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matemáticas evaluaciones 1290

9

aprender juntos

Dada la importancia de la evaluación en el sistema educativo se hace imprescindible conocer en detalle la normatividad que la orienta y que da pautas para su organización en cada establecimiento educativo. El presente documento, que se elaboró a partir del estudio del documento Nº 11 del Ministerio de Educación Nacional, Fundamentaciones y orientaciones para la implementación del Decreto 1290 de 2009, ofrece una visión detallada de las finalidades y alcances del Decreto y expone ideas que facilitarán su implementación en las aulas.

Ámbitos de la evaluación de los estudiantes En este sentido, el cuadernillo de Evaluaciones del Los avances en investigación educativa facilitan la proyecto Aprender Juntos Matemáticas, identificación de los ámbitos en los cuales se debe ofrece instrumentos específicos y diferentes para farealizar la evaluación, dentro de los cuales se encilitar a los docentes la evaluación de los estudiantes cuentran la evaluación externa, definida como la evaluación que se realiza fuera del aula y la evaluación en el ámbito institucional. institucional que se realiza en cada institución para Las actividades para la evaluación instituacompañar los procesos diarios del aula con el fin de cional permiten valorar el nivel de desempeño de hacerle un permanente seguimiento y monitoreo al los estudiantes a lo largo de su proceso educativo. proceso de enseñanza y aprendizaje. Su diseño modular facilita la adaptación a los sistemas institucionales de evaluación propios de cada Tal como lo expresa el artículo 1 del Decreto, la evaestablecimiento educativo. luación de los aprendizajes de los estudiantes se realiza en los siguientes ámbitos: Los cuadernos del proyecto Aprender Juntos Matemáticas Secundaria presentan un sistema 1. Internacional. El Estado promoverá la particiflexible de evaluación que orienta las actividades pación de los estudiantes del país en pruebas que = según un nivel de desempeño. = Básico; den cuenta de la calidad de la educación frente a Intermedio y = Avanzado. estándares internacionales. Además las actividades permiten una valoración 2. Nacional. El Ministerio de Educación Nacional cuantitativa de 1 a 5, la cual es fácilmente homoloy el Instituto Colombiano para la Evaluación de la gable con otros sistemas de registro. Educación (ICFES), realizarán pruebas censales con el fin de monitorear la calidad de la educación Los resultados que los estudiantes obtengan en esde los establecimientos educativos con fundamentas pruebas ofrecen una fuente de información para to en los estándares básicos. Las pruebas naciola determinación de planes de mejoramiento para nales que se aplican al finalizar el grado undécimo los estudiantes (cómo están aprendiendo, qué necepermiten, además, el acceso de los estudiantes a sitan aprender, dónde es necesario aclarar, reforzar la educación superior. o consolidar conceptos y procesos, cómo pueden ser más competentes) y para la institución (mirar los 3. Institucional. La evaluación del aprendizaje de procesos de enseñanza, cómo consolidar el aprenlos estudiantes realizada en los establecimientos de dizaje de los estudiantes, reorientar procesos con educación básica y media, es un proceso permanendificultades, …). te y objetivo para valorar el nivel de desempeño. 2 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

La evaluación en el aula Todos los estudiantes, independientemente de su procedencia, situación social, económica y cultural, deben contar con oportunidades para adquirir conocimientos, desarrollar las competencias y valores necesarios para vivir, convivir, ser productivos y seguir aprendiendo a lo largo de la vida. La meta fundamental de todo maestro debe tender, de manera permanente y absoluta, a que todos sus estudiantes alcancen de manera exitosa los fines propuestos. El alcance de esta meta no será posible si no se realizan, de manera permanente, procesos de evaluación dentro del aula. La evaluación en los niveles de enseñanza básica y media se debe centrar en sus propósitos formativos, es decir, en aquellos que faciliten el aprendizaje de todos los sujetos que intervienen en el proceso educativo. Bajo esta perspectiva es necesario superar el concepto de evaluación asociado a la calificación; debe implicar una mirada amplia sobre los sujetos y sus procesos y tener presente que se debe caracterizar por los siguientes rasgos: • Debe ser formativa, motivadora y orientadora; e invitar al aprendizaje de todos los actores involucrados en ella. La posibilidad de autoevaluarse, de evaluar a otros y de ser evaluado facilita el conocimiento personal y de los otros, y establece estrategias para fortalecer los procesos de aprendizaje. • Debe utilizar diversas técnicas y manejar fuentes de información, de manera que permita la emisión de juicios contextualizados. Los exámenes o pruebas, no son los únicos recursos de evaluación que tienen los docentes. Es conveniente integrar diversas estrategias de valoración como la observación de los estudiantes durante los trabajos individuales o grupales, sus estilos en la realización de trabajos personales o argumentación de respuestas, la forma como formulan inquietudes o dudas, etc. El docente que trabaja con el proyecto Aprender Juntos Matemáticas dispone de una variedad de secciones y actividades que le generan el espacio propicio para el manejo de fuentes de información, estrategias de organización y mecanismos de búsqueda. proyecto aprender juntos

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• Debe centrarse en las formas de aprendizaje de los estudiantes, de manera que se detecten las posibles fortalezas y dificultades de cada uno de los estudiantes y los docentes puedan apoyarlos de acuerdo a sus necesidades. • Debe ser transparente, continua y procesual, se debe realizar a partir de criterios claros, establecidos en consenso y conocidos por todos y realizarse de manera continua, no como una actividad aislada al finalizar un tema o unidad. • Debe convocar de manera responsable a todas las partes en un sentido democrático y fomentar la autoevaluación de ellas. Debe ofrecer espacios de reflexión de manera que se convierta en una gran oportunidad para que docentes y estudiantes analicen sus desempeños, identifiquen fortalezas y debilidades y asuman posturas que los lleven al mejoramiento permanente. Desde esta perspectiva, cuenta con la valoración del docente (quien evalúa a sus estudiantes pero que también debe ser evaluado por ellos), da espacio a la coevaluación y a la autoevaluación. 3

el proyecto

Aprender juntos y el decreto 1290

Sistema institucional de evaluación

Escala de valoración nacional

La Ley General de Educación, en el artículo 77 otorga la autonomía escolar a las instituciones para la formulación de los Proyectos Educativos Institucionales (PEI) y para la organización de su plan de estudios de manera que respondan a las necesidades y características regionales. Desde esa misma perspectiva, la expedición del Decreto 1290, en el artículo 4, da autonomía a los centros educativos para definir y estructurar su propio sistema de evaluación, y recomienda que contemple los siguientes aspectos:

Ante la perspectiva de la posibilidad de que surjan diversas propuestas, y ante la necesidad de establecer un lenguaje común que facilite la movilidad de los estudiantes de una institución a otra, el Decreto 1290 ofrece, en el artículo 5, la siguiente escala de valoración:

1. Los criterios de evaluación y promoción. 2. La escala de valoración institucional y su respectiva equivalencia con la escala nacional. 3. Las estrategias de valoración integral de los de-sempeños de los estudiantes. 4. Las acciones de seguimiento para el mejoramiento de los desempeños de los estudiantes durante el año escolar. 5. Los procesos de autoevaluación de los estudiantes. 6. Las estrategias de apoyo necesarias para resolver situaciones pedagógicas pendientes de los estudiantes. 7. Las acciones para garantizar que los directivos docentes y docentes del establecimiento educativo cumplan con los procesos evaluativos estipulados en el sistema institucional de evaluación. 8. La periodicidad de entrega de informes a los padres de familia. 9. La estructura de los informes de los estudiantes, para que sean claros, comprensibles y den información integral del avance en la formación.

• Desempeño Superior • Desempeño Alto • Desempeño Básico • Desempeño Bajo Desempeño básico se entiende como la superación de los desempeños necesarios en relación con las áreas obligatorias y fundamentales, teniendo como referente los estándares, las orientaciones y lineamientos expedidos por el Ministerio de Educación Nacional y lo establecido en el proyecto educativo institucional. El desempeño bajo se entiende como la no superación de los mismos. La equivalencia entre la escala propuesta en el Decreto y las escalas que se trabajan en la mayoría de las instituciones educativas opera como se indica en la siguiente tabla: Tabla de equivalencias - Escalas de valoración Escala nacional

Valoración cualitativa

Superior Alto Básico Bajo

Excelente Sobresaliente Aceptable Insuficiente Deficiente

Valoración cuantitativa

5 4 3 2 1

Nivel de desempeño

Avanzado Intermedio Básico

10. Las instancias, procedimientos y mecanismos de atención y resolución de reclamaciones de padres de familia y estudiantes sobre la evaluación y promoción.

4

11. Los mecanismos de participación de la comunidad educativa en la construcción del sistema institucional de evaluación de los estudiantes. proyecto aprender juntos

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Promoción escolar y promoción anticipada

Responsabilidades, derechos y deberes

La autonomía otorgada mediante el Decreto 1290 a las instituciones debe ser administrada de manera responsable para que en sus procesos evaluativos se evidencien todos y cada uno de los presupuestos hasta ahora mencionados y faciliten a los estudiantes la culminación satisfactoria de su proceso formativo.

El Decreto 1290 además de reglamentar la evaluación de los estudiantes, en sus artículos 9 a 15 define el papel de cada uno de los actores del proceso evaluativo y especifica sus responsabilidades, derechos y deberes. A continuación se presentan algunos de ellos. Para una información más completa consulte www.colombiaaprende.edu.co

A continuación se presentan los artículos 6 y 7 del Decreto, en los cuales se confirma que la promoción escolar es una decisión de extrema responsabilidad y que la promoción anticipada es una de las alternativas que debe ofrecer el sistema educativo para aquellos estudiantes que por efecto de sus ritmos de aprendizaje, evidencien desempeños superiores y avanzados en relación con el resto del grupo. Artículo 6. Promoción escolar. Cada esta-

blecimiento educativo determinará los criterios de promoción escolar de acuerdo con el sistema institucional de evaluación de los estudiantes. Así mismo, el establecimiento educativo definirá el porcentaje de asistencia que incida en la promoción del estudiante. Cuando un establecimiento educativo determine que un estudiante no puede ser promovido al grado siguiente, debe garantizarle en todos los casos, el cupo para que continúe con su proceso formativo. Artículo 7. Promoción anticipada de grado. Durante el primer período del año escolar el con-

sejo académico, previo consentimiento de los padres de familia, recomendará ante el consejo directivo la promoción anticipada al grado siguiente del estudiante que demuestre un rendimiento superior en el desarrollo cognitivo, personal y social en el marco de las competencias básicas del grado que cursa. La decisión será consignada en el acta del consejo directivo y, si es positiva, en el registro escolar. Los establecimientos educativos deberán adoptar criterios y procesos para facilitar la promoción al grado siguiente de aquellos estudiantes que no la obtuvieron en el año lectivo anterior. proyecto aprender juntos

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Artículo 9. Responsabilidades del Ministerio de Educación Nacional. En cumplimiento

de las funciones establecidas en la ley, el Ministerio de Educación Nacional debe: 1. Publicar información clara y oportuna sobre los resultados de las pruebas externas tanto internacionales como nacionales, de manera que sean un insumo para la construcción de los sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes y el mejoramiento de la calidad de la educación. (...) 4. Evaluar la efectividad de los diferentes sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes. Artículo 10. Responsabilidades de las secretarías de educación de las entidades territoriales certificadas. En cumplimiento de

las funciones establecidas en la ley, la entidad territorial certificada debe: 1. Analizar los resultados de las pruebas externas de los establecimientos educativos de su jurisdicción y contrastarlos con los resultados de las evaluaciones de los sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes. (...) 3. Trabajar en equipo con los directivos docentes de los establecimientos educativos de su jurisdicción para facilitar la divulgación e implementación de las disposiciones de este decreto. 4. Resolver las reclamaciones que se presenten con respecto a la movilidad de estudiantes entre establecimientos educativos de su jurisdicción. 5

el proyecto

Aprender juntos y el decreto 1290

Artículo 11. Responsabilidades del establecimiento educativo. En cumplimiento de las

funciones establecidas en la ley, el establecimiento educativo, debe: 1. Definir, adoptar y divulgar el sistema institucional de evaluación de estudiantes, después de su aprobación por el consejo académico. 2. Incorporar en el proyecto educativo institucional los criterios, procesos y procedimientos de evaluación; estrategias para la superación de debilidades y promoción de los estudiantes, definidos por el consejo directivo.

Artículo 12. Derechos del estudiante. El

estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, tiene derecho a: 1. Ser evaluado de manera integral en todos los aspectos académicos, personales y sociales. 2. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instrumentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar.

3. Realizar reuniones de docentes y directivos docentes para analizar, diseñar e implementar estrategias permanentes de evaluación y de apoyo para la superación de debilidades de los estudiantes y dar recomendaciones a estudiantes, padres de familia y docentes.

3. Conocer los resultados de los procesos de evaluación y recibir oportunamente las respuestas a las inquietudes y solicitudes presentadas respecto a estas.

4. Promover y mantener la interlocución con los padres de familia y el estudiante, con el fin de presentar los informes periódicos de evaluación, el plan de actividades de apoyo para la superación de las debilidades, y acordar los compromisos por parte de todos los involucrados. (...)

Artículo 13. Deberes del estudiante. El

6. Atender los requerimientos de los padres de familia y de los estudiantes, y programar reuniones con ellos cuando sea necesario. 7. A través del consejo directivo, servir de instancia para decidir sobre reclamaciones que presenten los estudiantes o sus padres de familia en relación con la evaluación o promoción. 8. Analizar periódicamente los informes de evaluación con el fin de identificar prácticas escolares que puedan estar afectando el desempeño de los estudiantes, e introducir las modificaciones que sean necesarias para mejorar.

6

este en los procesos de inscripción y aplicación de las pruebas, según se le requiera.

9. Presentar a las pruebas censales del ICFES la totalidad de los estudiantes que se encuentren matriculados en los grados evaluados, y colaborar con

4. Recibir la asesoría y acompañamiento de los docentes para superar sus debilidades en el aprendizaje. estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, debe: 1. Cumplir con los compromisos académicos y de convivencia definidos por el establecimiento educativo. 2. Cumplir con las recomendaciones y compromisos adquiridos para la superación de sus debilidades. Artículo 14. Derechos de los padres de familia. En el proceso formativo de sus hijos, los

padres de familia tienen los siguientes derechos: 1. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instrumentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar. 2. Acompañar el proceso evaluativo de los estudiantes. 3. Recibir los informes periódicos de evaluación. 4. Recibir oportunamente respuestas a las inquietudes y solicitudes presentadas sobre el proceso de evaluación de sus hijos. proyecto aprender juntos

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la evaluación en Artículo 15. Deberes de los padres de familia. De conformidad con las normas vigentes, los

padres de familia deben: 1. Participar, a través de las instancias del gobierno escolar, en la definición de criterios y procedimientos de la evaluación del aprendizaje de los estudiantes y promoción escolar. 2. Realizar seguimiento permanente al proceso evaluativo de sus hijos.

aprender juntos Teniendo en cuenta lo dispuesto en el Decreto 1290 ampliamente expuesto, el proyecto Aprender Juntos Matemáticas ofrece una completa propuesta de evaluación. Esta se caracteriza por ser flexible, dinámica y ajustarse fácilmente a las diferentes necesidades curriculares de las instituciones y de los docentes.

3. Analizar los informes periódicos de evaluación.

El docente encuentra un menú muy completo de actividades que puede organizar de diferentes formas según sus necesidades e intenciones:

Procedimientos administrativos para la aplicación del Decreto 1290

1. Conjunto de actividades organizadas según la secuencia didáctica y metodológica presentada en el libro.

Se presenta en los artículos 16 a 19.

2. Conjunto de actividades para cada uno de los estándares sugeridos por el MEN, que puede organizar según la secuencia didáctica y metodología que el docente sigue en la clase.

Artículo 16. Registro escolar. Los estableci-

mientos educativos deben llevar un registro actualizado de los estudiantes que contenga, además de los datos de identificación personal, el informe de valoración por grados y el estado de la evaluación. Artículo 17. Constancias de desempeño.

El establecimiento educativo, a solicitud del padre de familia, debe emitir constancias de desempeño de cada grado cursado, en las que se consignarán los resultados de los informes periódicos. Cuando la constancia de desempeño reporte que el estudiante ha sido promovido al siguiente grado y se traslade de un establecimiento educativo a otro, será matriculado en el grado al que fue promovido según el reporte. Si el establecimiento educativo receptor, a través de una evaluación diagnóstica, considera que el estudiante necesita procesos de apoyo para estar acorde con las exigencias académicas del nuevo curso, debe implementarlos.

3. Conjunto de actividades clasificadas según su nivel: básico, intermedio y avanzado. 4. Actividades que puede emplear para la evaluación, el refuerzo o la recuperación. 5. Conjunto de actividades que dan un reporte cuantitativo. Pueden ser medibles de 1 a 5. 6. Actividades con criterios particulares de evaluación los cuales se presentan en la hoja de soluciones y permiten un registro cuantitativo de 1 a 5.

El colegio Los Pinares tiene diseños muy particulares. El siguiente es un plano de una parte del colegio.

