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• Miguel Novoa

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Análisis de un Experimento Miguel Ángel Mosquera Novoa 1103424, Andrés Mauricio Castellanos 1103466, Jeisson Hernández 113450, Andrés Ruiz 1103415 - Demostrar hábitos de trabajo en equipo involucrando el rigor científico, el aprendizaje y disciplina - Buscar, interpretar y utilizar literatura científica.

RESUMEN: Se dan datos de para realizar un experimento de un vaciado de un contenedor con respecto al tiempo y la altura que se tenga; los tiempos con respecto a algunas alturas. Se calcula con respecto al manejo de las fórmulas que nos da el teorema de Torricelli y de ahí se parte para hallar las incógnitas

I. OBJETIVOS *OBJETIVO GENERAL: Analizar la relación que existe entre dos variables físicas en un experimento, identificando el modelo que mejor se ajusta a los datos presentados en la presente guía de laboratorio

- Comunicar conceptos y resultados científicos en lenguaje oral y escrito.

II. MARCO TEORICO Teorema de Torricelli El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio. Matemáticamente:

*OBJETIVOS ESPECIFICOS: -Identificar las variables medibles en un experimento de vaciado de tanque (experimento 1), densidad atmosférica (experimento 2) y su posible relación empírica. -Consultar el modelo teórico que relaciona las variables involucradas, como nivel del fluido, forma del recipiente, tamaño del recipiente, tiempo en vaciar el tanque etc. -Con una serie de datos previos a la práctica (Tablas 1, 2 y 3) graficar los mismos y obtener la regresión apropiada de los datos experimentales en papel milimetrado, semilogarítmico o logaritmo según sea el caso y encontrar la ecuación que relaciona las variables haciendo los cálculos pertinentes. -Con la ayuda de un software obtener las gráficas y regresiones del ítem anterior y comprobar que los resultados son equivalentes. II. COMPETENCIAS

v2 Vt = 2  g  (h + o 2.g donde: •

es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio • es la velocidad de aproximación o inicial. • es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. • es la aceleración de la gravedad Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

Vr = Cv 2  g  h donde: •

es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio

•

es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0,95 en el caso más desfavorable.

- Aplicar el conocimiento teórico de la Física en la realización e interpretación de experimentos.

- Construir

y desarrollar argumentaciones identificando hipótesis y conclusiones

válidas,

- Demostrar destrezas experimentales y métodos adecuados de trabajo en el laboratorio.

tomando

=1

2

Vr = 2  g  h Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad. CAUDAL DESCARGADO El caudal o volumen del fluido que pasa por el orificio en un tiempo,

, puede calcularse como el producto de

, el área

real de la sección contraída, por , la velocidad real media del fluido que pasa por esa sección, y por consiguiente se puede escribir la siguiente ecuación:

Q = Sc Vr = (S  CC) C.V.

sabio italiano, quien falleció a principios del año siguiente. Tras la muerte de Galileo, Torricelli, que deseaba volver a Roma, cedió a las ofertas de Fernando II de Medicina y, nombrado filósofo y matemático del gran duque y profesor de matemáticas en la Academia de Florencia, se estableció definitivamente en esta ciudad. Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior. suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v1@ 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2.

2gh

Q = Cd  S 2  g  h en donde •

S 2  g  h representa la descarga ideal que habría ocurrido si no estuvieran presentes la fricción y la contracción.

•

es el coeficiente de contracción de la vena fluida a la salida del orificio. Su significado radica en el cambio brusco de sentido que deben realizar las partículas de la pared interior próximas al orificio. Es la relación entre el área contraída orificio . Suele estar en torno a 0,65.

•

y la del

es el coeficiente por el cual el valor ideal de descarga es multiplicado para obtener el valor real, y se conoce como coeficiente de descarga. Numéricamente es igual al producto de los otros dos

