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• Cristian Moya Bejarano

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Aplicaciones de las Funciones Objetivo específico  Aplicar ecuaciones cuadráticas a situaciones del mundo real para resolver problemas. Marco teórico Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño. Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido. Usando la Parábola Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por objetos lanzados hacia arriba y con cierto ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que se haya lanzado). Si graficamos la distancia en el eje x y la altura en el eje y, la distancia que del lanzamiento será el valor de x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática, o intersecciones en x, de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática — ya sea factorizando, completando el cuadrado, o aplicando la fórmula cuadrática. Consideremos el tiro hecho por un lanzador de peso. Nota que x = 0 cuando el lanzador tiene el tiro (una bola de metal pesada= en su mano — el tiro aún no ha salido. El lanzador usualmente comienza con el tiro en su hombro, entonces y (la altura) no es 0 cuando x = 0:

Ejemplo Problem a

Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación , donde x es la distancia recorrida (en pies)

y y es la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?

El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0. Esta ecuación es difícil de factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando la fórmula cuadrática,

Simplificar

Encontrar ambas raíces

o

x ≈ 46.4 o -4.9

¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva.

Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento Solución Aproximadamente 46.4 pies

A pesar de que el césped sintético del campo de un estadio es aparentemente plano, su superficie tiene la forma de una parábola. Esto es para que la lluvia resbale hacia los lados. Si tomamos la sección transversal del campo, la superficie puede ser modelada por , donde x es la distancia desde la izquierda del campo y y es la altura del campo. ¿Cuál es el ancho del campo?

A) 80 pies B) 1.5 pies C) 234 pies D) 160 pies

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Encontrando el Máximo y el Mínimo Otro uso común de las ecuaciones cuadráticas en aplicaciones del mundo real es encontrar el valor máximo (el mayor o más alto) o el mínimo (el menor o más bajo) de algo. Recuerda que el vértice es el punto donde una parábola da la vuelta. Para una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto, lo que ocurre al máximo valor posible de y. Para una parábola que abre hacia abajo, el vértice es el punto más bajo de la parábola, y ocurre al mínimo valor de y. Para encontrar el máximo o el mínimo con una ecuación cuadrática, usualmente queremos poner la ecuación cuadrática en su forma vértice de una ecuación

cuadrática, del vértice (h, k).

. Esto nos permite rápidamente identificar las coordenadas

Veamos cómo funciona esto con un problema de movimiento. La ecuación es comúnmente usada para modelar un objeto que ha sido lanzado o aventado. La variable h representa la altura en pies, y t representa el tiempo en segundos. Los otros dos valores son números generalmente dados: h0 es la altura inicial en pies y v0 es la velocidad inicial en pies/segundo. Cuando trabajamos con esta ecuación, asumimos que el objeto está en "caída libre", lo que significa que se mueve sólo bajo la influencia de la gravedad. No hay resistencia contra el aire u otra interferencia de ningún tipo (no tan parecido al mundo real, pero de todos modos, estas ecuaciones son útiles). Ejemplo Problema

Una pelota es lanzada hacia arriba a 48 pies/s desde una plataforma que está a 100 pies de altura. Encontrar la altura máxima que alcanza la pelota y qué tanto tiempo le tomará llegar ahí. Empezar con la ecuación que modela un objeto siendo lanzado

Sustituir la velocidad inicial v0 = 48 y la altura h0 = 100. Como queremos encontrar la forma vértice de la ecuación, a(x – h)2, factorizar -16 de los primeros dos términos. El valor de a es -16 y usaremos t para x. De esta manera completamos el cuadrado en t2 – 3t para obtener la ecuación en su forma vértice Recuerda que cuando completamos el cuadrado, sumamos un valor a la expresión. Como el término t2 tiene un coeficiente, esto puede ser un poco confuso, entonces nos vamos a preparar para completar el cuadrado para t2 – 3t añadiendo c a t2 – 3t, dentro del paréntesis Cuando sumamos una cantidad a un lado de la ecuación, debemos