Informática

Evaluaciones 1290

Preescolar

Segundo

Primero

Colegio: Estudiante:

Pensamiento numérico

Granja

Rectoría Tercero

Mauricio y Antonio fueron de compras. A continuación aparecen las facturas de lo que compró cada uno. Mauricio Producto

Cantidad Precio por unidad ($) 3 230 000 2 45 000 2 265 000 Zapatos 1 199 999 Pantalón cargo 3 150 000 Camiseta blanca 7 18 500

Producto

Cantidad Precio por unidad ($) 3 190 000 4 93 000 100. Comprende el concepto de polígono. 1 320 000 Escribe falso (F) o verdadero (V), según coZapatos formales 2 225 000 rresponda. Pantalón deportivo 2 95La 999línea que determina el camino desde la a) Camiseta blanca 6 18rectoría 500 hasta el salón de primero es una línea poligonal cerrada. ( )

Jean clásico

Pantalón paño

Camisa polo

Camisa clásica

Chaqueta

Chaqueta paño

1. Comprende el significado de la adición, identifica sus términos y aplica su algoritmo. Determina el valor de compra en cada caso. a) Un jean clásico y un pantalón deportivo b) Una camisa polo y unos zapatos formales c) Un pantalón clásico, un pantalón de paño y una chaqueta de paño

Artículo 18. Graduación. Los estudiantes que

Antonio

d) Un pantalón cargo, una camiseta blanca y una chaqueta de paño

b) La figura de la granja mostrada en el plano es un polígono. ( ) 3. Halla el producto entre dos números naturales. c) La vista superior del salón de informática es Determina cuánto pagó Mauricio por: un polígono cóncavo. ( ) a) Los tres jeans clásicos d) La vista superior del salón de primero es un b) Las dos camisas polo polígono irregular. ( ) c) Las dos chaquetas d) Los tres pantalones cargo

e) El octágono de la vista superior de la rectoría está inscrito en una circunferencia. ( )

102. Clasifica triángulos según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Clasifica los triángulos de las vistas superiores de algunos salones de bachillerato del colegio, según se indica. a)

según la medida de sus lados b)

según la medida de sus ángulos c)

e) Las siete camisetas blancas

según la medida de sus ángulos

e) Un pantalón deportivo y una camisa polo

culminen la educación media obtendrán el título de Bachiller Académico o Técnico, cuando hayan cumplido con todos los requisitos de promoción. (...)

2. Realiza operaciones combinadas entre números naturales. Determina el costo total en cada caso. a) El precio de dos jeans clásicos y tres chaquetas menos el de una camisa clásica b) El precio de tres jeans menos el de dos camisetas blancas c) El precio de tres pantalones de paño más el de cuatro camisas clásicas d) El precio de tres camisetas blancas y tres pantalones cargo menos el de una camisa clásica

101. Halla la suma de los ángulos de un polígono. Determina cuánto suman los ángulos internos de los polígonos que representan:

4. Comprende el significado de la división, aplia) La rectoría ca el algoritmo y distingue sus términos. En el almacén los clientes pueden pagar por b) El salón de preescolar cuotas. Determina el valor de cada cuota si: c) El salón de segundo a) Mauricio paga la cuenta en ocho cuotas. d) El salón de informática

d)

según la medida de sus lados e

según la medida de sus lados

b) Antonio paga la cuenta en cuatroe)cuotas. El salón de primero c) Antonio paga la cuenta en doce cuotas.

3

proyecto aprender juntos © ediciones sm d) Mauricio paga la cuenta en 20 cuotas.

e) Antonio paga la cuenta en quince cuotas.

e) El precio de la compra total de Mauricio menos el de la compra de Antonio

8 proyecto aprender juntos

proyecto aprender juntos

© ediciones sm

© ediciones sm

7

Evaluaciones 1290

Colegio: Estudiante:

Pensamiento numérico En las gráficas se muestra la distribución del agua existente en la Tierra. Agua en la Tierra

Agua dulce en la Tierra 33,25% Subterránea

3% Dulce 97% Salada

1. Maneja porcentajes como números racionales. Completa las tablas con base en la información de las gráficas. Distribución del agua en la Tierra Tipo de agua Dulce Salada

Porcentaje

Expresión fraccionaria

3% 97%

Subterránea Ríos y lagos Glaciares

Porcentaje

3. Efectúa operaciones con números racionales. El área superficial de la Tierra es aproximadamente 510 066 000 km2. Calcula cuántos kilómetros cuadrados están ocupados en cada caso si: 29 a) El área terrestre equivale a los . 100 b) El área acuática equivale a los

Distribución del agua dulce en la Tierra Tipo de agua

0,5% Ríos y lagos

66,25% Glaciares

Expresión fraccionaria

33,25% 0,5 % 66,25%

2. Halla la expresión decimal de un número racional. Encuentra la expresión decimal de la fracción que se indica en cada caso. a) Parte del agua de la Tierra correspondiente a agua dulce. b) Parte del agua de la Tierra correspondiente a agua salada. c) Parte del agua dulce correspondiente a agua subterránea. d) Parte del agua dulce correspondiente a ríos y lagos. e) P  arte del agua dulce correspondiente a glaciares.

c) El área africana equivale a d) El agua dulce ocupa los

11 50

213 10 000

e) El agua salada ocupa los

71 100

.

. .

6 887 10 000

.

4. Aproxima los resultados de operaciones con números reales. El área terrestre del planeta Tierra es aproximadamente 148 647 000 km2. Determina qué porcentaje del área terrestre mide la superficie de cada continente. Luego, redondea los resultados a las décimas. a) Asia: 44 936 000 km2 b) América: 42 000 000 km2 c) Antártico: 14 200 000 km2 d) Europa: 10 359 358 km2 e) Oceanía: 76 828 300 km2

8 proyecto aprender juntos

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Los siguientes son los datos que anotó un científico al estudiar el comportamiento de cierta población de bacterias, durante un experimento. Grupo 1 Tiempo (min)

Cantidad de individuos

0

24 000 000

10

12 000 000

20

6 000 000

30

3 000 000

40

1 500 000

50

750 000

60

375 000

5. Expresa partes de un todo como un número racional. Indica a qué parte de la población inicial de bacterias en el grupo 1 corresponde la cantidad de individuos existente al cabo de: a) 10 min

7. Comprende el concepto de intervalo. Escribe el intervalo de tiempo durante el cual ocurre cada situación. Ten en cuenta los datos relacionados con el grupo 1. a) La población decrece en 750 000 individuos. b) L  a población decrece en 3 000 000 de individuos.

b) 20 min c) 30 min

c) La población decrece en 12 000 000 de individuos.

d) 40 min

d) La población decrece en 375 000 individuos.

e) 50 min

e) La población decrece en 6 000 000 de individuos.

6. Halla la expresión decimal de un número racional. Relaciona la expresión decimal de la parte de la población de bacterias del grupo 1 con respecto a la población inicial, con el tiempo correspondiente: a) 0,5

(

) 60 min

b) 0,0625

(

) 40 min

c) 0,25

(

) 50 min

d) 0,015625

(

) 10 min

e) 0,03125

(

) 20 min

8. Comprende la notación científica. Completa cada enunciado con base en la información relativa al grupo 1. a) A  los min la población es de 7,5 3 105 individuos. min la población es de b) A  los 2,4 3 107 individuos. min la población es de c) A  los 3,75 3 105 individuos. min la población es de d) A  los 1,5 3 106 individuos. min la población es de e) A  los 3 3 106 individuos.

9 proyecto aprender juntos

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9. Resuelve operaciones que involucran potencias de números reales. En un segundo experimento, y bajo nuevas condiciones, el científico estudió otro grupo de bacterias. Los datos fueron los siguientes.

¿Son equivalentes?

Grupo 2 Tiempo (min) 0 10 20 30 40 50 60

Dato 1 Dato 2

Cantidad de individuos 10 000 3 20 10 000 3 21 10 000 3 22 10 000 3 23 10 000 3 24 10 000 3 25 10 000 3 26

5

10 64 7

Sí

No

27

6

9

4 2

6

20 15

112

113

3

6

12. Racionaliza expresiones fraccionarias. El científico obtuvo algunos datos que debe racionalizar para sacar conclusiones. Ayúdale a racionalizar los siguientes. 4 a) 2

b) 20 min c) 30 min d) 50 min e) 1 hora

b)

10. Calcula logaritmos de números reales. Ayuda al científico a encontrar los valores de n que dan sentido a las siguientes igualdades. Luego completa cada frase.

3 3

3

c)

2 3+ 7

d)

2 2 − 3

e)

1+ 2 1− 2

min.

b) 1 280 000 5 10 000 3 128 5 10 000 3 2n Hay 1 280 000 individuos a los

min.

c) 2 560 000 5 10 000 3 256 5 10 000 3 2n Hay 2 560 000 individuos a los

min.

e) 5 120 000 5 10 000 3 512 5 10 000 3 2n Hay 5 120 000 individuos a los

8 9

a) 10 min

d) 20 480 000 5 10 000 3 2 048 5  10 000 3 2n Hay 20 480 000 individuos a los

3

6

8 5

Cuántos individuos hay al cabo de:

a) 10 240 000 5 10 000 3 1 024 5 10 000 3 2n Hay 10 240 000 individuos a los

11. Identifica radicales equivalentes. Cierto experimento con las bacterias del grupo 2, se llevó a cabo dos veces. Indica si los datos obtenidos son equivalentes o no, en cada caso.

min.

min.

13. Aplica las propiedades de los logaritmos. Para finalizar, en el segundo experimento se obtuvieron datos acerca de las bacterias, que se pueden expresar mediante logaritmos. Si se sabe que log 8 5 0,9031, relaciona cada expresión con su valor. a) log 0,8

(

) 3,8062

b) log 6 400

(

) 20,0969

c) log 0,64

(

) 2,9031

d) log 800

(

) 0,3010

e) log 2

(

) 20,1938

10 proyecto aprender juntos

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Mariana necesita calcular algunas medidas en las siguientes figuras. O

D

C

A

B M

C

Z

X

N

a)

R

S

Y

16. Representa números irracionales en la recta numérica. Para representar en la recta numérica las medidas encontradas por Mariana debe practicar con los siguientes valores. Relaciona cada representación con el número correspondiente. 3 3 3

1

3

b)

15. Aproxima números reales. Completa la tabla. Expresión decimal (aproximada a las centésimas)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

2

3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

0

1

2

3

4

d)

e)

O O O

1 1 1

2 2 2

1 1 31 31 3

O

1

2

3

2 2 2

1 1 1

0 0 0

1 1 1

1 1 21 21 2

2

1

0

1

2

Diagonal del cuadrado ABCD

(

)

Hipotenusa del  MNO

(

)

2

(

)

3

(

)

5

(

)

10

Diagonal del rectángulo PQRS

3

r  12 r  12 r  120 r  120 0

Perímetro de la circunferencia

Hipotenusa del  XYZ

2

2

c)

c) La hipotenusa del triángulo rectángulo MNO, si MN 5 12 cm y MO 5 6 cm.

e) La diagonal del rectángulo PQRS, si PQ 5 10 cm y QR 5 5 cm.

3 3 3

1

b) La diagonal del cuadrado ABCD, de lado 5 cm.

d) La hipotenusa del triángulo rectángulo XYZ, si XY 5 4 cm 5 YZ.

2 2 2

2 12 2 2

1 1 1

14. Realiza operaciones con números reales. Ayúdale a Mariana a calcular la medida que se indica en cada caso, sin usar la calculadora. a) El perímetro de la circunferencia con centro en C, si su radio es 3 cm.

2 2 2

1 1 1

Q

P

Medida

1 1 1

3 3 3

4 4 4

3

4

4 4 4 4

11 proyecto aprender juntos

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Mauricio aprendió que un fractal es una forma geométrica que muestra una estructura compleja independientemente de la ampliación con que sea observada, y que para generar una de estas imágenes en su computador debe realizar algunos cálculos con números complejos.

17. Reconoce ecuaciones cuya solución no está en el conjunto R. Antes de iniciar los cálculos, Mauricio debe seleccionar algunas ecuaciones. Indica cuáles de las siguientes tienen solución en el conjunto R y cuáles no.

20. Encuentra el conjugado de un número complejo. Mauricio debe determinar el conjugado de algunos números. Relaciona cada número complejo con su conjugado. a) 2 2 3i

(

) 22 1 3i

b) 1 1 i

(

) 21 2 i

c) 24 1 5i

(

)12i

d) x2 1 81 5 0

d) 22 2 3i

(

) 2 1 3i

e) x2 1 100 5 0

e) 21 1 i

(

) 24 2 5i

a) x2 1 9 5 0 b) x2 2 16 5 0 c) x2 2 49 5 0

18. Identifica cantidades imaginarias. Algunas de las cantidades que Mauricio utilizará para sus cálculos tienen que estar expresadas en términos de la unidad imaginaria. Ayúdalo con las siguientes. a)

−169

21. Efectúa adiciones y sustracciones de números complejos. Para empezar a generar una imagen fractal en el computador, Mauricio debe realizar las siguientes operaciones. ¿Cuál es el resultado en cada caso?

b)

−400

a) (1 2 4i ) 1 (23 1 5i ) 1 (25 2 i )

c)

−8

b) (22 2 i ) 1 (28 2 6i ) 2 (9 1 5i )

d)

−7

c) (6 2 3i) 2 (25 1 i) 2 (8 2 9i)

e)

−50

17 1 3 11 5 1 2 i ) 1 (2 1 i ) 1 (2 1 17 i  ) 6 4 13 2 2 5 2 1 3 e) (2 2 i ) 2 ( 2 i ) 2 (4 2 5i ) 4 7 14 8

d) (

19. Reconoce las características de un número complejo. Mauricio completó la siguiente tabla pero cometió algunos errores. Corrígelos. Número complejo Parte real

Parte imaginaria

22. Calcula productos y cocientes de números complejos. Obtén los resultados de las operaciones que debe realizar Mauricio.

5 1 3i

3

5

a) (2 2 3i )(21 1 2i )

2 2 3i

2

3

b) (25 2 4i )(22 2 i )

27

0

27

2 2 3

0

1 5

0

2 2 1i 3 2

1 i 5

2

c) (21 2 2i )(3 2 i ) d) (3 2 2i ) 4 (23 1 5i ) e) (24 2 i ) 4 (21 2 3i )

12 proyecto aprender juntos

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23. Comprende la igualdad de números complejos. Mauricio debe encontrar el valor de las incógnitas que hacen verdadera cada igualdad. Encuéntralos y completa la tabla. Igualdad X Y x 1 yi 5 5 1 2i 8 3 x 1 yi 5 3 2 i 4 x 1 yi 5 5 x 1 yi 5 5i 7x 1

25. Representa gráficamente números complejos. En cada caso, Mauricio ha cometido un error al representar gráficamente los números complejos dados. Determina el intruso en cada grupo. a) (2 2 4i), (23 1 2i) y (25 2 7i) 5  7i

Eje imaginario 3  2i

2i

7 yi 5 2i 10

21 2 i 1 (2x 1 yi ) 5 7 2 3i (27 2 7i ) 1 (2x 1 yi ) 5 0

7 2 25 i  1 (27 1 4i ) 1 (2x 1 yi ) 5 0

Eje real

2 2  4i

b) (25 2 3i), (23 1 5i) y (6 2 4i) Eje imaginario 3  5i 5  3i

3 1 2) 5 2 1 3 i 3 1 (2x 2 3yi ) 1 (2 3 1 i ) 5 2 1 2 i 5 (x 1 yi) 1

2i Eje real

2

6  4i

c) (26 2 5i), (7 2 4i) y (5 1 6i)

24. Encuentra potencias de números complejos. La fórmula que debe seguir Mauricio para generar uno de los fractales es la siguiente.  Primera iteración: z2 1 z  Segunda iteración: (z2 1 z)2 1 z  Tercera iteración: (z2 1 z)2 1 z 2 1 z  Calcula las tres primeras iteraciones para cada uno de los siguientes valores de z. a) 1

Primera iteración: Segunda iteración: Tercera iteración:

Primera iteración: b) 21 Segunda iteración: Tercera iteración: c) 2i

Primera iteración: Segunda iteración: Tercera iteración:

Primera iteración: d) 2i Segunda iteración: Tercera iteración: Primera iteración: e) 22i Segunda iteración: Tercera iteración: proyecto aprender juntos

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Eje imaginario

5  6i

2

2i Eje real

6  5i 7  4i

d) (22 1 5i), (24 2 4i) y (1 1 7i) Eje imaginario

1  7i

2  5i

2

2i Eje real 4  4i

e) (7 1 3i), (24 1 6i) y (22 2 5i) Eje imaginario 7  3i 2

2i Eje real

2  5i

4  6i

13

Pensamiento variacional Mario elaboró el plano de un centro recreativo al que asiste con su familia. 3x  y x  2y x  2y

2x  y 3y

Cancha de fútbol

Piscinas

Zona de restaurantes

2y

2x  3y

2y

3x 3x

x xy

2x 2x  y 2y

xy

Canchas de voleibol

Canchas de tenis

x

3x

26. Realiza adición de polinomios. Relaciona cada lugar con el polinomio que expresa su perímetro. a) Cancha de fútbol

(

) 10x 1 2y

b) Zona de restaurantes

(

) 6x 1 4y

c) Canchas de tenis

(

) 8x 1 6y

d) Piscinas

(

) 6x 1 10y

e) Canchas de voleibol

(

) 8x 1 5y

27. Calcula el valor numérico de un polinomio. Si se sabe que x 5 3 m y y 5 2 m, determina el valor numérico del perímetro de cada lugar. a) Cancha de fútbol b) Zona de restaurantes c) Canchas de tenis d) Piscinas e) Canchas de voleibol

