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Antropolog´ıa Fractal Fernando L´ opez Aguilar, Fernando Brambila Paz Editores

Matem´ atica Aplicada y su Ense˜ nanza –Licenciatura–

Editores: Dr. Fernando Brambila Paz Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias. UNAM.

Dr. Alejandro J. D´ıaz Barriga Casales Instituto de Matem´aticas, UNAM.

GN34 .3 L864 L´opez Aguilar, Fernando Antropolog´ıa Fractal / Fernando L´opez Aguilar y Brambila Paz, Fernando. Editores – M´exico : CIMAT, 2007. ?? p. ; 23 cm. – (Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza, Nivel Licenciatura) ISBN 968-5733-08-2 1.Antropolog´ıa Matem´atica MSC: 91D10. c °D.R. Centro de Investigaci´on en Matem´aticas, A.C. Jalisco s/n, Mineral de Valenciana, 36240 Guanajuato, Gto., M´exico c °D.R. Sociedad Matem´atica Mexicana Circuito exterior s/n, ´area de la investigaci´on cient´ıfica, Ciudad Universitaria. C.P. 04510 MEXICO D.F. Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente, por ning´ un medio electr´onico o de otro tipo, sin autorizaci´on escrita del editor. This book may not be reproduced, whole or in part, by any means, without written permission from the publisher. Cuidado de edici´on: Hern´ an Gonz´ alez Aguilar Dise˜ no de portada: Odalmira Soto Alvarado Impreso por: S y G Editores, S.A. de C.V. Cuapinol 52, Santo Domingo de los Reyes, Coyoac´an 04369 - M´exico, D.F.

ISBN 968-5733-08-2

90009

9 789685 733083

´Indice general

Presentaci´ on de la Serie “Matem´ atica Aplicada y su Ense˜ nanza”

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Introducci´ on General Fernando L´ opez Aguilar, Fernando Brambila Paz

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El Problema de una Teor´ıa General de la Complejidad de Fractales 9

Carlos Eduardo Maldonado

Notas Sobre la Complejidad en las Ciencias Sociales: de la Formalizaci´ on a las Met´ aforas 25

Raymundo Mier

Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueolog´ıa Gustavo Sandoval Garc´ıa, Rodrigo Vilanova de Allende

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C´ alculo del Estad´ıstico de Correlaci´ on entre Epocas a trav´ es de Respuestas M´ ultiples y su Representaci´ on Fractal para el Espacio de Trayectorias Mesoamericano Fernando L´ opez Aguilar, Guillermo Bali

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La Dimensi´ on Fractal como Indicador Arqueol´ ogico en los Estudios de Territorio Rosa Brambila Paz, Fernando Brambila Paz, Flor de Mar´ıa Aceff S´ anchez 95

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´INDICE GENERAL

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El Alt´ epetl. En Busca de Una Definici´ on Blanca Vilchis Flores

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El Colapso de un Alt´ epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´ es de la Conquista Fernando L´ opez Aguilar, Tatiana M´ arquez Lago 141 Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones Rupestres Aline Lara Galicia

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Ap´ endice Bibliogr´ afico. Arqueolog´ıa, Antropolog´ıa y Fractales Gustavo Sandoval Garc´ıa

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

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Presentaci´ on de la Serie “Matem´ atica Aplicada y su Ense˜ nanza” Maestro ¿y esto para qu´e sirve?... Es la pregunta que muchas veces se oye en un sal´on de clase de Matem´aticas. La Sociedad Matem´atica Mexicana a trav´es de su Comit´e de Educaci´on trata de colaborar a que la ense˜ nanza de las matem´aticas sea cada vez mejor, a que los que las estudian se convenzan de que el esfuerzo que tienen que realizar para aprenderlas no es solamente para pasar de a˜ no, sino que los procesos de pensamiento que enfrentan, las habilidades que adquieren y sobre todo la actitud que deben tener frente a los problemas es u ´til en su formaci´on, en su desarrollo profesional, incluso en su vida cotidiana. Por saber matem´aticas entendemos participar del quehacer matem´atico; es decir, tener habilidad para resolver problemas, conjeturar, hacer demostraciones. Gracias al apoyo del CONACYT, la Sociedad Matem´atica Mexicana (SMM) ha podido sostener el proyecto “Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza”, que ha colaborado y estamos seguros colaborar´a a que los profesores nos podamos enfrentar a ofrecer a nuestros estudiantes un producto, las matem´aticas, m´as interesante, m´as l´ udico, de m´as calidad. A que los alumnos puedan tener a la mano respuestas a la pregunta que hacemos al inicio de esta presentaci´ on. Desde su inicio el proyecto se dividi´o en dos niveles: el nivel de Bachillerato y el nivel de Licenciatura. Algunos de los trabajos que presentamos en estos vol´ umenes fueron hechos a petici´on expresa y con muchas horas de discusi´on sobre lo que deb´ıa de ser el resultado del proyecto, luego ´estos pasaron a arbitraje. Posteriormente hicimos un primer concurso para convocar a la comunidad matem´atica del Pa´ıs a que colaborara con este proyecto, poniendo en la p´agina de la Sociedad ejemplos de qu´e es lo que est´abamos esperando. La respuesta de la comunidad ha sido excepcionalmente buena y para iniciar la serie ya contamos con material para seis vol´ umenes de Bachillerato y seis de Licenciatura. iii

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Presentaci´on de la Serie

Cada volumen de Bachillerato cuenta con algunos fasc´ıculos que tratan temas de matem´aticas con aplicaciones, a veces a la matem´atica misma, y en ocasiones la forma de c´omo se puede desarrollar este contenido en clase a manera de una propuesta did´actica. Para el nivel Licenciatura se tiene la idea de mostrar aplicaciones que sean susceptibles de ense˜ nar en los primeros semestres de una Licenciatura como Biolog´ıa, alguna Ingenier´ıa, Econom´ıa, Qu´ımica, desde luego Matem´aticas, etc. Para su presentaci´on hay dos tipos de clasificaciones, una por ´areas de las ma´ tem´aticas, as´ı hay vol´ umenes para C´alculo, para Algebra Lineal, para Geometr´ıa, otra por la aplicaci´on; Matem´aticas Aplicadas a la Ciencias de la Vida y Matem´aticas Aplicadas a la Negociaci´on. Sinceramente esperamos colaborar con maestros y alumnos en lograr un mejor y m´as profundo aprendizaje de las matem´aticas. “Provocar aprendizajes, es nuestra tarea en la ense˜ nanza”. Agradecemos a todos los que en alg´ un momento han colaborado con este proyecto: escritores, ´arbitros, concursantes. Todo aquel que se ha enfrentado a la tarea de editar sabe que ´esta es ardua. Ha sido importante la colaboraci´on de Mar´ıa Teresa V. Mart´ınez Palacios, Gricelda Cedillo Ram´ırez, Martha Cerrilla y Aranda, Alejandro Bravo Mojica, Graciela Gonz´alez Hita y Hern´an Gonz´alez a ellos les damos las gracias. Por u ´ltimo queremos agradecer al CIMAT y a su director Jos´e Carlos G´omez Larra˜ naga por esta coedici´on con la SMM. Afectuosamente, Coordinadores del Proyecto “Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza” de la SMM. Dr. Fernando Brambila Paz Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Dr. Alejandro J. D´ıaz Barriga Casales Instituto de Matem´aticas UNAM.

Octubre de 2005.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Introducci´ on General Fernando L´ opez Aguilar [email protected] Fernando Brambila Paz [email protected]

La primera interrogante que emerge en el momento de leer el t´ıtulo de este libro, Antropolog´ıa fractal, es saber si resulta factible fusionar dos perspectivas del conocimiento que, al menos para el caso de la historiograf´ıa de la ciencia en M´exico, han estado permanentemente alejadas y en constantes desencuentros producto de una divisi´on hist´orica entre las llamadas ciencias duras y las blandas. Por su parte, en el ´area de las humanidades, ha existido la preocupaci´on de matematizar los procedimientos y la idea de que los fen´omenos sociales no pueden ser parametrizados de forma precisa, lo que fomentaba el distanciamiento: Los campos se ve´ıan mutuamente excluyentes y las interacciones eran espor´adicas. Por otro lado, t´erminos como complejidad y autosimilitud invad´ıan los campos de la antropolog´ıa y la historia. Se intu´ıa que exist´ıan fen´omenos y sociedades complejas, as´ı como la posibilidad de que alg´ un tipo de patr´on geom´etrico existiera al interior de cada una de las culturas bajo estudio. En esa direcci´on se hicieron varios intentos fallidos, que no alcanzaron a identificar plenamente ese patr´on, m´as all´a de constatar la idea de que eran no occidentales. En los u ´ltimos cuarenta a˜ nos ocurrieron una gran cantidad de transformaciones en el ´ambito de los saberes y de las pr´acticas acad´emicas que trastocaron paulatinamente las preconcepciones que se ten´ıan sobre la demarcaci´on entre los campos establecidos del conocimiento y que, al menos hacia finales de la d´ecada de los noventa del siglo pasado, prefiguraban la necesidad de un replanteamiento radical en los fundamentos que construyeron las distinciones disciplinares con 1

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Introducci´on General

base en la emergencia de nuevos problemas de investigaci´ on. Se descubrieron convergencias entre las ideas que algunos de los m´as importantes te´oricos sobre los fen´omenos sociales hab´ıan formulado, y las nociones sobre fluctuaci´on, perturbaci´ on y azar que los te´oricos de la complejidad y los fractales hab´ıan plasmado en diversos trabajos. El resultado consisti´o en una idea ambigua proveniente de las humanidades: la transdisciplina. Se construyeron diversos planteamientos te´oricos, pero los dilemas sobre la aplicabilidad de conceptos provenientes de las ciencias de la complejidad inclu´ıan una dificultad que proven´ıa desde las mismas matem´aticas: al trabajar con conceptos como el de fractal, se evidenciaba la existencia de definiciones adaptadas a cada uno de los campos disciplinares, as´ı como a los problemas de investigaci´ on que se pretend´ıan resolver y no parec´ıa existir conmensurabilidad y entendimiento entre una definici´on y otra. M´as all´a de que para una idea positivista del mundo la definici´on requerir´ıa una asertividad l´ogica que estableciera las condiciones suficientes y necesarias para definir un fractal, las pr´acticas acad´emicas recientes mostraban una trayectoria distinta en la que los t´erminos de la definici´on parec´ıan m´as bien estar contenidos, sobre la investigaci´ on misma, en la l´ogica fusa, con bordes y fronteras poco definidos. Por ello, todos compart´ıan de alguna manera la idea de fractal, especialmente en dos t´erminos: autosimilitud y dimensi´on fractal no entera, es decir, que la pr´actica pareciera reducir estos dos atributos b´asicos como condiciones suficientes y necesarias para un fractal, y que otros atributos que se usaban en las diferentes investigaciones, podr´ıan considerarse como parte de los atributos fractales, suficientes, pero no necesarios. En el Seminario sobre Antropolog´ıa Fractal se plante´ o como primer objetivo una revisi´on de las diversas ideas que exist´ıan en torno a los fractales, tanto en el ´ambito de las matem´aticas, como en el de su aplicaci´on a la antropolog´ıa y a la arqueolog´ıa. El resultado fue reconocer que de las dos condiciones suficientes y necesarias para definir un fractal, la dimensi´on fractal puede ser u ´til para obtener respuestas respecto a los patrones geom´etricos de las culturas y, por lo tanto, coadyuvar al reconocimiento de diferentes identidades. Las teor´ıas de la complejidad y la antropolog´ıa fractal permiten contestar viejas preguntas e inquietudes respecto a los fen´omenos culturales, pero es necesaria la realizaci´on de nuevas formas metodol´ogicas para la evaluaci´ on de las ideas: ver, mirar, observar, experimentar y simular (Wagsenberg 1998: 89-104), por ejemplo, en las firmas fractales de la cer´amica y en la l´ıtica, en el reconocimiento de estra-

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Introducci´on General

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tos arqueol´ogicos a trav´es de fractales, y en cualquier procedimiento clasificatorio de la antropolog´ıa. Pero, por otro lado, la complejidad y la antropolog´ıa fractal hacen, por ese v´ınculo transdisciplinario, que se generen nuevas preguntas y nuevos procedimientos metodol´ogicos para buscar las respuestas y esta perspectiva agrega un valor epistemol´ogico adicional a la fusi´on de dichos horizontes disciplinarios. En este volumen hemos publicado los diversos aportes de los miembros del Seminario sobre Antropolog´ıa Fractal, junto con un documento enviado por Carlos Maldonado, quien desde la Universidad del Externado de Colombia, ha construido un grupo de investigaci´on sobre complejidad. Las diversas tem´aticas que hemos abordado en las discusiones y los trabajos del seminario se han plasmado en un conjunto de ensayos que hemos ordenado de forma tal que pueda observarse c´omo un tema se contiene en otro. Desde una perspectiva amplia de la formalizaci´on te´orica y la elaboraci´on de met´aforas, se transita hacia la visi´on general de una perspectiva mesoamericana del espacio, el tiempo y las din´amicas de los sistemas hasta lograr un acercamiento a detalle de objetos ic´onicos representados en Teotihuacan y en las rocas del Valle del Mezquital. Carlos Maldonado reflexiona sobre el que, quiz´a, sea uno de los predicamentos m´as grandes en el ´ambito de las teor´ıas de la complejidad: el reto y la exigencia de los paradigmas tradicionales y rivales, en especial en el campo de la antropolog´ıa, de construir una formalizaci´on total como sistema te´orico. Los dilemas positivistas para la formalizaci´on de los lenguajes, la construcci´on de un lenguaje bien formulado para las teor´ıas, la construcci´on de sistemas axiom´aticos, y la idea de que las teor´ıas s´olidas deber´ıan tener un fundamento matem´atico, se enfrentan con la policentralidad de los autores de las teor´ıas de la complejidad. Los aportes provenientes de diferentes campos disciplinarios, y el desarrollo de nuevas l´ogicas desde los a˜ nos sesenta (como la l´ogica fusa y las l´ogicas de segundo orden), llevan a pensar que el camino toma derroteros distintos. El dilema, por supuesto, es dif´ıcil de resolver, en especial cuando ya es necesaria una historia epistemol´ogica del pensamiento complejo que rebase los trabajos cl´asicos de Prigogine y Stengers (1990), y los estudios de divulgaci´on de la ciencia, tan comunes en este tiempo, en especial los de Briggs y Peat (1990), y los de James Gleick (1987). Es imperativo que esta nueva historia devele las anomal´ıas, las problem´aticas que se han enfrentado en la construcci´on de cada uno de los campos te´oricos que integrados bajo el nombre de teor´ıas de la complejidad, pues

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Introducci´on General

lejos de mostrarse como simple y lineal, ella misma es un ejemplo de la no linealidad. Este camino ya ha sido desarrollado por Reynoso, en especial al referirse a los campos te´oricos en conflicto y la manera en que la competencia te´orica ya ha desbancado algunas explicaciones en boga hace unos veinte a˜ nos, como la teor´ıa de las cat´astrofes. En ese marco se inserta la colaboraci´on de Raymundo Mier, quien hace un ejercicio desde la perspectiva antropol´ogica y ling¨ u´ıstica, sobre el car´acter de las inquietudes que dieron origen a la noci´on de complejidad y la forma en que la b´ usqueda de una inteligibilidad del mundo rebas´o las ideas deterministas a partir de ciertas reflexiones matem´aticas sobre singularidad, bifurcaci´on, discontinuidad, fluctuaciones y variaciones. El descubrimiento de los espacios geom´etricos de dimensiones intermedias, los atractores, y el modelo biol´ogico de la autopo¨ıesis, se convierten en met´aforas para una sociolog´ıa que Niklas Luhman retomar´ıa para construir la idea de que los diferentes componentes sociales est´an determinados por la autopo¨ıesis. Las met´aforas de la complejidad atraviesan no s´olo las nociones ontol´ogicas de lo social, sino que afectan los indicios, los vestigios, las evidencias. Emergen, con ello, la incertidumbre, la condici´on aleatoria de la informaci´on disponible y la vaguedad de los testimonios de los procesos culturales. La construcci´on del conocimiento en la antropolog´ıa implica una reflexi´on innovadora sobre la forma en la que los principios te´oricos incorporan evidencias y datos: Se trata de una nueva visi´on sobre las metodolog´ıas y la epistemolog´ıa. La posici´on del observador en relaci´on con la realidad requiere una conciencia reflexiva sobre los saberes y su car´acter especulativo, de modo que la evidencia tiene que ser re-descubierta para mostrar las fluctuaciones y las inestabilidades. Desde hace unos treinta a˜ nos, la arqueolog´ıa se ha aproximado de muchas formas a las ideas de complejidad. La rese˜ na que nos presentan Gustavo Sandoval y Rodrigo Vilanova destaca que fue Colin Renfrew, en fechas tan lejanas como 1978, quien ya anticipaba nociones de fractalidad, borrosidad en las fronteras, cat´astrofes en las ideolog´ıas y autosimilitud en los procesos. Por su propio car´acter en torno a la construcci´on de las evidencias, el arque´ologo presume, de forma equivocada, una relaci´on de mayor objetividad, lo que ha hecho que la mayor parte de sus enfoques se realicen desde una matematizaci´on de sus datos. Es por ello que la revisi´on abunda en la b´ usqueda de diversas dimensiones fractales, aunque tambi´en se han construido reflexiones que, desde la construcci´on de met´aforas de las matem´aticas, permitan observar los procesos arqueol´ogicos y antropol´ogicos.

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Pareciera ser que, para el caso de la arqueolog´ıa, la geometr´ıa fractal ya ha dejado de ser una aproximaci´on err´atica. Sin embargo, las posibilidades adquieren no s´olo el car´acter de herramientas experimentales, donde el campo de exploraci´on a´ un es vasto, sino el de una forma novedosa de observar los componentes arqueol´ogicos, bien como agentes humanos, bien como sistemas adaptativos complejos, donde una propiedad fractal resulta relevante: la autosimilitud. La historia de Mesoam´erica se ha visto como un proceso lineal y simple. La composici´on de esta mirada sobre el pasado prehisp´anico ha sido consustancial a la historia del pensamiento arqueol´ogico mexicano. Fernando L´opez Aguilar y Guillermo Bali parten de una hip´otesis propuesta en 1995 por ellos mismos en torno a la idea de Mesoam´erica como un atractor, un sistema complejo, con altos componentes de autosimilitud entre lo local y lo global. Las propuestas sobre los factores que determinaban la complejidad del sistema mesoamericano -el desarrollo vertical, en extensi´on y en intensidad- fueron parametrizados para trazar las trayectorias norte centro y sur. La gr´afica resultante les permite comparar esta visi´on, fluctuante e inestable de la historia prehisp´anica, con la forma en que se ha observado la flecha del tiempo de la historia antigua de M´exico. Finalmente, desde un estudio estad´ıstico de m´ ultiples respuestas y la combinaci´ on de los resultados con el fractal Kamtorus, representan de forma gr´afica las fases de estabilidad e inestabilidad de las trayectorias mesoamericanas. Los estudios sobre el territorio mesoamericano han intuido la existencia de componentes autosimilares en diferentes escalas de la cosmovisi´ on prehisp´anica, desde el cuerpo humano, el espacio sacralizado, y la casa, hasta las unidades pol´ıtico territoriales. Estas intuiciones pocas veces han sido trabajadas sistem´aticamente desde la perspectiva de los fractales. El trabajo de Rosa Brambila Paz, Fernando Brambila Paz y Flor de Mar´ıa Aceff S´anchez nos permite aproximarnos, desde la observaci´on del territorio del centro norte de Mesoam´erica y de la ciudad prehisp´anica de Teotihuacan, a una comprensi´on de la manera en la que uno de los s´ımbolos centrales, la forma X, es asociada con el movimiento, se vincula con los rumbos del universo, se encuentra presente en la expresi´on territorial y en la construcci´on arquitect´onica. Lo anterior los lleva a la b´ usqueda de la dimensi´on fractal en un ejemplo de las estructuras asociadas a la Plaza de la Luna en Teotihuacan. La construcci´on del espacio territorial prehisp´anico ha sido vista desde las categor´ıas cl´asicas usando los t´erminos villa, ciudad, estado, o bien, ciudad es-

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Introducci´on General

tado. Sin embargo, diversos autores han visto que estos t´erminos no han sido suficientes para describir y explicar lo que definen en el campo de la historia prehisp´anica de M´exico. Por ello han buscado emplear la etnocategor´ıa alt´epetl, recuperada de las fuentes documentales del siglo XVI, que se refiere a las unidades de asentamiento relevantes para la cosmovisi´ on prehisp´anica, una alternativa para la reflexi´on hist´orica y te´orica. En esa direcci´on, la colaboraci´on de Blanca Vilchis Flores incluye una b´ usqueda, desde la etnohistoria, de la manera en que pueden encontrarse diversos componentes autosimilares en la jerarqu´ıa de los t´erminos que describen las unidades de asentamiento mesoamericano: calpulli, alt´epetl tlayacan, hueyalt´epetl, alt´epetl tenochca. Con ello, y desde una mirada fractal, se inici´o una b´ usqueda desde las teor´ıas de la complejidad, para propornerlas como uno de los protagonistas principales de la acci´on humana, (la agencia, el agente aut´onomo), de propiedades autosimilares desde la teor´ıa de los sistemas adaptativos complejos. Se trata de un paso metodol´ogico novedoso que parte de la b´ usqueda de met´aforas para la elaboraci´on de modelos y simulaciones que deriven en una mejor comprensi´on del mundo mesoamericano. Tatiana M´arquez Lago y Fernando L´opez Aguilar, nos comparten una mirada distinta de las fuentes hist´oricas de la Colonia con la idea de que el alt´epetl se destruye en una trayectoria compleja despu´es de la Conquista espa˜ nola. Realizan un estudio de caso sobre la vieja cabecera de Itzmiquilpan en la que demuestran que la segregaci´on de los barrios ind´ıgenas sujetos, respecto a su antigua cabecera, heredera del gobierno ind´ıgena prehisp´anico, se configur´o de tal manera que el tiempo transcurrido entre los eventos es una funci´on de varios factores. Entre ellos, el n´ umero de pueblos independizados, el tama˜ no de las fronteras que construyeron, y la superficie del territorio enajenado. Nos muestran c´omo, incluso, la dimensi´on fractal de las fronteras y de la superficie independizada es una funci´on logar´ıtmica del tiempo, donde las grandes extensiones territoriales tienden a reducirse hasta una dimensi´on fractal que converge en un valor cercano al 1.3 y, finalmente, exploran la idea de que existe una autosimilitud espacial en la acumulaci´on de los procesos, tambi´en como una funci´on del tiempo. Aline Lara Galicia pretende resolver, desde una perspectiva transdisciplinaria y multivocal, el dilema de las pinturas rupestres del Valle del Mezquital. Efectivamente, esta regi´on est´a caracterizada por tener alto un n´ umero de representaciones rupestres que se encuentran alrededor de los cerros sagrados del Coatepec y del Tezcatepec, significativos para la cosmovisi´ on mexica. La idea de que los ´ıconos y los signos representados en las graf´ıas rupestres conforman un

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lenguaje que puede ser le´ıdo, as´ı como la importancia de conocer la firma fractal como una forma de aproximarse a la huella de los pintores, es el primer paso para la comprensi´on del conjunto de patrones que pueden reproducirse en diferentes niveles, los petrograbados, los c´odices y los mitos. Finalmente, incluimos una breve bibliograf´ıa, necesariamente incompleta, sobre autores que han tratado el tema de la antropolog´ıa fractal y la arqueolog´ıa fractal desde diversas perspectivas. Este complemento es u ´til para observar la larga trayectoria de b´ usqueda que ha existido para observar, conocer y comprender los fen´omenos antropol´ogicos y arqueol´ogicos desde las teor´ıas de la complejidad, buscando reconocer la fractalidad y la autosimilitud. Este esfuerzo para detectar la geometr´ıa fractal en los procesos y fen´omenos antropol´ogicos, en esta ocasi´on, se ha enfocado a una regi´on cultural de alta complejidad social para la ´epoca prehisp´anica, Mesoam´erica. Queda claro que las propuestas pueden ser trasladadas y aplicadas en otras latitudes, ya sea porque la problem´atica sobre la complejidad resulte an´aloga, o bien porque el proceso metodol´ogico conduzca a nuevas respuestas y preguntas. En caso de que alguno de los lectores realice una investigaci´ on sobre estas tem´aticas, puede comunicarse v´ıa correo electr´onico con los editores de este volumen a las siguientes direcciones:

Bibliograf´ıa Briggs, John y F. David Peat: Espejo y reflejo: del caos al orden. Gu´ıa ilustrada de la teor´ıa del caos y la ciencia de la totalidad. Editorial Gedisa, Barcelona, 1990. Gleick, James: Chaos. Making a new science. Penguin Books, New York, 1987. Prigogine, Ilya e Isabelle Stengers: La nueva alianza. Metamorfosis de la ciencia. Alianza Universidad. Alianza Editorial, Barcelona, 1990. Wagsenberg, Jorge: Ideas sobre la complejidad del mundo. Metatemas 9, Tusquets, Barcelona, 1998.

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El Problema de una Teor´ıa General de la Complejidad de Fractales

Carlos Eduardo Maldonado1 [email protected]

Introducci´ on Los dos problemas fundamentales de las ciencias de la complejidad son: los trabajos y el desarrollo de simulaci´ on y el desarrollo de una teor´ıa general de la complejidad. La simulaci´on constituye, de lejos, el campo de trabajo m´as destacado en el estudio de los sistemas din´amicos complejos. La simulaci´ on es posible gracias al desarrollo de programas computacionales (software), y en general se divide en dos ramas: simulaci´ on de objetos y simulaci´ on de series y procesos. Es posible trabajar en el plano de la simulaci´ on a partir de dos estrategias, as´ı: a) creando un lenguaje de programaci´on (programando, justamente), o bien empleando determinados lenguajes de programaci´on ya creados (tales como Java, Matematika, C++, Windows Hothouse, Lisp, u otros). Desde el punto de vista de la simulaci´on, las ciencias de la complejidad son el resultado de los magn´ıficos desarrollos recientes de los sistemas de informaci´on y de las ciencias de la computaci´on y, a su vez, han contribuido al propio desarrollo de la programaci´on. Como quiera que sea, el papel del computador es determinante tanto para el origen 1

Ph.D. en Filosof´ıa (K.U. Leuven, B´elgica); Postdoctorado como Visiting Scholar (University of Pittsburgh, E.U.); Postdoctorado como Visiting Research Professor (The Catholic University of America, Washington, D.C., E.U.). Profesor-investigador, Universidad Externado de Colombia.

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Carlos Eduardo Maldonado

como para el desarrollo de las ciencias de la complejidad (Pagels, 1991). Desde el punto de vista de la epistemolog´ıa y la filosof´ıa de la ciencia, con el estudio de los sistemas complejos no lineales se logra un avance te´orico y pr´actico de un significado fundamental en el que los te´oricos, acad´emicos e investigadores ya no simplemente pueden y deben elaborar modelos, sino, mejor a´ un, simulaciones. El trabajo con y la elaboraci´on de modelos corresponde, en s´ı, a la ciencia anterior a las ciencias de la complejidad. La simulaci´ on, por el contrario, caracteriza a las ciencias de punta que son el estudio de los sistemas complejos adaptativos. A´ un cuando las ciencias de la complejidad siguen siendo marginales en el mundo acad´emico y de la investigaci´ on, en general, en el mundo –no obstante el hecho de que existe una bibliograf´ıa creciente sobre el tema-, el trabajo principal en el estudio de la complejidad ha consistido en procesos de simulaci´ on sobre una infinidad de sistemas, fen´omenos y procesos, y ciertamente se han logrado progresos significativos en diversos aspectos y planos. Por su parte, el trabajo te´orico constituye a todas luces el reto m´as grande que enfrentan los investigadores, te´oricos y acad´emicos dedicados al estudio de los sistemas complejos no lineales. En 1994, una d´ecada despu´es de la creaci´on del Instituto Santa Fe, en Nuevo M´exico, considerado como el centro pionero en el estudio de la complejidad en el mundo, se llev´o a cabo un seminario dedicado a evaluar los principales logros, retos y posibilidades que tanto Santa Fe, como otros centros e institutos de investigaci´on alrededor del mundo, hab´ıan alcanzado. La participaci´on en este seminario gir´o alrededor de figuras como S. Kauffman, M. Gell-Mann, D. Pines, y en general todos aquellos que, ahora, retrospectivamente, cabe designar con propiedad como la primera generaci´on de la complejidad. Este seminario se public´o en 1994 con el t´ıtulo Complexity. Metaphors, Models, and Reality (Cowan, et al, 1999).Cinco a˜ nos despu´es fue reeditado sin ninguna modificaci´on. Quiz´as la conclusi´on m´as asombrosa de este seminario consiste en el reconocimiento expl´ıcito de que no existe todav´ıa –y hasta la fecha tampoco la hay- una teor´ıa general de los sistemas complejos. Esta es, al mismo tiempo, la debilidad m´as grande y la gran promesa por delante en el trabajo con complejidad. Antes y despu´es del seminario mencionado, son varios los autores que se˜ nalan la posibilidad y la necesidad de formular una teor´ıa general de la complejidad. Usualmente, se trata de observaciones hacia el final de varios libros y estudios, terminando todos en algunas observaciones o propuestas de lo que podr´ıa ser una

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El Problema de una Teor´ıa General de la Complejidad de Fractales

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teor´ıa semejante. Como ejemplo, basta con citar a Holland (1992, 1995, 1998), Kauffman, (particularmente 1995, 2000), Bak (1996; en especial, cap´ıtulo 9).

El problema de una teor´ıa general de la complejidad En el contexto del estudio de la adaptaci´on en los sistemas naturales y artificiales, J. Holland (1992) plantea, hacia el final, las posibilidades que ese trabajo brindan para elaborar una teor´ıa; a saber, justamente sobre los sistemas naturales y artificiales que son adaptativos. A fin de entender el alcance de la tarea planteada por Holland, cabe recordar que durante un tiempo muy largo, y con buenas razones, los sistemas complejos han sido definidos como sistemas complejos adaptativos, siendo as´ı la adaptaci´on uno de los rasgos que definen por qu´e un sistema complejo es tal. In pursuing a general theory, there is a traditional tool of physics that can be brought to bear – the gedanken experiment. As the name implies, a gedanken experiment is a thought experiment. It extracts a few elements from a process in order to examine, logically, some critical effect produced by the interaction of these elements. Computers offer a way of extending the scope of gedanken experiments to much more complex situations. (1992: 195-6). Y m´as adelante concluye (cito el texto que aunque largo, es suficientemente claro): A general theory of complex adaptive systems that addresses these problems will be built, I think, on a framework that centers on three mechanisms: parallelism, competition, and recombination. Parallelism lets the system use individuals (rules, agents) as building blocks, activating sets of individuals to describe and act upon changing situations. . . Competition allows the system to marshal its resources in realistic environments where torrents of competition – credit assignment and rule discovery – extract useful, repeatable events from this torrent, incorporating them as new building blocks. Recombination underpins the discovery process, generating plausible new rules from

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building blocks that form parts of tested rules. It implements the pervasive heuristic that building blocks useful in the past will prove useful in new, similar contexts. Overall, these mechanisms allow a complex adaptive system to respond, instant by instant, to its environment, while improving its performance. In so doing, as with classifier systems, the system balances exploration with explotation. When these mechanisms are appropriately incorporated in simulations, the systems that result are well founded in computational terms, and they do indeed get better at attaining goals in perpetually novel experiments. It should be possible to take a first step toward a general theory of complex systems by formalizing a framework based on these mechanisms. A second step would incorporate a mathematics that emphasizes process over end points. This mathematics would emphasize the discovery and recombination of useful components – building blocks – rather than focusing on fixed points and basins of attraction. At that point, the incipient theory should begin to provide the guidelines that make the computer-based experiments more than uncoordinated forays into an endlessly complex domain. Once we get that far, we come at last to a rational discipline of complex adaptive systems providing genuine predictions (1992: 197-8). Tres a˜ nos m´as tarde, Holland (1995; cap´ıtulo 5: Toward Theory), destaca cuatro componentes de lo que puede ser (“ser´a”) una teor´ıa general de la complejidad. Estos elementos son (1995: 170-172): 1. La interdisciplinariedad. Esta permitir´a entender lo com´ un de diversos sistemas complejos adaptativos. 2. Experimentos mentales basados en computaci´ on. Este trabajo permtir´ a exploraciones complejas tanto con sistemas posibles como con sistemas reales. 3. El principio de correspondencia de Bohr. El famoso principio de Bohr significa, traducido al estudio de los sistemas complejos, que los modelos desarrollados por los investigadores en complejidad deber´an abarcar los modelos est´andar de estudios anteriores en disciplinas relevantes. 4. Una matem´ atica de procesos competitivos basados en la recombinaci´ on. Dado que los experimentos basados en computador no son suficientes, se re-

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quiere de una matem´atica que permita generalizaciones rigurosas que definan las trayectorias producidas por las interacciones entre la competencia y la recombinaci´on. Por su parte, y luego de haber desarrollado los modelos y estudios que dan lugar por primera vez a la criticalidad autoorganizada, Bak, (1996) recurre a la teor´ıa de los equilibrios puntuados para fundamentar, por as´ı decirlo, tanto a la propia criticalidad autoorganizada como en general al estudio de los sistemas complejos (cap´ıtulo 9: “Theory of the Punctuated Equilibrium Model”). Aunque Bak no lo expone, la teor´ıa de los equilibrios puntuados fue propuesta por vez primera por S. J. Gould y N. Eldridge en 1977. En realidad, lo que piensa Bak acerca de lo que es una teor´ıa es bastante cl´asico y muy poco tiene que ver con la idea de una ciencia revolucionaria, ya sea en el sentido acu˜ nado originalmente por T. Kuhn, o bien, desde el fragor del entusiasmo que caracteriz´o a los primeros pasos te´oricos, administrativos y organizaciones en el estudio de la complejidad (Waldrop, 1992; Lewin, 1995). Curiously, the concept of what constitutes a theory appears to be different in biology and physics. . . According to one of the most fundamental principles of science, a theory is a statement about some phenomenon in nature that in principle can be confronted with reality and possibly falsified. The description can be either verbal or mathematical. In physics, we use the language of mathematics to express our theories. To confront the theory with reality, we solve equations and compare with experiments. The result of the theory is a number that is compared with a number measured by some apparatus. If there is disagreement, we return to the drawing board. When theories are expressed verbally in terms of much less precise languages, the confrontation with facts is much more cumbersome and leaves space for endless discussions among experts as to what constitutes the better description. Sometimes the experimental observation itself, without any condensation into more general principles, is viewed as a theory (1996: 162). Otros textos y autores podr´ıan mencionarse a prop´osito del problema de una teor´ıa de los sistemas complejos adaptativos. Pero considero que es suficiente

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con estas tres indicaciones. En el primer texto citado el ´enfasis recae sobre las caracter´ısticas de dicha teor´ıa. Holland conf´ıa fuertemente en el poder de las matem´aticas y a´ un cree en los beneficios predictivos que una teor´ıa general de la complejidad puede aportar. En el segundo texto su confianza en las matem´aticas –notablemente aquellas que trabajan con problemas combinatorios –“complejidad combinatoria”- es a´ un m´as franca y directa, si bien reconoce la importancia de la interdisciplinariedad y de los procesos de simulaci´ on conjuntamente con el principio de correspondencia de Bohr. Como se recordar´a, este principio fue formulado en los inicios de la mec´anica cu´antica para sostener que, dado que las leyes cl´asicas de la f´ısica funcionan muy bien al describir sistemas mucho m´as grandes que los ´atomos, las leyes de la mec´anica cu´antica –que funcionan adecuadamente en la descripci´on de fen´omenos y comportamientos subat´omicos- deben ser indistinguibles de las leyes de la mec´anica cl´asica cuando se aplican en una escala suficientemente grande. Este principio es anterior al mucho m´as famoso principio de complementariedad, y que debe, sin embargo, quedar aqu´ı de lado. Como quiera que sea, lo cierto es que todas las teor´ıas –cient´ıficas y filos´oficas, notablemente- desarrolladas antes de las ciencias de la complejidad o al margen suyo (por ejemplo, quienes ignoran o no quieren saber nada de “complejidad”) han sido teor´ıas cerradas, autorreferenciales, autoconsistentes. M´as exactamente, todas las teor´ıas cient´ıficas habidas en la historia de la humanidad hab´ıan sido tautol´ogicas. La primera vez que logramos darnos cuenta de esto fue gracias a la cr´ıtica a los sistemas tautol´ogicos llevados a cabo gracias al teorema de la incompletud de G¨odel (Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los principia matem´ atica y sistemas relacionados, 1931). G¨odel fue el primero –ciertamente en el contexto de la discusi´on planteada varios a˜ nos antes por D. Hilbert- en darse cuenta que todas las teor´ıas existentes –de tipo deductivo, desde luego-, eran tautol´ogicas. El resultado de los estudios de G¨odel, como es sabido, consiste en establecer que si en ciencia queremos una teor´ıa que no sea tautol´ogica, entonces, necesariamente, nos encontramos con una teor´ıa incompleta. De esta suerte, una teor´ıa es consistente, pero entonces es tautol´ogica; o lo que es equivalente, entonces es incompleta. O bien, una teor´ıa es completa, pero entonces es inconsistente, y por tanto tautol´ogica. Es fundamental aqu´ı atender a la distinci´on entre consistencia y coherencia de una teor´ıa. Dicho en t´erminos de G¨odel, la verdad de un sistema no puede: a) definirse en funci´on del sistema mismo; b) establecerse en t´erminos de los elementos

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y sus din´amicas que componen un sistema. En ambos casos, nos encontramos justamente con verdades tautol´ogicas o, lo que es equivalente, con teor´ıas autorreferenciales. Por el contrario, la verdad de un sistema se encuentra por fuera de ´este, en otro sistema que lo incluye; y as´ı sucesivamente. El estudio del teorema de la incompletud de G¨odel en el contexto del estudio de los sistemas complejos no lineales ha sido adelantado por J. Casti (1999; 1995). En este momento, cabe una observaci´ on puntual. De acuerdo con Gould (1992), el concepto de teor´ıa no aparece, tal y como lo entendemos en nuestros d´ıas, sino hasta el a˜ no de 1699. Antes de esta fecha, el concepto no aparece como t´ıtulo de una obra de investigaci´ on y como el eje de un modelo explicativo del mundo. Incluso la obra principal de Newton llevar´ a por t´ıtulo Principios de Filosof´ıa Natural; esto es, a´ un querr´a ser filosof´ıa: natural, o filosof´ıa de la naturaleza. Habr´a que esperar para que gradualmente el concepto de teor´ıa vaya cobrando el sentido y valor que adquiere, al cabo, en la modernidad y en el mundo contempor´aneo. Es decir, que la forma m´as elevada de ciencia es aquella que se basa en, o apunta a, la formulaci´ on y desarrollo de teor´ıa(s). El que las teor´ıas son autorecurrentes, y que la propia raz´on o racionalidad humana y cient´ıfica en general tienen un car´acter circular y autorreferencial ha sido un fen´omeno constantemente observado, subrayado y analizado por parte de uno de los m´as destacados fil´osofos de la ciencia de todos los tiempos: N. Rescher. De hecho, dentro del programa de investigaci´ on que gira en torno al t´ıtulo racionalidad, Rescher (1993) ha llamado la atenci´on en reiteradas ocasiones acerca del car´acter autorreferencial de la raz´on. En l´ıneas similares pueden mencionarse los trabajos de Nozick (1993) o los trabajos sobre justificaci´on y justificacionismo por parte de Audi (1993). En t´erminos generales, el estudio de las estructuras de las teor´ıas –cient´ıficases el objeto de la filosof´ıa de la ciencia y, por derivaci´ on, de la epistemolog´ıa. En t´erminos recientes, es el objeto mismo de la filosof´ıa de la l´ogica –espec´ıficamente a partir de los desarrollos de las l´ogicas no cl´asicas y la filosof´ıa que les subyace-. Las l´ogicas no cl´asicas han sido designadas, de una manera m´as positiva, como l´ogicas filos´oficas. Es sobre este marco que dirijo mi atenci´on. A partir de lo que precede, se puede tomar distancia con respecto a la creencia fundamental de toda la humanidad occidental relativa a la forma de elaborar modelos explicativos acerca de la realidad y los fen´omenos. De acuerdo con esta creencia –fundada originalmente en la obra cimera de Euclides-, las teor´ıas tienen

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o deben tener un car´acter axiom´atico. As´ı, la axiom´atica adquiere un estatus al mismo tiempo normativo y descriptivo. Pues bien, el m´erito de K. G¨odel consiste en permitirnos dejar de lado –particularmente de cara al estudio de fen´omenos y sistemas caracterizados como de complejidad creciente-, cualquier pretensi´on axiom´atica. Supuesto, claro, que queremos hacer ciencia que no sea tautol´ogica. De esta suerte, una teor´ıa general de la complejidad no adoptar´a una estructura cerrada, en tanto que los sistemas complejos son, por definici´on, sistemas abiertos. Dicho de manera puntual: a partir de G¨odel ya no es inevitable que la axiom´atica sirva como paradigma para una teor´ıa. Por otro lado, las mal llamadas ciencias duras –es decir, aquellas que opera(ba)n con base en criterios f´ısico-matem´ aticos-, impusieron una creencia que a la postre result´o ser falsa; es decir, una seudo-creencia. Se trat´o de la idea de que para que una teor´ıa fuera s´olida, fuerte, deb´ıa tener un basamento matem´atico o bien estar elaborada en t´erminos de la matem´atica. Pero hemos descubierto, ciertamente hace poco, que son efectivamente posibles muy buenas teor´ıas, que carecen de fundamento matem´atico. El mejor ejemplo de una teor´ıa semejante es la teor´ıa de la evoluci´on por medio de la selecci´on natural de Darwin. En la obra cumbre de Darwin –El origen de las especies por medio de la selecci´ on natural (1859)-, no aparecen ni siquiera indicadores aritm´eticos –tales como contar pinzones, o contar familias o especies, ni nada semejante-. La teor´ıa de la evoluci´ on Darvinista es una teor´ıa dura –an´alogamente a otras teor´ıas como la teor´ıa de gravitaci´on universal o la teor´ıa de la relatividad, por ejemplo-, y sin embargo, es absolutamente a-matem´atica. Mejor a´ un, la teor´ıa de la evoluci´ on es la mejor teor´ıa existente hasta la fecha sobre los sistemas vivos, y su car´acter a-matem´atico no afecta para nada su estatuto, su alcance o su significado. Ahora bien, lo verdaderamente apasionante de la teor´ıa de la evoluci´ on es que es incompleta. Es suficientemente conocido el pasaje de Darwin al comienzo de la Teor´ıa de la evoluci´ on por medio de la selecci´ on natural: I am fully convinced that species are not immutable; but that those belonging to what are called the same genera are lineal descendants of some other and generally extinct species, in the same manner as the acknowledged varieties of any one species are the descendants of that species. Furthermore, I am convinced that Natural Selection has been the main but not exclusive means of modification” (1959: Introduction, 6).