Figura 1

coeficientes. El coeficiente de descarga variará con la carga y el diámetro del orificio. Sus valores para el agua han sido determinados y tabulados por numerosos experimentadores. De forma orientativa se pueden tomar valores sobre 0,6. Así se puede apreciar la importancia del uso de estos coeficientes para obtener unos resultados de caudal aceptables. Evangelista Torricelli Quedó huérfano a temprana edad, por causas desconocidas, por lo que fue educado bajo la tutela de su tío, Jacob Torricelli, un fraile camaldulense que le enseñó humanidades. En 1627 fue enviado a Roma para que estudiara ciencias con el benedictino Benedetto Castelli (1579-1645), llamado por Urbano VII para enseñar matemáticas en el colegio de Sapienza y uno de los primeros discípulos de Galileo. Estudió una de las obras de Galileo Galilei, Dialoghi delle nuove scienze (Diálogo de la nueva ciencia) (1630), lo que le inspiró el desarrollo algunos de los principios mecánicos allí establecidos que recogió en su obra De motu. En1632, Castelli se puso en contacto con Galileo para mostrarle el trabajo de su pupilo y solicitarle que le acogiera, propuesta que Galileo aceptó, por lo que Torricelli se trasladó a Arcetri, donde ejerció de amanuense de Galileo los últimos tres meses de la vida del

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe:

A. VACIADO DE UN DEPOSITO En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v1@ 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2. Supondremos ahora, que v1 no es despreciable frente a v2. La ecuación de continuidad se escribe: 𝑣1𝑆1 = 𝑣2𝑆2

3 y la ecuación de Bernoulli:

De estas dos ecuaciones obtenemos v1 y v2

¿COMO Y PORQUE VARIA LA PRESION ATMOSFERICA? La presión atmosférica disminuye con la altura, tal como muestra el gráfico de la izquierda. Disminuye más rápidamente en los primeros kilómetros contados a partir del suelo. Cuanto más ascendemos menos aire queda encima y el peso del aire es menor. Un punto alto soporta menos presión que uno bajo.

Si S1>>S2 obtenemos el resultado de Torricelli El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2v2, y en el tiempo dt será S2v2dt. Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito −𝑆1𝑑ℎ = 𝑆2𝑣2𝑑𝑡 Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.

Sobre una superficie dada, por ejemplo 1 cm2, el aire situado encima ejerce menos presión cuanto más arriba la situemos. Al nivel del mar, el valor de la presión, a la que llamamos" normal", es de 760 mm Hg (1.013 mbar). A una altura de 5.500 m este valor se reduce a la mitad. Y a una altura de 10.000 metros (altura a la que vuelan los aviones), la presión atmosférica es 4 veces menor que al nivel del mar Esta variación de presión se puede comprobar midiendo la temperatura de ebullición de un líquido a diferentes alturas: cuanto mayor sea la altura menor es su temperatura de ebullición. La explicación de este hecho está en que para que un líquido hierba sus moléculas deben tener una determinada presión, que debe ser igual o mayor que el valor de la presión atmosférica del aire que tiene encima. Regresión exponencial

Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.

Si S1>>S2, se puede despreciar la unidad

Una regresión exponencial es el proceso de encontrar la ecuación de la función exponencial que se ajuste mejor a un conjunto de datos. ¡Como un resultado, obtenemos una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑎𝑏𝑥 donde a! =0 La potencia predictiva relativa de un modelo exponencial está denotada por R 2.-El valor de R 2 varía entre 0 y 1. Mientras más cercano el valor esté de 1, más preciso será el modelo. A. MEDIDA DE LA DENSIDAD UN LÍQUIDO

Ejemplo: • • •

Radio del depósito 10 cm, luego, S1=p (0.1)2 m2 Radio del orificio 0.8 cm, luego, S2=p (0.008)2 m2 Altura inicial 45 cm, H=0.45 m

Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos t=47.34 s, que es el tiempo que tarda en vaciarse completamente el depósito. Si aplicamos la aproximación S1>>S2, obtenemos prácticamente el mismo tiempo t=47.35 s.

Conocida la masa del cuerpo y el volumen de la parte sumergida, determinamos la densidad del líquido. En esto se basan los aerómetros o flotadores de masa conocida que se sumergen en el líquido de densidad desconocida. Disponen de una escala graduada, que nos proporcionan mediante lectura directa la densidad del líquido. La superficie libre del líquido marca el valor de la densidad en la escala del aerómetro. Dependiendo de la aplicación concreta los aerómetros reciben nombres específicos: alcohómetros, sacarímetros, etc. El aerómetro de la fotografía es un tubo de vidrio, que dispone de un lastre formado por bolitas de plomo (en extremo izquierdo). En la parte derecha, dispone de una escala graduada

4 que mide directamente la densidad del líquido en g/cm3. Laboratorio de Física. Escuela de Ingeniería de Éibar.