14

28. Efectúa multiplicación de polinomios. Completa la siguiente tabla. Lugar representado en el plano Cancha de fútbol Zona de restaurantes Canchas de tenis Piscinas Canchas de voleibol

Expresión algebraica del área

29. Aplica los productos notables. Las siguientes son expresiones del área de lugares que Mario representó en otro plano. Halla una expresión equivalente en cada caso. a) (3x 1 2y)2 3 2 y) 5 1 1 c) (5x 1 y)(5x 2 y) 2 2 1 1 d) ( x 2 4y)( x 1 4y) 3 3 1 e) (x 2 )3 3 b) (x 2

proyecto aprender juntos

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30. Efectúa división de polinomios. Mario conoce la expresión algebraica del área (A) y del lado (L1) de uno de sus dibujos, pero olvidó la correspondiente al otro lado (L2). Ayúdalo a encontrarla si: a) A 5 6x2 2 xy 2 2y2 L1 5 y 1 2x b) A 5 3x2 2 2x 2 16

33. Efectúa operaciones con expresiones radicales. En sus planos, Mario expresó la medida de los lados, en metros, de las figuras con radicales. Halla el perímetro en cada caso. a)

d)

3 3

2 5

2 5

L1 5 x 1 2

c) A 5 28x2 2 30y2 2 11xy L1 5 4x 2 5y d) A 5 x4 1 12x2 1 36

L1 5 x2 1 6

e) A 5 x2 1 5x 2 14

L1 5 x 2 2

4 3

3 7

b)

31. Factoriza polinomios. Los polinomios representan el área de cinco lugares del centro recreativo. Selecciona la factorización correcta en cada caso.

c) 6a2 1 7a 1 2 (2a 2 1)(3a 1 2) (2a 1 1)(3a 1 2)

e)

3 2

4 3

a) 2x4 1 15x2 1 7 (2x2 1 1)(x2 1 7) (2x2 2 1)(x2 1 7) b) 4x2 2 8x 1 3 (2x 2 1)(2x 2 3) (x 2 1)(2x 2 3)

4 3

4 3

4 2 5 2 5 2 7 2

c)

4 2 3 3

3 2

d) 6m2 2 m 2 15 (3m 1 5)(5m 1 3) (3m 2 5)(5m 1 3)

2 2

5 2

e) 6x2 1 5x 2 25 (3x 2 5)(2x 1 5) (3x 1 5)(2x 1 5)

32. Realiza operaciones con fracciones algebraicas. Completa la tabla determinando el área de cada locación. Locación

Largo

Ancho

Área

34. Resuelve ecuaciones lineales con la incógnita en más de un término. Mario planteó las siguientes ecuaciones para averiguar las dimensiones de algunos de los lugares representados en sus planos. Ayúdale a relacionar cada ecuación con su solución.

A

2x + 6 x +1

x2 + 3x + 2 4x2 + 12x

a) 4x 1 6 5 8x 1 12(x 2 4) 2 10

B

5m + 25 14

7m + 7 10m + 50

c) 28x 2 20 5 212x 2 2(x 1 2) 1 2(2x 1 3)

C

2a2 + a 6

8 4a + 2

e) 10(x 2 9) 2 9(5 2 6x) 5 2(4x 2 1) 1 5(1 1 2x)

2

D

2y 2 + 2y 2y 2

y − 3y y 2 − 2y − 3

(

x 2 − 4x − 5 3x + 3

(

E

2x − 2 2x2 − 50

)3 1 ) 2 )5

(

)1

(

)4

proyecto aprender juntos

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b) 3x 2 (6x 1 3) 5 36 2 (9x 1 9) d) 9x 1 [215x 2 3(x 1 3)] 5 24x 1 3(25x 2 9) (

15

Para la clase de álgebra, Lucas debe resolver un cuestionario que incluye preguntas sobre las siguientes figuras. A

B

35. Reduce términos semejantes en un polinomio. Lucas debe encontrar la expresión algebraica que representa el área de cada figura. Cuál es esta expresión en el caso de:

C

D

E

38. Factoriza polinomios. Indica, en cada caso, si la expresión algebraica que representa el lado del cuadrado es correcta o no. ¿Es correcta?

a) La figura A c) La figura C

Figura A

Lado 3x 1 2y

d) La figura D

B

5a 1 3b

e) La figura E

C

7x 1 4y

D

3m 1 5n

E

3m 1 5

b) La figura B

Sí

No

36. Efectúa operaciones con polinomios. Calcula los productos si: a) El área de A se multiplica por 3x 1 2y. b) El área de B se multiplica por 5a 2 b. c) El área de C se multiplica por 2xy 2 1. d) El área de D se multiplica por m 1 5n. e) El área de E se multiplica por 4m 2 3.

39. Aplica la regla de Ruffini. Las siguientes divisiones se deben resolver utilizando la regla de Ruffini. Ayuda a Lucas y relaciona cada una con el cociente, C(x), y el residuo, R, respectivos. a) (x3 2 5x2 1 3x 1 11) 4 (x 2 3) b) (x4 2 5x3 1 4x 2 39) 4 (x 1 2)

37. Calcula productos notables por simple inspección. Lucas calculó estos productos por simple inspección pero cometió errores. Corrígelos.

c) (x3 2 x2 1 2x 1 8) 4 (x 1 1)

a) (4m 1 7n)2 5 16m2 2 11mn 1 28n2

(

) C(x) 5 x3 2 7x2 1 14x 2 24 y R 5 9

b) (5x 2 y)2 5 25x2 1 5xy 1 y2

(

) C(x) 5 x2 2 2x 1 4 y R 5 4

(

) C(x) 5 x3 1 2x2 1 3x 1 2 y R 5 3

(

) C(x) 5 x2 2 2x 2 3 y R 5 2

(

) C(x) 5 x2 1 9 y R 5 7

c) (3x 2 7y)(3x 1 7y) 5 9x 1 14y 2

2

d) (5m 1 2n)(5m 2 2n) 5 25n2 2 4m2 e) (a 1 7b) 5 a 2 21a b 1 42ab 2 21b 3

3

2

2

3

d) (x3 2 2x2 1 9x 2 11) 4 (x 2 2) e) (x4 1 x3 1 x2 2 x 1 1) 4 (x 2 1)

16 proyecto aprender juntos

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40. Comprende los teoremas del residuo y del factor. Una de las actividades que debe desarrollar Lucas consiste en que, sin efectuar las divisiones, debe determinar si son exactas o inexactas. Clasifícalas. Exacta a) (x2 2 2x 1 1) 4 (x 2 2) Inexacta b) (m3 2 3m2 1 2m 2 8) 4 (m 2 4)

c) (a3 2 a2 1 a 1 14) 4 (a 1 2)

d) (z3 2 3z2 1 2z 2 10) 4 (z 2 3)

e) (x6 2 1) 4 (x 2 1)

Exacta Inexacta

2

22

4

Exacta Inexacta

d) P   (x) 5 x2 2 2x 2 15 Raíces: 23 y 5 Factorización: (x 1 3)(x 2 5)

Exacta Inexacta

e) P   (x) 5 x2 2 7x 2 30 Raíces: 6 y 5 Factorización: (x 2 6)(x 2 5)

21

3

24

21

3

21

2

8

28

c) P (x) 5 x2 2 7x 1 10 d) P (x) 5 2x2 1 x 1 3 e) P (x) 5 3x2 2 2x 1 1

44. Descompone un polinomio en factores utilizando diversas estrategias. Para factorizar los siguientes polinomios, Lucas debe utilizar diferentes estrategias. Indica cuál es la más conveniente en cada caso y aplícala.

23

d) P (x) 5 x3 2 2x2 1 2x 2 4 1

a) P (x) 5 x2 1 2x 1 32

23

c) P (x) 5 x3 1 3x2 2 x 2 3 1

43. Identifica polinomios irreducibles. Es necesario determinar cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles. Encuéntralos. b) P (x) 5 5x2 2 3x 1 4

b) P (x) 5 2x4 1 5x3 2 5x2 2 5x 1 3 1

b) P   (x) 5 x2 2 6x 1 9 Raíces: 3 y 23 Factorización: (x 2 3)(x 1 3)

Exacta Inexacta

a) P (x) 5 x3 2 4x2 2 5x 1 8 21

a) P   (x) 5 x2 2 7x 1 12 Raíces: 3 y 4 Factorización: (x 2 3)(x 2 4)

c) P   (x) 5 x2 2 8x 1 12 Raíces: 2 y 6 Factorización: (x 2 6)(x 2 2)

41. Identifica las raíces enteras de un polinomio. Lucas debe marcar las casillas correspondientes a raíces del polinomio P(x). ¿Cuáles son en cada caso?

1

42. Factoriza un polinomio conociendo sus raíces enteras. Indica, en cada caso, si Lucas completó los espacios correctamente o no. Justifica.

22

4

a) P (x) 5 x3 1 2x2 2 5x 2 6 24

b) P (x) 5 x3 1 x2 2 17x 1 15 c) P (x) 5 3x3 2 5x2 2 4x 1 4

e) P (x) 5 x3 1 2x2 2 x 2 2 1

21

2

22

d) P (x) 5 2x3 1 5x2 2 4x 2 3 e) P (x) 5 x3 2 2x2 2 5x 1 6

17 proyecto aprender juntos

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Claudia hizo una encuesta acerca del número de vehículos que guardaron cinco parqueaderos en cierto día de la semana, a las 8:00 a.m. y a las 12:00 m. Los datos obtenidos fueron los siguientes. 8:00 a.m Parqueadero

Número de motos

12:00 m

Número de automóviles

Número de motos

Número de automóviles

A

7

9

8

11

B

4

5

6

7

C

8

10

5

7

D

9

8

7

6

E

12

9

8

6

45. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término. Halla la solución de cada ecuación y determina el número de personas que le colaboraron a Claudia realizando las encuestas en cada parqueadero. a) A: 5x 1 10 2 18 5 14 2 6x b) B: 3x 1 9 1 5x 5 10 1 7x c) C: 11x 1 3(x 1 1) 5 6x 1 35 d) D: 2(x 2 1) 1 4x 5 (x 2 2) 1 15 e) E: 4(2x 2 1) 1 3(x 1 2) 5 5x 1 44

46. Resuelve ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas. Halla la solución de las ecuaciones para descubrir cuántos empleados tiene cada parqueadero. 5x 2x a) A: 1 5x 1 6 5 18 1 3 3 4x 41 x b) B: 1 2x 1 7 5 1 5 2 10 7x 3x 33 c) C: 3x 1 2 5 25 2 4 2 5x 25 3x 1 2x 5 1 d) D: 10 2 8 2 4 17 x 3x 37 e) E: 2 3x 5 2 24 14 7 14

47. Plantea sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Claudia recolectó la siguiente información. Dinero en pesos recolectado por los parqueaderos Parqueadero A B C D E

8:00 8 200 5 500 10 100 10 950 14 400

12:00 9 800 7 900 6 800 8 350 9 600

 Para averiguar el costo de parqueo (x) de un cuarto de hora de una moto y el de un automóvil (y), en cada sitio, Claudia planteó cinco sistemas de ecuaciones. Relaciona cada parqueadero con el sistema correspondiente. a) A

(

) 8x 1 10y 5 10 100 5x 1 7y 5 6 800

b) B

(

) 9x 1 8y 5 10 950 7x 1 6y 5 8 350

c) C

(

) 7x 1 9y 5 8 200 8x 1 11y 5 9 800

d) D

(

) 12x 1 9y 5 14 400 8x 1 6y 5 9 600

e) E

(

) 4x 1 5y 5 5 500 6x 1 7y 5 7 900

18 proyecto aprender juntos

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48. Emplea el método gráfico para hallar la solución de sistemas de ecuaciones. Sigue los pasos para resolver por el método gráfico el sistema de ecuaciones que Claudia planteó para averiguar los precios en el parqueadero A. a) Completa la tabla de valores para la primera ecuación.

x

2500

400

b) C  ompleta la tabla de valores para la segunda ecuación. 2700

400

a) M  ultiplica las ecuaciones de manera que se consiga el mismo coeficiente en las x. b) Suma o resta las ecuaciones según convenga. c) R  esuelve la ecuación de primer grado que obtuviste en el paso anterior.

1 300

y

x

50. Resuelve sistemas de ecuaciones por reducción. Halla la solución del sistema correspondiente al parqueadero C mediante el siguiente proceso.

d) S  ustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema. e) Resuelve la nueva ecuación y halla el valor de x.

1 500

y c) R  epresenta las dos ecuaciones en el plano cartesiano. Y

51. Resuelve sistemas de ecuaciones por igualación. Mediante el siguiente proceso resuelve el sistema correspondiente al parqueadero D. a) Despeja la incógnita x en las dos ecuaciones. b) Iguala las expresiones obtenidas y resuelve la ecuación de primer grado resultante. c) S  ustituye el valor obtenido en alguna de las ecuaciones del sistema.

100 O 100

X

d) Identifica la intersección de las rectas.

d) R  esuelve la ecuación obtenida en el paso anterior. e) V  erifica que los valores de x y y satisfacen el sistema.

e) Describe la solución del sistema.

49. Resuelve sistemas de ecuaciones por sustitución. Resuelve el sistema correspondiente al parqueadero B siguiendo estos pasos. a) D  espeja la incógnita x en la primera ecuación. b) S  ustituye la expresión que encontraste para x, en la segunda ecuación. c) D  espeja la incógnita y en la expresión que encontraste en el paso anterior. d) S  ustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales. e) Halla el valor de x.

52. Comprende el significado de las soluciones de un sistema de ecuaciones. Determina si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F).  El costo en pesos del cuarto de hora para motos y automóviles es respectivamente: a) Parqueadero A: 400 y 600 b) Parqueadero B: 500 y 700 c) Parqueadero C: 600 y 800 d) Parqueadero D: 700 y 900 e) Parqueadero E: 600 y 800

19 proyecto aprender juntos

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La profesora de Federico dibujó los siguientes triángulos en el tablero.

2y  1 y7 2x

a 2a  1

B

x5

C

8 cm 10 cm

A

3n  5

12 cm

3m  2

E

D

10 cm

2n  4

9 cm

2m  5

53. Comprende el concepto de inecuación. Federico sabe que, en todo triángulo, la suma de las medidas de dos de sus lados siempre es menor que la del tercer lado. Completa la tabla de acuerdo con esta información. ¿Refleja la situación?

Triángulo

Inecuación

A

2x 1 (x 1 5) , 10

B

(2y 2 1) 1 (y 2 7) , 8

C

a 1 (2a 2 1) , 10

D

3m 1 (2m 1 5) . 12

E

3n 1 (2n 2 5) , 9

Sí

No

54. Aplica las reglas de la suma y del producto, para resolver inecuaciones. Plantea y resuelve una inecuación que te permita determinar los valores que puede tomar la incógnita en cada figura. Luego, escribe en la casilla la incógnita correspondiente. 9 16 a) , d) , 5 3 5 b) , e) ,3 3 c)

,2

55. Interpreta las soluciones de una inecuación de primer grado. Selecciona las medidas más grandes que pueden tener los lados de los triángulos si: a) E  l perímetro del triángulo A es menor o igual que 42 cm. 9 cm 13 cm 17 cm

10 cm 14 cm 18 cm

11 cm 15 cm 19 cm

b) E  l perímetro del triángulo B es menor o igual que 33 cm. 4 cm 8 cm 21 cm

11 cm 33 cm 22 cm

8 cm 16 cm 42 cm

c) E  l perímetro del triángulo C es menor o igual que 20 cm. 2 cm 6 cm 9 cm

4 cm 8 cm 11 cm

3 cm 7 cm 10 cm

d) E  l perímetro del triángulo D es menor o igual que 40 cm. 12 cm 13 cm 15 cm

11 cm 32 cm 14 cm

13 cm 14 cm 16 cm

e) El perímetro del triángulo E es menor o igual que 18 cm. 3 cm 10 cm 11 cm

2 cm 9 cm 10 cm

1 cm 8 cm 9 cm

20 proyecto aprender juntos

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56. Halla la solución de inecuaciones polinómicas de grado superior. Sigue los pasos para determinar los valores que puede tomar la incógnita, de acuerdo con la figura. x2  2x  3  0 x2  2x  3  0

58. Halla la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado. La profesora de Federico propone nuevos ejercicios sobre inecuaciones. Ayúdale a resolver el que se presenta a continuación.  ¿Cuál es la solución del siguiente sistema?  

2x 2 3 , 1 2 x 4 2 4x $ 6

a) Resuelve la primera inecuación. a) C  alcula las raíces del polinomio P(x) 5 x2 2 2x 2 3 y factorízalo. b) Completa el siguiente esquema. Signo del primer factor x 2 3

b) Resuelve la segunda inecuación. c) R  epresenta gráficamente la solución de las inecuaciones.

Signo del segundo factor x 1 1

d) H  alla la intersección de las soluciones gráficas.

