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aprender juntos

matemáticas evaluaciones 1290

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aprender juntos

Dada la importancia de la evaluación en el sistema educativo se hace imprescindible conocer en detalle la normatividad que la orienta y que da pautas para su organización en cada establecimiento educativo. El presente documento, que se elaboró a partir del estudio del documento Nº 11 del Ministerio de Educación Nacional, Fundamentaciones y orientaciones para la implementación del Decreto 1290 de 2009, ofrece una visión detallada de las finalidades y alcances del Decreto y expone ideas que facilitarán su implementación en las aulas.

Ámbitos de la evaluación de los estudiantes En este sentido, el cuadernillo de Evaluaciones del Los avances en investigación educativa facilitan la proyecto Aprender Juntos Matemáticas, identificación de los ámbitos en los cuales se debe ofrece instrumentos específicos y diferentes para farealizar la evaluación, dentro de los cuales se encilitar a los docentes la evaluación de los estudiantes cuentran la evaluación externa, definida como la evaluación que se realiza fuera del aula y la evaluación en el ámbito institucional. institucional que se realiza en cada institución para Las actividades para la evaluación instituacompañar los procesos diarios del aula con el fin de cional permiten valorar el nivel de desempeño de hacerle un permanente seguimiento y monitoreo al los estudiantes a lo largo de su proceso educativo. proceso de enseñanza y aprendizaje. Su diseño modular facilita la adaptación a los sistemas institucionales de evaluación propios de cada Tal como lo expresa el artículo 1 del Decreto, la evaestablecimiento educativo. luación de los aprendizajes de los estudiantes se realiza en los siguientes ámbitos: Los cuadernos del proyecto Aprender Juntos Matemáticas Secundaria presentan un sistema 1. Internacional. El Estado promoverá la particiflexible de evaluación que orienta las actividades pación de los estudiantes del país en pruebas que = según un nivel de desempeño. = Básico; den cuenta de la calidad de la educación frente a Intermedio y = Avanzado. estándares internacionales. Además las actividades permiten una valoración 2. Nacional. El Ministerio de Educación Nacional cuantitativa de 1 a 5, la cual es fácilmente homoloy el Instituto Colombiano para la Evaluación de la gable con otros sistemas de registro. Educación (ICFES), realizarán pruebas censales con el fin de monitorear la calidad de la educación Los resultados que los estudiantes obtengan en esde los establecimientos educativos con fundamentas pruebas ofrecen una fuente de información para to en los estándares básicos. Las pruebas naciola determinación de planes de mejoramiento para nales que se aplican al finalizar el grado undécimo los estudiantes (cómo están aprendiendo, qué necepermiten, además, el acceso de los estudiantes a sitan aprender, dónde es necesario aclarar, reforzar la educación superior. o consolidar conceptos y procesos, cómo pueden ser más competentes) y para la institución (mirar los 3. Institucional. La evaluación del aprendizaje de procesos de enseñanza, cómo consolidar el aprenlos estudiantes realizada en los establecimientos de dizaje de los estudiantes, reorientar procesos con educación básica y media, es un proceso permanendificultades, …). te y objetivo para valorar el nivel de desempeño. 2 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

La evaluación en el aula Todos los estudiantes, independientemente de su procedencia, situación social, económica y cultural, deben contar con oportunidades para adquirir conocimientos, desarrollar las competencias y valores necesarios para vivir, convivir, ser productivos y seguir aprendiendo a lo largo de la vida. La meta fundamental de todo maestro debe tender, de manera permanente y absoluta, a que todos sus estudiantes alcancen de manera exitosa los fines propuestos. El alcance de esta meta no será posible si no se realizan, de manera permanente, procesos de evaluación dentro del aula. La evaluación en los niveles de enseñanza básica y media se debe centrar en sus propósitos formativos, es decir, en aquellos que faciliten el aprendizaje de todos los sujetos que intervienen en el proceso educativo. Bajo esta perspectiva es necesario superar el concepto de evaluación asociado a la calificación; debe implicar una mirada amplia sobre los sujetos y sus procesos y tener presente que se debe caracterizar por los siguientes rasgos: • Debe ser formativa, motivadora y orientadora; e invitar al aprendizaje de todos los actores involucrados en ella. La posibilidad de autoevaluarse, de evaluar a otros y de ser evaluado facilita el conocimiento personal y de los otros, y establece estrategias para fortalecer los procesos de aprendizaje. • Debe utilizar diversas técnicas y manejar fuentes de información, de manera que permita la emisión de juicios contextualizados. Los exámenes o pruebas, no son los únicos recursos de evaluación que tienen los docentes. Es conveniente integrar diversas estrategias de valoración como la observación de los estudiantes durante los trabajos individuales o grupales, sus estilos en la realización de trabajos personales o argumentación de respuestas, la forma como formulan inquietudes o dudas, etc. El docente que trabaja con el proyecto Aprender Juntos Matemáticas dispone de una variedad de secciones y actividades que le generan el espacio propicio para el manejo de fuentes de información, estrategias de organización y mecanismos de búsqueda. proyecto aprender juntos

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• Debe centrarse en las formas de aprendizaje de los estudiantes, de manera que se detecten las posibles fortalezas y dificultades de cada uno de los estudiantes y los docentes puedan apoyarlos de acuerdo a sus necesidades. • Debe ser transparente, continua y procesual, se debe realizar a partir de criterios claros, establecidos en consenso y conocidos por todos y realizarse de manera continua, no como una actividad aislada al finalizar un tema o unidad. • Debe convocar de manera responsable a todas las partes en un sentido democrático y fomentar la autoevaluación de ellas. Debe ofrecer espacios de reflexión de manera que se convierta en una gran oportunidad para que docentes y estudiantes analicen sus desempeños, identifiquen fortalezas y debilidades y asuman posturas que los lleven al mejoramiento permanente. Desde esta perspectiva, cuenta con la valoración del docente (quien evalúa a sus estudiantes pero que también debe ser evaluado por ellos), da espacio a la coevaluación y a la autoevaluación. 3

el proyecto

Aprender juntos y el decreto 1290

Sistema institucional de evaluación

Escala de valoración nacional

La Ley General de Educación, en el artículo 77 otorga la autonomía escolar a las instituciones para la formulación de los Proyectos Educativos Institucionales (PEI) y para la organización de su plan de estudios de manera que respondan a las necesidades y características regionales. Desde esa misma perspectiva, la expedición del Decreto 1290, en el artículo 4, da autonomía a los centros educativos para definir y estructurar su propio sistema de evaluación, y recomienda que contemple los siguientes aspectos:

Ante la perspectiva de la posibilidad de que surjan diversas propuestas, y ante la necesidad de establecer un lenguaje común que facilite la movilidad de los estudiantes de una institución a otra, el Decreto 1290 ofrece, en el artículo 5, la siguiente escala de valoración:

1. Los criterios de evaluación y promoción. 2. La escala de valoración institucional y su respectiva equivalencia con la escala nacional. 3. Las estrategias de valoración integral de los de-sempeños de los estudiantes. 4. Las acciones de seguimiento para el mejoramiento de los desempeños de los estudiantes durante el año escolar. 5. Los procesos de autoevaluación de los estudiantes. 6. Las estrategias de apoyo necesarias para resolver situaciones pedagógicas pendientes de los estudiantes. 7. Las acciones para garantizar que los directivos docentes y docentes del establecimiento educativo cumplan con los procesos evaluativos estipulados en el sistema institucional de evaluación. 8. La periodicidad de entrega de informes a los padres de familia. 9. La estructura de los informes de los estudiantes, para que sean claros, comprensibles y den información integral del avance en la formación.

• Desempeño Superior • Desempeño Alto • Desempeño Básico • Desempeño Bajo Desempeño básico se entiende como la superación de los desempeños necesarios en relación con las áreas obligatorias y fundamentales, teniendo como referente los estándares, las orientaciones y lineamientos expedidos por el Ministerio de Educación Nacional y lo establecido en el proyecto educativo institucional. El desempeño bajo se entiende como la no superación de los mismos. La equivalencia entre la escala propuesta en el Decreto y las escalas que se trabajan en la mayoría de las instituciones educativas opera como se indica en la siguiente tabla: Tabla de equivalencias - Escalas de valoración Escala nacional

Valoración cualitativa

Superior Alto Básico Bajo

Excelente Sobresaliente Aceptable Insuficiente Deficiente

Valoración cuantitativa

5 4 3 2 1

Nivel de desempeño

Avanzado Intermedio Básico

10. Las instancias, procedimientos y mecanismos de atención y resolución de reclamaciones de padres de familia y estudiantes sobre la evaluación y promoción.

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11. Los mecanismos de participación de la comunidad educativa en la construcción del sistema institucional de evaluación de los estudiantes. proyecto aprender juntos

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Promoción escolar y promoción anticipada

Responsabilidades, derechos y deberes

La autonomía otorgada mediante el Decreto 1290 a las instituciones debe ser administrada de manera responsable para que en sus procesos evaluativos se evidencien todos y cada uno de los presupuestos hasta ahora mencionados y faciliten a los estudiantes la culminación satisfactoria de su proceso formativo.

El Decreto 1290 además de reglamentar la evaluación de los estudiantes, en sus artículos 9 a 15 define el papel de cada uno de los actores del proceso evaluativo y especifica sus responsabilidades, derechos y deberes. A continuación se presentan algunos de ellos. Para una información más completa consulte www.colombiaaprende.edu.co

A continuación se presentan los artículos 6 y 7 del Decreto, en los cuales se confirma que la promoción escolar es una decisión de extrema responsabilidad y que la promoción anticipada es una de las alternativas que debe ofrecer el sistema educativo para aquellos estudiantes que por efecto de sus ritmos de aprendizaje, evidencien desempeños superiores y avanzados en relación con el resto del grupo. Artículo 6. Promoción escolar. Cada esta-

blecimiento educativo determinará los criterios de promoción escolar de acuerdo con el sistema institucional de evaluación de los estudiantes. Así mismo, el establecimiento educativo definirá el porcentaje de asistencia que incida en la promoción del estudiante. Cuando un establecimiento educativo determine que un estudiante no puede ser promovido al grado siguiente, debe garantizarle en todos los casos, el cupo para que continúe con su proceso formativo. Artículo 7. Promoción anticipada de grado. Durante el primer período del año escolar el con-

sejo académico, previo consentimiento de los padres de familia, recomendará ante el consejo directivo la promoción anticipada al grado siguiente del estudiante que demuestre un rendimiento superior en el desarrollo cognitivo, personal y social en el marco de las competencias básicas del grado que cursa. La decisión será consignada en el acta del consejo directivo y, si es positiva, en el registro escolar. Los establecimientos educativos deberán adoptar criterios y procesos para facilitar la promoción al grado siguiente de aquellos estudiantes que no la obtuvieron en el año lectivo anterior. proyecto aprender juntos

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Artículo 9. Responsabilidades del Ministerio de Educación Nacional. En cumplimiento

de las funciones establecidas en la ley, el Ministerio de Educación Nacional debe: 1. Publicar información clara y oportuna sobre los resultados de las pruebas externas tanto internacionales como nacionales, de manera que sean un insumo para la construcción de los sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes y el mejoramiento de la calidad de la educación. (...) 4. Evaluar la efectividad de los diferentes sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes. Artículo 10. Responsabilidades de las secretarías de educación de las entidades territoriales certificadas. En cumplimiento de

las funciones establecidas en la ley, la entidad territorial certificada debe: 1. Analizar los resultados de las pruebas externas de los establecimientos educativos de su jurisdicción y contrastarlos con los resultados de las evaluaciones de los sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes. (...) 3. Trabajar en equipo con los directivos docentes de los establecimientos educativos de su jurisdicción para facilitar la divulgación e implementación de las disposiciones de este decreto. 4. Resolver las reclamaciones que se presenten con respecto a la movilidad de estudiantes entre establecimientos educativos de su jurisdicción. 5

el proyecto

Aprender juntos y el decreto 1290

Artículo 11. Responsabilidades del establecimiento educativo. En cumplimiento de las

funciones establecidas en la ley, el establecimiento educativo, debe: 1. Definir, adoptar y divulgar el sistema institucional de evaluación de estudiantes, después de su aprobación por el consejo académico. 2. Incorporar en el proyecto educativo institucional los criterios, procesos y procedimientos de evaluación; estrategias para la superación de debilidades y promoción de los estudiantes, definidos por el consejo directivo.

Artículo 12. Derechos del estudiante. El

estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, tiene derecho a: 1. Ser evaluado de manera integral en todos los aspectos académicos, personales y sociales. 2. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instrumentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar.

3. Realizar reuniones de docentes y directivos docentes para analizar, diseñar e implementar estrategias permanentes de evaluación y de apoyo para la superación de debilidades de los estudiantes y dar recomendaciones a estudiantes, padres de familia y docentes.

3. Conocer los resultados de los procesos de evaluación y recibir oportunamente las respuestas a las inquietudes y solicitudes presentadas respecto a estas.

4. Promover y mantener la interlocución con los padres de familia y el estudiante, con el fin de presentar los informes periódicos de evaluación, el plan de actividades de apoyo para la superación de las debilidades, y acordar los compromisos por parte de todos los involucrados. (...)

Artículo 13. Deberes del estudiante. El

6. Atender los requerimientos de los padres de familia y de los estudiantes, y programar reuniones con ellos cuando sea necesario. 7. A través del consejo directivo, servir de instancia para decidir sobre reclamaciones que presenten los estudiantes o sus padres de familia en relación con la evaluación o promoción. 8. Analizar periódicamente los informes de evaluación con el fin de identificar prácticas escolares que puedan estar afectando el desempeño de los estudiantes, e introducir las modificaciones que sean necesarias para mejorar.

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este en los procesos de inscripción y aplicación de las pruebas, según se le requiera.

9. Presentar a las pruebas censales del ICFES la totalidad de los estudiantes que se encuentren matriculados en los grados evaluados, y colaborar con

4. Recibir la asesoría y acompañamiento de los docentes para superar sus debilidades en el aprendizaje. estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, debe: 1. Cumplir con los compromisos académicos y de convivencia definidos por el establecimiento educativo. 2. Cumplir con las recomendaciones y compromisos adquiridos para la superación de sus debilidades. Artículo 14. Derechos de los padres de familia. En el proceso formativo de sus hijos, los

padres de familia tienen los siguientes derechos: 1. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instrumentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar. 2. Acompañar el proceso evaluativo de los estudiantes. 3. Recibir los informes periódicos de evaluación. 4. Recibir oportunamente respuestas a las inquietudes y solicitudes presentadas sobre el proceso de evaluación de sus hijos. proyecto aprender juntos

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la evaluación en Artículo 15. Deberes de los padres de familia. De conformidad con las normas vigentes, los

padres de familia deben: 1. Participar, a través de las instancias del gobierno escolar, en la definición de criterios y procedimientos de la evaluación del aprendizaje de los estudiantes y promoción escolar. 2. Realizar seguimiento permanente al proceso evaluativo de sus hijos.

aprender juntos Teniendo en cuenta lo dispuesto en el Decreto 1290 ampliamente expuesto, el proyecto Aprender Juntos Matemáticas ofrece una completa propuesta de evaluación. Esta se caracteriza por ser flexible, dinámica y ajustarse fácilmente a las diferentes necesidades curriculares de las instituciones y de los docentes.

3. Analizar los informes periódicos de evaluación.

El docente encuentra un menú muy completo de actividades que puede organizar de diferentes formas según sus necesidades e intenciones:

Procedimientos administrativos para la aplicación del Decreto 1290

1. Conjunto de actividades organizadas según la secuencia didáctica y metodológica presentada en el libro.

Se presenta en los artículos 16 a 19.

2. Conjunto de actividades para cada uno de los estándares sugeridos por el MEN, que puede organizar según la secuencia didáctica y metodología que el docente sigue en la clase.

Artículo 16. Registro escolar. Los estableci-

mientos educativos deben llevar un registro actualizado de los estudiantes que contenga, además de los datos de identificación personal, el informe de valoración por grados y el estado de la evaluación. Artículo 17. Constancias de desempeño.

El establecimiento educativo, a solicitud del padre de familia, debe emitir constancias de desempeño de cada grado cursado, en las que se consignarán los resultados de los informes periódicos. Cuando la constancia de desempeño reporte que el estudiante ha sido promovido al siguiente grado y se traslade de un establecimiento educativo a otro, será matriculado en el grado al que fue promovido según el reporte. Si el establecimiento educativo receptor, a través de una evaluación diagnóstica, considera que el estudiante necesita procesos de apoyo para estar acorde con las exigencias académicas del nuevo curso, debe implementarlos.

3. Conjunto de actividades clasificadas según su nivel: básico, intermedio y avanzado. 4. Actividades que puede emplear para la evaluación, el refuerzo o la recuperación. 5. Conjunto de actividades que dan un reporte cuantitativo. Pueden ser medibles de 1 a 5. 6. Actividades con criterios particulares de evaluación los cuales se presentan en la hoja de soluciones y permiten un registro cuantitativo de 1 a 5.

El colegio Los Pinares tiene diseños muy particulares. El siguiente es un plano de una parte del colegio.

