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• Carlos Alberto Huamaní Gonzales

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA MECÁNICA, MECÁNICA-ELECTRÍCA Y MECATRÓNICA Laboratorio de Mecánica Computacional II Tema: Métodos Numéricos – Método de la Bisección Apellidos y Nombres (1):_____________________________________________ Apellidos y Nombres (2):_____________________________________________

Página:1/6 Jefes de Prácticas: Ing. Juan Carlos Cuadros Ing. Henry Zegarra Gago Ing. Christiam Collado Oporto Código: Semestre: Grupo:

4E04022 IV

Lab. Nº:

06

FECHA: 16/Oct/2017u

I. OBJETIVOS  Aplicar los métodos iterativos de intervalo, específicamente el método de la bisección en la solución de ecuaciones no lineales algebraicas y trascendentes.  Implementar programas e interfaces gráficas en MATLAB que solucionen las raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes por medio del método de la bisección. II. MARCO TEORICO 2.1 Introducción En esta práctica, estudiaremos uno de los métodos para la solución numérica de ecuaciones algébricas y trascendentes no lineales, esto es, ecuaciones que se puedan escribir en la forma f(x) = 0, donde f es una función real de variable real. Todos los valores s que anulan f, esto es, tales que f(s) = 0, se llaman ceros o raíces de la función f o solución de la ecuación f(x)=0.

Figura 1  Ceros de una función- Diferentes casos

Para una ecuación del tipo f(x) = 0, antes de intentar aplicar cualquier método de resolución, es importante garantizar que la ecuación tenga solución, o sea, que existe un real; s tal que f(s)=0. Muchas veces importa también determinar si la solución es única, o si existen diferentes soluciones y, en este caso, saber cual o cuales importan determinar. 2.2 Teorema de Bolzano Dado un intervalo cerrado [a,b] y una función continua f(x), existe al menos una solución a la ecuación algebraica no lineal o trascendente f(x)=0 si f(a)*f(b)  0

Figura 2  Aplicación del Teorema de Bolzano

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El teorema de Bolzano garantiza la existencia de una raíz si existe un cambio de signo en el intervalo [a,b], pero la antítesis es falsa, sino existe un cambio de signo, también puede existir una raíz en [a,b]. Los métodos numéricos que están basados en el teorema de Bolzano se denominan “métodos cerrados”, ya que exigen como argumento un intervalo cerrado donde la función experimente un cambio de signo. 2.3. Método de las Bisecciones Sucesivas En la resolución de ecuaciones no lineales se utilizan, salvo soluciones analíticas simples, métodos iterativos que generan una sucesión de valores que tienden al valor de la raíz. Este método presenta la ventaja de acotar no sólo el valor de la función, sino también el intervalo al que pertenece la raíz. Para su aplicación es necesario que verifique las condiciones del Teorema de Bolzano, esto es, la función debe ser continua y cambiar de signo en sus extremos. Por ejemplo: Resolver en los números reales las ecuaciones:

x3  1  0, sen( x)  x  0 ó tan( x)  x  0

(*)

Las gráficas siguientes ilustran mejor la situación. Indican que un problema con enunciado tan simple puede ser difícil de resolver:

Figura 3  Gráficas de las ecuaciones (*)

La primera gráfica sugiere que hay un único cero, precisamente donde ese cero está y las otras dos indican que hay alguno en cada caso, pero nada más. En realidad, sen(x) y x se encuentran en un único punto, x = 0; pero en cambio tan(x) y x se encuentran en un número infinito de puntos. Ciertamente se requiere disponer de herramientas teóricas (teoremas) y prácticas (algoritmos) para resolver problemas de esta clase. El método de las bisecciones sucesivas parte del intervalo inicial [a, b] que se sabe contiene un cero de f, supuestamente único. En cada iteración se produce la reducción del intervalo a la mitad del intervalo actual. Para lo cual, se divide el intervalo actual escogiéndose el intervalo izquierdo o derecho de forma que la función tenga signo diferente en los extremos del sub-intervalo escogido. O sea, 1

siendo [an, bn] el intervalo de la iteración n, se calcula 𝑥𝑛+1 = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ). El 2

valor 𝑥𝑛+1 sustituye a an o bn de acuerdo si se cumple que 𝑓(𝑥𝑛+1) 𝑓(𝑏𝑛 ) < 0 o 𝑓(𝑥𝑛+1) 𝑓(𝑎𝑛 ) < 0. De esta forma, se asegura que s  [an,bn] en cualquier iteración. Figura 4  Bisecciones Sucesivas

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2.5. Algoritmo de Bisección Método de las bisecciones sucesivas

a0 , b0   a, b

Inicialización

an  bn 2 2. Si f xn 1  f a n   0 Entonces a n 1  a n ; bn 1  xn 1 ; Sino an1  xn1 ; bn1  bn ;

Repetir

1.