Signo del polinomio (x 2 3)(x 1 1)

e) Describe la solución del sistema.

c) Halla la solución de la inecuación. d) Describe con tus palabras los valores obtenidos. e) E  scoge un valor de la incógnita y halla la medida del lado en ese caso.

57. Resuelve inecuaciones racionales por factorización. Federico debe averiguar cuáles son los posibles valores de la incógnita, si el lado de un triángulo está dado como se muestra en la figura. Sigue los pasos para averiguarlo.

x2  4 2 x  x2 3x 4 2

x2  3x  2

a) Factoriza el polinomio x2 2 4. b) Factoriza el polinomio x2 2 3x 1 2. c) Simplifica los términos comunes al numerador y al denominador. d) Completa el cuadro de signos. Signo del numerador Signo del denominador Signo del cociente e) D  escribe los valores que puede tomar la incógnita.

59. Encuentra la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Otro de los ejercicios que debe resolver Federico es el siguiente:  Resuelve el sistema de inecuaciones. x 1 2y , 1 3x 2 y # 2 a) E  scribe un sistema equivalente de inecuaciones despejando y en las dos inecuaciones originales. b) C  ompleta las siguientes tablas de valores, para el sistema de ecuaciones asociado.

x

y

x

23

0

3

1

y

c) Representa gráficamente las soluciones de las inecuaciones. d) E  ncuentra la intersección de las soluciones gráficas encontradas en el paso anterior. e) Describe la solución del sistema de inecuaciones.

21 proyecto aprender juntos

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Pensamiento variacional

Rosaura tiene algunos terrenos de forma rectangular cuya área se registró en la tabla. Área Terreno Expresión algebraica T1

7x2

63

T2

x2 2 2x

24

T3

x2 2 3x

18

T4

2x2 2 7x

4

T5

3x2 2 2x

5

60. Reconoce ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Selecciona la ecuación de segundo grado que se obtiene al igualar la expresión algebraica del área de cada terreno con su valor numérico. a) T1

7x2 2 63 5 0 7x2 1 33 5 0

b) T2

x 2 2x 1 24 5 0 2

x2 2 2x 2 24 5 0 c) T3

x2 2 3x 2 18 5 0 x2 2 3x 1 18 5 0

d) T4

Valor numérico (m2)

62. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma x2 1 bx 1 c 5 0. Completa los datos que se refieren a T2. a) Á  rea: 24 m2 Largo:

Ancho:

b) Á  rea: 35 m2 Largo:

Ancho:

c) Á  rea: 48 m2 Largo:

Ancho:

d) Á  rea: 63 m2 Largo: Ancho: e) Á  rea: 80 m2 Largo:

Ancho:

2x2 2 7x 2 4 5 0 2x2 2 7x 1 4 5 0

e) T5

3x2 2 2x 1 5 5 0 3x2 2 2x 2 5 5 0

61. Resuelve ecuaciones de la forma ax2 1 c 5 0. Cuáles son los posibles valores de la incógnita si el área de T1 es la que se indica en cada caso. a) 63 m

2

b) 112 m

2

c) 175 m2 d) 252 m2 e) 343 m2

63. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0. Indica si cada afirmación con respecto a T4 es verdadera (V) o falsa (F). Justifica en caso de que sea falsa. a) S  i el área es 4 m2, entonces mide 1 m ( de ancho y 4 m de largo.

)

b) S  i el área es 15 m2, entonces mide 3 m de ancho y 5 m de largo. (

)

c) Si el área es 9 m2, entonces mide 1 m ( de ancho y 9 m de largo.

)

d) S  i el área es 22 m2, entonces mide 5,5 m de ancho y 4 m de largo. (

)

e) S  i el área es 30 m2, entonces mide 3 m de ancho y 10 m de largo. (

)

22 proyecto aprender juntos

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64. Completa trinomios cuadrados perfectos en una ecuación cuadrática. Rosaura quiere averiguar las dimensiones de algunos terrenos aledaños a los suyos. Ayúdala a llenar la siguiente tabla completando trinomios cuadrados perfectos.

67. Identifica diferentes características en una función dada. Completa los enunciados con base en la gráfica que obtuvo Rosaura al representar el comportamiento de las ventas de los terrenos. 250

Terreno A B C D E

Expresión del Expresión área equivalente x2 2 8x 5 9 x2 2 18x 5 19 x2 1 6x 5 7 x2 1 18x 5 19 x2 1 12x 5 45

Millones de pesos

200 150 100 50

Mes 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

a) L  a función representada en la gráfica es decreciente en el intervalo: b) L  a función es creciente en el intervalo:

65. Utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Utiliza la fórmula general para determinar si las siguientes ecuaciones pueden expresar el área de terrenos rectangulares o no. Justifica en cada caso.

.

c) La función tiene un mínimo relativo en: d) L  a función no es periódica porque: e) La función no es simétrica porque:

a) 9x2 1 27x 1 18 5 0 b) 2x2 1 10x 1 12 5 0 c) 7x2 2 21x 1 14 5 0 d) 9x2 2 30x 1 25 5 0 e) 3x2 1 10x 1 3 5 0

66. Comprende el concepto de función. Rosaura vende porciones de los terrenos así: los diez primeros metros cuadrados a $ 1 500 000 cada uno; más de diez y hasta 100 m2,a $ 1 200 000 cada uno y más de 100 m2, a $ 1 000 000 cada uno.  Realiza lo que se indica a continuación, con base en la información. a) E  xplica por qué la relación f(x) entre el número de metros cuadrados y el precio es una función. b) Describe la función f(x) mediante una fórmula. c) Describe el dominio. d) Describe el rango de f(x) e) Represéntala gráficamente. proyecto aprender juntos

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68. Reconoce las características de las funciones lineales. Contesta las preguntas con base en la información de la tabla. Comportamiento de las ventas de terrenos en cierto periodo de tiempo Mes 1 2 3 4 5

Monto de las ventas (pesos) 15 000 000 30 000 000 45 000 000 60 000 000 75 000 000

a) ¿Qué magnitudes están relacionadas en la tabla? b) ¿Qué clase de función representa esta función? Explica. c) ¿Existe constante de proporcionalidad? d) ¿Cuál es la grafica de esta función? Constrúyela. e) S  i el comportamiento de las ventas se mantiene, ¿cuál será el monto durante el sexto mes?

23

Violeta encontró que la trayectoria de algunos cuerpos celestes se puede describir mediante las siguientes funciones en las que x representa el tiempo en días y f(x) el recorrido en kilómetros. Cuerpo celeste Descripción de la trayectoria

70. Caracteriza funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 c. Realiza lo que se indica con respecto a la gráfica de la función f(x) 5 3x2 1 12. a) Describe el dominio. b) Describe el rango.

C1

f(x) 5 2x2

C2

f(x) 5 3x2 1 12

C3

f(x) 5 5x2 1 10x 1 5

c) Nombra el eje de simetría. d) Indica para cuáles valores de x crece y para cuáles decrece. e) Escribe las coordenadas del vértice.

69. Reconoce funciones de la forma f(x) 5 ax2. Violeta representó la función f(x) 5 2x2 en el plano cartesiano. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O 54321 1

Y

a) Exprésala de la forma f(x) 5 a(x 1 h)2 b) Indica las coordenadas del vértice V(h, 0) c) Describe hacia donde se traslada la gráfica con respecto a la de f(x) 5 5x2 d) Describe el dominio de la función e) Describe el rango de la función

f x  2x2

X

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6 7 8 9

 Describe cómo varía la gráfica de cada una de las siguientes funciones, con respecto a la de f(x) 5 2x2. a) f(x) 5 22x

2

b) f(x) 5 x2 c) f(x) 5 2x

2

d) f(x) 5 3x2



e) f(x) 5 23x2

71. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Con respecto a la función f(x) 5 5x2 1 10x 1 5:

72. Identifica funciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Observa la gráfica de la trayectoria de otro cuerpo celeste estudiado por Verónica. Y

fx  x3 10 5 2 O

X

2

 Determina si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F), con relación a la función representada en la gráfica. a) b) c) d) e)

Representa una función continua. ( El punto de corte con los ejes es (0, 0). ( Es una función cuártica. ( + ( Su dominio es R . Es creciente en todo su dominio. (

) ) ) ) )

24 proyecto aprender juntos

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Miguel debe estudiar las siguientes funciones para su clase de álgebra.

(

)

Nombre: Miguel Bermúdez 6 −4 10 a) y 5 c) y 5 e) y 5 x −1 x−3 x 4 10 b) y 5 2 d) y 5 x−3 x

73. Comprende las características de las funciones de proporcionalidad inversa. Relaciona cada función con su gráfica. 10 a) y 5 d) y 5 4 x x−3 10 b) y 5 2 e) y 5 −4 x x−3 6 c) y 5 x −1 ( )

Y

2

(

)

2

X

2

X

Y

2

Y

2 2

X

74. Estudia la tendencia de una función. Miguel debe estudiar la forma como se comporta la función y 5 x 4− 3 . A qué valor se acerca esta función: a) Cuando x se acerca a 1. b) Cuando x se aproxima a 21. c) Cuando x se acerca a 3. d) Cuando x se aproxima a 1.

(

)

Y

e) Cuando x se aproxima a 2.

2 2

(

)

X

75. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de una función. Completa las frases. a) La función y 5 10 tiene una asíntota horizonx y una vertical en . tal en

Y

10 b) L  a función y 5 2 tiene una asíntota horix y una vertical en . zontal en

2

6 c) L  a función y 5 tiene una asíntota horix −1 y una vertical en . zontal en

2

X

4 d) La función y 5 tiene una asíntota horix−3 y una vertical en . zontal en −4 e) L  a función y 5 tiene una asíntota horix−3 y una vertical en . zontal en

25

proyecto aprender juntos

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76. Identifica todas las asíntotas de una función. Ayuda a Miguel a encontrar todas las asíntotas de la función y 5

4x 3 , x −x −6 2

siguiendo el proceso.

a) Busca los valores de x que anulan el denominador pero no el numerador. b) Describe las asíntotas verticales. c) D  ivide el numerador de la función entre el denominador. d) R  eescribe la fórmula de la función según el resultado de la división anterior y determina su tendencia cuando x se acerca a 1. e) Describe la asíntota oblicua.

 se encuentran y 5 3 e y 5 x

x

. Completa la

tabla con las características de estas funciones.

y53

x

a) 6  3x 5 1 458

(

)2

b) 3  32x 5 2 187

(

)6

c) 52x 1 1 5 3 125

(

)3

d) 5  2x 2 1 5 1 280

(

)5

e) 4  7x 2 3 5 1 372

(

)9

80. Comprende las funciones logarítmicas. Para graficar las funciones y 5 log2 x, y y 5 log 1  x, Miguel debe seguir este proceso. 2 Ayúdalo con cada paso.

77. Comprende las características de una función exponencial. Entre las funciones que debe estudiar Miguel,  1   3

79. Resuelve ecuaciones exponenciales. En uno de los ejercicios, Miguel debe resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. Relaciona cada ecuación con su solución.

  y 5  1  3

x

a) Completa la tabla de valores para y 5 log2 x. 2

4

8

2

Dominio

y

Asíntotas

1

b) Completa la tabla de valores para y 5 log 1 x.

x

¿Es creciente?

1 2

y

¿Es exponencial? Rango

1 4

x

1 4

1 2

1

2

4

8

c) R  epresenta la dos funciones en el siguiente plano cartesiano. Y 2

78. Comprende las características de las funciones de la forma y 5 10x. Miguel quiere saber cómo varían las gráficas de algunas funciones con respecto a la de y 5 10x. Describe las variaciones, en cada caso. a) y 5 10

1 X

O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

2x

b) y 5 10x 1 1

2

c) y 5 10x 2 1 d) y 5 10x 1 2 e) y 5 10x 2 2

26

d) D  escribe cuatro similitudes entre las dos funciones. e) D  escribe una diferencia entre las dos funciones. proyecto aprender juntos

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Ricardo participa en un examen de matemáticas en el que debe poner a prueba sus conocimientos de álgebra.

81. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término. En la primera parte de la prueba, Ricardo debe resolver las siguientes ecuaciones. ¿Cuál es la solución en cada caso?

84. Halla la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Como parte de la carrera de pistas, Ricardo debe encontrar los valores que satisfacen cada ecuación. a) x2 1 x 2 30 5 0 b) x2 1 x 2 6 5 0 c) x2 1 x 2 1 5 0

a) 4(x 1 8) 1 3(6 2 3x) 5 0

d) 9x2 2 3x 2 2 5 0

b) 6(12 2 5x) 2 2(3x 1 2) 1 2x 5 0

e) 8x2 1 14x 1 3 5 0

c) 3(4 2 x) 2 (5x 1 1) 1 6x 5 0 d) 3 1 6(x 2 2) 5 5x 2 4(2x 1 7) 1 1 e) 1 2 4(5x 2 1) 5 6 1 7(12 2 10x)

82. Encuentra la solución de ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas. Ricardo debe encontrar la solución de algunas ecuaciones con fracciones algebraicas. Ayúdalo a resolverlas. x 3x 5 a) 25 4 3 3x  5 x 1 5 1 b) 2 4 4 c)

5 x 3x  4 x3 5 2 2 12 6

d)

10x  8 x 5 x 6 2 5 10 2 5

e)

x 1 2 x x 6 5 2 10 6 15

85. Realiza operaciones con números complejos. Ricardo resolvió algunas operaciones con números complejos, pero cometió errores. Detéctalos y corrígelos. a) (4 2 3i) 1 (22 1 5i) 1 (25 2 i)

5 4 2 3i 1 2 2 5i 1 5 1 i



5 4 1 2 1 5 2 3i 2 5i 1 i



5 11 2 9i

b) (6 2 3i) 2 (25 1 i) 2 (8 2 9i)

5 6 1 3i 1 5 1 i 1 8 1 9i



5 6 1 5 1 8 1 3i 1 i 1 9i



5 19 1 12i

c) (2 2 3i)(21 1 2i)

5 22 2 2i 2 3i 2 6



5 28 1 i

d) (25 2 4i)(22 2 i)

83. Resuelve sistemas de inecuaciones de primer grado. Como parte de la carrera de pistas, Ricardo debe encontrar los valores que satisfacen las siguientes inecuaciones. Determínalos. a) x 2 3 . 2



5 210 1 5i 2 8i 2 4



5 26 2 2i

e) (24 2 i) 4 (21 2 3i)

5

b) 4x 2 9 , x 2 6 c) 1 2 3x # 2x 2 9 d) x 2 2 $ 2x 2 3 e) 5 2 x , x 1 3

5

4  i 1 3 i . 13 i 1 3 i 4  12 i  i  3 1 3 i  3 i  9

7  11i 8 11 i 7 5 2 10 10 5

27 proyecto aprender juntos

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86. Comprende las características de la función lineal. En la tabla se muestra el volumen de agua en un tanque en función del tiempo. Tiempo (min)

0

1

2

3

4

5

Volumen (l)

0

5

10

15

20

25

 Ayuda a Ricardo a contestar las siguientes preguntas.

88. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Realiza los pasos que debe seguir Ricardo para estudiar la función f(x) 5 x2 1 x 1 1. a) Exprésala de la forma f(x) 5 a(x 1 h)2 1 k. b) Indica las coordenadas del vértice V(h, k). c) Describe el desplazamiento de la gráfica con respecto a la de f(x) 5 x2.

a) En esta relación, ¿cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? b) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la variación del volumen del tanque por minuto?

d) Indica cuál es el dominio de la función. e) Indica cuál es el rango de la función.

c) ¿Cuál es la gráfica de la función? Represéntala. d) ¿Qué significado tiene el valor de la pendiente de la gráfica?

89. Identifica las características de las funciones exponenciales. Entre las funciones que debe analizar x 1 Ricardo, se encuentran y 5 2x e y 5 . 2  Completa la tabla con las características de estas funciones.

()

e) ¿Cómo varía la gráfica de la función, si el agua ingresa al tanque a razón de 20 l por minuto?

87. Comprende las características de una función afín. En un experimento, la temperatura inicial de una sustancia es 5 ºC, pero, al calentarla, aumenta 3 ºC cada minuto. Realiza lo que se indica en cada caso.

¿Es exponencial?

a) Escribe la fórmula de la función. b) Completa la tabla.

¿Es creciente?

Tiempo (min)

0

1

2

3

4

5

y 5 2x

y5

() 1 2

x

Dominio Rango Asíntotas

Temperatura (ºC) c) Elabora la gráfica de la función. 16

90. Comprende las funciones logarítmicas. Ricardo quiere graficar las funciones y 5 log3 x, y y 5 log 1 x . Ayúdalo con cada 3  paso del siguiente proceso.

Y

14 12 10

a) Completa una tabla de valores para cada función.

8 6 4 2

X 1

2

3

4

5

6

d) Indica qué temperatura tendrá la sustancia al cabo de 10 min de iniciado el experimento. e) Explica cómo varía la gráfica de esta función, con respecto a la de y 5 3x.

b) Representa las dos funciones en el plano cartesiano. c) Indica si las dos funciones son crecientes o decrecientes. d) Describe el dominio de cada función. e) Describe el rango de cada función.

