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“AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU” FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

TRABAJO ENCARGADO N° 2 CURSO: Modelación y Planeamiento de Minado. DOCENTE: Ing. Martin Zeta Flores. ALUMNO: Talledo Ayala Darwin FECHA: 28 de Enero de 2016

INTRODUCCION Son muchos los factores que intervienen en el diseño y planificación de las explotaciones mineras, lo que hace de ésta, una formidable y complicada tarea. No es de extrañar pues, que no exista ningún algoritmo matemático que sea capaz de encontrar una solución óptima, al menos, si hablamos de este término en un sentido totalmente estricto y riguroso. Lo que sí que existen, son algoritmos que una vez fijados implícita o explícitamente un conjunto amplio de parámetros, y bajo la supervisión del diseñador o planificador minero, ofrecen distintas alternativas, que resultaran más o menos operativas o factibles; en función a la cantidad y calidad de los parámetros de entrada que el modelo puedo aceptar. El empleo de algoritmos necesita de un modelo del yacimiento, en forma de bloques rectangulares tridimensionales, que a su vez puedan estar formados por varios bloques menores y que puedan tener en su interior información muy variada concerniente a sus dimensiones y coordenadas, al tipo y densidad del material al que representa, leyes o cantidades de metal(es), taludes de excavación, etc. Al final, para cada bloque, toda esta información se condensa en: 1. El valor neto del mismo o suma de los ingresos menos la suma de los costos imputables a la extracción de ese único bloque, supuesto que este valor es independiente de la secuencia de extracción. 2. Un fichero de arcos, que representa el conjunto de bloques que hay que extraer, de acuerdo con los taludes de la excavación, para posibilitar la salida del bloque considerado

TEORIA DE LANE Uno de los problemas más difíciles en una operación minera es como determinar la ley de corte optima de minado, durante la vida útil de la mina que maximice el valor presente neto (VPN) de la operación

Maximizar el VAN de una operación minera está sujeto a diferentes limitaciones, es un problema de programación lineal. La optimización de la ley de corte es usada para determinar la estrategia de operación de minado que va a maximizar la rentabilidad total de la mina.

En 1964 Kenneth F. Lane publicó uno de los artículos más importantes en el mundo de la ingeniería de minas que describía un algoritmo capaz de brindar un secuenciamiento de leyes de mineral para obtener el máximo VAN tomando como restricciones a la MINA, la PLANTA y/o la REFINERIA.

Lane abordo la tarea de la definición económica de mineral, desde el punto de maximización del sumatorio de los flujos de caja actualizados (V) producidos por la operación minera.

A continuación se definirán cada una de las etapas por las que el mineral pasa: 1. MINA: comprende el proceso de extracción mediante palas ya sean estas hidráulicas o eléctricas y volquetes mineros de gran capacidad. a. Capacidad de Mina (M): Comprende a la capacidad tanto del mineral como del desmonte y nos dice que tan rápido se puede explotar el pit. b. Costo de Mina (m): Sus costos abarcan la perforación, voladura, carguío y transporte. 2. PLANTA: Comprende los procesos de concentración de mineral obtenido de la mina y busca incrementar el valor del producto final haciendo uso de procesos metalúrgicos. a. Capacidad de Planta (C): Representa la cantidad de toneladas que la planta puede procesar en forma óptima para generar concentrado. b. Costo de Planta (c): Estos abarcan los costos de chancado, moliendo y costos respectivos al proceso metalúrgico seleccionado. 3. REFINERIA: Comprende procesos de purificación del mineral obtenido de planta para poder obtener el metal puro. a. Capacidad de Refinería (R): Representa la cantidad de metal que la refinería puede entregar asumiendo una continua alimentación por parte de planta. b. Costo de Refinería (r): Abarcan los costos de fundición, refinería, fletes, seguros, etc.

Costos Fijos (f): Son aquellos costos que no varían al variar la producción en mina pero terminan junto con la vida de la mina, por ejemplo los costos administrativos, de mantenimiento, vías de acceso, etc. Recuperación (y): Representa la cantidad de mineral alimentado a planta que no llego a formar parte del producto final. Precio de Venta (s): Es el precio de venta establecido por el mercado para cada metal y varía en función de muchas variables tanto económicas como políticas. Además tendremos las siguientes cantidades propias de cada mina consideradas en un periodo de tiempo (T):   

Qm: Cantidad de material a ser minado. Qc: Cantidad de mineral a ser enviado a planta. Qr: Cantidad de producto final (metal) producido.

Kenneth. F. Lane parte de las siguientes ecuaciones básicas de la minería para lograr su algoritmo:  Costos Totales

𝑻𝑪 = 𝒎𝑸𝒎 + 𝒄𝑸𝒄 + 𝒓𝑸𝒓 + 𝒇𝑻  Ingresos

𝑹 = 𝒔𝑸𝒓  Ganancias

𝑷 = (𝒔 − 𝒓)𝑸𝒓 − 𝒄𝑸𝒄 − 𝒎𝑸𝒎 − 𝒇𝑻

Recordemos estas fórmulas expresadas para poder agregar la siguiente que se basa en valor presente neto: Si fijamos un periodo T entonces tendremos dos valores: el valor obtenido del proceso de minado durante el periodo T y el valor obtenido del proceso de minado realizado después con los remanentes del proceso del periodo T, estos serán PVp y PWw respectivamente.