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As´ı, la selecci´on natural fue tan s´olo el mecanismo descubierto por Darwin para explicar las modificaciones entre las especies; pero no es el u ´nico. Al mismo tiempo que se trata del reconocimiento de un mecanismo explicativo exitoso, es la expresi´on abierta de una teor´ıa incompleta que permite y exige de ulteriores adiciones (tal es, notablemente, la obra de bi´ologos evolutivos, fil´osofos de la biolog´ıa y otros). Una tercera observaci´on final. No es inevitable que toda teor´ıa deba ser consistente. Hay, tambi´en, teor´ıas inconsistentes. El mejor ejemplo es la teor´ıa molecular de Bohr, de acuerdo con la cual, la luz se comporta en ocasiones como part´ıcula, y en ocasiones ondulatoriamente, y que, no obstante esta inconsistencia permite entender claramente el d´ uplice comportamiento de los fotones. Pues bien, en t´erminos m´as generales, el estudio de las inconsistencias y la forma como contribuyen efectivamente a explicar determinados sistemas, fen´omenos y comportamientos del mundo es el objeto de una l´ogica no-cl´asica reciente: la l´ogica paraconsistente, e incluso de una de sus ramas, la l´ogica de la relevancia. En el contexto de las l´ogicas no cl´asicas, los temas y problemas de las paradojas, las inconsistencias y las paraconsistencias, se revelan como serios motivos de estudio sin que sean proscritas o disminuidas, que es lo que sucedi´o tradicionalmente por parte de la l´ogica (y la filosof´ıa de la l´ogica), la epistemolog´ıa, y la filosof´ıa de la ciencia. En t´erminos generales, las l´ogicas no cl´asicas aportan un c´ alculo para establecer el car´acter de una teor´ıa, y este car´acter ya es o requiere ser el que la ciencia y la filosof´ıa hab´ıan establecido tradicionalmente. Ahora bien, hablar de l´ogicas no cl´asicas es, en realidad, una manera negativa y ciertamente muy amplia de designar un conjunto abierto, inacabado y en continuo crecimiento y desarrollo que consiste en los sistemas alternativos de notaci´on a la l´ogica formal cl´asica. La manera m´as adecuada de designar a las l´ogicas no cl´asicas es como l´ ogicas filos´ oficas. Es aqu´ı en donde entran, en propiedad, los temas referidos a la naturaleza, din´amica y posibilidades de las teor´ıas.

Teor´ıa de la complejidad y geometr´ıa de fractales Las ciencias de la complejidad se componen de varios cap´ıtulos, por as´ı decirlo, principales. Son varias, plurales. Seg´ un su aparici´on cronol´ogica, se tienen: la termodin´amica del no equilibrio (Prigogine), el caos (Lorenz y Ruelle), los frac-

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tales (Mandelbrot), la teor´ıa de las cat´astrofes (Thom), las l´ogicas no cl´asicas y, m´ as recientemente, la ciencia de las conexiones. La noci´on de pluralismo es, a todas luces, el primero de los rasgos de contraste entre las ciencias de la complejidad y la ciencia cl´asica. Notablemente, pluralismo l´ogico, pluralismo metodol´ogico, pluralismo heur´ıstico. En ocasiones se habla tambi´en, de manera gen´erica de la teor´ıa de la complejidad. Pero esta u ´ltima designaci´on es d´ebil y desafortunada. No solamente el caos ya ha dejado de ser una teor´ıa, para convertirse en ciencia, sino que, adicionalmente, y por ejemplo, Gaia ha dejado de ser una hip´otesis, para convertirse en un aut´entico programa de investigaci´on cient´ıfica. Lo anterior implica que la pregunta: “¿qu´e hace que un sistema sea o se comporte de manera compleja?”, reciba m´as de una respuesta. En una ocasi´on, esta respuesta se˜ nala un orden a trav´es de fluctuaciones; en otra, la presencia de un atractror extra˜ no; en una vez m´as, precisa incluso que la estructura o la dimensi´on de todo atractor extra˜ no es fractal. Y as´ı sucesivamente. Como quiera que sea, la geometr´ıa de fractales es una de las ciencias de la complejidad, incluso aunque el padre de los fractales, B. Mandelbrot, no lo haya concebido expl´ıcitamente as´ı desde el comienzo. El camino que comunica a la complejidad con los fractales es, pues, indirecto, y sin embargo, de una importancia capital. Se trata de la naturaleza misma de aquella dimensi´on fractal descubierta por Mandelbrot: la geometr´ıa –de manera m´as precisa, la geometr´ıa fractal de la naturaleza. La geometr´ıa fractal de la naturaleza no es, propiamente hablando, una teor´ıa. Es, en rigor, una geometr´ıa. Y desde este punto de vista, se trata, como el propio Mandelbrot lo reitera en su obra principal (1983), de una magn´ıfica s´ıntesis en la que tiene lugar una mixtura entre ciencia y filosof´ıa, entre las matem´aticas y el arte. Lo irregular se descubre como la norma, y, por ejemplo, aprendemos que una curva de Koch es mucho m´as simple que un c´ırculo (del cual, en la geometr´ıa euclidiana y particularmente en la matem´atica de origen pitag´orico, se cre´ıa que era la figura m´as simple y perfecta). Cuando Mandelbrot public´o por primera vez su Geometr´ıa fractal de la naturaleza, una de las cosas que m´as sorprendi´o a la comunidad cient´ıfica fue el hecho de que Mandelbrot presentara y desarrollara su “teor´ıa” –los fractales- en un gran libro de m´as de quinientas p´aginas, en lugar de hacerlo, como era y ha sido la

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usanza, en un art´ıculo. La historia de la ciencia que se formula en art´ıculos y no en libros es famosa desde los trabajos seminales de Planck, los cinco art´ıculos del a˜ no 1905 de Einstein, y los trabajos subsiguientes que tuvieron lugar en la f´ısica y en la mec´anica cu´antica. M´as recientemente, lo mismo suceder´ıa con los trabajos de Feigenbaum, o con el art´ıculo de Watson y Crack en el que presentan el famoso dogma central de la biolog´ıa, o incluso con el art´ıculo seminal de E. Lorenz en el que desarrolla las ideas centrales del caos y los comportamientos err´aticos de la meteorolog´ıa. Mandelbrot se sit´ ua lejos de esa tradici´on. La psicolog´ıa del descubrimiento cient´ıfico, la historia y la filosof´ıa de la ciencia, la matem´atica, la l´ogica y la heur´ıstica son tan s´olo algunos de los puntos de vista desde los cuales, la g´enesis y el desarrollo de los fractales resulta apasionante. Lo es tambi´en, la din´amica de trabajo en la que Mandelbrot pudo desarrollar su obra. As´ı, el libro se abre con un reconocimiento espectacular: Estoy en deuda con el Centro de Investigaci´ on Thomas J. Watson de la International Business Machines Corporation, por su apoyo a mis investigaciones y mis libros. En su condici´on, primero de director de grupo, luego de director de departamento, y ahora de director de investigaciones, el vicepresidente de IBM, Ralf E. Gomory, imagin´o modos de proteger y respaldar mi trabajo cuando no era m´as que especulaci´on, y de darle todo el apoyo que pueda necesitar ahora (1983: 9). Definitivamente, la producci´on de conocimiento se hace posible gracias a contingencias favorables como un jefe comprensivo, un entorno amable y una red sensible a la inteligencia y la creatividad; aunque en sus or´ıgenes, y durante un tiempo, nada “concreto” parezca salir. Y el libro se cierra con un reconocimiento de no menor val´ıa. Luego de dedicar el cap´ıtulo 40 a los “esbozos biogr´aficos”, el 41 a los “esbozos hist´oricos” y el 42, el ep´ılogo, a “la senda hacia los fractales” y la forma como gradualmente y de forma imprevista, acaso, fue desarrollando y presentando ante la comunidad acad´emica y cient´ıfica nacional e internacional su obra, Mandelbrot opta por un camino: el menos obvio, el menos transitado, el del estudio de las turbulencias. Dice Mandelbrot:

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Hoy en d´ıa, los casos en que t´ecnicas y conceptos nuevos entran en la ciencia a trav´es de ramas poco competitivas son raros, y por ende an´omalos. La geometr´ıa fractal es un ejemplo m´as de tal anomal´ıa hist´orica (1983: 589). ¡Qu´e magn´ıfica circunstancia desde el punto de vista de los trabajos sobre historia de la ciencia y las revoluciones cient´ıficas! La inmensa mayor´ıa de las innovaciones en el conocimiento tienen lugar a trav´es de luchas fuertes en las que numerosos intereses chocan y entran en confrontaci´ on. Pero pocos, muy pocos casos existen en los que la producci´on de conocimiento tiene lugar de manera an´ omala, a trav´es de campos no competitivos y que se encuentran lejos de la corriente principal de trabajo (mainstream science). (V´ease al respecto Cohen, 1989; Popper, 1972; Kuhn, 1992; Kitcher, 2001). Ahora bien, que el progreso en el conocimiento suceda a trav´es de territorios an´ omalos –en el sentido literal de que no es investigaci´ on normal ni, por tanto, ciencia normal -, es en realidad el resultado de la inteligencia del investigador y te´orico o de contingencias biogr´aficas. Un ejemplo de progreso an´omalo ha sido narrado de manera notable, a prop´osito del nacimiento de la ciencia del caos, por parte de J. Gleick (1988). Volvamos a Mandelbrot, para concluir. En los trabajos de divulgaci´on de fractales se han mencionado hasta la saciedad el car´acter irregular de los mismos y su autosimiltud. Creo, sin embargo, que quedarse en estos elementos es simplificar demasiado la riqueza y el significado de los fractales. Bien vale la pena llamar la atenci´on sobre otro aspecto: los fractales escalantes, los no escalantes, y la aleatoriedad son, con seguridad, los tres ejes principales en torno a los cuales se teje la geometr´ıa de fractales y constituyen las tres partes m´as extensas de la obra de Mandelbrot. Es alrededor suyo donde se encuentra un punto de referencia con respecto al problema de base en este texto –el de una teor´ıa general de la complejidad-. Los fractales escalantes constituyen el cuarto cap´ıtulo; los fractales no escalantes, el quinto; y los cap´ıtulos VII, VIII, IX y X tratan directa y frontalmente con el azar y la aleatoriedad. En fin, ¿c´omo es posible una teor´ıa general de los sistemas complejos? Esta es una idea sobre la que vengo trabajando hace tiempo. Una indicaci´on puede apreciarse en Maldonado (2007). Adem´as de lo indicado en ese texto, quisiera agregar dos cosas. De un lado, que una teor´ıa general de la complejidad puede

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tambi´en ser vista como una s´ıntesis –una gran s´ıntesis-. ¿No fue, al fin y al cabo eso mismo lo que hizo Newton con sus Principia?, ¿no es a su vez, con todo y las advertencias acerca de la erudici´on (Mandelbrot, 1997: 39-40), justamente la Geometr´ıa fractal de la naturaleza, una obra de magn´ıfica s´ıntesis entre las matem´aticas y las ciencias naturales? Ahora bien, “s´ıntesis” es una palabra que implica un arduo, creativo e inteligente trabajo el que, de cara a la tarea por alcanzar una teor´ıa general de los sistemas complejos adaptativos, queda por delante. Segunda observaci´on final: Una gran teor´ıa de la complejidad puede ser posible como una teor´ıa de segundo orden –a la manera, por ejemplo, como en l´ogica se habla de “l´ogica(s) de segundo orden” e incluso de ´ordenes superiores-. Una buena indicaci´on al respecto ser´ıa la matem´atica, desarrollada originalmente por D. Hilbert, en respuesta al problema ´algido surgido en su ´epoca en torno a la fundamentaci´on y la naturaleza de las matem´aticas, supuesto, adicionalmente, lo que estaba teniendo lugar ya con la propia l´ogica formal cl´asica. La metamatem´atica es una teor´ıa de segundo orden que brinda una respuesta al problema mismo de la naturaleza de las matem´aticas, como distintas de la l´ogica y de la psicolog´ıa. El problema de mayor dignidad al que puede y debe abocarse un cient´ıfico, acad´emico o investigador es, supuesta la diferencia entre divulgar conocimiento -que es fundamental desde muchos puntos de vista- y por tanto cuidar y preservar el conocimiento, y producir conocimiento y en consecuencia correr las fronteras del conocimiento, consiste, sin lugar a dudas, en proponer, desarrollar y defender una teor´ıa. La consagraci´on del investigador est´a aqu´ı: no simplemente en alcanzar explicaciones aceptables, y ni siquiera en proponer modelos; sino, en desarrollar una teor´ıa. Aquella, en la que, por lo menos en su campo, se desenvuelve. Pero ´esta, que es la m´as alta y digna de la metas, es tambi´en la m´as ardua, dif´ıcil e incierta. He aqu´ı una maravillosa paradoja. ¿Paradoja? Justamente: inconsistencia, relevancia, paraconsistencia. Qu´e es el aire, por as´ı decirlo, por donde se mueve y puede moverse una teor´ıa general de la complejidad. Al cabo, ¿es posible que haya ciencia sin teor´ıa? El mejor ejemplo que se podr´ıa aportar ser´ıa el de la biolog´ıa, que carece, hasta la fecha, de una teor´ıa –unificada, digamos-, acerca de los sistemas vivos. Todo parece indicar, sin embargo, que este “defecto” de la biolog´ıa se encuentra ya en v´ıas de resoluci´on en t´erminos de Evo-Devo. Pero este ya es otro tema que debe quedar aqu´ı aparte.

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En cualquier caso, la respuesta parece ser conclusiva: es imposible hacer ciencia, esto es, buena ciencia, sin una teor´ıa. Las ciencias de la complejidad son, desde m´ ultiples puntos de vista, muy buena ciencia, a´ un cuando –y quiz´as precisamente debido a que- se encuentren lejos todav´ıa de la corriente principal de investigaci´ on en ciencia (Mainstream science). Aguardan, ante s´ı, una teor´ıa general de los sistemas complejos no lineales. El reto no es peque˜ no y s´ı promete buenos frutos.

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Notas Sobre la Complejidad en las Ciencias Sociales: de la Formalizaci´ on a las Met´ aforas

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Antecedentes: una incursi´ on sin´ optica La noci´on de complejidad emerge, tard´ıamente, en las u ´ltimas d´ecadas del siglo XX del r´egimen de los saberes contempor´aneos a partir de la conjugaci´on de una triple interrogaci´on. Tres fuentes de inquietud y, simult´ aneamente, de certeza: la irreversibilidad de los procesos, el resplandor del instante y el reclamo intransigente de infinito. La relevancia de estas interrogaciones, con frecuencia relegadas en el ´ambito del conocimiento positivo como meras pasiones especulativas, apareci´o a partir de la posibilidad de una aceleraci´on insospechada de la capacidad de c´alculo num´erico iterativo por dispositivos electr´onicos. No obstante, estas interrogantes hab´ıan surgido en muy diversos ´ambitos cient´ıficos y filos´oficos, a partir de los cuestionamientos sobre la singularidad, los enigmas de la bifurcaci´on y la discontinuidad de las funciones, los l´ımites del c´alculo, la evidencia de la incompletud de los sistemas, las transformaciones catastr´oficas, la g´enesis de estructuras y calidades relacionales in´editas y el origen y destino de los procesos espont´ aneos -una interrogaci´ on que engendr´o la inquietud por una perturbadora ontolog´ıa de la materia. La noci´on de complejidad no contraviene la expectativa de inteligibilidad de 1

Profesor-investigador en el Departamento de Educaci´ on y Comunicaci´ on de la UAMXochimilco. Miembro del Posgrado en Ciencias Sociales. Profesor de Teor´ıa antropol´ ogica y de Filosof´ıa del lenguaje en la Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia.

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la ciencia, sino que explora los l´ımites de algunas certidumbres que orientaron el pensamiento positivo a partir del siglo XVII: la calculabilidad y el imperativo determinista, la sospecha del azar y la invenci´ on de la probabilidad, conceptos un´ıvocos derivadas del formalismo, la necesidad absoluta y el sentido inequ´ıvoco del principio de causalidad, entre otras. La noci´on de complejidad ha acarreado una revisi´on de la noci´on de orden, de regulaci´on, de normatividad, de h´abito y de ley. Ha acarreado tambi´en una revisi´on de los procedimientos de construcci´on conceptual y de las pautas que definen las doxas cient´ıficas. As´ı mismo, ha provocado un desplazamiento y reconsideraci´on de la noci´on de interpretaci´ on. De ah´ı un concepto equ´ıvoco y desafortunado que ha acompa˜ nado estas reflexiones: caos. La genealog´ıa de esta noci´on involucra, sin duda, la referencia a las tentativas de modelizaci´on del ruido, derivadas tempranamente de los modelos matem´aticos de la informaci´on y los modelos orientados al dise˜ no matem´atico de los circuitos de comunicaci´ on: la noci´on de ruido se inscribi´o en una visi´on termodin´amica que puso de manifiesto la relaci´on entre distribuciones probabil´ısticas, orden, tiempo y proceso. Reclam´o as´ı mismo la formulaci´on de modelos matem´aticos de retroalimentaci´ on y de consideraciones metamatem´aticas sobre la recursividad. La definici´on termodin´amica de orden, referida a su fundamento probabil´ıstico, comprend´ıa negativamente un dominio de fen´omenos asociados a una distribuci´on altamente probable. La noci´on de caos refiere a esta condici´on ineludible que define, de manera aparentemente parad´ojica, el marco escatol´ogico de los procesos: origen y destino, se˜ nalados por una disoluci´on de las estructuras ordenadoras en virtud de la necesidad de una econom´ıa en la distribuci´on de energ´ıas. As´ı, la noci´on termodin´amica de caos, sustentada estrictamente por nociones matem´aticas y probabil´ısticas ajenas a las nociones m´ıticas y a las exaltaciones de fantas´ıas que la refieren a una condici´on absurda e ininteligible, da cabida a sentidos aleg´oricos ajenos a su condici´on conceptual n´ıtidamente acotada. No obstante, es precisamente el apuntalamiento probabil´ıstico de la noci´on de caos lo que reclama un significado nuevo de la noci´on de azar. Las consecuencias l´ogicas y conceptuales de esta “revoluci´ on” del azar suscitan una interrogaci´ on cardinal de los modelos cl´asicos de la explicaci´on en m´ ultiples dominios de las ciencias. Sin duda, esta transformaci´on radical de la comprensi´on de la orientaci´on direccional de los procesos “espont´ aneos” conllevaba una nueva comprensi´on de tiempo, probabilidad, econom´ıas energ´eticas y orden. La revoluci´ on de la en-

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trop´ıa, tempranamente vislumbrada por Boltzmann al proponer la segunda ley de la termodin´amica y las secuelas de la termodin´amica estad´ıstica, compromet´ıa plenamente la vigencia de una noci´on de causalidad que hab´ıa sido entronizada y considerada irremisible en el marco de las ciencias f´ısicas y la termodin´amica. La noci´on impl´ıcita de irreversibilidad, con todas sus consecuencias en la comprensi´on de la estabilidad, fluctuaci´on, y transformaci´on de los sistemas, obligaba a la creaci´on de nuevos modelos y pautas de interpretaci´ on, no s´olo de las evidencias experimentales, sino de la creaci´on misma de los dispositivos experimentales en las ciencias. Por otro lado, las reflexiones matem´aticas sobre singularidad, bifurcaci´on, discontinuidad fluctuaciones y variaciones -que involucraron los descubrimientos tempranos de Weierstrass en el siglo XIX que no dejaron de provocar sobresaltos en el horizonte de las matem´aticas can´onicas-, se articulaban sobre las nuevas reflexiones acerca de las operaciones recursivas y sus consecuencias sobre la calculabilidad del curso de los procesos. La necesidad de transitar m´as all´a de los modelos lineales se hizo patente. El establecimiento de condiciones de frontera, las definiciones de l´ımite y la variaci´ on param´etrica en la formalizaci´on de estados ´ y procesos se expresaban en una perspectiva constructiva. Esta deriv´o de la necesidad de comprender estrictamente la noci´on de control, formular con claridad un modelo formal para ´esta, e incorporarla en los marcos interpretativos de la modelizaci´on de procesos. Para fines del siglo XIX era evidente la relaci´on entre procedimientos de control y condiciones de estabilidad y la comprensi´on de las condiciones y los alcances de la perturbaci´on. La realizaci´on del control en sistemas termodin´amicos en desequilibrio, en procesos de transici´on y transformaci´on continua, deriv´o en modelos matem´aticos que exig´ıan respuestas de mayor complejidad. Los sistemas lineales, inadecuados para la soluci´on de esta persistencia y mutaci´on permanente, y una caracterizaci´on precisa de los estados de perturbaci´on y transformaci´on continua, dieron lugar a sistemas no lineales, en los cuales uno de los problemas m´as interesantes era el establecimiento de par´ametros referidos a las condiciones de frontera para el comportamiento y, finalmente, la estabilidad del sistema. Transformaciones en la relaci´on entre l´ogica y matem´aticas que derivaron en la revisi´on de la comprensi´on axiom´atica de la teor´ıa de conjuntos, privilegiadamente la obra de Cantor y las contribuciones deslumbrantes de G¨odel -las nociones de incompletud y de indecidibilidad- introdujeron un sentido suplementario respectivamente de las nociones de infinitud y de derivabilidad.

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Las m´aquinas de Turing, por otra parte, ofrecieron un modelo singular en la comprensi´on de m´aquinas de estados finitos. Arrojaron una luz inusitada sobre las propiedades y los alcances de los procesos recursivos que abrieron la v´ıa tanto a la creaci´on de modelos computacionales, como a concepciones del lenguaje alejadas de los marcos del an´alisis conductual o de los esquematismos reductivos del neofuncionalismo. Las operaciones recursivas se revelaron, no s´olo como un m´etodo de c´alculo, sino como inherentes a las pautas de generaci´on de lenguajes. La fertilidad de las concepciones sobre recursividad y sus desarrollos incidieron sobre las propias matem´aticas, la teor´ıa de conjuntos, y los dominios tecnol´ogicos. Tambi´en ofrecieron modelos y met´aforas de extraordinaria relevancia para la comprensi´on de los procesos simb´ olicos, ling¨ u´ısticos y los procedimientos de construcci´on cognitiva que sustentan la interacci´ on entre sujetos de diversos ´ordenes en el dominio social.

Interferencias contempor´ aneas: la imaginaci´ on geom´ etrica En el texto de introducci´on a una de sus obras cardinales, Los objetos fractales, Mandelbrot ofrece un testimonio significativo: el car´acter geom´etrico de estos objetos, su ubicaci´on en los confines o acaso en la periferia de los modelos formalizados o las estructuras l´ogicas. Son objetos que emergen de una visi´on m´as que de una derivaci´on conceptual o formal. Remiten m´as a una “intuici´ on” desprendida de las operaciones de la percepci´on y las condiciones de inteligibilidad referidas al sentido de lo “mirado”, m´as que a composiciones estructuradas de conceptos en los marcos de un saber matem´atico o l´ogico establecido. Revelan as´ı una extra˜ na condici´on que conjuga al mismo tiempo un irrefutable sustento en un sentido com´ un inherente a la percepci´on fundamental de objetos, tiempos y espacios, y una consecuencia contraintuitiva: existen objetos que parecen revelar la variaci´on continua entre dimensiones espacio-temporales. Frente a la aparente discontinuidad de las tres dimensiones del espacio euclidiano (incluso si a˜ nadimos, siguiendo la propuesta contempor´anea, una cuarta dimensi´on temporal a las coordenadas en las que situamos la cognici´on de los procesos extr´ınsecos a la consciencia), Mandelbrot sugiere la clara percepci´on de objetos “intermediarios” entre las distintas dimensiones [adicionales a los objetos de cero dimensiones -puntos-, de una dimensi´on -rectas-, de dos dimensiones -planos-, o de tres dimensiones -vol´ umenes-], es decir, objetos de dimensiones fragmentarias en una escala continua. Es posible construir o percibir, por consiguiente, objetos que se

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aproximan a un volumen, mediante un pliegue recursivo de un plano; operaciones similares llevan a construir “objetos” intermediarios, de dimensi´on fraccionada, en cada una de las “zonas de tr´ansito” entre dimensiones. M´as a´ un, la transici´ on entre dimensiones, generada por la aplicaci´on recursiva sobre los cuerpos geom´etricos, conlleva una imposibilidad de definir con exactitud la magnitud del elemento geom´etrico propio de ese objeto, sin apelar a las condiciones de aplicaci´on de la propia regla recursiva, y a la naturaleza del objeto geom´etrico. As´ı, la ubicaci´on del objeto en el espacio euclidiano, remite a una dimensionalidad cuya magnitud deriva del desenlace constructivo de operaciones recursivas sobre objetos geom´etricos. M´as all´a de esta referencia sugerente a la g´enesis de los objetos fractales, es preciso advertir que ´estos derivaron, no s´olo de esta “intuici´ on geom´etrica”, sino de una consistente exploraci´on de operaciones recursivas con variables complejas y las propiedades de la representaci´ on gr´afica de su c´alculo iterativo. En particular el c´alculo recursivo de z → λz(1 − z) [donde z es una funci´on racional de una variable compleja y λ un par´ametro complejo]. Las propiedades de este proceso exhibidas en la gr´afica generada por la impresi´on del c´alculo num´erico iterativo fueron arrojando, progresivamente, un conjunto de interrogantes ins´olitas referidas, no s´olo al proceso num´erico, o al objeto matem´atico mismo, sino a m´ ultiples procesos asociados con la f´ormula cuadr´atica de Julia. El comportamiento de estas expresiones muy pronto revel´ o propiedades relevantes para la comprensi´on de las series convergentes y, de manera m´as general, para la comprensi´on de las condiciones de estabilidad en los sistemas din´amicos. La caracterizaci´on de atractores, que definen un conjunto de procesos espec´ıficos que orientan y establecen las condiciones de estabilidad de otros procesos, se conjuga con la observaci´ on de una composici´on de autosimilaridad que exhiben las gr´aficas de los conjuntos de Julia. M´as a´ un, se logra advertir, en una reflexi´on m´as detallada de los fen´omenos de estabilidad que, m´as all´a de ciertos valores de los umbrales definidos para los par´ametros de la ecuaci´on cuadr´atica, la estabilidad del proceso da cabida a comportamientos que se sustraen a toda regularidad preestablecida. No obstante, la complejidad no se reduce a la exploraci´on de procesos formalmente bien definidos. Abarca as´ı mismo la autosimilaridad estad´ıstica -o incluso estoc´astica- como la que emerge del an´alisis del movimiento browniano, en la que cada desplazamiento de una part´ıcula de polen por una superficie l´ıquida, dibuja un movimiento complejo conformado por m´ ultiples desplazamientos rectil´ıneos. Estos movimientos est´an dispuestos en orientaciones aleatorias que,

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a su vez, est´an compuestos por movimientos m´as peque˜ nos que siguen los mismos patrones conformados por movimientos a´ un m´as peque˜ nos que preservan la misma distribuci´on estad´ıstica. La autosimilaridad se expresa como una identidad abismal. Cada patr´on formal aparece integrado, recursivamente, por patrones id´enticos, a su vez integrados por patrones id´enticos. Se preserva esta similitud en distintas escalas. La incorporaci´on de modelos estoc´asticos para la definici´on de fractales no s´olo abre la posibilidad de comprender estos objetos sino de patrones din´amicos -impredecibles en su comportamiento- antes extra˜ nos a la formalizaci´on. Se conjugan con modelos no lineales de generaci´on de respuestas estables aunque imprevisibles de naturaleza aparentemente aleatoria. El desenlace de estos procesos hace comprensible patrones de estabilidad complejos que convergen en distribuciones carentes de un perfil determinable.

Modelos y met´ aforas de la creaci´ on cognitiva: la autopo¨ıesis Sin duda, una de las contribuciones m´as notorias y de amplio impacto en la renovaci´on de las perspectivas contempor´aneas sobre el conocimiento deriv´o de las propuestas de una biolog´ıa orientada, definitivamente, por una atm´osfera de met´aforas, modelos y analog´ıas que establec´ıan paralelismos, correspondencias y analog´ıas entre m´aquinas cibern´eticas y organismos biol´ogicos. Varela y Maturana ofrecieron una perspectiva in´edita para la comprensi´on del conocimiento y su relaci´on con las estructuras biol´ogicas. La “biolog´ıa del conocimiento” refer´ıa las condiciones de identificaci´ on de identidades, relaciones y composiciones organizativas de los seres a procesos de funcionamiento neuronal y tratamiento de flujos de informaci´on entre organismo y entorno. Esta relaci´on aparece definida por un flujo complejo de informaci´on y por pautas org´anicas espec´ıficas para el procesamiento y la organizaci´on de esa informaci´on. La vida como g´enesis y desarrollo de procesos de interacci´ on organismo-entorno, involucra el reconocimiento de objetos, identidades estables, rasgos y propiedades persistentes, asociados a objetos, contextos y acciones. La posibilidad de este reconocimiento deriva del manejo y la organizaci´on de flujos incesantemente cambiantes y din´amicos de informaci´on a trav´es de condiciones de frontera. El reconocimiento de identidades -de s´ı, de los objetos del mundo, de los otros-, y de las condiciones potenciales de acci´on, determinantes para la sobrevivencia dependen de este modo de las

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condiciones de organizaci´on interna de la informaci´on. Constituye as´ı las pautas espec´ıficas de la experiencia y funda la posibilidad del desencadenamiento de las respuestas adecuadas. El conocimiento no depende exclusivamente del flujo de entrada y salida de informaci´on. Por el contrario, la acci´on adecuada y la conformaci´on de las experiencias est´an definidas por los circuitos, mecanismos y procesos de organizaci´on interna de la informaci´on. As´ı, las condiciones de frontera definen los umbrales, las intensidades, la naturaleza de la informaci´on, a partir de mecanismos de recepci´on y procesamiento de la informaci´on dependiendo de la estructura interna de los procesos de informaci´on. Las membranas, que acotan y definen los umbrales de intercambio del propio sistema, lo separan del entorno y se˜ nalan las pautas de reconocimiento de lo propio y lo extra˜ no, reclaman en consecuencia, no s´olo procesos de reconocimiento de esas fronteras, sino tambi´en de su sentido; determinan, por consiguiente, la capacidad de creaci´on de patrones, pautas de respuesta, reiteraci´on de acciones, criterios de eficacia. Estas operaciones diferenciadas, no obstante, requieren un fundamento sist´emico y, como una dimensi´on crucial de ´este, una trama relacional entre entidades configurada en s´ı misma como una unidad estructurada. La operaci´on de recursividad hace posible entonces la composici´on de entidades, organizaciones y contextos as´ı como la composici´on de estas identidades. De este modo, la posibilidad de identificar niveles de conformaci´on y de integraci´ on de las entidades cuya identidad como organismos deriva plenamente de la estabilidad de su ordenamiento relacional, de su propia organizaci´on. La noci´on misma de procesualidad involucra el reconocimiento de identidades, relaciones, transformaci´on din´amica del entorno y del contexto y una comprensi´on de una totalidad articulada de las entidades que configuran cada una de las fases del proceso. Abarca, desde el momento perceptible de su desencadenamiento, hasta el momento en que se hace evidente la estabilizaci´on del universo relacional que configura el sistema y el entorno. El rasgo decisivo del modelo biol´ogico estriba en la noci´on de autopo¨ıesis. Literalmente, la creaci´on de s´ı mismo, esta noci´on apunta a la posibilidad de los seres vivos de orientar la acci´on de una red de procesos propios hacia la recomposici´on, recreaci´on o modificaci´on de la propia red de procesos que la recrea. Es una composici´on de operaciones heterog´eneas que se˜ nala la g´enesis de un r´egimen metaoperativo de la red de procesos cognitivos sobre s´ı mismos. Esta conformaci´on de metadominios que definen la posibilidad de reconocimiento de sistemas, entidades y redes de relaciones y procesos, define la posibilidad de acci´on aut´onoma de los diversos organismos. Es la expresi´on y el resultado de composiciones m´ ulti-

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ples de operaciones de recursividad orientadas al reconocimiento de los propios componentes, sus relaciones, sus identidades y la secuela de sus transformaciones, acompa˜ nada de acciones de transformaci´on de la composici´on y eficiencia operativa de esas redes. A´ un as´ı, las pautas de reconocimiento del entorno y las formas de organizaci´on de la informaci´on no son equiparables en los diversos organismos. Formas de acci´on e interacci´on reclaman niveles de organizaci´on diferenciados, metas y objetos tambi´en diferenciados de recepci´on, y organizaci´on de la informaci´on, tanto del propio sistema, como del entorno. Dan lugar a formas de operaci´on diferenciadas respecto de organismos semejantes y definen las condiciones de autonom´ıa de la acci´on y de las relaciones. De este modo, la formaci´on de sistemas sociales est´a determinada por la autopo¨ıesis de sus diversos componentes y por las condiciones impuestas a la interacci´on y composici´on de relaciones entre ellos para la realizaci´on de dicha autopo¨ıesis. La comprensi´on de lo social a partir de la autopo¨ıesis, las restricciones a la autonom´ıa y acci´on individualizada de los miembros y las pautas cognitivas que derivan de esta m´ ultiple condici´on contingente abrieron un enorme repertorio de interrogantes. Asumieron como eje determinante los procesos cognitivos y las pautas espec´ıficas de la creaci´on de identidades en los procesos de interacci´ on situados contextualmente. Se˜ nalaron as´ı v´ıas in´editas para la comprensi´on de lo social. Quiz´a esta relevancia definitiva de lo cognitivo como condici´on de los procesos de la vida, y su posible definici´on y an´alisis a trav´es de la identificaci´ on y comprensi´on de los procesos de intercambio, organizaci´on y transformaci´on de la informaci´on abrieron v´ıas que han permitido la integraci´ on de modelos originados en ´ambitos disciplinarios muy diferentes. Las propuestas originales derivadas de modelos y met´aforas cibern´eticas, las teor´ıas del control, las concepciones de la irreversibilidad, la investigaci´on matem´atica acerca de las operaciones recursivas y las exploraciones sobre estabilidad, fluctuaci´on, ruido, resonancia e inestabilidad derivada de la investigaci´on sobre objetos fractales parecen ofrecer ahora ´ambitos de confluencia y de mutuo apuntalamiento en la creaci´on de aproximaciones relevantes para la comprensi´on de los procesos din´amicos. La vida biol´ogica aparece as´ı aparejada no s´olo a la vida de las m´aquinas sino a los procesos sociales y los modelos que han mostrado fertilidad en la comprensi´on de uno, parecen ofrecer posibilidades in´editas de esclarecimiento en los otros dominios.

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Figuras multifac´ eticas de la complejidad: s´ıntesis y desplazamientos metaf´ oricos en teor´ıas sociales a. Resonancias de los conceptos de la complejidad en antropolog´ıa y sociolog´ıa La noci´on de complejidad aparece como una s´ıntesis de las aportaciones de fuentes dispares que hoy revelan una progresiva aunque a´ un inconsistente concordancia. Est´an lejos de ofrecer una teor´ıa unificada, completa y consistente. No obstante, a´ un en su multiplicidad, fuentes y orientaciones propias e inasimulables, los conceptos que han dado lugar a las aproximaciones complejas han visto una multiplicidad sorprendente de aplicaciones y han ofrecido tambi´en una variedad ins´olita de iluminaciones sobre procesos enigm´aticos. Han revelado facetas inadvertidas en procesos aparentemente bien perfilados y definidos, han alentado tambi´en nuevas descripciones e interpretaciones de los procesos, previamente admitidas ya en el dominio del sentido com´ un, lo definitivamente adquirido, o bien, la doxa. Esta extra˜ na versatilidad de las aproximaciones te´oricas transit´o desde la biolog´ıa a la climatolog´ıa, desde la matem´atica hasta la termodin´amica de procesos irreversibles, desde las funciones no diferenciables de Weierstrass hasta las teor´ıas del control y la recursividad. Encontr´ o interpretaciones relevantes para procesos de transferencia de calor o de mutaciones celulares, comportamientos de la bolsa de valores o disgregaci´on y concentraci´ on de magnitudes demogr´aficas. Llev´o a caracterizar los procesos ling¨ u´ısticos estad´ısticamente o mediante el empleo de modelos de redes neuronales; busc´o comprender a trav´es de pautas de recursividad, los sistemas din´amicos de interacci´ on entre m´ ultiples cuerpos y sujetos. Pronto se advirti´o como una fuente potencial de recursos conceptuales para la interpretaci´on convergente de fen´omenos hist´oricos, pol´ıticos, ling¨ u´ısticos y antropol´ogicos. Si bien es cierto que ninguna de las met´aforas y modelos de las ciencias f´ısicas, la biolog´ıa y la matem´atica, hab´ıan permanecido ignorados en los desarrollos recientes de las ciencias sociales, tambi´en lo es que su nueva fisonom´ıa ofrec´ıa un repertorio in´edito de concepciones y perspectivas. La equiparaci´on de organismos biol´ogicos y organismos sociales cobr´o carta de ciudadan´ıa durante el siglo XIX, como m´as tarde la concepci´on de la sociedad como m´aquina termodin´amica carac-

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teriz´o una rama del pensamiento social durante los a˜ nos cincuenta. La primac´ıa de lo cognitivo como r´egimen determinante de todos los procesos sociales apareci´o tempranamente en las psicolog´ıas empiristas, las revoluciones l´ogicas y las reflexiones del pragmatismo durante casi todo el siglo XIX y preserv´o su vigencia durante el siglo XX. La relevancia cardinal de los procesos informativos, secuela de la modelaci´on cibern´etica, se desarroll´o ampliamente y se fortaleci´o con las innumerables contribuciones de la Inteligencia Artificial y del desarrollo acelerado, durante las u ´ltimas d´ecadas, de los modelos y las tecnolog´ıas computacionales. No obstante, estas equiparaciones que asum´ıan un papel meramente indicativo, que constitu´ıan un horizonte metaf´orico, una fuente de analog´ıas sugerentes, fueron cobrando un relieve argumentativo nuevo a la luz de las interrogaciones epistemol´ogicas radicales a las que dieron lugar. Sin duda, la noci´on de complejidad hab´ıa aparecido bosquejada en la estela de las aproximaciones evolucionistas. Se concibi´o a la evoluci´ on como un proceso de creaci´on de nuevos organismos que part´ıa de la g´enesis incesante de inestabilidades en los procesos de composici´on de las entidades “org´anicas” -las sociedades entre ellas-. Cada nuevo perfil de identidad derivaba de la sucesiva estabilizaci´on de relaciones entre organismo y entorno. Surg´ıa de la g´enesis concomitante de nuevas funciones, elementos y relaciones que, al articular los nuevos procesos, funciones y elementos derivaban en otros organismos estables. As´ı, el nivel de complejidad se incrementaba en la medida en que se acrecentaba a un tiempo la diversidad y la especificidad funcional de los nuevos elementos. Esta noci´on decimon´onica de complejidad, sin embargo, surgida de las exigencias de la visi´on evolucionista y de los modelos funcionales, a´ un cuando difiere notoriamente de aquella derivada de las transformaciones disciplinarias que hemos apenas bosquejado, mantiene con ella un conjunto de sutiles analog´ıas y plantea una multitud de interrogantes: es preciso comprender la naturaleza de la inestabilidad y su v´ınculo con la creaci´on de elementos destinados a desempe˜ nar funciones diferenciadas o a engendrar nuevas tramas de relaciones e identidades cuya integraci´ on acrecienta el grado de estabilidad de los procesos sociales. Es necesario, por consiguiente, esclarecer la relaci´on entre patrones de regulaci´on y pautas recursivas. De igual manera, la integraci´ on de hip´otesis relativas a los procesos cognitivos hace patente la necesidad de delinear las din´amicas en la conformaci´on de espacios simb´olicos, su implantaci´ on y su eficacia en procesos definidos por estas condiciones de concurrencia funcional m´ ultiple. Las interrogantes se multiplican. Conceptos claves como la recursividad, la irreversibilidad, las singularidades

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y la bifurcaci´on encontraron una cierta correspondencia y una capacidad de interpretaci´on ampliada en ciertos procesos de las ciencias sociales: patrones repetitivos en procesos institucionales y rituales, creaci´on de ´ambitos de intercambio a partir de la concurrencia de estrategias cognitivas, creaci´on de identidades individuales y colectivas a partir de procesos de autorregulaci´on social, circularidades recurrentes en los patrones de acci´on, equilibrios y desequilibrios en redes sociales a partir de interacciones recurrentes, diferenciaciones internas y escisiones de los grupos sociales a partir de bifurcaciones en los procesos de interpretaci´ on normativa y de conformaci´on diferencial de entidades sociales relacionadas. La noci´on de autopo¨ıesis abri´o la v´ıa para ofrecer un modelo cognitivo para todos los procesos de metarregulaci´on social. Se la concibi´o como una propiedad capad de determinar la instauraci´on de condiciones para la autonom´ıa de los sujetos sociales -la creaci´on aut´onoma de ordenamientos jur´ıdicos y su modificaci´on a partir de la comprensi´on totalizante de la din´amica y el destino de las redes sociales-. La caracterizaci´on din´amica de los procesos de interacci´ on simb´ olica adquiri´o, con la figura de la autopo¨ıesis, una referencia conceptual decisiva. En efecto, las transformaciones en el r´egimen de comprensi´on que desarrollan los participantes en las interacciones en situaciones, caracterizadas por marcos de regulaci´on espec´ıficos, exigen la creaci´on de “puntos de vista” en un nivel “superior”. Se hace patente la g´enesis, en el propio proceso de delimitaci´on de objetos, procesos e identidades sociales, de la intervenci´ on ficticia pero eficaz de un metaobservador que engendra la posibilidad de trastocar de los elementos sist´emicos y de las redes organizadoras de la informaci´on. En la aproximaci´on sociol´ogica de Niklas Luhmann, autopo¨ıesis, observaci´ on, metaobservaci´on, selecci´on y creaci´on codificada -binaria- de diferenciaciones e identidades, de estados y procesos, constituyen elementos relevantes para la comprensi´on de los sistemas sociales que se constituyen as´ı, a partir de esas operaciones, mediante una diferenciaci´on con el entorno. Un conjunto de conceptos se deriva as´ı de estas operaciones que definen la g´enesis, creaci´on y recreaci´on de las distintas facetas del proceso social. La condici´on probabil´ısitica de los procesos sociales define tambi´en la g´enesis de formas y el desempe˜ no de los procesos de transmisi´on de la informaci´on. Sin embargo, un rasgo crucial en los sistemas sociales (que se diferencian de los sistemas ps´ıquicos y naturales como constitutivos de sus entornos) es el sentido. Su existencia define plenamente tanto los sistemas sociales como los sistemas ps´ıquicos concebidos a su vez como entorno de lo social. Es en el ´ambito del sentido -entendido estrictamente como un medio en el

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que toma forma la comunicaci´ on- donde se engendran las posibilidades mismas de la forma de lo social. As´ı cada realizaci´on comunicativa se constituye como un conjunto de relaciones y de desarrollos potenciales con otras formas y realizaciones comunicativas. La relaci´on entre sentido, observaci´ on y autobservaci´ on es crucial. Define la naturaleza y las posibilidades de la autopo¨ıesis en el proceso social y los v´ınculos con el entorno, tanto natural como ps´ıquico. Por otra parte, en el marco de las aproximaciones antropol´ogicas, Richard Newbold Adams, asumiendo un punto de vista inusitado, aunque relativamente frecuentado por los modelos cibern´eticos de las llamadas “sociedades complejas”, formula las bases de una comprensi´on termodin´amica de las pautas de organizaci´on social: el an´alisis de las din´amicas de la energ´ıa en los procesos sociales. Apela entonces a modelos no lineares y estoc´asticos en una tentativa de ofrecer una comprensi´on de los procesos de incesante desequilibrio y sucesiva equilibraci´on que remiten a figuras difusas de la causalidad y a esquemas de derivaci´ on de corte neoevolucionista. En esta aproximaci´ on aparece con claridad la necesidad de incorporar patrones de autopo¨ıesis: los patrones de uso y gesti´on de la energ´ıa transforman a su vez las condiciones que enmarcan la transformaci´on de los reg´ımenes y destino del uso energ´etico en las sociedades. Desde esta perspectiva, la intervenci´on de mecanismos de metarregulaci´on orientados a los procesos de una econom´ıa energ´etica define la capacidad de respuesta y los patrones de organizaci´on social y simb´olica de las sociedades. La noci´on de equilibrio -y su contraparte, el desequilibrio- de los procesos sociales constituy´o no s´olo un recurso conceptual anal´ıtico fundamental para las teor´ıas antropol´ogicas y sociol´ogicas, tambi´en fue un presupuesto epistemol´ogico ineludible que dio soporte y sentido a la conformaci´on de las propias disciplinas. Las aproximaciones a lo social derivadas de las variantes de la teor´ıa de sistemas tienden a interrogar la validez general de sus descripciones y explicaciones, a partir de la aparici´on de las polaridades din´amicas desarrolladas para la interacci´on en los sistemas biol´ogicos centradas en la relaci´on organismo-entorno. En efecto, las nociones complementarias sistema/entorno, autonom´ıa/control y totalidad/componentes aparecen como requerimientos puestos en juego para su desempe˜ no eficiente en los procesos de la vida. Su comprensi´on define modelos complejos de gesti´on de informaci´on en las sociedades contempor´aneas, en la creciente concurrencia de procesos de informaci´on y simbolizaci´on intrincados. Permiten identificar e interpretar las muy variadas condiciones y focos de equilibraci´on de los proliferantes ´ambitos sist´emicos de organizaci´on y gesti´on del

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comportamiento social. Desde su mismo origen, los presupuestos evolucionistas y el repertorio de conceptos y descripciones funcionales y estructurales en las disciplinas antropol´ogicas apuntalados en ellos, refrendaban la convicci´ on de irreversibilidad de los procesos sociales y su equiparaci´on t´acita o expl´ıcita con la din´amica de la vida. De ah´ı que las interrogaciones sobre los marcos y las condiciones para la estabilidad de las estructuras econ´omicas, institucionales, normativas, jur´ıdicas, simb´ olicas y morales que dan forma al proceso social estuvieran sometidas a una tensi´on irresoluble: deb´ıan asumir los presupuestos de estabilidad de la vida social, tanto como la exigencia de una comprensi´on del persistente engendramiento de inestabilidad y de ´ambitos an´omicos en la vida social. Es decir, deb´ıan incorporar en el modelo mismo la transformaci´on irreversible de lo social que funda su historicidad. M´as a´ un, las formas y din´amicas de la segmentaci´ on social, la conformaci´on de distintos sujetos sociales y ´ambitos y niveles en que se sit´ ua su acci´on en la trama compleja de la composici´on de los procesos sociales abrieron la v´ıa a una comprensi´on de estructuras y procesos sociales conformados por autosimilaridad: acaso Bateson, al formular la din´amica de la esquizog´enesis, lo esboz´o con toda su fuerza sugerente. Es posible conjeturar que la din´amica de la esquizog´enesis -es decir, la escisi´on de las formaciones, los segmentos y los procesos sociales- revela un patr´on formal -o acaso estad´ıstico- autosimilar en todos los niveles de organizaci´on de la estructura social. Los patrones de autosimilaridad, que se revelan como simetr´ıas y patrones sist´emicos integrados a su vez a otros patrones sim´etricos integrales, aparecen reiteradamente en las tentativas de comprensi´on en las distintas perspectivas antropol´ogicas. Esto se expresa en las pautas ritualizantes inscritas en esquemas reguladores m´as amplios que, a su vez, se incorporan en tramas m´as amplias de regulaci´on; se puede llevar la analog´ıa a la g´enesis de estabilidad en sistemas de interacci´ on inestable. Dicha estabilidad involucra la implantaci´on de patrones arbitrarios de rutinas, regulaciones iterativas y mecanismos de control que dan origen a pautas de inteligibilidad rec´ıproca. Estos juegos de interacci´on remiten a procesos simb´ olicos estructurados y aut´onomos, taxonom´ıas y grupos de conceptos invariantes. Se establecen umbrales para la vigencia indefinida de formas y patrones simb´ olicos como focos de concurrencia de las acciones y conformaci´on recursiva de esferas de estabilidad social.