28

proyecto aprender juntos

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Mónica analizó las anotaciones de las jugadoras de baloncesto participantes en un campeonato y descubrió que algunas de estas anotaciones estaban en progresión aritmética según se observa en la tabla. Día del partido Jugadora

Lunes

Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Carolina

4

8

12

16

20

24

Tatiana

1

3

5

7

9

11

Rebeca

0

2

4

6

8

10

Antonia

2

5

8

11

14

17

Fabiana

0

1

2

3

4

5

91. Comprende las progresiones aritméticas. Relaciona el nombre de cada jugadora con el término general correspondiente a la progresión aritmética de sus anotaciones. a) Carolina

(

)n21

b) Tatiana

(

) 2n 2 2

c) Rebeca

(

) 3n 2 1

d) Antonia

(

) 4n

e) Fabiana

(

) 2n 2 1

93. Comprende las progresiones geométricas. Mónica encontró que las anotaciones de otra de las jugadoras se comporta como una progresión geométrica. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes 1 2 4 8 16  Responde las preguntas con base en esta información. a) ¿Cuál es el primer término de la progresión? b) ¿Cuál es la razón de la progresión? c) ¿Cuál es el término general de esta progresión?

92. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión aritmética. Supón que las anotaciones de las jugadoras se siguen comportando en progresión aritmética y determina el total de puntos que llevará cada una, según se indica.

d) S  i las anotaciones de esta jugadora siguen teniendo este comportamiento, ¿cuántas hará en el octavo partido? e) ¿Cuántas anotaciones hará en el décimo partido?

a) Carolina

En el partido 10: En el partido 13:

b) Tatiana

En el partido 12: En el partido 15:

c) Rebeca

En el partido 14: En el partido 17:

a) El quinto partido

d) Antonia

En el partido 13: En el partido 16:

c) En el octavo partido

e) Fabiana

En el partido 15: En el partido 20:

proyecto aprender juntos

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94. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica. Cuántas anotaciones en total habrá hecho la jugadora mencionada en el ejercicio anterior, en: b) En el séptimo partido

d) En el noveno partido e) En el décimo partido

29

Pensamiento espacial Un artista quiere escoger diferentes tipos de recortes de baldosas para hacer un mural. Algunas opciones son las siguientes. E

R

R P

Morado

H

Azul

Amarillo

C

D

Verde

T

P

I

C

F Verde

Azul Amarillo

M

V

W

F

Morado

K

B

A

G

J

N

Morado

Q

A

U

Q

S

Z

C

Azul

T

Amarillo

H

G

Verde

Q

X

J

M

Naranja

Naranja

D

Naranja

R

E Y

B

S N

95. Clasifica triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos. Algunos triángulos que se usarán en el mural deben clasificarse según la medida de sus lados y de sus ángulos. Relaciona cada triángulo con su clasificación. a)

I

( Verde

J

)A  cutángulo isósceles

K

( Morado



E

(

Amarillo

P

Q

)O  btusángulo escaleno

d) Naranja

Q

R

(

)R  ectángulo isósceles

P



( Azul

30

c) Grupo verde

97. Reconoce características de los movimientos en el plano. Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F), acerca de las figuras del mural.

b) U  n giro transforma un punto P del plano en otro punto del mismo P’. ( ) c) Cualquier triángulo tiene simetría axial. (

)

d) L  a simetría respecto a un punto se llama simetría central. ( )

e)

M

b) Grupo azul

a) P  ara trasladar un triángulo se trasladan los puntos que lo determinan. ( )

S



a) Grupo amarillo

)R  ectángulo escaleno

R

c)

96. Aplica los criterios para determinar la congruencia de triángulos. Algunas figuras del mural estarán formadas por grupos de triángulos congruentes. Nombra los triángulos congruentes de cada grupo.

e) Grupo naranja

D

X

d) Grupo morado

F

b)

Q

)A  cutángulo escaleno

e) D  os puntos son simétricos si sus abscisas y sus ordenadas son opuestas. ( )

N proyecto aprender juntos

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Verónica diseña vitrales como los que se muestran en la ilustración. 50 cm

A

H

D

53,9 cm

25 cm

F’

B’

20 cm 27 cm

47º 45º

76º

E

C’

P

10 cm 29º

P’

20 cm

E’ 40 cm

45º

G

G’

76º 13,5 cm

10 cm

26,95 cm

29º

H’

25 cm

A’

D’

20 cm 47º

B

F

50 cm

98. Comprende los criterios de semejanza de triángulos. Verónica descubrió que triángulos del diseño I son semejantes a triángulos del II. Nombra el criterio que permite verificar la semejanza en cada caso. Triángulos

C

100. A  plica las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia. En otros diseños, Verónica utiliza cuatro rectas tangentes a una circunferencia. a

Criterio

FPG y F’P’G’ HPG y H’P’G’ AEH y A’E’H’

b

P

T c 0 R

EBF y E’B’F’ GCF y E’A’H’ d

99. Calcula medidas de figuras semejantes. Verónica diseña un triángulo X’Y’Z’ semejante a EAH, para complementar su vitral. Cuál debe ser la medida del segmento Z’Y’, si:

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). a) S  i OP es un radio, entonces es tangente a c.

(

)

b) b y c son paralelas.

(

)

b) X’Y’ 5 60 cm

c) TP y TR son congruentes.

(

)

c) X’Y’ 5 50 cm

d) S  i OP es un radio, entonces es perpendicular a c.

(

)

e) OR y OP son congruentes.

(

)

a) X’Y’ 5 30 cm

d) X’Z’ 5 75 cm e) X’Z’ 5 100 cm

31 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

En un radar se observa la ubicación de cinco embarcaciones A, B, C, D y E, como se muestra en la gráfica. Cada unidad en la gráfica representa 10 km. Y

a) A hasta B A (5, 4)

b) B hasta E

C (2, 3)

c) E hasta D

B (8, 2) 1 O

103. C  alcula el módulo de un vector. Calcula la distancia que recorre la embarcación desde:

X

1

E (6, 2)

d) D hasta C e) C hasta A

D (4, 3)

104. C  alcula el ángulo que forman dos vectores. Determina el ángulo aproximado que forman los trayectos orientados por: a) AB y BE

101. R  epresenta el vector de posición de un punto en el plano. Representa en el plano cartesiano los vectores de posición de cada punto. a) Punto A b) Punto B

b) BE y ED c) ED y DC d) DC y CA e) CA y AB

c) Punto C d) Punto D e) Punto E

102. C  alcula las coordenadas de un vector libre. La embarcación debe desplazarse siguiendo, consecutivamente, la orientación de los siguientes vectores libres. ¿Cuáles son las coordenadas de cada uno? a) AB b) BE c) ED d) DC e) CA

32

105. C  omprende las diferentes formas de la ecuación de una recta. Escribe la ecuación que se pide en cada caso. a) L  as ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A y lleva la dirección de AB. b) L  a ecuación continua de la recta que pasa por el punto B y lleva la dirección de BE. c) L  a ecuación general de la recta que pasa por el punto E y lleva la dirección de ED. d) L  as ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto D y lleva la dirección de DC. e) L  as ecuación explícita de la recta que pasa por el punto C y lleva la dirección de CA. proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Para hacer el plano de dos terrenos, uno de forma triangular y otro en forma de cuadrilátero, Ana hizo el siguiente dibujo, en el que cada unidad corresponde a 1 m. 11

Y C

10

B

P

9 8 7

Q

6 5 4

N

3 2

A

1

M X

1

2

3

4

5

6

7

106. C  omprende la semejanza de triángulos. Cuáles serán las medidas de los lados B’C’ y C’A’ de un triángulo A’B’C’, semejante al de la figura, si: a) A’B’ 5 5 m

d) A’B’ 5 25 m

b) A’B’ 5 15 m

e) A’B’ 5 30 m

c) A’B’ 5 20 m

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17

108. C  alcula el módulo de un vector. Calcula lo que se indica en cada caso. a) El módulo de MN. b) El módulo de NP. c) El módulo de PQ. d) El módulo de QM. e) El perímetro del cuadrilátero MNPQ, aproximado a las centésimas.

107. E  ncuentra las coordenadas de un vector libre en el plano. Considera los vectores determinados por los vértices de los polígonos dibujados por Ana y selecciona las coordenadas en cada caso. a) De AB (26, 28)

(28, 6)

(6, 8)

(26, 0)

(0, 26)

(6, 0)

(28, 0)

(0, 28)

(0, 8)

(8, 21)

(8, 1)

b) De BC

109. E  ncuentra las coordenadas del punto medio de un segmento. Calcula las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos. a) AB d) MN b) BC e) NP c) CA

c) De CA

d) De MN (28, 21) e) De NP

110. C  alcula el ángulo que forman dos vectores. Determina el ángulo aproximado que forman los vectores. a) AB y BC d) MN y NP b) BC y CA e) NP y PQ

(3, 27)

(23, 27)

(23, 7)

c) CA y AB

33 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Pensamiento métrico

70 cm

Mariana y Rodrigo dibujaron las siguientes figuras compuestas. 170 cm

12 cm

6 cm

A

50 cm

30 cm

9 cm

D

30 cm

140 cm

80 cm

C 24 cm

130 cm

12 cm

16 cm 8 cm

40 cm

30 cm

70 cm

B

30 cm

14 cm

E

4 cm

4 cm

9 cm

14 cm 24 cm

8 cm

111. Identifica figuras compuestas por triángulos y cuadriláteros. Relaciona el nombre de cada figura con las figuras de las que está compuesta. a) Figura A (

2 cm

113. D  etermina el área de polígonos regulares. Mariana dibujó los siguientes polígonos regulares. ¿Cuál es el área de cada uno? a)

c)

) Un trapecio y un triángulo

b) Figura B (

) Dos rectángulos y un triángulo

c) Figura C (

) Un trapecio y un paralelogramo

d) Figura D (

) Un rectángulo y dos triángulos

e) Figura E (

) Un rectángulo y dos trapecios

112. C  alcula el área de figuras planas. Completa los enunciados describiendo el proceso que sigues para calcular el área de cada figura. a) El área de la figura A es

porque

b) E  l área de la figura B es

porque

e) 8 cm

7,14 cm

b)

d) 9,45 cm

porque

12 cm

15,49 cm

13,55 cm

10 cm

9 cm

114. C  alcula el área total y el volumen de algunos cuerpos geométricos. Halla el área total y el volumen de los cuerpos que Rodrigo construyó para la clase de geometría. a)

8 cm

c)

10 cm

16 cm 8 cm

8 cm

c) El área de la figura C es

9,23 cm

6 cm

b)

8 cm

e) 15 cm

d)

20 cm

d) E  l área de la figura D es

porque

e) El área de la figura E es

porque

32 cm

18 cm

34

36 cm

20 cm

24 cm proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Fabiola dibujó una casa utilizando solo triángulos. 116. C  alcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Calcula las razones trigonométricas que se indican en cada caso.

K

45º M

H

I

E

60º G

J

a) E  n IJK: sen J 5

cos J 5

b) E  n MIK: sen K 5

cos K 5

tg K 5

c) E  n BDE: sen B 5

cos B 5

tg B 5

d) E  n GHE: sen E 5

cos E 5

tg E 5

e) E  n ABC: sen B 5

cos B 5

tg B 5

tg J 5

F

117. E  ncuentra las razones trigonométricas de ángulos especiales. En el CGF, CG 5 1 cm; GF 5 4 cm.

C

a) ¿Cuál es la medida de CF? b) ¿ Cómo se clasifica el CGF según la medida de sus ángulos? A

B

D

c) ¿Cuál es el valor de sen F? d) ¿Cuál es el valor de cos F? e) ¿Cuál es el valor de tg F?

115. A  plica el teorema de Pitágoras para determinar medidas en un triángulo rectángulo. Utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar la medida desconocida en cada caso. a) E  n ABC, AB 5 2,5 cm; AC 5 2,5 cm . y BC 5

118. C  omprende las relaciones entre las razones trigonométricas. Fabiola dibujó el triángulo rectángulo de la figura. R

b) E  n BDE, BD 5 2,5 cm; DE 5 6 cm . y BE 5 c) E  n GHE, HG 5 2,5 cm; HE 5 5 cm . y GE 5 d) E  n MIK, MI 5 3 cm; IK 5 3 cm . y MK 5 e) E  n IJK, IJ 5 4 cm; IK 5 3 cm . y KJ 5

Q

P

 Cuál es el valor de las demás razones trigonométricas del ángulo agudo P, si: 7 3 a) sen P 5 d) sen P 5 25 5 b) cos P 5

8 5 e) cos P 5 10 13

c) tg P 5 1

35 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Patricia planea salir de excursión y necesita una tienda de campaña para acampar. En el supermercado observa los siguientes modelos. V

Z C

60  5 cm 35,5º

O

30º

H

80 5 cm

TC 003 X

TC 001 A

20 74 cm

T 100 cm

K

Y 41,2º

80 cm

60 cm

L

B

TC 002 M

60º

20 113 cm

40 34 cm

D

TC 005 W

P

TC 004

59,04º 120 cm

N

119. C  alcula medidas en triángulos rectángulos. Halla la altura de la tienda cuya referencia es: a) TC001

d) TC004

b) TC002

e) TC005

I

F

121. A  plica el teorema del seno y del coseno en la resolución de triángulos. Durante su excursión, Patricia necesita cruzar el río que se muestra en la figura.

c) TC003

C

120. R  esuelve triángulos rectángulos. Calcula los datos que completan la tabla. Medida de los Medida de los Triángulo lados ángulos DB 5 DBC 5 DBC BC 5 BCD 5 CD 5 CDB 5 PN 5 PNO 5 PNO NO 5 NOP 5 OP 5 OPN 5 TY 5 TYZ 5 TYZ YZ 5 YZT 5 ZT 5 ZTY 5 IG 5 IGH 5 IGH GH 5 GHI 5 HI 5 HIG 5 WL 5 WLV 5 WLV LV 5 LVW 5 VW 5 VWL 5

G

140 cm

100° 30° A

B

 Calcula el ancho del río si AB mide: a) 50 m

d) 200 m

b) 100 m

e) 250 m

c) 150 m

122. C  alcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Patricia compró una tienda de campaña de forma piramidal y base cuadrada. Cuál es el área total y el volumen ocupado por la tienda si el lado de la base y su altura son respectivamente: a) 3 m y 4 m

d) 3,5 m y 4 m

b) 2,5 m y 3 m

e) 3,5 m y 3,5 m

c) 3 m y 3 m

36 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Observa las gráficas.

610 m

x

41 m

85 m

x

110 m 2

1

40 m

x

4

x

36 m 7,5 m

x

3

63 m

16 m

5 4,5 m

123. C  alcula medidas en triángulos rectángulos. Responde las preguntas con base en la información de las figuras. a) ¿A qué distancia horizontal se encuentra el avión con respecto al joven? b) ¿Cuál es el ancho del río? c) ¿Cuál es la longitud de la escalera?

125. D  etermina la medida de un ángulo en un triángulo. Encuentra la medida de cada ángulo, con ayuda de la calculadora. Aproxima cada valor a las centésimas. a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4

d) ¿Cuál es la altura del árbol? e) ¿Cuál es la altura de la rampa?

126. A  plica las razones trigonométricas en el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos. Halla el volumen de cada cuerpo. a)

124. D  etermina las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Calcula las siguientes razones trigonométricas. a) sen 1 5 d) sen 4 5 cos 1 5 cos 4 5 tg 4 5 tg 1 5 e) sen 5 5 b) sen 2 5 cos 2 5 cos 5 5 tg 5 5 tg 2 5 c) sen 3 5 cos 3 5 tg 3 5

d)

5m 14 m

16 cm

3m

7 cm

b) 60° 5 cm

c)

e)

32,47°

26,08 cm 10 cm

6 cm 50°

37 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Pensamientos estadístico y aleatorio

128. Interpreta información representada en una gráfica. Determina si cada información es verdadera (V) o falsa (F).

El histograma representa la información recolectada al preguntar la edad a los aisntentes a un cinema. Edades de los asistentes a un cinema fi 20 18 16

a) L  as edades más frecuentes están entre 24 años y 36 años. (

)

b) L  as edades menos frecuentes están entre 72 años y 84 años. (

)

c) S  eis de los asistentes tienen entre 48 años y 60 años. (

)

d) D  iez de los asistentes tienen entre 36 años y 48 años. (

)

e) Se registró la edad de 40 asistentes. (

14

)

12

129. C  alcula medidas de tendencia central y los cuartiles de un conjunto de datos agrupados. Calcula los siguientes valores del conjunto de datos representados.

10 8 6 4

a) La moda

2 0

x 12

24

36

48

60

72

84

b) La mediana c) La media d) El primer cuartil e) El segundo y el tercer cuartil

127. E  labora la distribución de frecuencias de un conjunto de datos a partir del histograma. Completa la tabla de acuerdo con los datos representados en el histograma. Edad (años)

Marca Número de Frecuencias de clase asistentes acumuladas

[0, 12)

6

1

1

[12, 24)

18

8

9

130. C  alcula la probabilidad de ocurrencia de la intersección de sucesos dependientes. Se deben seleccionar dos de las siguientes personas. Mujeres

Casado 4

Soltero 1

Hombres

3

2

[24, 36)

Cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre soltero, y el segundo:

[36, 48)

a) Un hombre

[48, 60)

b) Una mujer soltera

[60, 72) [72, 84)

c) Una mujer casada d) Un hombre soltero e) Un hombre casado

38 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

La tabla y la gráfica representan los datos obtenidos al preguntar a 100 personas acerca de los minutos que emplean realizando algún tipo de ejercicio físico. xi

fi

Fi

[20, 30)

25

2

2

[30, 40)

35

5

7

[40, 50)

45

7

14

[50, 60)

55

10

24

[60, 70)

65

27

51

[70, 80)

75

31

82

[80, 90)

85

13

95

[90, 100)

95

4

99

[100, 110)

105

1

100

Tiempo en minutos (x)

131 C  alcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles de una distribución. Calcula los siguientes datos con respecto a la información de la tabla.

