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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL TRABAJO ESCALONADO PARTE III GRUPOS “A” y “D” ASIGNATURA: ANÁLISIS MATEMÁTICO II Grupo: A DOCENTE: Ing. Horacio Urteaga Becerra Prof. de la asignatura

TEMA: USO DE WOLFRAM MATHEMATICA- Capítulo VI-VII-VIII

INTEGRANTES: 

Cáceres Vásquez, Edin Humberto. 



León Díaz, César Eduardo.

Morales Fernández, Carlos Enrique. 

Romero Bazán, Wilder Omar.

Cajamarca, 07 de julio del 2017.

Índice 1.

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 5

2.

OBJETIVOS ......................................................................................................................... 6

3.

JUSTIFICACIÓN.................................................................................................................. 6

4.

ALCANCE ............................................................................................................................ 6

5.

MARCO TEÓRICO: ............................................................................................................. 7 5.1.

Capítulo VI: ................................................................................................................... 7

5.1.1.

Cálculo de dominios. ............................................................................................. 7

5.1.2.

Gráficas de superficies en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ......... 8

5.1.3.

Gráficas de superficies de revolución. ................................................................ 13

5.1.4.

Gráficas de superficies cuádricas. ....................................................................... 17

5.1.5.

Gráficas de superficies cilíndricas. ...................................................................... 21

5.1.6.

Gráficas de superficies paramétricas. .................................................................. 23

5.1.7.

Curvas de nivel. ................................................................................................... 24

5.1.8.

Superficies de nivel. ............................................................................................ 25

5.1.9.

Límites................................................................................................................. 27

5.1.10.

Continuidad y discontinuidad.............................................................................. 29

5.1.11.

Derivadas parciales de primer orden. .................................................................. 32

5.1.12.

Derivadas parciales de orden superior................................................................. 35

5.1.13.

Derivadas direccionales....................................................................................... 36

5.1.14.

Gradiente. ............................................................................................................ 37

5.1.15.

Integrales dobles y triples. ................................................................................... 39

5.1.16.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en

coordenadas cartesianas. ..................................................................................................... 41 5.1.17.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en

coordenadas polares. ........................................................................................................... 42 5.1.18.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en

coordenadas cartesianas. ..................................................................................................... 43

5.1.19.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en

coordenadas cilíndricas. ...................................................................................................... 44 5.1.20.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en

coordenadas esféricas. ......................................................................................................... 45 5.1.21.

Funciones vectoriales: gráficas, límites, derivadas e integrales. ......................... 46

5.1.22.

Campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales: Gráficos. Rotacional y

Divergencia. Aplicaciones. ................................................................................................. 46 5.2.

Capítulo VII: ............................................................................................................... 48

5.2.1.

Desarrollar alguna aplicación o aplicaciones del programa matemático a la

ingeniería civil. .................................................................................................................... 48 5.3.

Capítulo VIII: .............................................................................................................. 49

5.3.1.

Indicar las ventajas del Programa MATEMÁTICO asignado, en relación con los

programas matemáticos asignados a los otros grupos. ........................................................ 50 6.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: ................................................................................... 50 6.1.

Capítulo VI: ................................................................................................................. 50

6.1.1.

Cálculo de dominios. ........................................................................................... 50

6.1.2.

Gráficas de superficies en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ..Error!

Bookmark not defined. 6.1.3.

Gráficas de superficies de revolución. ................................................................ 51

6.1.4.

Gráficas de superficies cuádricas. ...........................Error! Bookmark not defined.

6.1.5.

Gráficas de superficies cilíndricas. ...................................................................... 55

6.1.6.

Gráficas de superficies paramétricas. ......................Error! Bookmark not defined.

6.1.7.

Curvas de nivel. ................................................................................................... 57

6.1.8.

Superficies de nivel. ................................................Error! Bookmark not defined.

6.1.9.

Límites................................................................................................................. 59

6.1.10.

