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10. ANALOGIA TERMOELECTRICA. 10.1

OBJETIVOS

GENERAL Analizar un mecanismo de transmisión de calor con base en una simulación eléctrica. ESPECIFICOS 1. Plantear tres casos de transmisión de calor por conducción, con base en los tres ensayos realizados en el laboratorio. 2. Calcular los factores de forma para cada ensayo. 3. Calcular las isotermas con base en las curvas de igual voltaje medidas en el laboratorio. 4. Calcular la cantidad de calor transmitido para el caso propuesto en los tres ensayos realizados en el laboratorio. 5. Calcular la temperatura de pared interior o exterior para cada uno de los casos planteados en el objetivo 1. 6. Comparar con otras formas de cálculo para conducción. 10.2

FUNDAMENTACION TEORICA

La conductividad térmica [1] Los fundamentos de la conducción de calor se establecieron hace más de un siglo y se atribuyen generalmente a Fourier. En muchos sistemas que involucran flujo, tal como flujo de calor, flujo de fluido o flujo de electricidad, se ha observado que la cantidad que fluye es directamente proporcional a la diferencia de potencial e inversamente proporcional a la resistencia que se aplica al sistema, ósea: Flujoα

Potencial Re sistencia

(1)

En un circuito hidráulico simple, la presión en el sistema es la diferencia de potencial, y la rugosidad de la tubería es la resistencia al flujo. En un circuito eléctrico las aplicaciones más simples son expresadas por la ley de Ohm: el voltaje en el circuito es el potencial y la dificultad con la que los electrones emigran por el alambre, es la resistencia. En el flujo de calor a través de una pared, el flujo se lleva a efecto por la diferencia de temperatura entre las superficies calientes y frías. Recíprocamente, de la ecuación 1, cuando dos superficies de una pared están a diferente temperatura, necesariamente existe un flujo y una resistencia al flujo de calor. La conductancia es la recíproca de la resistencia al flujo de calor, y la ecuación 1 puede expresarse como: Flujo α Conductancia * Potencial

(2)

Para hacer de la Ecuación 2 una igualdad, la conductancia debe evaluarse de tal manera, que ambos lados sean dimensional y numéricamente correctos. Supóngase que una cantidad medida de calor Q (Btu) ha sido transmitida por una pared de tamaño desconocido en un intervalo de tiempo θ (horas) con una diferencia de temperatura medida ΔT (ºF). Escribiendo de nuevo la Ecuación 2, se transforma en una igualdad de la siguiente forma:

Q=

Q'

θ

= Conductancia* ∆T

(3)

Y la conductancia tiene las dimensiones de Btu/(h)(ºF). La conductancia es una propiedad ponderable de toda la pared, aun cuando se ha encontrado experimentalmente que el flujo de calor está independientemente influido por el grosor y el área de la misma. Es de desearse diseñar una pared que tenga ciertas características respecto al flujo de calor, la conductancia obtenida anteriormente no es útil, y es aplicable únicamente a la pared experimental. Para permitir un uso más amplio a la información experimental, se ha convenido reportar la conductancia únicamente cuando todas las dimensiones se refieren a valores unitarios. Cuando la conductancia se reporta para una cantidad de material de un pie de grueso con un área de flujo de 1 pie 2, la unidad de tiempo 1 h y la diferencia de temperatura 1 °F, se llama conductividad térmica k. Las correlaciones entre la conductividad térmica y la conductancia de una pared de grueso L y área A, están entonces dadas por:

Conduc tan cia = k * Q = k * ∆T *

A L

A L

(4)

Derivación de la ecuación general de la conducción. [1] De las ecuaciones 1 a 4 se obtuvo una idea de la conducción de calor por observaciones no calificadas de las relaciones entre el flujo de calor, potencial y resistencia. Ahora es posible desarrollar una ecuación que tenga una aplicación más amplia y a partir de la cual se puedan deducir otras ecuaciones para aplicaciones especiales. La ecuación 4 puede escribirse en forma diferencial: dQ ' dt = k * dA * dθ dx

(5)

En esta ecuación k es la única propiedad de la materia y se supone que es independiente de las otras variables.

Figura 1: Flujo de calor unidireccional. Tomada del libro “PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR”; Donald Q. KERN, Editorial Cecsa. México 1997.

Refiriéndose a la Figura 1, un cubo de volumen elemental dv=dx*dy*dz recibe una cantidad diferencial de calor dQ’1, Btu a través de su cara izquierda yz en un intervalo

de tiempo dθ. Supóngase que todas las caras, menos la izquierda y derecha yz, están aisladas. En el mismo intervalo de tiempo, la cantidad de calor dQ’ 2 abandona el lado derecho. Es claro que pueden ocurrir cualquiera de estos tres efectos: dQ’ 1 puede ser mayor que dQ’2 de manera que el volumen elemental almacene calor, aumentando la temperatura promedio del cubo; dQ’2 puede ser mayor que dQ’1, de manera que el cubo pierda calor; y por último, dQ’1 y dQ’2 pueden ser iguales, de manera que el calor simplemente pasará a través del cubo sin afectar el almacenamiento de calor. Tomando cualquiera de los dos primeros casos como más general, se puede definir un término de almacenamiento o depleción dQ’ como la diferencia entre el calor que entra y el calor que sale: dQ ' = dQ'1 −dQ ' 2