Número de personas

32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Tiempo (min)

133. E  studia la simetría de una distribución. Realiza lo que se indica a continuación, con respecto a la información representada en la tabla y la gráfica.

a) La media

a) Encuentra el límite inferior.

b) La clase modal y la moda

b) Encuentra el límite superior.

c) La clase mediana y la mediana

c) R  epresenta el límite inferior, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el límite superior.

d) El primer cuartil e) El tercer cuartil

132. Interpreta las representaciones gráficas de una distribución. Ten en cuenta la información representada en la gráfica en relación con el tiempo que emplean las personas encuestadas realizando ejercicio físico y responde las preguntas. a) ¿Cuántas personas emplean menos de 60 min?

d) Dibuja la gráfica de cajas y bigotes. e) O  bserva la gráfica de cajas y bigotes, e indica si la distribución es simétrica o no.

134. C  alcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución. Relaciona cada concepto con su valor. a) Número total de datos

(

) 80

b) ¿Cuántas personas emplean 70 min o más?

b) Media

(

) 15,6

c) ¿ Qué porcentaje del total emplean menos de 90 min?

c) Rango

(

) 100

d) Varianza

(

) 67,6

e) Desviación típica

(

) 243,24

d) ¿ Qué porcentaje del total emplean 40 min o más? e) ¿ Qué porcentaje del total emplean entre 60 min y 70 min?

39 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

En la siguiente tabla de doble entrada se registraron los datos correspondientes a la variable bidimensional “número de hermanos” (X) “número de hermanas” (Y) para los empleados de una empresa. X

0

1

2

3

4

Total

0

3

1

4

1

2

11

1

1

3

1

1

1

7

2

1

1

3

5

3

13

3

1

3

1

2

2

9

4

2

1

4

2

1

10

Total

8

9

13

11

9

50

Y

135. Interpreta los datos registrados en una tabla de doble entrada. Completa las siguientes frases con base en la información de la tabla. a) E  l número de personas que tienen dos . hermanos y dos hermanas es b) C  inco personas tienen hermanas.

hermanos y

137. C  omprende los conceptos de covarianza y correlación. En otros estudios que realizaron en la empresa, se obtuvieron los siguientes diagramas de dispersión. Asocia cada diagrama al índice de correlación correspondiente. a) d) Y

c) E  l número de personas que tienen cuatro . hermanos y dos hermanas es d) Cuatro personas tienen cuatro hermanas

hermanos y

e) Se encuestaron en total

personas. O

136 Identifica el tipo de relación entre dos variables. Realiza lo que se indica a continuación.

Y

X

O

X

b) e) Y

Y

a) Determina la media de las variables X y Y. b) C  alcula la desviación típica de las variables X y Y. c) Representa la nube de puntos de la distribución. d) Indica qué tipo de relación existe entre las dos variables: correlación positiva o directa, correlación negativa o inversa, o correlación nula. e) E  xplica si el número de hermanos está relacionado o no con el número de hermanas en este caso.

O

O

X

X

c) Y

(

)r51

(

) r 5 0,92



(

) r 5 20,25



(

)r50



(

) r 5 20,78

O

X

40 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

El director de una escuela de fútbol, que quiere encargar sudaderas para ofrecer a sus estudiantes, se dirige a un almacén donde le ofrecen las siguientes posibilidades. Colores Azul (A) Rojo (R) Verde (V) Negro (N) Blanco (B)

138. C  onstruye un diagrama de árbol para contar el número de maneras en que pueden ocurrir dos sucesos. Elabora un diagrama de árbol para averiguar cuántas sudaderas recibirá el director de la escuela si las encarga: a) E  n los colores azul y rojo y en las tallas pequeña y mediana. b) E  n los colores azul, rojo y verde, y en las tallas pequeña y mediana. c) E  n los colores verde, negro y blanco, y en las tallas pequeña, mediana y grande.

Tallas Pequeña

(S)

Mediana

(M)

Grande

(L)

Extragrande

(XL)

140. Identifica las variaciones sin repetición. De cuántas formas pueden otorgarse los títulos de campeón y subcampeón si los equipos inscritos son: a) A, B y C b) A, B, C y D c) A, B, C, D y E d) A, B, C, D, E y F e) A, B, C, D, E, F y G

d) E  n los colores azul, blanco, negro y rojo, y en las tallas mediana, grande y extragrande. e) En todos los colores y en todas las tallas.

139. C  omprende las permutaciones sin repetición. En la escuela de fútbol se organizó un campeonato. Indica de cuántas formas pueden clasificar los participantes si los equipos inscritos son: a) A, B y C b) A, B, C y D c) A, B, C, D y E

141. Identifica las variaciones con repetición. De cuántas maneras distintas se puede conformar un grupo con tres de los integrantes de uno de los equipos participantes en el campeonato, si cuenta con: a) 12 jugadores b) 13 jugadores c) 15 jugadores d) 16 jugadores e) 20 jugadores

d) A, B, C, D, E y F e) A, B, C, D, E, F y G

41 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Nicolás tiene una bolsa con diez balotas numeradas de 0 a 9 de la que extrae una balota sin mirar y luego anota el resultado.

A1 5 “Números mayores que 4”

1

9

A2 5 “Números impares menores que 8”

5

A3 5 “Múltiplos de 4” A4 5 “Múltiplos de 3”

2 6

143. E  ncuentra la unión y la intersección de sucesos. Otros sucesos considerados por Nicolás son

4 0

8 7

Determina los siguientes sucesos.

3

a) A1  A2 b) A1  A2 c) A1  A3 d) A2  A3 e) A2  A3

144. C  alcula la probabilidad de la unión de sucesos. Calcula las siguientes probabilidades. Ten en cuenta los sucesos considerados por Nicolás anteriormente. a) P(S1  S2)

142. C  lasifica diferentes sucesos. Relaciona los sucesos anotados por Nicolás con el nombre correspondiente. a) S1 5 {1} b) S2 5 {1, 3, 5, 7, 9} c) S3 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} d) S4 5 “Sacar 17” e) S5 5 

b) P(S3  S5) c) P(A1  A2) d) P(A1  A3) e) P(A2  A3)

145. D  etermina la probabilidad de experimentos compuestos. Además de extraer una balota de la urna, Nicolás lanza una moneda y anota los resultados en cada caso. Calcula la probabilidad de:

(

) Suceso contrario de S3

a) Extraer la balota 4 y cara en la moneda.

(

) Suceso seguro

b) Extraer la balota 5 y sello en la moneda.

(

) Suceso elemental

(

) Suceso compuesto

c) E  xtraer una balota con un número par y cara en la moneda.

(

) Suceso imposible

d) E  xtraer una balota con un número primo y sello en la moneda. e) E  xtraer una balota con un número mayor que 2 y sello en la moneda.

42 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

El consumo de gasolina, en galones, de los carros de los empleados de una empresa durante una semana se registró en la siguiente tabla. Cantidad de galones (x) [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70)

146. O  rganiza y representa un conjunto de datos. Calcula los siguientes datos con respecto a la información de la tabla. a) La media b) La clase modal y la moda c) La clase mediana y la mediana d) El primer cuartil e) El tercer cuartil

xi

fi

5

9

15

13

25

11

35

16

45

23

55

18

65

10

149. D  etermina la probabilidad de la unión de sucesos. Se quiere elegir un representante de los empleados de la empresa, se postularon cinco candidatos de la división financiera, siete de la administrativa y quince de servicios generales. Calcula la probabilidad de que el representante elegido sea: a) De la división financiera b) De la división administrativa c) De servicios generales

147. E  studia la simetría de una distribución. Realiza lo que se indica en cada caso. a) Encuentra el límite inferior. b) Encuentra el límite superior.

d) De la división financiera o de la administrativa e) De la división administrativa o de servicios generales

c) Representa el límite inferior, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el límite superior. d) Dibuja la gráfica de cajas y bigotes. e) Observa la gráfica de cajas y bigotes, e indica si la distribución es simétrica o no.

148. C  alcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución. Calcula los valores para la distribución. a) Número total de datos

150. D  etermina la probabilidad de experimentos compuestos. En una bolsa se introducen tarjetas con los nombres de los candidatos: 16 mujeres y doce hombres. Si se extraen dos tarjetas al azar, cuál es la probabilidad de que sean: a) Mujeres, con devolución de la primera tarjeta. b) Mujeres, sin devolución

b) Media

c) Hombres, con devolución

c) Rango

d) Hombres, sin devolución

d) Varianza e) Desviación típica

e) Una mujer en la primera tarjeta y un hombre en la segunda

43 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento numérico

14. Realiza operaciones con números reales.

1. Maneja porcentajes como números racionales.



Distribución del agua en la Tierra Tipo de agua

Porcentaje

Dulce

3%

Salada

97%

Expresión fraccionaria

3 100 97 100

Subterránea

Porcentaje

Expresión fraccionaria

133 400 1 200 53 80

33,25%

Ríos y lagos

0,5%

Glaciares

66,25%

c) 6 5 cm

e) 5 5 cm

15. Aproxima números reales.

a) 18,85 cm

b) 7,07 cm



d) 5,66 cm

e) 11,18 cm

c) 13,42 cm

16. Representa números irracionales en la recta numérica.

Distribución del agua dulce en la Tierra Tipo de agua

b) 5 2 cm

a) 6 cm

d) 4 2 cm

a)

3 b) 2 c) 

d)

6 e)

5

17. Reconoce ecuaciones cuya solución no está en el conjunto R.

a) No

b) Sí



d) No

e) No

c) Sí

18. Identifica cantidades imaginarias.

a) 13i

b) 20i c) 2 2 i 7 i e) 5 2 i

2. Halla la expresión decimal de un número racional.

d)



a) 0,03

b) 0,97

19. Reconoce las características de un número complejo.



d) 0,005

e) 0,6625

c) 0,0325



a) 147 919 140

b) 362 146 860



d) 10 864 405,8

e) 351 282 454,2

c) 112 214 520

4. Aproxima los resultados de operaciones con números reales.

a) 30,2%

b) 28,3%



d) 7%

e) 5,2%

c) 9,6%

1 b) 2 1 d) e) 16 a)

2 2 3i

27

Parte real

5

2

27

Parte imaginaria

3

23

0

2

2 1i 3 2 2 3 1



a) 2 1 3i

a) 27 b) 219 2 12i

a) 10 min

b) 40 min

22. Calcula productos y cocientes de números complejos.



d) 60 min

e) 50 min

c) 20 min

b) 6 1 13i c) 25 2 5i 11 7 9 19 d) 2 2 i e) 2 i 10 10 34 34



7. Comprende el concepto de intervalo. b) [20, 30) e) [10, 20)

c) [0, 10)

a) 50

b) 0

c) 60

a) 4 1 7i

23. Comprende la igualdad de números complejos.

x

8. Comprende la notación científica.

d) 40

e) 30

y

5 8

3

5

0

2

3 2 4

0

5

13 2

27

0

2 − 3 3

22

27

9. Resuelve operaciones que involucran potencias de números reales.

a) 20 000 d) 320 000

b) 40 000 e) 640 000

x

c) 80 000

y

10. Calcula logaritmos de números reales.

a) 10

b) 7

c) 8

d) 11

e) 9

d) No

e) No

a) Sí

b) Sí

c) No

12. Racionaliza expresiones fraccionarias.

9 c) 7 − 3 2 d) −2 − 6 e) −3 − 2 2 a) 2 2 b)

3

b) 3,8062



e) 0,3010

d) 2,9031

2

18 5

3 − 2

2

10 7

2 − 3 2 2 3

a) 2, 5, 26

b) 0, 21, 0

c) 24 1 2i, 12 2 14i, 252 2 334i d) 21 2 i, i, 21 2 i e) 24 2 2i, 12 1 14i, 252 1 334i 25. Representa gráficamente números complejos. a) 25 2 7i b) 25 2 3i

c) 5 1 6i d) 24 2 4i

e) 24 1 6i

13. Aplica las propiedades de los logaritmos. a) 20,0969

2

0

24. Encuentra potencias de números complejos.

11. Identifica radicales equivalentes.

1 5

c) 3 1 5i



d) [50, 60)

2

21. Efectúa adiciones y sustracciones de números complejos.

6. Halla la expresión decimal de un número racional.

a) [40, 50)

0

b) 1 2 i c) 24 2 5i

47 11 19 61 d) 2 2 i d) 2 1 i 8 4 6 14



1 i 5

d) 22 1 3i e) 21 2 i

1 1 c) 8 4 1 32



2

20. Encuentra el conjugado de un número complejo.

5. Expresa partes de un todo como un número racional.

5 1 3i

Número complejo

3. Efectúa operaciones con números racionales.

c) 20,1938

44 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento númerico

Estándares

Colegio: Estudiante:

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

1. Maneja porcentajes como números racionales. 2. Halla la expresión decimal de un número racional. 3. Efectúa operaciones con números racionales. 4. Aproxima los resultados de operaciones con números reales. 5. Expresa partes de un todo como un número racional. 6. Halla la expresión decimal de un número racional. 7. Comprende el concepto de intervalo. 8. Comprende la notación científica. 9. Resuelve operaciones que involucran potencias de números reales. 10. Calcula logaritmos de números reales. • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. • Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes. • Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. • Identifico y utilizo la potenciación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

11. Identifica radicales equivalentes. 12. Racionaliza expresiones fraccionarias. 13. Aplica las propiedades de los logaritmos. 14. Realiza operaciones con números reales. 15. Aproxima números reales. 16. Representa números irracionales en la recta numérica. 17. Reconoce ecuaciones cuya solución no está en el conjunto R. 18. Identifica cantidades imaginarias. 19. Reconoce las características de un número complejo. 20. Encuentra el conjugado de un número complejo. 21. Efectúa adiciones y sustracciones de números complejos. 22. Calcula productos y cocientes de números complejos. 23. Comprende la igualdad de números complejos. 24. Encuentra potencias de números complejos. 25. Representa gráficamente números complejos.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

45 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento variacional 26. Realiza adición de polinomios.

a) 8x 1 6y



b) 6x 1 10y



c) 8x 1 5y



d) 10x 1 2y



e) 4x 1 6y

35. Reduce términos semejantes en un polinomio.

a) 4x2 1 12xy 1 9y2



b) 25a2 1 30ab 1 9b2



c) 49x2y2 1 56xy 1 16



9 2 6 m 1 mn 1 n2 25 5 e) 9m2 1 30m 1 25

d)

27. Calcula el valor numérico de un polinomio.

36. Efectúa operaciones con polinomios.



a) 36 m

b) 38 m



a) 12x3 1 44x2y 1 51xy2 1 18y3



c) 34 m

d) 34 m



b) 125a3 1 125a2b 1 15ab2 2 9b3



e) 24 m



c) 98x3y3 1 63x2y2 2 24xy 2 16

28. Efectúa multiplicación de polinomios.

a) 3x2 1 7xy 1 2y2



b) 2x2 1 3xy 1 6y2



c) 3x2 1 5xy



d) 6x 1 3xy



e) 6xy

9 m3 1 3m2n 1 7mn2 1 5n3 25 e) 36m3 1 93m2 1 10m 2 75

d)

37. Calcula productos notables por simple inspección.

2

9. Aplica los productos notables. 2 a) 9x2 1 12xy 1 4y2

9 2 6 xy 1 y 25 5 1 c) 25x2 2 y2 4 1 d) x2 2 16y2 9 1 1 3 e) x 2 x2 1 x1 3 27 b) x2 2



a) 16m2 1 56mn 1 49n2



b) 25x2 2 10xy 1 y2



c) 9x2 2 49y2



d) 25m2 2 4n2



e) a3 1 21a2b 1 147ab2 1 343b3

38. Factoriza polinomios.

30. Efectúa división de polinomios.

a) 3x 2 2y

b) 3x 2 8



c) 7x 1 6y d) x2 1 6

e) x 1 7 31. Factoriza polinomios.



a) No

b) Sí



c) No

d) No



e) Sí

39. Aplica la regla de Ruffini.

a) C(x) 5 x2 2 2x 2 3 y R 5 2



b) C(x) 5 x3 2 7x2 1 14x 2 24 y R 5 9



c) C(x) 5 x2 2 2x 1 4 y R 5 4



d) C(x) 5 x2 1 9 y R 5 7 e) C(x) 5 x3 1 2x2 1 3x 1 2 y R 5 3



a) (2x2 1 1)(x2 1 7)





b) (2x 2 1)(2x 2 3)

40. Comprende los teoremas del residuo y del factor.



c) (2a 1 1)(3a 1 2)



a) Inexacta



d) (3m 2 5)(5m 1 3)



b) Inexacta



e) (3x 2 5)(2x 1 5)



c) Exacta

32. Realiza operaciones con fracciones algebraicas.



d) Inexacta

x +2 a) 2x b) m + 1 4 c) 2a 3



e) Exacta



41. Identifica las raíces enteras de un polinomio.

d) 1

e)

x −1 3x + 15

a) 1

b) 1, 21, 23



c) 1, 21, 23

d) 2



e) 1, 21, 22

42. Factoriza un polinomio conociendo sus raíces enteras.

33. Efectúa operaciones con expresiones radicales.



a) 7 3 1 3 7 b) 12 2 1 4 3



a) Sí

b) No



c) Sí

d) Sí



e) No

c) 12 2 1 3 3 d) 4 5 1 8 3

43. Identifica polinomios irreducibles.

e) 14 2



a) Irreducible

34. Resuelve ecuaciones lineales con la incógnita en más de un término.



b) Irreducible





c) No es irreducible



d) Irreducible



e) Irreducible

a) 4

c)

1 2

e) 3

b) 5 d) 1

46 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Colegio: Estudiante:

Planilla de seguimiento Pensamiento variacional

Estándares

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

26 Realiza adición de polinomios.

27. Calcula el valor numérico de un polinomio.

28. Efectúa multiplicación de polinomios.

29. Aplica los productos notables.

30. Efectúa división de polinomios.

31. Factoriza polinomios.

32. Realiza operaciones con fracciones algebraicas.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. • Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjetura.

