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FACULTAD DE INGENIERÍA

ANÁLISIS MATEMÁTICO III INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN Ing. Alejandro Ochoa Aliaga

HUANCAYO - PERÚ

Indicadores de logro

Actividad

Observación

Resumen

Bibliografía recomendada

Nexo

Autoevaluación formativa

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES Dirección de Educación a Distancia Huancayo. Impresión Digital a cargo de Impresos S.R.L. - Huancayo Telf. 200198

Análisis Matemático III

Excelencia Académica

PRESENTACIÓN Las matemáticas constituyen una herramienta esencial para el desarrollo de casi todas las áreas del conocimiento: son fundamentales como soporte estructural para el modelado de diversos fenómenos en ramas que van desde la física, ingeniería, medicina, biología, estadística, ciencias sociales, economía y ciencias afines. Esto se ve reflejado en el aporte que prestan en la solución de diferentes problemas prácticos de ingeniería que de otra forma resultaría imposible resolver. Enfrentarse y buscar la solución a estos problemas, implica el conocimiento de los elementos necesarios para lograr tal objetivo. En este curso de Análisis Matemático III se busca familiarizar al estudiante en la utilización de las funciones de más de una variable para la solución de problemas.

PRESENTACIÓN

En el presente texto se exponen un conjunto de instrumentos del análisis matemático con varias variables cuya finalidad es ayudar a manejar, de una forma cómoda y útil, la cada vez mayor cantidad de información de tipo cuantitativo con varias variables. Inicialmente se introduce una definición de las funciones con más de una variable como soporte necesario para la interpretación y su aplicación. Una correcta interpretación de las funciones con varias variables permite al estudiante encontrar instrumentos en la solución de los diferentes problemas de aplicación. Luego se presentan los limites y continuidad de funciones de mas de una variable, las derivadas parciales, diferenciabilidad y diferencial total, regla de cadena para funciones de mas de una variable, extremos de funciones de mas de una variable y integración múltiple. Cada fascículo del presente curso comienza por establecer las definiciones, principios de los temas a tratar en el. Los ejemplos ilustrativos y los problemas resueltos que figuran a continuación se han seleccionado no solo con el objeto de ampliar la teoría, sino también con el que el estudiante adquiera práctica en la formulación y resolución de problemas; para que este pueda aplicar repetidamente los principios fundamentales y que la enseñanza sea eficaz. LOS AUTORES

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TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD ACADÉMICA I FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES 1.1. Definición del espacio numérico n-dimensional 1.2. Definición de función de n variables 1.3. Definición de función compuesta de dos variables 1.4. Definición de función compuesta de n variables 1.5. Definición de la gráfica de una función de dos variables 1.6. Definición de la gráfica de una función de n variables Problemas resueltos Autoevaluación formativa UNIDAD ACADÉMICA II LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE 2.1. Definición de la distancia entre dos puntos de r 2.2. Definición de bola abierta en r 2.3. Definición de bola cerrada en r 2.4. Definición del límite de una función de n variables 2.5. Definición del límite de una función de dos variable 2.6. Teorema 2.7. Definición de punto de acumulación 2.8. Definición del límite de una función de dos variables a través de un conjunto específico 2.9. Teorema 2.10. Teorema 2.11. Definición de continuidad de una función de n variables 2.12. Definición de continuidad de una función de dos variables 2.13. Teorema 2.14. Teorema 2.15. Teorema 2.16. Definición de continuidad en una bola abierta 2.17. Teorema Problemas resueltos Autoevaluación formativa UNIDAD ACADÉMICA III DERIVADAS PARCIALES 3.1 Definición de derivada parcial de una función de dos variables 3.2 Definición de derivada parcial de una función de n variables 3.3. Teorema Problemas resueltos Autoevaluación formativa

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09 09 09 11 11 12 12

25 25 26 26 27 28 30 30 31 32 32 37 37 39 39 39 40 40 41 46

51 51 58 62 62 66

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UNIDAD ACADÉMICA IV DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL 4.1. Definición de incremento de una función de dos variables 4.2. Definición de función diferenciable de dos variables 4.3. Teorema 4.4. Teorema 4.5. Definición de la diferencial total de una función de dos variables 4.6. Definición de incremento de una función de n variables 4.7. Definición de función diferenciable de n variables 4.8. Definición de la diferencial total de una función de n variables Problemas resueltos Autoevaluación formativa

69 70 70 71 73 73 75 75 76 79 86

UNIDAD ACADÉMICA V REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE 91 5.1. Teorema la regla de la cadena 91 5.2. Teorema la regla de la cadena general 93 5.3. Teorema 95 5.4. Teorema 96 5.5. Derivadas direccionales y gradientes 97 Problemas resueltos 97 Autoevaluación formativa 104 UNIDAD ACADÉMICA VI EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 6.1. Definición de extremos absolutos de funciones de dos variables 6.2. Definición de extremos relativos de funciones de dos variables 6.3. Teorema 6.4. Definición de punto crítico 6.5. Teorema criterio de la segunda derivada 6.6. Teorema del valor extremo para funciones de dos variables Problemas resueltos Autoevaluación formativa

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107 107 107 108 109 111 114 119 126

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UNIDAD ACADÉMICA VII INTEGRALES DOBLES 7.1. Definición del límite de una suma de Riemann de una función 7.2. Definición de la integral doble 7.3. Teorema 7.4. Teorema Poblemas resueltos Autoevaluación formativa UNIDAD ACADÉMICA VIII INTEGRALES TRIPLES 8.1. Coordenadas cilíndricas y esféricas 8.2. Integrales triples 8.3. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas Problemas resueltos Autoevaluación formativa

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131 131 131 131 133 140 146

149 149 153 157 164 176

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FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES Hasta ahora ha aprendido funciones con una o dos variables y algunas de sus aplicaciones, el siguiente paso consistirá en aprender a trabajar con funciones de varias variables, has de tener en cuenta que ahora se vana graficar superficies.

