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APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES 14 octubre 2009

MATEMATICAS III APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores. x= f (t) x=g (t) x=h (t) A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en: * Geometría * Física * Ingeniería Las aplicaciones geométricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura. En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo. DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL: Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcion vectorial R mediante: R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k donde t es un número real del dominio común de f, g y h. En el plano, se define una funcion vectorial R mediante: R(t)= f (t) i + g (t) j Donde t pertecene al dominio común de f y g. Por ejemplo: R(t)= f (t) i + g (t) j R(t)= (4-t2)i + (t2+4t) j

x=4–t2y=t2+4t

La ecuación vectorial de una curva proporcionada a una dirección a la curva en cada punto. Esto si se piensa que la curva esta descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida de tiempo, de modo que el vector R(t) se le llama vector de posición. Al eliminar t de las ecuaciones parámetricas se obtiene dos ecuaciones en x , y y z, son ecuaciones cartesianas de la curva C. La gráfica de la ecuación cartesiana es una superficie, y C es la intersección de dos superficies. Las ecuaciones de cuales quiera dos superficies que contienen C pueden considerarse como las ecuaciones que definen C. DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Sea : R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k Entonces el límite R(t) cuando tiende a a esta definido por lim R(t) = [ lim f (t) ]i + [lim g (t) ] j + [lim h (t) ]k tatatata si lim f (t) i, g (t) j, h (t) k existen tatata

Esta función se aplican a las funciones vectoriales del plano a considerar la componente K como cero(0). Por ejemplo: si R(t)= cos t i + 2et j + 3k lim R(t) =[ lim cos t ]i + [lim 2et] j + [lim 3 ]k t0t0t0t0 = i+2j+k Considere la siguiente figura a fin de obtener una interpretación geométrica de la definicion de límite de una función vectorial. Donde R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k, lim f(t) = a1, lim g (t) =a2, lim h (t) =a3, tatata y L =a1 i, a2 j, a3 k. La función vectorial R define la curva C, la cual contiene los puntos Q=f (t) , g (t) , h (t) y p=(a1 , a2 , a3 ). Las representaciones de los vectores R y L, son respectivamente vector OQ y vector OP, confirme t se aproxima a a R(t) tiende a L, de modo que el punto Q se aproxima al punto P a lo largo de C. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL La función vectorial R es continua al número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes: I.- R(a)existe II.- lim R(t) existe; ta III.- lim R(t) =R(a) ; ta De esta definición, una definición vectorial es continua en el número a si y solo si sus componentes reales son continuas en a. Por ejemplo: determine los números en los que la siguiente función es continua: R(t)= sen t i+ ln t j + t 2 – 1 k t -1 Solución: Puesto que sen t está definido para todos los números reales, ln t está definida sólo cuando t>0, y y(t 2 – 1 )/(t – 1 ) está definida en todo número real distinto de 1, el dominio de R es {t | t >0 y t ≠ 1}. Si a es cualquier número del dominio de R entonces: R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k R(t)= sen t i + ln t j + t 2 – 1 k t -1 tatata

R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k Así lim R(t) = R(a), y R es continua en a. Por lo tanto, la función vectorial R es continua en cada número de su dominio. VECTOR TANGENTE UNITARIO Ahora se asociarán a cada punto de una curva de dos vectores, el vector tangente unitario y el vector normal unitario. Estos vectores aparecen en muchas aplicaciones de las funciones vectoriales. DEFINICION DE VECTOR TANGENTE UNITARIO Si R(t) es el vector de posición de una curva C en el punto P de C el Vector Tangente Unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección de Dt R(t) si Dt R(t) ≠ 0. Como el vector unitario en la dirección de Dt R(t) está dado por Dt R(t) / || Dt R(t) ||, entonces: T(t) = Dt R (t) || Dt R(t) || T(t) es el vector unitario, Dt R(t) debe ser ortogonal a T(t). Mientras Dt T(t) que no necesariamente el un vector unitario, el vector Dt T(t) / || Dt T(t) || es unitario y tiene la misma dirección de Dt T(t). Por tanto, Dt T(t) / || Dt T(t) || es un vector ortogonal a T(t), y se denomina vector normal unitario. DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL UNITARIO Si T(t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C el Vector Normal Unitario, denotado por N(t), es el vector unitario en la dirección de Dt T(t) . N(t)= Dt N (t) || Dt N(t) || Ejemplo: Calcule T(t) y N(t) para la curva que tiene la ecuación vectorial. R(t)=(t 3 – 3t)i + 3 t 2 j Dibuje una porcion de la curva que contenga al punto donde t=2 y las representaciones de t(2) y N(2) cuyo punto inicial es pra el cual t=2. Dt R (t)=(3t 2 – 3)i + 6 t j || Dt N(t) ||= √ (3t 2 – 3)2i + (6 )2 = √ (3t 2 – 3)2i + 36 t 2 = √ 9 ( t 4 – 2t2)i + 1= 3 ( t 2 )i + 1 De(1): T(t)= Dt R (t) = t 2 – 1 i + 2t j || Dt R(t) || t 2 + 1 t 2 + 1

al diferenciar T(t) con respectoa t se obtiene. Dt T (t) = 4t i + 2 – 2 t 2 j (t 2 + 1)2 (t 2 + 1)2 Por tanto: ||Dt T (t) ||= √16 t 2 + 4 – 8 t 2 + 4 t 4 (t 2 + 1)4 ( t 2 + 1)4 =√ 4 + 8 t 2 + 4 t 4=√ 4( t 2 + 1)2 = 2 ( t 2 + 1)4 ( t 2 + 1)4 t 2 + 1 CURVATURA Es un proceso importante en el estudio de la geometría diferencial y del movimiento rectilíneo. Dicho concepto proporciona la tasa de variacion o cambio de la dirección de una curva con respecto a la variacion en su logitud. El estudio de la curvatura se inicia en la curva plana C, y se considera que Ø radianes es la medida del ángulo, medido en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, desde la dirección del eje x positivo hasta la dirección del vector tangente unitarioT(t) en el punto P de C. A continuación veremos un ejemplo de ello en el cual se muestra Ø y T(t) donde s unidades es la longitud del arco a partir de un punto P0 de C hasta P. En el punto Q de C, la medida en radianes del ángulo que determina la dirección de T(t+ ∆t) es Ø + ∆Ø y s + ∆s unidades es la longitud de arco de P0 a Q.