Continuidad y discontinuidad..................................Error! Bookmark not defined.

6.1.11.

Derivadas parciales de primer orden. .................................................................. 62

6.1.12.

Derivadas parciales de orden superior................................................................. 67

6.1.13.

Derivadas direccionales...........................................Error! Bookmark not defined.

6.1.14.

Gradiente. ............................................................... Error! Bookmark not defined.

6.1.15.

Integrales dobles y triples. ................................................................................... 69

6.1.16.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en

coordenadas cartesianas. ..................................................................................................... 70 6.1.17.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales dobles en

coordenadas polares. ...............................................................Error! Bookmark not defined. 6.1.18.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en

coordenadas cartesianas. .........................................................Error! Bookmark not defined. 6.1.19.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en

coordenadas cilíndricas. ..........................................................Error! Bookmark not defined. 6.1.20.

Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en

coordenadas esféricas. ......................................................................................................... 71 6.1.21.

Funciones vectoriales: gráficas, límites, derivadas e integrales. .. Error! Bookmark

not defined. 6.1.22.

Campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales: Gráficos. Rotacional y

Divergencia. Aplicaciones. .....................................................Error! Bookmark not defined. 7.

RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE CLASE .......................................................... 72

8.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................................. 73

9.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍAS ................................................................................... 73

1. INTRODUCCIÓN Wolfram Mathematica es un programa que realiza cálculos de manera tanto numérica como simbólica, asimismo, permite realizar gráficos e integrar los resultados en un mismo documento. Además, dispone de un lenguaje de programación propio que permite la construcción de programas que se ajustan a las necesidades del usuario. Desde sus inicios, en 1988, su uso se ha ido extendiendo a los nuevos campos de la Ciencia y la Ingeniería. Para la realización de este trabajo se utilizó el libro titulado “Análisis Matemático II” que tiene como autor al Ing. Horacio Urteaga Becerra, docente de la Universidad Nacional de Cajamarca. Específicamente nos enfocamos en el Capítulo VI y VII denominados “Funciones de Varias Variables” y “Aplicaciones de las Derivadas Parciales” respectivamente. Este trabajo es el resultado del esfuerzo conjunto de todos los que conformamos el grupo, por lo que nos hacemos responsables todos de las posibles críticas y correcciones que este tenga. Nuestros sinceros agradecimientos están dirigidos hacia nuestros padres, quienes a lo largo de toda nuestra vida han apoyado y motivado nuestra formación académica, creyeron en nosotros en todo momento y no dudaron de nuestras habilidades; sin olvidarse de Dios, nuestro padre que nos brinda un día más de vida.

2. OBJETIVOS 2.1. Objetivos Generales: 

Evaluar las ventajas del programa wólfram mathematica en el estudio del análisis matemático.



Resolver los capítulos VI, VII y VIII del trabajo escalonado en el curso Análisis II, desarrollando paralelamente las competencias sobre el uso del programa wolfram mathematica.

2.2. Objetivos Específicos: 

Comparar las bondades del programa wolfram mathematica en relación a otros programas matemáticos.



Hacer una guía de uso del programa wolfram mathematica para posteriores estudios de investigación.



Observar las debilidades del programa frente a otros programas para poder ser conscientes del uso del programa y determinar los usos específicos de este.

3. JUSTIFICACIÓN El presente trabajo es realizado para aportar al estudiante en su desarrollo académico reforzando sus conocimientos debido a que es necesario en la actualidad el estudio de todas las áreas de ingeniería mediante el uso de programas ya que estos facilitan el entendimiento porque disminuyen los procesos mecánicos los cuales son muy tediosos e innecesarios; además estos programas solo harán esta parte y el alumno solo estará enfatizado en desarrollar la parte en que se tiene que razonar.

4. ALCANCE EL presente trabajo abarca un conjunto de información necesaria para el manejo de Wolfram Mathematica 10, tomando como mayor relevancia su uso en el análisis matemático y la ingeniería.

