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ANÁLISIS TRANSITORIO DE CIRCUITOS RLC 1: OBJETIVO: • Determinar repuestas transitorias de los circuitos en paralelo agrupados r-l-c aplicando la transformada y la transformada inversa de Laplace. • El reconocimiento de parámetros • Aplicación correcta del software requerido. 2: MARCO TEORICO PREVIO: 2.1: Defina y explique empleando un gráfico los parámetros que identifican la respuesta transitoria de un circuito ante un escalón unitario, como por ejemplo: Tiempo de elevación (tr), Tiempo de asentamiento (ts), tiempo de retraso (td), rebase máximo (Mp), tmax, y otros. Tiempo de elevación (tr).- El tiempo de levantamiento que requiere la respuesta para pasar de 10% hasta 90%, de 5% al 95% o de 0% a 100% de su valor final según la situación. Para sistemas de segundo orden subamortiguado, por lo regular se utiliza el tiempo de levantamiento de 0% a 100%. Para sistemas sobreamortiguados y sistemas con retraso de transporte, comúnmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10% a 90%. Tiempo de asentamiento (ts).- El tiempo de asentamiento es el requerido para que una curva de respuesta llegue y se quede dentro de un rango alrededor del valor final de un tamaño especificado, en función de un porcentaje absoluto de valor final, por lo general 2%. El tiempo de asentamiento esta relacionado con la constante de tiempo de mayor valor en el sistema de control. Tiempo de retraso (td).- El tiempo de retraso es el requerido para que la respuesta llegue a la mitad del valor final la primera vez. Rebase máximo (Mp).- El sobrepaso máximo es el valor máximo de la curva de respuesta medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado permanente de la respuesta difiere de la unidad entonces podemos utilizar el sobrepaso porcentual máximo. Queda definido por la relación: Sobrepaso Máximo en porcentaje = c(tp-c(∞)*100/c(∞)) La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad relativa del sistema.

Tiempo pico (tp).- El tiempo pico es el requerido para que la respuesta llegue a la primera cresta del sobrepaso.

2.2: Desarrolle y realice el cálculo analítico de la respuesta transitoria de los circuitos de las figuras1, 2 y 3: FIGURA Nº 1 V1 0/3A L1

R1 1k

50 Hz

10mH

FIGURA Nº 2 V4 0/3A R4 1k

50 Hz

C2 10uF

FIGURA Nº 3 V2 -5/5V

R2 1k

100 Hz

L2 10mH

5uF C1

2.2.1:Para una entrada de un pulso rectangular: Ig(t)= 3 amperios, de 10 mseg de duración, calcule la expresión para VL(t),IR(t),IL(t) para el circuito de la figura 1 y VC(t), IR(t) e IC(t) para el circuito de la figura 2. Para la figura 1 se tiene:

ig (t ) = 3u (t ) − 3u (t − 0.01) Amperes 3 3e −0.01s I g ( s) = − s s 1000 I L ( s ) = I g ( s) 1000 + 0.01s  3 3e −0.01s  105    I L ( s ) =  − s  s + 105  s  3 *105 3e −0.01s *105    I L ( s) =  − 5 5 s ( s + 10 ) s ( s + 10 )   −0.01s 3 3 3e 3e −0.01s   I L ( s) =  − − + 5 s s + 105   s s + 10 5

iL (t ) = 3u (t ) − 3e −10 t u (t ) − 3u (t − 0.01) + 3e −10

5

( t − 0.01)

u (t − 0.01) Amperes

ig (t ) = iR (t ) + iL (t ) 5

iR (t ) = 3e −10 t u (t ) − 3e −10

5

( t − 0.01)

u (t − 0.01) Amperes

v g (t ) = R * iR (t ) 5

v g (t ) = 3 *103 * e −10 t u (t ) − 3 *103 * e −10

5

( t − 0.01)