DEFINICION DEL VECTOR CURVATURA Y CURVATURA

Si T(t) es el vector tangente unitario a una curva C en un punto P, s es la longitud de arco medida desde un punto P de C elegido arbitrariamente y s crece conforme t se incrementa, entonces el vector curvatura de C en P, denotado por K(t ) se define como: K(t )=DsT(t) La curvatura de C en P, denotado por K(t ), es el modulo del vector curvatura esto es: K(t )=||DsT(t) || con el fin de obtener el vector curvatura para una curva particular conviene tener una fórmula que exprese el vector curvatura en términos de las derivadas con respecto a t, esto es por medio de la regla de la cadena: Dt T(t) =DsT(t) ds dt En esta parte utilizamos el primer toerema fundamental del cálculo : ds =||DtT(t) || dt Si el parámetro de la ecuación vectorial de C es s en lugar de t, se obtiene de esta ecuación, al considerar t=s y observando que ds/ds =1. Dt T(t) =[DtT(t)]||DtT(t) || Ds T(t) = [ DtT(t) ] ||DtT(t) || Al sustituir esta ecuacón en la fórmula K(t ) se obtiene K(t )= [ DtT(t) ] ||DtT(t) || como K(t )=||K(t )||, la curvatura esta dada por K(t )= [ DtT(t) ] ||DtT(t) || A continuación se muestra un ejemplo: Dada la circunferencia de radio a. R(t)= a cos t i + a sen t j a>0 Determine el vector curvatura y curvatura para cualquier valor de t.

Solución: DtR(t) = -sen t i + a cos t j ||DtR(t)||=√(- a sen t i)2 + (a cos t)2 =a Por lo tanto: T(t) = DtT(t) DtR(t) = -cos t i – a sen t j ||DtT(t) || = -cos t i – a sen t j DtT(t) = -cos t i – a sen t j ||DtT(t) || a a en consecuencia, el vector curvatura y la curvatura estan dadas por: K(t )= – 1 cos t i – 1 cos t i K(t )=||K(t )||= 1 aaa El resultado afirma que la curvatura de una circunferencia es constante. MOVIMIENTO CURVILÍNEO En los temas anteriores acerca del moviemiento de partícula , este se restringuio al movimiento rectilíneo. Ahora se considera el movimiento de una partícula a lo largo de una curva denominado movimiento curvilíneo. Supongo que C es la curva cuya ecuación vectorial es: R(t )=f (t) i + g (t) j + h (t) k Donde t se denota el tiempo. Conforme t varia el punto terminal P de el vector OP describe la curva C, de modo que la posición de una partícula, que se mueve a a lo largo de C, en el tiempo t unidades en el punto P(f (t) + g (t) + h (t) ). A continuación se definira el vector velocidad y vector aceleracion. DEFINICIÓN DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN MOVIMIENTO CURVILINEO Sea C la curva cuya ecuación vectorial es. R(t )=f (t) i + g (t) j + h (t) k Si una partícula se mueve a lo largo de C de modo que su posición en cualquier tiempo t unidades en el punto P(f (t) + g (t) + h (t) ), entonces el vector velicidad V(t) y el vector aceleracion A(t) en el punto C se define como:

V(t )= R´(t ) V(t )=f ´(t) i + g ´(t) j + h ´(t) k A(t )=R´´(t ) A(t )=f ´´(t) i + g ´´(t) j + h ´´(t) k A(t )=V´(t ) donde R´´(t ) existe Puesto que la dirección de R´(t ) en el punto P es la misma que la de la recta tangente a la curva en P, entonces el vector velocidad V(t ) tiene esta la direccón en P. El módulo o intensidad(o tambien magnitud ), del vector velocidad, ||V(t )||, es una medida de la rapidez de la partícula. A continuación les mostraremos la representación de los vectores velocidad y aceleración en el punto P de C.

Ejemplo: Una partícula se mueve a lo largo de una curva plana que tiene la ecuación vectorial. R(t )=4 cos 1/2 t i + 4 sen 1/2 t j Calcule la rapidez de la partícula y el módulo del vector aceleración de la partícula de los t segundos de distancia se mide en centímetros. Dibuje la trayectoria de la partícula y las representaciones de los vectores velocidad y aceleración en el punto donde t=1/3 π. Solución: Al calcular V(t ) y A(t ) se tiene: V(t )=R´(t ) = -2sen 1/2 t i+ 2 cos 1/2 t j ||V(t )|| = √ (-2sen 1/2 t)2 +( 2 cos 1/2 t)2 ||V(t )|| = √ (4sen2 1/2 t) +( 4 cos 21/2 t) ||V(t )|| = 2

A(t )=R´(t ) = -cos 1/2 t i- sen 1/2 t j ||A(t )|| = √ (-cos 1/2 t)2 + (-sen 1/2 t )2 ||A(t )|| = 1 Por lo tanto, la rapidez de la partícula es constante e igual a 2 cm/s. El módulo del vector aceleración tambien es constante e igual a 1cm/s. Las ecuaciones paramétricas de C son: x= 4sen2 1/2 t y=( 4 cos 21/2 t) 0