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• Jack Mayhua Huaman

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AMORTIGUAMIENTO VISCOSO El proceso por el cual la vibración libre de una estructura disminuye constantemente en amplitud se llama amortiguación. Cuando se considera la amortiguación, la ecuación de movimiento es: 𝑴𝑢̈+𝑪𝑢̈+𝑲𝑢̈=0 Sin embargo, no es fácil determinar la matriz de amortiguación [𝑪]. Por lo tanto, las relaciones de amortiguación modal se estiman usando datos medidos de estructuras similares. La mayoría de los datos registrados utilizados para la estimación de amortiguación provienen de estructuras sacudidas por debajo del rango inelástico. Por otro lado, los movimientos registrados de las estructuras que tienen experiencia de rendimiento significativo durante un terremoto proporcionaría amortiguación adicional que también incluyen la disipación de energía debido a la producción. La mayoría de los códigos de construcción define típicamente el espectro de respuesta de diseño para una relación de amortiguación estructural de referencia del 5%. Sin embargo, la relación de amortiguación real varía para diferentes materiales estructurales, sistemas y niveles de estrés. En la Tabla 2.1 se muestran algunos valores de amortiguamiento para sistemas estructurales (Newmark & Hall, 1982). Nivel de estrés Estrés de trabajo, no más de ½ punto de fluencia

En o justo por debajo del límite de elasticidad

Tipo y condición de la estructura Acero atornillado o atornillado Acero soldado, hormigón pretensado, hormigón armado ligeramente agrietado Hormigón armado con fisuras considerables Acero soldado, hormigón pretensado sin pérdida completa de pretensado Hormigón pretensado de hormigón armado con pérdida de pretensado Acero atornillado y remachado, estructuras de madera con junta atornillada.

Relación de amortiguamiento (%) 5-7 2-3

3-5 5-7

7-10 7-10 10-15

DISIPACIÓN DE ENERGÍA HISTERÉTICA La energía histérica en un elemento es disipada por un sistema estructural durante un evento sísmico cuando tiene lugar una cierta cantidad de deformación de no linealidad. Ha sido reconocido por varios investigadores como un indicador del nivel de reducción de la fuerza sísmica mediante disipación de energía, p. Park, et al. (1987), (Benavent-Climent, 2011), Bojorquez, et al. (2011). En general, un bucle histerético con gran capacidad de disipación de energía a nivel de miembro se considera como una garantía de mejor rendimiento de deformación del sistema, lo que implica una buena correlación entre la energía histérica disipada y las demandas de deformación inelástica (véase la Figura 2.1) . Sin embargo, a

diferencia de la rigidez estructural, es complejo calcular el coeficiente de amortiguación de las dimensiones de la estructura y las propiedades de los materiales. Por lo tanto, no es posible identificar todos los mecanismos que disipan la energía vibracional en las estructuras.

a. Concreto reforzado

b. Concreto parcialmente pretensado con tendones sin juntas

Figura 2.1. Relación momento-curvatura histérica de lazo para un elemento concreto estructural concreto Ductilidad y relación de disipación de energía Se necesita una relación entre la fuerza y la deformación para determinar la cantidad de disipación de energía. En un sistema de un solo grado de libertad (SDOF), un ciclo de fuerza desplazamiento completo, con inversión de carga, es representativo de la demanda máxima de deformación durante un terremoto. El área encerrada en el bucle (Figura 2.1) se disipa en ese ciclo. Como un sistema viscoso amortiguado también disipa la energía dentro de cada ciclo, puede obtenerse una relación de amortiguación equivalente para el sistema no lineal. En Chopra (2007), esto se demostró considerando un movimiento en estado estacionario de un sistema de un solo grado de libertad debido a la fuerza armónica como en la Ec. (2.6). 𝑓(𝑡)=𝑓𝑜∙sin𝜔𝑡

(2.6)

Se puede demostrar que la energía disipada en un ciclo de carga por un SDOF amortiguado viene dada por la Ec. (2.7), donde 𝑢̈𝑜 es el desplazamiento máximo en un ciclo y ω𝑛 = √𝐾𝑀 es la frecuencia natural del sistema. 𝐸𝐷=𝑐∙𝜋∙𝜔𝑛∙𝑢̈02

(2.7)