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b. Complejidad en los procesos simb´ olicos: de la forma ling¨ u´ıstica a la acci´ on simb´ olica Sin duda, un ´ambito cardinal para valorar la relevancia de este juego de analog´ıas, trasposiciones conceptuales y traslaciones metaf´oricas a que ha dado lugar la incorporaci´on de las nociones y conceptos de la complejidad al dominio de las ciencias sociales es el espacio de lo simb´ olico. Los procesos simb´ olicos y en particular el lenguaje, como advirti´o Roman Jakobson haciendo uso de una met´afora termodin´amica, est´an constituidos por una composici´on de planos estructurados jer´arquicamente, cuyas din´amicas y posibilidades de variaci´ on y fluctuaci´on son tambi´en diferenciadas. Es posible advertir que esta diferencia en la transformaci´on din´amica de los diversos planos del lenguaje afecta diversas facetas y modifica en distinto grado las posibilidades combinatorias de los elementos y relaciones formales del lenguaje y su relevancia en el proceso de significaci´on. Esta asimetr´ıa en la capacidad de variaci´ on da cabida tambi´en a condiciones diferenciales de la intervenci´ on de operaciones recursivas en el dominio de la significaci´on. La relevancia de la recursividad y su capacidad de creaci´on de estructuras, con la preservaci´on de la estabilidad formal fue claramente advertida por Chomsky e incorporada, desde su primera propuesta te´orica, entre los rasgos determinantes del lenguaje. Pero su gram´atica generativo-transformacional, como alguna vez se denomin´o, no fue la u ´nica en admitir entre sus operaciones constitutivas las reglas recursivas. Las operaciones recursivas aparecen en diversas aproximaciones estructurales y en distintos niveles y aspectos del comportamiento ling¨ u´ıstico. En los niveles l´exico, sem´antico y discursivo, las operaciones de recursividad desempe˜ nan un papel central que se expresa n´ıtidamente tanto en la relevancia sem´antica y cognitiva del lenguaje, como en la adecuaci´on de los patrones simb´ olicos a las exigencias expresivas, indicativas y argumentativas de la comunicaci´ on. Los procesos de creaci´on y de reconocimiento -o interpretaci´ on- de los actos ling¨ u´ısticos y simb´olicos aparecen caracterizados marcadamente como procesos recursivos, susceptibles de momentos de inestabilidad, puntos de singularidad y bifurcaci´on en secuencias de sentido irreversibles, fruto de la concurrencia de regulaciones, dependencias formales y metarregulaciones que intervienen en toda interacci´on simb´olica. Las dimensiones temporales involucradas en los procesos simb´olicos dan lugar a estructuraciones en extremo complejas expresadas en distintas formaciones discursivas, en significaciones l´exicas y en recursos morfol´ogicos

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y sint´acticos diferenciados: La modelizaci´on de los procesos de habla y de interacci´on, los patrones argumentativos, discursivos y narrativos que se manifiestan expresamente en los avatares de la comunicaci´ on. La consolidaci´on de las explicaciones biol´ogicas tuvo un efecto determinante en los procesos cognitivos. Incidi´o no s´olo en la creaci´on de modelos de la ling¨ u´ıstica te´orica, sino en la comprensi´on de las interacciones ling¨ u´ısticas, en la comprensi´on de la l´ogica y los mecanismos del lenguaje natural. El integrar en los modelos formales de significaci´on la acci´on simb´ olica y los procesos generales de la semiosis -es decir, en los procesos de creaci´on de significaci´on en todas sus manifestaciones- dio soporte a una teor´ıa cognitiva ampliada. No obstante, los procesos cognitivos no revelan sino una faceta de la din´amica de los procesos simb´olicos. Es preciso incorporar, en procesos de estabilizaci´on de la significaci´on y la cognici´on, patrones de relaci´on, resonancia y recurrencia entre un lenguajeentorno y un lenguaje propio. Vygotsky, al diferenciar lenguaje externo e interior, abri´o una v´ıa a la comprensi´on de esta condici´on dualista del lenguaje que interviene en la derivaci´on de las formas simb´ olicas, patrones de uso y atribuci´on de significaci´on y mecanismos de di´alogo e interacci´ on. Hace posible concebir la creaci´on de sentido como el efecto complejo de la objetivaci´ on de los patrones de informaci´on, los mecanismos de reconocimiento, la atribuci´on de identidad y las calidades y regularidades de v´ınculos incorporadas en redes sociales reconocibles en patrones semi´oticos. La doble condici´on del lenguaje, a un tiempo objetivada en patrones de reconocimiento colectivo -lenguajes, redes rituales, escenarios simb´ olicos, se˜ nales, formaciones est´eticas-, es dotada, por consiguiente, de la capacidad para establecer marcos estables de regulaci´on para todo proceso interpretativo y para toda situaci´on de interacci´on. Las pautas desarrolladas por la din´amica de los procesos cognitivos muestran formas de resonancia singulares que confieren al lenguaje y a los procesos simb´olicos, a un mismo tiempo, una capacidad inusitada de estabilidad, y una indeterminada y abierta latitud de fluctuaciones. Esto confiere a los procesos simb´olicos la capacidad de responder a las exigencias din´amicas de la relaci´on con el entorno. Asimismo, intervienen en los procesos complejos de su transfiguraci´on. Este proceso din´amico complejo de transfiguraci´on incorpora elementos, relaciones y dependencias derivadas de las distintas din´amicas concomitantes comprometidas en los procesos ling¨ u´ısticos y simb´ olicos, y se hace patente en el an´alisis

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de las interacciones y los procesos derivados del reconocimiento y la objetivaci´ on de las identidades. La aparici´on de la biolog´ıa del conocimiento como referencia ineludible de las teor´ıas del conocimiento introdujo v´ıas y horizontes conceptuales de otra naturaleza. Acrecent´o la relevancia contempor´anea de los modelos computacionales en la modelizaci´on ling¨ u´ıstica, apuntalados ahora sobre la relaci´on entre el conocimiento y la informaci´on, y los modelos matem´aticos del comportamiento neuronal. Una circularidad, ahora epistemol´ogica, dio a esta relaci´on un alcance significativo: la biolog´ıa del conocimiento obtiene puntos de vista cruciales para su desarrollo de los antecedentes en la cibern´etica, las teor´ıas matem´aticas del control y la aplicaci´on de estos modelos a la fisiolog´ıa del comportamiento nervioso. A su vez, los desarrollos de la biolog´ıa del conocimiento derivaron en la apreciaci´on de rasgos fundamentales que habr´ıan de incorporarse a la modelizaci´on cibern´etica y matem´atica del comportamiento neuronal. No obstante, el trayecto de los modelos de informaci´on a la comprensi´on de simbolismo y representaci´on implica problemas de adecuaci´on de los modelos a las estructuras del comportamiento ling¨ u´ıstico y de consistencia. La relevancia de la comprensi´on de los procesos perceptuales -identificaci´ on de patrones- no permite su traslaci´on lineal e inmediata al dominio del simbolismo. Esto afecta no s´olo a las conceptualizaciones de la relaci´on entre percepci´on e informaci´on, sino entre lenguaje, percepci´on, memoria y experiencia -memoria concebida como preservaci´ on de la informaci´on a partir del fortalecimiento de la relaci´on sin´aptica modelizada como un factor de ponderaci´on-. La condici´on discreta -articulaci´on en componentes, a su vez estructurados en niveles dispuestos en dependencias jer´arquicas y con distinto grado de plasticidad- y dual -interna y externa: el lenguaje como proceso cardinal de organizaci´on interna de la informaci´on- disposici´on mutable de atractores (estructuras de s´ıntesis de informaci´on apuntaladas en composiciones fon´eticas, morfol´ogicas y gramaticales) en la generaci´on y manejo de flujos de informaci´on en la autopo¨ıesis, pero al mismo tiempo como s´ıntesis objetivada, transformada en procesos materiales sometidos a formas de estructuraci´on din´amica aut´onoma. Esta s´ıntesis din´amica conjuga representaciones individuales y dispositivos de preservaci´on de informaci´on objetivados en procesos sociales. As´ı, el lenguaje y las estructuras simb´olicas aparecen no s´olo como procesos internos a la disposici´on y creaci´ on interna de informaci´on, sino que se cimientan en objetos y procesos

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dotados de su propia organizaci´on y din´amica. La regulaci´on y el control de los procesos ling¨ u´ısticos y simb´olicos obligan a aproximaciones mixtas de naturaleza a´ un oscura definida por las condiciones no lineales suscitadas tanto por el dualismo interior-exterior de los patrones simb´ olicos, como de la propia asimetr´ıa entre los procesos estructurados de simbolizaci´on, sus tiempos, sus rangos y m´argenes de fluctuaci´on y sus condiciones de variabilidad.2

c. Complejidad, tiempo e historia: vestigios, monumentos y archivos La interrogaci´on radical que ha surgido de las disciplinas de la complejidad y se proyecta como una sombra en la explicaci´on de los procesos sociales es la debilitaci´on de las pautas can´onicas de causalidad y la invalidaci´ on de los principios deterministas estructurales, sist´emicos o hist´oricos. El relato de la historia y la interpretaci´on arqueol´ogica emergen de una preservaci´ on y despliegue azaroso de los vestigios, una composici´on de rastros fragmentarios de tiempos, procesos e historias. El mapa de vestigios es la composici´on de tiempos, interferencias incalculables, reconstrucciones conjeturales siempre abiertas, ajenas a cualquier conclusi´on, erigidas sobre la inconsistencia inherente a la composici´on azarosa de los archivos y los sistemas de vestigios. La noci´on de dato y la noci´on de fuente, definitivas para el curso de la comprensi´on de los procesos culturales aparecen en s´ı mismos como una disposici´on material fragmentada, equ´ıvoca, definida plenamente por los m´argenes mismos de lo irreconstruible. Una doble condici´on de incertidumbre determina el universo de vestigios: por una parte, la destrucci´on inherente a la intervenci´ on aleatoria, estructural o deliberada de elementos y factores de informaci´on. Por otra parte, la condici´on tambi´en aleatoria de la recuperaci´on de la informaci´on y su posibilidad de reintegraci´on contextual. Esta doble condici´on aleatoria se conjuga con dos fuentes suplementarias de incertidumbre derivadas de la naturaleza misma de los procesos hist´oricos: Otra incertidumbre, que parte de la relativa vaguedad azarosa de la disposici´on de los residuos derivados de contextos f´ısicos y culturales desaparecidos, es la frecuente imposibilidad de una n´ıtida e inequ´ıvoca delimitaci´on de la ampli2

Los detalles de esta aproximaci´ on a la modelizaci´ on simb´ olica han sido desarrollados en “Perspectivas de la complejidad en modelos de simbolismo”, de pr´ oxima publicaci´ on.

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tud y la duraci´on de procesos simb´ olicos no residuales, cuya intervenci´ on reclama nuevas pautas interpretativas y conjeturales. La condici´on compleja de la reconstrucci´on hist´orica y arqueol´ogica se define as´ı por el car´acter irreparablemente inconcluso del universo de los vestigios. En ese vac´ıo, es esa inexistencia la que confiere sentido a los datos hist´oricos y arqueol´ogicos y determina la peculiaridad de su entorno de sentido. Quiz´a una de las condiciones cruciales para la creaci´on de modelos en arqueolog´ıa e historia aparece sustentada en la l´ogica y la semiosis de lo residual. Lo residual se define por una fuerza indicativa negativa, es decir, por aquello que se˜ nala lo desaparecido, aquello cuya aparici´on es imposible. La desaparici´on de toda posibilidad de indicaci´on, la disipaci´on de la posibilidad misma de relaci´on referencial, con aquello desaparecido define la construcci´on de modelos como inscrita en un r´egimen puramente simb´ olico. La historia y la arqueolog´ıa despliegan as´ı modelos conjeturales, amparados en tramas argumentativas. No hay ni mostraci´on ni demostraci´on en estas disciplinas. De ah´ı su inscripci´on relevante en el r´egimen de la modelizaci´on compleja. La arqueolog´ıa y la historia se sustentan en el r´egimen de lo perecedero: no s´olo de la desaparici´on de objetos y presencias, cuyas huellas persisten; tambi´en de lo que no deja huella. La cultura involucra posiciones y funciones cardinales en la generaci´on de sentido: experiencias de cuerpos, disposiciones de objetos y materia, escenificaciones, actos, movimientos, gestos, pensamientos, signos, c´odigos, patrones y formas de vida que s´olo arrojan sombras sobre el material duradero o, incluso, cuando dejan rastros, ´estos son equ´ıvocos, fragmentarios o imperceptibles. El saber se edifica sobre la fragilidad y la finitud de la existencia y su refracci´on a los perfiles inciertos de los monumentos y los documentos. Pero algo es quiz´a m´as oscuro: estos saberes se construyen sobre otra desaparici´on m´as inquietante, la de la huella misma, marcada a su vez en material sometido a la destrucci´on parcial o total. La l´ogica de los restos no puede ser sino una semi´otica compleja. No hay l´ogica invariante de lo residual, enmarcado por la desaparici´on azarosa. Las huellas no son sino materia capaz de devenir huella, nunca huella en s´ı misma: abren as´ı a un campo de mera apertura potencial a la integraci´ on de patrones simb´ olicos. Provienen de signos indicativos o ic´onicos, o bien, constituyen signos de otros signos desaparecidos, o incluso huellas de otras huellas, residuos de residuos. Los m´ ultiples signos y trayectorias de la semiosis que despliega la l´ogica herm´etica de

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los residuos, requiere as´ı, la invenci´ on conjetural de lo desaparecido: su restituci´on l´ogica a las exigencias de un modelo capaz de revelar no s´olo la din´amica de la cultura, sino la compleja l´ogica de distribuci´on, preservaci´ on, o destrucci´on de lo residual. Pero esta l´ogica compleja de lo residual no es en s´ı misma aut´onoma: remite a las din´amicas temporales, a las formas de vida, a la disposici´on de energ´ıas, a las formas de simbolizaci´on y a los entornos de sentido de los propios procesos sociales a los que refiere. La modelizaci´on de lo residual supone un modelo din´amico t´acito del objeto desaparecido. Es una condici´on com´ un de los conflictos sociales que las luchas de sometimiento pasan por la preservaci´ on de la poblaci´on derrotada, bajo condici´on de destrucci´on parcial o total, recomposici´on, trastocamiento, inversi´ on o desmembramiento de su mundo simb´ olico y de toda figura residual capaz de restaurar procesos de memoria o identidad. M´as a´ un, la condici´on agon´ıstica de todo proceso social conlleva a la destrucci´on de la simbolizaci´on de los sometidos, incluso hasta los ´ordenes residuales. Recurre para ello a procesos hermen´euticos y construcciones de sentido que son, a un tiempo, abismales -se proyectan hacia el interior de los sectores de la cultura- e interaccionales -es decir, remiten a acontecimientos, presencias y sujetos surgidos en el entorno de sentido de los procesos propios de una cultura. En esta modelizaci´on de la desaparici´on aparece entonces una conjugaci´on de las din´amicas complejas de los procesos sociales, los procesos simb´ olicos y las exigencias de conceptualizaci´on probabil´ıstica -estoc´astica-. Involucra, quiz´a, procesos complejos de recursividad, una incorporaci´on suplementaria de condiciones de frontera para la relaci´on entre entorno y sistema, en dominios temporales diferenciados y a veces yuxtapuestos, y las din´amicas temporales diferenciadas de m´ ultiples redes de informaci´on que entran en composici´on y en resonancia a partir de las dependencias y derivaciones semi´oticas de la huella.

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Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueolog´ıa

Gustavo Sandoval Garc´ıa1 , Rodrigo Vilanova de Allende2 Anarchy means “without leaders”, not “without order”. This is not anarchy, Eve. This is chaos. De V for Vendetta. Cap. II ...parece en verdad extra˜ no que, desde ayer, yo sintiera que ten´ıa toda esa tierra nueva para mi solo. Muchos claros poblados la rodeaban, y muchos autores hab´ıan echado una mirada, pero nadie m´ as se hab´ıa quedado en ella. (Mandelbrot, La Geometr´ıa Fractal: 586).

Iniciador Al aproximarnos al estudio y/o uso de fractales en cualquier disciplina es preciso reconocer los antecedentes de ´estos, previo a su descubrimiento por Mandelbrot en los a˜ nos setentas del siglo XX. As´ı sobresale en la figura del fractal una dicotonom´ıa que dista de ser casual en donde tenemos im´agenes y relaciones fractales (como met´afora y como dise˜ no arquitect´onico y art´ıstico) presentes en culturas ajenas al determinismo occidental. De manera similar, los fractales pueden ser catalogados en dos amplios y difusos conjuntos: el del fractal “natural” y el artificial, el primero vinculado a las relaciones perceptibles en virtualmente todos los aspectos de la realidad (en todos los niveles, desde el cu´antico hasta el estelar), mientras que el segundo est´a directamente relacionado con exploraciones y abstracciones. 1 2

Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia. Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia. Proyecto Valle del Mezquital. Proyecto Pah˜ nu.

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Gustavo Sandoval Garc´ıa, Rodrigo Vilanova de Allende

La Geometr´ıa Fractal garantiza y facilita la trascendencia a un paradigma basado en las teor´ıas de la complejidad. Es pertinente agregar que la noci´on plenamente matem´atica de lo que implica un fractal queda corta e incompleta para los intereses del presente texto3 .

Lo global y lo local. Renfrew y Thom La problem´atica que asume el presente texto puede trazar sus or´ıgenes en la arqueolog´ıa de los a˜ nos setentas, con las nociones de no-linealidad desarrolladas particularmente por Renfrew (1978). En esa ´epoca, concretamente en 1975, Benoit Mandelbrot public´o “Les objets fractals” y para la siguiente d´ecada, las investigaciones arqueol´ogicas hac´ıan uso de la geometr´ıa fractal as´ı como de las teor´ıas de la complejidad. Estas investigaciones fueron seguidas de la consecuente cr´ıtica y reflexi´on en torno a la necesidad de revisar los par´ametros decimon´onicos bajo los cuales las disciplinas antropol´ogicas estaban fundamentadas. Sin embargo, no ser´ıa sino hasta la u ´ltima d´ecada del siglo XX que se elaborar´ıa una aut´entica cr´ıtica a la rigidez determinista del paradigma occidental en las humanidades y ciencias sociales4 . Quedaba claro que la aproximaci´ on cl´asica de las ciencias duras a los fen´omenos sociales no resultaba del todo satisfactoria, era preciso reconocer y aceptar las variables de tiempo y espacio en dichos estudios al mismo tiempo que resultaba inviable el separar los fen´omenos a estudiar en unidades homog´eneas y constantes (Wallerstein, 1996: 82-87). Las disciplinas hist´oricas confrontan entonces una seria revisi´on de sus objetivos y responsabilidades ´eticas (Ib´ıd.: 91-97), en donde no se presente un “equilibrio” entre historias locales y globales, sino una comprensi´on cr´ıtica de las trayectorias locales y globales en el estudio de los desarrollos socio-culturales. 3 Conscientes de las implicaciones te´ oricas y filos´ oficas de esta aseveraci´ on, queremos destacar, nuevamente, que el presente texto pretende ofrecer al lector una introducci´ on al tema y no profundizar en aspectos que, sencillamente, rebasan los objetivos del mismo. 4 Para un acercamiento cr´ıtico a las ciencias sociales y humanidades en el final del siglo XX, v´ease: Wallerstein 1996.

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Otro lugar de reflexi´on surge desde el pensamiento brodeliano, que ya visualizaba la necesidad de confrontar escalas a nivel social. Mc Glade y Van der Leeuw (1997: 3-4) replantean esto al centrarse en las acciones individuales (de car´acter “instant´aneo”) y los procesos largos (enfocados m´as a la sociedad). El objetivo era encontrar una relaci´on entre los fen´omenos a nivel macro y micro (Ib´ıd. 2, Allen, 1997: 40 y Van der Leuw, 2001). La modelizaci´on fue otro paso para la transici´on en el paradigma cient´ıfico. Con la diferencia que esta vez las intenciones no ser´ıan las de generar una realidad a escala, sino desarrollar herramientas para una mejor comprensi´on de la realidad a trav´es de ´areas o eventos reducidos en magnitud (McGlade y Van der Leeuw, 1997: 22), trascendiendo as´ı las implicaciones newtonianas de control absoluto. Una vez en marcha las ideas de la complejidad y modelizaci´on, autores como Morin comienzan a manejar conceptos muy cercanos al desarrollo de los fractales (aunque no de la manera m´as afortunada). En su obra Introducci´ on al pensamiento complejo (Morin,1990), percibe la problem´atica entre lo local y lo global, aunque dista de ser el primero en manejar nociones de no-linealidad y m´as a´ un, de darles un uso relevante. Destaca as´ı la obra de C. Renfrew durante los a˜ nos setentas, cuyas propuestas, a´ un sin hacer una referencia directa a la geometr´ıa fractal, quedan en una etapa preliminar al uso generalizado de los mismos en las ciencias antropol´ogicas. Renfrew aborda situaciones de discontinuidad y divergencia (Renfrew, 1978: 203-204) a partir de la teor´ıa de Cat´astrofes postulada por Ren´e Thom ([1975], 1987). El modelo de cat´astrofes implica plegamientos (esto es, zonas de bifurcaci´on o “cat´astrofes”) en el espacio de fases donde se desplaza el sistema y en el que estos pliegues est´an definidos por las variables de control del sistema (Briggs y Peat, 1994: 84). En arqueolog´ıa se han contemplando dos: la cat´astrofe Pliegue y la cat´astrofe C´ uspide. La primera describe un cambio a partir de una variable (Ib´ıd.: 85) mientras que en la segunda, son dos las variables que controlan las transformaciones sist´emicas, donde un cambio min´ usculo en cualquiera de ´estas produce una transformaci´on apenas perceptible a menos que se encuentre en un punto cr´ıtico (al rebasar dicha zona de pliegue) en el que se producir´a un cambio abrupto (Ib´ıd.: 86). En resumen, la bifurcaci´on se producir´a cuando el sistema vaya m´as all´a del pliegue de cat´astrofe, llevando a una modificaci´on en el valor de dicha zona de pliegue (L´opez Aguilar y Torres, 1998: 63).

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Renfrew present´o como ejemplo de un cambio discontinuo el problema del colapso. Si bien reconoce que son posibles las situaciones de cambio dr´astico por un cambio violento en las variables (v.g. Pompeya), esta situaci´on no es la m´as frecuente (Renfrew,1978: 212) y su an´alisis se enfoca en el estudio de cambios en apariencia repentinos, generadores de divergencias en conjuntos sociales pero que no divisan causas repentinas, con la idea de que existen ciertos factores de cambio que trabajan de manera no discontinua (Ib´ıd.:204). Concretamente, el arque´ologo brit´anico modeliz´o con la cat´astrofe c´ uspide y analiz´o c´omo cambios repentinos en el comportamiento local de un sistema pueden ser reproducidos por cambios graduales y continuos en el control de las variables que, eventualmente, afectar´ıan al sistema de manera “global”. Tanto los fen´omenos de bifurcaci´on como de cat´astrofe descritos por Thom y considerados por Renfrew, implican la comprensi´on de que las condiciones iniciales (i.e. variables) en un sistema dado son de vital importancia para su desarrollo hist´orico, sea como una bifurcaci´on (en donde el sistema logra cambiar, continuando su existencia tras superar la zona de pliegue) o una cat´astrofe (siendo el sistema incapaz de modificar sus rangos de variables, extingui´endose consecuentemente). Estas nociones ser´an m´as tarde retomadas como premisas elementales para la idea de Sistemas Adaptativos Complejos, cuyas causas iniciales son imperantes en la comprensi´on de las trayectorias de dichos sistemas, ´ıntimamente vinculados a la geometr´ıa fractal. Estos son tan s´olo algunos de los aspectos contextuales que promovieron las investigaciones y exploraciones fractales en arqueolog´ıa.

Constituci´ on Fractal Dentro del estudio de fractales, si bien existen caracter´ısticas m´as o menos constantes como son la autosimilitud, la escalaridad y la dimensi´on fraccionaria, Mandelbrot coincide en que no hay una definici´on clara que abarque todos los distintos tipos de fractales, y tal vez esto sea lo mejor (Mandelbrot, 1997: 504). Una de las caracter´ısticas visualmente m´as atractivas de los fractales es la recurrencia de patrones similares as´ı como la constante transformaci´on que se puede observar en ellos. Sin embargo, es esta cualidad en apariencia trivial (colores y formas) una de las primeras lecciones en el estudio y aplicaci´on de fractales

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(y mas a´ un, en su aplicaci´on en antropolog´ıa). Esto es, las im´agenes fractales son muchas veces representaciones gr´aficas de fen´omenos complejos en donde las trayectorias pueden ser diametralmente opuestas a pesar de que la imagen sea similar una con otra (las historias, digamos, son diferentes a lo observado), las relaciones con que se miden dichas im´agenes de igual manera pueden ser casi id´enticas para fen´omenos completamente distintos, o sin relaci´on alguna para fen´omenos ´ıntimamente vinculados. Un texto introductorio a la geometr´ıa fractal es la obra de Barnsley (1988) Fractals Everywhere. El texto se centra en los “sistemas de funciones iteradas5 ” (SFI o IFS en ingl´es). Estas funciones, asegura Barnsley, son cruciales para la comprensi´on de un fractal (Barnsley, 1988: 80). Por otra parte, bas´andonos en los primeros textos de Mandelbrot, los fractales son conjuntos que presentan una dimensi´on de Hausdorff-Besicovitch mayor que su dimensi´on topol´ogica, son autosimilares, tienen una longitud infinita y presentan dimensi´on fraccionaria (D) y pueden ser separados en sus partes, cada una de las cuales ser´a una versi´ on a escala reducida del todo. (Mandelbrot, 1997: 32 y Mandelbrot, 1999). Hofstadter hace alusi´on a la escalaridad, autosimilitud y dimensi´on fractal al explicar la naturaleza no finita de un sistema recursivo (Hofstadter, 1998: 80). En cambio, Kuhn y Levick (2002) advierten: “En esencia, una entidad con caracter´ısticas que son simult´ aneamente apreciables en varios niveles de observaci´ on han llegado a llamarse fractal.” Pero esto no es necesariamente cierto si le damos prioridad a D para definir un fractal como lo hace Mandelbrot (1997: 32). Queda claro entonces que los fractales han trascendido su estatus de “figuras virtuales” hasta relaciones en din´amicas de sistemas complejos.

Algunas otras definiciones: La geometr´ıa fractal es una extensi´on de la geometr´ıa cl´asica. Puede usarse para hacer modelos precisos de estructuras f´ısicas desde helechos hasta galaxias. La geometr´ıa fractal es un nuevo lenguaje. (Barnsley, 1988: 1)6 5

B´ asicamente consisten en un patr´ on matem´ atico inicial que se reitera, a partir de seis operaciones b´ asicas: copia, desplazamiento, reducci´ on, inversi´ on, rotaci´ on y estiramiento, form´ andose as´ı modelos fractales. (Reynoso, 2003: 20) 6 La traducci´ on es nuestra.

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(. . . ) figuras geom´etricas virtuales, formadas por un n´ umero infinito de elementos, infinitamente peque˜ nos, contenidos en una superficie finita (...) (RAE, 1992) Con lo citado se pueden apreciar las cualidades iterativas de los fractales en tanto que conservan su forma independientemente del nivel de observaci´ on (i.e. escala) al que los sometamos y de la herramienta de medici´on arquet´ıpica de los fractales, su dimensi´on fraccionaria. Sin embargo, para comprender c´omo est´a constituido un fractal, es preciso conocer c´omo se construyen. El primer paso consiste en una l´ınea o punto (iniciador) la cual se modificar´a, “injert´andole” (por ejemplo) una curva relativamente simple (a la figura resultante se le llamar´a generador). Acto seguido se proceder´a a repetir (iterar) este generador sobre s´ı mismo (ya sea en el extremo del iniciador o en todos los segmentos que sean iguales -aunque m´as reducidos, debido a la escala, claro est´a -al iniciador). Finalmente, el proceso se repetir´a varias veces o tender´a al infinito. (Mandelbrot, 1997: 60-61).

As´ı, la autosemejanza se refiere a la propiedad que tiene un objeto determinado en donde cualquiera de sus partes es similar a la totalidad del objeto, esta puede ser exacta o estad´ıstica y es producto de la iteraci´on. Adem´ as de la autosemejanza, para que un objeto pueda ser considerado como fractal, es preciso que cuente con una dimensi´ on fraccionaria o fractal (D), esto es que el objeto, adem´as de ser percibido en la realidad cartesiana (1, 2, 3 dimensiones), tenga una relaci´on dimensional “intermedia” (v.g. 0.6, 2.6) generada por iteraci´on y trascienda los l´ımites dimensionales euclidianos.

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De acuerdo a Barnsley (1998: 3), la dimensi´on fractal es: [. . . ] un n´ umero que indica qu´e tan densamente ocupa un conjunto el espacio m´etrico en el que existe. [. . . ] Esto hace significativa a la dimensi´on fractal como un observable experimental [. . . ] y es independiente de las unidades de medida. Esta es, sin duda alguna, la caracter´ıstica m´as u ´til, vers´ atil y definitoria de los fractales. Es a trav´es de esta dimensi´on fraccionaria que se puede establecer una relaci´on entre diversos fen´omenos fractales que comparten una determinada dimensi´on fractal7 . La f´ormula para la dimensi´on fractal es D = log N/ log S, en donde N es el valor del generador en el fractal y S es la relaci´on entre el generador e iniciador. Teniendo en cuenta las ideas presentadas hasta el momento, vale la pena recapitular en torno a los fractales, los cuales suelen ser descritos como poseedores de algunos (o todos) los siguientes atributos: Dimensi´on fractal Autosemejanza Recursividad Ser Virtuales (Abstractos) o Naturales Escalaridad Atractores Mientras tanto, los antrop´ ologos y arque´ologos suelen ver en los fractales (en base a nuestra apreciaci´on) las siguientes ofertas y caracter´ısticas, m´as o menos apoyadas en la literatura especializada (como se ver´ a m´as adelante): Autosemejanza en relaciones y redes sociales 7

Las investigaciones oncol´ ogicas y osteol´ ogicas son un claro ejemplo de esto en las ciencias naturales. En cuanto a las ciencias sociales, invitamos al lector a continuar estudiando esta obra.

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Recursividad a diferentes escalas Interacciones global/ regional/ local Auto-organizaci´on Din´amicas alejadas del equilibrio Trayectorias autosimilares espacio temporales Dimensi´on fractal (en tanto par´ametro de medici´on lo permita) Por ello, presentamos una definici´on para el concepto de fractal en tanto su aplicaci´ on en las disciplinas antropol´ ogicas: Relaciones y din´ amicas autosemejantes y de dimensi´ on fraccionaria, entre uno o m´ as fen´ omenos, perceptibles en distintos niveles de observaci´ on, sean abstractos o naturales. Los fen´ omenos fractales presentar´ an, entonces, elementos como recursividad, autosemejanza (en diferentes grados de observaci´ on) y la posibilidad de c´ alculo de una dimensi´ on fraccionaria D.

Generador Descrita la generalidad de la geometr´ıa fractal se analizar´a la aplicaci´on de ´estos al mundo de las disciplinas antropol´ogicas. African Fractals (1999) es considerado el primer trabajo de aplicaci´on fractal a la antropolog´ıa. Si bien la idea hab´ıa sido ya explorada (Kennedy y Lin, 1988), no hab´ıa sido contemplada como tema u ´nico para toda una publicaci´on. Es preciso destacar que Eglash reconoce en un fractal un conjunto auto semejante con escalaridad y recursividad y dimensi´on fractal caracter´ısticas que estar´an presentes total o parcialmente en objetos culturales (Eglash, 1999 en V. Rauff, 1999).

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En su mayor´ıa un trabajo descriptivo, el de Eglash no incursiona en D. Esto, sin embargo, no resta m´erito a su obra, ya que al analizar tejidos y patrones decorativos, asentamientos, formas de peinado, juegos, etc´etera, logra aproximarse a una comprensi´on de la cognici´on y pensamiento africano m´as all´a de meras suposiciones, basando sus ideas en algoritmos espec´ıficos e identificables (v.g. leyes de potencia). Una consecuencia de esta publicaci´on ha sido la descripci´on de la arquitectura antigua a partir de t´erminos fractales como el templo Kandariya Mahadeva, donde se identifican hasta 84 iteraciones del generador, tan s´olo en la estructura m´as alta (Gunther, 2002). Nuevamente nos encontramos (al igual que las incipientes investigaciones antropol´ogicas), en el inicio de otra iteraci´on. Esta vez circulando en torno a la idea de autosemejanza. Mier (2002: 94), basado en Mandelbrot, plantea una sociedad simple como aquella que ya no puede reducirse en segmentos menores (Mandelbrot, 1987: 32 en Mier, 2002: 94) los cuales son autosimilares entre ellos. El autor entonces reconoce la idea de Durkheim sobre la formaci´on de entidades complejas a partir de una entidad simple (la horda) siendo una iteraci´on de la misma, pero “[. . . ] sin perder su fisonom´ıa fundamental [. . . ]” (Ib´ıd.:94). Atinadamente, se

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reconoce ya la noci´on de autosimilitud y la emergencia de rasgos singulares a cada iteraci´on y escala en relaci´on al generador; y, por lo tanto, ausentes en la horda (Ib´ıd.:96). Por su parte, Xaver Faust ve la posibilidad de tratar una idea cultural como un conjunto autosimilar en donde “[. . . ] toda parte es el total y viceversa.” (Xaver Faust, 1996: 135). Al procurar un acercamiento etnogr´afico que busque establecer leyes globales, Xaver Faust describe un principio l´ogico de un conjunto de pueblos ind´ıgenas del norte de los Andes y Centroam´erica que culturalmente componen un sistema con variaciones regionales y personales (Idem.), en donde a partir de una comprensi´on iterativa, resulta posible entender un grupo a trav´es del otro. Es decir, comprender la globalidad a partir de sus localidades. Estas nociones parten de la observaci´ on y del entendimiento de la idealizaci´on ind´ıgena del agua como vitalidad y por lo tanto elemento incontrolable (Ib´ıd.: 137). Si bien los nombres cambian entre los diferentes grupos de una regi´on, la idea se conserva. As´ı que tras revisar varios mitos de origen, el autor identifica el concepto de “batida” que es una premisa autosimilar que supone que un desastre (cat´astrofe) lleva a una renovaci´ on. Por lo tanto, las tierras de cultivo deben ser batidas por medio de un ba˜ no de agua (elemento incontrolable) para as´ı renovar su fertilidad. En el universo femenino el parto y la menstruaci´on son batidas aunque jer´arquicamente diferentes. A escala personal la batida y renovaci´ on vendr´ a con ba˜ nos (Ib´ıd.: 146-149). De manera similar la sociedad requiere de una batida y renovaci´ on. Una sociedad que sufre de un r´ıgido auto-control cotidiano, que se vuelve emocional y enfatiza esto con el alcohol y la comida en las fiestas: “Donde habr´ a borrachera, aventura amorosa y ri˜ nas con machete; y en la que la pelea no se cesa hasta que alguien sangre” (Xaver Faust, 1996: 147). Es la sangre, al igual que el agua, la fuerza vital y su presencia tanto en las fiestas, como en la celebraci´on, traer´a la ansiada renovaci´on. Si bien el autor llama a esto un “Fractal Indoamericano” (Ib´ıd.:150-151), se trata m´as bien de la aplicaci´on del concepto de autosemejanza a un comportamiento cultural, aunque queda claro que se manejan conceptos de la geometr´ıa fractal, m´as no un fractal en s´ı. Aproxim´andose un poco m´as a los fractales y sus aplicaciones arqueol´ogicas, Mc Leod (1998) refiere el trabajo de Spencer Wood (1993 en Mc Leod 1998), quien

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plantea el problema de escalas en el an´alisis arqueol´ogico (desde una perspectiva brodeliana) en la expansi´on tecnol´ogica haciendo uso de modelos de percolaci´on fractal. Por otro lado, Sandra Olsen (tambi´en citada por Mc Leod) reconoce las trayectorias de atractores extra˜ nos que rigen las migraciones de animales y consecuentemente de los cazadores-recolectores. Estos trabajos representan nuevos alcances desde rutas alternativas8 . (Mc Leod,1998) Desde la d´ecada de los ochentas, Sander Van der Leeuw9 se ha involucrado directamente en las teor´ıas de la complejidad. Apoy´ andose en la investigaci´ on de Prigogine y la teor´ıa de bifurcaciones, a colaci´on de un homenaje a G. Childe, aborda el problema de las revoluciones y destaca c´omo tanto en los procesos hist´oricos, como de conocimiento, se presentan estos eventos. Retoma as´ı el modelo de bifurcaciones y el fen´omeno adquiere una din´amica iterativa que olvida sus condiciones iniciales al haber devenido en un sistema diferente del “original” (Van der Leeuw, 1988: 244-245). Van der Leeuw menciona cuatro niveles de observaci´ on: a) Procesos a muy largo plazo que generan cambios en la evoluci´ on cultural. b) Cambios a mediano plazo, que generan movimiento en las formas de organizaci´on. c) Cambios a corto plazo como fluctuaciones en las formas de organizaci´on y d) procesos instant´ aneos como toma de decisi´on humana (Van der Leeuw, 1988: 248). Aunque valiosos, estos trabajos todav´ıa no presentan un verdadero uso de geometr´ıa fractal m´as all´a del uso de met´aforas y analog´ıas ligadas al principio de autosimilitud.