Informática

Evaluaciones 1290

Preescolar

Segundo

Primero

Colegio: Estudiante:

Pensamiento numérico

Granja

Rectoría Tercero

Mauricio y Antonio fueron de compras. A continuación aparecen las facturas de lo que compró cada uno. Mauricio Producto

Cantidad Precio por unidad ($) 3 230 000 2 45 000 2 265 000 Zapatos 1 199 999 Pantalón cargo 3 150 000 Camiseta blanca 7 18 500

Producto

Cantidad Precio por unidad ($) 3 190 000 4 93 000 100. Comprende el concepto de polígono. 1 320 000 Escribe falso (F) o verdadero (V), según coZapatos formales 2 225 000 rresponda. Pantalón deportivo 2 95La 999línea que determina el camino desde la a) Camiseta blanca 6 18rectoría 500 hasta el salón de primero es una línea poligonal cerrada. ( )

Jean clásico

Pantalón paño

Camisa polo

Camisa clásica

Chaqueta

Chaqueta paño

1. Comprende el significado de la adición, identifica sus términos y aplica su algoritmo. Determina el valor de compra en cada caso. a) Un jean clásico y un pantalón deportivo b) Una camisa polo y unos zapatos formales c) Un pantalón clásico, un pantalón de paño y una chaqueta de paño

Artículo 18. Graduación. Los estudiantes que

Antonio

d) Un pantalón cargo, una camiseta blanca y una chaqueta de paño

b) La figura de la granja mostrada en el plano es un polígono. ( ) 3. Halla el producto entre dos números naturales. c) La vista superior del salón de informática es Determina cuánto pagó Mauricio por: un polígono cóncavo. ( ) a) Los tres jeans clásicos d) La vista superior del salón de primero es un b) Las dos camisas polo polígono irregular. ( ) c) Las dos chaquetas d) Los tres pantalones cargo

e) El octágono de la vista superior de la rectoría está inscrito en una circunferencia. ( )

102. Clasifica triángulos según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Clasifica los triángulos de las vistas superiores de algunos salones de bachillerato del colegio, según se indica. a)

según la medida de sus lados b)

según la medida de sus ángulos c)

e) Las siete camisetas blancas

según la medida de sus ángulos

e) Un pantalón deportivo y una camisa polo

culminen la educación media obtendrán el título de Bachiller Académico o Técnico, cuando hayan cumplido con todos los requisitos de promoción. (...)

2. Realiza operaciones combinadas entre números naturales. Determina el costo total en cada caso. a) El precio de dos jeans clásicos y tres chaquetas menos el de una camisa clásica b) El precio de tres jeans menos el de dos camisetas blancas c) El precio de tres pantalones de paño más el de cuatro camisas clásicas d) El precio de tres camisetas blancas y tres pantalones cargo menos el de una camisa clásica

101. Halla la suma de los ángulos de un polígono. Determina cuánto suman los ángulos internos de los polígonos que representan:

4. Comprende el significado de la división, aplia) La rectoría ca el algoritmo y distingue sus términos. En el almacén los clientes pueden pagar por b) El salón de preescolar cuotas. Determina el valor de cada cuota si: c) El salón de segundo a) Mauricio paga la cuenta en ocho cuotas. d) El salón de informática

d)

según la medida de sus lados e

según la medida de sus lados

b) Antonio paga la cuenta en cuatroe)cuotas. El salón de primero c) Antonio paga la cuenta en doce cuotas.

3

proyecto aprender juntos © ediciones sm d) Mauricio paga la cuenta en 20 cuotas.

e) Antonio paga la cuenta en quince cuotas.

e) El precio de la compra total de Mauricio menos el de la compra de Antonio

8 proyecto aprender juntos

proyecto aprender juntos

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Evaluaciones 1290

Colegio: Estudiante:

Pensamiento numérico La noticia de que la excursión sería en Buenos Aires cayó muy bien entre los estudiantes de 11.º grado. Para viajar, deben aportar cuotas semanales de la siguiente forma: la primera $ 12 000 y las siguientes 3 partes más que la inmediatamente anterior. Además participar en las actividades programadas para 20 recaudar los $ 4,52 millones de pesos que cuesta el pasaje y la estadía de cada uno de los 26 estudiantes del curso.

1. Halla el producto entre dos números racionales. Calcula la cantidad acumulada por cada estudiante en los tiempos que se indican. a) En la segunda semana

d) En la quinta semana

b) En la tercera semana

e) En la sexta semana

c) En la cuarta semana

2. Establece la relación de orden entre dos expresiones decimales. Compara las cantidades que llevará cada pareja de estudiantes para los gastos adicionales y escribe en el cuadro  o  según corresponda. a) Julián 0,74 millones b) Daniela 0,565 millones

Juan 0,735 millones Andrés 0,57 millones

c) Camila 1,05 millones

Daniel 1,1 millones

d) Antonio 0,84 millones

Carlos 0,8 millones

e) Laura 1,205 millones

Santiago 1,25 millones.

3. Halla la diferencia entre dos números enteros. Escribe el número entero que representa la cantidad de dinero obtenida en algunas de las actividades. a) En la rifa de un televisor invirtieron $ 1 600 000 y recaudaron $ 2 540 000. b) En un bazar invirtieron $ 12 652 000 y recaudaron apenas $ 11 563 000. c) En una fiesta invirtieron $ 5 200 000 y recaudaron $ 6 352 000. d) En un jean day invirtieron $ 240 000 y recaudaron $ 560 000. e) En un paseo invirtieron $ 3 500 000 y recaudaron $ 6 532 000.

4. Halla la expresión decimal de un número racional. Halla el número decimal que representa la fracción del total del dinero reunido, en cierto momento, por algunos estudiantes.

8

a) Daniela,

3 partes. 5

c) Daniel,

15 partes. 16

b) Andrés,

6 partes. 15

d) Laura,

7 partes. 16

e) Santiago,

6 partes. 8

proyecto aprender juntos

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5. Realiza operaciones combinadas entre números enteros. Calcula el dinero aportado por cada uno de los siguientes estudiantes. a) Camilo pagó dos cuotas de $ 25 000, tres de $  34 000 y tres de $ 33 400. b) Katherine pagó tres cuotas de $ 52 000, cuatro de $ 32 000 y tuvo que pedir al profesor que le regresara $  25 000. c) Sergio pagó tres cuotas de $ 34 500, cinco de $ 43 000 y pidió al profesor que le regresara $ 32 000. d) Catalina pagó cuatro cuotas de $ 32 500, una de $ 125 000 y dos de $ 47 500. e) Felipe pagó una cuota de $ 34 000, tres cuotas de $ 56 700 y seis de $ 23 000.

6. Suma números racionales. Escribe la fracción del total que les falta por pagar a otros estudiantes, de acuerdo con la siguiente tabla. César

Alejandro

María

Carolina

Sebastián

Cuota 1

1 5

1 5

2 5

1 5

2 5

Cuota 2

1 3

1 5

1 4

1 6

2 5

Cuota 3

3 8

3 8

1 8

2 5

1 8

Fracción faltante

7. Calcula una potencia de base entera y exponente natural. En Buenos Aires, algunos estudiantes fueron llevados a practicar paracaidismo, y otros espeleología (hacer recorridos subterráneos). Santiago, quien fue a la segunda actividad, llegó a tres metros de profundidad (23 m). Halla la posición de cada estudiante respecto a la superficie. a) Daniela está a una profundidad igual al cubo de la que se encuentra Santiago. b) Felipe está practicando paracaidismo a una altura igual a la cuarta potencia de la profundidad a la que se encuentra Santiago. c) Andrés está a una profundidad igual al cuadrado de la que se encuentra Santiago. d) Camila está a una altura igual a la quinta potencia de la profundidad a la que se encuentra Santiago. e) Daniel está a una altura igual al cuadrado de la que se encuentra Daniela.

8. Plantea y resuelve ecuaciones aditivas y multiplicativas. Completa cada frase de acuerdo con la información. a) Sebastián pagó $ 172 000 por una camiseta y una escultura. Si la camiseta le costó $ 95 000, el precio de la escultura fue $____________. b) Santiago compró un disco y un sombrero por $ 216 000. Si el sombrero costó el doble que el disco, por el sombrero pagó $____________. c) Daniela compró dos afiches de igual precio y un balón por $ 220 000. Si el balón costó $ 150 000, el precio de cada afiche es $____________ d) Juan pagó $ 160 000 por un libro de cocina argentina y dos artesanías. Si por cada artesanía pagó $ 46 000, el libro le costó $___________ e) Laura compró doce postales y dos cajas de chocolates por $ 150 000. Si por cada caja de chocolates pagó $ 45 000, una postal costó $_________.

9 proyecto aprender juntos

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La inversión en finca raíz consiste en comprar y remodelar inmuebles (casas, apartamentos, bodegas, etc.) para luego venderlos a un precio más elevado y ganar la diferencia sobre la venta. Laura, una empresaria, decidió incursionar en esta modalidad de negocios. Como no quiere correr riesgos 3 solo invirtió las partes de sus ahorros en la compra de cuatro propiedades en diferentes partes de la 5 ciudad. Distribuyó así el dinero invertido:

Propiedad Parte de dinero invertido

Apartamento conjunto Los Sauces

Apartamento conjunto El Porvenir

Casa conjunto Los Pinos

Casa barrio Las Flores

1 3

1 5

15 75

4 15

9. Comprende el concepto de fracción. Escribe falso (F) o verdadero (V), según corresponda: a) El apartamento de Los Sauces fue menos costoso que el de El Porvenir. b) El apartamento de El Porvenir costó lo mismo que la casa de Los Pinos. c) De las cuatro propiedades, la casa de Las Flores fue la más costosa.

11. Halla la expresión decimal de un número racional. Ayuda a Laura a encontrar la expresión decimal de los números racionales que representan sus inversiones. 1 3 1 b) 5

a)

c)

15 75

d) De las cuatro propiedades, la menos costosa fue la casa de Las Flores.

d)

4 15

e) El apartamento del conjunto los Sauces costó lo mismo que el de Las Flores.

e) 3 5

10. Realiza adiciones entre fracciones. Calcula qué fracción del total del dinero invertido representa la suma de las partes invertidas en la compra de cada par de propiedades.

12. Representa números racionales en la recta numérica. Laura quiere representar sus inversiones en una recta numérica. Ayúdale.

a) Apartamento de Los Sauces y apartamento de El Porvenir

a)

1 3

0

1

2

b) Apartamento de Los Sauces y casa de Los Pinos

b)

3 5

0

1

2

c)

1 5

0

1

2

d)

15 75 0

1

2

e)

4 15 0

1

2

c) Casa de Los Pinos y casa de Las flores d) Casa de Las Flores y apartamento de los Sauces e) Apartamento de El Porvenir y casa de Los Pinos

10 proyecto aprender juntos

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13. Aproxima números irracionales. El apartamento de Los Sauces, cuenta adicionalmente con una bodega de 7 m2 de área, por tanto mide 2,645751311 m de lado. Aproxima esta medida, según se indica. a) A seis cifras decimales. b) A cinco cifras decimales. c) A tres cifras decimales. d) A dos cifras decimales. e) A una cifra decimal.

14. Realiza operaciones con fracciones. Si en total Laura tenía $ 1 250 000 000 en su cuenta de ahorros: a) ¿Cuánto pagó por el apartamento de los Sauces? b) ¿Cuánto pagó por el apartamento de El Porvenir? c) ¿Cuánto pagó por la casa de Los Pinos? d) ¿Cuánto pagó por la casa de Las Flores? e) ¿Cuál fue la cantidad de dinero que no invirtió en finca raíz?

15. Ordena números reales. Las propiedades compradas por Laura tienen áreas muy parecidas, sin embargo su precio depende de su ubicación. Estas áreas son 105,16 m2, 103,85 m2, 105,025 m2, 105,5 m2, respectivamente. Ubica en la recta numérica los números que representan estas áreas, luego ordénalos de menor a mayor.

103

104



105



106



16. Representa intervalos en la recta numérica. Laura hizo un presupuesto para remodelar cada inmueble. Representa en la recta los intervalos dados. a) Para el apartamento de Los Sauces invertirá entre $ 9,3 millones y $ 11 millones. 0

b) Para el apartamento de El Porvenir invertirá entre $ 6 millones y $ 10,5 millones. 0

c) Para la casa de Los Pinos invertirá entre $ 7,2 millones y $ 18 millones. 0

d) Para la casa de Las Flores invertirá entre $ 12,6 millones y $ 15,9 millones. 0

e) En total invertirá como mínimo $ 35,1 millones y como máximo $ 55,4 millones. 0 proyecto aprender juntos

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11

Tras la muerte de don Roberto, sus herederos fueron citados para la repartición de los bienes, entre los que se contaban casas, fincas, acciones de algunas empresas, y desde luego mucho dinero que el ganadero había ahorrado durante toda su vida. El interés estaba centrado en cómo se repartiría ese dinero, cuyo monto era la suma de US 187 562, de la siguiente manera. Nombre del heredero

Parte de la herencia que recibió

1 5

David

1 10

Daniela María

1 2

Alejandra

3 40 1 8

Jaime

17. Halla la diferencia entre números reales. Calcula la diferencia, en dólares, de la herencia recibida por cada pareja de personas. a) David y Daniela b) Daniela y María c) Alejandra y Jaime d) Jaime y David e) Alejandra y David

18. Halla la suma de dos números reales. Además del dinero, cada heredero recibió una de las fincas que dejó don Roberto. La de David tenía un área de 2 5

km2; la de Daniela,

3 5 2

 km2; la de María,

área que resultaría de unir las fincas de:

5 2

km2; la de Alejandra,

2 3  km2

,y la de Jaime

3 3

km2. Calcula el

a) David y Daniela b) Daniela y María c) Jaime y David d) Alejandra y Jaime e) David y María

12 proyecto aprender juntos

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19. Halla el cociente de dos números reales. Calcula en metros cuadrados las siguientes medidas: a) La mitad del área de la finca de David b) La tercera parte del área de la finca de Daniela c) La mitad del área de la finca de Jaime d) La cuarta parte del área de la finca de Alejandra e) La quinta parte del área de la finca de María

22. Halla el producto de dos números reales. Los herederos invirtieron otra parte de su dinero en negocios personales que multiplicaron su inversión inicial. Calcula la cantidad que cada uno tiene al final. a) David invirtió US 1 250 y multiplicó 3,65 veces la inversión. b) Daniela invirtió US 865,6 y multiplicó 2,5 veces su inversión. c) Jaime invirtió US 645,2 y multiplicó 1,5 veces su inversión.

20. Calcula la potencia de un número real. Cada heredero decidió invertir una parte de la herencia en diferentes bancos. Según la fórmula de capitalización continua, si se invierte una cantidad P a una tasa nominal de interés anual R durante un tiempo de N años, el valor que se tendrá después R de ese tiempo es PeiN, donde i 5 . Calcula el 100 valor final para cada situación (usa el valor de e 5 2,718281828... aproximado al primer decimal). a) David invirtió US 1 000, con un interés de R = 20% a 10 años. b) Daniela invirtió US 200, con un interés de R 5 25% y a 8 años.

d) Alejandra invirtió US 550 y multiplicó 2,3 veces su inversión. e) María invirtió US 450 y multiplicó 1,25 veces su inversión.

23. Expresa cantidades en notación científica. Expresa las siguientes áreas en centímetros cuadrados (ten en cuenta que 1 m2 5 10 000 cm2). a) 144 m2 5 1,44  10 cm2 b) 240,25 m2 5 2,4025  10 cm2

c) Jaime invirtió US 150, con un interés de R 5 10% a 20 años.

c) 148,84 m2 5 14,884  10 cm2

d) María invirtió US 300, con un interés de R 5 40% a 5 años.

d) 169 m2 5 1,69  10 cm2

e) Alejandra invirtió US 500, con un interés de R 5 8% a 25 años.

21. Calcula la raíz de un número real. Halla la medida del frente de cada uno de los lotes, de forma cuadrada, recibidos por los herederos. a) David recibió un lote de 144 m2 de área.

e) 256 m2 5 2,56  10 cm2

24. Multiplica cantidades expresadas en notación científica. Realiza las siguientes operaciones. a) (2  105)  (3,2  104)

b) Daniela recibió un lote de 240,25 m2 de área.

b) (1,2  107)  (2,5  102)

c) María recibió un lote de 148,84 m2 de área.

c) (4  106)  (2,5  105)

d) Alejandra recibió un lote de 169 m2 de área.

d) (5  102)  (3,1  104)

e) Jaime recibió un lote de 256 m2 de área.

e) (3,1  105)  (2  105)

13 proyecto aprender juntos

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Hace aproximadamente 3 000 años se realizan las justas deportivas más importantes para la humanidad, se trata de los juegos olímpicos. Estos empezaron a disputarse hacia el año 776 a. C. en la ciudad griega de Olimpia. Los juegos olímpicos modernos se iniciaron en 1896 en Atenas gracias al Barón de Coubertin, y desde entonces se realizan cada cuatro años con muy pocas excepciones (I y II guerra mundial). Los juegos congregan a los mejores deportistas de cada país, quienes buscan conseguir la medalla de oro y de ser posible superar récords mundiales.

25. Halla el producto de dos números reales. El radio r del disco utilizado en el lanzamiento de disco, tiene unas medidas reglamentarias. Para hombres entre 8,6 y 8,8 pulgadas y para mujeres entre 7 y 7,2 pulgadas. Halla, en pulgadas, la longitud de la circunferencia de los discos cuyo radio se da a continuación, si se toma p 5 3,14.

26. Calcula la potencia de un número real. En el lanzamiento de martillo, se arroja una esfera metálica cuyo peso mínimo es de 7,26 kg. Halla el volumen de un martillo cuyo diámetro es: a) 112 mm b) 114 mm c) 117 mm

a) r 5 8,62205 pulgadas d) r 5 7,16535 pulgadas

d) 120 mm

b) r 5 8,70079 pulgadas e) r 5 7,17526 pulgadas

e) 132 mm

c) r 5 7,08661 pulgadas

27. Realiza operaciones con números racionales. En el lanzamiento de martillo, la esfera está atada por un cable de acero de 3 mm de diámetro. Calcula, en pulgadas, la medida del cable, en cada caso. a) pulgada pulgada 2 3 2 3 1616

pulgada 4 14 1pulgada 8 8

d) pulgada 2 5 2 5pulgada 1717

? ?

