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ÍNDICE Unidad 1 FUNDAMENTOS BASICOS DE INGENIERIA ECONOMICA

1.1 Concepto de ingeniería económica………………………………………………….4 1.2 Interés simple e interés compuesto ……………………………………………4,5,6,7 1.3 Equivalencia y diagrama de flujo………………………………………………......8,9 1.4 Factores de interés y su empleo:  factor de pago único……………………………………………………….10  factor valor presente……………………………………………………….10  factor valor único………………………………………………………….11,12  factor de serie uniforme…………………………………………………....13,14  factor de gradiente………………………………………………………....15  factor múltiple …………………………………………………………….16

Unidad 2 ANALISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSION

2.1 Análisis de Alternativas de Inversión……………………………………………….17    

Comparación de alternativas con Vidas útiles iguales. ………………………..17 Comparación de alternativas con Vidas útiles diferentes. …………...18,19,20,21 Costo Capitalizado. …………………………………………………………….22 Comparación de alternativas según el costo capitalizado………………………23

2.2 Método del Valor Anual…………………………………………………………….24  Método del Valor presente de Salvamento……………………………………...24  Método de recuperación de capital. ……………………………………………25  Comparación de alternativas por CAUE…………………………………25,26,28 2.3 Método de la tasa interna de retorno………………………………………………..28  Cálculo de la tasa interna de retorno para un proyecto único………………..28,29  Análisis Incremental. …………………………………………………………...29 2.4 Análisis Beneficio / Costo……………………………………………………………...32

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 Clasificación de beneficios, costo y Beneficio negativo para un proyecto Único…33  Selección de alternativas mutuamente excluyentes. ………………………………..35  Selección de alternativas mutuamente excluyentes utilizando el costo Incremental.38

2.5 Análisis de sensibilidad………………………………………………………………...39  La sensibilidad en las alternativas Inversión……………………….…….....39,40  Valor esperado y árbol decisión………………………….………………41,42,43

de de

UNIDAD 3

ANALISIS DE DEPRECIACIÓN E IMPUESTO

3.1 Modelos de depreciación……………………………………………………………….44  Terminología de la depreciación…………………………………………….......44,45  Depreciación en línea recta.……………………………………………………..…46  Otros Métodos de depreciación. ………….………………………...…46,47,48,49,50 3.2 Análisis después ………………………………………………………….52

de

impuesto.

 Terminología básica para los Impuestos sobre la renta. ……………………….......52  Ganancias y pérdidas de capital..………………………………………….....53,54.55  Efectos de los diferentes modelos de depreciación. …………………………56,57,58  Análisis después de impuestos utilizando los métodos de valor presente, valor anual y tasa interna de retorno……………………………………………………………59

UNIDAD 4

3

ANALISIS DE REMPLAZO 4.1 Técnicas de análisis de reemplazo…………………………………………………......61 4.2 Modelos de reemplazo de equipos………………………………………………...…..64 4.3 Factores de deterioro y obsolescencia. ………………………………………………..65 4.4 Determinación del costo mínimo de vida Útil. ……………………………...…….66,67 4.5 Análisis de sensibilidad…………………………………………………………....…..68  La sensibilidad en las alternativas de inversión …………………………………...69  Valor esperado y árboles de decisión……………………………………………....70

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1.1 Concepto de Ingeniería Económica La Ingeniería Económica es una especialidad que integra los conocimientos de ingeniería con los elementos básicos de la microeconomía. Su principal objetivo es la toma de decisiones basada en las comparaciones económicas de las distintas alternativas tecnológicas de inversión. Las técnicas empleadas abarcan desde la utilización de planillas de cálculo estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta procedimientos más elaborados, tales como análisis de riesgo e incertidumbre, y pueden aplicarse tanto a inversiones personales como a emprendimientos industriales. ―La misión de la ingeniería económica consiste en balancear dichas negociaciones de la forma más económica‖ .Principalmente la ingeniería económica propone formular, estimar y calcular los productos económicos cuando existen opciones disponibles para proceder con un propósito definido, en resumen, es un grupo de métodos matemáticos que facilitan las comparaciones económicas .

1.2 Interés simple Es el interés o beneficio que se obtiene de una inversión financiera o de capital cuando los intereses producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversión se deben únicamente al capital inicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los periodos. Los periodos de tiempo pueden ser años, trimestres, meses, semanas, días, o cualquier duración. O sea el interés se aplica a la cantidad inicial, los intereses no se agregan al capital

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Su fórmula está dada por:

Donde:   

es el interés simple obtenido del capital. es el capital invertido. es la tasa de interés asociada a cada periodo temporal expresada en tanto por uno (v.g., 0,04 = 4 %).



es el número de periodos temporales.

De esta primera fórmula se obtienen las siguientes, despejado las variables capital, tasa de interés y periodos temporales:







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1.2 INTERES COMPUESTO El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf). Para un período determinado sería Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses. Calculo del interés compuesto Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula mediante la fórmula

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

Repitiendo esto para un tercer período

y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

donde: es el capital al final del enésimo período es el capital inicial es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

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es el número de períodos Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea , así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

El resto de tasas pueden calcularse sin problemas a partir de la tasa de interés instantánea.

Obtención de los elementos de la fórmula del interés compuesto. De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y el número de períodos:

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el interés, despejando n en la última fórmula, obteniéndose:

El interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el número de períodos, despejándolo de esa misma fórmula:

.

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1.3 Equivalencia

Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero ;utilizado como modelo para simplificar aspectos de la realidad. Dos sumas son equivalentes (no iguales ), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA – valor actual ) recibir una suma de dinero hoy ( VA – Valor actual ) y recibir otra diferente (VF – valor futuro ) de mayor cantidad transcurrido un periodo; para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento y para ello utilizaremos las fórmulas de las matemáticas financieras. Ejemplo : un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación : VF= VA + COMPENSACION POR APLAZAR CONSUMO Al cabo de un año UM 100 invertido al 9 % anual, es um 109. En otras palabras : el valor actual de UM 109 dentro de un año, al 9 % ,es um 100. Es decir UM 100 es equivalente um 109 dentro d un año a partir de hoy cuando la tasa de interés es 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, UM 100 hoy no es equivalente a UM 109 dentro de un año. Aplicamos el mismo razonamiento al determinar la equivalencia para años anteriores.UM 100 hoy es equivalente a UM 100 / 1.09 = UM 91.74, es decir: UM 91.74 hace un año (anterior), UM 100 hoy y UM 109 dentro de un año (posterior) son equivalentes entre sí al 9% de capitalización o descuento. Con esto establecemos que: Estas tres sumas de dinero son equivalentes al 9% de interés anual, diferenciado por un año.

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1.3 Diagrama de flujo Los diagramas de flujo de efectivo son simples representaciones graficas de los ingresos y egresos, deben exhibir tanta información como sea posible. Es útil mostrar la tasa de interés, y podría ayudar a identificar que debe resolverse en un problema. Algunas veces puede clasificarse la situación al poner en línea punteada las flechas que representan los flujos de efectivo de magnitud desconocida.

Los requisitos obvios del diagrama de flujo de efectivo son información completa exactitud y legibilidad. La forma de saber si un diagrama está bien hecho es que alguien más pueda entender el problema con claridad. Si pasa esta prueba, es probable que usted no se confunda. Durante la construcción de un diagrama de flujo de efectivo, la estructura de un problema con frecuencia se hace distintiva. Por lo general es ventajoso definir primero el tiempo en el

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que ocurren los flujos de efectivo. Esto establece la escala horizontal, que se divide en periodos, por lo general en años. Los ingresos y desembolsos entonces se ubican en la escala de tiempo según las especificaciones del problema. Los pagos o recepciones individuales se designan por líneas verticales; las magnitudes relativas pueden sugerirse por la altura de las líneas, pero realizar una escala es una pérdida de tiempo. Si un flujo de efectivo es positivo o negativo depende del punto de vista que se representa, los diagramas del flujo de efectivo son medios para ayudar al tomador de decisiones a comprender y resolver estos problemas.

1.4 Factores de interés y su empleo La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado posteriormente. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores presentes y valores futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa de interés. A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizaren las fórmulas financieras de pagos únicos: P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero. F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado. n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre lo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo necesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o no presentar en forma continua según la situación que se evaluando. i :Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la financiación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago único es compuesto. 1.4 Factor Valor presente El Valor Presente es el valor actual de un Capital que no es inmediatamente exigible es (por oposición al valor nominal) la suma que, colocada a Interés Compuesto hasta su vencimiento, se convertiría en una cantidad igual a aquél en la época de pago. Comúnmente se conoce como el valor del dinero en Función del Tiempo.

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El valor presente de una suma que se recibirá en una fecha futura es aquel Capital que a una tasa dada alcanzará en el período de Tiempo, contado hasta la fecha de su recepción, un monto igual a la suma a recibirse en la fecha convenida. el concepto de Valor Presente, supongamos que se recibirán $ 1.000 después de un año. Si el Costo de oportunidad de los fondos es 8%, la pregunta es: ¿qué suma de Dinero de hoy llegará a ser igual a $ 1.000 después de un año con un Interés de 8%? Para encontrar el valor presente (VP)se divide el valor final por la tasa de interés, operación que se conoce como actualización o Descuento, de la siguiente forma: VP = $1.000 /1.07 = $ 934,58 De manera similar, el valor presente de $ 1.000 que se recibirán dentro de dos años es igual a: $1.000 /(1.07)2 = $ 873,44 Generalizando la fórmula, el valor presente (VP) de un Capital K, que se recibirá al final del año n, a una tasa de interés r, es igual a: VP =K/(1+r)n El concepto de valor presente permite apreciar las diferencias que existen por el hecho de poder disponer de un Capital en distintos momentos del Tiempo, actualizados con diferentes tasas de descuento. Es así que el valor presente varía en forma inversa el período de Tiempo en que se recibirán las sumas de Dinero, y también en forma inversa a la tasa de Interés utilizada en el descuento. 1.4 Factor Valor futuro

El cálculo del valor futuro muestra cuánto dinero obtendrás por depositar una suma de dinero con una tasa de interés. El valor futuro es útil para calcular retornos en inversiones como una caja de ahorro certificados de depósito. La fórmula para el valor futuro tiene dos partes: calcular el factor del valor futuro, que es uno más la tasa de interés, que luego es elevado a la potencia igual a la cantidad de períodos. La segunda parte es el valor futuro y multiplica el valor inicial por el factor de valor futuro.

