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• Mauricio Paez Pizarro

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INACAP AREA : ADMINISTRACION Y NEGOCIOS

MATEMATICAS I LENGUAJE MATEMATICO PROPOSICIONES LOGICAS

GUIA DE APOYO 1

PROYECTO HOMOGENEIZACION CIENCIAS BASICAS AREA DE MATEMATICAS 2001

LOGICA PROPOSICIONAL La Lógica Moderna atiende solamente las proposiciones y estudia las relaciones que existen entre ellas. También es llamada Lógica Proposicional. Su estudio permitirá consolidar recursos lógicos, simbólicos y estructurales del lenguaje matemático. ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Se orienta hacia los siguientes objetivos a lograr; Operar secuencialmente un planteamiento en el lenguaje natural. Verificar el valor de verdad en proposiciones lógicas. Analizar expresiones cuantificadas lógicamente. Aplicar la valoración lógica en secuencias algorítmicas. Verificar el valor de verdad de una proposición lógica en calculadora gráfica.

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Los temas a tratar son; Argumentos lógicos y variables Conectivos lógicos y sus propiedades Tablas de verdad Cuantificadores Valoración lógica y secuencias algorítmicas BIBLIOGRAFÍA

• • •

Razonamiento Matemático Matemáticas Básicas Teoría de Conjuntos y temas afines

Rodríguez Ahumada Thomson Editores John C. Peterson Cecsa Seymur Lipchutz Mc-Graw Hill

2ª. Edición 1ª Edición 10ª Edición

LOGICA PROPOSICIONAL SINTESIS TEORICA Proposición:

Es un concepto primitivo, que no se define. Es el nombre que se le da a todo enunciado que tenga un sentido lógico, este puede ser verdadero o falso. Para denotarlas se utilizan las letras minúsculas p, q, r, s, etc.

Ejemplos: 1) “Santiago es la capital de Chile”Proposición Verdadera. 2) “Cinco es mayor que diez” Proposición Falsa. 3) “¿Qué hora es?” No es proposición ya que no es ni verdadero ni falso. Proposición Simple: es aquella que no esta vinculada a ninguna otra. 1er Principio: El valor de verdad de una proposición: Una Proposición puede ser verdadera o falsa. 2do Principio: Negación. La negación es cambiar el sentido de verdad de la proposición. Se denota por: ∼p ≡ ¬ p ≡ p ≡ p’ Tabla de verdad

Para n proposiciones simples, las entradas a la tabla son 2n. (La mitad verdadera y la otra mitad falsas).

p V F

∼p F V

Dos entradas a la tabla. n = 1, 2n = 21 = 2

Proposición Compuesta: esta formada por proposiciones simples que están vinculadas por conectivos lógicos.

∧ ∨ Conectivos Lógicos → ↔

p

q

V V F F

V F V F

Conjunción “y” Disyunción “o” Condicional “implica, entonces” Bicondicional “sí y solo si”

Conjunción

Disyunción

Condicional

Bicondicional

p∧q

p∨ q

p→q

p↔q

V F F F

V V V F

V F V V

V F F V

Clasificación de una Proposición Compuesta: 1)

Tautología: Una proposición es una tautología o teorema lógico si su tabla de verdad es verdadera en todas sus combinaciones.

2)

Contradicción: Una proposición es una contradicción si su tabla de verdad es falsa en todas sus combinaciones.

3)

Contingencia: Una proposición es una contingencia si la tabla de verdad tiene resultados lógicos verdaderos y falsos, o sea no es tautología ni contradicción.

Ejemplo: Construir la tabla de verdad asociada a las siguientes proposiciones:

p → (p ∨ q)

1) p

q

V V F F

V F V F

p∨q V V V F

p → (p ∨ q)

p

V V V V

Paso

V V F F 2

Método 1

p ∼p V F F V

p V V F F

(p

∨

V V V V V V F V V F F V 1 2 3 Método 2

q) V F V F 1

TAUTOLOGIA

p ∧ ∼p

2)

3)

→

p ∧ ∼p F F

p ∧ V F F F Paso 1 2

∼p F V 1

CONTRADICCION

(p ∨ q) → (p ∧ q) q p ∨ q p ∧ q (p ∨ q) → (p ∧ q) V V V V F V F F V V F F F F F V Paso

(p V V F F 1

∨ V V V F 2

q) V F V F 1

→ V F F V 3

(p V V F F 1

∧ V F F F 2

q) V F V F 1

CONTINGENCIA

ALGEBRA DE PROPOSICIONES Equivalencia lógica: Dos proposiciones se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son iguales y se denota por ≡.

