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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO IGEO

CCMN

DEPARTAMENTO DE GEOGRAFIA DISCIPLINA DE CARTOGRAFIA NOTAS DE AULA Professor: Paulo Márcio L. de Menezes

1 - INTRODUÇÃO 1.1 DEFINIÇÕES E CONCEITO DE CARTOGRAFIA Etimologicamente Cartografia é uma palavra derivada do grego “graphein”, significando escrita ou descrita e do latim “charta”, com o significado de papel, mostra, portanto uma estreita ligação com a apresentação gráfica da informação, através da sua descrição em papel. Foi criada em 1839 pelo historiador português Visconde de Santarém, em carta escrita em Paris e dirigida ao historiador brasileiro Adolfo Varnhagen. Antes do termo ser divulgado e conseqüentemente consagrado na literatura mundial, usava-se tradicionalmente como referência, o vocábulo Cosmografia, que significa astronomia descritiva (OLIVEIRA, 1980). Uma definição simplista pode ser estabelecida, apresentando-a como a “ciência que trata da concepção, estudo, produção e utilização de mapas” (ONU, 1949). Outras definições, mais complexas e mais atualizadas fornecem uma visão mais profunda dos elementos, funções e processos que a compõem, tais como a estabelecida pela Associação Cartográfica Internacional (ICA), em 1973, que a apresenta como: “A arte, ciência e tecnologia de construção de mapas, juntamente com seus estudos como documentação científica e trabalhos de arte. Neste contexto mapa deve ser considerado como incluindo todos os tipos de mapas, plantas, cartas, seções, modelos tridimensionais e globos, representando a Terra ou qualquer outro corpo celeste”. A mesma ICA em 1991, apresentou uma nova definição, nos termos seguintes: “ciência que trata da organização, apresentação, comunicação e utilização da geoinformação, sob uma forma que pode ser visual, numérica ou tátil, incluindo todos os processos de elaboração, após a preparação dos dados, bem como o estudo e utilização dos mapas ou meios de representação em todas as suas formas”. Esta é uma das definições mais atualizadas, incorporando conceitos que não eram citados anteriormente, mas nos dias atuais praticamente já estão diretamente associados à Cartografia. Ela extrapola o conceito da apresentação cartográfica, devido à evolução dos meios de apresentação, para 1

todos os demais compatíveis com as modernas estruturas de representação da informação. Apresenta o termo geoinformação, caracterizando um aspecto relativamente novo para a Cartografia em concepção, mas não em utilização, pois é uma abordagem diretamente associada à representação e armazenamento de informações. Trata-se, porém, de associar a Cartografia como uma ciência de tratamento da informação, mais especificamente de informações gráficas, que estejam vinculadas à superfície terrestre, sejam elas de natureza física, biológica ou humana. Dessa forma a informação geográfica sempre será a principal informação contida nos documentos cartográficos. Fica também evidenciado, de uma maneira geral, que a Cartografia tem por objetivo o estudo de todas as formas de elaboração, produção e utilização da representação da informação geográfica. Continua a caracterizar a importância do mapa, como uma das principais formas de representação da informação geográfica, incluindo outras formas de representação e aspectos de armazenamento da informação cartográfica, principalmente os definidos por meios computacionais. A utilização de mapas e cartas é um aspecto bastante desconsiderado pelos usuários da Cartografia. Uma grande maioria de usuários utiliza mapas e cartas, sem conhecimentos cartográficos suficientes para obtenção de um rendimento aceitável que o documento poderia oferecer. Geralmente um guia de utilização é desenvolvido, através de manuais distintos ou legendas específicas e detalhadas, destinados a usuários que possuem uma formação cartográfica limitada. Ao usuário, no entanto, cabe uma boa parcela do sucesso de um documento cartográfico, podendo a divulgação e a utilização de um documento cartográfico ser equiparada a um livro. Um documento escrito sem leitores, pode perder inteiramente a finalidade de sua existência e da mesma forma isto pode ser estendido para um mapa, ou seja, um mapa mal lido ou mal interpretado pode induzir a informações erradas sobre os temas apresentados. 1.2. CARTOGRAFIA E GEOGRAFIA: UMA RELAÇÃO IMPORTANTE Face à Geografia, a Cartografia apresenta-se funcionalmente, como uma ferramenta de apoio, permitindo, por seu intermédio, a espacialização de toda e qualquer tipo de informação geográfica. Desta forma, para o geógrafo, é imprescindível o conhecimento dos aspectos básicos da cartografia bem como dos fundamentos de projeto de mapas. O cartógrafo geográfico deve ser distinto de outras áreas de aplicação da Cartografia, pois a sua representação pode ser considerada ao mesmo tempo como ferramenta e, ao mesmo tempo, produto do geógrafo (DENT, 1999). O geógrafo, como cartógrafo, deve perceber a perspectiva espacial do ambiente geobiofísico, tendo a habilidade de abstraí-lo e simbolizá-lo. Deve conhecer projeções e selecioná-las; ter a compreensão das relações de áreas e também conhecimentos da importância da escala na representação final de dados e informações.

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Por outro lado deve ter a capacidade, devido à intimidade com a abstração da realidade e sua representação, de avaliar e revisar o processo, visando facilitar o entendimento por parte do usuário final. É fundamental a sua participação no projeto e produção de mapas temáticos, associando também a representação de outros tipos de informações, tais como sensores remotos. SAUER (1956) sintetiza claramente a importância da Cartografia para o geógrafo, através da seguinte citação: Mostre-me um geógrafo que não necessite deles (mapas) constantemente e os queira ao seu redor e eu terei minhas dúvidas se ele fez a correta escolha em sua vida. O mapa fala através da barreira da linguagem. (SAUER, 1956). 1.3 - COMUNICAÇÃO CARTOGRÁFICA A Cartografia é, em princípio, um meio de comunicação gráfica, exigindo, portanto, como qualquer outro meio de comunicação (escrita ou oral), um mínimo de conhecimentos por parte daqueles que a utilizam. A linguagem cartográfica é praticamente universal: um usuário com uma boa base de conhecimentos será capaz de traduzir satisfatoriamente qualquer documento cartográfico, seja sob qual forma esteja se apresentando. Considerando-se a Cartografia como um sistema de comunicação, pode-se verificar que a fonte de informações é o mundo real, codificado através do simbolismo do mapa, sendo que o vetor entre a fonte e o mapa é caracterizado pelo padrão gráfico bidimensional estabelecido pelos símbolos.

SISTEMA CARTOGRÁFICO

Mundo Real

Concepção Cartográfica

MAPA

USUÁRIO

Fonte

Tratamento

Apresentação

Utilização

Sistema de Comunicação Cartográfica

Figura 1.1 - Sistema de Comunicação Cartográfica Na realidade, de uma forma simplificada, o sistema de informação está restrito ao mundo real, ao cartógrafo e ao usuário, gerando três realidades distintas, como se fossem conjuntos separados. Quanto maior a interseção destas três realidades, mais se aproxima o mapa ideal para a representação de um espaço geográfico em qualquer dos seus aspectos. 3

REALIDADE

Realidade do Cartógrafo

Realidade do Usuário

MUNDO REAL Figura 1.2 - Mapa Ideal O modelo de comunicação cartográfica envolve então, em uma forma simplista, quatro elementos distintos: o cartógrafo ou o elemento de concepção, o mapa juntamente com o tema e o usuário. Uma pergunta pode descrever todo este modelo como um todo: “Como eu posso descrever o que para quem?”. Eu, refere-se ao cartógrafo (elaborador), como ao mapa, o que ao tema e para quem ao usuário. O modelo pode ser apreciado pela figura 3.

COMUNICAÇÃO CARTOGRÁFICA Tema do (O que) MAPA (Como)

Cartógrafo

Usuário (Para que?)

Modelo Simples

Figura 1.3 - Modelo Simples de Comunicação Cartográfica Por outro lado, podem ser descritos, segundo esses conceitos, os ciclos de comunicação da informação cartográfica que podem ser alcançados no processo: - Ciclo ideal da comunicação cartográfica Leitura e Interpretação

Decodifica

Mundo Real

Codifica

Cartógrafo

4 Leitura e Mapa

Interpretação

Usuário

Ciclo Ideal da Comunicação Cartográfica

Figura 1.4 - Esquema do ciclo ideal da comunicação cartográfica Aqui o cartógrafo faz a leitura e interpretação do mundo real, codificando as informações para o documento de comunicação, o mapa. O usuário por sua vez, sem contato com o mundo real, apenas com o documento, vai fazer a leitura e interpretação das informações contidas no mapa para que, ao decodificá-las, possa reconstituir o mundo real. Este tipo de ciclo não é alcançado na maioria das vezes. Consegue-se uma aproximação através de fotomapas ou ortofotocartas, dependendo ainda do tipo de informação que se vai veicular. - Ciclo de Comunicação Cartográfica Real Cartógrafo-Usuário Mundo Real Leitura e Interpretação

Criação

ica dif Co

Leitura e Interpretação

Mapa

Visão do Cartógrafo

Decodifica

Cartógrafo

Usuário

Ciclo de Comunicação Cartográfica Ideal Cartógrafo-Usuário

Figura 1.5 - Esquema do ciclo real entre cartógrafo e usuário Este modelo mostra que na leitura e interpretação pelo cartógrafo do mundo real, na realidade ele criará um modelo segundo a sua visão, só passando a sua codificação para o mapa após a elaboração dessa visão própria. Segundo o usuário agora, a leitura e interpretação dessa informação vai permitir, no máximo, que se chegue até a visão do cartógrafo do mundo real. Não se consegue chegar ao mundo real, porém alcança-se a comunicação, com o sucesso do usuário em decodificar o mundo real na visão do cartógrafo. - Ciclo de Comunicação Falho

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Mundo Real Leitura e Interpretação

Cartógrafo

Criação

Visão do Cartógrafo

ifica Cod

Leitura e Interpretação

Usuário

Mapa i fi od ec D

ca

Visão do Usuário

Ciclo Falho de Comunicação Cartográfica Cartógrafo-Usuário

Figura 1.6 - Esquema do ciclo falho de comunicação. Neste esquema, o usuário não consegue, no processo leitura, interpretação e posterior decodificação da informação transmitida pelo mapa, chegar à visão do mundo real definida pelo cartógrafo. É criada uma outra visão, agora definida pelo usuário, segundo a qual ele vê o mundo real. Neste processo, as distorções de visão tanto podem ser do cartógrafo, que não soube codificar a sua visão do mundo real no mapa, como também do usuário, em não saber como decodificar essas informações. De uma ou outra maneira, aqui a comunicação cartográfica não é alcançada.

1.4-

HISTÓRICO DA CARTOGRAFIA

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O histórico da Cartografia é tão extenso quanto a própria história da humanidade. Não se sabe quando o primeiro “cartógrafo” elaborou o primeiro mapa. Não há dúvidas, porém, que este seria uma representação bastante bruta em argila, areia ou desenhada em uma rocha.

Figura 1.7 a Mapa de Ga-Sur

1.7 b Interpretação do Mapa de Ga-

Sur Na Antiguidade, um dos mapas mais antigos conhecidos, data de aproximadamente 2500 AC, mostrando montanhas, corpos d`água e outras feições geográficas da Mesopotâmia, gravadas em tábuas de argila, como os mapas de Ga-Sur, mostrados na figura 1.7 a e b. Datam desta época também mapas com a mesma estrutura, do vale do Rio Eufrates e do Rio Nilo, conforme pode ser apreciado nas figuras 1.8 a e b.

Fig 1.8 a Mapa em papiro do Rio Eufrates e sua interpretação (b) Aos fenícios são atribuídas as primeiras cartas náuticas, que serviam de apoio à navegação, bem como as primeiras sondagens e levantamentos do litoral. 7

Na Grécia, à época de Aristóteles (384-322 AC), a Terra já era reconhecida como esférica pelas evidências da diferença da altura de estrelas em diferentes lugares, do fato das embarcações aparecerem “subindo o horizonte” e até mesmo pela hipótese de ser a esfera a forma geométrica mais perfeita. Por volta de 200 AC, o sistema de latitude e longitude e a divisão do círculo em 360° já eram bem conhecidos e utilizados na representação terrestre. Estimativas do tamanho da Terra foram realizadas por Eratóstenes (276-195 AC) e repetido por Posidonius (130-50 AC), através da observação angular do Sol e estrelas. Polo Norte

5000 st

Trópic o de C

ancer

Verti

Alexandria

cal

o

7 12’

SOL o

7 12’ Syene

Equad o

r

Figura 1.9 O processo de Eratóstenes O processo de Eratóstenes consistiu em medir a diferença da vertical do Sol ao longo do meridiano que unia Alexandria a Syene (atual Aswan). Sabendo-se que a distância entre as duas cidades, aproximadamente 5000 estádias (onde 1st = 185m), verificou-se a diferença angular entre a posição do Sol nas duas cidades, no mesmo horário, equivalia a 7°12’, aproximadamente 1/50 do círculo completo. Assim tem-se como o valor da circunferência terrestre cerca de 46250 km, um valor apenas 15% maior do que o real, o que para os métodos da época, é bastante razoável. Eratóstenes, no entanto, também errou por duas razões: a distância entre as duas cidades não era exatamente de 5000 st, nem as duas cidades estavam situadas no mesmo meridiano. Caso isto tivesse ocorrido, o seu erro estaria apenas em torno de 2% da medida real! Pelas referências existentes, os mapas eram documentos de uso corrente para os gregos, como pode ser verificado pela edição de 26 mapas, trabalhados por Claudius Ptolomeu (90-160 DC), em seu tratado simplesmente intitulado GEOGRAFIA, reproduzido bem mais tarde.

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Os romanos interessavam-se pela Cartografia apenas com fins práticos: cartas administrativas de regiões ocupadas e representações de vias de comunicação, como pode ser observado nas tábuas de PEUTINGER. Figura 1.10 - Tábua de Peutinger - Arábia

Na Idade Média, como praticamente ocorreu em toda a humanidade, há um retrocesso no desenvolvimento da Cartografia. Existem poucas referências, e as que existem carecem de qualquer base científica. São apenas esboços e croquis desprovidos de beleza e funcionalidade. Os de melhor representação são devido aos árabes. Os europeus são pobres, sem nenhuma base científica. Com o Renascimento inicia-se também o ciclo das grandes navegações. As descobertas marítimas dos Escandinavos não acrescentam nenhum material novo ao conhecimento do mundo, exceto a descoberta da bússola a partir do século XIII. Ao fim da Idade Média e início da Moderna, surgem os PORTULANOS, cartas com a posição dos portos de diferentes países, bem como indicação do Norte e Sul (Rosa dos Ventos), voltadas para a navegação e comércio. As cartas passam a ser artisticamente desenhadas, surgindo a impressão das primeiras cartas com Gutemberg, em 1472 (Etmologia de Isidoro de Sevilha / 1560 - 1632). Desenvolve-se neste período um sistema de projeção cartográfica, para aplicações náuticas, até hoje em uso, devido a Gerhardt Kremer dit Mercator. Deve-se a Abraham Oertel dit Ortelius (1527 1598) a edição do primeiro ATLAS em 1570 sob o nome de THEATRUM ORBIS TERRARUM, compilando-se mapas antigos. A Idade Moderna trás com a política de expansão territorial e colonial a necessidade de conhecimentos mais precisos das regiões. Surgem as primeiras triangulações no século XVIII com os franceses e italianos, estabelecendo-se um modelo matemático geométrico perfeito de representação terrestre. 9

Cassini desenvolve o primeiro mapa da França, com auxílio da astronomia de posição (escala de 1/86 400), em 1670. Os processos de cálculo, desenho e reprodução são aprimorados. Nomes como Clairout, Gauss, Halley, Euler desenvolvem a base matemática e científica da representação terrestre. Utiliza-se correntemente, a partir desta época, a Topografia, Geodésia e Astronomia de precisão nos desenvolvimentos de mapas. Os sistemas transversos de Mercator, aperfeiçoados por Gauss e Krüger são criados e aplicados no mapeamento da Alemanha. Os mapas militares passam a ter uma necessidade de precisão crescente, devido aos avanços da artilharia. No século XX, muitos fatores ajudam a promover uma aceleração acentuada no desenvolvimento da Cartografia. Pode-se incluir o aperfeiçoamento da litografia, a invenção da fotografia, da impressão a cores, o incremento das técnicas estatísticas, o aumento do transporte de massas. A invenção do avião foi significante para a Cartografia. A junção da fotografia com o avião tornou possível o desenvolvimento da fotogrametria, ciência e técnica que permite o rápido mapeamento de grandes áreas, através de fotografias aéreas, gerando mapas mais precisos de grandes áreas, a custos menores que o mapeamento tradicional. Desenvolvem-se técnicas de apoio que incrementam a sua utilização. Surgem os equipamentos eletrônicos para determinação de distâncias, aumentando a precisão das observações, assim como a rapidez na sua execução. O emprego de técnicas de fotocartas, ortofotocartas e ortofotomapas geram documentos confiáveis e de rápida confecção. A utilização de outros tipos de plataformas imageadoras para a obtenção da informação cartográfica, tais como radares (RADAM, SLAR), satélites artificiais imageadores (LANDSAT, TM, SPOT e IKONOS), satélites RADAR (RADARSAT) vêm modernamente revolucionando as técnicas de informação cartográfica para o mapeamento, abrindo novos e promissores horizontes, através de documentos tanto confiáveis como de rápida execução. 1.5 - O CAMPO DE ATUAÇÃO DA CARTOGRAFIA Pelo histórico apresentado, é fácil ver que a Cartografia é uma atividade bastante antiga, porém pode-se perfeitamente delimitar aplicações específicas ao longo da sua história. Inicialmente como apoio às explorações, especialmente os mapas de navegação e aplicação comercial. Poucas eram as aplicações que fugiam a esses objetivos. Por outro lado eram poucos os que se dedicavam à elaboração e construção de mapas, isto no decorrer de séculos, praticamente até o século XIX. 10

No decorrer do século XIX e início do século XX, conforme o aumento da demanda de mapas para fins mais específicos, foram criadas instituições que se dedicam exclusivamente à elaboração de cartas e mapas, tanto com propósitos gerais, como com propósitos definidos. Hoje em dia a maior parte dos países possuem organizações governamentais dedicadas à construção de cartas, com as mais diversas finalidades. Existem outras organizações, públicas e privadas, com finalidades semelhantes, para atuação cartográfica apenas nas suas áreas específicas. Os avanços técnicos nos processos de construção de cartas, a necessidade crescente de informação georreferenciada, tanto para a educação, pesquisa, como apoio para tomada de decisões, a nível governamental ou não, caracteriza o mapa como uma ferramenta importante, tanto para análise de informações, como para a sua divulgação, em quaisquer áreas que trabalhem com a informação distribuída sobre a superfície terrestre. Dividir a Cartografia em áreas de aplicação é tão difícil quanto classificar os tipos de cartas e mapas. Normalmente usa-se caracterizar duas classes de operações para a Cartografia: - preparação de mapas gerais, utilizados para referência básica e uso operacional.

Esta

categoria inclui mapas topográficos em grande escala, cartas aeronáuticas hidrográficas. - preparação de mapas usados para referência geral e propósitos educacionais e pesquisa. Esta categoria inclui os mapas temáticos de pequena escala, Atlas, mapas rodoviários, mapas para uso em livros, jornais e revistas e mapas de planejamento. Dentro de cada categoria existe uma considerável especialização, podendo ocorrer nas fases de levantamento, projeto, desenho e reprodução de um mapa topográfico. A primeira categoria trabalha inicialmente a partir de dados obtidos por levantamentos de campo ou hidrográficos, por métodos fotogramétricos ou de sensores remotos. São fundamentais as considerações sobre a forma da Terra, nível do mar, cotas de elevações, distâncias precisas e informações locais detalhadas. Utilizam-se instrumentos eletrônicos e fotogramétricos complexos e o sensoriamento remoto tem peso importante na elaboração dos mapas. Este grupo inclui as organizações governamentais de levantamento. No Brasil são as seguintes: - Fundação IBGE - Diretoria de Serviço Geográfico - Diretoria de Hidrografia e Navegação - Instituto de Cartografia Aeronáutica A outra categoria, que inclui a Cartografia Temática, trabalha basicamente com os mapas elaborados pelo primeiro grupo, porém está mais interessada com os aspectos de comunicação da

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informação geral e a delineação gráfica efetiva dos relacionamentos, generalizações e conceitos geográficos. O domínio específico do assunto pode ser extraído da História, Economia, Planejamento Urbano e Rural, Sociologia, Engenharias e outras tantas áreas das ciências físicas e sociais, bastando que exista um georeferenciamento, ou seja, uma referência espacial para a representação do fenômeno. Órgãos que no Brasil dedicam-se à elaboração de mapas temáticos: - Fundação IBGE - DNPM / CPRM - Mapas geológicos - EMBRAPA - solos, uso de solos, pedologia - Institutos de Terras - planejamento rural - Governos Estaduais e Municipais (incipiente) - DNER - mapas rodoviários 1.6 DEFINIÇÃO DE MAPA 1.6.1 CONCEITOS E DEFINIÇÕES O termo mapa é utilizado em diversas áreas do conhecimento humano como um sinônimo de um modelo do que ele representa. Na realidade deve ser um modelo que permita conhecer a estrutura do fenômeno que se está representando. Mapear então, pode ser considerado mais do que simplesmente interpretar apenas o fenômeno, mas sim se ter o próprio conhecimento do fenômeno que se está representando. A Cartografia vai fornecer um método ou processo que permitirá a representação de um fenômeno, ou de um espaço geográfico, de tal forma que a sua estrutura espacial será visualizada, permitindo que se infira conclusões ou experimentos sobre a representação (KRAAK & ORMELING, 1996). Os mapas podem ser considerados para a sociedade tão importantes quanto a linguagem escrita. Caracterizam uma forma eficaz de armazenamento e comunicação de informações que possuem características espaciais, abordando tanto aspectos naturais (físicos e biológicos), como sociais, culturais e políticos. 1.6.1.1 Conceito de Mapa A apresentação visual de um mapa pode variar de uma forma altamente precisa e estruturada, até algo genérico e impressionista, como um esboço ou croquis. Devido a esta variedade de representações, não é fácil definir o termo MAPA, muito embora o seu significado seja claro em todos os contextos.

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Por outro lado, a palavra “mapa” possui algumas características significantes restritivas, seja qual for a forma que se apresente: - A representação é dimensionalmente sistemática, uma vez que existe um relacionamento matemático entre os objetos representados. Este relacionamento, estabelecido entre a realidade e a representação, é denominado escala. - Um mapa é uma representação plana, ou seja, esta sobre uma superfície plana. Uma exceção é a representação em um globo. - Um mapa pode mostrar apenas uma seleção de fenômenos geográficos, que de alguma forma foram generalizados, simplificados ou classificados. É diferente de uma fotografia ou imagem, que exibe tudo que afetou a emulsão do filme ou foi captado pelo sensor. O conceito de mapa é caracterizado como uma representação plana, dos fenômenos sócio-biofísicos, sobre a superfície terrestre, após a aplicação de transformações, a que são submetidas as informações geográficas (MENEZES, 1996). Por outro lado um mapa pode ser definido também como uma abstração da realidade geográfica e considerado como uma ferramenta poderosa para a representação da informação geográfica de forma visual, digital ou tátil (BOARD, 1990). Para a Geografia é também indiscutível a importância da forma de representação da informação geográfica, em essência dos mapas e da Cartografia. Através deles o geógrafo pode representar todos os tipos de informações geográficas, bem como da estrutura, função e relações que ocorram entre elas. Pela caracterização de sua aplicação em quaisquer campos do conhecimento que permitam vincular a informação à superfície terrestre. Dentro da divisão da Cartografia, um dos cartógrafos temáticos é o geógrafo por excelência, tanto por ser a Geografia a ciência mais integrativa dentro do conhecimento humano, como por ter a necessidade de visualizar os relacionamentos entre conjuntos de informações que isoladamente não permitem quaisquer conclusões. 1.6.1.2 Definição de Mapa As definições de mapas, com ligeiras diferenças, englobam um núcleo comum, que uma vez caracterizado, não deixa nenhuma margem de dúvida sobre seus objetivos e abrangência. Este núcleo envolve as informações que serão representadas, as transformações à que estarão sujeitas, para que possam ser representadas por alguns dos possíveis meios gráficos de visualização. De 1708, por exemplo, tem-se a definição devida a Harris (1708, apud ANDREWS, 1998), definindo mapa como “uma descrição da Terra, ou uma parte de sua área, projetada sobre uma superfície plana, descrevendo a forma dos países, rios, situação das cidades, colinas, florestas e outras feições”.

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Outra definição, de 1736, estabelece que um mapa “é uma figura plana, representando diversas partes da superfície terrestre, de acordo com as leis da perspectiva ou projeção da superfície do globo ou parte dele em um plano, descrevendo os diversos países, ilhas, mares, rios, com a situação das cidades, florestas, montanhas, etc. Mapas universais, são os que exibem toda a superfície terrestre, ou os dois hemisférios; mapas particulares exibem uma porção definida da superfície terrestre”, (BAILEY, 1736, apud ANDREWS, 1998)). Em 1896, a Enciclopédia Concisa Cassel (1896, apud ANDREWS, 1998)), definiu mapa como “a delineação de uma porção da superfície terrestre sobre papel ou outro material similar, mostrando os tamanhos proporcionais, formas e posições de lugares”. Para estabelecer um padrão comparativo entre as definições dos séculos XVIII e XIX, são apresentadas as definições devido a dois cartógrafos e uma instituição cartográfica americana. A primeira, estabelecida por Robinson (1995), diz que “mapa é a representação gráfica de conjuntos geográficos”. O USGS (United States Geological Survey) define mapa como “a representação da Terra ou parte dela”, uma definição bastante simplista, mas de conteúdo bastante extenso. Umas das mais modernas definições é devida à Thrower (1996), dizendo que um mapa “é uma representação usualmente sobre uma superfície plana, de toda ou uma parte da superfície terrestre, mostrando um grupo de feições, em termos de suas posições e tamanhos relativos” . A definição formal de mapa, aceita e difundida pela Sociedade Brasileira de Cartografia, estabelece como “a representação cartográfica plana dos fenômenos da sociedade e da natureza, observados em uma área suficientemente extensa para que a curvatura terrestre não seja desprezada e algum sistema de projeção tenha que ser adotado, para traduzir com fidelidade a forma e dimensões da área levantada” (SBC, 77). 1.6.1.3 Classificação dos Mapas Classificar os mapas em categorias distintas é uma tarefa quase impossível devido ao número ilimitado de combinações de escalas, assuntos e objetivos. Existem tentativas de classificações, que permitem agrupar mapas segundo algumas de suas características básicas, não existindo porém um consenso com respeito à essas classificações. Nesse contexto serão apresentadas aqui as classificações que melhor estão adaptadas para este trabalhos. Algumas destas classificações são conclusões oriundas de aglutinações e combinações de diversos autores. Inicialmente a própria divisão da Cartografia já fornece uma divisão formal, pela função exercida pelos mapas. Encontram-se assim os mapas de referência ou de base e os mapas temáticos, possuindo as características e funções já descritas na divisão da Cartografia.

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Quanto à escala de representação, os mapas podem ser classificados em: muito pequena, pequena, média, grande e muito grande. Alguns autores (ROBINSON, 1995; BAKKER, 1965) dividem apenas em três grandes grupos: pequena, média e grande. ë difícil porém estabelecer o limiar de cada escala. O conceito de grande, médio e pequeno é bastante subjetivo e esta associação à um valor numérico de escala é definida para estabelecer uma referência ao tamanho relativo dos objetos representados. Também é possível classifica-los segundo características globais, regionais e locais, mas também encontra-se outro conceito bastante subjetivo, gerando polêmicas quando de sua associação à escalas numéricas (ROBINSON, 1995; MENEZES, 1996; BAKKER, 1965). Para a primeira classificação citada, vincula-se a seguinte associação de escalas (tabela 3.1): Tabela 3.1 Classificação dos Mapas segundo Escala de Representação Escalas < 1:5 000 000

muito

Classificação Globais

pequena 1: 5 000 000 – 1:250 pequena

Geográficas

000 1: 250 000 – 1: 50 000 média Topográficas 1: 50 000 – 1: 5 000 grande Cadastrais > 1: 5000 muito grande Plantas Define-se ainda como plantas, os mapas caracterizadas por escalas grandes e muito grandes. São mapas locais e normalmente não exigem métodos geodésicos para sua elaboração, utilizando a topografia para a sua elaboração, envolvendo apenas transformações de escala. Podem ser definidas como: “a representação cartográfica plana, dos fenômenos da natureza e da sociedade, observados em uma área tão pequena que os erros cometidos nessa representação, desprezada a curvatura da Terra, são negligenciáveis” (SBC, 77). É comum a referência ao termo carta para referenciar um mapa. Procurando fornecer um conceito e não uma definição formal, os mapas são caracterizados por representar um todo geográfico, podendo estar em qualquer escala, seja ela grande, média ou pequena. Por exemplo: mapa de Minas Gerais na escala 1: 2 500 000; Mapa do Brasil em escala 1:5 000 000, mapa da Ilha do Fundão na escala 1: 10 000, mapa do Maciço da Tijuca na escala 1: 5 000. A carta por sua vez é caracterizada por representar um todo geográfico em diversas folhas, pois a escala de representação não permite a sua representação em uma única folha. Como exemplos, podem ser citadas as escalas de mapeamento sistemático do Brasil, caracterizando diversas cartas de representação: Carta do Brasil em 1:100 000, 1:250 000, carta do Município do Rio de Janeiro em escala 1: 10 000. O conjunto de todas as folhas caracteriza a carta, ou seja, a representação do todo geográfico que se deseja mapear. 1.6.1.4 Meios e Mídias de Apresentação de Mapas 15

Até o início da década de 80, os mapas em papel eram considerados um dos poucos meios cartográficos de representação e armazenamento da informação geográfica, além de ser o produto final de apresentação desta mesma informação. O desenvolvimento tecnológico ampliou a capacidade de representação e armazenamento da informação, incorporando conceitos de exibição de mapas em telas gráfica de monitores de vídeo, mapas voláteis, bem como caracterizando os meios magnéticos de armazenamento da informação, tais como: CD-ROM, discos rígidos, fitas magnéticas, disquetes, etc, como uma forma numérica de representação. Os mapas em papel possuem uma característica analógica, sendo uma forma de representação permanente da informação, definindo um modelo de dados e armazenamento, como também um modelo de transferência da informação para os usuários (CLARKE, 1995). Os mapas apresentados em telas gráficas correspondem àqueles que possuem uma capacidade de visualização temporária da informação, sendo a transferência estabelecida segundo a vontade ou a necessidade de ser visualizada. A sua visualização também pode se dar através de cópias em papel, neste caso assumindo a característica de visualização dos mapas em papel. São muitas vezes denominados como mapas ou cartas eletrônicas. Sob esse enfoque, os mapas podem ser classificados segundo seus atributos de visibilidade e tangibilidade, (MOELLERING, 1980; CROMLEY, 1992; KRAAK, 1996): -

Mapas analógicos ou reais, de características permanentes, diretamente visíveis e tangíveis, tais como os mapas convencionais em papel, as cartas topográficas, atlas, ortofotomapas, mapas tridimensionais, blocos-diagramas. Existe uma característica da informação ser permanente, não podendo ser atualizada, a não ser por processos de construção de novo mapa.