también sumarla al otro lado. Como la cantidad añadida, c, está dentro del paréntesis en la derecha, en realidad vamos a sumar -16c. Esto significa que cuando sumamos la cantidad en el lado derecho debemos sumar -16c. Para completar el cuadrado

en x2 + bx, sumamos

,

entonces . Sustituir este valor por c en ambos lados de la ecuación Simplificar, escribiendo el cuadrado de un binomio del lado derecho y

del izquierdo. Sumar 36 a ambos lados. Ahora tenemos la forma vértice, y podemos identificar el vértice como

.

La coordenada x es t en esta ecuación, que es el tiempo. La coordenada y representa la altura Solución La altura máxima es 136 pies y le tomará 1.5 segundos alcanzarla

Pudimos haber encontrado el vértice usando otros métodos, por ejemplo graficando o usando la fórmula para encontrar la coordenada x del vértice, y luego sustituir ese valor de x en la fórmula original para encontrar el valor y del vértice. Una granjera tiene 1000 pies de cerca y un campo muy grande. Pone una cerca formando un área rectangular con dimensiones x pies y 500 – x pies. ¿Cuál es el área del rectángulo más grande que puede ella crear?

A) 62,500 pies2 B) 250,000 pies2 C) 1,000 pies2 D) 500 pies2

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Modelando una Situación Las ecuaciones cuadráticas a veces se usan para modelar situaciones o relaciones en los negocios, en la ciencia y en la medicina. Un uso común en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la diferencia entre los ingresos (dinero que entra) y los costos de producción (dinero gastado). La relación entre el costo de un artículo y la cantidad vendida es normalmente linear. En otras palabras, por cada $1 de incremento en el precio hay un decremento correspondiente en la cantidad vendida. (Piénsalo: si el precio de algo sube, ¿compras más o menos? ¡Esperemos que menos!) Una vez que determinamos la relación entre el precio de venta de un artículo y la cantidad vendida, podemos pensar en cómo generar la máxima ganancia. ¿A qué precio de venta haríamos más dinero? La cantidad de ganancia se encontrará tomando el total de ingresos (la cantidad vendida multiplicada por el precio de venta) y restando el costo de producir todos los artículos: Ganancia = Ingreso Total – Costos de Producción. Podemos integrar la relación lineal del precio de venta a la cantidad y la fórmula de la Ganancia y crear una ecuación cuadrática, que entonces podemos maximizar. Veamos un ejemplo: Aquí hay una muestra de datos: Precio de venta $ (s)

Cantidad Vendida en 1 año (q)

10

1000

15

900

20

800

25

700

Para calcular la ganancia, también necesitamos saber cuánto cuesta producir cada artículo. Para este ejemplo, el costo de producir cada artículo es de $10. Ejemplo Problema

Usando los datos anteriores, determinar el precio de venta s, que produce la ganancia anual máxima.

Graficar s en el eje horizontal y q en el eje vertical. Usar dos puntos cualesquiera en la línea recta de la gráfica para encontrar la pendiente de la recta que es -20. Leer la intersección en y como 1200. Poner estos valores en la forma pendiente-intersección (y = mx + b): q = -20s + 1200

q = -20s + 1200 q = cantidad vendida s = precio de venta del artículo

P = sq – 10q

La fórmula de la ganancia es P = Ingresos Totales – Costos de Producción Ingresos Totales = precio • cantidad vendida Costos de Producción = costo por artículo • cantidad vendida Entonces P = sq – 10q

P = s(-20s + 1200) – 10(-20s + 1200)

P = -20s2 + 1200s + 200s – 12000 P = -20s2 + 1400s – 12000

Sustituir -20s + 1200 por q en la fórmula de la ganancia Multiplicar las expresiones y combinar los términos comunes. Ahora tenemos una ecuación cuadrática. Encontrando el vértice de la parábola, encontraremos el precio de venta que generará la ganancia máxima. El eje x representa el precio de venta, por lo que el valor de la coordenada x en el vértice, representa el mejor precio.