? ?

1 1 pulgada 4646 pulgada 4 4

b) 5 5 1 1 pulgada 2 2 pulgada 1717

pulgada 4 4 pulgada 8 8

? ?

pulgada 2 7 2 7pulgada 1717

e)

1 1 pulgada 4747 pulgada 3 3

pulgada 2 5 2 5pulgada 1616

pulgada pulgada 4 14 1 8 8 ? ?

3 3 pulgada 4646 pulgada 8 8

c)

pulgada pulgada 4 14 1 8 8

3 3 pulgada 4646 pulgada 5 5 pulgada 4 14 1pulgada 8 8

? ? 1 1 pulgada 4747 pulgada 8 8

14 proyecto aprender juntos

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Pensamiento variacional Andrea desea invertir sus ahorros en una empresa, donde le prometen que por cada $ 50 que invierta obtendrá una ganancia mensual de $ 3. Es decir que la razón entre las ganancias y la cantidad invertida es de 3 a 50.

31. Utiliza la regla de tres simple para resolver problemas de aplicación. Andrea sabe que por cada tres días de trabajo puede ahorrar $ 157 800, y por cada cinco días, $ 263 000. Completa la siguiente tabla, si se sabe que el tiempo y la cantidad de dinero son magnitudes directamente proporcionales. Días trabajados

28. Establece razones equivalentes a una dada. Señala cuáles de estas razones son y cuáles no son equivalentes a la razón dada: 6 a) 100

1 16

d)

12 200

e)

18 300

3

$ 157 800

5

$ 263 000

4 6 7

4 b) 51 c)

Cantidad ahorrada

8 12

32. Reconoce magnitudes inversamente proporcionales. Juan Diego, decidió que entre más dinero pueda ahorrar al día, menos gastará en cosas innecesarias. Así, si ahorra $ 52 000 gastará $ 12 000, y si ahorra $ 75 000 podrá gastar $ 8 320. Completa la siguiente tabla de acuerdo con la información. Cantidad ahorrada

29. Aplica la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución de problemas. Encuentra la cantidad ganada por Andrea en un mes, si invierte:

Gastos innecesarios

$  52 000

$  12 000

$  75 000

$  8 320

$  24 960 $  1 200

a) $  2 500 000

$  3 200

b) $  3 200 000

$  130 000

c) $  4 520 000

$  65 000

d) $  4 890 000 e) $  4 952 000

30. Calcula el tanto por ciento de una cantidad dada. Andrea invirtió su dinero en un banco que ofrece un rendimiento del 2,5% mensual. Halla la ganancia obtenida en el primer mes, si la inversión es de:

33. Aplica la regla de tres compuesta para resolver problemas. En el fondo de empleados de una empresa se sabe que para reunir $ 10 millones, cinco empleados deben aportar dinero por ocho meses. Completa la siguiente tabla con base en la información. Ahorro (en millones)

Número de empleados

Tiempo (meses)

10

5

8

b) $  3 200 000

20

16

c) $  4 520 000

15

10

18

8

12

12

10

4

a) $  2 500 000

d) $  4 890 000 e) $  4 952 000

15 proyecto aprender juntos

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Dos años después de haber abierto una empresa de software los informes tanto de producción como de ventas e inversión reflejan los buenos tiempos por los que está pasando. La cantidad de empleados es quince más que el doble de los que trabajaron durante el primer año, y cada uno de los empleados del área de producción gana 25 más del sueldo con el que empezó, más una bonificación de $ 45 000 semanales a aquellos con el mejor desempeño. Los ingresos del primer año, en cientos de dólares, estaban dados por la expresión 2x2 1 50x 1 100 con x igual al número de empleados en producción; mientras que, en el segundo año, la empresa obtuvo ingresos dados por 3x2 1 120x 1 150.

34. Identifica las características de una expresión algebraica. Encuentra las expresiones algebraicas que representan la cantidad (x) de empleados en cada caso. a) En el segundo año. b) En el tercer año se aumenta en doce el número de empleados con relación al segundo año. c) En el cuarto año se despiden cuatro empleados y no se contrata ninguno. d) En el quinto la cantidad de empleados es el doble con respecto al segundo año. e) En el sexto año se despiden siete empleados y se contratan tres.

35. Halla el valor numérico de una expresión algebraica. Calcula los ingresos de la empresa en el primer año, suponiendo que la empresa tenía: a) 20 empleados b) 25 empleados c) 27 empleados d) 30 empleados e) 35 empleados

36. Usa lenguaje algebraico. Determina la expresión algebraica que representa la situación en cada caso, si se toma y como el sueldo que tuvo un empleado durante el segundo año y éste recibió: a) La bonificación de una semana. b) Una bonificación de dos semanas. c) Una bonificación de tres semanas. d) Siete veces el sueldo de un mes más una bonificación de $ 150 000. e) El sueldo de un mes menos un descuento de $ 35 000.

37. Identifica y reduce términos semejantes en un polinomio. Simplifica las expresiones que representan las utilidades de algunas inversiones de la empresa en: a) Empresas electrificadoras: 5x4 1 2xy 2 3x4 1 6xy21 3x 2 12xy b) Empresas de hardware: 6x4 2 xy 2 3x4 1 6x2y2 1 3x 2 12x2y 1 xy c) Empresas de diseño: 4x4 1 xy2 2 3x4 1 6xy 1 3x 2 12xy 1 xy2 d) Empresas de programación: x3 1 12xy 2 x3z 1 6xy2 1 3xz3 2 2xy 2 2xz3 e) Empresas de publicidad: 12x2y 2 xz3 1 xy2 1 3xz3 2 10x2y 2 2xz3

38. Encuentra el producto de dos polinomios. Determina el área que ocupan las bodegas de la empresa, de las cuales se conocen las dimensiones de su base rectangular. a) (2x 1 3y) m de ancho y (2x 1 5y 2 3) m de largo b) (6x 1 4y) m de ancho y (2x 1 y 1 1) m de largo c) (12x 1 3y) m de ancho y (2x 1 5y 2 2) m de largo d) (5x 1 5y) m de ancho y (5x 1 3y) m de largo e) (8x 1 3y) m de ancho y (12x 1 3y 2 5) m de largo

16 proyecto aprender juntos

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39. Halla la diferencia entre dos polinomios. En un informe contable aparecen detalladas las expresiones que representan los ingresos y los egresos mensuales de la empresa, en miles de dólares (x es la cantidad de materia prima). Completa la tabla, si se sabe que la utilidad es la diferencia entre los egresos y los ingresos. Mes

Egresos

Ingresos

Enero

x2 1 3x2 2 2x 1 3

2x3 1 6x2 1 x 2 6

Febrero

12x2 1 2x 1 32

x3 1 12x2 1 320

Marzo

3x3 2 3x2 1 2x 1 3

11x3 1 x2 2 2x

Abril

3x3 1 x2 2 x

14x3 1 x2 1 23

Mayo

x3 1 x2 2 x 1 12

15x3 1 x2 1 20x 1 3

Utilidad

40. Calcula productos notables sin aplicar el algoritmo de la multiplicación. En la empresa se construyeron varios parqueaderos cuyas dimensiones se dan a continuación. Halla el área de cada uno sin realizar la multiplicación. a)

b)

c)

(2x  y)

(x  2y)

(3x  2y)

(2x  y)

(x  2y)

(3x  2y)

d)

e) (4x  2y)

(x  3)

(4x  2y)

(x  6)

41. Reconoce productos notables. Relaciona cada producto notable que representa las utilidades de algunas inversiones con su respectivo resultado.

a) (x 1 3)2

(

) x3 2 3x2 1 3x 2 1



b) (x 2 2)(x 1 2)

(

) x2 2 4



c) (x 1 3)(x 2 4)

(

) 9x2 2 4



d) (x 2 1)3

(

) x2 1 6x 1 9



e) (3x 2 2)(3x 1 2)

(

) x2 2 x 2 12

17 proyecto aprender juntos

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42. Encuentra el cociente entre dos polinomios. Las bodegas en las que se realiza la producción, también están diseñadas de acuerdo con ciertas especificaciones. Halla el área de la base de cada bodega en términos de x, si se conoce el volumen ocupado por cada una. a) b) h  (2x  2) m

h  (3x  2) m

V 5 (2x3 1 4x2 2 2x 2 4) m3 V 5 (3x3 1 7x2 2 6x) m3 Ab 5 Ab 5 c) d)

h  (x  6) m

h  (3x  1) m

V 5 (2x2 2 10x 2 12) m3 V 5 (3x3 1 8x2 2 3x) m3 Ab 5 Ab 5 e)

h  (2x  3) m

V 5 (2x3 1 7x2 2 15x) m3 Ab 5

43. Encuentra el cociente entre un polinomio y un monomio. El área de la base de algunas bodegas depende de x. Calcula la medida del largo de cada base, dados su área (A) y su ancho (a). a) A 5 6x2 1 2x 2 6

a 5 3x

b) A 5 x 1 2x 2 4x

a 5 2x

c) A 5 4x 1 3x

a 5 4x

d) A 5 3x 1 4x 1 6x 1 e) A 5 5x4 1 2x2 1 x 5

a 5 x2 5 a 5 x2 2

3

2

3

2

6

4

44. Emplea la división sintética para agilizar el cálculo de ciertos cocientes entre polinomios. Calcula la producción de cada máquina, si se da la producción total y el número de máquinas. Ten en cuenta que todas las máquinas producen lo mismo. Producción total

Cantidad de máquinas

a) (x 1 4x 1 9x 1 10)

(x 1 2)

b) (x4 1 3x3 1 5x2 2 2x 2 5)

(x 1 1)

c) (x4 1 4x3 1 3x2 2 x 2 1)

(x 1 1)

3

2

d) (x 1 6x 2 14x 2 4x) (x 2 2) 4

3

2

e) (3x5 2 4x4 1 x3 2 2x2 1 3x 2 1)

(x 2 1)

18 proyecto aprender juntos

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45. Emplea el teorema del residuo para calcular residuos en la división de polinomios. La empresa entrega bonos en dinero a sus mejores empleados. Para esto dispone de una cantidad de dinero dada por la expresión 3x3 1 2x2 2 6x 1 200 dólares. Cuánto dinero sobrará si la cantidad x de empleados premiados: a) Aumenta en dos.

d) Disminuye en tres.

b) Disminuye en dos.

e) Aumenta en uno.

c) Aumenta en tres.

46. Reconoce las raíces de un polinomio. La ganancia por la venta de cada uno de los software que vende la empresa depende del precio de venta x. En cada caso, relaciona el precio de venta con el que la ganancia es cero. Ganancia

Precio de venta

a) x 2 117x 2 360

1. x 5 70

b) x 2 78x 2 160

2. x 5 120

c) x 2 4 900

3. x 5 80

d) 3x 2 298x 2 200

4. x 5 60

e) x2 2 3 600

5. x 5 100

2 2 2

2

47. Emplea reglas de cocientes notables para agilizar cálculos de cocientes. La capacidad de algunas bodegas está dada por las siguientes expresiones. Halla el polinomio equivalente a cada una. a)

x4  y 4 xy

b)

x 3  27 x 3

c)

x 4  256 x 4

d)

x5  32 x 2

e)

x2  225 x  15

48. Comprende y aplica el teorema fundamental del álgebra. La ganancia de algunos productos de la empresa se describe a partir de expresiones algebraicas. Completa la tabla determinando el número de raíces que tiene como máximo cada polinomio. Polinomio

Número de raíces

x 1 2x 2 1 3

x4 1 2x3 2 1 x2 1 2x 2 1 x4 1 2x3 2 x x2 1 12x 2 5

19 proyecto aprender juntos

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Los científicos y expertos de diferentes áreas del conocimiento suelen describir fenómenos usando las matemáticas. Es así como los econometristas, por ejemplo, tratan de describir los precios del petróleo mediante diferentes fórmulas que relacionan variables como el tiempo, el PIB (producto interno bruto), la inflación, etc.

51. Reconoce polinomios factorizables. El crecimiento de la población de algunos tipos de bacteria se puede expresar en términos del tiempo (x) y la temperatura (y). Identifica cuáles de las expresiones del crecimiento de bacterias son factorizables y cuáles no. a) Salmonella: x5 1 2y2 1 2x b) Colibacilo: 4x2 1 12xy 1 9y2 c) Leptspora: 36x2 1 60xy 1 25y

49. Factoriza polinomios por agrupación de términos. Francisco, un econometrista, determinó algunas fórmulas según las cuales el precio del petróleo se puede describir usando diferentes variables. Halla la expresión factorizada de cada una. a) x 1 t 1 x3 1 tx2 1 2t3 1 2xt2 b) 12a 2 5az 1 24b 2 10bz c) 6px 1 9pz 2 3py 1 4ix 1 6iz 2 2iy d) 6px 1 4pt 2 12pz 1 9x 1 6t 2 18z

d) Treponema: 4x3 1 2x2y 1 2xy 1 6 x 1 216y9 e) Pseudomona fluorescens: 27

52. Factoriza la suma o la diferencia de cubos perfectos. Para buscar diseños óptimos de algunas edificaciones, algunos ingenieros han determinado algunas expresiones de acuerdo con las medidas de las oficinas, los apartamentos y los consultorios que se vayan a construir. Factoriza el polinomio que representa el espacio ocupado por cada diseño. a)

b) 2x

e) 38p 2 14pt 1 52m 2 21mt

6x

2x

2x

3z

y

50. Factoriza la diferencia de cuadrados perfectos. Juan Diego, quien hace consultoría en la misma empresa, difiere de la opinión de Francisco y determinó otras expresiones. Halla la expresión factorizada en cada caso.

6x

c)

a) 25 x2y4 2 t4 81 b)

6x

4x

d)

4x

y2

4z

1 2 121x4t6 4

c) 16(x 1 t)2 2 d) 225x4y2 2

xz

1 (p 1 i)2 16

e)

v2

1 2 t 64

1 e) x2n 2 36y2m 4

2y 2

xz

xz

v2

v2 2x

20 proyecto aprender juntos

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53. Reconoce trinomios cuadrados perfectos. Las dosis de medicamento que recomiendan los farmaceutas están medidas en miligramos y dependen de la edad del paciente (x) y de su peso en kilogramos (y). Determina cuáles de las expresiones de dosis de los medicamentos son trinomios cuadrados perfectos. a) 6x2 1 24xy 1 8y2

d) 49x2 1 98xy 1 49y4

b) 64x2 1 144xy2 1 81y4 1 c) x6 1 2x3y2 1 36y4 36

e) 9x6y2 2 12x3yz2 2 4z4

54. Factoriza trinomios cuadrados perfectos. Carolina desarrolló expresiones que describen el nivel de mortalidad de la población de algunos países de acuerdo con el tiempo (y) y con el nivel de ingresos promedio (x) de sus habitantes. Relaciona la expresión de mortalidad con su respectiva expresión factorizada. )

2 1 3  x  6y  2 

a) 81x2 2 54xy 1 9t2

(

10 2 2 b) 4 x4 1 x y 1 25y4 3 36

(

) (2xy 1 9)2

c) 4x2y2 1 36xy 1 81

(

1 d) x6 2 6x3y 1 36y2 4 1 e) 4 x4y2 1 2 x2y 1 4 5 25

 )  2 x2 y  5

(

) (9x 2 3y)2

(

2 1 2 2 )  x  5y  3 

2

1   2 

55. Factoriza trinomios de la forma x2n 1 bxn 1 c. Las utilidades de ciertas empresas se pueden expresar a partir de la cantidad invertida en materia prima mediante fórmulas matemáticas. Factoriza las expresiones de utilidad de cada empresa. a) Electrodomésticos Rocha: x6 2 9x3 2 90

d) Mediclin: x6 1 2x3 2 15

b) Constructora ICA S.A.: x8 1 9x4 1 18

e) AcroFarm: x8 1 27x4 2 160

c) Industrias ARGO LTDA.: x6 1 11x3 1 30

56. Factoriza trinomios de la forma ax2n 1 bxn 1 c. En la empresa avícola se determinó que la cantidad de alimento que se le da a los pollos depende de la edad de los mismos. Factoriza las expresiones de cantidad de alimento en cinco diferentes empresas. a) 5x4 2 37x2 2 24

d) 2x4 2 11x 2 21

b) 7x2 1 37x 1 10

e) 3x6 2 11x3 1 10

c) 3x2 2 26x 1 48

57. Aplica diferentes casos de factorización. Según un grupo de biólogos, el tiempo exacto de incubación de los huevos de diferentes aves depende de la temperatura a la que se encuentren. Halla la expresión factorizada del tiempo de incubación. x4 2 x3 2 x2 1 x a) x3 2 4x d) b) 4x4 1 12x3y 1 9x2y2

e) 6x4 2 6x2y2 1 4x3 2 4xy2

c) y(x3 1 1) 1 3xy(x 1 1)

21 proyecto aprender juntos

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Las expresiones matemáticas que determinan los expertos de las diferentes áreas muestran cómo un fenómeno puede tomar valores de acuerdo con otros valores que tomen las variables de las cuales estos dependen.

58. Halla el valor numérico de una fracción algebraica. Un econometrista determinó que el comportamiento del precio aproximado de las acciones de una empresa en la bolsa de valores mediante la expresión

x2  x  10 x2  1

, donde x es el valor de las

tasas de interés. Halla el valor de una acción cuando las tasas de interés están en: a) x 5 2

d) x 5 3

b) x 5 1

e) x 5 2,3

c) x 5 2,5

59. Identifica los valores que hacen indeterminado el valor numérico de una fracción algebraica. Cierto producto recién lanzado al mercado genera utilidades dadas por la fórmula

x2  1200x  350 000 x2  1350  350 000

 ,

donde x es el precio de venta del producto. Completa las siguientes frases escribiendo Determinado o Indeterminado, según corresponda. a) Cuando el producto se vende en $ 1 000, la expresión tiene un valor ___________. b) Cuando el producto se vende en $ 400, la expresión tiene un valor ___________. c) Cuando el producto se vende en $ 250, la expresión tiene un valor ___________. d) Cuando el producto se vende en $ 350, la expresión tiene un valor ___________. e) Cuando el producto se vende en $ 700, la expresión tiene un valor ___________.