INDICADORES DE LOGRO Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante: - Define funciones de n variables. - Define una función compuesta de n variables - Grafica superficies de nivel para construir la gráfica de una función de varias variables. FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES 1. FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Estas funciones se presentan con frecuencia en situaciones prácticas. Por ejemplo, el área de la superficie del cuerpo de una persona depende del peso y de la estatura de la persona. El volumen de un cilindro circular recto depende de su radio y de su altura. De acuerdo con la ley de los gases ideales, el volumen ocupado por un gas es directamente proporcional a su temperatura e inversamente proporcional a su presión. El precio de venta de un artículo particular puede depender de su costo de producción, del costo de materiales y de los gastos generales. Con el fin de extender el concepto de función a funciones de cualquier número de variables, primero se considerará el espacio numérico n-dimensional. Del mismo modo en que se denotó un punto de R mediante un número real x, un punto de R 2 por medio de un par ordenado de números reales (x,y), y un punto de R 3 mediante una terna ordenada de números reales (x,y,z), un punto del espacio n-dimensional Rn se representa por medio de una n-nada (léase “eneada”) o n-upla ordenada de números reales denotada por P = (x 1,x2………xn). En particular, si n = 1, P = x; si n = 2, P = (x,y); si n =3, P = (x,y,z); si n =6, P = (x 1,x2,x3,x4,x5,x6). 1.1. DEFINICIÓN DEL ESPACIO NUMÉRICO N-DIMENSIONAL El conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales se denomina espacio numérico n-dimensional y se denota por R n. Cada n-ada ordenada (x1,x2………xn) se llama punto del espacio numérico n-dimensional. 1.2. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE N VARIABLES Una función de n variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P,w) en el que dos pares ordenados distintos cualesquiera no tiene el mismo primer elemento. P es un punto del espacio numérico n-dimensional y w es un número real. El conjunto de todos los puntos P admisibles recibe el nombre de dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de w se denomina contra dominio de la función. De esta definición, el dominio de una función de n variables es un conjunto de puntos de R n y su contra dominio es un conjunto de números de R. cuando n = 1, se tiene una función de una variable; de modo que el dominio es un conjunto de puntos de R o, equivalente, un conjunto de números reales. En consecuencia, la definición Universidad Peruana Los Andes

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1.1 es un caso especial de la definición 1.2. Si n = 2, se tiene una función de dos variables, y el dominio es un conjunto de puntos de R 2 o, equivalentemente, un conjunto de pares ordenados de números reales (x,y). EJEMPLO ILUSTRATIVO 1: Sea la función ƒ, de las dos variables x e y, el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P,z) tales que:

FIGURA 1

El dominio de ƒ es el conjunto {(x,y) | x + y £ 25}. Este es el conjunto de puntos de plano xy sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 25 y la región interior limitada por esa circunferencia. La figura 1 muestra el dominio de ƒ como una región sombreada de R2. Debido a que z = 25 - ( x 2 + y 2 ) , entonces 0 £ z £ 5; por tanto el contra dominio de ƒ es el conjunto de números reales del intervalo cerrado [0,5]. 2

2

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2: La función g de las variables x y y es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z) tales que:

z=

1 2

x + y 2 - 25

Y 5

5

-5 0

X

-5

FIGURA 2 2

2

El dominio de g es el conjunto {(x,y) | x + y > 25}. Éste es el conjunto de puntos de la región exterior de la circunferencia x 2 + y 2 > 25. La figura 2 muestra el dominio como una región sombreada de R2. Si ƒ es una función de n variables, entonces de acuerdo con la definición 1.2, ƒ es un conjunto de pares ordenados de la forma (P,w), donde P = (x 1,x2………xn) es un punto R n y w es un número real. El valor particular de w que corresponde a un punto P se denota mediante el símbolo ƒ(P) o ƒ(x 1,x2………xn) . En particular, si n = 2 y P = (x,y), se puede representar el valor de función como ƒ(P) o como ƒ(x,y). De manera semejante, si n = 3 y P = (x,y,z), el valor de función se representa como ƒ(P) o como ƒ(x,y,z). Observe que si n = 1, P = x; en consecuencia, si ƒ es una función de una variable, ƒ(P) = ƒ(x). Por tanto, esta notación es consistente con la notación para valores de función de una variable. 10

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Una función ƒ de n variables puede definirse por la ecuación. w = ƒ(x1,x2………xn) Las variables x 1,x2………xn se denomina variables independientes y w se llama variable dependiente. EJEMPLO ILUSTRATIVO 3: Sea ƒ la función del ejemplo ilustrado 1; es decir, ƒ(x, y) = 25 - x 2 - y 2 Entonces: ƒ(3,-4) = 25 - 32 - (-4)2 = 25 - 9 - 16 =0

ƒ(-2,1) = 25 - (2)2 - 12 = 25 - 4 - 1

ƒ(u,3v) = 25 - u 2 - (3v )2 = 25 - u 2 - 9v 2

=2 5 EJEMPLO 1: Sea g la función definida por g ( x, y , z ) = x 3 - 4 yz 2 Obtenga: (a) g (1,3, -2); (b) g (2a,-4b,3c); (c) g (x2,y2,z2); (d) g (y,z,-x)

