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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

TESIS “REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES”

PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE INGENIERO CIVIL

ELABORADO POR VITTORIO FRANCESCO APARICIO RAMÍREZ

ASESOR Ing. JORGE LUIS MENDOZA DUEÑAS

LIMA- PERÚ

2018

© 2018, Universidad Nacional de Ingeniería. Todos los derechos reservados “El autor autoriza a la UNI a reproducir de la Tesis en su totalidad o en parte, con fines estrictamente académicos.” Aparicio Ramírez, Vittorio Francesco [email protected] 922767983

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA DEDICATORIA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Dedicatoria Dedicado a toda mi familia por ser un ejemplo de vida, y en memoria del amigo y maestro Ing. Gonzalo Brazzini Silva, quien prometió estar presente para la sustentación de este trabajo.

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ÍNDICE

ÍNDICE

ABSTRACT __________________________________________________________ 3 PRÓLOGO __________________________________________________________ 4 RESUMEN:__________________________________________________________ 5 ÍNDICE DE FIGURAS __________________________________________________ 6 ÍNDICE DE TABLAS ___________________________________________________ 8 INTRODUCCIÓN _____________________________________________________ 9 CAPÍTULO I: GENERALIDADES_________________________________________ 10 1.1

ANTECEDENTES __________________________________________________ 10

1.2

JUSTIFICACIÓN ___________________________________________________ 12

1.3

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA___________________________________ 12

1.4

DEFINICIÓN DE LOS OBJETIVOS _____________________________________ 12

1.4.1 1.4.2

Objetivo principal _____________________________________________________ 12 Objetivos específicos ___________________________________________________ 12

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO ________________________________________ 13 2.1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES _____________________________________ 13

2.2

PROPIEDADES DE LAS PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS ________________ 19

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.1.9 2.1.10 2.2.1 2.2.2 2.2.3

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

Superficie topográfica __________________________________________________ 13 Geoide ______________________________________________________________ 13 Elipsoide de revolución _________________________________________________ 14 Altura Ortométrica (H) _________________________________________________ 15 Altura Elipsoidal (h) ____________________________________________________ 15 Ondulación Geoidal (N) _________________________________________________ 15 Sistema de referencia __________________________________________________ 16 Sistema astronómico global _____________________________________________ 16 Sistema elipsoidal global________________________________________________ 17 Proyecciones cartográficas ______________________________________________ 18

Proyección equidistante ________________________________________________ 19 Proyección conforme __________________________________________________ 19 Proyección equivalente_________________________________________________ 19

PROYECCIONES CILÍNDRICAS _______________________________________ 20 Proyección de MERCATOR ______________________________________________ 20 Proyección transversal de MERCATOR ____________________________________ 20 Proyección Universal Transversal de MERCATOR (UTM) ______________________ 21 FACTOR DE ESCALA (K ESCALA) __________________________________________ 21

2.4

ANÁLISIS DEL FACTOR DE ESCALA ___________________________________ 26

2.5

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ______________________________ 29

2.4.1 Radio de curvatura del meridiano en el punto “P” (ρ): Z GEODÉSICO = 0° ___________ 26 2.4.2 Radio de curvatura de la primera vertical en el punto “P” (GRAN NORMAL N): Z GEODÉSICO=90° _______________________________________________________________ 26 2.4.3 Radio medio de curvatura (r) ____________________________________________ 27 2.4.4 Análisis del factor de escala en un punto (K escala) __________________________ 27

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2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4

2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4

ÍNDICE

Transformación de coordenadas UTM a Geodésicas _________________________ 29 Transformación de Coordenadas Geodésicas a UTM _________________________ 33 Transformación de Coordenadas Geodésicas a Cartesianas ___________________ 35 Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas ___________________ 36

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ____________________________________ 37 Distancia de Cuadrícula entre A y B _______________________________________ 37 Distancia Geodésica ___________________________________________________ 38 Factor de elevación (K ELEVACIÓN) _______________________________________ 39 Factor combinado (K) __________________________________________________ 41

2.7

MEDIDA DE DIRECCIONES__________________________________________ 42

2.8

CÁLCULO DE COORDENADAS _______________________________________ 48

3.1

FORMULACIÓN DE LA HIPÓTESIS____________________________________ 50

2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 2.7.6

Meridiano Geográfico de un Punto A. (M.G)________________________________ 42 Meridiano de Cuadricula de un Punto A. (M.C) _____________________________ 43 Convergencia De Meridianos (Ɣ) _________________________________________ 44 Azimut De Cuadricula __________________________________________________ 45 Corrección por Curvatura (T – t) __________________________________________ 46 Azimut geográfico verdadero (ZG) ________________________________________ 47

CAPÍTULO III: DESARROLLO DEL PROYECTO _____________________________ 50 3.1.1

Hipótesis de investigación: Hi____________________________________________ 50

3.2

METODOLOGÍA DEL TRABAJO ______________________________________ 50

3.3

TOMA DE DATOS _________________________________________________ 51

3.4

PLANTEAMIENTO DE METODOLOGÍAS _______________________________ 56

3.5

EVALUACIÓN DE METODOLOGÍAS___________________________________ 70

3.3.1 3.4.1 3.4.2

Datos a utilizar ________________________________________________________ 51 Replanteo de coordenadas UTM a topográficas para distancias máximas de 5 km. 56 Replanteo de Coordenadas Topográficas a UTM para distancias máximas de 1 km.59

3.5.1 Replanteo de Coordenadas UTM a Topográficas cuando las distancias de separación entre Puntos GPS sea como máximo 5 km. _________________________________________ 70 3.5.2 Replanteo de Coordenadas Topográficas a UTM cuando las distancias de separación entre Puntos GPS sea como máximo 1 km. _________________________________________ 75

CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES_____________________ 84 4.1 4.1.1 4.1.2

4.2

CONCLUSIONES __________________________________________________ 84 Conclusión principal ___________________________________________________ 84 Conclusión específicos _________________________________________________ 84

RECOMENDACIONES ______________________________________________ 85

BIBLIOGRAFÍA______________________________________________________ 86 ANEXOS: __________________________________________________________ 87

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ABSTRACT

ABSTRACT

The evolution of geodesy, from it’s origins with Pythagoras and Aristotle, it has sought the geometric shape that is closest to the surface of the Earth. Currently is accepted that the shape closest to the earth is called the geoid and is defined as the geometric place which is in equilibrium with the forces of attraction of the Earth, other stars and the centripetal force generated by the rotation of the Earth. The use of the UTM cartographic projections have become indispensable in engineering fields, applied to short and large scale projects. In recent years the use of Datum WGS84 has been having a great importance with respect to other geoids. Coordinates, angles and directions UTM, are projections from the geodetic surface of reference surface and therefore does not accurately represent exactly the reality, for this reason to reframe these coordinates it is necessary to go through a transformation before that can represent the topographic coordinates starting from UTM. UTM coordinates may be transformed by a series of operations to topographical coordinates, on the other hand is also possible taking into account important criteria such as scale factors and topographic distances. Thus the use of the UTM coordinates for staking topographic coordinates without prior processing generates errors that grow with the distance between the discussed points with the point taken as the basis. Depending on the length between control points on each piece of engineering, we can find, if we don’t make a proper transformation that the present errors are trying to minimize it by reducing the distance between control points, generally reducing the separation distances between control points in less than 1km. But using UTM coordinates without transform even with this separation it generates greater errors than those permitted in topographic works.

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PRÓLOGO

PRÓLOGO La presente Tesis es el resultado de un arduo trabajo de investigación en el campo de la Geodesia, cuyo objetivo es el de proporcionar al lector la base técnica, teórica y la información suficiente para que este pueda entender el funcionamiento de las transformaciones Geodésicas, y a su vez brindar al lector un método de transformación de coordenadas a fin de obtener puntos replanteados con eficiencia y exactitud. Para este fin se optó por presentar las bases matemáticas y términos a utilizar, posteriormente exponer la manera en que estas distintas variables se relacionan y generan, luego de una transformación, nuevas coordenadas que podrán ser utilizadas en campo; mostrando además todo el proceso de transformación y el comportamiento de las variables durante dicho proceso. Es preciso mencionar que en el presente trabajo se lograron desarrollar dos programas computacionales, los cuales utilizan el lenguaje de programación Visual Basic for Applications (VBA) estos programas cumplieron las expectativas del trabajo de investigación obteniendo resultados satisfactorios para cada uno de los casos. Dichos resultados fueron comprobados y calibrados comparando los resultados obtenidos mediante los mencionados programas con resultados obtenidos mediante tablas Excel y libros especializados, para luego analizar nuevos resultados con datos de campo. Finalmente es válido mencionar que la presente Tesis tiene como marco teórico los distintos términos y fórmulas matemáticas que han sido desarrollados durante los últimos años al estudio de la Geodesia, tal es el caso de los aportes de Eratóstenes de Alejandría (276-195 a.C), Jean Richter (1630-1696), Friedrich Robert Helmert (1843-1917) y John Fillmore Hayford (1869-1925), en este sentido es grato poder utilizar este conocimiento y aplicarlo al desarrollo del avance en el campo de la geodesia en el Perú.

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RESUMEN

RESUMEN:

La evolución de la geodesia, desde sus orígenes con Pitágoras y Aristóteles, ha buscado la forma geométrica que más se aproxima a la superficie de la Tierra. Actualmente se acepta que la figura que más se acerca a la forma de la Tierra es el llamado geoide y se define como lugar geométrico que está en equilibrio con: las fuerzas de atracción de la Tierra, otros astros y la fuerza centrípeta generada por la rotación de la Tierra. El uso de las proyecciones cartográficas UTM se han vuelto indispensables en los diversos campos de la ingeniería civil cuando es aplicada a proyectos de corta y gran envergadura. En los últimos años el uso del Datum WGS84 ha estado tomando gran importancia con respecto de otros geoides. Las coordenadas UTM, pueden ser transformadas mediante una serie de operaciones a coordenadas topográficas, el caso contrario es igualmente posible tomando en cuenta criterios importantes como factores de escala y distancias topográficas. Por esto el uso de las coordenadas UTM para replantear coordenadas topográficas sin previa transformación genera en todos los casos errores que pueden ser imperceptibles o representar un peligro para la obra en ejecución, estos errores crecen con la distancia de separación entre los puntos analizados. Dependiendo de la longitud entre puntos de control en cada obra de ingeniería se presentan, si no se realiza una debida transformación, errores que en muchos casos se intentan minimizar reduciendo la distancia entre puntos de control; generalmente reduciendo las distancias de separación entre puntos de control en menos de 1km. Pero utilizar coordenadas UTM sin transformar incluso con esta separación genera en muchos casos errores mayores a los permitidos en trabajos topográficos. Por lo que es necesario realizar previamente una trasformación que pueda representar las coordenadas UTM en un plano topográfico, y de esta manera eliminar los errores que se generen por una mala interpretación de la naturaleza de estos dos tipos de datos, coordenadas UTM y Coordenadas topográficas.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA ÍNDICE DE FIGURAS

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1: Superficie Topográfica........................................................................................................... 13 Figura 2: Geoide..................................................................................................................................... 14 Figura 3: Elipse....................................................................................................................................... 14 Figura 4: Altura elipsoidal y ortométrica. ............................................................................................ 15 Figura 5: Sistema Astronómico Global. ................................................................................................ 17 Figura 6: Sistema Elipsoidal Global. ..................................................................................................... 18 Figura 7: Proyección de Mercator. ....................................................................................................... 20 Figura 8: Proyección transversal de MERCATOR. ................................................................................ 20 Figura 9: Vista frontal de la intersección entre un elipsoide de revolución y un cilindro transversal. ................................................................................................................................................................ 21 Figura 10: Factor de escala y valor del mismo según su ubicación.................................................... 22 Figura 11: Factor de escala y valores máximos del factor de escala. ................................................ 23 Figura 12: Zonas de influencia en el elipsoide de referencia. ............................................................. 24 Figura 13: zonas de Influencia en el Perú............................................................................................. 25 Figura 14: Radio de Curvatura del meridiano para el punto "P"........................................................ 26 Figura 15: radio de curvatura de la primera vertical en el punto "P". ............................................... 27 Figura 16: Análisis del Factor de Escala. .............................................................................................. 28 Figura 17: Cálculo del factor de escala con el programa Geo uní 2015............................................. 29 Figura 18: Propiedades fundamentales del elipsoide. ........................................................................ 30 Figura 19: transformación de coordenadas UTM a Geodésicas. ....................................................... 33 Figura 20: Transformación de coordenadas Geodésicas a UTM. ....................................................... 35 Figura 21: Transformación de Coordenadas Geodésicas a Cartesianas. ........................................... 36 Figura 22: Distancia de cuadricula entre dos puntos. ......................................................................... 37 Figura 23: Longitud de cuadricula. ....................................................................................................... 37 Figura 24: Longitud Geodésica y de Cuadricula. ................................................................................. 38 Figura 25: Factor de Elevación para 2 Puntos. .................................................................................... 39 Figura 26: Distancia Geodésica. ........................................................................................................... 40 Figura 27: Distancia Topográfica.......................................................................................................... 40 Figura 28: Cálculo del Factor de elevación. ......................................................................................... 41 Figura 29: Azimut entre dos puntos. .................................................................................................... 42 Figura 30: Plano topográfico tangente al Meridiano Geográfico. ..................................................... 43 Figura 31: Norte de cuadricula. ............................................................................................................ 43 Figura 32: Diferencia entre Norte Geográfico y de Cuadricula. ......................................................... 44 Figura 33: Azimut Plano. ....................................................................................................................... 45 Figura 34: Azimut Geodésico Proyectado. ........................................................................................... 46 Figura 35: Corrección por Curvatura. ................................................................................................... 46 Figura 36: Azimut Geográfico Verdadero. ........................................................................................... 47 Figura 37: Cálculo del Azimut de Cuadricula, Azimut Proyectado y Azimut Verdadero. .................. 48 Figura 38: cálculo de Coordenadas Topográficas a partir de las coordenadas UTM. ...................... 49 Figura 39: Primer Circuito de trabajo. .................................................................................................. 52 Figura 40: Segundo Circuito de trabajo................................................................................................ 53 Figura 41: Tercer Circuito de trabajo.................................................................................................... 54 Figura 42: Cuarto Circuito de trabajo................................................................................................... 55 Figura 43: Diagrama de Flujo resumen para transformación de Coordenadas UTM a Topográficas. ................................................................................................................................................................ 58

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 44: Comportamiento del proceso iterativo utilizado en el programa informatico desarrollado para el presente trabajo, con un K < 1. .......................................................................... 61 Figura 45: Comportamiento del proceso iterativo utilizado en el programa informatico considerando una corrección por curvatura nula y un K < 1. ............................................................. 62 Figura 46: Comportamiento del proceso iterativo utilizado en el programa informático analizando las diferencias entre las coordenadas UTM y topográficas del punto B con un K < 1. ..................... 64 Figura 47: Comportamiento del proceso iterativo utilizado en el programa informático considerando una corrección por curvatura nula y un K > 1. ............................................................. 65 Figura 48: Comportamiento del proceso iterativo utilizado en el programa informático analizando las diferencias entre las coordenadas UTM y topográficas del punto B con un K > 1. ..................... 67 Figura 49: Diagrama de Flujo resumen para transformación de Coordenadas Topográficas a UTM. ................................................................................................................................................................ 68 Figura 50: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 1 sin una transformación previa................... 71 Figura 51: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 1 con una transformación previa. ................ 72 Figura 52: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 2 con una transformación previa. ................ 74 Figura 53: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 3 con una transformación previa. ................ 74 Figura 54: Puntos topográficos detallados (UTM ZONA 18 SUR-WGS 84). ...................................... 76 Figura 55: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 4 con una transformación previa de las longitudes............................................................................................................................................... 80 Figura 56: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 4 sin una transformación previa................... 82