5. MARCO TEÓRICO: 5.1. Capítulo VI: Aplicado al estudio de las funciones reales de variables reales. 5.1.1. Cálculo de dominios. Para el cálculo del dominio de cualquier función, mediante el programa wolfram mathematica, usamos el comando: FunctionDomain [f (x, y, …n),{x, y,…n}] Para la interpretación geométrica del dominio de la función, mediante el uso del programa, escribimos el comando: RegionPlot[Dominio, {x, min1 , max1 },{y, min2 , max2 }, Axes → True, AxesLabel → {𝑥, 𝑦} ] Mediante el siguiente ejemplo, podemos observar la solución de un ejercicio desarrollado en Análisis Matemático II, Urteaga Esparza.

Posteriormente, realizamos la interpretación geométrica en el espacio usando el programa. Para poder realizar esto, hacemos uso del comando ContournPlot3D[ 𝑓(𝑥, 𝑦), {𝑥, min1 , max1 }, {𝑦, min2 , max2 }, {𝑧, min3 , max3 }, Axes → True, AxesOrigin → {0,0,0}, AxesLabel → {𝑥, 𝑦, 𝑧}, AxesStyle → {Color1, Color2, Color3}]

Nota: Al hacer uso del comando FunctionDomain[] o FunctionRange[], y al recibir el resultado “TRUE”, esto indicará que este dominio o rango se encuentra en los números reales. 5.1.2. Gráficas de superficies en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Para graficar superficies en 3D usando WOLFRAM MATHEMATICA, es necesario tener en cuenta los tipos de instrucciones que se pueden insertar en el cuaderno, dependiendo de las coordenadas en las que queramos graficar las superficies. En el caso de las coordenadas cartesianas: -

Ingresamos en el cuaderno la ecuación (en coordenadas cartesianas) de la superficie que se desea graficar y la declaramos, de acuerdo al número de variables, de la siguiente forma:

Y pulsamos Shift+Enter. -

Luego insertamos la siguiente instrucción:

-

Finalmente pulsamos Shift+Enter y la superficie aparecerá automáticamente.

-

Si queremos representar más de una función necesitaremos usar la instrucción Show.

Ejemplo 1. Graficar la función f(x,y)=sen x + cos y Solución

Ejemplo 2. Graficar las superficies 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 1, en Solución

unos mismos ejes de coordenadas.

Utilizamos la instrucción Show para mostrar las dos gráficas conjuntamente

En el caso de las coordenadas cilíndricas: -

Hacemos llamar a la libreta 0 y −π < ϑ ≤ π se llaman coordenadas polares del punto de coordenadas cartesianas (x,y).

La fórmula del cambio de variables (2.14) para el caso de coordenadas polares se expresa por:

5.1.18. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en coordenadas cartesianas.

5.1.19. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en coordenadas cilíndricas.

5.1.20. Interpretación geométrica de una suma integral para integrales triples en coordenadas esféricas. En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones del tipo f : B  R3  R , tal como se hizo en la sección anterior para las integrales dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo f : Q  R n  R ,

para realizar cálculo de integrales triples en el Wolfram Mathemtica se utiliza el comando Integrate.

5.1.21. Funciones vectoriales: gráficas, límites, derivadas e integrales. 5.1.22. Campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales: Gráficos. Rotacional y Divergencia. Aplicaciones. Gráficas de Campos Vectoriales en Dos Dimensiones Dentro de las herramientas didácticas que posee Wolfram Mathematica es presentar de manera gráfica los campos vectoriales dentro de un plano o visto dentro de tres dimensiones. Se puede hacer uso de todas las herramientas disponibles vistas en este trabajo para combinarlas con ejercicios que ameriten introducir, por ejemplo: planos, superficies cuádricas, etc. Su sintaxis: 1. Hacemos el llamado a la librería