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.

UNIV]ERSIDAD AUTONO¡4A TOMAS FRIAS

INGENIERIA CIVIL

{ p

ANAI,I§$ N§TNUüIUNAI, APUNTIS Y PNOBI,IMA§

clll 204

fng. Nelson áonzález Villanueva R.N.r. 5277

Potosí,"2007

APU¡rls§ y Pluulel¡¡as uÉ E§lluu(uta5 nlPgE§latlcs

rlflrRoDuccroN

CAP.1

1.1

CONCSPTO DE ESTRÜCTI'RA SIPTRESTATICA

Una estructura hiperestática es aquella en 1a cua1, las ecuaciones de 1a estática en el plano o en eI espacio, no son suficientes para determinar 1as reacciones en 1os aPoyos o las fuerzas internas en una sección cualquiera' En e1 ca.so cie '7igas en e1 plano:

ESTRUCTURA HIPERESTATIC¿

ESTRUCTU8A ISOSTÁTICA

Ec est,ática =

Ec. EstáEica = 3 Incógnitas = 3 Redundanies = 0

3

Incógnitsas = 4 Redundantses = 1

Para marcos en eI Plano:

ESTRUCTURA ISOSTÁTICA

Ec. Estálica = Incógnitas = RedundanEes =

3 3

0

ESTRUCTUR.A. HIPERESTATICA

Ec esEáti.ca =

IncógniE,as =

Redundantes =

3 6 3

APUnIUS

L.2

y lIUUtet[as uc

ESUUUtUtá§

n¡petE§rauks

CONCEPTO DE }ÍUDO COIflITNUO

Para anali-zar estructuras hiperestáticas se deben utilizar, a1 margen de las ecuaciones de la estáticas, otras que permi-tan estabr-ecer las deformaciones (rotacionales traslacionales) de sus elementos constituyentes y utilizar y dichas defo¡maciones como expresiones a. .on,putitiriaua. En toda estructura se presentan zonas donde las barras que 1a componen se unen entre si de forma r-orc1i: j r-:a (hcrrnigón armado) o a travé.s de dispositivos de unión con posibrliciaci de rotación (estructuras de madera o metá'r i cas) . E"tu.u zonas de uni-ón se denominan nudos.'

Los estudios realizados en Resistencia de plateri-ares que las barras someti_das a cargas externas, muestran sufren deformaciones rotaciona-les y tra.slaci-ona1es.

Las ddformaciones rotaciona.l-es de un nudo continuo se consideran, sin error apreciabl e, como rotaciones ortogonales, 1o cual significa que los ejes de cada uaa de 1as barras que concurren aI nudc, giran un ángu1o similar.

lng. N. González V. OZOOZ

APU[ttrs y ptuuterua§ uc tr§uuutuf ᧠nt!.JcrE5(aIES

L.2

CONCEPTO DE NI'DO CONEINUO

Para analizar estructuras hiperestáticas se deben utilizar, al margen de 1as ecuaciones de la estáticas, otras que permitan establecer las deformaciones (rotacionales y traslacionales) de sus elementos constituyent_es y utilizar dichas deformaciones como expresiones de comp.atibilidad. En toda estructura se presentan zonas donde las barras que 1a componen se unen eatre sí de forma :r.orcli:i r:a (hcrrnigón armado) o a travé.s de dispositivos de unión con posibii-idaci de roiación (estructuras de madera o m.etáricas). Estas zonas de unión se denorninan nudos.

Los estudios realizados en Resistencia de llateriales muestran que las barras sometidas a cargas externas, sufren deforrnaciones rotacional-es y tra.slacional-es.

Las ddformaci-ones rotacionales de un nudo continuo se consideran, sin error apreciabl e, como rotaciones ortogonales, Lo cual significa que los ejes de cada una de 1as barras que concurren al nudc, giran ue ángulo similar.

l"S Ñ=or,zález V. O 200?

^puilrtss

1;3

y pruurErilas uE E§Íuulura§ nrfJcrcJ(auG§

GRJADOS

DE LIBERTAD

La posibilidad de traslación o rotación de un punto componente de una estructura se denomj-na grado de libertad. En el pl-ano, los grados de libertad de ufr' punto son dos: traslación y rotación; pudiendo descomponerse 1a traslación en do,s direccibnes, En eI espacj-o, un punto puede trasladarse en tres direcciones (x,y,z) y puede rotar también en tres direcciones (alrededor de Ios ejes x,y,z), contándose por consiguiente con seis grados de libertad.