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ÍNDICE DE TABLAS

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Propiedades del elipsoide. ...................................................................................................... 15 Tabla 2: Parámetros del Elipsoide WGS84........................................................................................... 30 Tabla 3: Parámetros elementales en la transformación de coordenadas UTM a Geodésicas......... 31 Tabla 4: Fórmulas para el cálculo de la Latitud................................................................................... 31 Tabla 5: Fórmulas para el cálculo de la longitud................................................................................. 32 Tabla 6: Fórmulas para el cálculo del Este a partir de las coordenadas geodésicas. ....................... 34 Tabla 7: Fórmulas para el cálculo del Norte a partir de las coordenadas geodésicas...................... 34 Tabla 8: Fórmulas para la transformación de coordenadas Geodésicas a UTM. ............................. 35 Tabla 9: Fórmulas para la Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas. ................. 36 Tabla 10: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control del Circuito 1. .................... 51 Tabla 11: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control del Circuito 2. .................... 52 Tabla 12: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control de Circuito 3. ..................... 53 Tabla 13: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control de Circuito 4 . .................... 55 Tabla 14: Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas para el circuito 1......................... 70 Tabla 15: Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas tomando como punto de referencia el punto PB 65 en el Circuito 2. ........................................................................................... 73 Tabla 16: Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas tomando como punto de referencia el punto PB 65 en el Circuito 3. ........................................................................................... 73 Tabla 17: Puntos GPS utilizados en el trabajo (UTM Zona 18 SUR – WGS84)................................... 75 Tabla 18: Puntos de control GPS (UTM Zona 18 SUR – WGS84). ....................................................... 75 Tabla 19: Relación de longitudes y ángulos topográficos utilizados en el trabajo. .......................... 77 Tabla 20: Coordenadas topográficas orientadas a las coordenadas base A y B............................... 77 Tabla 21: Coordenadas UTM generadas a partir de las coordenadas topográficas dato................ 78 Tabla 22: Análisis de las coordenadas UTM calculadas y reales........................................................ 78 Tabla 23: Cálculos de factores combinados para el Circuito 4. .......................................................... 79 Tabla 24: Cálculos de distancias UTM para el circuito 4..................................................................... 79 Tabla 25: Coordenadas obtenidas mediante GPS satélites para el circuito 4. .................................. 81 Tabla 26: Comparación entre coordenadas calculadas y Obtenidas mediante GPS. ....................... 81 Tabla 27: Corrección de errores para datos calculados mediante iteraciones sucesivas. ................ 83 Tabla 28: Errores relativos en las coordenadas corregidas finales. ................................................... 83

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA INTRODUCCIÓN

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INTRODUCCIÓN A

la

actualidad

los

trabajos

de

ingeniería

de

gran

envergadura,

independientemente de su extensión, necesitan ser referenciados mediante hitos inamovibles los cuales a su vez se encuentran espacialmente referenciados mediante sus respectivas coordenadas: norte, este y Cota; en un determinado Datum, el cual por lo general suele ser el Geoide WGS84. Debido a que el método para la obtención de las coordenadas de los hitos, puntos de control, se realiza mediante la utilización de un GPS diferencial de alta precisión, estos puntos de control serán entregados en coordenadas UTM más no en coordenadas topográficas, que son las utilizadas en campo. En este sentido, el replanteo de estas coordenadas en un plano topográfico presentará errores que depende, entre otros factores, de la distancia de separación entre los puntos de control y los puntos topográficos. No obstante, mientras más corta es la distancia entre los puntos de control menores serán las diferencias entre las coordenadas UTM y topográficas. En tal sentido, muchos trabajos de ingeniería colocan puntos de control separados por distancias menores a 1km para intentar de esta manera mitigar los errores generados por la diferencia entre ambos tipos de coordenadas, topográficas y UTM. Es intensión de este trabajo de investigación demostrar que aunque las distancias sean relativamente pequeñas, menores a 1 km, se generan errores mayores a los permitidos en las poligonales de control topográficas utilizadas para verificar la calidad de los trabajos en campo. Para demostrar lo antes dicho, se utilizaron programas elaborados y calibrados por el Tesista y su Asesor, donde mediante datos tomados de una carretera en el interior del país se intenta comprobar esta premisa; además se determinaron métodos para calcular las coordenadas UTM a partir de coordenadas Topográficas, los cuales fueron calibrados y evaluados en campo, demostrando así que es posible encontrar las coordenadas UTM a partir de las coordenadas Topográficas, demostrando además que a partir de un punto Topográfico se genera una sola coordenada UTM y viceversa.

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CAPÍTULO 1: GENERALIDADES

CAPÍTULO I: GENERALIDADES

1.1 ANT EC ED ENTES Desde los orígenes de la civilización la humanidad ha tratado de entender su entorno, siendo encontrar la forma de la Tierra y su lugar en el universo una de las primeras y más importantes preguntas para los antiguos pensadores del mundo. En las primeras religiones se creía que el mundo era plano y éste se encontraba soportado por el lomo de elefantes, los cuales se encontraban a su vez sobre el lomo de una tortuga que viajaba por el universo alrededor de los astros, esta premisa fue el punto de partida para algunos griegos como Tales de Mileto; mientras que Pitágoras y Aristóteles, entre otros, apostaban por una Tierra de forma esférica.

Eratóstenes de Alejandría (276-195 a.C) quien bajo la suposición de una Tierra esférica dedujo por mediciones un radio para la Tierra, teniendo como datos la distancia entre las ciudades de Alejandría y Siena y el ángulo formado por los rayos del Sol. Obteniendo como resultado un total de 6270 km valor que discrepa de la realidad por -2%.

Por su parte la Academia de Ciencias, fundada en París en 1666, asumió en los siglos diecisiete y dieciocho el liderazgo en geodesia. Obteniendo un error en el cálculo del radio de la Tierra de +0.01%. Este valor sirvió a Isaac Newton (16431727) para verificar su ley del inverso del cuadrado de la gravitación formulada en 1665.

El astrónomo Jean Richter (1630-1696) descubrió en 1672, que los periodos de oscilación de un péndulo dependían del lugar geográfico en el cual se tomaban las mediciones. De esta observación se pudo concluir que existe una diferencia en la fuerza de gravedad entre el ecuador y los polos. Basándose en estos trabajos y en los suyos propios Isaac Newton y Christian Huygens (1629-1695) desarrollaron modelos terrestres.

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CAPÍTULO 1: GENERALIDADES

Newton, planteó un elipsoide de revolución achatado en los polos como modelo terrestre; frente a este planteamiento el matemático y astrónomo Philippe de la Hire (1640-1718) junto al astrónomo y geógrafo Jacques Cassini (1677-1756) plantean un modelo para la Tierra achatamiento en el ecuador, vale decir que dicho modelo fue descartado en 1756.

Personas de todo el mundo buscaron durante mucho tiempo el elipsoide que más se aproximase a la forma de la Tierra, siendo esto imposible por las irregularidades que ésta presenta. Pero gracias a los aportes del renombrado geodesta y matemático alemán Friedrich Robert Helmert (1843 -1917) y su presentación de los fundamentos para desarrollar un modelo de determinación del geoide se produce la transición al concepto actual de la figura de la Tierra.

La determinación del geoide fue por cerca de 70 años (1880-1950) la meta principal de la geodesia, su importancia disminuyó después de 1945 con el desarrollo de métodos para la derivación directa de la superficie física de la Tierra, sin embargo, su determinación aún permanece como un problema esencial de la geodesia.

En 1909 el eminente geodesta John Fillmore Hayford (1869 -1925) publicó los resultados para un elipsoide con DATUM en EEUU. En el año 1924 la asamblea General de la Asociación Internacional de Geodesia, celebrada en Madrid, adopto este elipsoide pasando a formar parte de las “Constantes Internacionales de 1927”.

La investigación geodésica dio, por parte de las potencias mundiales de esta época, aparición a diferentes elipsoides, donde cada uno obedecía a las conveniencias económicas y militares del país de origen, esto originó que antes de 1940 cada país técnicamente avanzado desarrolle su propio sistema geodésico local.

Actualmente el sistema de referencia utilizado en gran parte del mundo, incluido el Perú, es el WGS84. Esto debido en gran medida a que éste es el sistema al que viene referido el Sistema de Posicionamiento Global (G.P.S).

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CAPÍTULO 1: GENERALIDADES

1.2 JU ST IFIC AC IÓN En estructuras lineales de gran longitud, es imprescindible utilizar la transformación de coordenadas UTM a topográficas previo al proceso de replanteo.

Si bien existen diversos programas que generan dicha transformación, la carencia de conocimiento referente al tema y el poco nivel de instrucción del mismo, trae como consecuencia diferentes resultados para diferentes operadores.

El presente proyecto de investigación pretende generar un protocolo universal materializado en el uso de los programas GEOUNI2015 Y SISTRAUT, de manera que permita la obtención del mismo resultado para diferentes operadores. 1.3 PLANTEA MIENTO D EL PROBLEMA El obtener diferentes resultados bajo los mismos datos iniciales, genera replanteos erróneos que en muchos casos afectan predios vecinos al proyecto.

Pues un mal replanteo genera además de una traslación de los puntos del proyecto, una rotación de los mismos. 1.4 D EFIN IC IÓN D E LOS OBJET IVOS 1.4.1 Objeti vo principal Generar un método que permita transformar coordenadas UTM a topográficas y viceversa a efectos de obtener puntos replanteados con precisión y exactitud. 1.4.2 Objeti vos específi cos a) Replanteo de coordenadas UTM a topográficas cuando las distancias de separación entre puntos GPS sea como máximo 5 km. b) Replanteo de coordenadas topográficas a UTM cuando las distancias de separación entre puntos GPS sea como máximo 1 km

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO

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CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO 2.1 C ONC EPTOS FUNDA MENTALES 2.1.1 Su perficie topográfica Es el relieve terrestre, con sus montañas, valles y otras formas terrestres continentales y marítimos, como se puede observar en la Figura 1, la cual muestra una carretera sobre una zona de montaña.

Figura 1: Superficie Topográfica. Fuente: Fotografía Propia (2016). Carretera Ancash. Perú

2.1.2 Geoi de La Figura 2 muestra una representación tridimensional del Geoide, el cual tiene diversas definiciones según la institución que la defina; sin embargo la definición que se usará para el presente trabajo es la propuesta por el Instituto Geógrafo Nacional: “Geoide.- Es la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre que mejor se ajusta al nivel medio del mar sin perturbaciones y que es perpendicular en todos sus puntos a la dirección de la gravedad y que se extiende de manera continua por debajo de los continentes. Es la superficie de nivel, equipotencial en el campo de la gravedad, que adopta la forma de esferoide irregular tridimensional. “

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Figura 2: Geoide. Fuente: http://definicion.de/geoide/

2.1.3 Elipsoi de de revoluci ón Es un volumen geométrico que proviene de una elipse que gira alrededor de su eje menor, la Figura 3 muestra un elipsoide de revolución, así como sus principales elementos mientras la Tabla 1 muestra los parámetros fundamentales del elipsoide, así como sus principales relaciones:

Figura 3: Elipse. Fuente: Jorge Mendoza Dueñas (2017). Topografías Técnicas Modernas, Página 568, Lima Perú, Editorial Maraucano E.I.R.L

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Tabla 1: Propiedades del elipsoide.

𝒇𝒇 =

Achatamiento

Primera excentricidad

𝑒𝑒 =

Segunda excentricidad

𝑒𝑒´ =

𝒂𝒂 − 𝒃𝒃 𝒂𝒂

𝑂𝑂𝑂𝑂1 √𝑎𝑎 2 − 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎

𝑂𝑂𝑂𝑂1 √𝑎𝑎 2 − 𝑏𝑏2 = 𝑏𝑏 𝑏𝑏

𝒇𝒇 = 𝑒𝑒 2 = 𝑒𝑒´2 =

𝒂𝒂 − 𝒃𝒃 𝒂𝒂

𝑎𝑎 2 − 𝑏𝑏2 𝑎𝑎

𝑎𝑎 2 − 𝑏𝑏2 𝑏𝑏

( 1)

(2)

(3)

Fuente: Jorge del Río San José (2010) -Introducción al tratamiento de datos espaciales en hidrología. Disponible en https://books.google.com.pe/books?id=87BeTf_cWS8C

2.1.4 Altura Ortométrica (H) Es la separación vertical entre el geoide y la superficie topográfica 2.1.5 Altura Eli psoidal (h) Es la separación vertical entre el elipsoide y la superficie topográfica. 2.1.6 On dulación Geoidal (N) Es la diferencia vertical entre la altura ortométrica y la elipsoidal; la Figura 4 muestra los diferentes tipos de altura estudiados.

Figura 4: Altura elipsoidal y ortométrica. Fuente: Jorge del Río San José (2010) -Introducción al tratamiento de datos espaciales en hidrología, figura mejorada para el presente trabajo. Disponible en https://books.google.com.pe/books?id=87BeTf_cWS8C

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2.1.7 Sist ema de referencia La posición de un punto puede quedar definida dependiendo del tipo de sistema elegido, así como de los objetivos que se persigue, en tal sentido distinguiremos dos sistemas genéricos. •

El sistema de referencia terrestre; el cual se considera fijo a la Tierra y se utiliza para determinar las coordenadas de puntos sobre la superficie terrestre o sus proximidades, tal como los satélites artificiales que distan en promedio 20000 Km.

•

El sistema de referencia espacial; tal como su nombre lo indica, se encuentra fijo al espacio, lo cual lo convierte en un sistema inercial (libre de aceleración) donde los cálculos Newtonianos son totalmente permitidos, este sistema es el apropiado para analizar el movimiento de cuerpos externos a la Tierra, tales como los planetas, estrellas, etc.

2.1.8 Sist ema astronómico gl obal Está constituido por un sistema cartesiano tridimensional, como se aprecia en la Figura 5, el cual cumple con las siguientes características: •

El origen es el centro de masa de la totalidad de la Tierra, incluyendo los océanos y la atmósfera (geocentro).

•

El eje “z”, pasa por el eje de rotación de la Tierra.

•

El Ecuador es un plano perpendicular al eje de rotación y divide a la Tierra en dos zonas: Hemisferio Norte y Sur

•

La intersección del meridiano internacional de referencia y el Ecuador (A), forma con el punto “o”, el eje “x”.

•

El eje “Y” se forma en el Ecuador y parte del punto “O” perpendicular al eje “X” obedeciendo la regla de la mano derecha.

