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• Jesús Miguel Oliva Mera

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APLICACIONES DEL RADIO DE GIRO A.

COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO ESBELTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN (COLUMNAS) i.

INTRODUCCIÓN. ESBELTEZ

Las columnas se pueden clasificar, de acuerdo a sus dimensiones (sección y altura) y condiciones de borde, en columnas no esbeltas y columnas esbeltas. Una columna no esbelta es aquella en la cual su carga última, para una excentricidad dada, está gobernada solamente por la resistencia de los materiales y las dimensiones de la sección. En otras palabras, el diagrama de interacción M-P obtenido a partir de las dimensiones y del contenido de armadura de la sección transversal es suficiente para determinar la resistencia nominal de la columna en flexo-compresión. Una columna es esbelta cuando la carga última que puede soportar está influenciada además por la esbeltez, la cual produce un momento adicional debido a deformaciones transversales. Se ha preferido en este trabajo referirse a columnas no esbeltas en vez de llamarlas cortas pues la tipología de columna corta en diseño sismo resistente se refiere a un tipo de estructura que se desea evitar. En la práctica, como se verá, la mayoría de las columnas son no esbeltas, salvo casos muy especiales de dimensiones pequeñas de la sección transversal y sobre todo cuando están acompañadas de deformaciones estructurales entre los bordes de las columnas que amplifican su altura de cálculo más allá de la constructiva. El grado de esbeltez, define si la columna es o no esbelta y se expresa como:

√

(1)

Donde con Le se designa a la longitud efectiva de pandeo de la columna y r el radio de giro, I es el momento de inercia con respecto al eje alrededor del cual se produce la flexión por pandeo (sería el menor si pudiera deformarse en ambas direcciones) y A es el área de la sección transversal. Como introducción al problema, y para crear una rápida idea de esbeltez, digamos que se puede expresar de una forma simplificada el radio de giro r, para una sección rectangular, como:

1

√

√

Para evaluar el radio de giro en forma aproximada. Para poner casos muy visibles, digamos que si el grado de esbeltez está por debajo de 30 puede decirse que no es esbelta, pero si es del orden de 100 es muy esbelta. Tomemos el caso de una columna que tenga condiciones de deformación entre sus extremos tal que su longitud efectiva de pandeo, Le, sea casi la misma que su longitud o altura libre L. Si es una columna con dimensión de su sección en la dirección de pandeo del orden de la décima parte de su altura, ósea L /h =10, (por ejemplo L = 3.0m y h=0.30m, resultará casi no esbelta, ya que = l / r = l / 0.3h =10/ 0.3 = 33, poco mayor de 30. Por el contrario, si l / h = 30 (luz libre de la columna 30 veces la altura h de la sección), resulta = l / r =l /0.3h = 30/0.3 =100, es decir muy esbelta. Los tipos de fallas son muy diferentes para ambos casos, por lo que las metodologías de diseño también lo serán. ii.

COSIDERACIONES GENERALES. CARGA CRÍTICA. PANDEO ELÁSTICO E INELÁSTICO.

La teoría del comportamiento de columnas rectas, biarticuladas en sus extremos y esbeltas fue estudiada y resuelta por Leonhard Euler en 1757

Fig. 1 (a) y (b) Modelo de Columna esbelta articulada utilizada para derivar la fórmula de Euler; (c) Curva elástica de flexión y rotaciones; (d) Diferentes modos de pandeo

La Fig. Muestra en forma resumida los modelos de análisis. La ecuación que relaciona las curvaturas con el momento flector M a una distancia desde x el origen, con rotación ϴ y desplazamiento y, es:

(2) Con los significados que se aprecian en la figura. Resolviendo la ecuación diferencial de segundo orden lleva a la expresión: 2

(3) La cual para el mínimo valor de la carga crítica buscada, n=1.0, vale:

(4) Donde es el momento de inercia I de la columna y E el módulo de elasticidad longitudinal del material considerado lineal y elástico. La generalización de la fórmula para el caso de una columna con longitud real L = l , pero con longitud efectiva de pandeo kl , y para ley constitutiva de material f-Є donde se pueda especificar el módulo de elasticidad más allá del límite de proporcionalidad, Et, como muestra la Fig.2, es:

(5)

Fig. 2 (a) Curva Tensión vs. Deformación del material, por ejemplo, para el hormigón y (b) Efecto de la esbeltez (kl/r) en la carga de falla de una columna.