Solución: (a) g (1.3. -2)

= 13 – 4 (3)(-2)2 = 1 – 48 = -47 (b) g (2a,-4b,3c) = (2a)3 – 4(-4b)(3c)2 = 8a3 + 144bc2

(c) g (x2,y2,z2) = (x2)3 – 4y2 (z2)2 = x6 +4y2z4 (d) g (y,z,-x) = y3 – 4z( -x)2 = y3 – 4x2z

1.3. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA DE DOS VARIABLES Si ƒ es una función de una variable y g es una función de dos variables, entonces la función compuesta ƒ o g es la función de dos variables definida por. (ƒ o g )(x,y) = (ƒ ( g (x,y) y el dominio de ƒ o g es el conjunto de todos los puntos (x,y) del dominio de g tales que g (x,y) pertenece al dominio de ƒ. EJEMPLO 2: Dados ƒ(t) = ln t y g (x,y) = x 2 + y, calcule h(x ,y) si h = ƒ o g, y determine el dominio de h. Solución: h(x,y) = (ƒ o g )(x,y) = ƒ (x2 + y) = ƒ ( g (x,y) = In (x2 + y) El dominio de g es el conjunto de todos los puntos de R 2, y el dominio de ƒ es el intervalo (0, + ¥ ). Por tanto, el dominio de h es el conjunto {(x,y) | x2 + y > 0}. La definición 1.3 puede extenderse a una función compuesta de n variables como se muestra a continuación. 1.4. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA DE N VARIABLES Si ƒ es una función de una variable y g es una función de n variables, entonces la función compuesta ƒ o g es la función de n variables definida por (ƒ o g ) (x1,x2………xn) = (ƒ ( g (x1,x2………xn)) y el dominio de ƒ o g es el conjunto de los puntos (x 1,x2………xn) del dominio de g tales que g (x1,x2………xn) pertenece al domino de ƒ. Universidad Peruana Los Andes

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EJEMPLO 3: Dadas F (x) = sen -1 y G (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 - 4 Obtenga la función F o G y su dominio. Solución: (F o G) (x,y,z) = F(G(x,y,z)) = sen -1 x 2 + y 2 + z 2 - 4 = F( x 2 + y 2 + z 2 - 4 ) El dominio de G es el con junto {(x,y,z) | x 2 + y 2 + z 2 - 4 ³ 0}, y el dominio de F es el intervalo [ -1. 1]. Por tanto, el dominio de F o G es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) de R 3 tales que 0 £ x 2 + y 2 + z 2 - 4 £ 1, o equivalentemente, 4 £ x 2 + y 2 + z 2 £ 5. Una función polinomial de las variables x e y es una función ƒ tal que ƒ(x,y) es la suma de términos de la forma cxn ym , donde c es un número real y n y m son números enteros no negativos. El grado de una función polinomial está determinado por la mayor suma de los exponentes de x y y que se tiene en los términos de la función. EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 (a) La función ƒ definida por ƒ(x,y) = x 3 + 2 x 2 y 2 - y 3 Es una función polinomial de grado 4 debido a que el término de mayor grado es 2x2 y 2 (b) Si 3 2 g ( x, y ) = 6 x y - 5 xy 3 + 7 x 2 y - 2 x 2 + y + 4 Entonces g es una función polinomial de grado 5. La gráfica de una función ƒ de una variable consiste del conjunto de puntos (x,y) de R2 para los cuales y = ƒ(x). De manera similar, la gráfica de una función de dos variables es un conjunto de puntos de R3. 1.5. DEFINICIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Si ƒ es una función de dos variables entonces la gráfica de ƒ es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) de R 3 para los cuales (x,y) es un punto del dominio de ƒ y z = ƒ(x,y). En consecuencia, la gráfica de una función ƒ de dos variables es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (x,y,z). Como el dominio de ƒ es un conjunto de puntos del plano xy y puesto que cada par ordenado (x,y) del dominio de ƒ corresponde a sólo un valor de z, ninguna recta perpendicular al plano xy puede intersectar a la gráfica de ƒ en más de un punto. EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 La función ƒ del ejemplo ilustrativo 1 es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (P, z :) tales que z = 25 - x 2 - y 2 Por tanto, la gráfica de/es la semiesfera en el plano xy y por arriba de éste cuyo centro es el origen y tiene radio 5. Esta semiesfera se muestra en la figura 3. FIGURA 3

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EJEMPLO 4 Dibuje la gráfica de la función definida por f(x,y) = x2 + y2

