• Author / Uploaded
• Marco Antonio Alpaca Ch.

Citation preview

44

´ DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO 3. POSICION

Tema 7.

Aplicaciones abiertas y cerradas

Hasta ahora nos hemos centrado en propiedades de puntos con respecto a conjuntos, y las u ´ nicas propiedades de aplicaciones que conocemos (aparte de la continuidad) no tienen que ver con espacios topol´ogicos, sino con conjuntos, como son la inyectividad y la sobreyectividad. Vamos a dedicar este cap´ıtulo a estudiar propiedades de otras aplicaciones que tienen que ver con espacios topol´ogicos, es decir, enunciadas en t´erminos de abiertos. ´ n 3.7.1. Consideremos (X, TX ) e (Y, TY ) e.t. y una aplicaci´on f : Definicio X → Y . Diremos que f es abierta (resp. cerrada) si ∀A ∈ TX (resp. A ∈ CTX ), se tiene que f (A) ∈ TY (resp. f (A) ∈ CTY ). La siguiente es una caracterizaci´on del concepto de aplicaci´on abierta en t´erminos de entornos: ´ n 3.7.2. Sea f : X → Y aplicaci´ Proposicio on. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. ∀x ∈ X y ∀V x entorno de x ∈ X, se tiene que f (V x ) es entorno de f (x) ∈ Y , 2. La aplicaci´ on f es abierta. Ejercicio 3.33. ♠ Sea f : X → Y una aplicaci´ on y X un espacio pseudom´etrico (X, d). Demuestra que f es abierta si y s´ olo si para todo x 0 ∈ X existe ε > 0 tal que f (Bd (x0 ; δ)) es un entorno de f (x0 ) para cualquier 0 < δ ≤ ε. Observaciones 3.7.3. 1. Todo homeomorfismo es abierto y cerrado. (La demostraci´on aparece en la Proposici´on 3.7.4). 2. Si el punto y0 ∈ Y es cerrado en Y , entonces la aplicaci´on constante fy0 : X → Y definida por fy0 (x) := y0 ∀x ∈ X es cerrada ya que  ∅ si C = ∅ fy0 (C) = {y0 } si C 6= ∅

que en ambos casos son conjuntos cerrados en Y . 3. Utilizando aplicaciones afines es f´acil comprobar que existen aplicaciones continuas que son abiertas y no cerradas (en general si es sobreyectiva y la dimensi´on del espacio final es menor que la del inicial) y cerradas que no son abiertas (en general siempre que la dimensi´on del espacio final es mayor que la del inicial). Por ejemplo:

TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS

45

a) La aplicaci´on entre espacios topol´ogicos usuales f1 : R2 → R definida por f1 (x, y) = x es abierta pero no es cerrada: Abierta. Usemos el Ejercicio 3.33. Para ello sea ε > 0 cualquiera y definamos U := Bd∞ ((x, y); ε) = (x − ε, x + ε) × (y − ε, y + ε) (Ejemplo 2.2.26). Observa que f1 (U ) = (x − ε, x + ε) es un entorno de x = f1 (x, y). As´ı pues f1 es aplicaci´on abierta. No cerrada. Consideremos C := {(x, x1 ) | x ∈ R \ {0}}, que un cerrado por ser grafo de la aplicaci´on continua g : R \ {0} → R definida por g(x) = x1 con as´ıntota vertical en 0 (Ejercicio 3.4). Como f1 (C) = R \ {0} no es cerrado (ya que su complementario {0} no es abierto) hemos probado que f no es aplicaci´on cerrada. Obs´ervese que la misma demostraci´on del apartado 3a prueba que la proyecci´on fi : Rn → R, f( x1 , ..., xn ) := xi es abierta. b) La aplicaci´on f2 : R → R2 definida por f2 (x) = (x, 0) no es abierta ya que f2 (R) = R × {0} no es abierto en R2 . En cambio s´ı es cerrada ya que, si C es un cerrado de R, entonces f2 (C) es el grafo de la aplicaci´on continua f : (C, Tu ) → (R, Tu ), definida por f (x) := 0. As´ı pues f2 (C) es un cerrado de C × R (Ejercicio 3.15), pero como C y R son cerrados en R entonces f2 (C) es de hecho cerrado en R2 (Observaci´on 3.3.6). 4. La composici´on de aplicaciones abiertas (resp. cerradas) es abierta (resp. cerrada). Esto es inmediato ya que, si f : X → Y y g : Y → Z son abiertas y U ⊂ X es abierto en X, entonces f (U ) ⊂ Y es abierto en Y y por tanto g ◦ f (U ) = g(f (U )) ⊂ Z es abierto en Z (an´alogamente para aplicaciones cerradas). 5. Si las aplicaciones f1 : A → B1 y f2 : A → B2 (A ⊂ Rn , B1 ⊂ Rn1 y B2 ⊂ Rn2 ) son abiertas, entonces f : A → B := B1 × B2 es una aplicaci´on abierta. Para ver esto basta tomar un abierto U ⊂ A, entonces f (U ) = f1 (U ) × f2 (U ) que es abierto en B (Ejercicio 2.27). 6. La suma de aplicaciones abiertas definidas en subconjuntos de Rn es una aplicaci´on abierta. Es decir, supongamos que f1 : A → B y f2 : A → B son aplicaciones abiertas (A ⊂ Rn , B ⊂ Rm ) y que B + B ⊂ B (es decir, que si b1 , b2 ∈ B, entonces b1 +b2 ∈ B, por ejemplo si B = Rm ) entonces la aplicaci´on suma f : A → B, est´a bien definida como f (x) := f1 (x)+f2 (x), y es una aplicaci´on abierta. El motivo es el siguiente: si U ⊂ A es abierto en A, entonces f (U ) = f1 (U ) + f2 (U ) es abierto en Rm (Ejercicio 1.5).