-

Mapas virtuais do tipo I, diretamente visíveis, porém não tangíveis e voláteis, ou seja, não permanentes, como a representação em um monitor de vídeo e mapas cognitivos. Neste caso apenas a visualização não é permanente. A informação porém possui os mesmos problemas de atualização.

-

Mapas virtuais do tipo II, aqueles que não são diretamente visíveis, porém possuem características analógicas e permanentes como meio de armazenamento da informação. Como exemplos, pode-se citar os modelos anaglifos de qualquer espécie, dados de campo, hologramas armazenados, CDROM, laser-disc, discos e fitas magnéticas etc. A informação contida só poderá ser modificada através de processos completos de atualização.

-

Mapas virtuais do tipo III, têm características não visíveis e não permanentes, podendo-se incluir nesta classe a memória, animação em vídeo, modelos digitais de elevação (inclusos aqui os modelos digitais de terreno) e mapas cognitivos de dados relacionais geográficos.

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Ainda pode-se incluir uma quinta categoria, descrevendo os mapas que podem ser considerados dinâmicos. Nesta categoria algumas distinções poderão ser ainda serem tratadas (MENEZES, 1996; PETERSON, 1998): -

Mapas que apresentam dinamismo das informações, mais precisamente representando fluxos, movimentos ou desenvolvimentos temporais de um dado tipo de informação;

-

Mapas animados, que apresentam as mesmas características dos mapas anteriores, porém mostrando o dinamismo em seqüências animadas. São de características tipicamente computacionais.

-

Mapas dinâmicos em tempo real, que por serem associados à sensores que fornecem a informação em tempo real, têm a capacidade de associa-la e representa-la praticamente ao mesmo tempo da recepção. Segundo essa abordagem, os mapas podem ser vistos como um modelo de apresentação gráfica da

realidade geográfica. O Brasil está enquadrado na Carta do Mundo ao Milionésimo. A partir deste enquadramento foram estabelecidas as cartas de mapeamento sistemático. O quadro abaixo fornece as escalas, o número de folhas de cada escala N° de Folhas Escala 1/ 1 000 000 1/ 500 000 1/ 250 000 1/ 100 000 1/ 50 000 1/ 25 000

N° Total de Folhas 46 154 556 3049 11928 47712

Executadas 46 68 529 2087 1641 548

% Mapeada 100,00 44,00 95,1 68,4 13,7 1,2

1.7- DIVISÃO DA CARTOGRAFIA Modernamente a Cartografia pode ser dividida em dois grandes grupos de atividades (TYNER, 1992; DENT, 1999) -

de propósito geral ou de referência

-

de propósito especial ou temática O primeiro grupo trata da cartografia definida pela precisão das medições para confecção dos

mapas. Preocupa-se com a chamada cartografia de base. Procura representar com perfeição todas as feições de interesse sobre a superfície terrestre, ressalvando apenas a escala de representação. Tem por base um levantamento preciso e normalmente utilizam como apoio, a fotogrametria, a geodésia e topografia. Seus produtos são denominados mapas gerais, de base ou de referência. O segundo grupo de atividades de mapeamento depende do grupo anteriormente citado. Mapas de ensino, pesquisa, atlas e mapas temáticos, bem como mapas de emprego especial, enquadram-se nessa categoria. Estes mapas são denominados mapas de temáticos. 17

Os mapas temáticos podem representar também feições terrestres e lugares, mas não são definidos diretamente dos trabalhos de levantamentos básicos. São compilados de mapas já existentes (bases cartográficas), que servirão de apoio à todas as representações. Distinguem-se essencialmente dos mapas de base, por representarem fenômenos quaisquer, que sejam geograficamente distribuídos, discreta ou continuamente sobre a superfície terrestre. Estes fenômenos podem ser tanto de natureza física, como por exemplo a média anual de temperatura ou precipitação sobre uma área, ou de natureza abstrata, humana ou de outra característica qualquer, tal como a taxa de natalidade de um país, condição social, distribuição de doenças, entre outros. Estes mapas dependem de dados reunidos através de fontes diversas, tais como informações censitárias, publicações industriais, dados governamentais, pesquisa local, etc. A exigência principal para que um fenômeno qualquer possa ser representado em um mapa, é a associação da distribuição espacial ou geográfica. Em outras palavras, deve ser conhecida e perfeitamente definida a sua ocorrência sobre a superfície terrestre. Este é o elo de ligação entre o fenômeno e o mapa. Assim, qualquer fenômeno que seja espacialmente distribuído, é passível de ter representada a sua ocorrência sobre a superfície terrestre através de um mapa. Um fenômeno assim caracterizado é dito como georreferenciado. Quanto à natureza a Cartografia pode ser dividida em: - Topográfica - Temática - Especial A Topográfica se propõe a representar os aspectos físicos da superfície terrestre. Enquadram-se todas as cartas topográficas. Normalmente serve de base à múltiplos usuários. ë incluído aqui todo o mapeamento sistemático, identificando-se com os mapas de propósito geral ou de referência.. A Cartografia Temática, já explanado os seus objetivos, pode ser dividida três sub-classes (GUÉNIN, 1972; BÉGUIN & PUMAIN, 1994): - Inventário - Estatística ou Analítica - Síntese A Cartografia Temática de Inventário é definida através de um mapeamento qualitativo. Possui uma característica discreta, realizando apenas a representação posicional da informação no mapa. Normalmente estabelecida pela superposição ou justaposição, exaustiva ou não, de temas, permite ao usuário saber o que existe em uma área geográfica. A Cartografia Analítica é eminentemente quantitativa, mostrando a distribuição de um ou mais elementos de um fenômeno, utilizando para isso informações oriundas de dados primários, com as

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modificações necessárias para a sua visualização. De uma forma geral ela classifica, ordena e hierarquiza os fenômenos a representar. A Cartografia de Síntese é a mais complexa e a mais elaborada de todas, exigindo um profundo conhecimento técnico dos assuntos a serem mapeados. Integrativa por excelência, exige o concurso de várias especialidades integradamente. Representa a integração de fenômenos, feições, fatos ou acontecimentos que se interligam através da distribuição espacial. Permite que se desenvolva um aspecto analítico, para estabelecer um estudo conclusivo-analítico sobre a integração e interligação dos fenômenos que estejam sendo estudados. A Cartografia Temática de caráter especial é destinada a objetivos específicos, servindo praticamente a um único tipo de usuário. Por exemplo a definida por mapas e cartas náuticas, aeronáuticas, sinóticas, de pesca entre outras. O mapeamento temático trata muitas vezes de fenômenos que não necessitam de um posicionamento preciso, pelo tipo de ocorrência do fenômeno, como por exemplo um mapa pedológico. Deve haver porém a preocupação com uma correta apresentação da ocorrência da sua distribuição, necessitando para isso de uma base cartográfica com precisão compatível às suas necessidades. Não se pode confundir precisão da base cartográfica com a precisão do fenômeno a representar. A preparação de uma apresentação eficaz, requer uma visão crítica dos dados a serem mapeados bem como o simbolismo ou convenções que serão utilizadas para representá-los.

É

necessário ser considerado para o projetista do mapeamento temático os seguintes aspectos: -

conhecimento profundo dos princípios que fundamentam a apresentação da informação e o projeto da composição gráfica efetiva;

-

ter um forte sentido de lógica visual, e uma habilidade especial para escolher as palavras corretas que descreverão o gráfico, o mapa ou o cartograma;

-

conhecimento do assunto a ser mapeado, ou estar com uma equipe multidisciplinar.

1.8 INFORMAÇÃO GEOGRÁFICA x INFORMAÇÃO CARTOGRÁFICA Como já referenciado, a informação geográfica pode ser conceituada como toda aquela, de natureza física, biológica ou social, que possua um relacionamento com um sistema de referência sobre a superfície terrestre. Define-se informação cartográfica como a informação contida em um mapa. Pode ser de natureza estritamente cartográfica, como a rede de paralelos e meridianos, canevá geográfico, pontos cotados, como também, principalmente, as representações das informações geográficas, inclusive as legendas. Em outras palavras, a informação cartográfica representa a informação geográfica, após ter

19

sido submetida a um processo de transformação, o que permitirá que venha a ser representada em um mapa, conforme pode ser observado na figura 3.7. Mapa

Mundo Real

Processo

Informação Geográfica

de Transformação

Informação Cartográfica

Figura 3.7 – Esquema representativo da transformação da informação geográfica em cartográfica As transformações a que as informações geográficas são submetidas, possuem natureza diferenciada, porém todas são inter-relacionadas. São elas: - Transformações geométricas; - Transformações projetivas; - Transformações cognitivas. As transformações geométricas são caracterizadas por um relacionamento de escala e orientação entre sistemas de referência. As projetivas referem-se às transformações da superfície tridimensional curva da Terra, para a superfície de representação de um mapa, bidimensional plana. As transformações cognitivas, por fim referem-se às transformações do conhecimento da informação, em relação ao que será efetivamente representado no mapa, generalização cartográfica e simbolização cartográfica.

20

2 - O Geóide e o Problema da Representação Cartográfica 2.1 - Introdução A Geodésia é uma ciência que se ocupa do estudo da forma e tamanho da Terra no aspecto geométrico e com o estudo de certos fenômenos físicos tais como a gravidade e o campo gravitacional terrestre, para encontrar explicações sobre as irregularidades menos aparentes da própria forma da Terra. O assunto é intimamente ligado com mapeamento e Cartografia. A maior parte das evidências sobre a forma e tamanho da Terra é baseada em levantamentos geodésicos. Por outro lado é necessário se conhecer o tamanho da Terra e sua grandeza, para se poder representá-la em mapas, em uma escala desejada. Sabe-se que a Terra é um planeta de forma aproximadamente esférica e sobre o qual existem irregularidades da superfície definida pelas terras, mares, montanhas, depressões etc. Estas irregularidades topográficas não representam mais do que uma pequena aspereza da superfície, comparadas ao tamanho da Terra. Considerando-se o raio da Terra com aproximadamente 6.371 Km, a maior cota em torno de 9 Km (Monte Everest) e a maior depressão por volta dos 11 Km (Fossa das Marianas), a representação da Terra como um globo de 6 cm de raio mostra que a variação entre as duas cotas representará apenas 0,2 mm, ou seja, o limite de percepção do olho humano. A idéia da Terra esférica data da época dos geômetras gregos, em torno de 600 AC. O primeiro trabalho com embasamento científico foi a experiência clássica de Eratóstenes, definindo as primeiras dimensões conhecidas para a Terra. Ainda durante o período grego, Aristóteles, através dos estudos sobre os movimentos da Terra, concluiu que deveria haver um achatamento nos pólos. Somente próximo ao fim do século XVII, ISAAC NEWTON demonstrou que a forma esférica da Terra era realmente inadequada para explicar o equilíbrio da superfície dos oceanos. Foi argumentado que sendo a Terra um planeta dotado de movimento de rotação, as forças criadas pelo seu próprio movimento tenderiam a forçar quaisquer líquidos na superfície para o Equador. Newton demonstrou através de um modelo teórico simples que o equilíbrio hidrostático seria atingido, se o eixo equatorial da Terra fosse maior que o seu eixo polar. Isto é, equivalente a um corpo que seja achatado nos pólos. 2.2 - O Geóide A forma da Terra, na realidade, é única. É definida como um Geóide, que significa a forma própria da Terra.

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O geóide é definido pela superfície do nível médio dos mares supostamente prolongado sob os continentes. Assim ele está ora acima, ora abaixo da superfície definida como a superfície topográfica da Terra, ou seja, a superfície definida pela massa terrestre. A superfície do Geóide (nível médio dos mares) é propriamente definido como Superfície Topográfica

sendo uma superfície equipotencial - igual potencial gravitacional -, onde a direção da

Superfície do Elipsóide

gravidade é perpendicular a ela em todos os Superfície do Geóide

lugares. Devido á variações na densidade dos

Superfícies Terrestres

elementos constituintes da Terra e também por serem estes irregularmente distribuídos, o Geóide normalmente eleva-se sobre os continentes e afunda nas áreas oceânicas. Isto mostra outras perturbações e depressões com uma variação de 60 m. A significância do Geóide para o mapeamento e a Cartografia é efetiva, uma vez que todas as observações na Terra são realizadas sobre o Geóide. Como o Geóide é irregular, a direção da gravidade não é, em todos os lugares, direcionada para o centro da Terra, e por outro lado, a sua forma não permite uma redução precisa das observações, por não ser matematicamente definido. 2.3 - O Elipsóide ou Esferóide Além das irregularidades causadas pelas variações da densidade terrestre, da distribuição dos elementos componentes da Terra, o Geóide é ainda mais deformado da aproximação de uma esfera, pela existência do movimento de rotação terrestre. Devido à rotação em torno do seu eixo, a Terra incha na área equatorial, enquanto achata-se nos pólos, efetuando o equilíbrio hidrostático da sua massa. A diferença real entre o raio equatorial e o polar é de aproximadamente 23.0 km, sendo o raio equatorial maior que o polar. Para o mapeamento preciso de grandes áreas, tais como o mapeamento geodésico, uma figura regular geométrica deve ser considerada, matematicamente definida, para que os cálculos sejam igualmente precisos. As reduções ao Geóide são inconsistentes devido às diferenças na direção da gravidade. Esta limitação pode ser contornada pela redução ou transferência dos dados para uma figura geométrica que mais se aproxime do Geóide. Esta figura é um elipsóide de revolução, gerada por uma elipse rotacionada em torno do seu eixo menor.

22

A elipse possui dois eixos 2a (eixo maior) e 2b (eixo menor), a e b representam os semi-eixos maior e menor, respectivamente. A

razão

que

exprime

o

achatamento ou a elipticidade é dada pela

b expressão:

a

f=

(a − b) a

Para a Terra esse valor é definiido em torno da razão de 1/300. Sabe-se que a diferença entre os dois semi-eixos terrestres é de aproximadamente 11,5 Km, ou seja, o eixo polar é cerca de 23 Km mais curto que o eixo equatorial.

ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO

Para uma redução de escala de 1/100.000.000, o que representa a Terra com um raio equatorial de 6 cm, a diferença para o raio polar será da ordem de 0,2 mm, valor imperceptível, uma vez que é a largura do traço de uma linha. Equivale a dizer com o que foi explanado acima, que para pequenas escalas o achatamento é menor do que a largura das linhas usadas para o desenho, portanto, negligenciável. Tira-se uma importante conclusão sob o ponto de vista cartográfico, que permite estabelecer a Terra como esférica para determinados propósitos. Entretanto

deve-se

notar

que

qualquer

tentativa de representar o elipsóide terrestre por meio de um elipsóide reconhecível, deve envolver um considerável exagero, uma vez que é imperceptível a diferença entre os dois semieixos. Isto pode conduzir por sua vez a uma má interpretação de algumas ilustrações retratando a geometria do elipsóide. Como o elipsóide de revolução aproxima-se muito da esfera, é também tratado na literatura como esferóide. Ambos os termos (elipsóide e esferóide) têm o mesmo significado. As medições da figura da Terra são desenvolvidas de cinco diferentes formas, determinando seu tamanho e sua forma:

23

- medição de arcos astro-geodésicos na superfície terrestre; - medições da variação da gravidade na superfície; - medição de pequenas perturbações na órbita

Superfície Física

lunar;

Ondulação Geoidal

- medição do movimento do eixo de rotação

Geóide Elipsóide

da Terra em relação às estrelas; - medição do campo gravitacional terrestre a

Desvio da Vertical

partir de satélites artificiais. Estas medições, além de definirem o Geóide pela

determinação

da

sua

superfície

equipotencial, estabelece o elipsóide melhor adaptado à superfície terrestre, seja ele de âmbito global ou local. O relacionamento entre o Geóide e o elipsóide indica o desvio da vertical da superfície do Geóide,

permitindo determinar as cartas geodésicas, estabelecendo o desnível geoidal (diferença

entre o Geóide e o elipsóide em uma dada região). São elaboradas por sua vez mapas geoidais, que mostram esses desníveis entre o geóide e o elipsóide. O elipsóide por sua vez pode ser determinado para adaptar-se a uma região, país ou continente,

ALTITUDE GEOIDAL - Elipsoide WGS 84

evitando a ocorrência de desníveis geoidais muito exagerados. A relação abaixo mostra alguns dos mais de 50 elipsóides existentes no mundo: Nome

Data

a

b 24

f

Utilizaçã

Delambre Everest Bessel

1810 1830 1841

6376428 6377276 6377997

6355598 6356075 6356079

1/311,5 1/300,80 1/299,15

o Bélgica Índia,Burma Europa Central e

Airy Clarke Hayford Krasovsky Ref. 67

1849 1866 1924 1940 1967

6377563 6378208 6378388 6378245 6378160

6356257 6356584 6356912 6356863 6356715

1/299,32 1/294,98 1/297,0 1/298,30 1/298,25

Chile Inglaterra USA Mundial Rússia Brasil e América

WGS 84

1984

6378185

6356???

1/298,26

do Sul Mundial levantam ento

de

satélites

2.4 - A escolha de uma Superfície Adequada de Referência para o Mapeamento O conhecimento da forma e tamanho da Terra é necessário para descrevê-la momentaneamente, visando as necessidades de mapeamento. O aumento de complexidade do modelo matemático muitas vezes é desnecessário face à magnitude dos valores expressos por um modelo mais simples. Assim, dependendo do objetivo e a significância dessas variações, deve-se considerar a possibilidade da utilização de diferentes superfícies de referência, que descrevam adequadamente a forma e o tamanho da Terra para o propósito que se destina. A superfície terrestre é geometricamente mais complicada que o elipsóide, porém as variações do Geóide não ultrapassam algumas centenas de metros, variações essas que são praticamente negligenciáveis para a maior parte dos levantamentos e para a Cartografia. Pode-se simplificar o problema apresentado e considerar-se três diferentes formas de representar a forma e tamanho da Terra para diferentes propósitos: - Um plano tangente à superfície terrestre; - Uma esfera perfeita de raio apropriado; - Um elipsóide de revolução de dimensões e achatamento adequados.

25

Essas três hipóteses estão listadas em ordem ascendente de refinamento, assim um elipsóide adequado representa melhor a forma da Terra do que uma esfera de raio equivalente. Estão também ordenados em ordem crescente de dificuldade matemática. As formulações necessárias para definir posições; para estabelecer as relações entre ângulos e distâncias sobre um plano, são muito mais simples do que as definições para uma superfície curva de uma esfera, que por sua vez são mais simples do que as formulações estabelecidas para um elipsóide. 2.4.1 - A Superfície Plana de Representação Pode parecer um retrocesso assumir a Terra com uma representação plana. Esta representação é no entanto, muito útil por assumir simplificações que facilitam o trabalho de mapeamento. Supor a Terra plana evita o problema da existência de um sistema de projeção a elaboração de um mapa ou levantamento. Um plano tangente à superfície curva, tal como a figura mostra, tangente em A, está próximo à superfície na vizinhança deste ponto. Se deseja-se mapear ou levantar feições que estejam próximos a A, pode-se assumir que a Terra é um plano, desde que os erros cometidos por esta hipótese simplificadora, sejam suficientemente pequenos para que possam influenciar no mapeamento executado. Sendo a hipótese justificada, o levantamento pode ser calculado com a utilização da geometria plana. A plotagem na planta pode ser Plano Tangente

executada pela simples redução das dimensões na superfície pelo fator de escala considerado.

O problema central da argumentação é a definição da representação da “vizinhança do ponto A”, ou seja, qual o limite de representação da Terra plana, de forma que os erros advindos desta representação não tenham significância na área mapeada. Imediatamente isto implica, até intuitivamente, que a hipótese plana deva ser confinada à elaboração de mapas de pequenas áreas. De uma forma geral, utiliza-se a hipótese plana no desenvolvimento de Cartografia cadastral, de áreas urbanas, plantas e outras formas de representação, em escalas variando de 1/500 até 1/10.000. O limite de representação plana, sem outras considerações é definido por um círculo de 8 km de raio em torno do ponto de tangência do plano. Apesar de não ser necessário o seu emprego, existem tipos de projeções com utilização específica na hipótese plana. 2.4.2 - A Hipótese Esférica

26

O fato de que em uma escala superior a 1/100.000.000 não existe praticamente diferença entre o tamanho dos eixos do elipsóide, implica que o uso principal da hipótese esférica ocorrerá na preparação de mapas de formato muito pequenos, mostrando grandes partes da superfície terrestre, isto é, um hemisfério, continente ou mesmo um país. Tal como aparecem nos Atlas. Neste aspecto, questiona-se qual a escala máxima aproximada que justifica a utilização da hipótese esférica. Estudos realizados, principalmente por Willian Tobler, através da comparação de erros angulares e lineares, mostraram que a maior escala possível de representação para uma área de aproximadamente 8.000.000 Km2 , estaria algo em torno de 1/500.000, porém os erros padrões indicavam que este número era muito otimista. Genericamente, pela consideração do erro gráfico de 0,2 mm representando de 7 a 8 km, estarse-ia limitado a uma representação em torno de 1/15.000.000 ou menor. Em termos cartográficos práticos, assume-se a escala média de 1/5.000.000 como possível de representar a Terra como uma esfera. O raio de representação é normalmente definido pelo raio terrestre médio, estabelecido pela formulação: R =

M . N , onde M é o raio da seção meridiana e N o raio da seção normal ao

elipsóide, para o centro da latitude da região a representar. Em termos gerais, valores de 6370 a 6372 km são utilizados normalmente para definir o raio terrestre com uma razoável precisão, na assunção da Terra como uma esfera.

2.4.3 - A Hipótese Elipsóidica Obviamente o elipsóide ou o esferóide adapta-se melhor ao Geóide do que a esfera. Em razão disto, esta é a superfície de referência mais amplamente empregada em levantamentos e mapeamentos. Por outro lado possui uma superfície matematicamente desenvolvida, que permite a execução de cálculos diversos com uma precisão necessária para a cartografia de grandes áreas. Para a execução do levantamento de um país, inicialmente é determinada uma rede de pontos sobre a sua superfície, que servirão de apoio à determinações posteriores. Essa rede de pontos são determinados de 1a ordem, ou de precisão, e estende-se por toda a região a se levantar. Possuem alta precisão (da ordem do milímetro), podendo ser desenvolvida pelos processos clássicos planimétricos (Triangulações, Trilateração) ou modernamente com o auxílio de satélites de posicionamento geodésicos (NNSS e GPS). Para que os cálculos possam ser desenvolvidos, determina-se o elipsóide que melhor se adapte à região (maior tangência e menores desníveis geodésicos). 27

Esta hipótese da figura elipsóidica gera menores erros na definição de uma superfície de referência para a Terra, sendo, portanto a superfície ideal para o cálculo de precisão (cálculo geodésico). Esta superfície, portanto é apropriada à todas as escalas de mapeamento topográfico e de navegação, assim como para todas as cartas temáticas e especiais que se apoiem nestes levantamentos. Estima-se como o limite, a escala aproximada de 1/4.000.000 a 1/5.000.000. A seleção de um elipsóide particular para uma região, é devido ao fato de parâmetros de um adaptar-se melhor aos dados observados do que qualquer outro. No Brasil, a rede primária inicialmente estava desenvolvida sobre o elipsóide Internacional de Hayford, de 1924, sendo a origem de coordenadas estabelecidas no ponto Datum de Córrego Alegre. A partir de nossas observações e cálculos, o sistema geodésico brasileiro foi mudado para o SAD - 69 (South American Datum - 69) com elipsóide de referência de 67 e o ponto Datum estabelecido no ponto CHUÁ Astro Datum (Minas Gerais).

UNIDADE 3: POSICIONAMENTO DE PONTOS SOBRE A SUPERFÍCIE TERRESTRE 3.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS PLANAS Para se determinar a localização de um fenômeno ou de uma ocorrência qualquer sobre a superfície da Terra, deve-se sempre conhecer alguns elementos básicos, que podem ser definidos por duas perguntas simples: onde ocorre e como chegar até ele? Em termos urbanos, um sistema de localização composto do nome do Estado, nome da cidade, nome do bairro, nome da rua, número do prédio e número do apartamento, é o suficiente para localizar um morador de uma cidade. Supondo-se agora que o morador em tela está localizado em um espaço, surgirão obstáculos que impedem a materialização matemática de um sistema assim descrito, ou como representá-lo em forma matemática. A instituição de um sistema de coordenadas vem a tornar um método bastante conveniente de registro de uma posição no espaço, qualquer que seja a dimensão que esteja sendo referenciada. Por coordenada entende-se ser qualquer dos elementos de um conjunto, que determina univocamente a 28

posição de uma posição no espaço. O conjunto é formado por tantos elementos quantas forem as dimensões do espaço considerado e o número de elementos constitui-se uma característica intrínseca do espaço. A coordenada pode ser uma distância, um ângulo, uma velocidade, um momento, etc. Um sistema de coordenadas é conceituado como o conjunto de coordenadas, referido à uma ou mais origens, que definem uma posição no espaço. A noção de dimensionalidade é essencial para a caracterização dos sistemas de coordenadas associados à cada espaço. Assim, pode-se classificar os espaços segundo a sua dimensionalidade, estabelecendo suas características básicas. Um espaço 0-dimensional, não possui dimensão mensurável, podendo ser visualizado e materializado através de um ponto. Um espaço 1-dimensional ou unidimensional, só se percebe uma dimensão, por exemplo, um comprimento ou uma distância entre dois pontos. Necessita-se de um ponto origem, e uma escala de unidade que permita, através dessa origem e a quantidade de unidades medida na escala, estabelecer o posicionamento linear de um ponto a outro. Neste caso, a coordenada é definida pela distância da origem até o ponto, em unidades especificadas.

Origem

P

O

Figura 3.1 Coordenadas unidimensionais Define-se um sistema 2-dimensional ou bidimensional, caracterizado por um plano ou duas dimensões, estabelecida uma origem única para cada dimensão. Utiliza-se um sistema de coordenadas, que permita a locação conjunta dessas duas dimensões. Duas coordenadas são o suficiente para posicionar um ponto no espaço. Duas retas que se interceptam definem um plano, que também é definido por uma reta e um ponto ou por três pontos. Um sistema 3-dimensional ou tridimensional é definido por três retas não coplanares que se interceptam em um mesmo ponto, três planos que se cortam dois a dois ou quatro pontos. A definição da posição de um ponto é estabelecida através de três coordenadas. Sistemas apropriados de representação são desenvolvidos, para que se possa representar com precisão a posição de um ponto. Espaços com dimensões maiores podem ser definidos, quando se associam outras variáveis. Por exemplo, associando-se a variável tempo cria-se a condição de uma quarta dimensão. A associação de um maior número de variáveis, permite o estabelecimento de varáveis de dimensões maiores, definindo-se os sistemas multidimensionais ou n-dimensionais. Um exemplo relevante de um sistema 29

multidimensional é o meio-ambiente terrestre no qual as diversas variáveis componentes do meio ambiente passam a funcionar como elementos do sistema multidimensional. A utilização de Geometria plana e no espaço é fundamental para o desenvolvimento e possibilidade de se estabelecer um sistema unívoco de posicionamento, no plano e no espaço. Qualquer posição, seja em qual dimensão for, terá apenas uma única representação no sistema e viceversa. A cada representação de um ponto corresponderá a uma e apenas uma posição no espaço. 1 - Sistema de Coordenadas Planas Existem diversas formas de se referenciar o posicionamento de pontos sobre um plano. Algumas delas são mais apropriadas ou mais simples, adaptando-se melhor aos objetivos a que se prestam.

1.1 Sistema de Coordenadas Retangulares A definição de um sistema de um par fixo de eixos, que se interceptam, permitindo a medição linear em duas direções, é considerado como sendo um sistema cartesiano, conforme pode ser visto na figura 2. Figura 2 – Um sistema cartesiano genérico

Origem Eixos Coordenados

Um sistema de coordenadas genérico compreende conjuntos ou famílias de linhas que se interceptam umas às outras, formando uma rede ou malha quando desenhada (figura 3).

Malha ou grade

Figura 3 – Malha de famílias de linhas As condições necessárias que devem ser preenchidas pelo sistema são: 30

1 - as duas famílias sejam distintas entre si; 2 - que qualquer linha de uma família deva interceptar as linhas da outra família em apenas um ponto; 3 - duas linhas de uma mesma família não podem se interceptar. Desta forma, um sistema cartesiano pode abranger famílias de retas ou curvas que se interceptem sob quaisquer ângulos, conforme pode ser visualizado na figura 4.