(6)

De acuerdo con la ecuación 5, el calor que entra el la cara izquierda puede estar dado por: dQ '1  ∂t  = k * dy * dz *  −  dθ  ∂x 

(7)  

El gradiente de temperatura,  −  

en el cubo. La variación de  −

∂t   puede variar, ya sea con el tiempo, o la posición ∂x 

∂t   ∂( ∂t ∂x )   como f(x) únicamente es  −  . Sobre la ∂x  ∂x  

distancia dx de x a x + dx si dQ’2 > dQ’1, el cambio total en el gradiente de temperatura  ∂( ∂t ∂x )   ∂t  ∂2 t dx  ó será  − dx . Entonces a x el gradiente es   , y a x + dx el 2 ∂x  ∂x    ∂x

gradiente de temperatura es

∂t ∂2 t − 2 dx . ∂x ∂x

dQ’2 a la salida del cubo y en la misma forma como en la ecuación 7, viene dado por:  ∂t ∂ 2 t  dQ ' 2 = k * dy * dz *  − − 2 dx  dθ  ∂x ∂x 

(8) De lo cual

 ∂2t dQ' dQ'1 dQ' 2 = − = k * dy * dz *  2 dθ dθ dθ  ∂x

 dx 

(9)

El cubo habrá cambiado en temperatura -dt grados. El cambio en la temperatura por unidad de tiempo será dt/dθ y en el intervalo de tiempo dθ está dado por (dt/dθ)dθ grados. Puesto que el análisis se basó en un volumen elemental, es ahora necesario definir el calor específico volumétrico, cv Btu/ (pie3) (ºF)) obtenido multiplicando el calor específico c Btu/(lb) (º ) por la densidad ρ. Para elevar el volumen dx*dy*dz por dt dθ ºF; requiere un cambio en el cubo dθ. dθ dQ ' ∂t = c * ρ * dx * dy * dz * dθ ∂θ

(10)

Combinando las ecuaciones 9 y 10

c * ρ * dx * dy * dz *

 ∂ 2t ∂t = k * dy * dz *  2 ∂θ  ∂x

 dx 

(11)

De la cual ∂t k  ∂2t  = ∂θ c * ρ  ∂x 2

  

(12)

La que es la ecuación genera de Fourier, y el término k/c*ρ se llama difusividad térmica, puesto que contiene todas las propiedades involucradas en la conducción de calor y tiene las dimensiones de pie2/h. Si se remueve el aislante del cubo, de manera que el calor viaje a través de los ejes X, Y, Z, la ecuación 12 se transforma en: ∂t k  ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t  = + + ∂x c * ρ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

  

(13)

Cuando el flujo de calor hacia adentro y afuera del cubo es constante, como en el estado estable, t no varía con el tiempo, y dt/dθ = 0 en la ecuación 2. (∂t ∂x ) es una constante y

(∂ t ∂x 2

2

=0

) . Entonces dQ’

1

= dQ’2, y la ecuación 5 se reduce a un termino en el

cual dx*dy = dA. Sustituyendo dQ por dQ’/dθ, ambos términos tienen las dimensiones de Btu/h, y la ecuación del estado estable es:

dQ = k * dA *

dt dx

(14)

Esta ecuación se aplica a muchos problemas comunes en ingeniería. Conductividad térmica por mediciones de conductividad eléctrica. [1] La relación entre las conductividades térmicas y eléctricas de los metales demuestra una aplicación de la derivación de Fourier incorporada en la ecuación 9 y es un método muy útil para determinar las conductividades térmicas de los metales.

Figura 2: Flujo de calor en un metal. Tomada del libro “PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR”; Donald Q. KERN, Editorial Cecsa. México 1997.

Una barra de metal aislada, como se muestra en la figura 2, tiene sus extremos transversales expuestos a baños diferentes de temperatura constante t1 y t2. Sujetando terminales eléctricas a la cara izquierda y a la derecha, respectivamente, se puede pasar una corriente de Z amperios en la dirección indicada, generando calor a través de la longitud de la barra. Las cantidades de calor que salen de ambos lados de la barra en el proceso estable, deben ser iguales a la cantidad de calor recibida como energía eléctrica, I2*Rw, donde Rw es la resistencia en ohms. De la Ley de Ohm I=

E1 − E 2 A dE = σ * ( L / A) σ dx

Donde E1 – E2 = La diferencia de voltaje, σ es la resistividad del metal en ohms-pies.

I = K * A*

dE dx

(15)

Donde K es el reciproco de la resistividad, la conductividad eléctrica del material.

