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CI 52S DISEÑO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS Semestre Otoño 2006

Amplificación Dinámica de Suelos Apuntes de Clases

Autor: Juan Gmo. Valenzuela B. 1/5

TEORÍA DE LA AMPLIFICACIÓN DINÁMICA DE SUELOS Para el análisis dinámico del comportamiento de suelos, se considerará el caso de un Medio A (Suelo), que yace sobre un semi-espacio de un Medio B (Roca), tal como muestra la figura. Se supondrá la existencia de una onda SH que incidente verticalmente.

Al considerar la ecuación de equilibrio de fuerzas y la ecuación de definición de esfuerzo de corte, se puede establecer la ecuación de movimiento para cada uno de los medios como:

F = m⋅a ⇔

∂τ ∂ 2u ⋅ ∂z ⋅ dx = ( ρ ⋅ dz ⋅ dx) ⋅ 2 , ∂z ∂t

∂u τ =G ∂z ∴

⇒

∂ 2u s ∂ 2u s ρ s 2 = Gs 2 ∂t ∂z

∂τ ∂ 2u =G 2 , ∂z ∂z ∂ 2ur ∂ 2u r ; ρ r 2 = Gr . ∂t ∂z 2

Utilizando la nomenclatura establecida en la siguiente figura para la onda “incidente” y “reflejada” en cada medio, la “solución tipo” de esta ecuación, para cada uno de los medios se puede establecer como:

us (t , z ) = As ei ( wt + k s z ) + Bs ei ( wt − k s z ) ,

ur (t , z ) = Ar ei ( wt + k r z ) + Br ei ( wt − k r z ) .

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Amplificación Dinámica de Suelos Apuntes de Clases

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Al interior de cada medio, se puede establecer la ecuación de tensión de corte como:

τ s = Gs

∂u s ∂z

; τ r = Gr

∂u r . ∂z

El análisis de la situación en este caso permite establecer las siguientes condiciones de borde del problema:

τ s (t , z = 0) = 0 .

•

Superficie libre del suelo:

•

Continuidad de desplazamiento en la interfase de los suelos:

•

Continuidad de tensiones de corte en la interfase de los suelos:

u s (t , z = H ) = u r (t , z = 0) .

τ s (t , z = H ) = τ r (t , z = 0) .

Las soluciones tipo, en conjunto con las condiciones de borde, permiten resolver el sistema de ecuaciones anteriores para determinar el valor absoluto del cuociente entre las amplitudes de desplazamiento entre los dos medios: •

τ s (t , z = 0) = 0 ⇒ τ s = Gs

∂u s ∂ = Gs As e i ( wt + k s z ) + Bs e i ( wt − kst ) ∂z ∂z

(

)

τ s = As e iwt − Bs e iwt = 0 ∀t ⇒ ∴ As = Bs •

As e i ( wt + k s H ) + As e i ( wt −k s H ) = Ar e iwt + Br e iwt

u s (t , z = H ) = u r (t , z = 0) ⇔

As e iks H + As e −iks H = Ar + Br •

(*)

τ s (t , z = H ) = τ r (t , z = 0)

(

)

(

)

Gs k s As e iks H − e − iks H = Gr k r Ar − Gr k r Br Gs k s As e ik s H − e −ik s H = Ar − Br Gr k r

(**)

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Sumando las ecuaciones (*) y (**) , y considerando la identidad trigonométrica

e ikH = cos kH + isenkH y la variable auxiliar denominada Razón de Impedancia:

α=

Gs ⋅ k s Gs ⋅ w VSs Gs ρ s Gs = = = Gr ⋅ k r Gr ⋅ w VSr Gr ρ r Gr

ρ s ⋅ Gs ρ s ⋅ VSs = , ρ r ⋅ Gr ρ r ⋅ VSr

se obtiene el siguiente cuociente denominado Función de Transferencia:

e iks H ( As + αAs ) + e − iks H ( As − αAs ) = 2 Ar

[cos k s H + isenks H ] ( As + αAs ) + [cos k s H − isenks H ] ( As − αAs ) = 2 Ar 2 cos k s H ⋅ As + 2isenk s H ⋅ αAs = 2 Ar As 1 1 1 = = = Ar cos 2 k s H + α 2 sen 2 k s H cos 2 k s H + α 2 (1 − cos 2 k s H ) cos 2 k s H (1 − α 2 ) + α 2 Considerando las definiciones de número de onda ( k ), longitud de onda ( λ ), período de onda ( T ) y velocidad de onda de corte ( Vs ), el cuociente recién mencionado adquiere su valor máximo para los siguientes períodos:

