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ANALISIS ESTRUCTURAL II SEMESTRE 2019 -II

MATRIZ DE RIGIDEZ- ARMADURA ISOSTATICA CON APOYO MOVIL EN PLANO INCLINADO Ing° Alain Elvis Alanoca Aragón

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 1.

Enumerar los elementos de la armadura (barras)

2.

Enumerar los nudos de las armadura.

3.

Ubicar el sistema de coordenadas globales, además de ubicar las coordenadas de los nudos de acuerdo al origen determinado. Ubicar el origen sistema de ejes coordenados locales en el nudo donde esta el apoyo móvil, a partir de este ubicar las coordenadas con los nudos que se conecta de manera directa

4.

Enumerar los grados de libertad de los nudos, en cada dirección (X e Y), considerando por iniciar en los nudos donde no se encuentran ubicados los apoyos (fijo o móvil)

5.

Determinar la dirección inicio-fin de cada una de las barras.

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 6.

La matriz de rigidez de las barras que tienen como origen o final el nudo donde esta ubicado el apoyo móvil con las siguientes relaciones:

7.

Construir la matriz de rigideces de cada barra

8.

Ensamblar la matriz de rigidez de la armadura.

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA Ejemplo: Construir la matriz de rigideces de la siguiente armadura, si (E=2.1x106 Kg/m2; A = 0.4x0.4 m2) 4m 5 Ton

5 Ton 4m

45°

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 1° Enumerar los elementos de la armadura (barras)

2

3 45°

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 2° Enumerar los nudos de las armadura

3

2

1

45°

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 3° Ubicar el sistema de coordenadas globales, además de ubicar las coordenadas de los nudos de acuerdo al origen determinado. Ubicar el origen sistema de ejes coordenados locales en el nudo donde esta el apoyo móvil, a partir de este ubicar las coordenadas con los nudos que se conecta de manera directa

Y (4;0)

45°

(0;0)

(4;4)

X

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 4°Enumerar los grados de libertad de los nudos, en cada dirección (X e Y), considerando por iniciar en los nudos donde no se encuentran ubicados los apoyos (fijo o móvil) Y U5

U1 U2

U6

X 45°

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 5° Determinar la dirección inicio-fin de cada una de las barras

45°

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA La grafica final sería: U5

Y (4;0)

(4;4)

U6

2 2

3

U1 U2

3 1 45°

(0;0)

X

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 6° Construir la matriz de rigideces de cada barra Matriz de rigidez de la barra 1

∆𝑋 = 𝑋 − 𝑋 = 0 − 4 = −4 ∆𝑌 = 𝑌 − 𝑌 = 0 − 4 = −4

(4;4) Y

2 U1 U2

∆𝑋´ = 𝑋´ − 𝑋´ = 0 − 5.66 = −5.66 ∆𝑌´ = 𝑌´ − 𝑌´ = 0 − 0 = 0  

𝐿 =

 

4 + 4 =4 2  

∆𝑋 2 𝐶 = =− 𝐿 2   ∆𝑌 2 𝐶 = = − 𝐿 2

1 45°

(0;0)

∆𝑋´ −5.66 = = −1 𝐿 5.66 ∆𝑌´ 0 = = = 0 𝐿 5.66

𝐶´ =

X

𝐶´

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 6° Construir la matriz de rigideces de cada barra Matriz de rigidez de la barra 1

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 6° Construir la matriz de rigideces de cada barra Matriz de rigidez de la barra 2 U5

(4;0)

3

U6

2

(4;4)

2 U1

 

 

U2

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 6° Construir la matriz de rigideces de cada barra Matriz de rigidez de la barra 2 U5

(4;0)

3

U6

2

(4;4)

2 U1 U2

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 6° Construir la matriz de rigideces de cada barra Matriz de rigidez de la barra 3 U5

Y (4;0) (2.83;2.83)

∆𝑋 = 𝑋 − 𝑋 = 0 − 0 = 0 ∆𝑌 = 𝑌 − 𝑌 = 0 − 4 = −4

U6

∆𝑋´ = 𝑋´ − 𝑋´ = 0 − 2.83 = −2.83 ∆𝑌´ = 𝑌´ − 𝑌´ = 0 − 2.83 = −2.83

3

𝐿 =

0 + 4 =4

3

∆𝑋 0 = = 0 𝐿 4 ∆𝑌 −4 𝐶 = = = −1 𝐿 4 𝐶 =

1 45°

 

(0;0)

∆𝑋´ −2.83 = = −0.7071 𝐿 4 ∆𝑌´ 2.83 = = = −0.7071 𝐿 4

𝐶´ =

X

𝐶´

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 6° Construir la matriz de rigideces de cada barra Matriz de rigidez de la barra 3

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 7° Ensamblar la matriz de rigidez de la armadura. Matriz para ensamblar de la barra 1

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 7° Ensamblar la matriz de rigidez de la armadura. Matriz para ensamblar de la barra 2

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 7° Ensamblar la matriz de rigidez de la armadura. Matriz para ensamblar de la barra 3

CONSTRUCCIÓN DE MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA 7° Ensamblar la matriz de rigidez de la armadura.

