1 − 5 − 4x − x2 .

213

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4.11.

Una Aplicación a Modelos Simple

Tanto en matemática misma como en aplicaciones, es usual necesitar hacer un modelo matemático de alguna situación particular, y esta situación, en muchos casos, se modela por medio de una función. En esta sección, que no requiere de mayor desarrollo teórico, presentamos ejemplos de modelos en los que se utiliza la idea de función. Como no requeriremos desarrollo teórico, simplemente presentamos ejemplos de modelos simples. Ejemplo 136 Hallar una función que exprese la altura de un triángulo equilátero en función del lado.

Supongamos que el triángulo de la figura es un triángulo equilatero cuyos lados miden a. Sea h la altura. Sabemos que, en este caso, la altura nace en un vértice y cae exactamente en el punto medio del lado opuesto. De esta forma, podemos considerar el triángulo ∆ABC recto en A. Por Teorema de Pitágoras, tenemos que  a 2 a2 a2 3 = h2 + ⇒ h2 = a2 − = a2 , a2 = h2 + 2 4 4 4 y así, por ser h una longitud √ 3 h (a) = a. 2 Ejemplo 137 Una esfera tiene volumen conocido V . Escribir el diámetro de la esfera en función del volumen.

Recordando que el volumen de una esfera es V = 34 πr3 y que el diámetro es d = 2r, entonces tenemos que r = 2d , y luego 4 V = π 3

 3 d 4 d3 π = π = d3 , 2 3 8 6 214

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de donde d (V ) =

 3

6 V = π



6 V π

1/3

.

Ejemplo 138 Se está formando un montículo de arena en forma de cono circular recto, de modo que el radio de la base del cono es el doble de la altura de éste. Hallar el volumen del montículo de arena en función de la altura

Según lo señalado, tenemos que r = 2h, es decir, h = 21 r. Además, el volumen de un cono circular recto es

Luego

4.12.

1 V = πr2 h. 3 4 1 V (h) = π4h2 h = πh3 . 3 3

Ejercicios

1. Hallar una función que represente la suma de dos números cuyo producto es igual a p. 2. Hallar una función que represente el producto de dos números cuya suma es igual a s. 3. Expresar el área A de un triángulo equilátero en función del lado x. 4. Expresar el volumen de un cubo en función de la longitud de su diagonal. 5. Un rectángulo tiene un vértice en la parábola y = 16 − x2 . El vértice opuesto al anterior se encuentra en el origen. Exprese en área del rectángulo como función de x.

6. Se desea construir una canaleta horizontal con una plancha de 8 centimetros de ancho y L cm de largo, doblando verticalmente hacia arriba x centímetros iguales en ambos costados. Hallar una expresión para la capacidad de la canaleta en función de x. 215

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7. La altura y el diámetro de un cilindro son iguales. Se forma un cono dentro del cilindro de modo que su base coincide con el diámetro del cilíndo, y la altura del cono es la mitad de la del cilindro. Escribir el volumen del cono en función de la altura del cilindro. 8. En el ejercicio anterior, escribir el área del cono en función de la altura del cilindro. 9. Un cubo está inscrito en el interior de una esfera de radio a. Escribir el volumen del cubo en función del radio de la esfera.

216

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Capítulo 5

Límite y Continuidad de Funciones Reales El concepto de límite es quizás el más importante y más complicado del cálculo diferencial. Para abordar dicho concepto inicialmente daremos una definición informal, para de esta forma de manera intuitiva estudiar los procedimientos que giran en torno a la obtención del límite de una función (Cuando exista), y así mismo identificar auqellas funciones donde algunos límite no existen.

5.1.

Límite de una Función Real

En esta sección introduciremos el concepto de límite de una función real en un punto determinado. Podemos decir que la idea de límite de una función en un punto se puede entender, básicamente, como el análisis del comportamiento de la función en las proximidades de dicho punto. Esto quiere decir que si x0 ∈ R y f es una función, que puede o no

estar definida en x0 , entonces el límite de esta función en este punto, nos permite conocer

el comportamiento de las imágenes f (x) para puntos x que se encuentran suficientemente próximos de x0 . Definición 26 (Definición Informal) Sea f una función real y x0 ∈ R, tales que f está

definida en un intervalo que contiene a x0 , pero no necesariamente en el propio x0 . El límite

de f (x) es el valor hacia el cual tiende f (x) (al cual se aproxima f (x)) cuando x tiende a x0 (cuando x se aproxima a x0 ). 217

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Analicemos, intuitivamente, algunos ejemplos para ir comprendiendo mejor la idea de esta definición informal. Ejemplo 139 En el siguiente gráfico vemos como una función f tiende hacia el límite l cerca de un valor real a, ya que f(x) está tan cerca como queramos de l cuando x está suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a.

Ejemplo 140 Consideremos la función real dada por f (x) =

x2 − 4 , x−2

para x ∈ R, x = 2 .

Analicemos esta función para valores de x que se aproximan a x0 = 2. Notar que la función no está definida en el punto x0 = 2. Hacemos un par de tablas para ver los valores de la función cuando x se aproxima a 2, para x < 2 y para x > 2.

observamos que cuanto más próximo de 2 se encuentra x, más próximo de 4 se encuentra x2 − 4 x2 − 4 , es decir, intuitivamente podemos decir que: el límite de f (x) = , f (x) = x−2 x−2 218

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cuando x tiende a 2, es 4. Esto lo escribimos en la forma: x2 − 4 = 4. x→0 x − 2

l´ım f (x) = l´ım

x→2

Esto último, también se escribe como: f (x) = que se lee: f (x) = la forma:

x2 − 4 → 4 , cuando x → 2, x−2

x2 − 4 tiende a 4, cuando x tiende a 2, o también podemos escribirlo en x−2 x→2

=⇒

f (x) =

que se lee: si x tiende a 2, entonces f (x) =

x2 − 4 → 4, x−2

x2 − 4 tiende a 4. x−2

Ejemplo 141 Consideremos la función dada por f (x) =

sen x , x

para x ∈ R, x = 0 .

Analizaremos el comportamiento de esta función para valores de x que se aproximan a x0 = 0. Notar que esta función no está definida en el punto x0 = 0. Además, dado que f es una función par (cuociente de dos funciones impar), tenemos la siguiente tabla de valores:

Podemos observar que cuanto más próximo de 0 se encuentra x, más próximo de 1 se sen x encuentra f (x) = , es decir, intuitivamente podemos pensar que: el límite de f (x) = x sen x , cuando x tiende a 0, es 1. Esto lo escribimos, como antes, en la forma: x sen x = 1. l´ım f (x) = l´ım x→0 x→0 x 219

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Esto último, también se escribe como: sen x f (x) = → 1 , cuando x → 0, x sen x tiende a 1, cuando x tiende a 0, o también podemos escribirlo en que se lee: f (x) = x la forma: sen x x→0 =⇒ f (x) = → 1, x sen x que se lee: si x tiende a 0, entonces f (x) = tiende a 1. Con el siguiente gráfico x podemos apoyar el resultado anterior:

Observación 109 Al tomar x = ±0, 00001, la mayoría de las calculadoras científicas darán

el valor "1", pero esto es inexacto y se debe sólo a un problema de aproximación que realiza la calculadora. Ejemplo 142 Analicemos ahora la función f (x) = x2 − 2, definida en R, tomando el valor

x0 = 1. Notar que en este ejemplo la función está definida en x0 , de hecho f (1) = −1.

Como antes, nos aproximamos con x < 1 y x > 1, obteniendo las tablas siguientes:

220

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Vemos entonces que cuanto más próximo está x de 1, más próximo está f (x) = x2 − 2 de

−1. Así, intuitivamente podemos decir que


 l´ım f (x) = l´ım x2 − 2 = −1,

x→1

o, equivalentemente

x→1

f (x) = x2 − 2 → −1, cuando x → 1, o bien x→1

=⇒

f (x) = x2 − 2 → −1.

Procedemos ahora a dar una definición formal de límite de una función. Definición 27 (Definición Formal) Sea x0 ∈ R y f una función real definida en un

intervalo abierto que contiene a x0 , excepto, a lo más, en el propio x0 . Diremos que el límite de f (x), cuando x tiende a x0 existe, si existe l ∈ R, tal que, dado ε > 0, existe δ > 0, de modo que

|f (x) − l| < ε , cuando |x − x0 | < δ. En tal caso, escribimos l´ım f (x) = l .

x→x0

Si la definición no se satisface, decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a x0 no existe. De acuerdo a la definición anterior, tenemos que: l´ım f (x) = l

x→x0

si, y sólo si, dado ε > 0, existe δ > 0, de modo que |f (x) − l| < ε , cuando |x − x0 | < δ. 221

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Observación 110 Debemos tener claro que en la definición de límite tenemos que x tiende a x0 y f (x) tiende a l. Esto quiere decir que x = x0 , así como también f (x) = l. Observación 111 El número δ de la definición anterior depende de f, de x0 (naturalmente) y de ε. Así, en el caso más general, tenemos que δ = δ (f, x0 , ε), pero dado que la dependencia de f y x0 es obvia, decimos que δ = δ (ε) (δ depende de ε). Si analizamos la definición de límite, usando propiedades del valor absoluto, fácilmente vemos que tenemos una equivalencia entre las siguientes afirmaciones: |f (x) − l| < ε , cuando |x − x0 | < δ, −ε < f (x) − l < ε , cuando − δ < x − x0 < δ, l − ε < f (x) < l + ε , cuando x0 − δ < x < x0 + δ. En la última afirmación, la primera desigualdad nos dice que f (x) está en el intervalo con centro l y radio ε, mientras que la segunda nos dice que x está en un intervalo con centro x0 y radio δ.

Así, la definición de límite nos dice que cualquiera que sea el intervalo abierto con centro en l que tomemos, siempre es posible encontrar un intervalo abierto con centro en x0 , tal que las imágenes de éste último, estén dentro del primero, excepto, posiblemente, para el propio x0 . Dicho de otra forma, podemos hallar valores próximos a x0 tales que sus imágenes están tan cerca de l como deseemos:

222

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Nótese que el límite de una función, cuando existe, es un valor numérico, un número real. Observación 112 La definición de límite tiene cierta flexibilidad, en el sentido que podemos usar cualquiera de las siguientes expresiones para este concepto, ya que ellas son equivalentes: l´ım f (x) = l,

x→x0

o equivalentemente f (x) → l, cuando x → x0 , o equivalentemente x → x0

=⇒

f (x) → l.

Observación 113 Claramente la afirmación |f (x) − l| < ε , cuando |x − x0 | < δ, es equivalente a |x − x0 | < δ ,

=⇒

|f (x) − l| < ε .

Ejemplo 143 (Límite de una Constante) Sea f una función constante, f (x) = c, para todo x ∈ R, donde c ∈ R es fijo. Entonces, para cualquier x0 ∈ R, tenemos que l´ım f (x) = l´ım c = c.

x→x0

x→x0

En efecto. Sea ε > 0. Debemos hallar un δ > 0, tal que |x − x0 | < δ

=⇒

|f (x) − c| < ε .

Notar que, como f es la función constante, entonces tenemos que f (x) = c, para todo x ∈ R, luego

|f (x) − c| = |c − c| = 0.

Por lo tanto, podemos tomar cualquier δ > 0, por ejemplo δ = 1, y tendremos que, claramente: |x − x0 | < δ ,

=⇒

|f (x) − c| = 0 < ε .

Por lo tanto l´ım f (x) = l´ım c = c.

x→x0

x→x0

223

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En este caso, decimos, simplemente, que el límite de una costante es la propia constante.

Ejemplo 144 (Límite de la función Identidad) Consideremos la función identidad I (x) = x, para x ∈ R. Entonces, si x0 ∈ R, tenemos que l´ım I (x) = l´ım x = x0 .

x→x0

x→x0

En efecto, sea ε > 0. Debemos hallar un δ > 0, tal que |x − x0 | < δ

=⇒

|I (x) − x0 | = |x − x0 | < ε .

Pero |I (x) − x0 | = |x − x0 | , ya que I es la función identidad. Luego, basta tomar δ = ε y tenemos que |x − x0 | < δ

=⇒

|I (x) − x0 | = |x − x0 | < δ = ε.

Así, l´ım I (x) = l´ım x = x0 .

x→x0

x→x0

224

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Ejemplo 145 (Límite de la función Cuadrática) Consideremos la función cuadrática f (x) = x2 , para x ∈ R. Entonces, si x0 ∈ R, tenemos que l´ım f (x) = l´ım x2 = x20 .

x→x0

x→x0

En efecto. Sea ε > 0. Debemos hallar un δ > 0, tal que     |x − x0 | < δ =⇒ f (x) − x20  = x2 − x20  < ε .

Notar que

    f (x) − x20  = x2 − x20  = |x + x0 | |x − x0 | ≤ (|x| + |x0 |) |x − x0 | .

Como x −→ x0 , entonces x está tan próximo de x0 como se desee, por lo que podemos asumir que

|x| < |x0 | + 1.

Luego:

  f (x) − x20  ≤ (|x| + |x0 |) |x − x0 | < (2 |x0 | + 1) |x − x0 | . ε . Así, si Esto nos induce a tomar δ = 2 |x0 | + 1 ε |x − x0 | < δ = , 2 |x0 | + 1 entonces     f (x) − x20  = x2 − x20  < (2 |x0 | + 1) |x − x0 | < (2 |x0 | + 1)

Es decir

|x − x0 | < δ =

ε 2 |x0 | + 1

=⇒

ε = ε. 2 |x0 | + 1

    f (x) − x20  = x2 − x20  < ε

225

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Ejemplo 146 Probar que l´ım

x→−1

En este caso tenemos que


2  x + 3x + 4 = 2 .

f (x) = x2 + 3x + 4 ;

x0 = −1 ;

L=2 .

Sea ε > 0. Debemos hallar un δ > 0, tal que |x + 1| < δ Notemos que

=⇒


2    x + 3x + 4 − 2 < ε .


2      x + 3x + 4 − 2 = x2 + 3x + 2 = |x + 1| |x + 2| ,

y como x −→ −1, entonces tenemos que |x| < 2,

Luego |x + 2| ≤ |x| + 2 < 4 .

ε ε y tenemos que: si |x + 1| < δ = , entonces: 4 4 
2    x + 3x + 4 − 2 = |x + 1| |x + 2| < 4 |x + 1| < 4δ = ε .

Así, podemos tomar δ =

Por lo tanto

l´ım

x→−1


2  x + 3x + 4 = 2 .

Nuestro principal interés es poder calcular límites. Por tal razón, nuestros próximos resultados son de absoluta relevancia y nos entregan las herramientas necesarias para realizar el cálculo de límites. Corolario 60 (Unicidad del Límite) Si el límite de una función en un punto dado existe, entonces éste valor es único. Es decir, si l´ım f (x) = l1

x→x0

y

l´ım f (x) = l2 ,

x→x0

entonces l1 = l2 . 226

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Teorema 61 (Álgebra de Límites) Sean f y g dos funciones reales, I un intervalo abierto y x0 ∈ I. Supongamos que f y g están definidas en I, excepto, a lo más, en el propio x0 y que existen los límites que se indican

l´ım f (x) = A

y

x→x0

l´ım g (x) = B.

x→x0

Entonces (i) l´ım [f (x) ± g (x)] = A ± B. x→x0

(ii) l´ım [λf (x)] = λA, para todo λ ∈ R. x→x0

(iii) l´ım [f (x) g (x)] = AB. x→x0   f (x) A (iv) l´ım = , para B = 0. x→x0 g (x) B Demostración. Sólo probaremos la primera parte de (i). Sea ε > 0. Debemos hallar un δ > 0, tal que |x − x0 | < δ

=⇒

|(f (x) + g (x)) − (A + B)| < ε.

Notar que |(f (x) + g (x)) − (A + B)| = |(f (x) − A) + (g (x) − B)| ≤ |f (x) − A| + |g (x) − B| . Por hipótesis l´ım f (x) = A,

x→x0

por lo que sabemos que existe un δ 1 > 0, tal que |x − x0 | < δ 1

=⇒

ε |f (x) − A| < . 2

También por hipótesis l´ım g (x) = B,

x→x0

por lo que sabemos que existe un δ 2 > 0, tal que |x − x0 | < δ 2

=⇒

ε |g (x) − B| < . 2

Entonces, si tomamos δ = m´ın {δ1 , δ2 }, tenemos que si |x − x0 | < δ, entonces |x − x0 | < δ 1 y |x − x0 | < δ 2 . Así

|(f (x) + g (x)) − (A + B)| ≤ |f (x) − A| + |g (x) − B|
0. Debemos hallar δ > 0, tal que |x − x0 | < δ

|f (x) − l| < ε .

=⇒

Dado que l´ım g (x) = l, sabemos que existe un δ > 0, tal que x→x0

|x − x0 | < δ

|g (x) − l| < ε .

=⇒

Como x ∈ I y x = x0 , entonces f (x) = g (x). Luego |x − x0 | < δ

=⇒

|f (x) − l| = |g (x) − l| < ε .

Es decir l´ım f (x) = l = l´ım g (x) ,

x→x0

x→x0

como se quería demostrar. Este teorema, además del anterior, nos dice cómo podemos hallar el límite de una función f en un punto x0 . Para esto, buscamos una función g tal que en algún intervalo abierto (x0 − δ 0 , x0 + δ 0 ), coincide con f, excepto en el propio x0 y de modo que conozcamos el

límite de g en dicho punto. Así tendremos que

l´ım f (x) = l´ım g (x) .

x→x0

x→x0

229

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Ejemplo 150 Calcular el límite

x2 − 4 . x→2 x − 2 l´ım

Notemos que x2 −4 se puede escribir como (x−2)(x +2). Esto quiere decir que (x−2) es un

factor lineal común de la expresión, tanto en el numerador como en el denominador, luego como x tiende a 2, mas no lo es, podemos factorizar ambos términos ya que la expresión x − 2 es próxima a cero más no es igual a cero. En este caso, tenemos que, para x0 = 2: (x + 2) (x − 2) x2 − 4 = = x + 2. x−2 x−2 Esto significa que para x0 = 2 las funciones f (x) =

x2 − 4 x−2

y

g (x) = x + 2,

son iguales. Así, sus límites cuando x0 tiende a 2 coinciden. Por lo tanto: x2 − 4 = l´ım (x + 2) = 4 . x→2 x − 2 x→2 l´ım

Observación 116 Es importante, para el cálculo de límites, que si resulta, como en el ejemplo anterior, que la función se indetermina en x0 , pero el límite existe, entonces es muy posible que podamos eliminar esta indeterminación. En general, en el caso de funciones racionales, lo que se podrá hacer es factorizar de alguna forma tanto el numerador como el denominados (pues x0 será raíz de ambos) y esto permitirá eliminar tal indeterminación. Ejemplo 151 Calcular el límite x2 + x − 2 . x→1 x2 + 2x − 3 l´ım

Como en ejemplo anterior, tenemos que para x0 = 1, se anulan tanto el numerador como el denominador, por lo que podemos proceder como antes. En este caso, haciendo el arreglo directamente en el límite: (x + 2) (x − 1) x+2 3 x2 + x − 2 = l´ım = l´ım = . 2 x→1 x + 2x − 3 x→1 (x + 3) (x − 1) x→1 x + 3 4 l´ım

Ejemplo 152 Calcular el límite x3 + 4x2 + 4x . x→−2 x3 + 3x2 − 4 l´ım

230

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Como antes, tenemos:
 x x2 + 4x + 4 = l´ım = x→−2 (x + 2) (x2 + x − 2)

x3 + 4x2 + 4x l´ım x→−2 x3 + 3x2 − 4

= =

l´ım

x→−2

2 . 3

x (x + 2) = x2 + x − 2

l´ım

x→−2

x (x + 2)2 l´ım x→−2 (x + 2) (x2 + x − 2)

x (x + 2) = (x − 1) (x + 2)

l´ım

x→−2

x x−1

Ejemplo 153 Calcular el límite x2 − 2x . x→−2 x2 − 4x + 4 l´ım

Tenemos que:

x (x − 2) x x2 − 2x = l´ım = l´ım , 2 2 x→−2 (x − 2) x→−2 x − 2 x→−2 x − 4x + 4 l´ım

vemos que en este caso el límite no existe, ya que en la última expresión no podemos evitar que el denominador se anule, mientras que el numerador ya no se anula. Ejemplo 154 Calcular el límite l´ım

x→4

Tenemos que: 

4−x √ l´ım x→4 2 − x √ = l´ım (2 + x)

4−x √ = l´ım x→4 2 − x

x→4

4−x √ . 2− x

 √  √  2+ x (4 − x) (2 + x) √ · = l´ım x→4 4−x 2+ x = 4.

Ejemplo 155 Calcular el límite x3 − 2x + 3 . x→−3 x2 + 2 l´ım

En este caso no hay problemas de indeterminación, por lo que tenemos: x3 − 2x + 3 −27 + 6 + 3 18 = =− . 2 x→−3 x +2 9+2 11 l´ım

Ejemplo 156 Calcular el límite √ x−2−1 . l´ım x→3 x2 − 9 231

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Tenemos:

√ x−2−1 l´ım x→3 x2 − 9

√  √ x−2−1 x−2+1 = l´ım ·√ x→3 x2 − 9 x−2+1 x−2−1
√  = l´ım x→3 (x + 3) (x − 3) x−2+1

=

5.2.

Ejercicios

1 1
√  = . x→3 (x + 3) 12 x−2+1 l´ım

Calcular los siguientes límites, si es que existen:
 1. l´ım 3x2 − 2x + 1

√ 7 + x2

4-. l´ım

x 2−x

x→−3

x→2

2x2 − 1 x→1 4x + 3

3-. l´ım

x→2

(x + h)3 − x3 6-. l´ım h→0 h√ 3+ x 8-. l´ım x→9 9 − x √ x−3 10-. l´ım x→9 9 − x √ √ 1+x− 1−x 12. l´ım x→0 x x−1 14-. l´ım √ 2 x→1 x +3−2 √ √ x + 6 − 2x + 3 16. l´ım x→3 x2 − 9

2x2 − x − 1 5-. l´ım x→1 x−1 x2 + 3x + 2 7. l´ım 2 x→−2 x − x − 6 x2 √ 9-. l´ım x→0 1 − x2 + 1 √ 1 − 1 − 4x2 11-. l´ım x→0 x2 √ √ x−1− 3−x 13. l´ım x→2 x−2

1 + x − 2x2 √ x→1 x2 − 1 √ m − m2 + nx2 17. l´ım x→0 x2

15. l´ım

5.3.