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El valor futuro de la serie uniforme ordinaria es un pago único futuro, el cual está ubicado al final del plazo o término de la serie, exactamente donde ocurre el último pago y además es equivalente a las N cuotas de valor R cada una y situadas al final de cada intervalo de pago. Para determinar el valor futuro F, se establece una ecuación de valor con fecha focal N, por facilidad, de la siguiente forma:

F = R + R (1+i) + R(1+i)2 + ... + R(1+i)N-1 Factorizamos R:

La suma de los términos dentro del corchete, conforman otra progresión geométrica donde a = 1, r = (1+i) y tiene N términos. Reemplazando en la ecuación de valor:

Simplificando:

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Esta fórmula sirve para hallar el valor futuro de la serie uniforme ordinaria.

1.4 Factor de serie uniforme La característica de la serie uniforme es la ocurrencia de los pagos al principio de cada intervalo de pago. El primer pago ocurre al principio de cada intervalo de pago, el segundo pago ocurre al principio del segundo pago y así sucesivamente hasta el último pago que ocurre al principio del ultimo intervalo de pago. Veamos la forma general de esta serie en un diagrama de flujo de caja:

En esta forma general hay que destacar algunos detalles útiles para la comprensión de esta serie: El valor presente esta en 0, exactamente donde ocurre el primer pago. El valor futuro esta en N, un periodo después de efectuar el último pago. El plazo o termino de la serie abarca desde el principio del primer intervalo de pago, hasta el final del ultimo intervalo de pago. La tasa de interés periódica i, siempre debe corresponde a la tasa de interés periódica vencida y en ningún evento se debe considerar la tasa de interés periódica anticipada, la serie anticipada se refiere a la ocurrencia de los pagos y no a la periodicidad de ocurrencia de la tasa. La equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme anticipada, como en todos los sistemas de amortización equivalentes de pago, también se da.

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1.4 VALOR PRESENTE DE LA SERIE UNIFORME ANTICIPADA El valor presente de la serie uniforme anticipada es un pago único presente de valor P, el cual esta en 0, exactamente donde ocurre el primer pago y el cual es equivalente a N cuotas de valor R cada una y efectuadas al principio de cada intervalo de pago. Para hallar el valor presente, se debe entonces establecer una ecuación de valor como lo hemos venido realizado. Seleccionemos como fecha de comparación el periodo –1 y observemos como la serie se asemeja a una serie vencida u ordinaria.

A la ecuación de valor presente de la serie anticipada, también podríamos llegar, convirtiendo la serie anticipada en serie ordinaria, simplemente multiplicando el valor del pago de la serie anticipada por el factor (1+i), así los pagos tendrían el valor de R?(1+i) pero estos ocurrirían al final del intervalo de pago, la cual es la característica de la serie ordinaria. Lo que realmente hemos realizado, es convertir la serie anticipada en ordinaria, de la siguiente forma:

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Para hallar el valor presente de esta serie, multiplicamos el valor del pago R*(1+i) por el factor que convierte una serie ordinaria en un pago único presente [(1-(1+i)-N÷i]. P=R*(1+I)*[(1-(1+i)-N)÷i]. Esta es la misma ecuación a la cual se había llegado, para hallar el valor presente de la serie anticipada.

1.4 Factor de gradiente Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La cantidad del aumento o disminución es el gradiente. Por ejemplo, si un ingeniero industrial predice que el mantenimiento de un robot aumentara en $ 500 anuales hasta que la maquina se desecha, hay una serie de gradiente relacionada y el gradiente es$ 500.Las formulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen cantidades de final de año de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera que es preciso derivar nuevas fórmulas. Primero suponga que el flujo de efectivo al final del año es 1 no forma parte del gradiente, sino que es una cantidad base. Esto es conveniente porque en las aplicaciones reales la cantidad base en general en mayor o menor que el aumento disminución del gradiente. Por ejemplo, si una persona compra un automóvil usado con una garantía de un año, se podría esperar que durante el primer año de operación tuviera que pagar tan solo la gasolina y el seguro. Suponga que dicho costo es de $ 1500; es decir, $ 1500 es la cantidad base. Después del primer año, la persona tendría que solventar el costo de las reparaciones, y

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razonablemente se esperaría que tales costos aumentaran cada año. Si se estima que los costos totales aumentaran en $ 50 cada año, la cantidad del segundo año sería $ 1550, al tercero $ 1600, y así sucesivamente hasta el año n, cuando el costo total seria $1550 + (n - 1) 50. El diagrama de flujo de efectivo para esta operación se muestra en la parte inferior. Observe que el gradiente ($ 50) aparece por primera vez entre los años 1 y 2, y la cantidad base no es igual al gradiente. El símbolo G para los gradientes de defino como :G cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

1.4 Factor múltiple Los factores múltiples se aplican para las condiciones establecidas una serie uniforme comienza en el periodo uno, un gradiente se inicia en el periodo dos. Sin embargo en los proyectos de ingeniería se ubican de las cantidades no siempre obedece a los patrones mencionados. En la figura se presenta un proyecto de mayor tamaño para el cual no se aplican las fórmulas como fueron deducidas, puesto que cuenta con inversiones en varios años y con ingresos netos que aumentan con el mayor uso de la capacidad instalada.

Diagrama de flujo de caja de un proyecto de ingeniería

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Capitulo II Análisis de Alternativas de Inversión 2.1 Método del Valor Presente. Comparación de alternativas con vidas útiles iguales. Este método se emplea para comparar proyectos con igual vida útil (duración); y su comparación es directa. Si las alternativas se utilizaran en idénticas condiciones, se denominan alternativas de igual servicio y los ingresos anuales tendrán el mismo valor numérico. El proceso del método del Valor Presente Neto es el mismo que se usó para encontrar el valor de P, es decir la cantidad en el presente.

Ejemplo: 1. Cierta empresa tiene que decidir entre 2 activos (equipos para un proceso de producción). La duración de estos activos se estima en 5 años. ACTIVO A.INVERSION: $16 000.VALOR DE SALVAMENTO O RESCATE: $4 000.INGRESOS: EGRESOS:DIFERENCIAS:A�O:1: $7 500. $3 000. $4 500.2. $9 500. $4 000. $5 500.3. $11 000. $5 000. $6 000.4. $12 500. $5 500. $7 000.5. $14 000. $6 000. $12 000.ACTIVO B.INVERSION: $15 000.VALOR DE RESCATE O SALVAMENTO: $3 500I NGRESO: EGRESOS: DIFERENCIA:AÑO1 $10 500 $4 000 $6 5002 $10 500 $3 500 $7 0003 $10 500 $3 000 $7 5004 $10 500 $2 500 $8 0005 $10 500 $2 000 $12 000

Si la trema de la empresa es del 25 %, ¿Qué activo recomendar a adquirir? Solución (miles de pesos): VPNA = -16 + 4.5 (P/F, 25%, 1) + 5.5 (P/F, 25%, 2) + 6 (P/F, 25%, 3) + 7 (P/F, 25%,4) + 12 (P/F, 25%, 5). VPNA = 0.99136 miles de pesos. VPNB = -15 +6.5 (P/F, 25%,1) +7 (P/F, 25%, 2) + 7.5 (P/F, 25 %, 3) + 8 (P/F, 25%, 4)

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+ 12 (P/F, 25%, 5). VPNB = 5.72896 miles de pesos. Como VPNA > VPNB por lo tanto se recomienda adquirir el activo B.

COMPARACION DE ALTERNATIVAS CON VIDAS IGUALES Tienen capacidades de alternativas idénticas para un mismo periodo de tiempo Guía para seleccionar alternativas: 1. Para una sola alternativa: Si el VP es > o = a ―0‖, entonces la Tasa de Interés es lograda o excedida y la alternativa es financieramente viable. 2. Para 2 o más alternativas: Se selecciona la alternativa menos negativa o la más positiva. Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes El método del valor presente para comparar alternativas mutuamente excluyentes que tienen vidas diferentes, se sigue un procedimiento similar al anterior, pero con una excepción: Las alternativas deben compararse durante el mismo número de años. Esto es necesario pues, una comparación comprende el cálculo del valor presente equivalente de todos los flujos de efectivo futuros para cada alternativa. Una comparación justa puede realizarse sólo cuando los valores presentes representan los costos y las entradas asociadas con un servicio igual. La imposibilidad de comparar un servicio igual siempre favorecerá la alternativa de vida más corta (para costos), aún si ésta no fuera la más económica, ya que hay menos periodos de costos involucrados. El requerimiento de servicio igual puede satisfacerse mediante dos enfoques: as durante un periodo de tiempo igual al mínimo común múltiplo (MCM) de sus vidas.

no necesariamente considera las vidas de las alternativas. Este se denomina el enfoque de horizonte de planeación.