Hasta que

xn1 

Verificar criterio de parada

2.5. Error del Algoritmo de Bisección

Figura 5  Error del Método de la Bisección

Teorema 1: Sea f una función continua en el intervalo [a,b] tal que 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) < 0. El método de la bisección genera una sucesión {pn} que converge a p con la propiedad:

|𝑝 − 𝑝𝑛 | ≤

𝑏−𝑎 2𝑛

𝑛≥1

Demostración: Para cada 𝑛 ≥ 1, tenemos: 1

𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 (𝑏 − 𝑎) y 𝑝 ∈ (𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ) Puesto que 𝑝𝑛 = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )/2, para cada 𝑛 ≥ 1, se tiene:

1 𝑏−𝑎 |𝑝 − 𝑝𝑛 | ≤ (𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 ) = 𝑛 2 2 y esta desigualdad implica que lim 𝑝𝑛 = 𝑝 𝑛→∞

Si llamamos δ al valor absoluto del error, donde 𝛿 = |𝑝 − 𝑝𝑛 |, se puede entonces afirmar que el error absoluto del estimado pn está acotado por:

𝑏−𝑎 2𝑛

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El número de iteraciones suficientes para garantizar un error absoluto no superior a  se puede calcular haciendo

𝑏−𝑎 2𝑛

≤

𝑏−𝑎 ) 𝛿

𝛿 obteniéndose el valor: 𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔2 (

Otra sugerencia sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentra por debajo de algún nivel prefijado. Por lo tanto se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz de la ecuación. Se puede calcular el error relativo porcentual 𝜀𝑎 de la siguiente manera: 𝜀𝑎 = |

𝑥𝑟𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 − 𝑥𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 | 100% 𝑥𝑟𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜

donde 𝑥𝑟𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 es la raíz en la iteración actual y 𝑥𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 es el valor de la raíz en la iteración anterior. Se utiliza el valor absoluto, ya que solo importa la magnitud del error. Cuando 𝜀𝑎 es menor que un valor previamente fijado 𝜀𝑠 , termina el cálculo. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de este método. Ejemplo 1: Determinar una aproximación con un error absoluto inferior a 7x10-2 de la (única) solución de la ecuación 1 + 𝑥 + 𝑒 𝑥 = 0 que se sabe esta en el intervalo [-2, -1]. Solución Paso 1: Verificación de las condiciones de convergencia La función f(x)=1+x+ex es monótona, f(-2)=-1+e-2 0. Paso 2: Determinación del número de iteraciones Como se desea alcanzar una precisión de 7x10-2se debe escoger n tal que:

n  log 2

 1  (2)  n  3.8365 7 x10 2

Efectuando 4 iteraciones a partir de [-2, -1] se tiene un error máximo absoluto de:

1  6 x10  2 4 2 Iteraciones: n 1

an -2.000

f(an) -0.865

bn -1.000

f(bn) 0.3679

xn+1 -1.500

f(xn+1) -0.2769

2 3 4 Podemos realizar una comprobación gráfica de la solución del problema, entonces, graficamos la función 1 + 𝑥 + 𝑒 𝑥 = 0 y vemos donde tiene un cruce por el eje x.

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Figura 6  Grafico de la Ec: f(x)=1+x+ex

La solución de la ecuación será x =

, o sea, x  [

,

]

III. MATERIAL Y EQUIPO  Una PC con Sistema Operativo (S.O.) Windows  MATLAB 7.0 o superior IV. PROCEDIMIENTO 1. Localice gráficamente las raíces de f(x) = 0, siendo f(x) = |x| - ex. 2. Usando el método de la bisección sucesivas, determine un valor aproximado para los ceros de f(x) = |x| - ex con un error que no exceda a 0.15. 3. Confeccionar en MATLAB un programa que: 3.1. Calcule la raíz de una ecuación algebraica no lineal o ecuación trascendente. 3.2. Adjunte su algoritmo y diagrama de flujo

% Inicio de programa

% Fin de programa

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V. CUESTIONARIO FINAL 1. 2. 3.

Use cuatro iteraciones del método de la Bisección para determinar las raíces de e  6 x  0 en el intervalo [0, 0.5]. ¿Cuántas iteraciones son necesarias para obtener la aproximación a la raíz redondeada a 5 cifras decimales? Hacer una prueba de datos del programa realizado en el procedimiento con los datos de la pregunta anterior. Desarrollar una interface gráfica que permita la solución de ecuaciones del tipo 𝑓(𝑥) = 0 por el método de la bisección. 2x

VI. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES Haga sus observaciones y emita al menos cinco conclusiones en torno al trabajo realizado 

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