Famílias de Curvas e Retas Sistema de Eixos

Figura 4 – Famílias de curvas ou retas

Y

O

X

Figura 5 – Sistema de eixos retos ortogonais Entretanto existem vantagens significativas para o caso especial de se tomar ambas as famílias de linhas retas e que se interceptem segundo direções ortogonais (perpendiculares entre si). A esse sistema dá-se o nome de sistema plano retangular de coordenadas. Na figura 5, a origem do sistema retangular é o ponto O, através do qual foram traçados os eixos OX e OY, definindo a direção das duas famílias de linhas. A convenção matemática estabelece o eixo horizontal OX como eixo X, definindo a família de coordenadas denominadas de abcissas e o eixo vertical OY como eixo Y, definindo a família de coordenadas denominadas de ordenadas. Sendo cada eixo uma linha reta e perpendicular um ao outro, segue-se que todas as linhas de uma mesma família serão paralelas entre si e todos os pontos de interseção dentro da rede são obtidos através de famílias de linhas retas perpendiculares (figura 6). 31

Y N

P

y

x 0

X

M

Figura 6 – Posição de um ponto no plano A posição de um ponto P no plano, é definida pelas duas coordenadas lineares PN = x e PM = y, tomadas da origem O, nos dois eixos, traçados de P como perpendiculares aos eixos X e Y. A notação para designação da posição de um ponto P, através das coordenadas x = PN e y = PM, é dado pelo par de coordenadas P (x,y). As unidades definidas para as coordenadas são unidades de medidas lineares, podendo ser milímetros, centímetros, metros, quilômetros, polegadas, pés, ou seja, unidades de qualquer sistema métrico. Figura 7 – Quadrantes e sinais das coordenadas Y

o 4 Q xy+ xyo 3 Q

o 1 Q x+ y+ 0

S

xs xp

ys

P yp X

O

x+ yo 2 Q

yr R

yq xr

xq

Q

Os eixos coordenados dividem o espaço em quatro regiões, denominados quadrantes e numerados, de 1 a 4, a partir do quadrante superior direito, no sentido horário. A convenção de sinal para as coordenadas x e y, estabelece que as coordenadas serão positivas e negativas à direita e à esquerda do eixo Y e acima e abaixo do eixo X, respectivamente (figura 7). Assim, o sinal convencional das coordenadas são: 10 quadrante + x e + y 20 quadrante + x e - y 30 quadrante - x

e -y 32

40 quadrante - x

e +y

Exercício Resolvido 1 – Marcar a posição dos seguintes pontos em um sistema de eixos cartesiano plano, especificando o quadrante em que se encontram: A( 3, 5); B(8, -3), C(-7; 4); D(-3,-6); E(0, 5); F(5, 0) Solução: a) Análise do sinal A: x + e y + → 1o Quadrante B: x + e y - → 2o Quadrante C: x - e y + → 4o Quadrante D: x - e y - → 3o Quadrante E: x 0 e y + → não pertence a nenhum quadrante; pertence ao eixo X A: x + e y 0 → não pertence a nenhum quadrante; pertence ao eixo Y b) Plotagem nos eixos coordenados Y

C

-7

5F

3

A 5

-4

E 5

-6

D

8

X -3

B

-3

1.2 Posição Absoluta e Relativa A posição absoluta de um ponto será sempre estabelecida através das suas coordenadas, em relação à origem do sistema de coordenadas. O ponto A(3, 5), terá portanto, coordenadas absolutas 3 e 5 em relação à origem do sistema de coordenadas. A diferença de coordenadas entre dois pontos estabelece uma quantidade linear, equivalente a projeção da medida linear entre estes dois pontos em cada eixo coordenado, conforme a figura 8. 33

Tendo-se dois pontos genéricos 1 e 2, definidos por suas coordenadas, (x 1 , y1) e (x2 , y2), podese determinar a diferença de coordenadas entre 1 e 2, genericamente, pelas grandezas ∆x12 = ( x2 - x1 ) e ∆y12 = ( y2 - y1 ) e ∆x21 = ( x1 - x2 ) e ∆y21 = ( y1 - y2 ), verificando-se que o valor de cada diferença é idêntico, porém de sinal contrário, ou seja têm o mesmo valor absoluto e sinal contrário. ∆x12 = -∆x21 Exercício resolvido: Determinar a diferença de coordenadas entre os pontos A( 3, 5) e B(8, -3), em relação ao ponto A e ao Ponto B. Solução: ∆xAB = ( xB - xA ) e ∆yAB = ( yB - yA ) e ∆xBA = ( xA - xB ) e ∆yBA = ( yA - yB ) ∆xAB = ( 8 - 3 ) = 5 e ∆yAB = ( -3 - 5 ) = -8 ∆xBA = ( 3 - 8) = -5 e ∆yBA = ( 5 - (-3) ) = 8 Através destas igualdades,

verifica-se que as coordenadas de um ponto podem ser

perfeitamente determinadas se forem conhecidas as coordenadas de um deles e suas diferenças de coordenadas, através das formulações. x2 = x1 + ∆x12

y2 = y1 + ∆y12

x1 = x2 - ∆x21

y1 = y2 - ∆y21

As relações trigonométricas que envolvem coordenadas e diferenças de coordenadas são as seguintes: Y 2 (x2,y2 )

β α

∆y

1 (x1,y1) ∆x 0

X

Figura 8 – Diferença de coordenadas O ângulo α, definido pelas diferenças de coordenadas, é calculado pelas funções trigonométricas tg α =

∆y ∆x

ou α = arctg

∆y ∆x

34

e ainda α = arctg

( y 2 − y1 ) . ( x 2 − x1 )

O ângulo β por sua vez é determinado pelas relações β = arctg tg β =

∆x ∆y

ou β = arctg

( x 2 − x1 ) ( y 2 − y1 )

e

∆x , uma vez que são complementares. ∆y

A determinação do comprimento da linha entre 1 e 2, é estabelecida através da formulação de cálculo da distância entre dois pontos da geometria plana:

[

d12 = 12 = ( x 2 − x1 ) − ( y 2 − y1 ) 2

]

2 1/ 2

ou

d12 =

∆x 2 + ∆y 2

Por sua vez, pode-se em função do comprimento d, medido entre 1 e 2 e do ângulo formado por esta linha e o eixo X, que estabelece o ângulo α, pode-se também determinar as diferenças de coordenadas: ∆x12 = (x2 - x1) = d cos α ∆y12 = (y2 - y1) = d sen α Estabelecendo-se o cálculo em função do ângulo β, definido pelo eixo Y e a direção da linha considerada, as relações são as seguintes: ∆x12 = ( x2 − x1 ) = d12 sen β = d12 sen( 900 − α ) ∆y12 = ( y2 − y1 ) = d12 cos β = d12 cos( 900 − α )

Para a determinação de β tgβ =

∆x ( x 2 − x1 ) = ∆y ( y 2 − y1 )

β = arctg

e

( x 2 − x1 ) ( y 2 − y1 ) Y

∆x

4 ∆y

p4

∆x

p4

β p4

O

p3

3

αp3

β p3

∆x

1

β p1

αp4

∆y

p1

∆y

αp1

P

α

p2

β p2

p3

∆x

∆y

p1

p2

2 p2

X

35

Figura 9 – Posição relativa de pontos segundo os quadrantes relativos A posição relativa é estabelecida sempre entre dois pontos, ou seja, considerando-se um ponto 1 e um ponto 2, genéricos quaisquer, tem-se a posição relativa do ponto 2 em relação ao ponto 1 e vice-versa. Este posicionamento relativo é definido através das diferenças de coordenadas de um ponto em relação ao outro. A figura 9 mostra este raciocínio para os pontos P e os pontos 1, 2, 3 e 4. Define-se um dos pontos como uma suposta origem de um novo sistema de coordenadas, no qual, em lugar das coordenadas absolutas de cada ponto, são consideradas as diferenças de coordenadas entre estes mesmos pontos. O cálculo das diferenças de coordenadas através dos ângulos α e β complica-se com a posição relativa dos pontos em outra posição diferente de valores das diferenças de coordenadas exclusivamente positivas (1o quadrante). Tem-se com isto que verificar continuamente a posição dos pontos, para se determinar qual o ângulo que está sendo computado para o cálculo, sinal da diferença de coordenadas, sinal do seno, coseno ou tangente, uma vez que os ângulos α e β são sempre menores que 90°, portanto fornecendo valores referidos ao 1o Quadrante. Facilita-se o problema, através da adoção de um ângulo, que tem como origem o ponto que se deseja definir a diferença de coordenadas, tomando-se como origem angular uma paralela ao eixo Y passando por este ponto e o valor angular contado no sentido horário até a direção do segundo ponto. Pode ser facilmente verificado que a diferença entre os dois ângulos θ12 e θ21 será sempre de Y 2 Θ12

Θ34 3

Θ21

1 X

4

Θ43

180° , ou seja: θ12 = θ21 + 180o Por outro lado, o cálculo das diferenças de coordenadas pode ser facilmente obtido a partir desta direção base, fazendo-se ∆x12 = d12. senθ12 e ∆y12 = d12. cosθ12 1.3 Coordenadas Planas Polares

36

As coordenadas polares definem uma posição por meio de uma medição linear e uma medição angular. O par de eixos ortogonais é substituído por uma linha simples, OQ, passando pela origem O, agora denominado origem ou polo do sistema. Q θ O r

P

O - polo OQ - Eixo Polar OP=r - Raio Vetor θ - Ângulo Vetorial

Figura 10 – Sistema polar A posição de qualquer ponto P é definida por meio de uma medição linear da origem ou polo ao ponto considerado e o ângulo formado entre o eixo polar OQ e a direção OP, respectivamente por meio da distância OP = r e o ângulo QÔP = θ, definindo um par de coordenadas, caraterística de um sistema plano de posicionamento. A linha OP é denominada raio vetor e o ângulo θ ângulo vetorial, ângulo que o raio vetor faz com o eixo polar. Assim a posição de P é definida pelo par de coordenadas P (r, θ). Exemplo: Considerando-se o ponto O como polo de um sistema polar e a direção OQ como eixo polar, a posição de um ponto P de coordenadas (10, 30°), será dada por um esquema definido pela figura abaixo: O ângulo vetorial pode ser expresso em unidades sexagesimal (graus), centesimais (grados) ou Q Y

P

Eix o

Po lar

N30°

Polo

O

P

θ

y

r 10

0

x

M

X

ainda, em radianos, observado no sentido horário. Figura 11 – Relação sistema polar e sistema cartesiano As coordenadas polares relacionam-se com as coordenadas planas retangulares, através de relações trigonométricas simples. A figura 11 mostra a estrutura deste relacionamento.

37

Toma-se o ponto P, de coordenadas planas retangulares (x, y). Assumindo-se agora o sistema polar onde a origem esteja em O, o eixo polar seja o eixo cartesiano OY, r = OP e θ = YOP e as coordenadas x = PN e y = PM, pela triângulo PON tiram-se as relações: x = r sen θ y = r cos θ Estabelece-se assim o relacionamento de transformação de coordenadas polares para planas. O relacionamento inverso pode ser obtido segundo diversas formas de obtenção das coordenadas polares em função das coordenadas planas cartesianas. tg θ = x / y r = y sec θ r = x cosec θ r 2 = x2 + y2 sen θ = x / r cos θ = y / r Este relacionamento

é bastante simples, uma vez que as origens dos dois sistema estão

coincidentes. Havendo um deslocamento entre origens, deve ser considerada a diferença de coordenadas entre os dois sistemas, conforme é visto na figura 12. Y P

N θ r

∆y x

0

O'

∆x

y 0

O

X M

Figura 12 – Sistemas relativos Neste caso, todos os relacionamento anteriores são válidos, levando-se em consideração a diferença de coordenadas entre as duas origens O e O’ (x 0 , y0). As coordenadas de P em relação à origem O serão: xp = ∆x + x0 yp = ∆y + y0 2 - Sistemas de Referência Tridimensionais 38

Os sistemas tridimensionais são sistemas espaciais, portanto necessitam de três coordenadas para o posicionamento de um ponto no espaço. Alguns sistemas são extensões dos sistemas planos e outros são trabalhados de forma a definirem um sistema de representação mais específico para determinada aplicação. 2.1 - Sistema Cartesiano e PolarTridimensional A extensão de um sistema cartesiano plano retangular para um espaço tridimensional é simples e de fácil compreensão. Um espaço tridimensional possui evidentemente 3 dimensões físicas: x, y, caracterizando um plano e a 3a coordenada z, constituída por uma família de planos. A definição agora, não mais refere-se a família de linhas ortogonais dois a dois. O sistema de eixos coordenados será caracterizado pela interseção destes planos: OXZ, OYZ e OYX. Z

P r β

O α

z

r1

y

X

x

Y

Figura 13 – Sistema tridimensional cartesiano A posição de qualquer ponto no espaço será definida pela interseção dos planos paralelos aos planos origem considerados. Assim um ponto será determinado por um terno coordenado P (x, y, z). Considerações semelhantes podem ser deduzidas para um sistema polar no espaço, que através de uma distância ao ponto pela origem (r) e dois ângulos vetoriais, tem a sua posição determinada por um conjunto de coordenadas do tipo P ( r, α, β ).

3.2 - Sistemas de Coordenadas na Esfera e no Elipsóide Esfera e elipsóide (ou esferóide) são corpos sólidos e em conseqüência, um sistema de posicionamento de pontos sobre ou sob a sua superfície, é necessariamente tridimensional, sendo portanto exigidas três coordenadas para a sua materialização. A idéia de latitude, longitude, paralelos ou meridianos, muitas vezes já é conhecida, porém sem os fundamentos que levaram à sua caracterização.

39

É desejável portanto alguns comentários um pouco mais profundos sobre a geometria da Terra, quando é assumida como uma esfera perfeita, para introduzir uma notação padronizada para esta hipótese e mostrar algumas diferenças básicas para o esferóide. Inicialmente deve ser entendido o que é precisamente representado por planos, arcos e ângulos em um e em outro. Sabe-se que: - uma esfera é um corpo sólido cuja superfície é eqüidistante do centro; - toda esfera tem raio constante; - a normal a um plano tangente à superfície no ponto de tangência é um raio da esfera; - a distância entre dois pontos na superfície pode ser medida como distância angular ou distância arco. Estas são as propriedades principais da esfera e que serão essenciais para o prosseguimento das definições seguintes. - Se um plano intercepta uma esfera, a seção resultante da superfície curva que é traçada no plano é um círculo. - Um círculo máximo ou grande círculo é o círculo de uma seção que passa pelo centro da esfera. Em outras palavras, o círculo PP’CD e ABCD são círculos máximos. Todos com centros em O, centro da esfera. Um e somente um círculo máximo pode ser traçado entre dois

pontos

na

superfície

da

esfera,

que

não

sejam

diametralmente opostos. O menor arco de um círculo máximo passante por dois pontos, é a menor distância entre estes pontos na superfície esférica. - Se o plano de interseção com a esfera não passa pelo centro da esfera, determina também uma seção circular, porém de raio menor que o raio da esfera. Esses círculos são denominados de pequenos círculos. Na figura, o círculo EFGH é um pequeno círculo, de centro O’. - O eixo de qualquer círculo é uma linha reta passando pelo centro da esfera, perpendicularmente ao plano do círculo. Na figura a linha POP’ é o eixo do círculo máximo ABCD. Pela definição de que apenas um círculo máximo pode ser traçado por 2 pontos que não sejam diametralmente opostos, o eixo de dois ou mais círculos máximos não coincidem.

40

Por outro lado um círculo máximo e um número infinito de pequenos círculos podem ter o mesmo eixo. Neste caso especial, pela definição de eixo, o círculo máximo e os pequenos círculos serão paralelos entre si. Além disso, se os planos são paralelos, as circunferências dos círculos também são paralelas. Os polos de qualquer círculo são os pontos de interseção do eixo do círculo com a superfície da esfera. Na figura P e P’ são os polos do círculo máximo ABCD. Pela definição que uma esfera tem raio constante e que a seção de um grande círculo passa pelo centro da esfera, os polos de um círculo máximo são eqüidistantes do seu plano: PO = P’O. Para um pequeno círculo, pode-se notar claramente a desigualdade entre P’O’ e PO’. - Se um círculo máximo é denominado círculo máximo primário, qualquer círculo máximo que passe por seus pólos será denominado círculo máximo secundário. Como os polos são diametralmente opostos, pode-se definir infinitos círculos secundários. Na figura os círculos máximos PFAP’CH e PGBP’DE, são secundários ao círculo máximo ABCD. Como o eixo do círculo primário coincide com o plano de cada círculo secundário, pode se verificar que o plano, e portanto, a circunferência de cada círculo secundário, é perpendicular ao plano e circunferência do círculo máximo primário. Além disso quaisquer pequenos círculos que tenham um eixo comum a um círculo máximo primário, terão também planos e circunferências perpendiculares aos círculos secundários desse círculo máximo. Coordenadas Geográficas A construção da rede geográfica se inicia a partir do movimento de rotação da Terra em torno de um eixo imaginário vertical. Os pontos da Terra por onde este eixo emerge, são conhecidos como Pólo Sul e Pólo Norte (vide figura 2).

41

Figura 2: Eixo daTerra e Pólos Norte e Sul Para melhor entender a construção desta rede geográfica, partimos de um plano horizontal perpendicular a este eixo, que passa bem no centro da Terra. Ao cortar a superfície terrestre, este plano horizontal forma a linha do equador, que divide o globo em dois hemisférios, o norte (HN) e o sul (HS). Vide figura 3.

Figura 3: Equador e Hemisférios Não é dado nenhum nome específico aos círculos máximos secundários, mas a palavra meridiano define cada semicírculo de um par, que juntos formam um círculo secundário. A cada meridiano, opõe-se o seu antimeridiano, ou seja, o meridiano diametralmente oposto. O círculo máximo secundário completo compreende o meridiano e o seu antimeridiano. Em seguida, são traçados uma série de outros planos horizontais, que cortam o globo terrestre formando pequenos círculos, paralelos ao plano do equador. Estes círculos, denominados paralelos, diminuem de tamanho a partir do equador (que é um círculo máximo) até os pólos, devido à curvatura da Terra (vide figura 4). O raio de um paralelo, dessa forma variará desde o raio terrestre, no equador até zero nos polos.

42

Figura 4: Paralelos e Meridianos Pelo conceito da utilização de ângulos centrais (a partir do centro de uma esfera), para medir distâncias sobre a superfície curva, pode-se inferir um sistema de coordenadas tridimensionais polares como um método de locação de pontos sobre a superfície da esfera tendo o seu centro como origem. Como uma extensão do conceito de coordenadas polares visto anteriormente, um ponto pode ser localizado no espaço através de dois ângulos vetoriais e um raio vetor. Isto define um sistema polar esférico ou coordenadas esféricas polares. Na esfera o raio vetor é constante, logo, qualquer ponto na superfície poderá ser então localizado pela definição apenas, dos dois ângulos vetoriais. São escolhidos para isto dois planos ortogonais que se interceptam no centro da esferas, considerados então como origem. Figura 5 – Coordenadas terrestres

Um plano já foi definido e é o plano do Equador. O Equador é utilizado como origem para as medições do ângulo vetorial conhecido como latitude. O outro plano é um plano arbitrário, definido pelo meridiano que passa pelo centro ótico da luneta do Observatório de Greenwich, utilizado para as medições do ângulo vetorial denominado de longitude. Formalmente define-se a latitude de um lugar como o ângulo vetorial entre o Equador e o lugar, medido sobre o meridiano que o contem, na figura 5, o ângulo AÔQ. É positiva se for medida do Equador para o norte e negativa se medida em direção ao polo Sul. A latitude é expressa em unidades sexagesimais, ou seja, graus, minutos e segundos. É notada pela letra grega ϕ (fi). Vide figura 5. Para qualquer valor de latitude ϕ, existirão uma infinidade de pontos na superfície terrestre, que fazem este mesmo ângulo com o Equador. O lugar geométrico desses pontos é a circunferência de círculo, cujo plano é paralelo ao Equador. 43

Assim os planos de todos os paralelos são paralelos ao Equador e compartilham o mesmo eixo. Segue-se que qualquer paralelo será um pequeno círculo, porque o Equador é um círculo máximo. Para obtermos a posição de qualquer ponto na direção norte-sul são dados valores a estes círculos. Por se destacar nitidamente, a linha do equador recebe valor zero, ou seja possui latitude igual a 0º, sendo portanto, considerada a origem da contagem destas coordenadas (latitude). Cada círculo ou paralelo, vai recebendo um valor em graus, que cresce para norte ou sul a partir do equador até os pólos. Essa variação de valores é medida em graus de latitude, e vai de 0º a 90º N (no hemisfério norte)1, e igualmente de 0º a 90º S (no hemisfério sul)2. Vide figura 11.

Figura 5: Contagem das latitudes Define-se a latitude de um ponto P - ϕ - como a distância angular, positiva ou negativa, dependendo do hemisfério considerado, contada sobre o meridiano que passa por P, a partir do equador até o paralelo que também passa por este ponto.

Nota: Além do equador existem quatro paralelos especiais. No hemisfério norte ficam o Trópico de Câncer (23º 27’N) e o Círculo Polar Ártico (66º 33’N), e no hemisfério sul situam-se o Trópico de Capricórnio (23º 27’S) e o Círculo Polar Antártico (66º 33’S).

A longitude é o ângulo vetorial definido pelo plano do meridiano origem e o plano do meridiano passante pelo lugar, medido sobre qualquer paralelo ao Equador,uma vez que este ângulo é esférico. A escolha de um meridiano origem é arbitrária. Porém é mundialmente aceita a definição do meridiano que passa pelo eixo da luneta do Observatório de Greenwich, na Inglaterra, como meridiano origem para as medições de longitude. Existem, no entanto, países que ainda adotam outros meridianos como origem de suas coordenadas, exceto para navegação, devido a ser padronizado internacionalmente. Vide figura 6. Ao Primeiro Meridiano (Greenwich) é atribuído valor zero, ou longitude igual a 0º. Os demais recebem valor variando de 0º a 180º E (leste) ou 0º a 180º W (oeste), conforme o hemisfério oriental ou ocidental em relação ao meridiano de Greenwich. Igualmente as latitudes, as longitudes também foram 1 2

Que também são convencionadas como coordenadas positivas (0º a +90º) Que, ao contrário, são convencionadas como negativas (0º a –90º)

44

convencionadas como positivas ou negativas, atribuindo-se a leste ou valores positivos e a oeste, os negativos. O Brasil se encontra totalmente a oeste de Greenwich, possuindo assim, somente longitudes negativas.

Figura 6: Meridiano de Greenwich (Melhoramentos, 1998)

Define-se a longitude de um ponto P - λ - como a distância angular, positiva ou negativa, dependendo do hemisfério considerado, contada sobre o equador, a partir do meridiano de Greenwich até o meridiano que passa por P. Será positiva se estiver a este de Greenwich e negativa se estiver a oeste. É notada pela letra grega λ (lâmbda), sendo também medida em unidades sexagesimais. Meridiano Origem φ+ λ− φ− λ−

φ+ λ+

Equador

φ− λ+

Figura 7 – Sinal da latitude e longitude A definição de coordenadas de um ponto sobre a superfÍcie terrestre será dada então pela dupla ( ϕ , λ). A diferença de coordenadas entre dois pontos 1 e 2, genéricos quaisquer, pode ser expressa pelas relações: δϕ

= ϕ2 - ϕ1

δλ = λ2 - λ1 A malha resultante de paralelos e meridianos definem o sistema de coordenadas geográficas conhecidas como gratícula, seja com referência a superfície terrestre, seja em relação à sua 45

representação em um plano através de uma projeção cartográfica. Uma interseção de gratícula define um ponto na superfície de coordenadas geográficas (ϕ, λ). Esta convenção é internacionalmente aceita. Vide figura 7.

Figura 7: Sistema de coordenadas terrestre – a gratícula (Tyner, 1992) As coordenadas geográficas constituem a forma mais eficiente de prover uma referência de posicionamento unívoco em Geografia, navegação e outras ciências afins. A rede de paralelos e meridianos (gratícula) efetua o controle geométrico para o uso de um mapa, reconhecida universalmente a diferentes níveis de utilização. Existem outros sistemas, porém de uso mais restrito, podendo-se citar o sistema de coordenadas de azimute e distância e o próprio sistema cartesiano tridimensional. Estes sistemas, porém são interrelacionados e podem ser transformados de um para outro, bastando que para isso se conheça parâmetros de translação, rotação e escala entre elas. Fica faltando relembrar que, para ambos os casos, tanto para a latitude como para a longitude, objetivando uma maior precisão na localização, a unidade grau é subdividida em minutos e segundos. Como já é sabido 1grau (1º) possui 60 minutos (60’), enquanto um minuto possui 60 segundos (60”).

Exercício Resolvido: 1) Considere dois pontos, A e B, localizados sobre a superfície terrestre. Conhecendo-se suas coordenadas geográficas, calcule as diferenças de coordenadas, latitudinal e longitudinal, e identifique os hemisférios em que os pontos se encontram. ϕA = -23o 24’ 30”

λA = 05o 00’ 40”

ϕB = -47o 04’ 10”

λB = -55o 54’ 07” 46

Solução: As diferenças de coordenadas latitudinal e longitudinal são obtidas pelas fórmulas δϕ = ϕ2 - ϕ1 e δλ = λ2 - λ1, tendo-se para o caso de A e B: δϕAB = ϕB - ϕA ∴ δϕAB = 05o 00’ 40” – (-23o 24’ 30”) = 28o 25’10” δλAB = λB - λA ∴ δλAB = -55o 54’ 07” – (-47o 04’ 10”

) = -8o 49’57”

Quanto a localização, tem-se que os pontos A e B se encontram no hemisfério Sul (latitudes negativas) e, respectivamente, a Este (longitude positiva) e Oeste de Greenwich (longitude negativa).

3.3 – CONCEITO DE AZIMUTE E ARCOS NA SUPERFÍCIE TERRESTRE 1 - Ângulos e Distâncias na Terra – Conceito de Azimute Um ângulo esférico é a medida angular no ponto de interseção, de dois arcos de círculo máximo medidos na superfície curva da esfera. Ele é igual ao ângulo plano formado entre as duas tangentes traçadas no ponto de interseção, a cada círculo máximo. Considerando-se os círculos máximos PA e PB, o ângulo DPA é igual ao ângulo plano KPJ. Figura 1 – Ângulo esférico

Por essa figura, pode-se verificar que a longitude λ pode ser medida em qualquer ponto do eixo de rotação, uma vez que este ângulo pode ser medido em um plano paralelo ao Equador. Na figura 1, o ângulo plano KPJ e o ângulo esférico APD são iguais. Um segundo conceito angular importante é o conceito de azimute, entre dois pontos, introduzindo a noção de ângulos e direções sobre a superfície terrestre.

47

Considerando-se 3 pontos N, A e B conforme a figura 2, onde N é o Pólo Norte e NA é um arco de círculo máximo, representando o meridiano A, similarmente com B e NB. A linha AB representa a menor distância entre A e B, portanto um arco de círculo máximo, definindo-se um triângulo esférico, formado pela interseção dos 3 círculos máximos. Figura 2 – Azimute

O azimute de um ponto a outro, é genericamente definido como “o ângulo formado entre a direção norte e a direção ao outro ponto, contado no sentido horário”. Em termos da superfície terrestre, pode ser visto como o ângulo esférico formado entre qualquer círculo máximo e um meridiano, tendo como origem a orientação para o Norte. O ângulo NAB representa o azimute de A para B e NBA o azimute de B para A. 2 - Comprimento de Arcos de Círculos e Esféricos O comprimento C do arco de uma circunferência é dado pela relação: C=2π R Onde R é o raio do círculo considerado, 2 π a constante da relação e C corresponde ao desenvolvimento de um ângulo central igual a 360°. O comprimento de um arco de círculo, será dado de forma semelhante, pela formulação: AB = R. z onde R é o raio do círculo e z o ângulo central AOB, expresso em radianos, conforme pode ser visto na figura 3. Figura 3 – Comprimento de um arco de círculo

48

3 – Comprimento de um Arco de Meridiano Sendo os meridianos arcos de círculo máximo, todos têm portanto o raio terrestre como raio definidor. Na figura 4, considerando-se um meridiano qualquer, o arco de um meridiano irá corresponder à diferença de latitudes entre dois pontos quaisquer, sobre este mesmo meridiano. Desta relação, introduzindo as notações correspondentes, o comprimento de um arco de meridiano, entre dois pontos A e C quaisquer, de coordenadas A = (ϕa, λa) e C(ϕC, λC), sobre um mesmo meridiano será: S m = RδϕAC onde δϕAC = (ϕC −ϕA )

N

D C

B

δλΑΒ δϕΑC A E

O

ϕΑ E F

S

Figura 4 – Arcos de meridianos e paralelos Todos os ângulos expressos em radianos. 4 - Comprimento de um Arco de Paralelo Sabe-se que um paralelo é um pequeno círculo, assim o raio do pequeno círculo definido pelo paralelo será sempre menor que o raio da esfera r p < RT. Assim, para uma distância angular dada, a distância arco no paralelo é menor que a distância correspondente ao longo do Equador. Na figura, NCAF corresponde ao meridiano de longitude λa e NDBE é o meridiano de B, de longitude λb, portanto o ângulo AOB = FO’G = δλ= λb -λa. r

O' 90 - φ

R φ

49 O

Figura 5 – Raio de um paralelo Da formulação de arco de um círculo: EF = R δλ

e

AB = r δλ Do triângulo O’FO, retângulo em O’ Tira-se: r = R sen (90° - ϕ)

ou

r = R cos ϕ Consequentemente a distância arco ao longo de um paralelo de latitude ϕ é determinado por: Sp = R cosϕ δλ 5 - Comprimento de um Arco Qualquer de Círculo Máximo Considerando-se dois pontos A e B, com as coordenadas (ϕa, λa) e (ϕb, λb) respectivamente deve-se resolver o triângulo esférico NAB, na figura 2, para determinar o lado AB = z. Expressando a formulação, sem dedução, em função da latitude e longitude de A e B, definese:: cos z = sen ϕa sen ϕb + cos ϕa cos ϕb cos(δλ )

ou

cos z = sen ϕa sen ϕb + cos ϕa cos ϕb cos (λa - λb) E finalmente: S=Rz 6 - Determinação do Azimute O azimute entre dois pontos A e B qualquer, pode ser definido através da trigonometria esférica NAB = Z. A dedução de equação conduz à formulação cot Z = cos ϕa .Tg ϕb .cosec δλ - sen ϕa cot δλ 7 - Convergência de Meridianos O azimute de A para B e B para A não são recíprocos, ou seja, α ≠ α′ + 180°. Diferem de uma quantidade γ mostrado na figura.

δλ α A

γ α'

50

B

Isto leva a uma conclusão importante que um azimute de qualquer círculo máximo que cruza um meridiano obliquamente, somente pode ser definido no ponto que estiver sendo medido, significando que o azimute muda continuamente, a razão para isto é existência da quantidade angular denominada convergência meridiana. No Equador o arco entre 2 meridianos é: Sa = R δλ. Nos pólos a distância correspondente é nula. No Equador, os meridianos λa e λb são perpendiculares a ele, interceptando-se nos polos para definir a diferença de longitude δλ. A convergência entre dois meridianos em qualquer latitude intermediária, é expressa pelo ângulo γ , variando de 0 no Equador até δλ nos pólos. Pode ser presumida que varie então de acordo com o seno da latitude ( 0 a 1 ), logo: γ = δλ . sen ϕ Para uma linha AB qualquer entre os paralelos ϕa e ϕb, é usual expressar a convergência em termos de uma latitude média:

(ϕ + ϕ ) γ = δ s λe n a b 2 8 - Sistema de Coordenadas no Elipsóide A utilização da figura do elipsóide de revolução como representativo da forma da Terra, tem por objetivo a maior aproximação entre o geóide e o elipsóide, acarretando com isso erros menores no desenvolvimento de cálculos geodésicos. Isto acarreta a necessidade de um estudo profundo da geometria do elipsóide e sua adaptação à superfície terrestre. Não será desenvolvido isto aqui, tendo em vista que foge aos objetivos do curso, uma vez que cálculos que requeiram a utilização do elipsóide não serão necessários para o dia a dia do geógrafo. Deve-se, no entanto, observar que nos mapeamentos efetuados

em

escala

média

(de 1:

1.000.000, até alguns de 1: 2.000) são sempre efetuados com a utilização desta figura matemática como base. Os conceitos de latitude e longitude continuam como expressão do sistema de posicionamento sobre a superfície terrestre. N P ψ

51 S

φ

O conceito de longitude é idêntico. O de latitude porém tem uma pequena modificação. Existirão duas latitudes: a geocêntrica, tomada em relação ao centro do elipsóide e a geodésica, tomada em relação à normal ao plano tangente e o plano do Equador. Para a definição do sistema de posicionamento, utiliza-se a latitude geodésica como ângulo vetorial. Exercício Resolvido Determinar o comprimento dos arcos de meridianos paralelos entre esses pontos, sabendo-se que as coordenadas de A e B são respectivamente: (-24° 13′ 22,82″ ; -72° 37′ 42,93″) e (-45° 37′ 45,32″;67° 43′ 17,79″). Raio terrestre = 6372 km. Solução: Esboço de posicionamento

A -24° 13′ 22,82″

B -72° 37′ 42,93″

-45° 37′ 45,32″

-67° 43′ 17,79″

a) Cálculo do arco de meridiano Basta calcular um dos arcos, uma vez que os dois arcos de meridianos serão iguais.

