• Author / Uploaded
• Gustavo Castillo

Citation preview

MÉTODO DE DEFORMACIONES ANGULARES Análisis Estructural I INTEGRANTES: 1. Castillo Piscoya Gustavo 2. Cosar Soto Frank 3. Guerrero Santisteban Kevin 4. Peralta Panta Jorge 5. Purihuaman Arévalo David 6. Vilcherres Sernaque Miguel DOCENTE: Noé Humberto Marín Bardales CICLO: V – Ciclo

18 de octubre del 2018

Introducción Método utilizado para la resolución de Estructuras Hiperestáticas continuas y aporticadas, considerando como incógnitas básicas los giros y desplazamientos en los nudos. Este método se enmarca dentro de los métodos clásicos de solución de una estructura hiperestática plana, en la cual la principal deformación de la estructura es por flexión. Existen dos tipos de desplazamientos desconocidos: angulares y lineales. Las incógnitas angulares son los ángulos de giro de los nudos rígidos del pórtico. Las incógnitas lineales son los desplazamientos lineales de los nudos del pórtico y su número se determina por la cantidad de barras adicionales, que son necesarias ingresar al esquema estructural de rótulas, para convertirlo en un sistema geométricamente invariable. Dicho esquema se forma introduciendo rótulas en todos los nudos del pórtico.

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

Objetivos.  Objetivo General Identificar, estudiar alternativas, seleccionar, analizar y verificar resultados de la solución estructural a un problema ingenieril, teniendo presentes los criterios de funcionalidad, economía y seguridad. 

Objetivo del Análisis Determinar fuerzas internas (axiales, cortantes, momentos) y deformaciones de una estructura, sobre la base de: una forma dada de la estructura, del tamaño y propiedades del material usado en los elementos y de las cargas aplicadas.



Objetivo del Diseño Selección de la forma, de los materiales y detallado (dimensiones, conexiones y refuerzo) de los componentes que conforman el sistema estructural.

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

Método de deformaciones angulares 1. Consideraciones generales Las estructuras sufren en general al estar sometidas a un estado de solicitaciones, un estado de deformaciones, como consecuencia de un estado de cargas. Así las distintas partes que conforman la estructura tendrán en general traslaciones y rotaciones que conformarán el estado de deformación de la estructura, dependiendo el mismo del tipo de estructura, sus características geométricas y elásticas y del estado de cargas. Veamos que sucede con un pórtico plano sometido a esfuerzos normales, de corte y momentos flectores a fin de plantear su resolución por el Método de las Deformaciones. A cada estado de deformación corresponde un estado de solicitación, por lo cual a partir de aquellas podemos calcular estas últimas. Llamaremos ahora la atención sobre consideraciones que debemos tener en cuenta para la aplicación del método que desarrollaremos, en el cual estudiaremos que ocurre con una barra genérica que forma parte de la estructura, definiendo características y convenciones de signos a utilizar. Con referencia a estos últimos no existe unanimidad; en el curso trataremos de utilizar convenciones generales que luego adaptaremos a los distintos casos.

2. Hipótesis o condiciones Se requiere que los elementos que forman la estructura sean:  Rectos.  Inercia constante entre tramos.  Deformaciones pequeñas (giros y desplazamientos).  Módulo de elasticidad constante entre tramos.

3. Metodología: El método de deformaciones angulares se basa en expresar los momentos de extremo de los miembros de estructuras hiperestáticas en función de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que, si bien los nudos pueden girar o reflectarse, los ángulos entre los elementos que convergen al nudo se mantienen constantes. Se enfatiza que este método sólo considera el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial.