2. l´ım

x3 − 27 x→3 x2 − 9

18. l´ım

Límites Trigonométricos

En esta sección nos concentraremos en el uso de un límite particularmente importante. Este límite, que hemos estimado usando una tabla de valores, es sen x =1. x→0 x l´ım

232

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Este importante límite aparece demostrado en muchos de los textos clásicos de cálculo, por lo que aquí omitiremos su demostración. Así, aceptaremos este hecho y lo utilizaremos frecuentemente en límites que involucran funciones trigonométricas. Ejemplo 157 Fácilmente vemos que: 1 sen x 1 sen x = l´ım = . x→0 5x 5 x→0 x 5 l´ım

Ejemplo 158 Otro ejemplo es: tan x l´ım x→0 2x

  1 sen x 1 sen x 1 = l´ım = l´ım 2 x→0 x cos x 2 x→0 x cos x 1 sen x 1 1 = l´ım · l´ım = ·1·1 x→0 cos x 2 x→0 x 2 1 = . 2

Teorema 63 (Sustitución para Límites) Sean f y g dos funciones reales tales que f ◦ g

está definida en un intervalo abierto que contiene a x0 , excepto, a lo más en el propio x0 . Si l´ım g (x) = y0 ,

x→x0

entonces se tiene que l´ım f (g (x)) = l´ım f (z) . z→y0

x→x0

Para la práctica, en este teorema lo que se ha hecho es tomar una nueva variable para reescribir el límite original. Lo que hacemos es z = g (x), con lo cual tenemos que x → x0

=⇒

z = g (x) → y0 ,

por lo que obtenemos la igualdad l´ım f (g (x)) = l´ım f (z) .

x→x0

z→y0

Ejemplo 159 Calcular

sen 3x . x→0 x Aquí podemos proceder de dos formas diferentes. La primera es producir en el argumento l´ım

de la función seno y en el denominador la misma expresión que depende de x: sen 3x sen 3x sen 3x = l´ım 3 = 3 l´ım x→0 x→0 x→0 x 3x 3x l´ım

233

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Entonces, tomamos z = 3x, tenemos que x→0

=⇒

z = 3x → 0 ,

por lo tanto:

sen 3x sen z sen 3x = 3 l´ım = 3 l´ım =3 . x→0 z→0 x→0 x 3x z Otra forma de proceder es tomar directamente la sustitución z = 3x, con lo cual x = 31 z, l´ım

y además, como antes: x→0

=⇒

z = 3x → 0 ,

por lo que se obtiene sen 3x sen z sen z = l´ım 1 = 3 l´ım =3 . z→0 x→0 z→0 x z 3z l´ım

Ejemplo 160 Calcular sen (x − 1) . x→1 x2 − 1 Nuevamente tenemos que el argumento de la función seno y el denominador tienden a 0, lo l´ım

que produce que el numerador y el denominador tienden a 0. Además: sen (x − 1) sen (x − 1) 1 sen (x − 1) = l´ım = l´ım · l´ım . 2 x→1 x→1 (x + 1) (x − 1) x→1 x + 1 x→1 x −1 x−1 l´ım

El primer límite se calcula directamente. Para el segundo hacemos z = x − 1, por lo que tenemos que

x→1

=⇒

z =x−1→0 ,

y así: 1 sen (x − 1) 1 sen z 1 sen (x − 1) = l´ım · l´ım = l´ım = . 2 x→1 x + 1 x→1 x→1 x −1 x−1 2 z→0 z 2 l´ım

Ejemplo 161 Calcular

sen x . x−π Una vez más notamos que el numerador y el denominador tienden a 0. Podemos hacer l´ım

x→π

z = x − π, con lo que obtenemos que x = π + z, y además x→π

=⇒

z =x−π →0 ,

así, usando la identidad sen (π + z) = −sen z, l´ım

x→π

sen (π + z) −sen z sen x = l´ım = l´ım = −1 . z→0 z→0 x−π z z 234

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Ejemplo 162 Calcular

cos x . x − π2

l´ımπ

x→ 2

Como en el ejemplo anterior, notamos que el numerador y el denominador tienden a 0. Podemos hacer z = x − π2 , con lo que obtenemos que x = x→

y usando la identidad cos


π

π 2 

=⇒

z =x−

π 2

+ z, y además

π →0 , 2

+ z = −sen z,
 cos π2 + z cos x −sen z l´ımπ l´ım = l´ım = −1 . π = z→0 z→0 z z x→ 2 x − 2 2

Ejemplo 163 Calcular

sen 3x . sen 5x Aquí buscamos obtener límites como los anteriores, entonces podemos multiplicar el numerl´ım

x→0

ador y el denominador por x1 , de modo que: sen 3x l´ım x→0 sen 5x

=

=

1 sen l´ım x1 x→0 sen x

3x = l´ım x→0 5x

3 l´ım

x→0

sen 3x 3x

5 l´ım

sen 5x 5x

x→0

sen 3x x sen 5x x

=

x→0

l´ım

sen 3x x

l´ım

sen 5x x

x→0

l´ım senz z 3 3 z→0 = . sen w = 5 l´ım w 5 w→0

Donde hemos hecho z = 3x y w = 5x, respectivamente. Observación 117 En general tenemos que si a y b son números reales, entonces: l´ım

x→0

sen ax a = , para b = 0. sen bx b

Ejemplo 164 Calcular

1 − cos x . x2 Como antes, buscamos obtener límites como los anteriores, entonces podemos multiplicar el l´ım

x→0

numerador y el denominador por 1 + cos x, de modo que:     1 − cos x 1 + cos x 1 − cos2 x 1 l´ım · = l´ım · x→0 x→0 x2 1 + cos x x2 1 + cos x

sen2 x 1 · l´ım x→0 x2 x→0 1 + cos x  sen x 2 1  sen x 2 1 1 l´ım = l´ım = . = 2 x→0 x 2 x→0 x 2

= l´ım

235

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5.4.

Ejercicios

Calcular los siguientes límites: √ 1 − cos x (a) l´ım x2 x→0+

1 − cos 2x x→0 x2

(b) l´ım

sin 5x − sin 3x x→0 x

sin 3x x→0 2x2 + x

(c) l´ım

(e) l´ım

x→a

(d) l´ım

sin x − sin a x−a

(f) l´ım

x→0

sin 5x − sin 3x sin x + sin 3x

cos (x + h) − cos x h→0 h

(g) l´ım

5.5.

Límites Laterales

Cuando comenzamos el estudio de límites en este capítulo, hicimos breves análisis con tablas de valores. En dichas tablas nos aproximamos a x0 con x < x0 y también con x > x0 . Esto corresponde, en realidad, a la idea de los límites laterales, es decir, hacer tender x a x0 por la izquierda (x < x0 ) y hacer tender x a x0 por la derecha (x > x0 ):

Definición 28 (Límites Laterales) Sea f una función real y x0 ∈ R. Definimos:

(a) Límite por la Izquierda: El límite de f (x), cuando x tiende a x0 por la izquierda,

significa que x tiende a x0 , pero x < x0 . Esto es escrito en la forma l´ım f (x) = l,

x→x− 0

y significa que, dado ε > 0, existe δ > 0, tal que |f (x) − l| < ε ,

cuando

0 < x0 − x < δ.

236

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(b) Límite por la Derecha: El límite de f (x), cuando x tiende a x0 por la derecha, significa que x tiende a x0 , pero x > x0 . Esto es escrito en la forma l´ım f (x) = l,

x→x+ 0

y significa que, dado ε > 0, existe δ > 0, tal que |f (x) − l| < ε ,

cuando

0 < x − x0 < δ.

Observación 118 Es importante entender que cuando tenemos que x → x− 0 o bien x →

x+ 0 , x < x0 en el primer caso y x > x0 en el segundo, pero siempre x está tan próximo de x0 como queramos. Ejemplo 165 Consideremos la función definida por tramos  x2 − 1   , si x < −1 , x+1 f (x) =   2 x + 2x − 1 , si x > −1 . 237

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Entonces, tenemos que los límites laterales de esta función en x0 = −1 son: x2 − 1 (x + 1) (x − 1) = l´ım x+1 x→−1− x + 1 x→−1− = l´ım (x − 1) = −2 .

l´ım f (x) =

x→−1−

l´ım

x→−1−

Notar que aquí x → −1− , x tiende a −1 por la izquierda, es decir, x < −1, por ello hemos usado la primera fórmula dada para f (x). Ahora, l´ım f (x) = l´ım

x→−1+

x→−1+


2  x + 2x − 1 = −2 .

Notamos, en este caso que x → −1+ , x tiende a −1 por la derecha, es decir, x > −1, por

ello hemos usado la segunda fórmula dada para f (x).

En este ejemplo la función no está definida en x0 = −1 y hemos obtenido que los límites

laterales en dicho punto existen y coinciden,

l´ım f (x) = l´ım f (x) = −2 . x→−1+

x→−1−

Ejemplo 166 Calcular los límites laterales en x0 = 0, de la función dada por  x   , si x < 0 , x − x2 f (x) =   x2 + 2x , si x ≥ 0 . x x = l´ım x − x2 x→0− x (1 − x) 1 = 1. = l´ım − 1 − x x→0

l´ım f (x) =

x→0−

l´ım

x→0−

238

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Como x → 0− , x tiende a 0 por la izquierda, tenemos que x < 0, por lo que usamos la primera fórmula dada para f (x). Por otra parte,


 l´ım f (x) = l´ım x2 + 2x = 0 .

x→0+

x→0+

Ahora x → 0+ , x tiende a 0 por la derecha, es decir, x > 0, por lo que hemos usado la segunda fórmula dada para f (x).

En este ejemplo la función está definida en x0 = 0 y los límites laterales en 0 existen, pero son diferentes, l´ım f (x) = 1 = 0 = l´ım f (x) . x→0+

x→0−

Notemos que no podemos decir hacia qué valor tiende f (x) cuando x tiende a x0 = 0. Ejemplo 167 Cálcular los límites laterales en x0 = 0, de la función  x   x2 − x , si x < 0 , f (x) =   x − 3 , si x > 0 . x2 − 3x x x2 − x x = l´ım x→0− x (x − 1) 1 = l´ım − x→0 x − 1

l´ım f (x) =

x→0−

l´ım

x−3 x2 − 3x x−3 = l´ım − x→0 x (x − 3) 1 = l´ım x→0− x

l´ım f (x) =

x→0−

x→0+

l´ım

x→0−

= −1 .

239

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Ahora vemos que uno de los límites laterales en 0 existe, pero el otro no,

Como en el ejemplo anterior, notemos que no podemos decir hacia qué valor tiende f (x) cuando x tiende a x0 = 0. Ejemplo 168 Para la función del ejemplo anterior, calcular l´ım f (x)

1 x→ 10

y

Notar que en el primer límite, tenemos x →

l´ım f (x) .

x→− 15 1 10 ,

y

1 10

> 0, por lo que debemos entender y

tener claro que también x > 0 (x está ”infinitesimalmente” cerca de

1 10 )

Así, debemos usar la segunda fórmula que define a f (x): l´ım f (x) = l´ım

1 x→ 10

1 x→ 10

x−3 1 1 = l´ım = = 10 . 1 x x2 − 3x x→ 10 1/10

Similarmente, como x → − 15 , y de hecho − 51 < 0, entonces debemos entender y tener claro que también x < 0 (x está ”infinitesimalmente” cerca de − 51 )

240

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Como hemos visto en los ejemplos, para poder calcular el límite de ciertas funciones, resulta imprescindible considerar en qué forma x está tendiendo a x0 . De hecho, el siguiente teorema nos dá una condición necesaria y suficiente para la existencia del límite. El uso de este teorema es, principalmente, para los casos en que la función está definida por partes y se está calculando el límite en algún punto donde la función cambia de tramo. Teorema 64 Sea f una función real y x0 ∈ R. Entonces l´ım f (x)

x→x0

existe si, y sólo si, existen y son iguales los límites laterales en x0 : l´ım f (x)

x→x− 0

y

l´ım f (x) .

x→x+ 0

En tal caso, se tiene que el límite de la función en x0 es el valor de los límites laterales: l´ım f (x) = l´ım f (x) = l´ım f (x) .

x→x0

x→x− 0

x→x+ 0

Ejemplo 169 Consideremos la función definida por  x2 − 1   , si x < −1 , x+1 f (x) =   2 x + 2x − 1 , si x > −1 . Sabemos que en este caso:

l´ım f (x) = l´ım f (x) = −2 . x→−1+

x→−1−

Por lo tanto, los límites laterales en x0 = −1 existen y son iguales. Luego, el límite de f (x) en x0 = −1 existe y es,

l´ım f (x) = l´ım f (x) = l´ım f (x) = −2 .

x→−1

x→−1+

x→−1−

241

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Ejemplo 170 Para la función

f (x) = Sabemos que l´ım f (x) = l´ım

x→0−

x→0−

  

x , x − x2

si x < 0 ,

  x2 + 2x , si x ≥ 0 .


2  x = 1 =  l´ ım f (x) = l´ ım x + 2x =0 . x − x2 x→0+ x→0+

Es decir, los límites laterales en x0 = 0 existen pero no son iguales, por lo que el límite de f (x) en x0 = 0, no existe.

Ejemplo 171 Consideremos la función  x   x2 − x , si x < 0 , f (x) =   x − 3 , si x > 0 . x2 − 3x

En este ejemplo tenemos que

l´ım f (x) = l´ım

x→0−

x→0−

pero l´ım f (x) = l´ım

x→0+

x→0−

x = −1 , x2 − x

x−3 1 = l´ım , 2 − x − 3x x→0 x

no existe. Así, en x0 = 0 sólo uno de los límites laterales existe. Por lo tanto, el límite de

242

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f (x) en x0 = 0, no existe.

Ejemplo 172 Calcular el límite |x| . x Aquí debemos notar que la función en cuestión, es una función definida por tramos. En l´ım

x→0

efecto, tenemos que |x| = Luego: l´ım

x→0−

  x, 

si x ≥ 0 ,

−x , si

x < 0.

|x| −x = l´ım = l´ım −1 = −1 , x x→0− x x→0−

y |x| x = l´ım = l´ım 1 = 1 . x x→0+ x x→0+ Así, los límites laterales en x0 = 0 existen, pero son distintos l´ım

x→0+

l´ım

x→0− |x| x→0 x

Por lo tanto, el límite l´ım

|x| |x| = −1 = l´ım =1 . x x→0+ x

no existe.

Ejemplo 173 Calcular los límites l´ım f (x) y l´ım f (x), si es que existen, para la función x→1 x→2  x2 − x   , si x 2. x−2 243

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Para x0 = 1: l´ım f (x) = l´ım

x→1−

x→1−

y

x2 − x x (x − 1) = l´ım = l´ım x = 1 . − x−1 x−1 x→1 x→1−


 l´ım f (x) = l´ım 3x2 + x − 3 = 1 .

x→1+

x→1+

Luego, los límites laterales en x0 = 1 existen y son iguales, por lo que l´ım f (x) = 1 .

x→1

Para x0 = 2:


 l´ım f (x) = l´ım 3x2 + x − 3 = 11 .

x→2−

y

x→2−

x2 − x − 2 (x − 2) (x + 1) = l´ım = l´ım (x + 1) = 3 . + + + x − 2 x−2 x→2 x→2 x→2 x→2+ Así, los límites laterales en x0 = 2 existen, pero son distintos. Por lo que el límite de la l´ım f (x) = l´ım

función en x0 = 2 no existe.

5.6.

Ejercicios

1. Calcular los siguientes límites:  2   x − x − 2 (a) l´ım x→−1 x2 + 1 |cos x| (c) l´ımπ π x→ 2 x − 2

 2 1  x − x 2 (b) l´ım x→0 x |sin 3x| (d) l´ım 2 x→0 2x + x

3. Analizar el límite de la función f en los puntos x0 = 0 y en x0 = 1:   3x + 6, si −1 ≤ x ≤ 0,     f (x) = 2x2 − 3, si 0 < x < 1,      x2 − x − 1, si 1 ≤ x ≤ 2. 4. Analizar el límite de la función f en los puntos x0 = 1 y en x0 = 3:   2 − x, si x ≤ 1,     f (x) = 2x2 − 1, si 1 < x < 3,      x2 − x − 1, si x ≥ 3. 244

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5.7.

Continuidad

Podemos entender la continuidad de una función como el hecho que su gráfico no está cortado o interrumpido; es decir, si f es continua,entonces la curva y = f (x) no tiene saltos. Definición 29 (Función Continua) Sea f una función real y x0 ∈ R. Diremos que f es

una función continua en x0 si se cumplen las siguientes condiciones: (i) f está definida en x0 ; es decir, el valor f (x0 ) existe. (ii) El límite de la función en el punto x0 existe; es decir, l´ım f (x) existe.

x→x0

(iii) El valor del límite de la función en el punto x0 coincide con el valor de la función evaluada en dicho punto; es decir, l´ım f (x) = f (x0 ) .

x→x0

Observación 119 jSi A ⊆ R, diremos que f es continua en A si lo es en cada punto de A.

Si f no satisface la definición anterior, entonces decimos que f no es continua en x0 , o bien que f es discontinua en x0 , o bien que f tiene una discontinuidad en x0 . Ejemplo 174 La siguiente función f no es continua en x0 , ya que no está definida en dicho punto. Además el límite de f (x) en ese punto no existe:

Notamos que no podemos decir hacia qué valor tiende f (x) cuando x tiende a x0 .

245

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Ejemplo 175 A continuación, mostramos el gráfico de una función f que no es continua en el punto x0 a pesar de estar definida en él. Aquí, el límite de la función en dicho punto no existe, ya que los límites laterales son diferentes:

Nuevamente no es posible indicar hacia qué valor tiende f (x) cuando x tiende a x0 . Ejemplo 176 En este ejemplo, tenemos el gráfico de una función f que no es continua en x0 , ya que ella no está definida en x0 , pero el límite en dicho punto existe,

En este caso, si bien la función no es continua en x0 , vemos claramente hacia donde tiende f (x) cuando x tiende a x0 . Ejemplo 177 Ahora presentamos el gráfico de una función f que no es continua en x0 , a pesar que la función está definida en dicho punto y su límite en él existe. Tal límite es 246

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distinto al valor de la función en el punto.

Como en el ejemplo anterior, si bien la función no es continua en x0 , vemos claramente hacia donde tiende f (x) cuando x tiende a x0 . Es interesante observar que en los últimos dos ejemplos, las funciones no son continuas, pero ”casi” si lo son, a diferencia de los dos primeros, donde las funciones son definitivamente discontinuas en el punto x0 . Ejemplo 178 Una función constante es continua en todo R. En efecto, si f (x) = c, para todo x ∈ R, claramente se tiene que:

(i) f (x0 ) = c, cualquiera que sea x0 ∈ R; es decir, f está definida en todo x0 .

(ii) l´ım f (x) = l´ım c = c; así, existe el límite en cualquier x0 ∈ R. x→x0

x→x0

(iii) De (i) y (ii), l´ım f (x) = c = f (x0 ). x→x0

Por lo tanto, una función constante es siempre continua en todo R. Ejemplo 179 La función lineal es continua en todo R. En efecto, sea f (x) = ax + b, con a, b ∈ R, a = 0. Entonces, si x0 ∈ R, tenemos que:

(i) f (x0 ) = ax0 + b; es decir, f está definida en todo x0 ∈ R.

(ii) l´ım f (x) = l´ım (ax + b) = ax0 + b; así el límite en x0 existe, para cualquier x0 ∈ R.

x→x0

x→x0

(iii) De (i) y (ii), l´ım f (x) = ax0 + b = f (x0 ). x→x0

Por lo tanto, toda función lineal es continua en todo R. Ejemplo 180 Sea f (x) =

x2 + 1 . Vemos, claramente, que: x2 − 2x 247

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(i) f está definida para todo x0 = 0 y x0 = 2. Así, f (x) está definida para todo x2 + 1 x ∈ R − {0, 2}, f (x0 ) = 2 0 . x0 − 2x0 x2 + 1 x2 + 1 = 20 , para todo x0 = 0 y x0 =  2. Así, el límite (ii) l´ım f (x) = l´ım 2 x→x0 x→x0 x − 2x x0 − 2x0 de la función existe en todo punto x0 , con x0 = 0 y x0 = 2. x2 + 1 = f (x0 ). (iii) De (i) y (ii), l´ım f (x) = 2 0 x→x0 x0 − 2x0 Por lo tanto, la función f es continua en R − {0, 2}. El siguiente teorema nos permite establecer la continuidad de una infinidad de funciones básicas que frecuentemente encontramos en el cálculo. La demostración resulta evidente a partir del álgebra de límites. Teorema 65 Sean f y g funciones reales continuas en x0 y sea λ ∈ R. Entonces también f son continuas en x0 las funciones: f ± g, λ · f, f · g. Si además g (x0 ) = 0, entonces es g continua en x0 . Este teorema nos dice, simplemente que la suma, la diferencia, el producto por escalar, el producto y el cuociente de funciones continuas, resultan ser continuas donde cada una de ellas lo sea, necesitándose, en el caso del cuociente, que la función del denominador no se anule en dicho punto. Ejemplo 181 La función cuadrática f (x) = x2 , para x ∈ R, es continua en todo R,

ya que es el producto de dos funciones continuas en todo R (la función identidad consigo misma). Ejemplo 182 Toda función polinomial, f (x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a2 x2 +a1 x+a0 ,

es continua en todo R, ya que es suma de productos de funciones continuas en todo R.

p (x) , donde p y q son funciones q (x) polinomiales. Entonces, como p es continua en todo R, resulta claro que f es continua en

Ejemplo 183 Consideremos la función racional f (x) =

todos los puntos donde q (x) no se anula; es decir, f es continua en R − {x ∈ R / q (x) = 0} = {x ∈ R / q (x) = 0} . Ejemplo 184 Dada la función    |x| , si x = 0, x f (x) =   −1 , si x = 0. 248

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Determinar si f es continua o no en x0 = 0. Notar que la función en cuestión es una función definida por tramos. Hemos visto anteriormente que l´ım

x→0− |x| x→0 x

Por lo tanto, el límite l´ım

|x| |x| = −1 = l´ım =1 . + x x→0 x

no existe. En consecuencia, f no es continua en x0 = 0.

Ejemplo 185 Las funciones trigonométricas fundamentales, seno y coseno, son continuas en todo R. Ejemplo 186 Consideremos la función f (x) = tan x. Dado que f (x) = tan x =

sen x , cos x

entonces, como la función seno es continua en todo R, la función tangente es continua en todos los puntos donde coseno no se anula; es decir, la función tangente es continua en   2k + 1 R − {x ∈ R / cos x = 0} = R − x ∈ R / x = π, k ∈ Z 2   2k + 1 {x ∈ R / cos x = 0} = x ∈ R / x = π, k ∈ Z . 2 Ejemplo 187 Determinar si la siguiente función es continua o no en x0 = 1:    2 x − x   si x = 1 , x−1 f (x) =   −1 , si x = 1 . Aplicando nuestra definición, tenemos que

(i) f está definida en x0 = 1, y de hecho  f (x0 ) = f (1) = −1. x2 − x (ii) Calculamos l´ım f (x) = l´ım . Un breve análisis nos muestra que: x→1 x→1 x − 1  2  x − x = |x| |x − 1| = x |x − 1| ,

ya que x → 1, entonces x > 0, pués se encuentra suficientemente cerca de 1. Así, calculamos los límites laterales:

l´ım f (x) = l´ım

x→1−

y

x→1−

 2  x − x

l´ım f (x) = l´ım

x→1+

x−1

x→1+

= l´ım

 2  x − x x−1

x→1−

x |x − 1| −x (x − 1) = l´ım = l´ım −x = −1 . − x−1 x−1 x→1 x→1−

= l´ım

x→1+

x |x − 1| x (x − 1) = l´ım = l´ım x = 1 . + x−1 x−1 x→1 x→1+ 249

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Luego, como los límites laterales existen, pero son distintos, tenemos que l´ım f (x) = x→1  2  x − x l´ım , no existe. Así, la función no es continua en x0 = 1. x→1 x − 1

Ejemplo 188 Hallar todos los puntos donde la siguiente función es continua: tan x . x Sabemos que tan x es continua en el conjunto x ∈ R / x = f (x) =

2k+1 2 π,

k ∈ Z , mientras que

x es continua en todo R, pero se anula en x0 = 0. Luego, la función f es continua en     2k + 1 2k + 1 x ∈ R / x = π, k ∈ Z ∪ {0} = x ∈ R / x = 0 y x = π, k ∈ Z 2 2

Teorema 66 Sean f y g dos funciones reales tales que f ◦ g está definida. Supongamos que

g es continua en x0 y f es continua en y0 , donde y0 = g (x0 ). Entonces f ◦ g es continua en x0 .

Observación 120 La importancia básica de este teorema es que la composición de funciones continuas es una función continua. Pero, además, podemos ver lo siguiente: l´ım g (x) = g (x0 ) = y0

x→x0

y

l´ım f (z) = f (y0 ) .

z→y0

Entonces: l´ım (f ◦ g) (x) = (f ◦ g) (x0 ) = f (g (x0 )) = f (y0 ) = f

x→x0



l´ım g (x)

x→x0



.