ESo

ED

Figura 2.2. Energía disipada 𝐸𝐷 en un ciclo de una vibración armónica determinada para cualquier bucle histerético El método más común para definir el amortiguamiento viscoso equivalente es equiparar la energía disipada en un ciclo de vibración de la estructura real y un sistema viscoso equivalente (Blandon, 2004). La relación estructura - fuerza - desplazamiento puede obtenerse a partir de experimentos o de análisis numérico no lineal bajo carga cíclica. La energía disipada en la sección real está dada por el área 𝐸𝐷 encerrada por el bucle de histéresis como en la Figura 2.2, como en Chopra (2007), Paz (1998), entre otros. Al igualar 𝐸𝐷 a la energía disipada en amortiguamiento viscoso dada la ecuación (2.7), se obtiene la siguiente relación: (2.8) 𝜉ℎ𝑦𝑠𝑡=𝑐𝑒𝑞/𝑐𝑐𝑟=(1/4𝜋)*(𝐸𝐷/𝐸𝑠𝑜) Cuando la energía de deformación se calcula a partir de la rigidez equivalente, (2.9) 𝐸𝑠𝑜= 𝐾𝑒𝑞*𝑢̈𝑚𝑎𝑥*𝑢̈𝑚𝑎𝑥 /2 Esta formulación es ampliamente aceptada y se ha aplicado para modelar el amortiguamiento en sistemas de varios grados de libertad. En la mayoría de los métodos de diseño sísmico basados en el rendimiento, la amortiguación total de la estructura se considera como la suma de la amortiguación viscosa elástica y la amortiguación histerética como: (2.10) 𝜉𝑒𝑞=𝜉𝑒𝑙+𝜉ℎ𝑦𝑠𝑡 Donde la amortiguación histerética (ξℎ𝑦𝑠𝑡) depende de la regla histerética correspondiente a la estructura que está siendo diseñada. La relación amortiguación elástica (ξ𝑒𝑙) se suele tomar como 0,05; aunque, se han dado valores alternativos en la Tabla 2.1.

Jacobsen (1930) propuso la primera solución aproximada del estado estacionario de un oscilador no lineal definiendo un oscilador lineal equivalente. En el enfoque de Jacobsen, ambos osciladores tienen la misma frecuencia natural y disipan igual energía por ciclo de una respuesta sinusoidal. En los métodos de diseño sísmico basados en el rendimiento, la amortiguación de Jacobsen se combinó con la rigidez secante como rigidez equivalente 𝐾𝑒𝑞 (véase la figura 2.1). Esto difiere del trabajo inicial de Jacobsen en el cual se utiliza la rigidez inicial. El enfoque de linealización equivalente definido por el amortiguamiento de Jacobsen y la rigidez secante se denomina el enfoque JDDS (Jacobsen's Damping Secant Stiffness), tal combinación fue propuesta por Rodenblueth y Herrera (1964). El método JDSS aplicado al bucle rígido-perfectamente plástico (RPP) mostrado en la Figura 2.3 produce un

amortiguamiento equivalente en (2.11), con un coeficiente equivalente de 2π /. El área 𝐴1 es el área del bucle histerético, y 𝐴2 es el área del bucle RPP que abarca el bucle histerético del área 𝐴1. En el trabajo presentado por Grant, et al. (2004), se demostró que el amortiguamiento viscoso e histerético no debe añadirse directamente. En cambio, si la estructura presenta un amortiguamiento viscoso que es proporcional a la rigidez tangencial, este valor de amortiguación debe reducirse antes de añadirlo al componente histérico. 𝜉ℎ𝑦𝑠𝑡=( 2/𝜋)∙(𝐴1/𝐴2)

(2.11)

Figura 2.3. Amortiguación equivalente para regla histerética bilineal y RPP Amortiguación histérica equivalente para diferentes sistemas estructurales. Existen diferentes propuestas para obtener amortiguación equivalente para estructuras de hormigón armado. Blandon (2004) y Rodiguez, et al. (2012) revisaron y estudiaron el enfoque existente para todo tipo de elementos, como Priestley, et al. (2007), Kowalsky (1994), Dwairi, et al. (2007), Gulkan & Sozen (1974), Rodenblueth y Herrera (1964), entre otros. El trabajo de Dwairi, et al. (2007), Priestley y Kowalsky (2000) representaron el componente histérico de la respuesta en la forma: (2.12) 𝜉ℎ𝑦𝑠𝑡=𝐶∙((𝜇−1)/(𝜇∙𝜋)) Donde el coeficiente 𝐶 depende de la forma del bucle de histéresis. Este tipo de relación puede derivarse del enfoque basado en el área de la Ec. (2.10) para la regla Elastic Perfectly Plastic (EPP). En este caso, se puede demostrar que el factor 𝐶 sería igual a 2. Sin embargo, se encontró alguna dependencia del período para períodos efectivos Te