L Tres grados de libertad en el plano

L.4

z

Seis grados de libertad en el espacio

GEOMETRTA DE LAS ESTRUCTI'RAS

Las estructuras se encuentran constitui-das por elementos que euentan con dimensiones, siendo ellas longitud, altura y espesor, Por eIIo deben ser consideradas como elementos tridimensionales; sin embargo, para efectos de idealización, se l-as consideran representadas por 1a longitud de los ejes de los elementos,

AWll(6 y frma¡Eni C H.r¡r.-as

n.tEEEtr,A

E qt

trt

a

"r+ ESTRUCTURA

R§¡I,

ESTRUCTSR;A, IDEATTZSDA

ESÍRUCTI'RA REAL

ESTRUCTURA REAL

1.5

ESTRUCTI'RA TDEALTZADA

ESTRUCfl'RA IDEALIZADA

c¿RilcrERrsrrcAs epouárnrcas DE r,As sEccroNEs

En e1 análisis estructurar se define como sección transváisar. de un elemento al área de ra sección que definida perpendicularmente a su eje longitudinal.se enc*entra P

I

I

i

El eje

mostrado sección transversal,

en la

Eg

corresponde al eje respecto del cual se produce la rotación por flexión.

d,

ApuÍrltss y P¡uulEltlas ue Esuuutulas nlpclcstauq§

1.5 1 1

lb lb

EQUIVATENCIA DE UNIDADES

1N = 1N =

I kP = I'9966 N 1 kP = 2'264530 ,O

= 0.45359 kp = 4.44818 N

0.22481

1

tb

0.101972 kp

N/m 1N/m

= 0.101972 kp/m = 0.06852247 lb/pie 1kp/m = 9.8066 N/m 1

1lb/pie = f4F.Qa72$)5o i'¡i¡rt

= 2048.172138 lb / Pie2 1 kp / cm2 = 14.2?341755 lb ti¡2

1 kp

i cmz

= I N/m2 1 Pa = 0.00000001 O1972kp I mm2 1 Pa = 0.00001019721412kp t crnz 1 Pa = 0.02088565 lb / pie2 1 Pa = 0.0000145039235 lb / in2 I kPa = 0.098066 kp t cm2 'l kPa = O.OOOOI 01972 kp / mm2 , I kPa = 0.01019721412 kP/on1 kPa = 20.88564984 lb lpie2 1 kPa = 0.145039235 lb / in2 l MPa = 1N/mm2 ) 1 MPa = 0.1019721412 kP / mm-

iPa

1 MPa

=

10.19721412kp

I

cm2

= 145.039235 lb / in2 l GPa = 1kN/mm2

1 MPa

1

GPa

1

GPa

1 GPa

=

20885649.84 lb tpiez

GPa

=

145039.235 lb / in2

1

T.7

= 1O'l .97214'l2kp/mm2 = 101g7.21412kp / cm2

PROPIEDADES DE f,OS MAIERIATES

Los materiales utilizados en la construcción Presentan de caracteristicas particulares frente a solicitaciones y temperatura' torsión corte, tracción, compresión, flexión, Estas caracteristicas son estudiadas con deLalle en materias como Resistencia de Nlaterial.gs..-y Materiales de construcción, y.se verifican a través de experimentación en laboratori'o'

APUIttsS y ptuuttsiltas qs E§uGUrás ntpEtE§lduk§

¿

d

cá

PROP:3D}DES FÍSICAS DE üOS U¡TERIAIJES E

MATERIAL

G

Kplcm psi

frio

(0.2%ciecarbon;) '

8.4 x

30 x '106

12 x 1082

soxto" )oo

| |

Acero laminado en calienle (0.8 % de carbono)

Hierro forjado

12x,.6

200

82

1.99 x 10"

7.03 x 10o

x

1Q6

ls0 x 10"

x to6

10

69

12.5 x l06

173

86

9.14 x 10

l3 x 106

4.22

x

1Ar

6 x to6

90 1.12 x 10

Cobre estirado en frío

17x 1co

4.22

x'lo-

6 x 10

6

A¡uminio de fundición (99 % de a,umin¡o)

7.03 x'10"

2.81 x 10s

10 x 106

4x10

Magnesio lroquelado

4.55 x l0e

1.76 x 10-

6.5 x 106 45

2.5

x

6

106

9.14 x 10"

3.52 x 10o

13 x lo5

5 x 1co

8.44 x

Bronce

l2 x

(90% cobre, 10% sstaio)

l0r

4.60 x 10'

106

83

.12

-

1.43 x 't0

5.50 x 1O-

1.6 - 2 x lo6 't1 14

-

5.1 x 10-

Gran¡io

7.3

x lo6 50

8.44 x 10o

Duralu..ninio

12

x óJ

lng. N. González V.