Por Ej.:

1) 2)

p → q ≡ ∼p ∨ q p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES 1) Leyes de Idempotencia:

a) p ∨ p ≡ p b) p ∧ p ≡ p 2) Leyes Asociativas

a) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) b) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

3) Leyes Conmutativas

a) p ∨ q ≡ q ∨ p b) p ∧ q ≡ q ∧ p 4) Leyes Distributivas

a) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) b) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

5) Leyes de Identidad

a) p ∨ F ≡ p b) p ∧ V ≡ p

c) p ∨ V ≡ V d) p ∧ F ≡ F

6) Leyes de Complemento

a) p ∨ ∼p ≡ V b) ∼V ≡ F

c) p ∧ ∼p ≡ F d) ∼F ≡ V

7) Ley de Involución

a) ∼∼p ≡ p 8) Leyes de DeMorgan

a) ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q b) ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q

Las equivalencias se pueden construyendo la tabla de verdad.

demostrar

Definición condicional Definición Bicondicional

EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGICA PROPOSICIONAL 1)

Identificar las proposiciones simples, los conectivos y escribir en forma simbólica. “Las rosas son rojas y las violetas azules”

Solución:

2)

p: Las rosas son rojas q: las violetas son azules Conector “y” Forma simbólica: p∧q

Construya la tabla de verdad asociada a la siguiente proposición compuesta.

(p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q)

Solución: p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

p∨q V V V F

~(p ∨ q) F F F V

(p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q) F F F F Paso

(p V V F F 1

∧ V F F F 3

Método 1

3)

Demostrar la siguiente equivalencia: p ∧ (~p ∨ q) ≡ p ∧ q

a) b)

Construyendo la tabla de verdad Por el álgebra de proposiciones

q) ∧ ~ V F F F F F V F F F F V 1 4 3 Método 2

(p V V F F 1

∨ V V V F 2

q) V F V F 1

Solución:

a) P V V F F

∧ V F F F

∨ V F V V

(~p F F V V

q) V F V F

≡

p V V F F

∧ V F F F

q V F V F

Son equivalentes, porque sus tablas de verdad son iguales

b) p ∧ (~p ∨ q) ≡

4)

(p ∧ ~p) ∨ (p ∧ q) F ∨ (p ∧ q) p∧q

Ley distributiva Ley de Complemento Ley de Identidad

Sea p: “Hace frío” y sea q: “Está lloviendo”. Dé una frase verbal sencilla que describa cada uno de los siguientes enunciados:

a)

~p

b)

p∧q

c)

p∨q

d)

q ∨ ~p

e)

~p ∧ ~q

En cada caso, traduzca, y para que se lea “y”, “o” y “Es falso que” o “No”, respectivamente, y luego simplifique la frase. Solución: a) b) c) d) e)

No hace frío. Está haciendo frío y está lloviendo. Está haciendo frío o está lloviendo. Está lloviendo o no está haciendo frío. Ni está haciendo frío ni está lloviendo.

5) Con las leyes del álgebra proposicional simplificar: ( p ∨ q ) ∧ p Solución:

(p ∨ q) ∧ p ≡ p ∧ (p ∨ q) ≡ (p ∧ p) ∨ (p ∨ q) como p ∧ p ≡ F ≡ F ∨ ( p ∧ q) ≡ p∧q

conmutativa distributiva complemento identidad

LOGICA PROPOSICIONAL, EJERCICIOS PROPUESTOS

1)

Sean p: “Cinco es mayor que diez” y q: “Dos más dos son cuatro”. Describir con un enunciado verbal las siguientes proposiciones.

a) b) c) d) e) f) 2)

Sean p: “Pedro habla inglés” y q: “Pedro habla francés”. Dé una frase sencilla que describa lo siguiente:

a) b) c) d) e) f) 3)

p∨q p∧q p ∧ ∼q ∼p ∨ ∼q ∼∼p ∼ (∼p ∨ ∼q)

Construya la tabla de verdad asociada a las siguientes proposiciones:

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 4)

∼p p∧q p∨q q ∨ ∼p p ↔ ∼q p → ∼q

(p ∨ ∼p) ∨ ∼p (∼p ∨ q) ∨ p p → (p ∧ ∼p) (p ∧ q) → (p ∨ q) ∼p ∧ ∼(q ∨ p) (p ∧ q) → r [(p → ∼q) ∧ q] → ∼p (p ∨ ∼r) → (q ∧ ∼s) [(p ∧ q) → r] ∨ (r → s) [(p → q) → r] ∨ ∼q {[(p → q) ∧ (p → ∼r)] ∧ (r → p)} ∧ (∼p → q) {[(p → q) ∧ (∼r → s)] ∧ (r → p)} ∧ (p → q)

Cuales de las siguientes proposiciones son tautología:

a) (p ∧ q) → (p ∨ ∼q) b) p → (p ∧ q) c) (p → q) ↔ (∼q → ∼p)