60. Halla fracciones algebraicas equivalentes a una fracción dada. En una compañía aseguradora se determinan las cuotas de acuerdo con las características de las empresas que paguen el seguro y están dadas por la cantidad de empleados que estas tengan. Escribe en el espacio el nombre de la empresa a la cual corresponde cada expresión equivalente. a) ColTelas:

b) AgroCol:

c) Dimco:

d) Asomédicos:

e) Servicarga:

2x2  75x  175

2 1. x  3x  9 2x  7x  5 x 3 2

x2  9 x2  6x  9 x 3  27 2

x  6x  9

2.

x 6 x 6

3.

x  35 x 1

x2  36 x2  12x  36 4x2  46x  60 2

4x  9

4.

x 3 x 3

5.

2(x  10) 2x  3

22 proyecto aprender juntos

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61. Halla la diferencia entre dos fracciones algebraicas. Para algunas empresas, la utilidad neta se mide calculando la diferencia entre los ingresos y los egresos. Halla las utilidades en los siguientes casos. Utilidades

64. Halla el cociente entre dos fracciones algebraicas. Completa la tabla que relaciona los lados de un rectángulo con su área. Lote

Largo

1

2x  5 x 2

Ancho

Área

Ingresos

Egresos

6x 3 x 7

3x  2

3x  11

x 2 x 3

2

x2  1 x 6

x 1 x 2

x 1

7x x 1

3

x 2 x 1

x 5 2x  3

6x x  2x  1

x 1 x 2

4

x2  1 2x  4

3x  2 x 2

x3  7

2x2  7x  3 x 6 2

2

1

Largo

Ancho

Área

x 1

x 5

x2

x2  4 6x  1

2x  4 x 9 x 2x  3

5

62. Halla el producto de dos fracciones algebraicas. Se entregaron diferentes lotes con las siguientes medidas en metros. Determina el área de cada uno. Lote

6x  3

65. Reduce expresiones radicales al índice común. Pablo necesita organizar algunas expresiones radicales. Ayúdalo reduciéndolas a común índice.

x 9

x  10x  2

a) 5 x 4 ,

6

2x 3 ,

2

x 1 2x

x 1 3x  2

b) 3 x2 ,

4

x ,

2x

3

3x  2 x 1

c) 4 x2 y ,

5

6

4

x 5 2x  1

x2  2x  1 3x  4 x 3

d) 3 x ,

6 2

9

2x

5

x 2 x 2

e) 4 x2 ,

10 3

5

2x

2

2

2

2x  4 x 7 x 7

63. Reconoce expresiones radicales. Halla la medida del lado de cada cuadrado y, luego, suma los resultados. a)

c)

A 5 50x y

8 5

A 5 32x3y4

b)

d)



A 5 108x4y A 5 8x3y4



e) Suma:_________

x 2 3x  2

12

x ,

x , x ,

5x5

2x

66. Realiza operaciones con expresiones radicales. Julián está operando expresiones radicales. Realiza las siguientes operaciones. a) 4x5 y 3  9x 3 y 3  4x 3 y b)

27 x 3  16

3 xy 2  27x5 4

c)

3 x7  12x5 y  27x 3 4

d) 5 x 3 y 2  4 xy e) 6 x2 y 3  4 xy 2

23 proyecto aprender juntos

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A una feria ganadera asistieron un promedio de 8 000 personas al día. Un ganadero logró vender un caballo percherón y dos becerros por $ 12 400 000. El caballo fue vendido por un precio 18 veces mayor que el de uno de los becerros, los cuales, por tener la mismas características, costaron ambos lo mismo. El comprador pagó en efectivo con billetes de $ 20 000 y $ 50 000, siendo la cantidad de billetes de $ 50 000, 28 más que el cuádruplo de los de $ 20 000.

69. Plantea y resuelve ecuaciones lineales con coeficientes enteros. Halla el valor de cada tipo de animal, según el valor total de la venta en cada caso. a) Dos vacas y una yegua de $ 6 200 000 por $  9 400 000. b) Tres toros y un caballo por $ 9 000 000. El caballo se vendió por el doble de lo que se vendió un toro. c) Cuatro terneros por $ 2 344 000. Se descontó del total $ 116 000 por impuestos.

67. Reconoce ecuaciones equivalentes a una ecuación dada. Indica si cada ecuación permite hallar el precio de un ternero o no. Toma x: precio de un ternero y y: precio de un caballo. a) 2x 1 y 5 12 400 000 con x 5 18y

d) Dos cerdos y cuatro terneros por $ 3 094 000. Cada ternero se vendió por $ 28 000 más que un cerdo. e) Tres cerdos y cuatro terneros por $ 3 541 000 y cada ternero se vendió por $ 30 000 más que cada cerdo.

b) y 1 2x 5 12 400 000 con y 5 18x c) 2y 1 4x 5 24 800 000 con y 5 36x d) 2y 1 4x 5 24 800 000 con y 5 18x e) 4x 1 2y 5 24 800 000 con x 5 18y

68. Resuelve problemas que involucran ecuaciones lineales. Además de ganado, en las ferias se vende maquinaria con tecnología de punta. Determina el costo de una máquina en cada compra. a) Un tractor y una motobomba por $ 36 800 000. El precio de la motobomba es de 3 del precio del 20 tractor. b) Una guadañadora y dos agavilladoras por $ 880 000. Cada agavilladora costó $ 2 500 más que los 3 del costo de la guadañadora. 4

c) Una máquina picadora y un arador mecánico por $ 5 750 000. La picadora costó 23 del precio del arador. d) Un sistema de riego y un arador sencillo por 3 $ 8 075 000. El arador costó los 16 del costo del sistema de riego. e) Una trilladora, una desgranadora y una empacadora por $ 210 000 000. La desgranadora costó el doble de la empacadora y la mitad de la trilladora.

70. Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios. Encuentra en cada ecuación el valor de x que representa la parte de las ganancias obtenidas en cinco meses, del capital invertido. 3 4 1 1 41 13 d) x2 x5 a) 1 x 5 5 3 2 7 70 105 b)

5 2 4 x 5 13 2 3 6

119 e) 5 2 1 x 5 24 3

2 c) x 1 2 x 5 47 7 105 5

71. Reconoce las soluciones de ecuaciones de segundo grado. Escribe la ecuación cuadrática que tiene como soluciones las medidas de los lados de las siguientes fincas. a) La finca de Juan mide 1 km de largo y 2 km de ancho. b) La finca de Alberto mide 2 km de largo y 3 km de ancho. c) La finca de Lucía mide 4 km de largo y 2 km de ancho. d) La finca de Carlos mide 3 km de largo y 1 km de ancho. e) La finca de Santiago mide 3 km de largo y 4 km de ancho.

24 proyecto aprender juntos

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72. Resuelve ecuaciones de segundo grado. Las siguientes ecuaciones representan el área en metros cuadrados de algunas fincas. Completa la tabla. Área

Largo

Ancho

x2 2 5,5x 1 7 5 0 25x2 2 15x 1 2 5 0 3x2 2 14x 1 16 5 0 6x2 2 19x 1 15 5 0 5x2 2 17x 1 6 5 0

73. Resuelve ecuaciones con fracciones algebraicas. Las siguientes expresiones representan el tiempo (t), en meses, que tarda la recuperación de varios terrenos de acuerdo con la cantidad (g) de animales que se alimentan allí. Encuentra el valor de t en cada caso. a)

t  6g 2 62 5 0 con g 5 30 y t ? 3 t 3

b) 4t 2 1 5 0 con g 5 6 y t ? 23 2t  g t 2  12g 1 c) 2 5 0 con g 5 9, t ? 0 y t ? 11 t  11 3t

74. Resuelve problemas con sistemas de ecuaciones. Determina el precio de una vaca y el de un caballo en cada caso, si: a) Tres caballos y dos vacas cuestan $ 11 600 000 y tres vacas y dos caballos cuestan $ 9 900 000. b) En pago por cuatro caballos se dieron como parte de pago dos vacas y $ 8 800 000, y por tres caballos y una vaca se pagó $ 9 600 000. c) El precio de dos vacas y las

3 4

partes del precio de un caballo es $ 4 275 000. El precio de tres vacas y dos caballos es $ 7 900 000.

d) Tres caballos y tres vacas cuestan $ 10 650 000. El precio de un caballo menos y tres vacas más es $  11 900 000. e) Por la venta de tres caballos se reciben seis vacas y $ 1 680 000. Si se venden los tres caballos y se compra una vaca, le quedan $ 5 070 000.

75. Resuelve problemas con desigualdades lineales. Plantea una desigualdad y halla la cantidad de proteína mínima o máxima en cada caso. a) Para pollos machos de engorde se recomienda que cinco veces la masa de las proteínas más 17 g no exceda los 55 g. b) Para pollas de engorde se recomienda que las 2 3

partes de la masa de las proteínas disminuida en 18 g sean como mínimo 20 g. c) Para pollos clase A, dos veces la masa de las proteínas aumentada en 18 g no pueden llegar a los 280 g.

d)

2t 2  7t 15 5 con g 5 10 y t ? 2 10 t 10 tg

d) Para pollos tipo B, cinco veces la masa de las proteínas aumentadas en 50 g deben superar los 200 g.

e)

t 2  4t g 2 5 0 con g 5 60 y t ? 25 15 t 5

e) Para pollas tipo B, el doble de la masa de las proteínas aumentado en 30 g debe ser mínimo 174 g.

25 proyecto aprender juntos

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En una fábrica de zapatos se determinó que el precio de venta de los productos depende de la inversión que se haga en materia prima. Por cada par de zapatos de la colección escolar se cobrará tres veces el costo de fabricación más un costo fijo de $ 17 000, mientras que en la colección de zapatos deportivos el precio de venta es cuatro veces el de fabricación más el costo fijo de $ 25 000.

Utilidad en cientos de millones de pesos

Se sabe también que las utilidades dependen del número de obreros que haya en la fábrica. El registro se presenta en la siguiente gráfica.

78. Determina puntos máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica. En la gráfica de la función de utilidad, determina los puntos máximos y mínimos. Máximos relativos: ___________ Máximo absoluto: ___________ Mínimos relativos: ___________ Mínimo absoluto: ___________

79. Representa gráficamente funciones afines. La expresión f(x) 5 3x 1 2 representa la cantidad de zapatos contramarcados en un minuto por un número de máquinas (x). Antes de encender las máquinas, un empleado elaboró manualmente dos pares. Completa la tabla y realiza la gráfica de la función.

6 5 4 3 2 1

Máquinas encendidas

20 10

Cantidad de pares de zapatos contramarcados por minuto

0

30 40 50 60 70 80 90 100

1

Número de obreros

2 3

76. Halla elementos del conjunto de salida y de llegada de una función. Completa la siguiente tabla que relaciona el costo de producción de zapatos escolares con su precio de venta.

f(x) 16 14 12 10

Costo de fabricación ($)

Precio de venta ($)

8 6

30 000

4

35 000

2

50 000 71 000

O

2

4

6

8

10

12

14

16

x

92 000

77. Determina el crecimiento o decrecimiento de una función a partir de su gráfica. Determina en qué intervalos crece o decrece la función de utilidades de acuerdo con la gráfica.

80. Reconoce funciones afines. Escribe función afín o función lineal según corresponda. a) f(x) 5 13x 2 2

___________

b) f(x) 5 8x ___________

Crece: __________________________

c) f(x) 5 3x ___________

Decrece: _________________________

d) f(x) 5 12x 1 2

___________

e) f(x) 5 9x 1 5

___________

26 proyecto aprender juntos

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81. Halla la tasa de crecimiento de una función. Determina si la tasa de variación de las siguientes funciones en el intervalo [21, 3] es positiva, negativa o igual a cero. a) f(x) 5 2 x ___________

c) f(x) 5 3

b) f(x) 5 x3

d) f(x) 5 x 1 12 ___________

___________

e) f(x) 5 2 3x3 ___________

___________

82. Reconoce variables dependientes y variables independientes. Enuncia en cada caso la variable dependiente (D) y la variable independiente (I). a) Se determinó que la cantidad mínima que se debe suministrar de cierto medicamento es de 200 mg, y aumenta 10 mg por cada kilogramo de peso que el paciente exceda por encima de los 45 kg. b) El precio de un recibo telefónico tiene un cargo fijo de $ 35 000, y $ 115 por cada minuto. c) Se determinó que por cada litro de gasolina se pueden contaminar 750 000 l de agua. d) La cantidad de calorías quemadas por una persona que hace ejercicio, depende del tiempo que dure dicha actividad. e) En una fábrica los ingresos dependen de la cantidad de dinero que se invierta en mercadeo.

83. Representa gráficamente funciones cuadráticas. Dibuja en el plano cartesiano las gráficas de las funciones cuadráticas que se indican.

f(x) 5 x2 1 3 a) f(x) 5 2 4x2 b)

c) f(x) 5 x2 2 2

Y

Y

Y

8

8

8

6

6

6

4

4

4

2

2

2

O 8 6 4 2 2

2

4

6

8 X

O 8 6 4 2 2

2

4

6

8 X

O 8 6 4 2 2

4

4

4

6

6

6

8

8

8

2

4

6

8 X

f(x) 5 (x 2 2)2 d) f(x) 5 (x 1 1)2 e) Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

O 8 6 4 2 2

2

4

6

8 X

O 8 6 4 2 2

4

4

6

6

8

8

2

4

6

8 X

27 proyecto aprender juntos

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84. Halla la expresión factorizada de una expresión algebraica dada. En una prueba de atletismo se determinó que el rendimiento de un deportista se puede representar mediante una expresión algebraica. Halla la expresión factorizada de los rendimientos de los atletas.

87. Halla la suma de fracciones algebraicas. En el salto triple se determinaron expresiones para los tres brincos de cinco deportistas. Halla la expresión que representa el total recorrido por cada deportista. Deportista

Salto 1

Salto 2

Salto 3

A

xy xy

xy xy

12x2 y

B

x 2 10

x 1 10x  5

x 2x  1

C

x b  bx

bx bx

b bx  x2

D

2 x 5

2

3x x  25

3x x 5

E

x 3 x 3

x 2 x 2

x 1 x

a) Jonhson: 4ax 2 10a 1 18bx 2 15b b) Soto: 3x2 2 4x 2 15 c) Webb: 512x3 2 27y6 d) Tinelli: x4 2 32x2y 1 256y2 25 y 4 9 x4 e) Sovórov: 2 9 64 85. Halla el valor numérico de una expresión algebraica. Un grupo de deportólogos determinó que la cantidad, en gramos, de proteínas (P) que tiene permitido consumir un levantador de pesas depende de su masa (x) en kilogramos, y se expresa de la forma:

P5

4x2  3x  2 . 1 x2  5x 10

 Determina la cantidad de proteínas máxima permitida a un competidor de: a) 80 kg

c) 82 kg

b) 81 kg

d) 90 kg

e) 92 kg

2

x2  y 2

88. Realiza operaciones entre expresiones radicales. Realiza las siguientes operaciones: 2 a) 3 x y 3

3 x2 y

7 3 b) 4 x y 4

4

xy 2

4 7 4 4 7 4 c) 3 x y 1 3 27x y 2 3 8x y

86. Halla el producto entre dos expresiones algebraicas. Una delegación propuso cinco medidas, para un campo de bádminton. Halla en metros cuadrados, la expresión del área de cada campo. Largo

Ancho

a)

 4x2  7x  18    m x2  6x  

(4x 2 6x) m

b)

(5y 1 6) m

(4y2 1 6y 2 18) m

(12z 2 24) m

 2z2  6   12  m  

c)

d)

(3w 1 6) m

 2r 3  16r 2  6r  e)   2r 2  2r  

2

 12w 2  31w  15    w 3    2r  15   3  m

d) 6 x 3 y 2 4 e) 3y 3

xy

3 2xy

3 6 6x2 y 3

89. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita. Determina los tiempos alcanzados por los nadadores en la prueba de nado libre. a) El triple del tiempo que tardó el nadador A disminuido en 1,2 s es 28,5 s. b) Las dos terceras partes de lo que tardó el nadador B aumentadas en 6 s son 18,2 s. c) Las tres cuartas partes de lo que tardó el nadador C disminuidas en 4,2 s son 14,55 s. d) El doble de lo que tardó el nadador D aumentado en 13,5 s es 43,1 s. e) Cuatro veces lo que tardó el nadador E aumentado en 2,3 s es 67,1 s.

28 proyecto aprender juntos

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90. Resuelve ecuaciones con la incógnita en más de un término. En la prueba de gimnasia, los jueces califican a los competidores con puntajes entre 1 y 10. Halla el puntaje obtenido por cada competidor. a) Al competidor A, el juez 1 le dio el doble de puntaje del que le dio el juez 2, y el Juez 3 dos puntos más que el juez 1. En total suman 22 puntos. b) Al competidor B, el juez 1 le dio dos puntos menos que el juez 2, o sea el doble de lo que le dio el juez 3. En total suman 18 puntos.

92. Identifica máximos y mínimos en una función. La gráfica representa los cambios de velocidad de un triatlonista respecto al tiempo de la competencia. Encuentra la gráfica y halla lo que se indica a continuación. Y

80 70 60 50 40 30 20

c) Al competidor C, el juez 1 le dio un punto menos que el juez 2, y este último a su vez le dio la mitad de puntos que el juez 3. En total suman 17 puntos. d) Al competidor D, el juez 2 le dio medio punto más que el 1 y a su vez, el juez 3 le dio la mitad de lo que le dio el juez 1. En total suman 18 puntos. e) Al competidor E, el juez 1 le dio el doble de puntaje que el juez 2, el juez 3 le dio dos puntos menos que el juez 1. En total suman 23 puntos.