@

200,

106

6.7 x 10€ 1

1.8

x 10€

6.6 x

10{

16.7 x 10 9.3 x

6

l0€

16.7 x 10-6

23.1 x 10-6 12.8 x'10-6 26.1 x 10-6 14.5 x 10-6

ls.7 x 10'6 lo.4 x 10-6 l8 x 10'6

5.5x10-

25-30 1

x 10'6

9.9 x 1 0-6

3.1 x 106

Madera

12

x 10-6

10 x 10-6

2.18 x 105

Hormigón

'!j.l

9.3 x 1o-5

1't0

Latón de fundición (60% cobre, 40o/o zioc)

6.5 x

x l0e

8.79

25 x 106

t'F

6.5 x 1o-5

oo'

30 x 10"

t'c

,l1.7x10-6

,.,..-

8.4 x 10-

1.77

Cobre de fundición

I I

2.'l x 10'

27

Hierro colado maleable

l0'

2.,l x 10-

i

1

Gtr¡

2C0

Acero ro ram¡nado laminado en frío

1

Psi

GPa

Acero laminado en cal¡enie (0.2 9á de carbono)

c

Kp/m

2.70 x l0o

5.8x10.E 3.2x10-

é

d

d q d é

e é d

APUiltCS

1.8

y PrUurgrila§ UC

ESUUUIUTa§

nrPgC5UU€5

BARRAS PRIS}4ÁTTCAS Y NO PRIS},ÍÁIICAS

Las barras prismáticas son aquellas transversal constante a los largo barras también reciben eI nombre constante

gue de de

mantienen su sección su extensión, estas

barras de inercia

-

EARR§, PRISMATICA

Las barras no prismáticas varian su sección transversal a 1o largo de su extensión, esta variación puede ser escalonada, lineal-, parabólica o de otro tipo.

BARRA NO PRIS}'IATICA ESCAIONADA

BARRA NO PRISMATICA LINEAI

1.

9

B.ARRA

NO PRIS¡,ÍATICA PARABOI.ICA

ESTRUCTI'RAS TRASI,ACIONATES

EI efecto de las cargas externas, variaciones en su geometria (sección transversaf) y eI asentami-ento de apoyos, originan sobre las estructuras desplazamientos en algunas dj-recciones, 1os cuales definen a e1la como una estructura traslacional.

APU¡rttsS

é é,

y fJtuutEiltirs uE ESUUUiUa§ n¡pctcsrau€§

1.10

TEORIA GENERAL DE BARRAS SOMETTDAS

A

FT'ERZA NOR!4AL

Para barras sometiCas a fuerzas normales que originan esfuerzos l_nternos que no superar e1 l_imite se -iL""io., presentan deformaciones rongitudin"l." _- ;" álástico, o compresión iguales a:

^

1.11

GENERJA]-

TA}¡GENCIAI,ES

DE

ELEMENTOS SO},ETIDOS

A

é

II'ERZAS

dx

+----------rI

vl

FT

llr

lv'-r-

Aislando un trozo de barra

sometida

V esfuezo

a

flexión,

originado

el

para

fuezas tangenciales es:

V.S

.....

l.b

I

t

l-l

i

"-.il

Por la Ley

dy

I

-r

r=

de flooke:

1

G.7

_

G

V.S G.t.b

tr

donde:

u--

2.(1 + ¡r)

,=dY r-di

además:

ent.onces:

lng. N. González V.

@ 2007

dY

dvv: Kr !-

dx

'

G.A

V.S A.S V G.t.b t.b G.A donde: k.=4-l ' l.b

e

e

Módulo de elasticidad área de 1a sección transversal

TEORTA

U

é € é € €

I;=¡r I IE.Ai donde:

e e

A¡JUilrES

y

PrUorCilras uÉ csuuutula§ nlPeltssEr¡k5

donde:

k1

= coeficiente de forma. (depende de'la seCción

transversal). k1 = 1.2 para secciones rectangulares kr'9= f9 Dara secc¡ones c¡rculares k1 = 1 Para secciones WF G

= módulo de elasticidad a cortante

A = área de la sección transversal !r = módulo de Poisson

L.I2

TEORIA

GENERAI

DE

ELEMENTOS SOMETIDOS

A

MOME}CTOS

FLECTORES

Aplicando momentos flectores a barras, en el eje de las barras:

se

produce curvatura

Aislando un trozo de bana

a

Rexión, el somet¡da esfuer¿o or¡g¡nado para esta solicitación es:

M( Por Ia Ley de Hooke: t=

además:

donde:

o

M

E

l.b

de_ M_1 dx

E'l

M = moménto

p

f1éqtor.... ,.i.: ... ,.:

E = módulo'de elasticidad. I = momento estático de segundo orden.