33. Efectúa operaciones con expresiones radicales. 34. Resuelve ecuaciones lineales con la incógnita en más de un término. 35. Reduce términos semejantes en un polinomio. 36. Efectúa operaciones con polinomios. 37. Calcula productos notables por simple inspección. 38. Factoriza polinomios.

39 Aplica la regla de Ruffini.

40. Comprende los teoremas del residuo y del factor. 41. Identifica las raíces enteras de un polinomio. 42. Factoriza un polinomio conociendo sus raíces enteras.

43. Identifica polinomios irreducibles.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

47 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

44. Descompone un polinomio en factores utilizando diversas estrategias.

50. Resuelve sistemas de ecuaciones por reducción.



a) Teorema del factor, (x 1 1)(x 2 2)(x 1 3)



b) Teorema del factor, (x 2 1)(x 2 3) (x 1 5)



c) T  eorema del factor y resolución de una ecuación de segundo grado, (x 1 1)(x 2 2)(3x 2 2)

b) 26y 5 23 900



d) Teorema del factor y resolución de una ecuación de segundo grado, (2x 1 1)(x 1 3)(x 2 1)



e) Teorema del factor, (x 2 1)(x 1 2)(x 2 3)

51. Resuelve sistemas de ecuaciones por igualación.





45. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término.

a) 2

b) 1



c) 4

d) 3



e) 7

a) 4  0x 1 50y 5 50 500 40x 1 56y 5 54 400

c) y 5 650 d) 5x 1 5(650) 5 6 800

e) x 5 450 a) x 5

10 950 − 8y 8 350 − 6y ,x5 9 7

b) y 5 750

c) 9x 1 8(750) 5 10 950

d) x 5 550

46. Resuelve ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas.

e) 9(550) 1 8(750) 5 10 950 y 9(550) 1 8(750) 5 8 350



a) 3

b) 5

52. Comprende el significado de las soluciones de un sistema de ecuaciones.



c) 2

d) 4



a) V

b) V



e) 1



d) F

e) V

47. Plantea sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

a) 9x 1 9y 5 8 200 8x 1 11y 5 9 800

c) F

53. Comprende el concepto de inecuación.

Sí: triángulos A y B; No: triángulos C, D y E.

54. Aplica las reglas de la suma y del producto, para resolver inecuaciones.

b) 4x 1 5y 5 5 500 6x 1 7y 5 7 900

a) y b) x c) n

c) 8x 1 10y 5 10 100 5x 1 7y 5 6 800

d) m e) a 55. Interpreta las soluciones de una inecuación de primer grado.

d) 9x 1 8y 5 10 950 7x 1 6y 5 8 350



a) 10 cm, 14 cm y 18 cm

b) 4 cm, 8 cm y 21 cm



c) 3 cm, 7 cm y 10 cm

d) 12 cm, 13 cm y 15 cm



e) 1 cm, 8 cm y 9 cm





e) 12x 1 9y 5 14 400 8x 1 6y 5 9 600

48. Emplea el método gráfico para hallar la solución de sistemas de ecuaciones.

a) (2500, 1 300); (400, 600); (1 300, 2100)



56. Halla la solución de inecuaciones polinómicas de grado superior.

a) Las raíces son 3 y 21. (x 2 3)(x 1 1)



b)

21 3

b) (2700, 1 400); (400, 600); (1 500, 2200)



c) y d) Y

Signo de x 2 3

2

2

Signo de x 1 1

2

1

1

Signo de (x 2 3)(x 1 1)

1

2

1

1



c) (2, 21)  (3, )



d) Números menores que 21 y números mayores que 3 e) Respuesta abierta. Por ejemplo si x 5 4, lado: 5 cm.

57. Resuelve inecuaciones racionales por factorización.

(400,600)

a) x2 2 4 5 (x 1 2)(x 2 2) b) x2 2 3x 1 2 5 (x 2 2)(x 2 1)

100 100

X

c) x + 2



e) Parqueo de una moto, $ 400 y el de un automóvil, $ 600.

49. Resuelve sistemas de ecuaciones por sustitución.

5 500 − 5y 4 5 500 − 5y  1 7y 5 7 900  b) 6   4   c) y 5 700 d) 4x 1 5(700) 5 5 500 e) x 5 500 a) x 5

48



x −1

d)

22 1

Signo de x 1 2

2

1

Signo de x 2 1

2

2

1

Signo de (x 1 2) (x 2 1) 1 e) (2, 22)  (1, )

2

1

1

58. Halla la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado. a) x ,

4

x 3

b) x # 2

3 4

c), d) y e) x

 1 2

1 2

4 3

1 2

4 3

1 2

4 3

1 2

proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento variacional

Estándares

Colegio: Estudiante:

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

44. Descompone un polinomio en factores utilizando diversas estrategias.

45. Resuelve ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas.

46. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término.

47. Plantea sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

48. Emplea el método gráfico para hallar la solución de sistemas de ecuaciones.

49. Resuelve sistemas de ecuaciones por sustitución. • Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

50. Resuelve sistemas de ecuaciones por reducción.

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. • Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

51. Resuelve sistemas de ecuaciones por igualación.

52. Comprende el significado de las soluciones de un sistema de ecuaciones.

53. Comprende el concepto de inecuación.

54. Aplica las reglas de la suma y del producto, para resolver inecuaciones.

55. Interpreta las soluciones de una inecuación de primer grado.

56. Halla la solución de inecuaciones polinómicas de grado superior.

57. Resuelve inecuaciones racionales por factorización.

58. Halla la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

49 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

59. Encuentra la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. a) y ,

1− x , y y $ 3x 2 2 2



b) (23, 2); (3, 21) y (0, 22); (1, 1)



c) y d)

O 2



a) A cada valor de x le corresponde un único valor de f(x).



1 500 000x, si 0 , x # 10 b) f(x) 5 1 200 000x, si 10 , x # 100 1 000 000x, si 100 , x

c) D (x) 5 R+

Y 2

66. Comprende el concepto de función.

d) R (x) 5 R+

X

e) 120 Millones de pesos 100



80

e) Región del plano comprendida entre

60

1− x , y y 5 3x 2 2 las rectas y 5 2

40 20

incluida la recta y 5 3x 2 2. 60. Reconoce ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

a) 7x2 2 63 5 0



c) x2 2 3x 2 18 5 0

b) 7, 13)



d) 2x2 2 7x 2 4 5 0

c) x 5 6



e) 3x2 2 2x 2 5 5 0





a) 3

b) 4



c) 5

d) 6



e) 7



b) Una función lineal, porque su fórmula es f(x) 5 90 000 000x c) Sí. 15 000 000

d)



a) 6 m, 4 m

b) 7 m, 5 m



c) 8 m, 6 m

d) 9 m, 7 m



e) 10 m, 8 m

110 Millones de pesos 90 60 30

Mes 2

63. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0.



a) Tiempo (en meses) y monto de las ventas (en pesos)



62. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma x 1 bx 1 c 5 0.

b) V

d) Respuesta abierta



2



a) 1, 6)

68. Reconoce las características de las funciones lineales.

61. Resuelve ecuaciones de la forma ax2 1 c 5 0.

a) V

140

67. Identifica diferentes características en una función dada.

b) x2 2 2x 2 24 5 0



Mes 20 40 60 80 100

4

6

8 10

69. Reconoce funciones de la forma f(x) 5 ax2.

a) Abre hacia abajo



b) Tiene una abertura mayor

c) F, porque mide 2 m de ancho y 4,5 m de largo



c) Tiene una abertura mayor y abre hacia abajo



d) V



d) Tiene una abertura menor.



e) F, porque mide 5 m de ancho y 6 m de largo



e) Tiene una abertura menor y abre hacia abajo.

64. Completa trinomios cuadrados perfectos en una ecuación cuadrática. Terreno Expresión del área x2 2 8x 5 9 A B x2 2 18x 5 19 C x2 1 6x 5 7 D x2 1 18x 5 19 E x2 1 12x 5 45

Expresión equivalente x2 2 8x 1 16 5 25 x2 2 18x 1 81 5 100 x2 1 6x 1 9 5 16 x2 1 18x 1 81 5 100 x2 1 12x 1 36 5 81

65. Utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

a) No, son dos raíces negativas.



b) No, son dos raíces negativas.



c) Sí, son dos raíces positivas.



d) Sí, es una única raíz positiva.



e) No, son dos raíces negativas.

50

70. Caracteriza funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 c.

a) D(f) 5 R



b) R(f) 5 12, 1



c) Eje Y



d) Crece para todox . 0 y decrece para todo x , 0; e) (0, 3)

71. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. a) f(x) 5 5(x 1 1)2 b) V (21, 0)

c) Se traslada una unidad hacia la izquierda



d) D(f) 5 R; e) R(f) 5 R+  0

72. Identifica funciones polinómicas de tercer y cuarto grado.

a) V

b) V



c) F

d) F



e) V proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento métrico

Estándares

Colegio: Estudiante:

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

59. Encuentra la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

60. Reconoce ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

61. Resuelve ecuaciones de la forma ax2 1 c 5 0.

62. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma x2 1 bx 1 c 5 0.

63. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0.

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas • Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan • Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

64. Completa trinomios cuadrados perfectos en una ecuación cuadrática.

65. Utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

66. Comprende el concepto de función.

67. Identifica diferentes características en una función dada.

68. Reconoce las características de las funciones lineales.

69. Reconoce funciones de la forma f(x) 5 ax2.

70. Caracteriza funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 c.

71. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.

72. Identifica funciones polinómicas de tercer y cuarto grado.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

51 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

73. Comprende las características de las funciones de proporcionalidad inversa. a) Y

2 X

2

4. Estudia la tendencia de una función. 7 a) A 22 b) A 21 c) A 2 si se acerca por la izquierda. A 1  si se acerca por la derecha. d) A 0; e) A 0 5. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de una función. 7 a) y 5 0, x 5 0 b) y 5 0, x 5 0 c) y 5 0, x 5 1 d) y 5 0, x 5 3 e) y 5 0, x 5 3 6. Identifica todas las asíntotas de una función. 7 a) x 5 3, x 5 22 b) Las rectas x 5 3 y x 5 22 c) Cociente: 4x 1 4, residuo: 28x 1 24 3 28x + 24 4x 5 4x 1 4 1 2 . La función tiende a 4x 1 4. x − x −6 x − x −6 e) y 5 4x 1 4

b)

d)

Y

2

77. Comprende las características de una función exponencial.

¿Es exponencial?

X

2

x

Dominio

Sí R

Sí R

Rango

R+

R+

¿Es creciente?

Sí

No. Decreciente

y50 y50 Asíntotas 78. Comprende las características de las funciones de la forma y 5 10x. a) Es el reflejo de y 5 10x con respecto al eje Y b) Se traslada una unidad hacia la izquierda c) Se traslada una unidad hacia la derecha d) Se traslada dos unidades hacia la izquierda e) Se traslada dos unidades hacia la derecha.

c) Y

2 2

d)

 1

y 5   3

y 5 3x

2

X

9. Resuelve ecuaciones exponenciales. 7 a) 5 b) 3 d) 9 e) 6

c) 2

80. Comprende las funciones logarítmicas. a) b) 1 1 1 1 x 4 2 1 2 4 8 x

Y

y 22 21 0 1 2 3

c)

Y

2 2

X

4

2

y 2

1

1

2

4

8

0

21

22

23

y  log2x

2 1 X

O

e) Y

1 2

2 2

52

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

X

y  log 12 x



d) S  u dominio es x . 0. Su recorrido es R. Son continuas en todo su dominio. Tienen como asíntota vertical la recta x 5 0



e) y 5 log2 x es creciente en todo su dominio y y 5 log 21 x es decreciente en todo su dominio. proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento aleatorio

Estándares

Colegio: Estudiante:

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

73. Comprende las características de las funciones de proporcionalidad inversa.

74. Estudia la tendencia de una función.

75. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de una función.

• Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan. • Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

76. Identifica todas las asíntotas de una función.

77. Comprende las características de una función exponencial.

78. Comprende las características de las funciones de la forma y 5 10x.

79. Resuelve ecuaciones exponenciales.

80. Comprende las funciones logarítmicas.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

53 proyecto aprender juntos

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ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

81. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término. a) 10 b) 2 11 c) 12 d) 22 e)

17 10

82. Encuentra la solución de ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas. a) 2

20 3

b) 6

c) 24 d) 29 e)

88. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax 2 1 bx 1 c.

1 )2 1 3 4 2 1 3 b) V(2 , ) 2 4 3 de unidad hacia c) Se traslada 1 unidad hacia la izquierda y 4 2 arriba

a) y 5 (x 1

3 4

d) R; e) [ , 1) 89. Identifica las características de las funciones exponenciales.

3

1 6

y 5 2x ¿Es exponencial?

83. Resuelve sistemas de inecuaciones de primer grado. a) x . 5

b) x , 1

c) x  2

d) x  1

Dominio

Sí R

Rango

R+

¿Es creciente?

e) x . 1

Asíntotas

84. Halla la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. a) x 5 26 y x 5 5 b) x 5 23 y x 5 2

−1 + 5 −1 − 5 yx5 2 2 1 2 d) x 5 yx52 3 3 1 3 e) x 5 2 y x 5 2 4 2 c) x 5



e)

b)

Sí R R+ No y50

Y

y  log3x

2 1

d) 6 1 13i

X

7 11 i 2 10 10

O

86. Comprende las características de la función lineal.

x

 1 , 1 ; (1, 0); (3, 21); (9, 22) 3 

a) 23 1 i b) 3 1 5i c) 4 1 7i

( 21 )

90. Comprende las funciones logarítmicas. 1  a)  3 ,1 ; (1, 0); (3, 1); (9, 2)

85. Realiza operaciones con números complejos.

Sí y50

y5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

a) Independiente: tiempo, dependiente: volumen

b) y 5 5x

2

y  log 13 x

c) 25 20 15



10

d) R+

5 1

2

3

4

5

6

7



d) E  n la gráfica, por cada unidad horizontal que se avance a la derecha, se ascienden cinco unidades verticalmente.



e) La recta tiene mayor pendiente.

87. Comprende las características de una función afín. a) y 5 3x 1 5

b) (0, 5); (1, 8); (2, 11); (3, 14); (4, 17); (5, 20)

c)

92. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.

a) 220, 364

b) 144, 225



c) 182, 272

d) 260, 392

20 16



12

c) an 5 2n 2 1

a) 1

b) 2 d) 128; e) 512

94. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica.

4 1

54

e) R

1. Comprende las progresiones aritméticas. 9 a) 4n b) 2n 2 1 c) 2n 2 2 d) 3n 2 1 e) n 2 1

e) 22, 190 93. Comprende las progresiones geométricas.

8



c) La primera es creciente y la segunda, decreciente.

2

3

4

5

6

7

d) 35 ºC; e) Se traslada cinco unidades hacia arriba.



a) 31

b) 127



c) 255

d) 511



e) 1 023 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento aleatorio

Estándares

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

A

Ba

B

Observaciones

81. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término.

82. Encuentra la solución de ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas.

88. Resuelve sistemas de inecuaciones de primer grado.

84. Halla la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

85. Realiza operaciones con números complejos.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. • Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan. • Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

86. Comprende las características de la función lineal.

87. Comprende las características de una función afín.

88. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.

89. Identifica las características de las funciones exponenciales.

90. Comprende las funciones logarítmicas.

91. Comprende las progresiones aritméticas.

92. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.