Herramientas para ver, percibir y sentir fractales En un esfuerzo generoso, Carlos Reynoso ha expuesto nociones generales de las teor´ıas de la complejidad en auditorios latinoamericanos. En ellos, ha recalcado no s´olo la necesidad de tomar en cuenta la no-linealidad, sino de ofrecer posibilidades para evitar un abuso de dichas teor´ıas. 8 Tal vez este es el mejor momento para recordar al lector que el uso de estas herramientas y metodolog´ıas se ve favorecido por una aut´entica aproximaci´ on de transdisciplina, en donde varios especialistas pueden hacerse cargo de los elementos t´ecnicos que escapan a las habilidades tradicionales del arque´ ologo, por ejemplo. 9 Investigador de la Universidad de la Sorbona y SFI.

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De esta manera, Reynoso expone lo que ´el considera un grupo de herramientas y tecnolog´ıas “auxiliares” en los estudios de la complejidad. A saber: la ecuaci´on log´ıstica, los aut´omatas celulares, el algoritmo gen´etico, las redes booleanas, la modelizaci´on fractal, etc´etera10 . Sin embargo, destaca la necesidad de proceder con cierta prudencia, ya que la verdadera utilidad de dichas herramientas radica en tener claro los par´ametros y nociones b´asicas de no-linealidad as´ı como la formulaci´on de problemas. Esto es, que su principal valor est´a no en generar m´as datos, sino en resolver interrogantes. La ecuaci´on log´ıstica aborda comportamientos descritos en aumentos y decrementos. Es una expresi´on recursiva del tipo xt+1 = Kxt (1 − x) (Reynoso y Castro, 2006: 1)11 . A partir de esta ecuaci´on simple y mediante el uso de una hoja de c´alculo, es posible vislumbrar situaciones de equilibrio, atractores de punto, peri´odicos y turbulencias ca´oticas; algunos con propiedades fractales (Ib´ıd. 2-3). Las herramientas conocidas como los Aut´ omatas Celulares (Cellular Automata) son modelos abstractos de un sistema en donde se han definido un conjunto de reglas que lo rigen. El software b´asico para comprender e introducirnos a los AC o CA es el Juego de la Vida (Game of Life) que simula una din´amica celular. Las reglas son elementales: se presenta una rejilla en donde cada cuadro es ocupado (o no) por una “c´elula viva”. En caso de que una c´elula dada tenga menos de dos c´elulas vecinas, ´esta morir´a. Si tiene m´as de tres, morir´a, etc´etera. El objetivo consiste en generar mapas de trayectorias tiempo-espacio de las din´amicas celulares (Ib´ıd. 3) Mientras los aut´omatas celulares y la ecuaci´on log´ıstica complementan de manera excelente una investigaci´ on, la modelizaci´on con agentes permite establecer tendencias y corroborar proyecciones a trav´es del uso de muchas variables que interact´ uan entre s´ı sin permanecer constantes. El ejemplo cl´asico de este tipo de simulaciones es el desarrollado por el SFI en torno a la cultura Anazasi (Dean et al. 1999), en el cual, a partir de variables nutricionales, par´ametros de mortalidad, fertilidad, cosechas, tama˜ nos de los espacios, disponibilidad del agua, etc´etera, busca concordancias en el contexto arqueol´ogico, teniendo siempre en cuenta la sensibilidad a las condiciones iniciales 10

Este listado, dista de ser completo o incluyente, es tan s´ olo una muestra de las muchas herramientas de las que se puede hacer uso. 11 Para detalles sobre el uso sugerimos consultar la fuente.

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de un sistema (Reynoso, 2003: 5-7)12 .

Midiendo fractales: Dimensi´ on fractal Los primeros c´alculos de dimensi´on fractal inmersos en la arqueolog´ıa se deben a Kennedy y Lin, en 1988 (en Brown, 2001), pero son Gibert y Palmqvist (1995) quienes llevan a cabo un estudio particularmente interesante sobre este tema. Ellos analizan D en las suturas de un cr´aneo pleistoc´enico del yacimiento Venta Micena con el objeto de identificar la especie en funci´on del patr´on de sutura de cr´ aneos equinos y humanos (Gibert y Palmqvist, 1995: 563-564). El m´etodo para calcular D en este trabajo es similar al de “Conteo de Cajas” (Box Counting), siendo la principal diferencia el software utilizado. La D (1.058) obtenida se contrast´o con muestras de infantes contempor´aneos y pleistoc´enicos (1.047 a 1.173) concluyendo que el cr´aneo perteneci´o a un hom´ınido infantil13 . En cuanto a los cr´aneos equinos, ´estos ofrecieron valores de D muy superiores a los de los hom´ınidos. M´as tarde, la investigaci´on en torno a D y los fragmentos craneales pretendi´ o elaborar una clasificaci´on taxon´omica basada en rangos de edad. En esta ocasi´on, se aplic´o la t´ecnica de Conteo de Cajas, que consiste en trazar una ret´ıcula dividida en celdas de tama˜ no “s”, cont´ andose el n´ umero de celdas que intercepta la estructura a medir, siendo N(s) el n´ umero de celdas de tama˜ no (s) que toca la estructura. El proceso se repite con valores menores (Arques y Gilbert, 2002: 4) y se procede a graficar el logaritmo de N (s) y el logaritmo de 1/s esperando una pendiente lineal que una dichos puntos, siendo D la pendiente. Hasta ahora la muestra de investigaciones parecer´ıa incentiva, pero un trabajo representativo de la falta de buenas bases te´oricas y metodol´ogicas es el de Burkle Elizondo (2001) quien presenta como hip´otesis que: “[. . . ] el arte, escultura, est´etica y arquitectura mesoamericana es fractal; o que por lo menos tiene dimensi´ on fractal.” (Elizondo, 2001: 4). Lo anterior, resultado de una geometr´ıa c´osmica tomada como referencia para la vida prehisp´anica (Ib´ıd.:3). En base a las definiciones ya presentadas, el error de suponer que un objeto puede presen12

Sugerimos al lector consulte tanto a Reynoso como a Stuart Kauffman como excelentes textos introductorias a la modelizaci´ on. (v.g. Reynoso, 2006 a) 13 Si bien los autores reconocen que podr´ıa tratarse de un p´ ongido, las diferencias morfol´ ogicas permiten aceptar el cr´ aneo como de un hom´ınido de entre 5 y 6 a˜ nos (Ib´ıd. 572).

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tar D sin ser fractal es dolorosamente obvio. A pesar de ello, el autor obtiene una D promedio de 1.92, y la define como un marcador fractal “mesoamericano” (Ib´ıd.:11). Una de las principales fallas en la obra de este autor se puede notar en la divisi´on de diez grandes grupos arbitrarios (en una l´ogica occidental), para establecer sus mediciones (v.g. cabezas olmecas y Coatlicue). De igual manera, al buscar una “est´etica” lleva a pensar qu´e tan consciente est´a el autor de las implicaciones del concepto de “Mesoam´erica”. Con estos ejemplos quedan claras las evasivas de D para conformarse de manera determinista. Regresando a investigaciones m´as afortunadas, Rees et al. analizan el microdesgaste l´ıtico para calcular dimensiones fractales de las superficies de uso en herramientas de pedernal (Rees et al, 1991: 630). El estudio tom´o en consideraci´on diversas variables, como los materiales en los que las herramientas fueron utilizadas, calculando D para cada evento. Sin embargo, no se logr´o nada definitivo debido al gran n´ umero de variables involucradas ya que a´ un al pulir con el mismo material (madera) en dos muestras de pedernal se obtuvieron valores de D diferentes. (Rees et al, 1991: 639). Por su parte, Stemp y Stemp intentaron generar una tipolog´ıa fractal de artefactos l´ıticos que no fue exitosa, sin embargo lograron determinar fractalmente si las muestran han sido utilizadas o no, as´ı como el hecho de que hay un momento en el que se pierde la fractalidad por un pulimento excesivo (Stemp y Stemp, 2001: 86 y 2003: 287-291). Por su parte, C. T. Brown (2001, 2005) toma otro camino en sus an´alisis l´ıticos, reconociendo que ya por ser rocas tienen propiedades fractales (Brown, 2005: 47). Con esto en mente y bas´andose en los trabajos de Kennedy y Lin (1988, 297–301 en Brown, 2005), retoma la idea de que la fragmentaci´ on de las rocas crea una distribuci´on tama˜ no-frecuencia que obedece a la relaci´on N (> r) = 1/rD (Brown, 2005: 48), lo que quiere decir que al fragmentarse una roca habr´a menos fragmentos mayores y muchos fragmentos menores. De esta forma, estados de reducci´on primarios proporcionan lascas mayores y en menor cantidad, mientras que el trabajo final produce lascas menores y m´as abundantes. Brown asume, entonces, que la dimensi´on fractal de los artefactos aumenta con las etapas finales del trabajo, lo cual es visible desde el n´ ucleo: Un n´ ucleo sin preparar ofrece un valor de D menor que un n´ ucleo preparado (Brown, 2001:

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624 y Brown, 2005: 51). Al contrastar con el contexto arqueol´ogico, el autor logr´o diferenciar adem´as un contexto primario de uno secundario. En este u ´ltimo la distribuci´on no se comporta como D por el reacomodo. Destaca adem´as que no todas las distribuciones deben comportarse de manera fractal, siendo tan u ´til la informaci´on proveniente de una, como de otra (Brown, 2001: 629).

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Mapas fractales e historias no lineales Cabe decir que D no es la u ´nica manera de aproximarse a los fractales en arqueolog´ıa. Trabajos como los de Rodr´ıguez et al, Zubrow, King, etc´etera, sugieren una trayectoria alternativa a la aplicaci´on eficaz de estas herramientas. La investigaci´on de Rodr´ıguez et al (1995) gira en torno a la trayectoria de domesticaci´on agr´ıcola a lo largo del Mediterr´aneo Occidental, y se apoya en un fen´omeno previamente reconocido como poseedor de caracter´ısticas fractales, esto es, la percolaci´on. Los investigadores utilizan un modelo de sistemas de intercambio de informaci´on por percolaci´on, el cual genera sistemas auto-organizados, producto de la constante iteraci´on a peque˜ na escala. El resultado es una red fractal de flujo de informaci´on que cubre la regi´on (Rodr´ıguez et al, 1995: 13). As´ı, la informaci´on s´olo puede fluir por caminos abiertos en nodos adyacentes, y en caso de no existir dicha conexi´on, la informaci´on simplemente no fluye (Ib´ıd.: 15). En 1997, Ezra Zubrow publica su trabajo “Clusters of Death” y si bien no maneja de manera expl´ıcita los fractales, su trabajo de simulaci´ on aborda el problema de la expansi´on de la viruela en las poblaciones nativas americanas al momento de la colonizaci´on del continente. El autor describe la infecci´on como un fen´omeno de expansi´on ca´otica que posteriormente se manifiesta a trav´es de un patr´on ordenado de expansi´on de dicha infecci´on llevado a nivel continental14 . En esencia, el modelo simula la expansi´on del virus desde Europa a trav´es de las rutas de comercio. El autor concluye que el fen´omeno se comportaba como un modelo de percolaci´on, esto es, un modelo fractal (Ib´ıd., 231, 249). En la misma publicaci´on, King y Aallan (1997) parten de la consideraci´on del medio ambiente como un proceso fractal en donde el cambio ocurre de manera constante y en todas las escalas, siendo funciones fractales la respuesta y la capacidad de supervivencia de las especies de un ecosistema determinado. Sin enfocarse en la geometr´ıa fractal, los trabajos de Zubrow y King y Aallan abordan de manera exitosa nociones inherentes a los fractales, haciendo evidente una vez m´as la importancia, no de emplear la t´ecnica en un af´an de aplicarla en todo, 14

Cabe mencionarse que el autor ha trabajado previamente el tema en American Archaeology, 1985. Sin embargo, nos result´ o imposible conseguir dicha referencia.

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sino de manejar e interpretar de manera apropiada los datos que involucra la utilizaci´on de dichas herramientas. Por su parte, C´ecile Tannier y Denise Pumain (2005 y Pumain, 1997) han desarrollado una metodolog´ıa de an´alisis fractal aplicable a cualquier distribuci´on urbana15 . Previamente, Pumain hab´ıa elaborado un acercamiento al an´alisis urbano dentro de las ideas de complejidad. Una de las observaciones iniciales que hizo sobre un sistema de ciudades, es la existencia de una persistencia espacial y jer´arquica en su configuraci´on, a´ un a nivel micro, y a pesar de los aumentos poblacionales, del n´ umero y del tama˜ no de las mismas (Pumain, 1997: 98). Siguiendo esta l´ınea, queda claro que no s´olo en la expresi´on espacial existe autosemejanza en un sistema urbano, sino tambi´en en su vida como sistema autoorganizado por las relaciones jer´arquicas a diferentes escalas y por un principio operativo que resulta de la competencia entre ciudades (Ib´ıd., 102-112).

15

Si bien, los primeros esfuerzos en aplicaci´ on de fractales y urbanismo son presentados por Batty y Longley en “Fractal Cities”, en un an´ alisis de D como indicador del cambio de las metr´ opolis del planeta.

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Para 2005, Pumain y Tannier trabajaron espec´ıficamente sobre la l´ınea de geometr´ıa fractal. Describieron al sistema urbano con el atributo de autosemejanza, visible en la repetici´on del mismo principio de distribuci´on y en los elementos a m´ ultiples escalas, representados bajo un esquema de jerarqu´ıa escalar (Pumain y Tannier, 2005: 5). M´as que mostrar la aplicabilidad a un caso espec´ıfico, Pumain y Tannier mostraron la utilidad de D, al basarse en una serie de reflexiones previas, que resultar´ıan igualmente valiosas, si no se hubiese calculado D.

Autosemejanza Maya Otro de los usos m´as interesantes para las geometr´ıas fractales es el patr´on de asentamiento, siendo las propuestas de C. Brown de las m´as apasionantes. En sus primeras aproximaciones los arque´ologos localizaron puntos geogr´aficos mediante la utilizaci´on de la tecnolog´ıa GPS en Yucat´ an, en sitios del Cl´asico Terminal. A cada sitio se le asign´o un valor jer´arquico de 1 a 4 (siendo 1 para los sitios de mayor tama˜ no y 4 para los de menor tama˜ no) (Brown y Witshey, 2000: 7). Posteriormente se desarroll´o una hip´otesis para explicar por qu´e el patr´on de asentamiento maya exhibe una relaci´on fractal, tanto a nivel comunal (intra-sitio), como a nivel regional, perceptible gracias a D y a la autosemejanza estad´ıstica (Brown y Witschey, 2003: 1619). La hip´otesis referente a las relaciones intrasitiales describe a los edificios como un patr´on agrupado producto de un patr´on previo que se itera en s´ı mismo (nested clusters of clusters). Con una organizaci´on espacial autosimilar, existen principios de linaje visibles en todo el sistema social. As´ı, las relaciones autosimilares trazan el comportamiento regional en funci´on de distribuciones tama˜ no/ frecuencia y tama˜ no / estatus de los asentamientos (Ib´ıd.). Del mismo modo, el an´alisis regional se basa en la jerarqu´ıa originada de la relaci´on estatus / tama˜ no como una ley de potencia (power law) as´ı como de la relaci´on tama˜ no / frecuencia que presenta una relaci´on fractal y una D. La relaci´on estatus / tama˜ no es una observaci´ on m´as emp´ırica que expresa una relaci´on entre el tama˜ no del asentamiento, y el estatus del mismo (Brown et al, 2005: 61). Obviamente en cada nivel autosemejante habr´a menos sitios de estatus mayor, aunque ´estos ser´an los de mayor tama˜ no.

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Para complementar este an´alisis, se efectu´o un Conteo por Cajas sobre la distribuci´on geogr´afica de los puntos, en este caso D = 1.51 (Brown y Witschey, 2003: 1625). El autor justifica las variaciones obtenidas en D (de 1.23 hasta 1.51) como expresi´on de variaciones locales y regionales del generador (Ib´ıd., 1627), resta determinar los rangos de variabilidad aceptables en D. La autosemejanza en los grupos de asentamientos est´a directamente vinculada al hecho de que ´estos describen un sistema social donde la familia y la unidad habitacional son una r´eplica del linaje y ´este a su vez del clan, haci´endose visible la misma relaci´on en la administraci´on del poder, donde los niveles est´an organizados de manera piramidal. As´ı, el patr´on de asentamiento fractal (contrastado con conteo de cajas) es consecuencia de una organizaci´on fractal y de un gobierno jer´arquico que obedece a una ley de potencia (Ib´ıd.: 1627-1628). Una conclusi´on es que la sociedad maya goz´o de una autoorganizaci´on, como es la capacidad de cambio espont´ aneo en un sistema tras una perturbaci´on constante (Ib´ıd.: 1622). Por su parte, Roberts y Turcotte (1998 en Brown, 2003: 16281629) llevaron a cabo modelizaciones de la auto-organizaci´on y guerra maya cuyo resultado fue un sistema meta-estable con D = 1.27 − 1.54. Este hallazgo se podr´ıa comparar con la din´amica semi-estable definida por L´opez Aguilar y Bali (1995) o con la idea maya seg´ un Duverger (2000). Sobre el mismo problema de comprensi´on de la organizaci´on y trayectoria maya, Joyce Marcus (1993:184) tambi´en ha reconocido a la guerra como un factor que genera ciclos din´amicos de integraci´ on y fragmentaci´ on donde los estados regionales se colapsan en entidades m´as peque˜ nas y viceversa. Un trabajo que ha llegado a resultados semejantes mediante otra v´ıa metodol´ogica, ha sido el de Arthur Demarest (1992), quien sin estar comprometido con la hip´otesis fractal, propone un modelo pol´ıtico maya como estado gal´actico. Dicho modelo consiste en una met´afora de organizaci´on social y espacial donde la misma idea organizacional permanece a diferentes escalas (s´olo que los grados de poder pol´ıtico disminuyen del centro hacia la periferia). (Prem, 1998: 30)

La Casa Del Fara´ on Dentro del compilado del SFI (Gumerman, Kohler, 2000) destaca la propuesta de Mark Lehner sobre el Antiguo Egipto como un Sistema Adaptativo Complejo

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(SAC o CAS en ingl´es)16 , en la que describe varios fen´omenos autosimilares tanto en espacio como en tiempo que nos aproximan un poco a la idea de Bak (1996). En contraste con la visi´on fara´onica absolutista que supon´ıa un expansionismo a capricho del emperador, Lehner revisa a detalle las variables del sistema egipcio para presentar sus analog´ıas. Las vincula principalmente a una imagen fractal arquitect´onica, a la autosemejanza del conjunto social y a ciclos de fragmentaci´on y conglomeraci´on altamente sensibles a las condiciones iniciales de la unidad dom´estica (household). Observa tambi´en la construcci´on/desarrollo de la organizaci´on al interior de la misma (o PHM: Patrimonial House Model 17 ) definida por parentesco y por la relaci´on amo-esclavo como los generadores de trabajo a cualquier escala espacio-socio-temporal. El primer momento para el desarrollo de esta hip´otesis se dio en una revisi´on del modelo segmentario de unidades sist´emicas, las cuales, al colapsarse, conservan la idea general. As´ı, el autor visualiz´o la autosemejanza en la estructura vertical, inferible en la disposici´on de tumbas: organizadas a partir de una gran tumba (tanto de tama˜ no como jerarqu´ıa) y alrededor de ella las de menor tama˜ no y estatus (Lehner, 2000: 277-278). Continuando, se presenta el patr´on de la casa/unidad dom´estica como idea central y principio generador de la relaci´on (“patr´on”) fractal. De esta manera, el principio organizacional de la casa egipcia funcion´o como agente autosemejante que configur´o el Estado egipcio a partir de la expansi´on (amplificada territorialmente, pero con una disminuci´ on jer´arquica) aunada a un proceso de autosimilitud al interior, con lo que se gener´o una estructura auto-contenida (Ib´ıd.: 279-280). Retomando al SAC, las din´amicas y el patr´on egipcio se originaron a partir de las interacciones de agentes locales y Lehner supone que es a partir de ´estas que se construye la Gran Casa Fara´ onica (Great House) descartando tambi´en la idea mon´arquica sobre el fara´on, ya que el t´ermino es s´olo una traducci´on del 16 Enti´endase un SAC como un sistema complejo (previamente descrito) mientras que por adaptativo refiere la capacidad de cambio a trav´es de la experiencia. El termino se origino en el SFI por John H. Holland y Murray Gell-Mann, quienes definen una SAC como un conjunto de agentes en reacci´ on constante a lo que lo otros agentes hacen. El control del sistema tiende a ser disperso y descentralizado y el comportamiento coherente surgir´ a de la competencia y cooperaci´ on entre agentes. (En: Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, M. Mitchell Waldrop,1992). 17 Modelo de Casa Patrimonial. (traducci´ on nuestra)

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egipcio que se˜ nala esa Gran Casa (Ib´ıd.: 280). Entonces, a partir del agente b´asico (unidad dom´estica), el siguiente nivel autosemejante es la aldea (village) en donde la esencia organizacional radica en fragmentar terrenos cultivables (iltizams) (Ib´ıd.: 286-287). Ampliando la escala, el pueblo (town) contin´ ua con el patr´on autosemejante, donde la ciudad central se constru´ıa alrededor de la residencia “oficial” y cada suburbio segu´ıa el modelo de dicha casa, con espacio religioso, granero y talleres en los flancos. Igualmente, las casas mayores eran rodeadas por casas menores (Ib´ıd.: 301-303). El nivel organizativo siguiente son los nomes, divisiones territoriales seg´ un la longitud del Nilo, en donde un pueblo principal servia como capital. Finalmente se tiene la fragmentaci´on generadora del sistema egipcio que lo divid´ıa en dos (el Valle del Nilo y el Delta) de modo que el fara´on funcionaba tambi´en como una representaci´on doble (Set y Horus), como el unificador de la casa del Bajo y el Alto Egipto, idea isom´orfica en cada nivel jer´arquico (Ib´ıd.: 307-318). Espacialmente hasta ahora es visible un esquema autosimilar donde no hay diferencia entre lo urbano y lo rural, pues todo nivel es una iteraci´on del mismo principio. Tampoco existe la necesidad de visualizar una sociedad bimodal (´elite y pueblo) sino que se percibe la autosemejanza a cualquier escala de observaci´ on (Ib´ıd.: 281). Un comportamiento semejante ocurrir´ıa en la ausencia de un sucesor fara´onico donde el modelo de parentesco tiene que buscar un reacomodo, potencialmente a trav´es de guerras norte–sur y del reajuste jer´arquico (Ib´ıd.: 337-338). En esencia, Lehner nos da la idea global de un sistema autosimilar entre la unidad dom´estica y el sistema egipcio como una gran unidad dom´estica (La Gran Casa) (Lehner, 2000: 338).

Iteraci´ on final De esta manera, queda clara la valiosa aportaci´on que la geometr´ıa fractal ha tenido en la ciencia occidental desde hace m´as de 25 a˜ nos. Sus aplicaciones son cada vez m´as amplias. Tambi´en lo son las herramientas disponibles para hacer

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uso de ella, en particular los programas para calcular (D)18 . La geometr´ıa fractal se presenta, entonces, como un generador en el que es preciso involucrarse para devenir en una antropolog´ıa cr´ıtica, din´amica y compleja, con oportunidad de desarrollar una verdadera transdisciplina. Es preciso expresar una advertencia para evitar caer en mediciones sin sentido, ya que obtener D y modelizar sin un objetivo es una p´erdida de tiempo, en tanto que la informaci´on obtenida no ser´a de utilidad o caer´a en la redundancia. Adem´as, no s´olo por hacer uso de estas herramientas autom´aticamente se habr´a trascendido el pensamiento lineal. Nuevamente queda en evidencia la necesidad imperante de una revisi´on cr´ıtica al pensamiento occidental. Las revoluciones cient´ıficas no son modas pasajeras, y la necesidad de presentar alternativas al determinismo positivista es claramente un compromiso ´etico y social para el antrop´ ologo actual. Finalmente, la geometr´ıa fractal es una realidad en la antropolog´ıa mundial, ´ıntimamente relacionada con las teor´ıas de la complejidad. Esta disciplina ofrece en M´exico y Am´erica un gran espectro de posibilidades te´oricas y t´ecnicas, las cuales han ido creando un nicho en las disciplinas antropol´ogicas conservadoras. La geometr´ıa fractal ya ha superado (con creces) la etapa de “t´ecnica experimental” siendo v´alido el considerarla como parte integral de la formaci´on de los arque´ologos y antrop´ologos.

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Reynoso (2003 y 2006) recomienda el uso de por lo menos dos programas generadores de D en tanto que el investigador se familiariza con los diferentes valores de D que distintos programas (merced a la metodolog´ıa que utilizan) generan.

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C´ alculo del Estad´ıstico de Correlaci´ on entre Epocas a trav´ es de Respuestas M´ ultiples y su Representaci´ on Fractal para el Espacio de Trayectorias Mesoamericano Fernando L´ opez Aguilar1 , Guillermo Bali2 En el siglo XIX, los investigadores de las antig¨ uedades mexicanas se percataron de un hecho inquietante. Diversas ruinas de antiguas ciudades y templos emergieron de las selvas del sur. Estos descubrimientos, que comenzaron con los vestigios de Palenque en 1784 (Blom, 227) y continuaron con los realizados por los distintos viajeros como Stephen y Catherwood (1844) y el mismo Charnay (1857), fracturaron la preconcepci´on que ten´ıan los habitantes de la Nueva Espa˜ na y M´exico, que asum´ıa a los aztecas y a los toltecas como los u ´nicos habitantes ancestrales del territorio. Algo antiguo, ignoto, hab´ıa emergido. Un pueblo hab´ıa construido grandes edificios y, por razones misteriosas, hab´ıa desaparecido. Con la nueva terminolog´ıa evolucionista, se pens´o en un proceso civilizador y, con ello, la existencia de su opuesto, la barbarie predecesora del apogeo (L´opez Aguilar 2001) y el colapso como consecuencia de factores que no se pod´ıan entender ni resolver en ese momento. Una trayectoria espec´ıfica se construy´o y desarroll´o desde las investigaciones arqueol´ogicas de esa ´epoca que, lejos de modificarse, se introyect´o como una verdad indiscutible y las diferentes escuelas de pensamiento, ya fueran marxistas, neoevolucionistas o hist´orico-culturales, s´olo se interrogaron sobre las causas que pudieron haber existido para la emergencia de las civilizaciones o para su colapso. Se buscaron explicaciones y enunciados tipo ley para el “origen de la agricultura”, la “revoluci´ on neol´ıtica”, “el origen del estado”, “el origen de las clases sociales”, “la revoluci´ on urbana” o bien para “la ca´ıda del cl´asico maya”, “el abandono de Teotihuac´ an” o el colapso de las civilizaciones (L´ opez Aguilar 2006). 1 2

Posgrado en Arqueolog´ıa, Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia Comisi´ on Nacional para el Desarrollo de los Pueblos Ind´ıgenas

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Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

TRAYECTORIA DE MESOAMÉRICA

1800 ane

1000

Preclásico Inferior

Preclásico Medio

Barbarie

300

300 dne

600

Preclásico SuperiorProtoclásico

Clásico

Epiclásico

Origen del Estado

Civilización

900 Postclásico

Colapso

Figura 1. Trayectoria Mesoamericana por periodos.

Esta mirada al pasado se desarroll´o y consolid´o en m´as de cien a˜ nos de pr´actica cient´ıfica, pero s´olo hasta fechas recientes, se han construido visiones alternativas a esta concepci´on lineal y mon´otona de la historia prehisp´anica que critican ideas que hoy se perciben como insostenibles: la existencia de el estado maya del cl´asico, que los mayas fueran un grupo unificado, que los teotihuacanos fueran un sistema uniforme y mon´otono en el que cada asentamiento s´olo hac´ıa eco a las din´amicas de la gran ciudad, hasta la idea simplificadora de la existencia de un s´olo auge, un s´olo apogeo y un s´olo colapso. Joyce Marcus ha propuesto desde sus investigaciones sobre la arqueolog´ıa y la epigraf´ıa maya que hab´ıa un equ´ıvoco en la concepci´on de la historia y que hab´ıa evidencias de que los surgimientos y los colapsos eran procesos recurrentes en lugar de fen´omenos u ´nicos: “Los principales estados mayas surgieron y se colapsaron en ´epocas diferentes, e incluso, en un mismo Estado, las comunidades individuales surgieron y se colapsaron en ´epocas diferentes. La trayectoria espec´ıfica de cada ciudad es distinta y, por lo tanto, no puede extrapolarse a las tierras bajas en su conjunto” (Marcus 310). La curva en forma de campana, r´eplica de la trayectoria mesoamericana, que hab´ıa acompa˜ nado a las visiones can´onicas de la arqueolog´ıa maya, se transformaba en un paisaje pleno de crestas y valles.

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C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

Figura 2. Trayectoria de los estados mayas. (Tomado de Marcus, 311)

Unos a˜ nos antes del trabajo de Joyce Marcus (1995), hab´ıamos propuesto que Mesoam´erica deber´ıa considerarse como un espacio discontinuo y singular con tres trayectorias entrelazadas en el espacio y en el tiempo: una estable, otra semiestable y una m´as inestable, todas enmarcadas dentro de un sistema global. Las diferentes formas de expresar la estabilidad dentro del sistema, hacen ver el problema del colapso como un fen´omeno no determinista y no lineal, que recorre estructuras de complejidad distintas, fundamentadas en una unidad b´asica de generaci´on, el alt´epetl (L´opez Aguilar y Bali, 88-90). El alt´epetl (pl. altepeme), tuvo como propiedades el ser una estructura jer´arquica centralizada, con tendencias al monopolio del poder, lo que dio lugar a organizaciones de distinto nivel de jerarquizaci´on, monop´olicas o polic´entricas, centralizadas o fragmentadas, en un patr´on que se repite en distintos niveles a lo largo del tiempo en que existi´o el espacio mesoamericano. Para esta primera aproximaci´ on a la configuraci´on de Mesoam´erica, tomamos como elementos para la parametrizaci´on de las tendencias al monopolio del poder y a la jerarquizaci´on, y empleamos tres variables que pueden ser constatadas en

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Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

la documentaci´on arqueol´ogica: la verticalidad (V), la extensi´on (E) y la intensidad (I). El desarrollo vertical considera los niveles jer´arquicos de los altepeme, es decir, cu´antos niveles inferiores incluye, en t´erminos de unidades equivalentes subordinadas. El alt´epetl, como unidad generadora, tiene en ese sentido un valor de 1, mientras que el nivel m´as alto reconocido, Teotihuac´ an, tiene un valor de 6. El desarrollo en extensi´on toma en cuenta el territorio controlado por el sistema. Nuevamente, la unidad m´ınima es 1 para el alt´epetl y el m´as alto corresponde al llamado Imperio Mexica, que control´ o pr´acticamente, desde la frontera septentrional de Mesoam´erica, hasta el Soconusco, con un nivel de 6. Finalmente, la intensidad estar´a representada por la extensi´on territorial de la capital del sistema. Nuevamente, el 1 corresponde a la unidad generadora y la ciudad m´as grande conocida en Mesoam´erica es Teotihuac´ an, con 22 kil´ometros cuadrados, con un valor de 5. Con ello, es factible elaborar los valores para los principales momentos de la trayectoria del Centro, desde antes del sistema Cuicuilco, el desarrollo del sistema teotihuacano, su colapso en el llamado Epicl´asico, el surgimiento de Tula, su colapso, y el desarrollo del sistema Azteca. El valor promedio de estos par´ametros se encuentra en la u ´ltima columna de la tabla.

Alt´epetl Cuicuilco Epicl´asico Tula Aztecas Teotihuac´an

Vertical 1 2 3 4 5 6

Extensi´ on 1 2 3 4 6 5

Intensidad 1 1 2 3 4 5

Valor 1 1.66666667 2.66666667 3.66666667 5 5.33333333

Tabla 1. Par´ametros mesoamericanos

Para la l´ınea del tiempo, en esta primera aproximaci´ on, se tom´o como base la periodificaci´on desarrollada por Duverger (2000), quien divide la cronolog´ıa en cinco ´epocas que discurren entre el a˜ no 1200 ane hasta el 1500 dne, distinguiendo dos momentos adicionales: la ´epoca 3a, que se corresponder´ıa con el llamado Epicl´ asico y la ´epoca 4a, que dar´ıa cuenta de los peque˜ nos colapsos narrados por las fuentes etnohist´oricas entre el desarrollo de los sistemas Toteca y el surgimiento del sistema Azteca. Con ello, fue posible trazar la siguiente gr´afica cuyo escalamiento permiti´o la generaci´on de las otras dos trayectorias, la del sur y la del norte (L´opez Aguilar 2004).

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C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

TRAYECTORIAS DEL CENTRO

7 6 Intensidad Centro

5

Vertical Extension

4 3 2 1 0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5

Figura 2. Trayectorias del centro de Mesoam´erica EPOCA

0

1

2

3

3a

4

4ª

Vertical

1

1

3

3

3

3

2

5 1

Extensión

1

1

4

3

3

4

2

1

Intensidad

1

1

3

2

2

3

1

1

NORTE

1

1

3.33333333

2.66666667

2.66666667

3.33333333

1.66666667

1

Vertical

1

4

2

5

3

4

3

3

Extensión

1

5

2

5

3

3

3

4

Intensidad

1

3

1

4

2

3

2

3

SUR

1

4

1.66666667

4.66666667

2.66666667

3.33333333

2.66666667

3.33333333

Vertical

1

1

2

6

3

4

3

5

Extensión

1

1

2

5

3

4

3

6

Intensidad

1

1

1

5

2

3

2

5

CENTRO

1

1

1.66666667

5.33333333

2.66666667

3.66666667

2.66666667

5.33333333

Centro

1

1

1.67

5.34

2.67

3.67

2.67

5.34

Sur

1

4

1.67

4.67

2.67

3.33

2.67

3.33

Norte

1

1

3.33

2.67

2.67

3.33

1.67

1

MESOAMERICA

1

2

2.22333333

4.22666667

2.67

3.44333333

2.33666667

3.22333333

Tabla 2. Par´ametros de las trayectorias mesoamericanas

Para la trayectoria sur, se tom´o en cuenta el apogeo en la ´epoca 2 del sistema Olmeca; para la 3, Tikal, Palenque y Calakmul; para la 4 Chich´en Itz´a y para la 4a llamada Liga de Mazap´an. Por su parte, para la trayectoria norte, en la ´epoca 2 se tom´o en consideraci´on la posible expansi´on de Chup´ıcuaro y para la

SMM-CIMAT

80

Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

4, el sistema de La Quemada. Los resultados aportan una correlaci´on estad´ıstica positiva y se muestran en las siguientes gr´aficas. Centro Centro

Sur

Norte

Mesoamé a ic r Mesoamérica

1

Sur Norte Mesoamérica

Vertical

0.61994239

1

0.21849

0.0465945

1

0.89837147

0.77480132

0.49472107

1

Vertical

Extensión Extensió n

Intensidad

Norte

1

Extensión

0.95456596

1

Intensidad

0.85377141

0.95896675

1

0.9632297

0.99781438

0.9601487

1

Vertical

Extensió Extensión n

Intensidad

Sur

Norte

Vertical

1

Extensión

0.88721106

1

Intensidad

0.93200703

0.89711799

1

Sur

0.96961478

0.96375447

0.96993009

1

Vertical

Extensión Extensió n

Intensidad

Centro

Vertical

1

Extensión

0.95628415

1

Intensidad

0.95842539

0.95842539

1

Centro

0.98586075

0.98586075

0.98566753

1

Tabla 3. Correlaciones estad´ısticas de las trayectorias mesoamericanas

TRAYECTORIA DEL SUR 6 5 Intensidad 4

Sur Vertical

3

Extension

2

1 0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3

EPOCA 3a

EPOCA 4

EPOCA 4a

EPOCA 5

Figura 5. Trayectoria del sur mesoamericano

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

81

C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

TRAYECTORIA DEL NORTE

6

5 Intensidad

4

Norte Vertical

3

Extension 2

1

0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5

Figura 6. Trayectoria del norte mesoamericano

Al integrar las tres trayectorias, la historia de Mesoam´erica se muestra sorprendentemente compleja, bastante alejada de la curva en forma de campana, que expresa momentos de acoplamiento estructural, entrecruzamientos, convergencias y divergencias. TRAYECTORIAS MESOAMERICANAS 6

5 Centro

4

Sur Norte

3

Mesoamerica

2

1

0 EPOCA 0 EPOCA 1 EPOCA 2 EPOCA 3 EPOCA 3a EPOCA 4 EPOCA 4a EPOCA 5

Figura 7. Trayectorias mesoamericanas

SMM-CIMAT

82

Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

Otro modo de representaci´ on para los datos ofrecidos en los puntos anteriores consiste en establecer los estad´ısticos de correlaci´on entre ´epocas, pero considerando las tres dimensiones establecidas que fueron la verticalidad (V), la extensi´on (E) y la intensidad (I). Para cada una de las dimensiones se genera una variable aleatoria de 23 incidencias (en este trabajo se maneja un m´aximo de 23 asentamientos por trayectoria) donde 1 es presencia de la caracter´ıstica y 0 es ausencia, basadas en las probabilidades siguientes 0.1667 [rango 1], 0.3333 [rango 2], 0.5 [rango 3], 0.6667 [rango 4], 0.83333 [rango 5]. En el caso del rango 6, la probabilidad es 1, por lo que la variable est´a totalmente determinada y contiene solamente valores de 1. Estas probabilidades fueron construidas a partir de las definiciones introducidas por L´opez Aguilar (2004) y tienen una cota superior que descansa en 1. La Tabla 4 presenta los resultados generales para todas las ´epocas, trayectorias y dimensiones.

NORTE

1200 500 200 650 800 1100 1300 1521 E0 E1 E2 E3 E3A E4 E4A E5

Vertical Extension Intensidad

CENTRO Vertical Extension

6

Grado 1 2 3 4 5 6

Intensidad

SUR Vertical Extension Intensidad

Tabla 4. Resultados generales, ´epocas, trayectorias y dimensiones

En total se obtienen 7 estad´ısticos de correlaci´on con los siguientes esquemas para cada una de las trayectorias: ´ ´ Esquema 1 = [Epoca 0, Epoca 1] ´ ´ Esquema 2 = [Epoca 1, Epoca 2] ´ ´ Esquema 3 = [Epoca 2, Epoca 3] ´ ´ Esquema 4 = [Epoca 3, Epoca 3a] ´ ´ Esquema 5 = [Epoca 3a, Epoca 4]

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

83

C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

´ ´ Esquema 6 = [Epoca 4, Epoca 4a] ´ ´ Esquema 7 = [Epoca 4a, Epoca 5] A continuaci´on se presentan los esquemas completos para las tres trayectorias, norte, centro y sur, as´ı como los resultados que se derivan de este tipo de dise˜ no. Las tablas que son desplegadas indican c´omo se van moviendo de manera transversal los patrones de asentamiento, pero cabe mencionar que tambi´en puede hacerse una lectura al conjuntar todos los patrones asociados a una trayectoria. Como ejemplo, en la Tabla 1 se pueden observar en el recuadro marcado para ´ las Epocas 2 y 3 los patrones que est´an involucrados. Uno debe imaginar que este recuadro se mueve desde un inicio hasta el final, siempre en pares de ´epocas pues se trata de una correlaci´on. El algoritmo se repite para cada una de las trayectorias, y, en cada caso, fueron generados los esquemas aleatorios de asentamiento para todas las ´epocas. Los esquemas est´an ordenados en la misma direcci´on del tiempo cronol´ogico. A continuaci´on se muestra este desplazamiento para los siete esquemas donde (N) es norte, (C) es centro y (S) es sur: Esquema 1 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

V E I

SMM-CIMAT

84

Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

Esquema 2 #

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V E I N N N N N N N N N N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

V E I #

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V E I C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

V E I #

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

V E I S S S S S S S S S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

V E I

Esquema 3 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

V E I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S

S

V E I

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

85

C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

Esquema 4 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

V E I

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

V E I

Esquema 5 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

V E I

SMM-CIMAT

86

Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

Esquema 6 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

V E I

Esquema 7 # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I N N N N N N N N N N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I C C C C C C C C C C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

V E I # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 V E I S S S S S S S S S

S

V E I

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

87

C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

Cabe se˜ nalar que es posible hacer, tanto un cambio de escala, como una redistribuci´on de probabilidades, sin embargo, esto no tendr´ıa impacto en un cambio de estructura circunstancial; m´as bien producir´ıa un efecto de homotecia con clases de equivalencia. Si se perfecciona el registro hist´orico, o si se toman nuevos supuestos de asentamientos, entonces s´ı existir´ıa la posibilidad de que se modificaran los arquetipos y se podr´ıan construir “nuevas capas” de un mayor alcance, aunque aqu´ı nos interesa dar una primera aproximaci´ on de este “espacio fractal” que sirva como base para futuras estructuras de complejidad. En trabajos recientes se ha mostrado este tipo de caracter´ısticas aplicadas a los procesos arqueol´ogicos e hist´oricos que confluyen dentro del Valle de Mezquital (L´opez Aguilar 2005) Una vez aplicado el algoritmo de generaci´on de variables aleatoria descritas ´ anteriormente, se obtienen para las Epocas 0, 1, 2, 3, 3a, 4, 4a, y 5, 8 matrices de 23 filas por 3 columnas con valores que s´olo pueden ser cero o uno para cada una de las trayectorias. A partir de estas matrices se obtienen 7 coeficientes de estad´ısticos de correlaci´on basados en algoritmos de respuestas m´ ultiples para dise˜ nos matriciales 3 × 3 . En la matriz de la Tabla 2 podemos constatar las relaciones conjuntas para dos variables de respuesta m´ ultiple de dimensi´on 3 (Verticalidad, Extensi´on, ´ Intensidad), donde una variable corresponde a la Epoca I y la otra variable corres´ ponde a la Epoca J, y temporalmente I es menor que J. Con el fin de entender el contenido de las celdas cabe recordar que un par (X, Y ) significa el n´ umero de veces que se obtuvo la presencia de un posible asentamiento en la dimensi´on X conjuntamente con la dimensi´on Y. ´ ´ Epoca I / Epoca J V E I

V (V, V ) (E, V ) (I, V )

E (V, E) (E, E) (I, E)

I (V, I) (E, I) (I, I)

Tabla 5. Relaciones conjuntas de verticalidad (V), extensi´on (E) e intensidad (I)

Los estad´ısticos de correlaciones se obtienen gracias a un esquema exhaustivo marginal con conteo democr´atico, con “bootstrap” sobre 10,000 tablas (Matuszewski and Trojanowski, 2000, Bali et al., 2003). Por este m´etodo se entiende lo siguiente: el valor esperado y la varianza del estad´ıstico dependen de todas las

SMM-CIMAT

88

Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

posibles combinaciones que aparecen para cada una de las ´epocas, por filas, para los 23 registros. En la matriz de 3 × 3 se considera la siguiente lista de combinaciones (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) como simples, (1,1,0), (0,1,1) y (1,0,1) como dobles y (1,1,1) como triple para ambas variables. El conteo democr´atico se refiere a que cada combinaci´ on tiene la misma contribuci´on en las celdas de respuesta con los siguientes puntajes: 1 para dos simples [1,1], un medio para una simple y una doble ([1,2] o [2,1]), un tercio para las triples ([3,1] o [1,3]), un cuarto para dos dobles [2,2], y un sexto para una triple y una doble ([2,3] o [3,2]). Las probabilidades marginales de cada combinaci´ on juegan aqu´ı un papel importante. El nivel de correlaci´on entonces depender´a de la diferencia entre lo esperado, dado por el tipo de probabilidad marginal, y lo observado, dado por el grado de los asentamientos. Por ejemplo, la tabla de contingencia de incidencia de la correlaci´on de la ´ ´ Epoca 2 con la Epoca 3, en la trayectoria norte, estar´ıa dada por la tabla 3. La mayor presencia de asentamientos, (12), se da en est´as ´epocas en los cruces de existencia de verticalidad y extensi´on dentro de los asentamientos simulados ´o 10, ´ que se refiere s´olo a la variable extensi´on. En la Epoca 2, en general, predomina la extensi´on y en la 3 predomina la verticalidad. Esquema 3 V E I

V 9 12 10 31 47.0 %

E 4 10 7 21 31.8 %

I 3 6 5 14 21.2 %

16 28 22 66

24.2 % 42.4 % 33.3 %

Tabla 6. Tabla de contingencia para respuestas m´ ultiple entre las ´epocas 2 y 3

Si se toma en cuenta el c´alculo de los estad´ısticos de correlaci´on sobre respuestas m´ ultiples (n´otese por ejemplo que las incidencias en la columna 1 son 31, que es mayor que 23) mediante el programa de Exohdus, (del cual una versi´on experimental est´a disponible en la p´agina web http://www.ipipan.waw.pl/amat/multiresponse/pl/) para cada una de las trayectorias, norte, centro y sur, se obtienen los resultados de la tabla 4.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

89

C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

´ Epocas/Estad´ ıstico ´ ´ Epoca 0-Epoca 1 ´ ´ Epoca 1-Epoca 2 ´ ´ Epoca 2-Epoca 3 ´ ´ Epoca 3-Epoca 3 ´ ´ Epoca 3a-Epoca 4 ´ ´ Epoca 4-Epoca 4 ´ ´ Epoca 4a-Epoca 5

Norte 0.79 2.01 1.47 0.77 0.51 0.69 1.33

Centro 0.7 0.98 0.09 0.18 1.22 1.22 0.17

Sur 0.62 0.30 0.40 0.15 2.31 2.31 0.99

Tabla 7. Resultados de correlaciones de respuesta m´ ultiple entre ´epocas

Con los resultados de la tabla 2 podemos calcular la representaci´ on fractal a trav´es del Kamtorus y obtener una visualizaci´on de los niveles de compactaci´on de las trayectorias, donde la cercan´ıa de una correlaci´on a cero, evidencia la presencia de colapsos de alg´ un tipo, y la cercan´ıa a un valor 2, patrones de dispersi´on de los asentamientos. El Kamtorus es absolutamente diferente al conjunto de Mandelbrot fijado en t´erminos del c´alculo de la imagen. Este conjunto se puede generar iterando las ecuaciones siguientes: x(0) = y(0) = ´orbita/3; x(n + 1) = x(n) ∗ cos(a) + (x(n) ∗ x(n)y(n)) ∗ sin(a) y(n + 1) = x(n) ∗ sin(a) − (x(n) ∗ x(n)y(n)) ∗ cos(a) donde a es un par´ametro angular constante (y en nuestras trayectorias el estad´ıstico de correlaci´on obtenido), y ´ orbita var´ıa entre un valor inicial y final en incrementos especificados de antemano. Esta clase de “fractal” fluye sobre una rejilla graduada de “pixels”. Si un “p´ıxel” necesita ser recolocado en una trayectoria, el color del “p´ıxel” se modifica, lo que implica que el n´ umero de veces que el “p´ıxel” fue visitado en la trayectoria puede ser calculado. Este fractal es el producto de varios esfuerzos para encontrar una respuesta a la pregunta de si nuestro Sistema Solar es estable o no. El Kamtorus se nombra a partir de los trabajos de investigaci´ on del matem´atico ruso A.N. Kolmogorov, quien desarroll´o una teor´ıa que predec´ıa la forma y la estabilidad de las ´orbitas de los planetas. La teor´ıa fue confirmada de manera independiente por el estudiante de Kolmogorov, V.I. Arnold y por el

SMM-CIMAT

90

Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

matem´atico alem´an J. Moser (por lo tanto el nombre: Kolmogorov, Arnold, y Moser, KAM). Kolomogorov tambi´en jug´o un papel destacado en el desarrollo de la teor´ıa de las probabilidades, y muchos de sus descubrimientos tienen gran aplicaci´on hoy en d´ıa en diversas teor´ıas de tipo estoc´astico, num´erico y computacional, incluido el m´etodo de “bootstrap” al que nos hemos referido. La gr´afica 1 es un ejemplo del tipo de soluciones y la din´amica de este sistema iterativo de ecuaciones a partir de una ´orbita.