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Para el enfoque MCM, se logra un servicio igual comparando el mínimo común múltiplo de las vidas entre las alternativas, lo cual hace que automáticamente sus flujos de efectivo extiendan al mismo periodo de tiempo. Es decir, se supone que el flujo de efectivo para un ―ciclo‖ de una alternativa debe duplicarse por el mínimo común múltiplo de los años en términos de dinero de valor constante. Entonces, el servicio se compara durante la misma vida total para cada alternativa. Por ejemplo, si se desean comparar alternativas que tienen vidas de 3 y 2 años, respectivamente, las alternativas son evaluadas durante un periodo de 6 años. Es importante recordar que cuando una alternativa tiene un valor de salvamento terminal positivo o negativo, éste también debe incluirse y aparecer como un ingreso en el diagrama de flujo de efectivo de cada ciclo de vida. Es obvio que un procedimiento como éste requiere que se planteen algunos supuestos sobre las alternativas en sus ciclos de vida posteriores. De manera específica, estos supuestos son: Las alternativas bajo consideración serán requeridas para el mínimo común múltiplo de años o más. Los costos respectivos de las alternativas en todos los ciclos de vida posteriores serán los mismos que en el segundo. El segundo supuesto es válido cuando se espera que los flujos de efectivo cambien con la tasa de inflación o de deflación exactamente, lo cual es aplicable a través del periodo de tiempo MCM. Si se espera que los flujos de efectivo cambien en alguna otra tasa, entonces debe realizarse un estudio del periodo con base en el análisis de VP. Esta aseveración también se cumple cuando no puede hacerse el supuesto durante el tiempo en que se necesitan las alternativas. Para el segundo enfoque del periodo de estudio, se selecciona un horizonte de tiempo sobre el cual debe efectuarse el análisis económico y sólo aquellos flujos de efectivo que ocurren durante ese periodo de tiempo son considerados relevantes para el análisis. Los demás flujos de efectivo que ocurran más allá del horizonte estipulado, bien sea que ingresen o que salgan, son ignorados. Debe hacerse y utilizarse un valor de salvamento realista estimado al final del periodo de estudio de ambas alternativas. El horizonte de tiempo seleccionado podría ser relativamente corto, en especial cuando las metas de negocios de corto plazo son muy importantes, o viceversa. En cualquier caso, una vez que se ha

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seleccionado el horizonte y se han estimado los flujos de efectivo para cada alternativa, se determinan los valores VP y se escoge el más económico. El concepto de periodo de estudio u horizonte de planeación, es de particular utilidad en el análisis de reposición. Ejemplo: Un administrador de planta está tratando de decidir entre dos máquinas excavadoras con base en las estimaciones que se presentan a continuación: Máquina A Máquina B Costo inicial P

11000

18000

Costo anual de operación

3500

3100

Valor de salvamento

1000

2000

Vida (años)

6

9 una comparación de valor presente

utilizando una tasa de interés del 15% anual.

salvamento cambien, ¿Cuál alternativa debe seleccionarse? ionada en un horizonte de 6 años si se estima que el valor de salvamento de la máquina B es de $6000 después de 6 años? Solución:

que es 18 años. Para ciclos de vida posteriores al primero, el primer costo se repite en el año 0 del nuevo ciclo, que es el último año del ciclo anterior. Estos son los años 6 y 12 para la máquina A y al año 9 para la máquina B. VPA

=

-11000-11000(P/F,15%,6)-11000(P/F,15%,12)-3500(P/A,15%,18)

+1000(P/F,15%,6)+1000(P/F,15%,12)+1000(P/F,15%,18) = -$38599.20

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VPB

=

-18000-18000(P/F,15%,9)

-

3100(P/A,15%,18)

+

2000(P/F,15%,9)

+

2000((P/F,15%,18) = $41384.00 Se selecciona la máquina A puesto que cuesta menos en términos de VP que la máquina B. Para un horizonte de planeación a 5 años no se necesitan repeticiones de ciclo y VSA = $1000 y VSB = $2000 en el año 5. El análisis VP es: VPA = -11000 - 3500(P/A,15%,5) + 1000(P/F,15%,5) = -$22235.50 VPB = -18000 - 3100(P/A,15%,5) + 2000(P/F,15%,5) = -$27397.42 La máquina A sigue siendo la mejor selección.

VPA = -11000 - 3500(P/A,15%,6) + 1000(P/F,15%,6) = -$23813.45 VPB = -18000 - 3100(P/A,15%,6) + 6000(P/F,15%,6) = -$27138.15 Definitivamente la máquina A es la mejor alternativa.

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Costo Capitalizado. Se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida útil se considera perpetua. Puede considerarse también como el valor presente de un flujo de efectivo perpetuo, como por ejemplo: carreteras, puentes, etc. También es aplicable en proyectos que deben asegurar una producción continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados periódicamente. La comparación entre alternativas mediante costo capitalizado es realizada con la premisa de disponer de los fondos necesarios para reponer por ejemplo un equipo, una vez cumplida su vida útil. La ecuación para obtener el costo capitalizado se obtiene de:

Dónde: P= Valor PRESENTE. A= Anualidad o serie de pagos constantes e iguales. i= tasa de interés. n= número de periodos. Si el numerador y el denominador se dividen entre

, la ecuación del numerador se

transforma en: medida que n tiene a ∞ el término del numerador se convierte en 1 produciendo así:

Procedimiento para calcular el CC 1. -Encuentre el Valor presente de todas las cantidades no recurrentes (por ejemplo: inversión inicial, pagos extraordinarios, valor de recuperación, etc.). 2. -Encuentre el valor anual uniforme (VA) de todas las cantidades recurrentes que ocurren en los años 1 a ∞ (por ejemplo: manteniendo mensual, pagos

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extraordinarios recurrentes, etc.) y divídalo entre la tasa de interés (se aplica la fórmula P=A/i). 3. -Se suman las cantidades obtenidas en los pasos 1 y 2.

Comparación de alternativas según el costo capitalizado. Se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida útil se considera perpetua. Puede considerarse también como el valor presente de un flujo de efectivo perpetuo, como por ejemplo: carreteras, puentes, etc. También es aplicable en proyectos que deben asegurar una producción continua, en los cuales los activos deben ser reemplazados periódicamente. La comparación entre alternativas mediante costo capitalizado es realizada con la premisa de disponer de los fondos necesarios para reponer por ejemplo un equipo, una vez cumplida su vida útil. La ecuación para obtener el costo capitalizado se obtiene de: Dónde: P= Valor PRESENTE. A= Anualidad o serie de pagos constantes e iguales. i= tasa de interés. n= número de periodos. Sí el numerador y el denominador se dividen entre (1 + i)n, la ecuación del numerador se transforma en: A medida que n tiene a ∞ el termino del numerador se convierte en 1 produciendo así:

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2.2 Método del Valor Anual Método del Valor presente de Salvamento. El valor del valor presente también convierte las inversiones y valores de salvamento en un VA. El valor presente de salvamento se retira del costo de inversión inicial y la diferencia resultante es anualizada con el factor A/P durante la vida del activo. La ecuación general es: VA= [-P +VS(P/F, i, n )](A/P, i, n )

Los pasos para determinar él VA del activo completo son: 1.- Calcular el valor presente del valor de salvamento mediante el factor P/F. 2.- Combinar el valor obtenido en el paso 1 con el costo de inversión P. 3.- Anualizar la diferencia resultante durante la vida del activo utilizando el factor A/P. 4.- Combinar cualquier valor anual uniforme con el valor del paso 3 .5.- Convertir cualquier otro flujo de efectivo en un valor anual uniforme equivalente y combinar con el valor obtenido en el paso 4.

Ejemplo: Calcule él VA de un aditamento de tractor que tiene un costo inicial de $8,000 y un valor de salvamento de $500 después de 8 años. Se estima que los costos anuales de operación para la máquina son$900 y se aplica una tasa de interés del 20% anual. VA= [-8,000+500(P/F , 20%, 8)](A/P , 20%, 8)-900= $-2,955 VA= [-P +VS (P/F, i, n )] (A/P ,i , n ) Datos: P= $9,000 VS= $700

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n= 9años i= 25% anual A= $1100 Método de recuperación de capital Para calcular el CAUE de un activo con un valor de salvamento es el método de recuperación de capital más intereses; la ecuación general para este método es: Ec. Se reconoce que se recuperara el valor de salvamento si se resta el valor de salvamento del costo de la inversión antes de multiplicar por el factor A/F. Sin embargo, el hecho de que el valor de salvamento no se recuperara’ para n años debe tenerse en cuenta al sumar el interés (VSi) perdido durante la vida útil del activo. Al no incluir este término se supone que el valor de salvamento se obtuvo en el año cero en vez del año n. Los pasos que deben seguirse para este método son los siguientes: 1) Restar el valor de salvamento del costo inicial. 2) Anualizar la diferencia resultante con el factor A/P. 3) Multiplicar el valor de salvamento por la tasa de interés. 4) Sumar los valores obtenidos en los pasos 2 y 3. 5) Sumar los costos anuales uniformes al resultado del paso 4. Ejemplo: Utilice los valores del ejemplo del tema anterior para calcular el CAUE por medio del método de recuperación de capital más interés. Comparación de alternativas por CAUE.

El método del costo anual uniforme equivalente para comparar alternativas es probablemente la más simple de las técnicas de evaluación de alternativa expuestas . La selección se hace con base en el CAUE, siendo la alternativa de menor costo la más favorable. Obviamente, la información no cuantificable debe ser considerada también para llegar a la solución final, pero en general se seleccionaría la alternativa con el menor CAUE.

26

Tal vez la regla más importante que es necesario recordar al hacer comparaciones por medio del CAUE es que solo se debe considerar un ciclo de la alternativa. Esto supone, evidentemente, que los costos en todos los periodos siguientes serán los mismos. Ejemplo: Los costos siguientes se han propuesto a una planta de conservas para 2 maquina iguales para pelar tomates:

Si la tasa mínima de retorno requerida es del 15 %, ¿que maquina seleccionaría usted?