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Figura 5: Sistema Astronómico Global. Fuente: Jorge Mendoza Dueñas (2017). Topografías Técnicas Modernas, Página 592, Lima Perú, Editorial Maraucano E.I.R.L

2.1.9 Sist ema eli psoi dal global Consiste en un caso mejorado del sistema astronómico global. Así pues, como se observa en la Figura 6, la posición de un punto “P” quedará definida por sus tres coordenadas. •

Latitud geodésica (ϕ)

•

Longitud geodésica (λ)

•

Altura elipsoidal (h)

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Figura 6: Sistema Elipsoidal Global. Fuente: Jorge Mendoza Dueñas (2017). Topografías Técnicas Modernas, Página 594, Lima Perú, Editorial Maraucano E.I.R.L

2.1.10 Proyecci ones cart ográficas Proyección cartográfica es la representación de la superficie elipsoidal en un plano. Es imposible llevar a cabo la proyección cartográfica sin evitar la presencia de algunos tipos de distorsiones. Sin embargo, se han elaborado proyecciones que mantienen alguna propiedad de la superficie elipsoidal “sin distorsión” a costa de distorsionar las otras propiedades; ello obedece al objetivo que se persigue.

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2.2 PROPIEDAD ES D E LAS PR OYECC ION ES CARTOGRÁFICA S 2.2.1 Proyecci ón equidistante Tiene la cualidad de mantener la distancia real entre dos puntos situados sobre la superficie del Elipsoide. No obstante, es necesario aclarar que no es posible generar una proyección que conserve la distancia en todas las direcciones para todos los puntos del mapa. En realidad la mayoría de las proyecciones cumple el principio de equidistancia para algunas líneas o puntos. Por ejemplo, en la proyección de Mercator, la equidistancia se presenta en el Ecuador. 2.2.2 Proyecci ón conforme Tiene la cualidad de conservar los ángulos formados por dos líneas, tanto en el elipsoide como en el plano cartográfico; sin embargo es importante puntualizar que no existe ninguna proyección conforme que mantenga dicha propiedad en todo el elipsoide. Este tipo de proyecciones conserva la forma de las figuras, pero no el tamaño de éstas. Por último, es preciso acotar que una proyección conforme, se refiere a la conservación de ángulo, no de azimuts o rumbos. La proyección de Mercator es un ejemplo de esta propiedad; en el elipsoide, los paralelos y meridianos se cortan perpendicularmente; en el plano cartográfico proyectado conservan dicho ángulo perpendicular. 2.2.3 Proyecci ón equivalente Tiene la propiedad de conservar la superficie (área) del elipsoide en el plano proyectado, a costa de distorsionar la forma de las figuras. Un ejemplo típico de ello está representado por la proyección cilindra equivalente, en el cual los puntos del elipsoide se proyectan paralelo al ecuador.

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2.3 PROYECC ION ES C ILÍNDR ICA S 2.3.1 Proyecci ón de MERCATOR Consiste en circunscribir un cilindro hueco al elipsoide de referencia, tangente al plano Ecuatorial. El eje de cilindro es coincidente con el eje de rotación de la Tierra; la Figura 7 muestra distintos tipos de proyecciones.

Figura 7: Proyección de Mercator. Fuente: Jorge Mendoza Dueñas (2017). Topografías Técnicas Modernas, Página 603, Lima Perú, Editorial Maraucano E.I.R.L

2.3.2 Proyecci ón t ransversal de MERCATOR Consiste en circunscribir un cilindro hueco a un elipsoide, tangente a un Meridiano (meridiano origen), el eje del cilindro es transversal (perpendicular) al eje de la Tierra, la Figura 8 muestra dicha proyección así como su desarrollo.

Figura 8: Proyección transversal de MERCATOR. Fuente: Sánchez Menéndez, F. (2009). Geodesia Y Cartografía: Los Conceptos y su Aplicación Práctica. Disponible en https://books.google.com.pe/books?id=dlUurxOj4A8C

La proyección Transversal de Mercator, por convención, es aplicable solo a ángulos menores de 3 grados sexagesimales medidos desde su meridiano central, generando así un total de 60 husos (zonas) de 6 grados cada uno, donde el

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meridiano de partida es el Antimeridiano de Greenwich ubicado al lado opuesto del Meridiano de Greenwich en el geoide de referencia. El Perú se encuentra en las zonas 17,18 y 19. 2.3.3 Proyecci ón Universal Transversal de MERCATOR (UTM) Es un sistema similar a la proyección transversal de MERCATOR, como se observa en la Figura 9, la diferencia radica en que el cilindro transversal al eje de rotación de la Tierra, corta al elipsoide de forma secante a lo largo de dos elipses (líneas estándar) paralelas al meridiano central.

Figura 9: Vista frontal de la intersección entre un elipsoide de revolución y un cilindro transversal. Fuente: Sánchez Menéndez, F. (2009). Geodesia Y Cartografía: Los Conceptos y su Aplicación Práctica. Disponible en https://books.google.com.pe/books?id=dlUurxOj4A8C

2.3.4 FACTOR D E ESCALA ( K ESCA LA) Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el elipsoide de referencia sobre el plano cartográfico. Lp = KEscalaxLo • • •

(4)

Lp: Longitud Proyectada al plano cartográfico

Lo: Longitud media en el elipsoide de referencia

Kescala: Longitud media en el elipsoide de referencia

Este puede ser mayor menor o igual a 1 dependiendo de la posición el donde se encuentre el punto en análisis, las Figuras 10 y 11 muestran la variación del Factor de Escala sobre la proyección del elipsoide.

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Figura 10: Factor de escala y valor del mismo según su ubicación. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Figura 11: Factor de escala y valores máximos del factor de escala. Fuente: Fernández Coppel, I. (2013). Las Coordenadas Geográficas y las Proyecciones UTM, Universidad de Valladolid, España.

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Esta proyección tiene valides entre las latitudes 84° Norte y 80° Sur. En áreas polares no es conveniente el uso de estas coordenadas, debido a que a medida que los paralelos se van separando las latitudes crecen. Esta proyección al igual que la Proyección de Mercator tiene 60 zonas de 6 grados sexagesimales cada una, como se aprecia en la Figura 12, donde el Perú ocupa las zonas 17,18 y 19; las cuales se pueden observar el la Figura 13.

Figura 12: Zonas de influencia en el elipsoide de referencia. Fuente: Daza Vásquez, L. (2004). Informe de Suficiencia: Aplicaciones de Navegadores GPS en la Ingeniería, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Figura 13: zonas de Influencia en el Perú. Fuente: Daza Vásquez, L. (2004). Informe de Suficiencia: Aplicaciones de Navegadores GPS en la Ingeniería, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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2.4 ANÁ LISIS D EL FACTOR D E ESC ALA 2.4.1 Radio de curvatura del meri diano en el punto “ P” ( ρ ) : Z GEOD ÉSI CO

= 0°

Es el radio correspondiente al círculo tangente al meridiano que pasa por “P” en dicho punto, esta variable se observa en la Figura 14.

Figura 14: Radio de Curvatura del meridiano para el punto "P". Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Así pues, la latitud geodésica Φ, es el ángulo limitado por la normal ρ con el plano ecuatorial. ρ=

a(1 − e2 ) (1 − e2 . sen2 ɸ)1.5

(5)

2.4.2 Radio de curvatura de la pri mera vertical en el punto “ P” ( GRAN NORMA L N) : Z GEOD ÉSIC O=90° Es el radio correspondiente al círculo tangente al plano perpendicular a la sección meridiana que pasa por “P” en dicho punto, esta variable se observa en la Figura 15.

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N

Figura 15: radio de curvatura de la primera vertical en el punto "P". Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

N=

a

(1 − e2 . sen2 ɸ)0.5

(6)

2.4.3 Radio medi o de curvatura ( r) En cálculos geodésicos, se suele usar el radio medio de curvatura, el cual se define como la media geométrica de ρ y N respecto al punto en mención, ecuaciones 6 y 7. r = �ρ. N

(7)

2.4.4 Análisis del f act or de escala en un punto (K escala) Llamado también módulo de anamorfosis lineal puntual, este factor permite proyectar un diferencial de longitud en torno al punto en estudio sobre el plano cartográfico. En realidad, en un ámbito general, dicho factor depende de la ubicación del mismo y de la dirección en el cual se quiere proyectar; sin embargo, en una proyección conforme el factor de escala es independiente de la dirección, la Figura 16 muestra una representación gráfica de dicha proyección.

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Figura 16: Análisis del Factor de Escala. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Propiedades de las Proyecciones Cartográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

k=

ds ds´

ds´ = �dx 2 + dy 2

Dónde:

ds = �ρ2 . dɸ2 + (N. cosɸ)2. dλ2

•

ρ: Radio de curvatura del meridiano en el punto A.

•

N: Radio de la gran normal en “A”

•

ɸ: Latitud geodésica en A

(8)

(9)

(10)

Para una proyección cartográfica UTM, el factor de escala puede estar expresado del siguiente modo:

Dónde:

K = K0 . [1 + P. q2 + 0.00003. q4 ]

(11)

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q = 0.000001 X

X = |500 000 − Este| P=�

1 + e´2 . cos 2 ɸ 2. N 2 . k 0 2

�. 1012

•

e´2 : Cuadrado de segunda excentricidad.

•

N: Radio de la gran normal en “A”.

•

Ko: Factor de escala en el Meridiano Central = 0.9996

•

ɸ: Latitud Geodésica en A.

(12) (13)

(14)

Ejemplo: Calcular el factor de escala para el siguiente punto: ɸ=-12°07´30.23´´, λ=-76°57´35.63´´, h=0.

Figura 17: Cálculo del factor de escala con el programa Geo uní 2015. Fuente: Elaboración Propia La Figura 17 muestra la interfaz del IÓN programa el cual fue elaborado 2.5 TRAN SFOR MAC D GeoUni2015, E C OORD ENADA S y diseñado por Vittorio Aparicio Ramírez con la asesoría del Ing. Jorge Mendoza Dueñas, con fin académico para la presente Tesis y posteriores. Fue calibrado con tablas en Excel

2.5.1 Transf ormaci ón de coordenadas UTM a Geodésicas Los datos necesarios para la transformación de coordenadas UTM a Geodésicas son: Norte, Este, Zona y Elipsoide de referencia.

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Para el presente proyecto se usará el Datum WGS84 como referencia para todos los cálculos. La Figura 18, muestra las principales relaciones a emplearse durante los cálculos y la Tabla 2 los principales parámetros del Elipsoide WGS 84 así como las tablas de la 3 a la 5 muestran los parámetros a utilizar en la transformación de coordenadas UTM a Geodésicas.

Figura 18: Propiedades fundamentales del elipsoide. Fuente: Jorge del Río San José (2010) -Introducción al tratamiento de datos espaciales en hidrología. Disponible en https://books.google.com.pe/books?id=87BeTf_cWS8C

Tabla 2: Parámetros del Elipsoide WGS84

Parámetro

Elipsoide WGS84

a

6378137

b

6356752.314

𝒆𝒆𝟐𝟐

0.00669438 0.006739497

c

6399593.626

𝒆𝒆´𝟐𝟐

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Propiedades de las Proyecciones Cartográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Cálculo de Parámetros Elementales: Tabla 3: Parámetros elementales en la transformación de coordenadas UTM a Geodésicas.

𝐚𝐚

𝐍𝐍𝟏𝟏 =

�𝟏𝟏 − 𝐞𝐞𝟐𝟐 . 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 𝛟𝛟𝟏𝟏 𝐚𝐚

𝐑𝐑 𝟏𝟏 =

�𝟏𝟏 − 𝐞𝐞𝟐𝟐 . 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 𝛟𝛟𝟏𝟏

𝐞𝐞𝟏𝟏 =

𝟏𝟏 − (𝟏𝟏 − 𝐞𝐞𝟐𝟐 )𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝟏𝟏 + (𝟏𝟏 − 𝐞𝐞𝟐𝟐 )𝟎𝟎.𝟓𝟓

𝐓𝐓𝟏𝟏 = 𝐭𝐭𝐭𝐭 𝟐𝟐 𝛟𝛟𝟏𝟏

𝐂𝐂𝟏𝟏 = 𝐞𝐞´𝟐𝟐 . 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐 𝛟𝛟𝟏𝟏

(15)

D1 =

(17)

M1 =

(19)

(21)

(16)

Este − 500 000 0.9996

(18)

Norte − 10 000 000 0.9996

(20)

M1 (22) e2 3. e4 5. e6 a(1 − − − ) 4 64 256 donde 𝑒𝑒2 es el cuadrado de la primera excentricidad µ=

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Cálculo de 𝝓𝝓𝟏𝟏 (Radianes):

ϕ1 = µ + �

3. e1 27. e1 3 21.e1 2 55. e1 4 151. e1 3 1097. e1 4 − �. sen2µ + � − � . sen 4µ + � � . sen 6µ + � �. sen 8µ 2 2 16 32 96 512

Cálculo de la altitud ɸ (Radianes) Tabla 4: Fórmulas para el cálculo de la Latitud. 𝐒𝐒 = �𝟔𝟔𝟔𝟔 + 𝟗𝟗𝟗𝟗. 𝐓𝐓𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝐂𝐂𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝐓𝐓𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝐞𝐞´𝟐𝟐 𝐃𝐃𝟔𝟔 − 𝟑𝟑. 𝐂𝐂𝟏𝟏 �. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝟐𝟐

𝐐𝐐 = −�𝟓𝟓 + 𝟑𝟑. 𝐓𝐓𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝐂𝐂𝟏𝟏 − 𝟒𝟒. 𝐂𝐂𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝟗𝟗. 𝐞𝐞´𝟐𝟐 �.

𝐃𝐃𝟒𝟒 𝟐𝟐𝟐𝟐

(24)

(26)

ɸ = ɸ𝟏𝟏 + 𝜟𝜟𝜟𝜟

𝐏𝐏 = Δϕ = −

𝐃𝐃𝟐𝟐 𝟐𝟐

N1 + tg ϕ1 (P + Q + S) R1

(25)

(27) (28)

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Cálculo de la Longitud λ

Cálculo de λ0 (Grados sexagesimales) λ0 = 𝑃𝑃. 6 − 183°

(29)

Cálculo de Δ λ (Radianes) Tabla 5: Fórmulas para el cálculo de la longitud.

𝐉𝐉𝐉𝐉 = 𝐃𝐃𝟏𝟏 − (𝟏𝟏 + 𝟐𝟐 𝐓𝐓𝟏𝟏 + 𝐂𝐂𝟏𝟏 ).

𝐃𝐃𝟑𝟑 𝟔𝟔

(30)

𝐗𝐗𝐗𝐗 = �𝟓𝟓 − 𝟐𝟐. 𝐂𝐂𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝐓𝐓𝟏𝟏 − 𝟑𝟑. 𝐂𝐂𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝟖𝟖. 𝐞𝐞´𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝐓𝐓𝟏𝟏 �.

𝐉𝐉𝐉𝐉 + 𝐗𝐗𝐗𝐗 𝚫𝚫𝚫𝚫 = � � 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 ɸ𝟏𝟏

𝐃𝐃𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

(31) (32)

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Cálculo de λ (Grados Sexagesimales)

Ejemplo:

𝛥𝛥λ. 180° λ = λ0 + � � 𝜋𝜋

(33)

El punto “A” tiene las siguientes coordenadas UTM: N= 8,658,850.43 m, E= 286,707.91 m, Zona 18 S (sur), Datum WGS84; la respuesta se muestra en la Figura 19.