Figura 8. Soluciones del Kamtorus

La visualizaci´on conjunta de las trayectorias norte, centro y sur se puede observar en la gr´afica 2. Est´as gr´aficas fueron calculadas mediante el programa de fractint, en su versi´on de ms-dos. En la din´amica global se observan claramente los diferentes comportamientos a trav´es del tiempo con concentraci´ on de asentamientos, colapsos y fragmentaci´ on, fen´omenos que reafirman el concepto din´amico del espacio mesoamericano y su compleja estructura de interacci´ on.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

91

C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

SUR

CENTRO

NORTE

EPOCA 1 (1200-500 ane)

EPOCA 2 (500 ane-200 dne)

EPOCA 3 (200 -650)

EPOCA 3 (650-900)

EPOCA 4 (900-1150)

EPOCA 4A (1150-300)

EPOCA 5 (1300-525)

Figura 9. Visualizaci´on conjunta de trayectorias Mesoamericanas en sentido vertical

El modelo es semejante al de los sistemas complejos estudiados en otros ´ambitos del conocimiento, que han encontrado que las inestabilidades locales producen, en un espacio global, trayectorias estables e inestables que muestran autosimilitud entre ellas, y que est´an determinadas por lo que, en la matem´atica, se conoce como atractores extra˜ nos con propiedades fractales (L´opez Aguilar y Bali 88-89)

SMM-CIMAT

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Fernando L´opez Aguilar, Guillermo Bali

Los colapsos y los “apogeos” se muestran como un fen´omeno de repetici´on que s´olo ocurre en un espacio de posibilidades hist´oricas, que aqu´ı se han parametrizado entre el 1 y el 6, y que circunscribe la continuidad estructural del sistema y acota los l´ımites posibles de las transformaciones en el marco de las fluctuaciones de las trayectorias estable, inestable y semiestable. M´as all´a de esa franja, Mesoam´erica desaparece y se transforma en otro fen´omeno.

Bibliograf´ıa Bali, Guillermo, A. Matuszewski y M. A. Klopotek, “Dependence of two multiresponse variables –importance of the counting method” in: M. A. Klopotek, M. Michalewicz, S. T. Wierzchon (ed.), Intelligent Information Systems 2003, Physica-Verlag (Springer) 2003. Blom, Frans, Tribus y templos. Cl´ asicos de la Antropolog´ıa 16, INI, M´exico, 1986. Duverger, Christian, Mesoam´erica. Arte y antropolog´ıa. CONACULTA-Americo Arte Editores, M´exico, 2000. L´opez Aguilar, Fernando, “Dos opuestos: civilizaci´on y barbarie, vistos desde la antropolog´ıa de la complejidad” Anales de Antropolog´ıa 35, IIA/UNAM, M´exico, 2001, pp. 79-89. L´opez Aguilar, Fernando, “Fondaments th´eoriques d’une nouvelle d´efinition de la M´esoamerique”. Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales, Paris. 13 de mayo de 2004. L´opez Aguilar, Fernando, S´ımbolos del Tiempo. Inestabilidad y bifurcaciones en los pueblos de indios del Valle del Mezquital. Consejo Estatal para la Cultura y las Artes del Estado de Hidalgo. Gobierno de Estado de Hidalgo, Pachuca. 2005. L´opez Aguilar, Fernando, Los procesos de evoluci´ on mesoamericanos. Los apogeos y los colapsos revisitados. Ponencia presentada al 52 Congreso Internacional de Americanistas, Sevilla, Espa˜ na, Junio de 2006. L´opez Aguilar, F. y Guillermo Bali, “Mesoam´erica, una visi´on desde la teor´ıa de la complejidad”. Ludus Vitalis 5, 1995 pp. 83-102.

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C´alculo del Estad´ıstico de Correlaci´on entre Epocas ...

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La Dimensi´ on Fractal como Indicador Arqueol´ ogico 1 en los Estudios de Territorio

Rosa Brambila Paz2 , Fernando Brambila Paz3 , Flor de Mar´ıa Aceff S´ anchez4

Introducci´ on La estructura pol´ıtico territorial de los pueblos originarios de M´exico es un asunto analizado para el poscl´asico tard´ıo y los primeros a˜ nos de la colonizaci´on espa˜ nola. Actualmente, varios estudiosos para describirla examinan el concepto de alt´epetl, visto como unidad, conjunci´on entre la organizaci´on social y la espacial. Cabe mencionar las investigaciones de Lockhart (1976, 1999) y Carrasco (1996) para el valle de M´exico, de Mart´ınez (2000) para Tepeaca, de Garc´ıa Mart´ınez (1987, 1992) para la sierra de Puebla, de Menegus (1991, 1992) y Garc´ıa Castro (1998) para Matlatzinco, de Quezada (1993) para la zona maya, entre muchos otros. 1 Los datos sobre la dimensi´ on fractal de los monumentos principales de Teotihuac´ an se presentaron en la 4ta Mesa Redonda de Teotihuac´ an, en noviembre, 2005. 2 Direcci´ on de Etnohistoria, INAH. 3 Facultad de Ciencias, UNAM. 4 Facultad de Ciencias, UNAM.

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Carrasco (1996) sugiri´o que en los diferentes niveles de esa jerarqu´ıa pol´ıtico/territorial -hueyalt´epetl, alt´epetl, calpulli, tecpan o tecalli, tlahtocayotl, campan, linaje, etc´etera- se pueden distinguir semejanzas que reproducen, en su nivel, la relaci´on territorial con lo socio/religioso. Cada segmento ten´ıa su propia divinidad, identificada como protectora sobrenatural del grupo, que daba identidad y cohesi´on. Es indispensable acentuar que los varios niveles no son excluyentes; al ser similares, se contienen. Si bien los espa˜ noles no pudieron comprender en su totalidad la combinaci´on social, advirtieron a primera vista sus partes constitutivas y sus diferencias entre los hueytlatoque, a los que llamaron ‘se˜ nores universales’, de los tlatoque o ‘se˜ nores particulares’, de los ‘caciques’ y de los ‘principales’, etc´etera (Zorita, 1999). Tambi´en distinguieron los lugares de residencia de los varios grados de poder y de all´ı la cabecera, los sujetos, los barrios, entre otros. La repetici´on de la misma estructura en los diferentes niveles pol´ıtico territoriales recuerda el concepto de autosimilitud desarrollado en la geometr´ıa fractal. Los conceptos de este nuevo enfoque de las matem´aticas para producir conocimientos de sociedades pasadas se han aplicado en varias ocasiones. L´opez Aguilar y Bali Ch´avez (1995) plantearon el desarrollo de Mesoam´erica desde la Teor´ıa de la Complejidad, como un proceso de bifurcaciones y alternativas. L´opez Aguilar (2005), en su estudio del proceso espacial del Mezquital durante la Colonia, aplica, de igual modo, algunas nociones de la geometr´ıa fractal con el fin de explicar las transformaciones de la unidad alt´epetl. Por otro lado, Lehner (2000) a lo largo de su trabajo sobre la unidad dom´estica (household) en la historia del Egipto fara´onico parte del concepto de autosimilaridad de la teor´ıa de los fractales, con el objeto de explicar, desde la organizaci´on del trabajo, el funcionamiento y las relaciones que se establecen entre los diferentes niveles del orden social. Vislumbrar los diferentes niveles de la estructura pol´ıtico territorial como fen´omeno de autosimilitud durante los periodos que cuentan con documentaci´ on escrita invita a indagar si tambi´en es u ´til la propuesta de la geometr´ıa fractal para conocer la organizaci´on territorial de periodos y de regiones donde la informaci´on escrita es insuficiente. La pregunta que nos gui´o fue ¿c´omo dar cuenta de las regularidades que se presentan en las diferentes escalas territoriales, en sociedades que se estudian s´olo por los vestigios materiales? Para avanzar hacia esos caminos, en este trabajo proponemos que a trav´es de la dimensi´on fractal se puede crear informaci´on que nos acerque a una mejor comprensi´on de la organizaci´on pol´ıtico territorial de esos grupos antiguos. A lo largo del primer apartado se exponen algunas ideas sobre la organizaci´on territorial del Centro Norte. Des-

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pu´es, en el segundo, presentamos un ejercicio matem´atico en el que se obtuvo una dimensi´on fractal de Teotihuac´ an. Ante la posibilidad de construir un dato arqueol´ogico diferente, en la u ´ltima parte se hacen algunas propuestas sobre el trabajo arqueol´ogico.

El Centro Norte en la estructura territorial del Altiplano Central En el siglo XVI, la regi´on que cubre el norte del Estado de M´exico, el poniente de Hidalgo, Quer´etaro y Guanajuato, estuvo ocupada por otom´ıes, subordinados a la Triple Alianza. La informaci´on escrita sobre su historia est´a tamizada, entonces, por la versi´on nahua popularizada por los espa˜ noles. Las evidencias arqueol´ogicas de esta amplia regi´on fueron interpretadas como productos de grupos marginales y, actualmente, se analizan desde la din´amica de fronteras. Frente a estos hechos, los estudios del Centro Norte adquieren caracter´ısticas particulares que obligan a examinar los prejuicios propios de la disciplina y a revisar con cautela el registro arqueol´ogico. En lo que se refiere a su organizaci´on espacial, Ana Mar´ıa Crespo (Crespo y Cano, 2006) encontr´o, en la regi´on que va de San Juan del R´ıo a Quer´etaro, y de Tolim´an a Santiago Mezquititlan, en el siglo XVI, dos nuevas concepciones del territorio, dos formas de construirlo y dos momentos de realizarlo: unos, los otom´ıes de Jilotepec, conocedores del medio y sus recursos y, otros, los espa˜ noles, con una visi´on distorsionada de la regi´on; ambas enfrentadas a los habitantes originales. Los primeros eran una poblaci´on subordinada con un asentamiento disperso pero, en general, los espacios que construyeron conservaron las normas de ordenamiento que reg´ıan en sus poblados de origen; es decir, manten´ıan la correspondencia entre localizaci´on, trazo y relaci´on con puntos significativos del entorno, dentro del sentido sacro del territorio: siguieron el orden de la antigua Mesoam´erica. La sacralizaci´on requer´ıa de un elaborado ceremonial de santificaci´on de las tierras, as´ı cada barrio ten´ıa sus respectivas advocaciones religiosas, sobreviviendo as´ı el antiguo patr´on ind´ıgena de poblamiento. De all´ı la importancia de las capillas familiares que marcaban el lugar de la cabeza de linaje dentro del patr´on disperso.

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En el nivel regional, Crespo y Cano tambi´en detectaron esta idea de sacralizaci´on a partir de los ejes de los rumbos cardinales. En la regi´on de Tolim´ an, las autoras encontraron indicadores del patr´on de los cinco rumbos de la cosmogon´ıa mesoamericana. Dicen:

de acuerdo con el mapa municipal observamos que San Pedro Tolim´ an se ubica en la intersecci´ on de una diagonal que, por el suroeste, se enlaza al poblado de San Miguel Tolim´ an siguiendo el curso del r´ıo, diagonal que se contin´ ua al noreste, uniendo a peque˜ nos asentamientos que est´an en esa direcci´on, como la rancher´ıa de Casas Viejas. En la diagonal opuesta, en direcci´on sureste, San Pablo Tolim´ an se une a la cabecera por un camino y al noroeste, por el curso de un arroyo integra a la comunidad de Maguey Manso, entre otras. Este modelo corresponde a un patr´on de quincunce o en cruz de San Andr´es, con la cabecera principal al centro (Crespo y Cano, 2006).

Se tratar´ıa entonces, de una propuesta de orden espacial, por parte de la migraci´on otom´ı a la frontera, acorde con la configuraci´on ideol´ogica de su representaci´on del mundo: el espacio terrestre fue construido, por el ind´ıgena, a partir de una relaci´on rec´ıproca con su divinidad. La organizaci´on del espacio en cruz diagonal, tampoco est´a ausente en la arquitectura del Centro Norte de Mesoam´erica. En la regi´on del Lerma Medio se encuentra una serie de edificios que tienen como patr´on la divisi´on en cuadrantes. Este concepto del espacio tambi´en se refleja en otros elementos de la cultura material, como lo es la decoraci´on en las vasijas, generalmente sim´etrica y distribuida en cuartos. Crespo y Saint-Charles (1993) consideraron que en el Baj´ıo los primeros conjuntos arquitect´onicos, los del Formativo Tard´ıo, dividen el espacio en cuatro ´areas significativas, seg´ un los rumbos del universo. Esta estructura cuatripartita se observa en sitios como La Virgen, Cerro de la Cruz, Uru´etaro, y el Cerrito; adem´as est´an en Santiago Capitiro, Maravat´ıo del Encinal, Cupareo, Paso Blanco y Los Gatos. En algunos de estos sitios, como Cerro de la Cruz, Uru´etaro y El Cerrito, la organizaci´on en cuatro direcciones continu´ o al t´ermino de Chup´ıcuaro, durante todo el primer milenio de la era.

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Esta forma de estructura en ‘X’ del territorio es la que propuso Paul Kirchhoff para el imperio tolteca. El autor se apoy´ o en la idea de que el ordenamiento del espacio mesoamericano correspond´ıa a una cosmograf´ıa. Esta afirmaci´on la present´o en el marco de una discusi´on de dos posiciones contrarias. Algunos investigadores hablaban de la geograf´ıa y del medio ambiente como determinantes del pensamiento en los pueblos antiguos; otro grupo, abogaba por el predominio de la religi´on sobre el ordenamiento del espacio. En la propuesta de Kirchhoff se puede leer que ese proceso es dial´ectico. Ciertamente, los pueblos mesoamericanos construyeron el mundo real y el u ´nicamente pensado con iguales principios fundamentales (Kirchhoff 1989, p 252). De ah´ı la importancia de tomar su mundo como un todo indivisible, regido por las mismas formas y principios de organizaci´on. Este aserto se apoy´o en la convicci´ on de que los relatos –conservados a trav´es de alg´ un tipo de escritura (c´odices, iconogr´aficas o documental)- que se hab´ıan interpretado como exclusivamente mitol´ogicos, son tambi´en hist´oricos y, por tanto, con una expresi´on espacial. As´ı, la totalidad est´a construida bajo los mismos principios de organizaci´on territorial. Sin embargo, se˜ nal´ o algunos matices que consideramos importantes. Enfatiz´o que el aspecto mitol´ogico/religioso desempe˜ na un papel en los sucesos y situaciones reales representados en las pictograf´ıas y en los textos (Kirchhoff 1989, p 251). Al mismo tiempo, insisti´o en la necesidad de saber reconocer, en las narraciones de lo que ´el llama ‘los sucesos hist´oricos comunes’, el orden social, entendido como la formaci´on del mundo concreto controlado, hasta cierto punto por los hombres, a trav´es de una cosmovisi´ on particular. El aspecto religioso del orden social es lo que le lleva a proponer que la organizaci´on de la capital, la de los habitantes y la del imperio tolteca en su totalidad, est´an construidos bajo los mismos principios. Con estos par´ametros orden´o un listado de top´onimos de la Historia Tolteca Chichimeca. La secuencia de los veinte nombres de la pictograf´ıa se bas´o, seg´ un Kirchhoff, en la lectura de un mapa del imperio tolteca ya perdido, que lo divid´ıa en cinco provincias, seg´ un el orden c´osmico del universo. [Fig. 1] Este plan correspond´ıa “a una realidad existente o serv´ıa como plan para la estructuraci´on de esa realidad” (Kirchhoff 1989, p 261).

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Figura 1: La estructura del imperio tolteca (Kirchhoff 1989)

La concordancia entre la estructura del estado y un concepto del mundo, determinado por los rumbos del universo, tambi´en se encuentra en el periodo mexica. [Fig. 2] En la primera l´amina del C´ odice Mendocino, que trata sobre la fundaci´on de Tenochtitl´an, se observa la expresi´on gr´afica de la misma organizaci´on territorial propuesta para el imperio tolteca. Aqu´ı el asentamiento aparece cruzado por dos diagonales, dando lugar a cuatro cuarteles; en cada uno de ellos est´an los representantes de los calpullis fundadores y al centro un ´aguila sobre un nopal devorando una serpiente5 . La l´amina 1 del c´odice F´eyerv´ a´ a´ a´ ary-Mayer, 5

En su estudio sobre el C´ odice Mendoza, Boone (1997, p. 413) se˜ nala que la escena de fundaci´ on se presenta como el hecho m´ as relevante, ya que el pintor lo remarc´ o al anotar la cuenta del a˜ no alrededor de la escena, acomodando el tiempo a las necesidades pict´ oricas del evento de

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tambi´en representa el concepto de las cuatro direcciones del mundo y de la morada de los dioses. En este caso es importante recalcar que el ´arbol c´osmico del norte es un mezquite coronado por un ´aguila.

Figura 2: L´ amina 1 del C´odice Mendocino

Este orden territorial espec´ıfico, que est´a relacionado con la cosmovisi´ on mesoamericana, fue interpretado por cada grupo conforme a su tiempo y regi´on; fundaci´ on. La pr´ actica usual consist´ıa en dibujar los eventos alrededor de la l´ınea del tiempo. Por su parte Lombardo de Ruiz (1972) se˜ nal´ o que cuando empez´ o a crecer M´exico/Tenochtitl´ an su dios les orden´ o dividirse en cuatro barrios principales tomando como centro un adoratorio.

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de ah´ı las diferencias en la disposici´on arquitect´onica en los elementos descritos. Antes de seguir adelante es necesario considerar que, aunque bajo este sustrato m´ıtico se ordenaban los asentamientos regionales, tambi´en es cierto que a su vez respond´ıan a los requerimientos de la organizaci´on del trabajo y, en las estructuras expansionistas, al tributo. Cierto, el arreglo territorial sacralizado que se observa en diversos momentos y espacios emana, tambi´en, de la apropiaci´on del trabajo organizado y de la recaudaci´on a favor tanto de los poderes centrales como de los menores locales. Las regularidades territoriales, tanto a nivel macro como micro, nos llevaron a buscar la historia del proceso que permiti´o la conformaci´on de esa estructura espacial. Todav´ıa falta mucho para acercarnos con seguridad a estas pesquisas; por ahora quisi´eramos hacer algunas incursiones sobre el caso concreto del Cl´asico.

Una dimensi´ on fractal en Teotihuacan La tradici´on epistemol´ogica de los mesoamericanistas ha construido en la imaginer´ıa acad´emica, la ciudad de Teotihuac´ an como un espacio dividido por dos ejes en cruz ‘+’: uno norte sur, con una desviaci´on de apenas 17; y otro, con una orientaci´on franca este oeste. Estas l´ıneas dividen el espacio en cuadrantes. Frente al predominio de esta construcci´on visual, se puede afirmar, asimismo, que la representaci´on en forma de ‘X’ no es extra˜ na a la ciudad de Teotihuac´ an ya que se encuentra en la singular estructura frente a la pir´amide de la Luna6 . La presencia de este s´ımbolo tridimensional, m´as otros elementos iconogr´aficos, abre la puerta para vislumbrar las posibilidades de que existan, como en ´epocas posteriores, las mismas regularidades en las diferentes escalas territoriales. Usualmente, para conocer esos patrones de ordenamiento, los investigadores se han apoyado en la geometr´ıa euclidiana, basada en procesos lineales. La aplicaci´on de esos modelos se debe a que son accesibles pues se resumen en una relaci´on geom´etrica simple entre dos puntos, y el espacio con un ordenamiento cultural, no 6

La estructura fue excavada por Ponciano Salazar Orteg´ on en el proyecto Teotihuac´ an 196264, y la llam´ o la estructura A de la zona 1. La describi´ o como una gran estancia con una sola entrada hacia el poniente. Es una estructura casi cuadrada pues sus medidas son 19.70m por 19.45m; sus muros externos guardan la forma de talud tablero, mientras que su cara interna es totalmente vertical. Otto Sch¨ ondube, en 1975, hizo una analog´ıa entre la construcci´ on y la primer l´ amina del c´ odice F´eyerv´ ary-Mayer.

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Figura 3: Estructura A comparada con la l´amina 1 de C´odice F´eyerv´ ary-Mayer

se considera como una variable activa. En arqueolog´ıa existen cientos de ejemplos de fen´omenos no lineales, -uno de ellos es la estructura del territorio descrita arriba-, que por su complejidad han sido dejados de lado o bien simplificados, sin poderse dar cuenta cabal de ellos. En cambio, la geometr´ıa fractal considera que muchos elementos que fueron descritos como muy complejos, en realidad se pueden explicar por algoritmos que describen algunos principios, no forzosamente lineales. A este tipo de formas geom´etricas que, entre otras propiedades, contienen una imagen de s´ı mismas en cada una de sus partes, es a lo que se le llama fractales. El concepto de autosimilitud de la geometr´ıa de los fractales, seg´ un nuestra propuesta, ayuda no s´olo a descubrir sino a explicar las regularidades de los diversos niveles de la estructura territorial. La autosimilitud, en el sentido matem´atico, significa que el objeto est´a compuesto por peque˜ nas copias de s´ı mismo y cada una de ellas est´a compuesta, a su vez, por copias m´as peque˜ nas de la misma forma y as´ı, sucesivamente. En la teor´ıa de los fractales, la relaci´on entre las copias de diferentes tama˜ nos se debe describir por las leyes matem´aticas. El grado de su irregularidad y/o de su fragmentaci´ on es id´entico en todas las escalas. Si estos par´ametros son iguales en todas las direcciones, el fractal se llama autosimilar. El

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concepto de autosimilaridad reconoce que una peque˜ na parte de una forma imita las caracter´ısticas del todo. Para explicar mejor estas afirmaciones, a continuaci´ on presentamos algunos elementos matem´aticos. En la vida cotidiana manejamos dimensiones enteras, normalmente hablamos de tres. Tambi´en usamos dimensi´on uno y dos, (mucho por influencia de los griegos), y en f´ısica se habla de dimensi´on cuatro (tres dimensiones que se mueven en la dimensi´on tiempo). Pero tambi´en existen las dimensiones no enteras, que describen de mejor forma la naturaleza, sobre todo los fen´omenos sociales. Una manera de introducir las dimensiones fraccionarias es el concepto de dimensi´on fractal D, donde cada una de estas dimensiones se puede calcular matem´aticamente: D = log(n)/ log(1/r). Muchas aplicaciones de modelos fractales dependen de la habilidad para obtener la dimensi´on fractal a partir de las im´agenes (Mandelbrot, 1983). As´ı, los fractales nos alejan de la precisi´on milim´etrica y nos llevan al mundo de lo plausible como propuso Gardin, all´a por los a˜ nos ochenta (Gardin 1979). Para describir la dimensi´on fractal se utiliza la funci´on logaritmo natural. log(x) es el ´area abajo de la gr´afica de la funci´on 1/x que tiene como base el intervalo [1, x]. La propiedad fundamental del logaritmo para aplicarlo en la definici´on de dimensi´on fractal es: log(xn) = n log(x). Una figura n-dimensional esta compuesta por mn copias de tama˜ no 1/m. Si escogemos como tama˜ no relativo 1/3, entonces la l´ınea est´a compuesta por 31 copias de tama˜ no 1/3, el cuadrado estar´a compuesto por 32 =9 copias de tama˜ no 1/3, y el cubo por 33 = 27 copias de tama˜ no 1/3. Ahora, para recuperar la dimensi´on 1, 2 y 3 de la l´ınea, cuadrado y cubo, usaremos la propiedad del logaritmo en estos n´ umeros y nos queda: 1 = log 3/ log 3, 2 = log 9/ log 3 y 3 = log 27/ log 3. Y con esta idea estamos en posibilidades de calcular la dimensi´on de la curva de Koch, que es 1.26 y del conjunto de Cantor que es 0.69. En la curva de Koch, tomamos el intervalo [0, 1] y luego colocamos 4 partes que midan 1/3 cada una de ellas, de manera que las dos de en medio se eleven a formar una ‘v’ invertida, y luego, en cada uno de los cuatro intervalos que miden 1/3, repetimos el proceso al tomar 16 intervalos de longitud 1/9 y colocarlos de manera que se formen 4 v invertidas sobre cada intervalo. Si continuamos este proceso hasta el final, la dimensi´on es log 4/ log 3 = 1.26. Ahora describiremos el conjunto de Cantor. Tomemos el intervalo [0, 1] y quitemos de en medio el intervalo [1/3, 2/3]. Al conjunto que

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nos queda le repetimos el proceso, es decir, quitamos el tercio medio de los dos intervalos restantes y con ello obtenemos 4 intervalos, a cada uno de los cuales le quitaremos el tercio medio para obtener 8 intervalos y as´ı sucesivamente. El conjunto que resulta al final tiene dimensi´on log 2/ log 3 = .63.

Figura 4: Dimensi´on Fractal y sus logaritmos Al buscar si en los restos materiales de Teotihuac´ an exist´ıa este fen´omeno de autosimilitud, primero se vio si efectivamente exist´ıa una dimensi´on fractal en Teotihuac´an.7 Para buscarla se utilizaron im´agenes de radar y satelitales. La primera fue obtenida por la estaci´on Norman de ESA, del 28 de diciembre de 1995. 7

Para una descripci´ on m´ as detallada de cada paso v´ease Oleschko et al. 2000. De manera general se puede decir que la dimensionalidad de los fractales autosimilares se estima por la t´ecnica tradicional de cuenta de caja (box counting), llenando el conjunto con cajas m´ as peque˜ nas de manera progresiva. La dimensi´ on de caja es un caso particular de la dimensi´ on de HausdorffBesicovich. Existen otras dimensiones como la similar, la de Kolomogorov, la entr´ opica, la de capacidad, etc´etera (Falconer, 1990). La masa de la dimensi´ on fractal parece ser especialmente

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La imagen corresponde a la ´orbita 23 289, con las coordenadas en cada esquina de 19 11’ – 98 27’; 20 04’ – 99 15’; 19 53’- 98 20’; 19 00’ – 98 32’. La trayectoria del sat´elite se acercaba a la direcci´on norte sur sobre la zona de Teotihuac´ an y era perpendicular a la orientaci´on de las calles y edificios (este/oeste). De este modo se asegur´o una calidad ´optima de la imagen de radar de los monumentos, debida a una m´axima reflexi´on. El an´alisis fractal se llev´o acabo en el Gran Complejo, la Ciudadela, la Calle de los Muertos y la Pir´amide del Sol sobre las im´agenes directas y sobre las filtradas por SAR. La versi´ on adaptada del filtro HK fue la que se utiliz´o en esta ocasi´on. Con respecto a las fotograf´ıas, se utilizaron las capturadas en 1962 con dos resoluciones distintas, correspondientes a las escalas de 1: 30 000 y 1: 5000. Dichas im´agenes inclu´ıan la ciudad de Teotihuac´ an, los edificios modernos, los campos de agricultura y los caminos; fueron digitalizadas mediante el uso de un esc´aner comercial con una resoluci´on de 600dpi (hp Scan Jet 4c). Cada forma extra´ıda fue convertida usando mil por mil pixeles. Obviamente, el uso de im´agenes de m´ ultiples escalas fue fundamental para precisar la dimensi´on fractal, ya que s´olo cuando la autosimilaridad del conjunto estudiado es estad´ısticamente documentada a diferentes escalas, y cuando se muestra que el cambio de escala no afecta el valor de la dimensi´on fractal, es posible usar las im´agenes con una o dos resoluciones para futuras medidas fractales del mismo conjunto. El programa Fractal, dise˜ nado por Parrot y Rico y su lenguaje de uso Borland C ++ se aplic´o para el an´alisis bidimensional de las im´agenes con escala de grises, a trav´es de la tradicional t´ecnica de cajas de conteo. La dimensi´on fractal de las estructuras teotihuacanas de inter´es, fue estimada convirtiendo el conjunto de objetos con cajas de tama˜ nos progresivamente m´as grandes.8 La dimensi´on fractal de la masa (Dm) fue sorprendentemente igual a la dimensi´on de cada unidad analizada. Para todos los monumentos Dm estuvo cerca a 1.89 con un rango de varianza entre 0.003 y 0.016. El an´alisis fractal de la misma estructuu ´til para describir los planos de las ciudades, y en general los dise˜ nos urbanos, porque estima la eficiencia de la ocupaci´ on espacial. Algunos otros par´ ametros fractales, por ejemplo la dimensi´ on de espectro (o fracton) son u ´tiles como indicadores cuantitativos de la conectividad entre todas las construcciones, o la sinuosidad de un camino tortuoso. 8 El tama˜ no de la caja es igual a pixeles, donde es la resoluci´ on del m´etodo aplicado. Para las im´ agenes regulares de tama˜ no, el rango es de 1 hasta el m´ aximo tama˜ no de pixel de 1000. De ah´ı que 16 cajas diferentes fueron usadas para la estimaci´ on de dimensi´ on, con tres diferentes resoluciones. Esta caja asegura 16 puntos en cada plot experimental, suficiente para el ajuste estad´ıstico a la expectativa te´ orica de l´ınea recta.

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ra se repiti´o usando la fotograf´ıa a´erea de diferentes resoluciones y con varias orientaciones, y se volvi´o a observar una tendencia y valor constante a la masa de la dimensi´on fractal en la pir´amide de la Luna, la Avenida de los Muertos y la pir´amide de Quetzalc´oatl. Los resultados fueron independientes del tipo de imagen, resoluci´on y orientaci´ on. Este valor corresponde a uno de los fractales m´as caracter´ısticos, el de Sierpinski. Mandelbrot afirm´o que la dimensi´on de esa carpeta (1.8928) expresa el grado de fragmentaci´on de la tierra en islas, m´as que el grado de la irregularidad de la l´ınea costera. El valor de 1.89 se repite y se sigue repitiendo en muchas im´ agenes de Teotihuac´an. Es importante remarcar que, aunque no se ve a simple vista, este valor s´ı empieza a dar luz sobre el patr´on geom´etrico, en sentido amplio. Para avanzar en este camino se corrieron los programas de fractales sobre algunas representaciones en la pintura mural de elementos arquitect´onicos con representaciones de talud/tablero. Hasta ahora los resultados no son tan certeros ya que en unas im´agenes s´ı se repite la dimensi´on fractal de 1.89 y en otros est´a cercana pero no es igual. Por lo anterior, se estima que es probable que aparezcan otras dimensiones fractales en los productos teotihuacanos. Con la combinaci´on de ellas se dar´a un mejor entendimiento del patr´on geom´etrico a trav´es del cual veremos aspectos culturales que no se hab´ıan podido clarificar desde una ‘cultura euclidiana’. Una vez que el concepto de autosimilitud se acept´o como plausible, fue posible formular analog´ıas a fin de entender c´omo se estructura el territorio en una poblaci´on subordinada, como puede ser la otom´ı en una regi´on fronteriza como el Centro Norte. Retomemos, por un momento, la organizaci´on territorial del postcl´asico temprano. La estructura del imperio tolteca, en la versi´ on de Kirchhoff, tiene dos de sus cabeceras capitales en el Centro Norte. Una hacia el cerro Culiac´an y la otra hacia la cuenca del r´ıo Laja. Los estudiosos de esa regi´on de Mesoam´erica (Flores y Crespo 1988) han reportado cer´amica, l´ıtica y otros bienes muebles, junto con arquitectura y organizaci´on de los espacios, semejantes a los de la ciudad de Tula. Estos datos han sido interpretados como evidencias de la conformaci´on de corredores econ´omicos, culturales, poblacionales, etc´etera; rutas que ser´ıan parte de un sistema de comunicaci´ on hacia el norte y el poniente. Aunque la red de caminos constituye un elemento importante en la organizaci´on del territorio,

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el enfoque es parcial, pues no da cuenta de su funci´on dentro de la estructura imperial, y m´as a´ un, conserva una mirada desde arriba, que no permite ver las din´amicas locales. Para ir un poco m´as all´a consideramos la posibilidad de que el proceso territorial de Teotihuac´ an pudo haber seguido una forma semejante a la propuesta cuatripartita de Kirchhoff, donde no ser´ıa extra˜ no que la direcci´on de las diagonales tuviera alguna relaci´on con el movimiento del orto solar. Llama la atenci´on, en primer lugar, la ubicaci´on de Tepeapulco9 hacia el norte y de Azcapotzalco en el sur poniente, si Teotihuac´ an est´a en el centro. Al enfocar la antigua capital tepaneca bajamos de nivel en la composici´on territorial, pero al conservar la forma de quincuncen, encontramos que sitios de filiaci´on teotihuacana como El Rosario y La Negreta, en Quer´etaro, se encuentran dentro de esta estructura. Ambos sitios son trabajados actualmente bajo la coordinaci´on del arque´ologo Juan Carlos Saint-Charles.

Figura 5: Maqueta de Plazuelas (Cortes´ıa del arque´ologo Carlos Casta˜ neda) 9

En la discusi´ on de la IV Mesa Redonda de Teotihuac´ an el profesor Eduardo Matos llam´ o la atenci´ on sobre la importancia de este sitio en la estructura territorial de Teotihuac´ an.

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Con los resultados obtenidos hasta ahora, se puede decir que el algoritmo de los fractales corrobora una estructura de autosimilitud presente en Teotihuac´ an; que fue construida de acuerdo a un plan con m´ ultiples escalas en el que cada construcci´on tiende a repetir la estructura general del conjunto, como lo hab´ıamos derivado de la propuesta de Paul Kirchhoff y de Carrasco, para ´epocas posteriores. Con base en la dimensi´on fractal establecida para las estructuras mayores de Teotihuac´an ahora podemos concebir de otra forma las relaciones socio/territoriales.

Propuesta final Al principio de este trabajo se mencion´o que el estudio de la regi´on Centro Norte de Mesoam´erica, ocupada en el siglo XVI por otom´ıes, desde el enfoque de la territorialidad, llev´o a revisar los prejuicios propios de la disciplina as´ı como el registro arqueol´ogico desde la versi´ on de los grupos locales. En ese proceso se evalu´o la posibilidad de transformar la informaci´on de la Geometr´ıa Fractal en un indicio, en t´erminos de Ginsburg, para que sea u ´til a la arqueolog´ıa. En los a˜ nos ochenta del siglo XX, dentro de la historiograf´ıa italiana, surgi´o el paradigma indicial que se alej´o de las corrientes tradicionales que buscaban las pruebas irrefutables que dejan tras de s´ı los acontecimientos reputados de grandes y decisivos. El sistema indicial trabaj´o a partir de la ausencia de ese tipo de pruebas, por lo que se tuvo que inventar o encontrar una manera de sacar a la luz aquello que no es legible, que no est´a all´ı, que fue borrado y que no consta como determinante para la historia. Un indicio no es un dato, documento o prueba insuficiente; no es un indicador arqueol´ogico a partir del cual se es capaz de reconstruir una vasija, un periodo o un modo de vida, no es un documento fragmentario de una realidad. El car´acter de indicio no le viene al documento de su precariedad, o de su fragmentariedad, de una insuficiencia cuantitativa suya, que le impida cumplir con el ideal de ser una prueba plena. [. . . ] No es as´ı la fragmentariedad o la insuficiencia de un dato lo que hace de ´el un indicio, sino la funci´on sustantiva o de reemplazo que debe cumplir. El indicio es un dato que est´a all´ı en lugar de la prueba existente. A partir de un indicio no se reconstruye un hecho, como en la paleontolog´ıa, sino que se lo supone. El indicio invita a la interpretaci´ on y, antes que nada, a la interpretaci´ on de la circunstancia que hace que ´el deba estar ah´ı, en lugar o m´as all´a del dato pertinente, supliendo la ausencia, o incluso la presencia del mismo. El indicio incita a buscar algo que por alguna raz´on no

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ha dejado restos suyos, sino s´olo huellas indirectas, algo que por alguna raz´on estuvo impedido de manifestarse, algo que tuvo prohibido mostrarse, algo que era necesario ocultar” (Echeverr´ıa, 2003, p 31-32). Ginzburg (1999), descubre intenciones entre esos mismos datos de lo real, a los que otorga por ello el car´acter de indicios, para descubrir los rastros de hechos no experimentados directamente por el observador. En la misma ´epoca Jean Claude Gardin, en Francia, propuso que la arqueolog´ıa deb´ıa ser vista como un saber conjetural (Gardin 1979). El planteamiento intentaba poner distancia con los conflictos entre el dato emp´ırico y su interpretaci´on, y abrir nuevos caminos a las reflexiones sobre c´omo pensar el pasado. M´as de un cuarto de siglo ha pasado desde que se inici´o la b´ usqueda conceptual que permitiera ver lo invisible de las ´epocas antiguas, con resultados muy variados. Los conceptos de autosimilitud y de dimensi´on fractal pueden ayudar a recorrer esos caminos.

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Lista de Figuras Figura 1. La estructura del imperio tolteca (Kirchhoff 1989) Figura 2. L´amina 1 del C´odice Mendocino Figura 3. Estructura A comparada con la l´amina 1 de C´odice F´eyerv´ aryMayer Figura 4. Dimensi´on Fractal y sus logaritmos Figura 5. Maqueta de Plazuelas (Cortes´ıa del arque´ologo Carlos Casta˜ neda).