III. PROCEDIMIENTO PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: EXPERIMENTO 1 Se quiere determinar la relación entre el tiempo en que demora en vaciarse por completo un tanque de forma cilíndrica que contiene agua con la altura del agua dentro del recipiente como se muestra en la figura:

Figura 1. Para un cuerpo en equilibrio que flota sobre la superficie de un líquido, tenemos que el peso es igual al empuje mg = ρfVg

TABLA 1: Datos tomados de un experimento de vaciado de tanque. Donde d1=8.2 cm y d2=0.15 cm son los diámetros superior e inferior del tanque; en este caso constantes.

d1=8.2 cm Tiempo( s) 191 270 427 523 740

Nuestro aerómetro es un sólido de forma cilíndrica de 25 cm de altura y densidad 0.5 g/cm3 que se sumerge parcialmente en el líquido cuya densidad se quiere determinar. Midiendo en la escala graduada la parte del cilindro que está sumergida, determinamos la densidad del fluido. El cuerpo está en equilibrio flotando en el líquido, bajo la acción de dos fuerzas, su peso y el empuje del fluido. peso=empuje

Tiempo vs Altura

𝑝𝑠𝑔𝑆ℎ = 𝜌𝑓

Ejemplo: Sea agua el líquido de densidad desconocida Observamos que el cilindro se sumerge hasta una altura x=12.5 cm 0.5·25=ρf 12.5 Se despeja ρf =1.0 g/cm3

Altura

𝑔𝑆𝑥 ρsh = ρf x Donde ρs es la densidad del cuerpo sólido, S su sección, h su altura. ρf es la densidad del fluido y x la parte del sólido que está sumergido en el líquido.

d2=0.15 cm Altura(cm ) 2 4 10 15 30

35 30 25 20 15 10 5

y = 5E-05x2 + 0,0002x - 0,023

0 0

200

400

tiempo

600

800

5 *Regresión potencial A=-9.679118919 B=0.0508580170 r=0.9840186852 *La relación tiempo vs altura es que a mayor altura más tiempo se necesita para vaciar el tanque

2.281 2.431 2.630 2.719 2.869

35 30

log(h)

Altura(c m) 2 4 10 15 30

Log(t)

Tiempo vs Log(h) 1,600 1,400 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000

y = 0,8684ln(x) - 4,2595

0

200

800

tiempo

Log(t) 2.281 2.431 2.630 2.719 2.869

Log(t) vs Altura y = 0,000 1x11,776

25

Log(h) 0.301 0.602 1.000 1.176 1.477

20

log (t) vs Log(h)

15 10

1,800

5

1,600

0 0,00 0

1,400 1,00 0

Tiempo( s) 191 270 427 523 740

2,000

log(t )

Log(h) 0.301 0.602 1.000 1.176 1.477

3,00 0

y = 0,0012x6,8563

4,00 0

1,200

log(h)

altura

600

400

1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500

log(t)

punto de corte 6,37654E+12

Pendiente 0,050858017

6

Tiemp o (s ) 191

Altur a a 2

270

4

427

10

523

Tiem po^ 2 3648 1.0 7290 0.0 1823 29. 0 2735 29. 0

15

2 1 5 1

Prom edio o

43 0. 2

diámetro vs log(t) 3,500 3,000

1080.0

2,500 2,000

4270.0

1,500

y = -0,892ln(x) + 1,182 4

1,000

7845.0

0,500 0,000

5476 3 00. 0 0 1112 6 839 1 .0

74 0 Suma toria a

Tiemp o*Altu ra 382.0

0

0,2

2225 67. 8

Diámetro(c m) 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5

-0,824 -0,699 -0,523 -0,398 -0,301

7155. 4

h= 30 cm Tiempo (s) 740 416 183 101 62

log(d) vs tiempo

800 700 600

y = 15,219e-4,728x

Diámetro vs Tiempo 800 700 600 500 400 300 200 100 0

500 400 300 200

y = 15,219x-2,053

100

-1,000

-0,800

-0,600

-0,400

log(d) 0

0,1

0,2

0,3

Diámetro

*Regresión potencial A=849.0243902

0,6

Tiempo (s) 740 416 183 101 62

tiempo

d 1=8.2 cm

0,5

35777 .0 Log(D)

1 2. 2

0,4

0,3

diámetro

Datos tomados de un experimento de vaciado de tanque. Donde d1=8.2 cm y h=30 cm son el diámetro superior y altura del tanque; en este caso constantes