27

Solución: El diagrama de flujo de caja para cada alternativa se muestra en la fig. 3.2.4. A. El CAUE para cada máquina utilizando el método de amortización de fondo de salvamento, se calcula con la siguiente ecuación:

Se selecciona la maquina B, dado que CAUEB < CAUEA.

28

2.3 Método de la tasa interna de retorno.

Tasa interna de retorno. TIR: La tasa interna de retorno, es la tasa que obtienen los recursos o el dinero que permanece atado al proyecto. Es la tasa de interés a la cual el inversionista le presta su dinero al proyecto y es característica del proyecto, independientemente de quien evalué. La TIR es la tasa de interés que hace que la ecuación fundamental se cumpla, por lo tanto para su cálculo establecemos una ecuación de valor con fecha focal en el presente, en el futuro o al final de cada periodo como lo hicimos ante cedentemente. Ilustremos el concepto y el cálculo de la TIR con un sencillo ejercicio: Flujo de caja del proyecto:

29

La TIR, como se ha mencionado es la tasa que el proyecto le reconoce al inversionista sobre lo que le adeuda. En este caso el inversionista inicialmente le presta al proyecto $100, los cuales a final del primer periodo ascienden a $130, porque la tasa que reconoce es del 30%. Al final del primer periodo el proyecto cancela $60 por consiguiente el nuevo saldo es $70 y sobre este valor cancela una tasa del 30% por el segundo periodo para un total al final de este de $71, pero como cancela $41, el proyecto queda debiendo $50, los cuales cancela con $65 al final del tercer periodo. Se ha demostrado que realmente el proyecto reconoce una tasa del 30% periódico sobre los saldos adeudados al final de cada periodo. Lo anterior narrado es más fácil demostrarlo con una tabla de amortización:

Para tomar la decisión con la TIR la debemos de comparar con la rentabilidad obtenida en otras alternativas análogas, como por ejemplo, con los mismos niveles de riesgo. Esta rentabilidad de invertir en oportunidades similares es la tasa de interés de oportunidad o el costo de capital promedio ponderado (CCPP) del cual hablaremos un poco más adelante. En resumen, cuando: o

TIR>CCPP Aceptar el proyecto.

o

TIR1,

y

justificada.

, pueden eliminarse

inmediatamente y no necesitan considerarse en el análisis incremental. Sin embargo, en un análisis B/C por lo común es conveniente calcular una relación B/C general para cada una alternativa, ya que el VP total o el CAUE deben calcularse como preparación para el análisis incremental.

37

Ejemplo 1: Se han sugerido 4 localizaciones para construir, entre las cuales debe elegirse una. La información de cada lugar esta detallada en la tabla 3.4.3.A. El FCDI anual varía debido a las diferentes estructuras tributarias, a los costos de trabajo, a los costos de trabajo y los costos de transporte que resultan en diferentes ingresos y desembolsos anuales. La TMAR es del 10% después de impuestos. Aplique el análisis B/C incremental para seleccionar la alternativa más ventajosa.

SOLUCION: Las alternativas se clasifican primero de menor a mayor costo inicial de inversión. El siguiente paso es calcular la relación B/C general y eliminar aquellas alternativas que tienen B/C general = 1.0; como se muestra en la tabla 3.4.3.B, se puede eliminar la localización C con base en su relación B/C general (0.97). Todas las otras alternativas son aceptables y, por lo tanto, deben compararse de acuerdo con su base incremental.

38

Los

beneficios

Beneficios

y

costos

incrementales:

incrementales

Aumento

en

pueden

el

valor

determinarse

presente

como

del

FCDI

sigue:

entre

Alternativas. Costo incremental: Aumento en el costo ini9cial entre alternativas. En la tabla 3.4.3.B, se da un resumen del análisis B/C incremental. Usando como defensor (A) la alternativa aceptable que tenga menor costo de inversión y como retador (B) la siguiente alternativa aceptable que tenga el menor costo de inversión, la relación B/C incremental es de 1.64, indicando que se selecciona la localización B y no la A (por lo tanto A ya no será considerada): Usando B como defensor y D como retador, el análisis incremental da un B/C incremental = 0.88, favoreciendo la localización B. Ya que esta localización tiene una relación incremental mayor a 1.0 y es la mayor inversión justificada, se selecciona. Comentario: Usted debe reconocer que la selección de alternativas no debería hacerse con base en la relación B/C general, aunque todavía se seleccionaría la localización B, confidencialmente en este caso. También debe justificarse la inversión incremental con el fin de seleccionar la mejor alternativa. Selección de alternativas mutuamente excluyentes utilizando el costo Incremental. Si B/C = 1.0. Se elimina al defensor y la Siguiente alternativa es ahora el retador. Calcule los costos incrementales

(¢C) y beneficios Incrementales

relaciones: ¢C = Costo del retador – costo del defensor ¢B = Beneficios del retador – Beneficios del defensor Si se estiman los costos de usos relativos para cada alternativa En lugar de beneficios directos, ¢B se puede determinar Mediante la siguiente relación: ¢B = costos de uso del defensor – costos de uso del retador.

(¢B) usando las

39

6. Calcule el B/C incremental para el primer retador comparado con el defensor. B/C = ¢B/¢C Si el B/C incremental >=1.0, el retador se convierte en el defensor, y se elimina el defensor anterior. Por el contrario, si El B/C incremental 0, se recomienda Adquirir el activo. Al interpolar estas 2 últimas variaciones de las tasa de interés (15 % y 10 %), se obtiene una TREMA del 13.3853 % cuando el VPN = 0. Como conclusión se puede mencionar que el proyecto no es sensible a la variación de la trema, ya que se requeriría que esta tasa fuese muy baja (menor a 13.3853 %), para caer en el error de aceptar dicho proyecto

41

Valor esperado y árbol de decisión.

Las decisiones de inversión son probablemente las decisiones más difíciles y las más importantes Estas

que

decisiones

enfrenta

la

generalmente

alta

administración,

demandan

grandes

por

varias

cantidades

de

razones. dinero.

Los efectos de una decisión no son inmediatos. Los efectos negativos de una mala decisión repercuten tremendamente en la posición financiera de la empresa y en las metas a largo plazo fijadas por la misma. Las inversiones son la implantación de una estrategia. Las decisiones de inversión son caracterizadas por un grado alto de incertidumbre. Las decisiones generalmente se basan en predicciones. Se han desarrollado métodos sencillos y sofisticados para el manejo de incertidumbre como el valor esperado y árboles de decisión.

El valor esperado se puede interpretar como un resultado promedio a largo plazo si se repitiese varias veces el proyecto.

El valor esperado E (X) se puede calcular por medio de la relación:

(m = 1,2,…, n) Ec. 6.2.A.a.

Donde

X

=

valor

especifico

de

la

variable.

P (X) = probabilidad de que ocurra un valor específico. El enfoque de árboles de decisión es un método conveniente para representar y analizar una serie de inversiones hechas a través del tiempo. La técnica de árboles de decisión consiste básicamente en los siguientes pasos: 1. Construir el árbol de decisión. Para la construcción del árbol es necesario considerar las diferentes alternativas o cursos de acción y los posibles eventos asociados a cada curso de acción. En la construcción de este árbol un

significa un punto de decisión, es decir, en

este punto un curso de acción (el más adecuado) debe ser seleccionado. Un O representa los posibles eventos asociados a un curso de acción. Por ejemplo, si actualmente se analiza la

42

posibilidad de producir un nuevo producto el cual requiere de la construcción de una nueva planta, los posibles cursos de acción serían;

Sin embargo, a cada curso de acción se le puede asociar una serie de eventos. Por ejemplo, es obvio que si se construye la planta pequeña, la demanda del producto puede ser baja, media o alta. Lo anterior se representa en árboles de decisión de la forma siguiente:

2. Determinar los flujos de efectivo de cada una de las ramas del árbol. 3. Evaluar las probabilidades de cada una de las ramas del árbol obtenido en el paso anterior. 4.

Determinar

el

valor

presente

de

cada

una

de

las

ramas

del

árbol.

5. Resolver el árbol de decisión con el propósito de ver cuál alternativa debe ser seleccionada. La técnica de solución es muy simple y muy similar a programación dinámica para atrás (algunos autores de libros en inglés le llaman a esta técnica "rollback procedure", o "rolling backward").Con esta técnica se comienza en los extremos de las ramas del árbol de decisión y se marcha hacia atrás hasta alcanzar el nodo inicial de decisión. A través de este recorrido, se deben de utilizar las siguientes reglas:

a) Si el nodo es un nodo de posibilidad O, se obtiene el valor esperado de los eventos asociados a ese nodo.

43

b) Si el nodo es un nodo de decisión

, entonces se selecciona la alternativa que

maximiza o minimiza los resultados que están a la derecha de ese nodo.