93. Comprende las progresiones geométricas.

94. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

55 proyecto aprender juntos

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ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento espacial

102. Calcula las coordenadas de un vector libre.

95. Clasifica triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos.

a) Obtusángulo escaleno



b) Rectángulo isósceles



c) Acutángulo escaleno



d) Acutángulo isósceles



e) Rectángulo escaleno



a) (3, 22)

b) (22, 24)



c) (210, 21)

d) (2, 6)



e) (7, 1)

103. Calcula el módulo de un vector. a)

13

b) 2 5

96. Aplica los criterios para determinar la congruencia de triángulos.

c) 101

a) UST y VXW

d) 2 10

b) MNP, TRQ y CBA

e) 5 2

c) IJK y FHG

104. Calcula el ángulo que forman dos vectores.

d) ABC, JHG y EDF e) XYZ y NMQ 97. Reconoce características de los movimientos en el plano.

a) V

b) V



c) F

d) V



e) V

a) 82,87º

b) 57,72º



c) 114,15º

d) 63,43º



e) 41,82º

105. Comprende las diferentes formas de la ecuación de una recta. a) x 5 5 1 3t, y 5 4 2 2t

x −8 y −2 5 −2 −4 c) x 2 10y 2 26 5 0 d) y 1 3 5 3(x 1 4) 23 1 e) y 5 x 1 7 7 b)

98. Comprende los criterios de semejanza de triángulos. Triángulos



Criterio

FPG y F’P’G’

ángulo-ángulo

HPG y H’P’G’

lado-ángulo-lado

AEH y A’E’H’

lado-lado-lado

106. Comprende la semejanza de triángulos.

EBF y E’B’F’

ángulo-ángulo

a) B’C’ 5 3 m, A’C’ 5 4 m

GCF y E’A’H’

lado-ángulo-lado

b) B’C’ 5 9 m, A’C’ 5 12 m c) B’C’ 5 12 m, A’C’ 5 16 m

99. Calcula medidas de figuras semejantes.

a) 75 cm

b) 150 cm



c) 125 cm

d) 69,6 cm



e) 92,8 cm

d) B’C’ 5 15 m, A’C’ 5 20 m e) B’C’ 5 18 m, A’C’ 5 24 m 107. Encuentra las coordenadas de un vector libre en el plano.

100. Aplica las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia.

a) F

b) F



c) V

d) V



e) V



a) (6, 8)

b) (26, 0)



c) (0, 28)

d) (8, 1)



e) (23, 7)

108. Calcula el módulo de un vector.

65 b) 58 a)

101. Representa el vector de posición de un punto en el plano.

5 27 7 e) 25, 27 46 m

c)

d)

Y



A (5, 4)

C (2, 3)

109. Encuentra las coordenadas del punto medio de un segmento.

B (8, 2) 1 O

D (4, 3)

56

1

X E (6, 2)



a) (5, 6)



b) (5, 10)



c) (2, 6)



d) (12, 5 )



13 ) e) (19 ,

2

2

2

110. Calcula el ángulo que forman dos vectores.

a) 126,87º

b) 90º



c) 143,13º

d) 106,1º



e) 111,8º proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento espacial

Estándares

Colegio: Estudiante:

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

95. Clasifica triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos. 96. Aplica los criterios para determinar la congruencia de triángulos.

• Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre 7. Reconoce características de los 9 figuras bidimensionales y entre objetos movimientos en el plano. tridimensionales en la solución de problemas. • Aplico y justifico criterios de congruencias y 9 8. Comprende los criterios de semejanza de triángulos. semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. 99. Calcula medidas de figuras semejantes.

100. A  plica las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia. 101. R  epresenta el vector de posición de un punto en el plano. 102. C  alcula las coordenadas de un vector libre.

103. Calcula el módulo de un vector.

104. C  alcula el ángulo que forman dos vectores.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

105. C  omprende las diferentes formas de la ecuación de una recta.

106. Comprende la semejanza de triángulos.

107. E  ncuentra las coordenadas de un vector libre en el plano.

108. Calcula el módulo de un vector.

109. E  ncuentra las coordenadas del punto medio de un segmento. 110. C  alcula el ángulo que forman dos vectores.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

57 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento métrico 111. Identifica figuras compuestas por triángulos y cuadriláteros.

a) Un rectángulo y dos triángulos



b) Un trapecio y un paralelogramo



c) Un rectángulo y dos trapecios



d) Un trapecio y un triángulo



e) Dos rectángulos y un triángulo

119. Calcula medidas en triángulos rectángulos.

a) 160 cm

b) 200 cm



c) 140 cm

d) 160 cm



e) 120 cm

120. Resuelve triángulos rectángulos. Triángulo

112. Calcula el área de figuras planas.

a) 351 cm2, ARectángulo 5 108 cm2, ATriángulo 1 5 27 cm2 y ATriángulo 2 5 216 cm2



b) 242 cm2, AParalelogramo 5 128 cm2 y ATrapecio 5 114 cm2



c) 1  2 350 cm2, ARectángulo 5 5 600 cm2, ATrapecio 1 5 4 250 cm2 y ATrapecio 2 5 2 500 cm2



d) 11 550 cm2, ATrapecio 5 5 250 cm2 y ATriángulo 5 6 300 cm2

DBC

PNO

e) 86 cm2, ARectángulo 1 5 36 cm2, ARectángulo 2 5 32 cm2 y ATriángulo 5 18 cm2

TYZ

113. Determina el área de polígonos regulares.

a) 228,48 cm2

b) 283,5 cm2



d) 542 cm

e) 697,05 cm

2

c) 249,21 cm2

IGH

2

114. Calcula el área total y el volumen de algunos cuerpos geométricos.

b) A T 5 1 952 cm2 y V 5 4 608 cm3 d) A T 5 1 882,12 cm2 y V 5 5 425,92 cm3 e) A T 5 4 488 cm2 y V 5 2 000 cm3 115. A  plica el teorema de Pitágoras para determinar medidas en un triángulo rectángulo. a) 2,5 2 cm

b) 6,5 cm

d) 3 2 cm

e) 5 cm

c) 5 5 cm

2

116. Calcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

3 , 4 y 3 b) 2 , 2 y 1 5 5 4 2 2 5 2 5 1 12 12 5 c) , y d) , y 2 5 5 5 13 13 2 2 e) , y1 2 2 a)

117. Encuentra las razones trigonométricas de ángulos especiales.

17 cm

a)

17 cm 17 1 cm e) c)

b) Rectángulo d) 4 17 cm

17

4

118. Comprende las relaciones entre las razones trigonométricas.

a) cosP 5 7 y tanP 5 7 y



b) senP 5



c) senP 5



d) cosP 5 e) senP 5

24 25 6 y tanP 5 6 y 8 10 2 y cosP 5 2 y 2 2 4 y tanP 5 3 y 4 5 12 y tanP 5 12 y 5 13

Medida de los ángulos DBC 5 60º

BC 5 80 5 cm CD 5 160 cm PN 5 120 cm

BCD 5 30º

NO 5 40 34 cm OP 5 200 cm TY 5 100 cm

NOP 5 30,96º

YZ 5 20 74 cm ZT 5 140 cm IG 5 140 cm

YZT 5 35,5º

GH 5 20 113 cm HI 5 160 cm WL 5 60 cm

GHI 5 41,2º

LV 5 60 5 cm VW 5 120 cm

LVW 5 30º

CDB 5 90º PNO 5 59,04º OPN 5 90º TYZ 5 54,5º ZTY 5 90º IGH 5 48,8º HIG 5 90º WLV 5 60º VWL 5 90º

121. A  plica el teorema del seno y del coseno en la resolución de triángulos.

c) A T 5 1 632,8 cm2 y V 5 5 024 cm3



WLV

a) A T 5 384 cm2 y V 5 512 cm3

Medida de los lados DB 5 80 cm



a) 32,64 m

b) 62,27 m



c) 97,9 m

d) 130,54 m



e) 163,18 m

122. Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. a) A T 5 31,26 m2, V 5 12 m3 d) A T 5 35,84 m2, V 5 16,33 m3 b) A T 5 21,25 m2, V 5 6,25 m3 e) A T 5 39,62 m2, V 5 14,29 m3 c) A T 5 29,1 m2, V 5 9 m3 123. Calcula medidas en triángulos rectángulos.

a) 600 m

b) 9 m



c) 65 m

d) 77 m



e) 6 m

124. D  etermina las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

11 60 11 , , b) 61 61 60 63 16 63 c) , , d) 65 65 16 e) 4 , 3 , 4 5 5 3 a)

9, 41 77 , 85

40 , 41 36 , 85

9 40 77 36

125. Determina la medida de un ángulo en un triángulo.

a) 10,39º

b) 12,68º



c) 75,75º

d) 64,94º



e) 53,13º

126. A  plica las razones trigonométricas en el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.

a) 448,96 cm3



c) 214,5 cm



e) 3 386,64 cm

b) 94,239 cm3 d) 423,9 cm3

3

3

58 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento métrico

Estándares

Colegio: Estudiante:

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

111. Identifica figuras compuestas por triángulos y cuadriláteros.

112. Calcula el área de figuras planas. 113. Determina el área de polígonos regulares. 114. C  alcula el área total y el volumen de algunos cuerpos geométricos. 115. A  plica el teorema de Pitágoras para determinar medidas en un triángulo rectángulo. 116. C  alcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. • Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas • Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

117. E  ncuentra las razones trigonométricas de ángulos especiales.

118. C  omprende las relaciones entre las razones trigonométricas. 119. Calcula medidas en triángulos rectángulos. 120. Resuelve triángulos rectángulos.

121. A  plica el teorema del seno y del coseno en la resolución de triángulos.

122. C  alcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. 123. Calcula medidas en triángulos rectángulos. 124. D  etermina las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. 125. D  etermina la medida de un ángulo en un triángulo.

126. A  plica las razones trigonométricas en el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

59 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento aleatorio 127. Elabora la distribución de frecuencias de un conjunto de datos a partir del histograma. Edad (años)

Marca de clase

[0, 12)

Número de asistentes

6

Frecuencias acumuladas

1

137. Comprende los conceptos de covarianza y correlación. a) r 5 0,92

b) r 5 20,78 c) r 5 0

d) r 5 20,25 e) r 5 0 138. Construye un diagrama de árbol para contar el número de maneras en que pueden ocurrir dos sucesos.

1



a) 4

b) 6



d) 12

e) 20

[12, 24)

18

8

9

[24, 36)

30

14

23

[36, 48)

42

10

33

[48, 60)

54

7

40

[60, 72)

66

6

46

a) 6

b) 12

[72, 84)

78

4

50

d) 30

e) 42

c) 9

139. Comprende las permutaciones sin repetición.

a) 6

b) 24



d) 720

e) 5 040

c) 120

140. Identifica las variaciones sin repetición. c) 20

128. Interpreta información representada en una gráfica. a) V b) F c) F d) V e) F

141. Identifica las variaciones con repetición.

129. C  alcula medidas de tendencia central y los cuartiles de un conjunto de datos agrupados. a) 30 años b) 42 años c) 41,52 años d) 30 años e) 42 años y 54 años

142. Clasifica diferentes sucesos.

130. C  alcula la probabilidad de ocurrencia de la intersección de sucesos dependientes.

4

1

1

1

4

d) 45 e) 15 131. C  alcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles de una distribución. a) 67,6 min b) [70, 80) y 75 min c) [60, 70) y 65 min d) 65 min e) 75 min 132. Interpreta las representaciones gráficas de una distribución. a) 24 b) 49 c) 95% d) 93% e) 27% 133. Estudia la simetría de una distribución.

a) Li: 25 L i 20

10

20

Li

b) Ls: 105 Q1

Q3

LS

Q1

Q3

30

40

50

60

30

40

50

60

d) Li



10

20

10

20

Li

70 70

80

90

LS 100 110

80

90

100 110

Q1

Q3

Q1

Q3

LS

40

50

60

70

80

90

LS 100 110

30

40

50

60M 70

80

90

100 110

M e) La distribución no es simétrica.

134. Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución. b) 67,6

d) 243,24

e) 15,6.

c) 90

135. Interpreta los datos registrados en una tabla de doble entrada. a) Tres

b) Tres, dos

d) Dos

e) 50 personas

b) 2 197

d) 4 096

e) 8 000

c) 3 375



a) Suceso elemental

b) Suceso compuesto



c) Suceso seguro

d) Suceso imposible



e) Suceso contrario de S3

143. Encuentra la unión y la intersección de sucesos. b) 5, 7



c) 4, 5, 6, 7, 8, 9 d) 1, 3, 4, 5, 7, 8



e) 

144. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos.

1 b) 1 2 3 3 d) e) 5 5 a)

c)

7 10

145. Determina la probabilidad de experimentos compuestos.

1 b) 20 1 d) e) 5 a)

1 1 c) 20 5 7 20

146. Organiza y representa un conjunto de datos.

a) 37,5 galones d) 25

b) [40, 50), 45 e) 55

c) [40, 50), 45

147. Estudia la simetría de una distribución.

30

a) 100

a) 1 728



a) 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9

a) 45 b) 45 c) 45

c) 10



c) Tres

136. Identifica el tipo de relación entre dos variables. a) x 5 2,08 y y 5 2 b) sx 5 1,3242 y sy 5 1,4142 c) Respuesta abierta d) Correlación nula e) No. Respuesta abierta.



a) 5



c); d) y e)] Respuesta abierta

b) 65

148. C  alcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución.

a) 100

b) 37,5



d) 322,75

e) 17,97

c) 60

149. Determina la probabilidad de la unión de sucesos.

5 b) 27 12 e) d) 27

a)

7 15 c) 27 27 22 27

150. Determina la probabilidad de experimentos compuestos.

16 b) 49 11 d) e) 63 a)

20 63 16 63

c)

9 49

60

proyecto aprender juntos

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Planilla de seguimiento Pensamiento aleatorio

Estándares

Colegio: Estudiante:

Indicador de desempeño

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

127. E  labora la distribución de frecuencias de un conjunto de datos a partir del histograma. • Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría. • Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.)

128. Interpreta información representada en una gráfica. 129. C  alcula medidas de tendencia central y los cuartiles de un conjunto de datos agrupados. 130. C  alcula la probabilidad de ocurrencia de la intersección de sucesos dependientes. 131. C  alcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles de una distribución.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas entrevistas).

132. Interpreta las representaciones gráficas de una distribución. 133. Estudia la simetría de una distribución. 134. C  alcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución. 135. Interpreta los datos registrados en una tabla de doble entrada.

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

136. Identifica el tipo de relación entre dos variables. 137. C  omprende los conceptos de covarianza y correlación.

• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas)

138. C  onstruye un diagrama de árbol para contar el número de maneras en que pueden ocurrir dos sucesos. 139. C  omprende las permutaciones sin repetición. 140. Identifica las variaciones sin repetición. 141. Identifica las variaciones con repetición. 142. Clasifica diferentes sucesos.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

143. E  ncuentra la unión y la intersección de sucesos. 144. C  alcula la probabilidad de la unión de sucesos. 145. Determina la probabilidad de experimentos compuestos. 146. Organiza y representa un conjunto de datos. 147. Estudia la simetría de una distribución.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

148. C  alcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución. 149. D  etermina la probabilidad de la unión de sucesos. 150. D  etermina la probabilidad de experimentos compuestos.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

61 proyecto aprender juntos

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Tabla

de estándares para los grados

Pensamiento numérico y sistemas numéricos • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

8

y

9

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

• Conjeturo y verifico propiedades de con- • Generalizo procedimientos de cálculo gruencia y semejanza entre figuras biválidos para encontrar dimensionales y entre objetos tridimenel área de regiones planas sionales en la solución de problemas. y volumen de sólidos.

• Resuelvo problemas y simplifico cálcu- • Reconozco y contrasto propiedades y los usando propiedades y relaciones de relaciones geométricas utilizadas en los números reales y de las relaciones demostración de teoremas básicos y operaciones entre ellos. (Pitágoras y Tales).

• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

• Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

• Aplico y justifico criterios de congruen- • Justifico la pertinencia de utilizar unicias y semejanza entre triángulos en la dades de medida estandarizadas en resolución y formulación de problemas. situaciones tomadas de distintas ciencias.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

62 proyecto aprender juntos

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Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

• Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la que se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico.

• Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

• Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos • Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo). la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que la representan.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

• Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

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dirección editorial

César Camilo Ramírez S.

edición ejecutiva

Luz Stella Alfonso Orozco

matemáticas

9 Esta obra forma parte de un Proyecto global concebido por el equipo editorial de Ediciones SM. El Proyecto editorial comprende la creación, diseño y desarrollo, por iniciativa y bajo la coordinación de Ediciones SM, de los libros de texto, materiales didácticos complementarios y otros documentos o contenidos que sirvan de ayuda didáctica, editados para la aplicación de los currículos conforme a los sistemas educativos oficiales de enseñanza básica. Para la elaboración de la presente obra Ediciones SM ha procurado ser especialmente respetuoso con los derechos morales y patrimoniales de terceros, quedando salvaguardados los derechos de autor reconocidos a sus titulares por cualquier legislación, acuerdo o convenio internacional de aplicación. No obstante, para cualquier consulta, aclaración o reclamación por la explotación o actividad que pudieran contravenir los derechos de terceros, podrá ponerse en contacto con Ediciones SM en la siguiente dirección: [email protected]

autoría

corrección de estilo

gerencia de arte y diseño de la serie coordinación de diseño diagramación y gráficas fotografía

retoque digital

Equipo Ediciones SM, José Luis Urquiza Simbaqueba Leonard Múnera Villamil

Rocío Duque S. Elkin Vargas Bohórquez

Sandra Inés Dueñas S. Archivo SM Ángel Camacho L.

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