91. Resuelve ecuaciones de segundo grado. En las pruebas de lanzamiento de jabalina se determinaron las expresiones de la altura (y) en términos de la distancia horizontal (x) recorrida por la jabalina. Halla la distancia de caída de cada jabalina, es decir, cuando la altura es 0. a) y 5 2

1 x2 1 1 x 64 2

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 X

a) Máximos relativos: b) Máximo absoluto: c) Mínimos relativos: d) Mínimo absoluto: e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

93. Representa máximos y mínimos de funciones continuas. Representa una función continua que tenga: a) Un máximo en el punto (5, 4) b) Un máximo absoluto en el punto (8, 6) c) Un mínimo absoluto en el punto (0, 4) d) Un mínimo en el punto (3, 22) e) Un máximo en el punto (0, 0) Y 10 9 8 7 6 5

b) y 5 2

1 x2 1 1 x 70 2

1 x2 3 1 x c) y 5 2 80 4 d) y 5 2

1 x2 5 1 x 70 8

4 3 2 1 1 0 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 X

2 3

e) y 5 2

1 x2 3 1 x 80 5

4 5

29 proyecto aprender juntos

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Pensamiento espacial Para participar en una licitación para la construcción de un puente, el arquitecto Pérez presentó el siguiente plano.

C

G

E 1 55º R

P

Q

m

B

5

6 105º R T

n

4 55º

3 A

I

2 55º

D

F

H

p

94. Reconoce características de ángulos determinados entre paralelas intersecadas por una secante. Escribe falso (F) o verdadero (V), según corresponda.

a) Los ángulos 3 y 4 tienen igual medida. b) La suma de las medidas de los ángulos 2 y 4 es igual a la medida del ángulo 6. c) Los ángulos 3 y 4 son alternos internos. d) Los ángulos 4 y 5 son ángulos correspondientes. e) Los ángulos 1 y 3 son congruentes.

95. Establece la medida de los ángulos determinados por rectas paralelas intersecadas por una secante. Si el ángulo 3 mide 558, cuánto mide:

a) El ángulo EDF b) El ángulo PDO c) El ángulo GOT d) El ángulo EPR 96. Reconoce rectas paralelas según la relación que se establece entre los ángulos que se determinan. De acuerdo con la información de la figura, ¿se puede afirmar que BC // DE? a) No, porque aunque 1 y 2 son congruentes, no son alternos externos entre BC y DE. b) Sí, porque 1 y 2 son congruentes y correspondientes entre BC y DE. c) Sí, porque 1 y 2 tienen la misma medida. d) No, porque aunque 1 y 2 son congruentes, no son alternos internos entre BC y DE.

30 proyecto aprender juntos

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En el pueblo Yoruba, al oeste de África, se elaboran diseños sobre un paño almidonado, tiñendo de azul, de modo que la parte almidonada permanezca blanca contra el fondo azul. C

X

D

B E

F

H

100. Identifica ángulos correspondientes determinados por rectas paralelas intersecadas por una secante. Los lados de dos ángulos correspondientes siempre forman una F mayúscula. Identifica en las figuras pares de ángulos correspondientes y traza una F diferente en cada caso. a)

b)

c)

d)

I

G M

97. Reconoce ángulos determinados por rectas paralelas y una secante a ellas. Completa cada afirmación, según la información gráfica.

a) El XAB y el AEF son: b) El XAB y el DAE son: c) El CAX y el CAD son: d) El GHE y el BAE son:

98. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas intersecadas por una secante. Halla la medida de los ángulos pedidos.

101. Aplica criterios para determinar la semejanza entre triángulos. Escribe semejantes o no semejantes, de acuerdo con lo que observas en la ilustración.

a) DEA 5 898, entonces HEI 5 ______

a) Los triángulos ABC y DBE son:

b) XAB 5 468, entonces DAE 5 ______

b) Los triángulos ABC y IJL son:

c) HEF 5 1408, entonces XEF 5 ______ d) GHM 5 43,68, entonces EHI 5 ______ e) DAX 5 1408, entonces GHE 5 ______

c) Los triángulos CGI y IJL son: d) Los triángulos CGI y HGF son e) Los triángulos IJL y HJK son:

99. Reconoce la relación que se establece entre ángulos

determinados por rectas paralelas y secantes a ellas. Si en la construcción el C 5 1, ¿cuál es la relación entre B y 2? Justifica tu respuesta.

D

E

F

1,8 80º 2,4 G

50º B

A

1

C

3 5 6

50º

2 4 A

H

3,6

C

80º

2,1 2

K 1,7 J

2,7 2,55 I

3,15

3 L

B 31 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

102. Reconoce triángulos congruentes.

104. Utiliza las propiedades de los triángulos para determinar valores desconocidos en él.

Cada fábrica de automóviles identifica su marca mediante un símbolo, que en algunos casos está formado por triángulos congruentes. Algunas de ellas se presentan en las figuras que se ilustran a continuación.

Selecciona el valor aproximado de la incógnita.



10 cm



45º

14,14 5cm cm

14,14 cm

10 cm  45º

45º

73º

?

Determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas. 45º



45º

738 438

3 cm 

?

45º

b) Los triángulos que se identifican en el primera ? figura son congruentes según el criterio ALA.

73º

?

5 cm

5 cm

14,14 cm 

10 cm a) La primera figura se puede descomponer en seis triángulos congruentes.

4 cm

3 cm

348

5 cm

c) En la segunda figura no se identifican triángulos congruentes. d) En la segunda figura se identifican 10 triángulos congruentes según el criterio LLL.

105. Identifica triángulos congruentes. Identifica los triángulos congruentes en cada grupo. a)

103. Aplica las propiedades de los triángulos.

U

R

T

Encuentra la medida del ángulo desconocido. P

a)

b)

T T

P P

C C

?

36°

?

W

T

X

27°

30° 30° ?

c)

S S

30°

S

A A 115°

115°

H H

B B? B

?

B

D K

H

? ?

45° 45°

?

45°

H

?

C H

73° ? ?

I

J

73°

27° 115° 115°

Q E

S

30°

A

N

73° 73°

27°

32

R

M

f)

B

T

? 33° ?

M

C P

M

M M ?

X 36°

e) C27°

A

b)

T

X X

W

Q

33° 33° 33°

S

V

Q ?

90°

X

Q Q

R45° R 45° R T R S d)T

C

A

?

45° 45°

? 60° ? R 60° S R S ? 60° R S? 60° ZZ c) R 100° Z 100° Z ? 100° W ? 36° W 100° 36°

W

? ?

90°

P 90° 90° P

T 60° 60° T 60° 60°

Q

F

L L L

45°

L

G

proyecto aprender juntos

© ediciones sm

C

F

106. A  plica los criterios de congruencia Fe identifica C triángulos congruentes.

F Escribe el Ccriterio que verifica la congruencia de los triángulos.C F

a)

A A M

A

B

M

A

B

b) M

B

D

B

D

E

T

P

M

E

T

D

P

E T

D

P

E

P

c)

N

Q L

G G G

a) Cuadrado cuyo lado mide 3 cm. b) Rectángulo cuya base mide el doble de su altura, que es 2 cm. c) Rombo cuyas diagonales miden 3 cm y 4 cm. d) Cuadrado cuya diagonal mide 3 cm. e) Trapecio rectángulo cuya altura mide 3 cm, base menor 2 cm y base mayor 3,5 cm.

H

J

H

J

J A

E E E

D C C

A C

A B

c) Dos segmentos paralelos.

A

B

d) Dos ángulos suplementarios. e) Dos lados opuestos congruentes. f) Dos segmentos que se cortan en sus respectivos puntos medios. 110. Realiza movimientos de figuras en el plano. Alberto ubicó un cuadrilátero cuyos vértices están en las coordenadas A (1, 1), B (3, 1), C (3, 3), D (1, 3).

C

9

B 107. Identifica y clasifica cuadriláteros.

8

Alberto diseñó una serie de ventanas con forma de B cuadriláteros. Relaciona cada una con su clasifiB cación.

a)

0

D D

A

C

b) Dos triángulos congruentes. E

D

D

a) Dos ángulos congruentes.

L

J

G

figuras que cumplan la condición.

Q

L

H

d)

109. Identifica propiedades de un paralelogramo. Observa el paralelogramo ABCD. Luego, nombra

L Q

H

I

Dibuja los cuadriláteros que utilizó Alberto como diseños para decorar algunas paredes, de acuerdo con las condiciones dadas.

R Q

I

R

R

T

N NI I N

R

108. Reconoce cuadriláteros.

7 6 5 4 3

1. Trapezoide asimétrico

2 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1

O

1

2

3

4

5

6

7

8 9

2

b)

2. Trapcio rectángulo

3 4 5 6 7

3. Paralelogramo romboide

c)

d)

4. Trapecio isósceles

e) 5. Trapecio simétrico

8 9

Dibuja  en el plano las figuras que se generan después de realizar los movimientos sucesivos al cuadrilátero anterior. a) Traslación según el vector guía u(4, 1). b) Giro con centro en A y un ángulo de 1808. c) Simetría sobre un eje que pasa por los puntos E(0 , 21) y F(4, 21). d) Traslación según el vector guía u(25, 0). e) Giro con centro en A y un ángulo de 908.

33 proyecto aprender juntos

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Pensamiento métrico El plano muestra el terreno que don Ricardo compró para poner a pastar sus 120 cabezas de ganado. A

H 350 m 460 m

F

B

C

G 460 m

490 m 210 m

D

750 m

111. C  omprende la equivalencia entre unidades de longitud y hace conversiones. Expresa el perímetro de la finca en las unidades que se pide. a) Metros: ________________ b) Decímetros: ________________

E

114. Comprende la equivalencia entre unidades de volumen y realiza conversiones. Don Ricardo construyó un granero con forma de prisma rectangular y cuyo techo es un prisma de base triangular. Halla el volumen del granero y exprésalo en las unidades que se piden.

c) Decámetros: ________________ d) Hectómetros: ________________

2m

e) Kilómetros: ________________ 5m

112. C  omprende y aplica el teorema de Pitágoras. Halla los valores de las distancias entre:

5m

12 m

a) Las esquinas A y G

a) Metros cúbicos: _____________

b) Las esquinas D y F

b) Decímetros cúbicos: _____________

c) Las esquinas B y H

c) Decámetros cúbicos: _____________

d) Las esquinas C y E

d) Hectómetros cúbicos _____________

e) Las esquinas A y C

e) Centímetros cúbicos: _____________

113. C  omprende la equivalencia entre unidades de superficie y realiza conversiones. Expresa el área de la finca en las unidades que se piden.

34

115. Comprende las equivalencias entre unidades de medida del tiempo y realiza conversiones. La adaptación de una finca para llevar el ganado tardó dos meses, una semana y tres días. Expresa este tiempo en las unidades que se indican:

a) Metros cuadrados: _______________

a) Días: _________

b) Decímetros cuadrados: _______________

b) Horas: _________

c) Centímetros cuadrados: _______________

c) Meses: _________

d) Hectómetros cuadrados: _______________

d) Minutos: _________

e) Kilómetros cuadrados: _______________

e) Semanas: _________ proyecto aprender juntos

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Una empresa de publicidad distribuye sus productos por toda la ciudad.

116. Identifica las propiedades de los triángulos. Encuentra, en cada aviso, el valor del ángulo desconocido. a)

b) T

c) P 90°

60°

?

d)

Q

100°

W

?

R

?

S

C

33° 36°

45° 60°

e)

T

Z

27° ?

X

30°

M

S

115°

R

A

117. H  alla el área de triángulos. Calcula el precio de cada lote que anuncia la valla publicitaria, si se sabe que el metro cuadrado cuesta $ 750 000. a)

b)

c)

d)

3xm 5

e)

?

B

2x m

3x m

( 25 x  10 ) m

6x m

( 25 x  10 ) m

(5x  2) m

x = 3



xm

(3x  5) m

xm

x = 10

x = 12

x = 5

x=6

118. H  alla el área de cuadriláteros. Estas vallas tienen formas de diferentes cuadriláteros. Halla el área de cada una, si x = 2. a)

c) b4m

b2m

(2b  1) m

b)

e)

2b m

d)

3bm 2

3b m

3x  6 m

x3m b4m

3x m

3x m

119. H  alla el área de regiones sombreadas. Halla el área de la región sombreada en el aviso, si x toma los valores que se indican. Toma p = 3,14.

x 5 10 a)

b) x 5 1

x 5 4 d)

e) x 5 5,5

c) x 5 2

(4x  3) cm (3x  2) cm

(2x  2) cm

35 proyecto aprender juntos

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María Camila tiene una fábrica de chocolates. Para empacarlos diseñó varios empaques. 120. C  alcula el área de un prisma. Calcula la cantidad mínima de cartón que se usó para fabricar cada tipo de caja. a) b) c) d) e) 6 cm 6,7 cm

25 cm

6 cm

12 cm 15 cm

15 cm

5 cm

10 cm 14 cm 10 cm

9,5 cm

6 3 cm

3,5 cm 8 cm

12 cm

4,2 cm

121. C  alcula el área de cilindros y conos. Halla la cantidad mínima de cartón usada para fabricar las cajas. Toma p = 3,14. a) b) c) d) e) 6 cm 8 cm 24 cm 15 cm

10 cm

15 cm

12 cm

12 cm

14 cm

10 cm

122. C  alcula el volumen de esferas. Maria Camila fabrica unos chocolates esféricos. Calcula el volumen de cada uno. a) b) c) d) e)

1,2 cm

V 5 ______

2,1 cm

1,8 cm

1 cm

0,5 cm

V 5 _______

V 5 _______

V 5 _______

V 5 _______

123. H  alla el volumen de cuerpos compuestos. Calcula lo que se pide en cada caso. a)

b)

1,2 cm

c) 2 cm 1,4 cm 1,5 cm

0,5 cm 3 cm

2 cm

1,3 cm 3,5 cm



V 5 _______

V 5 _______

V 5 _______



AT 5 _______

AT 5 _______

AT 5 _______

36

1,8 cm

proyecto aprender juntos

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124. C  alcula la longitud de una circunferencia. En las pruebas de gimnasia rítmica se usan cuerdas, pelotas, palos especiales, cintas y aros. Los aros tienen un diámetro que varía entre los 80 cm y 90 cm. Calcula la longitud de un aro cuyo diámetro (D) se da en cada caso. Toma p 5 3,14. a) D 5 80 cm

c) D 5 90 cm

b) D 5 81 cm

d) D 5 82 cm

e) D 5 85,5 cm

125. C  alcula el volumen de prismas. Algunas delegaciones propusieron nuevas dimensiones y formas para las plataformas de lucha grecorromana, expresadas en términos de la estatura de los competidores. Determina la expresión del volumen que tendrá cada una. a)

b)

c)

(5x  6) m

(2x  5) m

(2x  3) m

(5x  4) m

(4x  3) m

(4x  3) m

d)

(3x  4) m

(5x  4) m

( 1 x) m 2

e)

(2x  13) m

1 ( 1x )m 2 4

(3x  6) m

(3x  6) m

(x  1) m

(4x  5) m

(2x  10) m

126. C  alcula el volumen y el área de esferas. En el lanzamiento de bala, se usan esferas hechas con hierro o plomo cuyo peso aproximado es de 7,26 kg para hombres y de 4 kg para mujeres. Determina el área y el volumen de las siguientes balas.

13 cm

11 cm

a) V 5 ________ b) A 5 ________

9,5 cm

c) V 5 ________ d) A 5 ________

e) V 5 ________

127. C  alcula el volumen y el área de cilindros. En las competencias de pesas, los discos, que tienen un hueco en el centro, están marcados con sus respectivos pesos. Halla el área total y/o el volumen de cada disco. D  45 cm

D  38 cm 8 cm

8 cm

r  4 cm

a) V 5 ________ b) A 5 ________

D1  30 cm 8 cm

r  4 cm

c) V 5 ________ d) A 5 ________

D2  4 cm

e) V 5 ________

37 proyecto aprender juntos

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Pensamiento aleatorio

Entre los 65 stands que hay en una feria se pueden contar doce de comidas internacionales, 20 de juegos, trece de magia, tres de animales curiosos, dos de música en vivo y el resto de actividades variadas.