Así, bajo las condiciones del teorema, podemos ”conmutar” la función f con el límite. Esto es lo que justifica los siguientes cálculos.   √ 2x2 − 1 1 1 3 Ejemplo 189 l´ım = =√ = . x→1 3x 3 3 3 Ejemplo 190 l´ım

x→0




 3  3 cos2 x2 + 2x 1 1 = = . x+2 2 8

Teorema 67 Si f es una función continua en x0 y f (x0 ) = 0, entonces existe un intervalo

(x0 − δ, x0 + δ), tal que

f (x1 ) · f (x2 ) > 0 , para todo x1 , x2 ∈ (x0 − δ, x0 + δ) . 250

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Lo que este teorema nos dice, es simplemente que si f no se anula en x0 y es continua en este punto, entonces podemos hallar siempre un intervalo abierto (vecindad o entorno de x0 ) que contiene al punto x0 en donde f conserva el signo de f (x0 ).

Teorema 68 (Bolzano) Sea f una función real continua en el intervalo [a, b], tal que f (a) · f (b) < 0. Entonces existe algún x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0.

Este teorema asegura que si f es continua en [a, b] y, f (a) y f (b) tienen signos distintos, entonces f se anula al menos una vez en (a, b), es decir, la función f tiene al menos una raíz (o cero) en (a, b). De esta forma tenemos una herramienta rudimentaria pero interesante, para acotar y/o aproximar una raíz de la ecuación f (x) = 0 .

Ejemplo 191 Sea f (x) = x3 − 4x + 1. Es claro que f es una función continua en todo R,

por lo que lo será en cualquier intervalo. Tomemos a = 0 y b = 1, entonces: f (a) = f (0) = 1

y

f (b) = f (1) = −2 .

Así, por el teorema anterior, la ecuación x3 − 4x + 1 = 0 , 251

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tiene al menos una raíz en el intervalo (0, 1)

Tomemos ahora a = 0 y b = 12 :

  1 7 =− . 2 8 
Por lo tanto, la ecuación tiene al menos una raíz en 0, 21 f (a) = f (0) = 1

y

f (b) = f

y

  1 1 f (b) = f = . 4 64

Sea a = 0 y b = 41 . Entonces f (a) = f (0) = 1


 Vemos ahora que en 0, 14 , no podemos saber si hay raíces de la ecuación, por lo que

y b = 12 . Entonces     1 1 7 1 = y f (b) = f =− . f (a) = f 4 64 2 8
1 1 Luego, en 4 , 2 existe al menos una raíz de la ecuación tomamos a =

Tomemos a =

1 4

1 4

y b = 38 , entonces   1 1 f (a) = f = 4 64

  3 485 y f (b) = f =− . 8 1024
 Por lo tanto, la ecuación tiene una raíz en 41 , 83

Así, podemos continuar acotando una raíz de la ecuación hasta aproximarla. 252

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Más general que el teorema anterior, es el siguiente Teorema 69 (Valor Intermedio) Supongase que f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y f (a) = f (b). Sea y0 un valor entre f (a) y f (b). Entonces existe al

menos un c ∈ (a, b), tal que f (c) = y0 .

Finalizamos esta sección enunciando un teorema que, intuitivamente, resulta evidente. Teorema 70 Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f toma su máximo y su mínimo valor en dicho intervalo.

5.8.

Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes funciones, indicar el conjunto donde ellas son continuas: x x2 + x (b) f (x) = 2 (a) f (x) = 2 x −4 x −1 x x−3 (c) f (x) = 3 (d) f (x) = 2 x −1 x +1 2 1 x (f) f (x) = 3 (e) f (x) = 3 x − 9x x + 2x2 − 5x − 6

2. Determine si la siguiente función es continua o no, en todo su dominio:  2 x   + 2x ; x < 0,  2 f (x) = 2    −x ; x ≥ 0. 2 3. Determine si la siguiente función es continua:  sin 3x   ; x = 0, x f (x) =   3 ; x = 0. 253

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4. Determine si la siguiente función es continua:  2   x − 16 + 2x ; x < 4, x−4 f (x) =   2x ; x ≥ 4.

5. Analizar la continuidad de la función f en el   3x + 6,     f (x) = 2x2 − 3,      x2 − x − 1,

intervalo [−1, 2]: si −1 ≤ x ≤ 0, si

0 < x < 1,

si

1 ≤ x ≤ 2.

6. Analizar la continuidad de la función f en R:   2 − x, si x ≤ 1,     f (x) = 2x2 − 1, si 1 < x < 3,      x2 − x − 1, si x ≥ 3. 7. Hallar los valores de las constantes A y B de modo que la función f sea continua en todo R:

f (x) =

            

A+

tan 2x , x

si

x < 0,

Ax2 + Bx + 1, si 0 ≤ x ≤ 1, √ 1− x , si x > 1. 1−x

8. Hallar los valores de las constantes A y B de modo que la función f sea continua en todo R: f (x) =

     

A+

√ −x,

si

x ≤ −1,

x2 − 4, si −1 < x ≤ 2,      x2 − (1 − B) x + B, si x > 2. 254

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9. Hallar el valor de las constantes A y B para  Ax2 + Bx      x  x2 − A       Ax2 + Bx + 2

5.9.

que la función sea continua: ;

x < 0,

; 0≤x 0.

Vemos que cuanto más próximo está x de x0 = 0, la función es cada vez mayor. Esto podemos continuarlo y veremos que, en definitiva, si x → 0, entonces

expresado por

1 x2

→ +∞, lo que es

1 = +∞ . x→0 x2 l´ım

Gráficamente tenemos

Ejemplo 201 Sea f (x) =

1 x.

Analicemos el comportamiento de f en puntos suficiente-

mente cerca de x0 = 0. Ahora tenemos una función impar, por lo que su gráfica es simétrica respecto al origen. Analizaremos el comportamiento de f para valores de x próximos de x0 = 0, con x < 0 y 260

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luego con x > 0.

Vemos que podemos intuír que, si x → 0− , entonces la función decrece indefinidamente, es

decir,

decir,

1 x 1 x

→ −∞ Por otra parte, si x → 0+ , entonces la función crece indefinidamente, es

→ +∞, lo que es expresado por l´ım

x→0−

1 = −∞ x

y

l´ım

x→0+

1 = +∞ . x

Gráficamente tenemos

Definición 31 (Límite Infinito) Sea f una función definida en un intervalo abierto que contine a x0 , excepto quizás en el propio x0 . La expresión l´ım f (x) = +∞ ,

x→x0

significa que dado M > 0, existe un δ > 0, tal que |x − x0 | < δ

=⇒

f (x) > M .

261

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Si analizamos esta definición como se hizo con los límites finitos, tenemos que l´ım f (x) = +∞

x→x0

si dado M > 0, existe un δ > 0, tal que x0 − δ < x < x0 + δ

=⇒ f (x) > M .

Es decir, no importa cuán grande sea el valor de M, siempre podemos hallar un intervalo centrado en x0 , de modo que para todo los x en dicho intervalo, se tiene que f (x) > M.

Observación 121 Análogamente podemos definir el límite cuyo valor es −∞. Sea f una

función definida en un intervalo abierto que contine a x0 , excepto quizás en el propio x0 . La expresión l´ım f (x) = −∞ ,

x→x0

significa que dado M > 0, existe un δ > 0, tal que |x − x0 | < δ

=⇒

f (x) < −M .

En este caso, según la definición, tenemos que l´ım f (x) = −∞

x→x0

si dado M > 0, existe un δ > 0, tal que x0 − δ < x < x0 + δ

=⇒ f (x) < −M . 262

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Es decir, no importa cuán grande sea el valor de M , siempre podemos hallar un intervalo centrado en x0 , de modo que para todo los x en dicho intervalo, se tiene que f (x) < −M.

1 2 x→0 x

Ejemplo 202 Probar que l´ım

= +∞.

Sea M > 0. Debemos hallar un δ > 0, tal que |x − 0| = |x| < δ Tomemos δ =

√1 . M

=⇒

1 >M . x2

Entonces |x| < δ

1 |x| < √ M

=⇒ =⇒

|x|2 = x2
M x2

1 M

Ejemplo 203 Ahora resulta evidente que l´ım − x12 = −∞. x→0

Para probarlo, basta tomar, como antes, δ =

√1 M

y repetir el cálculo anterior.

Siguiendo las ideas de los dos últimos ejemplos, podemos verificar que, para a ∈ R, se

cumple que

  +∞ , si a > 0,     a l´ım = 0, si a = 0, x→0 x2      −∞ , si a < 0. 263

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En el ejemplo 201 vimos que podemos tener un comportamiento diferente (siempre del tipo +∞ o bien −∞) según nos aproximamos al punto x0 por la izquierda o por la derecha.

Daremos la definición de los límites laterales con límite +∞, asumiendo que el caso −∞

es análogo. Como se entiende, en el primer caso significa que nos aproximamos a x0 con

valores menores que éste, y en el segundo, nos aproximamos a x0 con valores mayores que él. Definición 32 Los límites infinitos por la izquierda y por la derecha son definidos por: (a) Sea f una función definida al menos para puntos x próximos a x0 , con x < x0 . La expresión l´ım f (x) = +∞ ,

x→x− 0

significa que dado M > 0, existe un δ > 0, tal que 0 < x0 − x < δ

=⇒

f (x) > M .

(b) Sea f una función definida al menos para puntos x próximos a x0 , con x > x0 . La expresión l´ım f (x) = +∞ ,

x→x+ 0

significa que dado M > 0, existe un δ > 0, tal que 0 < x − x0 < δ

=⇒

f (x) > M .

264

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Ejemplo 204 Es fácil ver ahora que si n ∈ Z+ ,   +∞ ,     a l´ım 2n = 0, x→0 x      −∞ ,

entonces si a > 0, si a = 0, si a < 0.

En efecto, basta proceder en forma análoga al ejemplo 202. Ejemplo 205 Como en el ejemplo anterior, usando la idea del ejemplo 201, si n ∈ Z+ ,

entonces

l´ım

x→0−

1 x2n−1

= −∞

y

l´ım

x→0+

1 x2n−1

= +∞ .

Observación 122 Se puede verificar que a l´ım p = +∞, para a > 0, p > 0. x→0+ x b l´ım = −∞, para b < 0, p > 0. x→0+ xp Más aún: a l´ım p = +∞, para a > 0, p > 0. + (x − x ) 0 x→x0 b l´ım p = −∞, para b < 0, p > 0. + (x − x ) 0 x→x0 4 = +∞ . Para entender este límite, notar que x > 3, por lo que x−3 x − 3 > 0, es decir, la fracción es siempre positiva y como se indetermina, entonces debe

Ejemplo 206 l´ım

x→3+

ser +∞.

265

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x −x = l´ım = −∞ . Para entender este límite, notar que 2−x x→2+ x − 2 x > 2, por lo que x − 2 > 0, es decir, la fracción es siempre negativa y como se indetermina, Ejemplo 207 l´ım

x→2+

entonces debe ser −∞.

3 3 = l´ım = −∞ . Como antes, notar que x < 1, por lo que x − 1 x→1− x − 1 x − 1 < 0, es decir, la fracción es siempre negativa y como se indetermina, entonces debe

Ejemplo 208 l´ım

x→1−

ser −∞.

A continuación estudiaremos el concepto de límite al infinito. Podemos decir que estos límites son aquellos en que la variable se hace crecer indefinidamente o bien se hace decrecer indefinidamente, lo que permite analizar el comportamiento de la función correspondiente en los casos mencionados. Para comenzar, veamos los siguientes ejemplos que ilustrarán lo señalado y nos permitirán intuír el comportamiento de cada función para obtener los límites que deseamos definir. 1+x . Analizaremos el comportamiento de esta función para x valores cada vez mayores de la variable independiente y también para valores cada vez Ejemplo 209 Sea f (x) =

menores de la variable independiente. Como antes, consideremos las siguientes tablas de valores:

En la primera tabla, vemos que mientras más crece x, f (x) se aproxima más a 1. En la segunda tabla, mientras más decrece x, f (x) está más apróxima a 1. Por esto, podemos 1+x decir que ”el límite de f (x) = cuando x tiende a ∞ (−∞ respectivamente), es 1”. x Esto lo escribimos como l´ım f (x) = l´ım

x→∞

x→∞

1+x = 1; x

l´ım f (x) = l´ım

x→−∞

x→−∞

1+x = 1. x

266

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El gráfico de esta función muestra la idea expresada por los límites anteriores: cuanto mayor es x, el gráfico se va aproximando de la recta y = 1, y similarmente, cuanto menor es x, el gráfico se aproxima a la recta y = 1.

Ejemplo 210 Analicemos ahora la función f (x) = x2 para x creciendo ”infinitamente” y también para x decreciendo ”infinitamente”. Como antes, tenemos las siguientes tablas: x

f (x)

x

f (x)

−2

4

2

4

100

10

100

10.000

100

10.000

1.000.000

1.000

1.000.000

100.000.000

10.000

100.000.000

10.000.000.000

100.000

10.000.000.000

−10

−100

−1.000

−10.000

−100.000

De acuerdo a estos cálculos, podemos deducir que l´ım x2 = l´ım x2 = +∞.

x→−∞

x→+∞

Definición 33 (Límite al Infinito) (a) Sea f una función real definida en un intervalo [a, +∞) (o bien (a, +∞)) Decimos que el límite de f (x) existe en el infinito, si existe L ∈ R, tal que l´ım f (x) = L,

x→∞

lo que significa que, dado ε > 0, existe M > 0, tal que x>M

=⇒

|f (x) − L| < ε.

267

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(b) Sea f una función real definida en un intervalo (−∞, b] (o bien (−∞, b)) Decimos que el límite de f (x) existe en menos infinito, si existe L ∈ R, tal que l´ım f (x) = L,

x→−∞

lo que significa que, dado ε > 0, existe M > 0, tal que x < −M

=⇒

|f (x) − L| < ε.

(c) Sea f una función real definida en un intervalo [a, +∞) (o bien (a, +∞)) Decimos que el límite de f (x) es infinito en el infinito, si l´ım f (x) = ∞,

x→∞

lo que significa que, dado N > 0, existe M > 0, tal que x>M

=⇒

f (x) > N.

268

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(c) Sea f una función real definida en un intervalo (−∞, b] (o bien (−∞, b)) Decimos que el límite de f (x) es infinito en menos infinito, si l´ım f (x) = ∞,

x→−∞

lo que significa que, dado N > 0, existe M > 0, tal que x < −M

=⇒

f (x) > N.

En los siguientes ejemplos vemos cómo podemos calcular ciertos límites al infinito. 2x2 + x − 3 , que es el límite en infinito de una función x→∞ 4x2 + 5x + 1 racional, podemos proceder de varias formas. Una de ellas es factorizar por la mayor potenEjemplo 211 Para calcular l´ım

cia de la variable que aparece en el denominador, tanto el numerador como el denominador, y analizar lo que se obtiene usando la Observación 122:
 x2 2 + x1 − x32 2+ 2x2 + x − 3  = l´ım l´ım = l´ım 2
x→∞ 4x2 + 5x + 1 x→∞ 4 + x→∞ x 4 + 5 + 12 x x =

1 x 5 x

− +

3 x2 1 x2

2 1 = . 4 2

3x3 − 2x + 2 . Procediendo como en el ejemplo anterior, x→∞ 2x4 + x3 − 5x − 1

Ejemplo 212 Calcular l´ım tenemos

3x3 − 2x + 2 l´ım x→∞ 2x4 + x3 − 5x − 1


 3 2 2 x4 x3 − x23 + x24 x − x3 + x4  = l´ım 4
= l´ ım x→∞ x 2 + 1 − 53 − 14 x→∞ 2 + 1 − 53 − 14 x x x x x x

=

0 = 0. 2

Observar que en el numerador todos los términos se anulan, mientras que en el denominador nos queda un término constante. 269

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2x3 − x + 3 . Procediendo como antes, x→∞ 2x2 + x − 2
 x2 2x − x1 + x32 2x − x1 + x32 2x3 − x + 3
 = l´ım 2 l´ım = l´ım x→∞ x 2 + 1 − 22 x→∞ 2x2 + x − 2 x→∞ 2 + 1 − 22 x x x x ∞ = ∞ = 2

Ejemplo 213 Calcular l´ım

Ahora vemos que en el numerador se anulan algunos terminos pero subsiste uno que crecerá indefinidamente, mientras que en el denominador nos queda un término constante. x+3 Ejemplo 214 Calcular l´ım √ . En este caso podemos proceder de la siguiente x→∞ 3x2 + 2x + 4 forma, 
x 1 + x3 x+3 x+3  l´ım √ = l´ım 
l´ım  = x→∞ x→∞ 3x2 + 2x + 4 x→∞ x2 3 + x2 + x42 x · 3 + x2 + x42 √ 1 + x3 1 3 = l´ım  = √ = . x→∞ 3 3 3 + x2 + x42

Vemos que en el numerador se anula uno de los términos y nos queda otro constante, mientras que en el denominador, bajo el sigo de raíz, se anulan dos términos y nos que uno constante.

5.12.

Ejercicios

Calcular los siguientes límites x+1 1. l´ım x→2− x − 2 x2 x→1+ 1 − x2 √ x2 − 4 l´ım x→2+ 2 − x x4 − 3x2 + x − 34 l´ım x→∞ 3x5 + 2x2 − x + 45  2  x x2 + 1 l´ım − x→∞ x + 1 x √ x4 − 4 l´ım 2 x→∞ x + x + 1

3. l´ım 5. 7. 9. 11.

2. l´ım

x→3+

4. l´ım

x→4−

x2 − 4 (x − 2) (3 − x) x2

x2 + x − 3x − 4

2x3 + 3x2 − x − 1 x→∞ 5x3 + x2 − x + 45 2x3 + x2 − x + 1 8. l´ım x→∞ x2 − 2x + 56 √ x4 − 4 10. l´ım 2 x→∞ x + x + 1 6. l´ım

x3 − x + 2 12. l´ım √ x→∞ x6 + x2 + 2 270

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5.13.

Asíntotas

En esta sección usaremos los límites infinitos y los límites en el infinito para definir el concepto de asíntota. En general, una asíntota para una gráfica es una recta hacia la cual la gráfica en cuestión se aproxima en algún sentido.

En esta sección, por tratarse del gráfico de funciones, estudiaremos dos tipos de asíntotas: Asíntotas Verticales y Asíntotas Horizontales. Definición 34 La recta vertical de ecuación x = a es una asíntota vertical de una función f, si cuando x → a, por la izquierda o bien por la derecha, la función crece o bien decrece

indefinidamente. Es decir, x = a es una asíntota vertical de f si se cumple al menos una de las siguientes afirmaciones l´ım f (x) = −∞, o bien

x→a−

l´ım f (x) = +∞, o bien

x→a−

l´ım f (x) = −∞, o bien

x→a+

l´ım f (x) = +∞.

x→a+

271

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Ejemplo 215 Sea f (x) = para esta función, ya que

1 , entonces la recta de ecuación x = 0 es una asíntota vertical x l´ım

x→0−

1 = −∞ y x

l´ım

x→0+

1 = +∞. x

1 Notar que esta función jamás se anula. Además, para x > 0, tenemos que f (x) = > 0 y x 1 para x < 0, tenemos que f (x) = < 0. x

1 . En este caso, vemos que la recta (x − 3)2 x = 3 es una asíntota vertical para la función, ya que Ejemplo 216 Consideremos la función f (x) =

l´ım

x→3−

1 1 l´ım = +∞. 2 = x→3 + (x − 3) (x − 3)2

Notar que esta función jamás se anula. Además, para x = 3, tenemos f (x) =

272

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1 > 0. (x − 3)2

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Ejemplo 217 Consideremos la función f (x) =

√ 1 . 4−x2

Notamos que esta función, cuyo

dominio es el intervalo abierto (−2, 2), nunca se anula, es siempre positiva y tiene dos asíntotas horizontales: x = −2 y x = 2, ya que 1 = +∞ y l´ım √ + x→−2 4 − x2

1 l´ım √ = +∞. − x→2 4 − x2

Definición 35 La recta horizontal de ecuación y = b es una asíntota horizontal para una función f si se cumple que l´ım f (x) = b, o bien

x→−∞

Ejemplo 218 Dada la función f (x) = horizontal para esta función, ya que

l´ım f (x) = b.

x→+∞

x2 , vemos que la recta y = 1 es una asíntota 1 + x2

x2 x2 = l´ ım = 1. x→−∞ 1 + x2 x→+∞ 1 + x2 l´ım

273

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Vemos que esta función se anula en x = 0 y para x = 0, tenemos que f (x) =

Ejemplo 219 Sea f (x) = ya que

x2 > 0. 1 + x2

3x − 2 3 . Esta función tiene una asíntota horizontal en y = , 2x + 1 2

3x − 2 3 3x − 2 = l´ım = , 2x + 1 x→+∞ 2x + 1 2 1 pero también tiene una asíntota vertical en x = − , ya que 2 3x − 2 3x − 2 l´ım = +∞ y l´ım = −∞. 1 − 2x + 1 1 + 2x + 1 x→− x→− l´ım

x→−∞

2

2

Además, vemos que la función se anula en x = signos

2 , y tiene el siguiente comportamiento de 3

Observación 123 Si bien existen muchas formas en las cuales la gráfica de una función puede aproximarse a su asíntota horizontal, aquí sólo nos preocuparemos de los casos simples; es decir, aquellos en que la gráfica se aproxima por sobre la asíntota y/o por debajo de 274

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ella. Un ejemplo de una función que no es de los casos más simples es f (x) = 1 + Notar que

sen x . x

 sen x  1+ = 1, x→+∞ x pero la gráfica se aproxima a la recta y = 1 en forma oscilante (senoidal) como lo muestra l´ım

la figura,

Para poder analizar este tipo de funciones necesitamos algunas otras herramientas, como la derivada de una función real.

5.14.

Ejercicios

Para cada función dada, determinar sus asíntotas verticales y horizontales, si es que existen, y trazar la gráfica. x+1 3x2 1. f (x) = 2. f (x) = 2 x−2 x − 3x − 4 √ 2 x2 − 9 3. f (x) = 4. f (x) = x−2 x−3 √ 9 − x2 2 − 4x3 5. f (x) = 6. f (x) = 2 x−3 5x + 3x3

275

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Capítulo 6

Derivada de Funciones Reales En este capítulo definiremos el concepto de derivada de una función real. Estudiaremos las técnicas elementales de derivación y veremos un par de aplicaciones básicas, que en realidad pueden ser consideradas como el origen de la derivada, particularmente la interpretación física de ésta.

6.1.

Definición y derivadas básicas

Podemos decir que después de límite, el concepto de derivada es el más elemental de los conceptos utilizados en cálculo. En estricto rigor, veremos que la derivación es un proceso de límite. Antes de dar una definición formal de derivada, analizaremos dos situaciones que podemos considerar el orígen del concepto de derivada. Consideremos la curva dada por y = f (x), donde f es una función. Supongamos que P0 (x0 , y0 ) es un punto de la curva. Entonces y0 = f (x0 ), por lo que P0 = P0 (x0 , f (x0 )). Asumamos que x es otro punto del dominio de f. Entonces P (x, y) = P (x, f (x)), es también un punto de la curva y la recta secante que pasa por P0 y P , tiene pendiente m=

y − y0 f (x) − f (x0 ) = . x − x0 x − x0

Graficamente la situación planteada anteriormente se muestra en la siguiente figura, donde aparece el punto P como un punto que se aproxima a P0 .