44

UNIDAD 3 ANALISIS DE DEPRECIACIÓN E IMPUESTO Terminología de la depreciación Concepto de depreciación. La depreciación es la disminución en el valor de mercado de un bien, la disminución en el valor de un activo para su propietario, o la asignación del costo de uso o demerito de un activo a lo largo de su vida útil (duración). Depreciación: es una disminución en el valor de la propiedad debido al uso, al deterioro y la caída en desuso. Existen varias razones por las cuales un activo puede disminuir su valor original. De esta manera una maquina puede estar en perfecto estado mecánico, puede valer considerablemente menos que cuando era nueva debido a los adelantos técnicos en el campo de la maquinaria. Sin tomar en cuenta la razón de la disminución del valor de un activo, la depreciación debe ser considerada en los estudios de ingeniería económica. El mayor efecto de la depreciación en los cálculos de la ingeniería económica se observa en lo que se refiere al impuesto sobre la renta. Es decir, los impuestos sobre la renta se pagan sobre la entrada neta menos la depreciación; por lo tanto, esta disminuye los impuestos pagados y permite que la compañía retenga algo de sus ingresos para el reemplazo de equipos y para realizar inversiones adicionales. A continuación de definen algunos términos comúnmente utilizados en depreciación. La terminología es aplicable a corporaciones lo mismo que a individuos que poseen activos depreciables. Costo inicial: También llamado base no ajustada, es el costo instalado del activo que incluye el precio de compra, las comisiones de entrega e instalación y otros costos directos depreciables en los cuales se incurre a fin de preparar el activo para su uso. El término base no ajustada, o simplemente base, y el símbolo B, se utilizan cuando el activo es nuevo. Periodo de recuperación: Es la vida depreciable, n, del activo en años para fines de depreciación (y del ISR). Este valor puede ser diferente de la vida productiva estimada debido a que las leyes gubernamentales regulan los periodos de recuperación y depreciación permisibles.

45

Valor de mercado: Es la cantidad estimada posible si un activo fuera vendido en el mercado abierto. Debido a la estructura de las leyes de depreciación, el valor en libros y el valor de mercado pueden ser sustancialmente diferentes. Tasa de depreciación: También llamada tasa de recuperación, es la fracción del costo inicial que se elimina por depreciación cada año. Esta tasa puede ser la misma cada año, denominándose entonces tasa en línea recta, o puede ser diferente para cada año del periodo de recuperación. Valor de salvamento: Es el valor estimado de intercambio o de mercado al final de la vida útil del activo. El valor de salvamento, VS, expresado como una cantidad en dólares estimada o como un porcentaje del costo inicial, puede ser positivo, cero ó negativo debido a los costos de desmantelamiento y de exclusión. Propiedad personal: Está constituida por las posesiones tangibles de una corporación, productoras de ingresos, utilizadas para hacer negocios. Se incluye la mayor parte de la propiedad industrial manufacturera y de servicio: vehículos, equipo de manufactura, mecanismos de manejo de materiales, computadores, muebles de oficina, equipo de proceso de refinación y mucho más. Propiedad real: Incluye la finca raíz y las mejoras a ésta y tipos similares de propiedad, por ejemplo: edificios de oficinas, estructuras de manufactura, bodegas, apartamentos. La tierra en sí se considera como propiedad real, pero no es depreciable. Convención de medio año: Supone que se empieza a hacer uso de los activos o se dispone de ellos a mitad de año, sin importar cuándo ocurren realmente tales eventos durante el año.

El valor en libros de un activo se refiere a la diferencia entre su costo original y la cantidad total de depreciación cargada hasta la fecha. Es decir, el valor en libros representa el valor actual

de

un

activo

tal

como

aparece

en

los

libros

de

contabilidad.

Ya que la depreciación se carga una vez al año, el valor en libros se calcula al final del año y de Sta. Manera se mantiene paralelo a la convención de fin de año utilizada anteriormente. El valor en libros nunca se tiene en cuenta en los estudios de ingeniería económica sobre tributación. El valor comercial de un activo se refiere a la cantidad de dinero que se puede obtener por el activo si fuese vendido en el mercado libre. En algunos casos el valor comercial tiene

46

muy poca relación con el valor en libros. Por ejemplo, los edificios comerciales tienden a aumentar su valor comercial, mientras que el valor en libros disminuye debido a los gastos de depreciación. Al efectuar comparaciones de ingeniería económica el valor que se debe tener en cuenta es el comercial. Depreciación en línea recta La depreciación en línea recta es uno de los métodos de depreciación más utilizados, principalmente por su sencillez, por la facilidad de implementación. La depreciación en línea recta supone una depreciación constante, una alícuota periódica de depreciación invariable. En este método de depreciación se supone que el activo sufre un desgaste constante con el paso del tiempo, lo que no siempre se ajusta a la realidad, toda vez que hay activos que en la medida en que se desgastan, el nivel de desgaste se incrementa, es creciente. Bien. El cálculo de la depreciación mediante el procedimiento de línea recta es el siguiente: Valor del activo: 120.000.000 Vida útil del activo: 5 años Depreciación anual: 120.000.000/5 = 24.000.000 Depreciación mensual: 120.000.000/60 = 2.000.000 Si la empresa maneja cuota de salvamento, esta se detrae del valor del activo y la diferencia es la que se deprecia. Ejemplo. Supongamos que para el activo arriba señalado se fija una cuota de salvamento del 20%. En este caso, a los 120 millones se le saca el 20%, esto es 24 millones y a los restantes 96 millones se le aplica la respectiva operación aritmética. Esto hará que el valor de la alícuota de depreciación sea menor ya que la base de depreciación es menor.

Otros métodos de depreciación los métodos de depreciación más utilizados: 1 - Método de la línea recta. 2 - Método de actividad o unidades producidas. 3 - Método de la suma de dígitos anuales. 4 - Método de doble cuota sobre el valor que decrece.

47

1 - Método de depreciación de la línea recta. En este método, la depreciación es considerada como función del tiempo y no de la utilización de los activos. Resulta un método simple que viene siendo muy utilizado y que se basa en considerar la obsolescencia progresiva como la causa primera de una vida de servicio limitada, y considerar por tanto la disminución de tal utilidad de forma constante en el tiempo. El cargo por depreciación será igual al costo menos el valor de desecho. Costo – valor de desecho

monto de la depreciación para cada = año de vida del activo o gasto de depreciación anual

Ejemplo: Para calcular el costo de depreciación de una cosechadora de 22.000 euros que aproximadamente se utilizará durante 5 años, y cuyo valor de desecho es de 2.000 euros, usando este método de línea recta obtenemos: 22.000 € - 2.000 € = Gasto de depreciación anual de 4.000 € 5 años

Este método distribuye el gasto de una manera equitativa de modo que el importe de la depreciación resulta el mismo para cada periodo fiscal. ... 2 - Método de depreciación de actividad o de unidades producidas. Este método, al contrario que el de la línea recta, considera la depreciación en función de la utilización o de la actividad, y no del tiempo. Por lo tanto, la vida útil del activo se basará en el función del rendimiento y del número de unidades que produce, de horas que trabaja, o del rendimiento considerando estas dos opciones juntas.

48

Costo – valor de desecho

Número de unidades Costo de depreciación = de una unidad o x horas o kilogramos cosechados durante el kilogramo periodo

Ejemplo: La cosechadora del ejemplo anterior recoge 100.000 kilogramos de trigo. El coste por cada Kg. de trigo corresponde a: 22.000 € - 2.000 € = Gasto de depreciación anual de 0,20 € 100.000 Kg

Ahora para conocer el gasto cada año multiplicaremos el número de kilogramos cosechados cada año por ese gasto unitario obtenido anteriormente, que en este caso, al tratarse de 5 años de vida útil, quedará así: Año

Costo por kilogramo

X

Kilogramos Depreciación anual

1

0,2 €

30.000

6.000 €

2

0,2 €

30.000

6.000 €

3

0,2 €

15.000

3.000 €

4

0,2 €

15.000

3.000 €

5

0,2 €

10.000

2.000 €

100. 000

20.000 €

49

Los métodos de depreciación de unidades producidas distribuyen el gasto por depreciación de manera equitativa, siendo el mismo para cada unidad producida durante todo el periodo fiscal. ... 3 - Método de depreciación de la suma de dígitos anuales. Para este método de depreciación llamado "suma de dígitos" cada año se rebaja el costo de desecho por lo que el resultado no será equitativo a lo largo del tiempo o de las unidades producidas, sino que irá disminuyendo progresivamente. La suma de dígitos anuales no es otra cosa que sumar el número de años de la siguiente forma: Para una estimación de 5 años: 1 años + 2 años + 3 años + 4 años + 5 años = 15 Ejemplo: Vamos a ver para que sirve ese 15 en el ejemplo anterior de la cosechadora cuyo valor (22.000 - 2.000) = 20.000 € que se perderán en 5 años: Para el primer año el factor es (5/15) porque quedan 5 años por delante: Años de vida pendientes Suma a depreciar

x

=

Depreciación del año 1

=

6666.66 €

Suma de los años 20.000 €

x

5/15

Para ver el resto de años, lo veremos mejor en la siguiente tabla: MÉTODO: SUMA DE LOS DÍGITOS DE LOS AÑOS Año

Fracción

X

Suma a depreciar Depreciación anual

50

1

5/15

20.000 €

6666.66 €

2

4/15

20.000 €

5333.33 €

3

3/15

20.000 €

4000.00 €

4

2/15

20.000 €

2666.66 €

5

1/15

20.000 €

1333.33 € 20.000 €

15/15

Mediante este método de depreciación de la suma de los dígitos de los años, se obtiene como resultado un mayor importe los primeros años con respecto a los últimos y considera por lo tanto que los activos sufren mayor depreciación en los primeros años de su vida útil. ... 4 - Método de la doble cuota sobre el valor decreciente. Se le denomina de doble cuota porque el valor decreciente coincide con el doble del valor obtenido mediante el método de la línea recta. En este caso, se ignora el valor de desecho y se busca un porcentaje para aplicarlo cada año. Ejemplo : Para el caso de la cosechadora de 5 años de actividad, el porcentaje se calcula así: Véase que se multiplica por dos. 100% = 20% x 2

= 40% anual

Vida útil de 5 años

A continuación, una tabla en la que visualizar como quedan los resultados finales de depreciación para cada uno de los 5 años, junto con la depreciación acumulada:

51

Valor en libros Año

Tasa

X

=

Gastos por depreciación anual

Depreciación acumulada

=

8800 €

8800 €

=

5280 €

14.080 €

=

3168 €

17248 €

(importe a depreciar) 1

40%

X

22000 € – 8800

2

40%

X

13200 € – 5280

3

40%

X

7920 € – 3168

4

40%

X

4752 €

19148,8 €

= 1900,8 €

– 1900,8 5

40%

X

2851,2 €

=

1140,48 €

20.000 €

-1140,48 2.000 €

Como estamos hablando de despreciar los 2000 € del coste de desecho o recuperación, se debe ajustar el último valor del último año de vida del activo para que el total acumule los 2000 que le corresponde, de esta forma la depreciación total acumulada alcanzará los 20.000 que corresponden a restar del costo el valor de desecho.