128. R  econoce e interpreta gráficas estadísticas. Encuentra el error en cada gráfica.

0 1 2 3 4 5 6

50 1 2 3 4 5 6

20 25 15 20 10 15 5 10 5

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

NúmeroNúmero de stands de stands

50 1 2 3 4 5 6

15 20 10 15 5 10

d) e)15 6 variados 20 1  comidas, 2 juegos, 3 magia, 4  animales, 5 música, NúmeroNúmero de stands de stands

15 20 10 15 5 10

c) 25 NúmeroNúmero de stands de stands

b) 20

NúmeroNúmero de stands de stands

NúmeroNúmero de stands de stands

a) 20

1  comidas, 2 juegos, 3 magia, 4  animales, 5 música, 6 variados

15 20 10 15 5 10 50 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

10 15 5 10 50

1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

129. Halla la moda de un conjunto de datos. Durante una semana se tomaron los datos de las edades de los niños que jugaron tiro al blanco en la feria y se obtuvieron los siguientes resultados. Lunes

12

12

11

10

12

13

14

12

10

11

13

16

12

13

14

12

Martes

13

12

12

12

11

12

12

14

11

10

12

13

11

12

13

11

Miércoles

12

11

13

12

11

13

13

15

14

9

11

13

14

16

16

15

Jueves

12

11

11

12

13

13

14

15

13

12

11

10

9

13

12

13

Viernes

12

11

13

14

11

12

11

11

10

13

9

12

11

13

14

12

Halla la moda de las edades en cada uno de los días de la semana. a) Lunes: ________

c) Miércoles: ________

b) Martes: ________

d) Jueves: ________

e) Viernes: ________

130. H  alla la media de un conjunto de datos. Halla la media de las edades de cada uno de los días. a) Lunes: ________

c) Miércoles: ________

b) Martes: ________

d) Jueves: ________

e) Viernes: ________

131. R  econoce y aplica el concepto de probabilidad. Completa cada frase de acuerdo con la información. a) Si se selecciona al azar un niño de los que jugaron tiro al blanco el lunes, lo menos probable, pero no imposible, es que tenga ______ años. b) Si se selecciona al azar un niño de los que jugaron tiro al blanco el martes, lo más probable es que tenga ______años. c) La probabilidad de que al seleccionar un niño de los que jugó tiro al blanco el miércoles tenga catorce años se representa mediante la fracción ______. d) La probabilidad de que al seleccionar al azar un niño de los que jugó tiro al blanco el jueves tenga más de ocho años es _______. e) La probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los niños que jugó tiro al blanco el viernes tenga más de catorce años es ________.

38

proyecto aprender juntos

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Para medir el impacto del nuevo jabón Lava Rápido en Bogotá, la empresa Mercadeo Express S.A. entrevistó telefónicamente a 225 consumidores. Al preguntar sobre la calidad del producto se obtuvieron las siguientes respuestas. Calidad del jabón Lava Rápido

Cantidad de amas de casa

Excelente

56

Muy bueno

25

Bueno

46

Regular

50

Malo

21

Pésimo

12

No sabe / No responde

15

132. R  econoce los elementos principales en un estudio estadístico. Relaciona cada término con su caso particular. a) Amas de casa de Bogotá

(

) Frecuencia absoluta

b) 225 amas de casa que usan el jabón

(

) Variable estadística cualitativa

c) Calidad del jabón Lava Rápido

(

) Población

d) 56, 25, 46, 50, 21, 12, 15

(

) Muestra

e) Entrevista telefónica

(

) Técnica de recolección de datos

133. C  alcula la frecuencia relativa de un conjunto de datos. Escribe enfrente a cada categoría su frecuencia relativa. a) Excelente: ____________

d) Regular: ____________

b) Muy bueno: ____________

e) Malo: ____________

c) Bueno: ____________

134. C  onstruye intervalos de clase. A los 21 consumidores que respondieron que el jabón es de mala calidad, se les pidió que calificaran entre 1 y 10 la calidad del jabón y se obtuvieron estas respuestas:

3,5 3,5 2,8 2,5 3,6 4 3,8 4 3,7 3,5 2,9



3,7 3,5 3,5 2,9 3 3,5 4,2 3,3 3,1 3

Agrupa los resultados en cinco intervalos y completa la tabla. Límite inferior

Límite superior

2,5

2,84

Intervalo de calificación

Frecuencia

39 proyecto aprender juntos

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En un informe de una confederación de fútbol se presentaron algunas gráficas con los datos agrupados de las estaturas de los jugadores de los cinco equipos participantes en un torneo. Expreso Rojo

Deportivo Municipal

Deportivo Real

15

15

15

15

15

0

5

0

10 5

0

1,65 1,72 1,79 1,86

0

5

10

1,65 1,72 1,79 1,86

5

10

1,65 1,72 1,79 1,86

10

Jugadores

20

Jugadores

20

Jugadores

20

Jugadores

20

10 5

0

1,65 1,72 1,79 1,86

Almagro

20

1,65 1,72 1,79 1,86

Jugadores

Ballet Azul

135. Calcula la moda en un conjunto de datos. Calcula la moda de las estaturas de los jugadores de cada equipo. a) Ballet Azul

d) Deportivo Real

b) Expreso Rojo

e) Deportivo Municipal

c) Almagro

136. Calcula la media en un conjunto de datos. Calcula la media de las estaturas de los jugadores de cada equipo. a) Ballet Azul

d) Deportivo Real

b) Expreso Rojo

e) Deportivo Municipal

c) Almagro

137. Encuentra el intervalo mediana en un conjunto de datos. Determina el intervalo mediana de las estaturas de los jugadores de cada equipo. a) Ballet Azul

d) Deportivo Real

b) Expreso Rojo

e) Deportivo Municipal

c) Almagro

138. Reconoce medidas de posición en un conjunto de datos. La siguiente es la lista de las edades de los jugadores del Ballet Azul.

22 19 24 25 22 23 21 21 19 30 21 27 29



23 23 22 31 32 21 18 25 28 32 26 24 33

Completa los enunciados de acuerdo con la información. a) El primer cuartil del conjunto de datos es ____ b) El segundo cuartil del conjunto de datos es ____ c) El tercer cuartil del conjunto de datos es ____ d) El rango del conjunto de datos es ____ e) La mediana y el segundo cuartil tienen el mismo valor, porque __________________________

40 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

En un casino se instalaron algunos juegos tales como la ruleta americana, las cartas, el póquer, la veintiuna, los dados y las máquinas paga monedas, entre otros.

139. D  iferencia un experimento aleatorio de uno determinístico. Identifica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles determinísticos. a) Extraer, al azar, una carta de la baraja. b) Lanzar un dado y observar los puntos obtenidos. c) Girar la ruleta y mirar donde cayó la bola. d) Lanzar un dado que tiene dos puntos en todas sus caras. e) Sacar una balota de una bolsa donde solo hay balotas azules.

140. C  onoce el espacio muestral de un experimento aleatorio. Determina el espacio muestral del experimento y escribe los elementos del suceso en cada caso. a) Lanzar un dado de seis caras y obtener un múltiplo de 3. b) Lanzar un dado de ocho caras y obtener un numero mayor que 6. c) Lanzar un dado de nueve caras y obtener un número par. d) Lanzar un dado de cuatro caras y obtener 1. e) Lanzar un dado de nueve caras y obtener un número primo.

141. U  sa técnicas de conteo para analizar la cantidad de posibles resultados de un experimento aleatorio. En el casino hay cinco tipos diferentes de máquinas paga monedas. Identifica cuántos resultados son posibles en cada máquina, si tiene: a) Cuatro ruedas y en cada rueda las figuras b) Cinco ruedas y en cada rueda las figuras c) Siete ruedas y en cada rueda las figuras d) Seis ruedas y en cada rueda las figuras e) Ocho ruedas y en cada rueda

142. C  alcula la probabilidad de un evento simple usando la regla de Laplace. La baraja de cartas que se está usando únicamente tiene diez cartas numeradas del 1 al 10. Determina la probabilidad de que, al sacar una carta, se obtenga: a) 7

d) Número primo

b) Número par

e) Múltiplo de tres

c) Número impar

143. C  onoce y aplica las propiedades de la probabilidad. En los sorteos del casino se extraen las balotas de una urna que contiene 20 balotas rojas, 25 verdes, 18 blancas y una azul. Calcula la probabilidad de extraer una balota: a) Roja

d) Que no sea roja

b) Amarilla

e) Que no sea azul

c) Verde

41 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

En un laboratorio se realizó un experimento con un grupo de ratones contagiados con cinco virus. El 12% están infectados del virus A, el 25% del B, el 13% del C, el 20% del D, el 10% del E y el resto están sanos. Ningún ratón tiene más de un virus. A los ratones contagiados se les aplicó un fármaco que los curó así: al 40% de los que tenían el virus A, al 30% de los que tenían el B, al 50% de los que tenían el C, al 67% de los que tenían el D y al 45% de los que tenían el E.

146. Halla la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos. Otro experimento consiste en dejar dos ratones en una jaula X, uno contagiado con el virus A y otro sano, y en una jaula Y cuatro ratones: tres con los virus A, B y C respectivamente y un cuarto sano. Usa diagramas de árbol para hallar la probabilidad de que al sacar una ratón de cada jaula: a) Ambos tengan el virus A. b) Uno de ellos esté sano y otro tenga el virus B. c) Ambos estén sanos. d) Ambos tengan el virus B.

144. Halla la probabilidad de la intersección de sucesos. Si después de aplicado el fármaco, se agrupan todos los ratones, y de estos se saca uno al azar, halla la probabilidad de que el ratón: a) Haya sido curado del virus A. b) Esté contagiado por el virus B. c) Esté contagiado por el virus C.

e) Uno de ellos tenga el virus A y otro el virus B.

147. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes. Al elegir un ratón al azar de la jaula no se devuelve, y luego se escoge otro. Según la ilustración, calcula la probabilidad de que:

d) Se haya curado del virus D. e) Nunca haya estado enfermo.

145. Halla la probabilidad de la unión de eventos independientes. Si antes de realizar la prueba del fármaco se eligió al azar uno de los ratones, halla la probabilidad de que esté contagiado por: a) El virus A o el C. b) El virus A o el B. c) El virus A o el D. d) El virus B o el E. e) El virus D o el E.

a) El primero tenga el virus A y el segundo el B. b) El primero tenga el virus B y el segundo el C. c) El primero tenga el virus A y el segundo esté sano. d) El primero tenga el virus C y el segundo el D. e) Los dos tengan el virus A.

42 proyecto aprender juntos

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Los deportistas inscritos en el levantamiento de pesas en la categoría de 60 kg - 67,5 kg fueron pesados. Los resultados, en kilogramos, fueron los siguientes. 60,5 60 67 67,4 67,3 62,3 63,5 64 65,5 67 63,5 60 62,5 65,5 65 66,5 63,5 61,8 63 64 60,2 60,21 63 64,5 64

65,2 67 67 64,5 62,5

148. R  econoce conceptos de estadística descriptiva. Teniendo en cuenta los pesos de los deportistas, determina: a) El primer cuartil

d) El rango

b) El segundo cuartil

e) El promedio

c) El tercer cuartil

151. Calcula la probabilidad de eventos simples. Si se elige al azar uno de los competidores pesados, cual es la probabilidad de que pese: a) 60 kg

d) 63,5 kg

b) 62,5 kg

e) 68 kg

c) 67 kg

152. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes. Al elegir al azar a uno de los competidores y después elegir un segundo, sin regresar el primero al grupo, calcula la probabilidad de que: a) Ambos pesen 67 kg. b) Ambos pesen 64 kg. c) Uno pese 64 kg y el otro 65 kg. d) Uno pese 64 kg y el otro 68 kg. e) Uno pese 63,5 kg y el otro 60,2 kg.

149. R  epresenta datos agrupados. Completa la tabla. Masa (kg)

Número de deportistas

[60 - 61,5)

153. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos. Al elegir al azar uno de los competidores y observar su peso, cuál es la probabilidad de que pese: a) 67 kg ó 60 kg b) 64 kg ó 60,21 kg c) 65 kg ó 64 kg d) 61,8 kg ó 60 kg e) 62,3 kg ó 62,5 kg

150. R  epresenta gráficamente datos agrupados. Realiza la gráfica con las frecuencias relativas de los datos obtenidos en el punto anterior. Frecuencia relativa

154. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos. Del grupo total de competidores se extrajeron dos equipos, A y B, con los mejores deportistas cuyos pesos, en kilogramos, son los siguientes: Equipo A

62,5

63

63

64

Equipo B

63,5

67

62,3

60,2

64,5

Calcula la probabilidad de que al elegir al azar un competidor de cada grupo: a) Uno de ellos pese 62,5 kg y otro 63,5 kg. b) Uno de ellos pese 63 kg y otro 67 kg. Masa (kg)

c) Uno de ellos pese 64 kg y otro 67 kg. d) Uno de ellos pese 60,2 kg y otro 64 kg. e) Uno de ellos pese 67 kg y otro 64,5 kg.

43 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento numérico 1. Halla el producto entre dos números racionales.

9. Comprende el concepto de fracción.



a) $ 25 800



b) $ 41 670

b) V



c) $ 59 921



d) $ 80 910



e) $ 105 047

c) F d) F e) F

2. Establece la relación de orden entre dos expresiones decimales. a) . b) , c) , d) . e) , 3. Halla la diferencia entre dos números enteros.

a) F

a) 940 000

b) 21 089 000

10. Realiza adiciones entre fracciones. a) 8 15 8 b) 15 7 c) 15 3 d) 5 2 e) 5



c) 1 152 000

11. Halla la expresión decimal de un número racional.



d) 320 000





e) 3 032 000

b) 0,2

4. Halla la expresión decimal de un número racional. a) 0,6

c) 0,9375 d) 0,4375



e) 0,75

d) 0,2666… e) 0,6

5. Realiza operaciones combinadas entre números enteros.

12. Representa números racionales en la recta numérica. 1 3 a) 0 1 2 3 5

a) $ 252 200



b) $ 259 000



c) $ 286 500



d) $ 350 000



e) $ 344 800

b) 0 c) 0

6. Suma números racionales. a) 11 120 b) 9 40 c) 9 40 d) 7 30 e) 3 40 7. Calcula una potencia de base entera y exponente natural. a) 2 27

e) 729

8. Plantea y resuelve ecuaciones aditivas y multiplicativas.

a) $ 77 000



b) $ 144 000



c) $ 35 000



d) $ 68 000



e) $ 5 000

2

1

2

1

2

1

2

15 75

e) 0

4 15

13. Aproxima números irracionales. a) 2,645751 b) 2,64575 d) 2,65

c) 2 9 d) 243

d) 0

1 1 5

c) 2,646

b) 81

44

c) 0,2

b) 0,4





a) 0,333…

e) 2,6 14. Realiza operaciones con fracciones. a) 250 000 000



b) 150 000 000



c) 150 000 000



d) 200 000 000



e) 500 000 000

proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento númerico

Estándares • Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

• Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

A

Ba

B

Observaciones

1. Halla el producto entre dos números racionales. 2. Establece la relación de orden entre dos expresiones decimales. 3. Halla la diferencia entre dos números enteros. 4. Halla la expresión decimal de un número racional. 5. Realiza operaciones combinadas entre números enteros. 6. Suma números racionales.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

7. Calcula una potencia de base entera y exponente natural.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

8. Plantea y resuelve ecuaciones aditivas y multiplicativas.

• Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

9. Comprende el concepto de fracción.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

10. Realiza adiciones entre fracciones.

11. Halla la expresión decimal de un número racional. • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

12. Representa números racionales en la recta numérica 13. Aproxima números irracionales.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

14. Realiza operaciones con fracciones.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

45 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

15. Ordena números reales. 105,025

103,85 103

20. Calcula la potencia de un número real. a) US 7 290

105,16 105,5

104

105

106

103,85 m , 105,025 m , 105,16 m , 105,5 m 2

2

2

2



b) US 1 458



c) US 1 093,5



d) US 2 187

e) US 3 645

21. Calcula la raíz de un número real. 16. Representa intervalos en la recta numérica. a) 8

9

b) 6

7

8

11

9

10

11

a) 12 m



b) 15,5 m



c) 12,2 m



d) 13 m



e) 16 m

22. Halla el producto de dos números reales.

c) 6

7

d) 12 e) 30

10



9

11

13 35

40

13 14

45

15

17

15 50

17. Halla la diferencia entre números reales. a) US 18 756,2

55

19 16

60

65

a) US 4 562,5



b) US 2 164



c) US 967,8



d) US 1 265



e) US 562,5

23. Expresa cantidades en notación científica.

a) 6

b) 6



b) US 75 024,8

c) 5



c) US 9 378,1

d) 6



d) US 14 067,15

e) 4



e) US 23 445,25

18. Halla la suma de dos números reales. a) 7 5 km2 2

b) 2 5 km2 c) (2 5  3 3 ) km2 d) 5 3 km2 e) 5 5 km2 2 19. Halla el cociente de dos números reales. a) 5 5 b) 2 3 3 c) 2 d) 3 2 5 e) 10

24. Multiplica cantidades expresadas en notación científica. a) 6,4 3 109

b) 3 3 109



e) 6,2 3 1010

d) 1,55 3 107

c) 1 3 1012

25. Halla el producto de dos números reales. a) 54,146474

b) 54,6409612 c) 44,5039108 d) 44,998398 e) 45,0606328 26. Calcula la potencia de un número real. a) 715 726 mm3



b) 775 341,36 mm3



c) 838 177,47 mm3



d) 904 320 mm3



e) 973 853,73 mm3

27. Realiza operaciones con números racionales. 635 a) 16 2 717 b) 68 690 c) 17 17 373 d) 408 633 e) 16

46 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Colegio: Estudiante:

Planilla de seguimiento Pensamiento númerico

Estándares

Valoración

Indicador de logro

S

A

Ba

B

Observaciones

15. Ordena números reales. • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

16. Representa intervalos en la recta numérica. 17. Halla la diferencia entre números reales.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

18. Halla la suma de dos números reales. 19. Halla el cociente de dos números reales.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

• Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

20. Calcula la potencia de un número real. 21. Calcula la raíz de un número real.

22. Halla el producto de dos números reales

23. Expresa cantidades en notación científica. 24. Multiplica cantidades expresadas en notación científica.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

25. Halla el producto de dos números reales.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

26. Calcula la potencia de un número real.

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

27. Realiza operaciones con números racionales.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

47 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento variacional 28. Establece razones equivalentes a una dada. a) Equivalente b) No equivalente c) No equivalente d) Equivalente e) Equivalente 29. Aplica la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución de problemas.

a) $ 150 000 d) $ 293 400

b) $ 192 000 e) $ 297 120

c) $ 271 200

30. Calcula el tanto por ciento de una cantidad dada.

a) $ 62 500 d) $ 122 250

b) $ 80 000 e) $ 123 800

c) $ 113 000

31. Utiliza la regla de tres simple para resolver problemas de aplicación. Días trabajados

Cantidad ahorrada

3 5 4 6 7 8 12

$ 157 800 $ 263 000 $ 210 400 $ 315 600 $ 368 200 $ 420 800 $ 631 200 Gastos innecesarios