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

4. CONVENCION DE SIGNOS DE SOLICITACIONES Y DEFORMACIONES Utilizaremos las siguientes convenciones de signos:  Los momentos de acción y reacción entre el extremo de la barra y el nudo se consideran positivos cuando la acción del NUDO sobre la BARRA tienda a girarla en sentido contrario a las agujas del reloj, o lo que es lo mismo, cuando la acción de la BARRA sobre el NUDO tiende a que este gire en el sentido de las agujas del reloj. Es inmediato por el principio de acción y reacción que las dos figuras representan el mismo fenómeno, que produce tracción en las fibras superiores de la barra al llegar al nudo de la figura.  El esfuerzo de corte Q se considerará positivo cuando en una sección dada, la acción de la izquierda sobre la derecha tenga sentido hacia arriba.  El esfuerzo normal N se considerará positivo

Respecto a los desplazamientos u, v, w en una barra sobre la cual aplicamos un par de ejes locales x, y, como se indican en la figura, se adoptan como positivos los señalados en la misma. u > 0 Desplazamiento en la dirección y sentido del eje x. v > 0 Desplazamiento en la dirección y sentido del eje y. w > 0 Rotación en sentido contrario a las agujas del reloj Las acciones Fx , Fy, M en los extremos de las barras serán también positivas cuando coincidan con el sentido positivo de u, v, w.

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

G.L = Grados de libertad.  Ecuaciones:

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

DEFINICIONES

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

Deformación de un pórtico

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO Nº 1 En la siguiente viga hiperestática. Aplicar el método de Deformaciones angulares. Considerar E=2*107 Kg/cm2. Se solicita calcular las reacciones en los apoyos

DESARROLLO 1. Rigidez Relativa:

KAB = KBA = I/6=0.17 I*(2) =0.34 I KBC = KCB = I/4=0.25 I KCD = KDC = I/5=0.2 I 2. Momento de empotramiento perfecto (MEP):  MEP A-B / B-A



MEP B-C / C-B

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras



MEP C-D / D-C

3. Cuerda elástica:

ΦA = 0

ΦB=?

ΦC=?

ΦD=?

4. Ecuaciones: MAB = 2EKAB (2ΦA+ ΦB) +MEAB MBA = 2EKBA (2ΦB+ ΦA) +MEBA MBC = 2EKBC (2ΦB+ ΦC) +MEBC MCB = 2EKCB (2ΦC+ ΦB) +MECB MCD = 2EKCD (2ΦC+ ΦD) +MECD MDC = 2EKDC (2ΦD+ ΦC) +MEDC

MAB = 2 E (0.17) (2 I) ΦB -120 =0.68 EI ΦB-120 MBA = 2 E (0.17) (2 I) 2ΦB +120 = 1.36 EI ΦB +120 MCB = 2 E (0.25I) (2ΦB + ΦC)-36.67=EIΦB+0.5EIΦC-36.67 MBC = 2 E (0.25I) (2ΦC +ΦB) +36.67=0.5EIΦB+EIΦC+36.67 MCD = 2 E (0.25I) (2ΦC + ΦD)-50.4=0.8EIΦC+0.4EIΦD-50.4 MCD = 2 E (0.2I) (2ΦD + ΦC) =0.4EIΦC+0.8EIΦD

5. Cambio de variable:

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

6. Nudo vs Barra:

7. Sistema de ecuaciones:

Z=-10.50 8. Reemplazo de valores MAB =0.68 (-39.76)-120=-147.04 MBA =1.36(-39.76) +120=65.93 MBC = -39.76+0.5(21.006)-36.67=-65.93 MCB =0.5(-39.76) +21.006+36.67=37.8 MCD =0.8(21.006) +0.4(-10.50)-50.4=-37.8 MDC =0.4(21.006) +0.8(-10.5) =0.0024 9. Diagrama de momentos:

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

10. Cálculo de reacciones: 

TRAMO AB o ∑ MB = 0 -147.04+65.93+80X3+120X3- RA X6=0 RA =86.48KN o ∑FY = 0 -80-120+86.48+RB= 0 RB= 113.52KN



TRAMO BC o

∑ MC = 0 -65.93+37.8+104X2- R”B X4=0 R”B=44.97KN

o

∑FY = 0 -104+44.97+RC=0 RC=59.03KN



TRAMO CD o

∑FY = 0 -60+28.44+RD=0 RD=31.56KN

o

∑ MD = 0 60X3- R”C X5-37.8=0 R”C=28.44KN

11. Reacciones reales: RA=86.48KN RB=RB+ R”B=158.49KN RC=RC+ R”C=87.47KN RD=31.56KN

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

EJERCICIO Nº 2 En la siguiente viga hiperestática, se solicita calcular las reacciones en los apoyos, Aplicando el método de Deformaciones angulares. Considerar EI=cte.