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Las ciudades de Mesoam´erica, como las de otras partes del mundo, se edificaron en un espacio real y un tiempo hist´ orico, pero se gestaron tambi´en en la geograf´ıa interior de sus habitantes y en una atemporalidad con valor m´ıtico. –Patrick Johansson–

Mesoam´erica se caracteriza por ser un espacio con un desarrollo cultural particular, por tanto no caben las comparaciones entre el proceso de formaci´on y consolidaci´on de las culturas que habitaron en ella con las culturas que habitaron y se desarrollaron en Asia o en Europa. Por lo anterior, para describir y entender el mundo mesoamericano debemos hacerlo a partir de la forma en que los hombres mesoamericanos concibieron la vida, el espacio y el tiempo, a partir del entendimiento de su religi´on y organizaci´on social, a partir de su lenguaje, y de la forma de transmitirlo gr´aficamente. Durante d´ecadas, los investigadores han descrito la organizaci´on socio-pol´ıtica de los pueblos mesoamericanos empleando t´erminos exportados de otras culturas que m´as all´a de aclarar confunden, pues las interpretaciones que de ellos surgen son visiones fragmentadas. Por ello, es importante reconocer que cada “divisi´on” territorial tiene una realidad y un contexto que corresponde a una particular “organizaci´on” humana del mundo y de las cosas del mundo. 1

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Evidentemente no es f´acil entender c´omo organiz´o su universo (espacio- temporal) un pueblo que vivi´o hace, por lo menos, seis siglos (si nos ubicamos en el momento del contacto espa˜ nol) debido a que enfrentamos tres obst´aculos principales para acercarnos a nuestro objeto de estudio: el lenguaje, la ideolog´ıa y las fuentes susceptibles de ser consultadas. Sin embargo, debemos tratar de emplear y conservar los vocablos originales nahuas (para el caso de la cuenca central) considerando, hasta donde nos sea posible, su significado ideol´ogico particular sin olvidar las diferencias y similitudes de fondo y a´ un de matiz. As´ı, los arque´ologos que estudian la organizaci´on pol´ıtica, social, religiosa, econ´omica y territorial de Mesoam´erica podr´an encontrar grandes ventajas en el empleo del t´ermino alt´epetl en sustituci´on de otros como Estado-Naci´on, Reino o Imperio. Lamentablemente, las traducciones literales no son una constante y a pesar del incremento en el uso de dicho vocablo nahua a´ un no se tiene una definici´on funcional del t´ermino para nuestra disciplina. Este trabajo parte de la necesidad de rese˜ nar algunas definiciones de alt´epetl provenientes de la etnohistoria, que lo mismo hacen referencia a un territorio, que a los habitantes de un pueblo; as´ı como de la necesidad de comprender su estructura y su proyecci´on en diferentes niveles. Lo anterior debido a que el t´ermino ha sido utilizado recurrentemente durante los u ´ltimos a˜ nos pero sin una definici´on clara. Finalmente, se presentar´ a una propuesta de c´omo entender y caracterizar un alt´epetl cuando estudiamos, desde la arqueolog´ıa, la organizaci´on de los pueblos que habitaron Mesoam´erica en el momento de la llegada de los espa˜ noles al continente americano. Yn nican altepetl Mexico-Tenochtitlan

Lo que se ha dicho del alt´ epetl El primer autor a quien debemos remitirnos, para abordar el tema, es fray Alonso de Molina quien define con s´olo dos palabras un concepto que engloba toda la cosmovisi´on centenaria de un pueblo, pensamiento a partir del cual se concibe y estructura el espacio que habita. Sin dejar de considerar la obra de Molina como trascendente, es necesario reconocer que no comprendi´o el t´ermino en toda su extensi´on, por lo que define alt´epetl tan s´olo como sin´onimo de pueblo

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o del vocablo rey2 ; sin embargo, nos ha dejado el significado de otras palabras cuya ra´ız est´a relacionada con el concepto y que nos pueden dar luz sobre la amplitud de su significado. El segundo autor que analizaremos es James Lockhart para quien el alt´epetl es un estado ´etnico, una organizaci´on de personas con el dominio de un determinado territorio, caracter´ıstico de los pueblos ind´ıgenas del M´exico Central y que se refiere, en primer lugar, al territorio (Lockhart, 1999: 27 y ss). Para este autor el t´ermino no tiene plural en n´ahuatl. Por su parte, Sahag´ un traduce altepeuh como pueblos (Sahag´ un, 1979: Libro duod´ecimo fojas 87 y 492) y otros autores lo han pluralizado como altepeme, t´ermino que se emplear´a a lo largo del presente trabajo. Lockhart expresa la existencia de “conglomerados” de altepeme a los que tambi´en les llama indistintamente alt´epetl3 . Adem´as, menciona que no estaban limitados a un centro y que se constitu´ıan por una serie de entidades relativamente aut´onomas –no necesariamente evidentes– con disposici´on similar a la entidad mayor y con una relaci´on id´entica con respecto al punto de referencia com´ un4 , dando como resultado unidades complejas, cohesivas y perdurables; lo cual no significa que cada una de estas unidades no tuviera una din´amica interna propia a partir de la cual tambi´en se modificaban, reubicaban o “destru´ıan” como se ver´a m´as adelante. Siguiendo a Lockhart, un alt´epetl no se limitaba a un “centro” pero, por otro lado, Johansson asume que en tanto el Coatep´etl o monta˜ na sagrada dentro de la cosmogon´ıa nahua es templo y axis mundi dado que en ella se ve el reflejo (o el espejismo) de lo que ser´a Tenochtitl´ an al tiempo que es una imagen del origen m´ıtico conocido como Aztl´ an/Colhuacan (Johansson, 2004: 44-45), entonces se 2

La palabra “rey” tampoco es adecuada para denominar al gobernante de un alt´epetl, Molina incluye en su vocabulario el t´ermino tlatoani como hablador (el que habla) o gran se˜ nor (en plural tlatoque). 3 Lockhart dice que no hay diferencias claras para denominar los diferentes niveles de un alt´epetl pero otros autores si hacen menci´ on de tales diferencias. Es probable que los autores ind´ıgenas del siglo XVI-XVII no consideraron necesario hacer tales aclaraciones por ser “obvias” para los miembros del grupo nahua en su momento. Por otro lado, autores como Chimalpahin intentaron hacer analog´ıas con t´erminos occidentales quiz´ a con el fin de que los espa˜ noles de su ´epoca los entendieran; sin embargo, con el paso de los a˜ nos ello ha dado lugar a una p´erdida en el nivel de comprensi´ on de dichos documentos. 4 A este modo de organizaci´ on Lockhart lo llama “celular o modular” en oposici´ on al modo jer´ arquico, pero, para efectos de este trabajo, lo llamaremos “organizaci´ on de tipo fractal”, entendiendo por fractal todo objeto que presente la misma estructura al cambi´ arsele indefinidamente la escala de observaci´ on.

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puede considerar que cada alt´epetl tuvo un “centro” en el mismo sentido, pues el centro del mundo est´a all´ı donde el mundo es pensado. Para Pedro Carrasco la entidad pol´ıtica m´as importante de Mesoam´erica a la llegada de los espa˜ noles era lo que Chimalpahin llam´o excan tlatoloyan o excan tlahtolloc (Carrasco, 1996: 31) y que hoy conocemos como “Triple Alianza”5 . Contrario a lo que dice Carrasco, el presente trabajo propone que el alt´epetl fue, no s´olo la base, sino la entidad pol´ıtica m´as importante dado que otorg´o a Mesoam´erica una estructura s´olida, tanto en el espacio como en el tiempo durante m´as de ocho siglos –y quiz´a desde antes–. Por ello, a partir de su comprensi´on se entender´a mejor lo que signific´o la Triple Alianza, en su momento, como una proyecci´on del alt´epetl pero a una escala o nivel superior. Los registros que se tienen hoy sobre el huey altepetl Tenochtitlan-TetzcocoTlacopan nos ayudan a profundizar tanto en la sociedad como en la cultura prehisp´anicas. Carrasco afirma que el alt´epetl fue la entidad pol´ıtico-territorial b´asica equivalente a “pueblo”, a la cual se le antepone el afijo huey “grande” para indicar una escala mayor (Ver Cuadro 1, nivel 3 en adelante); entonces, el pueblo o alt´epetl toma el significado occidental de “ciudad” hueyaltepetl, pero a pesar de este se˜ nalamiento el por qu´e de dicha transformaci´on no queda muy claro. La referencia a la palabra alt´epetl incluye tanto el centro urbano o c´ıvico como el territorio entero de la ciudad y de la zona rural. En su estudio, el autor emplea tres palabras para definirlo en tres diferentes niveles: barrio, pueblo y ciudad; en un cuarto nivel coloca al alt´epetl como se˜ nor´ıo, reino o imperio y define estancia, sujeto, parcialidad o cabecera, y provincia, como palabras relacionadas (Carrasco, 1996: 27-33). De acuerdo con Susan Schroeder, para Chimalpahin el alt´epetl es una entidad sociopol´ıtica soberana que ella nombra como “distrito pol´ıtico regional” y a su vez como parte de una “gran unidad pol´ıtica” o “confederaci´on” a nivel de ´area. Sin embargo, ella considera burdo el t´ermino “ciudad-estado” por lo que decide emplear “reino” para definirlo “como un estado soberano que abarca un territorio acotado, normalmente con su propio rey din´astico o tlatoani” (Schroeder, 1994: 71 y 81-83). Para ella el t´ermino alt´epetl empleado por Chimalpahin describe tres diferentes niveles de organizaci´on sociopol´ıtica que incluyen varias subentidades 5

El mismo Carrasco nos advierte que Triple Alianza no es la traducci´ on de una expresi´ on n´ ahuatl en tanto que excan tlatoloyan literalmente quiere decir “se gobierna en tres partes”, las tres cabezas o lugares de gobierno (op.cit. p. 31).

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(como el tlayacatl y el calpullitlaxilacalli) y se usa m´as frecuentemente para hacer referencia a estados o reinos “esparcidos” en el centro de M´exico, ya sean de su tiempo o anteriores. Es importante se˜ nalar que Schroeder lo considera medular para la comprensi´on de la organizaci´on sociopol´ıtica del mundo nahua (Schroeder, 1994: 183). En su libro El Alt´epetl, origen y desarrollo, Cayetano Reyes Garc´ıa afirma que en 1949 Arturo Monz´on fue el primero en se˜ nalar la necesidad de entender ampliamente el significado del alt´epetl pero sin tratar de resolverlo y lo define como una instituci´on sui generis con funciones hegem´onicas tanto a nivel local como regional, constituida por dos sectores a los que nombra tiachcame e ipiljuan, y que cohesiona en tres niveles los intereses colectivos: 1) al interior de una localidad o barrio, 2) en el ´ambito local o pueblo y 3) en lo regional. Estos tres niveles son denominados indistintamente como alt´epetl y en su conjunto se denominan altepeme (´organo rector o pueblo dirigente). En general el concepto hace referencia a una estructura sociopol´ıtica en diversos niveles horizontales, compuesta por una estructura jerarquizada y una superestructura cultural reforzada por la religi´on y cosmovisi´on mesoamericana que reflej´o, en el alt´epetl, la idea del origen del universo (Reyes, 2000: 13-15 y 42-44). Para la comprensi´on del t´ermino, Carrasco considera fundamental el concepto nahua de espacio a partir de las cinco regiones o rumbos en los que se divid´ıa la tierra (el universo) y se da a la tarea de demostrar que la sociedad nahua que conocieron los espa˜ noles no era una sociedad simple sino compleja, basada en una organizaci´on social de identidad ´etnica (Reyes, 2000: 34-35). Afirma, con base en las fuentes, que el registro de esta instituci´on se remonta al siglo XII de nuestra era con el altepetl olmeca y que sigue existiendo en distintas regiones del M´exico actual (Reyes: 39 y 51). El concepto refleja la idea del origen del universo que tambi´en estaba representado por las propias pir´amides que fueron objeto de culto (Reyes, 2000: 44-45).

Estructura del alt´ epetl De acuerdo con Lockhart los requerimientos m´ınimos para que existiera un alt´epetl eran –en la acepci´on nahua de la palabra– un territorio, un conjunto de

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partes menores constitutivas6 o microcosmos (cuyo n´ umero no se dejaba al azar) algunas independientes, otras subordinadas, as´ı como un gobernante din´astico o tlatoani (Lockhart, 1999: 29-32). Tendr´ıa tambi´en un templo principal (s´ımbolo de su soberan´ıa) y alguna clase de mercado principal7 . No deja claro si el territorio del alt´epetl era una superficie continua o discontinua y por qu´e, pero define a esta organizaci´on como flexible, adaptada a las circunstancias particulares y sin estabilidad a largo plazo. Menciona tambi´en que las entidades menores o calpolli requer´ıan de un “sistema de rotaci´on” (Ver Figura 1) que era el hilo vital del alt´epetl pues la secuencia –que pod´ıa o no ser c´ıclica– se repet´ıa a si misma indefinidamente pudi´endose detener en cualquier punto. Para Carrasco, un alt´epetl deb´ıa reunir las tres caracter´ısticas siguientes: 1) Poblado gobernado por un rey de linaje dentro de la organizaci´on pol´ıtica bajo el cual exist´ıa un grupo de ciudades –independientes e interdependientes– gobernadas por reyes propios (Carrasco, 1996: 49). En dichos poblados, la sede del gobierno era el asentamiento con mayor concentraci´ on de habitantes. Los gobernantes ten´ıan cada uno su propia dinast´ıa. 2) Entreveramiento de territorios, distribuci´on de tierras entre todas las entidades sociopol´ıticas que lo integraban. La naturaleza de las entidades territoriales estaba ´ıntimamente ligada a la tenencia de la tierra. El entreveramiento de las unidades sociales se acompa˜ naba de la segmentaci´ on de las entidades pol´ıticas. 3) Carrasco no habla de un “sistema de rotaci´on” pero si menciona que hab´ıa un “equilibrio cambiante8 ” que es similar a la definici´on de Lockhart (Carrasco, 1996: 43-69). 6

Cada una con su propio dios ´etnico (y por consiguiente con su propio templo o teocalli), su propio jefe (con su tecpan o palacio), su propio territorio y su propio mercado regional (tianquiztli). 7 Por lo com´ un los elementos de la trinidad palacio-templo-merado estaban localizados cerca unos de otros formando un “n´ ucleo central” cuyo nombre nunca fue diferente al de todo el alt´epetl (Lockhart, 1999: 34-35). 8 Por lo general, cuando hablamos de equilibrio hacemos referencia a un sistema de balance perfecto que lleva impl´ıcito un sentido de orden y estabilidad. Por ello resulta parad´ ojico hablar de un estado de equilibrio cambiante fuera de las teor´ıas de la complejidad. Otras palabras relacionadas: estabilidad, cambio, adaptaci´ on, irreversibilidad, balance entr´ opico, discontinuidad, estructura disipativa, autoorganizaci´ on y fluctuaci´ on.

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En su libro Chimalpahin y los reinos de Chalco, Schroeder establece una Secuencia para tareas del tipo rotatorio basadas en el orden cronol´ogico de la fundaci´on de los altepeme y probablemente en relaci´on con los puntos cardinales, a pesar de que Chimalpahin no da ninguna pista de tal orden ni motivo para pensar que el altepetl tlayacatl tuviera una rigurosa definici´on geogr´afica (Schroeder, 1994: 83 y 305). Susan Schroeder tambi´en se˜ nala que en las historias de Chimalpahin el establecimiento de un alt´epetl es algo que ocurre cuando un grupo migratorio se transforma en sedentario pero que ya contaba con un tlatoani “todo poderoso” y con su propio dios. El haber llegado de otro lado como grupo caracter´ıstico con su dirigencia din´astica propia, era un importante sello para el alt´epetl. Adem´as, la “llegada” los legitimaba a tal grado que el vocablo axiliztli o arribo9 expresa un sentido de “fundaci´on” seg´ un la autora. El siguiente paso en importancia era la construcci´on de un templo o teocalli para su deidad y para finalizar el asentamiento era construir un palacio o tecpan, un mercado o tianquiztli y una prisi´on o teilpiloyan. Schroeder menciona como el acto m´as trascendental que acompa˜ na la formaci´on del alt´epetl la adquisici´on de la tierra y finalmente aclara que en ninguna parte Chimalpahin supone que el alt´epetl sea un centro urbano ni que todas sus partes tengan que ser continuas (Schroeder, 1994: 186-197). El hecho de que un alt´epetl tuviera un territorio con l´ımites conocidos no implicaba que dicho territorio fuera continuo ni est´atico, pues el tama˜ no de un alt´epetl pod´ıa variar por diferentes causas. Para Cayetano Reyes Garc´ıa, en la c´ uspide de cada nivel o estrato org´anico del alt´epetl se encontraba un consejo local integrado por los tiachcame y los tlayacanque, es decir, los principales o hermanos mayores y la gente del templo (Reyes, 2000: 43). En general, este autor trata una secuencia evolutiva o de desarrollo del altepetl Cholula como ejemplo de la caracterizaci´on de un alt´epetl nahua. Hace referencia constante a dicha estructura como una divisi´on cuatripartita del espacio con base en dos ejes principales (la ruta del Sol y la ubicaci´on del mictlampan) y los cinco rumbos cardinales (existe un quinto rumbo al centro); hace referencia tambi´en a una composici´on social y jerarquizaci´on pol´ıtica, econ´omica y cultural de los diferentes grupos ´etnicos. Menciona recurrentemente la importante presencia de un tecpan y de un teocalli, indica la existencia de un centro o ´area central 9

Axilita presenta tres acepciones en el vocabulario de Molina: 1) suplir o a˜ nadir lo que falta, 2) acompa˜ nar o seguir a otro hasta su posada y 3) hacer que llegue algo a alguna parte.

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para el alt´epetl (gran centro pol´ıtico del gobierno-toltecayotl ) compuesto por el teocalyocan y por el teocalcan, pero tambi´en se˜ nala la existencia de diversos centros ceremoniales ubicados en relaci´on con las casas de los supremos dirigentes, algunos de los cuales eran centros ceremoniales y habitacionales al mismo tiempo (Reyes, 2000: 90 y 94-98).

Caracterizaci´ on del alt´ epetl La mayor´ıa de los autores que han escrito sobre el alt´epetl como la unidad pol´ıtico-territorial hegem´onica entre los nahuas, se han preocupado por entender el t´ermino original a trav´es del estudio de las fuentes, pero con el fin de redefinirlo a partir de t´erminos occidentales tales como imperio, cabecera o pueblo. Sin embargo, la apuesta debe ser por entender y retomar el vocablo original en su propio contexto y, con base en ´el, realizar las nuevas interpretaciones para la arqueolog´ıa mesoamericana precolombina10 , donde palabras como “pueblo”, “ciudad” o “estado” no son sin´onimos ni equivalentes de la palabra alt´epetl al no cubrir con las caracter´ısticas b´asicas mencionadas en las fuentes. Otros vocablos como “reino”, si bien incluyen una l´ınea de dirigentes con linaje, tampoco son palabras funcionales cercanas a la realidad nahua. Como se ha visto, el concepto alt´epetl no coincide con conceptos como estado confederado, imperio o reino, pues se reconoce como una estructura din´amica y flexible que se reproduce a diferentes niveles y es susceptible de ser reubicada, destruida o modificada as´ı como de presentar todas o algunas de las siguientes caracter´ısticas que se enlistan a partir de un orden relativo de importancia: 1. Se reconoce o asume un origen m´ıtico del grupo en Aztlan-Chicomoztoc (que a su vez tambi´en es considerado alt´epetl). 2. El grupo es heredero de una tradici´on migratoria y su tlatoani es descendiente de una l´ınea de dirigentes con linaje. 3. Existe un mito de fundaci´on del alt´epetl que pone fin a la migraci´on. 10

Si adem´ as aceptamos que el alt´epetl es com´ un a toda Mesoam´erica, dejar´ıa de “sorprender” que los grupos “dominantes” de un determinado territorio no destruyeran la estructura sociopol´ıtica de los grupos “dominados”.

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4. El gobierno hegem´onico est´a integrado por uno o dos tlatoque vinculados con la divinidad principal del grupo. 5. Territorio-Espacio11 sin un “centro urbano”, con fronteras difusas (sus partes no son contiguas) y cuyo tama˜ no no es est´atico a trav´es del tiempo. 6. Divisi´on-distribuci´on cuatripartita del espacio as´ı como el establecimiento de un conjunto de cuatro construcciones: palacio-templo-mercado-c´arcel12 que pueden o no estar cercana una de la otra. 7. Su estructura es fractal al cambiar de escala o nivel, pues se compone de entidades menores –no necesariamente evidentes– aut´onomas o subordinadas, con disposici´on similar13 a la entidad mayor, y con una relaci´on id´entica con respecto al punto de referencia com´ un, dando como resultado unidades complejas, cohesivas y perdurables. 8. En su interior contiene un “sistema de rotaci´on”14 no lineal que a su vez condiciona el que sea impredecible la evoluci´ on del alt´epetl. Lo anterior en el sentido de que no se puede saber cu´al de sus entidades menores (o niveles de organizaci´on, que son por lo menos cuatro) tendr´a un desarrollo mayor comparada con el resto, ni el momento en el que se presentar´ a o se perder´a esta supremac´ıa. Adem´as, unidades externas pueden ser a˜ nadidas para modificar la evoluci´ on interna de la misma sin que se altere la entidad b´asica en s´ı. 9. Finalmente, todo alt´epetl y cada uno de sus niveles o unidades constitutivas tratar´an de mantener un equilibrio c´osmico y una simetr´ıa interna en el mismo sentido (axis mundi ) (L´opez Aguilar, 2006). 11

Podr´ıamos proponer adem´ as el tiempo c´ıclico como una cuarta dimensi´ on dado que, seg´ un las fuentes, el grupo sale de un alt´epetl, realiza su migraci´ on y finalmente funda otro alt´epetl en “el mismo lugar” de su partida (Duverger, 2006). 12 La palabra palacio presenta una problem´ atica similar a la definici´ on del t´ermino alt´epetl, se trata de un vocablo exportado que no corresponde con la realidad mesoamericana; sin embargo, tanto Schroeder como otros autores dan indicios sobre la forma a partir de la cual se puede redefinir desde la arqueolog´ıa utilizando la palabra nahua techan, lo cual no es objeto de este estudio. 13 Una de las caracter´ısticas de un fractal es que conserva la misma forma si se le ve en distintas escalas. A esta caracter´ıstica se le llama autosimilitud (Braun, 1996: 34). 14 Ver Figuras 1a y 1b.

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Las diferentes obras que se han analizado coinciden en definir un alt´epetl a partir de las cuatro primeras caracter´ısticas de la lista anterior as´ı como en la existencia de una secuencia de rotaci´on, pero no en cuanto a la continuidad o discontinuidad del territorio. Consideramos que se ha entendido cada parte como aislada y no como un todo integral. Asimismo, algunos autores definen el alt´epetl como entidad pol´ıtico-territorial, y otros como unidad sociopol´ıtica, pero estos t´erminos no reflejan el aspecto simb´ olico del alt´epetl. Tanto Susan Schroeder, como Cayetano Reyes, dejan ver en su redacci´on la existencia de una prolongada continuidad, ya sea a partir de “antiguas teocracias perpetuadas por pr´acticas de sucesi´on din´astica” que evolucionaron como se˜ nala la primera, o a partir de la misma estructura que se fue adaptando desde la ´epoca olmeca como se˜ nala el segundo. Para nosotros, el alt´epetl es una estructura que nace y evoluciona con Mesoam´erica pero que tiene antecedentes en los siglos previos, lo cual da lugar a la generaci´on de mitos. Sin embargo, nuestro objetivo ahora es definirlo y dejaremos la demostraci´on de su antig¨ uedad para una siguiente investigaci´on. Idealmente, un alt´epetl ser´ıa tal si y s´olo si presenta las nueve caracter´ısticas arriba propuestas; sin embargo, en el an´alisis que Schroeder realiza sobre los documentos de Chimalpahin menciona algunos ejemplos para aclarar el hecho de que un alt´epetl no siempre implic´o el haberse formado del modo “usual”. Si bien era necesario fundarlo con una l´ınea de mando bien consolidada, tambi´en pod´ıa surgir cuando una nueva l´ınea de mandatarios se ganaba el reconocimiento debido a una serie de acciones sobresalientes (Schroeder, 1994: 190-191). En ese sentido, la evoluci´on del alt´epetl es no lineal e impredecible -sin dejar de cubrir la caracter´ıstica 3 de la fundaci´on, que a su vez se relaciona con la caracter´ıstica 5-, dado que un grupo itinerante o que migra no pod´ıa considerarse alt´epetl hasta que no se fundaba en un territorio particular (adquirido por conquista, por negociaci´on, por matrimonio o por cualquier otro medio). Cabe mencionar que las fuentes se˜ nalan, recurrentemente, la construcci´on de un templo al momento de la fundaci´on (Caracter´ıstica n´ umero 6) a partir del cual se estructura y da sentido al espacio (Duverger, 2006). El tama˜ no del templo no se especifica, pero s´ı se sabe que puede incrementarse a lo largo el tiempo y esto es parte importante de lo que nos interesa como arque´ologos. Adem´as, el alt´epetl ten´ıa una serie de construcciones a partir de cualquiera de las combinaciones siguientes: palaciotemplo, palacio-templo-mercado o, como ya se ha dicho anteriormente, palaciotemplo-mercado-c´arcel, donde tanto el palacio, como el templo, presentan una

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distribuci´on dual15 que corresponde a la cosmovisi´ on de los grupos nahuas. Schroeder tambi´en ejemplifica la existencia de altepeme que carec´ıan de “llegada” o axiliztli entendiendo el vocablo con un sentido de fundaci´on (Schroeder, 1994: 189); asimismo, un alt´epetl pod´ıa dejar de existir cuando su grupo abandonaba el ´area o cuando el grupo era abandonado por su tlatoani (Chimalpahin, 1998: Tomo I). Por otro lado, si se crea una nueva fundaci´on en un lugar diferente –por ejemplo despu´es de la migraci´on del grupo o de la “destrucci´on” del alt´epetl– puede o no seguir consider´andose el mismo altepetl y conservar o no su nombre anterior (Schroeder, 1994: 196-197). Por todo lo anterior, podemos considerar a modo de “condici´on sinecuanon” para la caracterizaci´on de un alt´epetl la presencia de un gobernante, cabeza o dirigente (tlaloque, tlatoani, teuctli ) as´ı como la existencia de un espacio (territorio) bajo su mando (en el cual se lleva a cabo la fundaci´on) con una distribuci´on cuatripartita y una construcci´on central. El tlatoani gobernaba de por vida y una persona pod´ıa suceder al jefe en un tlayacatl distinto a aqu´el en el que hab´ıa nacido (Lockhart: 37-38) siempre y cuando descendiera de un linaje de gobernantes (por cualquier l´ınea) lo cual tambi´en nos obligar´a a reflexionar, en un futuro, sobre los mecanismos de “sucesi´on”, de “elecci´on” y de “fundaci´on”. Siguiendo con la caracterizaci´on del alt´epetl es importante mencionar que en las fuentes encontramos dos palabras equivalentes: tlatocaaltepetl y tlahtocayotl. La primera se emplea con menor frecuencia y, seg´ un Carrasco, quiz´a se trata de una expresi´on colonial con un sentido de “pueblo que gobierna”, “pueblo con rey” o ciudad.

Tlahtocayotl Molina lo define como se˜ nor´ıo, reino o principado y esta acepci´on es retomada por Lockhart quien adem´as se˜ nala que “el tlatoani era el punto de referencia primario de todos los calpolli y personificaci´on del altepetl [. . . ] que exist´ıa s´olo ah´ı donde hab´ıa un tlatoani” (Lockhart, 1999: 33-34) lo cual refuerza nuestra propuesta sobre la inminente necesidad de que todo alt´epetl debe tener una cabeza, un gobernante personificado por el tlatoani. 15

Tambi´en se pod´ıa tener una sola edificaci´ on dentro de la cual se llevaban a cabo tanto la funci´ on de tecpan como de teocalli.

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Schroeder da al t´ermino Tlahtocayotl la acepci´on de mando (Schroeder, 1994: 180, 191 y 200); sin embargo, varias veces hace referencia al t´ermino Chalcocayotl “entidad colectiva de los chalca” para referirse, ya sea al “Estado” de Chalco, o bien a la “cabecera” original del alt´epetl de Chalco16 . Desde esta perspectiva, tlahtocayotl y alt´epetl podr´ıan ser sin´onimos, pero u ´nicamente cuando se habla de los niveles 1 al 417 dentro de la estructura de alt´epetl que proponemos (Consultar Cuadro 1). Carrasco define tlatocaaltepetl como “ciudad gobernante” y tlahtocayotl como “la dignidad y el dominio de un tlatoani”18 y lo equipara al vocablo nahua tzontecomatl “cabeza” tanto como al concepto moderno de Estado. Asimismo, se˜ nala que “Molina no traduce ‘emperador’ sino que usa la misma palabra castellana y el vocablo ‘imperio’ lo define como ‘Emperador ytlatocayo’, en tanto que Chimalpahin traduce imperio y emperador como huey tlahtocayotl y huey tlahtohuani ” (Carrasco, 1996: 28 y 30). Sin embargo, hoy podemos conceder que Molina no dio una traducci´on para la palabra castellana “emperador” porque no ten´ıa una contraparte nahua; si los nahuas del siglo XVI ya la hab´ıan adoptado (as´ı como despu´es adoptaron otras palabras) tal vez sea porque a ellos se les estaba imponiendo una nueva visi´on del mundo: la occidental. Por su parte, Cayetano Reyes define al tlatocaltepetl como una variante del alt´epetl (al mismo nivel y como sin´onimo de ueyaltepetl ) que registran los documentos nahuas del siglo XVI. La palabra se compone por los mismos elementos que tlatoani m´as “agua-cerro” y es traducida como “alt´epetl supremo” o de mayor jerarqu´ıa pol´ıtica en comparaci´on con otras subordinadas, aunque menciona tambi´en que quiz´a se trata de una expresi´on colonial (Reyes, 2000: 40). Este autor interpreta el t´ermino como la forma nahua para dar una mayor jerarqu´ıa pol´ıtica a una poblaci´on en comparaci´on con otras que le eran subordinadas.

16 La Historia tolteca-chichimeca se refiere a Cholollan como “cabeza de la toltequidad” (ytzontecon yn toltecayotl) (Carrasco, op.cit. 28). 17 Aunque consideramos que los niveles 1 y 2 tienen nombres particulares. 18 Reforzando, de nuevo, la necesaria presencia de un tlatoani con su territorio como condici´ on sinecuan´ on del alt´epetl.

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Los niveles de un alt´ epetl “La organizaci´ on celular sim´etrica [del altepetl] se extend´ıa hacia abajo y hacia adentro a toda una serie de subdivisiones [. . . ] tambi´en se extend´ıa hacia arriba y hacia fuera para abarcar configuraciones m´ as grandes y m´ as complejas” –James Lockhart– Schroeder y Johansson Coinciden al decir que el establecimiento de un alt´epetl parece ser un evento que ocurre cuando un grupo migratorio se transforma en sedentario (Schroeder, 1994: 186; Johansson 2004: 45), por otro lado, es posible que el origen del alt´epetl se ubique unos mil a˜ nos antes de Cristo y, si bien tal consideraci´on debe ser atendida con cuidado, cabe mencionar que da sentido a las primeras tres de las nueve caracter´ısticas que aqu´ı se han propuesto para su definici´on. Por otro lado, al leer las fuentes nos damos cuenta de que el t´ermino fue empleado en contextos y temporalidades muy variados, que al ser analizados nos llevan a la conclusi´on de que presenta y representa diferentes niveles de complejidad. En el C´ odice Florentino, Sahag´ un otorga al t´ermino alt´epetl significados diferentes, dejando ver que hace referencia a organizaciones pol´ıtico-territoriales que no son equivalentes, ni en tama˜ no, ni en importancia. As´ı, traduce por un lado altepetl xomiltepec como el pueblo de Sumiltepec y por otro lado altepetl mexico como ciudad de M´exico (Sahag´ un, 1979: Libro d´ecimo fo. 145v y libro duod´ecimo fo.1). El mismo Sahag´ un nos dice que tlachioaltepetl significa “grandes montes edificados a mano”, lo cual es l´ogico a partir de las palabras tlachiualli -hacer y tepetl -cerro, pero, debido a que el n´ahuatl es una lengua aglutinante, existe la posibilidad de que dicho vocablo tenga su origen en tlachiualli19 y altepetl, lo cual nos dar´ıa una lectura diferente (Duverger, 2006). Para Cayetano Reyes, el tlachiualtepetl o “cerro artificial” sincretiza el origen del universo y de la vida en el agua a los montes creadores del agua, que est´an relacionados con la producci´on agr´ıcola. Es decir, representa la dicotom´ıa agua-tierra/Tlatecutli-Tlaloc (Reyes, 2000: 44-47). En general, Sahag´ un no hace una traducci´on sino una interpretaci´on, que a su vez debemos saber reinterpretar dentro del contexto de la cosmovisi´on mesoamericana, pues los frailes otorgaron a la cultura nativa la calidad de primitiva y salvaje. 19

La traducci´ on de Molina para tlachiualli es de hechura o criatura.

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En su obra, La Conquista de la Nueva Espa˜ na, Bernal D´ıaz del Castillo se refiere a la localidad de Tlaxcala como la cabecera de Tlascala (D´ıaz del Castillo, 1904: Tomo I, 244 y 254), la ciudad de Tlascala (D´ıaz del Castillo, 1904: Tomo I, 261 y 263) o la cabeza y pueblo mayor de Tlascala (D´ıaz del Castillo, 1904: Tomo II, 211). El que un mismo autor en una misma obra empleara varios t´erminos para definir al altepetl Tlaxcallan, es de llamar la atenci´on cuando “pueblo”, “cabecera” y “ciudad” no son sin´onimos y hacen referencia a unidades territoriales distintas. Si los espa˜ noles del siglo XVI hubieran entendido el concepto nahua lo habr´ıan equiparado a un s´olo t´ermino en castellano; sin embargo, varios investigadores modernos han forzado los datos de las fuentes en categor´ıas de la historia contempor´anea o de las teor´ıas vigentes en su tiempo, violentando de este modo las instituciones ind´ıgenas tanto como los frailes y letrados espa˜ noles (Carrasco, 1996: 26-27). El empleo de la palabra alt´epetl ha sido, desde entonces y hasta ahora, ambiguo y poco discrecional, pues a pesar de que presenta diferentes niveles de interacci´on espaciales, tampoco ´estos se han definido (Caracter´ıstica n´ umero 7 de nuestra propuesta). Por ello es necesario clarificar cu´al es su estructura, es decir, explicar la forma y funci´on de esa generalidad llamada alt´epetl, para lo cual nuestro punto de partida es la siguiente cita: una ciudad central dominante no era en realidad compatible con los principios de organizaci´on del altepetl. El concepto de ciudad separada del altepetl no entr´ o al vocabulario como una palabra distinta. Parece que cuando los nahuas hablaban de Xochimilco, Azcapotzalco o Culhuac´an, algunas veces estaban haciendo referencia al asentamiento humano m´as grande y otras a todo el altepetl, pero en un caso particular es casi imposible estar seguro de que s´olo estaban haciendo referencia a la parte urbana [. . . ] Para los espa˜ noles que pensaban en t´erminos de una ciudad y su campi˜ na [...] se presentaba una imagen muy diferente (Lockhart, 1999: 34-35). Lockhart tambi´en se˜ nala que las expresiones o part´ıculas que acompa˜ nan a la palabra alt´epetl en una oraci´on pueden darle un sentido diferente al t´ermino como en el caso de iyolloco in altepetl o de in altepeyotl Mexico que se traducen respectivamente como “en el coraz´on del altepetl ” y “la parte construida de M´exico-Tenochtitlan (con casas y calles)” donde el sufijo -yo de la palabra altepetl

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es un sufijo nominal abstracto colectivo.

El altepetl tlayacatl Una variante importante del alt´epetl que claramente manifiesta una definici´on particular del concepto la encontramos en el empleo del t´ermino tlayacatl. Para Lockhart, un tlayacatl es sin´onimo de subaltepetl o alt´epetl menor y afirma que originalmente fueron entidades soberanas con tlaloque separados que posteriormente fueron “reducidas” a nivel de tlaxilacalli, conservando solamente un nombre doble como u ´nico indicio de un nivel de complejidad mayor. Para Susan Schroeder la parte componente m´as grande de un alt´epetl es el alt´epetl tlayacatl y se˜ nala que Molina no define tlayacatl pero que el t´ermino se relaciona aparentemente con el t´ermino nariz, con implicaciones de direcci´on o de lo que es prominente o puntero (Schroeder, 1994: 201). Sin embargo, Molina s´ı define el t´ermino (en la parte castellano-mexicana) como “lo primero de cada g´enero”. Schroeder da una detallada descripci´on del concepto a partir del testimonio de Chimalpahin aclarando que un alt´epetl tlayacatl hace referencia a un nivel espec´ıfico de organizaci´on sociopol´ıtica sin emplearse nunca para los niveles m´as altos del alt´epetl ni para los niveles m´as bajos (Schroeder, 1994: 205). Es importante se˜ nalar que existe una contradicci´ on entre Lockhart y Schroeder, pues el primero asume que el tlayacatl es un subalt´epetl en tanto la segunda nos dice que hace referencia a la parte m´as grande de un alt´epetl. Sin embargo, ambos nos dan la idea de que el alt´epetl es una “unidad” y por tanto hay partes mayores y menores. Nosotros proponemos que el alt´epetl es uno solo, pero una entidad con caracter´ısticas fractales donde el todo contiene a las partes y las partes al todo. As´ı, aquello que Lockhart y Schroeder asumen como menor o mayor no es m´as que la proyecci´on del fractal alt´epetl a diferentes escalas. Con base en lo anterior, definimos al alt´epetl tlayacatl como el “Nivel 1” del alt´epetl cuya proyecci´on a menor escala se llama calpullitlaxilacalli 20 (Ver Cuadro 1). Cabe se˜ nalar que, para Schroeder, el t´ermino tzontecomatl no es equiparable al de tlayacatl y que adem´as pudo haber estado influido por el t´ermino colonial “cabecera” (Schroeder, 1994: 210). Por otro lado, Carrasco es injusto al afirmar que la terminolog´ıa nahua no aporta un t´ermino inequ´ıvoco para designar la 20

Puede tener un sentido de “alt´epetl constitutivo” en tanto que est´ a integrado por varias entidades denominadas calpulli.

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estructura de la Triple Alianza, que ´el considera “imperial”. Para nosotros, los grupos nahuas s´ı ten´ıan t´erminos para describir su mundo y en realidad no se debe tratar de entender a la “Triple Alianza” como un evento u ´nico en Mesoam´erica21 . El t´ermino nahua con el que contamos para describir y entender, no s´olo a la excan tlatolloyan, sino tambi´en a otros aspectos de la cultura nahua, es precisamente el de alt´epetl, y el objetivo de este trabajo es colocarlo, o por lo menos acercarlo, al lugar que le corresponde dentro de un contexto mesoamericano y no dentro de un contexto occidental22 .

El calpolli tlaxilacalli El nivel m´as “bajo” de la estructura del alt´epetl –renombrado por nosotros como “nivel cero”– lo encontramos en el calpolli tlaxilacalli o alt´epetl “sencillo”, seg´ un la definici´on de Lockhart quiz´a “de un s´olo tlatoani, con un dios ´etnico com´ un y un templo central”. Para el autor el t´ermino compuesto o cada palabra por separado se usan como sin´onimos en un mismo documento, incluso para referirse a la misma entidad territorial (Lockhart, 1999: 35, 84 y 87). Carrasco afirma que el uso de la met´afora “manos y pies” est´a bien documentado para referirse a las aldeas de la ciudad o a los aldeanos, uso semejante al de “ala y cola” (atlapalli cuitlapilli) para la gente com´ un, en tanto que en la Historia tolteca-chichimeca hay referencias a Cholollan (alt´epetl) como “cabeza de la toltequidad” (ytzontecon yn toltecayotl) y a la gente de los barrios (calpoleque) se les llama “las manos y los pies de los toltecas” (yn yma yn ihicxi in tolteca) (Carrasco, 1996: 28). Entonces, si el alt´epetl era una forma de nombrar no s´olo al territorio, no s´olo al gobernante, y no s´olo a la poblaci´on, sino a un todo social, econ´omico, pol´ıtico, religioso y territorial, es posible que al ser concebido como un todo fuera simb´olicamente equivalente al cuerpo del hombre en donde “se conjugaban todos los elementos del cosmos” (L´opez Austin, 1996: Tomo I, 83). De este modo se 21

Antes que Tenochtitlan, Colhuacan encabez´ o un se˜ nor´ıo tripartita al lado de Tollan y Otompan (¿Xaltocan?) tambi´en denominado Excan Tlahtolloyan o con otras palabras ic-excanpa ye teuhctlahtollo y ye tlahtocatlahtollo (Chimalpahin, 1998: Tomo I, 74). 22 As´ı, el contexto en una excavaci´ on o en un documento del siglo XVI es lo que da sentido a la interpretaci´ on, por ello no es posible simplemente buscar uno o dos t´erminos castellanos para sustituir la palabra alt´epetl en todos los documentos. Siempre ser´ a m´ as conveniente comprender el t´ermino aut´ octono y conservarlo.

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tiene una correspondencia entre la din´amica del alt´epetl como estructura, y la din´amica del sistema ideol´ogico nahua donde “el cuerpo” estar´ıa representado por el alt´epetl, “la cabeza” por el tlatoani (condici´on sinecuan´ on)23 y “los pies y las manos” por la gente de los calpoleque o calpulteteo. De este modo el calpulli no ser´ıa una proyecci´ on a menor escala del alt´epetl, sino una parte constitutiva del alt´epetl tlayacatl, del cuerpo, del todo. Cabe se˜ nalar que si bien el calpulli comparte algunas caracter´ısticas con el alt´epetl, no cumple con la condici´on de tener un gobernante de linaje (a pesar de lo se˜ nalado por Lockhart). Sin embargo, en este trabajo se le considerar´a como una proyecci´ on a menor escala del alt´epetl, pues la caracterizaci´on del calpulli se tendr´a que hacer en un momento posterior para determinar si es o no un alt´epetl en el sentido que proponemos24 . Tambi´en habr´a que ahondar en el hecho de que sean o no cuatro (este, norte, oeste, sur) los calpoleque constitutivos de origen dentro de un alt´epetl tlayacatl, mismos que con el tiempo pod´ıan dividirse o cohesionarse al igual que los altepeme25 .

Una nueva propuesta sobre la estructura del alt´ epetl Una vez que se ha reconocido al alt´epetl como la unidad b´asica de la organizaci´on nahua, proponemos cinco niveles b´asicos dentro de su estructura (m´as el Nivel 0 asignado al calpulli tlaxilacalli), misma que presenta un patr´on cuatripartita donde todas y cada una de sus partes pueden crecer y/o dividirse, ser “absorbidas” dentro del mismo alt´epetl, “agregadas” a uno diferente o “destruidas” cuando eran abandonadas. Queda claro que se trata de una estructura din´amica a todos los niveles as´ı como en el tiempo y en el espacio. Al interior del alt´epetl no hay una divisi´on social por estratos como en un estado-naci´on actual, y planteamos la probable existencia de una “red” de tlatoque que hiciera posible el control de grandes extensiones territoriales (y de mucha 23 Probablemente esta analog´ıa con “cabeza” dio pie a pensar en ella en t´erminos de “cabecera” o bien a que se asumiera como tal con cierta facilidad dentro del grupo nahua. 24 Es probable que el nombre que asignado al calpulli antes de la conquista fuera tequitl (Pl. tecccalli ¿?), probablemente chinamitl e incluso tlayacatl y a nuestro juicio funcionaba m´ as como un “gremio” que como un “grupo ´etnico”. 25 Las fuentes tambi´en dejan abierta la posibilidad de que un calpulli pudiera cambiar de “adscripci´ on”, es decir, de alt´epetl, con lo cual se modificar´ıa, constantemente, el n´ umero original de cuatro.

