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UNIVERSISDAD NACIONAL DE CAJAMARCA SEDE – JAÉN

Facultad De Ingeniería Escuela Académica-Profesional de ing. Civil MATERIA : ANALISIS MATEMATICO III

 

TEMA : Aplicaciones de la Integral Doble

DOCENTE: Lic. Sánchez Culqui, Eladio

 RESPONSABLES: - Guerrero Julca, Gely Yuliana - Horna Mires, Segundo Armando - Linares Silva, Hernando - Llatas Campos, Clisman

CICLO :

IV

Universidad nacional de Cajamarca Ingeniería civil-IV Ciclo

ANALISIS MATEMATICO III

INTRODUCCION

En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de dos variables, funciones del tipo 𝑓: 𝐷 ⊆ ℝ2 → ℝ. La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área. Teniendo en cuenta la múltiple aplicación de las integrales en los diferentes campos de la ciencia, en este informe se presenta las aplicaciones de la integral doble para funciones de dos variables ,área de una superficie e integrales impropias para lograr una determinada comprensión del tema desarrollado, así mismo se anexa una cantidad de ejercicios desarrollados.

Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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I.

ANALISIS MATEMATICO III

AREAS DE UNA SUPERFICIE

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función positiva con derivadas parciales 𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

y

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

son continuas sobre la región cerrada 𝐷, entonces el área de

la superficie sobre la región 𝐷 está dado por: 𝐴 = ∬ √[

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 2 𝜕𝑥

] +[

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 2 𝜕𝑦

] + 1 𝑑𝐴S

Dónde: 𝐷 es la región proyectada sobre el plano 𝑋𝑌 además: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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ANALISIS MATEMATICO III

II.1. Observación: 1. Si la proyección 𝐷 de la superficie está sobre el plano 𝑋𝑍, entonces el área de dicha superficie está dado por: 2

2

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐴 = ∬ √[ ] +[ ] + 1 𝑑𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑧 Dónde: 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧)

2. Si la proyección 𝐷 de la superficie está sobre el plano 𝑌𝑍, entonces el área de dicha superficie está dado por:

2

2

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐴 = ∬ √[ ] +[ ] + 1 𝑑𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑧 Dónde: 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧)

3. Si la proyección 𝐷 de la superficie está sobre el plano 𝑌𝑍, entonces el área de dicha superficie está dado por:

2

2

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝐴 = ∬ √[ ] +[ ] + 1 𝑑𝐴 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Dónde: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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II.2. SUPERFICIES PARAMETRIZADAS: Si para una superficie están dadas las ecuaciones paramétricas: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) S={𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣) Que definen su vector posición: 𝑅(𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣)) Entonces el diferencial de superficie está dado por: 𝑑𝑆 = ‖𝑅𝑢 𝑋 𝑅𝑣 ‖𝑑𝑢𝑑𝑣

EJERCICIOS: EJEMPLO 01.- Demuestre que el área de la esfera 4𝜋𝑎2 .

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎2 es

Solución: Trabajaremos con la porción superior de la esfera y el resultado del área multiplicado por 2 por ser simétrica.

Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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La región 𝑅 ′ en este caso seria:

𝜕𝑧

Como 𝑧 = √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝜕𝑥

{ 𝜕𝑧 𝜕𝑦

Lic. Eladio, Sánchez Culqui

=− =−

𝑥 √𝑎2 −𝑥 2 −𝑦 2 𝑦 √𝑎2 −𝑥 2 −𝑦 2

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El área estaría dada por: 𝑆 = 2 ∬ √[

𝑆 = 2 ∬ √[−

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 2 𝜕𝑥

] +[

𝜕𝑓(𝑥,𝑦) 2 𝜕𝑦

2

𝑥 √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

] + [−

] + 1 𝑑𝐴

𝑦 √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

2

] + 1 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 𝑦2 𝑆 = 2∬√ 2 + 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 2 √ 𝑆 = 2∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎2 − 𝑥 − 𝑦 2 √ 𝑆 = 2∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑎2 √ 𝑆 = 2∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑆 = 2∬

𝑎 √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑆 = 2𝑎 ∬

1 √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

Cambiando a coordenadas polares: x = rcos 𝜃 Y y = rsin 𝜃 𝑆 = 2𝑎 ∬

Lic. Eladio, Sánchez Culqui

1 √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑑𝑥𝑑𝑦

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ANALISIS MATEMATICO III

2𝜋

𝑎

1

𝑆 = 2𝑎 ∫

∫

0

0

√𝑎2 − 𝑟 2

2

√𝑎2 − 𝑟 2 𝑎 | 𝑑𝜃 −2 0

2𝜋

𝑆 = 2𝑎 ∫ 0

𝑆 = 2𝑎 ∫

2𝜋 (𝑎

0

𝑟𝑑𝑟𝑑 𝜃

− 0) 𝑑𝜃 2

2𝜋

𝑆 = 2𝑎2| 0 𝜃 𝑆 = 4𝜋𝑎2

Ejemplo 02.- Hallar la superficie de la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎2 usando las integrales parametricas. SOLUCIÓN Empleando las ecuaciones paramétricas para la esfera: 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠 = {𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 ; 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑧 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅ El vector posición para los puntos de la esfera seria: 𝑹(∅, 𝜃) = ( 𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅ ) Las derivadas parciales serian: 𝑅∅ = ( 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃, −𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ ) 𝑅𝜃 = (−𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃, 0 ) El producto cruz y su magnitud: 𝑖 𝑅∅ ∗ 𝑅𝜃 = [ 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 Lic. Eladio, Sánchez Culqui

𝑗 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑎 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑘 −𝑎 𝑠𝑒𝑛∅] 0 Página 7

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= (𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑎2 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ‖𝑅∅ ∗ 𝑅𝜃 ‖ = √𝑎4 𝑠𝑒𝑛4 ∅ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑎4 𝑠𝑒𝑛4 ∅ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + (𝑎2 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)2 = √𝑎4 𝑠𝑒𝑛4 ∅ (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) + 𝑎4 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑐𝑜𝑠 2 ∅(𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)2 = √𝑎4 𝑠𝑒𝑛4 ∅ + 𝑎4 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑐𝑜𝑠 2 ∅ = √𝑎4 𝑠𝑒𝑛2 ∅ + (𝑠𝑒𝑛2 ∅ + 𝑐𝑜𝑠 2 ∅ ‖𝑅∅ ∗ 𝑅𝜃 ‖ = 𝑎2 𝑠𝑒𝑛∅ El área de la esfera estará dado por: 𝟐𝒙 𝒙

𝑥 2𝜋 𝑺 = ∫ ∫ 𝑎2 𝑠𝑒𝑛∅𝑑 ∅𝑑𝜃 = 𝑎2 (−𝑐𝑜𝑠∅) | |( ∅) | = 𝑎2 (1 + 1)(2𝜋) = 4𝜋𝑎2 0 0 𝟎

𝟎

II.

APLICACIÓN A LA INTEGRAL DOBLE

III.1 CÁLCULO DE AREA: Si desea calcular el área de una región R en el plano, basta con tomar como integrando la función 𝑓 (𝑥, 𝑦 ) = 1 y como región de integración la región cuya área se desea calcular, entonces:

III.2. CÁLCULO DE MASA DE UNA REGIÓN DELGADA: La masa de una lámina delgada de grosor despreciable y cuya densidad superficial de masa viene dada por la función 𝒅(𝒙, 𝒚), se puede calcular

Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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mediante el uso de una integral doble, así si la lámina ocupa una región R, su masa se puede calcular por la fórmula:

III.4. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE: -Las coordenadas (𝑥, 𝑦)del centro de gravedad serán:

- Ahora si consideramos la densidad de masa constante en todos los puntos de R, las fórmulas anteriores se transforman en las coordenadas del centroide o centro geométrico de la lámina, estos son:

MOMENTO DE INERCIA DE UNA LÁMINA Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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Consideremos una partícula de masa m que se encuentra a una distancia d unidades de una recta L, entonces llamaremos momento de inercia de la partícula respecto a L al número. 𝐼 = 𝑚𝑑 2

El momento de masa de una partícula. Usualmente se le llama el primer momento y el momento de inercia el segundo momento de la partícula respeto a L.

Consideremos un sistema de n partículas de masas 𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 situados a distancias 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑛 respectivamente desde una recta L, tiene un momento de inercia I que se define como a suma de los momentos de las partículas individuales.

𝑛

𝐼 = ∑ 𝑚1 𝑑1 𝑖=1

El momento de inercia de una lámina que tiene la forma de una región plana S y una función densidad 𝜌: 𝑆 𝑐 𝑅 2 → 𝑅 continua. Puede encontrarse respecto a cualquier recta L. En particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes X e Y están dados por:

𝐼𝑋 = ∬ 𝑦 2 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 S

,

𝐼𝑌 = ∬ 𝑥 2 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 S

El momento polar de inercia respecto del origen O está dado por:

𝐼𝑂 = 𝐼𝑋 + 𝐼𝑌 = ∬(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 S Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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OBSERVACIÓN.- consideremos en el plano XY una lámina S que tiene una densidad continua 𝜌: 𝑆 𝑐 𝑅 2 → 𝑅, entonces los primeros momentos 𝑀1 , 𝑀2 de S respecto a las rectas x = a, y = b, están dadas respectivamente por:

𝑀1𝑎 = ∬(𝑥 − 𝑎) 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 ; S

𝑀2𝑎 = ∬(𝑦 − 𝑏) 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 S

OBSERVACION.- los momentos de inercia de la lámina S respecto a la rectas: 𝐿1 : 𝑥 = 𝑎 , 𝑧 = 0 respectivamente.