CONSTRUCCIÓN DE DESPLAZAMIENTOS 

A partir de la gráfica final, se construye la matriz de desplazamientos.

Tomando en cuenta las condiciones de apoyo de la armadura; en el nudo 1 esta ubicado un apoyo móvil que solo va a generar desplazamiento en el eje Y´ (D3); y en el nudo 2 existe un apoyo fijo, por lo que no va a existir desplazamiento en ninguno de los ejes (D1 y D2); por lo que los desplazamientos en estos nudos, en los ejes indicados van a ser CERO.

CONSTRUCCIÓN DE DESPLAZAMIENTOS 

A partir de la gráfica final, se construye la matriz de cargas.

Se observa en la matriz de cargas, que están actuando cargas externas conocidas en el nudo “2” de 5 Ton cada uno y con los sentidos que se colocan en la matriz, de acuerdo al sistema de ejes coordenado globales, y las cargas externas desconocidas se producen en los apoyos, que son los que vamos a calcular.

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Construimos la ecuación matricial. C=KD

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Determinamos las matrices parciales.

•

Se realizara separando la matriz principal, el número de filas y columnas, como numero de incógnitas de desplazamientos existen.

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Resolvemos la matriz parcial para hallar los desplazamientos

•

Primero se calcula la inversa de la matriz reducida de rigideces, para luego multiplicar por la matriz de cargas conocidas.

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Resolvemos la segunda matriz parcial para hallar las cargas en la armadura

•

Se multiplica la matriz, por los desplazamientos hallados en el paso anterior.

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Calcular las fuerzas en cada una de las barras, utilizando la siguiente relación



Elaborando el resumen de desplazamientos:

D=

-0.00028741 0.00011905 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

U1Y U2X U3Y´ U4X´ U5Y U6X

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Calcular las fuerzas en cada una de las barras, utilizando la siguiente relación Barra 1  

 

∆𝑋´ −5.66 = = −1 𝐿 5.66 ∆𝑌´ 0 = = = 0 𝐿 5.66

𝐶´ = 𝐶´ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷

𝑈 𝑈 = 𝑈 𝑈

0.0000000 0.0000000 = 0.00011905 −0.00028741

𝐹

=

(2.1𝑥10 )(0.4𝑥0.4)  

4 2

−0.7071068 −0.7071068 −1

𝐹 = −7.07106658 𝑇𝑜𝑛 (Barra en Compresión)

0.0000000 0.0000000 0 0.00011905 −0.00028741

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Calcular las fuerzas en cada una de las barras, utilizando la siguiente relación Barra 2

𝐷 𝐷 𝐷 𝐷

𝑈 𝑈 = 𝑈 𝑈

0.0000000 0.0000000 = 0.00011905 −0.00028741

0.0000000 0.0000000 𝐹 = −1 0 1 0   0.00011905 4 2 −0.00028741 𝐹 = 10 𝑇𝑜𝑛 (Barra en Tensión) (2.1𝑥10 )(0.4𝑥0.4)

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL Calcular las fuerzas en cada una de las barras, utilizando la siguiente relación



Barra 3

𝐶 = −1 ∆𝑋´ −2.83 = = −0.7071 𝐿 4 ∆𝑌´ 2.83 = = = −0.7071 𝐿 4

𝐶´ = 𝐶´ 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷

𝑈 𝑈 = 𝑈 𝑈

0.0000000 = 0.0000000 0.0000000 0.0000000

0.0000000 (2.1𝑥10 )(0.4𝑥0.4) 0.0000000 𝐹 = 0 1 −0.7071 −0.7071 0.0000000 4 0.0000000 𝐹 = 0 𝑇𝑜𝑛

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCION DE LA ECUACION MATRICIAL 

Grafica final de cargas de la armadura: U1

U5 U6

10 Ton

10 Ton

U2

5 Ton

45°

5 Ton