( APUilteS y pf uutgttEs ug EStruqtuta5 ntpctesrauÉs

E

1.13

TEORIA

GENERJAT

DE ELEMENTOS SOMEÍIDOS

A

TORSION

Aplicando momentos torsores a barras de sección transversal circular, en 1as cuales no se produce alabeo:

a=rd0

l

Id0 ¡ Y=r' ' dx I

a=vdx ,)

q q q

q q q q ( ( { ( (

{ { q

Aislando una

f

t{

sección

sometida a torsión, el esfuezo originado para esta solicitación es:

{ q

q

Por ]a Ley de Hooke:

t = G'y

de r.-dx

además:

donde:

L_

moÍ'.ento

T

G.J

'Gdx

do:

I tI I

tdO

T.dx G.J

T q

torsor.

módulo de el-asticidad a cortante.

de i-nercia torsional de 1a sección transversal respecto del eje y. módulo de Poisson momento

lng. N. González V.

@

2007

- 10

II I t

ApurtES

y ptuutcil¡a5 ug tr§t¡uutura§

ntptstB§tdrrÉs

Valores de1 momento torsional

.f para diferentes formas

secc:.on:

Sección circu].ar:

@1" rÍifE\ a{4rz

Sección eliptica:

'2b

*.aa I.r= 32 I

I

I

|l-'---.------'---l

Jz"

lI

a'.b'

I

a2+02

|

Sección triangu!-ar eguilátera:

hJ," f-:+;l Sección rectangr.rlar

:

I

t:::.:.:::.:.:.:.:.:.:l:.:.:.:::::t:::::::.:

I

a I

.-..*-.t!-*..Ji

+_---E+ I

donde:

l-

_

^Z-

3

,'-1? 3,,,iu É "'n#,

de

Apunrc§ y Pruurcfilé5 uc Esuuutula§ n¡Pcltr§talluas

CAP.

TRABAiIO Y ENERGIA

2

2.L

§OtICITACIONES EN ELEMEI{TOS

ESTRUCTURA],ES

se aplican cargas sobre cuerpos elástj-cos, se originan en el1os esfuerzos internos tales como tracción, compresión, corte, flexión y torsión, según los planos en 1os que actúen dichas solicitaciones internas. Cuando

E1 gráfico adjunto muesEra esEas solicitaciones:

e" T 2.2

TR;A3AJO

Al actuar una fuerza constante F sobre una partÍcu1a y originar sobre e1la un movimiento de traslación determinado por eI desplazamiento 6, genera un trabajo /(externo) definido mediante la expresión: F----------+o--..

-+-----------t-

w = F.6

+

dvq

= F.d6

6

Cuando actúa un momento constante M sobre una particula y origina sobre ella un movimiento de rotación definido por e1 ángulo de rotación 0, origina un trabajo externo definido por:

¡¡

(o,,:....

/

6

I,I = 'M.

0

dW

= M.d0

^PUil(tsS

2.2

y P¡Uurelila5 Ur trSUUUtUra§ nrPErtsSHUgS

TR,LB.EJO EXTERNO DE UNA EUERZA NORMAI,

-L

Aplicando una fuerza gradual P sobre una barra prismática, se origina una deformación A determinada por 1a Ley de Hooke a través de Ia relación: PL a=-EA

p=El

+

I

o

EI trabajo exLerno originado por esta fuerza es: we

= J e.oa

w" = tEA.¡.a¡ =El 2L

áL

f;t;I

12 =

EAA A

I

I

(rey de C].al}eyron)

I

l

1

1

i

2,2.2

TR,A3A.'O EXTERNO DE UNA FUERZA TANGENCIAT

A v=9k.x v-

l"

E1 t,rabajo exLerno

es:

*" = }H

e-:l

We =J V'AY

ü

d

v

lng. N. González V.