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Figura 19: transformación de coordenadas UTM a Geodésicas. Fuente: Elaboración Propia

2.5.2 Transf ormaci ón de C oordenadas Geodésicas a UTM Los datos necesarios para la transformación de coordenadas son: Latitud geodésica, longitud geodésica y geoide de referencia, las tablas 6 y 7 muestran las fórmulas utilizadas para la transformación de coordenadas geodésicas a UTM. Cálculo de la Zona Sea:

P=Zona. λ P = Truncar � + 31� 6

(34)

Cálculo del meridiano central λ0

λ0 = P. 6 − 183° Grados Sexagesimales

(35)

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Cálculo de Δ λ Δ λ = λ − λ0

(36)

Cálculo de E (Este)

Tabla 6: Fórmulas para el cálculo del Este a partir de las coordenadas geodésicas. 𝐭𝐭 = 𝐭𝐭𝐭𝐭ɸ

𝐍𝐍 =

(37)

𝐧𝐧𝟐𝟐 = 𝐞𝐞´𝟐𝟐 . 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐 ɸ

(39)

𝐚𝐚

�𝟏𝟏 − 𝐞𝐞𝟐𝟐 . 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐 ɸ

E´ = ( Δ λ.cos ɸ)N +

= 𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂 𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍𝐍

(Δ λ. cos ɸ)3 . N(1 − t 2 + n2 )

𝐄𝐄 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟔𝟔 . 𝐄𝐄´

6

+

(38)

(Δ λ. cos ɸ)5 .N(5 − 18. t 2 + t 4) 120

(41)

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Geodésicas a UTM, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Cálculo del N (Norte) Tabla 7: Fórmulas para el cálculo del Norte a partir de las coordenadas geodésicas. 𝐀𝐀 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 − 𝐀𝐀 𝟐𝟐 =

𝐍𝐍´ = 𝐀𝐀𝐀𝐀 +

𝐞𝐞𝟐𝟐 𝟑𝟑. 𝐞𝐞𝟒𝟒 𝟓𝟓. 𝐞𝐞𝟔𝟔 − − 𝟒𝟒 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

(42)

𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝐞𝐞𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝐞𝐞𝟔𝟔 �𝐞𝐞 + + � 𝟖𝟖 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

𝐀𝐀 𝟒𝟒 =

(44)

𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑. 𝐞𝐞𝟔𝟔 �𝐞𝐞𝟒𝟒 + � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒

A6 =

𝐀𝐀𝐀𝐀 = 𝐚𝐚. (𝐀𝐀 𝟎𝟎. ɸ − 𝐀𝐀 𝟐𝟐 .𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟐𝟐ɸ + 𝐀𝐀 𝟒𝟒. 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟒𝟒ɸ − 𝐀𝐀 𝟔𝟔 . 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟔𝟔ɸ)

(43)

35 6 e 3072

(45) (46)

(𝚫𝚫 𝛌𝛌. 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 ɸ)𝟐𝟐 . 𝐍𝐍. 𝐭𝐭 (𝚫𝚫 𝛌𝛌. 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 ɸ)𝟒𝟒 . 𝐍𝐍. 𝐭𝐭. (𝟓𝟓 − 𝐭𝐭 𝟐𝟐 + 𝟗𝟗𝐧𝐧𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝐧𝐧𝟒𝟒) (𝚫𝚫 𝛌𝛌. 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜ɸ)𝟔𝟔 . 𝐍𝐍. 𝐭𝐭. (𝟔𝟔𝟔𝟔 − 𝟓𝟓𝟓𝟓𝐭𝐭 𝟐𝟐 + 𝐭𝐭 𝟒𝟒 ) + + 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝐍𝐍 = 𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝐍𝐍´

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Geodésicas a UTM, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Ejemplo: Transformar las coordenadas geodésicas del punto A a UTM: ɸ=-12°07´30.23´´, λ=-76°57´35.63´´; la respuesta se muestra en la Figura 20.

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(47) (48)

(40)

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Figura 20: Transformación de coordenadas Geodésicas a UTM. Fuente: Elaboración Propia

2.5.3 Transf ormaci ón de C oordenadas Geodésicas a Cartesianas Los datos necesarios para transformar coordenadas geodésicas a cartesianas son: Latitud geodésica, longitud geodésica y altura elipsoidal; las tablas 8 y 9 muestran las fórmulas utilizadas para la transformación de coordenadas geodésicas a cartesianas y de cartesianas a geodésicas respectivamente. Tabla 8: Fórmulas para la transformación de coordenadas Geodésicas a UTM.

𝑋𝑋 = (𝑁𝑁 + ℎ)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ɸ cos 𝜆𝜆

𝒀𝒀 = (𝑵𝑵 + 𝒉𝒉)𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ɸ𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝝀𝝀

(49) (51)

𝒁𝒁 = [𝑵𝑵(𝟏𝟏 − 𝒆𝒆𝟐𝟐 ) + 𝒉𝒉] 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 ɸ 𝑁𝑁 =

(1 −

𝑎𝑎

𝑒𝑒2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 ɸ)0.5

(50) (52)

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Geodésicas a UTM, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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2.5.4 Transf ormaci ón de C oordenadas Cartesianas a Geodési cas Datos de entrada necesarios son coordenadas cartesianas: X, Y, Z. Tabla 9: Fórmulas para la Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas.

𝑷𝑷 = �𝑿𝑿𝟐𝟐 + 𝒀𝒀𝟐𝟐

Ɵ = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂

𝑵𝑵 =

𝒂𝒂

𝒁𝒁. 𝒂𝒂 𝑷𝑷. 𝒃𝒃

�𝟏𝟏 − 𝒆𝒆𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 ɸ

(53) (55) (57)

ɸ = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂

𝒁𝒁 + 𝒆𝒆´𝟐𝟐 .𝒃𝒃. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟑𝟑Ɵ 𝑷𝑷 + 𝒆𝒆𝟐𝟐 . 𝒂𝒂. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝟑𝟑 Ɵ

𝜆𝜆 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

ℎ=

𝑌𝑌 𝑋𝑋

𝑃𝑃 − 𝑁𝑁 cos ɸ

(54) (56) (58)

Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Ejemplo: Transformar con los siguientes datos de coordenadas geodésicas a cartesianas: ɸ=-12°01’18.575’’, λ=-77°02’56.552’’, h=113.124 m. y de coordenadas cartesianas a geodésicas: X=1,398,326.342 m, Y=-6,080,557.502 m, Z=--1,319,787.722 m; la repuesta se muestra en la Figura 21.

Figura 21: Transformación de Coordenadas Geodésicas a Cartesianas. Fuente: Elaboración Propia

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2.6 D IST ANC IA ENTRE D OS PUNTOS 2.6.1 Distancia de Cuadrícula entre A y B Sean A y B; dos puntos ubicados sobre la superficie elipsoidal; cuando estos puntos se proyectan al plano cartográfico, se generan los puntos A’ y B’. La longitud de la línea recta que une dichas proyecciones, toma el nombre de distancia de cuadrícula (Lc), dicha proyección puede ser apreciada en la Figura 22.

Figura 22: Distancia de cuadricula entre dos puntos. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Dado que dicha longitud se desarrolla en un plano; su cálculo está gobernado por la fórmula aplicada al plano cartesiano y – x, como lo muestra la Figura 23.

Figura 23: Longitud de cuadricula. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Dónde: Lc = �(EB − EA) )2 + (NB − NA) )2

(59)

2.6.2 Distancia Geodési ca Es la longitud entre los puntos A y B medida en la superficie del elipsoidal de referencia (Lo) La distancia Geodésica, se puede calcular apoyándonos en el factor de escala de los puntos extremos que limita la mencionada línea, lo cual se puede observar en la Figura 24.

Figura 24: Longitud Geodésica y de Cuadricula. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Para: Kescala = L0 =

ka + kb 2 Lc

Kescala

•

Ka: Factor de escala del punto A

•

Kb: Factor de escala del punto B

•

KEscala: Factor promedio de escala

(60) (61)

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2.6.3 Fact or de el evación (K ELEVAC IÓN) Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el terreno (distancia reducida al horizonte) sobre el elipsoide de referencia. Cuando se realiza la medición de distancia entre dos puntos en el terreno, comúnmente se obtiene como resultado, la distancia geométrica (inclinada) entre ambos puntos; no obstante, la distancia a utilizar en los cálculos debe ser la reducida al horizonte (distancia topográfica); las figura 25, 26 y 27 muestra la relación entre estas variables.

Figura 25: Factor de Elevación para 2 Puntos. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Figura 26: Distancia Geodésica. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Figura 27: Distancia Topográfica. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas Cartesianas a Geodésicas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

Dónde: Lo = Kelevacion x Lt

• • • • • • •

Kelevacion =

R−M R+h

(62) (63)

LT : distancia topográfica entre A y B. Lo : distancia geodésica entre A y B. KELEV. : factor de elevación entre A y B. hA : altura elipsoidal de “A”. hB : altura elipsoidal de “B”. R : radio de curvatura del meridiano correspondiente a la latitud. Promedio de A y B. M : flecha central.

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Ejemplo:

Encontrar el factor de elevación de entre los puntos A y B si se tienen los siguientes datos: Este A= 279,244.93 m, Norte A= 8,653,339.06 m, h A= 101.5 m Este B= 279,061.36 m, Norte B= 8,654,453.37 m, hB= 3.5 m. Si ambos están dentro de la zona 18, hemisferio sur y Datum WGS84; la solución se muestra en la Figura 28.

Figura 28: Cálculo del Factor de elevación. Fuente: Elaboración Propia

2.6.4 Fact or combinado (K) Es el producto proveniente entre el factor de elevación y el factor de escala.

Dónde:

K = Kelevacion x Kescala

•

K: factor combinado entre A y B.

•

Kelevación: factor de elevación entre A y B.

•

Kescala: factor de escala entre A y B.

(64)

El factor combinado K, permite transformar la distancia topográfica existente entre dos puntos a distancia de cuadrícula, directamente:

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𝐿𝐿𝑐𝑐 = 𝐾𝐾. 𝐿𝐿𝑡𝑡

Dónde: •

Lc : longitud de cuadrícula.

•

K : factor combinado.

•

LT: longitud Topográfica.

(65)

2.7 MED IDA D E D IR ECC ION ES La dirección de una línea AB, está determinada por el ángulo horizontal (Ɵ) que forma respecto a un sistema de coordenadas establecidas convencionalmente. Comúnmente la dirección de una línea de referencia se determina mediante el Azimut o Rumbo, donde el azimut es el Angulo horizontal formado por el Norte y la línea de referencia, la Figura 29 ilustra el azimut entre dos puntos.

Ɵ

Figura 29: Azimut entre dos puntos. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

2.7.1 Meri diano Geográfico de un Punto A. (M.G) El M.G. de un punto del elipsoide de referencia, es la elipse que pasa por dicho punto y por los polos norte y sur de dicho elipsoide, la Figura 30 muestra dicho meridiano geográfico para un punto A cualquiera.

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Figura 30: Plano topográfico tangente al Meridiano Geográfico. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

2.7.2 Meri diano de Cuadricula de un Punto A . (M.C) El M.C. de un punto perteneciente al plano cartográfico UTM, es la línea recta que pasa por dicho punto y que es paralela al meridiano central u origen de la zona correspondiente. Hay que recordar que el meridiano central de la zona, es el único elemento que se proyecta sobre el cilindro cartográfico UTM, mediante una línea recta, el mismo se puede apreciar en la Figura 31.

Figura 31: Norte de cuadricula. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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2.7.3 C onvergencia D e Meri dianos ( Ɣ) Es el ángulo plano que forma el norte verdadero (Geográfico) con el norte de cuadrícula en un punto. Dicho ángulo es constante a través del tiempo en dicho punto, este se muestra en la Figura 32.

Figura 32: Diferencia entre Norte Geográfico y de Cuadricula. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

La fórmula que gobierna la convergencia de meridianos en cada punto es:

Dónde:

Tg ɣ = L. t. cosɸ + L3 . t.

(1 + t 3 + 3n2 + 2n4 ) . cosɸ3 3

(66)

L = signo (Este − 500 000). ||λ| − |λo||

(67)

n2 = e´2 . cos 2 ɸ

(69)

t = tgɸ

Ɣ: convergencia de meridianos

(68)

Ɣ, es positiva cuando el norte de cuadrícula se ubica al este del norte geográfico y negativa cuando se encuentra al oeste.

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2.7.4 Azi mut De Cuadricula El azimut de cuadrícula es aquel que se obtiene sobre la proyección del cilindro transversal de Mercator. El Azimut de cuadrícula está compuesto por: 2.7.4.1 Azi mut Plano (t) Es aquel ángulo medido desde el Norte de cuadrícula, en sentido horario hacia la línea recta que une los puntos A y B. Su cálculo obedece a las mismas reglas establecidas en topografía, en la Figura 33 se puede apreciar dicho azimut.

Figura 33: Azimut Plano. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

2.7.4.2 Azi mut geodési co proyectado (T) La línea recta entre los puntos A y B ubicados en el elipsoide; se proyecta en el cilindro transversal de Mercator como una línea curva cóncava hacia el Meridiano Central.

El ángulo medido en sentido horario desde el Norte de cuadrícula hasta la línea tangente en “A”, se le llama Azimut Geodésico proyectado de A, la Figura 34 muestra dicho azimut.

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Figura 34: Azimut Geodésico Proyectado. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

2.7.5 C orrección por Curvatura (T – t) Es la diferencia de los Azimuts de cuadrícula antes expuestos y debe ser aplicado en los lados de partida y llegada de una poligonal Geodésica, la Figura 35 muestra una representación gráfica de dicha variable.

Figura 35: Corrección por Curvatura. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Dónde: (T − t)AB = −ΔN. (2X1 + X 2 ). P. 6.8755. 10−8

(70)

ΔN = NB − NA

(71)

X 2 = |500 000 − E2 |

(73)

X1 = |500 000 − E1 |

P=�

1 + e´2 . cos 2 ɸ 2N 2 .K0 2

� . 1012

•

e’2: cuadrado de la segunda excentricidad.

•

N : radio de curvatura de la primera vertical en el punto “A”.

•

Ko : factor de escala en el Meridiano Central = 0.9996

•

ɸ: latitud Geodésica en el punto A.

(72)

(74)

2.7.6 Azi mut geográfico verdadero ( ZG) La Figura 36 muestra el azimut geográfico de una línea AB, el cual se calcula del siguiente modo: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝑇𝑇 + ɣ

(75)

Figura 36: Azimut Geográfico Verdadero. Fuente: Mendoza Dueñas, J. (2013). Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas, Curso de Geodesia Satelital, Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.

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Ejemplo: Hallar la convergencia de meridianos para el siguiente punto: E= 279,244.93 m, N= 8,653,339.06 m, Zona 18, Hemisferio sur, Datum WGS84. Y hallar el azimut verdadero para los puntos A y B: Ea= 279,244.93 m, Na= 8,653,339.06 m, Eb= 279,061.36 m, Nb= 8,654,453.37 m, Zona 18, hemisferio sur; la respuesta se muestra en la Figura 37.

Figura 37: Cálculo del Azimut de Cuadricula, Azimut Proyectado y Azimut Verdadero. Fuente: Elaboración Propia

2.8 CÁ LCU LO D E COORD ENADA S Para el cálculo de coordenadas topográficas del punto B conociendo las coordenadas UTM de los puntos A de origen y B se hace uso de todos los conceptos anteriores los cuales se resumen en: NB = NA + Lt. cosZg. (AB) EB = EA + Lt. senZg. (AB)

(76) (77)

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Ejemplo: Para los siguientes datos halle las coordenadas topográficas de B tomando como coordenadas topográficas de A las coordenadas UTM de A. Coordenadas UTM, ZONA

18, Punto A: N=8,653,339.06 m, E=279,244.93

h=101.5 Punto B: N=8,654,453.37 m, E=279,061.36, h=3.5; la respuesta se muestra en la Figura 38.