u (t − 0.01) Volts

Para la figura 2 se tiene: ig (t ) = 3u (t ) − 3u (t − 0.01) Amperes 3 3e −0.01s I g ( s) = − s s 1000 I C (s) = I g (s) 1 1000 + −5 10 s −0.01s  3 3e  s   I C ( s ) =  −  s  s + 100  s  3 3e −0.01s    I C (s) =  − s + 100 s + 100   −100t −100 ( t − 0.01) iC (t ) = 3e u (t ) − 3e u (t − 0.01) Amperes ig (t ) = iR (t ) + iC (t ) iR (t ) = 3u (t ) − 3e −100t u (t ) − 3u (t − 0.01) + 3e −100 ( t −0.01)u (t − 0.01) Amperes v g (t ) = R * iR (t )

v g (t ) = 3 *103 u (t ) − 3 *103 * e −100t u (t ) − 3 *103 u (t − 0.01) + 3 *103 * e −100 ( t −0.01)u (t − 0.01) Volts 2.2.2. Para una entrada: Vg(t) = 5 sen 628t voltios calcule la expresión para I(t), UR(t),UL (t) y UC(t) para el circuito de la figura 3. I g (s) =

E (s) ( R + Ls +

1 ) Cs

3140 ( s + 628 )(10 s + 10− 2 s 2 + 2 *105 ) 314000 I g (s) = 5 3 4 7 2 (10 s + s + 2 * 10 s + 6282 * 105 * s + 6282 s 2 + 6282 * 2 *107 ) I g (s) =

2

2

3

31.6 * 10−6 (0.7112 − 2.278 j ) *10 −3 (0.7112 + 2.278 j ) * 10−3 1.4539 * 10−3 + + − ( s + 9980) ( s − j 628) ( s + j 628) ( s + 200) −6 −9980 t −200 t ig (t ) = 31.6 * 10 * e + 1.4224 cos 628t + 4.556sen628t + 1.4539 * e I g (s) =

4.556  1.4224  ig (t ) = 31.6 * 10− 6 * e −9980t + 4.773 cos 628t + sen628t  + 1.4539 * e − 200t 4.773  4.773  −6 −9980 t ig (t ) = 31.6 * 10 * e + 4.773( senφ cos 628t + cos φsen628t ) + 1.4539 * e −200t ig (t ) = 31.6 * 10−6 * e −9980t + 4.773sen(628t + 17.34º ) + 1.4539 * e −200t

3: PROCEDIMIENTO 3.1: Empleando MATLAB grafique las formas de onda de U(t), IR(t), IL(t) y IC(t) para los circuitos de las figuras 1 y 2 utilizando las soluciones calculadas anteriormente. VL(t): >> t=-0.001:0.000001:0.04; >> Vrl=-3*exp(-100000*t).*(t>=0)+3*exp(-100000.*(t0.01).*(t>=0.01)).*(t>=0.01)3*exp(-100000.*(t-0.02).*(t>=0.02)).*(t>=0.02)+3*exp(100000.*(t-0.03).*(t>=0.03)).*(t>=0.03); >> plot(t,Vrl,'r'),title('Voltaje del Circuito RL'),xlabel('t (s)'),ylabel('Vrl (t)'); >> grid

Voltage del Circuito RL

3

2

Vrl (t)

1

0

­1

­2

­3 ­0.005

0

0.005

0.01

0.015 0.02 t (s)

0.025

0.03

0.035

0.04

IR(t): >> t=-0.001:0.000001:0.04; >>Ir=3*exp(-100000*t).*(t>=0)-3*exp(-100000.*(t0.01).*(t>=0.01)).*(t>=0.01)+3*exp(-100000.*(t0.02).*(t>=0.02)).*(t>=0.02)-3*exp(-100000.*(t0.03).*(t>=0.03)).*(t>=0.03); >> plot(t,Ir,'r'),title('Intensidad de la Resistencia del Circuito RL'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Ir (t)'); >> grid Intensidad de la Resistencia del Circuito RL

4 3 2

Ir (t)

1 0

­1 ­2 ­3 ­4 ­0.005

0

0.005

0.01

0.015 0.02 t (ms)

IL(t): >> t=-0.001:0.000001:0.04;