DESARROLLO 1. Rigidez Relativa:

KAB = KBA = I/6=0.17 I KBC = KCB = I/5=0.2 I KCD = KDC = I/4=0.25 I 2. Momento de empotramiento perfecto (MEP):  MEP A-B / B-A



MEP B-C / C-B

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras



MEP E-D / D-E

3. Cuerda elástica:

ΦA= 0

ΦB=?

ΦC=?

4. Ecuaciones: MAB = 2EKAB (2ΦA+ ΦB) +MEAB MAB = 2 E (0.17 I) ΦB -36 =0.34 EI ΦB-36 MBA = 2EKBA (2ΦB+ ΦA) +MEBA MBA = 2 E (0.17 I) 2ΦB +24 = 0.68 EI ΦB +24 MBC = 2EKBC (2ΦB+ ΦC) +MEBC MCB = 2 E (0.2 I) (2ΦB + ΦC)-18=0.8 EIΦB+0.4EIΦC-18 MCB = 2EKCB (2ΦC+ ΦB) +MECB MBC = 2 E (0.2 I) (2ΦC + ΦB) +0=0.8EIΦC+0.4EIΦB MBD = 2EKBD (2ΦB+ ΦD) +MEBD MBD = 2 E (0.25I) (2ΦB + ΦD)-20= EIΦB+0.5EIΦD-20 MDB = 2EKDB (2ΦD+ ΦB) +MEDB MCD = 2 E (0.25I) (2ΦD + ΦB) +0=EIΦD+0.5EIΦB

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

ΦD=?

5. Cambio de variable:

6. Nudo vs Barra:

7. Sistema de ecuaciones:

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

8. Reemplazo de valores MAB =-33.65 MBA=28.69 MBC =-13.86 MCB=0 MBD=-14.82 MDB=0 9. Diagrama de momentos:

10. Cálculo de reacciones: 

TRAMO AB ∑ MB = 0 -33.66-RA*6+120*3+28.68=0 RA=59.17N o ∑FY = 0 RA+RB=120 RB=60.83 o



TRAMO BC o ∑ MC = 0 -13.86-R”B*5+10*3+10*2=0 R”B=7.228 o

∑FY = 0 R”B+RC=20 RC=12.772

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras



TRAMO BD o

∑ MD = 0 14.82-BX*4+40*2=0 BX=16.295

o

∑FY = 0 BX+DX=40 DX=23.705

11. Reacciones reales: RA=59.17N RB=RB+ R”B+ BY=84.353N RC=12.772N RD=23.705N

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

EJERCICIO Nº 3 Aplicar el método de deformaciones angulares y calcular las reacciones, DMF en cada tramo de la viga hiperestática. Considerar EI= Cte.

DESARROLLO 1. Rigidez Relativa:

2. Momento de empotramiento perfecto (MEP):

𝑃𝑏𝑎2 𝑃𝑎𝑏 2 𝑀𝐸𝐷 = 2 + 2 = 11.2 𝐿 𝐿 𝑃𝐿2 𝑀𝐸𝐹 = − = −4.8 12 𝑃𝐿2 𝑀𝐹𝐸 = + = +4.8 12

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

3. Ecuaciones: 

TRAMO BC-CB:

𝑀𝐵𝐶 = 2𝐸(0.4𝐼) (2𝜙𝐵 + 𝜙𝐶) + 1.2 𝑀𝐵𝐶 = 1.6𝐸𝐼𝜙𝐵 + 0.8𝐸𝐼𝜙𝐶 + 1.2 𝑀𝐶𝐵 = 2𝐸(0.4𝐼) (2𝜙𝐶 + 𝜙𝐵) + 7.2 𝑀𝐶𝐵 = 1.6𝐸𝐼𝜙𝐶 + 0.8𝐸𝐼𝜙𝐵 + 7.2 