$ 52 000 $ 75 000 $ 24 960 $ 520 000 $ 195 000 $ 130 000 $ 65 000

$ 12 000 $ 8 320 $ 25 000 $ 1 200 $ 3 200 $ 4 800 $ 9 600

2 2 2 3 x 3x 2 x 1 c) 4 1 2 x3 1 x 1 e) 25 5

d) (4x 1 30)

e) (4x 1 27)

a) 1 900

b) 2 600

c) (2x 1 23)

c) 2 908

d) 3 400

b)

14 y 1 90 000 5

c)

e) 4 300

7y 1 135 000 5

49 y 1 150 000 e) 7 y 2 35 000 d) 5 5 37. Identifica y reduce términos semejantes en un polinomio. a) 2x4 1 3x 2 10xy 1 6xy2

b) 3x4 1 3x 1 10x2y2 2 12x2y

c) x 1 2xy 2 6xy 1 3x

d) x 1 10xy 2 x z 1 xz

4

2

e) 2x2y 1 xy2

3

3

a) 196

x2 1x22 2

d) 3x4 1 4x2 1

6 x

b) 220

c) 155

d) 119

e) 205

3

b) 3

c) 1

d) 5

e) 4

47. Emplea reglas de cocientes notables para agilizar cálculos de cocientes. a) x3 1 x2y 1 xy2 1 y3 b) x2 1 3x 1 9 c) x3 1 4x2 1 16x 1 64 d) x4 2 2x3 1 4x2 2 8x 1 16 e) x 1 15 48. Comprende y aplica el teorema fundamental del álgebra. a) Tres

36. Usa el lenguaje algebraico. a) 7 y 1 45 000 5

b)

45. Emplea el teorema del residuo para calcular residuos en la división de polinomios.

a) 2

35. Halla el valor numérico de una expresión algebraica.

a) 2x 1

46. Reconoce las raíces de un polinomio.

8 5 6 9 4 10

34. Identifica las características de una expresión algebraica. b) (2x 1 27)

c) x2 2 x 2 12

44. Emplea la división sintética para agilizar el cálculo de cocientes entre polinomios. a) t2 1 2t 1 5 b) t3 1 2t2 1 3t 2 5 c) t3 1 3t2 2 1 t3 1 8t2 1 2t e) 3t4 2 t3 2 2t 1 1 d)

Tiempo (meses)

5 16 10 8 12 4

a) (2x 1 15)

41. Reconoce productos notables. a) x2 1 6x 1 9 b) x2 2 4 d) x3 2 3x2 1 3x 2 1 e) 9x2 2 4



33. Aplica la regla de tres compuesta para resolver problemas.

10 20 15 18 12 10

40. Calcula productos notables sin aplicar el algoritmo de la multiplicación. a) 4x2 1 4xy 1 y2 b) 9x2 1 12xy 1 4y2 c) x2 2 4y2 d) x2 1 9x 1 18 e) 16x2 2 16xy 1 4y2

43. Encuentra el cociente entre un polinomio y un monomio.

Cantidad ahorrada

Empleados

39. Halla la diferencia entre dos polinomios. a) x3 1 3x2 1 3x 2 9 b) x3 2 2x2 1 288 c) 8x3 1 4x2 2 4x 2 3 d) 11x3 1 x 1 23 e) 14x3 1 21x 2 9

42. Encuentra el cociente entre dos polinomios. b) A 5 (x2 1 3x) m2 a) A 5 (x2 1 3x 1 2) m2 c) A 5 (2x 1 2) m2 d) A 5 (x2 1 3x) m2 e) A 5 (x2 1 5x) m2

32. Reconoce magnitudes inversamente proporcionales.

Ahorro (en millones)

38. Encuentra el producto de dos polinomios. a) 4x2 1 16xy 1 15y2 2 6x 2 9y b) 12x2 1 14xy 2 4y2 1 6x 1 4y c) 24x2 1 66xy 2 15y2 2 24x 2 6y d) 25x2 1 40xy 2 15y2 e) 96x2 1 60xy 1 9y2 2 40x 2 15y

b) Cuatro

c) Dos

d) Cuatro

e) Dos

49. Factoriza polinomios por agrupación de términos. b) (a 1 2b)(12 2 5z) a) (x 1 t)(1 1 x2 1 2t2) c) (3p 1 2i)(2x 1 3z 2 y) d) (2p 1 3)(3x 1 2t 2 6z) e) (2p 1 3m)(19 2 7t) 50. Factoriza la diferencia de cuadrados perfectos. 5 2 1 1 5 2 xy 1 t2 b) 1 11x2t3 a) xy 2 t2 2 11x2t3 9 2 2 9 1 1 1 1 c) 4x 1 4t 2 p 2 i 4x 1 4t 1 p 1 i 4 4 4 4 1 xn 1 xn 1 1 d) 15x2y 2 t 15x2y 1 t e) 1 6y m 2 6y m 2 2 8 8 51. Reconoce polinomios factorizables. a) No factorizable b) Factorizable c) No factorizable d) Factorizable e) Factorizable

( ( (

)(

) )(

)(

(

)(

)

)

)

(

)(

)

48 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento variacional

Estándares • Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

Colegio: Estudiante:

Indicador de logro

Valoración S

A

Ba

B

Observaciones

28. Establece razones equivalentes a una dada. 29. Aplica la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución de problemas. 30. Calcula el tanto por ciento de una cantidad dada. 31. Utiliza la regla de tres simple para resolver problemas de aplicación. 32. Reconoce magnitudes inversamente proporcionales. 33. Aplica la regla de tres compuesta para resolver problemas. 34. Identifica las características de una expresión algebraica. 35. Halla el valor numérico de una expresión algebraica. 36. Usa lenguaje algebraico. 37. Identifica y reduce términos semejantes en un polinomio. 38. Encuentra el producto de dos polinomios. 39. Halla la diferencia entre dos polinomios. 40. Calcula productos notables sin aplicar el algoritmo de la multiplicación. 41. Reconoce productos notables.

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

42. Encuentra el cociente entre dos polinomios. 43. Encuentra el cociente entre un polinomio y un monomio. 44. Emplea la división sintética para agilizar el cálculo de ciertos cocientes entre polinomios. 45. Emplea el teorema del residuo para calcular residuos en la división de polinomios. 46. Reconoce las raíces de un polinomio. 47. Emplea reglas de cocientes notables para agilizar cálculos de cocientes. 48. Comprende y aplica el teorema fundamental del álgebra. 49. Factoriza polinomios por agrupación de términos. 50. Factoriza la diferencia de cuadrados perfectos.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

51. Reconoce polinomios factorizables.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

49 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta. 63. Reconoce expresiones radicales.

52. Factoriza la suma o la diferencia de cubos perfectos.

a) 5x 4 y 2 2y b) 6x2 3y



a) (6x 2 y)(36x2 1 6xy 1 y2)



b) (2x 2 3z)(4x 1 6xz 1 9z ) 2

2

c) 2xy 2 2x 4xy 2 2x d)

c) (4z 2 y2)(16z2 1 4y2z 1 y4)

d) (xz 2 2y2)(x2z2 1 2xy2z 1 4y4)



e) (y2 2 2x)(y4 1 2xy2 1 4x2)

4 2 e) 6xy 2 2x 1 5x y 2y 1 6x 3y

64. Halla el cociente entre dos fracciones algebraicas.

53. Reconoce trinomios cuadrados perfectos. a) No

b) Sí

c) Sí

d) No

54. Factoriza trinomios cuadrados perfectos. 1 2 x 1 5y2 2 a) (9x 2 3t)2 b) 3 2 1 3 2 2 x y1 1 2 d) x 2 6y2 e) 2 5 2

(

)

( (

)

e) No

c) (2xy 1 9)2

3

b) (x4 1 3)(x4 1 6) 4

a) (5x2 1 3)(x2 2 8)

b) (7x 1 2)(x 1 5)

d) (2x 1 3)(x 2 7)

e) (3x 2 5)(x 2 2)

2

c) (x3 2 6)(x3 2 5)

3

c) (3x 2 8)(x 2 6)

3

d) x(x 1 1)(x 2 1)2 e) 2x(3x 1 2)(x2 2 y2)

60

60 12

6 x , x6 , 1024x10 d)

a) 4

64x

6

x

,

x ,

20

60

18

18

18

4x2

20 6

16x 4

66. Realiza operaciones con expresiones radicales. 3 1 2 b)  x  y  3x  3x 4  2

1 3  12 20 17 13 e) x  2x2 y  3x 3x d) c) x x y  2 

68. Resuelve problemas que involucran ecuaciones lineales.

b) No existe valor numérico

c) 2,62 d) 2 e) 3,028 59. Identifica los valores que hacen indeterminado el valor numérico de una fracción algebraica. a) Indeterminado

b) Determinado

d) Indeterminado

e) Determinado

c) Determinado

60. Halla fracciones algebraicas equivalentes a una fracción algebraica dada. c) 1

d) 2

e) 5

61. Halla la diferencia entre dos fracciones algebraicas. 3x  2 −2x2  2x  11 a) 3 b) 2 x 7 2x  7x  3



a) Tractor: $ 32 000 000; motobomba: $ 4 800 000.



b) Guadañadora: $ 350 000; agavilladora: $ 265 000.



c) Arador: $ 3 450 000; picadora: $ 2 300 000.



d) Sistema de riego: $ 6 800 000; arador: $ 1 275 000.



e) Trilladora: $ 120 000 000; desgranadora: $ 60 000 000 empacadora: $ 30 000 000.

69. Plantea y resuelve ecuaciones lineales con coeficientes enteros.

a) Vaca: $ 1 600 000

b) Toro: $ 1 800 000; caballo $ 3 600 000



c) Ternero: $ 615 000

d) Cerdo: $ 497 000; ternero $ 525 000



e) Ternero:$ 523 000; cerdo: $ 493 000

70. Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios. 1 1 1 1 1 a) x 5 b) x 5 c) x 5 d) x 5 e) x5 6 7 8 5 4 71. Reconoce las soluciones de ecuaciones de segundo grado.

−7x  6x  6 −x 3  3x2  3x 11 d) 3 c) 2 2 x 1 x  4x  5x  2

a) x2 2 3x 1 2

b) x2 2 5x 1 6

d) x 2 4x 1 3

e) x 2 7x 1 12

x2  6x 5 e) 2x  4

72. Resuelve ecuaciones de segundo grado.

2

2

a) 2 km, 3,5 km

62. Halla el producto de dos fracciones algebraicas. x 1 x2  1 3x2  5x 2 a) 3 b) 2 c) 2 3x  4 x  5x  9x  45 6x  4x 2

12

67. Reconoce ecuaciones equivalentes a una ecuación dada. a) No b) Sí c) No d) Sí e) No

58. Halla el valor numérico de una fracción algebraica.

b) 4

12

12 8 x3 , x , 3 125x25 b)

1024x 30 ,

a) (2x2y 1 3xy 1 2x ) xy

57. Aplica diferentes casos de factorización.

a) 3

60

60 30 15 c) x y , 20 10 , e) x

a) x3 2 4x b) x2(2x 1 3y)2 c) y(x 1 1)3



2x2  7x  6 12x  2 d) 2 e) 2 3x  2x x  7x  18

4

56. Factoriza trinomios de la forma ax2n 1 bxn 1 c. 2

2x  5x

x 6 x2  4x  5 b) 2 c) x  x 2 2x2  x  6

2

n

d) (x 1 5y)(x 2 3y) e) (x 1 32)(x 2 5) 3

3

60 48 a) x ,

55. Factoriza trinomios de la forma x 1 bx 1 c. a) (x3 2 6)(x3 1 15)

6x2  15x  6

65. Reduce expresiones radicales al índice común.

)

2n

a)

2

x  8x  15 x  9x  14 e) d) 3 2 x  9x  14 4x  2x2  8x  4

3 km, 5 km d) 2 3

c) x2 2 6x 1 8

2

2 1 8 km, 2 km km, km c) 5 5 3 e) 3 km, 5 km 2

b)

73. Resuelve ecuaciones con fracciones algebraicas. a) Seis meses d) Cinco meses

b) Tres meses e) Diez meses

c) Doce meses

50

proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento variacional

Estándares

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

52. Factoriza la suma o la diferencia de cubos perfectos.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

53. Reconoce trinomios cuadrados perfectos.

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

A

Ba

B

Observaciones

54. Factoriza trinomios cuadrados perfectos. 55. Factoriza trinomios de la forma x2n 1 bxn 1 c. 56. Factoriza trinomios de la forma ax2n 1 bxn 1 c. 57. Aplica diferentes casos de factorización. 58. Halla el valor numérico de una fracción algebraica. 59. Identifica los valores que hacen indeterminado el valor numérico de una fracción algebraica. 60. Halla fracciones algebraicas equivalentes a una fracción algebraica dada. 61. Halla la diferencia entre dos fracciones algebraicas. 62. Halla el producto de dos fracciones algebraicas. 63. Reconoce expresiones radicales. 64. Halla el cociente entre dos fracciones algebráicas.

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

65. Reduce expresiones radicales al índice común. 66. Realiza operaciones con expresiones radicales. 67. Reconoce ecuaciones equivalen-tes a una ecuación dada. 68. Resuelve problemas que involucran ecuaciones lineales. 69. Pantea y resuelve ecuaciones lineales con coeficientes enteros. 70. Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios. 71. Reconoce las soluciones de ecuaciones de segundo grado. 72. Resuelve ecuaciones de segundo grado. 73. Resuelve ecuaciones con fracciones algebraicas.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

51 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

74. Resuelve problemas con sistemas de ecuaciones.

84. Halla la expresión factorizada de una expresión algebraica dada.



a) Caballo: $ 3 000 000; vaca: $ 1 300 000

a) (2a 1 3b)(6x 2 5)



b) Caballo: $ 2 800 000; vaca: $ 1 200 000

b) (x 2 3)(3x 1 5)



c) Caballo: $ 1 700 000; vaca: $ 1 500 000

c) (8x 2 3y2)(64x2 1 24xy2 1 9y4)



d) Caballo: $ 2 350 000; vaca: $ 1 200 000

d) (x2 2 16)2



e) Caballo: $ 2 140 000; vaca: $ 1 350 000

 3 2 5 2  3 2 5 2 e)  8 x  3 y   8 x  3 y 

75. Resuelve problemas con desigualdades lineales. a) x  7,6 g

b) x  57 g

d) x . 30 g

e) x  72 g

c) x , 131 g

85. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica. a) 107,7 b) 105,5 c) 103,4 d) 90,7 e) 88,3

76. Halla elementos del conjunto de salida y de llegada de una función.

Costo de fabricación ($) 30 000 35 000 50 000 18 000 25 000

 2(8x 3  x 2  57x  54)  a)   x 6  

Precio ($) 107 000 122 000 167 000 71 000 92 000



87. Halla la suma de fracciones algebraicas.

Decrece: [10, 20] U [40, 70]



Máximos relativos: (10, 2), (40, 3), (100, 5)  Mínimo absoluto: (20, 21)



Mínimos relativos: (20, 21), (70, 0)

 2x 2  12x 2 y  2y 2  a)   m x2  y 2    2x 2  15x  4  b)  20y  10  m    2b  c) m  x(b  x)   3x 2  10x  10  d)   m x 2  25    3x 3  4x 2  11x  6  e)   m x 3  x 2  6x  

Máximo absoluto: (100, 5)

79. Representa gráficamente funciones afines.

0 1 2 3

Zapatos contramarcados por minuto 2 5 8 11

80. Reconoce funciones afines. a) Afín b) No afín c) No afín

d) (36w2 1 87w 1 30)

 2r 3  2r 2  114r  30  e)   3r  3  

78. Determina puntos máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica.

Máquinas encendidas

b) (2y3 2 54y2 2 54y 2 108)

c) (2z3 2 4z2 2 6z 1 12)

77. Determina el crecimiento o decrecimiento de una función a partir de su gráfica.  Crece: [0, 10] U [20, 40] U [70, 10]

86. Halla el producto entre dos expresiones algebraicas.

88. Realiza operaciones entre expresiones radicales. x 3 xy 2 b) x 4 x2 y a) d) Afín

e) Afín

81. Halla la tasa de crecimiento de una función. a) 25 b) 26 c) 0 d) 4

d) 6

e) 8

c) (x2y 1 3xy 2 2xy2) 3 xy

1 6 18y 2 e) y

89. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita.

82. Reconoce variables dependientes y variables independientes.

a) D: cantidad de medicamento; I: peso del paciente





b) D: precio del recibo; I: cantidad de minutos gastados

90. Resuelve ecuaciones con la incógnita en más de un término.

c) D: cantidad de litros de agua contaminados; I: cantidad de litros de gasolina



83. Representa gráficamente funciones cuadráticas.

5 2,5 O 5

2,5

5 5 2,5 O 5

5

O

O 2,5

5 5 2,5 5

d) 14,8 s

b) J1:6; J2:8; J3:3

e) 16,2 s

c) J1:3,5; J2:4,5; J3:9

e) J1:10; J2:5; J3:8

a) 32 m

b) 35 m

c) 60 m

d) 43,75 m e) 48 m

92. Identifica máximos y mínimos en una función.

5 2,5

d) J1:7; J2:7,5; J3:3,5

c) 15 s

91. Resuelve ecuaciones de segundo grado.

e) D: ingresos de la empresa; I: cantidad invertida en mercadeo

5

b) 18,3 s

a) J1:8; J2:4; J3:10



d) D: cantidad de calorías quemadas; I: Tiempo que dure haciendo deporte

5

a) 14,5 s

2,5

5 5 2,5 5

5



a) Máx. rel.: (20,45); (50,35); (75,40); (95,25)

b) Máx. abs.: (20,45)



c) Mín. rel.: (40,30); (60,30); (90,20)

d) Mín. abs.: (90,20)

e) Crecimiento: [0,20]U[40,50]U[60,75]U[90,95]; decrecimiento: [20,40]U[50,60]U[75,90]U[90,110] 93. Representa máximos y mínimos de funciones continuas.