52

3.2Análisis después de impuesto. Terminología básica para los Impuestos sobre la renta. LOS IMPUESTOS SOBRE LA RENTA.



Ingreso bruto: total de todos los ingresos provenientes de fuentes productoras de ingresos.



Gastos: todos los costos en los que se incurre cuando se hace una transacción comercial.



Ingreso gravable: el valor monetario remanente sobre el cual se deben pagar los impuestos. Y se calcula como sigue:



Ingreso gravable: ingreso bruto menos gastos menos depreciación.



Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un bien raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital. Ganancia =precio de venta – valor en libros. Perdida de capital: valor en libros – precio de venta.



Descuento tributario por inversiones: este es un estímulo tributario dado al comprador de equipo nuevo o usado que este calificándote acuerdo con lo dispuesto en la sección 38 de patrimonio. Este crédito tributario se otorga para estimular la compara y uso de equipo moderno.



Perdida de operación: cuando una corporación experimenta un año en el que hay pérdida neta en lugar de ganancia neta, sufre una pérdida de operación.

IMPUESTOS = (ingreso bruto – gastos – depreciación) T. Donde T = tasa tributaria. IMPUESTOS = (IG) T.

Sin embargo para ayudar un poco al pequeño comerciante los impuestos corporativos realmente

se

calculan

como:

Impuestos corporativos: (IG) (tasa normal de impuestos) + (IG -- $ 25 000) (sobretasa). Actualmente, la tasa tributaria federal normal es del 22% y la sobre tasa es del 26%. Así, para todo IG sobre $ 25000 la tasa tributaria aplicable (efectiva) es d 22+26= 48%

53

A continuación se definen algunos conceptos: FEAI = Flujo de Efectivo Antes de Impuesto. (Sin inflación) FEDI = Flujo de Efectivo Después de Impuesto. D = Depreciación. IG = Ingreso Gravable. I = Impuestos. T = Tasa Tributaria o Tasa de Impuestos.

Las formulas correspondientes son:

Ganancias y pérdidas de capital. Ganancia de capital: cuando el precio de venta de propiedades depreciables (activos) o de un bien raíz (terrenos) exceden el valor en libros, ha ocurrido una ganancia d capital. Ganancia =precio de venta – valor en libros. Donde la ganancia de capital > 0. Si la ocurre dentro de los 6 meses siguientes a la fecha de compra, se refiere a la ganancia de capital como a ganancia a corto plazo (GCP; si el periodo de propiedad es mayor de 6 meses, la ganancia es ganancia a largo plazo (GLP). La GCP y GLP se gravan de forma diferente. Perdida de capital: valor en libros – precio de venta. Los términos perdidos a corto plazo (PCP) y perdidos a largo plazo (PLP) se definen en forma análoga a la ganancia de capital, es decir, un punto de cambio a los 6 meses. El costo de amortizado, resulta una pérdida de capital.

54

Las pérdidas de ganancias de capital se tratan individualmente de acuerdo con la siguiente tabla:

A continuación se describe el procedimiento exacto utilizado para calcular los impuestos en los cuales se involucran pérdidas y ganancias de capital. Una GLP se grava con una tasa del 30% sobre la ganancia en la que se ha incurrido durante el año, si el ingreso gravable sobrepasa $ 25 000. Para una firma pequeña se aplica la tasa tributaria normal del 22 % de la ganancia. Una PCP solo puede utilizarse para compensar una GLP. Así, si en un año en particular la PLP = $ 5 500 y la PCP = $ 3, 200; hay una GLP neta = $ 2, 300 que debe ser gravada. El trato que se da a la GCP y a la PCP es similar, excepto que la ganancia neta se grava como ingreso regular. Una vez que las pérdidas han sido utilizadas para compensar las ganancias, se obtiene el resultado neto. Este valor se usa entonces para el cálculo de los impuestos, no para las ganancias individuales y los valores de perdida. En todo caso, las pérdidas netas declaradas en cualquier año no pueden exceder las ganancias de ese año. Los ejemplos siguientes esclarecerán el procedimiento real. Ejemplo 1: Una compañía tiene los siguientes ingresos, ganancias y pérdidas de valores durante un año:

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(Los paréntesis se usan para indicar perdidas.) Calcule los impuestos a la renta. Solución: Utilizando las pérdidas para compensar las ganancias, se obtienen los siguientes resultados:

Por lo tanto, $ 52 000 se gravan realmente como ingresos corriente, de la siguiente manera:

El

cálculo

del

impuesto

a

la

renta

es:

Impuesto = 52 000 (0.22) + 27 000 (0.26) = $ 18 460. Ejemplo 2: Suponga que las siguientes pérdidas y ganancias ocurren en un año:

¿Cómo se haría el cálculo de impuestos de la ganancia o pérdida neta resultante? Solución:

El resultado es una pérdida neta de $ 2 500. Sin embargo, la ley estipula que solamente las pérdidas que sumen lo mismo que las ganancias son deducibles del impuesto gravable. Por lo tanto, de los $ 2 500 de perdida solo $ 1 000, la cantidad de la ganancia, puede tomarse del IG para reducir los impuestos.

Sin embargo, las leyes tributarias permiten que la diferencia no deducida entre pérdidas y ganancias puede llevarse 3 años atrás como una PCP, o 5 años adelante sino fue completamente absorbida al llevarla hacia atrás. Por lo tanto, los restantes $ 1 500 de pérdida pueden utilizarse para compensar las ganancias de capital hasta que se agoten, en un periodo máximo de 9 años.

56

Efectos de los diferentes modelos de depreciación. La selección de un modelo de depreciación afecta los impuestos que deben pagarse. Aquí suponemos que algo de la tasa de retorno después de impuestos debe ser utilizado para el análisis. El ejemplo 1 compara 2 métodos de depreciación. Los resultados de este ejemplo muestran que para una tasa tributaria constante, un ingreso bruto anual mayor o igual a la depreciación anual y castigada hasta el valor de salvamento, los siguientes puntos son siempre verdaderos: 1.- El total de impuestos pagados es igual. 2.- El valor presente de los impuestos es menor para los métodos de depreciación Acelerada.

Ejemplo 1: Suponga que se compra un activo con las siguientes características: P = $ 100, 000. VS = 10, 000. FCAI = 20, 000. Por año. n = 9 años. El valor FCAI = $ 20, 000 es el flujo de caja antes de impuestos, esto es, el valor neto del ingreso bruto menos los gastos antes de que se calculen los impuestos. Si la tasa tributaria efectiva es del 50% y si se usa una tasa de retorno después de impuesto de 8%, compare: a) la depreciación en línea recta y b) la depreciación de suma de los dígitos del año desde el punto de vista de los impuestos.

57

Solución: a) primero estudiamos la situación tributaria para la depreciación en línea recta. El ingreso gravable anual (IG) es el flujo de caja antes de impuestos (FCAI) menos la depreciación, o; IG = FCAI – depreciación. El FCAI es la diferencia entre ingreso bruto y los gastos. La tabla 4.2.3.a. Muestra el cálculo después de impuesto para la vida útil total del activo y la figura 4.2.3.A. es un diagrama de flujo de caja de tributarios.

Los impuestos totales son $ 5 000 (9) = $ 45 000. El valor presente de los impuestos, (P Impuestos.), como se calcula por debajo del diagrama de flujo de caja, es $ 31 235. b) la tabla. 4.2.3. b. y la figura 4.2.3.B. muestran el cálculo de impuestos y de flujo de caja tributario respectivamente, utilizando la suma de los dígitos del año. Los impuestos totales son nuevamente $ 45 000, pero el valor presente de los impuestos es $ 28, 055 o 10.2% menos que el valor correspondiente para la depreciación en línea recta.

58

Comentario: De este ejemplo se deduce que cualquier depreciación que castigue más

59

rápidamente que en línea recta da una ventaja tributaria, ya que el valor presente será mayor para una depreciación en línea recta. Esto es verdad, ya que con castigo rápido los impuestos se mueven hacia los últimos años de propiedad, lo cual disminuye su valor presente cuando se compara a los impuestos constantes aplicables para la depreciación en línea recta.

Análisis después de impuestos utilizando los métodos de valor presente, valor anual y tasa interna de retorno

• De nuevo se selecciona el plan A porque VPA es mayor. Comentario: Si solo se conocen los valores de desembolso antes de impuesto, tales como costos anuales de operación, o sea FCAI < 0, los impuestos relacionados son una ventaja tributaria que se aplicara contra otros intereses de la compañía. C) Utilizando método de tasa interna de retorno. Para determinar el retorno después de impuestos se puede utilizar los siguientes métodos: 1. encuentre la tasa a la que el valor presente de FCDI es igual a cero.

2. encuentre la tasa en la que CAUE del FCDI es igual a cero.