Tiempo

0,1

22200 .0

0,4

0,5

0,6

-0,200

0 0,000

7 B=-1769.756098 r=-0.9001152312 Relación tiempo vs diámetro es que a mayor diámetro de abertura menor es el tiempo que tarda en vaciar el tanque

Diámetro(c m) 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5

Log (t) 2,8 69 2,6 19 2,2 62 2,0 04 1,7 log(d) vs 92 log(t)

Log(D)

3,500 3,000 2,500

log (t)

2,000 1,500

y = -0,194

5x2 - 2,27 26x

+ 1,1277

1,000

Log (t) -0,824 2,8 69 -0,699 2,6 19 -0,523 2,2 62 TABLA 3: -0,398 2,0 Datos tomados de un experimento de 04densidad atmosférica. -0,301 1,7 92 Altura(m) Densidad(kg/m) 0 1,225 2000 1,007 4000 0,819 6000 0,66 8000 0,526 10000 0,414

0,500

-1,000

-0,800

-0,600

-0,200

-0,400

0,000 0,

Altura vs Densidad(kg/m)

log(d)

1,4

Punto de corte 19,291

Pendiente 487,513

Diámetro

Tiempo

0,15 0,2 0,3 0,4 0,5

740 416 183 101 62

Diametro ^2 0,023 0,040 0,090 0,160 0,250

1502

0,563

320,500

300,4

0,1125

64,1

S u 1,55 m a t o r i a P r 0,31 o

Diámetro*tiempo

Densidad (kg/m)

1,2 1 0,8 0,6 0y ,4 =

1,2466e-1E-04 x

0,2

111,000 83,200 54,900 40,400 31,000

0 0

2000

4000

6000

8000

10000

altura Regresión potencial A=1.179238095 B=-8.081428571e-5 r=-0.99281558 La relación densidad vs altura es que a mayor altura menor es la densidad atmosférica.

12000

8

Altura 0 2000 4000 6000 8000 10000

Altura vs Log(t) 0,200 0,100 0,000 0

2000

40 00

6000

8000

10000

1200

log(t)

log(t)

-0,100 -0,200

Log(t) 0,088 0,003 -0,087 -0,180 -0,279 -0,383

-0,300

y = -6 E-10x2 - 4E-0 5x + 0,088

-0,400

Altura

-0,500

Log(D)

Densidad (kg/m)

3,301 3,602 3,778 3,903 4,000

Densidad(kg/ m) 1,225 1,007 0,819 0,66 0,526 0,414

log (A) vs Densidad(kg/m) 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6

Sumato ria Promedi o

977x2 + 0,593x + 1,224 7

y = -00,41 0,2 0 0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

3,301 3,602 3,778 3,903 4,000

4000

0,819

6000

0,66

8000 1000 0 3000 0

0,526

6000

0,9302

0,414 4,651

Altura^2 0 4000000 1600000 0 3600000 0 6400000 0 1000000 00 2200000 00 4400000 0

Altura * Densida d d 0,000 2014 3276 3960 4208 4140 17598

3519,6

IV. CONCLUSIONES •

Log(t) 0,088 0,003 -0,087 -0,180 -0,279 -0,383

Densidad (kg /m) 1,225 1,007

5,00

Log(d)

Log(D)

Altur a a 0 2000

Al observar el modelo teórico que relaciona las variables involucradas nos dimos cuenta de que con 2ℎ

𝐴1

𝑔

𝐴2

la fórmula de(√ ) *(( ) − 1) podíamos encontrar

•

un dato que sería el del corte de la recta en el eje y (MIGUEL) La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido cuando se mueve a lo largo de una corriente de agua. (ANDRES R)

9 •

La ecuación de continuidad nos dice que cuando un fluido fluye por un tubo con diámetro variable, su velocidad va cambiando ya que la sección transversal varía de una sección del tubo a otra. (ANDRES C)

•

Bernoulli afirma que cuando la velocidad de un fluido es alta, la presión será baja y cuando la velocidad de un fluido es baja, la presión es alta. (JEISSON)

V. BIBLIOGRAFIA •

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/fluidos/densidad/den sidad. HTML

•

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/AYC/document/ atmo sfera_y_clima/presion/variacionPres.html

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http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaci ado/v aciado.html

•

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spa nish/ topics/exponential-regression

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