46

´ DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO 3. POSICION

Ejercicio 3.34. ♠ Demuestra que una aplicaci´ on biyectiva entre espacios topol´ ogicos es cerrada si y solo si es abierta Ejercicio 3.35. ♠ Demuestra que la aplicaci´ on f3 de la Figura 1(a) no es abierta ni cerrada, mientras que f4 , de la Figura 1(b), es tanto abierta como cerrada. x=0

x=0

y=1 y=0 y=0

x = −1

x=1 (a)

f3 : R \ {±1} → R 2 x 7→ x2x−1

(b)

Figura 1.

f4 : R → R x 7→ x3

Ejercicio 3.36. ♠ Sean (X, TX ) e (Y, TY ) e.t. y sea f : X → Y una aplicaci´ on. Supongamos que A ⊂ X es abierto (resp. cerrado). Demuestra que si f es abierta (resp. cerrada), entonces f |A es abierta (resp. cerrada). Ejercicio 3.37. ♠ El hecho de que una aplicaci´ on sea abierta depende no s´ olo de la f´ormula que define la aplicaci´ on sino tambi´en de los conjuntos inicial y final. Por ejemplo, demuestra que la aplicaci´ on f1 : R → R f1 (x) := x2 no es abierta, mientras que f2 : R → R≥0 f2 (x) := x2 s´ı lo es. Ejercicio 3.38. ♠ Sean (X, TX ) e (Y, TY ) e.t. y sea f : X → Y una aplicaci´ on. Supongamos que la familia {Aλ }λ∈Λ de subconjuntos recubre X (es decir, S on. Demuestra λ∈Λ Aλ = X). Denotemos por fλ := f |Aλ : Aλ → Y a la restricci´ que: 1. Si fλ es abierta ∀λ ∈ Λ, entonces f es abierta. 2. Si Λ finito y fλ es cerrada ∀λ ∈ Λ, entonces f es cerrada. Ejercicio 3.39. ♠ Sea f : X → Y una aplicaci´ on continua y abierta entre espacios topol´ ogicos. Demuestra que si B ⊂ Y , entonces f −1 (B) = f −1 (B).

TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS

47

Ejercicio 3.40. ♠ Denotemos por d := d2n la distancia eucl´ıdea en Rn y sea dx0 : Rn → R≥0 la aplicaci´on distancia a x0 ∈ Rn (definida en el Ejercicio 2.20). Demuestra que dx0 es abierta. Ejercicio 3.41. ♠ Utiliza los Ejercicios 3.39 y 3.40 para probar que Bd (x0 ; ε) = Dd (x0 ; ε), donde d := d2n es la distancia eucl´ıdea en Rn (ver Observaci´ on 3.4.5). Veamos la relaci´on entre las aplicaciones abiertas, las cerradas y los homeomorfismos.

tes:

´ n 3.7.4. Sea f : X → Y una aplicaci´ Proposicio on biyectiva. Son equivalen-

a) f es homeomorfismo. b) f es continua y abierta. c) f es continua y cerrada. Los homeomorfismos sobre la imagen se caracterizan tambi´en con aplicaciones abiertas. ´ n 3.7.5. La aplicaci´ Proposicio on f es un homeomorfismo sobre la imagen si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. f es inyectiva; 2. f es continua; 3. f es abierta sobre la imagen, es decir, ∀U ⊂ X abierto, f (U ) es abierto en f (X). Ejercicio 3.42. ♠ Demuestra que la aplicaci´ on f : R → R2 definida por f (x) = (x, 0) es un homeomorfismo sobre la imagen. Ejercicio 3.43. ♠ Sea f : X → Y homeomorfismo y A ⊂ X, demuestra que f¯|A : A → f (A) (Ejercicio A.13) es tambi´en homeomorfismo. Ejercicio 3.44. ♠ Considera el conjunto S de la Figura 2. Formalmente podemos ver esta figura de dos formas distintas. Una, como imagen de la siguiente aplicaci´ on definida a trozos:   si x ∈ [− π1 , π1 ]  (2πx, 0) f (x) := (1 − cos x1 , sen x1 ) si x ∈ [ π1 , +∞)    (−1 + cos x1 , − sen x1 ) si x ∈ (−∞, − π1 ]

48

´ DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO 3. POSICION

(−2, 0) (2, 0)

Figura 2. Figura ocho y otra, como subconjunto de R2 . En cada caso obtenemos una topolog´ıa: a la de S como subespacio de R2 la denotaremos por Tu |S , mientras que a la de S como imagen de f la denotaremos por f Tu . Comprueba que Tu |S 6= f Tu .