δϕAB = (ϕB −ϕA ) = -45° 37′ 45,32″ - (-24° 13′ 22,82″) = -21° 24′ 22,5″ transformando em radianos

δϕAB = 0,369018628941 Sm = Rδϕ = 2351.38670361 km b) Cálculo do arco de paralelo 52

Como não foi especificado qual o paralelo, deve ser realizado para os dois paralelos, de A e B respectivamente. Isto mostrará a desigualdade entre os arcos de paralelo. SpA = RcosϕA(δλAB) e SpB = RcosϕA(δλAB) rA = RcosϕA

rB = RcosϕB

rA = 6372 * 0,911955449251 = 5810,98012263 km rB = 6372 * 0,699298435449 = 4455,92963068 km 3.4 Tempo e Fusos Horários A medida do tempo no passado, quando mesmo os pequenos deslocamentos apresentavam-se com a duração de vários dias, apenas os astrônomos podiam compreender que o tempo solar, no mesmo momento, era variável, em diferentes lugares. De fato, se em um determinado local o Sol encontra-se próximo à posição do meio dia, a oeste dessa posição, o Sol ainda não alcançou esta posição, enquanto que a leste, ela já foi ultrapassada. Se dois lugares estiverem alinhados ao longo de um mesmo meridiano, terão a mesma hora solar, pois estarão vendo o Sol sob o mesmo ângulo horário com a posição do meio dia. Figura 1 A figura 1 mostra um exemplo das situações apresentadas. A Terra (E), observada pelo polo norte, é iluminada pelo Sol (S). Os raios solares atingem a superfície terrestre paralelamente, devido à distância Terra-Sol. A seta curva mostra a direção contrária da rotação terrestre, uma vez que se está considerando a Terra fixa. O Sol está alinhado com a direção do meridiano (MN) e o ponto M indica a passagem do Sol pelo meridiano (meio dia). Em E, a este são 3 horas, havendo um ângulo horário de + 3 horas, definido pelas direções MN e NA, direção do meridiano local. Similarmente, existirá um ângulo horário de – 3 horas, em relação ao meridiano BN, em W. No ponto L também serão meio dia, pois está situado sobre o mesmo meridiano MN. 53

3.4.1 Medidas de Tempo O tempo e sua medida é algo que é amplamente conhecido e vivido por cada ser humano. Porém o que é tempo? Qual o seu significado real? Como é medido e sentido sobre a superfície terrestre? O dicionário Webster define tempo como: “O período medido ou mensurável, durante o qual uma ação, processo ou condição exista ou continue a existir”. Também é definida a duração desse período, como “o continuum não espacial, que é medido em termos de eventos que se sucedem um ao outro, do passado, através do presente, para o futuro. O conceito antigo de tempo definia o dia como a unidade básica, estabelecida como o período de luz solar, seguido pela noite, consistindo de dois períodos de 12 horas, num total de 24 horas. Uma hora é dividida em 60 minutos, que por sua vez subdivide-se em 60 segundos, estabelecendo assim um sistema sexagesimal. Os segundos por sua vez são subdivididos no sistema decimal, em décimos, centésimos, milésimos de segundo. Modernamente o tempo é definido tendo por base o segundo. Um dia possui 86400 segundos e um segundo é oficialmente definido como 9 192 631 770 oscilações do átomo do Césio-133 em um relógio atômico. Existem ainda outros sistemas de tempo, principalmente voltados para aplicações astronômicas e satélites (GPS), como por exemplo: - Tempo dinâmico, que considera o tempo definido pelo movimento orbital da Terra no Sistema Solar. - Tempo Universal (UT), baseado na rotação terrestre em relação às estrelas (Tempo sideral). Sideral Time : Tempo Sideral – A medida de tempo definida pelo movimento diurno aparente do ponto vernal; portanto, uma medida da rotação da Terra com respeito a malha de referência relacionada com as estrelas ao invés do sol. São usados dois tipos de tempo sideral em astronomia: tempo sideral médio e tempo sideral aparente. Um dia sideral é igual a cerca de 23 horas, 56 minutos, e 4,090 segundos do dia solar médio. Da mesma forma, 366,2422 dias médios siderais são iguais a 365,2422 dias solar médio. - Tempo Atômico Internacional (IAT), Uma escala de tempo atômico baseada em dados provenientes de um conjunto mundial de relógios atômicos. Constitui por acordo internacionalmente aceito a referência de tempo em conformidade com a definição do segundo, a unidade fundamental de tempo atômico no Sistema Internacional de Unidades (SI). É definido como a duração de 9 192 631 770 54

períodos da radiação correspondente a transição entre dois níveis hiperfinos dos átomos de césio 133 em seu estado básico. O TAI é mantido pelo Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) na França. Embora o TAI tenha sido oficialmente introduzido em Janeiro de 1972, ele está disponível desde Julho de 1955. - Tempo Terrestre (TT) –A nova denominação do Tempo das Efemérides, definida pela União Astronômica Internacional em 1991. Em Janeiro 01, 1997, TT = TAI + 32,184 segundos, e a duração do segundo foi escolhida em concordância com o Sistema Internacional (SI) sobre o geóide. A escala TT difere do antigo Tempo das Efemérides em sua definição conceitual. Todavia, na prática é materializado pelo Tempo Atômico Internacional (TAI). - Greenwich Mean Time (GMT): Hora Média de Greenwich - Um sistema de 24 Horas baseado na hora Solar média mais 12 horas em Greenwich, Inglaterra. A Hora Média de Greenwich pode ser considerada aproximadamente equivalente ao Tempo Universal Coordenado (UTC), o qual é disseminado por todas rádio emissoras de tempo e freqüência. Entretanto, GMT é um termo obsoleto e foi substituído por UTC. - Tempo civil (Tc): é o tempo solar médio acrescido de 12 horas, isto é, usa como origem do dia o instante em que o sol médio passa pelo meridiano inferior do lugar. A razão da instituição do tempo civil é não mudar a data durante as horas de maior atividade da humanidade nos ramos financeiros, comerciais e industriais, o que acarretaria inúmeros problemas de ordem prática. - Hora legal: é o tempo determinado pela posição do meridiano do lugar - Tempo universal (TU): é o tempo civil de Greenwich. Note que os tempos acima são locais, dependendo do ângulo horário do Sol, verdadeiro ou médio. Se medirmos diretamente o tempo solar, este vai provavelmente ser diferente daquele que o relógio marca, pois não se usa o tempo local na vida diária, mas o tempo do fuso horário mais próximo. Por acordos internacionais, a grande maioria das informações de tempo são relacionadas ao Tempo Universal Coordenado (UTC), antiga denominação do Tempo Médio de Greenwich (GMT), que por sua vez é uma aproximação do Tempo Universal (UT). 3.4.2 Fusos Horários Considerando o movimento de rotação terrestre, é impossível o Sol estar cruzando o meridiano de dois lugares exatamente ao meio dia, exceto se esses lugares estiverem sobre o mesmo meridiano. 55

Como a Terra gira 360° em 24h , é fácil verificar que à cada hora ela gira em 15°. Surge assim o conceito de divisão da Terra em fusos horários, com a amplitude desses mesmos 15°, estabelecendo-se assim 24 fusos de uma hora cada. Todos os fusos foram definidos a partir do meridiano de Greenwich, por acordo internacional estabelecido em 1884, por ser o mesmo meridiano já considerado origem para alguns dos sistemas de posicionamento terrestre, passando pelo cruzamento dos fios da luneta do antigo Observatório Real. Este meridiano é definido como o meridiano central do fuso, dessa forma cada fuso tem a longitude do meridiano central divisível por 15. A hora em cada fuso é assumida pela hora do meridiano central.

MY

X W V U T S R Q P O N Z A B C D E F G H I

Meridiano de Greenwich Linha Internacional de Mudança de Data

Figura 2 – Fusos Horários – O Mundo em fusos de 15°

A linha Internacional de Mudança de Data é uma linha imaginária posicionada próximo ao meridiano 180° , cortando o Oceano Pacífico. O cruzamento desta linha, para oeste faz com que a data do calendário seja adiantada de um dia. Se cruzada em sentido contrário (para este), a data observada será um dia atrasada em relação ao oeste da linha. Esta divisão, bem caracterizada, define a hora civil em cada ponto da superfície terrestre. O fuso de Greenwich recebe a denominação de Z ou ZULU, sendo a hora em Greenwich chamada de 56

hora Zulu. Aos demais fusos são também atribuídas letras. O fuso que abrange a Linha Internacional de Mudança de Data possui duas designações: a oeste M e a este Y, correspondendo à data adiantada e atrasada respectivamente. Para acomodar divisões políticas a maior parte dos países têm modificado os fusos, criando contornos que melhor enquadram as suas necessidades, conforme pode ser visto na figura 3.

Figura 3 – Fusos Horários adaptados

Fusos no Brasil: o Brasil abrange quatro fusos: -2h: arquipélago de Fernando de Noronha -3h: estados do litoral, Minas, Goiás, Tocantins, parte oriental do Pará -4h: parte ocidental do Pará, parte oriental do Amazonas, Mato Grosso do Norte e Mato Grosso do Sul. -5h: parte ocidental do Amazonas e Acre. A figura 4 mostra como os fusos horários estão distribuídos:

57

Figura 4 – Fusos Horários no Brasil

Em função das divisões apresentadas, algumas definições sobre tempo podem ser agora firmadas. - Hora legal: é a hora civil do fuso para a área geográfica considerada - Hora oficial: normalmente considerada em cada país, como a hora legal da sua Capital. - Hora Universal local: hora determinada pelo meridiano passante pelo lugar em relação à Greenwich. 3.4.3 Linha Internacional de Mudança de Data A linha que acompanha o antimeridiano de Greenwich (180º), atravessando o oceano Pacífico, por convenção internacional, determina a mudança de data civil em todo o planeta. Ultrapassando-se essa linha, a data tem que ser alterada para o dia anterior ou seguinte à partida, conforme esteja-se indo de oeste para leste ou leste para oeste. A hora, no entanto, é a mesma nas duas zonas, defasadas de 24 horas. Por exemplo, no lado oeste da linha, seria h horas, do dia D, enquanto no lado leste seria exatamente a mesma hora, h, do dia D-1. Isto ocorria em Kiribati, um pequeno país formado por diversas ilhas no oceano Pacífico. Seu território era dividido pela Linha Internacional de Mudança de

58

Data. No leste do país, quando era domingo, na capital, Bairiki, já era segunda-feira. Isso foi alterado em 1995, com a nova demarcação da Linha Internacional de Mudança de Data,

Figuras 5 e 6 – Linha Internacional de Mudança de

±12

Data

11

-11

10

-10

9

-9

8

-8

7

-7

6

-6

5 -5

4 -4

3 -3

2 -2

-1

0

1

Figuras 6 e 7 – Gráficos de auxílio para a mudança de data 3.4.4 Determinação da Hora Como se pode determinar a hora em cada local da superfície terrestre. Inicialmente, pelas explicações dadas, este problema está intimamente ligado à determinação da longitude do lugar, uma vez que, pelo seu conhecimento será possível estabelecer a diferença em relação à Greenwich. Hora Legal De posse de um mapa de fusos horários, verificar qual a diferença horária (UT ± f, onde f é o fuso do lugar) em relação à Greenwich. Observar que este tipo de mapa, conforme pode ser visto na 59

figura 3, todas os horários estão reduzidos ao fuso origem. Assim serão também obtidos horários relacionados à este fuso. Sabendo-se a hora de Greenwich, basta somar ou subtrair os valores. Para a determinação de um horário em relação à outro ponto terrestre, deve-se reduzir um dos pontos como origem estabelecendo-se o diferencial em relação aos dois pontos. Exemplos: 1 – Qual a hora em Nova York, sabendo-se que são 14:00 em Greenwich Pelo mapa, NY está no fuso Q, correspondendo a UT – 4, ou seja, quatro horas a menos que em Greenwich, logo HNY = HG (UT) –4 = 14:00 – 4 = 10:00 2 – Tendo-se 18:00 em Rio Branco, Acre, qual a hora em Greenwich Fuso do Acre = UT –5 HAC = UT –5 18:00 = UT –5 ∴UT = 18:00 + 5 = 23:00 Deve-se ficar atento para o problema de mudança de data. Por exemplo se fossem 22:00 horas em Rio Branco, a hora de Greenwich seriam 22: 00+ 5 = 27:00, porém já extrapolado para 24:00, a hora correta é 03:00 do dia seguinte ao dia em Rio Branco. 3 – Determinar a hora em Moscou, quando forem 11:00 no Rio de Janeiro Fuso do Rio de Janeiro UT –3 Fuso de Moscou UT + 3, logo HRJ = UT –3

e HM = UT + 3

Considerando então que UT = HM = (HRJ + 3) + 3, portanto HM = HRJ + 6, assim a hora em Moscou será 17:00, do mesmo dia. 4 – Considerando-se serem 21:00 horas em São Paulo, determinar a hora em Tóquio. Fuso de São Paulo UT –3 (P) Fuso de Tóquio UT + 9, logo pelas mesmas considerações do exercício anterior HT = (HSP + 3) + 9, assim HM = (21:00 + 3) + 9 = 33:00, ultrapassando as 24:00, que subtraídas fornecem o valor de 9:00. Verificando-se então que houve transposição da linha de mudança de data, caracterizando a data do dia D+1 em relação ao dia em São Paulo. 60

Hora Civil A hora civill sempre será determinada pela diferença de longitude entre os dois lugares considerados. Dividindo-se a diferença de longitude pelo valor unitário de 1h (15°), obtem-se a diferença horária entre os dois meridianos. Este valor obtido deve ser somado ou subtraído, conforme a posição do ponto desejado estar à este ou oeste do ponto origem. O cálculo é semelhante a determinação da diferença de longitude netre dois pontos ∆λ

12

= λ2 - λ1 , ∆h12 = (∆λ12)/ 15°

∆h12 = h2 - h1 h2 = ∆h12 + h1 determinando-se então a hora civil no local desejado. Exemplos 1 – Determinar a hora na cidade de Estocolmo, de longitude igual a 18° 17′ 22″, sabendo-se que são 17h 22m na cidade de Salvador, Brasil, cuja logitude é igual a -38° 18′ 42″. ∆λSE = λE - λS ∆λSE = 18° 17′ 22″ -(-38° 18′ 42″) = 56° 36′ 04″ ∆λSE = 56,6011111 (graus decimais) Determinação da diferença horária ∆h12 = (∆λ12)/ 15° = 56,6011111/ 15° = 3,773407407 (hora decimal) = 3h 46m 24s Como Estocolmo está a leste de Salvador, esta diferença será positiva, logo a hora em Estocolmo será dada por HE = 17h 22m + 3h 46m 24s = 21h 08m 24s Evidentemente esta hora não será a hora legal em Estocolmo, pois Salvador está no fuso P, UT –3 e Estocolmo está no fuso A UT + 1, sendo portanto a diferença de fuso, dada por H S + 4, logo a hora legal em Estocolmo será HlE = 17h 22m + 4 = 21h 22m. 3.4.5 Horário de Verão O horário de verão é adotado por um grande número de países, como medida de economia de eletricidade, durante parte da primavera e verão, onde os dias são maiores que as noites. A idéia é ajustar as horas de claridade o mais próximo possível das horas de atividade humana, havendo com isso uma razoável economia. Normalmente é definida por decretos, com datas de início e término variáveis, adiantando-se os relógios em uma hora, quando começa e atrasando-se ao seu final.

61

Para o Brasil, normalmente o horário de verão é decretado no início de outubro, com término previsto em meados de fevereiro. Exercícios 1-Unb-2003 Um avião que parte a zero hora da cidade de Los Angeles (a) estados Unidos da Ame´rica (EUA) com destino a Londres (b) Inglaterra, pode escolher entre dois sentidos em linha reta de vôo. Leste –Oeste ou Oeste-Leste. Desprezando o tempo gasto em escalas e considerando tempos de vôo de 26 horas e 13 horas, respectivamente, para os sentidos mencionados, julgue os itens: 1-Tomando o avião no sentido Oeste-Leste, o viajante terá de atrasar seu relógio ao chegar à cidade de destino, Londres, para ajustá-lo ao horário local. 2-No sentido Oeste-Leste, o viajante chegará a seu destino no horário local de 21 horas do mesmo dia. 3-Em relação ao horário na cidade de destino, o viajante que se deslocasse no sentido Leste-Oeste chegaria em um horário mais cedo do que se tivesse viajado no sentido contrário, porque o aumento na duração do vôo é compensado pela diminuição do horário em relação a Greenwich. 2. São 15 horas em Cuiabá . Que horas serão em Brasília, Tóquio e Londres? a) 13/12/22. b) 16/04/19. c) 15/16/22. d) 17/02/12. e) 11/12/15. 3. O Horário GMT, por acaso, corresponde, em determinado momento, ao número atômico do Carbono. Determine o horário de Nova Déli, na Índia, situada 150? Leste de Manaus. 4. Um eclipse, ocorrido às 12 horas GMT sobre uma ilha, foi visto em Los Angeles e em Vladivostok, na Rússia. Sabendo-se que o eclipese ocorreu a 15? W de GMT, pergunta-se: onde está o erro do problema? 5-Observe o mapa : (UFLA-2001) Sobre os fusos horários brasileiros, as alternativas abaixo estão corretas, EXCETO: a) Quando o relógio no Acre marcar 20 horas, em Minas Gerais serão 22 horas. b) A hora oficial do Brasil encontra-se 3 horas atrasadas em relação a Greenwich. c) Palmas e Curitiba são cidades com o mesmo fuso horário. 62

d) O Acre encontra-se 1 hora atrasado em relação a São Paulo. e) Quando em Porto Velho for 1 hora, em Vitória serão 2 horas

63

VER ANEXO

4 - ESCALA E ESCALAS 64

4.1- Conceito de escala O conceito de escala em termos cartográficos é essencial para qualquer tipo de representação espacial, uma vez que qualquer visualização gráfica é elaborada segundo uma redução do mundo real. Genericamente pode ser definido de uma forma bem simples: Escala é a relação entre a dimensão representada do objeto e a sua dimensão real. É portanto uma razão entre as unidades da representação e do seu tamanho real. Em termos lineares, planares ou volumétricos, dispõe-se então das relações adimensionais de escala linear, de área e de volume: EL = d/D

Ep = a/A

Ev = v/V

Sendo d = medida linear da representação; D medida linear real a = medida de área (planar) da representação; A medida planar real. v = medida de volume da representação; medida de volume real. A razão é adimensional, por relacionar quantidades físicas idênticas, acarretando a ausência de dimensão. O inverso da relação de escala D/d , A/a e V/v , denomina-se número da escala (N), podendo então a representação numérica da escala ser estabelecida pela relação E = 1/N ou 1: N ou 1/N ( NL , Na , Nv ) Quando a dimensão do objeto representado é menor que o objeto real, tem-se uma escala de redução. O contrário estabelece uma escala de ampliação. E = 1/20000

- redução (uma unidade linear equivale a 20 000 unidades lineares no terreno)

E = 20/1

- ampliação (20 unidades lineares na carta equivalem a uma unidade linear no terreno)

4.2 Formas de Expressão de Escala Uma escala pode ser expressa das seguintes formas: - fração representativa ou numérica; - em palavras e - gráfica ou escala de barras. A expressão numérica de escala é dada pelo relacionamento direto entre medidas lineares,planares ou volumétricos na representação (mapa) e no superfície terrestre (da definição de escala) El = d / D

Ea = a/A

Ev = v/V

65

A apresentação da razão no entanto é feita normalmente mostrando o numerador unitário e o denominador expressando um valor: E=1/N =

d /d D/d

A este valor N denomina-se número da escala e a E dá-se o nome de fração representativa ou fator de escala, e tanto pode ser dada pela fração como pela razão representativa: 1/100.000 ou 1:100.000, dizendo-se por exemplo, “um para cem mil”, neste caso. Formalmente esta razão expressa que uma unidade no mapa, equivale ao número de escala de unidades no terreno, ou seja 1 mm na carta = 100.000 mm no terreno 1 cm na carta = 100.000 cm no terreno 1 dm2 na carta = 100.000 dm2 no terreno 1 m3 na carta = 100.000 m3 no terreno Esta forma de expressar uma escala estabelece a segunda maneira de mostrar a relação, a forma escrita. Normalmente esta expressão é dada em termos de uma unidade coerente para as observações no mapa (mm ou cm em termos lineares, cm 2 , cm3 ), para unidades também coerentes em termos de terreno (quilômetros, quilometros quadrados ou cúbicos). 1:100.000 - 1 cm = 10 km = 10.000 m 1 mm = 1:25.000

1 km =

1.000 m

- 1 cm = 0,25 km 4 cm = 1 km

Área - 1/ 250 000 - 1 cm2 = 25 m2 Volume - 1/ 1 000 000 000 = 1cm3 = 1000 m3 A conversão de uma forma é simples, bastando efetuar uma transformação de unidades. Deve-se estar atento para mapas ou cartas antigas, principalmente oriundos de países que adotavam o sistema inglês. Por exemplo a expressão de 1 m = 1 milha fornece um fator de 1 / 63360. 1 / 2 = 1 milha = 1 / 253440 4′ ′ = 1 milha = 1 / 15840 Recordando:

1′ ′ = 2,54 cm 1 mi n = 1852 m 1 ft = 30, 48 cm 1 yd = 1, 093613 m

A tabela abaixo mostra as escalas mais comuns e equivalências: 66

Escala 1:2.000 1:5.000 1:10.000 1:20.000 1:25 000 1:31.680 1:50.000 1:63 360 1:100.000 1:250.000 1:500.000 1:1.000.000

1 cm 20 m 50 m 0,1 km (100 m) 0,2 km 0,25 km 0,317 km 0,5 km 0,634 km 1.0 km 2,5 km 5,0 km 10 km

1 km 50 cm 20 cm 10 cm 5 cm 4 cm 3,16 cm 2,0 cm 1,58 cm 1 cm 4 mm 2 mm 1 mm

1 in (pol)

1 mi

0,5 m

2

1,0

1

Pode-se verificar que quanto maior o número da escala, menor será a escala, e inversamente; quanto menor o número da escala, maior a escala. Uma escala maior acarreta portanto um maior grau de detalhamento dos objetos cartografados, sendo aplicada em áreas menores e vice versa. 4.3 - Escala Gráfica A escala gráfica ou de barra é forma de apresentação da escala linear, sendo apresentada por uma linha, normalmente fazendo parte da legenda da carta, dividida em partes, mostrando os comprimentos na carta, diretamente em termos de unidades do terreno.

1Km

0

1

2

3

4

5 Km

a)

b)

1Km

0

1

2

3

4

5 Km

1Km

0

1

2

3

4

5 Km

1/2 mi

0

c) 1 mi

2 mi

67

A figura mostra algumas formas de apresentação de escalas gráficas. Este tipo de escala permite que as medidas lineares obtidas na carta sejam comparadas diretamente na escala, já se estabelecendo o valor no terreno. As escalas podem ser simples ou duplas (a) e (c), isto é, calibradas em mais de um sistema de medida linear. Normalmente a escala gráfica apresenta-se dividida em duas partes, a partir da origem: a escala propriamente dita e o talão ( parte menor), sendo que o talão, é subdividido em intervalos menores da maior graduação da escala, para permitir uma medição mais precisa. A escala propriamente dita inicia do zero para a direita e o talão do zero para a esquerda. O tamanho do talão corresponde a uma unidade da escala. A escala gráfica, por razões de espaço e funcionalidade, não deve ter menos do que 6 divisões e no máximo 12 divisões (incluindo o talão), dependendo da escala que está representando. A divisão do talão deve seguir o sistema de unidades. Com o sistema métrico normalmente divide-se em 10 partes. Para uma escala de milhas, tomam-se 8 divisões e para uma escala horária tomam-se 6 divisões (10 min). Construção de uma escala gráfica A construção de uma escala gráfica é por vezes necessária, ou pela carta não o ter ou para prover uma escala para uso em diversos mapas de mesma escala. Sua construção é simples, não necessitando de muitos cálculos. O exemplo abaixo mostra toda a seqüencia de elaboração de uma escala gráfica. Considerar uma escala numérica de 1/ 24 000. 1 - Calcular o comprimento total da escala gráfica a representar, na escala considerada. Levar em consideração o comprimento da escala propriamente dita e do talão, número de divisões mínimo e máximo, a unidade de cada divisão da escala e do talão, bem como o comprimento que a escala gráfica terá ao final do traçado. Neste exemplo, tomando-se 1 km como a unidade da escala, com a divisão do talão em 100 m, o comprimento da unidade será dada por 1 d = , d = 1/24 = 0,041667 m = 4,167 cm = 41,67 mm 24000 1000

Ponderando o comprimento da unidade com o comprimento total da escala gráfica, tomando-se a escala com 3 divisões para a escala gráfica e mais um para o talão, o comprimento total; da escala será definido pelo valor 4 (3 da escala + 1 do talão) x 41,67 mm = 166,7 mm Marcar este comprimento total na folha de papel, sem se preocupar em dividir pelas unidades. 68

- traçar uma linha auxiliar por uma das extremidades da reta, e sem compromisso de comprimento correto, dividi-la com o auxílio do compasso, no número de divisões que se divide a escala ( 4 no exemplo):

- Unindo-se a extremidade da ultima divisão marcada com a extremidade da reta da escala, traçam-se paralelas à esta reta, pelas marcações das demais divisões da reta auxiliar, determinando-se então as divisões corretas da escala.

- O talão é dividido de forma semelhante, no número de divisões que o caracterizará. No exemplo, em dez divisões, cada uma delas representando 100 m. Talão

- Apagam-se as linhas auxiliares para evitar confusão com a escala. Este processo gráfico tem por finalidade evitar a propagação de erros de medição, que ocorrem se as divisões da escala forem marcadas diretamente pelo compasso.

69

O processo de obtenção de uma distância através da escala gráfica, é direto, não necessitando de cálculo. Apenas é efetuada a medição da distância a determinar sobre o mapa, com o auxílio de um compasso. Transfere-se esta distância para a escala gráfica, a partir da origem da escala propriamente dita, marcando-se o ponto que alcançou. Com isto tem-se a valorização em unidades inteiras da escala, mais uma fração da unidade. A partir da unidade inteira determinada, mede-se agora em direção ao talão, assim a fração estará inteiramente sobre o talão, podendo então ser estimada o seu comprimento total. Deve ser observado, que a precisão da escala gráfica é determinada pela divisão do talão, sendo estimado os valores inferiores. Por exemplo: se a divisão é de 100 m, a estimativa fica em torno de valores múltiplos de 10m (10, 20, 30, 40m ... etc). 4.4 - Escala Gráfica Decimal A escala gráfica decimal é uma escala mais precisa que a escala gráfica comum, pois permite que as medidas sejam efetuadas com uma precisão maior que a determinada pela escala gráfica comum. Esta precisão é alcançada por um processo gráfico que permite subdividir as divisões do talão em quantas partes sejam possíveis. No caso da escala gráfica decimal, divide-se em 10 partes. Logo, se a precisão da escala gráfica for de 100 m, com estimativa de 10m, a precisão da escala gráfica decimal será de 10m de leitura direta e estimativa de 1 m. Construção de uma escala gráfica decimal: - traçar a escala gráfica para a escala numérica com as divisões do talão ; - levantar perpendiculares à escala, para cada uma das marcações e dividir em 10 partes iguais de tamanho arbitrário; - traçar paralelas à escala gráfica por estas divisões; - unir transversalmente o talão, do 0 da primeira escala ao 1 da última escala (de baixo para cima ou vice versa).

70

1km

900 m 800 m 700 m 600 m 500 m 400 m 300 m 200 m 100 m

ESCALA GRÁFICA DECIMAL

0

1

2

3 km

4.5 - Escalas Especiais As fotografias aéreas e grande parte das projeções cartográficas não possuem escalas constantes, elas são variáveis dependendo de uma sérei de fatores inerentes ao processo de elaboração da projeção. As fotografias aéreas, por serem uma projeção central. a escala é variável do centro da foto para a periferia, sendo tanto menor quanto mais próximo das bordas. Para determinadas projeções porém, a escala pode ser constante apenas segundo condições que são ditadas pela própria projeção, valendo a escala nominal ou principal (Ep), apenas para uma área do mapa, também ditada pela projeção. Quando a escala for grande, não ocorrerão muitos problemas pois os erros serão desprezíveis, o que já não ocorrerá em escalas pequenas, podendo ser constante ao longo dos paralelos e variável ao longo dos meridianos, ou vice-versa. Depende do tipo de projeção e da sua estrutura projetiva. Na projeção de Mercator, por exemplo, a escala é variável, constante ao longo dos paralelos e variável ao longo dos meridianos, variando com a latitude, quanto maior a latitude, maior a escala. No equador tem-se a escala nominal, aumentando-se a medida caminha-se para os pólos, onde a escala é infinita. PROJ EÇÃO DE MERCATOR Escala em Diferentes Latitudes 1/50 000 000 no Equador - 1/9 132 500 na Latitude de 24

71

É obrigatória nas pequenas escalas a citação da área de validade da escala principal, complementando-se com gráficos variáveis ou ábacos de variação de escala. 4.6 - Erro e Precisão Gráfica A escala de representação está ligada a um conceito de evolução espacial e precisão de observação. O olho humano permite distinguir uma medida linear de aproximadamente 0,1 mm. Um ponto, porém, só será perceptível com valores em torno de 0,2 mm de diâmetro em termos médios. Este valor de 0,2mm é adotado como a precisão gráfica percebida pela maioria dos usuários e caracteriza o erro gráfico vinculado à escala de representação.