Figura 38: cálculo de Coordenadas Topográficas a partir de las coordenadas UTM. Fuente: Elaboración Propia

Dado que las coordenadas topográficas son relativas, es posible asignar a la coordenada topográfica del punto de partida (A) cualquier valor que consideremos trascendente, pero se acostumbra considerar un valor igual al de las coordenadas UTM; además como menciona Mendoza (2017) , en su Apartado “Cálculo de la Convergencia de Meridianos en A”, por este mismo principio es posible considerar una Convergencia de Meridianos igual a 0; pero para este ejemplo, por tratarse de un ejemplo demostrativo se consideraron todas las variables implicadas en la transformación de coordenadas.

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CAPÍTULO 3: DESARROLLO DEL PROYECTO

CAPÍTULO III: DESARROLLO DEL PROYECTO

3.1 FOR MULA C IÓN D E LA H IPÓTESIS 3.1.1 Hi pót esis de investigación : Hi La posición física (topográfica) de puntos que componen una estructura es única respecto a sus correspondientes coordenadas UTM. 3.2 METODOLOGÍA D EL TRABAJO En la etapa inicial del proyecto se investigaron diversas tesis, normas, manuales, papers y otros. Buscando información concerniente al tema.

En una segunda etapa se procesó toda la información obtenida en la primera etapa, dándole forma a nuestro sistema de algoritmos.

En una tercera etapa se analizaron los resultados obtenidos a partir de nuestros algoritmos con datos reales de campo (Coordenadas UTM comprendidos entre los 85167358.94 - 8523718.957 norte y 617472.78 - 596920.182 este). Los cuáles fueron analizados de la siguiente manera: a).- Replanteo de coordenadas UTM a topográficas cuando las distancias de separación entre puntos GPS sea como máximo 5 km. -

Transformación de coordenadas UTM de los puntos GPS a Topográficos. Verificación de los resultados obtenidos utilizando la poligonal topográfica.

b).-Replanteo de coordenadas UTM a topográficas cuando las distancias de separación entre puntos GPS sea como máximo 1 km.

-

Transformación de las coordenadas topográficas de cada poligonal a UTM.

-

Verificación de los valores obtenidos haciendo uso de poligonales UTM.

Finalmente se desarrolló el informe final del proyecto.

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3.3 TOMA D E DATOS

3.3.1 Datos a utilizar Los datos utilizados en la calibración de los programas informáticos desarrollados en la presente tesis y para el posterior procesamiento los mismos, fueron tomados de una carretera en el interior del país y clasificados luego por su longitud de separación, para así poder trabajar en los modelos propuestos. 3.3.1.1 C oordenadas con di stancias de separación máxi mas de 5 km Se evaluaron 3 circuitos y se utilizaron los siguientes puntos de control para el replanteo de coordenadas UTM a topográficas, mediante poligonales abiertas, los referidos puntos se muestran en las figuras 39, 40 y 41 respectivamente, mientras que sus respectivas coordenadas se muestran en las tablas 10, 11 y 12 respectivamente.

Tabla 10: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control del Circuito 1. Descripción

Punto

Norte

Este

h

separación al vértice de control inicial

Vértice Azimut Inicial

AZ66

8523718,957

596920,182

4182,078

1033,327

Vértice control Inicial

PB66

8523648,917

597951,133

4221,378

0

Vértice control Final

AZ65

8521325,372

599720,167

4266,709

2920,333

Vértice Azimut Final

PB65

8521193,196

600568,487

4221,822

3589,026

Fuente: Elaboración Propia

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Figura 39: Primer Circuito de trabajo. Fuente: Elaboración Propia

Tabla 11: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control del Circuito 2.

Descripción

Punto

Norte

Este

h

separación al vértice de control inicial

Vértice Azimut Inicial

AZ65

8521325,372

599720,167

4266,709

858,555

Vértice control Inicial

PB65

8521193,196

600568,487

4221,822

0

Vértice control Final

AZ64

8519390,272

601183,306

4224,746

1904,872

Vértice Azimut Final

PB64

8518539,939

601578,364

4201,037

2838,948

Fuente: Elaboración Propia

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Figura 40: Segundo Circuito de trabajo. Fuente: Elaboración Propia

Tabla 12: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control de Circuito 3. separación al vértice de control inicial

Descripción

Punto

Norte

Este

h

Vértice Azimut Inicial Vértice control Inicial

AZ61

8516036,123

608235,972

4155,914

PB61

8516015,177

608691,585

4174,951

Vértice control Final

AZ60

8516254,893

611399,967

4136,368

2718,97

Vértice Azimut Final

PB60

8516977,283

611928,908

4123,136

3377,263

456,094 0

Fuente: Elaboración Propia

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Figura 41: Tercer Circuito de trabajo. Fuente: Elaboración Propia

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3.3.1.2 C oordenadas con distancias de separaci ón máxi mas de 1km Para este caso el circuito fue elaborado mediante trabajo de campo dentro del campus de la Universidad Nacional de Ingeniería, se utilizaron los siguientes puntos de control para el replanteo de las coordenadas Topográficas a UTM. Se aclara que éstas son coordenadas UTM, la Figura 42 muestra las coordenadas utilizadas en el trabajo, las mismas que se encuentran en la Tabla 13. Tabla 13: Coordenadas (UTM ZONA 18 SUR – WGS84) para el control de Circuito 4 .

Descripción

Punto

Este

Norte

h

separación al vértice de control inicial

Vértice Azimut Inicial

P

277,083.711

8,670,035.367

104.739

45,989

Vértice control Inicial

A

277,047.761

8,670,006.686

114.478

0

Vértice control Final

H

276,852.569

8,670,664.165

105.493

685,841

Vértice Azimut Final

Q

276,852.887

8,670,856.731

102.211

872,097

Fuente: Elaboración Propia

Figura 42: Cuarto Circuito de trabajo. Fuente: Elaboración Propia

Los datos obtenidos dentro del campus de la Universidad Nacional de Ingeniería fueron obtenidos mediante GPS de alta precisión.

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3.4 PLANTEA MIENTO D E METOD OLOGÍA S 3.4.1 Replanteo

de

coordenadas

UTM

a

t opográfi cas

para

di stancias máxi mas de 5 km. La metodología utilizada para el replanteo de coordenadas UTM a topográfica está condicionada en gran medida por dos factores, factor de escala y factor de elevación, los cuales generan a su vez un factor llamado factor combinado, el cual es el que finalmente modifica la longitud de cuadricula y la transforma en longitud topográfica. Estos factores (Kescala y Kelevación) dependen exclusivamente de las coordenadas UTM que se utilizan para el replanteo, el hemisferio, la zona de trabajo y del Datum utilizado en la transformación; para el presente trabajo se utiliza el Datum WGS84. Aunque estos factores sean relativamente pequeños, en muchos casos cercanos a la unidad, hacen una gran diferencia en los trabajos de campo generando en muchos casos errores de cierre considerables por no ser considerados. Los pasos para el replanteo son relativamente fáciles de seguir y pueden ser programados en cualquier lenguaje computacional. A partir de las coordenadas dato (UTM de los puntos A y B, donde A es la coordenada de origen y B es la coordenada final), se calcula el K escala de cada punto, este factor necesita como datos de entrada la latitud, longitud y los Radios de curvatura del meridiano del punto en cuestión, por lo que las coordenadas UTM deberán ser convertidas previamente a geodésicas. Para esto se utiliza un Datum ya conocido, el cual nos proporcionara las características geométricas del elipsoide estudiado, en nuestro caso el elipsoide WGS84. Una vez obtenidos los valores latitud, longitud y radio de gran escala en “A”, punto en estudio, podemos calcular el factor de escala para la coordenada de inicio “A”, posteriormente con los mismos pasos calculamos el factor de escala para el punto “B”, coordenada final. Estos dos factores se promedian para tener un factor de escala final “K de escala” el cual relaciona la longitud geodésica con la longitud de cuadricula y posteriormente servirá para calcular la longitud topográfica.

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Obtenido el factor de escala promedio “K de escala” se procede a calcular el factor de elevación “K de elevación”; para este fin se requiere ambas coordenadas, pues a partir de estas coordenadas se calcularan una serie de datos, en donde el más resaltante por su bajo valor con respecto a otros factores en el mismo sistema de ecuaciones es la longitud de la flecha central, ver figuras de la 25 a la 27, generada por la proyección de ambos puntos (A y B) con el elipsoide de referencia y un plano secante a dichos puntos, Mendoza (2017) afirma que este factor puede ser despreciado en distancias menores a 5 km, pues esta flecha se compara con la longitud del radio de curvatura del meridiano correspondiente a la latitud promedio los puntos en cuestión, obteniendo una cantidad relativamente pequeña en comparación a la flecha entre estos puntos. Para efectos de investigación, en el presente trabajo se optó por considerar en los cálculos este factor. Calculados los factores de elevación, estos se promedian y se obtiene un factor de elevación final, el cual servirá para calcular la distancia topográfica a partir de la distancia geodésica. Se debe calcular el azimut geográfico a partir del azimut de cuadricula, la convergencia de meridianos y la corrección por curvatura, como menciona Mendoza (2017) es posible trabajar sin la convergencia de meridianos, pues de esta manera las coordenadas topográficas finales se aproximan a las coordenadas UTM, motivo por el cual se consideró no utilizar este valor en los cálculos. Finalmente se calculan las coordenadas topográficas del punto “B” a partir de la longitud de cuadricula entre el punto “A”, punto de inicio, y el punto “B”, punto final, multiplicando esta longitud por el factor combinado final, para luego descomponerlo con ayuda del azimut geográfico y sumar los componentes este y norte a los correspondientes este y norte topográficos del punto de inicio “A”, dicho proceso se puede observar en la Figura 43, la cual muestra el diagrama de flujo del sistema.

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Figura 43: Diagrama de Flujo resumen para transformación de Coordenadas UTM a Topográficas. Fuente: Elaboración Propia

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3.4.2 Replanteo

de

C oordenadas

Topográficas

a

UTM

para

di stancias máxi mas de 1 km. La programación del proceso inverso fue resuelta, en este caso, mediante procesos iterativos, tomando como punto de partida la similitud entre la distancia de cuadricula y topográfica para distancias relativamente cortas, menores a 1km. Considerando que gracias a la propiedad conforme de las proyecciones UTM los ángulos formados en el plano topográfico y los formados en el geoide de referencia serán similares, además la posición espacial de una poligonal topográfica y una poligonal UTM, sin considerar las direcciones y centrándonos solo en los ángulos y las distancias entre puntos en distancias menores a 1 km, estará determinada por el factor “K”. En este sentido, el factor “K” será cercano a la unidad y por ende podemos considerar que las coordenadas topográficas y UTM serán cercanas en su valor, no obstante, esto no quiere decir que sean las mismas, por este motivo podemos considerar este hecho como punto de partida para iniciar un proceso iterativo con el fin de encontrar las coordenadas UTM que darán origen a las coordenadas topográficas. De esta manera para el proceso de iteración se considerará que las coordenadas topográficas de punto B son las mismas que las UTM de dicho punto, punto final, luego mediante el proceso descrito en el capítulo anterior se calculan las unas nuevas coordenadas topográficas a para el punto “B”, tomando el punto A como base, llamaremos al punto topográfico obtenido “B´”. Se comparan las coordenadas del punto “B´” con las coordenadas que le dieron origen “B”, la diferencia generada es restada a las coordenadas UTM del punto de origen “B” obteniendo así un nuevo punto de origen “B´´” con sus respectivas coordenadas UTM, se verifica que la diferencia entre B´ y B sea menor a 0.001, caso contrario a partir de B´´ se generan nuevos valores de B´ y con este un nuevo valor para B´´, restando la diferencia entre B´ y B a las coordenadas B´´, se vuelve a verificar que la diferencia entre estas coordenadas B´ y B sea menor a 0.001, de esta manera se genera un ciclo iterativo que termina cuando las coordenadas del punto “B´´” den como resultado las coordenadas del punto “B”, las cuáles son las coordenadas topográficas dato, coordenadas iniciales.

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Para comprender el proceso de iteración analizaremos la variable “K”, la cual tiene solo dos rangos de valores posibles, debe ser mayor o menor que 1; en este sentido podemos deducir los siguientes casos: Cuando K1: por definición, la distancia de separación entre la coordenada topográfica de A y B será menor que la de sus respectivas coordenadas UTM; además mientras más alejado se encuentre un punto cualquiera del punto A el valor de K aumentara y por consiguiente la longitud topográfica disminuirá, pues la distorsión aumenta al alejarnos del punto base, esto quiere decir que las coordenadas del punto B´, generadas por considerar a las coordenadas topográficas de B como UTM, tendrán una menor distancia de separación entre estas y las coordenadas topográficas de B que las coordenadas UTM de B a sus respectivas coordenadas topográficas, como lo muestra la Figura 47; es más, por este principio observaremos que para todos los casos siguientes durante las iteraciones las coordenadas topográficas resultado nunca alcanzaran a la coordenada topográfica de B, que es la que estamos buscando, aproximándose siempre de una longitud de separación con el punto A menor hacia una longitud de separación mayor, como se muestra en la Figura 48, para detenerse cuando estas distancias de separación entre el punto topográfico entregado por el sistema y el topográfico dato de B sean los mismos, para nuestro sistema cuando la diferencia de separación entre estos puntos sea menor a 0.001.

Figura 47: Comportamiento del proceso iterativo utilizado en el programa informático considerando una corrección por curvatura nula y un K > 1. Fuente: Elaboración Propia

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Similar al caso anterior, se llamará “a” a la distancia de separación entre el punto UTM B y el punto generado en la primera iteración B´´, y llamaremos “r” a la razón entre las distancias de separación de los puntos UTM B y B´´ con las distancias de separación entre sus respectivos puntos topográficos, vale decir “r” se aproxima a 1/K donde K es el factor combinado entre A y B y al ser K>1 “r” deberá ser en todos los casos menor a la unidad y se aproximara a la unidad a medida que nos aproximemos al punto A. En este sentido, podemos observar que en la primera iteración el valor de separación entre las coordenadas de B´´2 y UTM B, punto con coordenadas UTM que estamos buscando, será de “𝐚𝐚. (𝟏𝟏 − 𝐫𝐫)”, luego para la siguiente iteración multiplicaremos esta distancia por “𝐫𝐫 − 𝐟𝐟”, donde “f” es el incremento de la variable “r” entre los nuevos puntos y los puntos de la primera iteración; la separación entre las coordenadas UTM B y las B´´3 dará como resultado "𝐚𝐚. (𝟏𝟏 − 𝐫𝐫)𝟐𝟐 + 𝐚𝐚. (𝐫𝐫 − 𝟏𝟏). 𝐟𝐟", para la siguiente iteración este valor será multiplicado por el factor “r-g”, donde “g”

es una nueva variación de la variable “r”; si continuamos encontraremos que la nueva distancia de separación entre estos dos valores, UTM B y B´´4, será de "𝐚𝐚. (𝟏𝟏 − 𝐫𝐫)𝟑𝟑 + 𝐚𝐚. (𝟏𝟏 − 𝐫𝐫)𝟐𝟐 . (𝒇𝒇 + 𝒈𝒈) + 𝐚𝐚. (𝟏𝟏 − 𝐫𝐫). 𝐟𝐟. 𝐠𝐠” donde si consideramos que el

valor de las variaciones de “r”, “f” y “g”, son despreciables con respecto de “r”

veremos que el sistema se aproxima al valor buscado UTM B a razón de “1-r” para cada nueva iteración.