Rw =

σ * dx dx = A K*A

(16)

Sustituyendo las ecuaciones 15 y 16 por I2*Rw, 2

2

 dE  dx  dE  dQ = I * R = K * A *  = K * A*   dx  dx  K * A  dx  2

w

2

2

(17)

Pero esto es lo mismo que el calor transferido por conducción dado por la ecuación 9. Cuando t1 es igual a t2, e igualando las ecuaciones 9 y 17, 2

k

d 2t  dE  dx − K   dx = 0 2 dx  dx 

(18)

Pero si se hace un reemplazo de la siguiente manera: dt dt dE = dx dE dx

(19)

Diferenciando 2

d 2 t  dE  d 2 t dt  d 2 E    = +   dx 2  dx  dE 2 dE  dx 2 

(20)

Si Z y A son constantes para la barra, entonces K ( dE / dx ) es constante. Puesto que K no varía grandemente con t ó con x, dE / dx es constante, por lo tanto d 2 E / dx 2 = 0 , y de la ecuación 18 sustituyendo la ecuación 20 por d 2 t / dx 2 , obtenemos: d 2t k −K =0 dE 2

(21)

d 2t K = 2 k dE

(22)

kt 1 2 = E + C1 E + C2 K 2

(23)

Donde C1 y C2 son constantes de integración. Puesto que hay tres constantes en la ecuación 23, C1, C2 y k/K, se deben medir tres voltajes y tres temperaturas a través de la barra para evaluarlas, C1 y C2 se determinan de las temperaturas finales y k se obtiene de k/K usando el valor de K, la conductividad eléctrica que es más fácil de determinar. Las siguientes figuras muestran la transferencia de calor de algunos sistemas unidimensionales simples junto con su analogía electrica:

Figura 3: Transferencia de calor unidimensional a través de una pared compuesta y su analogía eléctrica; Tomada del libro “TRANSFERENCIA DE CALOR”; J. P. HOLMAN; Editorial McGraw Hill, 1998.

Figura 4: Transferencia de calor unidimensional en serie y en paralelo a traves de una pared compuesta y su analogía electrica; Tomada del libro “TRANSFERENCIA DE CALOR”; J. P. HOLMAN; Editorial McGraw Hill, 1998.

Figura 5: Transferencia de calor unidimensional a traves de un cilindro hueco y su analogía electrica; Tomada del libro “TRANSFERENCIA DE CALOR”; J. P. HOLMAN; Editorial McGraw Hill, 1998.

Figura 6: Transferencia de calor unidimensional a través de secciones cilíndricas múltiples y su analogía eléctrica; Tomada del libro “TRANSFERENCIA DE CALOR”; J. P. HOLMAN; Editorial McGraw Hill, 1998.

Los modelos matemáticos de la transferencia de calor por conducción de las figuras anteriormente mostradas fueron desarrollados en forma pertinente en la asignatura “FENOMENOS DE TRANSFERENCIA”; así, dichos modelos no se mostrarán en esta guía de laboratorio, y su estudio dependerá totalmente del estudiante.

10.3

DIAGRAMA DEL EQUIPO

10.4 •

INFORMACION DEL EQUIPO Cubeta de acrílico, con papel milimetrado al fondo, y solución electrolítica (salmuera).

•

Moldes de cobre de diferentes formas geométricas (Rectangular, parabólica y circular), en pares.

•

Fuente de corriente variable, (1,2-25 voltios cc).

•

Multímetro digital.

•

Pulsador.

•

Conectores.

Los moldes tienen las siguientes características según la figura 7: 10.5

VARIABLES A MEDIR

•

Amperaje

•

Diferencial de potencial en diferentes sitios del montaje.

•

Coordenadas en las cuales se toman las variables anteriores

Figura 7: Características de los moldes de cobre utilizados en la practica

10.6

PROCEDIMIENTO

1. Revisar el equipo y los materiales tengan la disponibilidad y funcionamientos necesarios, los moldes de cobre deben limpiarse (preferiblemente lijarlos) para evitar posibles incrustaciones de tipo electroquímico. 2. Preparar la solución salina al 2%, para tener una buena simulación de los efectos de conducción de calor. 3. Vaciar la solución salina en la cubeta a utilizar hasta que cubra de 2 a 3 cm de ésta. 4. Colocar dentro de la cubeta el par de moldes a utilizar, éstos deben estar separados para manejar las curvas de voltaje y tomar un nivel de referencia para las coordenadas. 5. Montar el circuito eléctrico, tal como se muestra en el diagrama del equipo. 6. Aplicar una diferencia de potencial de 10 voltios, teniendo en cuenta que en la pared de uno de los moldes se mida 0 voltios. 7. Conectar el Multímetro a la placa con menor potencial, dejando el otro extremo libre para medir las isovoltas en diferentes posiciones.

8. Posicionar y medir las isovoltas tomando coordenadas de cada punto donde se encuentren voltajes iguales a 2 voltios, luego, repetir este procedimiento para 4, 6, y 8 voltios. 9. Tomar para cada ensayo coordenadas donde se leen voltajes iguales; tratando de que los puntos queden bien distribuidos. 10. Repetir el procedimiento para los otros dos moldes. 11. Desechar la salmuera con cuidado de no mojar el papel milimetrado, desconectar y limpiar los moldes. 10.7

ALGORITMO DE CÁLCULO

1. Plantear tres casos de transmisión de calor por conducción, con base en los tres ensayos realizados en el laboratorio.