0.025

0.03

0.035

0.04

>>Il=-3*(1-exp(-100000*t)).*(t>=0)+3*(1-exp(-100000.*(t0.01).*(t>=0.01))).*(t>=0.01)-3*(1-exp(-100000.*(t0.02).*(t>=0.02))).*(t>=0.02)+3*(1-exp(-100000.*(t0.03).*(t>=0.03))).*(t>=0.03); >> plot(t,Il,'r'),title('Intensidad del Inductor del Circuito RL'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Il (t)'); >> grid Intensidad en el Inductor del Circuito RL

0.5 0 ­0.5

Il (t)

­1 ­1.5 ­2 ­2.5 ­3 ­3.5 ­0.005

0

0.005

0.01

0.015 0.02 t (ms)

0.025

0.03

0.035

0.04

VC(t): >>t=-0.001:0.000001:0.04; >>Vrc=-3*(1-exp(-100*t)).*(t>=0)+3*(1-exp(-100.*(t0.01).*(t>=0.01))).*(t>=0.01)-3*(1-exp(-100.*(t0.02).*(t>=0.02))).*(t>=0.02)+3*(1-exp(-100.*(t0.03).*(t>=0.03))).*(t>=0.03); >>plot(t,Vrc,'r'),title('Voltaje del Circuito RC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Vrc (t)'); >>grid

Voltage Del Circuito RC

0

­0.5

Vrc (t)

­1

­1.5

­2

­2.5 ­0.005

0

0.005

0.01

0.015 0.02 t (ms)

0.025

0.03

0.035

0.04

IR(t): >> t=-0.001:0.000001:0.04; >>Ir=3*(1-exp(-100*t)).*(t>=0)-3*(1-exp(-100.*(t0.01).*(t>=0.01))).*(t>=0.01)+3*(1-exp(-100.*(t0.02).*(t>=0.02))).*(t>=0.02)-3*(1-exp(-100.*(t0.03).*(t>=0.03))).*(t>=0.03); >> plot(t,Ic,'r'),title('Intensidad de LA Resistencia del Circuito RC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Ir (t)'); >> grid Intensidad de La Resistencia del Circuito RC

2.5

2

Ic (t)

1.5

1

0.5

0 ­0.005

0

0.005

0.01

0.015 0.02 t (ms)

IC(t): >> t=-0.001:0.000001:0.04;

0.025

0.03

0.035

0.04

>>Ic=3*exp(-100*t).*(t>=0)-3*exp(-100.*(t0.01).*(t>=0.01)).*(t>=0.01)+3*exp(-100.*(t0.02).*(t>=0.02)).*(t>=0.02)-3*exp(-100.*(t0.03).*(t>=0.03)).*(t>=0.03); >> plot(t,Ic,'r'),title('Intensidad del Capacitor RC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Ic (t)'); >> grid

del

Circuito

Intensidad del Capacitor del Circuito RC

3 2

Ic (t)

1 0

­1 ­2 ­3 ­0.005

0

0.005

0.01

0.015 0.02 t (ms)

0.025

0.03

0.035

0.04

3.2 EMPLEANDO MATLAB GRAFIQUE LAS FORMAS DE ONDA DE I(T), UR(T), UL(T) Y UC(T) PARA EL CIRCUITO DE LA FIGURA 3 UTILIZANDO LAS SOLUCIONES CALCULADAS ANTERIORMENTE.

I(t): >> t=0:0.0001:0.08; >> It=0.0000316*exp(-99800*t)-0.0013454*exp(200*t)+0.004773*sin(628*t-0.303); >> plot(t,It,'r'),title('Corriente del Circuito RLC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('It (t)'); >> grid 6

x 10

­3

Corriente del Circuito RLC

4

It (t)

2

0

­2

­4

­6

0

0.01

0.02

0.03

0.04 t (ms)

0.05

0.06

0.07

0.08

VR(t): >> t=0:0.0001:0.08; >> Vr=0.0316*exp(-99800*t)-1.3454*exp(200*t)+4.773*sin(628*t-0.303); >> plot(t,Vr,'r'),title('Voltaje de la Resistencia del Circuito RLC'),xlabel('t (s)'),ylabel('Vr (t)'); >> grid