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Figura 48: Comportamiento del proceso iterativo utilizado en el programa informático analizando las diferencias entre las coordenadas UTM y topográficas del punto B con un K > 1. Fuente: Elaboración Propia

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Para los casos analizados anteriormente se observa que el sistema converge de forma exponencial para cada nueva iteración, demostrando así que para cada coordenada UTM obtendremos una única coordenada topográfica, pues el sistema converge a este único valor; la Figura 47 muestra el diagrama de flujo de dicho sistema.

Figura 49: Diagrama de Flujo resumen para transformación de Coordenadas Topográficas a UTM. Fuente: Elaboración Propia

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No obstante, aunque el proceso descrito anteriormente sea factible, este es poco práctico debido a que las coordenadas topográficas generalmente deben ser corregidas mediante una poligonal, ya sea abierta o cerrada, para de esta manera minimizar posibles errores cometidos en campo; y en términos generales la obtención de coordenadas UTM a partir de las topográficas dependerá de la precisión con la que estas coordenadas, topográficas, fueron tomadas en campo. Por este motivo, en el presente trabajo se utilizarán tres métodos para la obtención de las coordenadas UTM, el primer método es el descrito anteriormente en donde mediante iteraciones repetidas se logra obtener la coordenada UTM de origen, el segundo método consiste en calcular el “K” promedio generado entre los puntos de control de la poligonal abierta utilizada para la corrección de los mismos, los cuales son necesarios en todo trabajo de topografía, y posteriormente mediante las distancias topográficas y este “K promedio” apoyándonos en que en puntos cercanos, distancias de separación menores a 3 km, los valores del factor combinado que transforma las longitudes topográficas a longitudes de cuadricula serán similares para dichos puntos y que la corrección por curvatura es mínima, el tercer método consiste en Calcular las coordenadas UTM mediante un proceso de iteraciones repetidas y posteriormente llevar estas coordenadas a un sistema de corrección mediante poligonal abierta. Por otro lado, vale la pena aclarar que aunque el programa creado durante la presente tesis tiene la opción de considerar en los cálculos la convergencia de meridianos como variable dentro de sus líneas de código, para el presente trabajo se consideró no utilizarla, dado que esta variable representa la diferencia entre el norte de cuadricula y el norte geográfico, y debido a que el presente trabajó de investigación se orientó con respecto a las coordenadas UTM, creando una convergencia de meridianos nula, no es necesaria su utilización; es más, al optar por considerarla estaremos girando el sistema de coordenadas un valor igual a esta variable; para poder comprobar que el programa utilizado genera valores coherentes incluso considerando la convergencia de meridianos, sería necesario correr el programa con puntos orientados tomando como referencia al norte geográfico, lo cual deja abierta la posibilidad de esta comprobación para futuros trabajos de investigación.

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3.5 EVALUAC IÓN D E METODOLOGÍA S Para la evaluación de ambas metodologías se utilizó el programa: “SISTRAUT”, el cual utiliza una programación en Macros Excel (VBA) con los fundamentos antes descritos y las metodologías propuestas. Este programa fue modificado y actualizado por Vittorio Aparicio Ramírez con asesoramiento del Ing. Jorge Mendoza Dueñas, asimismo fue calibrado con bases de datos pertenecientes al Ing. Jorge Mendoza Dueñas. Este programa es Propiedad intelectual del Ingeniero Jorge Mendoza Dueñas y su uso en esta tesis es investigativo. 3.5.1 Replanteo de C oordenadas UTM a Topográfi cas cuando las di stancias de separaci ón entre Puntos GPS sea como máxi mo 5 km. Antes de ajustar las coordenadas de trabajo debemos convertirlas a topográficas, de lo contrario nuestro error de cierre será considerablemente grande, por ejemplo, para el Primer Circuito, evaluando éste sin transformación de coordenadas UTM a topográficas, como lo muestra la Figura 50, encontramos un error relativo de 1 en 1223, el cual es exageradamente alto. Haciendo una comparación con un ajuste de poligonal utilizando las coordenadas topográficas, como se muestra en la Figura 51, se obtiene un error relativo de 1 en 27058 que es aproximadamente 22 veces más cercano a la realidad. Por otro lado, el error angular es pequeño, esto debido a que se está trabajando sobre una proyección conforme, por lo que los ángulos topográficas y UTM serán muy similares, mas no serán iguales pues al trabajar con las coordenadas UTM como si fueran topográficas estamos obviando parámetros de corrección como la corrección por curvatura y la convergencia de meridianos que generan un ligero, pero importante cambio en los cálculos finales. La Tabla 14 muestra la transformación de coordenadas UTM a topográficas para el Circuito 1. Tabla 14: Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas para el circuito 1.

Pto PB66 AZ66 AZ65 PB65

Coordenadas UTM Este Norte 597951,333 8523648,917 596920,182 8523718,957 599720,167 8521325,372 600568,487 8521193,196

h 4221,378 4182,078 4266,709 4221,822

Pto PB66 AZ66 AZ65 PB65

Coordenadas Topográficas Este Norte 597951,333 8523648,917 596918,9581 8523715,259 599730,3076 8521329,633 600579,8965 8521200,437

Fuente: Elaboración Propia

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Vertice Grados AZ66 PB66 P2 P3 P7 P9 P10 AZ65 PB65

222 125 242 191 189 173 118

Lado

Distancia

Dis. Acumulad

AZ66--PB66 PB66--P2 P2--P3 P3--P7 P7--P9 P9--P10 P10--AZ65 AZ65--PB65

39,992 507,894 1487,535 548,826 405,318 252,49

39,992 547,886 2035,421 2584,247 2989,565 3242,055

Angulo Horizontal Minutos Segundos

53 49 53 31 20 31 58

37 2 24 39 26 13 42

Admisibles Error Angular -0,00195246 0,00734931 Error Lineal 2,65062604 Error Relativo 1/1223,128 10000

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

93,887 136,780 82,597 145,487 157,015 166,355 159,876 98,854 278,854

93,887 136,781 82,598 145,488 157,016 166,357 159,877 98,856 278,856

597951,133 597978,519 598482,181 599324,980 599539,282 599634,885 599721,749

8523648,917 8523619,773 8523685,206 8522459,462 8521954,205 8521560,323 8521323,245

0,026 0,359 1,335 1,695 1,961 2,127

-0,020 -0,267 -0,993 -1,261 -1,459 -1,582

1,582

-2,127 Este 596920,182 597951,133 599720,167 600568,487

Norte 8523718,957 8523648,917 8521325,372 8521193,196

OK

Pto AZ66 PB66 AZ65 PB65

Falla

Este Corr.

Norte Corr.

596920,182 597951,133 597978,500 598481,913 599323,987 599538,021 599633,426 599720,167 600568,487

8523718,957 8523648,917 8523619,800 8523685,566 8522460,797 8521955,900 8521562,284 8521325,372 8521193,196

Linea AZ66--PB66 AZ65--PB65

Azimut 93,887 278,856

Figura 50: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 1 sin una transformación previa. Fuente: Elaboración Propia

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Vertice Grados AZ66 PB66 P2 P3 P7 P9 P10 AZ65 PB65

222 125 242 191 189 173 118

Angulo Horizontal Minutos Segundos

53 49 53 31 20 31 58

37 2 24 39 26 13 42

Lado

Distancia

Dis. Acumulada

AZ66--PB66 PB66--P2 P2--P3 P3--P7 P7--P9 P9--P10 P10--AZ65 AZ65--PB65

39,992 507,894 1487,535 548,826 405,318 252,49

39,992 547,886 2035,421 2584,247 2989,565 3242,055

Admisibles Error Angular -0,001533727 0,00734931 Error Lineal 0,119814844 Error Relativo 1/27058,876 10000

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

93,678 136,571 82,388 145,278 156,806 166,147 159,667 98,645 278,645

93,678 136,572 82,389 145,279 156,807 166,148 159,668 98,647 278,647

597951,133 597978,625 598482,045 599329,312 599545,457 599642,498 599730,228

8523648,917 8523619,873 8523687,143 8522464,483 8521960,012 8521566,482 8521329,723

-0,001 -0,015 -0,056 -0,071 -0,082 -0,089

0,001 0,014 0,050 0,064 0,074 0,080

-0,080

0,089 Este 596918,9583 597951,133 599730,3077 600579,8967

Norte 8523715,26 8523648,917 8521329,634 8521200,438

OK

Pto AZ66 PB66 AZ65 PB65

OK

Este Corr.

Norte Corr.

596918,958 597951,133 597978,626 598482,058 599329,363 599545,521 599642,572 599730,308 600579,897

8523715,260 8523648,917 8523619,872 8523687,128 8522464,427 8521959,941 8521566,400 8521329,634 8521200,438

Linea AZ66--PB66 AZ65--PB65

Azimut 93,678 278,647

Figura 51: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 1 con una transformación previa. Fuente: Elaboración Propia

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En este sentido, haciendo una transformación previa para obtener las coordenadas topográficas de cada circuito, las tablas 15 y 16 muestran las coordenadas UTM y topográficas para los circuitos 2 y 3 respectivamente.

Circuito 2

Tabla 15: Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas tomando como punto de referencia el punto PB 65 en el Circuito 2.

Pto PB65 AZ66 AZ65 PB65

Coordenadas UTM Este Norte 600568,5 8521193 596920,182 8523718,957 599720,167 8521325,372 600568,487 8521193,196

h 4221,822 4182,078 4266,709 4221,822

Pto PB65 AZ66 AZ65 PB65

Coordenadas Topográficas Este Norte 600568,5 8521193 596907,2796 8523707,614 599718,8737 8521322,312 600568,4863 8521193,196

Fuente: Elaboración Propia

Circuito 3 Tabla 16: Transformación de Coordenadas UTM a Topográficas tomando como punto de referencia el punto PB 65 en el Circuito 3.

Pto PB61 AZ61 AZ60 PB60

Coordenadas UTM Este Norte 600568,5 8521193 608236 8516036 611400 8516255 611928,9 8516977

h 4174,951 4155,914 4136,368 4123,136

Pto PB61 AZ61 AZ60 PB60

Coordenadas Topográficas Este Norte 600568,5 8521193 600112,4028 8521212,164 603278,3541 8521444,243 603804,7825 8522169,046

Fuente: Elaboración Propia

Evaluando las coordenadas topográficas en sus respectivas poligonales topográficas obtenemos resultados que satisfacen los criterios de error de cierre y angular topográficos para considerarlos aceptados, tal como se muestra en las figuras 52 y 53.

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Vertice Grados AZ65 PB65 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 AZ64 PB64

Angulo Horizontal Minutos Segundos

181 178 188 188 189 189 242 210 154 133

21 21 26 2 45 34 55 5 22 17

Error Angular Error Lineal Error Relativo

25,2 36,2 51,5 36,5 26,5 53 51 30,5 11,8 5,9

-0,00061275 0,065898078 1/40913,94

Lado

Distancia

Dis. Acumulada

AZ65--PB65 PB65--P14 P14--P15 P15--P16 P16--P17 P17--P18 P18--P19 P19--P20 P20--P21 P21--AZ64 AZ64--PB64

234,956 87,398 277,25 227,149 320,819 142,566 192,532 83,152 1130,328

234,956 322,354 599,604 826,753 1147,572 1290,138 1482,670 1565,822 2696,150

Admisibles 0,0087841

OK

10000

OK

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

98,641 99,998 98,358 106,806 114,849 124,607 134,188 197,119 227,211 201,581 154,866 334,866

98,641 99,998 98,358 106,806 114,850 124,607 134,188 197,119 227,211 201,581 154,866 334,866

600568,487 600799,875 600886,344 601151,753 601357,871 601621,927 601724,154 601667,480 601606,458 601190,701

8521193,196 8521152,404 8521139,699 8521059,537 8520964,081 8520781,874 8520682,503 8520498,501 8520442,016 8519390,927

-0,003 -0,004 -0,007 -0,010 -0,014 -0,015 -0,017 -0,018 -0,032

-0,005 -0,007 -0,013 -0,018 -0,025 -0,028 -0,032 -0,034 -0,058

0,058

0,032 Este 599718,8745 600568,487 601190,6435 601589,2551

Norte 8521322,312 8521193,196 8519390,895 8518541,256

Pto AZ65 PB65 AZ64 PB64

Este Corr.

Norte Corr.

599718,874 600568,487 600799,870 600886,338 601151,740 601357,854 601621,902 601724,126 601667,448 601606,424 601190,644 601589,255

8521322,312 8521193,196 8521152,401 8521139,695 8521059,530 8520964,071 8520781,860 8520682,487 8520498,483 8520441,997 8519390,895 8518541,256

Linea AZ65--PB65 AZ64--PB64

Azimut 98,641 334,866

Figura 52: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 2 con una transformación previa. Fuente: Elaboración Propia Vertice Grados AZ64 PB64 P38 P41 P42 P43 AZ63 PB63

Angulo Horizontal Minutos Segundos

156 152 145 247 209 206

Error Angular Error Lineal Error Relativo

12 56 41 28 12 3

-0,00101244 0,058701887 1/51408,381

19 27,5 41 44,5 24,5 10

Lado

Distancia

Dis. Acumulada

AZ64--PB64 PB64--P38 P38--P41 P41--P42 P42--P43 P43--AZ63 AZ63--PB63

1754,944 475,412 642,436 55,453 89,524

1754,944 2230,356 2872,792 2928,245 3017,769

Admisibles 0,00680414

OK

10000

OK

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

154,863 131,069 104,010 69,704 137,183 166,390 192,443 12,443

154,863 131,069 104,010 69,705 137,184 166,391 192,444 12,444

601578,364 602901,455 603362,726 603965,278 604002,966 604024,031

8518539,939 8517387,004 8517271,913 8517494,747 8517454,070 8517367,060

0,031 0,039 0,050 0,051 0,053

-0,015 -0,019 -0,024 -0,025 -0,026

0,026

-0,053 Este 601179,7076 601578,364 604024,0049 603895,0403

Norte 8519389,562 8518539,939 8517367,113 8516782,684

Pto AZ64 PB64 AZ63 PB63

Este Corr.

Norte Corr.

601179,708 601578,364 602901,440 603362,707 603965,253 604002,941 604024,005 603895,040

8519389,562 8518539,939 8517387,035 8517271,952 8517494,798 8517454,122 8517367,113 8516782,684

Linea AZ64--PB64 AZ63--PB63

Azimut 154,863 12,444

Figura 53: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 3 con una transformación previa. Fuente: Elaboración Propia

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3.5.2 Replanteo de C oordenadas Topográfi cas a UTM cuando las di stancias de separaci ón entre Puntos GPS sea como máxi mo 1 km. Para este fin se optó por realizar un levantamiento topográfico con estación total en una poligonal de 10 puntos (P, A, B, C, D, E, F, G, H, Q), la Tabla 17 muestra las coordenadas obtenidas mediante un GPS diferencial de alta precisión mientras la Tabla 18 muestra los puntos de control para este circuito, además de un levantamiento de estos puntos con un GPS de alta precisión obteniendo así para cada punto las coordenadas UTM provenientes de visaciones satelitales, este trabajo se desarrolló dentro del campus de la Universidad Nacional de Ingeniería. Tabla 17: Puntos GPS utilizados en el trabajo (UTM Zona 18 SUR – WGS84).