Dessa forma, a

precisão gráfica de um mapa está diretamente ligada a este valor fixo de 0,2 mm, estabelecendose assim, em função direta da escala a precisão das medidas da carta, por exemplo: E = 1/20000 -------- 0.2mm = 4000 mm = 4 m E = 1/10000 -------- 0,2mm = 2000 mm = 2 m E = 1/40000 -------- 1,2mm = 8000 mm = 8 m E = 1/100000 ------- 0,2mm = 20000 mm = 20 m Em observações lineares, estas são as precisões alcançadas pelas escalas mostradas. Quanto menor a observação, maior o erro relativo associado. Em geral, quando se parte para a representação de uma parte da superfície terrestre, entende-se que a escala a ser aplicada à área será uma escala de redução, ou seja, a superfície a representar será reduzida de forma a estar contido na área do mapa. Esta redução traz o erro gráfico aplicado a escala de representação. Tome-se que o erro gráfico já é o componente final de todos os erros inerentes ao processo de construção do mapa. Desta forma, todas as medições e observações estarão com uma precisão inerentes a propagação de erros de todas as fases da construção de uma carta: campo, aerotriangulação, restituição, gravação e impressão. O processo automatizado de construção de cartas tem também algumas dessas fases embutidas, também com prescrições de precisão bem definidas. Já a aquisição de dados para SIG, Geoprocessamento e mesmo trabalhos de cartografia temática de síntese, pode ser realizada através de documentos cartográficos já existentes. Do momento que se adquire dados a partir de um documento já existente, verificam-se os seguintes pontos:

72

- o documento já possui um erro gráfico inerente à sua escala de representação, e nada vai fazer com que esse erro diminua; - o documento está em uma escala pré-definida. Surge então a questão de que esses dados só poderão servir à essa escala de aquisição, não podendo ser trabalhados para outras representações em outras escalas, o que evidentemente é um disperdício em um sistema de armazenamento de dados. Em termos de utilização desses dados para uma redução, não existe nenhuma restrição de utilização. Através do exemplo, pode-se facilmente verificar isso: Suponha-se a aquisição de dados para uma região, através de folhas de carta na escala de 1/ 250 000. Deseja-se fazer a redução de representação para a escala de 1/ 1 000 000. O erro gráfico da primeira escala corresponde a 50m e para a segunda escala, de 200m, ou seja quatro vezes menor. Em termos de uma ampliação, ocorrerá o problema inverso. Supondo-se aquisição na escala de 1/ 1 000 000 e uma ampliação para a escala de 1/ 250 000, o erro de 200 m terá uma ampliação de quatro vezes passando para 800m o que na realidade corresponde não a quatro vezes, mas a dezesseis vezes maior que o erro gráfico permitido para aquela escala, que é de 50 m. Para uma ampliação de um mapa, da escala de 1/ 100 000 para 1/ 20 000, o erro gráfico inerente à primeira escala é igual a 20 m e para a segunda, igual a 4 m. Ao se ampliar a informação gráfica, o erro será também ampliado, passando para 100 m, uma vez que a ampliação submentida foi de 5 vezes. Comparando-se esse valor com o erro gráfico da escala final, verifica-se que é 25 vezes maior que o erro permitido para a escala de 1/ 20 000. Podem ocorrer casos que os erros oriundos de uma ampliação não sejam relevantes para uma determinada representação. Com todos a s restrições, é possível até aceitar-se, mas em princípio, as ampliações não são consideradas em termos cartográficos. 4.7 - Escolha da Escala As condicionantes básicas para a escolha de uma escala de representação são: - dimensões da área do terreno que será mapeado; - tamanho do papel que será traçado o mapa; - a orientação da área; - erro gráfico; - precisão do levantamento e/ou das informações a serem plotadas no mapa. Pelas dimensões do terreno e do tamanho do papel, pode-se fazer uma primeira aproximação para a escolha da escala ideal de representação. Desta primeira aproximação devese então se arredondar a escala para que fique a mais inteira possível. 73

Deve-se considerar em relação ao papel, locais para a colocação de margem e legendas para o mapa. Isto fará com que a área do papel seja menor que as dimensões iniciais. Supor que se deseje editar um mapa do Estado do Rio de Janeiro em tamanho A4. Para se definir a escala ideal de representação, devem ser seguidos os seguintes passos: a) Tamanho do papel A4 - 21,03 x 29,71 cm

0 45

km

300 km

450 km

b) Dimensões do Estado ± 450 km na linha de maior comprimento c) Tomando-se uma margem de 1 cm por borda, a área útil será diminuída para 19,03cm x 27,71cm ≈ 18cm x 26cm (margem de segurança)

área útil d) Orientando de forma que a área fique com a base voltada para a margem inferior, desenvolvem-se os seguintes cálculos para a determinação das escalas 26 cm 1 ≈ 45.000 .000 cm 1730769

1:1.700.000 → 26,47 cm  450 km

OK

300 km (1:1.700.000) ⇒ 17,64 cm

OK

Escala determinada = 1:1.700.000

4.8 - Determinação de Escala de um Mapa 74

Quando por algum motivo não é fornecida a escala de um mapa pode-se, obter uma escala aproximada, através da medição do comprimento de um arco de meridiano entre dois paralelos. O comprimento médio de um arco de meridiano é de 111, 111 km, bastando então dividir a distância encontrada no mapa por este valor.

o 21

E=

dist . mapa mm = 111 ,111 111 .111 .000

22o

Desejando-se valores mais precisos, pode-se consultar uma tabela de valores de arco meridiano para as diversas latitudes. Latitude

Comprimeneto 110.567,3 km 110.604,5 km 110.705,1 km 110.857,0 km 111.042,4 km

0-1 10-11 20-21 30-31 40-41

Latitude 50-51 60-61 70-71 80-81 89-90

Comprimento 111.239,0 km 111.423,1 km 111.572,2 km 111.668,2 km 111.699,3 km

4.9 - Transformação de Escala de Mapa Frequentemente é necessário alterar o tamanho de um mapa, isto é, reduzi-lo ou ampliálo. Uma ampliação acarretará também uma ampliação dos erros existentes. O problema é então, passar de um fator de escala para outro. Uma vez determinado o novo fator, basta efetuar a transformação de todas as medidas para a nova unidade. Exemplo E1 = 1 / 25.000

FR =

E2 = 1 / 125.000

E1 1 / 25.000 125.000 = = =5 E 2 1 / 125.000 25.000

As transformações podem ser efetuadas também por processos mecânicos ou instrumentos ótico-mecânicos, por exemplo, com a utilização de pantógrafos, ou de um aerosketchmaster..

75

Um processo gráfico de uso bastante comum é o gradeamento do desenho original e o desenho de uma grade com o fator de escala definido, passando-se o desenho de um para outro.

4.10 - Problemas de Escala 1) Tendo-se medido uma distância na carta igual a 2 mm, sabendo-se que a distância no terreno é igual a 1.200 m, calcular a escala da carta.

E=

2 1 = 1.200 .000 600 .000

2) Tendo-se uma carta na escala 1/40.000, e medido-se uma distância na carta igual a 4 mm, determinar a distância correspondente no terreno. E = 1/40.000

d = 4 mm

E = d/D

D = d/E

D=

4 = 160 .000 mm = 160 m. 1 / 40.000

3) Tendo-se a escala da carta igual a 1/50.000, e a distância no terreno de 5,5 km, determinar a distância na carta.

E=

d D

d = E x D = 5,5 x 1/50.000 = 5.500.000/50.000 = 110 mm

4) Sendo dada a escala de uma carta igual a 1/80.000, e uma distância medida na carta igual a 5 cm, pede-se verificar qual a escala de uma carta em que a mesma distância foi medida por 2,6667 cm. Existem dois caminhos: a) E = d/D

1/80.000 = 5/D

∴

D = 5 x 80.000 = 400.000

D = 4.000 m = 4 km 76

E′ =

2 ,6667 1 = 400 .000 150 .000

b) Pelo fator de redução

FR =

5 = 1,8750 2 ,6667

E′ =

1 1 1 x = 80 .000 FR 150 .000

UNIDADE 5 – SISTEMAS DE PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS 5.1 – Conceito, Propriedades e Classificação das Projeções Cartográficas Uma projeção cartográfica, ou um sistema de projeção cartográfica pode ser definido como sendo “qualquer representação sistemática de paralelos e meridianos retratando a superfície da Terra, ou parte dela, considerada como uma esfera ou elipsóide, sobre um plano de referência”, ou seja, procura retratar a superfície terrestre, ou parte dela sobre uma superfície plana. Toda projeção é uma forma de representação de coordenadas sobre um plano; a rede de coordenadas geográficas, definida por suas latitudes e longitudes, deve ser locada por coordenadas cartesianas ou polares, ou qualquer outro meio, que as represente no plano de projeção. Dessa forma, pode-se estabelecer que as projeções são transformações projetivas, que permitem transformar a superfície curva tridimensional terrestre em uma representação bidimensional plana. Cada ponto da superfície terrestre de coordenadas geográficas ou geodésicas (ϕ, λ), deve ser definido em um plano por um único ponto de coordenadas (x, y) cartesianas ou (r, θ ) Em uma forma funcional, o relacionamento deve ser expresso como: x = f1 (ϕ, λ), y = f2 (ϕ, λ), r = f3 (ϕ, λ), θ = f4 (ϕ, λ).

77

Em que fi são funções que determinam cada uma das coordenadas na representação do mapa. Assim cada ponto da superfície terrestre terá um e apenas um ponto correspondente na carta ou mapa, ou seja, existirá uma correspondência um-para-um, biunívoca, entre o mapa e a superfície terrestre, ou seja, x e y (ou r e θ), como funções de (ϕ, λ). Este relacionamento na realidade poderá ser até questionado mais tarde, uma vez que algumas projeções mostram o mesmo meridiano duas vezes, ou os polos são representados por linhas ou alguma parte da superfície terrestre não seja representada. Mas isso é devido à características intrínsecas de determinados tipos de projeções, que exigem representações duplas de mesmos meridianos ou paralelos, ou por relacionamentos matemáticos que não permitam a visualização de uma determinada porção terrestre. Estas particularidades geralmente ocorrem nas bordas das projeções e devem ser tratadas como casos excepcionais ou pontos singulares. De qualquer forma, dentro do contexto das projeções cada ponto da superfície terrestre é representado apenas uma vez, e portanto, a idéia de pontos correspondentes pode ser aplicado. A correspondência entre a superfície e o mapa não pode ser exata por dois motivos básicos: - Alguma transformação de escala deve ocorrer porque a correspondência 1/1 é fisicamente impossível. - A superfície curva da Terra não pode ajustar-se a um plano sem a introdução de alguma espécie de deformação ou distorção, equivalente a esticar ou rasgar a superfície curva. A transformação de escala será sempre aplicada à qualquer representação de mapa. Quanto às deformações serão tanto maiores quanto maior for a área projetada, e quanto mais afastada for do centro da projeção. O centro de projeção caracteriza o local onde a distorção é nula, podendo ser caracterizada por um ponto ou uma linha, definidos pelo contato entre a superfície terrestre e a superfície de projeção, seja por tangência ou secância entre as duas superfícies.

Figura 5.1 Centro de projeção O termo deformação implica no desconhecimento do comportamento do resultado final da transformação aplicada, já o termo distorção estabelece que existe um conhecimento prévio 78

do comportamento da deformação, uma vez que toda transformação projetiva é uma função matematicamente definida. 5.2 - Escala Principal e Fator de Escala A definição de escala aplicada ao globo terrestre é caracterizada pela razão entre a distância no mapa, globo ou seção vertical e a distância real que representa. De uma forma genérica, se AB é o comprimento no terreno e ab o comprimento no mapa, a relação entre estas duas quantidades, E =

AB representa a razão de escala para o mapa. ab

Esta definição pode ser usada para caracterizar a escala de um globo que representa a Terra. Neste caso, a comparação é efetuada pelo comprimento de dois arcos de círculo máximo

AB na Terra e ab no globo. O comprimento de um arco de círculo máximo é dado por: AB = R α e ab =

r α, sendo α o arco subentendido entre

A e Be ae b.R e

r

são o raio terrestre e da representação respectivamente. Relacionando: ab rα = AB Rα

ou

r

1

E = R = N , onde N é o número da escala.

Assume-se que o globo gerado dessa forma é uma réplica exata da Terra à escala considerada e a escala principal é definida como sendo “a escala de redução para um globo, representando a esfera ou esferóide, definida pela relação fracionária de seus respectivos raios”. Estabelece-se ainda que esta escala, por ser representativa da réplica perfeita da Terra à escala do mapa, é isenta de variação. Assim, define-se a escala principal como tendo um fator de escala µ0 = 1.0, e as distorções que venham a ocorrer serão avaliadas como frações de unidade ou múltiplos da unidade. A escala principal é equivalente à fração representativa impressa no mapa. Fator de escala µ = 1.0 = µ0 , não há distorção. Se houver dilatação ou ampliação de escala, o fator de escala µ >µ0 e se houver compressão ou diminuição de escala o fator de escala µ < µ0. O fator de escala µ pode ser então definido como o valor adimensional determinado pelo relacionamento entre a escala no local considerado e a escala principal neste mesmo local. µ=

El Ep

Assim um fator de escala igual a 2, caracteriza uma ampliação de escala de duas vezes a escala principal. Por exemplo, a escala principal igual a 1/ 20 000 e a escala local igual a 1/ 10

79

000. Da mesma forma um fator de escala igual a 0,5, caracteriza uma redução de escala também de duas vezes, ou seja, se a escala principal é igual a 1/ 20 000, a escala local será de 1/40 000. 5.3 - O Conceito de Distorção O exame de um globo representativo da superfície terrestre mostra que a sua superfície não poderá ser transformada em um plano. É possível porém, para um globo de dimensões de uma bola de futebol, ajustar-se um pedaço de papel, como por exemplo um selo, sem aparentemente deformá-lo ou rasgá-lo. Se este mesmo selo for colocado sobre a superfície de uma bola de ping-pong, dificilmente será conseguida a sua adaptação à superfície sem esticá-lo ou rasgá-lo, ou seja, sem uma maior deformação ser aplicada. As distorções são tanto maiores quanto maior a área representada, e terão características próprias segundo a forma de relacionamento entre a superfície terrestre e a representação plana correspondente, caracterizando a projeção adotada. A figura abaixo apresenta uma representação plana da Terra pelo corte da superfície esférica ao longo dos paralelos de ± 150 , ± 450 e ± 750 e ao longo do meridiano de Greenwich. Aproxima-se do corte de uma laranja. É possível desta forma, realizar-se uma planificação razoável.

Figura 5.1 - Representação Terrestre por cortes ao longo dos paralelos Esta representação faz com que alguns paralelos sejam mostrados duas vezes, gerando uma descontinuidade do mapa e deixando vazios entre os paralelos.

80

Desejando-se que o mapa mostre a superfície de forma contínua, devem-se fechar os vazios esticando-se cada zona em uma direção ao longo dos meridianos até a coincidência dos paralelos, conforme mostra a figura abaixo.

Figura 5.2 - Representação contínua da Terra Comparando-se as figuras, pode-se verificar que a deformação cresce à medida que se aproxima das bordas do mapa. A quantidade de distorção pode ser visualizada pela deformação dos círculos na figura anterior, para as elipses da figura. Uma notável ilustração de distorções e deformações pode ser vista nas figuras. Um rosto foi desenhado sobre a projeção globular, sendo depois transportado para as projeções ortográfica, estereográfica e de Mercator, conforme se pode ver nas figuras 5.3 a, b, c e d.

Figura 5.3a Desenho original

Figura 5.3b Projeção ortográfica

Figuras 5.3c Projeção estereográfica 81

Figura 5.3d – Projeção de Mercator

Isto não quer dizer que uma projeção esteja mais certa, ou melhor, que outra. Seu significado é de mostrar as distorções que ocorrem entre cada uma das projeções. Toda projeção sempre possuirá distorções, maiores ou menores, de acordo com a transformação projetiva que esteja sendo aplicada. 5.4 - Distorção Linear Nenhuma transformação projetiva pode manter a escala constante em toda a extensão do mapa. Os ângulos, áreas, distâncias e direções serão de alguma forma alterados na representação cartográfica. Quando a escala de um mapa é conhecida, supõe-se que ela seja constante para toda a área do mapa, em três aspectos: - seja aplicada à todos os comprimentos e distâncias e linhas medidas no mapa; - seja constante para todas as partes dos mapas; - seja independente de direção de aplicação. Isto parece ser axiomático em muitos tipos de mapas, mas a suposição de que a escala é constante para todas as distâncias, em todos os lugares e em qualquer direção, não é verdadeira. Qualquer representação plana do globo envolve variação de escala em alguns ou em todos os três aspectos. A variação de escala caracteriza a distorção linear, que por sua vez irá influenciar a representação de ângulos e áreas no mapa, conforme pode ser demonstrado da seguinte forma: Na figura 5.4, seja o ponto P de coordenadas (10,10), o ângulo YOP é de 45 0 e a área de 100 unidades quadradas. Y' P'

Y

P

O

X

O'

Figura 5.4 Distorção linear 82

X'

Faz-se a escala ao longo do eixo dos Y dobrar, enquanto que no eixo dos X ela não varia. Assim P’ = (10,20) Y’OP’ = 300 e a área do retângulo Y’OX’P’ = 200. À diferença angular δ = Y’OP’ - YOP denomina-se deformação angular e à alteração na área A = Y’OX’P’ - YOXP, denomina-se distorção de área. Em um sistema de projeção estas deformações não podem ser facilmente definidas por gráficos planos, mas a característica principal é perfeitamente definida: ambas as deformações dependem da deformação linear e em conseqüência podem ser definidas através delas. 5.4.1 - Distorção Nula É claramente impossível criar um mapa perfeito, onde a escala principal seja preservada em todos os pontos. É fácil, porém, manter a escala principal ao longo de certas linhas ou pontos no mapa, onde a escala é constante e igual à escala principal, ocasionando uma distorção é nula. Linhas de distorção nula são linhas em uma projeção, ao longo das quais a escala principal é preservada, normalmente caracterizadas pela secância da superfície terrestre e a superfície de projeção. Pontos de distorção nula são os pontos onde a escala principal é preservada. Os planos tangentes à superfície da Terra gerarão sempre um ponto de distorção nula. Qualquer plano secante à superfície terrestre irá gerar uma linha de distorção nula, que será sempre identificada como um pequeno círculo.

Distorção Baixa Média Alta

Figura 5.4 - Áreas de distorção mínima, média e alta no plano

83

Um cilindro ou cone tangente à superfície terrestre gerará uma linha de distorção nula, definida por um círculo máximo ou um pequeno círculo. Tangente

Secante

Figura 5.5 - áreas de distorção no cilindro Um cilindro ou um cone, secante à superfície terrestre, gerará duas linhas de distorção nula, também pequenos círculos.

Tangente

Secante

Figura 5.6 - Áreas de distorção mínima no cone 5.4.2 - Escalas Específicas As escalas específicas de interesse para o estudo das projeções e em conseqüência das deformações e distorções causadas pela variação de escala são as seguintes: - escala ao longo de um meridiano (h); - escala ao longo de um paralelo (k); - escala máxima em um ponto (a); - escala mínima em um ponto (b). A escala ao longo de uma direção qualquer segundo um azimute determinado existe, porém não será importante para o estudo da maior parte das projeções. As escalas ao longo dos meridianos e paralelos, são funções da projeção que esteja sendo empregada, da latitude e da

84

longitude. As escalas máxima e mínima são funções das escalas ao longo dos paralelos e meridianos, e representam a variação máxima e mínima de escala em um ponto. Uma medida de distorção bem aceita cartograficamente é definida pelo conceito da Teoria da Deformação de Tissot, definida pela deformação geométrica de seu indicador: a Indicatriz de Tissot. Um círculo infinitesimalmente pequeno na superfície terrestre, será transformado em uma elipse infinitesimalmente pequena no plano de projeção. Esta elipse descreve as características locais e próximas das distorções ocorridas na transformação projetiva. A área infinitesimal da superfície terrestre relaciona-se com a área também infinitesimal da superfície da representação através de uma transformação de afinidade. Os semi-eixos a e b da elipse de distorção, em tamanho e direção, são determinados pela formulação e propriedades geométricas da superfície a ser representada. Avalia-se pela idicatriz as propriedades locais de distorção em ângulo, distância e áreas. É traduzida pela figura geométrica, definida e descrita pela elipse de Tissot. Na esfera, em qualquer ponto, pode ser representado pela igualdade das escalas máxima e mínima a = b, criando-se um círculo de escala:

Figura 5.7 - Elipse de Tissot Representando-se cada eixo do círculo como eixos da projetada pelo sistema de projeção, dependendo da escala ao longo dos paralelos e dos meridianos, haverá uma relação de escala máxima e mínima, de tal forma que h2 + k2 = a2 + b2. A deformação será mostrada pela elipse traçada segundo a direção da deformação máxima.

85

Figura 5.8 - Distorções mostradas pela elipse de Tissot

5.5 - Propriedades Especiais das Projeções Apesar do fato da escala principal ser preservada em algumas linhas ou pontos em uma projeção e as escalas específicas serem variáveis em posição e direção no mapa, é possível criar combinações de escalas específicas que podem ser mantidas por todo o mapa, exceção feita apenas nos pontos singulares, onde não se mantêm as características projetivas. Estas combinações são denominadas propriedades das projeções são definidas como as propriedades de uma projeção que surgem do relacionamento entre as escalas máxima e mínima em qualquer ponto e são preservadas em todo o mapa, exceto em seus pontos singulares. As mais importantes dessas propriedades são: - Conformidade - Equivalência - Eqüidistância 5.5.1 - Conformidade Uma projeção conforme é uma projeção em que a escala máxima é igual à mínima em todas as partes do mapa (a = b).

86

Um pequeno círculo na superfície terrestre se projetará como um círculo na projeção, caracterizando uma deformação angular nula. Assim as pequenas formas são preservadas e os ângulos de lados muitos curtos também são preservados. Isto é uma característica necessária aos mapas que servirão a propósitos de medição de ângulos ou direções. Ou seja, os ângulos em torno de um ponto são mantidos. Incorretamente esta propriedade é referenciada como uma projeção de formas verdadeiras. Na realidade só a forma de pequenas áreas são preservadas. Grandes áreas, de características regionais ou globais são distorcidas em sua configuração geral. A variação de escala é constante em todas as direções em torno de um ponto qualquer. Fora do centro de projeção podem existir grandes alterações.

ÂNGULOS E PEQUENAS FORMAS PRESERVADOS

Figura 5.9 - Manutenção de áreas e formas Não havendo deformação angular, as intercessões da gratícula (paralelos e meridianos) são ortogonais, independendo da natureza dos paralelos e meridianos mapeados, mas não quer dizer que todas as projeções que tenham esta característica sejam conformes. Serve para todos os empregos relativos a direção dos ventos, rotas, cartas topográficas, etc. 5.5.2 - Equivalência As escalas máxima e mínima são recíprocas: a.b = 1, mantendo uma escala de área uniforme. Deforma muito em torno de um ponto, porque a escala varia em todas as direções. O princípio da equivalência é a manutenção das áreas de tamanho finito. Um aspecto importante das projeções equivalentes é a sua habilidade de que todo ou parte do globo pode ser mapeado em um quadrado, retângulo, círculo ou elipse, ou outra figura geométrica qualquer, tendo a mesma área da parte do globo. A figura 5.10 mostra uma equivalência de área de diversas figuras.

87

Figura 5.10 - Conservação de áreas Devido às suas deformações não interessa à cartografia de base, porém é de muito interesse para a cartografia temática. 5.5.3 - Eqüidistância Uma escala específica é mantida igual à escala principal ao longo de todo o mapa. Por exemplo: a escala ao longo de um meridiano h = 1.0. Assim sob certas condições, as distâncias são mostradas corretamente. A eqüidistância porém não mantida em todo o mapa, a escala linear é correta apenas ao longo de determinadas linhas ou a partir de um ponto específico. É menos empregada que as projeções conforme ou equivalentes, porque raramente é desejável um mapa com distâncias corretas em apenas uma direção. No entanto os mapas eqüidistantes são bastante usados em Atlas, mapas de planejamento estratégico e representações de grandes porções da Terra onde não é necessário preservar as outras propriedades, pelo fato do aumento da escala de área ser mais lento dos que nas projeções conformes e equivalentes. 5.6 - Classificação das Projeções As projeções cartográficas podem ser classificadas segundo diversos tipos de características. - Propriedades - Superfície de projeção - Método de traçado 5.6.1 - Quanto às Propriedades Quanto às propriedades, é uma repetição do item anterior, podem ser dividsidas em: - Conformes - Equivalentes - Eqüidistantes - Afiláticas Nenhuma dessas propriedades pode coexistir, por serem incompatíveis entre si. Uma projeção terá uma e somente uma dessas propriedades. As projeções afiláticas não conservam área, distância, forma ou ângulos, mas podem apresentar alguma outra propriedade específica que justifique a sua construção.

88

5.6.2 - Quanto à Superfície de Projeção A superfície de projeção é a figura geométrica que estabelecerá a projeção plana do mapa.

Figura 5.11 - Superfícies de projeção - tangentes Podem ser: - Planas ou Azimutais: quando a superfície for um plano. - Cilíndricas: quando a superfície for um cilindro. - Cônicas: quando a superfície for um cone. Conforme o contato da superfície de projeção com o globo, podem ainda ser classificadas em: - Tangentes, mostradas nas três figuras anteriores e - Secantes, mostradas nas três figuras seguintes.

Figura 5.12 - Superfícies de projeção – secantes Ainda em relação à superfície de projeção, quanto a posição relativa ao Equador e Pólos, cada uma dessas superfícies de projeção tem uma outra classificação. As projeções planas são classificadas em: Figura 5.13

Figura 5.14 89

Figura 5.15

Plana normal ou polar

Plana Trannsveras ou equatorial

Plana obliqua

- Normais ou Polares: plano tangente ao pólo (paralelo ao Equador). - Transversa ou Equatorial: plano tangente ao Equador. - Oblíquas: plano tangente a um ponto qualquer. As projeções cilíndricas são classificadas em: - Equatoriais ou Normais: o eixo do cilindro é perpendicular ao Equador (paralelo ao eixo terrestre). - Transversa ou Meridianas: o eixo do cilindro é perpendicular ao eixo da Terra. - Oblíquas: o eixo do cilindro é inclinado em relação ao eixo terrestre. Figura 5.16

Figura 5.17

Figura 5.18 Cilindrica normal ou equatorial

Cilíndrica transversa

Cilíndrica obliqua

As projeções cônicas por sua vez também podem ser classificadas em: - Normais: quando o eixo do cone é paralelo ao eixo da Terra (coincide). - Transversais: quando o eixo do cone é perpendicular ao eixo terrestre. - Oblíquas: quando o eixo do cone é inclinado em relação ao eixo da Terra. Figura 5.19 Figura 5.20 Figura 5.21 Cônica normal

Cônica transversa

Cônica obliqua

5.6.3 - Quanto ao Método de Traçado Segundo a forma de traçar (desenhar ou criar as projeções) podem ser classificadas em: 90

- Geométricas: São as que podem ser traçadas diretamente utilizando as propriedades geométricas da projeção. - Analíticas: São as que podem ser traçadas com o auxílio de cálculo adicional, tabelas ou ábacos e desenho geométrico próprio. - Convencionais: São as que só podem ser traçadas com o auxílio de cálculo e tabelas. As projeções geométricas possuem ainda uma subdivisão, caracterizando ou não a existência de um ponto de vista ou centro de perspectiva: - Perspectiva: possuem um ponto de vista. - Pseudo-perspectivas ou Não-perspectivas: possuem um ponto de vista fictício ou não possuem.

Ortográfica (infinito)

Conforme a posição do ponto de vista, podem ser ainda mais uma vez subdivididas em:

Estereográfica

Gnomônica

Fonte de Luz

Figura 5.22 - Posição do ponto de vista - Ortográficas: o ponto de vista está no infinito. - Estereográficas: o ponto de vista está no ponto diametralmente oposto à tangência do plano de projeção, também denominado antípoda. - Gnomônica: o ponto de vista está no centro da Terra. 5.7 - A Aparência e Reconhecimento de uma Projeção Após a classificação das projeções, pode-se verificar que a quantidade de formas de representação da Terra é muito grande e diversa. Uma pergunta pode então ser feita. “Como reconhecer uma projeção?” Visando a resposta a esta pergunta, serão colocados sete elementos diagnóstico, sob os quais deverão ser examinadas as projeções. 1) - A Terra está mapeada como uma feição contínua ou existem descontinuidades no mapa? 91

2) - Que tipo de figura geométrica é formada pelo limite do mapa, seja ele do mundo ou do hemisfério? Retângulo, círculo, elipse ou figuras mais complicadas. 3) - Como estão os continentes e oceanos dispostos em relação aos limites e eixos do mapa? Isto é uma verificação da convenção do Equador e meridiano de Greenwich e localização dos pólos.

Alguma coisa diferente do que se está acostumado a ver, Equador e Greenwich

como eixos centrais e os pólos acima e abaixo, possivelmente causarão estranheza a um leigo. 4) - Os meridianos e paralelos são retilíneos ou curvos? 5) - As interseções dos meridianos e paralelos em qualquer ponto do mapa são ortogonais ou ocorrem interseções de gratícula oblíquas, em alguma parte do mapa? 6) - Os meridianos ou paralelos curvos são formados por círculos, arcos de círculos ou arcos de curvas de ordem superior (elipses, hipérboles). Se os arcos forem circulares são concêntricos? 7) - O espaçamento entre os meridianos sucessivos é uniforme ou variável? Se é variável, o espaçamento dos paralelos aumenta ou diminui do Equador para os Pólos? Em relação aos meridianos aumenta ou diminui do centro do mapa para as bordas? Todas essas variáveis podem ajudar a identificar uma projeção e maior parte delas pode ser usada de alguma forma para verificar a sua classificação. A aparência de uma projeção é de valor menor para a definição de uma ou outra propriedade, por exemplo, se uma projeção tem as gratículas oblíquas, pode-se inferir que não seja conforme, porém a recíproca não é verdadeira.

Normal

Transversa

92

Obliqua

(polar)

(equatorial)

(polar)

(equatorial)

obliqua

transversa

obliqua

Transversa(raramente usada)

obliqua(raramente usada)

Três (normal, transversa e obliqua) aspectos aplicados as três projeções (azimuthal equivalente, cilíndrica de Miller ecônica de Albers) com diferentes superfícies tangentes de projeção. Verificar como as graticulas características de alguns grupos de projeção (radialemyte simétricas nas azimutais e cônicas, garde retangular nas projeções cilíndricas) são apenas efetuadas nos aspectos simples e nos aspectos normais. Um conjunto infinitamente grande de possibilidades (sem contar translação da latitude) de mapas oblíquos podem ser apresentados.

6 - ESTUDO DAS PRINCIPAIS PROJEÇÕES 6.1 - PROJEÇÕES PLANAS OU AZIMUTAIS 93

As projeções planas ou azimutais constituem-se num importante grupo de projeções, algumas das quais conhecidas há mais de dois mil anos. São caracterizadas pela projeção da superfície terrestre sobre um plano tangente à superfície, conforme pode ser visto na figura 1. São também chamadas de azimutais, pelo fato de que o azimute do centro da projeção a qualquer direção é sempre mostrado corretamente na representação do mapa.