Voltaje de la Resistencia del Circuito RLC

6

4

Vr (t)

2

0

­2

­4

­6

0

0.01

0.02

0.03

0.04 t (s)

0.05

0.06

0.07

0.08

VL(t): >> t=0:0.0001:0.08; >> Vl=-0.0315*exp(-99800*t)+0.0029*exp(200*t)+0.02998*sin(628*t+1.27); >> plot(t,Vl,'r'),title('Voltaje en el Inductor del Circuito RLC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Vl (t)'); >> gris V o lt a je   e n   e l  I n d u c t o r   d e l  C ir c u it o   R L C 0 .0 4

0 .0 3

0 .0 2

V l  ( t )

0 .0 1

0

­ 0 .0 1

­ 0 .0 2

­ 0 .0 3

0

0 .0 1

0 .0 2

0 .0 3

0 .0 4 t ( m s )

VC(t):

0 .0 5

0 .0 6

0 .0 7

0 .0 8

>> t=0:0.0001:0.08; >> Vc=-0.0001*exp(-99800*t)+1.451*exp(200*t)+1.52*sin(628*t-1.27); >> plot(t,Vc,'r'),title('Voltaje en el Condensador del Circuito RLC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Vc (t)'); >> grid Voltaje en el Condensador del Circuito RLC

2.5 2 1.5

Vc (t)

1 0.5 0 ­0.5 ­1 ­1.5 ­2

0

0.01

0.02

0.03

0.04 t (ms)

0.05

0.06

0.07

0.08

3.4: Empleando el programa de simulación Multisim esquematice los circuitos anteriormente calculados, realice la simulación y grafique las formas de ondas resultantes.

XSC1 I2

R1 1.0k

0A3A 10msec 40msec

L1 10mH

G T A

0

Voltaje en el inductor

15

B

2

XSC2

I1 0A3A 10msec 40msec

R2 1.0k

C1 10uF

G T A

0

Voltaje en el Capacitor

B

XSC1 G T A

1

R1 1.0k

2

B

L1

3

10mH

V1 C1 5.1uF

5V 100 Hz 0Deg 0

Voltaje en resistencia

Voltaje en inductor

Voltaje en capacitor

3.5: Calcule gráficamente y mediante los programa de simulación los parámetros de la respuesta transitoria anteriormente definidos.

Voltaje RL A : v1_1

3.000kV

2.000kV

1.000kV

0.000kV

-1.000kV

-2.000kV

-3.000kV 0.000ms

10.00ms

20.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

60.00ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

Corriente en R de RL A: r1[i]

3.000 A

2.000 A

1.000 A

0.000 A

-1.000 A

-2.000 A

-3.000 A 0.000ms

10.00ms

20.00ms

Corriente en L de RL A: l1[i]

1.000 A 0.500 A 0.000 A -0.500 A -1.000 A

-1.500 A -2.000 A -2.500 A -3.000 A 0.000ms

10.00ms

20.00ms

60.00ms

Voltaje en RC A: v4_1

0.250kV 0.000kV -0.250kV -0.500kV -0.750kV -1.000kV -1.250kV -1.500kV -1.750kV -2.000kV -2.250kV 0.000ms

10.00ms

20.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

60.00ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

60.00ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

60.00ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

Corriente en R de RC A: r4[i]

2.250 A 2.000 A 1.750 A 1.500 A 1.250 A 1.000 A 0.750 A 0.500 A 0.250 A 0.000 A -0.250 A 0.000ms

10.00ms

20.00ms

Corriente en C de RC

A: c2[i]

3.000 A

2.000 A

1.000 A

0.000 A

-1.000 A

-2.000 A

-3.000 A 0.000ms

10.00ms

20.00ms

Corriente en RLC A : r2[i]