Si hay 2 activos A y B, el retorno se encuentra usando uno de estos métodos; sin embargo, las ecuaciones toman estas formas respectivas:

El segundo método (CAUE) se usara exclusivamente si hay 2 activos, porque es compatible

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con las convenciones utilizadas en capítulos anteriores y generalmente se pueden calcular más simplemente para activos de vida útil desigual.

Ejemplo 2: Usando la compra de un activo descrita en el ejemplo 1 del tema 4.2.3 y una depreciación en línea recta, calcule la tasa de retorno después de impuestos. (Resumen: P = $ 100 000, VS = $ 10 000, n = 9, FCAI = $ 20 000 anuales, tasa tributaria = 50%)

Solución: La tabla 4.2.5.B. presenta el FCDI para el activo. La ecuación del valor presente para el retorno después de impuesto es como sigue:

Por

prueba

y

error,

i

=

7.70%.

Comentario: Si usted como economista, desea usar una tasa inflada antes de impuesto para aproximar el efecto tributario en este tipo de activo, puede utilizar la ecuación siguiente: tasa de retorno antes de impuesto = tasa de retorno después de impuesto / (1-tasa tributaria); para obtener i / (1 – T) = 0.0770 / (1 – 0.50) = 0.1540, o 15.4%. El retorno real del impuesto calculado usando las cifras del FCAI en la tabla 4.2.5.B. puede despejarse de la ecuación:

Que da un valor de i = 14.56%. La comparación del 14.56% con tasa inflada antes de impuestos del 15.4% muestra que el efecto tributario esta levemente sobre calculado al utilizar un retorno antes de impuestos del 15.4%.

61

UNIDAD 4 ANALISIS DE REMPLAZO 4.1 Técnicas de análisis de reemplazo El análisis de reemplazo sirve para averiguar si un equipo está operando de manera económica o si los costos de operación pueden disminuirse, adquiriendo un nuevo equipo. Además, mediante este análisis se puede averiguar si el equipo actual debe ser reemplazado de inmediato o es mejor esperar unos años, antes de cambiarlo Siguiendo con el análisis que el canal financiero está realizando de los activos físicos y como complemento a los artículos hechos en tiempo pasado, se presenta a continuación un minucioso estudio de la importancia en la toma de decisiones realizada por el administrador financiero en el momento de reemplazar sus recursos fijos. EL ANÁLISIS Y PLANEACIÓN DE REEMPLAZO Un plan de reemplazo de activos físicos es de vital importancia en todo proceso económico, porque un reemplazo apresurado causa una disminución de liquidez y un reemplazo tardío causa pérdida; esto ocurre por los aumentos de costo de operación y mantenimiento, por lo tanto debe establecerse el momento oportuno de reemplazo, a fin de obtener las mayores ventajas económicas. Un activo físico debe ser reemplazado, cuando se presentan las siguientes causas: Insuficiencia. Alto costo de mantenimiento. Obsolescencia.

Recomendamos

En este tipo de análisis es necesario aplicar algunos conceptos de matemáticas financieras

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fundamentales Para hacer un análisis de reemplazo, es indispensable determinar: El horizonte de la planeación También llamado el intervalo de tiempo, está determinado por el periodo durante el cual va a realizarse el análisis y mientras más pequeño sea el horizonte de planeación, más exacto resulta el análisis. La disponibilidad de capital Este para realizar la compra de los activos según lo planeado y lo proyectado. LA VIDA ECONÓMICA DE LOS BIENES Se entiende por vida económica el periodo para el cual el costo anual uniforme equivalente es mínimo. Para los activos antiguos, no se tiene en cuenta la vida útil restante, ya que casi todo puede mantenerse funcionando indefinidamente pero a un costo que puede ser excesivo si se repara constantemente Desde el punto de vista económico las técnicas más utilizadas en el análisis de reemplazo son Periodo óptimo de reemplazo = Vida económica Esta técnica consiste en calcular el costo anual uniforme equivalente del activo, cuando este es retenido por una cierta cantidad de años y en esta forma seleccionar el número de años para el cual el costo es mínimo. Ejemplo: Una máquina se compra actualmente por $500.000, se supone una tasa del 20% de vida útil por año, se pide determinar el periodo óptimo de reemplazo teniendo en cuenta la siguiente información

Año Valor salvamento

Costo anual operación

1

$ 300.000

$ 21.000

2

$ 200.000

$ 35.000

3

$ 137.000

$ 55.000

63 4

$ 71.000

$ 90.000

5

$

$150.000

0

El análisis se fundamenta en la comparación de los datos, se observa que en el quinto año el costo aumenta, esto significa en esta técnica que el activo debe ser retenido por cuatro años únicamente. Con el tiempo el activo se vuelve obsoleto porque su costo anual de operación es cada vez mayor Confrontación antiguo-nuevo Esta técnica consiste en analizar las ventajas del activo actualmente en uso y compararlos con las ventajas que ofrecería un nuevo activo. Al utilizar esta técnica, se debe tener en cuenta las estimaciones sobre el valor comercial, valor de salvamento y vida útil del activo. Ejemplo: Una fábrica compro una máquina hace tres años, esta tuvo un costo de $80.000, se le estimo una vida útil de cinco años y un valor de salvamento de $10.000. En la actualidad se estima que la vida útil restante es de tres años y proponen la compra de una nueva máquina que cuesta $90.000, tiene una vida útil de ocho años y un valor de salvamento del 10% de su costo. El vendedor de la nueva máquina está ofreciendo recibir la máquina antigua en $45.000, como parte de pago. También se verifica que los costos de reparación de la máquina antigua son $9.000 mientras que en la nueva se estiman en $4.000. Si se desea obtener un rendimiento del 20% sobre la inversión, determinar si es económicamente aconsejable efectuar el cambio. Solución: 1. Primero se confrontan los datos de las dos máquinas. Antigua

Nueva

64 Costo inicial Costo anual operación

$ 45.000

$ 90.000

$ 9.000

$ 4.000

3

8

$ 10.000

$ 9.000

Vida útil Valor

de

salvamento

2. Se calcula el CAUE para la máquina antigua. CAUE

(1)

=

45.000

+

9.000

-

10.000

a3¬= 20% S3¬ 20% CAUE (1) = $27.615.39 3. Se calcula el CAUE para la máquina nueva. CAUE

(1)

=

90.000

+

4.000

-

9.000

a8¬= 20% S8¬ 20% CAUE (1) = $26.909.36 4. Se toma la decisión frente al análisis hecho. En este caso se escoge la máquina nueva por tener un costo menor.

4.2 Modelos de reemplazo de equipos. El defensor es el equipo que se tiene y el retador es el mejor equipo disponible para el reemplazo. El retador presente se vuelve menos conveniente ante la perspectiva de un retador futuro mejor. La vida económica es igual a la vida para la cual el CAUE es mínimo. Causas que originen un estudio de reemplazo:

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• Reemplazo por insuficiencia: poca capacidad para prestar los servicios que se esperan de él. • Reemplazo por mantenimiento excesivo. • Reemplazo por eficiencia decreciente: cuando va disminuyendo el rendimiento. • Reemplazo por antigüedad (obsolescencia): por mejoramiento continuo de los activos. • Reemplazo por una combinación de los factores anteriores. Factores a considerar en un estudio de reemplazo: • Horizonte de planeación: es el lapso de tiempo futuro que se considera en el análisis. • La tecnología. (Por ejemplo en las computadoras). • Comportamiento de los ingresos y los gastos. Algún patrón de comportamiento. • Disponibilidad de capital: fuentes de financiamiento (interno o externo). • Inflación.

Tipos de reemplazo: 1. determinar por adelantado el servicio de vida económica de un activo (determina el periodo óptimo de reemplazo de un activo). 2. analizar si conviene mantener el activo o reemplazarlo por uno nuevo. a) Estableciendo como horizonte de planeación la vida económica del activo nuevo. b) Seleccionando un horizonte de planeación mayor que la vida remanente del activo viejo, el cual se obtiene mediante una programación dinámica para la serie de activos que se utilizaran durante dicho periodo.

4.3 Factores de deterioro y obsolescencia.

1.- La duración física del activo; se incluyen las causas por: • Agotamiento • Desgaste • Envejecimiento 2.- La duración económica del activo; se incluyen las causas por: • Explotación por tiempo limitado • Envejecimiento técnico • Envejecimiento económico

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3.- La duración del activo según la contabilidad; se incluyen las causas por: • Consolidación • Política de dividendos • Políticas tributarias

El activo se retira por dos razones: a) Factores físicos (como siniestros o terminación de la vida útil) y; b) Factores económicos (obsolescencia). a) Los factores físicos son: • Desgaste, • Deterioro, • Rotura y • Accidentes que impiden que el activo funcione indefinidamente. b) Los factores económicos o funcionales se pueden clasificar en tres categorías: • Insuficiencia (el activo deja de serle útil a la empresa), • Sustitución (reemplazo del activo por otro más eficiente) y; • La obsolescencia del activo.

4.4 Determinación del costo mínimo de vida Útil. Existen varias situaciones en las que un analista desea saber cuánto tiempo debe permanecer un activo en servicio antes de ser retirado. La determinación de este tiempo (un valor n) recibe varios nombres. Si el activo es un defensor para ser remplazado por un retador potencial, el valor n es la vida útil restante del defensor. Si la función cumplida por el activo se va descontinuar o va hacer asumida por algún otro equipo de la compañía, el valor n se conoce como vida de retiro. Finalmente, se puede llevar a cabo un análisis semejante para una compra anticipada del activo, en cuyo caso el valor n se puede denominar vida útil esperada. Independientemente del nombre, este valor se debe encontrar para determinar el número de años (n) quedarán un mínimo valor presente o valor CAUE. Este enfoque se denomina casi siempre análisis del costo mínimo de vida útil. En este tema utilizamos constantemente el análisis CAUE.

