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• Junior Balabarca

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TEMA:

Antena Fractal – Dipolo de Koch

CURSO:

Antenas y Propagacion

FACULTAD: Ingenieria Industrial, Sistemas e Informatica E.A.P:

Ingenieria Electronica

CICLO:

VIII

PROFESOR: Ing. Delvis Morales ALUMNO:

Gallupe Palomino, Yorman

1 MARCO TEORICO.-

1.1 ANTENA FRACTAL

1.1.1

Introducción.-

La geometría tradicional, Euclidiana, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descritos por la geometría tradicional. La geometría fractal provee una representación y un modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Esta geometría está revolucionando diferentes áreas de la ciencia, desde la física, medicina, el procesamiento digital de señales hasta el diseño de antenas para las telecomunicaciones. Es así como durante la última década, investigadores han empezado a aplicar Fractales para diseños de antenas. Estas podrían parecer simples juegos geométricos, pero la teoría detrás de ellas, basadas en las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo y la geometría fractal, es compleja y se encuentra aún en desarrollo.

1.1.2

Definición.-

La geometría fractal ha tenido un rápido crecimiento, tocando áreas insospechadas, desde que Benoit Mandelbrot, creador del término fractal y padre de dicha geometría empezó a aglutinar los trabajos aislados de grandes matemáticos, convencido de su utilidad. Según Mandelbrot un fractal se puede definir como: “Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala que se produzca el examen“. Las primeras antenas diseñadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractales delgados, organizando los elementos en un patrón Fractal para reducir el número de elementos en el arreglo y obtener antenas de banda ancha o desempeño en múltiples bandas. Por ejemplo las antenas Logperiódica y Espiral. Actualmente se está trabajando con curvas y objetos fractales como los triángulos de Sierpinski, árboles fractales, curvas e islas de Kock, que minimicen el área de la antena, aprovechando su capacidad natural multibanda.

Podemos decir que una antena fractal posee estas 3 principales características especiales:  Un gran ancho de banda y comportamiento multibanda. El rango de frecuencia es especificada por el tamaño más pequeño y más grande presente en la antena.  En la mayoría de los casos tienen una ganancia considerable, por encima de una antena dipolo normal, y esta ganancia depende muy poco de la frecuencia en un rango de frecuencias grande.  Poseen un patrón de radiación estable para un rango amplio de frecuencias.

1.1.3

Propiedades.-

El término fractal, se refiere a una categoría. Es un adjetivo que implica la evidencia de ciertas propiedades que posee el objeto categorizado. Sin embargo, es usada frecuentemente para designar al objeto en cuestión. Alguna de éstas propiedades son: autosimilidad, dimensión fraccionaria y no derivabilidad.

La autosimilaridad, nos dice que el objeto estudiado tiene copias reducidas de sí mismo a diferentes escalas, por lo tanto, cada parte del conjunto u objeto contiene la misma información que todo el conjunto.

La dimensión fraccionaria, propiedad importante y de la que se desprenden las demás, nos adentra en terrenos matemáticos más abstractos: la topología, que se apartan de los alcances de este artículo. Sin embargo podemos decir que las figuras, curvas y conjuntos fractales desafían la geometría Euclidea, ya que se sumergen en espacios de dimensiones que pueden ser fraccionarios. Una fórmula que ilustra esto, proveniente del concepto de dimensión de Hausdorff-Besicovitch es:

𝐷=

𝑙𝑜𝑔 𝑁 1 𝑙𝑜𝑔 𝛿

Donde N es el número de particiones o segmentos del objeto y δ es el tamaño de dichos segmentos. La rugosidad del fractal tiene una relación directa con su dimensión: mientras más rugoso es el fractal más próxima está su dimensión fraccionaria a la dimensión entera inmediatamente superior. Debido a su naturaleza fraccionada y discontinua, las figuras u objetos fractales, no poseen derivada en ningún punto contrastando con la naturaleza suave y continua de las funciones del cálculo. Existen numerosos y muy variados conjuntos fractales documentados hasta ahora y muchas formas de clasificarlos, por ejemplo: los polvos de Cantor, curvas de Koch, Peano, Hilbert, triángulos y alfombras de Sierpinski, fractales de Newton y Mandelbrot entre otros. Podemos hacer una clasificación de ellos en dos grandes grupos: determinísticos y no determinísticos o estadísticos. También podemos clasificarlos como fractales matemáticos (por iteración de números complejos y otras operaciones) y geométricos, aunque

todos tengan inevitablemente su representación gráfica. Esta clasificación se refiere al origen del algoritmo de recurrencia.

1.2 DIPOLO DE KOCH 1.2.1

Definición.-

El primer fractal estudiado es la curva de Koch. Cómo esta antena puede ser utilizada como dipolo se muestra en la figura. Este fractal trabaja como dipolo con dos curvas de Koch dispuestas de forma simétrica, alimentadas en su centro geométrico. Analizamos aquí las primeras cinco iteraciones de la curva. Es interesante observar cómo en estas antenas, los beneficios de la geometría fractal comienzan a disminuir si el número de iteraciones se incrementa más allá de unas pocas.

Comparemos, por tanto, las primeras cinco iteraciones con un dipolo recto clásico (iteración 0).