Figura 1 – Superfície plana de projeção

As principais projeções planas são as seguintes: - Ortográficas - Estereográficas - Gnomônicas - Equivalente Azimutal de Lambert - Azimutal Eqüidistante Como características gerais das projeções azimutais ou planas, pode-se citar: -

Na hipótese esférica, todos os grandes círculos que passam pelo centro de

projeção são apresentados como linhas retas. Portanto, o caminho mais curto do centro da projeção a qualquer ponto serão sempre retas. -

Apresentam a Terra em uma representação circular, com exceção às projeções

gnomônicas; -

A forma mais simples de representação são as projeções polares, onde os

meridianos são representados por linhas retas, irradiadas do centro de projeção e o s paraleos são círculos concêntricos com centro no mesmo centro de projeção. -

Possuem um único ponto de contato, se tangentes, e as distorções aumentam a

medida que afasta-se dele. 94

A figura 2 apresenta a posição do plano tangente, conforme os aspectos polar, equatorial e obliquo da projeção azimutal.

Figura 2 - Aspectos da Projeção Azimutal Em seguida serão apresentadas as características e propriedades mais importantes das projeções azimutais descritas. 6.1.1 - Projeção Ortográfica Características Gerais O ponto de perspectiva para a projeção ortográfica está situado no infinito, sendo os paralelos e meridianos projetados sobre o plano tangente através de linhas de projeção paralelasconforme pode ser observado na figura 3.

Perspectiva Infinita

Plano Tangente

Figura 3 – Perspectiva da projeção ortográfica no aspecto polar

95

Figura 4 – Aspectos Polar e equatorial da projeção azimutal ortográfica Todos os meridianos e paralelos são mostrados como elipses, círculos ou linhas retas. No aspecto polar os meridianos aparecem como linhas retas irradiadas do polo, em ângulos reais, com os paralelos representados como círculos concêntricos com centro no polo. Os paralelos são mais espaçados próximo ao polo, diminuindo o espaçamento até zero no Equador, que marca o paralelo limite do mapa no aspecto polar. A escala é maior próximo ao polo diminuindo em direção ao Equador. As formas próximas ao polo parecem maiores por este motivo, ficando comprimidas próximo ao Equador, sendo de difícil reconhecimento nesta área. A escala ao longo de qualquer paralelo é constante, uma vez que varia ao longo dos meridianos, do valor real no centro de projeção, até zero. O aspecto equatorial tem o centro de projeção em qualquer ponto do Equador terrestre. Os paralelos são representados por retas, que se estendem de limite a limite da projeção. O meridiano central é uma reta. Os meridianos de ± 90° a partir do meridiano central formam um círculo, marcando o limite da projeção. Os demais meridianos são elipses de excentricidade 0 (círculo limite) até 1 (meridiano central). O aspecto oblíquo tem o centro de projeção em qualquer lugar situado entre o Equador e os pólos. Fornece uma imagem parecida com um globo, sendo preferida para ilustrações no lugar dos aspectos polar e equatorial. O único meridiano representado como uma linha reta é o central. Todos os paralelos são elipses de mesma excentricidade. Algumas das elipses são mostradas inteiramente, enquanto que algumas só parcialmente. Todos os demais meridianos são elipses de excentricidade variável. Nenhum meridiano aparece como círculo. A escala e distorção mudam apenas em função da distância do centro de projeção. O esquema de distorção será sempre o mesmo para os três casos. O esquema de distorção da projeção em qualquer aspecto coincide com a projeção no caso polar. 96

Figura 5 – Aspecto oblíquo da projeção azimutal ortográfica

Utilização - Foi popular durante a 2a Guerra Mundial. - Com os vôos espaciais foi rebuscada, pois lembra a fotografia dos corpos celestes. 6.1.2 - Projeção Estereográfica Características Gerais Aa projeção estereográfica é uma perspectiva verdadeira na sua forma esférica. É a única projeção perspectiva verdadeira conforme. Seu ponto de projeção está na superfície da esfera, no lado diametralmente oposto ao ponto de tangência do plano ou do centro de projeção. Figura 6 - Aspecto Projetivo Estereográfico Polo Norte

Plano de Projeção

Equador

Polo Sul

Se o pólo Sul é o centro do mapa, a o ponto de vista está no pólo Norte, e vice versa. O ponto na esfera oposto ao centro de projeção é projetado no infinito no plano do mapa.

97

No aspecto polar é semelhante a todos os aspectos polares azimutais, meridianos irradiados como retas pelo centro de projeção e os paralelos como círculos concêntricos. Este aspecto coincide com o esquema de distorção da projeção.

Figura 7 – Aspecto polar da projeção esterográfica azimutal O espaçamento dos paralelos aumenta à medida que se afasta do pólo (oposto à ortográfica), significando um aumento da escala neste sentido. A escala é constante ao longo dos paralelos e aumenta ao longo dos meridianos, afastando-se dos pólos. O aspecto equatorial e oblíquo torna a aparência da projeção mais distinta: todos os meridianos e paralelos, são mostrados como arcos de círculo, exceto o meridiano central e o Equador. No caso obliquo, o meridiano central é uma linha reta, assim como o paralelo de mesmo valor numérico, mas de sinal contrário ao paralelo de contato. Por exemplo: se o paralelo de contato for + 40° , o paralelo - 40° será mostrado como uma reta.

Figura 8a - Aspecto Equatorial

b - Aspecto Obliquo

Os paralelos são centrados ao longo do meridiano central. Os círculos dos meridianos são centrados ao longo do paralelo retilíneo. O meridiano de 90° a contar do meridiano central - no caso equatorial - define o limite da projeção. 98

Como uma projeção azimutal, as direções a partir do centro da projeção são verdadeiras na forma esférica. No caso elipsóidico, apenas o aspecto polar é realmente azimutal, mas não é perspectiva, para manter a conformidade. Devido à conformidade, muitas vezes é estabelecida não a tangência do plano, mas uma secância, passando a existir um círculo padrão de distorção nula, balanceando os erros por todo o mapa. Utilização O aspecto oblíquo tem sido usado para projeção planimétrica de corpos celestes: Lua, Marte, Mercúrio, Vênus. O aspecto polar elipsóidico tem sido usado para mapear as regiões polares (Ártico e Antártico). A projeção UTM é complementada pela projeção UPS (Universal polar estereográfica) acima de 84° e abaixo de - 80°. Em 1962 a porção polar da carta ao milionésimo do Mundo foi modificada da projeção policônica para a polar estereográfica, nos mesmos moldes da UPS. 6.1.3 - Projeção Azimutal Equivalente de Lambert Características Gerais Não é perspectiva, podendo ser chamada de “sintética”, por ter sido desenvolvida para apresentar a característica de equivalência. O aspecto polar tem as mesmas características das demais azimutais. Círculos concêntricos para os paralelos nos polos e meridianos irradiados. Mostra o esquema de distorção da projeção, para a esfera, podendo este esquema ser colocado sobre os demais casos, para se definir as regiões de deformação e distorção da escala. O espaçamento dos paralelos diminui conforme aumenta a distância do polo. Normalmente a projeção não é mostrada abaixo de um hemisfério (ou do Equador).

99

Figura 9 - Aspecto Polar

Figura 10 a - Aspecto Equatorial

b - Aspecto Obliquo

O aspecto equatorial mostra o meridiano central como reta e o meridiano central +90° e o meridiano central - 90°, como um círculo, limitando a projeção, a este e a oeste. Os demais meridianos e paralelos são curvas complexas. O aspecto oblíquo assemelha-se à projeção ortográfica, porém é mais compacta. O único meridiano apresentado como uma reta é o meridiano central, todos os demais meridianos e paralelos são curvas complexas (não são elipses), que só podem ser traçadas através de cálculo. Utilização É bastante utilizada em Atlas comerciais e mapas que necessitem de relações de equivalência entre as formas. Serve de base para mapas geológicos, tectônicos e de energia; mapas comerciais e mapas geográficos (físicos, políticos e econômicos).

6.1.4 - Projeção Azimutal Eqüidistante Características Gerais 100

Não é uma projeção perspectiva, porém como eqüidistante tem a característica especial de todas as distâncias estarem em uma escala real quando medidas do centro até qualquer outro ponto do mapa. O aspecto polar é idêntico às demais: paralelos como círculos concêntricos e meridianos irradiados a partir do centro de projeção. Coincide também com o esquema de distorção da projeção.

Figura 11 a - Aspectp Polar

b – aspecto equatorial

Os paralelos são igualmente espaçados na forma esférica. Pode-se estender a representação além do Equador, mas as distorções serão sempre muito grandes. No Equador a escala é cerca de 60% maior do que no centro de projeção. O aspecto equatorial é o menos usado dos três casos. É substituído com vantagens pela projeção estereográfica. O Equador e o meridiano central são retas, sendo todos os demais meridianos e paralelos curvas complexas. Os dois polos são mostrados. O aspecto oblíquo lembra a projeção azimutal equivalente de Lambert. Com exceção do meridiano central, todos os demais são curvas complexas, incluindo o Equador. Quando é representado os dois hemisférios, as diferenças com a projeção de Lambert são mais pronunciadas. Enquanto as distorções são extremas em outros aspectos, as distâncias e direções do centro superam agora as distorções para muitas aplicações.

Figura 12 - Aspecto Obliquo, com dois centro diferentes (Chicago e Brasília) 101

Utilização - Utilizada no aspecto polar para mapas mundiais e mapas de hemisférios polares; - No aspecto oblíquo para Atlas de continentes e mapas de aviação e uso de rádio. - Utilização regular em Atlas, mapas continentais e comerciais tomando-se o centro de projeção em cidades importantes. - Cartas polares; - Navegação aérea e marítima; - Rádio Comunicações (orientação de antenas) e rádio-engenharia; - Cartas celestes tendo a Terra como ponto central. 6.1.5 - Projeção Gnomônica Características Gerais Estando o ponto de vista no centro da Terra, estará contido no plano de qualquer círculo máximo e este plano, seja qual for o aspecto, intercepta o plano de projeção segundo uma reta, que será a transformada de círculo máximo correspondente na projeção. Assim todo círculo máximo sempre será representado por uma reta.

Figura 13 - Característica Projetiva da projeção gnomônica A ortodrômica, rota mais curta que une dois pontos, é um arco de círculo máximo no caso esférico, sendo portanto representada por uma reta.

Figura 14 - Representação da Loxodrômica

102

Em qualquer caso, os meridianos serão retas por serem arcos de círculos máximos. São retas paralelas entre si e perpendiculares à transformada do Equador. O polo não terá representação.

Figura 15 - Aspecto polar e equatorial da projeção gnomônica Os paralelos nos casos oblíquo ou equatorial serão curvas que dependendo da situação do plano de projeção, poderão ser elipses, parábolas ou hipérboles. Devido às grandes deformações, quanto mais extensa a área mapeada, as diferenças de escala também serão consideráveis. Aplicações - Cartas polares de navegação; - Navegação marítima e aérea; - Rádio e rádiogoniometria, rádio faróis; - Geologia (alinhamento de componentes da crosta); - Cartas de portos. 6.1.6 - Gráfico Comparativo das Projeções Azimutais A figura 16 abaixo apresenta um gráfico comparativo para a esfera modelo, da aparência dos paralelos para o caso polar, permitindo verificar o espaçamento existente entre eles, em cada tipo de projeção. Este mesmo gráfico pode ser visualizado como a variação da escala radial em todos os aspectos das projeções plana, com o detalhe que agora, não está mostrando a representaçÃo dos paralelos, e sim as radiais de variação de escala.

103

Figura 6.16 - Gráfico Comparativo das Projeções Azimutais Polares e Variação de Escala

6.2 - PROJEÇÕES CILÍNDRICAS As projeções cilíndricas correspondem às projeções que têm um cilindro como superfície de projeção. O desenvolvimento da superfície do cilindro em um plano, vai apresenta-la como um retângulo em todos os casos considerados. Figura 6.2.1 - Superfície de projeção cilíndrica

104

Características Gerais Geometricamente são parcialmente desenvolvidas por um cilindro tangente ou secante ao globo terrestre, em seus três aspectos: equatorial, transverso e oblíquo. São utilizadas para representar mapas mundiais, em uma faixa estreita ao longo do equador, meridiano ou círculo máximo.

Figura 6.2.2 - Aspectos equatorial, transverso e obliquo Nas projeções equatoriais, com o cilindro tangente, os meridianos e paralelos são sempre representados por retas ortogonais e o Equador será o centro de projeção. Nos demais casos, geralmente nem os meridianos nem os paralelos são retas, ocorrendo isto apenas em situações especiais. As principais projeções cilíndricas que serão analisadas são as seguintes: - Projeção de Mercator; - Projeção Transversa de Mercator; - Projeção Equivalente de Lambert; - Projeção Oblíqua de Mercator. 6.2.1 Projeção de Mercator Características e Utilização Desenvolvida graficamente em 1569 por Gerardus dit Mercator, cartógrafo originário da região de Flandes, devido às suas características é até hoje amplamente utilizada em navegação marítima. Durante o século XVII e XVIII foi padrão para todo o mapeamento marítimo. Durante o século XIX foi utilizada para o mapeamento das áreas equatoriais. No Brasil é utilizada pela

105

Diretoria de Hidrografia e Navegação para o mapeamento de cartas náuticas de auxílio à navegação. Devido as distorções em altas latitudes tem sido bastante criticada hoje em dia, por utilização em outras aplicações.

Figura 6.2.3 - Projeção de Mercator Os meridianos da projeção de Mercator são representados por linhas retas verticais paralelas, igualmente espaçadas, cortadas ortogonalmente por linhas também retas, representando os paralelos, que por sua vez são espaçados a intervalos crescentes, à medida que se aproxima dos polos. Este espaçamento é tal que permita a conformidade, e é inversamente proporcional ao coseno da latitude. A característica mais importante da projeção de Mercator, é a sua capacidade de mostrar a loxodrômica entre dois pontos como uma linha reta. A loxodrômica é uma linha de azimute constante sobre a superfície terrestre.

106

Figura 6.2.4 - Loxodrômica ou linha de rumo A loxodrômica possui um comprimento sempre maior que a ortodrômica, só havendo coincidência das duas no Equador ou sobre um meridiano, onde a loxodrômica também será um arco de círculo máximo. É devido a esta capacidade de apresentar as loxodrômicas, a razão da utilização da projeção de Mercartor em cartas de navegação. As distorções de área da projeção, no entanto, pode levar a concepções erradas por leigos em Cartografia. A comparação clássica do problema da distorção é estabelecida pela comparação entre a América do Sul e a Groelândia. Esta aparece maior, apesar de realmente ser 1/8 do tamanho da América do Sul.

Figura 6.2.5 - Comparação de distorção da projeção de Mercator O polo Norte e o polo Sul não podem ser mostrados por serem pontos singulares, estão no infinito, não tendo representação na projeção. Os limites da projeção são os paralelos + 78° e -70° de latitude. Apesar das desvantagens, é uma projeção conforme, em conseqüência as direções em torno de um ponto são conservadas, logo as formas de pequenas áreas também o são. Praticamente todas as cartas de navegação marítima são desenvolvidas na projeção de Mercator.

Equador

Figura 6.2.6 - Escala varável de Mercator

107

Devido às distorções, a escala da projeção é uma escala variável. É constante ao longo dos paralelos, variando porém em função da latitude, é inversamente proporcional ao coseno da latitude.

Figura 6.2.7 – Esquema de distorção da projeção de Mercator É ainda bastante empregada em Atlas e cartas que necessitem mostrar direções (cartas magnéticas e geológicas). Cículos Máximos e Linhas de Rumo A linha mais curta entre dois pontos dados na superfície de uma esfera é o menor arco do círculo máximo que os une. Na esfera define-se como a ortodrômica entre estes pontos. Se for considerado o esferóide, a linha mais curta é definida pela linha geodésica entre os dois pontos, que é a linha mais curta em uma superfície curva qualquer. Entretanto, é possível considerar a superfície terrestre como uma esfera e esta aproximação ser suficientemente precisa para uma grande quantidade de aplicações. Uma linha de rumos ou uma loxodrômica é a linha que corta os meridianos segundo um azimute constante. Assim, será sempre possível de qualquer ponto da superfície terrestre chegar até o polo, apenas percorrendo esta linha. A navegação entre dois pontos utilizando a loxodrômica não necessitaria de correção de direção.

108

Figura 6.2.8 Linha de rumo constante na superfície terrestre A única projeção que apresenta uma loxodrômica como uma linha reta é a projeção de Mercator, enquanto que a única que apresenta as ortodrômicas como retas é a projeção gnomônica. Porém, o que é representado como reta em uma não o é na outra, colocando-se uma opção para se determinar uma navegação entre dois pontos, se pela ortodrômica ou pela loxodrômica. Evidente que cada uma delas possui suas vantagens características.

Máx Círculo

imo

Rumo Linha de

Figura 6.2.9 - Linha de rumo e círculo máximo na projeção de Mercator A solução do problema é estabelecida por uma seleção de pontos ao longo do curso de navegação de uma ortodrômica, definindo-se a orientação pela loxodrômica entre este pontos intermediários. Assim parte da navegação será desenvolvida pela ortodrômica e parte pela loxodrômica.

Figura 6.2.10 - Solução para navegação em um círculo máximo 6.2.2 - Projeção de Mercator Transversa Características Gerais 109

Os meridianos e paralelos são curvas complexas, exceção ao Equador, ao meridiano central e cada meridiano afastado de 90°, que são representados como linhas retas,. A consideração esférica é conforme e a variação da escala é função da distância angular ao meridiano central. A forma elipsóidica é também conforme mas a escala é afetada por outros fatores além da distância angular ao meridiano central. A escala ao longo do meridiano central é tomada como verdadeira, quando o cilindro é tangente, ou ligeiramente menor, quando o cilindro é secante. No cilindro secante à Terra, existem duas linhas de escala verdadeira. Utilização - Mapeamentos Topográficos; - Base para a projeção UTM (Universal Transversa de Mercator).

Figura 6.2.11 Mercator transversa

Figura 6.2.12 - Aparência da projeção

6.2.3 - Projeção Oblíqua de Mercator Características Gerais É uma projeção semelhante à projeção regular de Mercator, onde o cilindro é tangente a um círculo máximo que não o Equador ou um meridiano.

110

Figura 6.2.13 - Aparência da projeção obliqua de Mercator O mapa da projeção oblíqua de Mercator lembra a projeção regular com as massas continentais rotacionadas para os polos. Duas linhas a 90° do grande círculo escolhido como centro de projeção estão no infinito. Normalmente é utilizada para mostrar a região próxima à linha central. Sob essas condições parece similar aos mapas da mesma área em outras regiões, à exceção das medidas de escala, que mostrarão diferenças. Utilização - Foi a projeção mais capaz de projetar imagens de satélite no sistema Landsat (HOM Hotime Oblique Mercator). - Serviu de para a elaboração da projeção SOM (Space Oblique Mercator). - Mapeamento de regiões que se estendem em uma direção oblíqua (Alaska, Madagascar). - Base para a projeção SOM (Space Oblique Mercator). 6.2.4 - Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert Características Gerais É uma projeção cilíndrica, equivalente e equatorial, portanto a escala sobre o Equador é verdadeira, os paralelos são representados com o mesmo comprimento do Equador. A escala sobre os meridianos é reduzida na proporção inversa do seu aumento sobre os paralelos, para manter a razão de equivalência.

111

O espaçamento entre os paralelos diminui à medida que a latitude aumenta, indicando uma redução de escala, dessa forma a escala sobre os paralelos vai sendo progressivamente exagerada, ao mesmo tempo é reduzida sobre os meridianos na proporção inversa; Apresenta uma grande distorção nas altas latitudes devido à esta desigualdade entre a escala nos meridianos e nos paralelos. A figura 6.2.15 Aplicações - Apropriada para cartas equivalentes em baixas latitudes; - Mapas mundiais de baixas latitudes.

Figura 6.2.14 - Projeção equivalente de Lambert 6.2.5 - Projeção Platte Carreé ou Equiretangular Características Gerais Esta projeção é desenvolvida sobre um cilindro tangente ao equador, assim a distorção aumenta em função da latitude, enquanto a escala é verdadeira ao longo do equador e de todos os meridianos, uma vez que é uma projeção equidistante. A escala é constante ao longo de cada paralelo, sendo igual à do paralelo oposto em sinal. Os meridianos são igualmente espaçados e representados por linhas retas ortogonais ao equador. Os paralelos são também igualmente espaçados, representados por linhas retas ortogonais aos meridianos. O espaçamento é idêntico ao dos meridianos. Os polos são linhas retas idênticas em comprimento ao equador. Possui simetria em relação a qualquer meridiano ou ao equador. Esta projeção é creditada à Marinus de Tiros, tendo sido idealizada em cerca de 100AC, podendo ter sido na realidade ter sido originada por Eratóstenes (275 – 195 AC). 112

Sua maior aplicação, devido a sua característica de igual espaçamento entre os paralelos e meridianos, é o tratamento como um sistema de coordenadas plano cartesiano, sendo portanto de fácil manipulação em sistemas de CAD (AutoCad, MicroStation e outros), que não comportam sistemas de projeção cartográficos.

Figura 6.2.15 - Projeção cilíndrica equidistante

113

6.3 - PROJEÇÕES CÔNICAS Nas projeções cônicas a superfície de projeção é definida pela superfície de um cone, tangente ou secante à superfície terrestre, sendo então planificada, conforme pode ser observado na figura 6.3.2.

Figura 6.3.1 - Desenvolvimento cônico Apresenta-se igualmente em três aspectos: equatorial, transverso e obliquo, em relação à posição do cone face à superfície terrestre.

Figura 6.3.2 - Aspectos das projeções cônicas As projeções cônicas são utilizadas para mostrar uma região que se estenda de este para oeste em zonas temperadas, ou em pequenos círculos, ortogonais ou inclinados em relação ao Equador. Exemplos de países que utilizam projeções cônicas em sus mapeamentos são os Estados Unidos, Rússia e Japão, sendo que este último utiliza uma projeção cônica obliqua.

114

Figura 6.3.3.- Aspecto geral da projeção cônica normal As projeções cônicas normais distinguem-se pelo uso de arcos de círculos concêntricos para a representação dos paralelos e os raios desses círculos, igualmente espaçados, para representar os meridianos. Os ângulos entre os meridianos são menores que a diferença real em longitude. Dependendo das características da distorção da projeção, o espaçamento entre os paralelos será maior ou maior, definindo a escala ao longo de cada paralelo, que será sempre constante. O nome cônica origina-se do fato das projeções mais elementares serem derivadas de um cone colocado no topo do globo. O eixo do cone coincidindo com o eixo terrestre e seu lado tangente ao globo, descrevendo um paralelo padrão, onde a escala é real e sem distorções. Os meridianos são traçados no cone do vértice para os pontos do meridiano correspondente no globo, através do paralelo padrão. O paralelo padrão é o centro de projeção, caracterizando a linha de distorção nula. No aspecto tangente só existirá um paralelo padrão e no caso secante dois paralelos padrões.

Figura 6.3.4 - Características projetivas Os demais paralelos são traçados como arcos centrados no vértice do cone, de forma dependente da projeção, que irá definir o espaçamento. 115

a xat ae cal s E ata ex la ca s E

Figura 6.3.5 - Projeção cônica com cone secante As projeções cônicas analisadas são as seguintes, todas analisadas segundo o aspecto normal, de interesse para o caso brasileiro: - Projeção Equivalente de Albers; - Projeção Cônica Conforme de Lambert; - Projeção Policônica.

6.3.1 - Projeção Equivalente de Albers Características Gerais e Utilização Projeção equivalente, normal. Possuem a representação dos paralelos como arcos de círculos concêntricos e raios desses arcos, igualmente espaçados para os meridianos. Os paralelos não são igualmente espaçados, sendo o espaçamento maior próximo ao paralelo padrão e menor próximo às bordas norte e sul. O polo não é o centro dos círculos, mas também um arco de círculo. Os paralelos padrões devem ser tomados de forma a minimizarem a distorção em uma determinada região.

Figura 6.3.6 - Aparência da projeção cônica equivalente de Albers 116

No Brasil está sendo atualmente utilizada no Projeto SIVAM. 6.3.2 - Projeção Cônica Conforme de Lambert Características Gerais Alguns dos comentários feitos para a projeção de Albers em relação à aparência da projeção, são idênticos, como por exemplo o espaçamento dos paralelos. A seleção de paralelos padrões, é estabelecida pelas zonas de 4° de amplitude que se vai mapear. É uma projeção conforme, porém em altas latitudes, a propriedade não é válida, devido às grandes deformações introduzidas. As linhas retas entre pontos próximos aproximam-se de arcos de círculos máximos. A escala, reduzida entre os paralelos padrões, é ampliada exteriormente a eles. Isto aplica-se às escalas ao longo dos meridianos, paralelos ou qualquer outra direção, uma vez que é igual em um ponto dado.

Figura 6.3.7 - Aparência da projeção cônica conforme de Lambert Utilização - Aplicação em regiões com pequena diferença de latitude (um paralelo padrão). Manutenção das formas das áreas e precisão de escala satisfatória. Mapeamento de utilização geral. Com dois paralelos padrões tem ampla aplicação: - pela Organização Internacional da Aviação Civil (OIAC): Cartas Aeronáuticas na escala de1:1.000.000; - estudo de fenômenos meteorológicos (Organização Mundial de Meteorologia); - cartas sinóticas; 117

- Atlas; - Carta Internacional do Mundo na escala 1:1.000.000. 6.3.3 - Projeção Policônica Características Gerais Não é nem conforme nem equivalente. Utiliza como superfície intermediária de projeção diversos cones tangentes em vez de apenas um. No caso normal os eixos dos cones são coincidentes com o eixo terrestre. Os cones tangenciam a superfície terrestre em seus paralelos, de modo que a cada um corresponda à um cone tangente. Em conseqüência, na projeção, cada paralelo será desenvolvido separadamente, por meio do cone que lhe é tangente, e representado por um arco de círculo.

Figura 6.3.8 - Esquema de desenvolvimento Os arcos de círculo que representam os paralelos, não são concêntricos, por que cada um terá como centro o vértice do cone que lhe deu origem. Estes centros estão todos sobre o mesmo segmento de reta, pois os eixos dos cones são coincidentes, no prolongamento do meridiano central. O meridiano central é representado por uma reta ortogonal ao Equador, que também é uma reta. Os demais meridianos são curvas complexas calculadas e plotadas para cada posição de cone tangente, sendo o resultado da união desses pontos.

118

Figura 6.3.9 - Projeção policônica Utilização -

Mapas topográficos de grandes áreas e pequena escala;

-

Cartas gerais de regiões não muito extensas;

-

Levantamentos hidrográficos;

-

Mapa Internacional do Mundo através da projeção policônica modificada -

substituído usualmente pela cônica conforme de Lambert. -

No Brasil é utilizada nos mapas da série 1: 5 000 000 e 1: 2 500 000 do IBGE,

mapas estaduais e regionais.

6.4 - PROJEÇÕES ESPECIAIS Características Gerais As projeções chamadas convencionais e especiais compreendem todas as demais que não possuem as superfícies regulares de projeção. Podem possuir alguma das propriedades de conformidade, equivalência ou eqüidistância, ou serem afiláticas, realizando muitas vezes minimizações das distorções para áreas específicas, colocando-se como um meio termo no aspecto distorsivo. A grande maioria dessas projeções são de utilização em mapas globais e de hemisférios. Procura-se nestes tipos de projeção, a obtenção de menores distorções para a superfície terrestre como um todo ou uma parte considerável de sua superfície, tal como um hemisfério inteiro. As superfícies de projeção são as mais diversas, muitas vezes parecendo absurdas na aparência, porém com algum tipo de propriedade que preencha alguma necessidade para uma determinada área ou para a própria superfície terrestre como um todo. Suas principais aplicações estão na representação da Terra em Atlas e representações em pequena escala. Podem ser contínuas ou interrompidas. 6.41 Projeções Contínuas Pseudo cilíndricas 119

Estas projeções são globais, que lembram as projeções cilíndricas ou são delas derivadas. Os paralelos são representados como linhas retas e os meridianos são curvas igualmente espaçados, à exceção do meridiano central ou de frente para o observador. São muito utilizadas em Atlas e outras representações globais. Projeção de Mollweide (homolográfica) É uma projeção equivalente apropriada para a representação de toda a Terra. O meridiano central, o Equador e os paralelos são representados por linhas retas. Os meridianos de +- 90° ao eixo do meridiano central são arcos de círculo. Todos os demais são elipses. Não possui uma escala própria aplicável a toda a projeção. Cada paralelo e meridiano possui uma escala particular, sendo que, no caso dos meridianos, varia com a latitude, aumentando progressivamente a partir do meridiano central, tornando-se exagerada sobre as elipses exteriores ao círculo. A escala é real apenas ao longo dos paralelos de latitude 40° 44′ N e 40° 44′ S. Empregada em mapas gerais (estudos geográficos), para mostrar a distribuição espacial dos fenômenos geográficos (densidade, religião, roças, etc) ou para mostrar posição relativa de diferentes partes do globo.

Figura 6.4.5 – Aparência da Projeção de Mollweide Projeções de Eckert

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122

123

As projeções de Eckert, cartógrafo alemão (1868-1938) são também projeções empregadas para representações globais, quase todas equivalentes e apresentado variações ou melhorias em relação à distorção da projeção. As mais usuais são as de Eckert IV e Eckert VI.

Figura 6.4.6 Projeção de Eckert IV (Peter Dana) Na projeção de Eckert IV o meridiano central é representado por uma linha reta e os meridianos à 180° são semicírculos, enquanto os demais ssão elípses. A escala é real ao longo dos paralelos de ± 40° 30′ . Já na projeção de Eckert VI o meridiano central e todos os paralelos são representados por linhas retas e todos os denais meridianos são curvas senoidais. A escala é real nos paralelos de ± 49° 16′ .

Figura 6.4.7 – Projeção de Eckert VI (Peter Dana)

124

Projeção de Robinson Esta projeção, baseada em tabelas de coordenadas e não em fórmulas apresenta uma tentativa de balanceamento das distorções em área, forma, escala e distâncias. É empregada em representações globais. Figura 6.4.8 Projeção de Robinson

Projeção Sinusoidal É uma projeção pseudo-cilíndrica, de construção simples. É equivalente, as áreas são mostradas proporcionalmente, sem distorções ao longo do Equador e meridiano central. As distorções tornam-se pronunciadas próximo a outros meridianos e próximo às regiões polares.

Figura 6.4.9 Projeção Sinusoidal Contínua Devido a estas distorções foi desenvolvida uma outra projeção interrompida por Goode (Projeção de Goode), que pode ser traçada para mostrar os continentes ou os oceanos, apenas por mudanças dos meridianos centrais. 125

É normalmente usada na forma esférica adequada para escalas pequenas, principalmente América do Sul e África. Os paralelos são retas e os meridianos são curvas senoidais.

Figura 6.4.10 - Projeção interrompida de Goode

6.4.1 Outras Projeções Projeção de Aitoff Derivada da projeção azimutal equivalente de um hemisfério. Tem um aspecto semelhante à projeção de Mollweide. Em ambas a esfera é representada por uma elipse com o eixo maior 2 vezes maior que o menor. Na projeção de Aitoff os paralelos são curvas e em conseqüência a interseção com os paralelos são menos oblíquos, assim, nas áreas mais afastadas do centro do mapa a forma é melhor representada. As distorções são ainda bastante acentuadas. Tem as mesmas aplicações da projeção de Mollweide.