As Ar

¬ cos θ = 0 ⇒ θ = (2n − 1) máx

π 2

∴ k s H = (2n − 1)

π 2

λ ⋅ k = 2π ⎫ 2π 2π = ⎬ ⇒ k= λ = VS ⋅ T ⎭ λ VS ⋅ T 2π π H = (2n − 1) 2 VS ⋅ T

T=

4H 1 4H ⋅ = , VS (2n − 1) VS

4H , 3VS

4H , K 5VS

Por lo anterior, se concluye que la respuesta de un depósito de suelos es altamente dependiente de la frecuencia del movimiento en la base, estando determinada su amplificación máxima sólo por la razón de impedancia entre los estratos y las frecuencias a las cuales esta amplificación ocurre, depende solo de la geometría (espesor) y de las propiedades del material (velocidad de ondas de corte) del estrato de suelo.

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Ejemplo: Considere el esquema de la figura adjunta. Suponiendo la incidencia de una onda de corte vertical compare los movimientos sísmicos en los puntos A, B y C. Las características dinámicas de la roca y de la arcilla son las siguientes:

VP arcilla = 450 [m / s]

VP roca = 1800 [m / s]

ν arcilla = 0.40

ν roca = 0.30

ρ arcilla = 1.6 [ton / m 3 ]

ρ roca = 2.1 [ton / m 3 ]

La velocidad de Onda de Corte VS y el Módulo de Rigidez G del suelo pueden calcularse considerando:

VS = V P ⋅

(1 − 2ν ) 2(1 −ν )

y G = ρ ⋅ VS2 ,

resultando en este caso:

VS arcilla = 184 [m s ] ,

Garcilla = 54000 [ton m ⋅ s 2 ] ,

VS roca = 962 [m s ] ,

Groca = 1944000 [ton m ⋅ s 2 ] .

Los resultados se pueden comprobar dimensionalmente utilizando:

λ=

2Gν (1 − 2ν )

y VP =

λ + 2G , ρ

resultando:

λarcilla = 216000 [ton m ⋅ s 2 ] y λroca = 2916000 [ton m ⋅ s 2 ] . El máximo de la Función de Transferencia Fmáx , se puede calcular a partir de la razón de impedancia α , como:

α=

ρ arcilla ⋅ VS arcilla = 0.145 ρ roca ⋅ VS roca

⇒

Fmáx =

1

α

= 6.87

Los períodos a los que ocurre el primer máximo (o primer modo fundamental del estrato de suelo), corresponden a: TA =

4H A = 0.44 [ s ] VS A

TB =

4H B = 0.11 [ s ] , VS B

en los puntos A y B, respectivamente. En el punto C, no existe amplificación ya que no existe un estrato superior.

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La forma que adquiere la Función de Transferencia, considerando como variable independiente el período t i , para los puntos A y B, se muestra en la figura siguiente:

1

F=

2

⎛ ⎛ 2π H ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ cos⎜ ⎟ + α 2 ⋅ ⎜ sen⎜ 2π ⋅ H ⎟ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜ ⎜ V t ⎟⎟ ⎜ ⎜ V t ⎟⎟ ⎝ ⎝ S i ⎠⎠ ⎝ ⎝ S i ⎠⎠

2

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Función de Transferencia F [ ]

8 7 6 5 4 3 2 1 0

0

0.05

0.1

0.15

Punto A H = 20 [m] Punto B H = 5 [m]

0.2

0.25

0.3 0.35 Período [ seg ]

0.4

.

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65