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gente), sin que mediase un complejo aparato militar a trav´es de la expansi´on y sin el reconocimiento de un sistema social regulado por alianzas matrimoniales y/o guerras “religiosas” (atl-tlachinolli), por dar algunos ejemplos. ¿Qu´e implica esta nueva propuesta? En primer lugar, una nueva manera de enfocar y percibir nuestro objeto de estudio para tratar de dar respuesta a viejas interrogantes, pero reformulando nuestras preguntas desde la base de las teor´ıas de la complejidad y, particularmente, desde la teor´ıa de la agencia que remarca el efecto de la intervenci´on humana en todo proceso social. ¿C´omo se mantuvo estable, durante tanto tiempo, un arreglo social de este tipo?, ¿c´omo intervino, en este proceso, la mente, la voluntad y la creatividad humana? En pocas palabras ¿qu´e papel jug´o la variable “acci´on humana” o “agencia humana”? La agencia humana es un proceso complejo “limitado por factores externos tales como el abastecimiento de alimentos, el cuidado de la salud, las pr´acticas religiosas, los valores ´eticos o morales y el vigor personal [. . . ] dentro un margen de libertad acotado” (Young, 1992). Desde esta perspectiva no es posible afirmar que lo que existe en el presente determinar´a aquello que existir´a en el futuro. Por ello, no es posible saber cu´al de las partes de un alt´epetl se colapsar´a o se modificar´a ni cu´ando ni c´omo, pero s´ı es posible asegurar el cambio en el sistema a cualquier escala o nivel, pues ninguna de las partes se mantendr´a linealmente estable. De este modo el comportamiento de las partes o entidades en conjunto dar´a al sistema significado, direcci´on y permanencia. De acuerdo con Young, para que la agencia humana tenga lugar, es necesario que exista en el sistema: 1. Un sujeto emancipado. Que tenga metas sobre y m´as all´a de aquellas actividades preprogramadas por genes, por la sociedad, por normas, leyes o costumbres. 2. Un sujeto conocedor. Que tenga conocimiento preciso/concreto sobre la din´amica de la parte en espec´ıfico que ´el o ella desea modelar/cambiar/modificar de acuerdo con su propio inter´es. 3. Un sujeto creativo. Capaz de allegarse todas las herramientas necesarias para su misi´on/empresa/tarea (se permite el uso de otras personas como instrumentos de su propio deseo, inter´es y/o voluntad).

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4. Un sujeto racional. Quien deber´a usar la raz´on “instrumental” con la habilidad suficiente para que la probabilidad de alcanzar sus metas sobrepase constantemente la oportunidad, es decir, ver la oportunidad y tomar los riesgos necesarios. 5. Un sujeto “principal”. Que aplicar´a los principios cient´ıficos o morales en forma rigurosa y uniforme sobre la materia prima que tenga a mano (incluidas otras personas). 6. Un sujeto con voluntad (libre albedr´ıo). Para algunos ello significa una persona sin compasi´on, para otros con metas claras y bien definidas, pero finalmente un sujeto que no ser´a disuadido por la oposici´on prolongada, ni por adversidades o derrotas. El tlatoani a un nivel (y el conjunto o red de tlatoque en otro) cumple con los seis prerrequisitos citados por Young. En ´el se conjugan, tanto el conocimiento, como el control, de los par´ametros que estabilizan y mantienen la estructura social denominada alt´epetl26 . Para Young, la mayor´ıa de los seres humanos construyen fuera de sus vidas los mundos de vida social en donde ellos se desarrollan. Dada la presencia de la “mano humana” en tales construcciones, podemos afirmar entonces que hay cualquier n´ umero de formas o caminos para crear realidades sociales desde su propia forma de ver e interpretar el mundo y de hacer las cosas (cosmovisi´on). Las teor´ıas de la complejidad ofrecen una visi´on de la agencia humana que, si bien reconoce la existencia de “estructuras” en la mente humana, as´ı como dentro de la cultura humana que “modelan” el pensamiento y la acci´on de los seres humanos, tambi´en reconoce que dichas estructuras son en s´ı mismas hist´oricas y cambiantes (Young 1992). Si nosotros estudiamos el alt´epetl desde una perspectiva lineal, cuyos par´ametros tienen un incremento o modificaci´on lineal, entonces las consecuencias de dichos incrementos o modificaciones ser´an al mismo tiempo lineales, donde una y s´olo una causa antecede a una y s´olo a una consecuencia. “Todo lo dem´as ser´a considerado como error, falla en el dise˜ no de la investigaci´ on, consecuencia del mal uso de una teor´ıa o de determinadas herramientas” (Young, 1992). As´ı, 26

De nuevo se ve reforzada la condici´ on sinecuanon que establecimos al caracterizar un alt´epetl.

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deber´ıa ser posible predecir dentro del sistema cu´al alt´epetl va a crecer, colapsar o modificarse y en qu´e forma, pero como ya se explic´o ello no es posible. Dicho lo anterior, reafirmamos la necesidad de estudiar el alt´epetl como un sistema din´amico no lineal donde se tienen, en diferentes momentos, atractores puntuales que en determinadas circunstancias llegan a un punto de bifurcaci´on, y donde una bifurcaci´on tendr´a dos consecuencias impredecibles pero coherentes con el sistema (Ver Figura 2) y m´as de dos consecuencias en el caso de que aparezcan intermitencias27 . Dado que nuestra base son las teor´ıas de la complejidad, debemos concebir toda estructura como un sistema indeterminado y cambiante, donde las variables depender´an tambi´en de la escala de observaci´ on. Si se engloban en una dimensi´on, las estructuras sociales presentar´ an un valor fractal que podr´a ser mayor o menor dependiendo de los par´ametros del sistema, pero ´este nunca ser´a tan r´ıgido que imposibilite la influencia de la agencia humana, pues habr´a en ´el espacio para la voluntad y el deseo humano que, combinado con otras variables, modificar´a al sistema llev´andolo hacia una regi´on o estado diferente una vez que se presenta la bifurcaci´on o el cambio. En determinados puntos y a partir de ciertas condiciones, los par´ametros cambian o se modifican por la agencia humana y dan lugar a nuevas trayectorias: estables, semi-estables e inestables (L´opez Aguilar y Bali: 96). Los seres humanos act´ uan a partir de sus pasiones, sabidur´ıa o insensatez, y con sus acciones expanden el campo causal hacia dos, cuatro, ocho o m´as posibles consecuencias para el sistema social. De este modo, podemos ver los momentos de cambio interno dentro de un alt´epetl como puntos de bifurcaci´on (cambios en el rumbo o evoluci´ on de un alt´epetl a un determinado nivel) y al resultado de ellos como atractores (fundaciones, colapsos, divisiones, crecimientos, integraciones o fusiones de altepeme en un nivel menor o mayor al nivel donde tuvo lugar la bifurci´on). La mayor´ıa de estos cambios, como ya se ha dicho, son “conducidos” por la voluntad o por los intereses humanos y, en el caso del alt´epetl, por el inter´es del tlatoani (o de un grupo de tlatoque) para incrementar el territorio (y de ese modo la supremac´ıa) de su alt´epetl a partir de, por ejemplo, alianzas matrimoniales o conquistas. 27

Las intermitencias est´ an asociadas a fen´ omenos latentes como epidemias, guerras, fen´ omenos naturales (inundaciones).

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Si una bifurcaci´on altera la relaci´on entre libertad y necesidad, ¿qu´e modifican dos, tres, cuatro o m´as bifurcaciones en el atractor?, ¿Qu´e significa esta cascada de bifurcaciones en un alt´epetl desde de la teor´ıa de la agencia humana? Un incremento en el n´ umero de bifurcaciones incrementa el potencial de la agencia humana; sin embargo, la paradoja se presenta cuando a pesar de que la incertidumbre es esencial para la agencia, demasiadas incertidumbres sobrepuestas (resultado de varias bifurcaciones) pueden encaminar un sistema hacia el caos. La regi´on de influencia de la agencia humana se incrementa en forma discontinua, es decir, mientras m´as opciones o posibilidades existan, lo cual conlleva a un r´egimen ca´otico donde persiste un orden impl´ıcito. As´ı, demasiada libertad puede abatir la agencia humana al perderse la coherencia del sistema y con el surgimiento de nuevas formas de orden, cualitativamente diferentes a la anterior, pues existe un delicado equilibrio entre creatividad y racionalidad (Young, 1992). Cuando se presentan demasiadas bifurcaciones en un periodo de tiempo relativamente corto, y con mecanismos internos de autorregulaci´on28 ausentes o insuficientes, el sistema se colapsa (caos significa una nueva forma de orden). Un ejemplo de ello se dar´ıa al incrementarse la fundaci´on y divisi´on del alt´epetl, lo cual rompe el balance entre creatividad y raz´on. Un sistema presenta un patr´on o una sucesi´on regular de eventos relativamente estable hasta la cuarta bifurcaci´on. Despu´es de la quinta, el sistema puede entrar en caos (Young, 1992). Mientras las bifurcaciones se dirigen hacia el caos se incrementa la ilusi´on de libertad, pero parad´ojicamente la agencia humana disminuye con cada bifurcaci´on a partir de la quinta bifurcaci´on, es por ello que la estructura b´asica del alt´epetl present´ o, despu´es de su an´alisis, cuatro niveles correspondientes a cuatro bifurcaciones de bajo orden (Figura 2). Sin embargo, la propuesta final presenta cinco niveles (Cuadro 1) donde el quinto nivel (Excan Tlahtolloyan) puede interpretarse como un nivel susceptible a la inestabilidad o en el l´ımite del sistema, fuera de lo que anteriormente denominamos “sucesi´on regular de eventos” dentro de una estructura flexible y relativamente estable donde ya no son efectivos los sistemas sociales de control. Las bifurcaciones de bajo orden pueden manejarse y mantenerse por el agente principal, siempre y cuando 28

Las alianzas matrimoniales, la posibilidad de que un hombre llegue a ser tlatoani por m´eritos de guerra, las leyes, los mitos y, en general, la posibilidad de movilidad de los calpulli e incluso los intentos fallidos de dominaci´ on o de conquista de un alt´epetl sobre otro.

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se conserve la delicada relaci´on entre orden y desorden, entre predictibilidad y creatividad, entre patrones r´ıgidos y flexibles. Esquema 1 Nivel d Altepetl-Hueyaltepetl Chalco-Atenco

Tlalmanalco

Iztlacoçauhcan

Tzacualtitlan

Amaquemecan

Tenanco

Chimalhuacan

Nivel c Altepetl

Tequanipan

Panohuayan

Tlailotlacan

Nivel b Altepetl-

Huixtuco

Pochtlan

Nivel a Calpulli-Tlaxilacalli

Tzompahuacan

Esquema 2 Excan Tlahtolloya

Nivel D Tenochtitlan

Tetzcoco

Coyoacan

Cuahutitlan

Tlacopan

Apazco

Tollan

Xilotepec

¿?

¿?

Huichapan/ Atlan

Nivel B

Huichapan

Donde: Nivel D tenochca Nivel C Nivel B Nivel A

Nivel C

Nivel A

Excan Tlahtolloyan o Hueyaltépetl Hueyatepetl Altépetl (Cabecera doble) Altépetl

Si renombramos los niveles presentados en los esquemas 1 y 2 la propuesta

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El Alt´epetl. En Busca de Una Definici´on

queda, finalmente, como sigue: Nombre Excan tlahtolloyan Hueyaltepetl o altépetl tenochca Hueyaltepetl o altépetl Hueyaltepetl o altépetl Altépetl Altépetl tlayacan Calpulli tlaxilacalli

Nivel

Esq. 1

D

5 4 3 2 1 0

Esq. 2

d c b a

C B A

Cuadro 1 A partir del Nivel 1, y hasta el Nivel 5, se pueden caracterizar con base en la lista de nueve puntos propuesta anteriormente. Del cuarto nivel en adelante, es v´alido nombrar al alt´epetl como huey alt´epetl y en muchos casos tendr´a un nombre doble e incluso triple como el ejemplo del altepetl Tenochtitlan-TetzcocoTlacopa, lo cual no es inesperado ni excepcional en tanto el n´ umero dos y sus m´ ultiplos estaban relacionados con el agua y el tres con el fuego, considerando adem´as que, en varias ocasiones, se presenta en los “textos” nahuas –c´odices, murales, arquitectura– la dualidad agua/fuego (Duverger, 2006). Moment o I

Mome nto II

Iztlaco¨a uhcan

Iztlaco¨a uhcan

Tzaqualtitl an

Tlailocan *

Tequanipan

Tzaqualtitl an

Panohuayan

Tequanipan

Tlailocan *

Panohuayan

* Fue el último en fundarse. Figura 1a [Fuente: Schroeder, 1994: 91-122]

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Momento I

Momento II

Tepeticpac (Norte)

Ocotelolco (Sur)

Ocotelolco (Sur)

Ti¨ atla (Este)

Ti¨ atla (Este)

Quiahuiztlan (Oeste)

Quiahuiztlan (Oeste)

Tepeticpac (Norte)

Figura 1b [Fuente: Lockhart, 199: 39]

Figura 2: Cascada de bifurcaciones http://planetmath.org/encyclopedia/FeigenbaumConstant.html Diagrama generado por “GNU Octave and GNUPlot”

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El Alt´epetl. En Busca de Una Definici´on

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El Colapso de un Alt´ epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´ es de la Conquista

Fernando L´ opez Aguilar1 Tatiana M´ arquez Lago2 Paris, Francia y Brisbane, Queensland, Oto˜ no y Primavera de 2006

Itzmiquilpan, un pueblo ubicado en las m´argenes del r´ıo Tula en el desierto del Valle del Mezquital (Estado de Hidalgo) exist´ıa en el siglo XVI como un pueblo con dos encomenderos, Juan Bello y Francisco D´avila. Como parte de la historia del centro de M´exico, su fundaci´on inicial tal vez se encuentre en el sitio llamado Boxaxum, un asentamiento que podr´ıa fecharse alrededor de los a˜ nos 650 dne y que, aparentemente, fue abandonado en el a˜ no 900 a favor de otro localizado en las laderas del cerro del Fraile y, tal vez, de otro en la localidad en donde actualmente se encuentra la cabecera municipal. No se han encontrado evidencias de ocupaciones anteriores al a˜ no 650, por lo que es dif´ıcil suponer que esta localidad hubiera estado en el ´ambito de acci´on de Teotihuac´ an y, si bien pudo no estar despoblada, es probable que perteneciera a los desarrollos regionales aut´onomos, llamados Xajay, que existieron en el noreste del Valle y en las planicies queretanas (L´opez Aguilar, Solar y Vilanova 1998). ´ En la Epoca 3a (650-900) se le encuentra como una entidad aut´onoma con uno o m´as gobernantes propios (tlatoani ) y un conjunto de asentamientos menores sujetos a ´el. De ser cierta la idea de que entre el a˜ no 350 y el 600 pertenec´ıa 1 2

Posgrado en Arqueolog´ıa, Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia. Department of Mathematics and Statistics, University of New Mexico, USA.

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Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

al sistema Xajay, debi´o ocurrir un proceso de independencia al final del siglo VII que deriv´o en la fundaci´on del templo y la traza del asentamiento en las laderas de la serran´ıa de Ju´arez, en la localidad de Boxaxum. Como alt´epetl independiente, seguramente se vio envuelto en procesos de cooperaci´on y competencia con sistemas vecinos recientemente independizados del sistema teotihuacano, que pueden identificarse en los asentamientos de Tula Chico, Chapantongo y La Mesa, as´ı como con el sistema Xajay que sobrevivi´o el colapso de Teotihuac´ an, con cabecera en Pah˜ nu y Cerro de la Cruz (L´opez Aguilar, en prensa). En la ´epoca 4 emergi´o un sistema de jerarqu´ıa superior, Tula, tal vez como resultado de que las tensiones existentes en la ´epoca anterior se resolvieron a favor de la cooperaci´on y de las alianzas. Con ello, Itzmiquilpan cedi´o su autonom´ıa de manera definitiva al convertirse en un alt´epetl subordinado. Al colapso del sistema tolteca se convirti´o en una dependencia (sujeto) de la nueva entidad regional ´ otom´ı que ten´ıa su cabecera en Xaltocan (Epoca 4a). Finalmente, qued´o como dependiente de Teonchtitlan y Tlacopan hacia el final de la ´epoca prehisp´anica ´ (Epoca 5), con un asentamiento ya establecido en las m´argenes del r´ıo Tula, despu´es del meandro que se forma a la salida del enca˜ nonamiento de Chilcuautla (L´opez Aguilar, en prensa). En el siglo XVI, Itzmiquilpan estaba rodeado de altepeme de igual jerarqu´ıa subordinados a la triple alianza: al noroeste, Tlaxco (Tasquillo), al oeste Alfajayucan, y al sur Chilcuautla y Actopan, mientras que hacia el oriente y norte ten´ıa fronteras con el llamado Se˜ nor´ıo Independiente de Meztitl´an, de origen otom´ı. Con ´este, ten´ıa lazos ambiguos en t´erminos locales, pues bien pod´ıa tener conflictos b´elicos como parte de la expansi´on mexica, o bien tener relaciones de intercambio, fundamentadas, por ejemplo, en los circuitos de los tianguis (mercados) regionales. El particular emplazamiento de Itzmiquilpan hizo que su configuraci´on fuera an´ omala en relaci´on con los pueblos circundantes. Como todo alt´epetl del Valle del Mezquital, Itzmiquilpan ten´ıa la propiedad de estar constituido por una cabecera doble, con dos pueblos integrados en uno solo y dos tlatoani (Onaya). La parte nahoa se llamaba Itzmiquilpan (Zetcanni ), mientras que la parte otom´ı Tlazintla (Nkoihai ). Tal vez esta separaci´on no se refiera exclusivamente a una distinci´on poblacional, sino al linaje del gobernante de cada parte. Con un territorio muy extenso, de 1721.06 Km2 , sus dependencias m´as lejanas identificadas en las fuentes hist´oricas -tanto para Itzmiquilpan como para Tlazintla- se encontraban a 36

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El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 143

kil´ometros al norte, mientras que la cabecera se localizaba en el extremo sur (L´opez Aguilar 2005) y su frontera ten´ıa un per´ımetro de 291.04 kil´ometros. Cada pueblo fue encargado a un encomendero, de tal manera que exist´ıa un gobierno espa˜ nol (que a lo largo del tiempo recibir´ıa el t´ıtulo de corregidor, alcalde mayor, intendente) y otro ind´ıgena (gobernador) para Itzmiquilpan y Tlazintla, cada uno con sus pueblos sujetos que se encontraban “entretejidos”, ya que el territorio del flamante corregimiento del siglo XVI no se encontraba separado en dos mitades. As´ı, Itzmiquilpan controlaba a Jonacapa (Ndenxi ), Cuyametepec (Tizqui ) e Ixtatlaxco (Hantaxmaxey), mientras que Tlazintla a Hueytepexi (Antamamaye, Santa Mar´ıa Tepeji, Nicol´as Flores), Aguacatl´an y Chichicaxtla. Un documento que interpreta el c´odice que actualmente se encuentra en la comunidad de Las Pilas, habla de la existencia de una guerra entre los dos encomenderos y sus aliados ind´ıgenas que se escenific´o en los t´erminos de estas dependencias lejanas.

Figura 1: Territorio de la cabecera de Itzmiquilpan en el siglo XVI

Sin embargo, despu´es de este momento compulsivo en los albores del siglo XVI, esta franja norte adquiri´o una trayectoria profundamente estable, excepto

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Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

por el hecho de que, en 1614, los indios de Jonacapa se quejaron de malos tratos y agravios por parte del gobernador y de los caciques de Chichicaxtla, un pueblo de Itzmiquilpan enfrentado con uno de Tlazintla. La idea de los indios de Jonacapa de que los malos tratos que recib´ıan los habitantes llevar´ıa el “riesgo de despoblar y de huirse los naturales” result´o fat´ıdico, ya que la trayectoria de estabilidad de largo plazo del norte de Itzmiquilpan tuvo que ver con una poblaci´on invariante, escasa y a la baja, s´olo susceptible a las bonanzas de la miner´ıa (L´opez Aguilar 2005). Por el contrario, en el centro y sur del territorio se dio una cadena de eventos que produjo la separaci´on de las dependencias del gobierno ind´ıgena para constituirse en “pueblos de por s´ı”. No es factible hablar de una sola motivaci´ on para buscar la independencia. Normalmente, se exig´ıa que se demostrara el suficiente n´ umero de habitantes, lo que colocaba a los ind´ıgenas en la paradoja de justificar el incremento de la poblaci´on, cuando en los censos y levantamiento de padrones oficiales hab´ıan escondido a los tributarios. Las confrontaciones entre la cabecera y las dependencias suelen girar en torno a estos argumentos. Bajo el testimonio de “abusos por parte del gobernador”, la independencia era un proceso largo y tortuoso, ya que en algunos casos pudo llevar hasta doscientos a˜ nos, mientras que en otros, tan s´olo unos veinte. Bajo estas circunstancias, es al gobierno ind´ıgena de Itzmiquilpan que se le separan dos pueblos en los albores del siglo XVIII, San Juan Bautista (1700), una dependencia colindante a la cabecera que era visita del convento agustino y que tal vez sea el Real de San Juan, hoy San Juanico, y el pueblo de largo nombre de Nuestra Se˜ nora de los Remedios la Sabana (1718), bautizado as´ı porque los agustinos se identificaron con la Virgen de los Remedios aparecida en un maguey al poco tiempo de finalizada la conquista. No existen referencias tempranas sobre estos pueblos, pero las fuentes posteriores hacen menci´on de ellos como “pueblos viejos”, lo que permite suponer que exist´ıan desde el siglo XVI. Por su parte, la fundaci´on minera de La Pur´ısima Concepci´on del Cardonal, creada por Alonso de Villaseca en el siglo XVI y que al parecer recib´ıa tambi´en el nombre de Santa Mar´ıa del Agua Zarca o Real de Santa Mar´ıa, logr´o con su independencia en el a˜ no de 1719 apropiarse de una gran cantidad del territorio del centro de la Alcald´ıa Mayor. La emergencia de este pueblo y su segregaci´on no es trivial. En otro lado se ha se˜ nalado que el vector de 18 Km que representa una distancia recurrente entre los pueblos del Valle, resulta relevante para cierto tipo de intercambios de nivel local. Por lo anterior, al estar colocados los pueblos sujetos a una distancia de 36, se supon´ıa que, de haber continuado la

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El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 145

trayectoria prehisp´anica, se habr´ıa fundado una nueva cabecera a esa distancia al norte de Itzmiquilpan, (tal vez cerca del Cardonal) y que, a partir de ah´ı, alguno de los pueblos llamados Santa Mar´ıa Tepexi, Aguacatl´an o Jonacapa se constituyeran tambi´en como altepeme aut´ onomos, con territorios alargados hacia el norte (como el caso de Itzmiquilpan) y penetraran as´ı a la Sierra Gorda de Quer´etaro. Este proceso fue interrumpido por la conquista (L´opez Aguilar y Bali 2002). Al recibir el t´ıtulo de pueblo, el acto fundacional ten´ıa que ver con la construcci´on del templo, fuera remozando alguna antigua capilla devocional dom´estica, o bien construyendo uno nuevo desde sus cimientos. Acto seguido se certificaban todos los terrenos que el pueblo ten´ıa como propiedad m´as all´a del fundo legal, las estancias de ganado mayor y menor y las tierras que hab´ıan sido adquiridas con dinero de las Cajas de Comunidad. Se hac´ıa un recorrido por los linderos con alcalde mayor de Itzmiquilpan y los representantes de los gobiernos ind´ıgenas colindantes que mostraban los documentos, a veces prehisp´anicos, la m´as de las veces recientes, que demostraban el trazo del per´ımetro. Se trataba de un acto no necesariamente amistoso que pod´ıa derivar en una situaci´on violenta entre los pueblos de indios que reclamaban sus terrenos con arcos y flechas. Finalmente, cuando hab´ıa acuerdo, gritaban y aventaban piedras a los terrenos, se firmaba el protocolo con todas las partes y se establec´ıa la nueva fundaci´on.

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Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

Figura 2: Territorio de la cabecera de Itzmiquilpan. Primer Fracturamiento

El territorio de Itzimquilpan-Tlazintla se fragment´ o en dos, una parte al norte con los viejos pueblos sujetos entrelazados desde la ´epoca prehisp´anica y una superficie de 939.40 Km2 y otro al sur, peque˜ no con 252.99 Km2 . Juntos, sumaban 2 un total de 1,192.38 Km . El per´ımetro de su frontera creci´o, pues la parte norte ten´ıa 203.73 Km y la parte sur 90.72 Km, es decir, un total de 294.45 Km, que contrasta con los territorios y las fronteras de los pueblos independientes: San Juan Bautista ten´ıa 104.079 Km2 y una frontera de 52.04 Km; Nuestra Se˜ nora de los Remedios La Sabana 102.75 Km2 y 54.36 Km y El Cardonal 321.85 Km2 y 91.54 Km de contorno. A principios del siglo SVIII, las rep´ ublicas de indios de Itzmiquilpan-Tlazintla hab´ıan perdido el control sobre casi la tercera parte del territorio, 528.68 Km2 . La segregaci´on de los pueblos pudo haber sido un intento de atenuar alg´ un desequilibrio existente al interior del territorio de la cabecera, sin embargo, el ´exito fue ef´ımero, tanto para Itzmiquilpan como para los nuevos pueblos, ya que hacia 1780 se separ´o de San Juan su estancia fronteriza con la provincia de Jilotepec, llamada Portezuelo, colocada en el viejo camino que un´ıa las minas de Itzmiquilpan con el Camino Real de Tierra Adentro. Posteriormente, de forma

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sincr´onica, en 1790, se independizaron los pueblos de El Esp´ıritu, perteneciente a Remedios-La Sabana y los pueblos de Pozuelos, Santuario y San Miguel de la Nopalera (que recibi´o el nombre de la antigua cabecera de Tlazintla), sujetos de El Cardonal, haciendo que la inestabilidad transitara de las cabeceras hacia los pueblos fundados a principios del XVIII. En ese a˜ no, s´olo el pueblo de Orizaba obtuvo su autonom´ıa de la cabecera de Itzmiquilpan.

Cabecera Año Itzmiquilpan 1525

Pueblo

Año

T1

S. J. Bautista

1700

175

La Sabana

1718

193

Pueblo

Año

T2

Orizaba

1790

265

Portezuelo

1780

80

1790

72

Espíti ru Tlazintla

1525 Cardonal

1719

194 Pozuelos Santuario S. M. Nopalera

T Promedio

1712.33 187.33

1790 71 1790 71 1790 71 1788.33 112

Cuadro 1: Pueblos y cronolog´ıas de las segregaciones hasta 1790. T1 y T2 se refiere al tiempo transcurrido entre eventos.

Llaman la atenci´on los eventos relacionados con los pueblos de Orizaba y Santuario de Mapeth´e, cuya separaci´on estuvo motivada por la presencia de dos Cristos. El primero fue tra´ıdo de Orizaba, Veracruz, por uno de los caciques y le fue fundada una modesta capilla en los t´erminos del cerro del Boy´e. Con el tiempo, el culto y la devoci´on de la imagen crecieron de tal manera que los ind´ıgenas congregados alrededor eran numerosos, por lo que solicitaron la erecci´on de una iglesia: el resultado, la segregaci´on. El segundo fue un Cristo tra´ıdo a la Nueva Espa˜ na en el siglo XVI por Alonso de Villaseca y colocado en una capilla en los lavaderos de metal de las minas del Cardonal. Hacia 1620 se encontraba muy deteriorado y, despu´es de una serie de eventos extraordinarios, se renov´ o el 19 de mayo de 1621, una fecha en la que el sol se encuentra en el cenit en la regi´on y est´a asociada con el culto prehisp´anico a Huitzilopochtli. Se construy´o una sofisticada iglesia barroca para su culto y desde ese momento se inici´o un proceso de competencia con la cabecera para elevarse a rango de “pueblo de por s´ı”, hecho que fue logrado ciento sesenta y nueve a˜ nos despu´es.

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Figura 3: Territorio de la cabecera de Itzmiquilpan. Segundo Fracturamiento.

En la cosmovisi´on otom´ı, los Cristos se encuentran asociados con el ´aguila (nxuni ) fundadora de los pueblos, por lo que de alguna manera, la llegada de los Cristos es an´aloga a la noci´on prehisp´anica de fundaci´on de alt´epetl (Andeheun a los pueblos h˜ nah˜ nu del Antoho) conducida por esta ave sagrada, que era com´ Valle del Mezquital. Con estas segregaciones de 1788 creci´o la dimensi´on de los contornos, como puede observarse en los cuadros al final, pero se observa una tendencia a un per´ımetro promedio de 43.76 Km, con extremos en Orizaba con 84.13 y Portezuelo con 29.47, sin considerar los territorios extensos de la antigua cabecera de Itzmiquilpan-Tlazintla. La segregaci´on de los pueblos produjo una reducci´on del territorio controlado por cada cabecera que expresaron una tendencia hacia una extensi´on de 60 Km2 y un per´ımetro de alrededor de 35 Km El extremo superior era Orizaba (260.65 Km2 y 84.13 Km), que ten´ıa m´as superficie que el Itzmiquilpan-Tlazintla del sur, gracias a la compra de grandes extensiones de terreno en el norte por medio del dinero guardado en las Cajas de Comunidad, a la apropiaci´on de bald´ıos

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 149

y a las mercedes de estancias de ganado mayor y menor conseguidas desde la Conquista espa˜ nola. En el otro extremo estaban el Esp´ıritu Santo Palma Gorda, que apenas alcanzaba los 36.47 Km2 , y Portezuelo con 49.79 Km2 . Santuario, Cardonal, Orizaba y Remedios se manifestaron como comunidades poderosas y ricas, lo que seguramente dio lugar a un proceso de mimesis por parte de otros pueblos sujetos, deseosos de alcanzar el prestigio de aquellas, su capacidad econ´omica y, sobre todo, la independencia que significaba tener la capacidad de un gobierno propio y, con ello, el poder de tomar decisiones internas.

Año

Pueblo

Perímetro en Km

Perímetro Total

291.03989

291.03989

1525

ItzmiquilpanTlazintla

1720

San Juan

1720

Remedios

1720

Cardonal

1720

Itzmiquilpan N

203.728

1720

Itzmiquilpan S

90.71847

1788

Portezuelo

1788

San Juan

36.06124

1788

El Espíritu

31.4612

1788

Remedios

36.25785

1788

Santuario

39.80084

1788

S. M. Nopalera

59.54439

1788

Pozuelos

39.50604

1788

Cardonal

37.60719

1788

Orizaba

1788

Itzmiquilpan N

152.15709

1788

Itzmiquilpan S

90.71847

ItzN+ItzS

52.04206 54.3582 91.53769 492.38

294.45

636.72089

242.87556

29.4716

84.13498

Cuadro 2: Dimensiones del per´ımetro de las fronteras de Itzmiquilpan y sus pueblos segregados.

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Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

Año 1525

Pueblo ItzmiquilpanTlazintla

Superficie en m

2

Perdido por cabecera

1,721,056,037.76

Perdido por ItzmiquilpanTlazintla

Superficie de ItzmiquilpanTlazintla

0.00

1,721,056,037.76

1720

San Juan

104,079,081.90

104,079,081.90

1,616,976,955.86

1720

Remedios

102,747,446.17

206,826,528.07

1,514,229,509.69

1720

321,853,222.29

528,679,750.36

1,192,376,287.40

1720

Cardonal Itzmiquilpan Norte

939,394,242.81

1,192,376,287.40

1720

Itzmiquilpan Sur

252,982,044.59

1,192,376,287.40

1790

Portezuelo

49,790,788.58

1790

San Juan

54,007,648.74

1790

El Espíritu

36,472,476.14

1,192,376,287.40 49,790,788.58

1,192,376,287.40 1,192,376,287.40

1790

Remedios

67,629,819.46

1790

Santuario

69,126,886.33

1,192,376,287.40

1790

S. M. Nopalera

109,758,166.76

1,192,376,287.40

1790

Pozuelos

67,450,145.76

1790

Cardonal

73,732,308.08

1790

260,652,625.35

1790

Orizaba Itzmiquilpan Norte

1790

Itzmiquilpan Sur

252,982,044.59

678,741,617.46

36,472,476.14

1,192,376,287.40

1,192,376,287.40 246,335,198.85

1,192,376,287.40 789,332,375.71

260,652,625.35

931,723,662.05 931,723,662.05 931,723,662.05

Cuadro 3: Dimensi´on de la superficie de Itzmiquilpan y sus pueblos segregados.

La trayectoria de los pueblos hasta finales del siglo XVIII resulta significativa, ya que parece ser una resonancia tard´ıa de la forma en que pudieron expresarse los colapsos de los altepeme durante la ´epoca prehisp´anica. Ahora bien, si uno expresa el logaritmo de los a˜ nos como funci´on del logaritmo de superficie (o del logaritmo de la extensi´on de las fronteras, alternativamente) es f´acil observar la relaci´on lineal entre ellas. Esto, a su vez, es indicativo de una relaci´on exponencial, ingrediente esencial de comportamiento fractal.3

3

Muy informalmente, los objetos auto-similares con par´ ametros N y s son descritos por una ley exponencial N = sd , donde d = (ln N )/(ln s) es la dimensi´ on de la ley escalar, conocida como la dimensi´ on de Hausdorff.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 151

LOG FECHAS/LOG SUPERFICIE

LOG FECHAS/LOG FRONTERAS 6.5

7.5

6.4

7.4

6.3 7.3

6.2

7.2

6.1 6

7.1

5.9 7 5.8 6.9 6.8 7.32

5.7

7.34

7.36

7.38

7.4

7.42

7.44

7.46

7.48

7.5

5.6 7.32

7.34

7.36

7.38

7.4

7.42

7.44

7.46

7.48

7.5

Figura 4: Gr´aficas log / log de la superficie y las fronteras de Itzmiquilpan.

Por ende, las transformaciones en el territorio del alt´epetl, tanto en lo referente a la p´erdida del control territorial, como al incremento en las l´ıneas fronterizas, pueden ser vistas como un fractal. Si asumimos que el territorio es el lugar donde se ejerce de manera continua un poder por parte de los tlatoani o gobernadores de las cabeceras, entonces podr´ıamos considerar una superficie continua como geometr´ıa inicial donde el territorio de cada pueblo que se independiza generar´ıa un hueco de cierto tama˜ no en dicha superficie continua. Cada substracci´on reducir´ıa la dimensi´on de la superficie original a un ´area igual a cero. Un ejemplo abstracto de dicho proceso es la curva de Koch (ver figura 5). An´alogamente, el territorio original tuvo un per´ımetro determinado, expresado como un objeto cuya dimensi´on (originalmente 1) incrementa con cada separaci´on. Cabe mencionar que en los fractales hist´oricos, a diferencia de los abstractos, la dimensi´on de los objetos no tiende a infinito. Espec´ıficamente, para esta aplicaci´on, puede pensarse que el valor de la dimensi´on incrementa al valor 2. Esto puede ser resultado de la compacticidad de la escala temporal, bajo la cual puede argumentarse que no es necesario iterar un n´ umero infinito de veces. Como resultado, el objeto se itera un n´ umero finito (y probablemente peque˜ no) de veces, las suficientes para expresar la complejidad del sistema: la dimensi´on fractal de las fronteras se incrementa y la de las superficies disminuye, alej´andose de las dimensiones enteras 1 y 2, correspondientemente. Para obtener la dimensi´on fractal de los tres momentos de ItzmiquilpanTlazintla se utiliz´o el programa Fractalyse 2.3.2 - Fractal Analysis Software para Windows 98/Me/2000/XP, desarrollado por Gilles Vuidel del equipo de investigaci´on de “City, mobility, territory” del Centro de Investigaci´ on Th´eMA, en Francia. El programa fue desarrollado para medir la dimensi´on fractal de ´areas

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construidas en ciudades, pero puede ser usado para calcularla en cualquier imagen en blanco y negro en formato TIFF o BMP, para curvas y redes, a trav´es de varias herramientas. En nuestro caso usamos el m´etodo grid (box counting o conteo de cajas). El per´ımetro original del alt´epetl, y las l´ıneas de las separaciones, se hicieron con base en las descripciones del territorio de Itzmiquilpan y los conflictos que llevaron a su separaci´on (L´opez Aguilar 2005). Con esa evidencia, se realizaron los dibujos en formato TIFF y se analizaron con el programa , en el m´odulo de estimaci´on, la Regresi´on Logar´ıtmica Lineal -que transforma la curva por una funci´on logar´ıtmica- para comparar la emp´ırica obtenida por el m´etodo de conteo, con la estimada4 . Los datos resultantes se muestran el cuadro final y, al correlacionarse con el logaritmo de las fechas en que ocurrieron los eventos de segregaci´on, se observa que la dimensi´on fractal de las fronteras y de la superficie de Itzmiquilpan-Tlazintla es una funci´on logar´ıtmica del tiempo. Tambi´en se analizaron las dimensiones fractales de los pueblos segregados en su totalidad en 1712 y 1788. Para ello, se aisl´o la imagen de sus territorios enmarcada en el entorno de per´ımetro original de la cabecera, tal como se muestra como ejemplo en la imagen siguiente para los pueblos de 1720:

LOG FECHAS / DIM FRAC FRONTERAS (1515-1788) correlación logarítmica lineal

LOG FECHAS / DIM FRAC SUPERFICIE correlación logarítmica lineal 1.9 1.14 1.88 1.12 1.86

1.1

1.84

1.08

1.82

1.06

1.8

1.04

1.78

1.02

1.76 7.32

7.34

7.36

7.38

7.4

7.42

7.44

7.46

7.48

7.5

1 7.32

7.34

7.36

7.38

7.4

7.42

7.44

7.46

7.48

7.5

Figura 6: logaritmo de fechas /dimensi´on fractal de la superficie y las fronteras.

4

La ley de potencia es una ecuaci´ on lineal: log(N (²)) = log(²D ) ≥ log(N (²)) = D · log(²). En el software es: log(N (²)) = D · log(²) + c, o bien log(y) = d · log(x) + c Donde d = dimensi´ on fractal y c corresponde con el punto de origen en el eje de las y.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 153

Figura 5: Carpeta de Koch y comparaci´on con la configuraci´on de los contornos de Itzmiquilpan, huecos generados en el territorio segregado.

Las gr´aficas del logaritmo de las fechas/dimensi´ on fractal de la superficie y la del logaritmo de las fechas/dimensi´ on fractal de las fronteras indican que las dimensiones fractales pueden ser vistas como una funci´on logar´ıtmica del tiempo. Si se mide la dimensi´on fractal de los territorios de los pueblos de indios del siglo

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XVIII, se puede observar que muchas de ellas son cercanas al valor 1.3. Esto hace sospechar que aquellas rep´ ublicas de indios con grandes extensiones, como Orizaba, Itzmiquilpan Norte, Itzmiquilpan Sur y el propio San Miguel de la Nopalera Tlazintla habr´ıan sufrido en el mediano plazo un fen´omeno de segregaci´on que dividir´ıa su territorio en componentes cercanos a ese valor, tal vez con un per´ımetro alrededor de los 35 Km y una superficie pr´oxima a los 60 Km2 . DISTRIBUCION DE LN DE FRONTERAS Y EXTENSION

DISTRIBUCIÓN DE DF POR AÑOS DE SEPARACION 2

8

1.9 7

1.8 1.7 1525 1.6

6 LN FRONTERAS

1712

1.5

1788

1.4

5 LN EXTENSION

4

1.3 3

1.2 1.1

2

1 1

Figura 7: Distribuci´on de la dimensi´on fractal de la superficie por a˜ nos de separaci´on que muestra una tendencia a aproximarse al valor 1.3 y el logaritmo natural de la dimensi´on de las fronteras y de la superficie a 3.5.

Esta tendencia no implica que todos los pueblos transitaran de manera homog´enea hacia esos valores, pues la estabilidad, semiestabilidad e inestabilidad del sistema pudieron construirse de manera diferenciada y local en el siglo XIX. De igual manera, la aceleraci´on en el tiempo, de 187 a 112 a˜ nos har´ıa pensar en una reducci´on consecutiva en el tiempo que transcurrir´ıa en los siguientes eventos de segregaci´on a 67 y a 40 a˜ nos, lo que har´ıa significativas las fechas que se muestran en el cuadro siguiente. 1820 1967

1847 1972

1860 1980

1887 1981

1892 1999

1900 2004

1914 2007

1927 2012

1932 2026

1954 2034

1959

Cuadro 4. Secuencia de a˜ nos cr´ıticos posibles para un proceso de segregaci´on de pueblos en Itzmiquilpan

No hemos encontrado las fuentes significativas para el siglo XIX que permitan discernir la historia que ocurri´o en ese convulsionado siglo en torno a cu´ales pueblos se separaron de Itzmiquilpan. Pudieron haber afectado esta trayectoria, ya

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El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 155

sea aceler´andola o deteni´endola, la larga guerrilla de Independencia que afect´o a la regi´on y dividi´o a los ind´ıgenas en realistas e insurgentes (exist´ıa hacia 1815 un ej´ercito de Lanceros del Rey en el pueblo de Orizaba). Entre los otros procesos de transformaci´on destacan las agitadas d´ecadas del fin de la Independencia hasta el fin de la Guerra de Reforma, incluidas las asonadas y cuartelazos, cambios de presidentes y la Intervenci´on Americana, la p´erdida del territorio nacional, la consolidaci´on de los caudillos locales y los cacicazgos de los criollos y mestizos, pero sobre todo, son importantes las transformaciones ocurridas en las tierras de comunidad y de la iglesia por la aplicaci´on de las Leyes de Reforma durante el porfiriato. Lo que podemos reconocer es que hacia 1805 otros pueblos ya estaban planteando la separaci´on de su cabecera. Alrededor de 1864 se gest´o una disociaci´on mayor, ya que el territorio de la segunda fuerza militar del Estado de M´exico, importante durante la Intervenci´ on Francesa, se erigi´o en el Estado de Hidalgo en el a˜ no de 1867, segreg´andose junto con Guerrero, Morelos y Quer´etaro. En la localidad, la vieja Alcald´ıa Mayor, luego Intendencia y finalmente Municipio de Itzmiquilpan, se separ´o en tres: Bonanza, en el norte, Cardonal en el centro, e Itzmiquilpan al sur, respetando para cada municipio las configuraciones territoriales establecidas durante la ´epoca colonial. De esta manera, a finales del siglo XIX el viejo territorio del alt´epetl aparece compuesto por tres municipios y 26 pueblos de indios, ya que durante esos cien a˜ nos, se segregaron 15. Todo parece indicar que fue consecuencia de la erecci´on del Estado y la configuraci´on de nuevas municipalidades para la constituci´on de la nueva gobernatura y su congreso. As´ı, de las quince localidades, tres se encuentran en el antiguo territorio que llamamos Itzmiquilpan Norte, convertido en el Municipio de la Bonanza, los dos pueblos mas viejos: Santa Mar´ıa Tepexi e Ixtatlachco, junto con la cabecera municipal (hoy abandonada) en la antiguo centro minero de la Bonanza. Siete corresponden a la municipalidad de Cardonal, otra vez, los dos pueblos m´as viejos, Jonacapa y Cuyametepec (Tizqui), junto con otro que seguramente exist´ıa desde los albores de la colonia, aunque no es mencionado, San Antonio Sabanillas, y los restantes que eran rancher´ıas o peque˜ nos parajes en las segregaciones del XVIII, Santa Cruz, Cieneguilla, Daboxtha y El Sauz. Algo semejante ocurri´o con Itzmiquilpan, quien conserv´o como territorio lo que denominamos Itzmiquilpan Sur, el territorio de los pueblos segregados en el

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diecisiete, El Esp´ıritu, Orizaba, Portezuelo, San Juan y los Remedios La Sabana. Los pueblos independientes que aparecen nombrados en el censo de 1900 son El Alberto, quiz´a de Tlazintla, una antigua dependencia en el Sur que aparece mencionada a principios de ese siglo, La Pechuga, un asentamiento minero que puede corresponder con las viejas minas del siglo XVI y que estaba en las fronteras del pueblo de Orizaba; El Tep´e, mencionado como rancher´ıa a principios del siglo y perteneciente a Tlazintla; Maguey Blanco, tambi´en al sur y quiz´a de Itzmiquilpan, que posiblemente corresponda con el paraje fundacional mencionado en el manuscrito que describe el C´odice Las Pilas (L´opez Aguilar 2005) y Panales, al oeste, -quiz´a dependencia de Itzmiquilpan o de San Juan-, muy cerca de la cabecera municipal. LOG AÑOS / LOG PUEBLOS ACUMULADOS (1525-1985)

LOG AÑOS ACUMULADOS / LOG PUEBLOS ACUMULADOS (1712-1985)

4.5

4.5

4

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5 0

0 7.3

7.35

7.4

7.45

7.5

7.55

7.6

7.65

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6

6.1

6.2

Figura 8: log / log de los pueblos y comunidades segregadas de Itzmiquilpan entre 1525 y 1985. log / log de los a˜ nos acumulados entre la primera segregaci´on y la fecha de observaci´on de 1985 con el n´ umero acumulado de pueblos segregados.