126

Figura 6.4.11 - Projeção de Aitoff As projeções existentes podem ser listadas na ordem de centenas, cada uma delas possuindo propriedades e características próprias ou apenas desenvolvidas para mostrar uma ou outra característica da superfície da Terra. A seguir, são mostradas nas figuras, algumas projeções que são facilmente encontradas, segundo essas características descritas. Algumas são curiosas, mostrando ou apresentando uma ou outra característica importante que justifica a sua elaboração ou emprego.

Figura 6.4.12 - Outras projeções contínuas

Figura 6.4.13 - Projeção Eckert IV e “Armadillo”

127

Figura 6.4.10 - Planificação da Terra em um cubo

Figura 6.4.11 - Projeções interrompidas 6.4.2 - Projeção SOM (Space Oblique Mercator) Com o lançamento dos satélites de sensoriamento remoto pela NASA em 1972, surgiu uma nova era de mapeamento. a partir de uma base contínua no espaço. A série ERTS, rebatizada como Landsat, hoje já no número 7, levou ao estabelecimento de um projeto que permitisse ema relação direta entre o imageamento e uma representação cartográfica. Um mapeamento contínuo requer uma nova projeção. Inicialmente tentou-se a projeção oblíqua de Mercator, mas que revelou-se não satisfatória porque a Terra tem um movimento de rotação simultâneo com o movimento do satélite, que é praticamente ortogonal ao Equador, fazendo com que a órbita projetada na Terra, conjugando esses movimentos seja uma linha curva. Verifica-se também que as projeções oblíquas sobre o elipsóide são válidas apenas para uma pequena área no entorno da parte central, e não para uma faixa contínua. Características e Utilização 128

A projeção SOM visualmente difere da Oblíqua de Mercator no fato da linha central da projeção, órbita do satélite projetada na Terra, de ser ligeiramente curva. Para o sistema Landsat, esta órbita aparece como uma curva senóidica, cruzando o eixo dos x em um ângulo de aproximadamente 8°. As linhas de imageamento, perpendiculares à órbita no espaço estão ligeiramente inclinadas em relação à órbita projetada, quando plotada na esfera ou elipsóide. Devido à rotação da terrestre, as linhas de imageamento interceptam a órbita na Terra a 86° próximo ao Equador e 90° próximo aos pólos. A órbita do Landsat intercepta o plano do Equador com uma inclinação de 99°. Assim a órbita projetada alcança limites de ± 81° de latitude. A cobertura de imageamento é de 185 Km, ± 0,83° em ambos os lados da linha projetada, permitindo a cobertura terrestre nas latitudes ± 82°, no curso de 233 revoluções. Com uma altitude nominal em torno de 700 Km, em 16 dias o satélite executa uma cobertura total da Terra. A SOM não é uma projeção perfeitamente conforme, porém os erros são negligenciáveis. É uma projeção que apesar de ter sido desenvolvida para aplicação nos satélites da série LANDSAT, é aplicada a qualquer satélite imageador, apenas com modificações dos parâmetros de cálculo.

Figura 6.4.1 - Duas órbitas na SOM para o sitema Landsat

Linhas de varredura Limite de varredura Órbita terrestre

129

Figura 6.4.2 - Projeção SOM limites de aplicação

6.5 - PROJEÇÃO UTM - O SISTEMA UTM 6.5.1 - Introdução Ao fim do século XVIII, tendo por fim o levantamento do território de Hannover e a necessidade de se trabalhar com uma projeção com distorções menores que as existentes, Karl Friedrich Gauss estabeleceu um sistema de projeção conforme para a representação do elipsóide, o qual foi denominado de Gauss Hannovershe Projektion, (projeção de Hanover de Gauss). Esta projeção tinha as seguintes características: -

cilindro tangente a Terra;

-

utilização do conceito da projeção de Mercator;

-

cilindro transverso, tangente ao meridiano de Hannover, conforme pode ser visto na

130

Meridiano de Hannover

Figura 6.5.1 - Projeção Transversa de Mercator com cilindro tangente ao meridiano de Hannover Aproveitando os estudos de Gauss, outro geodesista alemão, Krüger, definiu um sistema projetivo, no qual o cilindro era rotacionada, aproveitando-se fusos independentes um do outro, de 3° de amplitude, ficando este sistema conhecido pelo nome de Gauss-Kruger.

Polo

Fuso de 3° graus

Figura 6.5.2 - Modificação de Krüger: cilindros tangente e fusos de 3o Após a 1a Grande Guerra Mundial (1914-1918), as exigências militares fizeram com que as projeções conformes fossem largamente empregadas na construção de cartas topográficas. Um outro geodesista, francês, cmte Tardi, introduz novas modificações ao sistema de Gauss, ao realizar parte do mapeamento do continente africano, criando o sistema denomidao Gauss-Tardi. Este passa a ser aplicado a fusos de 6° de amplitude, idênticos à da carta do mundo ao milionésimo, com os meridianos centrais de cada fuso múltiplos de 6° (36°, 42° ...). O cilindro passa a ser secante, criando-se duas linhas de distorção nula e, conseqüentemente diminuindo a distorção da projeção.

Figura 6.5.3 - Modificação de Tardi: cilindro secante e fusos de 6o Este sistema foi proposto pela UGGI em 1935 como um sistema universal, numa tentativa de unificação dos trabalhos cartográficos, O antigo Serviço Geográfico do Exército (SGE), em 1932 adotou o sistema GaussKrüger, em fusos de 3° (1,5° para cada lado do meridiano central) e em 1943, adotou o sistema Gauss-Tardi. Em 1951 a UGGI (União Geodésica e Geofísica Internacional) recomendou o 131

emprego em sentido mais amplo para o mundo inteiro, o sistema UTM (Universal Transversa de Mercator), o qual foi adotado a partir de 1955 pela Diretoria do Serviço Geográfico do Exército. 6.5.2 – Especificações dos Sistemas de Gauss Serão apresentadas aqui as especificações de todos os sistemas baseados em Gauss (G. Kruger, Tardi e UTM), devido ao fato de ainda existirem em circulação mapas e cartas que foram gerados e impressos nesses sistemas. Isto pode confundir o leigo, uma vez que as coordenadas desses sistemas não são idênticas, ou seja, mesmo tratando-se de sistemas teoricamente semelhantes, suas coordenadas são diferentes em valor e conteúdo. 2.1 Sistema Gauss-Krüger - (Gauss 3) -Projeção conforme de Gauss; - Decomposição em fusos de 3° de amplitude; - Meridiano central múltiplo de 1° 30’; - Cilindro tangente no meridiano central; - Ko coeficiente de escala (fator de escala) = 1 no meridiano central; - Existe ampliação para as bordas do fuso; - Constante do Equador - 0; - Constante do meridiano central = 0; - Coordenadas planas: x - abcissa sobre o meridiano; y - ordenada sobre o Equador; (Inversão do sistema matemático) É um sistema de aplicação mais local. Inspirou a criação dos sistemas locais LTM e RTM.

132

Central

+y

x+ y+

xy+ -x

+x

xy-

-y

Equado r

x+ y-

3o

Figura 6.5.4 - Sistema Gauss 3 2.2 Sistema Gauss-Tardi - (Gauss 6) - Projeção conforme de Gauss, cilíndrica, transversa e secante; - Fusos de 6° de amplitude (3° para cada lado); - Meridiano central múltiplo de 6°. Para o caso brasileiro, os MC são: 36°, 42°, 48°, 54°, 60°, 66° e 72°; O fator de escala (coeficiente de redução de escala) ho = 0,999333... Figura 6.5.5 - Cilindro secante e fusos de 6o

133

134

Existe portanto um miolo de redução, até a região de secância, aonde h = 1.0. Até as bordas do fuso haverá ampliação; - Origem dos sistemas parciais no cruzamento central, acrescidas as constantes: 5.000 km para o Equador, 500 km para o meridiano central; - Estas constantes visam não existir coordenadas negativas o que aconteceria com o sistema Gauss-Krüger; - Existência de uma zona de superposição de 30' além do fuso. Os pontos situados até o limite da zona de superposição são colocados nos dois fusos (próprio e subsequente), para facilitar trabalhos de campo. Meridiano Central

500 km

x>0 y < 500 km

x>0 y > 500 km

x > 5000 km y < 500 km

x > 5000 km y > 500 km

Equado r 5000 Kmkm

6o

Sistema Gauss-Tardi (Gauss 6) Figura 6.5.6 - Sistema Gauss 6 2.3. - Sistema UTM O sistema UTM foi adotado pelo Brasil, em 1955, passando a ser utilizado pela DSG e IBGE para o mapeamneto sistemático do país. Gradativamente foi o sistema adotado para o mapeamento topográfico de qualquer região, sendo hoje utilizado ostensivamente em quaisquer tipo de levantamento. - Utiliza a projeção conforme de Gauss como um sistema Tardi; - O cilindro é secante, com fusos de 6°, 3° para cada lado; - Os limites dos fusos coincidem com os limites da carta do mundo ao milionésimo;

135

- Os fusos de 6° são numerados a partir do antimeridiano de Greenwich, de 1 até 60, de oeste para leste (esquerda para a direita, desta forma coincidindo com a carta do mundo; pela figura 6.5.7 pode ser verificado a divisão do país em fusos.

Figura 6.5.7 - Divisão dos fusos do Brasil A tabela abaixo, mostra o número de fusos, seu meridiano central e os meridianos extremos dos fusos brasileiros Fusos 18

Meridiano Central -75o

19

-69o

20

-63o

21

-57o

22

-51o

23

-45o

24

-39o

25

-33o

Meridianos Limites -78o -72o -72o -66o -66o -60o -60o -54o -54o -48o -48o -42o -42o -36o -36o -30o

- Para evitar coordenadas negativas, são acrescidas as seguintes constantes: - 10.000.000 m para o Equador, refere-se apenas ao hemisfério sul. - 500.000 m para o meridiano central. - O coeficiente de redução de escala (fator de escala) no meridiano central é h0 = 0,9996 O cilindro sofre uma redução, tornando-se secante ao globo terrestre, logo, o raio do cilindro é menor do que a esfera modelo.

136

A vantagem da secância é o estabelecimento de duas linhas de distorção nula, nos pontos de secância. Estas linhas estão situadas a aproximadamente 180 km a leste e a oeste do meridiano central do fuso. Pelo valor arbitrado ao meridiano central, as coordenadas da linha de distorção nula estão situadas em 320.000 m e 680.000 m aproximadamente. A figura 6.5.8b mostra a representação esquemática da variação da distorção na projeção. A partir do meridiano central, existe um núcleo de redução, que aumenta de 0,9996 até 10, quando encontra a linha de secância. A partir da linha de secância, até a extremidade do fuso existe uma aompliação, até o valor de h = 1,0010.

Figura 6.5.8 a - Região de secância

b - áreas de ampliação e redução

A tabela 2 mostra o fator de escala ao longo das coordenadas este.

Deve ser observado, que o limite de fuso deve sempre ser preservado. A ampliação cresce de tal forma após a transposição de fusos, que não respeitar o limite traz distorções cartograficamente inadmissíveis. 137

A simbologia adotada para as coordenadas UTM é a seguinte: N - coordenada ao longo do eixo N-S, E - coordenada ao longo do eixo L-O. Meridiano Central

500 km

N> 0 E>500 km

N> 0 N10000 km E < 500 km

N >10000 km km E > 500 km

6o

Sistema UTM Figura 6.5.9 - Sistema UTM As coordenadas são dimensionadas em metros, sendo normalmente definidas até mm, para coordenadas de precisão. As coordenadas E variam de aproximadamente 120.000 m a 880.000 m, passando pelo valor de 500.000 m, no meridiano central. As coordenadas N, acima do Equador são caracterizadas por serem maiores do que zero e crescem na direção norte. Abaixo do Equador, que tem um valor de 10.000.000 m, são decrescentes na direção sul. Um ponto qualquer P, será definido pelo par de coordenadas UTM E e N de forma P (E;N). Exemplo: - P1 (640 831,33 m; 323, 285 m) É um ponto situado à direita do meridiano central e no hemisfério norte. - P2 (640 831,33 m; 9 999 676, 615 m) É um ponto simétrico do ponto anterior em relação ao Equador. - P3 (359 168,67 m; 9 999 676, 715 m) É um ponto simétrico em relação ao anterior, em relação ao meridiano central.

138

N

E'A

A

EA = 500 000 - E' A NA = N'A

E'

B

B

E B = E'B +500 000 N B = N'B

E NA =10 000 000 - N'A

N'C

E'

D

E'

C

C

N'D

E D= E'D +500 000

ND =10 000 000 - N'D

D

E C = 500 000 - E'C

Figura 6.5.10 - Esquema de representação das coordenadas UTM É importante observar que cada fuso será responsável por um conjunto independente de coordenadas, ou seja, o que irá diferenciar o posicionamento de um ponto, será a indicação do meridiano central ou do fuso que contém o ponto ou conjunto de pontos. Pelo esquema apresentado na figura 6.5.10 , pode-se verificar que as coordenadas, não têm os valores das constantes do Equador e do meridiano central. Estas constantes são adicionadas para se evitar coordenadas negativas. - O sistema UTM é utilizado entre as latitudes de 84° e - 80°. As regiões polares são complementadas pelo UPS (Universal Polar Estereographic). 3. Transformação de Coordenadas A trasnformação de coordenadas da projeção UTM para o elipsóide e vice-versa, foge do objetivo deste curso. No entanto, deve ser salientado algumas recomendações para não se cair em erros que possam colocar a perder todo um trabalho que porventura esteja sendo realizado. A latitude e longitude de cartas topográficas em projeção UTM, estarão sempre referidas a um elipsóide de revolução. São portanto latitudes e longitudes geodésicas e não geográficas (referidas à esfera). Até 1977, o sistema cartográfico brasileiro utilizava o elipsóide de internaconal de Hayford, sendo o datum (origem) do sistema Córrego Alegre. A partir de 1977 todo o sistema foi modificado, passando-se a utilizar o SAD - 69 (South American Datum) composto do elipsóide de Referência de 67 e o datum CHUÁ. Os dados rekativos aos dois elipsóides são mostrados abaixo: Hayford:

a = 6 378 388 m f = 1 / 297

139

Referência de 67

a = 6 378 160 m f = 1 / 298,25

Cartas mais antigas podem mostrar não só sistemas de projeção diferentes (Gauss-Krüger, Gauss-Tardi) como também estarem relacionando outros data e elipsóides. Deve-se ter a atenção ao se retirar coordenadas de cartas antigas. A transformação de coordenadas pode ser efetuada por cálculo manual, utilizando-se tabelas e manuais de transformação desenvolvidos pela DSG e IBGE, ou através de rápido cálculo em calculadora de bolso ou programas de computadores. Tais programas são capazes de calcular também a convergência meridiana e coeficiente de redução de escala para o ponto considerado.

7 - A CARTOGRAFIA BÁSICA 7.1 - SISTEMA CARTOGRÁFICO NACIONAL O Sistema Cartográfico Nacional, não abrange apenas a questão do mapeamento do território brasileiro. Existem diversos outros fatores que são considerados, definindo entidades encarregadas, áreas de atuação, levantamentos específicos, normas e especificações técnicas para cada tipo de trabalho a ser desenvolvido. As atividades cartográficas, em todo o tentório nacional, serão levadas a efeito através de um sistema único - o SISTEMA CARTOGRÁFICO NACIONAL - sujeito à disciplina de planos e instrumentos de caráter normativo, consoante os preceitos deste decreto-lei. O SISTEMA CARTOGRAPICO NACIONAL (SCN) é constituído pelas entidades nacionais, públicas e privadas, que tenham por atribuição principal executar trabalhos cartográficos ou atividades correlatas. Em 1981 é criado o Plano Cartográfico Nacional, constituído pelo conjunto dos Planos Cartográficos Terrestre Básico, Náutico e Aeronáutico, destinados a orientar a execução das atividades cartográficas em seus respectivos campos. O Plano Cartográfico Terrestre Básico é integrado pelos Planos Geodésico Fundamental, Cartográfico Básico do Exército e Cartográfico Básico do IBGE

140

Fundamentalmente, o Sistema Brasileiro deve ser cumprido através de metas que são estabelecidas quinqüenalmente, e divididos por ano de trabalho. Dispõe o país dos seguintes órgãos de base: - FIBGE - Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística; - DSG - Diretoria do Serviço Geográfico (Exército); - DHN - Diretoria de Hidrografia e Navegação (Marinha); - ICA - Instituto de Cartografia Aeronáutica (Aeronáutica). O espaço territorial brasileiro, para os efeitos do decreto-lei, é representado através de cartas, mapas e outras formas de expressão afins. As cartas, determinadas pela representação plana, gráfica e convencional da superfície terrestre são classificadas quanto à representação dimensional em planimétricas e plani-altimétricas; e quanto ao caráter informativo em Gerais, quando proporcionam informações genéricas, de uso não particularizado; Especiais, quando registram informações especificas, destinadas, em particular, a uma única classe de usuários; e Temáticas, quando apresentam um ou mais fenômenos específicos, servindo a representação dimensional apenas para situar um tema. A Cartografia Sistemática tem por fim a representação do espaço territorial brasileiro por meio de cartas, elaboradas seletiva e progressivamente, consoante prioridades conjunturais, segundo padrões cartográficos terrestre, náutico e aeronáutico. A Cartografia Sistemática Terrestre Básica tem por fim a representação da área terrestre nacional, através de séries de cartas gerais continuas, homogêneas e articuladas, nas escalaspadrão abaixo discriminadas: Série de l: l 000 000 – Carta Internacional do Mundo - CIM Série de 1:500 000 Série de 1:250 000 Série de 1:100 000 Série de 1:50 000 Série de 1:25 000 A Cartografia Sistemática Náutica tem por fim a representação hidrográfica da faixa oceânica adjacente ao litoral brasileiro, assim como dos rios, canais e outras vias navegáveis de seu território, mediante as informações necessárias à segurança da navegação. A Cartografia Sistemática Aeronáutica tem por fim a representação da área nacional, por meio de series de cartas aeronáuticas padronizadas, destinadas ao uso da navegação aérea. A Cartografa Sistemática Especial, bem como a Temática, obedecem aos padrões estabelecidos para as cartas gerais, com as simplificações que se fizerem necessárias à consecução de seus objetivos precípuos, ressalvados os casos de inexistência de cartas gerais. 141

Os levantamentos cartográficos sistemáticos apoiam-se obrigatoriamente em sistema plani-altimétrico único, de pontos geodésicos de controle, materializado no terreno por meio de marcos, pilares e sinais, constituído pela rede geodésica fundamental interligada ao sistema continental e pelas redes secundarias, apoiadas na fundamental, de precisão compatível com as escalas das cartas a serem elaboradas. São admitidos sistemas de apoio isolados, em caráter provisório, somente em caso de inexistência ou impossibilidade imediata de conexão ao sistema plani-altimétrico previsto neste artigo. Compete,

precipuamente,

ao

Conselho

Nacional

de

Geografia

promover

o

estabelecimento da rede geodésica fundamental, do sistema plani-altimétrico único. O Conselho Nacional de Geografia (CNG) era subordinado ao IBGE. Hoje em dia, as atividades deste conselho são dirigidas pela Diretoria de Geodesia e Cartografia, subordinada ao IBGE Os trabalhos de natureza cartográfica realizados no território brasileiro obedecem às Normas Técnicas estabelecidas pelos órgãos federais competentes, discriminadas na forma seguinte: -

ao Conselho Nacional de Geografia, do IBGE, no que concerne à rede geodésica fundamental e as series de cartas gerais, das escalas menores de 1:250.000;"

-

à Diretoria do Serviço Geográfico, do Ministério da Guerra, no que concerne às séries de cartas gerais, das escalas de I :250.000 e maiores;

-

à Diretoria de Hidrografia e Navegação, do Ministério da Marinha, no que concerne às cartas náuticas de qualquer escala;

-

à Diretoria de Rotas Aéreas, do Ministério da Aeronáutica, no que concerne às cartas aeronáuticas de qualquer escala." As Normas Técnicas de cartas temáticas e especiais são estabelecidas por órgãos públicos

interessados. Cabe ao IBGE difundir e fazer observar as Normas Técnicas de cartas gerais. Diversos outros órgãos governamentais possuem núcleos mais ou menos desenvolvidos, para seus trabalhos temáticos, como a CPRM, DNPM, EMBRAPA. Contam-se também os órgãos estaduais e municipais, que atuam em suas unidades de governo. 7.1.1 - Mapeamento Sistemático O mapeamento sistemático topográfico do Brasil compreende as seguintes escalas: 1/1.000.000, 1/500.000, 1/250.000, 1/100.000, 1/50.000 e 1/25.000. Mapeamentos em escala maior são considerados cadastrais e as suas escalas normais variam de 1/10.000 até 1/2.000. 142

O Brasil é, portanto, mapeado nas escalas das cartas do mapeamento sistemático. A divisão em folhas e as projeções das cartas são as seguintes: Tabela 1 – Situação do Mapeamento Analógico No de Folhas País 48 550 3036 12144 48576

Escala 1: 1 000 000 1: 250 000 1: 100 000 1: 50 000 1: 25 000

Folhas Impressas DSG IBGE 48 237 152 1290 656 854 718 158 30

Total de Folhas 48 394 2119 1640 342

Outras Org 5 173 68 154

% Mapeamento 100 71.6 69.9 13.5 0.7

Tabela 2 – Situação do mapeamento Digital Escala

Folhas Impressas DSG IBGE 183 79 685 123 274 40 181 0

1: 250 000 1: 100 000 1: 50 000 1: 25 000

Total Folhas 262 808 314 181

Outras Org 0 0 0 0

de % Mapeamento 47.6 26.6 2.6 0.4

7.2.2 - Índices de Nomenclatura O índice de nomenclatura é definido para auxiliar a localização de uma folha de carta no conjunto do território mapeado. Existem diversas formas de localização, tal como o GEOREF, que foi criado visando ser um índice padronizado para o mundo todo. Tem vantagens de ser aplicado a qualquer tipo de projeção adotada e é o índice mais simples de manuseio. a - GEOREF (Sistema Geográfico de Referência Internacional) Consiste na divisão inicial do globo terrestre em quadrângulos de 15° de latitude por 15° 180

165

150

135

120

105

90

75

60

45

30

15

0

-1 5

-3 0

-4 5

-6 0

-7 5

-9 0

-1 0 5

-1 2 0

-1 3 5

0

-1 5 0

9

-1 6 5

-1 8 0

de longitude. Esta divisão não é relacionada com nenhuma projeção específica. 9

0

7

5

7

5

6

0

6

0

4

5

4

5

3

0

3

0

1

5

1

5

M L K J H G 0

0

F - 1

5

- 1

5

E - 3

0

- 4

5

- 6

0

- 3

0

D

143

- 4

5

C - 6

0

B - 7

5

- 7

- 9

0

- 9

5

W

X

Y

Z

180

V

165

U

150

T

135

90

75

60

45

R

S

120

P

Q

105

N

30

0

M

15

L

-1 5

K

-3 0

J

-4 5

H

-6 0

G

-7 5

F

-9 0

E

-1 0 5

D

-1 2 0

C

-1 3 5

B

-1 5 0

A

-1 6 5

-1 8 0

A 0

Figura 7.1.1 - Enquadramento mundial do sistema GEOREF A partir do antimeridiano de Greenwich os quadrângulos são notados pelas letras A até Z, excluindo-se as letras I e O no sentido leste-oeste. A partir da latitude -90°, nota-se com as letras A até M, excluindo-se a letra I, até a latitude +90°, conforme pode ser visto na figura 7.1.1. A referência de enquadramento sempre será o canto inferior esquerdo do quadrângulo, sendo a primeira letra a correspondente à longitude. Desta forma são dadas as duas primeiras letras do índice, por exemplo na figura 7.1.1: KE. Cada quadrângulo de 15° é agora enquadrada dentro de uma projeção qualquer, que melhor caracterize o objetivo do mapeamento. O quadrângulo é dividido em quadrículas, de 1° de latitude por 1° de longitude. Cada uma delas é notada da mesma maneira, na direção Sul-Norte, pelas letras A à Q, e de Este-Oeste, também pelas letras A à Q, excluídos as letras I e O, conforme a figura 7.1.2..

- 1

- 3

o

5

o

0

A B C D E F G H J K L M N P Q

- 6

o

Q P N M L K J H G F E D C B A

- 4

0

o

5

Figura 7.1.2 - Enquadramento de um quadrângulo de 15o Soma-se ao índice inicial as duas letras que identificam o canto inferior esquerdo da quadrícula, com a primeira letra relativa à longitude e a segunda a latitude. Por exemplo, na figura 7.1.2 JE, caracterizando o índice KEJE

51

43

o

1

144

1o

1' x 1'

Figura 7.1.3 - Divisão do quadrângulo de 1o x 1o em quadrículas de 1’x 1’ Cada quadrícula de 1° por 1° é dividida em minutos, ou seja 60 x 60, tendo-se portanto 3.600 quadrículas, estabelecendo-se a numeração final do índice. A contagem é realizada pelo número de minutos que do limite esquerdo e do limite inferior, em qualquer hemisfério e em qualquer posição em relação à Greenwich. Exemplo: KEJE4351 b - Identificação das Cartas Brasileiras As cartas brasileiras podem ser identificadas por três elementos: - nome; - número do mapa índice; - índice de nomenclatura. Nome O nome da folha é uma designação através de um indicativo claro, geográfico, de algum aspecto físico ou humano que se desenvolva na região cartografada. Não é a melhor forma de identificar uma folha, pois não fornece nenhum indicativo posicional ou de localização de escala, podendo inclusive existir duplicação de nomes em diferentes e até mesmo em escalas idênticas. Número do Mapa Índice O número do mapa índice, refere-se ao número indicativo da folha, correspondente à divisão do Brasil nas folhas da carta 1/100.000, segundo a divisão do IBGE e DSG. As cartas são numeradas de Oeste para Leste. e de Norte até o Sul, de 1 até 3036 inclusive, seqüencialmente, por exemplo, a folha MI número 2436 eqüivale a uma folha da carta 1/100.000.

1

2

3

4

Figura 7.1.4 - Divisão da folha 1/100 000 em 1: 50 000

145

A numeração MI é estendida para as folhas 1/50.000 e 1/25.000. A numeração das folhas 1/50.000 é dada pela divisão da carta 1/100.000 em 4, sendo numeradas da esquerda para a direita, de cima para baixo, com os dígitos 1, 2, 3 e 4. A numeração é então definida pelo número MI da folha 1/100.000, seguido pelo dígito após um hífen, do número correspondente à posição da folha 1/50.000 na divisão da folha 1/100.000. A numeração das folhas 1/25.000 é semelhante. A folha 1/50.000 é também dividida em 4. sendo notada as folhas em NO, NE, SO e SE, conforme a sua posição seja superior esquerda, superior direita, inferior esquerda ou inferior direita. Figura 7.1.5 - Divisão da folha 1/50 000

NO

NE

SO

SE

O número MI então, de uma folha 1/25.000 será dada pela composição do número MI da folha 1/100.000, acrescida do dígito da folha 1/50.000 e acrescido das letras da folha 1/25.000. Exemplo: Folha 1416-3-NE Apesar de ser uma notação unívoca, o número de mapa índice não possui indicativo posicional, uma vez que se tem que dispor do mapa índice para localizar a folha. As folhas na escala 1: 250 000 possuem um número oriundo do Mapa Índice Reduzido (MIR), que também as designam de forma semelhante ao Mapa Índice da Carta 1: 100 000. Índice de Nomenclatura O índice de nomenclatura supre todas as deficiências apresentadas nas formas anteriormente citadas de identificar as folhas de cartas: -

é único para cada folha de carta em cada escala;

-

atende todas as escalas do mapeamento sistemático, podendo ser estendido ao mapeamento cadastral;

-

possui características posicionais, ou seja, pelo próprio índice já se pode localizar a folha dentro do território nacional.