TRAMO CD-DC:

𝑀𝐶𝐷 = 2𝐸(0.6𝐼) (2𝜙𝐶 + 𝜙𝐷) − 0 𝑀𝐶𝐷 = 2.4𝐸𝐼𝜙𝐶 + 1.2𝐸𝐼𝜙𝐷 𝑀𝐷𝐶 = 2𝐸(0.6𝐼) (2𝜙𝐷 + 𝜙𝐶) + 0 𝑀𝐷𝐶 = 2.4𝐸𝐼𝜙𝐷 + 1.2𝐸𝐼𝜙𝐶 

TRAMO DE-ED:

𝑀𝐷𝐸 = 2𝐸(0.67𝐼) (2𝜙𝐷 + 𝜙𝐸) − 12.8 𝑀𝐷𝐸 = 2.68𝐸𝐼𝜙𝐷 + 1.34𝐸𝐼𝜙𝐸 𝑀𝐸𝐷 = 2𝐸(0.67𝐼) (2𝜙𝐸 + 𝜙𝐷) + 11.2 𝑀𝐸𝐷 = 2.68𝐸𝐼𝜙𝐸 + 1.34𝐸𝐼𝜙𝐷 + 11.2 

TRAMO EF-FE:

𝑀𝐸𝐹 = 2𝐸(0.5𝐼) (2𝜙𝐸 + 𝜙𝐹) − 4.8 𝑀𝐸𝐹 = 2𝐸𝐼𝜙𝐸 + 𝐸𝐼𝜙𝐹 − 4.8 𝑀𝐹𝐸 = 2𝐸(0.5𝐼) (2𝜙𝐹 + 𝜙𝐸) + 4.8 𝑀𝐹𝐸 = 2𝐸𝐼𝜙𝐹 + 𝐸𝐼𝜙𝐸 + 4.8 4. Cambio de variable: 𝑋 = 𝐸𝐼𝜙𝐵  𝑀𝐵𝐶 = 1.6𝑋 + 0.8𝑌 + 1.2 𝑌 = 𝐸𝐼𝜙𝐶  𝑀𝐶𝐵 = 1.6𝑌 + 0.8𝑋 + 7.2 𝑍 = 𝐸𝐼𝜙𝐷  𝑀𝐶𝐷 = 2.4𝑌 + 1.2𝑍 𝑀 = 𝐸𝐼𝜙𝐸  𝑀𝐷𝐶 = 2.4𝑍 + 1.2𝑌  𝑀𝐷𝐸 = 2.6𝑍 + 1.34𝑀 − 12.8  𝑀𝐸𝐷 = 2.6𝑀 + 1.34𝑍 + 11.2  𝑀𝐸𝐹 = 2𝑀 + 𝑁 − 4.8  𝑀𝐹𝐸 = 2𝑁 + 𝑀 + 4.8

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

5. Nudo vs Barra: SISTEMA DE ECUACIONES: NUDO B: NUDO C: NUDO D: NUDO E:

1. 1. 2. 2.

+ + +

X=-50.66 Y=19.38 Z=-11.93 M=-4.8

6. Momentos (reemplazando valores) 

=6

      

= -4.71 = -6.75 = 5.35 = -14.4 = -14.4 =0

7. Cálculo de reacciones: 

TRAMO BC

o ∑ 𝑀𝐵 = 0 −𝑅𝐵 (5) + 6 + 10(2) − 4.72 = 0 o ∑ 𝐹𝑌 = 0 𝑅𝑐 = 5.744 𝑅𝐵 = 4.256 𝑅𝐷 = 5.744 

TRAMO DE

𝑅𝐸 = 12.256

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

TRAMO EF

𝑅𝐹 = 2.144

EJERCICIO Nº 4 Determinar los diagramas de momentos flectores.