FIGURA 4

Solución: La gráfica de f es la superficie que tiene la ecuación z = x2 + y2. La traza de la superficie en el plano xy se obtiene al utilizar la ecuación z = 0 simultáneamente con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2 + y 2 = 0, la cual representa al origen. Las trazas en los planos xz y yz se obtienen al emplear las ecuaciones y = 0 y x = 0, respectivamente, junto con la ecuación z = x2 + y 2. Estas trazas son las parábolas z = x2 y z = y2. La sección transversal en el plano z = k, paralelo al plano xy, es una circunferencia con su centro en el eje z y radio k . Con esta información se obtiene la gráfica requerida, la cual se muestra en la figura 4 y que es un paraboloide circular. Otro método útil para representar geométricamente una función de dos variables es semejante al de representación de un relieve tridimensional por medio de un mapa topográfico bidimensional. Suponga que la superficie z = f(x, y) se intersecta con el plano z = k, y que la curva de intersección se proyecta sobre el plano xy. Esta curva proyectada tiene a f(x, y) = k como una ecuación, y la curva se denomina curva de nivel (o de contorno) de la función/en k. Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la superficie que se encuentra a k unidades sobre ella si k es positivo, o a k unidades debajo de ella si k es negativo. Al considerar diferentes valores para la constante k se obtiene un conjunto de curvas de nivel llamado mapa de contornos. El conjunto de todos los valores posibles de k es el contra dominio de la función f, y cada curva de nivel, f(x,y) = k , del mapa de contornos consiste de los puntos (x, y) del dominio del que tienen un valor de función igual a k.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 La figura 5 muestra la gráfica de la función del ejemplo 4 definida por f(x,y) = X2 + y2 Junto con las curvas de intersección de esta superficie con los planos z = k donde k es igual a 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Estas curvas son circunferencias con centros en el eje z y radio k . La figura 6 presenta las curvas proyectadas sobre el plano xy. Las circunferencias proyectadas, las cuales son curvas de nivel de la función f, representan una vista de las circunferencias de la figura 5 que se obtiene al mirar la superficie hacia abajo desde un punto del eje z. FIGURA 5 Universidad Peruana Los Andes

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Un mapa de contornos de z = f(x, y) muestra la variación de z con respecto a x e y en el plano xy al considerar las curvas de nivel. Los valores de z cambian más rápidamente cuando las curvas de nivel se encuentran más cercanas entre sí que cuando están más apartadas; esto es, cuando las curvas de nivel se hallan muy próximas entre sí la superficie es escarpada, y cuando las curvas de nivel están separadas la elevación de la superficie, relativa al plano xy, cambia gradualmente. Observe esta situación en la figura 6 para las curvas de nivel de la superficie de la figura 5. FIGURA 6

En un mapa topográfico bidimensional de un relieve, se obtiene una noción general de su inclinación al considerar el espacio entre sus curvas de nivel. También en uno de estos mapas, si se sigue la trayectoria de una curva de nivel, la elevación o altura permanece constante. EJEMPLO 5 Sea f la función definida por 2 f(x,y) = 8 - x - 2y

FIGURA 7

Dibuje la gráfica de f y un mapa de contornos de f que muestre las curvas en intervalos constantes de 2 unidades a partir de 8 y descendiendo hasta -8. Solución

La gráfica de f, mostrada en la figura 7, es la superficie

2

z = 8 - x - 2y Al considerar z = 0 se obtiene la traza en el plano xy, la cual es la parábola x2 = -2(y - 4). Si se considera y = 0 y x = 0, se obtienen las trazas en los planos xz y yz, las cuales son, respectivament e, la parábola x2 = -(z - 8) y la recta 2y + z = 8. La sección transversal de la superficie obtenida en el plano z = k es una parábola que tiene su vértice en la recta 2y + z = 8 del plano yz y abre a la izquierda. Las secciones transversales para z igual a 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 y - 8 se muestran en la figura. Las curvas de nivel de f son las parábolas x2 = -2(y - 4 + 1/2k). El mapa de contornos de f junto con las curvas de nivel requeridas se presentan en la figura 8. 14

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A fin de ilustrar la aplicación de las curvas de nivel, suponga que la temperatura en cualquier punto de una placa metálica plana está dada por la función f; es decir, si T grados es la temperatura, entonces en el punto (x, y), T = f(x,y). Por tanto, las curvas de nivel que tienen ecuaciones de la forma f(x,y) = k. donde k es una constante, son curvas sobre las que la temperatura es constante. Estas curvas de nivel se denominan isotermas. Además, si V volts proporcionan el potencial eléctrico en cualquier punto (x, y) del plano xy, y V=f(x,y), entonces las curvas de nivel reciben el nombre de curvas equipotenciales debido a que el potencial eléctrico en cada punto de una de estas curvas es el mismo. Como aplicación de las curvas de nivel en economía, considere la productividad (o salida) que depende de varios insumos (o entradas) en una empresa. Entre los insumos pueden considerarse el número de máquinas empleadas en la producción, el número de horas-persona disponibles, el monto de capital de trabajo, la cantidad

de material empleado así como el área de terreno disponible. Suponga que las cantidades de las entradas están dadas por x y y, y que la cantidad de salida está representada por z, donde z =f(x,y). Esta función se denomina función de producción, y las curvas de nivel de la forma f(x, y) = k. donde k es una constante, se llaman curvas de producción constante.

EJEMPLO 6 Sea f la función de producción para la cual f(x, y) = 2x1/2y1/2 Dibuje un mapa de contornos de f que muestre las curvas de producciónconstante en 8, 6, 4 y 2.

FIGURA 9

Solución El mapa de contornos consiste de las curvas de intersección de la superficie z = 2x1/2y1/2 (1) con los planos z = k. donde k es igual a 8, 6, 4 y 2. Al sustituir z = 8 en (1) se obtiene 4 = x1/2y1/2 o, equivalentemente, xy =16 x>0 y y>0 (2) Universidad Peruana Los Andes

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_6 _

_2 -2

-2

2 x

4 6

2

y

_ _ -2

Curvas de nivel de

FIGURA 11

f ( x, y , z ) = z + 2 y + 4 z

Ejemplo 8 La función ¦ está definida por ¦(x,y,z) = x 2 + y2 – z2 Describa las superficies de nivel de ¦ para (a) k = (b) k = -4, y (c) k = 0 Solución: (a) La superficie de nivel para k = 4 tiene la ecuación x2 + y 2 – z 2 = 4 Esta superficie, un hiperboloide de una hoja cuyo eje es el eje z, se muestra en la figura 12. (b) La superficie de nivel para k = -4 tiene la ecuación x2 + y2 – z2 = -4 Û -x2 - y2 + z2 =4 Esta superficie es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje z, y se presenta en la figura 13. (c) La superficie de nivel para k = 0 tiene la ecuación x2 + y 2 – z 2 = 0 Esta superficie, un cono cuyo eje es el eje z, se muestra en la figura 14.