𝑏 son

𝐼1𝑎 = ∬(𝑥 − 𝑎)2 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴

;

;

S

𝐿2 : 𝑦 = 𝑏 , 𝑧 = 0 ;

𝐿3 : 𝑥 = 𝑎 , 𝑦 =

𝐼2𝑏 = ∬(𝑦 − 𝑏)2 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 S

𝐼0𝑎,𝑏 = ∬[(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 ] 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 S

OBSERVACION.- El radio de giro de un objeto respecto de un eje L es el 𝐼

numero R definido por 𝑅 = √𝑀 donde I es el momento de inercia respecto de L y M es la masa total del objeto

EJEMPLO 1: Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por 4y = 3x , x = 4 y el eje X, correspondiente al eje Y, si la densidad de área es p slugs/𝑝2 . Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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Y

𝑦=

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3𝑥

SOLUCION:

4

Iy = ∬ x 2 ρ(x, y) dA donde ρ(x, y) = ρ 3x

4

Iy = ∬ x 2 ρ dx dy = ∫0 (∫04 x 2 ρ dy) dx

R 4

4

= ρ ∫0 x 3 y / Iy =

3𝜌 4

3x 4

0

dx =

3ρ 4

4

∫0 x 3 dx

𝑥 4 / 04 = 48 𝜌 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠 /𝜌2

EJEMPLO 2: Encontrar el momento de inercia de la lámina homogénea de la forma de la región acotada por la parábola 𝑥 2 = 4 − 4𝑦 y el eje X, si la densidad de área es 𝜌 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠/𝜌2 .

-2

𝑦=

2

4−𝑥 2 4

SOLUCIÓN: 𝜌

2

173

𝐼𝑥 = 3 ∫−2(64 − 48𝑥 2 + 12𝑥 4 − 𝑥 6 ) 𝑑𝑥 = 280 𝜌

4−𝑥2

=

2 𝜌 ∫−2 (∫0 4

𝜌

2

𝑦 2 𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = 3 ∫−2 (

4−𝑥 2 4

3

) 𝑑𝑥

𝐼𝑋 = ∬ 𝑦 2 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴 = ∬ 𝑦 2 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦

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I.

II.

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INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS

En que el área de integración es infinito:

Si la función f(x, y) es continua en una región infinita s Entonces:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = lim ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 …………. (1) є→𝑦 c s

Donde c es una región finita situada totalmente en S entendiéndose por C→S de manera que C este dentro de la región S. Si el segundo miembro tiene límite y este no depende de la elección que se haga de C, la correspondiente integral impropia recibe el nombre de convergente, en caso contrario recibe el nombre de divergente. Si la función subintegral 𝒇(𝒙, 𝒚) no es negativa (𝒇(𝒙, 𝒚) ≥ 𝟎), para que la integral impropia sea convergente es necesario y suficiente que exista el límite del segundo miembro de la igualdad (1), aunque sea para un sistema de regiones C que completen la región S

III.

De una función discontinua

Si la función 𝒇(𝒙, 𝒚) es continua en toda región cerrada y acotada S. a excepción del P (a.b) Entonces:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = lim ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦……(2) s

є→0

S

ᵋ Donde S es la región que resulta 𝑓(𝑥,de 𝑦)excluir 𝑑𝑥 𝑑𝑦 de S una región interior pequeño de diámetro 𝜀 que ᵋ contiene𝑓(𝑥, al punto P .En el caso que exista el limite (2) y que no dependa de la forma de 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

regiones interiores pequeños que se excluyan de la región S, la integral considerada se llama convergente, caso contrario es divergente Si 𝒇(𝒙, 𝒚) ≥ 𝟎, el límite del segundo miembro de la igualdad (2) no depende de la forma de las regiones interiores que se excluyen de S; en particular, en calidad de tales regiones pueden tomarse círculos de radio 2𝜀 con centro en el punto P

Ejemplo: 𝑑𝑥 𝑑𝑦

∬ (𝑥 2 +𝑦2 )𝑎 Donde S es una región S Lic. Eladio, Sánchez Culqui

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