.

DESARROLLO 1. Rigidez Relativa

𝐼 = 0.25𝐼 4 𝐼 = = 0.20𝐼 5

𝐾𝐴𝐵 = 𝐾𝐴𝐵 = 𝐾𝐶𝐹 = 𝐾𝐹𝐶 = 𝐾𝐵𝐶 = 𝐾𝐶𝐵 = 𝐾𝐷𝐸 = 𝐾𝐸𝐷 𝐾𝐶𝐷 = 𝐾𝐷𝐶 =

𝐼 = 0.17𝐼 6

2. Rotación en barras

∆ = 0.25∆ 4 ∆ 𝑅𝐶𝐹 = = 0.25∆ 4 ∆ 𝑅𝐷𝐸 = = 0.20∆ 5 𝑅𝐵𝐴 =

3. Momento de empotramiento perfecto (MEP)

𝑃𝐿 10 ∗ 5 = = −6.25𝑇. 𝑚 8 8 𝑃𝐿 10 ∗ 5 = = = 6.25𝑇. 𝑚 8 8 𝑊 ∗ 𝐿2 3 ∗ 62 =− = = −9𝑇. 𝑚 12 12 𝑊 ∗ 𝐿2 3 ∗ 62 = = = 9𝑇. 𝑚 12 12

𝐸𝑃 𝑀𝐵𝐶 =− 𝐸𝑃 𝑀𝐶𝐵 𝐸𝑃 𝑀𝐶𝐷 𝐸𝑃 𝑀𝐶𝐷

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

4. Ecuaciones

𝑀𝐴𝐵 = 2𝐸 ∗ 0.25𝐼 ∗ (2∅𝐴 + ∅𝐵 − 3 ∗ (0.25∆)) 𝑀𝐴𝐵 = 0.5𝐸𝐼∅𝐵 − 0.38𝐸𝐼∆ 𝑀𝐵𝐴 = 2𝐸 ∗ 0.25𝐼 ∗ (2∅𝐵 + ∅𝐴 − 3 ∗ (0.25∆)) 𝑀𝐵𝐴 = 1𝐸𝐼∅𝐵 − 0.38𝐸𝐼∆ 𝑀𝐵𝐶 = 2𝐸 ∗ 0.20𝐼 ∗ (2∅𝐵 + ∅𝐶 − 3∆) − 6.25 𝑀𝐵𝐶 = 0.80𝐸𝐼∅𝐵 + 0.40𝐸𝐼∅𝐶 − 6.25 𝑀𝐶𝐵 = 2𝐸 ∗ 0.20𝐼 ∗ (2∅𝐶 + ∅𝐵 − 3∆) + 6.25 𝑀𝐶𝐵 = 0.80𝐸𝐼∅𝐶 + 0.40𝐸𝐼∅𝐵 + 6.25 𝑀𝐶𝐷 = 2𝐸 ∗ 0.17𝐼 ∗ (2∅𝐶 + ∅𝐷 − 3∆) − 9 𝑀𝐶𝐷 = 0.68𝐸𝐼∅𝐶 + 0.34𝐸𝐼∅𝐷 − 9 𝑀𝐷𝐶 = 2𝐸 ∗ 0.17𝐼 ∗ (2∅𝐷 + ∅𝐶 − 3∆) + 9 𝑀𝐷𝐶 = 0.68𝐸𝐼∅𝐷 + 0.34𝐸𝐼∅𝐶 + 9 1 𝑀𝐶𝐹 = 3𝐸𝐾(∅𝐶 − 𝑅) + 𝑀𝐶𝐹 − ∗ 𝑀𝐹𝐶 2 𝑀𝐶𝐹 = 3𝐸 ∗ 0.25𝐼(∅𝐶 − 0.25∆) 𝑀𝐶𝐹 = 0.75𝐸𝐼∅𝐶 − 0.19𝐸𝐼∆ 𝑀𝐹𝐶 = 0 𝑀𝐷𝐸 = 2𝐸 ∗ 0.20𝐼 ∗ (2∅𝐷 + ∅𝐸 − 0.20∆) 𝑀𝐷𝐸 = 0.80𝐸𝐼∅𝐷 − 0.24𝐸𝐼∆ 𝑀𝐸𝐷 = 2𝐸 ∗ 0.20𝐼 ∗ (2∅𝐸 + ∅𝐷 − 0.20∆) 𝑀𝐸𝐷 = 0.40𝐸𝐼∅𝐷 − 0.24𝐸𝐼∆ 5. Cambio de variable.