276

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Observamos que si x tiende a x0 , x → x0 , entonces la recta secante tiende a la recta tangente

a la curva en el punto P0 , por lo que la pendiente de la recta secante, tiende a la pendiente de la recta tangente: m −→ mT . Es decir mT = l´ım

x−→x0

y − y0 f (x) − f (x0 ) = l´ım . x − x0 x−→x0 x − x0

Así, hemos obtenido un valor que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P0 . Ejemplo 220 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 + 1 en el punto P0 (1, 2) Recordemos que mT = f (x0 ) = 2. Como y = f (x) mT

(x0 ) , l´ım y−y0 = l´ım f (x)−f x−x0 x−→x0 x−→x0 x−x0 = x3 + 1, entonces

y en este caso x0 = 1, y0 =


3 
 x + 1 − 13 + 1 f (x) − f (x0 ) = l´ım = l´ım x−→x0 x−→1
x − x0 x −1 (x − 1) x2 + x + 1 x3 − 1 = l´ım = l´ım x−→1 x − 1 x−→1 x−1
2  = l´ım x + x + 1 = 3 x−→1

Por lo tanto, queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 (1, 2) y tiene pendiente mT = 3. Así y − y0 = mT (x − x0 ) y − 2 = 3 (x − 1) 3x − y − 1 = 0 .

277

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Ejemplo 221 Hallar la ecuación de la recta normal a la curva y =

√ x2 + 1 en el punto

cuya abscisa es x0 = −1.

Dado que la recta normal a la curva LN es la recta perpendicular a la recta tangente LT

(LN ⊥LT ), lo primero es obtener la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto √ √ 
indicado, P0 −1, 2 . Como antes, dado que y = f (x) = x2 + 1, entonces mT

= = = =

√ √ f (x) − f (x0 ) x2 + 1 − 12 + 1 = l´ım l´ım x−→x0 √ x − x0 √ x−→−1 √ x + 1√ √ √ x2 + 1 − 2 x2 + 1 − 2 x2 + 1 + 2 √ √ l´ım = l´ım x−→−1 x−→−1 x+1 x+1 x2 + 1 + 2 x2 − 1 x2 + 1 − 2 √   l´ım = l´ ım √ √ √  x−→−1 x−→−1 (x + 1) x2 + 1 + 2 (x + 1) x2 + 1 + 2 (x + 1) (x − 1) x−1 √ √ l´ım l´ım √ √  = x−→−1 2 x−→−1 x +1+ 2 (x + 1) x2 + 1 + 2

2 1 = − √ = −√ 2 2 2

Como LN ⊥LT , entonces mN = −

√ 1 = 2. Por lo tanto mT

y − y0 = mN (x − x0 ) √ √ y− 2 = 2 (x + 1) √ √ 2x − y + 2 2 = 0 .

278

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Ahora consideremos la siguiente situación. Supongamos que un objeto se mueve en línea recta de modo que se está alejando de un punto fijo A y su distancia a dicho punto fijo está dada por una función real s (t), es decir, s es la distancia que separa al objeto del punto A y t es el tiempo. De esta forma, es claro que la función s es creciente y s (0) = 0.

Consideremos un instante fijo t0 , por lo que tenemos un punto s (t0 ). Además, consideremos otro instante t (arbitrario) y el punto correspondiente a ese tiempo, s (t). Si suponemos que t0 < t, entonces s (t0 ) < s (t). La velocidad media del objeto, entre los puntos s (t0 ) y s (t), es vm =

distancia recorrida s (t) − s (t0 ) = >0. tiempo transcurrido t − t0

Aquí, tenemos que t − t0 > 0 y s (t) − s (t0 ) > 0, y por ello vm > 0. Si t se aproxima a t0 ,

entonces s (t) se aproxima a s (t0 ). Así, si t −→ t0 , entonces s (t) −→ s (t0 ), por lo que la velocidad media vm tiende a la velocidad en el instante t0 , es decir   s (t) − s (t0 ) unidad de distancia l´ım = v (t0 ) . t→t0 t − t0 unidad de tiempo

Ejemplo 222 Un objeto se mueve de modo que su distancia a un punto fijo dado, medida en metros, a los t minutos, es s (t) = 16t2 + 64t . Hallar la velocidad a los 2 minutos. 279

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Según lo dicho antes, y dado que s (t) = 16t2 + 64t, la velocidad a los t0 = 2 es s (t) − s (t0 ) 16t2 + 64t − 192 = l´ım t→t0 t−2 t→2
t − t0 16 t2 + 4t − 12 16 (t − 2) (t + 6) = l´ım = l´ım t→2 t→2 t−2 t−2 = l´ım 16 (t + 6) = 128.

v (t0 ) = v (2) =

l´ım

t→2

y así v (t0 ) = v (2) = 128



 m m´ın .

Ahora que hemos analizado estas situaciones, procedemos a nuestra formalización de la derivada de una función en un punto y veremos que los casos dados anteriormente corresponden a interpretaciones de este concepto. Definición 36 (Derivada de una Función) Sea f una función real y x0 un punto en el dominio de f; x0 ∈ Dom (f). Diremos que f es derivable en x0 , si existe el siguiente límite: l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) . x − x0

En tal caso, decimos que este límite es la derivada de f en x0 y lo indicamos escribiendo f ′ (x0 ) = l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) . x − x0

Notemos que en nuestra definición, para que la función sea derivable en el punto indicado, es necesario que ella esté definida en dicho punto, aunque no es suficiente, como veremos más adelante. A continuación, vemos algunos ejemplos. Observación 124 Como podemos ver, la definición de la derivada de una función f en el punto x0 está dada por un límite que ya vimos en la introducción de este capítulo. En dicha introducción obtuvimos la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) y la velocidad de un objeto cuya función posición está dada por s (t). Específicamente obtuvimos mT = l´ım

x−→x0

f (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 ) , x − x0

y s (t) − s (t0 ) = s′ (t0 ) . t→t0 t − t0 Más adelante volveremos a tratar estos temas como interpretaciones de la derivada. v (t0 ) = l´ım

280

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Ejemplo 223 Si f (x) = 2x2 + x − 1, hallar f ′ (−1).

Aquí x0 = −1 y por la definición debemos calcular el límite que define la derivada de f

en x0

f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0
2  2x + x − 1 − 0 = l´ım x→−1 x+1 (2x − 1) (x + 1) = l´ım x→−1 x+1

f ′ (−1) =

Así,

f ′ (−1)

l´ım

=

f (x) − f (−1) x→−1 x+1

=

2x2 + x − 1 x→−1 x+1

=

l´ım

l´ım

l´ım (2x − 1)

x→−1

= −3 .

= −3.

Ejemplo 224 Si f (x) = sen x, hallar f ′ (0). Aquí x0 = 0. Procediendo como antes f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 sen x = l´ım = 1. x→0 x

f ′ (0) =

l´ım

f (x) − f (0) x→0 x−0

= l´ım

Por lo tanto, f ′ (0) = 1. 1 , hallar f ′ (1). x Ahora x0 = 1 y como antes

Ejemplo 225 Si f (x) =

f ′ (1) =

l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) f (x) − f (1) = l´ım x→1 x − x0 x−1

1−x −1 − (x − 1) = l´ım x = l´ım x→1 x − 1 x→1 x (x − 1) x→1 x − 1 1 = − l´ım = −1 . x→1 x Por lo tanto, f ′ (1) = −1. √ Ejemplo 226 Dada la función f (x) = x + 1, hallar f ′ (3).

= l´ım

1 x

Ahora x0 = 3 y como antes, tenemos que:

√ f (x) − f (x0 ) f (x) − f (3) x+1−2 = l´ım = l´ım x→x0 x→3 x→3 x − x0 x−3 x−3 √ √    x+1−2 x+1+2 x+1−4 1 = l´ım ·√ = l´ım ·√ x→3 x→3 x−3 x−3 x+1+2 x+1+2   1 1 1 x−3 ·√ = l´ım √ = . = l´ım x→3 x→3 x − 3 4 x+1+2 x+1+2

f ′ (3) =

l´ım

281

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Así, f ′ (3) = 14 . Ejemplo 227 Para f (x) = x2 , hallar f ′ (x0 ), donde x0 ∈ R, es arbitrario. Como antes, tenemos que:

f (x) − f (x0 ) x2 − x20 = l´ım x→x0 x − x0 x→x0 x − x0 (x + x0 ) (x − x0 ) = l´ım = l´ım (x + x0 ) x→x0 x→x0 x − x0

f ′ (x0 ) =

l´ım

= 2x0 . Por lo tanto, vemos que f ′ (x0 ) = 2x0 . Notar que, como x0 fue arbitrario, hemos obtenido que f ′ (x) = 2x.

 Ejemplo 228 Si f (x) = x2 , hallar f ′ (−2), f ′ − 32 , f ′ (3), f ′ 41 ,

Del Ejemplo 227, anterior, tenemos una fórmula para calcular la derivada de esta fun-

ción en cualquier punto x0 : f ′ (x0 ) = 2x0 . Por lo tanto, tenemos que:   2 4 f ′ (−2) = −4 , f′ − =− , 3 3   1 ′ ′ 1 = . f (3) = 6 , f 4 2 Ejemplo 229 Verificar que la función valor absoluto no es derivable en x0 = 0. Sea f (x) = |x|, para x ∈ R. Entonces: f ′ (0) = l´ım

x→x0

f (x) − f (0) |x| − |0| |x| = l´ım = l´ım . x→x0 x→x0 x x−0 x

Aquí debemos notar que la función en cuestión, es una función definida por tramos, ya que   x , si x ≥ 0 , |x| =  −x , si x < 0. Este límite fue calculado anteriormente y obtuvimos: l´ım

x→0−

|x| −x |x| x = l´ım = l´ım −1 = −1 = l´ım = l´ım = l´ım 1 = 1 . − − + + x x x x→0 x→0 x→0 x x→0+ x→0

Así, los límites laterales en x0 = 0 existen, pero son distintos. Por lo tanto, el límite dado |x| , x→0 x

en la definición de derivada, f ′ (0) = l´ım es derivable en x0 = 0.

no existe y luego, la función valor absoluto no

282

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Este es un ejemplo en el que la función está definida en x0 (en este caso x0 = 0), pero no es derivable en dicho punto. Es decir, no basta que x0 ∈ Dom (f) para poder derivar la función en dicho punto.

Resulta evidente que calcular las derivadas usando la definición se torna tedioso, poco práctico y hasta absurdo. Lo ideal es poder, como en el Ejemplo 227 de la función cuadrática, hallar una fórmula que nos permita conocer la derivada de la función, una fórmula general para cada caso posible. Según nuestra definición, si f es derivable en x0 , tenemos que f ′ (x0 ) está dada por f (x) − f (x0 ) . x→x0 x − x0 Definamos h = x − x0 . Entonces tenemos que x = x0 + h y, además f ′ (x0 ) = l´ım

x → x0

⇒

h→0.

Por lo tanto

f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) = l´ım . x→x0 h→0 x − x0 h Esto nos permite dar una definición alternativa de derivada. Así, tenemos una segunda f ′ (x0 ) = l´ım

definición de la derivada Definición 37 Si x ∈ R, diremos que f es derivable en x si existe el límite f (x + h) − f (x) , h en cuyo caso, decimos que la derivada de f en x es este límite y escribimos l´ım

h→0

f (x + h) − f (x) . h
 Ejemplo 230 Si f (x) = 2x2 + x − 1, hallar f ′ − 21 , f ′ (−1), f ′ (0), f ′ (2). Según lo que f ′ (x) = l´ım

h→0

hemos dicho, tenemos que, en general, en cualquier punto x, la derivada f ′ (x) viene dada por el siguiente límite:  
 2 (x + h)2 + (x + h) − 1 − 2x2 + x − 1

f (x + h) − f (x) = l´ım h→0 h h
2 
2  2 2 x + 2xh + h + (x + h) − 1 − 2x + x − 1 = l´ım h→0 h 2 h (4x + 2h + 1) 4xh + 2h + h = l´ım = l´ım = l´ım (4x + 2h + 1) h→0 h→0 h→0 h h

f ′ (x) =

l´ım

h→0

= 4x + 1 . 283

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′ Así, hemos obtenido que f ′ (x) = 2x2 + x − 1 = 4x + 1. Luego   1 ′ = −1 , f ′ (−1) = −3 , f − 2 f ′ (0) = 1 ,

f ′ (2) = 9 .

Ejemplo 231 (Derivada de una función Constante) Sea f (x) = c, para todo x ∈ R,

donde c ∈ R (fijo). Entonces: f ′ (x) =

l´ım

h→0

f (x + h) − f (x) h

=

l´ım

h→0

c−c h

= l´ım 0 = 0 . h→0

Es decir, la derivada de una función constante es cero f ′ (x) = (c)′ = 0, y decimos, informalmente que la derivada de una constante es cero. Ejemplo 232 (Derivada de la función Identidad) Sea f (x) = x, para x ∈ R, la

función identidad. Entonces

f (x + h) − f (x) h→0 h = l´ım 1 = 1 .

f ′ (x) =

l´ım

(x + h) − x h→0 h

= l´ım

h→0

Es decir, la derivada de la función identidad es 1, f ′ (x) = (x)′ = 1, y decimos, simplemente que la derivada de x es 1. Ejemplo 233 (Derivada de la función Raíz Cuadrada) Sea f (x) = Entonces f ′ (x)

√ x, para x ≥ 0.

√ √ x+h− x f (x + h) − f (x) = l´ım = l´ım h→0 h→0 h h √ √ √ √  x+h− x x+h+ x = l´ım ·√ √ h→0 h x+h+ x   x+h−x 1 = l´ım ·√ √ h→0 h x+h+ x =

1 l´ım √ √ h→0 x + h + x

=

1 √ . 2 x

√ ′ 1 Es decir, la derivada de la función raíz cuadrada es f ′ (x) = ( x) = √ . 2 x 284

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Ejemplo 234 (Derivada de la función Seno) Consideremos la función seno, es decir, f (x) = sin x, para x ∈ R. Entonces sin (x + h) − sin x f (x + h) − f (x) = l´ım h→0 h h   sin x cos h + sin h cos x − sin x = l´ım h→0 h

f ′ (x) =

= = = = =

l´ım

h→0

sin x (cos h − 1) + cos x sin h h→0 h sin x (cos h − 1) cos x sin h + l´ım l´ım h→0 h→0 h h 1 − cos h sin h − sin x l´ım cos x l´ım h→0 h→0 h h   1 − cos h 1 + cos h cos x − sin x l´ım · h→0 h 1 + cos h   1 − cos2 h 1 cos x − sin x l´ım · h→0 h 1 + cos h l´ım

1 1 − cos2 h · l´ım h→0 1 + cos h h→0 h 2 1 sin h = cos x − sin x l´ım h→0 2 h sin h 1 · l´ım sin h = cos x − sin x l´ım h→0 h h→0 2 1 = cos x − sin x · 1 · 0 = cos x . 2

= cos x − sin x l´ım

Así, podemos decir que la derivada de la función seno es el coseno, es decir, tenemos que f ′ (x) = (sen x)′ = cos x. Ejemplo 235 (Derivada de la función Coseno) Consideremos la función coseno, es decir, f (x) = cos x, para x ∈ R. Entonces f (x + h) − f (x) cos (x + h) − cos x = l´ım h→0 h→0 h h   cos x cos h − sin h sin x − cos x = l´ım h→0 h

f ′ (x) =

l´ım

sin x sin h cos x (cos h − 1) + l´ım h→0 h→0 h h 1 − cos h sin h − cos x l´ım = − sin x l´ım h→0 h→0 h h = − l´ım

285

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= − sin x − cos x l´ım

h→0

= − sin x − cos x l´ım

h→0





1 − cos h 1 + cos h · h 1 + cos h



1 − cos2 h 1 · h 1 + cos h



1 1 − cos2 h · l´ım h→0 1 + cos h h→0 h 2 1 sin h = − sin x − cos x l´ım h→0 2 h 1 sin h · l´ım sin h = − sin x − cos x l´ım h→0 h h→0 2 1 = − sin x − cos x · 1 · 0 2 = − sin x − cos x l´ım

= − sin x .

Así, podemos decir que la derivada de la función coseno es menos el seno f ′ (x) = (cos x)′ = − sin x. Ejemplo 236 Sea f (x) =

1 , para x = 0. Entonces: x

f (x + h) − f (x) h x−x−h 1 1 −h x(x+h) x+h − x = l´ım = l´ım = l´ım h→0 h→0 hx (x + h) h→0 h h 1 −1 =− 2 . = l´ım h→0 x (x + h) x

f ′ (x) = l´ım

h→0

Observación 125 De acuerdo a los cálculos anteriores, podemos verificar que tenemos la siguiente tabla básica de derivadas: f (x)

f ′ (x)

c (cte)

0

xp

pxp−1

sin x

cos x

cos x

− sin x

Teorema 72 Si f es una función derivable en x0 , entonces f es continua en x0 . Demostración. Como f es derivable en x0 , entonces existe la derivada en dicho punto, f ′ (x0 ) = l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) , x − x0

286

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por lo que f está definida en x0 . Sólo resta probar que l´ım f (x) = f (x0 ). Para ello, notar x→x0

que f (x) = f (x0 ) + Luego l´ım f (x) =

x→x0

= = =

f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) . x − x0

  f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) l´ım f (x0 ) + x→x0 x  − x0  f (x) − f (x0 ) l´ım f (x0 ) + l´ım (x − x0 ) x→x0 x→x0 x − x0 f (x) − f (x0 ) f (x0 ) + l´ım l´ım (x − x0 ) x→x0 x→x0 x − x0 f (x0 ) + f ′ (x0 ) l´ım (x − x0 ) x→x0

= f (x0 ) El siguiente teorema nos da las reglas básicas que nos permiten derivar funciones un poco más arbitrarias. Teorema 73 Sean f y g funciones derivables y λ ∈ R. Entonces también son derivables, f en los dominios correspondientes, las funciones f + g, λ · f , f · g y (donde g no se anule). g Además, sus derivadas son: (i) (f + g)′ = f ′ + g ′ . (ii) (λ · f )′ = λ · f ′ . (iii) (f · g)′ = f ′ · g + f · g ′ .  ′ f f ′ · g − f · g′ (iv) = . g g2 Demostración. Sólo probaremos (i). Según la definición dada recientemente, tenemos: (f ± g)′ (x) = = = = =

(f ± g) (x + h) − (f ± g) (x) h→0 h f (x + h) ± g (x + h) − f (x) − g (x) l´ım h→0 h   f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x) l´ım ± h→0 h h f (x + h) − f (x) g (x + h) − g (x) l´ım ± l´ım h→0 h→0 h h ′ ′ f (x) ± g (x) . l´ım

287

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Observación 126 Notar que f − g = f + (−g). Así, de inmediato podemos ver que (f − g)′ = (f + (−g))′ = f ′ + (−g)′

=

f′

− g′

(P or (i)) (P or (ii))

Ejemplo 237 Hallar la derivada f ′ (x) de la función f (x) = 3x4 − 2x3 + 3x2 + 5x − 3. En este primer ejemplo realizaremos todos los pasos para el cálculo de la derivada:
4 ′ 3x − 2x3 + 3x2 + 5x − 3
′
′
′ = 3x4 − 2x3 + 3x2 + (5x)′ − (3)′ (P or (i))
′
′
′ = 3 x4 − 2 x3 + 3 x2 + 5 (x)′ + 0 (P or (ii))

f ′ (x) =

= 3 · 4x3 − 2 · 3x2 + 3 · 2x + 5 = 12x3 − 6x2 + 6x + 5 .

Ejemplo 238 Hallar la derivada f ′ (x) de la función f (x) = 2x3 − 2 cos x + 3 sin x.

Como debemos separar en las sumas y restas para derivar, y luego dejar las constantes

sin derivar para multiplicar, tenemos: f ′ (x) =


′
3 ′ 2x − 2 cos x + 3 sin x = 2 x3 − 2 (cos x)′ + 3 (sin x)′

= 2 · 3x2 − 2 · (− sin x) + 3 cos x = 6x2 + 2 sin x + 3 cos x . Ejemplo 239 Hallar la derivada f ′ (x) de la función f (x) = 2x5 + f ′ (x) =

√ x − 3 sin x.


5 √ ′
′ 2x + x − 3 sin x = 2x5 + x1/2 − 3 sin x

1 1 = 2 · 5x4 + x−1/2 − 3 cos x = 10x4 + √ − 3 cos x . 2 2 x Ejemplo 240 Hallar la derivada f ′ (x) de la función f (x) = f ′ (x)

3 + 3 cos x + sin x. x



′
′ 3 = + 3 cos x + sin x = 3x−1 + 3 cos x + sin x x 3 = 3 · (−1) x−2 − 3 sin x + cos x = − 2 − 3 sin x + cos x . x

288

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Ejemplo 241 Hallar la derivada f ′ (x) de la función f (x) = x3 cos x +


′  x ′ x ′ = x3 · cos x + sin x sin x ′
′ (x) sin x − x (sin x)′ = x3 · cos x + x3 · (cos x)′ + sin2 x sin x − x cos x = 3x2 cos x − x3 sin x + sin2 x cos x 1 −x 2 = 3x2 cos x − x3 sin x + sin x sin x

f ′ (x) =



x . sin x

x3 cos x +

= 3x2 cos x − x3 sin x + csc x − x cot x csc x. Ejemplo 242 Hallar la derivada f ′ (x) de la función f (x) = sin 2x + tan x.   sin x ′ ′ ′ f (x) = (sin 2x + tan x) = 2 sin x cos x + cos x  ′
 cos2 x + sin2 x sin x = 2 (sin x cos x)′ + = 2 cos2 x − sin2 x + cos x cos2 x = 2 cos 2x + sec2 x .

Ejemplo 243 Hallar la derivada f ′ (x) de la función f (x) = f ′ (x)

=



x2 cos x x+1

′

=

x2 cos x . x+1


 2x cos x − x2 sin x (x + 1) − x2 cos x (x + 1)2

=

2x2 cos x + 2x cos x − x3 sin x − x2 sin x − x2 cos x (x + 1)2

=

(x + 2) x cos x − (x + 1) x2 sin x (x + 1)2

Observación 127 En la práctica, aparece con frecuencia la necesidad de derivar las fun1 √ ciones , x, tan x y sec x, por lo que puede resultar útil considerar una tabla de derivadas x básicas que las incluya: f (x) f ′ (x) −1 1 x2 x 1 √ √ x 2 x tan x

sec2 x

sec x

sec x tan x 289

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Debe tenerse claro que esta tabla es una consecuencia del álgebra de derivadas y la tabla básica dada anteriormente, por lo que aún siendo muy útil, no es necesario aprenderla de memoria. Invitamos al estudiante a verificar la derivada de la función secante dada en esta tabla. Ejemplo 244 Dada la función f (x) = 3 tan x − x sec x, hallar su derivada f ′ (x). f ′ (x) = (3 tan x − x sec x)′ = 3 sec2 x − (sec x + x sec x tan x) = 3 sec2 x − sec x − x sec x tan x . 3 √ + x sec x, hallar su derivada f ′ (x). x  ′ 1 √ ′ f (x) = 3 + x sec x x √ 1 1 = −3 2 + √ sec x + x sec x tan x . x 2 x

Ejemplo 245 Dada la función f (x) =

Observación 128 Supongamos que y es una variable dependiente, digamos que depende de la variable independiente x, es decir, y = f (x), donde f es una función derivable. Entonces podemos escribir la derivada de esta función como y ′ , esto es y′ = f ′ (x) . √ Ejemplo 246 Sea y = 3x4 − 4 x. Entonces
√ ′ 2 y ′ = 3x4 − 4 x = 12x3 − √ . x

Ejemplo 247 Sea u = 2t3 − t2 cos t. Entonces


′ u′ = 2t3 − t2 cos t = 6t2 − 2t cos t + t2 sen t .

6.2.

Ejercicios



 1. Dada la función f (x) = x2 − 3x + 1, hallar f ′ (−2), f ′ − 21 , f ′ (0), f ′ 32 , f ′ (1).

2. Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:

290

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(a) f (x) =

2 + x − x3 . x

(b) h (t) = 2t3 + t cos t .

(c) g (x) =

√ x sin x + x tan x .

(d) s (u) =

u2 +u . u+1

(e) f (t) =

t sin t . t+1

(f) g (x) =

x2 + 1 x+1 + . x x sin x

x3 x2 + − 2x, hallar todos los valores de x para los cuales se 3 2

3. Dada la función f (x) = tiene que f ′ (x) = −2. 4. Dada la función f (x) = tiene que f ′ (x) = 0.

6.3.