El valor de y en el vértice nos dará la cantidad de ganancias hechas Encontrar la coordenada x del vértice aplicando la fórmula . En este caso, la variable es s en lugar de x. Los otros valores son a = -20, el coeficiente en el término s2, y 1400, el coeficiente en el término s Solución El precio de venta que genera la máxima ganancia es $35 Aquí está la gráfica de la función de la ganancia mostrando el vértice:

El siguiente es un problema en palabras que no pensarías que es una ecuación cuadrática. El problema de área siguiente no incluye una fórmula cuadrática de ningún tipo y el problema parece algo que ya has resuelto muchas veces simplemente multiplicando. Pero para resolverlo, necesitarás usar una ecuación cuadrática

Ejemplo Problema Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies. Él tiene 10 pies cuadrados de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.) Hacer un esquema del problema. Como no conocemos el ancho del borde, le daremos la variable x.

Como cada lado del edredón de 4 x 5 original tiene un borde de ancho x añadido, la longitud del edredón con el borde será de 5 + 2x, y el borde será de 4 + 2x. (Es aquí donde podrías empezar a pensar "Aja, esto podría ser una ecuación cuadrática después de todo. Tenemos ambas dimensiones escritas con la misma variable, y las vamos a multiplicar para obtener un área!") Área del borde = Área del rectángulo azul menos el área del rectángulo rojo Área del borde = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)

Sólo estamos interesados en el área de las tiras del borde. Hay que escribir una expresión para el área del borde

10 = (4 + 2x)(5 + 2x) – 20

Tenemos 10 pies cuadrados de tela para el borde, entonces igualamos el área del borde a 10 Multiplicar (4 + 2x)(5 + 2x).

Simplificar Restar 10 de ambos lados para obtener una ecuación cuadrática igualada a 0 y pode aplicar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación. Usar la fórmula cuadrática. En este caso, a = 4, b = 18, y c = 10.

Simplificar Encontrar las soluciones, asegurándonos que el ± es evaluado para ambos valores o Ignorar la solución x = -5, porque el ancho no puede ser negativo Solución El ancho del borde debe ser de 0.5 pies.

Se te da la siguiente información de precio y cantidad. Escribe una ecuación que represente la ganancia anual P para un precio s. El costo de producción por artículo es de $30. Precio Cantidad de vendida Venta s q 100 7000

200 500 600 800

6000 3000 2000 0

A) P = -10s + 8000 B) P = sq – 30q C) P = D) P =

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Sumario Las funciones cuadráticas se usan en muchos tipos de situaciones del mundo real. Son útiles para describir la trayectoria de una bala, para determinar la altura de un objeto lanzado y para optimizar problemas de negocios. Cuando resuelves un problema usando una función cuadrática puede ser necesario encontrar el vértice o describir una sección de la parábola.

Función trigonométrica En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Conceptos básicos

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1). Función

Seno

Abreviatura Equivalencias (en radianes)

sen, sin

Coseno

cos

Tangente

tan, tg

Cotangente ctg (cot)

Secante

sec

Cosecante

csc (cosec)

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será: 

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.



El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo



El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo

. .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier

triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo

, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: 3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: 5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: 6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

Funciones trigonométricas de ángulos notables

Definición para un número real cualquiera No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de de

para valores

menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir

un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

Representación gráfica

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Funciones trigonométricas de ángulo doble Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo convirtiendo

a términos de

a términos de

,o

:

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera: Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que: Y para el caso alternativo: Definiciones analíticas La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes). El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno. Series de potencias A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma. Relación con la exponencial compleja Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler: Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas: A partir de ecuaciones diferenciales Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad: Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación, las variables dependientes, juntas, pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada. La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.