Para encontrar el costo mínimo de vida útil, n se aumenta de 0 a la vida máxima esperada y el CAUE encontrado para cada valor de n. Cada CAUE es el equivalente del costo anual

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del activo si se utilizase durante n años. El número de años correspondiente al CAUE mínimo indica costo mínimo de vida útil. Los valores respectivos de CAUE y n son aquellos que se deben utilizar en un análisis de reemplazo o en una evaluación de alternativas. Dado que n varia, los valores del costo anual y el valor de salvamento se deben calcular para cada n posible. El enfoque CAUE para el análisis de reemplazo se ilustra en el ejemplo siguiente: Ejemplo 1: Un activo comprado hace 3 años se ve amenazado por una nueva pieza de equipo. El valor comercial del defensor es $ 13,000. Los valores de salvamento anticipados y los costos de operación anual durante los siguientes 5 años se dan en las columnas (2) y (3), respectivamente, de la tabla 5.9.A. ¿Cuál es el costo mínimo de vida útil que se debe emplear al comparar este defensor con un retador, si el valor del capital es 10%? Solución: La columna (4) de la tabla 5.9.A. presenta la cantidad uniforme equivalente para la recuperación del capital y un retorno del 10% utilizando el método de fondo de amortización de salvamento, ecuación. El cálculo para un valor particular de n (n= 1, 2,3,…,5) se obtiene calculando $13,000 (A/P, 10%, n) – VS(A/F, 10%, n). De manera semejante, la columna (5) muestra los costos anuales de operación uniformes equivalentes para un valor n específico, encontrados por medio de:

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= $ 6,132. La columna (6)= (4)+ (5), lo que representa el CAUE total si se retiene el defensor durante n años. En la tabla 5.9.A. se proporcionan una muestra de los cálculos cuando n=3. El CAUE mínimo de $ 6,132 anual para n=3 indica que la vida restante anticipada de este activo al comprarlo con su retador debe ser 3 años. Comentario: Se debe tener en cuenta que el enfoque presentado en este ejemplo es general. Se puede utilizar para encontrar el costo mínimo de vida útil de cualquier activo, ya sea si se posee actualmente y se va a reemplazar o retirar, ya sea si es una compra proyectada.

4.5 Análisis de sensibilidad

El análisis de sensibilidad es un término financiero, muy utilizado en el mundo de la empresa a la hora de tomar decisiones de inversión, que consiste en calcular los nuevos flujos de caja y el VAN (en un proyecto, en un negocio, etc...), al cambiar una variable (la inversión inicial, la duración, los ingresos, la tasa de crecimiento de los ingresos, los costes, etc....). De este modo teniendo los nuevos flujos de caja y el nuevo VAN podremos calcular o mejorar nuestras estimaciones sobre el proyecto que vamos a comenzar en el caso de que

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esas variables cambiasen o existiesen errores iniciales de apreciación por nuestra parte en los datos obtenidos inicialmente. Para hacer el análisis de sensibilidad tenemos que comparar el VAN antiguo con el VAN nuevo y nos dará un valor que al multiplicarlo por cien obtendremos el porcentaje de cambio. La fórmula a utilizar es la siguiente:

. Donde

VANn es el nuevo VAN obtenido y VANe es el VAN que teníamos antes de realizar el cambio en la variable. La sensibilidad en las alternativas de inversión La sensibilidad de una o varias alternativas que tan sensible es la TIR o VPN del (los) proyecto (s) a cambios en las estimaciones de precio de venta, costos, cambios en la vida útil, cambios en el nivel de la demanda; etc. El análisis de sensibilidad es un examen del intervalo de valores de algún parámetro de nuestro proyecto, con la finalidad de determinar su efecto sobre la decisión. Una forma sofisticada de efectuar este análisis es por medio de la simulación (análisis repetitivo de los parámetros de un modelo matemático que describa al sistema (proyecto) y que se auxilia de la computación para usar distribuciones de probabilidad y cálculos estadísticos para determinar la sensibilidad de dichos parámetros). Ejemplo: 1. haga un análisis del parámetro trema del ejemplo de análisis después de impuesto (sin inflación) y mencione la conclusión correspondiente. Solución (miles de $): El planteamiento original era: • VPN FEDI = - 75 - 12 (P/F, 35%, 1) + 11.8 (P/F, 35 %, 2) + 22 (P/F, 35%, 3) + 37 (P/F, 35%, 4) + 72.2 (P/F, 35%, 5) Nota: sustituir los valores de tablas para obtener el resultado. VPN FEDI = - 41.23163 Como VPN FEDI < 0, se recomienda No adquirir el activo. • Si variamos la TREMA arriba y debajo de su valor original (35 %) a 50 % y a 20 %, obtenemos:

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TREMA = 50 %. VPN FEDI = - 75 - 12 (P/F, 50 %, 1) + 11.8 (P/F, 50 %, 2) + 22 (P/F, 50 %, 3) + 37 (P/F, 50 %, 4) + 72.2 (P/F, 50 %, 5) VPN FEDI = - 54.42042 TREMA = 20 %. VPN FEDI = - 75 - 12 (P/F, 20 %, 1) + 11.8 (P/F, 20 %, 2) + 22 (P/F, 20 %, 3) + 37 (P/F, 20 %, 4) + 72.2 (P/F, 20 %, 5) VPN FEDI = - 17.21518 En ambos cálculos como VPN FEDI < 0, se recomienda No adquirir el activo. • Si variamos la TREMA a 15 % y a 10 %, obtenemos: TREMA = 15 %. VPN FEDI = - 75 - 12 (P/F, 15 %, 1) + 11.8 (P/F, 15 %, 2) + 22 (P/F, 15 %, 3) + 37 (P/F, 15 %, 4) + 72.2 (P/F, 15 %, 5) VPN FEDI = - 4.99580 Como VPN FEDI < 0, se recomienda No adquirir el activo. TREMA = 10 %. VPN FEDI = - 75 - 12 (P/F, 10 %, 1) + 11.8 (P/F, 10 %, 2) + 22 (P/F, 10 %, 3) + 37 (P/F, 10 %, 4) + 72.2 (P/F, 10 %, 5) VPN FEDI = 10.47364 Como VPN FEDI > 0, se recomienda Adquirir el activo. Al interpolar estas 2 últimas variaciones de las tasa de interés (15 % y 10 %), se obtiene una TREMA del 13.3853 % cuando el VPN = 0. Como conclusión se puede mencionar que el proyecto no es sensible a la variación de la trema, ya que se requeriría que esta tasa fuese muy baja (menor a 13.3853 %), para caer en el error de aceptar dicho proyecto

Valor esperado y árboles de decisión

Las decisiones de inversión son probablemente las decisiones más difíciles y las más importantes que enfrenta la alta administración, por varias razones. Estas decisiones generalmente demandan grandes cantidades de dinero.

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Los efectos de una decisión no son inmediatos. Los efectos negativos de una mala decisión repercuten tremendamente en la posición financiera de la empresa y en las metas a largo plazo fijadas por la misma. Las inversiones son la implantación de una estrategia. Las decisiones de inversión son caracterizadas por un grado alto de incertidumbre. Las decisiones generalmente se basan en predicciones. Se han desarrollado métodos sencillos y sofisticados para el manejo de incertidumbre como el valor esperado y árboles de decisión.

El valor esperado se puede interpretar como un resultado promedio a largo plazo si se repitiese varias veces el proyecto.

El valor esperado E (X) se puede calcular por medio de la relación:

(m = 1,2,…, n) Ec. 6.2.A.a.

Donde X = valor específico de la variable. P (X) = probabilidad de que ocurra un valor específico. El enfoque de árboles de decisión es un método conveniente para representar y analizar una serie de inversiones hechas a través del tiempo. La técnica de árboles de decisión consiste básicamente en los siguientes pasos: 1. Construir el árbol de decisión. Para la construcción del árbol es necesario considerar las diferentes alternativas o cursos de acción y los posibles eventos asociados a cada curso de acción. En la construcción de este árbol un significa un punto de decisión, es decir, en este punto un curso de acción (el más adecuado) debe ser seleccionado. Un O representa los posibles eventos asociados a un curso de acción. Por ejemplo, si actualmente se analiza la posibilidad de producir un nuevo producto el cual requiere de la construcción de una nueva planta, los posibles cursos de acción serían;

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Sin embargo, a cada curso de acción se le puede asociar una serie de eventos. Por ejemplo, es obvio que si se construye la planta pequeña, la demanda del producto puede ser baja, media o alta. Lo anterior se representa en árboles de decisión de la forma siguiente:

2. Determinar los flujos de efectivo de cada una de las ramas del árbol. 3. Evaluar las probabilidades de cada una de las ramas del árbol obtenido en el paso

anterior.

4. Determinar el valor presente de cada una de las ramas del árbol. 5. Resolver el árbol de decisión con el propósito de ver cuál alternativa debe ser seleccionada. La técnica de solución es muy simple y muy similar a programación dinámica para atrás (algunos autores de libros en inglés le llaman a esta técnica "rollback procedure", o "rolling backward").Con esta técnica se comienza en los extremos de las ramas del árbol de decisión y se marcha hacia atrás hasta alcanzar el nodo inicial de decisión. A través de este recorrido, se deben de utilizar las siguientes reglas:

a) Si el nodo es un nodo de posibilidad O, se obtiene el valor esperado de los eventos asociados a ese nodo.

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b) Si el nodo es un nodo de decisión

, entonces se selecciona la alternativa

que maximiza o minimiza los resultados que están a la derecha de ese nodo. Comentario: para ilustrar la aplicación de estas técnicas véanse los subtemas siguientes.