5)

Identificar las proposiciones simples, los conectivos, escribir en forma simbólica y determinar la verdad de cada uno de los siguientes enunciados: a) b) c) d) e)

6)

Demostrar las siguientes equivalencias: i) Construyendo la tabla de verdad ii) Por el álgebra de proposiciones

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 7)

p ↓ q se lee “Ni p ni q”

p ↓ q ≡ ∼p ∧ ∼q Construir la tabla de verdad p ↓ q a) b) Demostrar las siguientes equivalencias: i)

Construyendo la tabla de verdad

ii)

Por el álgebra de proposiciones

∼p ≡ p ↓ p p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)

Si p es una proposición verdadera, q una proposición falsa, determinar el valor de verdad de:

a) b) c) 9)

p → ∼p ≡ ∼p p → q ≡ ∼q → ∼p p → (p ∨ q) ≡ V p ∨ ( ∼p ∧ q) ≡ p ∨ q p ∧ (p ∨ q) ≡ p (p ∧ q) ↔ p ≡ p→ q (p ∨ q) → (p ∧ q) ≡ p ↔ q (p → r) ∨ (q → r) ≡ (p ∧ ∼r) → ∼q (p ↔ q) → (p → q) ≡ V (p ∨ q) ↔ q ≡ p → q

La conectiva ↓ es la conjunción negativa;

I) II) III) 8)

Si 3 + 2 = 7, entonces 4 + 4 = 8 No es verdad que 2 + 2 = 5, si y sólo si, 4 + 4 = 10 París está en Inglaterra o Londres está en Francia. No es verdad que 1 + 1 = 3 o que 2 + 1 = 3 Es falso que si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia.

(p ∧ q) ∨ q (p ∨ q) ∧ q (p ∧ q) → (p ∨ q)

Demostrar que las siguientes proposiciones son tautología. Simplifique aplicando el álgebra de proposiciones.

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

p ∨ ∼p p→p (p ∧ q) → p p → (p ∨ q) [p ∧ (p → q)] → q (p → q) → [p → (q ∨ r)] (p → q) → [(p ∧ r) → q] [(p ∨ r) → q] → (p → q) [p → (q ∧ r)] → (p → q) (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)]

10) Con las leyes del álgebra de proposiciones simplificar: a) p ∨ ( p ∧ q ) b) ( p ∨ q ) ∨ ( p ∧ q )

11) Indique si es verdadero o falso: a) p ⇒ p ∧ q b) p ⇒ p ∨ q c) q ⇒ p ⇒ q d) ( p ⇔ q ) ⇒ (q ⇒ p ) e) p ⇒ p ⇒ q 12) Si se sabe que

p ∧ q =V

Determinar el valor de verdad de

; r ∧ p= F Determinar el valor de verdad de:

q∧r=F. [(r ∨ q ) ⇒ (r ∧ q )]

13) Sea p ⇒ q = F

14) Si a) b) c)

p⇔r

(p ⇒ q ) es falsa. ¿Cuál es el valor de verdad de: (p ∨ q ) ⇒ q (p ∧ q ) ⇒ p (q ⇒ p ) ⇔ q

15) Si p es V, q es F, r es V, anotar el valor de verdad de: a) ( p ∧ q ) ⇒ r b) ( p ∨ q ) ∨ r

Soluciones: 1) a) b) c) d) e) f) 2)

a) b) c) d) e) f)

Cinco no es mayor que diez. Cinco es mayor que diez y dos más dos son cuatro. Cinco es mayor que diez o dos más dos son cuatro. Dos más dos son cuatro o cinco no es mayor que diez. Cinco es mayor que diez si y sólo si dos más dos no son cuatro. Cinco es mayor que diez, entonces dos más dos no son cuatro. Pedro habla inglés o francés. Pedro habla inglés y francés. Pedro habla inglés pero no francés. Pedro no habla inglés o no habla francés. No es cierto que Pedro no hable inglés. No es cierto que Pedro no hable inglés o no hable francés.

3) a) V b) V c) F d) V e) F f) V g) V h) F i) V j) V k) F l) V V V V V F F V V V F V V V V F V V F V V F V V V V V V V V V F F V F V V F F V F V F V F V F V V F F V F V V F F V V F V V F F V V V V F V V F V V F F V V F V F 4)

a) y c) son tautología.

5) Proposición simple p a) b) c) d) e)

3+2=7 2+2=5 París está Inglaterra 1+1=3 París está Inglaterra

en

Forma simbólica p→q ∼ ( p ↔ q) p ∨ q

Verdadero Falso Falso

en

∼ ( p ∨ q) ∼ (p → q)

Falso Falso

q 4+4=8 4 + 4 = 10 en Londres está Francia 2+1=3 en Londres está Francia

Sentido lógico