2 x2 + − 2, hallar todos los valores de x para los cuales se x 2

Regla de la cadena

Hasta ahora hemos trabajado con la derivada de diversas funciones y hemos utilizado el álgebra de derivadas para ir derivando funciones más generales. A continuación veremos la regla de la cadena, que nos permite derivar composición de funciones. Teorema 74 (Regla de la Cadena) Sean f y g dos funciones reales tales que su composición f ◦ g está definida. Si f es derivable en x y g es derivable en y = f (x). Entonces

la compuesta es derivable en x y su derivada viene dada por la fórmula (f ◦ g)′ (x) = f ′ (g (x)) · g ′ (x) . Notar que al derivar la composición de funciones, tenemos (f ◦ g)′ (x) = (f (g (x)))′ = f ′ (g (x)) · g ′ (x) .

Así, vemos que la derivación se realiza desde fuera hacia adentro. Específicamente, se deriva la primera función y esta derivada es evaluada en la función restante, para luego multiplicar por la derivada de esta última. Una forma simple de realizar la derivación con el uso de la regla de la cadena es usar una variable auxiliar, haciendo u = g (x), con lo cual (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (u) , 291

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y además, u′ = g′ (x). De esta forma, tendremos: (f ◦ g)′ (x) = (f (g (x)))′ = (f (u))′ = f ′ (u) · u′ = f ′ (g (x)) · g ′ (x) . Ejemplo 248 Para la función f (x) =

√ x2 + 1, hallar su derivada f ′ (x).

Haciendo u = x2 + 1, tenemos que u′ = 2x, por lo tanto √ ′ √ 1 f ′ (x) = x2 + 1 = ( u)′ = √ · u′ 2 u x 1 = √ · 2x = √ . 2 2 2 x +1 x +1 Ejemplo 249 Para la función f (x) = sin2 x, hallar su derivada f ′ (x). Aquí, notar que sin2 x = (sin x)2 . Por lo tanto, hacemos u = sin x, con lo que u′ = cos x, de donde f ′ (x) =


2 ′
2 ′ sin x = u = 2u · u′

= 2 sin x · cos x = sin 2x .


 Ejemplo 250 Para la función f (x) = tan x3 − 1 , hallar su derivada f ′ (x). Haciendo u = x3 − 1, tenemos que u′ = 3x2 , y



′ tan x3 − 1 = (tan u)′ = sec2 u · u′

 = sec2 x3 − 1 · 3x2 = 3x2 sec2 x3 − 1 .

f (x) =

Ejemplo 251 Para la función f (x) =

√ sec x, hallar su derivada f ′ (x).

Esta vez derivaremos sin usar la variable auxiliar. No debemos olvidar el orden en la derivación: √ 1 1 f ′ (x) = ( sec x)′ = √ · (sec x)′ = √ · sec x tan x 2 sec x 2 sec x √ sec x tan x 1 √ = = tan x sec x . 2 sec x 2 Antes de dar otros ejemplos, señalemos que las tablas dadas anteriormente para la derivada de las funciones básicas, las podemos reescribir con la idea de la variable auxiliar.

292

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De esta forma, si asumimos que u es la variable auxiliar, entonces obtenemos: f ′ (u) · u′

f (u) c (cte)

0

up

pup−1 · u′ cos u · u′

sin u cos u 1 u √ u

− sin u · u′ −1 ′ ·u u2 1 √ · u′ 2 u

tan u

sec2 u · u′

sec u tan u · u′

sec u


 Ejemplo 252 Hallar la derivada f ′ (x), de la función f (x) = tan3 2 − 3x2 .

En este ejemplo podemos notar que hay más de una composición. Además f (x) =


3 2 − 3x2 = tan 2 − 3x2 , por lo que podemos hacer u = 2 − 3x2 y v = tan u,

tan3

por lo que



3 f (x) = tan 2 − 3x2 = v3,

donde u′ = −6x y v′ = sec2 u · u′ . Por lo tanto 

3 ′
3 ′ = v = 3v2 · v′ f ′ (x) = tan 2 − 3x2

 = 3 tan2 u · sec2 u · u′ = 3 tan2 2 − 3x2 · sec2 2 − 3x2 · (−6x)

 = −18x tan2 2 − 3x2 sec2 2 − 3x2 .

Ejemplo 253 Hallar la derivada f ′ (x), de la función f (x) = f ′ (x)

=



1 cos (x2

′

=−

1 cos2 (x2

1 . cos (x2 + 2x)



′ · cos x2 + 2x

+ 2x) + 2x)


′ 1 = − 2 2 · − sin x2 + 2x · x2 + 2x cos (x + 2x)
2  1 = · sin x + 2x · (2x + 2) cos2 (x2 + 2x)
 2 (x + 1) sin x2 + 2x . = cos2 (x2 + 2x) 293

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Finalizaremos esta sección con un importante resultado respecto a la derivada de la función inversa. Supongamos que f : I → J es una función derivable en todo I y asumamos que f es invertible con inversa g = f −1 : J → I, donde I, J son intervalos en R. Asumamos

que f ′ (g (x)) = 0, para x ∈ J. Entonces, ya que f y g son una la inversa de la otra (f ◦ g) (x) = x o bien f (g (x)) = x. Usando la regla de la cadena en esta última ecuación, tenemos que (f (g (x)))′ = 1 de donde f ′ (g (x)) · g ′ (x) = 1. Así, g′ (x) =

1 f ′ (g (x))

.

Es decir, hemos obtenido el siguiente teorema Teorema 75 Sea f : I → J una función derivable en todo I, invertible con inversa g = f −1 : J → I, donde I, J son intervalos en R. Asumamos que f ′ (g (x)) = 0, entonces

g es derivable en x y se cumple que

g ′ (x) =

6.4.

1 f ′ (g (x))

=

1 f ′ (f −1 (x))

.

Ejercicios

Para las siguientes funciones, hallar la derivada f ′ de cada una de ellas: 2x − 1 x+2 (1) f (x) = . (2) f (x) = . x+3 2x − 1 √ √ (3) f (x) = 3x4 + x2 x + 2 . (4) f (t) = 3 − t − 2 . √ 4 − cos2 x (5) f (x) = . sin x √ (7) f (s) = 1 + 5 − 4s − s2 . (9) f (x) = cos x

√ sec2 x − 2 .

(6) f (x) = 3 − (8) f (t) = 1 −

√ 4 + tan2 3x . √ 5 − 4t − t2 .

x2 (10) f (x) = √ . tan x + 2 294

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6.5.

Interpretación geométrica

Recordemos que si consideramos la curva dada por y = f (x), donde f es una función, podemos obtener, por medio de la derivación, la pendiente mT de la recta tangente a tal curva en los puntos donde existe la derivada y, por lo tanto, también podemos obtener la pendiente mN de la recta normal a la curva en dichos puntos. Lo anterior lo obtuvimos considerando la curva y = f (x) y suponiéndo que P0 (x0 , y0 ) es un punto de ella. Entonces y0 = f (x0 ), por lo que P0 = P0 (x0 , f (x0 )). Así, si x es otro punto del dominio de f . Entonces P (x, y) = P (x, f (x)) es otro punto de la curva y la recta secante que pasa por P0 y P , tiene pendiente m=

y − y0 f (x) − f (x0 ) = . x − x0 x − x0

Luego, por un proceso de límite, obtuvimos mT = l´ım

x−→x0

y − y0 f (x) − f (x0 ) = l´ım = f ′ (x0 ) , x − x0 x−→x0 x − x0

la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P0 (x0 , y0 ) = P0 (x0 , f (x0 )). Ejemplo 254 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 + 1 en el punto P0 (1, 2) Este problema ya fue resuelto en el Ejemplo 220 pero sin el uso específico de la derivada. Ahora recordemos que mT = f ′ (x0 ), y en este caso x0 = 1, y0 = f (1) = 2. Como y = f (x) = x3 + 1, entonces f ′ (x) = 3x

=⇒

mT = f ′ (1) = 3 .

295

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Por lo tanto, queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 (1, 2) y tiene pendiente mT = 3. Así y − y0 = mT (x − x0 ) y − 2 = 3 (x − 1) 3x − y − 1 = 0 .

Ejemplo 255 Dada la curva y =

√ x2 + 1, hallar la ecuación de la recta tangente a ella

en el punto cuya abscisa es x0 = −1.

Sea P 0 (x0 , y0 ) el punto de tangencia. Como y = f (x) = √ f (−1) = (−1)2 + 1 = 2. Además x f (x) = √ x2 + 1 ′

=⇒

√ x2 + 1, entonces y0 =

√ 1 2 mT = f (−1) = − √ = − . 2 2 ′

296

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√ √ 
Luego, la ecuación de la recta que pasa por P0 −1, 2 y cuya pendiente es mT = − 22 , es

y − y0 = mT (x − x0 ) √ √ 2 (x + 1) y− 2 = − 2 √ x + 2y − 1 = 0 .

Ejemplo 256 Dada la curva y =

√ x3 + 1, hallar la ecuación de la recta tangente a ella

en los puntos cuya ordenada es y0 = 3. Si suponemos que P0 (x0 , y0 ) es el punto de tangencia, entonces y0 = 3, y como y = √ x3 + 1, entonces  y0 = 3 = f (x0 ) = x30 + 1 ⇒ x0 = 2. Por lo tanto P0 = P0 (2, 3).

Por otra parte

3x2 f ′ (x) = √ 2 x3 + 1

⇒

mT = f ′ (2) = 2 .

Luego y − 3 = 2 (x − 2) 2x − y − 1 = 0 . Recordar que la recta normal a una curva en un punto P0 de ella, es la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la recta tangente a la curva en P0 . 297

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Ejemplo 257 Hallar la ecuación de la recta normal a la curva y = x3 + 1, en el punto (1, 2). Ya hemos calculado antes la ecuación de la recta tangente a esta curva, LT , en el punto dado. Obtuvimos mT = f ′ (1) = 3. Como ahora queremos la recta LN , LN ⊥ LT , entonces

mN = − m1T = − 13 . Por lo tanto

y − y0 = mN (x − x0 ) 1 y − 2 = − (x − 1) 3 x + 3y − 7 = 0 .

Ejemplo 258 Hallar la ecuación de la recta normal a la curva y =

√ x2 + 1 en el punto

cuya abscisa es x0 = −1.

Este problema fue resuelto en el Ejemplo 221, y ya calculamos antes la ecuación de la √ 
recta tangente a esta curva en el punto indicado, P0 −1, 2 , cuya pendiente es mT =

f ′ (−1) = − √12 .

298

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Como LN ⊥ LT , entonces mN =

1 mT

=

√ 2. Por lo tanto

y − y0 = mN (x − x0 ) √ √ y− 2 = 2 (x + 1) √ √ 2x − y + 2 2 = 0 .

6.6.

Ejercicios

1. Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva y = 2x − x2 , en los puntos que se indica: (a) P (−1, −3) .

(b) P (1, 1) .

(c) P (2,0) .

2. Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva y = 2 −

√ 3 + x2 en los

puntos cuya abscisa es la que se indica: (a) x = 0.

(b) x = −1.

(c) x = 1.

3. Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva y =

x2 − 4 tiene pendiente nula. x2 + 4

4. Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva y = x − sin x es horizontal. Considere − π2 ≤ x ≤

5π 2 .

5. Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva y = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 20 es paralela al eje X.

6. Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva y = 12 x2 − 2x + 2 tiene un ángulo de inclinación de 45o .

7. Hallar los puntos donde la recta tangente a la curva y = x3 + x +

2 3

es paralela a la

recta de ecuación 4x − y + 3 = 0.

6.7.

Derivadas de orden superior y otras notaciones

De acuerdo a lo que hemos visto hasta ahora, si f es una función derivable entonces su derivada f ′ es otra función real, que se ha obtenido a partir de f . Es decir, podemos escribir g (x) = f ′ (x) . 299

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Si esta nueva función resulta ser una función derivable, entonces existe su derivada g′ y decimos que f es dos veces derivable y tenemos
′ g ′ (x) = f ′ (x) ,

que la denotamos por


′ g ′ (x) = f ′ (x) = f ′′ (x) ,

y la llamamos la Segunda Derivada de f (o derivada de segundo orden). Así, la segunda derivada de f es la derivada de la primera derivada de f :
′ f ′′ (x) = f ′ (x)

Ejemplo 259 Dada la función f (x) = 3x3 − 3x2 + 2x − 4, hallar su segunda derivada. f ′ (x) =


3 ′ 3x − 3x2 + 2x − 4

= 9x2 − 6x + 2 , luego f ′′ (x) =


′ ′
′ f (x) = 9x2 − 6x + 2

= 18x − 6 .


 Ejemplo 260 Dada la función f (x) = cos x2 − 3x , hallar su segunda derivada.

2 ′′ cos x − 3x

 ′ = − sin x2 − 3x · (2x − 3)

′ = − (2x − 3) sin x2 − 3x

 = −2 sin x2 − 3x − (2x − 3)2 cos x2 − 3x .

f ′′ (x) =

De igual forma al caso anterior, si f ′′ existe y es derivable, decimos que f es tres veces derivable y su tercera derivada, o derivada de tercer orden, es
′ f ′′′ (x) = f ′′ (x) ,

es decir, la tercera derivada de f es la derivada de la segunda derivada f ′′ . Podemos continuar con esta idea y definir la derivada de orden n, o n-ésima derivada de f, la que denotamos por f (n) y está dada por  ′ f (n) (x) = f (n−1) (x) , n = 1, 2, 3 . . . 300

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y definimos la derivada de orden cero, f (0) , como la propia función f (0) (x) = f (x) . Ejemplo 261 Hallar la derivada de orden 4 de la función f (x) = cos 3x. f ′ (x) = −3 sin 3x ,

f ′′ (x) = −9 cos 3x ,

f ′′′ (x) = 27 sin 3x ,

f (4) (x) = 81 cos 3x . Ejemplo 262 Dada la función f (x) = sen x, hallar una fórmula para f (n) (0), para n = 0, 1, 2, 3, . . . f (0) (x) = f (x) = sin x f ′ (x) = cos x f ′′ (x) = − sin x

f ′′′ (x) = − cos x

f (4) (x) = sin x

=⇒

f ′ (0) = cos 0 = 1 ,

=⇒

f ′′ (0) = − sin 0 = 0 ,

=⇒ =⇒ =⇒

f (0) (0) = sin 0 = 0 ,

f ′′′ (0) = − cos 0 = −1 ,

f (4) (0) = sin 0 = 0 ,

vemos entonces que f (2n) (0) = 0 , para n = 0, 1, 2, 3, . . . f (2n+1) (0) = (−1)n , para n = 0, 1, 2, 3, . . . Según lo que hemos dicho, si y = f (x), las derivadas de esta función las podemos escribir como: y (0) = f (x) , y ′ = f ′ (x) , y ′′ = f ′′ (x) , y ′′′ = f ′′′ (x) , y (4) = f (4) (x) , . . . Otra forma de escribir las derivadas, y que resulta ser de gran utilidad en diferentes situaciones, es usando la notación de Leibniz. Por ejemplo, para la primera derivada tenemos:   dy dy  df df  ′ ′ y = f (x) = (x) = = (x) = dx dx x dx dx x

En la notación de Leibniz tenemos la ventaja que se indica la función que se está derivan-

do, respecto a qué variable se está derivando y en qué punto se está evaluando: 301

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Derivada de la funci´ on y ց (Derivada de y con respecto a x evaluada en x0 )

dy (x0 ) ← Derivada evaluada en x0 . dx

Derivada respecto a la variable x ր

Derivada de la funci´ on f ց (Derivada de f con respecto a x evaluada en x0 )

df (x0 ) ← Derivada evaluada en x0 . dx

Derivada respecto a la variable x ր Para indicar dónde se está evaluando la derivada, también hemos señalado que se usan las notaciones:

  dy dy  dy  (x0 ) = = dx dx x=x0 dx x0   df df  df  (x0 ) = = dx dx x=x0 dx x0

Si estamos calculando la derivada de una función y no hay peligro de confusión, podemos omitir dónde se está evaluando la derivada, es decir, y′ =

dy dy = (x) , dx dx

f ′ (x) =

df df = (x) . dx dx

Nota: Debemos tener claro que la notación de Leibniz para la derivada no es otra cosa que una notación, y no debemos pensarla como un cuociente. Usando la notación de Leibniz, las derivadas de orden superior para y = f (x) se escriben como se indican a continuación:    
′ ′ d dy d2 y d df d2 f ′′ y = y = = 2 = = 2 = f ′′ (x) , dx dx dx dx dx dx  2   2  3
′ d d y d y d d f d3 f y ′′′ = y′′ = = = = = f ′′′ (x) , dx dx2 dx3 dx dx2 dx3 .. .  n−1   n−1   ′ d y dn y d d f dn f d = = = = f (n) (x) , y(n) = y (n−1) = dx dxn−1 dxn dx dxn−1 dxn 302

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para n = 1, 2, 3, . . ., y como antes y (0) = y =

d0 y d0 f = = f (0) (x) = f (x) . dx0 dx0

Es importante entender que la notación de Leibniz nos indica exactamente cuál es la variable respecto a la que se realiza la derivación. √ df . Ejemplo 263 Consideremos la función f (t) = 3at3 + 2 t. Hallar dt √ df d  3 = 3at + 2 t dt dt 1 = 9at2 + √ . t Ejemplo 264 Dada la función f (s) = a cos 3s + s sin bs, hallar

df . ds

df d = (a cos 3s + s sin bs) ds ds = −3a sin 3s + sin bs + bs cos bs .  dy  2 . Ejemplo 265 Si y = 2 sin 5t + t cos 2t, calcular dt t=0 dy dt

 d
2 sin 5t + t2 cos 2t dt = 10 cos 5t + 2t cos 2t − 2t2 sin 2t . =

Luego

 dy  = 10 + 0 − 0 = 10 . dt t=0  du  2 Ejemplo 266 Para u = 4sr − r cos r, calcular . dr r=0

Luego

 du d
2 = 4sr − r cos r = 8sr − cos r + r sin r. dr dr  du  = 0 − 1 − 0 = −1 . dr r=0

303

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 dn z  , donde n = 0, 1, 2, 3, . . . Ejemplo 267 Si z = cos 3t, hallar una fórmula para dtn t=0  d0 z d0 z  = z = cos 3t =⇒ =1 , dt0 dt0 t=0  dz  dz = −3 sin 3t =⇒ =0 , dt dt t=0  d2 z d2 z  2 = −3 cos 3t =⇒ = −32 , dt2 dt2 t=0  d3 z d3 z  3 = 3 sin 3t =⇒ =0 , dt3 dt3 t=0  d4 z d4 z  4 = 3 cos 3t =⇒ = 34 , dt4 dt4 t=0

Vemos que la derivadas de orden impar se anulan y para las derivadas de orden par tenemos:  d2n z  = (−1)n 32n , para n = 0, 1, 2, 3, . . . dt2n t=0

Finalizamos esta sección con un comentario respecto a la composición de funciones y la

derivada en la notación de Leibniz. Asumamos que h = f ◦ g, es decir, h (x) = f (g (x)). Si

hacemos u = g (x), entonces u′ = g ′ (x) y h = f (u), donde u es una función de x. Así h′ (x) = f ′ (g (x)) · g′ (x) = f ′ (u) · u′ , es decir,

6.8.

dh df du = · . dx du dx

Ejercicios

1. Dada la función y = f (x) = x2 − x cos x, hallar las derivadas que se indican a continuación: dy (a) . dx

6.9.

 d2 y  (b) . dx2 0

(c)

y ′′′

 d4 f  (d) . dx4 x=0

.

Interpretación física

Hemos dicho que podemos interpretar la derivada de una función real de dos formas. Una de las interpretaciones es desde el punto de vista geométrico, como la pendiente de la 304

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recta tangente a una curva, ya vista anteriormente. Otra interpretación es como una razón de cambio, o simplemente como una velocidad instantánea. En el inicio de este capítulo obtuvimos esta última interpretación. Para ello supusimos que un objeto se mueve en línea recta de modo que se está alejando de un punto fijo A y su distancia a dicho punto fijo está dada por una función real s (t), donde s es la distancia que separa al objeto del punto A y t es el tiempo. De esta forma la función s es creciente y s (0) = 0.

Considerando un instante fijo t0 , tenemos el punto s (t0 ), y si tomamos un instante arbitrario t, entonces tenemos el punto s (t) correspondiente a ese tiempo. Si suponemos que t0 < t, entonces s (t0 ) < s (t). La velocidad media del objeto, entre los puntos s (t0 ) y s (t), es

distancia recorrida s (t) − s (t0 ) = >0. tiempo transcurrido t − t0 Luego, por un proceso de límite, obtenemos la velocidad instantanea en el instante t0 , como vm =

se hizo al inicio de este capítulo s (t) − s (t0 ) = s′ (t0 ) = v (t0 ) l´ım t→t0 t − t0



 unidad de distancia . unidad de tiempo

Por lo tanto, si s (t) es la función posición, entonces su derivada representa la velocidad instantanea: v (t) = s′ (t)

, velocidad en el instante t .

Podemos decir que la velocidad mide (o es) la razón de cambio de la (función) posición con respecto al tiempo, es decir, mide cómo está cambiando la distancia con respecto al tiempo. Notar que si suponemos que el objeto se está alejando del punto fijo A, entonces, según nuestro modelo hemos obtenido que v (t) = s′ (t) > 0. Pero si suponemos que el objeto se está acercando, entonces tendremos que t < t0 , por lo que t − t0 < 0, además s (t0 ) < s (t),

luego s (t) − s (t0 ) > 0, por lo tanto

lo que muestra que

s (t) − s (t0 ) 0, aceleración positiva, entonces la velocidad está aumentando, y si a (t) < 0, aceleración negativa, entonces la velocidad está disminuyendo. Además, debe resultar claro que si a (t) = 0, aceleración nula, entonces la velocidad no está cambiando, es decir, la velocidad es constante. Ejemplo 268 Un objeto se mueve de modo que su distancia a un punto fijo dado, medida en metros, a los t minutos, es s (t) = 16t2 + 64t . Determinar si el objeto se está alejando o si se está acercando al punto fijo y hallar la velocidad y la aceleración a los 2 minutos. Parte de este problema fué resuelto en el Ejemplo 222, pero sin el uso explícito de la derivada. Ahora calculamos la velocidad usando la derivada: v (t) = s′ (t) = 32t + 64 , y observamos que v (t) = 32t + 64 > 0, para todo t ≥ 0. Por lo tanto el objeto se está alejando del punto fijo. Por otra parte

   m  m ′ v (2) = 128 , y a (t) = v (t) = 32 , para todo t . m´ın m´ın2

Ejemplo 269 Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo, de modo que su altura, en metros, a los t segundos, está dada por la ecuación h (t) = 80t − 16t2 . 306

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a) Hallar la velocidad del objeto a los

3 2

segundos e interpretar esta velocidad.

b) Hallar la velocidad del objeto a los 3 segundos e interpretar esta velocidad. c) ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto? d) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? e) ¿Cuál es la velocidad con la que el objeto impácta la tierra al volver al suelo? Indicar la aceleración del objeto.

a) Lo primero es calcular la velocidad en cualquier instante: m v (t) = h′ (t) = 80 − 32t . s Luego

v Como v


3 2

= h′


3 2


3 2

= h′


3 2

= 32

m s

.