PUNTO P A B C D E F G H Q

ESTE 277,083.711 277,047.761 276,908.344 276,997.685 276,982.856 276,881.238 276,883.405 276,860.603 276,852.569 276,852.887

NORTE 8,670,035.367 8,670,006.686 8,670,120.870 8,670,194.216 8,670,410.999 8,670,412.668 8,670,487.826 8,670,510.708 8,670,664.165 8,670,856.731

h 104.739 114.478 113.003 112.56 109.551 108.689 106.699 106.63 105.493 102.211

Fuente: Elaboración Propia

Para poder corregir la poligonal topográfica antes descrita fue necesaria la presencia de puntos de control, para esto se optó por tomar como puntos de control los puntos extremos del circuito (P, A, H, Q). Estas coordenadas se muestran a continuación: Tabla 18: Puntos de control GPS (UTM Zona 18 SUR – WGS84).

PUNTO P A H Q

ESTE 277,083.711 277,047.761 276,852.569 276,852.887

NORTE 8,670,035.367 8,670,006.686 8,670,664.165 8,670,856.731

h 104.739 114.478 105.493 102.211

Fuente: Elaboración Propia

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La Figura 54 muestra la posición de los puntos topográficos internos B, C, D, E, F y G además de los puntos de control A; P; H y Q, los cuales están representados según la proyección cartográfica UTM en el Geoide WGS 84.

Figura 54: Puntos topográficos detallados (UTM ZONA 18 SUR-WGS 84). Fuente: Elaboración Propia

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3.5.2.1 Replanteo de Coordenadas Topográficas a UTM mediant e iteraciones sucesivas. Utilizando el método descrito en el Capítulo 3.4.2, procesamos los puntos del levantamiento topográfico realizado; para esto es necesario orientar las coordenadas topográficas a algún sistema de referencia, en nuestro caso lo orientaremos con los puntos de control P y A, adoptando así una orientación igual a la de las coordenadas UTM. Tabla 19: Relación de longitudes y ángulos topográficos utilizados en el trabajo.

Nombre P A B C D E F G H

Dh

grados 257 281 125 94 270 133 221 183

180.173 115.569 217.247 101.614 75.171 32.297 153.636

min 54 18 28 51 42 26 54 5

seg 9 2 10 5 46 48 1 35

Fuente: Elaboración Propia

En este sentido, orientándonos con las coordenadas antes descritas obtenemos para las coordenadas topográficas mostradas en la Tabla 19 los valores los mostrados en la Tabla 20. Tabla 20: Coordenadas topográficas orientadas a las coordenadas base A y B.

PUNTO A B C D E F G H

ESTE (m) 277,047.761 276,908.375 276,997.705 276,982.889 276,881.289 276,883.458 276,860.661 276,852.622

NORTE (m) 8,670,006.686 8,670,120.852 8,670,194.176 8,670,410.917 8,670,412.585 8,670,487.725 8,670,510.602 8,670,664.028

h (m) 114.478 113.003 112.56 109.551 108.689 106.699 106.63 105.493

Fuente: Elaboración Propia

Procesando los datos anteriores obtenemos las coordenadas UTM mostradas en la Tabla 21, que son las que dan origen a las coordenadas topográficas antes utilizadas.

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Tabla 21: Coordenadas UTM generadas a partir de las coordenadas topográficas dato.

PUNTO A B C D E F G H

Este (m) 277,047.761 276,908.348 276,997.695 276,982.877 276,881.257 276,883.426 276,860.625 276,852.585

Norte (m) 8,670,006.686 8,670,120.875 8,670,194.213 8,670,410.997 8,670,412.666 8,670,487.820 8,670,510.702 8,670,664.159

h (m) 114.478 113.003 112.56 109.551 108.689 106.699 106.63 105.493

Fuente: Elaboración Propia

Haciendo un análisis comparativo entre las coordenadas topográficas y UTM podemos encontrar el error relativo en cada punto, como se muestra en la Tabla 22. Tabla 22: Análisis de las coordenadas UTM calculadas y reales. GPS Diferencial Punto A B C D E F G H

Calculada

Este (m)

Norte (m)

Este (m)

Norte (m)

277,047.761 276,908.344 276,997.685 276,982.856 276,881.238 276,883.405 276,860.603 276,852.569

8,670,006.686 8,670,120.870 8,670,194.216 8,670,410.999 8,670,412.668 8,670,487.826 8,670,510.708 8,670,664.165

277,047.761 276,908.348 276,997.695 276,982.877 276,881.257 276,883.426 276,860.625 276,852.585

8,670,006.686 8,670,120.875 8,670,194.213 8,670,410.997 8,670,412.666 8,670,487.820 8,670,510.702 8,670,664.159

Diferencias Distancia D. Ac Precisión ∆E ∆N ∆T (m) (m) (D.Ac/∆T) (m) (m) (m) 0.000 0.000 0.000 -0.004 -0.005 0.006 180.209 180.209 28,144 -0.010 0.003 0.010 115.591 295.800 28,332 -0.021 0.002 0.021 217.290 513.090 24,323 -0.019 0.002 0.019 101.634 614.723 32,176 -0.021 0.006 0.022 75.185 689.909 31,589 -0.022 0.006 0.023 32.303 722.211 31,671 -0.016 0.006 0.017 153.667 875.879 51,257

Fuente: Elaboración Propia

Como podemos observar, mediante este primer método se obtienen coordenadas UTM muy aproximadas a las reales, sin necesidad de realizar una corrección por poligonal abierta, en este sentido podríamos dar por valido este método de cálculo de coordenadas UTM a partir de las coordenadas topográficas; por otro lado podemos observar que el error crece a medida que nos alejamos del punto de origen, punto A, esto se puede deber a errores por parte del operador durante el levantamiento topográfico o durante el posicionamiento del GPS diferencial de alta precisión.

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3.5.2.2 Replanteo de Coordenadas Topográficas a UTM mediant e los factores combinados K de las coordenadas de control. Para este método es necesario calcular inicialmente el factor combinado de los puntos de control A, P, H y Q. CÁLCULO DEL FACTOR COMBINADO PROMEDIO Para determinar las coordenadas UTM tomando en cuenta que, en distancias cortas menores a 3 km, esta transformación depende en gran medida del factor combinado de dicho punto y para esto basta conocer sus coordenadas. Haciendo uso del programa SISTRAUT y tomando al punto “A” como punto de referencia se obtuvo para los puntos de control los valores de K (combinado) mostrados en la Tabla 23. Tabla 23: Cálculos de factores combinados para el Circuito 4. PUNTO A P H Q

K (ESCALA) 1.000215031 1.000214832 1.000216109 1.000216107

K(ELEVACIÓN) K (COMBINADO) 0.999981936 1.000196963 0.999983475 1.000198304 0.999983355 1.000199460 0.999983872 1.000199975

CONV. MERID(DEG) 0° 0' 0''

Fuente: Elaboración Propia K Promedio = 1.000198676

Para efectuar el cálculo de la poligonal UTM, se multiplico a la distancia topográfica por el factor combinado promedio, el ángulo horizontal de campo se conserva dado la propiedad conforme en este tipo de proyección cartográfica y por estar trabajando en distancias pequeñas, estos valores se muestran en la Tabla 24, vale recordar que para este método se desprecia la corrección por curvatura. Tabla 24: Cálculos de distancias UTM para el circuito 4. Nombre P A B C D E F G H Q

Dh (m)

D.UTM (m)

180.173 115.569 217.247 101.614 75.171 32.297 153.636

180.209 115.592 217.290 101.634 75.186 32.303 153.667

grados 257 281 125 94 270 133 221 183

min

seg 54 18 28 51 42 26 54 5

9 2 10 5 46 48 1 35

Fuente: Elaboración Propia

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Vertice Grados P A B C D E F G H Q

257 281 125 94 270 133 221 183

Angulo Horizontal Minutos Segundos

54 18 28 51 42 26 54 5

Error Angular 3.25'' Error Lineal 0.01995103 Error Relativo 1/43901

9 2 10 5 46 48 1 35

Lado

Az1--PB1 PB1--PB2 PB2--PB3 PB3--PB4 PB4--PB5 PB5--PB6 PB6--PB7 PB7--PB8 PB8--Az2

Admisibles 28.28''

OK

10000

OK

Distancia Distancia UTMDis. Acumulada

180.173 115.569 217.247 101.614 75.171 32.297 153.636

180.209 115.592 217.290 101.634 75.186 32.303 153.667

180.209 295.801 513.091 614.725 689.911 722.214 875.881

Azimut

Azimut Corr.

Este

231.417 309.320 410.620 356.090 270.941 361.654 315.100 357.001 360.094 180.094

231.417 309.320 410.620 356.090 270.941 361.654 315.101 357.001 360.095 180.095

231.417 277047.761 276908.347 276997.695 276982.878 276881.258 276883.428 276860.627 276852.588 180.095

Norte

Y corr.

X corr.

Este Corr.

231.417 231.417 231.417 277083.711 8670006.686 0.001 -0.004 277047.761 8670120.875 0.002 -0.007 276908.343 8670194.213 0.003 -0.011 276997.689 8670410.997 0.004 -0.014 276982.867 8670412.667 0.004 -0.015 276881.244 8670487.821 0.004 -0.016 276883.413 8670510.704 0.005 -0.019 276860.611 8670664.160 8670664.160 8670664.116 276852.569 180.095 180.095 180.095 276852.887

0.019

-0.005

Pto Az1 PB1 PB8 Az2

Este 277083.711 277047.761 276852.569 276852.887

Norte 8670035.37 8670006.69 8670664.17 8670856.73

Linea Az1--PB1 PB8--Az2

Norte Corr.

8670035.367 8670006.686 8670120.876 8670194.214 8670411.000 8670412.670 8670487.826 8670510.708 8670664.165 8670856.731

Azimut 231.417 180.095

Figura 55: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 4 con una transformación previa de las longitudes. Fuente: Elaboración Propia

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Para verificar la veracidad de los resultados mostrados en la Figura 55 se procedió a compararlos con los resultados de las visaciones satelitales en dichos puntos, coordenadas UTM mostradas en la Tabla 25, cuyos resultados de dicha comparación se muestran en la Tabla 26. Tabla 25: Coordenadas obtenidas mediante GPS satélites para el circuito 4.

PUNTO

ESTE (m)

NORTE (m)

h (m)

B

276,908.344 8,670,120.870

113.003

C

276,997.685 8,670,194.216

112.56

D

276,982.856 8,670,410.999

109.551

E

276,881.238 8,670,412.668

108.689

F

276,883.405 8,670,487.826

106.699

G

276,860.603 8,670,510.708

106.63

Fuente: Elaboración Propia

Tabla 26: Comparación entre coordenadas calculadas y Obtenidas mediante GPS. GPS

POLIGONAL UTM

PUNTO

ESTE (m)

NORTE (m)

ESTE (m)

NORTE (m)

A B C D E F G

277,047.761 276,908.344 276,997.685 276,982.856 276,881.238 276,883.405 276,860.603

8,670,006.686 8,670,120.870 8,670,194.216 8,670,410.999 8,670,412.668 8,670,487.826 8,670,510.708

277,047.761 276,908.343 276,997.689 276,982.867 276,881.244 276,883.413 276,860.611

8,670,006.686 8,670,120.876 8,670,194.214 8,670,411.000 8,670,412.670 8,670,487.826 8,670,510.708

DIFERENCIA ∆N ∆T ∆E (m) (m) (m) 0.001 -0.004 -0.011 -0.006 -0.008 -0.008

-0.006 0.002 -0.001 -0.002 0.000 0.000

0.006 0.004 0.011 0.007 0.008 0.008

Distancias Error Distancias Acumuladas relativo (m) (m) (D.Ac/∆T) 180.208 115.592 217.290 101.632 75.189 32.304

180.208 295.800 513.090 614.721 689.911 722.214

Fuente: Elaboración Propia

Si bien la diferencia obtenida se encuentra en el orden de algunos milímetros, de no afectar a las distancias topográficas por el factor combinado las coordenadas UTM obtenidas, estarían afectadas por un grado importante de error, el cual estará manifestado en el error relativo, para nuestro caso 1/43 901, tal como se aprecia en el siguiente cuadro en donde se observa un error mayor al permitido en trabajos topográficos. Vale decir que aunque este método a diferencia del anterior es factible para la gran mayoría de personas con algún conocimiento técnico del tema, no podemos asegurar la precisión que tendrá este método en grandes longitudes con respecto del primer método, pero aun así en distancias menores a 1 km se mantiene dentro de los parámetros permitidos en trabajos topográficos; observamos además que luego de corregidas las coordenadas obtenemos errores, en el mejor de los casos, con respecto de las coordenadas dato del orden de 1/93 046, lo que quiere decir que la aproximación una vez corregida la poligonal es muy alta. Por otro lado, si hacemos una corrección de poligonal sin una transformación previa obtendremos un error de 1/5928, el cual supera el límite máximo permitido de 1/10 000 como lo podemos apreciar en la Figura 56.

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30,870 71,038 46,738 91,770 84,874 93,046

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FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Vertice Grados P A B C D E F G H Q

257 281 125 94 270 133 221 183

Angulo Horizontal Minutos Segundos

54 18 28 51 42 26 54 5

Error Angular 3.25" Error Lineal 0.14771362 Error Relativo 1/5928.411

9 2 10 5 46 48 1 35

Lado

Az1--PB1 PB1--PB2 PB2--PB3 PB3--PB4 PB4--PB5 PB5--PB6 PB6--PB7 PB7--PB8 PB8--Az2

Admisibles 28.28"

OK

10000

Falla

Distancia Distancia UTMDis. Acumulada

180.173 115.569 217.247 101.614 75.171 32.297 153.636

180.173 115.569 217.247 101.614 75.171 32.297 153.636

180.173 295.742 512.989 614.603 689.774 722.071 875.707

Azimut

Azimut Corr.

Este

231.417 309.320 410.620 356.090 270.941 361.654 315.100 357.001 360.094 180.094

231.417 309.320 410.620 356.090 270.941 361.654 315.101 357.001 360.095 180.095

231.417 277047.761 276908.375 276997.705 276982.891 276881.291 276883.461 276860.664 276852.627 180.095

Norte

Y corr.

X corr.

Este Corr.

231.417 231.417 231.417 277083.711 8670006.686 0.028 -0.012 277047.761 8670120.852 0.046 -0.020 276908.363 8670194.175 0.080 -0.034 276997.686 8670410.917 0.095 -0.041 276982.857 8670412.586 0.107 -0.046 276881.250 8670487.726 0.112 -0.048 276883.415 8670510.604 0.136 -0.058 276860.616 8670664.029 8670664.160 8670664.160 276852.569 180.095 180.095 180.095 276852.887

0.058

-0.136

Pto Az1 PB1 PB8 Az2

Este 277083.711 277047.761 276852.569 276852.887

Norte 8670035.37 8670006.69 8670664.17 8670856.73

Linea Az1--PB1 PB8--Az2

Norte Corr.

8670035.367 8670006.686 8670120.880 8670194.221 8670410.996 8670412.682 8670487.833 8670510.716 8670664.165 8670856.731

Azimut 231.417 180.095

Figura 56: Ajuste de la Poligonal abierta del Circuito 4 sin una transformación previa.