𝑀𝐴𝐵 = 0.5𝑋 − 0.38𝑇 𝑀𝐵𝐴 = 𝑋 − 0.38𝑇 𝑀𝐵𝐶 = 0.8𝑋 + 0.40𝑌 − 6.25 𝑀𝐶𝐵 = 0.8𝑌 + 0.40𝑋 + 6.25 𝑀𝐶𝐷 = 0.68𝑌 + 0.34𝑍 − 9 𝑀𝐷𝐶 = 0.68𝑍 + 0.34𝑌 + 9 𝑀𝐶𝐹 = 0.75𝑌 − 0.19𝑇 𝑀𝐶𝐹 = 0 𝑀𝐷𝐸 = 0.8𝑍 − 0.24𝑇 𝑀𝐷𝐶 = 0.4𝑍 − 0.24𝑇

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

6. Nudo vs Barra

𝐵 → 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 1.80𝑋 + 0.40𝑌 − 0.38𝑇 − 6.25 = 0 … … … (𝐼) 𝐶 → 𝑀𝐶𝐵 + 𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐶𝐹 = 0 0.40𝑋 + 2.23𝑌 + 0.34𝑍 − 0.19𝑇 − 2.75 = 0 … … … (𝐼𝐼) 𝐷 → 𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐷𝐸 = 0 0.34𝑌 + 1.48𝑌 − 0.24𝑇 + 9 = 0 … … … (𝐼𝐼𝐼) 

Ecuaciones de equilibrio de fuerzas horizontales. 𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 𝑀𝐶𝐹 𝑀𝐷𝐸 + 𝑀𝐸𝐷 + + +𝑃 =0 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐹 𝐿𝐷𝐸 0.38𝑋 + 0.19𝑌 + 0.24𝑍 − 0.33𝑇 + 5 = 0 … … … (𝐼𝑉)



Del sistema de ecuaciones se tiene: ∅𝐵 = 𝑋 = 7.95 ∅𝐶 = 𝑌 = 2.23 ∅𝐷 = 𝑍 = −2.77 ∆= 𝑇 = 23.58

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

7. Momentos Finales

𝑀𝐴𝐵 = −4.8𝑇. 𝑚 𝑀𝐵𝐴 = −0.89 𝑇. 𝑚 𝑀𝐵𝐶 = 0.89 𝑇. 𝑚 𝑀𝐶𝐵 = 11.15 𝑇. 𝑚 𝑀𝐶𝐷 = −8.46 𝑇. 𝑚 𝑀𝐷𝐶 = 7.84𝑇. 𝑚 𝑀𝐷𝐶 = 7.84𝑇. 𝑚 𝑀𝐶𝐹 = −2.68𝑇. 𝑚 𝑀𝐹𝐶 = 0𝑇. 𝑚 𝑀𝐷𝐸 = −7.84𝑇. 𝑚 𝑀𝐸𝐷 = −6.71. 𝑚 8. Diagrama de momentos

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras

BIBLIOGRAFIA

Castro, G. V. (2010). Resistencia de materiales. Lima, Perú. Hibbeler, R. (1985). Análisis Estructural. PEARSON. Mg. Ing. Contreras, G. D. (Octubre 2014). Análisis Estructural I. https://civilgeeks.com/categor%C3%ADa/analisis-estructural/. (s.f.).

Ing. NOE HUMBERTO MARÍN BARDALES Magister en Ingeniería Civil con mención en Estructuras