6.000mA

4.000mA

2.000mA

0.000mA

-2.000mA

-4.000mA

-6.000mA 0.000ms

10.00ms

20.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

60.00ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

60.00ms

70.00ms

80.00ms

90.00ms

100.0ms

Voltaje en R de RLC v2_1-l2_1

5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0.000 -1.000 -2.000 -3.000 -4.000 -5.000 0.000ms

10.00ms

20.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

Voltaje en L de RLC l2_1-c1_2

40.00m

30.00m

20.00m

10.00m

0.000m

-10.00m

-20.00m

-30.00m

-40.00m 0.000ms

10.00ms

20.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

60.00ms

70.00ms

Voltaje en C de RLC A: c1_2

3.000 V 2.500 V 2.000 V 1.500 V 1.000 V 0.500 V 0.000 V -0.500 V -1.000 V -1.500 V -2.000 V 0.000ms

10.00ms

CUESTIONARIO FINAL:

20.00ms

30.00ms

40.00ms

50.00ms

60.00ms

70.00ms

1. Indique porque el comportamiento de la respuesta difiere en los tres circuitos RLC. Difiere porque: • En el circuito 1 debido a la presencia de un inductor hay un adelanto de corriente con respecto a la tensión de 90º. • En el circuito 2 debido a la presencia del capacitor la corriente se atrasa con respecto a la tensión 90º. 2. Realice el cálculo de la respuesta transitoria para un circuito RLC en paralelo considerando los mismos valores de la figura 3. V4 -5/5V

100 Hz

R4 1k

L3 10mH

C3 5uF

t=0:0.0001:0.08; >> Ir=0.628*sin(628*t); >> plot(t,Ir,'r'),title('Corriente de la Resistencia del Circuito RLC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Ir (t)'); >> grid

t=0:0.0001:0.08; >> Il=0.1592-0.1592*sin(628*t-1.5708); >> plot(t,Il,'r'),title('Corriente del Inductor RLC'),xlabel('t (ms)'),ylabel('Il (t)'); >> grid >>

t=0:0.0001:0.08; >> Ic=0.0016*sin(628*t+1.5708); >> plot(t,Ic,'r'),title('Corriente del RLC'),xlabel('t (s)'),ylabel('Ic (t)'); >>grid

Inductor

del

Circuito

del

Circuito

3.

¿Existe alguna otra manera de observar la respuesta transitoria de los circuitos? Indique como lo realizaría. Si. Analizando experimentalmente usando un osciloscopio montado al circuito poniendo las puntas de prueba en el osciloscopio en los extremos de los componentes, obteniendo la repuesta transitoria del componente deseado.

4. Indique 04 aplicaciones prácticas de los circuitos RLC e ilústrelas. -

En la generación, transmisión, distribución y consumo de energía eléctrica. En el diseño de circuitos selectivos en frecuencia para la comunicación (radio, teléfono y televisión), calculo control y procesamiento de señales. En la sintonización de Frecuencias. Para filtros, osciladores, divisores de tensión, circuitos trampa de frecuencia. También en motores. Circuitos resonantes en serie

L1

R1

C1

Circuitos resonantes en paralelo

C1

L1

R1

Rectificadores

C1

L1

R1

Filtro pasa altos C6 1uF

L7 1uH

L6 1uH

Filtro pasa bajos L8 1uH

C7 1uF

C8 1uF

Filtro supresor de banda

R9 1k

L9 1uH C9 1uF

R8 1k

CONCLUSIONES -

En los circuitos las señales dependen de la frecuencia que determinan su calidad y el funcionamiento del circuito. Si trabajamos con la frecuencia se simplifican los cálculos en los sistemas eléctricos siendo estos más rápidos. Mediante cálculos se puede predecir el comportamiento de los circuitos conectados a cualquier tipo de fuente. La frecuencia de entrada es igual a la frecuencia de salida para el circuito 3. Reconocimos los parámetros de las respuestas de un circuito RLC. Usando los programas MATLAB, CIRCUIT MAKER Y MULTISIM comprobamos nuestros cálculos en los 3 circuitos. Las graficas de voltaje en los diferentes elementos de los circuitos demuestran que al comienzo el voltaje es mayor y luego baja hasta tomar un valor estable