La figura anterior muestra la impedancia de entrada de los dipolos frente a la frecuencia. Se observa cómo la frecuencia de resonancia cae a medida que el número de iteraciones del fractal crece. La frecuencia de resonancia se aproxima a un límite de forma asintótica. Este límite representa la frecuencia que presentaría una curva de Koch ideal, si es que ésta pudiese fabricarse. Las curvas de impedancia de

entrada se muestran en la siguiente figura. Los patrones de radiación para las diferentes iteraciones se muestran a continuación. Todas se encuentran en resonancia.

1.2.2

Escala de Interacción.-

La capacidad de miniaturización de las antenas fractales se hace realmente patente al representar varias iteraciones, todas ellas resonantes a la misma frecuencia. Sin embargo, esta miniaturización muestra un alto grado de efectividad sólo para las primeras iteraciones. Se ha comprobado que la longitud total del fractal crece sin límites mientras que la reducción de tamaño tiende a un límite finito. Conclusión, un incremento desmesurado en la complejidad de la antena no resulta ventajoso. La estructura fractal sobre la que se realizarán las simulaciones es el dipolo de Koch, cuya forma se puede ver en la figura 1 para las tres primeras iteraciones (la iteración de orden 0 es el monopolo lineal). Se puede comprobar cómo la longitud total del hilo aumenta en cada una de las iteraciones, manteniéndose sin embargo constante la dimensión máxima de la antena. De esta forma se puede conseguir, aumentando consecutivamente el número de iteraciones, una longitud física del hilo arbitrariamente grande, infinita para el caso de la curva de Koch ideal, en un área finita.

La longitud total del hilo para un número de iteraciones 𝑁𝑖𝑡 viene dada por la siguiente expresión: 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜

4 𝑁𝑖𝑡 = ℎ( ) 3

Donde h: es la dimensión máxima de la antena, o longitud del monopolo de Koch de orden cero. Dado que al aumentar el número de iteraciones aumenta la longitud física del hilo, cabe pensar que se puede conseguir una resonancia a menor frecuencia conforme se aumente el orden del monopolo. Figura 1 : Las tres primeras iteraciones del dipolo de Koch. (La iteración de orden 0 es la antena lineal).

2 2.1

PROCEDIMIENTO.DISEÑO.-

Dipolo de koch, esta antena fractal trabaja como dipolo con dos curvas de Koch dispuestas de forma simétrica, alimentadas en su centro geométrico.

2.2

CARACTERÍSTICAS.-

 GROSOR DE LINEA: 1mm  LONGITUD: 16.6cm

Frecuencia (MHz)

Ganancia (dB)

ROE

450

5.3

1.5:1

900

9.2

1.2:1

1800

8.4

1.4:1

2.3 ITERACIONES.2.3.1

Dividimos la longitud de la rama del dipolo en 4 segmentos iguales.

2.3.2

Replegamos los dos angulos centrales hasta que formen un angulo de 60°. (1era Interacion)

2.3.3

Replegamos cada segmento resultante según lo especificado. (2da Interacion)

2.3.4

Repitamos la operación en los segmentos resusltantes. (3era Interacion)

Impedancia (Ohm)

50 50

50

3

APLICACIONES.-

Los diseños y aplicaciones de las antenas fractales son muchos, dado que el avance de los sistemas de comunicaciones y el importante incremento de otras aplicaciones de los sistemas inalámbricos, las antenas de banda ancha y de bajo contorno, tienen gran demanda tanto para aplicaciones comerciales como militares. Estas aplicaciones pueden ser: Celulares, trunking, beepers, pequeñas terminales satelitales, vehículos aéreos tipo UAV, encubridores, radares de apertura sintética, indicadores de blancos en movimiento, algunas aplicaciones también requieren antenas embebidas en la estructura exterior de vehículos. Se pueden resumir las aplicaciones actuales así:  Sistemas Móviles Celulares: Antenas en estaciones base y antenas en teléfonos receptores  Dispositivos de Micro ondas: Circuitos microcinta detectores de radio frecuencia (RFID), antenas micro cinta  Otras: Aeronáutica, sector automotor, comunicaciones marítimas y aplicaciones militares

4

CONCLUSIONES.-

La teoría de los fractales está abriendo un universo de posibilidades en la exploración de nuevas alternativas científicas para resolver y optimizar sistemas. Se están expandiendo rápidamente sus aplicaciones a campos insospechados: telecomunicaciones, medicina, electrónica, estadística, música, etc. Sus propiedades especiales como la autosimiliridad, rugosidad, dimensión fraccionaria, etc., se están empleando en el diseño de nuevas y mejores antenas que abrirán las posibilidades de las nuevas generaciones de sistemas de comunicaciones 3G y 4G, permitiendo una integración eficiente de los nuevos servicios. Actualmente los esfuerzos se centran principalmente en el diseño de antenas para los sistemas móviles, dando una solución barata, fácil y rápida. Sin duda, estos nuevos diseños se constituirán en una pieza clave en el avance de los sistemas de telecomunicaciones del futuro.

5

BIBLIOGRAFÍA.o o o o

MANDELBROT, Benoit. Los objetos Fractales en la naturaleza. GARCIA, Armando. Calculo de antenas: antenas de última generación para tecnología digital y métodos de medición. López, Marcial. Antenas Fractales. Montoya, Adrian. Antenas Fractales, un paso en la evolución de las telecomunicaciones.