Si a su vez consideramos las graficas del logaritmo de a˜ nos acumulados/logaritmo de pueblos acumulados y la del logaritmo de a˜ nos/logaritmo de pueblos acumulados, podremos observar de nuevo un comportamiento exponencial, posiblemente indicativo de fractalidad. Curiosamente, la localidad norte˜ na, caracterizada hist´oricamente por su mayor estabilidad, tuvo factores de inestabilidad en otros ´ambitos, que derivaron en las diversas localizaciones de su capital hasta que la Bonanza fue finalmente abandonada a favor del pueblo viejo de Santa Mar´ıa Tepeji, llamado Nicol´as Flores despu´es de la Revoluci´ on. Durante la misma gesta revolucionaria y hasta los a˜ nos treinta, los conflictos intercomunitarios se dieron por diferentes razones hist´oricas y por muchas otras

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El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 157

causas. Por ejemplo, en 1917, los habitantes de Santa Mar´ıa Tepeji, comandados por Nicol´as Flores, incendiaron la cabecera municipal del Cardonal. Se sabe tambi´en que los caciques de Orizaba vendieron a los vecinos residentes las tierras de la comunidad, temerosos de una expropiaci´on que no hab´ıa ocurrido durante los tiempos liberales del siglo XIX (Mendiz´abal 1947). A fin de cuentas, ellos eran los due˜ nos ya que esas extensiones las hab´ıan adquirido por mercedes, por compras de bald´ıos o compras a particulares y la defensa contra los vecinos hab´ıa sido una lucha constante desde el inicio de su proceso de independencia, en los albores del siglo XVIII. Lo anterior, junto con la construcci´on de su iglesia, les hab´ıa significado una alta erogaci´on econ´omica. Es en ese escenario de la postrevoluci´ on cuando seis nuevos pueblos se separan y aparecen en el censo de 1930. Esta vez, uno era de Cardonal, La Florida, consecuencia de la expropiaci´on de esa vieja hacienda que tal vez fund´o Alonso de Villaseca, en el siglo XVI, que luego perteneci´o al mayorazgo de Guerrero Villaseca, a los Jesuitas y al Conde Romero de Terreros a principios del XIX. Los otros eran de Izmiquilpan: Capula y Ocoz´a tomaron el nombre de las exhaciendas de las que recibieron el reparto de tierras ejidales, Pueblo Nuevo fue fundado en el terreno constituido en ejido de la que fuera la hacienda de Ocoz´a, Dios Padre era una nueva comunidad fundada junto a la Cabecera y Nequetej´e era una antigua rancher´ıa cercana a la frontera con Cardonal, que en el siglo XVIII hab´ıa tenido conflictos de tierra con la Hacienda Debod´e. Los conflictos intercomunitarios continuaron durante el siglo XX adquiriendo formas ins´olitas: Santuario luchaba por ser la cabecera municipal en lugar del Cardonal y se gener´o una tensi´on duradera ya que el agua potable era prove´ıda por los manantiales del primero. La conversi´ on a la doctrina evang´elica por parte de algunas rancher´ıas ha derivado en su solicitud de separaci´on y en la permanente lucha religiosa. Tal es el caso, por ejemplo, de la comunidad de El Calvario y el conflicto que tiene con sus vecinos cat´olicos, una vez que realiz´o su conversi´ on a la religi´on evang´elica-pentecostal y que ha dado los fundamentos necesarios para la segregaci´on de la cabecera (Garrett 2006). Tambi´en es sintom´ atico el conflicto intercomunitario que tuvo lugar en Naxtey, en el vecino municipio de Alfajayucan durante los a˜ nos treinta -y que ellos llaman la guerra-, derivado del control de las fronteras de sus comunidades y de la aparici´on de un nuevo manantial en sus t´erminos (Rodr´ıguez, 1986). El disponer de escuelas comunitarias, el control de la faena y del tequio, el destino de los recursos de cada comunidad, han sido el tema recurrente durante los u ´ltimos sesenta a˜ nos. El resultado se puede observar

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Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

en la separaci´on de 22 pueblos en el municipio Itzmiquilpan alrededor de los a˜ nos ochenta y, en los siguientes veinte a˜ nos, de 194 m´as. Para los efectos de este estudio tomamos s´olo en consideraci´on los datos hasta 1985, fecha en que el antiguo gobernador ind´ıgena se ha transformado en Delegado Municipal. Aparentemente, no existen separaciones de pueblos en los municipios del Cardonal y Nicol´as Flores, lo cual apoya la idea de la configuraci´on de tres trayectorias despu´es de la primera segregaci´on en 1712. Cuando se separ´o la rep´ ublica del Cardonal, perteneciente a Tlazinta, nunca sospecharon que los l´ımites que estaban construyendo al sur, con las viejas cabeceras se iban a transformar, a la vuelta de 160 a˜ nos, en la delimitaci´on de un municipio y que lo territorios al norte, pertenecientes a Itzmiquilpan-Tlazintla, se le iban a agregar en su nueva categor´ıa de manera que fueran las fronteras con el municipio de Santa Mar´ıa Tepeji-Nicol´as Flores. Pero, sobre todo, que esa separaci´on iba a constituir la marca para una din´amica trifurcada, que se expresaba como inestabilidad en el territorio de Itzmiquilpan Sur, como semiestabilidad en el centro, en el territorio de Santuario-Cardonal y como estabilidad en Itzmiquilpan Norte. Esta triple trayectoria fue acentuada en el siglo XX con la construcci´on de la carretera M´exico-Nuevo Laredo en los a˜ nos treinta que cruz´o por la cabecera de Itzmiquilpan, convirti´endola en un atractor de poblaci´on y en un lugar de fuertes din´amicas de intercambio. El centro siempre tuvo una semiestabilidad originada principalmente por las fluctuaciones de la econom´ıa minera, en el inicio de la plata y despu´es de otros metales como el plomo, cuya vinculaci´on a la econom´ıa mundial ocurri´o pr´acticamente desde la conquista. La poblaci´on del Cardonal recuerda, en su cabecera municipal semi abandonada, c´omo hubo un fuerte apogeo econ´omico durante la segunda guerra mundial. El norte, en la sierra, tuvo v´ınculos con las ´areas tropicales del fondo de las barrancas que permitieron la habilitaci´on de un ingenio azucarero jesuita en Chichicaxtla. Tuvo, adem´as relaciones con Meztitl´an y la Sierra Gorda de Hidalgo; sin embargo, su demograf´ıa se observa muy estable y, tal vez, con tendencias centr´ıpetas, lo que, salvo los conflictos ocurridos en la ´epoca Colonial que se resolvieron con demarcaciones territoriales, no tuvieron segregaciones de pueblos sino hasta fechas tard´ıas del siglo XIX y el n´ umero de comunidades, comparado con Itzmiquilpan, es muy bajo. En resumen, el proceso de fractruamiento de los pueblos de indios que pertenecieron a la cabecera de Itzmiquilpan, a lo largo del tiempo, muestra un com-

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 159

portamiento fractal por las siguientes razones:

a) el fracturamiento de los territorios muestra a la extensi´on de las superficies y las fronteras como una funci´on del tiempo (funciones logar´ıtmicas)

b) la dimensi´on fractal de las superficies y las fronteras tambi´en se muestra como una funci´on del tiempo

c) una forma de entender secuencias autosemejantes en t´erminos de fractales es que la suma de sistemas de escala menor contribuyen a la formaci´on de redes o sistemas de larga escala. Bajo esta perspectiva, los sistemas de menor escala pueden ser considerados como una jerarqu´ıa de redes auto-similares o fractales: la arquitectura fractal del patr´on espacial es una caracter´ıstica del proceso de adici´on acumulativa inherente a los procesos de crecimiento din´amico del sistema. Como puede observarse en el Cuadro 6, el n´ umero de pueblos segregados tambi´en es una funci´on del tiempo X(n) = [X(n − 3) + X(n − 2)]0.9 lo que parece indicar que estas secuencias tambi´en tienen un comportamiento fractal

d) finalmente, la trayectoria de la cabecera de Itzmiquilpan, que manifiesta un entreveramiento de una semiestabilidad al centro, estabilidad al norte e inestabilidad al sur, recuerdan la idea que se propuso en otro lado sobre Mesoam´erica (L´opez Aguilar y Guillermo Bali, en este mismo volumen y L´opez Aguilar y Bali 1995), con tres trayectorias semejantes, que permit´ıan definir los colapsos y los apogeos de ese espacio social.

SMM-CIMAT

160

Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

Histórico 2 5

11

26 32

54

248

Xn=[X(n-3)+X(n-2)]0.9 0 Ci 2 Ci 2 Ci 5 Ci 4 5.76 7.22 7.77 10.05 11.44 S = 0.44 13.36 15.81 17.99 20.82 23.77 26.92 S = 0.92 30.50 S = 1.5 34.23 38.30 42.66 47.26 52.17 S = 1.83 57.34 62.77 68.47 74.41 80.59 86.99 93.60 100.42 107.41 114.57 121.88 129.32 136.89 144.55 152.30 160.12 167.99 175.90 183.83 191.77 199.70 207.61 215.49 223.32 231.10 238.81 246.44 S = 1.56 253.99

Razón Itzm

1 2.5 1.15243976 1.25380507 1.07590673 1.29288902 1.13833308 1.16803226 1.18339086 1.13771575 1.15736016 1.14170003 1.13241554 1.1331152 1.12227344 1.11875107 1.11392252 1.10774437 1.10399812 1.0990703 1.09471298 1.09082472 1.08670261 1.08303884 1.07946388 1.07600123 1.072774 1.06963574 1.0666536 1.06381273 1.06108142 1.05848181 1.055993 1.05361158 1.0513376 1.04916053 1.04707897 1.04508818 1.043183 1.04136071 1.03961694 1.03794822 1.03635141 1.03482305 1.03336023 1.03196001

Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 1.2586E+10

Razón

1 2 1.5 1.66666667 1.6 1.625 1.61538462 1.61904762 1.61764706 1.61818182 1.61797753 1.61805556 1.61802575 1.61803714 1.61803279 1.61803445 1.61803381 1.61803406 1.61803396 1.618034 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399 1.61803399

Cuadro 5.- serie Itzmiquilpan con modificaci´on Σ y comparaci´on con la serie Fibonacci. CI= Condici´on Inicial 0,2,2,5.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 161

300 250 200 Xn=[X(n-3)+X(n-2)]^0.9

150

Histórico

100 50

48

44

40

36

32

28

20

24

16

8

12

4

Ite

ra cio

ne s

0

2.5 2.3 2.1 1.9 Razón Itzm

1.7

Fibonacci

1.5 1.3 1.1 0.9

45

42

39

36

33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

Ite

ra cio

ne s

0.7

Figura 9.- Comparaci´on de la serie Itzmiquilpan X(n) = X(n-3) + X(n-2) con los datos hist´oricos y comparaci´on de la raz´on Fibonacci con la raz´on Itzmiquilpan.

SMM-CIMAT

162

Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

Fechas

1525

1712

1788

1900

1930

1985

Años/evento

1

187

68

120

30

55

2000 15

S Año s

1

187

255

375

405

460

475

Nuevos Pueblos

2

3

6

15

6

22

194

S Pueblos

2

5

11

26

32

54

248

636.72089

7.60090246

Dim Fronteras Superficie Itzmiquilpan

291.03989

492.38

1721.056038

1192.376287

931.7236621

Log Fechas

7.329749689

7.445417557

7.484368643

7.549609165

7.565275282

7.593374193

0

5.231108617

4.219507705

4.787491743

3.401197382

4.007333185 2.708050201

Log A ños/evento Log S Año s

0

5.231108617

5.541263545

5.926926026

6.003887067

6.131226489 6.163314804

Log de Pueblos

0.693147181

1.098612289

1.791759469

2.708050201

1.791759469

3.091042453 5.267858159

Log S Pueblos

0.693147181

1.609437912

2.397895273

3.258096538

3.465735903

3.988984047 5.513428746

Log Dim Fronteras Log Superficie Itzmiquilpan

5.673460337

6.199250776

6.456331396 6.837036271

7.450693357

7.083703475

DF SUPERFICIE

1.883

1.822

1.78

DF FRONTERAS

1.018

1.107

1.133

DF SEPARACIONES

1.676

1.744

DF ITZMIQUILPAN N

1.78

1.786

DF ITZMIQUILPAN S

1.549

1.549

DF CARDONAL

1.584

1.34

DF SANTUARIO

1.335

DF NOPALERA

1.373

DF POZUELOS DF REMEDIOS

1.34 1.355

1.292

1.379

1.311

DF EL ESPIRITU DF SAN JUAN

1.248

DF PORTEZUELO

1.295

Cuadro 6.- S´ıntesis de informaci´on b´asica, logaritmos de los eventos y dimensiones fractales de las superficies y las fronteras

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

El Colapso de un Alt´epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´es de la Conquista 163

Fechas Nombres de los pueblos

1525

1712

Itzmiquilpan

Tlazintla

1788 Orizaba

1900

1930

1985

La Sabana

Espíritu

Bonanza S. María Tepexi

Capula

Tamalera

San Juan

Portezuelo

Ixtatlaxco

Dios Padre

Mando

Cardonal

S. M. Nopalera

Santa Cruz

Ocozá

Nitly

Santuario

Cieneguilla

Nequetejé

Pueblo Nuevo

Pozuelos

Jonacapa

Pueblo Nuevo

Daboxtha S. A. Sabanillas El Sauz Tixqui (Cuyametepec)

La Florida

Bangantho

Agua Florida Cañada Chica Chalmita Dezha El Durazno

El Alberto

Exhacienda Capula

El Tep é

Jagüey Capula

Maguey Blanco

El Manantial

Panales

El Meje

La Pechuga

Naxtey Ojuelos La Palma San Pedro Capula Quixpede Ustejhe Zamayoa Xuchitlan

Cuadro 7.- Nombres de los pueblos hasta el a˜ no 1985. Datos de 1900 a la fecha tomados del INEGI. Archivo Hist´ orico de Localidades

Bibliograf´ıa INEGI. Archivo Hist´ orico de Localidades. Garrett R´ıos, Gabriela, Modernidad y conversi´ on religiosa entre los otom´ıes de Ixmiquilpan, Hidalgo. Tesis de licenciatura en Historia. Facultad de Filosof´ıa y Letras, UNAM, M´exico, 2006. L´opez Aguilar, Fernando, S´ımbolos del tiempo. Inestabilidad y bifurcaciones en los pueblos de indios del Valle del Mezquital. Consejo Estatal para la Cultura y las Artes del Estado de Hidalgo, M´exico, 2005. L´opez Aguilar, Fernando, De la identidad a la inestabilidad. Reflexiones sobre el h˜ nah˜ nu prehisp´ anico. Universidad Aut´onoma del Estado de Hidalgo, M´exico, en prensa. L´opez Aguilar, Fernando y Guillermo Bali, “Mesoam´erica, una visi´on desde la

SMM-CIMAT

164

Fernando L´opez Aguilar, Tatiana M´arquez Lago

teor´ıa de la complejidad”. Ludus Vitalis III, 5, 1995, pp. 83-102. L´opez Aguilar Fernando y Guillermo Bali, “La distribuci´on de los asentamientos del Valle del Mezquital como un modelo de desarrollo social”. Estudios de Cultura Otopame 3 IIA/UNAM, M´exico, 2002 pp. 9-16 L´opez Aguilar, Fernando, L. Solar y R. Vilanova, “El Valle del Mezquital. Encrucijadas en la historia de los asentamientos humanos en un espacio discontinuo”. Arqueolog´ıa 20, 2 ´epoca, n´ um. 20, julio-diciembre de 1998. pp. 21-40. Mendiz´abal, Miguel Oth´on, “Monograf´ıa de Capula”. En Obras Completas Tomo VI. Talleres Gr´aficos de la Naci´on. M´exico. 1947. p. 237-256. Rodr´ıguez, Antonio, La Nube Est´eril. Ediciones Amigos del Caf´e Par´ıs 2, 1986.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones Rupestres

Aline Lara Galicia1

En recientes a˜ nos, particularmente en Europa, Australia y el Sur de los Estados Unidos, se ha desarrollado un debate en la antropolog´ıa de acuerdo al uso de las ciencias duras, principalmente las matem´aticas, y nuevas herramientas como la tecnolog´ıa u otras geometr´ıas para la interpretaci´ on y comprensi´on de los datos. Como toda historia de la arqueolog´ıa, las comunidades cient´ıficas se han dividido en los que creen que todas estas innovadoras t´ecnicas, metodolog´ıas y teor´ıas resultan obsoletas, sin ning´ un alcance en la comprensi´on del pasado; y por otro lado, los que han emprendido el camino hacia entender y manejar nuevos conceptos, lenguajes y formas m´as viables de integrar las evidencias de los contextos del pasado. La utilizaci´on de la teor´ıa de la complejidad ha ofrecido observar fen´omenos de orden-desorden en todo sistema complejo y din´amico. Las estructuras disipativas son tambi´en parte de esta nueva epistemolog´ıa en la que su principal funci´on es promover las ideas de complejidad, irreversibilidad, diferencia, diacron´ıa, dinamismo, subjetividad, autonom´ıa, indeterminaci´on, asimetr´ıa, vitalismo, espontaneidad, singularidad, ruptura, azar y contingencia. Dentro de las estructuras disipativas se encuentran los sistemas alejados del equilibrio, que se originan desde la din´amica no lineal, la cibern´etica cl´asica y la teor´ıa general de sistemas. Aunado a ´estas, la teor´ıa del caos fue llamada como la “Nueva Ciencia”2 , constituida 1

Posgrado en Arqueolog´ıa. Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia/Doctorado en Arqueolog´ıa Universidad de la Sorbona Paris IV. 2 Prigogine y Stengers, 1984; Briggs y Peat, 1989.

165

166

Aline Lara Galicia

como: A revolutionary paradigm of scientific analysis and theorizing that has fundamentally transformed my areas of physics, chemistry, biology, meteorology, physiology and mathematics (Mosko y Damon 2005:1). Esta nueva ciencia hace posible encontrar fen´omenos que se manifiestan en los sistemas muy complejos como las sociedades humanas, que a trav´es de los restos arqueol´ogicos o estudios antropol´ogicos, dan cuenta de la autoorganizaci´on de los distintos elementos del sistema. Nos permite observar c´omo se adaptaron las culturas a cambios e innovaciones de acuerdo con su adaptaci´on al medio, sin que se de s´olo por hecho esta conformaci´on. Es decir, que la din´amica entre el entorno y los elementos que son creados por las sociedades no es simple casualidad. De todos los descubrimientos de la complejidad, los que quiz´a posean m´as “comercializaci´on” y atenci´on son los llamados fractales. La geometr´ıa fractal va m´as all´a de la visualizaci´on de im´agenes creadas a trav´es de la computadora, se trata conjuntamente de toda una teor´ıa matem´atica que en los u ´ltimos a˜ nos ha producido innovadoras interpretaciones en los estudios antropol´ogicos y arqueol´ogicos (Eglash, 1999; Brown y Witschey, 2002; Wolfram, 2002; Reynoso, 2004; Brambila, 2005, Kelly, 2005; Piot, 2005, entre otros). Este tipo de orden estructural ha implicado que las relaciones de auto- similaridad fractal puedan ser identificadas desde el inicio de la investigaci´ on si se sospecha que se est´a en presencia de un sistema din´amico no lineal. Un fractal se refiere al fen´omeno de auto-similaridad; es romper y crear fragmentos irregulares en donde las formas o comportamientos poseen propiedades similares en todos sus niveles de magnificaci´on o a trav´es de las ´epocas. En las diversas investigaciones se ha coincidido que una estructura fractal se caracteriza por lo siguiente: 1. Posee detalle a todas las escalas de observaci´ on; 2. No es posible describirla con la geometr´ıa Euclidiana, tanto local como globalmente. 3. Posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estad´ıstica; 4. La dimensi´on fractal es mayor que su dimensi´on topol´ogica y 5. El algoritmo3 que sirve para describirla 3

Una posible definici´ on de algoritmo es un conjunto de reglas que permiten obtener un resultado determinado a partir de ciertas reglas definidas. Seg´ un otra definici´ on, algoritmo es una secuencia finita de instrucciones, cada una de las cuales tiene un significado preciso y puede ejecutarse con una cantidad finita de esfuerzo en un tiempo finito. Ha de tener las siguientes

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones Rupestres

167

es muy simple, y posiblemente de car´acter recursivo. Es un concepto que fue originado por Benot Mandelbrot (1975, 2000), aunque muchos matem´aticos lo han trabajado y actualmente existe un debate acerca de su definici´on (Kulckzycki, 1961; Barnsley, 1993). La llamada geometr´ıa euclidiana aport´o un tipo organizacional y elemental, en el que sus axiomas iniciales marcaban de lo m´as simple a lo m´as complejo: desde un punto carente de dimensi´on hasta un c´ırculo como figura contenida en una l´ınea, que se denomina circunferencia y en el que todas las l´ıneas rectas van de punto en punto. Euclides instaba que una l´ınea era infinita dentro de un espacio adimensional de puntos, pero afirmaba que una recta, al proyectarse definidamente, podr´ıa llegar a ser infinita. La figura geom´etrica ser´ıa entonces una parte de determinadas unidades que existe dentro del espacio euclidiano. Lo inconsistente, es que aludi´o a que la longitud de una l´ınea pertenecer´ıa a los espacios “n” dimensionales, cort´andose infinidad de veces hasta convertirse en un punto, lo que la curva de Koch contradijo. Por s´ı misma, la herencia de Euclides ha resultado ser limitada en los estudios antropol´ogicos, biol´ogicos y matem´aticos, ya que ha acotado enormemente el universo de lo que observamos y su empirismo no ha dejado cuantificar la percepci´on subjetiva en el espacio creado por el hombre. La geometr´ıa fractal se desarrolla como parte de la teor´ıa de la complejidad dentro la f´ısica, implicando un gran ´exito al percibir modelos de una constante incertidumbre en los procesos f´ısicos naturales. El avance de la metodolog´ıa de la fractalidad y su aplicaci´on en la arqueolog´ıa, proponen que a partir del entendimiento de los acontecimientos como complejos, se pueden utilizar n´ umeros de puntos infinitos o fractales para definir un espacio conocido. Para entender esta nueva metodolog´ıa se requiere conocimiento de matem´aticas, utilizaci´on de programas computacionales y la aceptaci´on de un lenguaje m´as abierto y din´amico. Los fractales se pueden generar de una manera m´as din´amica a trav´es de procesos que pueden imitarse una y otra vez, junto con una teorizaci´on en los modelos que ya han sido utilizados en la antropolog´ıa y la arqueolog´ıa. La teor´ıa de los fractales es revolucionaria: habla de objetos y a su vez de caracter´ısticas: legible, correcto, modular, eficiente, estructurado, no ambiguo y se ha de desarrollar en el menor tiempo posible. El t´ermino proviene del matem´ atico ´ arabe Al’Khwarizmi, que escribi´ o un tratado sobre los n´ umeros. Este texto se perdi´ o, pero su versi´ on latina, Algoritmi de Numero Indorum, s´ı se conoce.

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168

Aline Lara Galicia

figuras, desaparece la distancia entre los objetos y sus representaciones (ninguna imagen reprimir´a o comprimir´a al objeto). En la llamada dimensi´on fractal se tiene un ´ındice matem´atico, y con ´el se pueden cuantificar y medir las caracter´ısticas de estos objetos fractales. Esta extensi´on permite registrar mejor las formas geom´etricas fractales, al medir su complejidad ca´otica. Los fractales pueden visualizar en qu´e punto de un espacio matem´atico incurrir´ıan las soluciones de esta ecuaci´on ca´otica, simbolizando los soportes logar´ıtmicos de la representaci´ on de la realidad. Esta dimensi´on fractal hace posible comparar dos objetos entre s´ı para evidenciar, de esta forma, las diferencias y semejanzas. Ante ello, se puede determinar el n´ umero de dimensiones de cierto fen´omeno para observar qu´e tan parecida es una parte del todo. A esta definici´on tambi´en se le conoce como la dimensi´on de similitud o D, la cual mide la complejidad de las figuras -que en la geometr´ıa euclidiana no pueden ser analizadas por romper con los axiomas antes descritos-, pues la dimensi´on fractal var´ıa seg´ un las escalas. Para obtener su valor se pueden utilizar distintas disciplinas a trav´es de programas matem´aticos. Con ´estos se pueden representar im´agenes, hacer modelos, hacer patrones o identificar estructuras (Talanquer, 2003). A trav´es de los resultados num´ericos generados por la computadora, se logra obtener una mejor visualizaci´on de la imagen as´ı como de la estructura fractal, puesto que la resoluci´on ir´a m´as all´a de lo que puede percibir el ojo humano. Con su aplicaci´on en las manifestaciones gr´afico-rupestres se puede resolver el problema de an´alisis de aquellos elementos que, por sus dimensiones o su ubicaci´on, no se pueden registrar. Tambi´en se puede determinar la exactitud de los espacios entre pinturas, la conservaci´ on de las graf´ıas (sin tener contacto con las mismas) y encontrar nuevas formas de interpretar las obras en toda su extensi´on. As´ı mismo, con el empleo de la teor´ıa fractal ser´ıa factible el descubrimiento de huellas de los pintores de las graf´ıas, pues se han localizado diversas figuras de aspecto, tama˜ no, desviaciones, entre otras, similares; adem´as, se detectar´ıa una nueva forma cronol´ogica dentro de un panel. As´ı, lo rupestre debe ser dilucidado, entonces, como un espacio-tiempo continuo y complejo consiguiendo una comparaci´on y disparidad de las distintas ´epocas sobrepuestas en estos lugares: El espacio fractal es un repertorio matem´atico que se puede calcular y cuantificar, de acuerdo a los fen´omenos fractales en el espacio donde se encuentren. Los conceptos de caos y orden se ven integrados a

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

169

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este espacio discontinuo y auto-semejante. A su vez, es un espacio simb´olico en el que el espacio-tiempo es un continuo, abierto y con la existencia de un centro territorial, de car´acter borroso, y que puede contener una dimensi´on fractal” (Lara, 2006: 71).

Se pretende, a partir de este trabajo, mostrar una interpretaci´ on de las graf´ıas rupestres del Valle del Mezquital, Hidalgo, a partir de la teor´ıa de la complejidad, principalmente con fen´omenos fractales, as´ı como la relaci´on de autosimilitud que existe en las representaciones pict´oricas simb´ olicas de esta regi´on.

Los lugares arqueol´ ogicos El ´area del Valle del Mezquital se localiza en los estados actuales de Hidalgo y Quer´etaro, en M´exico. Cuenta con una geolog´ıa de rocas volc´ anicas bas´alticas que se localizan en barrancas largas y de gran profundidad que se originaron despu´es de la erupci´on del “Cerro Hualtepec o Coatepec” (Gonz´alez, 1968). Asimismo, presenta grandes planicies y mesetas distribuidas a lo largo de esta regi´on. Arqueol´ogicamente, es una zona que, a trav´es de los siglos, ha funcionado como una interconexi´on entre las llamadas tierras chichimecas y mesoamericanas, formando una continuidad del espacio que en ocasiones era movible y din´amico, “con diversos momentos cr´ıticos, situaciones l´ımite y respuestas locales” (L´opez, 2005:36). Las evidencias en esta ´area comprenden campamentos de cazadores recolectores, zonas habitacionales y edificios arquitect´onicos de gran relevancia, tanto prehisp´anicos, como coloniales del siglo XVI. Los lugares de mayor porcentaje son las manifestaciones gr´afico rupestres, ubicados en abrigos, paneles y petroglifos distribuidos a lo largo de barrancas. Estos grafismos pintados se concentran en los municipios de Huichapan, Alfajayucan, Tecozautla, Cardonal, Chapantongo e Ixmiquilpan, considerado as´ı, al estado de Hidalgo, como una de las regiones con mayor riqueza pict´orica de todo M´exico (figura 1).

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Figura 1. Lugares con manifestaciones rupestres

A partir de la ubicaci´on de grandes barrancas, se eligieron dos lugares que pudieron funcionar como atractores4 rituales, de acuerdo a su ubicaci´on y caracter´ısticas geomorfol´ogicas. Ambos lugares representan una nueva visualizaci´on de orden simb´olico en torno a la teor´ıa de la complejidad y los fractales. Los patrones de auto-similaridad fractal se concretan en la vida social, m´ıtica, c´odices y lo rupestre de los grupos que habitaron la regi´on, principalmente los h˜ nh˜ nu ¨y nahuas, que de acuerdo a L´opez: Para entender las respuestas culturales y las formas de organizaci´on h˜ nh˜ nu ¨, es necesario visualizar la estructura y las caracter´ısticas del paisaje, como condicionantes de una perspectiva particular del mundo 4

Un atractor es m´ as o menos por definici´ on un lugar u objeto que representa jerarqu´ıa de acuerdo a sus particularidades sociales o fisiogr´ aficas.

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que ha generado un car´acter y una actitud ante la vida, vilipendiada por muchos de sus dominadores (L´opez, 1997: 3).

Xindho y Mandodo, se caracterizan a nivel local por poseer una gran diversidad de iconos de los lugares rupestres del Valle. El primer espacio, se localiza en una barranca del arroyo Calvario, en el municipio de Huichapan. Xindho significa en h˜ nh˜ nu ¨ “Piedra de laja”. El segundo lugar, se ubica en el municipio de Alfajayucan, sobre el arroyo donde se generaron grandes paredes rocosas en la ca˜ nada. Los lugare˜ nos le llaman Mandado, que significa “piedras encimadas”. Ambos coinciden en una modalidad de formas que se agrupan en paneles y abrigos ubicados en cierta posici´on geogr´afica, dando la posibilidad de una continuidad de lectura de los lugares. Se sit´ uan en las hondonadas m´as largas y profundas del ´area entre los municipios de Ixmiquilpan y Huichapan, uno y otro relacionados con los afluentes que se generan en las faldas del cerro Hualtepec, lugar reconocido como sagrado de acuerdo al mito de fundaci´on desde ´epocas prehisp´anicas. Las representaciones de danzas rituales, principalmente el palo volador o Xocolhuetzin, las formas de animales rituales como el mono, el venado y el tlacuache, as´ı como las im´agenes de escudos o chimalisson son constantes en ambas barrancas, todas pintadas en blanco.(Figuras 2, 3 y 4).

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Figuras 2, 3 y 4. Representaciones auto-similares entre Mandodo y Xindho

Reconsiderando las caracter´ısticas de un fractal de escala, recursividad y autosimilitud, ambos lugares contienen homolog´ıa y multiplicaci´ on de identidades simb´olicas en los m´as de 100 recintos rupestres que se tienen en el ´area. Las im´ agenes se caracterizan por una serie de contornos rocosos con cubiertas mesoamericanas, compuesto por figuras humanas, plantas, estructuras, herramientas de “guerra”, animales y formas “geom´etricas” completas o donde una parte representa a todo el conjunto. Todas estas figuras son semejantes a las que se presentan

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en los c´odices de la zona. Todas son de color blanco, aunque el rojo y otros colores est´an presentes en una variedad de figuras que posiblemente pertenezcan a otra ´epoca. Finalmente, el aprovechamiento del espacio simb´ olico se relaciona con la circularidad de espacios pr´oximos como paneles que se observan, uno en frente del otro, alrededor de peque˜ nos contenedores de agua en la roca que se inundan en ´epoca de lluvias (figura 5).

Figura 5. Patr´on fractal en los lugares rupestres

De acuerdo con Whitehead (1919), el objeto tiene autonom´ıa de existencia, debido a su existencia corp´orea, pero no tiene autonom´ıa de significaci´on, “su cambio viene con la significaci´on de las relaciones que mantiene con los diversos acontecimientos” (Whitehead, Ibid: 63). Conforme a Roy Wagner, la aplicaci´on de la teor´ıa del caos y la iteraci´on de los fractales representa una pr´actica cient´ıfica y la visualizaci´on de “otra” cara de la realidad social (Wagner, 2005: 228). Para Wagner: The image of the imager in the act of imaging things is a human device, a virtual holography superimposed upon the action of sensing it. (Wagner a Mosko, 2006:43).

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En Mesoam´erica el espacio-tiempo no tuvo fronteras; fue continuo, abierto y con la existencia de no uno, sino de varios centros territoriales y ceremoniales de cada localidad pero reconocidos a nivel regional. Afines a la teor´ıa de la complejidad, las manifestaciones rupestres son representaciones de espacios lisos e isotr´opicos que se leen en todas direcciones y sentidos siguiendo al c´odigo establecido. Las analog´ıas antropol´ogicas y arqueol´ogicas en los procesos universales de la fractalidad son m´as susceptibles a ser descubiertas en los grupos sociales donde las relaciones son complejas y din´amicas. Por ejemplo, la formulaci´ on de ritos de paso de Van Gennep (1986), la f´ormula del mito de L´evi- Strauss (1995) y la teor´ıa de la pr´actica de Bourdieu (1987), entre otros, son puntos que deben reconsiderarse para ser entendidos como procesos din´amicos no lineales en el mundo natural. De acuerdo con van Gennep, hay dos distinciones entre el tiempo secular o profano, el cual est´a adelantado, y el tiempo sagrado, en el que se da la restauraci´on del mundo a trav´es de los rituales. Este u ´ltimo es el tiempo que retorna a su nacimiento. Se asocia con los rituales de iniciaci´on, a veces denominados de renacimiento. Sus fases comienzan con la sacralizaci´on, por la cual el individuo profano muere y es arraigado de la moralidad plena. Le sigue la fase de marginalidad, en la cual el tiempo social ordinario es detenido y el individuo se encuentra en un espacio liminal. Finalmente se pasa a la fase de renacimiento, donde el individuo vuelve al mundo profano. Esto concierne a la din´amica no lineal de inversi´on o reversi´on y a su vez presenta una repetici´on fractal que se puede revelar en la actividad de pintar s´olo en ciertas barrancas. La cuesti´on simb´olica en el Valle del Mezquital fue abstracta, llen´andose con la materialidad cultural, y teniendo espacios sin l´ımites geogr´aficos. Es compartida por varios grupos que dan significado y atribuyen su origen a actos rituales similares a modo de fractal. La sobreposici´on de las pinturas por muchas generaciones o grupos locales, es una forma de reutilizar el espacio, ya sea en el mismo momento o en ´epocas sucesivas. Los rituales no fueron est´aticos sino continuos y al mismo tiempo, discontinuos, lo que confiere un estado de atractor topol´ogico: el ritual es atra´ıdo por un atractor. La posici´on de los signos as´ı como el soporte y la t´ecnica de grabado obedecen a la significaci´on que se quiere representar en cierto momento y ´epoca. Aunada a la interpretaci´on de autosimilitud en esta regi´on, la ideolog´ıa de grupos locales actuales (h˜ nh˜ nu ¨ -nahua) nos permite comprender ciertos atractores simb´olicos del pasado. Los h˜ nah˜ nu ¨ mantienen la idea de ser una unidad ´etnica, cuya lengua es la que realiza esta unificaci´on. De acuerdo con Jaques Galinier

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(1987), la comunidad es la que hace la identidad, el ooy (tierra) es la vivienda, el pueblo, las tierras del pueblo. Para los h˜ nh˜ nu ¨, el territorio es el centro del mundo, el origen de la comunidad. El tiempo se marca por rituales para la cuesti´on agr´ıcola. Sin embargo, el calendario no es general, pues es establecido de una forma local. Su concepci´on temporal se basa en las fases de la luna, una dualidad centrada en la muerte y el nacimiento, en la relaci´on fr´ıo y calor, en lo seco y lo h´ umedo. Las representaciones lunares son constantes en lo rupestre y, al parecer, los grupos antiguos de esta entidad, basaban su temporalidad tambi´en en la luna, si bien el ciclo solar fue importante por ser una cuesti´on global en Mesoam´erica (figura 6).

Figura 6. A la derecha, representaci´on lunar rupestre de Mandodo. A la izquierda se muestra la significaci´on que le da un custodio de la localidad de San Antonio Tezoquipan.

Lo anterior se cree tambi´en en el nahualismo y es representado por medio de figuras de papel, forma muy generalizada en la regi´on h˜ nah˜ nu ¨ - nahua- tepehua. Actualmente se utilizan distintos colores de papel, aunque el blanco es el m´as usado para las ceremonias de curaci´on. Los colores son importantes en la

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religiosidad y la concepci´on h˜ nah˜ nu ¨: el blanco representa las nubes o la piel del europeo; el amarillo y el naranja, la flor de cempas´ uchil; el oro, el rojo, el colorado, la cosmovisi´on, entre otros. Con respecto a la escritura, se considera como valioso saber de la tradici´on oral y la pictogr´afica, pero es importante recalcar que estos grupos integran en ella el espacio y el tiempo. Se trata entonces de una escritura compleja entre las palabras y las representaciones rupestres. Una de las interpretaciones de la dimensi´on est´a relacionada con la capacidad que ocupa un objeto en el espacio, ´esta ayudar´ a a dilucidar la determinaci´on del contenido matem´atico y simb´olico de las formas fractales. De esta forma, se considera que el fractal se caracteriza por un proceso que produce patrones de diferentes niveles de la realidad, sobre distintas escalas. En las manifestaciones rupestres la forma prototipo, as´ı como su ubicaci´on, obedecen a la interacci´on entre los actores humanos y la relaci´on simb´ olica que tienen con el medio. La selecci´on de graf´ıas va de acuerdo a ciertos rituales organizados en las propiedades colectivas de lugares particulares. Estos atractores son equivalentes en otros tipos de manifestaciones como c´odices, petrograbados y mitos h˜ nah˜ nu ¨ en donde la reproducci´on muestra escalas de auto-similaridad. Cuando se integra la noci´on de escala, principalmente la de fractal, se pueden encontrar patrones reproducidos en distintos niveles. Con los contornos de estos fractales, las bifurcaciones no s´olo caminan hacia un aspecto matem´atico, sino tambi´en metaf´orico y meton´ımico en las manifestaciones rupestres del Valle del Mezquital. Es preciso destacar que, aunque existe auto-similiridad y continuidad social de los patrones de repetici´on, dentro de los lugares prehisp´anicos hay diferencias minoritarias, las cuales a trav´es de un significante n´ umero de pasos muestran evidencia de fases de cambio y transformaci´on. Finamente, tal y como lo argumenta Duverger (2006, comunicaci´ on personal), hay distintos niveles de representaci´ on, aunque el significado tiene el mismo sentido, lo que implica que puede haber varias formas ic´onicas. Lo importante aqu´ı es la idea que se genera dentro del sistema mesoamericano para traducir las variaciones ic´onicas. As´ı, la escritura ideogr´afica mesoamericana puede leerse universalmente en el c´odigo aunque el idioma sea distinto (como el nahua o el h˜ nahn¨ u). Existe por tanto, una vocaci´on pluri´etnica, una homogeneidad y a la vez una heterogeneidad cultural de los grupos prehisp´anicos que habitaron el Valle del Mezquital.

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Ap´ endice Bibliogr´ afico. Arqueolog´ıa, Antropolog´ıa y Fractales

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El siguiente listado corresponde a una b´ usqueda bibliogr´afica sobre las investigaciones arqueol´ogicas y antropol´ogicas que han hecho alg´ un uso de la geometr´ıa fractal. Hay que hacer notar, ´esta no es exhaustiva, hay muchas m´as publicaciones que las seleccionadas aqu´ı. Las referencias relacionadas con la arqueolog´ıa son m´as completas, aunque no definitivas. En cuanto a los trabajos antropol´ogicos culturales, la lista parecer´ıa insuficiente, pero quien esto escribe no se especializa en este contexto as´ı que sus recursos fueron limitados. Tambi´en hay que se˜ nalar al lector que dentro de esta lista se han filtrado una serie de referencias que a primera vista no parecer´ıan muy cercanas a la arqueolog´ıa ni a la complejidad, pero que en la l´ınea anal´ıtica que se ha seguido en Sandoval y Vilanova (en esta publicaci´on) cobran cierta l´ogica; ejemplo de esto seria las referencias de Wallerstein. Otra aclaraci´on pertinente sobre los textos referidos es que no todos comparten el mismo est´andar, y habr´an de ser filtrados por el lector seg´ un sus objetivos de consulta. El objetivo consiste en presentar una panor´amica de c´omo la geometr´ıa fractal ha convivido en la arqueolog´ıa, y por lo tanto las omisiones son menores. Por ultimo, habr´a de notarse que muchas referencias son recursos de Internet, con las cuales se han tratado de emplear est´andares m´as selectivos. Por su origen, estas referencias constantemente se actualizan; por lo tanto en este aspecto el lector no deber´ıa conformarse con lo aqu´ı referido. 179

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