@ 2007

y

oy =

,'=?Y

;

Alruiltcs y ptuutEt¡¡a§ uc trSuuutula§ nrpetc§ta§(z§

2.2.3

TRABAiIO EXTERNO DE T'N MOMENTO FLECTOR

tr-t

M=-'.0 x trabajo externo es: .-

We

= J ff4.Oe

A

w"

=

E'l'€ i E--L.e.ae =El.e2 x x - x'

J

e 2

i;J;;

l2l 2.2.4

TELABA.'O EXTERNO

DE I'N

MOMENTO TORSOR

T=

G'J.e x

EI trabajo externo es: w" = ?9-{

áx

e

.de =

= J f.Oe

We

9:¿. e2 - G'J'e

x

x

.e

z

Generalizando 1as deducciones para un elemento sometido a fuerzas normales, cortantes, momentos flectores y torsores, e1 trabajo externo se determina mediante:

,|

We =

.x+M* :g, a¡¡..0¿ +T.0y 7.I N.A+V¿.2+V¡

I

AFTUiltCS y lIUUtCtItaJ ue trsüUUtUtA§ ntpErE§tát¡G§

2.3

ENERCTA DE DEFOR!,IACION

En el- estudio de Ia energ:ia, se establece que ella no se pierde, sino que se transforma; en el caso de un elemento sometiCo a un sistema general de fuerzas, e1 trabajo Ce todas 1as fuerzas se transforma en energia interna de deftrmación. Esfuerzos normales:

Considerando un elemento e1ástico diferenci-al : W:U

Para esfuerzos normales: we = 1'P'6 2

además,o"=? 3

t =r^

=

p=Gn.A

A- e.L

deformación es:

u =1(or,.A) (r,L) Siendo V=A.L

L

2

on. E. L. A

(volumendelelemgnto):

U= 1 o..r.,

considerando ]as tres d.i¡nensiones der elemento diferencial: dUonx

1 2

dUonr

1 2

dUom

1 2

onx. gx. dx

dy

dz

ony. Ey. dx

dy

dz

onz .

tz. dx dy dz

AfJUil(CS y ptUU|CIta5 Ue E§uuututaS

ntpctestauɧ

La energia total de deformación para esfuerzos normales será.:

dU:dU6n**dUonvldUo.z O, :

r ony.ey+ onz,rz ] dx dy dz I I G.*.r*

u=i

llf

Esfuerzos tang'enciales

"",.'6x

:

* 6nv'€y* or,,'e, I dv

Considerando un elemento e1ástico diferenci-al : W:U P1ano

x-y:

uyx -

x

Para fuerzas tangenciales:

owe=-

P ^vx

t=rxydxdz

dx.dz

por otra parte:

1

2

,rxY :A'* ¡trr

Av* = y*, dy

trabajo externo será: dwe

1= 1r,,.. dx dz

y.... dv

1

i'"-Y

T*Y

dx dy

dz

l,xy

AfJUlrtcs y pluulÉilras (lc Esuuurul᧠nlPslcstauE§

{

Considerando las tres dimensiones de} elemento diferencial:

= : f* T* dx dy dz duirr, = ] fy, Ty" dx dy dz

duirxy

duir*, = ] a*, ^l*,

c--:

di. dz

{ ( { ,"

-t

de deformación para esfuerzos tangenciales

La energía total será:

dU

du =

IJ=

it 1 2

- dUir*y + dUilr, + CUil*,

7* T* + xy, Ty, * a*, T*, I dx dY cz

fff,t",

^{xy

*

I

ayz Ty. + rxz Yxzl dv

(

I { { ( {

Si ahora determinamos la energia total d'e deformación Para u= elemento sometido tanto a esfuerzos normales y tangenciales:

I

il

1 {

I

!

{ { { { { interna La energia total diferencial se obtiene su¡r'ando

lmacenada por ambos efectos: a

eI

elemento

I (

I u=

i IIf

Gnx

rx + ony Ey + on,

t.

I

., - t fJJ,t*v Y*v + rvz^lvz+ rxz Yxzl dv

Esta expresión también Puede escribirse de otra forma, ello se consigue recurriendo a Ia Ley generalizada de Hooke, 1a cual se aplica a un el-emento sonetido a esfuerzos normal-es Y tangenciales:

( ( {

{

!

{ {

APU¡rtE§ y

ptuutc[tas uE ESUuututa§ ntpcr€§ra[a5

Esfuerzos norma]-es: Según

el eje x:

on*

donde:

Según el

ty=-p

tx

e.:-$

ex

e]e y: z

6ny

donde:

"y

¡1

t*:-Fty 6, = -lr

Ey

eJe z

donde:

¿_

-

on, I-

E*:-PEz Ey: -$Ez il,j

!

l