> 0, entonces el objeto se está alejando del punto de lanzamiento,

es decir, en el instante t = 23 seg, el objeto está subiendo. b) v (3) = 80 − 96 = −16, es decir, v (3) = −16

m s

y como v (3) < 0, entonces el objeto

se está acercando al punto de lanzamiento, es decir, en el instante t = 3 [s], el objeto

está cayendo. c) La velocidad inicial es la velocidad en el intante del lanzamiento, es decir, en el instante   t = 0. Así, v (0) = 80 m s . 307

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d) La altura máxima la alcanzará en el momento en que se detiene y comienza a caer, es decir, cuando v (t) = 0. Así, podemos hallar el instante t en que esto ocurre: 80 − 32t = 0

⇒

t=

5 [s] . 2

Por lo tanto hm´ax

  5 25 5 = 80 · − 16 · = 200 − 100 = 100 [m] . =h 2 2 4

e) En este caso, debe ser h (t) = 0. Luego 80t − 16t2 = 0

=⇒

8t (10 − 2t) = 0,

de donde obtenemos que t = 0 o bien t = 5. El primero corresponde al momento del lanzamiento (inicial) y el segundo será el tiempo final. Por lo tanto, la velocidad de impacto es v (5) = 80 − 32 · 5 = −80

m

. s   Por otra parte, sabemos que la aceleración es a (t) = v ′ (t) = h′′ (t) = −32 sm2 .

Ejemplo 270 Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba desde lo más alto de un edificio. La altura del proyectil está dada por la ecuación h (t) = 120 + 50t − 5t2 , donde h se mide en metros y t en segundos. a) Hallar la altura del edificio. b) Hallar la velocidad inicial del proyectil. c) Hallar la velocidad del proyectil a los 3 y a los 6 segundos e interpretar estas velocidades. d) Hallar la velocidad con la que el proyectil impacta la tierra al llegar a ella. Indicar la aceleración del proyectil.

308

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a) La altura H del edificio es la altura desde la cual se lanza el proyectil, es decir, es la altura inicial h (0). Por lo tanto H = h (0) = 120 [m] . b) Calculamos la velocidad en cualquier instante: v (t) = h′ (t) = 50 − 10t . Así, la velocidad inicial es v (0) = 50

m s

.

c) A los 3 y a los 6 segundos, respectivamente, tenemos que la velocidad es: m m , v (6) = −10 . v (3) = 20 s s Por lo tanto, a los 3 segundos el proyectil está subiendo, mientras que a los 6 segundos, el proyectil está regresando a la tierra, es decir, está cayendo. d) Ahora debemos tener, h (t) = 0, es decir 120 + 50t − 5t2 = 0

⇐⇒

(t − 12) (t + 2) = 0,

de donde obtenemos dos tiempos: t = 12 y t = −2. El tiempo negativo corresponde a

un supuesto tiempo anterior al lanzamiento, por lo que nuestro tiempo a considerar es t = 12. Así, la velocidad de impacto es v (12) = 50 − 120 = −70 Finalmente, tenemos que la aceleración es

m

a (t) = v ′ (t) = h′′ (t) = −10

s

.

m s2

.

309

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6.10.

Ejercicios

1. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. La altura del cohete está dada por h (t) = 128t − 16t2 , donde t se mide en segundos y h en metros. a) ¿A qué altura se encuentra el cohete a los 2 segundos? b) ¿Cuál es la velocidad del cohete a los 2 segundos? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete? d) ¿Cuál es la velocidad del cohete al llegar al suelo? 2. Un jugador golpea una bola de billar, haciéndola moverse en línea recta, de modo que su distancia de la posición inicial a los t segundos es s (t) = 100t2 + 100t centímetros. Si la bola da en una banda que se encuentra a 39 cm., de su posición inicial, ¿a qué velocidad pega la bola en la banda? 3. Un cuerpo cae libremente de modo que su altura, a los t segundos, está dada por h (t) = 390 − 4, 9t2 , en metros. a) Hallar el tiempo que demora el cuerpo en caer al suelo. b) Calcular la velocidad y la aceleración del cuerpo a los t segundos después que se inicia el movimiento. c) ¿A qué altura se encontrará el cuerpo 5 segundos después de empezar a caer? d) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo al momento de tocar el suelo. 4. Un objeto se deja caer desde la azotea de un edificio. S i la altura del objeto, respecto al suelo, a los t segundos, está dada por h (t) = 80 − 5t2 , medida en metros: a) Hallar la velocidad media en el intervalo de tiempo [1, 2]. b) Hallar la velocidad del objeto a los

3 2

segundos.

c) Hallar la altura del edificio. d) Determinar el tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo. e) Determinar la velocidad del objeto en el instante en que llega al suelo. f ) Hallar la aceleración del objeto. 310

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5. Desde la superficie de la luna se lanza un objeto verticalmente hacia arriba de modo que su altura está dada por la ecuación h (t) = 27t −

27 2 4 t ,

donde h se mide en pies y

t en segundos.

a) Hallar la altura máxima que alcanza el objeto. b) Hallar el tiempo que demora el objeto en regresar a la superficie de la luna. c) Hallar la velocidad con la que el objeto impacta la superficie de la luna a su regreso. 6. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba desde lo más alto de un edificio, de modo que su altura respecto al suelo, en metros, a los t segundos, está dada por h (t) = 50 + 40t − 5t2 .Determinar: a) La altura desde la que fue lanzado el proyectil. b) La velocidad con la que el proyectil impacta la tierra al llegar al suelo. c) La altura máxima que alcanza el proyectil, en relación al suelo. 7. Un objeto esférico se suelta desde el extremo superior de un plano inclinado, de modo que su distancia, en metros, al extremo inferior de dicho plano, a los t segundos, está dada por s (t) = 245 − 5t2 . a) Hallar la longitud del plano donde se desliza el objeto esférico. b) Hallar la velocidad del objeto a los 4 segundos. c) Hallar la velocidad del objeto al momento de abandonar el plano por donde se desliza.

6.11.

Derivación implícita

Si y = f (x) decimos que la variable y está definida explícitamente como una función de la variable x. Sin embargo, si y no está definida explícitamente como función de la variable x, esto es si y no está despejada en función de x, entonces decimos que y está definida implícitamente como función de x. Nuestro objetivo ahora es calcular la derivada de funciones que están definidas implícitamente.

311

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Ejemplo 271 Las siguientes ecuaciones definen la variable y como función explícita de x: (a) y = x cos3 x .

(b) y =

x sin x . x2 + cos x

Ejemplo 272 Las siguientes ecuaciones definen la variable y como función implícita de x: (a) x sin y − y 2 cos x = 1 .

(b) x2 + y 2 = 9 .

Observación 129 Es interesante observar que el último ejemplo, x2 + y 2 = 9, también puede ser expresado explícitamente por:  y = 9 − x2

,

 y = − 9 − x2 ,

pero en este caso obtenemos dos funciones diferentes.

Para derivar funciones definidas implícitamente, la idea central es el uso de la regla de la cadena. Es decir, si u es una función de x y f es una función de u, entonces (f (u))′ = f ′ (u) · u′ . De esta forma, si asumimos que la ecuación F (x, y) = 0 , define y como función de x, implícitamente, entonces estamos asumiendo que y = y (x) = u. Por lo tanto, tenemos que la ecuación es de la forma F (x, y (x)) = F (x, u) = 0 . dy . dx Para ver la derivación implícita la mejor forma de hacerlo, y prácticamente la única,

Así, podemos derivar esta función respecto a x y luego obtener y ′ =

es por medio de los ejemplos. En los primeros usaremos una función auxiliar, la que abandonaremos posteriormente. Ejemplo 273 La ecuación 2x3 − 3x2 y2 + x − y = 0, define implícitamente y como función dy de x. Hallar . dx Asumiendo que y = y (x) = u, la ecuación toma la forma: 2x3 − 3x2 (y (x))2 + x − y (x) = 0, 312

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o bien 2x3 − 3x2 u2 + x − u = 0, y tenemos que y ′ = y ′ (x) = u′ =

dy . Luego, derivando respecto a x, dx
3 ′ 2x − 3x2 u2 + x − u = 0′
′ 6x2 − 3 x2 · u2 + 1 − u′ = 0

6x2 − 6xu2 − 3x2 · 2u · u′ + 1 − u′ = 0.

De esto, volviendo a las variables originales, podemos ver que hemos obtenido la ecuación 6x2 − 6xy 2 − 6x2 y · y ′ + 1 − y′ = 0 , y despejando y′ , tenemos y′ = Ejemplo 274 Hallar la derivada por la ecuación

6x2 − 6xy 2 + 1 . 6x2 y + 1

dy , si y está definida implícitamente como función de x dx x cos y + y sin x = x.

Procediendo como antes, hacemos y = y (x) = u, de donde y′ = y ′ (x) = u′ = x cos (y (x)) + y (x) sin x = x, o bien x cos u + u sin x = x, y derivando respecto a x (x · cos u)′ + (u · sen x)′ = (x)′

cos u − x sin u · u′ + u′ · sin x + u cos x = 1

cos y − x sin y · y ′ + y ′ · sin x + y cos x = 1,

y obtenemos y′ =

1 − cos y − y cos x . sin x − x sin y

313

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dy . Así, dx

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 dy  = y′ |(1,1) , si y está definida implícitamente como Ejemplo 275 Hallar el valor de dx (1,1) función de x por la ecuación x3 + x2 y − xy 2 + y 3 = 2 . Una vez más, tenemos que y = y (x). Luego, derivando implícitamente, tenemos:
′
′ 3x2 + x2 · y − x · y 2 + 3y 2 · y ′ = 0

3x2 + 2xy + x2 y ′ − y2 − 2xy · y ′ + 3y2 y ′ = 0, y despejando y′ , y′ = Por lo tanto

y 2 − 3x2 − 2xy . x2 − 2xy + 3y 2

  −4 dy  = y ′ (1,1) = = −2 .  dx (1,1) 2

Ejemplo 276 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x2 − xy + y 2 − 1 = 0, en

el punto P (−1, −1).

Sabemos que la pendiente de la recta tangente es   dy  = y ′ (−1,−1) . mT =  dx (−1,−1)

Por lo tanto, debemos hallar implícita, tenemos

dy . Derivando directamente en la ecuación, usando la derivación dx
2 ′ x − xy + y 2 − 1 = 0

2x − (x · y)′ + 2y · y ′ = 0

2x − y − xy ′ + 2yy ′ = 0 ,

de donde y′ = Luego

dy y − 2x = . dx 2y − x

 dy  mT = = −1 . dx (−1,−1) 314

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Así, tenemos la pendiente de la recta que pasa por el punto P (−1, −1). Por lo tanto, la

ecuación de la recta tangente a la curva es

y − y0 = mT (x − x0 ) y + 1 = − (x + 1) x+y+2 = 0 . Ejemplo 277 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x2 y 2 + y cos x = 2 − x, en

los puntos cuya abscisa es x = 0.

Procediendo como en el ejemplo anterior, tenemos:
2 2 ′ x · y + y · cos x = (2 − x)′
2 2 ′ x · y + (y · cos x)′ = −1

2xy 2 + 2x2 y · y ′ + y ′ cos x − y sin x = −1, de donde

−1 − 2xy2 + y sin x . 2x2 y + cos x Vemos que para hallar mT , necesitamos las coordenadas del punto de tangencia, del cual y′ =

sólo conocemos su abscisa. Usando la ecuación de la curva y tomando x = 0, tenemos que y = 2. Por lo tanto, el punto de tangencia es P (0, 2). Así  dy  = −1 . mT = dx (0,2)

Así, tenemos la pendiente mT = −1 de la recta que pasa por el punto P (0, 2). Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva es

y − y0 = mT (x − x0 ) y − 2 = − (x − 0) x+y−2 = 0 . Ejemplo 278 Hallar la ecuación de la recta normal a la curva x2 + y 2 = 2, en los puntos cuya ordenada es y = 1. Procediendo como antes, tenemos
2 ′ x + y2 = 0

2x + 2y · y ′ = 0, 315

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de donde

x . y Calculamos el valor de la abscisa usando la ecuación dada para la curva, sabiendo que y = 1, y′ = −

por lo que obtenemos x = ±1 .Por lo tanto tenemos dos puntos de tangencia: P1 (1, 1) y

P2 (−1, 1). Así, tenemos dos pendientes  dy  = −1, en P1 mT1 = dx (1,1)

y

mT2

Luego, las pendientes de las normales son mN1 = 1 en P1

y

 dy  = 1, en P2 . = dx (−1,1)

mN2 = −1 en P2 .

De esta forma, tenemos las ecuaciones: LN1 :

y − y1 = mN1 (x − x1 )

:

y − 1 = 1 · (x − 1)

:

x−y =0 .

y LN2 :

6.12.

y − y2 = mN2 (x − x2 )

:

y − 1 = −1 · (x + 1)

:

x+y =0 .

Ejercicios

1. Hallar

dy en cada caso siguiente: dx

(a) y 3 − 3y + 2x = 0.
 (c) y = cos x2 + y 2 .   y x (e) + = 6. x y 2. Hallar

(b) x3 + x2 y 2 − 3axy = 2. (d) x2 =

x−y . x+y

(f) sin (x + y) + cos (x + y) = x2 − y 2 .

dy d2 y y en cada caso siguiente: dx dx2

(a) x2 + y 2 = 1. √ (c) x + y = x2 − y2 .

(b) y = sin (xy) . (d) x + y = cos (x + y) . 316

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3. Hallar la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal a la curva dada en el punto P0 que se indica:
2 (a) 5x2 y + 8x4 y 2 − 3 y 5 + x3 = 1 ; P0 (1, 1) . (b) (y − x)2 = 2x + 4 ; P0 (2, 3) .

(c) 2x3 − x2 y + y 3 − 1 = 0 ; P0 (2, −3) . 4. Hallar la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal a la curva x2 −3xy+y 2 = 5, en los puntos cuya abscisa es x0 = 1.

5. Hallar la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal a la curva x3 +y3 −xy = 1, en los puntos cuya ordenada es y0 = 1.

6. Hallar los puntos de la curva x2 y 2 + xy = 2 donde la recta tangente tiene pendiente mT = −1. 7. Hallar los puntos de la curva xy2 + x2 y = 16 donde la recta normal tiene pendiente mN = 1.

6.13.

Variables ligadas

Ya hemos visto que la derivada puede interpretarse como la velocidad. Pero la velocidad es en realidad la razón de cambio de la distancia respecto al tiempo o bien la tasa de variación de la distancia respecto al tiempo. Así, como una interpretación más general, podemos decir que la derivada es una razón de cambio o bien una tasa de variación. Por otra parte, la pendiente de la recta tangente a una curva dada, que la podemos obtener por medio de la derivada, la podemos interpretar como la razón de cambio o la tasa de variación del valor de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Es importante no olvidar esta interpretación general de la derivada; es decir, si y = y (x), entonces

dy dx

es la

razón de cambio o la tasa de variación de y respecto a x. Esta interpretación general junto con la regla de la cadena, en la notación de Leibniz, nos permite obtener la aplicación de la derivada a problemas de variables ligadas o de variables relacionadas. Recordemos que en la notación de Leibniz para la derivada, la regla de la cadena tiene una forma bastante simple, si y = y (x) y x = x (t), es decir, si y depende de x, y a su vez

317

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x depende de t, entonces y = y (x (t)) y tenemos que dy dx dy = · dt dx dt De esta forma, si dos de estas derivadas son conocidas, entonces podemos obtener la tercera. Ejemplo 279 Supongamos que y = y (x) y x = x (t). Si se sabe que   2 dx  2 dy  =− y = ,   dt x=1 3 dt x=1 5  dy  . hallar el valor de dx x=1 Notemos que, por las condiciones dadas, y = y (x (t)). Por lo tanto, según la regla de la cadena, tenemos que

de donde

y por lo tanto

dy dy dx = · , dt dx dt

   dy  dy  dx  = · dt x=1 dx x=1 dt x=1

⇒

 5 dy  =− .  dx x=1 3

 2 dy  2 − = ·  3 dx x=1 5

En este ejemplo y, x, t son variables ligadas o relacionadas, ya que y = y (x) = y (x (t)). Observación 130 Este ejemplo podría haber sido presentado de varias formas distintas. Por ejemplo, podríamos decir que: si se sabe que y está disminuyendo a razón de unidades respecto a t cuando t = 1, mientras que x está aumentando a razón de

2 5

2 3

de

unidades

respecto a t en el mismo instante, hallar la variación de y respecto a x cuando t = 1. Aquí tenemos la siguiente información: • y está disminuyendo a razón de 23 de unidades respecto a t cuando t = 1:  dy  = − 23 (el signo negativo indica que está disminuyendo o decreciendo), además dt x=1 nos indica que y depende de t.

• x está aumentando a razón de 52 unidades respecto a t en el instante en que t = 1:  dx  = 2 (positiva porque está aumentando o creciendo), además obtenemos que x dt x=1 5 depende de t. 318

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• hallar la variación de y respecto a x cuando t = 1:  dy  es el valor desconocido (a calcular), además y depende de x. dx x=1

Los datos se completan relacionando las variables y, x, t por medio de las ecuaciones

y = y (x), x = x (t), por lo que y = y (x) = y (x (t)). Así dy dx dy = · . dt dx dt 3 4

u2

 du  y = − 35 , hallar dt t=0

Ejemplo 280 Si se sabe que w = − u, u = u (t), con u (0) =  dw  el valor de . dt t=0 Por las condiciones dadas tenemos que w = w (u (t)). Por lo que, según la regla de la cadena

dw dw du = · dt du dt

y así

   dw  dw  du  = · dt t=0 du t=0 dt t=0   du  dw  = − 53 . Nos falta conocer En este caso queremos hallar  , pero sólo conocemos dt  dt t=0 t=0  dw  . Para calcular esta derivada, usamos el hecho que w = u2 − u, u = u (t) y u = 34 du t=0 dw cuando t = 0. Así, lo primero es hallar : du dw = 2u − 1 du

por lo que

Por lo tanto

 dw  3 1 = 2u − 1|t=0 = 2 · − 1 = dt t=0 4 2

   dw  dw  du  5 1 5 = · =− · =− .    dt t=0 du t=0 dt t=0 3 2 6

En este ejemplo w, u, t son variables ligadas o relacionadas, ya que w = w (u) = w (u (t)). Ahora estamos en condiciones de resolver problemas de variables ligadas o relacionadas. La idea central es la presentada en los ejemplos anteriores, sin embargo daremos un bosquejo de estrategia que puede ayudar a clarificar y resolver los problemas de esta sección: 319

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1◦ Identificar todas las variables que intervienen en el problema. 2◦ Reconocer los datos que se dan y los que se requiere calcular. 3◦ Identificar y escribir la relación entre las variables del problema. 4◦ Hacer un esbozo gráfico si fuese necesario o si ello ayuda a la comprensión del problema. 5◦ Usar la regla de la cadena para plantear la o las ecuaciones que nos permitan resolver el problema. 6◦ Obtener los datos que pudieran estár faltando en el problema y que pueden ser calculados. 7◦ Usar los datos ya conocidos y/o calculados para obtener la solución final del problema. Ejemplo 281 El radio de una esfera crece uniformemente a razón de 5 centímetros por segundo. ¿A qué velocidad crecerá el área de la superficie de la esfera en el instante en que el radio es de 50 centímetros?

Notamos que tenemos las siguientes variables: el radio r de la esfera, el área S de la superficie de la esfera y el tiempo t.   dr Los datos que conocemos son: = 5 cm (positivo porque el radio está aumentando); s dt r = 50 [cm].  dS  . Se requiere calcular dt r=50 320

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Sabemos que r = r (t), ya que nos dicen que el radio está cambiando con el tiempo. Además, sabemos que S = 4πr2 . Así, tenemos que S = S (r) = S (r (t)) . Usando la regla de la cadena obtenemos dS dr dS = · , dt dr dt por lo tanto

luego

   dS  dS  dr  = · , dt r=50 dr r=50 dt r=50

   cm  dS  dS  = · 5 , dt r=50 dr r=50 s  dS  por lo que debemos hallar . De la fórmula del área de la superficie de la esfera, dr r=50   2 dS dS  cm tenemos que = 8πr cm , por lo que = 8πr|r=50 = 400π [cm]. Así, dr dr  r=50

  2  cm  dS  cm = 400π [cm] · 5 = 2000π .  dt r=50 s s

Como el resultado es positivo, podemos concluír que el área de la superficie de la esfera está aumentando. Ejemplo 282 Un globo perfectamente esférico se está desinflando uniformemente de modo que su radio está disminuyendo a razón de 5 centímetros por segundo. ¿Con qué velocidad está cambiando el volumen del globo en el instante en que el radio es de 50 centímetros?

321

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Notamos que tenemos las siguientes variables: el radio r de la esfera, el volumen V de la esfera y el tiempo t. Los datos que conocemos son: do); r = 50 [cm].

  dr = −5 cm (negativo porque el radio está disminuyens dt

 dV  . Se requiere calcular dt r=50 Sabemos que r = r (t), ya que nos dicen que el radio está cambiando con el tiempo.

Además, sabemos que V = 43 πr3 . Así, tenemos que

V = V (r) = V (r (t)) . Usando la regla de la cadena obtenemos dV dr dV = · , dt dr dt por lo tanto

luego

   dV  dV  dr  = · , dt r=50 dr r=50 dt r=50

   cm  dV  dV  = · (−5) , dt r=50 dr r=50 s  dV  . por lo que debemos hallar dr r=50  3 dV De la fórmula del volumen de la esfera, tenemos que = 4πr2 cm cm , por lo que, para dr     dV  = 4πr2 r=50 = 1000π cm2 . Así, r = 50,  dr r=50   3  cm   2 dV  cm = 1000π cm · (−5) = −50000π .  dt r=50 s s

Como el resultado es negativo, podemos concluír que el volumen de la esfera está disminuyendo.

Ejemplo 283 Un depósito cónico con el vértice hacia abajo está arrojando agua por éste a razón de 5 litros por minuto. Las dimensiones del depósito son 8 decímetros de diámetro y 10 decímetros de altura. Hallar la velocidad con que desciende el nivel del agua cuando la

322

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altura de la mísma es de 6 decímetros.

Notemos que intervienen las siguientes variables: El volumen V de agua en el depósito; la altura h de agua en el depósito; el radio r del nivel de agua en el depósito.  lt  dV = −5 m´ Los datos que conocemos son: ın (negativo debído a que el volumen está dt disminuyendo); h = 6 [dm]. 1 2 3 πr h.

El volumen de un cono es V =

Es decir, en este caso tenemos dos valores

variables: r y h. Por lo tanto debemos hallar una relación entre estos dos valores variables para poder dejar expresado el volumen en una única variable. Para ello, notamos que se forman triángulos semejantes, por lo que podemos usar Thales: 10 h = r 4

2 r = h, 5
2 4 por lo que el volumen se expresa como V = 31 π 25 h h = 75 πh3 . dh  Se pide calcular Además, cuando h = 6 [dm], entonces r = dt h=6 Sabemos que h = h (t) y ⇒

12 5

V = V (h) = V (h (t))

Usando la regla de la cadena, tenemos dV dh dV = · , dt dh dt 323

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[dm].

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por lo tanto

luego

   dV  dV  dh  = · , dt h=6 dh h=6 dt h=6

       dV  lt dh  dm lt = · , −5 m´ın dh h=6 dm dt h=6 m´ın   por lo que nos falta hallar dV dh h=6 . De la ecuación del volumen que hemos obtenido, tenemos    dV 4 dV  144 lt 2 = πh ⇒ = π . dh 25 dh h=6 25 dm Por lo tanto

y así



      144 lt dh  dm lt = π · , −5 m´ın 25 dm dt h=6 m´ın 

   125 dm dh  =− . dt h=6 144π m´ın

Ejemplo 284 Se suelta un globo desde el suelo, el cual se eleva verticalmente a una velocidad de 6 metros por segundo. En cierto instante, desde un punto que está a 75 metros del lugar en que se soltó el globo, se encuentra un mirador en el suelo apuntando al globo. ¿Con qué velocidad estará alejándose el globo del mirador a los 20 segundos?

Aquí hemos llamado y a la altura del globo, z a la distancia del mirador al globo. Podemos proceder en forma similar a como ya se a trabajado, pero es usual, además de útil, aprovechar la derivación implícita en este tipo de problemas. Las variables que intervienen son: La altura y del globo; la distancia z del mirador al globo. 324

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  dy =6 m Datos que conocemos: s ; t = 6. dt dz Se requiere calcular . dt Sabemos que z = z (t), y = y (t), además que z 2 = (75)2 + y 2 .

