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APLICACIONES DE CAYLEY EN LA VIDA DIARIA

Cayley desarrolla el álgebra matricial definiendo las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz invertible, junto con una construcción de la inversa de una matriz invertible en términos de su determinante y prueba que, en el caso de matrices 2 £ 2, una matriz satisface su propia ecuación característica.

Cayley publicó más de novecientos artículos científicos. Es considerado como uno de los padres del álgebra lineal. Fue el primero que estableció la multiplicación de las matrices. Es el autor del teorema de CayleyHamilton que dice que cualquier matriz cuadrada es solución de su polinomio característico. Dio la primera definición moderna del concepto de grupo. En su época, los únicos grupos concretos conocidos eran los grupos de permutaciones que habían sido descritos recientemente. Cayley dio una definición suficientemente general de grupo e ideó un método constructivo para describir la tabla de cualquier grupo en términos de permutaciones. Lo que hoy conocemos como la representación regular o tabla de Cayley de un grupo. Descubrió que algunos conjuntos de matrices o de cuaterniones tienen estructura de grupo. Se conocen como octavas de Cayley o números de Cayley a los octoniones.

si A es una matriz cuadrada de orden n y si

es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces al sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:

El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera. Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.

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Permite establecer resultados teóricos, por ejemplo para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente.

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Permite también simplificaciones poderosas en el cálculo de matrices. La aproximación por polinomios mínimos es en general menos costosa que la que se hace por determinantes.

Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices.

Ejemplo Consideremos por ejemplo la matriz

. El polinomio característico se escribe

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que

y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior

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Así, por ejemplo, para calcular A , podemos escribir

y llegamos a

. Podemos utilizar también la relación polinomial inicial para probar la inversibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar una potencia de A donde sea posible y

lo que demuestra que A admite como inverso