FIGURA 12

FIGURA 13

FIGURA 14

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Expresar el volumen V del cono en función de su generatriz x y la altura y. C Solución

X Y

r

A

16

B

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Por Pitágoras del triangulo ABC se tiene además h = y = altura

x 2 = y 2 + r 2 ...........(1) de donde r2 = x 2 - y 2

p .r 2 h El volumen del cono es: V = 3 p .r 2 h p 2 p 2 2 V = = ( x - y ) y = ( x y - y 3 ) = f ( x, y ) 3 3 3 p \ V ( x, y ) = ( x 2 y - y 3 ) . 3 2. Expresar el área S del triángulo en función de sus tres lados x, y, z . B Solución El

y

x

h

z

A

perímetro del triángulo ABC es: x+ y+z 2p = x + y + z Þ p = = f ( x, y, z ) 2 C Luego el área S en función del perímetro es:

S = p( p - x )( p - y )( p - z ) reemplazando se tiene: S=

æ x + y + z öæ x + y + z öæ x + y + z öæ x + y + z ö - x ÷ç - y ÷ç - z÷ ç ÷ç 2 2 2 2 è øè øè øè ø

1 (x + y + z )(x + y - z )(x + z - y )( y + z - x ) 16 1 S (x,y,z) = (x + y + z )(x + y - z )(x + z - y )( y + z - x ) 4 S=

3. Formar la tabla de valores de la función z = (2x - 3y + 1) dando a las variables independientes los valores desde 0 hasta 5 con intervalos de una unidad.

Solución z = (2x - 3y + 1) x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 , y = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y x 0 1 2 3 0 1 3 5 7 1 -2 0 2 4 2 -5 -3 -1 1 3 -8 -6 -4 -2 4 -11 -9 -7 -5 5 -14 -12 -10 -8 4. Hallar los valores de la función. æ arc.tg(x+y) a) z = ç è arc.tg(x-y) b) z = e sen(x+y) c) z = y x

2

+1

+ xy

2

-1

ö ÷ ø

2

para

1+ 3 , 2 x = y =p 2

para

x = 2, y = 2

para

Solución

2

x=

y=

1-

5 9 6 3 0 -3 -6 3

2

æ 1 + 3 1 - 3 ö æ arc.tg (1) ö æ arc.tg ( x + y ) ö , a) z = f ( x, y ) = ç ÷=ç ÷ ÷ Þ f çç 2 ø÷ è arc.tg 3 ø èarc.tg ( x - y ) ø è 2 Universidad Peruana Los Andes

6 11 8 5 2 -1 -4

2

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æ 1 + 3 1 - 3 ö p 2 16 9 f çç , ÷÷ = 2 = 2 2 è ø p 9 16 b) z = f ( x, y ) = e sen ( x + y ) Þ f (p 2, p 2) = e senp = e 0 = 1 5. La función z = f ( x , y ) , que satisface idénticamente la relación f (mx, my ) = m k f ( x, y ) para cualquier m, es llamada función homogénea de k–esimo orden. Mostrar que la función de k-esimo orden z = f ( x , y ) siempre puede ser representada en forma z = x k F ( y / x ) Solución Como z = f ( x , y ) , satisface a la relación siguiente f (mx, my ) = m k f ( x, y ) para cualquier m entonces consideramos m = 1x que reemplazada en la ecuación f (mx, my ) = m k f ( x, y ) se tiene 1 f (1, y x ) = k f ( x, y ) Þ f ( x, y ) = x k f (1, y x)..................(1) x Luego considerando f (1, y x) = F ( y x).....................................(2) Reemplazando (2) en (1) se tiene : z = f ( x, y ) = x K f (1, y x ) = x K F ( y x) Por lo tanto: z = f ( x, y ) = x K F ( y x) Por lo tanto la función z = f ( x , y ) siempre se puede representar en la forma: K z=x F(x/y) 6. El carácter homogéneo de una función de cualquier número de variables independientes puedes ser determinada de manera análoga a la función de dos variables, por ejemplo, f (x,y ,z ) es una función homogénea de k - ésimo orden si f (mx, my , mz) = m k f ( x, y, z ) para cualquier m, también tiene lugar a propiedad f ( x, y , z ) = x k F ( y x , z x ) , Demostrarla. Solución Como f (x,y ,z ) satisface la relación f (mx, my, mz ) = m k f ( x, y, z ) h a c i e n d o 1 m = 1 x Þ f (1, y x , x z ) = k f ( x, y, z ) x de donde f (x,y,z) = x k f (1, y x , z x) = x k F ( y x , z x ) Por lo tanto si la función f (x,y,z) es homogénea de grado k en x, y, z tiene la propiedad f ( x, y , z ) = x k F ( y x , z x ) 7. El dominio está limitado por el paralelogramo de los lados y = 0 , y = 2 , y = x 2 , y = x 2 -1 La frontera del mismo se limita, dar este dominio por desigualdades. Solución y= x 2

y

y=2

dominio = D : 0 < y < 2 Ù -1 < y -

D x

0 y = x 2 -1

18

D : 0 < y < 2 Ù -1 < y -

x 4 x - 8 } Z =

R

2

1 - x2 - y2

Solución z = f ( x, y )

esta bien definida si : R 2 - x 2 - y 2 ¹ 0

De donde Df = {( x , y )e  2 / y 2 + x 2 ¹ R 2 }

Â2

Es decir el dominio de f es todo

x +y =R 2

2

2

menos los puntos de la circunferencia

z = x+ y + x- y Solución bien definida si : x + y ³ 0 Ù x - y ³ 0 = {( x , y ) e R / x + y ³ 0 Ù x - y ³ 0 }