(6.1)

Usando derivación implícita en esta última ecuación 2z luego

dz dy = 0 + 2y , dt dt dz y dy = , dt z dt

es decir

  dz  y  dy  =  . dt t=20 z t=20 dt t=20

Por lo tanto necesitamos calcular los valores de y, z cuando t = 20s. Dado que t = 6, entonces y = 6 · 20 = 120 [m]. Además, de (6.1), tenemos que z 2 = (75)2 + (120)2 Por lo tanto

6.14.

⇒

  dy =6 m s , dt

z = 141, 5 [m]

  m m y  dy  120 [m] dz  = = · 6 = 5, 09 .  dt t=20 z t=20 dt t=20 141, 5 [m] s s

Ejercicios

  du  du  = 3, = 2 y 1. Supongamos que u = u (v), v = v (x) y x = x (t). Si dt t=1 dv t=1   dv  dx  = − 34 , hallar el valor de .  dx t=1 dt t=1

2. Supongamos que u = v 2 − 3v, v = x3 + x y x = x (t). Si se sabe que x (0) = − 21 ,  du  du  dv  dx  = 2, = −1 y = 3, hallar el valor de .    dt dv dx dt  t=0

t=0

t=0

t=0

3. Un controlador aéreo sitúa dos aviones en la misma latitud, convergiendo en su vuelo hacia el mismo punto O en ángulo recto. En cierto instante, uno de los aviones está a 150 millas del punto O y vuela a 450 millas por hora. En el mismo instante, el otro avión está a 200 millas del punto O y vuela a 600 milas por hora. ¿Con qué rapidez decrece la distancia entre los aviones en dicho instante. 325

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4. Dos lados paralelos de un rectángulo aumentan su longitud a razón de 2[m/seg], mientras que los otros dos lados disminuyen su longitud de modo que el área permanece constante e igual a 50m2 . ¿Cuál es la razón de cambio del perímetro p cuando la longitud de los lados que aumentan es de 5m? 5. Un pozo petrolero fuera de control en el oceano expulsa petroleo dejando una mancha perpectamente circular sobre la superficie del agua. Si el radio de la mancha de petroleo aumenta a razón de 2 millas por hora, ¿qué tan rápido crece el área de dicha mancha cuando su radio es de 100 millas? 6. En un estanque cilíndrico de 10 metros de radio, se vierte aceite a razón de 314 m3 por minuto. ¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del aceite? 7. Un cubo se expande de tal forma que su arista cambia a razón de 5 centímetros por segundo. Cuando la arista es de 4 centímetros, hallar la razón de cambio del volumen del cubo. 8. Un globo pierde aire de modo que su radio disminuye a razón de 5 centímetros por segundo. Suponiendo que el globo mantiene su forma esférica en todo momento, ¿a qué velocidad aumenta el área de la supeficie del globo cuando su radio es de 50cm? ¿Cómo está cambiando el volumen del globo en el mismo instante? 9. ¿En qué punto de la parábola y 2 = 18x la oredenada aumenta al doble de lo que lo hace la abscisa? 10. Una partícula se mueve en sentido horario sobre la elipse de ecuación 16x2 +9y 2 = 400. ¿En qué punto de la curva la ordenada decrece con la misma velocidad con que crece la abscisa? 11. Se está vertiendo arena sobre el suelo a razón de 3 m3 por minuto, de modo que se forma un montículo cónico circular recto cuya altura es la mitad del radio de la base. ¿Cuán rápido varía la altura del montículo en el instante en que el radio de la base es de 4 metros? 12. Una escalera de 41 metros de longitud ha sido apoyada sobre un muro vertical. Ha comenzado a resbalar de modo que su tope se desliza hacia abajo por el muro mientras que su base se aleja del mismo sobre el suelo a una velocidad constante de 10 m/seg. 326

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¿Con qué rapidez se mueve el tope de la escalera cuando está a 9 metros sobre el suelo?

327

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Capítulo 7

Gráfico de Funciones Reales y Extremos Este capítulo está dedicado al uso de la derivada para determinar, en cierta forma, el comportamiento de una función real, de modo que podamos llegar a conocer sus extremos (máximos y mínimos), su concavidad o convexidad y puntos de inflexión. El conocimiento de estas propiedades o características nos facilitarán el graficar ciertas funciones. La primera y segunda derivada de las funciones reales serán nuestra herramienta fundamental. Observación 131 Antes de comenzar con nuestro análisis, notemos que según el Teorema 75, tenemos que si f : I → J es derivable e invertible, con inversa g = f −1 : J → I, donde

I, J son intervalos en R, y si g = f −1 es derivable en J, tenemos que (i) Si f ′ (x) > 0, para todo x ∈ I, entonces para cualquier y ∈ J, g ′ (y) =

1 f ′ (g (y))

=

1 f ′ (f −1 (y))

,


 pero g (y) = f −1 (y) ∈ I, por lo que f ′ (g (y)) = f ′ f −1 (y) > 0. Así, g ′ (y) > 0, para

todo y ∈ J.

(ii) Si f ′ (x) < 0, para todo x ∈ I, entonces para cualquier y ∈ J, 1 1 = ′ −1 , f ′ (g (y)) f (f (y))
 pero g (y) = f −1 (y) ∈ I, por lo que f ′ (g (y)) = f ′ f −1 (y) < 0. Así, g ′ (y) < 0, para g ′ (y) =

todo y ∈ J.

328

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7.1.

Extremos y monotonía

En esta sección definiremos los extremos de una función y veremos cómo los teorema de Rolle y del Valor Medio nos permiten obtener importantes critérios para analizar el comportamiento de ella. Definición 38 (Máximos) Sea f una función real y x0 ∈ Dom (f ). Definimos:

(a) Máximo Absoluto: Diremos que f tiene un máximo absoluto (o global) en x0 , si

se cumple que f (x) ≤ f (x0 ) , para todo x ∈ Dom (f ) .

El máximo absoluto es f (x0 ). (b) Máximo Relativo: Diremos que f tiene un máximo relativo (o local) en x0 , si existe un intervalo abierto I ⊆ Dom (f), con x0 ∈ I, tal que f (x) ≤ f (x0 ) , para todo x ∈ I.

El máximo relativo es f (x0 ). 329

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Observación 132 Vemos que un máximo absoluto es el mayor valor que alcanza la función en todo su dominio, mientras que un máximo relativo es el mayor valor que alcanza la función en una parte del dominio, y no necesariamente en todo éste. Definición 39 (Mínimos) Sea f una función real y x0 ∈ Dom (f). Definimos:

(a) Mínimo Absoluto: Diremos que f tiene un mínimo absoluto (o global) en x0 , si

se cumple que f (x0 ) ≤ f (x) , para todo x ∈ Dom (f ) .

El mínimo absoluto es f (x0 ). (b) Mínimo Relativo: Diremos que f tiene un mínimo relativo (o local) en x0 , si existe un intervalo abierto I ⊆ Dom (f), con x0 ∈ I, tal que f (x0 ) ≤ f (x) , para todo x ∈ I.

El mínimo relativo es f (x0 ). Observación 133 Vemos que un mínimo absoluto es el menor valor que alcanza la función en todo su dominio, mientras que un mínimo relativo es el menor valor que alcanza la 330

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función en una parte del dominio, y no en todo éste, específicamente, en un intervalo abierto contenido en el dominio. Observación 134 Los máximos y los mínimos de una función son llamados los extremos de tal función. Es fácil ver que todo extremo absoluto es también un extremo relativo. Debemos entender que los extremos de una función f son valores que alcanza dicha función, es decir, son valores en el recorrido de ella y, por lo tanto, no se debe confundir con los puntos dónde se producen dichos extremos. Esto es, un extremo se produce en x0 ∈ Dom (f), pero el extremos es el valor que alcanza la función en tal punto, f (x0 ) ∈

Rec(f).

Podemos observar que si f tiene un extremos en el interior del intervalo (a, b), entonces en los puntos donde se produce tal extremo ocurre que la recta tangente a la curva y = f (x) es una recta horizontal, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva es m = 0, y como sabemos que m = f ′ (x0 ), tenemos simplemente que f ′ (x0 ) = 0. También se pueden producir los extremos en puntos donde no existe la recta tangente, es decir, donde f ′ no está definida. Un ejemplo clásico en el que la derivada no está definida es el de la función valor absoluto en x = 0. En la siguiente figura se muestra una situación como la descrita, x0 es un punto donde f alcanza un máximo, pero f ′ (x0 ) no está definida..

Definición 40 (Punto Crítico) Los puntos críticos de una función f son los puntos x0 donde f ′ se anula, o bien donde f ′ no está definida; es decir, un punto x0 es un punto crítico de f si f ′ (x0 ) = 0 o bien si f ′ (x0 ) no existe. Observación 135 Según lo que hemos señalado, si una función f tiene un extremos en x0 , entonces x0 es un punto crítico de f . Esto no se debe mal entender, ya que el recíproco no es cierto, es decir, si x0 es un punto crítico, puede ocurrir que en él no exista un extremo, como lo muestra el siguiente ejemplo. 331

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Ejemplo 285 Sea f (x) = x3 . Entonces f ′ (x) = 3x2 y se anula sólo en x0 = 0. Sin embargo, en este punto, aún siendo un punto crítico, la función no tiene un extremo.

Teorema 76 (Teorema de Rolle 1) Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Supongamos que f (a) = f (b) = 0. Entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0. Demostración. Si f es constante en [a, b], entonces el teorema se cumple trivialmente, ya que tendríamos que f (x) = 0, para todo x ∈ [a, b] y f ′ (c) = 0, cualquiera que sea

c ∈ (a, b). Asumamos que f no es constante. Dado que f es una función continua en [a, b], entonces f alcanza su máximo y su mínimo en [a, b]. Si f toma valores positivos, entonces

alcanza su máximo f (c) > 0, en algún c ∈ [a, b]. Pero c = a y c = b, pues f (a) = f (b) = 0. Así, c ∈ (a, b) es un punto crítico de f y como f es derivable en ese intervalo abierto, entonces

f ′ (c) = 0. El mísmo análisis vale si f toma valores negativos, en cuyo caso consideramos el mínimo.

332

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Ejemplo 286 Determinar si la función f (x) = x−x2 satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [0, 1]. En caso afirmativo, hallar c ∈ (0, 1) tal que f ′ (c) = 0.

Observamos que f es una función polinomial, por lo que claramente es continua en [0, 1]. Además, f ′ (x) = 1 − 2x, que es continua en todo (0, 1) y f (0) = 0 = f (1). Por lo

tanto se satisfacen todas las condiciones del Teorema de Rolle. Así, existe c ∈ (0, 1), tal que

f ′ (c) = 0. Para hallar dicho valor, tenemos que f ′ (c) = 1 − 2c = 0

⇒

1 c= . 2

Ejemplo 287 Determinar si la función f (x) = x2/3 −x satisface las condiciones del Teore-

ma de Rolle en el intervalo [−1, 1]. En caso afirmativo, hallar c ∈ (−1, 1) tal que f ′ (c) = 0.

Es evidente que f es continua en todo el intervalo [−1, 1]. Por otra parte, f ′ (x) = 2 3x1/3

− 1. Notamos que f ′ no está definida en x = 0, es decir, f no es derivable en (−1, 1).

Por lo tanto no se satisfacen las condiciones del Teorema de Rolle para esta función.

El Teorema de Rolle tiene una primera generalización, la cual resulta bastante obvia geométricamente, tal como antes. 333

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Corolario 77 (Teorema de Rolle 2) Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Supongamos que f (a) = f (b). Entonces existe un c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0. Demostración. Si definimos g (x) = f (x) − f (a), entonces g es continua en [a, b], ya

que f lo es. Por otra parte, g′ (x) = f ′ (x), por lo que g es derivable en (a, b). Además, g (a) = f (a) − f (a) = 0 = f (b) − f (a) = f (b). Por lo tanto, g satisface las condiciones del

Teorema de Rolle. Así, existe c ∈ (a, b) tal que g ′ (c) = 0, es decir, f ′ (c) = 0.

Usando el Teorema de Rolle podemos demostrar el siguiente resultado, que a su vez nos permitirá obtener un buen critério para analizar la monotonía de una función. Teorema 78 (Teorema del Valor Medio) Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un c ∈ (a, b), tal que f ′ (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Demostración. Definamos la constante m como m=

f (b) − f (a) . b−a

Consideremos la función g (x) = f (x) − f (a) − m (x − a). Vemos que g es continua en [a, b], ya que f lo es. Por otra parte g ′ (x) = f ′ (x) − m, por lo que g es derivable en (a, b). Además g (a) = f (a) − f (a) − m (a − a) = 0 334

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y g (b) =

f (b) − f (a) − m (b − a) f (b) − f (a) (b − a) = f (b) − f (a) − b−a = f (b) − f (a) − f (b) + f (a) =

0

Es decir, g (a) = g (b) = 0. Así, se satisfacen las condiciones del Teorema de Rolle. Por lo tanto, existe un c ∈ (a, b) tal que g ′ (c) = 0. Pero tenemos que g ′ (c) = f ′ (c) − m. Luego

f ′ (c) − m = 0, es decir, f ′ (c) = m, y así

f ′ (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Ejemplo 288 Consideremos la función f (x) = x2 − x, y el intervalo [−1, 1]. Claramente

esta función es continua en [−1, 1] y es derivable en (−1, 1). Por lo tanto, se satisfacen las condiciones del Teorema del Valor Medio, es decir, existe c ∈ (−1, 1) tal que f ′ (c) =

f (1) − f (−1) 0−2 = = −1. 1 − (−1) 2

Para hallar tal c ∈ (−1, 1), tenemos que f ′ (x) = 2x − 1. Luego, f ′ (c) = 2c − 1. Entonces 2c − 1 = −1

⇒

c=0 .

335

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Observación 136 Si observamos la demostración del Teorema del Valor Medio y el gráfico dado en ella, vemos que la constante m es la pendiente de la recta (secante) que pasa por los puntos P (a, f (a)) y Q (b, f (b)). Por lo tanto, el Teorema del Valor Medio nos dice que, bajo las hipotesis dadas, existe un punto de la curva y = f (x), con x ∈ (a, b), en el cual la

recta tangente a dicha curva, es paralela a la recta secante que pasa por P y Q.

Observación 137 Es importante notar que el Teorema de Rolle resulta ser un caso particular del Teorema del Valor Medio. En el inicio del capítulo anterior pudimos ver que la derivada de una función constante es nula. Ahora estamos en condiciones de probar el recíproco, el teorema de la derivada nula. Corolario 79 (Teorema de la Derivada Nula) Si f es una función definida en [a, b], derivable en (a, b) y f ′ (x) = 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es una función constante en [a, b], es decir, existe c ∈ R, tal que f (x) = c, para todo x ∈ [a, b].

Demostración. Sea x ∈ (a, b]. Entonces f es continua en [a, x] y derivable en (a, x),

por lo que se satisfacen las condiciones del Teorema del Valor Medio en [a, x]. Es decir, existe c ∈ (a, x), tal que f ′ (c) =

f (x) − f (a) x−a

⇒

f (x) − f (a) = f ′ (c) (x − a) .

Pero f ′ (c) = 0, ya que c ∈ (a, b). Luego f (x) − f (a) = 0, es decir, f (x) = f (a), para todo x ∈ (a, b]. Así, si hacemos f (a) = c, entonces f (x) = c, para todo x ∈ [a, b].

Este Corolario nos permite probar que si dos funciones tienen igual derivada, entonces

difieren, a lo más, en una constante. Corolario 80 Sean f y g dos funciones definidas en [a, b] y tales que f ′ (x) = g′ (x), para todo x ∈ (a, b). Entonces, existe una constante C ∈ R, tal que f (x) = g (x) + C . Demostración. Definamos h (x) = f (x) − g (x), para x ∈ [a, b]. Entonces h es una

función definida en [a, b], derivable en (a, b), ya que f y g lo son. Además h′ (x) = f ′ (x) − g′ (x) = 0, 336

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por hipótesis. Por el Teorema de la Derivada Nula, existe C ∈ R, tal que h (x) = C, para todo x ∈ [a, b]. Es decir, f (x) − g (x) = C, y así, f (x) = g (x) + C, para todo x ∈ [a, b].

Supongamos que f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). No es difícil

entender, intuitivamente, el siguiente análisis geométrico: 1. Si f ′ (x) > 0, para todo x ∈ (a, b), entonces la recta tangente a la curva y = f (x),

para x ∈ (a, b), tiene pendiente positiva; es decir, dicha recta tangente está inclinada

hacia la derecha. Esto nos hace ver que la curva debe ser creciente en (a, b).

2. Si f ′ (x) < 0, para todo x ∈ (a, b), entonces la recta tangente a la curva y = f (x),

para x ∈ (a, b), tiene pendiente negativa; es decir, dicha recta tangente está inclinada hacia la izquierda. Esto nos hace ver que la curva debe ser decreciente en (a, b).

3. Si f ′ (x) = 0, para todo x ∈ (a, b), entonces la recta tangente a la curva y = f (x), para x ∈ (a, b), tiene pendiente nula; es decir, dicha recta tangente es una recta horizontal y

así, podemos ver que la curva es en realidad una recta, esto es, la función es constante en (a, b). Lo anterior nos ayuda a comprender y justificar geométricamente el siguiente teorema, cuya demostración se basa en el Teorema del Valor Medio. Teorema 81 (Criterio de la Primera Derivada para la Monotonía) Sea f una función contínua en [a, b] y derivable en (a, b). Se cumple que: (i) Si f ′ (x) > 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente en [a, b].

(ii) Si f ′ (x) < 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en [a, b].

(iii) Si f ′ (x) = 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es constante en [a, b].

Demostración. Sólo probaremos (ii), ya que la demostración para (i) es análoga y (iii) es el Teorema de la Derivada Nula. Supongamos entonces que f ′ (x) < 0, para todo x ∈ (a, b). Sean x1 ,x2 ∈ (a, b), con

x1 < x2 . De las hipótesis, tenemos que f es continua en [x1 , x2 ] y derivable en (x1 , x2 ).

Por lo tanto se satisfacen las condiciones del Teorema del Valor Medio en [x1 , x2 ]. Es decir, existe c ∈ (x1 , x2 ), tal que f ′ (c) =

f (x2 ) − f (x1 ) x2 − x1

⇒

f (x2 ) − f (x1 ) = f ′ (c) (x2 − x1 ) ,

337

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pero x2 − x1 > 0 y f ′ (c) < 0. Por lo tanto f (x2 ) − f (x1 ) < 0, es decir f (x2 ) < f (x1 ), y

así, f es decreciente.

El teorema anterior lo podemos resumir con las siguientes tablas, las que muestran el comportamiento de f según si f ′ es positiva, negativa o nula en el intervalo (a, b):

De la Observación 131 y el Teorema 81, vemos que si f : I → J es derivable e invertible,

con inversa g = f −1 : J → I, donde I, J son intervalos en R, y si g = f −1 es derivable en

J, tenemos que

(i) f es creciente en I si, y sólo si, f −1 es creciente en J. (ii) f es decreciente en I si, y sólo si, f −1 es decreciente en J. Ejemplo 289 Dada la función f (x) = 4x3 −3x2 −6x+1, hallar los intervalos de monotonía

de ella (intervalos donde f es creciente y donde es decreciente).

Según el teorema anterior, queremos hallar dónde f ′ es positiva y dónde es negativa, por lo que debemos determinar donde se anula, para luego analizar su signo en los intervalos correspondientes: f ′ (x) = 12x2 − 6x − 6 = 6 (2x + 1) (x − 1) , y vemos que f ′ (x) = 0 para x = − 12 y x = 1. Así, tenemos la siguiente tabla:


Por lo tanto, vemos que la función dada es creciente en los intervalos −∞, − 21 y (1, +∞), 
y es decreciente en el intervalo − 21 , 1 . 338

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Ejemplo 290 Sea f (x) = 51 x5 + 21 x4 − 31 x3 − x2 + 1. Hallar los intervalos de monotonía

de f.

Procediendo como antes, debemos hallar los puntos donde la derivada de la función se anula, para luego analizar la monotonía según el criterio de la primera derivada: f ′ (x) = x4 + 2x3 − x2 − 2x = x (x + 2) (x + 1) (x − 1) , Aquí, f ′ (x) = 0 para x = 0, x = −2, x = −1 y x = 1. Luego

Por lo tanto, f es creciente en los intervalos (−∞, −2), (−1, 0) y (1, +∞), y es decreciente en los intervalos (−2, −1) y (0, 1).

Teorema 82 (Critério de la Segunda Derivada para Extremos) Sea x0 un punto crítico de la función f. Supongamos que f ′′ está definida en x0 : (a) Si f ′′ (x0 ) > 0, entonces f tiene un mínimo en x0 y dicho mínimo es f (x0 ). (b) Si f ′′ (x0 ) < 0, entonces f tiene un máximo en x0 y dicho máximo es f (x0 ). Observación 138 En el último teorema, si ocurre que f ′′ (x0 ) = 0, el criterio no decide, por lo que deberíamos analizar el comportamiento de f en una vecindad de x0 . Observación 139 Si f es contínua y está definida en un intervalo cerrado [a, b], entonces sabemos que alcanza su máximo y su mínimo en dicho intervalo (Teorema 70). Es decir, f tiene extremos absolutos en [a, b]. Además, en x = a y en x = b siempre hay, a lo menos, extremos relativos. Ejemplo 291 Hallar los extremos de f (x) = 4x3 − 3x2 − 6x + 1, y clasificarlos según sean máximos o mínimos e indicar su valor.

339

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Lo primero es hallar los puntos críticos, es decir, los puntos x para los cuales f ′ (x) = 0: f ′ (x) = 12x2 − 6x − 6 = 6 (2x + 1) (x − 1) . Vemos que esta derivada se anula en x = − 12 y en x = 1. Además, f ′′ (x) = 24x − 6. Luego, tenemos que:

  1 f ′′ − = −18 < 0 , 2


 por lo que f tiene un máximo en x = − 12 y dicho máximo es f − 12 =

11 4 .

Por otra parte,

f ′′ (1) = 18 > 0 , por lo que f tiene un mínimo en x = 1 y dicho mínimo es f (1) = −4. Ambos extremos son relativos.

Ejemplo 292 Hallar los extremos de la función f (x) = 3x4 − 8x3 − 18x2 + 2.

Ya sabemos que los extremos se producen en los puntos críticos, por lo que procederemos

como en el ejemplo anterior. f ′ (x) = 12x3 − 24x2 − 36x = 12x (x + 1) (x − 3) . Por lo tanto los puntos críticos son x = 0, x = −1 y x = 3. Además, f ′′ (x) = 36x2 − 48x − 36. Luego, para x = 0: f ′′ (0) = −36 < 0, por lo tanto, f tiene un máximo en x = 0 y tal máximo es f (0) = 2. Para x = −1:

f ′′ (−1) = 48 > 0,

por lo tanto, f tiene un minimo en x = −1 y tal mínimo es f (−1) = −5. Para x = 3:

f ′′ (3) = 144 > 0, por lo tanto, f tiene un mínimo en x = 3 y tal mínimo es f (3) = −133

Vemos que en x = 0 hay un máximo relativo, en x = −1 hay un mínimo relativo y en

x = 3 hay un mínimo absoluto.

340

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Ejemplo 293 Hallar y clasificar los extremos de la función f (x) =

√ 1 − x2 .