La Fig. 1(a) muestra el caso más simple de columna articulada en los dos extremos, de material con módulo de elasticidad E según Fig. 2(a). Si es elevado, para la carga crítica evaluada según ecuación el elemento originalmente recto fallará por pandeo y adoptará una forma de media onda sinusoidal como muestra la figura. Una vez iniciado el mecanismo de inestabilidad, en cualquier sección en la altura de la columna aparece la excentricidad y según indica la Fig. 1(a) y se inducen los momentos flectores M= Py. Estas deflexiones continúan 3

aumentando hasta que la combinación creciente del esfuerzo de compresión con el momento produce la falla del elemento

iii.

CONDICIONES DE BORDE: COLUMNAS SIN DESPLAZAMIENTO DE SUS EXTREMOS. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA. K

La Fig. 3 (b) corresponde a columnas cuyos extremos no sufren desplazamiento lateral ni rotaciones en sus extremos, es decir ambos bordes empotrados. La configuración inestable muestra que se pandea entre los puntos de inflexión que se ubican a una distancia entre sí que es la mitad de la que corresponde a la de bordes perfectamente articulados para la misma longitud real l, la longitud efectiva es ahora la mitad, o sea (kl /2), por lo que la ecuación (5) nos dice que en condiciones de empotrada la columna resistirá cuatro veces más que articulada.

(a)

(b)

(c)

Fig. 3 Longitud efectiva de columnas con impedimento de desplazamiento lateral.

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iv.

DIFERENCIA ENTRE EL COMPORTAMIENTO DE COLUMNA NO ESBELTA Y COLUMNA ESBELTA.

En una columna no esbelta o corta su carga última no está reducida por las deformaciones de flexión puesto que las excentricidades adicionales son despreciables u ocurren lejos de la sección crítica. Sin embargo, para una columna esbelta la carga última se ve reducida por el incremento de momento debido al efecto P-Δ. La Fig. 5 muestra estos dos comportamientos claramente diferentes, tomando como base el diagrama de interacción M-P. El comportamiento de la columna de Fig.5(a), bajo la acción de carga monotónica y proporcionalmente creciente está graficado en Fig.5(c) con respecto al diagrama de interacción de la sección crítica de la columna (altura media de la misma). Cuando el efecto P-Δ es despreciable, el máximo momento es M= P.e, y crece linealmente con el incremento de P, al permanecer la excentricidad inicial invariable (cualquier recta que se trace desde el origen y busque la curva P-M representa un valor de e=constante. Note que para e=0, corresponde al eje vertical, sólo axial. Para e= , corresponde a axial cero y puro momento: eje de abcisas). Este es el comportamiento de una columna no esbelta y la falla de la pieza se producirá por falla del material hormigón armado cuando la recta que define el comportamiento de “columna corta” alcance el diagrama de interacción M-P. Eso es lo que indica la parte izquierda de la Fig. 5(c) donde la falla, son por aplastamiento o desintegración del hormigón y es, por debajo de λlim, independiente de la esbeltez.

Fig. 5 Interacción de la resistencia en columnas no esbeltas y esbeltas. Comportamiento hasta la falla. Diferentes tipos de fallas

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v.

CRITERIO DEL CIRSOC 201-05 PARA TENER EN CUENTA O IGNORAR LA ESBELTEZ

De la Fig. Anterior se ve que en cualquier caso, si la esbeltez supera el valor de 100 es necesario llevar a cabo un análisis avanzado de segundo orden. En los comentarios pone más limitaciones (se remite al lector a consultarlas). Esto implica que se le pone un límite a la aplicación de métodos aproximados, como el de amplificación de momentos que a continuación se verá. El valor límite de esbeltez de 100, representa el mayor valor obtenido a través de ensayos de pórticos para elementos comprimidos esbeltos. Por aplicación de métodos más sofisticados no aparece un límite superior. Como se dijo al inicio de este trabajo, se debe evaluar la esbeltez, ecuación (1), a través del radio de giro, ecuación (2) y de la longitud del elemento.

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