Fuente: Elaboración Propia

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CAPÍTULO 3: DESARROLLO DEL PROYECTO

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3.5.2.3 Replanteo de C oordenadas Topográficas a UTM medi ante un proceso iterati vo y posterior reajuste. Finalmente realizando una corrección a los datos obtenidos mediante el primer método, como se muestra en la Tabla 27, esto con el fin de eliminar posibles errores cometidos en los trabajos de campo y observar el comportamiento de nuestros datos. Tabla 27: Corrección de errores para datos calculados mediante iteraciones sucesivas.

Punto

Norte (m)

Este (m)

Y Corregido (m)

X Corregido (m)

Norte Corregido (m)

Este Corregido (m)

A

8,670,006.686

277,047.761

0.001

-0.003

8,670,006.686

277,047.761

B

8,670,120.875

276,908.348

0.002

-0.005

8,670,120.876

276,908.344

C

8,670,194.213

276,997.695

0.004

-0.009

8,670,194.215

276,997.690

D

8,670,410.997

276,982.877

0.004

-0.011

8,670,411.001

276,982.868

E

8,670,412.666

276,881.257

0.005

-0.012

8,670,412.670

276,881.246

F

8,670,487.820

276,883.426

0.005

-0.013

8,670,487.825

276,883.414

G

8,670,510.702

276,860.625

0.006

-0.016

8,670,510.707

276,860.612

H

8,670,664.159

276,852.585

8,670,664.165

276,852.569

0.006

-0.016 Fuente: Elaboración Propia

Tabla 28: Errores relativos en las coordenadas corregidas finales. Puntos Calculados

Punto

Norte Corregido (m)

Este Corregido (m)

Puntos Dato GPS

Norte (m)

Este (m)

Diferencias Distancia Error Distancias Acumulada relativo (m) (m) (D.Ac/∆T)

∆E (m)

∆N (m)

∆T (m)

0.006 0.005

180.212 115.591

180.212 295.803

0.012

217.292

513.095

58,517 43,987

A

8,670,006.686 277,047.761 8,670,006.686 277,047.761

B

8,670,120.876 276,908.344 8,670,120.870 276,908.344

-0.006

0.000

C D

8,670,194.215 276,997.690 8,670,194.216 276,997.685 8,670,411.001 276,982.868 8,670,410.999 276,982.856

0.001 -0.002

0.005 0.012

E

8,670,412.670 276,881.246 8,670,412.668 276,881.238

-0.002

0.008

0.008

101.636

614.730

78,072

F

8,670,487.825 276,883.414 8,670,487.826 276,883.405

0.001

0.009

0.009

75.187

689.917

77,550

G

8,670,510.707 276,860.612 8,670,510.708 276,860.603

0.001

0.009

0.009

32.303

722.220

81,424

H

8,670,664.165 276,852.569 8,670,664.165 276,852.569

0.000

0.000

0.000

153.668

875.889

Fuente: Elaboración Propia

Observamos en la Tabla 28 que los errores relativos finales son considerablemente bajos, lo que demuestra que este método sería el óptimo a utilizar, cuando sea posible su utilización; no obstante, los anteriores métodos muestran errores aceptables para los trabajos topográficos en la actualidad, y aunque el método anterior presente errores relativos menores a este método, no podemos asegurar su efectividad en grandes distancias, mayores a 3 km.

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30,526

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CAPÍTULO 4: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

4.1 C ONCLU SION ES 4.1.1 C onclusión princi pal •

Se concluye que a partir de las coordenadas UTM se pueden calcular las coordenadas topográficas del sistema, asimismo a partir de las coordenadas topográficas y mediante iteraciones programadas en algún lenguaje computacional podemos calcular sus respectivas coordenadas UTM, siendo necesario para esto una gran precisión en equipos y operadores calificados. para esto es necesario e indispensable el cálculo de los factores de transformación entre las distancias topográficas y UTM.

•

Estas también pueden ser calculadas mediante el producto de la longitud topográfica con el K combinado de los puntos de control en poligonales de longitudes cercanas, menores a 1km.

4.1.2 C onclusión específi cos c) Se concluye que, a medida que las distancias de los puntos de control en coordenadas UTM sean menores, éstas generaran coordenadas topográficas con menores errores de cierre, siendo así que a distancias muy cercanas la diferencia entre ambas, coordenadas topográficas y UTM, será minúscula, esto no debe tomarse como referencia para obviar las transformaciones necesarias antes de ajustar una poligonal topográfica a partir de coordenadas UTM.

d) Se concluye que, si es posible calcular las coordenadas UTM a partir de las Topográficas en distancias menores a 1 km, para distancias mayores los resultados son ambiguos pues a mayores distancias los errores humanos sumados a las deformaciones generados por la prolongación del plano topográfico en el geoide serán considerablemente grande.

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CAPÍTULO 4: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

4.2 R ECOMENDAC ION ES •

Se recomienda trabajar en la medida de lo posible con equipos de alta precisión y un mismo operador el cual tenga gran experiencia, así evitamos errores humanos y técnicos.

•

Es preferible trabajar con las alturas elipsoidales en la medida de lo posible, de no ser posible puede trabajarse con las alturas ortométricas, estas generaran una pequeña variación en los resultados finales dependiendo de la ubicación de la coordenada base.

•

Es recomendable monumentar los puntos que tomemos como bases para evitar que puedan ser estos movidos de su posición original en el futuro.

•

Se recomienda trabajar en distancias cortas, menores a 3 km en la medida de lo posible, pues a mayor distancia el error aumenta. No solo por errores humanos, a esto se suman errores por refracción de la luz o cambio de temperatura en el uso de distanciometros o estaciones totales.

•

Durante la etapa de programación, es recomendable hacer sub-programas para ser llamados en programas principales, pues muchas de las Fórmulas son repetitivas y si se trabaja para una gran cantidad de puntos se pueden aprovechar bucles repetitivos que calculen cada coordenada en variables temporales las cuales entreguen resultados antes de ser utilizadas nuevamente.

•

Es recomendable trabajar sin considerar la convergencia de meridianos, debido a que los valores de coordenadas topográficas finales son relativas.

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BIBLIOGRAFÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

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ANEXOS

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ANEXOS: AJUSTE DE LA POLIGONAL ABIERTA DEL CIRCUITO 1 CON UNA TRANSFORMACIÓN PREVIA Vertice Grados AZ66 PB66 P2 P3 P7 P9 P10 AZ65 PB65

Angulo Horizontal Minutos Segundos

222 125 242 191 189 173 118

53 49 53 31 20 31 58

37 2 24 39 26 13 42

Admisibles Error Angular -0,001533727 0,00734931 Error Lineal 0,119814844 Error Relativo 1/27058,876 10000

Lado

Distancia

Dis. Acumulada

AZ66--PB66 PB66--P2 P2--P3 P3--P7 P7--P9 P9--P10 P10--AZ65 AZ65--PB65

39,992 507,894 1487,535 548,826 405,318 252,49

39,992 547,886 2035,421 2584,247 2989,565 3242,055

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

93,678 136,571 82,388 145,278 156,806 166,147 159,667 98,645 278,645

93,678 136,572 82,389 145,279 156,807 166,148 159,668 98,647 278,647

597951,133 597978,625 598482,045 599329,312 599545,457 599642,498 599730,228

8523648,917 8523619,873 8523687,143 8522464,483 8521960,012 8521566,482 8521329,723

-0,001 -0,015 -0,056 -0,071 -0,082 -0,089

0,001 0,014 0,050 0,064 0,074 0,080

-0,080

0,089 Este 596918,9583 597951,133 599730,3077 600579,8967

Norte 8523715,26 8523648,917 8521329,634 8521200,438

OK

Pto AZ66 PB66 AZ65 PB65

OK

Este Corr.

Norte Corr.

596918,958 597951,133 597978,626 598482,058 599329,363 599545,521 599642,572 599730,308 600579,897

8523715,260 8523648,917 8523619,872 8523687,128 8522464,427 8521959,941 8521566,400 8521329,634 8521200,438

Linea AZ66--PB66 AZ65--PB65

Azimut 93,678 278,647

AJUSTE DE LA POLIGONAL ABIERTA DEL CIRCUITO 2 CON UNA TRANSFORMACIÓN PREVIA Vertice Grados AZ65 PB65 P14 P15 P16 P17 P18 P19 P20 P21 AZ64 PB64

Angulo Horizontal Minutos Segundos

181 178 188 188 189 189 242 210 154 133

Error Angular Error Lineal Error Relativo

21 21 26 2 45 34 55 5 22 17

-0,00061275 0,065898078 1/40913,94

25,2 36,2 51,5 36,5 26,5 53 51 30,5 11,8 5,9

Lado

Distancia

Dis. Acumulada

AZ65--PB65 PB65--P14 P14--P15 P15--P16 P16--P17 P17--P18 P18--P19 P19--P20 P20--P21 P21--AZ64 AZ64--PB64

234,956 87,398 277,25 227,149 320,819 142,566 192,532 83,152 1130,328

234,956 322,354 599,604 826,753 1147,572 1290,138 1482,670 1565,822 2696,150

Admisibles 0,0087841

OK

10000

OK

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

98,641 99,998 98,358 106,806 114,849 124,607 134,188 197,119 227,211 201,581 154,866 334,866

98,641 99,998 98,358 106,806 114,850 124,607 134,188 197,119 227,211 201,581 154,866 334,866

600568,487 600799,875 600886,344 601151,753 601357,871 601621,927 601724,154 601667,480 601606,458 601190,701

8521193,196 8521152,404 8521139,699 8521059,537 8520964,081 8520781,874 8520682,503 8520498,501 8520442,016 8519390,927

-0,003 -0,004 -0,007 -0,010 -0,014 -0,015 -0,017 -0,018 -0,032

-0,005 -0,007 -0,013 -0,018 -0,025 -0,028 -0,032 -0,034 -0,058

0,058

0,032 Este 599718,8745 600568,487 601190,6435 601589,2551

Norte 8521322,312 8521193,196 8519390,895 8518541,256

Pto AZ65 PB65 AZ64 PB64

Este Corr.

Norte Corr.

599718,874 600568,487 600799,870 600886,338 601151,740 601357,854 601621,902 601724,126 601667,448 601606,424 601190,644 601589,255

8521322,312 8521193,196 8521152,401 8521139,695 8521059,530 8520964,071 8520781,860 8520682,487 8520498,483 8520441,997 8519390,895 8518541,256

Linea AZ65--PB65 AZ64--PB64

Azimut 98,641 334,866

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

87

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

AJUSTE DE LA POLIGONAL ABIERTA DEL CIRCUITO 3 CON UNA TRANSFORMACIÓN PREVIA Vertice Grados AZ64 PB64 P38 P41 P42 P43 AZ63 PB63

Angulo Horizontal Minutos Segundos

156 152 145 247 209 206

Error Angular Error Lineal Error Relativo

12 56 41 28 12 3

-0,00101244 0,058701887 1/51408,381

19 27,5 41 44,5 24,5 10

Lado

Distancia

Dis. Acumulada

AZ64--PB64 PB64--P38 P38--P41 P41--P42 P42--P43 P43--AZ63 AZ63--PB63

1754,944 475,412 642,436 55,453 89,524

1754,944 2230,356 2872,792 2928,245 3017,769

Admisibles 0,00680414

OK

10000

OK

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

154,863 131,069 104,010 69,704 137,183 166,390 192,443 12,443

154,863 131,069 104,010 69,705 137,184 166,391 192,444 12,444

601578,364 602901,455 603362,726 603965,278 604002,966 604024,031

8518539,939 8517387,004 8517271,913 8517494,747 8517454,070 8517367,060

0,031 0,039 0,050 0,051 0,053

-0,015 -0,019 -0,024 -0,025 -0,026

0,026

-0,053 Este 601179,7076 601578,364 604024,0049 603895,0403

Norte 8519389,562 8518539,939 8517367,113 8516782,684

Pto AZ64 PB64 AZ63 PB63

Este Corr.

Norte Corr.

601179,708 601578,364 602901,440 603362,707 603965,253 604002,941 604024,005 603895,040

8519389,562 8518539,939 8517387,035 8517271,952 8517494,798 8517454,122 8517367,113 8516782,684

Linea AZ64--PB64 AZ63--PB63

Azimut 154,863 12,444

AJUSTE DE LA POLIGONAL ABIERTA DEL CIRCUITO 4 CON UNA TRANSFORMACIÓN PREVIA

Vertice Grados P A B C D E F G H Q

257 281 125 94 270 133 221 183

Error Angular Error Lineal Error Relativo

Angulo Horizontal Minutos

54 18 28 51 42 26 54 5

3.25" 0.0199509 1/43901

Lado

Distancia

Distancia UTM

Dis. Acumulada

P--A A--B B--C C--D D--E E--F F--G G--H H--Q

180.173 115.569 217.247 101.614 75.171 32.297 153.636

180.2087961 115.5919608 217.2901618 101.6341883 75.18593467 32.30341664 153.6665238

180.209 295.801 513.091 614.725 689.911 722.214 875.881

Azimut

Azimut Corr.

Este

Norte

Y corr.

X corr.

231.417 309.320 410.620 356.090 270.941 361.654 315.100 357.001 360.094 180.094

231.417 309.320 410.620 356.090 270.941 361.654 315.101 357.001 360.095 180.095

277047.761 276908.347 276997.695 276982.878 276881.258 276883.428 276860.627 276852.588

8670006.686 8670120.875 8670194.213 8670410.997 8670412.667 8670487.821 8670510.704 8670664.160

0.001 0.002 0.003 0.004 0.004 0.004 0.005

-0.004 -0.007 -0.011 -0.014 -0.015 -0.016 -0.019

0.019

-0.005

Pto P A H Q

Este 277083.711 277047.761 276852.569 276852.887

Este Corr.

Norte Corr.

277083.711 277047.761 276908.343 276997.689 276982.867 276881.244 276883.413 276860.611 276852.569 276852.887

8670035.367 8670006.686 8670120.876 8670194.214 8670411.000 8670412.670 8670487.826 8670510.708 8670664.165 8670856.731

Linea P--A H--Q

Azimut 231.417 180.095

Segundos

9 2 10 5 46 48 1 35

Admisibles 28.28"

OK

10000

OK

Norte 8670035.367 8670006.686 8670664.165 8670856.731

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

88

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

INTERFAS DEL PROGRAMA SISTRAUT -UTM-TOPO

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

89

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

INTERFAS DEL PROGRAMA SISTRAUT TOPO-UTM

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

90

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

PARTE DEL CÓDIGO FUENTE DEL SISTEMA SISTRAUT

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

91

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DIAGRAMA DE FLUJO GEOUNI GEODÉSICAS-CARTESIANAS

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

92

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DIAGRAMA DE FLUJO GEOUNI CARTESIANAS- GEODÉSICAS

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

93

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DIAGRAMA DE FLUJO GEOUNI UTM-GEODÉSICAS

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

94

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DIAGRAMA DE FLUJO GEOUNI GEODÉSICAS- UTM

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

95

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ANEXOS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DIAGRAMA DE FLUJO GEOUNI y SISTRAUT UTM-TOPOGRAFICAS, SE OBSERVA LOS PROCESOS DE FACTOR DE ESCALA Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS

REPLANTEO DE COORDENADAS UTM A LA SUPERFICIE TOPOGRÁFICA, PARA GRANDES EXTENSIONES. APARICIO RAMÍREZ VITTORIO FRANCESCO

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