Respuesta abierta

52 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento variacional

Estándares

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

74. Resuelve problemas con sistemas de ecuaciones.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

75. Resuelve problemas con desigualdades lineales.

A

Ba

B

Observaciones

76. Halla elementos del conjunto de salida y de llegada de una función. 77. Determina el crecimiento o decrecimiento de una función a partir de su gráfica. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

78. Determina puntos máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica. 79. Representa gráficamente funciones afines. 80. Reconoce funciones afines. 81. Halla la tasa de crecimiento de una función.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

82. Reconoce variables dependientes y variables independientes. 83. Representa gráficamente funciones cuadráticas. 84. Halla la expresión factorizada de una expresión algebraica dada. 85. Halla el valor numérico de una expresión algebraica.

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

86. Halla el producto entre dos expresiones algebraicas. 87. Halla la suma de fracciones algebraicas. 88. Realiza operaciones entre expresiones radicales. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. • Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

89. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita. 90. Resuelve ecuaciones con la incógnita en más de un término. 91. Resuelve ecuaciones de segundo grado. 92. Identifica máximos y mínimos en una función. 93. Representa máximos y mínimos de funciones continuas.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

53 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento espacial 94. Reconoce características de los ángulos determinados entre rectas paralelas y una secante a ellas.

a) V



b) F d) V



e) V

a) Semejantes

b) No semejantes



c) No semejantes

d) Semejantes

c) V

101. Aplica criterios para determinar la semejanza entre triángulos.

e) Semejantes 102. Reconoce triángulos congruentes.

95. Establece la medida de los ángulos determinados por rectas paralelas intersecadas por una secante.

a) V

b) F

c) F

d) V

103. Aplica las propiedades de los triángulos.



a) 1258



b) 708

a) 608

c) 558

b) 458



c) 508

d) 558

96. Reconoce rectas paralelas según la relación que se establece entre los ángulos que se determinan.

d) 1178



f) 288

b) Sí, porque 1 y 2 son congruentes y correspondientes entre BC y DE.

97. Reconoce características de ángulos determinados entre paralelas cortadas por una secante.

a) Correspondientes



b) Opuestos por el vértice



c) Adyacentes suplementarios



d) Alternos internos

a) 898



b) 468 d) 43,68



e) 1408

a) 898



b) 468 d) 43,68



e) 1408

a) IJK  GHF 106. Aplica los criterios de congruencia e identifica triángulos congruentes. a) LLL

b) LAL

c) ALA

d) LLL

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 5 108. Reconoce cuadriláteros. Respuesta abierta 109. Identifica propiedades de un paralelogramo. Respuesta abierta.

100. Identifica en las figuras pares de ángulos correspondientes y traza una F diferente en cada caso. a)

a) PMN  QRT  ABC

107. Identifica y clasifica cuadriláteros.

c) 408

a) 14,14 cm

a) UTS  VXW

99. Reconoce la relación que se establece la medida entre ángulos determinados por paralelas y secantes a ellas.



105. Identifica triángulos congruentes.

c) 408

104. Utiliza las propiedades de los triángulos para determinar valores desconocidos en él. b) 348

98. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas cortadas por una secante.

e) 388

110. Realiza movimientos de figuras en el plano. Y

b)

7 6 5 4 3

d)

d)

C

2

e)

1

7 6 5 4 3 2

c)

a) D

O 1 2

B

A 1

2

3

b) 4

5

6

c)

7

X

3 4 5 6 7

54 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento espacial

Estándares

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

A

Ba

B

Observaciones

94. Reconoce características de ángulos determinados entre paralelas intersecadas por una secante.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

95. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas intersecadas por una secante. 96. Reconoce rectas paralelas según la relación que se establece entre los ángulos que se determinan. 97. Reconoce ángulos determinados por rectas paralelas y una secante a ellas.

• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

• Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

98. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas intersecadas por una secante. 99. Reconoce la relación que se establece entre ángulos determinados por rectas paralelas y secantes a ellas. 100. Identifica ángulos correspondientes por rectas paralelas intersecadas por una secante. 101. Aplica criterios para determinar la semejanza entre triángulos. 102. Reconoce triángulos congruentes. 103. Aplica las propiedades de los triángulos.

• Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

104. Utiliza las propiedades de los triángulos para determinar valores desconocidos en él. 105. Identifica triángulos congruentes. 106. Aplica los criterios de congruencia e identifica triángulos congruentes. 107. Identifica y clasifica cuadriláteros. 108. Reconoce cuadriláteros.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

109. Identifica propiedades de un paralelogramo. 110. Realiza movimientos de figuras en el plano.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

55 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

Pensamiento métrico 111. C  omprende la equivalencia entre unidades de longitud y hace conversiones. a) 5 020 b) 50 200 c) 502 d) 50,2 e) 5,02 112. Comprende y aplica el teorema de Pitágoras. a) 1 753,65 m b) 879,83 m c) 1 802,8 m d) 778,85 m e) 774,66 m 113. C  omprende la equivalencia entre unidades de superficie y hace conversiones. a) 1 062 500 b) 106 250 000 c) 106 250 000 d) 106,25 e) 1,0625 114. Comprende la equivalencia entre unidades de volumen y realiza conversiones. a) 360 b) 360 000 c) 0,36 d) 0,00036 e) 360 000 000 115. Comprende las equivalencias entre unidades de medida del tiempo y realiza conversiones. a) 10 b) 240 c) 0,33 d) 14 400 e) 1,4286

116. Identifica las propiedades de los triángulos. a) 60º b) 45º c) 44º d) 117º e) 142º 117. Halla el área de triángulos. a) $ 114 750 000 b) $ 73 500 000 c) $ 162 000 000 d) $ 5 625 000 e) $ 103 500 000 118. Halla el área de cuadriláteros. a) 36 m2 b) 10 m2 c) 3 m2 d) 36 m2 e) 27 m2 119. Halla el área de regiones sombreadas. a) 1 350,97 cm2 b) 37,78 cm2 c) 91,13 cm2 d) 267,25 cm2 e) 460,0825 cm2

120. Calcula el área de un prisma. a) 1 510 cm2 b) 511,6 cm2 c) 388 cm2 d) 214,2 cm2 e) 1 828,2 cm2 121. Calcula el área de cilindros y conos.

a) 2 009,6 cm3



b) 1 695,6 cm3



c) 2 260,8 cm3



d) 314 cm3



e) 1 230,88 cm3

122. Calcula el volumen de esferas. a) 7,23 cm3  b) 4,186 cm3 c) 24,42 cm3  d) 0,523 cm3 e) 38,8 cm3 123. Halla el volumen de cuerpos compuestos.

a) V 5 18,96 cm3, AT 5 41,6204 cm2



b) V 5 2,75 cm3, AT 5 15,8 cm2



c) V 5 20,8 cm3

124. Calcula la longitud de una circunferencia.



a) 251,2 cm



b) 254,34 cm



c) 257,48 cm



d) 268,47 cm



e) 282,6 cm

125. Calcula el volumen de prismas. a) (32x3 2 32x2 2 102x 2 45) m3 75 b) x3 1 25x2 2 64x 2 48 m3 2



5 c) ( x3 1 23 x2 1 3x) m3 2 4

 15x 3  117x 2  288x  228  3 d)  m 8  

e) (8x3 1 58x2 1 100x 2 50) m3

126. Calcula el volumen y el área de esferas. a) V 5 1 149,8 cm3



b) A 5 530,66 cm2



c) V 5 696,6 cm3



d) A 5 379,94 cm2



e) V 5 448,7 cm3

127. Calcula el volumen y el área de cilindros. a) V 5 464,72 cm3



b) A 5 4 410,13 cm2



c) V 5 376,8 cm3



d) A 5 3 322,12 cm2



e) V 5 276,32 cm3

56 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento métrico

Estándares

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

• Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias.

111. Comprende la equivalencia entre unidades de longitud y hace conversiones.

• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos.

112. Comprende y aplica el teorema de Pitágoras.

A

Ba

B

Observaciones

113. Comprende la equivalencia entre unidades de superficie y realiza conversiones.

• Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias.

114. Comprende la equivalencia entre unidades de volumen y realiza conversiones. 115. Comprende las equivalencias entre unidades de medida del tiempo y realiza conversiones. 116. Identifica las propiedades de los triángulos. 117. Halla el área de triángulos. 118. Halla el área de cuadriláteros.

• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos.

119. Halla el área de regiones sombreadas. 120. Calcula el área de un prisma. 121. Calcula el área de cilindros y conos.

• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados. • Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias.

122. Calcula el volumen de esferas. 123. Halla el volumen de cuerpos compuestos. 124. Calcula la longitud de una circunferencia. 125. Calcula el volumen de prismas.

• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

126. Calcula el volumen y el área de esferas. 127. Calcula el volumen y el área de cilindros.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

57 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta. 135. Calcula la moda en un conjunto de datos.

Pensamiento aleatorio 128. Reconoce e interpreta gráficas estadísticas.

a) 1,755 m



a) La barra que representa las cantidades de stands de animales curiosos está mal.



b) Las barras de los stands de juegos y la de magia están mal.



c) La barra que representa los stands variados está mal.



d) Las barras de stands de comidas y juegos están intercambiadas.



e) La barra de los stands de juegos está mal.



b) 1,825 m



c) 1,825 m



d) 1,825 m



e) 1,895 m

136. Calcula la media en un conjunto de datos. a) 1,756 m

129. Halla la moda de un conjunto de datos. a) 12



b) 1,79 m

b) 12



c) 1,82 m

c) 13



d) 1,79 m

d) 12



e) 1,82 m

e) 12

137. Encuentra el intervalo mediana en un conjunto de datos.

130. Halla la media de un conjunto de datos.

a) [1,72; 1,79)



a) 12,36



b) [1,79; 1,86)



b) 11,76



c) 13,1



c) [1,79; 1,86)



d) 12



d) [1,79; 1,86)



e) 11,5



e) [1,79; 1,86)

138. Reconoce medidas de posición en un conjunto de datos.

131. Reconoce y aplica el concepto de probabilidad.

a) 21,25

a) Quince



b) Doce 3 c) 20 d) 1

e) Cero



f) 54 450 000

a) 3



b) 4



c) 2



d) 1



e) 5

b) 23



c) 24,75



d) 14



e) Ambos ocupan la posición central en el conjunto ordenado de datos.

139. Diferencia un experimento aleatorio de uno determinístico.

132. Reconoce los elementos principales en un estudio estadístico.



133. Calcula la frecuencia relativa de un conjunto de datos. a) 0,24889



a) Aleatorio



b) Aleatorio



c) Aleatorio



d) Determinístico



e) Determinístico

140. Conoce el espacio muestral de un experimento aleatorio.

a) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 66, A 5 53, 66 b) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 86, A 5 57, 86



b) 0,11111…





c) 0,20444



c) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96, A 5 52, 4, 6, 86



d) 0,22222…



e) 0,09333…



d) E 5 51, 2, 3, 46, A 5 516



e) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96, A 5 52, 3, 5, 76

134. Construye intervalos de clase.

Límite inferior

Límite superior

Intervalo de calificación

Frecuencia absoluta

2,5

2,84

[2,5; 2,84)

2

2,84

3,18

[2,84; 3,18)

3,18

3,52

3,52 3,86

141. Usa técnicas de conteo para analizar la cantidad de posibles resultados de un experimento aleatorio.

a) 20



b) 30

5



c) 63

[3,18; 3,52)

7



d) 42

3,86

[3,52; 3,86)

4



e) 64

4,2

[3,86; 4,2)

3

58 proyecto aprender juntos

© ediciones sm

Planilla de seguimiento Pensamiento aleatorio

Estándares • Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones. • Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

Ba

B

Observaciones

128. Reconoce e interpreta gráficas estadísticas. 129. Halla la moda de un conjunto de datos. 130. Halla la media de un conjunto de datos.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

131. Reconoce y aplica el concepto de probabilidad.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas.

132. Reconoce los elementos principales en un estudio estadístico.

• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

A

133. Calcula la frecuencia relativa de un conjunto de datos.

134. Construye intervalos de clase. 135. Calcula la moda en un conjunto de datos.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

136. Calcula la media en un conjunto de datos. 137. Encuentra el intervalo mediana en un conjunto de datos. 138. Reconoce medidas de posición en un conjunto de datos.

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

139. Diferencia un experimento aleatorio de uno determinístico. 140. Conoce el espacio muestral de un experimento aleatorio. 141. Usa técnicas de conteo para analizar la cantidad de posibles resultados de un experimento aleatorio.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

59 proyecto aprender juntos

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ciones

Hoja de solu

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.

142. Calcula la probabilidad de un evento simple usando la regla de Laplace. 1 a) 10 1 b) 2 1 c) 2 2 d) 5 3 e) 10

148. Representa datos agrupados. Masa (kg)

[60 2 61,5) [61,5 2 63) [63 2 64,5) [64,5 2 66) [66 2 66,7)

Número de deportistas





b) 63,5 kg

5 a) 16



c) 65,5 kg



d) 7,5 kg

b) 0 25 c) 64



e) 63,6724 kg



d) 0,1

a) 0,048



e) 0

e) 0,2 145. Halla la probabilidad de la unión de eventos independientes.

152. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes.

a) 0,0138



b) 0,007



c) 0,003 d) 0 e) 0,003



a) 0,25





b) 0,37





c) 0,32



d) 0,35



e) 0,3

146. Halla la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos. 1 a) 8 1 b) 8 1 c) 8 d) 0 3 e) 8 147. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes.  a) 0,08  b) 0,02  c) 0,04  d) 0,0 1  e) 0,13

7

151. Calcula la probabilidad de eventos simples.  a) 0,06  b) 0,06  c) 0,013

144. Halla la probabilidad de la intersección de sucesos.

d) 0,134

6

150. Reconoce conceptos de estadística descriptiva.

143. Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad.

c) 0,065

8

Respuesta abierta

a) 62,3 kg

b) 0,175

4

149. Representa gráficamente datos agrupados.



d) 11 16 e) 63 64

5

153. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos.  0,191 a)

b) 0,13



c) 0,13



d) 0,098  e) 0,065 154. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos.

a) 0,05



b) 0,1



c) 0,05



d) 0,05



e) 0

60 proyecto aprender juntos

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Planilla de seguimiento Pensamiento variacional

Estándares

Colegio: Estudiante: Valoración

Indicador de logro

S

A

Ba

B

Observaciones

142. Calcula la probabilidad de un evento simple usando la regla de Laplace. 143. Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

144. Halla la probabilidad de la intersección de sucesos.

145. Halla la probabilidad de la unión de eventos independientes.

146. Halla la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos. 147. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes. 148. Reconoce conceptos de estadística descriptiva. • Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

149. Representa datos agrupados.

150. Representa gráficamente datos agrupados. • Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

151. Calcula la probabilidad de eventos simples. 152. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

153. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos.

154. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos.

S = Superior (5 puntos) Nivel básico E l estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

A = Alto (4 puntos)

Ba = Básico (3 puntos)

Nivel intermedio E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

B = Bajo (2 puntos) Nivel avanzado

E l estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

61 proyecto aprender juntos

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Tabla

de estándares para los grados

Pensamiento numérico y sistemas numéricos • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

8

y

9

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

• Conjeturo y verifico propiedades de con- • Generalizo procedimientos de cálculo gruencia y semejanza entre figuras biválidos para encontrar dimensionales y entre objetos tridimenel área de regiones planas sionales en la solución de problemas. y volumen de sólidos.

• Resuelvo problemas y simplifico cálcu- • Reconozco y contrasto propiedades y los usando propiedades y relaciones de relaciones geométricas utilizadas en los números reales y de las relaciones demostración de teoremas básicos y operaciones entre ellos. (Pitágoras y Tales).

• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

• Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

• Aplico y justifico criterios de congruen- • Justifico la pertinencia de utilizar unicias y semejanza entre triángulos en la dades de medida estandarizadas en resolución y formulación de problemas. situaciones tomadas de distintas ciencias.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

62 proyecto aprender juntos

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Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

• Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la que se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico.

• Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

• Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos • Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo). la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que la representan.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

• Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

63 proyecto aprender juntos

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dirección editorial

César Camilo Ramírez S.

edición ejecutiva

Luz Stella Alfonso Orozco

matemáticas

8 Esta obra forma parte de un Proyecto global concebido por el equipo editorial de Ediciones SM. El Proyecto editorial comprende la creación, diseño y desarrollo, por iniciativa y bajo la coordinación de Ediciones SM, de los libros de texto, materiales didácticos complementarios y otros documentos o contenidos que sirvan de ayuda didáctica, editados para la aplicación de los currículos conforme a los sistemas educativos oficiales de enseñanza básica. Para la elaboración de la presente obra Ediciones SM ha procurado ser especialmente respetuoso con los derechos morales y patrimoniales de terceros, quedando salvaguardados los derechos de autor reconocidos a sus titulares por cualquier legislación, acuerdo o convenio internacional de aplicación. No obstante, para cualquier consulta, aclaración o reclamación por la explotación o actividad que pudieran contravenir los derechos de terceros, podrá ponerse en contacto con Ediciones SM en la siguiente dirección: [email protected]

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corrección de estilo

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retoque digital

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Sandra Inés Dueñas S. Archivo SM Ángel Camacho L.

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