146

O enquadramento de qualquer folha de carta, é desenvolvido pela definição dos seus quatro cantos, que são estabelecidos em coordenadas geodésicas, latitude e longitude, logo os limites de todas as folhas serão sempre paralelo e meridianos, respectivamente. O canto 1 corresponde ao canto inferior esquerdo da folha; o canto 2 ao canto superior esquerdo; o canto 3 ao canto superior e o canto 4 ao canto inferior direito. A figura 7.1. mostra este esquema, que será sempre aplicado para quaisquer folhas do mapeamento sistemático, da menor à maior escala. canto 1 = CIE ( canto inferior esquerdo) canto 2 = CSE ( canto superior esquerdo) canto 3 = CSD ( canto superior direito) canto 4 = CID ( canto inferior direito) Figura 7.1.6 - Posicionamento dos cantos de folhas 2

φ3 λ3

φ2 λ2

1φ1 λ1

φ4 λ4

3

4

A base do índice de nomenclatura é a divisão da carta do Mundo ao Milionésimo, ficando definido da seguinte forma: Escala 1/1.000.000 Divisão do mundo nas folhas de 6° de longitude por 4° de latitude. A numeração dos fusos de 6° é determinada a partir do antimeridiano de Greenwich para Leste, de 1 até 60. Os fusos de interesse para o Brasil são os de número: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25. Fusos 18 19 20 21 22 23 24 25

Limite Esquerdo - 78° - 72° - 66° - 60° - 54° - 48° - 42° - 36°

Limite Direito - 72° - 66° - 60° - 54° - 48° - 42° - 36° - 30°

Em relação aos paralelos, cada zona de 4° é notada acima e abaixo do Equador pelas letras do alfabeto: A, B, C, D, E, F ... 147

Para a formação do índice, o hemisfério Norte é notado pela letra N e o hemisfério sul pela letra S. O índice é formado então pela união da letra que caracteriza o hemisfério, com a letra que corresponde ao limite inferior da zona e o número do fuso, correspondente ao limite esquerdo do fuso considerado. Exemplo: 6

o o

0

N ou S +Alfa de φ +Nr Fuso

-4

o

4

-8

o o o

-12 -16

SB 23

o

A A B C D F

20 21 22 23 24 25 -60

o

o

-54

-48

o

-42

o

o

-36

o

-30

Escala 1/ 1 000 000

Figura 7.1.7 - Estrutura das folhas 1/ 1 000 000 Escala 1/ 500 000 Na seqüência, a carta de 1/1.000.000 é dividida em 4 folhas da escala 1/500.000, ou seja, cada folha agora terá 2° de latitude e 3° de longitude. Cada folha é notada pelas letras V, X, Y e Z, da esquerda para a direita e de cima para baixo. O índice para a folha de 1/500.000 é formado pelo índice da folha de 1/1.000.000 que ela pertence, seguido da letra da folha de 1/500.000. Exemplo: SB 23 X 6

V

o

X 4

o

2

Y 3

o

Z

o Escala 1/ 500 000

Figura 7.1.8 - Enquadramento das folhas 1/ 500 000 Correspondente a folha de canto inferior esquerdo ϕ = -6° λ = -45° Escala 1/250.000 148

Cada folha de 1/500.000 é agora dividida em quatro folhas de 1/250.000, cada uma com 1° de latitude por 1° 30' de longitude. 3

o

A

B o

2 o

1

C

D

1o 30' Escala 1/ 250 000

Figura 7.1.9 - Enquadramento das folhas 1/ 250 000 As quatro folhas advindas da divisão, são notadas pelas letras A, B, C e D, da esquerda para a direita e de cima para baixo. O índice da folha 1/250.000 é definido pelo índice da folha 1/500.000 a que pertence, adicionada a letra da folha 1/250.000 correspondente. Exemplo: SB 23 XD Para a folha de canto inferior esquerdo ϕ = -6° e λ = - 43° 30'

149

150

Escala 1/100.000 Figura 7.1.10 - Enquadramento 1/ 100 000 1 30'

I

II

III o

1

IV

30'

V

VI

30' Escala 1/ 100 000

Na seqüência do mapeamento sistemático, cada folha é dividida em 6 folhas de 1/100.000, cada uma de 30' de latitude por 30' de longitude. Cada folha de 1/100.000 é notada pelos algarismos romanos I, II, III, IV, V e VI, da esquerda para a direita e de cima para baixo O índice de nomenclatura de uma folha 1/100.000 é definido pelo índice da folha 1/250.000 que pertença a folha, seguido do algarismo romano da folha correspondente. Exemplo: SB 23 X-D-II Para a folha de canto inferior esquerdo dado pelas coordenadas ϕ = -5° 30', λ = - 43° Escala 1/50.000 Cada folha de 1/100.000 é dividida em quatro folhas de 1/50.000, cada uma de 15' de latitude por 15' de longitude. 30'

1

2 30'

15'

3

4

15' Escala 1/ 50 000

Figura 7.1.11 - Enquadramento 1/ 50 000 As quatro folhas são numeradas pelos números 1, 2, 3 e 4, da esquerda para a direita e de cima para baixo. 151

O índice de nomenclatura de uma folha 1/50.000 é dado pelo índice da folha de 1/100.000 a qual ela pertença, acrescido do número da folha 1/50.000 em pauta. Exemplo: SB 23 X-D-III-3 Para a folha de canto inferior esquerdo de coordenadas ϕ = -5° 30', λ = - 43 Escala 1/25.000 É a última escala de mapeamento sistemático. Cada folha de 1/50.000 é dividida em quatro folhas de 7' 30" de latitude por 7' 30" de longitude. 15'

NE

NO

15' 7'30"

SE

SO 7'30"

Escala 1/ 25 000

Figura 7.1.12 - Enquadramento das folhas 1/ 25 000 As folhas são notadas pelas siglas NO, NE, SO e SE, pela sua posição relativa na divisão. O índice de nomenclatura das folhas 1/25.000 é dado pelo índice de nomencaltura da folha 1/50.000 que ela faz parte, acrescida pela sigla da folha correspondente. Exemplo: SB 23-X-D-II-3-SE Para a folha de canto inferior esquerdo dado pelas coordenadas ϕ = -5° 30'; λ = - 42° 52' 30" A figura 7.1.13 mostra o esquema de desdobramento de uma folha 1/ 1 000 000, até a folha 1/ 25 000. o -43 30'

-8

o

-9

o

o -10

-12

o -48

o

-45

o

152

-42

o

Figura 7.1.13 - Desdobramento da folha 1/ 1 000 000 até 1/ 25 000 A figura 7.1.14 mostra o esquema de desdobramento do índice de nomenclatura do mapeamento sistemático. Figura 7.1.13 – Desdobramento do índice de nomenclatura do mapeamento sistemático.

c - Manuseio do Índice de Nomenclatura Visto que uma das vantagens do índice de nomenclatura é a sua característica posicional, diversas aplicações podem ser definidas, entre as quais, problemas do tipo: -

dado um índice de nomenclatura, definir a escala e o enquadramento da folha em coordenadas geodésicas.

-

dada uma coordenada qualquer, enquadrá-la em uma folha segundo uma escala qualquer;

-

dada uma área, definida por suas coordenadas geodésicas, fazer o enquadramento das folhas que compõem a área, segundo uma escala desejada;

Problema 1 Dado um índice de nomenclatura, definir a escala e o enquadramento dos cantos da folha Neste problema deseja-se, em linhas gerais, que a partir de um índice de nomenclatura conhecido, se estabeleça a escala e as coordenadas dos cantos da folha. 153

A solução do problema é dada pelas seguintes etapas: - análise e definição de escala; - enquadramento a partir da escala 1/1 000.000; - decomposição da folha ao milionésimo até chegar ao índice conhecido. Exemplo: Enquadrar a folha cujo índice é SD 21-Y-B-IV Escala: a análise do índice, contendo 4 elementos, permite concluir que a escala da folha é 1: 100 000. Enquadramento dentro da folha ao milionésimo: Pela letra S já pode-se inferir que a folha está no hemisfério sul. Meridianos limites: A fórmula padrão para determinar a longitude dos limites da folha 1/1.000.000 é: λ

le

= (6.f - 186)

λld = (6.f - 180) onde f é o fuso da folha, λ le é a longitude do meridiano limite esquerdo e λ ld a longitude do meridiano limite direito da folha Para o fuso 21 λle = - 60°

e

λld = - 54°

Paralelos limites: A formulação que permite a definição dos paralelos limites, inferior e superior ϕ

inf

= (Numeral da letra) x 4

ϕ sup = (Numeral da letra - 1) x 4 Para a letra D, o numeral correspondente é 4 (A,B,C,D...1,2,3,4) ϕ inf = 4 x 4 = -16°

ϕ sup = 3 x 4 = - 12°

Observe-se que esta formulação é invertida para o hemisfério Norte Através de um gráfico de decomposição, é fácil agora chegar ao enquadramento dentro da escala do índice considerado: O canto inferior é: ϕCIE = - 15°; λCIE = -58° 30'

(ϕ1 , λ1)

O enquadramento é dado pelos pares de coordenadas correspondentes aos quatro cantos da folha: 154

ϕ Canto 1 (inf esq) CIE

λ - 15°

- 58° 30'

Canto 2 (sup esq) CSE

- 14° 30'

- 58° 30'

Canto 3 (sup dir) CSD

- 14° 30'

- 58°

Canto 4 (inf dir) CID

- 15°

- 58°

Problema 2 Dado um ponto por suas coordenadas, enquadra-lo em uma folha de carta de uma escala dada. O problema dá uma coordenada de um ponto qualquer e a escala da carta, pedindo a determinação do índice de nomenclatura da folha a qual o ponto pertença. A solução é dada pelo enquadramento das coordenadas dentro da folha 1/1.000.000. A partir daí defini-se o índice de nomenclatura, até chegar à escala da folha dada. Exemplo Estabelecer o índice de nomenclatura da folha, que contém o ponto A, de latitude ϕ = -13° 22' 14" e longitude λ = -43° 48' 42", na escala 1/50.000 Cálculo das longitudes limites em 1/1 000 000 λ le = int (λ/6) x 6 - 6

λ ld = in (λ/6) x 6

λ le = int ( - 43° / 6 ) x 6 - 6 = - 48° λ ld = - 42° Cálculo das latitudes limites ϕ inf = int ( ϕ / 4 ) x 4 - 4

ϕ sup = int ( ϕ / 4 ) x 4

ϕ inf = int ( -13 / 4 ) x 4 - 4 = int ( - 3,25 ) x 4 - 4 = - 3 x 4 -4 = - 16° ϕ sup = - 12° Pode-se agora enquadrar pelas coordenadas ou fazer o cálculo inverso do problema anterior. λ le = 6 f - 186

∴

f = (λ le + 186) / 6 155

f = - 48 + 186 / 6 = 23 Enquadramento semelhante pode ser feito com a latitude, bastando dividir o paralelo limite inferior por 4 e procurar a letra do número obtido. Nu = λ / 4 = 16 / 4 = 4 = A B C D O enquadramento é de folha 1/1.000.000

SD 23

Partindo de folha, efetua a divisão sucessiva até chegar a folha na escala que contenha o ponto desejado. Problema 3 Dada uma área por suas coordenadas limites, determinar o índice de nomenclatura das folhas que fazem a sua cobertura. Dada a escala que se deseja enquadrar e as coordenadas limites (normalmente canto inferior esquerdo e canto superior direito), pode-se definir quais, quantas são e a nomenclatura das folhas que compõem a área. Exemplo Enquadrar a área definida pelas coordenadas: ( - 20° 38'; - 45° 40') - limite inferior esquerdo e (-19° 23'; - 43° 42') - limite superior direito, na escala 1/50.000, definindo o número de folhas e o índice de nomenclatura das folhas.

7.2 - A CARTA TOPOGRÁFICA 7.2.1 - Introdução

156

Pelos conceitos já definidos, as cartas das escalas de mapeamento sistemático são divididas em folhas e cada folha representa a cobertura topográfica de uma área, sob a projeção cartográfica escolhida para a representação terrestre. No caso brasileiro, o mapeamento sistemático é constituído pelas escalas mostradas na tabela 1, dividida em folhas, cuja área de cobertura é apresentada. Tabela 1 – Cobertura do Mapeamento sistemático Escala 1/1.000.000 1/500.000 1/250.000 1/100.000 1/50.000 1/25.000

Projeção Cônica Conforme Cônica Conforme UTM UTM UTM UTM

Dimensão 6° x 4° 3° x 2° 1° 30' x 1° 30' x 30' 15' x 15' 7' 30" x 7' 30"

Área Coberta 290400 km2 72600 km2 18150 km2 3025 km2 756 km2 189 km2

As cartas são elaboradas para apresentar uma representação o mais precisa possível do terreno, tanto planimétrica como altimetricamente, bem como a hidrografia e vegetação da região. A planimetria compreende: - rodovias, caminhos e elementos afins; - terrenos e elementos afins; - elementos relacionados à comunicações; - edifícios e lugares povoados; - elementos de áreas e contornos; - obras públicas e industriais; - pontos de controle; - limites e fronteiras; - sinais convencionais diversos. A hidrografia: - hidrografia costeira (litoral e afastada da costa); - elementos hidrográficos em geral. A vegetação, apesar de ser um elemento planimétrico, é tratada separadamente, por ser restituída separadamente dos demais. A altimetria, ou hipsografia faz a representação dos elementos topográficos de relevo na carta. 7.2.2 - Organização da Folha de Carta Topográfica

157

As folhas de cartas são padronizadas pelas folhas modelo, que definem a situação relativa, área ocupada, inscrições marginais, tipos de letras da toponímia e legendas, bem como a espessura de todos os tipo de linhas, limites, áreas etc. A padronização das cartas ao milionésimo e 1/500.000 segue o “Manual de Normas, Especificações e Procedimentos Técnicos para a carta Internacional do Mundo ao Milionésimo CIM”, editado pelo IBGE, seguindo as normas internacionais. As escalas do mapeamento sistemático são padronizadas pelos Manual Técnico T34-700 Convenções Cartográficas, 1a Parte - Normas para o Emprego dos Símbolos e 2a Parte Catálogo de Símbolos do Estado Maior do Exército, normatizando a reambulação, restituição e desenho final, para as escalas de 1/250.000 e 1/100.000. As escalas maiores seguem as normas relativas à escala de 1/100.000. 7.2.2.1 - Descrição Geral da Folha O tamanho da folha não está vinculado a série A da ABTN, e sim à área útil definida pela folha. Até 1/100.000, o tamanho está definido em 60 x 75 cm e para e 1/250.000 75 x 65 cm.

Figura 7.2.1 - Organização da folha Basicamente a carta consta de 3 elementos: - Quadro; - Moldura; - Legenda. A figura 7.2.1 ilustra a organização da folha. a) Descrição do Quadro

158

O quadro é a parte da carta onde está traçado o reticulado UTM e onde será traçado os elementos cartográficos que constituirão a planimetria, hidrografia, vegetação e altimetria. Meridiano Central

Equador

Figura 7.2.2 - Reticulado UTM O reticulado UTM é definido pelo quadriculado formado pelas linhas paralelas ao meridiano central (coordenadas E) e paralelos ao Equador (coordenadas N). O reticulado possui um traço mais grosso, de 10 em 10 km até a escala de 1/100.000 e de 50 em 50 km na escala de 1/250.000. Este traço tem por finalidade auxiliar nas medições de coordenadas. Por sua característica, sempre terão valores múltiplos de 10 ou de 50, conforme a escala da carta. A finalidade do reticulado UTM é servir de apoio à obtenção ou plotagem de coordenadas na folha. Uma quadrícula corresponde ao quadrado definido pela intercessão de duas linhas ortogonais de coordenadas consecutivas. A referência da quadrícula será sempre definida pela coordenada do canto inferior esquerdo da quadrícula.

Quadrícula 750000; 6378000

6 378 000 m 750 000 m

Figura 7.2.3 - Quadricula UTM O tamanho da quadrícula é padronizado para qualquer escala em 4cm x 4cm. A tabela 3 mostra as dimensões de terreno para cada quadrícula: 159

Tabela 3 – Tamanho de quadrículas das diversas escalas 1:25.000 1:50.000 1:100.000 1:250.000

1 km x 1 km 2 km x 2 km 4 km x 4 km 10 km x 10 km

4cm x 4cm 4cm x 4cm 4cm x 4cm 4cm x 4cm

b) Moldura O reticulado UTM é circundado pela moldura da folha, constituído pelos 4 cantos da folha, definidos pelas suas coordenadas geodésicas. 2

φ3 λ3

φ2 λ2

1φ1 λ1

φ4 λ4

3

4

Figura 7.2.4 - Definição dos cantos da folha É obrigatória a colocação das coordenadas dos 4 cantos da folha (ϕ, λ), nos quatro cantos de cada folha. As anotações marginais na moldura referem-se aos valores das coordenadas UTM do reticulado.

Figura 7.2.5 - Anotação das coordenadas UTM na folha A partir do canto 1, marca-se por inteiro o valor das primeiras linhas de coordenadas que encontram a moldura. A partir daí todos os demais contatos das linhas E e N com a moldura, serão numerados com apenas os 3 algarismos iniciais (coordenadas E) e os 4 algarismos iniciais para as coordenadas N. 160

Ainda constam da moldura a numeração intermediária de latitude e longitude, sendo definida por traços na moldura e no cruzamento por cruzetas. Servem para auxiliar na marcação e plotagem de coordenadas geodésicas. O seu espaçamento em valores sexagesimal é definido na tabela 4. Tabela 4 – Espaçamento das marcações intermediárias de latitude e longitude Escala 1/25.000 1/50.000 1/10.000 1/250.000

Espaçamento 2' 30" 5' 10' 15'

c) Legenda As legendas correspondem a todos as demais inscrições marginais existentes na folha da carta. Na parte superior da folha encontram-se as seguintes legendas: Canto Superior Esquerdo - Organização executora; Convênios associados - Região de localização da folha e escala Figura 7.2.6 - Anotações da parte

superior da legenda No centro é lançado o nome da folha e símbolos da organização executora. No canto superior direito é lançado o Índice de Nomenclatura da folha, e se a escala for maior ou igual a 1/100.000, é lançado também o seu número MI (mapa índice). A parte inferior da folha pde ser dividida em três setores distintos.

Figura 7.2.7 - Setores da legenda inferior

161

No setor esquerdo encontram-se os dados referentes a edição e impressão e ano da impressão.

Figura 7.2.8 - Sinais convencionais Encontra-se também sinais convencionais mais frequentes, referentes a todos os elementos cartográficos (planimetria, vegetação, hidrografia e altimetria). No bloco direito são encontrados os dados de execução das fases de construção da folha. Figura 7.2.9 - Tabela de fases de execução da folha

A articulação da folha, que mostra o posicionamento da folha em relação às folhas adjacentes, sendo referenciadas pelo nome. Caso não exista nome, a referência deve ser feita pelo número MI. A folha é colocada no centro em verde e a articulação das 8 folhas adjacentes é mostrada ao seu redor.

162

Figura 7.2.10 - Articulação da folha Outra legenda é a situação da folha no Estado. Mostra-se a localização ou o posicionamento da folha no Estado que pertence a folha. Figura 7.2.11 - Situação da folha no Estado

O bloco central é composto dos seguintes elementos de legenda: - Escala da carta; - Escala gráfica 1:25.000

2.000 m

talão de 100m (1.000 m)

1:50.000

4.000 m

talão de 100 m (1.000 m)

1:100.000

10 km

talão de 200 m (1.000 m)

1:250.000

20 km

talão de 1 km (5 km)

Definição da eqüdistância da folha: 1:25.000

10 m

1:50.000

20 m

1:100.000

50 m

1:250.000

100 m

- Descrição da marcação de curvas mestras; - Origens para Datum vertical e Datum horizontal; - Origem das coordenadas UTM (Meridiano Central e Equador);

163

Figura 7.2.12 - Legenda central inferior - Exemplo de obtenção de coordenadas UTM; - Divisão Administrativa, mostrando os limites administrativos aproximados (minicípios) da região abrangida pela folha; - Dados de orientação Definidos pelo posicionamento na data da impressão dos nortes de quadrícula, magnético e geográfico, declinação magnética (valor e taxa de variação anual) e convergência meridana. Deve ser observado que a posição é esquemática, devendo ser usados apenas os valores numéricos para cálculo. NM

δ

NV

NQ

o

7= 25' γ

= -32' 06"

A declinação magnética cresce 8,2' anualmente. Figura 7.2.13 - Ângulos de orientação da folha É ainda dado o ano da declinação magnética e a indicação de que a convergência meridiana é relativa ao centro da folha.

164

7.3

-

OBTENÇÃO

E

PLOTAGEM

DE

COORDENADAS

EM

CARTAS

TOPOGRÁFICAS O posicionamento de um ponto em coordenadas UTM é dado pelo par coordenado E e N, correspondentes ao afastamento do meridiano central (E) e do Equador (N). Meridiano Central N >0 m

N >0 m

E500 000m Equador

N < 1 000 000 m

N < 10 000 000 m

E < 500 000m

E > 500 000m

Figura 7.3.1 - Valores das coordenadas UTM Normalmente as coordenadas são referenciadas em metros, por exemplo: P (E,N) = P (362.422,00 m; 7.389.901,38 m) Q (713.901,38 m; 8.728.773,83 m) O problema de se obter as coordenadas UTM em uma carta topográfica e a sua plotagem está ligado à escala da carta e ao erro gráfico de percepção. O erro gráfico é a menor percepção visual, para um ponto, que o olho humano pode ter. O valor é aceito como 0,2 mm, embora alguns autores cheguem a aceitar 0,1 mm. Aqui será aceito 0,2 mm por razões de precisão instrumental. Este valor é único, seja qual for a escala de carta que esteja sendo considerado, pois é vinculado ao menor elemento gráfico que o olho humano pode perceber, ou seja, um círculo de 0,1 mm de raio ou 0,2 mm de diâmetro. Em termos práticos, é aceito como a área de indefinição relativa à ponta de um lápis no papel ou à ponta seca do compasso. Assim, para cada escala haverá um erro gráfico associado: 1:5.000

1 m (1.000 mm)

1:10.000

2 m (2.000 mm)

1:25.000

5m 165

1:50.000

10 m

1:100.000

20 m

1:250.000

50 m

Para entender o significado destes valores, para a obtenção de coordenadas em uma carta,existem dois aspectos a considerar: -

em relação à escala da carta, não se poderá obter coordenadas com valores de precisão menores do que o valor expresso pelo erro gráfico;

-

não se poderá plotar coordenadas com uma precisão menor do que a expressa pelo erro gráfico.

Por exemplo: Em uma carta de escala 1/50.000, medindo-se uma coordenada qualquer, o erro de sua determinação estará em torno de 10 m. 14

mm x 50 000 = 700 m

13,9 mm x 50 000 = 695 m 13,8 mm x 50 000 = 690 m

13.9 mm

Figura 7.3.2 - Medida obtida para determinação da coordenada Por outro lado, ao se plotar uma coordenada, por exemplo 635.843,32 m, na escala 1/25.000, seria necessário plotar (só a parte de centenas de metros) com 33,7328 mm, o que é impossível. Pode-se plotar 33 mm e estimar 0,7 mm, sendo a certeza (à regua) em 0,5 mm, ocasionando uma precisão em torno de 5 m definidos pelo erro gráfico.

166

7.3.1 - Obtenção de Coordenadas UTM na carta

167

168

O problema é prático, devendo-se inicialmente ser verificada a escala da carta de onde serão obtidas as coordenadas. As coordenadas serão obtidas por interpolação linear, dentro da quadrícula que contém o ponto de interesse, sendo portanto essencial a sua identificação, através dos valores de coordenadas E e N que a limita. ∆E

7538 dE

∆N dN

7536

672

674

Figura 7.3.3 - Obtenção de coordenadas na carta Desta forma, serão utilizados os valores de ∆E e ∆N e dE e dN, na carta e no terreno, respectivamente ∆EC , ∆NC , dEC , dNC e ∆ET , ∆NT , dET , dNT. Uma simples regra de três, relacionando estes elementos resolverá o problema, tanto para a obtenção como para a plotagem de coordenadas. ∆EC dE C = ∆ET dE T

∆N C dN C = ∆N T dN T

e

O que se deseja obter são os valores de dE e dN, seja da carta ou do terreno. Logo para a obtenção de uma coordenada do terreno, a formulação associada será:

dE T =

e

dE C =

dE C x ∆ET ∆EC

e

dE T x ∆EC ∆ET

e

dN T = dN C =

dN C x ∆NT ∆N C

dN T x ∆N C ∆NT

Mas os valores de ∆EC , ∆NC , ∆ET e ∆NT serão fixos, e os seus relacionamentos serão iguais à escala da carta e ao número da escala respectivamente: E =

∆E ou N C ∆E ou NT

e

N (número da escala ) =

169

∆E ou N T ∆E ou N C

Assim, para a obtenção de coordenadas, basta multiplicar o valor de dEc ou dNc obtidos na carta, pelo valor do número da escala do mapa em trabalho: dE T = dE C x N

dN T = dN C x N

e

Exemplo para a escala 1/50.000. A quadrícula é definida pelos limites de coordenadas inferior e à esquerda. No caso Q1 (672, 7536), lembrando que as quadrículas sempre serão referenciadas em quilômetros. São medidos na carta, os afastamentos de

∆ EC = 4 cm

7538

cada uma das linhas de coordenadas limite, que

dE = 2,84 cm

∆ NC = 4cm

corresponderão às diferenças de coordenadas, a partir do início da quadrícula.

∆ NT = 2 km

dN = 2,93 cm

Essas observações podem ser efetuadas à 7536

régua milimetrada de precisão (1/2 mm), ou com o

∆ ET = 2 km 672

escalímetro. 674

Sendo medida à régua, os resultados devem

ser transformados para a escala. Aplicando-se a formulação desenvolvida dE = 2,84 cm x 50.000 = 1.420 m dN = 2,27 mm x 50.000 = 1.465 m Estes dados obtidos devem ser somados às coordenadas da quadrícula: 672.000 para E e 7.536.000 para N, dando as coordenadas do ponto considerado: EP = 672.000 + 1.420 = 673.420 m NP = 7.536.000 + 1.465 = 7.537.465 m A medição com o escalímetro fornece diretamente a coordenada, uma vez que ele funciona como se fosse uma escala gráfica 7.3.2 - Plotagem de Coordenadas na Carta É o problema inverso, ou seja, dado um ponto do terreno, através de suas coordenadas E e N, fazer a sua localização na folha da carta correspondente. Os passos são os seguintes: - identificar a escala da carta; - identificar a quadrícula que conterá o ponto, verificando as suas coordenadas inteiras; - decompor as coordenadas, retirando a parte quilométrica; 170

-transformasr o valor que sobrar para a escala, em cm ou mm; - marcar na quadrícula o dEC e ∆NC respectivamente, pelos valores determinados ou através do escalímetro. Exemplo - Escala 1/25.000 P ( 649.385,3; 7.744.726,8 m) Quadrícula (649, 7744) = 649.000 m; 7.744.000 m dET = 649 385,3 – 649 000 = 385,3 m dNT = 7 744 726,8 – 7 744 000 = 726,8 m Para determinar os valores na escala da carta, utiliza-se a formulação desenvolvida: dE C = dE T / N

dN C = dN T / N

e

dEC = 385,3 m / 25000 = 15,412 mm → 15,4 mm dNc = 726,8 m / 25000 = 29,072 mm → 29,1 mm 7745 ∆Ε

P

Figura 7.3.4 - Plotagem de coordenadas na carta

29,1 mm

Finalmente, traçar as perpendiculares e no cruzamento marcar o ponto definido.

7744

15,4 mm 649

650

7.4 - AZIMUTES E RUMOS NA CARTA TOPOGRÁFICA A definição de azimute entre dois pontos é estabelecida como sendo o ângulo formado entre a direção do Norte passando pelo ponto estação e a direção considerada entre este e o outro ponto, sempre contada em sentido horário. Figura 7.4.1 - Ângulo azimutal N Θ

B

171

Considerando-se o norte magnético como direção base, o azimute será magnético. Com o norte geográfico, o azimute pode ser o azimute geográfico ou geodésico ou verdadeiro. Considerando-se o norte da carta, direção do eixo de coordenadas N, será definido o azimute da quadrícula da carta. O norte da quadrícula é definido sempre pela direção das linha de coordenadas paralelas ao meridiano central, ou seja, das linhas verticais que estabelecem as coordenadas N. O norte geográfico ou verdadeiro é o ponto de convergência de todos os meridianos. O norte magnético é a direção determinada pela agulha magnética, livre de influência de massas metálicas. 7.4.1 - Declinação Magnética O ângulo formado entre o plano do meridiano e o plano do meridiano magnético que passa pelo lugar, define a declinação magnética. Assim, a declinação pode ser definida também como a diferença entre o azimute magnético e verdadeiro. NV

NM

δ

>

0

(

+

NV

NM δ

)


Az v. Estando o norte verdadeiro à esquerda do norte magnético, Az

mg

< Az v, a declinação

será oriental e negativa. Se δ = Az mg - Az v, então Az mg = Az v + δ (soma algébrica) A declinação é determinada com rigor por meio de magnetômetros e com precisão compatível com trabalhos topográficos, comparando-se valores lidos com bússolas de boas qualidade e determinações astronômicas executadas a teodolitos. Em um mesmo local, a declinação sofre variações periódicas e acidentais. As variações periódicas são de ocorrência secular, anual e diurna. A secular é resultante da movimentação dos pólos magnéticos. A anual é 172

decorrente da secular. a diurna é resultante de um movimento oscilatório. Não é levado em conta para a topografia. As variações acidentais são divididas em climáticas (tempestades magnéticas) e espaciais (presença de grandes massas magnéticas - jazidas de ferro, estruturas metálicas , etc) O valor básico da declinação em um lugar e época, é extraído dos mapas isogônicos que contém: - graticulado de meridianos e paralelos; - linhas isogônicas (igual declinação); - linhas isopóricas (igual variação anual); - linhas referentes à perturbações magnéticas. Figura Para calcular a declinação magnética do lugar, loca-se o ponto no mapa isogônico. O mapa fornece as linhas isogônicas (igual declinação) para o 10 de janeiro do ano, bem como as linhas isopóricas, linhas de igual variação anual. Como normalmente a precisão da bússola é da ordem de 15', basta proceder a determinação por simples interpolação, obtendo-se: - a declinação entre as isogônicas que enquadram o lugar; - a variação anual entre as isopóricas correspondentes. Exemplo: Obter a declinação magnética e a respectiva variação anual, para a cidade de Belo Horizonte, através do Mapa Isogônico do Observatório Nacional. Descrição da solução 7.4.1.1 – Atualização da Declinação Magnética em uma Carta Topográfica A carta topográfica apresenta a declinação magnética para o ano indicado para a sua edição, bem como a sua variação anual, devendo-se portanto realizar-se a atualização da declinação para o ano de utilização. Considera-se a diferença entre o ano atual para o ano indicado pela carta, por exemplo, se ano atual for 1998 e o ano da declinação 1991, faz-se 1998 – 1991= 7 anos. Para se corrigir o numero de meses para o ano em curso, conta-se até o mês considerado menos um, por exemplo, para o mês de setembro, conta-se até agôsto, no caso 8. Entra-se com os valores na fórmula:

δAT = δCARTA + va x N o anos +

173

va x N o meses 12

Exemplo: A folha Registro apresenta para o ano de 1993 a declinação de - 28° 18′ , com uma variação anual de –8,3′ , para o mês de julho. Número de anos para 1998 - 1998 – 1993 = 5 anos Número de mêses – julho = 6

δ98 = δ93 + va x N o anos +

va x N o meses 12

δ98 = − 28 o 18 ' + ( −8,3' ) x 5 +

( −8,3' ) x6 12

δ98 = -29° 03′ 39″ 7.4.2 - Convergência Meridiana É definida como o ângulo entre o norte da quadrícula e o norte geográfico ou verdadeiro. É invariante para cada ponto, dentro da projeção UTM. Entre um azimute verdadeiro e o contra-azimute existe uma relação definida por θ

12

= θ 21 ± 180° ± γ , onde γ é a convergência meridiana elipsóidica.

γ = ∆λ

sen ϕ, calculada com aproximação suficiente para fins topográficos.

A relação entre o azimute plano (quadrícula) e o azimute verdadeiro define a convergência.

α γ

θ 12 = α

12

+γ

Θ

ou Azv = Azq + γ

Figura 7.4.3 - Relação entre azimute plano e verdadeiro A convergência também será ocidental ou negativa se o azimute plano for maior que o verdadeiro, e oriental ou positiva, se o azimute planofor menor que o verdadeiro (respectivamente se o norte geográfico estiver à direita e à esquerda do norte da quadrícula). NQ

NV

γ 174 − Ocidental

NV

γ + Oriental

NQ

Figura 7.4.4 - Convergência meridiana-sinal Regra prática para a determinação do azimute plano a partir de valores do 10 quadrante trigonométrico.

IV

I

III

II

Figura 7.4.5 - Quadrantes topográficos

7.4.2.1 – Determinação de Azimute de Quadrícula O azimute de quadrícula é resultado do relacionamento trigonométrico, determinado entre as diferenças de coordenadas ∆E e ∆N. Estabelecidas as diferenças de coordenadas entre os dois pontos, o azimute é calculado através das relações trigonométricas definidas entre estes valores.

B (EB; NB) Azq(AB) ∆N

A (EA; NA)

∆E

Figura 7.4.6 – Azimute de quadrícula de A para B A tabela abaixo mostra as formulações para o cálculo do azimute de quadrícula, com redução ao primeiro quadrante. As diferenças de coordenadas devem ser consideradas como positivas, ou seja, sem consideração de sinal. Relação entre coordenadas Eb>Ea

Quadrante 10

Nb>Na

175

Valor do Azimute α = arc tg

∆E ∆N

Eb>Ea

20

Nb