Lo primero que podemos observar es que esta función está definida y es contínua en [−1, 1]. Ahora, procediendo como antes, tenemos: x . f ′ (x) = − √ 1 − x2

Vemos que la derivada se anula sólo en x = 0, pero además no está definida en x = −1 ni

en x = 1. Así, tenemos tres puntos críticos. Por otra parte, f ′′ (x) = − Luego, para x = 0,

1 (1 − x2 )3/2

.

f ′′ (0) = −1 < 0, por lo tanto la función tiene un máximo en x = 0 y dicho máximo es f (0) = 1. Vemos que la segunda derivada no está definida en los otros dos puntos críticos, que además son los extremos del intervalo donde la función está definida. Sin embargo, dado que la función es continua en el intervalo cerrado [−1, 1], según el Teorema 70, debe tener extremos en dicho intervalo. Por lo tanto analizaremos el comportamiento de f en puntos cercanos a x = −1 y a x = 1. Para esto, sea ε > 0 suficientemente pequeño. Notemos que f (−1) = f (1) = 0. Sea x = −1 + ε, entonces f (−1 + ε) = Así, f (−1) = 0
0 = f (−1) .

√ 2ε − ε2 = f (−1 + ε), por lo que en x = −1 hay un mínimo.

Sea x = 1 − ε, entonces

Así, f (1) = 0
0 = f (1) .

√ 2ε − ε2 = f (1 − ε), por lo que en x = 1 hay un mínimo.

Vemos entonces que en x = 0 la función tiene un máximo absoluto, f (0) = 1, mientras que en x = ±1 la función tiene mínimos absolutos, f (±1) = 0. Observación 140 Como veremos en las aplicaciones, el método aquí presentado para hallar y determinar los extremos de una función, nos permitirá resolver problemas de optimización, respecto a la determinación de máximos y mínimos. 341

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7.2.

Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes funciones analizar los intervalos de monotonía e indicar los estremos (si es que existen). (a) f (x) = 4x3 − 3x4 .

(b) f (x) = 41 x3 − 3x .

(c) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 3 .

(d) f (x) = 13 x6 − 2x4 .

(e) f (x) = 51 x5 − 35 x3 + 4x + 1 .

(f) f (x) =

x2

1 . +1

2. Para cada una de las siguientes funciones analizar los intervalos de monotonía e indicar los estremos (si es que existen) en el intervalo que se indica. (a) f (x) = 9x2 − x4 ,

en [−3, 3] .

√ 3 (b) f (x) = 2x + 3 x2 , en [−4, 1] .

7.3.

Concavidad y convexidad

En esta sección usaremos la segunda derivada para determinar la forma que tiene una curva. Es decir, para decidir si es convexa (cóncava hacia arriba) o si es cóncava (cóncava hacia abajo). Definición 41 (Concavidad y Convexidad) Sea f una función definida en el intervalo [a, b]. (a) (Convexa) Diremos que la función es convexa (cóncava hacia arriba) en (a, b) si para todo x ∈ (a, b), el punto (x, f (x)) está por debajo del segmente P Q, donde P =

P (a, f (a)) y Q = Q (b, f (b)).

342

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(b) (Cóncava) Diremos que la función es cóncava (cóncava hacia abajo) en (a, b) si para todo x ∈ (a, b), el punto (x, f (x)) está por sobre el segmente P Q, donde P = P (a, f (a)) y

Q = Q (b, f (b)).

Haciendo un análisis similar al dado en el inicio de la Sección Monotonía y Extremos podemos deducir, intuitivamente, el siguiente resultado. Teorema 83 (Criterio de la Segunda Derivada para la Concavidad) Sea f una función definida en [a, b] y dos veces derivable en (a, b). (i) Si f ′′ (x) > 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es convexa (cóncava hacia arriba) en

(a, b).

(ii) Si f ′′ (x) < 0, para todo x ∈ (a, b), entonces f es cóncava (cóncava hacia abajo) en

(a, b).

(iii) Si f ′′ (x) = 0, entonces f es una función lineal en (a, b).

(i)

(ii)

Observación 141 Supongamos que f tiene una cierta concavidad en (a, b) y otra en (b, c). Si f es contínua en x = b, entonces decimos que el punto (b, f (b)) es un punto de inflexión. Es decir, un punto de inflexión, es el punto exacto en que la curva cambia de concavidad.

343

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Observación 142 Supongamos que f tiene una cierta concavidad en (a, b) y otra en (b, c). Si f no es contínua en x = b, entonces no existe punto de inflexión, a pesar de haber un cambio de concavidad.

Ejemplo 294 Analizar la concavidad de la función f (x) = 4x3 − 3x2 − 6x + 1. f ′ (x) = 12x2 − 6x − 6

⇒

f ′′ (x) = 24x − 6 = 6 (4x − 1)

Vemos que la segunda derivada se anula en x = 14 . Luego


Por lo tanto la función es cóncava (cóncava hacia abajo) en el intervalo −∞, 41 y es
 convexa (cóncava hacia arriba) en 14 , +∞ . √ Ejemplo 295 Analizar la concavidad de la función f (x) = 1 − x2 . Lo primero que debemos recordar es que esta función está definida y es contínua en

[−1, 1]. Ahora, procediendo como antes, tenemos: x 1 f ′ (x) = − √ ⇒ f ′′ (x) = − . 2 1−x (1 − x2 )3/2

La segunda derivada está definida en todo el intervalo abierto (−1, 1) y

Por lo tanto, vemos que la función es cóncava (cóncava hacia abajo) en todo su dominio. 344

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7.4.

Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes funciones analizar la concavidad e indicar los puntos de inflexión (si es que existen). (a) f (x) = 4x3 − 3x4 .

(b) f (x) = 41 x3 − 3x .

(c) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 3 .

(d) f (x) = 13 x6 − 2x4 .

(e) f (x) = 51 x5 − 35 x3 + 4x + 1 .

(f) f (x) =

x2

1 . +1

2. Para cada una de las siguientes funciones analizar la concavidad e indicar los puntos de inflexión (si es que existen) en el intervalo que se indica. (a) f (x) = 9x2 − x4 ,

en [−3, 3] .

√ 3 (b) f (x) = 2x + 3 x2 , en [−4, 1] .

7.5.

Trazado de curvas

Con lo estudiado en las secciones anteriores de este capítulo, podemos ahora trazar la gráfica de algunas funciones. Para esto, consideraremos la monotonía, los extremos, la concavidad y los puntos de inflexión. Como el ánalisis y el estudio teórico ya ha sido dado, procedemos directamente con los ejemplos. Los primeros ya han sido analizados en gran parte en las dos secciones anteriores, por lo que utilizaremos la información obtenida para trazar las gráficas. Podemos agregar, para nuestro análisis, la intersección con los ejes y las simetrías: (a) Intersección con el eje Y : Los puntos del eje Y son aquellos en los cuales la abscisa es nula. Es decir, basta tomar x = 0 y obtenemos y = f (0). Por tratarse de una función, existirá un único punto de intersección de la curva con el eje Y . (b) Intersección con el eje X: Los puntos del eje X son aquellos en los cuales la ordenada es nula. Por lo tanto, y = 0. Es decir, debemos hallar los valores de x para los cuales f (x) = 0. 345

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(c) Simetría con el eje Y : Si la función es una función par, entonces su gráfica es simétrica respecto al eje Y . (d) Simetría con el Origen: Si la función es una función impar, entonces su gráfica es simétrica respecto al origen. Ejemplo 296 Dada la función f (x) = 4x3 − 3x2 − 6x + 1, trazar su gráfico indicando

intersecciones con los ejes, intervalos de monotonía, extremos (si es que existen), concavidad y puntos de inflexión (si es que existen). Notamos que f (−x) = −4x3 − 3x2 + 6x + 1, por lo que nuestra función no es par ni

impar. Por lo tanto no hay simetría respecto al eje Y ni respecto al origen. Para las intersecciones, tenemos: Con el eje Y :

Hacemos x = 0, con lo cual obtenemos y = f (0) = 1. Así, la curva pasa por el punto (0, f (0)) = (0, 1) del eje Y . Con el eje X: Ahora hacemos y = 0, es decir, resolvemos la ecuación f (x) = 0. Así 4x3 − 3x2 − 6x + 1 = 0, de donde obtenemos: x1 = −1, x2 =

7 8

+

√ 33 8

y x3 =

los puntos (−1, 0), (x2 , 0) y (x3 , 0) del eje X.

7 8

−

√ 33 8 .

Por lo que la curva pasa por

Además, según el análisis ya hecho, tenemos:


 Vemos que f tiene un máximo relativo en x = − 21 y es f − 21 =

11 4 .

Además, tiene un

mínimo relativo en x = 1y es f (1) = −4. Por otra parte, tenemos un punto de inflexión en


 x = 41 : P 14 , f 14 = P 41 , − 85 . 346

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Así, usando esta información, graficamos la función

Ejemplo 297 Dada la función f (x) =

√ 1 − x2 , trazar su gráfico indicando intersecciones

con los ejes, intervalos de monotonía, extremos (si es que existen), concavidad y puntos de

inflexión (si es que existen). √ Notamos que f (−x) = 1 − x2 , por lo que nuestra función es par, pero no impar. Por lo tanto hay simetría respecto al eje Y . Para las intersecciones, tenemos: Con el eje Y : Hacemos x = 0, con lo cual obtenemos y = f (0) = 1. Por lo tanto la curva pasa por el punto (0, 1) del eje Y . Con el eje X: Ahora hacemos y = 0, es decir, resolvemos la ecuación f (x) = 0. Así  1 − x2 = 0,

de donde obtenemos: x = −1, x = 1, que además son los extremos del intervalo donde está definida la función. Es decir, la curva pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 0) del eje X. Según el análisis ya hecho, tenemos:

Vemos que la función tiene un máximo en x = 0: f (0) = 1, y tiene dos mínimos, en x = −1 y en x = 1, siendo en ambos casos f (±1) = 0. Además, la función es siempre 347

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cóncava (cóncava hacia abajo) y no tiene puntos de inflexión. Por lo tanto, tenemos

Ejemplo 298 Dada la función f (x) = 3x4 +4x3 , trazar su gráfico indicando intersecciones con los ejes, intervalos de monotonía, extremos (si es que existen), concavidad y puntos de inflexión (si es que existen). Notamos que f (−x) = 3x4 − 4x3 , por lo que nuestra función no es par ni impar. Por lo

tanto no hay simetrías.

Para las intersecciones, tenemos: Con el eje Y : Hacemos x = 0, con lo cual obtenemos y = f (0) = 0. Por lo que la curva pasa por el punto (0, 0) del eje Y . Con el eje X: Ahora hacemos y = 0, es decir, resolvemos la ecuación f (x) = 0. Así 3x4 + 4x3 = 0,
 de donde obtenemos: x = 0, x = − 34 . Por lo que la curva pasa por los puntos (0, 0) y − 43 , 0

del eje X.

Monotonía: f ′ (x) = 12x3 + 12x2 = 12x2 (x + 1) , de donde tenemos que los puntos críticos son x = 0 y x = −1. Por lo tanto:

348

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Vemos que la función tiene un mínimo en x = −1, y este mínimo es f (−1) = −1. Además,

no hay máximos. Concavidad:

f ′′ (x) = 36x2 + 24x = 12x (3x + 2) . La segunda derivada se anula en x = 0 y en x = − 32 , luego:


16 y P2 (0, 0). La curva tiene dos puntos de inflexión: P1 − 23 , − 27 Por lo tanto, según la información obtenida:

7.6.

Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes funciones determinar: simetrías (si es que las hay), intersecciones con los ejes (si es que las hay), intervalos de monotonía, estremos (si es que existen), concavidad y convexidad, puntos de inflexión (si es que existen) y gráficar.

349

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(a) f (x) = 4x3 − 3x4 .

(b) f (x) = 41 x3 − 3x .

(c) f (x) = x4 − 2x2 .

(d) f (x) = 13 x6 − 2x4 .

(e) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 3 .

(f) f (x) =

(g) f (x) = 51 x5 − 35 x3 + 4x + 1 .

(h) f (x) = x1/3 (4 − x)

x2

1 . +1

2. Para cada una de las siguientes funciones determinar: simetrías (si es que las hay), intersecciones con los ejes (si es que las hay), intervalos de monotonía, estremos (si es que existen), concavidad y convexidad, puntos de inflexión (si es que existen) y gráficar, en el intervalo que se indica. (a) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15 , en [0, 3] . (b) f (x) = 9x2 − x4 ,

en [−3, 3] .

√ 3 (c) f (x) = 2x + 3 x2 ,

en [−4, 1] .

(d) f (x) = x3 − 2x2 − x + 2 ,

en [−2, 2] .

3. Trazar la gráfica de la función y = f (x) que satisface las siguientes características: a) La curva corta al eje Y en y = 4. b) La curva corta al eje X en los puntos x = −4, x = 3, x = 8. c) f es creciente en (−∞, 0) ∪ (3, 6).

d) f es decreciente en (4, 3) ∪ (6, +∞).

e) f es convexa (cóncava hacia arriba) en (1, 4). f ) f es cóncava (cóncava hacia abajo) en (−∞, 1) ∪ (4, +∞).

g) f (1) = 2, f (4) = 3, f (6) = 5.

7.7.

Problemas simples de optimización

Otra interesante aplicación de la derivada es la determinación de extremos en ciertos problemas de optimización. Para esto resultan escenciales las Observaciones 135 y 139, y el Teorema 82. Estos resultados los podemos resumir como sigue: 350

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(a) Los extremos se producen en puntos críticos (Observación 135), por lo que para optimizar una función debemos hallar sus puntos críticos para luego decidir si son extremos o no. (b) Usando el Criterio de la Segunda Derivada (Teorema 82), analizamos los puntos críticos para decidir si en ellos se producen o no extremos, con lo cual podemos hallar dichos extremos, si es que existen. (c) En caso de estar trabajando en un intervalo que incluye a alguno de los extremos, debemos verificar si en ellos se produce o no un extremo de la función (Observación 139). Para ello basta comparar con los extremos hallados en (b). Como en el caso de problemas de variables ligadas, la mejor y única forma de presentar esta sección, es por medio de ejemplos. Antes de proceder, damos una posible estrategia para plantear y resolver problemas simples de optimización: 1◦ Elaborar un bosquejo de la situación (gráfico o dibujo). 2◦ Identificar los datos dados y los pedidos. 3◦ Plantear una ecuación que identifique la función a optimizar. 4◦ Si fuese necesario, reducir la función obtenida en el paso anterior a una que contenga sólo una variable. 5◦ Hallar los puntos críticos de la función a optimizar. 6◦ Aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos y responder lo solicitado. Observación 143 Al hallar los puntos críticos, debemos considerar que estos deben pertenecer al dominio correspondiente de la función a optimizar. Ejemplo 299 Un granjero dispone de L metros de alambre para cercar un terreno rectangular adyacente a un río de curso rectilineo, cuyo sector no requiere ser cercado. ¿Cuáles

351

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serán las dimensiones del terreno cercado que abarca la mayor área?

Total de alambre: L [m]; lados del terreno: x, y. Queremos hallar las dimensiones de modo que el área sea máxima: A = xy. Vemos que la función obtenida depende de dos variables, pero debe cumplirse que: 2x + y = L, de donde obtenemos que y = L − 2x, y así, la función a optimizar (maximizar en este caso) es

A (x) = x (L − 2x) = Lx − 2x2 . Notar que 0 < x < 21 L, y no se incluyen los extremos ya que no puede anularse uno de los lados. Para determinar los puntos críticos, tenemos: A′ (x) = L − 4x. Luego, A′ (x) = L − 4x = 0 si, y sólo si, x = 14 L. Es decir, tenemos un único punto crítico.

Para decidir si en dicho punto crítico se produce un máximo o no, utilizamos la segunda
 derivada: A′′ (x) = −4. En este caso, vemos que A′′ 14 L = −4 < 0, por lo que en x = 41 L,

el área A es máxima.

En resumen, el área encerrada será máxima cuando x = 14 L [m], y = 12 L [m]. En tal
   caso, el área máxima es A 41 L = 81 L2 m2 .

Ejemplo 300 Se desea construir una ventana que tenga un perímetro total de 12 metros y cuya forma sea un rectángulo coronado por una semicircunferencia. Hallar las dimensiones

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de la ventana que permita la mayor cantidad de luz.

El área total de la ventana será, el área circular más el área rectangular: A = Ac + Ar El área circular es el área de un semicírculo, por lo que Ac = 12 πr2 , mientras que el área rectangular es Ar = 2x · y = 2xy.

Como vemos, nuestra función a maximizar posee tres variables. Sin embargo, según nue-

stro dibujo, tenemos que el radio de la semicircunferencia es r = x, por lo que el perímetro circular es pc =

1 2

· 2πr = πx. El perímetro rectangular es pr = 2x + 2y. Así, el perímetro

total es p = πx + 2x + 2y = 12, de donde obtenemos que y = 6 − π 21 x − x. Así, nuestra

función a optimizar (maximizar) es

  1 2 1 A (x) = Ac + Ar = πx + 2x 6 − πx − x 2 2 1 2 A (x) = 12x − πx − 2x2 2 Notar que 0 < x < 12. Para determinar os puntos críticos, tenemos A′ (x) = 12 − πx − 4x. Luego, A′ (x) = 12 − πx − 4x = 0 si, y solo si, x =

12 π+4 .

Así, tenemos un único punto

crítico.

Usamos la segunda derivada para decidir  sien ese punto crítico se produce o no un 12 ′′ ′′ = −π − 4 = − (π + 4) < 0, por lo que en máximo: A (x) = −π − 4. Claramente A π+4

x=

12 π+4 ,

el área A es máxima.

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Resumiendo, para 2x =  elárea es máxima  2 12 72π+288 máxima es A π+4 = (π+4)2 m .

24 π+4

[m], y =

12 π+4

[m]. En tal caso, el área

Ejemplo 301 Una fabrica desea construir un contenedor cilíndrico sin tapa en uno de sus

extremos y con una capacidad de 500 metros cúbicos. Si el material para la base cuesta el doble por metro cuadrado que el de los lados, calcular las dimensiones del contenedor de menor costo.

  El volumen total debe ser V = 500 m3 . Debemos minimizar el costo de construir el

contenedor cilíndrico. Si asumimos que el costo, por metro cuadrado, de la superficie lateral

es p, entonces el costo de la base es 2p. El área lateral del cilíndro es Al = 2πrh, mientras que el área de la base es Ab = πr2 . Por lo tanto, el costo total es
 C = Al · p + Ab · 2p = (Al + 2Ab ) · p = 2πrh + 2πr2 = rh + r2 2pπ

Como 2pπ es constante, bastará minimizar la expresión F = rh+r2 . Pero esta función tiene dos variables (r, h), por lo que usaremos el volumen conocido para establecer una relación entre ellas:

500 . πr2 500 500 1 Así, nuestra función a minimizar es F (r) = r 2 + r2 = · + r2 . πr π r Usando la derivada para hallar los puntos críticos: V = πr2 h = 500

⇒

h=

500 1 · + 2r. π r2  500 1 250 ′ Así, F (r) = − · + 2r = 0 si, y sólo si, r = 3 . π r2 π La segunda derivada es 1000 1 · 3 + 2. F ′′ (r) = π r F ′ (r) = −

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  250 250 1000 π ′′ Luego, F = π · 250 + 2 = 6 > 0. Por lo tanto, en r = 3 , la función π π F esmínima. Así, las medidas que minimizan el costo de fabricación del contenedor son 500 250 [m]. [m] y h = r= 3 1/3 π π (250)2/3 3

Ejemplo 302 Se va a fabricar una canaleta de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles con lado basal de 10 centímetros y lados iguales también de 10 centímetros cada uno, con ángulo basal β. Hallar el valor de β de modo que el volumen sea máximo.

Consideremos un largo L de la canaleta. Por tratarse de un cuerpo geométrico recta, sabemos que el volumen será V = A·L, donde A es el área de la base. De nuestro diseño, vemos que el área de la base es, simplemente, el área de un trapecio isósceles, A =

1 2

(b1 + b2 )·h.

Así,

1 (b1 + b2 ) · h · L, 2 y como L es constante, bastará con maximizar el área. Por lo tanto, debemos expresar esta V =

área en función del ángulo β, donde 0 < β < π. Notamos que podemos utilizar trigonometría basandonos en esta última figura. sin (π − β) = cos (π − β) =

h 10 x 10

⇒

h = 10 sin (π − β) = 10 sin β

⇒

x = 10 cos (π − β) = −10 cos β

Como b1 = 10 y b2 = 10 + 2x, tenemos que A = (10 + x) · h, por lo que

1 2

(b1 + b2 ) · h =

1 2

(10 + 10 + 2x) · h =

A = (10 − 10 cos β) · 10 sin β = 100 (sin β − sin β cos β) , 355

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pero sin β cos β =

1 2

sin 2β, por lo que podemos reescribir esta área como   1 A (β) = 100 sin β − sin 2β 2

Notemos que basta maximizar la función F (β) = sin β − 12 sin 2β. Buscamos los puntos críticos,

F ′ (β) = cos β − cos 2β. Así, si F ′ (β) = cos β − cos 2β = 0, entonces podemos recurrir a las siguientes expresiones:  − cos (u + v) = − cos u cos v + sin u sin v   cos (u − v) = cos u cos v + sin u sin v  cos (u − v) − cos (u + v) = 2 sin u sin v

Así, si u − v = β, y u + v = 2β, obtenemos

 u − v = β   u + v = 2β 

u = 23 β ; v = 12 β
1 
3  2 β sin 2 β , y debemos resolver     3 1 2 sin β sin β = 0. 2 2

 De esta última ecuación, sin 32 β = 0 o bien sin 12 β = 0.   3 3 3 β = 0 ⇒ β=0 ∨ β=π sin 2 2 2 2π ⇒ β=0 ∨ β= . 3

Por lo tanto, cos β − cos 2β = 2 sin

Notar que no puede ocurrir que β = 0. Por lo que de esto sólo tomamos β =

2π 3 .

Por otra

parte, 

1 sin β 2



= 0 ⇒

1 1 β=0 ∨ β=π 2 2 β = 0 ∨ β = 2π. ⇒

En este caso, ambos valores no están en el dominio de nuestra función. Así, solo tenemos un punto crítico, β =

2π 3 .

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Usamos la segunda derivada, F ′′ (β) = − sin β + 2 sin 2β, de donde F ′′ β=

2π 3

7.8.


2π  3

= − sin


2π  3

el volumen es máximo.

+ 2 sin


4π  3

=−

√ 3 2

−2

√ 3 2

√ = − 32 3 < 0. Por lo tanto, en

Ejercicios

1. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50cm3 . Hallar las dimensiones de la caja que minimiza la cantidad de material que va a ser usado en su fabricación. 2. Un granjero tiene 300 metros de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contigüos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima. 3. Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal con tapas que tenga una superficie total de 80cm2 . Determinar sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen posible. 4. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio R. 5. Determinar las dimensiones del cilíndro circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de radio basar R y altura H. 6. Hallar las dimensiones del cono circular recto de máximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio R. 7. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto que posee un volumen fijo V0 y cuya área lateral sea mínima. 8. Con una lamina rectangular de hojalata, cuyas medidas son 4 × 5 decímetros, se desea construir una caja sin tapa. Para esto, se recortan cuadrados de igual tamaño en cada una de las cuatro esquina de la lamina y se dobla los lados hacia arriba. ¿Qué dimensiones deberá tener la caja para tener su máxima capacidad?

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9. La resistencia de una viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional al ancho y al cubo de su altura. Hallar el ancho de la viga de máxima resistencia que podría ser obtenida de un tronco de madera de 16 centímetros de diámetro. 10. En un concurso de resistencia, los participantes están a 2 millas mar adentro y tienen que llegar a un sitio en la orilla (tierra firme) que está a 5 millas al oeste (la orilla va de este a oeste). Suponiendo que un concursante puede nadar a 4 millas por hora y correr a 10 millas por hora, ¿hacia que punto de la orilla debe nadar para minimizar el tiempo total de recorrido? 11. Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10m3 . El largo de su base debe ser el doble del ancho. El material para la base cuesta 3 UF el metro cuadradom y el material para los costados cuesta 2 UF el metro cuadrado. Encuentre las dimensiones para tener el recipiente más barato.

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