Z = f ( x , y ) esta

De donde z =

2

Df

1 x + y

+

1 x - y

Solución Z = f ( x , y ) esta

De donde Z = arc .sen

Solución Z = arc . sen

Para

bien definida si : x + y > 0 Ù x - y > 0 Df = {( x, y )eR 2 / x + y > 0 Ù x - y > 0}

y -1 x

y -1 y -1 Þ = senz x x

- 1 £ senz

De donde

£ 1 Þ -1 £

y -1 £ 1 x

y - 1 y - 1 + 1 ³ 0 Ù - 1 £ 0 x x

x + y ³ 1 Ù x - y £ 1 Luego: Df

=

{( x , y ) e R

2

/ x + y ³ 1Ù x - y £ 1

}

æ x2 + y2 ö ÷÷ + arc . sec x 2 + y 2 z = arc . sen çç 2 ø è

(

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)

21

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Solución Sea

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Y

æx +y w = arc.sençç è 2

ö x +y ÷÷ Þ senw = 2 ø 2 x + y2 pero como - 1 £ senw £ 1 Þ -1 £ £1 Þ 0 £ x2 + y2 £ 2 2 2 2 Sea u = arc. sec x + y Þ sec u = x 2 + y 2 2

2

2

(

2

2

1

)

- ¥ < sec u £ - 1 Ú 1 £ sec u < +¥

pero como

-¥ < x 1£ x

2

+ y

+ y

2

2

2

£ -1 Ú 1 £ x

2

+ y

1

2

X

< +¥

2

< +¥

Sea Z = f ( x , y ) entonces Df = {(x, y) e R2 / 0 £ x2 + y2 £ 2 Ù1 £ x2 + y2 < +¥}

{

Df = ( x , y ) e R 2 / 1 £ x 2 + y 2 £ 2

4x - y2

21. z =

(

}

)

Ln 1 - x2 - y2 Solución Z = f ( x , y ) esta bien definida si se cumple :

(

)

4x - y 2 ³ 0 Ù 0 < 1 - x 2 - y 2 < 1 Ú 1 - x 2 - y 2 > 1

( Ù (0 < x

4x ³ y 2 Ù - 1 < -x 2 - y 2 < 0 Ú -x 2 - y 2 > 0 4x ³ y 2

2

+ y2 < 1Ú x2 + y2 < 0

)

)

4x ³ y 2 Ù 0 < x 2 + y 2 < 1 Luego Df = ( x, y ) e R 2 / y 2 £ 4 x Ù 0 < x 2 + y 2 < 1

{

22.z = ctg p (x + y ) Solución La función Z = ctg

}

p ( x + y ) no

esta definida en :

p (x + y ) = p n Þ x + y = n

Luego

Df

=

{( x , y ) e R

2

/ x + y ¹ n, neZ

}

RESUMEN En este fascículo se realiza la definición de funciones de n variables, así como su función compuesta, para luego poder graficar las superficies de nivel que ayudaran a graficar una función de varias variables.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Kong, Maynard. Cálculo Integral. Fondo Editorias Pontificia Universidad Católica del Perú, Tercera Edición. Lima, Perú 1995 Espinoza Ramos, Eduardo Análisis Matemático III, Ed. y Servicios Gráficos JJ Lima Perú 2002 Leithold, Louis. El Cálculo, Ed. Mexicana . 7ma edición México, 1999 22

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AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA 1. Sea g la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenados de la forma (P, w) tales que w = 4 - x2 - y2 - z 2 Û g(x,y,z) =

4 - x2 - y2 - z 2

1 1 1 1 3 Obtenga (a) g(1,-1, -1); (b) g(-1, , ); (c)g( x, y z ); 2 2 2 2 2 2 2 (d) [g(x, y, z)] - [g(x + 2, y + 2, z)] 2. Sea ¦ la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenados de la forma (P,w) tales que 4 W= 2 2 x + y + z2 -9 4 Û ¦(x,y,z) = 2 2 x + y + z2 -9 1 3 æ 2 2 1ö Calcule (a) ¦(1,2,3); (b) ¦(2,- , ); (c) ¦ ç - , , ÷ ; (d) ¦(x + 2, 1 , x -2) 2 2 è x x xø En los ejercicios 5 a 20, determine el dominio de f y dibújelo como una región de R 2. Utilice curvas punteados para indicar cualquier parte de la frontera que no pertenezca al domino y curcas continuas para indicar las partes de la frontera que pertenezcan al dominio. 1 3. ¦(x,y) = 2 x + y 2 -1 4 4. ¦(X,Y) = 4 - x2 - y2 5.

¦(x,y) =

1- x 2 - y 2

6.

¦(x,y) =

16 - x 2 - 4 y 2

7.

¦(x,y) =

x 2 - y - 12

8.

¦(x,y) =

x 2 - 4 y 2 + 16

9.

¦(x,y) =

x 2 + y 2 -1

10.

¦(x,y) =

11.

¦(x,y) =

x 2 + 4 y 2 - 16 1

12.

¦(x,y) =

13.

x4 - y4 ¦(x,y) = 2 x - y2

1- x 2 - y 2 1 16 - x 2 - 4 y 2

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23

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x- y x +y 15. ¦(x,y) = cos-1(x –y) 16. ¦(x,y) = In(x2 + y) 17. ¦(x,y) = In(xy-1) 18. ¦(x,y) = sen-1(x + y) En los ejercicios 19 a 26 determine el domino de f y represéntelo como una región de3R x+ y+z 19. ¦(x,y,z) = x- y-z z 20. ¦(x,y,z) = 2 x -y 14. ¦(x,y) =

21. ¦(x,y,z) =

16 - x 2 - 4 y 2 - z 2

22. ¦(x,y,z) =

9 - x2 - y2 - z2 23. ¦(x,y,z) = sen -1 x + sen-1 y + sen-1 z 24. ¦(x,y,z) = In x + In y + In z 25. ¦(x,y,z) = In(4 - x2 – y2) + z

26. ¦(x,y,z) = xz cos -1(y2 – 1) En los ejercicios 27 a 34 determine el dominio de f y dibuje su gráfica 27. ¦(x,y) = 16 - x 2 - y 2 28. ¦(x,y) = 6 – 2x + 2y 29. ¦(x,y) = 16 –x2 – y2 30. ¦(x,y) = 100 - 25 x 2 - 4 y 2 31. ¦(x,y) = x2 –y2 32. ¦(x,y) = 144 – 9x2 – 16y2 33. ¦(x,y) = 4x2 + 9y2 34. ¦(x,y) = x + y En los ejercicios 35 a 46 dibuje un mapa de contornos de f que muestre las curvas de nivel para los números indicados. 1 35. ¦(x,y) = ( x 2 + y 2 ) para 8, 6, 4, 2 y 0 2 1 1 1 1 36. ¦(x,y) = (x-3)/(y+2) para 4, 2, 1, , ,0 , - , - , -1 , -2 y -4 2 4 4 2. 1 1 37. ¦(x,y) = exy para 1, 2, e, 4, , e - 4 y 2 4 38. ¦(x,y) = Inxy para 0,1,2,4, -1, -2 y -4 39. Sean ¦(x,y) = x – y , g(t) = t. , h (s) = s 2. Calcule (a) ( g o f )(5 , 1) (b) hf((3), g (9)) (c) f ( g ( x), h( y)) (d) g ((h o f )(x, y )) (e) (g o h ) ( f (x, y )) 40. Sean ¦(x,y) = x/y2 f ( g (2), h(4))

. g(x) =x2

,

h( x) =

x .

Calcule (a)

(h o f )(2,1)

(b)

(c) f ( g ( x ), h( x 2 )) (d) h(( g o f )( x, y )) (e) (h o g )( f ( x, y)) 24

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LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE INDICADORES DE LOGRO Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante: -

Define el concepto de límite de funciones de más de una variable. Define el concepto de continuidad de funciones de más de una variable. Interpreta los teoremas para la resolución de ejercicios de aplicación.

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE La definición del límite de una variable involucra la distancia entre dos puntos de la recta numérica real. El limite de una función de más de una variable también implica la distancia entre dos puntos; por lo que se inicia el estudio de estos límites con la definición de distancia entre dos puntos de Rn. En R la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia de dos números reales. Esto es, x - a es la distancia entre los puntos x y a de la recta numérica real. En R 2 de la distancia entre los puntos P(x,y) y P0 (X0,Y0 ) está dada por

(x - x0 )2 + (y - y0 )2 . En R3 la distancia entre los puntos P (x, y, z ) y (x - x0 )2 + (y - y0 )2 + (z - z0 )2 .En R n la P0 (x0 , y0 , z 0 ) está determinada por la expresión

distancia entre dos puntos se define de manera análoga. 2.1. DEFINICIÓN DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE R n Si P (x1 , x2 .....x n ) y A(a1 , a 2 .....an ) son dos puntos de R n entonces la distancia entre P y A, denotada por P - A , esta determinada por

P - A = (x1 - a1 ) 2 + (x 2 - a 2 )2 + ... + (x n - a n ) 2 El símbolo

P - A representa un número no negativo y se lee como “la distancia

entre P y A”. En R, R2 y R3 , la fórmula de la definición 2.1 se transforma, respectivamente, en x-a = x-a

(x, y )- (x0 , y 0 ) Universidad Peruana Los Andes

=

(x - x0 )2 + (y - y0 )2 25

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(x, y, z )- (x0 , y0 , z0 )

=

a–r

(x - x0 )2 + (y - y0 )2 + (z - z0 )2 a

a+r

bola abierta B

[a, r ] en R

FIGURA 1

2.2. DEFINICIÓN DE BOLA ABIERTA EN R n Si A es un punto de R n y r es un número positivo, entonces la bola abierta B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de R n tales que P - A < r. a–r

a

a+r

bola cerrada B

[a, r ] en R

FIGURA 2

2.3 DEFINICIÓN DE BOLA CERRADA EN R n Si A es un punto de R n y r es un número positivo, entonces la bola cerrada B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de R n tales que. P - A £ r . Con el fin de ilustrar estas definiciones, se mues tra lo que ellas significan en R, R 2 y R3. En primer lugar, si a es un punto de R, entonces la bola abierta B(a; r) es el conjunto de todos los puntos x de R tales que x - a < r r FIGURA 3

Bola abierta

(x0 , y0 ) B x0 , y 0 ; r (( ) )

en R2

El conjunto de puntos que satisface esta ecuación es el conjunto de todos los puntos del intervalo abierto (a - r, a + r); de modo que la bola abierta B(a; r) en R (refiérase a la figura 1) es simplemente el intervalo abierto cuyo punto medio es a cuyos extremos son a - r y a + r. La bola cerrada B[a ; r ] en R (Figura 2) es el

intervalo cerrado [a - r , a + r ].

Si (x0 , y 0 ) es un punto de R 2, entonces la bola abierta B(x 0 , y 0 ) ; r ) es el conjunto de todos los puntos (x,y) de R2 tales que

(x - x0 )2 + (y - y0 )2 0 , sin importar que una pequeña sea, existe una δ > 0 tal que: Si 0 < P - A < δ entonces f ( P) - L 0 , sin importar que tan pequeña sea, existe una δ > 0 tal que: Si 0 < x - a < δ entonces f ( x ) - L 0 , sin importar que tan pequeña sea, existe una δ > 0 tal que: Si 0
0 tal que: 2

2

Si 0 < (x - 1) + ( y - 3) < δ entonces ( 2 x + 3) - 11 0 , sin importar que tan pequeña sea, existe una δ > 0 tal que Si 0 < (x, y ) - (x0 - y0 ) < δ entonces f (x, y ) - L 0 existe una δ > 0 tal que si 0 < (x, y )- (x0 - y0 ) < δ entonces f (x, y )- L 0 existe una d > 0 tal que x 4 + 2x 2 + 2 y 2 + y 4 - 2 0. Por tanto, la función h es la función compuesta f o g y por el teorema 2.17 es continua en todos los puntos (x, y) de R2 para los cuales xy - 1 > 0 . EJEMPLO 12 Determine todos los puntos en los que 40

f

es continua si: Universidad Peruana Los Andes

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1

f(x,y) =

x 2 + y 2 - 25

SOLUCIÓN: El domino f es el conjunto de todos los puntos (x, y) de R 2 para los cuales

x 2 + y 2 - 250 > , Estos son los puntos de la región exterior limitada por la 2 2 circunferencia x + y = 25 como se muestra en la figura 15. La función f es el cociente de las funciones g y h para las que

g ( x, y ) = 1

h( x, y ) = x 2 + y 2 - 25

Como g es una función constante, es continua en cada punto de R 2. D el teorema 2 . 1 7 , h e s c o n t i n u a e n c a d a p u n t o d e R 2 que satisfacen la desigualdad

x 2 + y 2 > 25 . Por tanto, por el teorema 2.13 (iv), f

es continua en todos los

puntos de su dominio. PROBLEMAS RESUELTOS En los ejercicios 1 - 5 calcular los límites de las funciones que se dan a continuación, estimando que las variables independientes tienden, de manera arbitraria, a sus valores límites. 1.

x2 + y2

lim

( x , y )® ( 0 , 0 )

x2 + y2 +1 -1

SOLUCIÓN:

lim

(x,y) ® (0,0)

x2 + y2 x2 + y2 +1

=

lim

(x,y) ® (0,0)

( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 + 1 + 1 ( x 2 + y 2 + 1) - 1

( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 + 1 + 1 lim = (x,y) ® (0,0) x2 + y 2 = 0 + 0+ 1 + 1 = 1 +1 = 2 2.

lim

(x,y) ® (0,0)

lim

(x,y) ® (0,0)

x2 + y 2 +1 + 1

x 2 y 2 + 1 -1 x2 + y2

SOLUCIÓN:

lim

(x,y) ® (0,0)

lim

(x,y) ® (0,0)

x2 y2 + 1 - 1 = x2 + y2

lim

(x,y) ® (0,0)

x2 y 2

x2 y2 + 1 - 1 ( x 2 + y 2 )( x 2 y 2 + 1 + 1)

( x 2 + y 2 )( x 2 y 2 + 1 + 1)

2 S = {^(x,y) Î IR / y = kx} x2 y 2 k 4 x4 = lim lim ( x )®(0, 0) 2 2 2 2 (x,y) ® (0,0) (k 2 + 1) x 2 ( k 4 x 4 + 1 + 1) (x + y ) x y +1 +1

Sea:

= lim

( x ) ®( 0 , 0 )

k 4 x2

=0 (k 2 + 1 )( k 4 x 4 + 1 + 1)

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41

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Ahora demostraremos por la definición que:

x2 y2 + 1 - 1

=0 x2 + y 2 e > 0 , $ δ > 0 / 0 < ( x,y ) - (0, 0) < δ Þ

lim

(x,y) ® (0,0)

Dado 0
0 existe una

si 0 < x + y < d 2

2xy 4 y

(x

2

+y

)

2 2

2

=

entonces

2 xy

(x

2

2xy 4

+y

(x

2

+y

)

2 2

(8)

= 2 x2 + y2

1 δ es 2δ =Î, esto es δ= Î con esta 2

se tiene el argumento siguiente:

0 < x2 + y2 < δ y δ =

78

0

1 æ1 ö 2 2 Î Þ 2 x + y < 2 ç Î÷ 2 è2 ø Universidad Peruana Los Andes

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Þ

Þ Þ

2 x 2 + y 2 ( x2 + y 2 )2

(x

2

+y

2 x y2

(x

2

+y

)

2 2

)

2 2