𝑷𝑽𝒘 (𝒕 = 𝟎) =

𝑾 (𝟏 + 𝒅)𝑻

𝑷𝑽𝒑 (𝒕 = 𝟎) =

𝑷 (𝟏 + 𝒅)𝑻

Donde d es una tasa de descuento. El valor presente neto seria la suma de estos dos valores:

𝑽=

𝑾 𝑷 + (𝟏 + 𝒅)𝑻 (𝟏 + 𝒅)𝑻

𝑽(𝟏 + 𝒅)𝑻 = 𝑾 + 𝑷 Podemos obtener la diferencia entre el valor presente V y los valores remanentes W a un periodo T variable, lo denominaremos v:

𝝂=𝑽−𝑾 Reduciendo la expresión (1+d)T tendremos que por expansión binomial:

(𝟏 + 𝒅

)𝑻

𝑻(𝑻 − 𝟏)𝒅𝟐 𝑻(𝑻 − 𝟏)(𝑻 − 𝟐)𝒅𝟑 = 𝟏 + 𝑻𝒅 + + +⋯ 𝟐! 𝟑!

Analizando que para d que generalmente toma valores entre 0.08 y 0.15 los cuales son muy bajos

𝑑2 2!

. Esta expresión variará entre 0.0032 y 0.01125 que son

valores muy próximos a 0 (cero), estos valores tenderán más a 0 en

𝑑3 3!

Por lo que

solo asumiremos esta igualdad.

(𝟏 + 𝒅)𝑻 = 𝟏 + 𝑻𝒅

Si combinamos esta expresión con la de valor presente tendremos:

𝑾 + 𝑷 = 𝑽(𝟏 + 𝑻𝒅) = 𝑽 + 𝑽𝑻𝒅

𝑽 − 𝑾 = 𝑷 − 𝑽𝑻𝒅 = 𝝊

Combinando la ecuación de ganancia con ésta última ecuación, tenemos:

𝝊 = (𝒔 − 𝒓)𝑸𝒓 − 𝒄𝑸𝒄 − 𝒎𝑸𝒎 − 𝑻(𝒇 + 𝑽𝒅) A continuación calcularemos las leyes de corte asumiendo primero 3 escenarios que son:  La mina como restricción.  La planta como restricción.  La refinería como restricción. 1. La mina como restricción: El periodo T estará definido por la cantidad a minar Qm entre la capacidad de la mina M. Tm = Qm/M Entonces tendremos:

𝒗𝒎 = (𝒔 − 𝒓)𝑸𝒓 − 𝒄𝑸𝒄 − (𝒎 +

(𝒇 + 𝑽𝒅) )𝑸𝒎 𝑴

Derivando respecto a la ley (g) tenemos:

(𝒇 + 𝑽𝒅) 𝒅𝑸𝒎 𝒅𝒗𝒎 𝒅𝑸𝒓 𝒅𝑸𝒄 = (𝒔 − 𝒓) −𝒄 − (𝒎 + ) 𝒅𝒈 𝒅𝒈 𝒅𝒈 𝑴 𝒅𝒈 Como minaremos material y NO mineral, esta cantidad Qm no dependerá de la ley (g), por lo que:

𝒅𝑸𝒎 =𝟎 𝒅𝒈 Además la relación entre las cantidades Qr y Qc es:

𝑸𝒓 = 𝑸𝒄 ∗ ̅̅̅ 𝒈𝒄 ∗ 𝒚 Donde ̅̅̅ 𝒈𝒄 es la ley media enviada a concentradora y “y” la recuperación metalúrgica diferenciando esta última ecuación en función de la ley “g”.

𝒅𝑸𝒓 𝒅𝑸𝒄 = ̅̅̅ 𝒈𝒄 ∗ 𝒚 ∗ 𝒅𝒈 𝒅𝒈 Además esta ley ̅̅̅ 𝒈𝒄 se puede definir como la ley de corte de minado 𝒈𝒎 cuando

𝒅𝒗𝒎 =𝟎 𝒅𝒈

Al reemplazar todas estas expresiones en la ecuación inicial obtenemos:

𝒄 (𝒔 − 𝒓) ∗ 𝒚

𝒈𝒎 =

OJO: esta ecuación no depende del valor presente. 2. La planta como restricción: Si la planta es restricción de forma similar al caso anterior tendremos:

𝒗𝒄 = (𝒔 − 𝒓)𝑸𝒓 − (𝒄 +

(𝒇 + 𝑽𝒅) ) 𝑸𝒄 − 𝒎𝑸𝒎 𝑪

Dado que la ley de corte solo afecta a Qr y Qc y no a Qm, pues el material debe removerse de todas formas, entonces:

𝒎𝑸𝒎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Por lo tanto tendremos:

𝒇 + 𝑽𝒅 𝑪 𝒈𝒄 = (𝒔 − 𝒓) ∗ 𝒚 𝒄+

3. La refinería como restricción:

𝒈𝒓 =

𝒄 𝒇 + 𝑽𝒅 (𝒔 − 𝒓 − )∗𝒚 𝑹

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Datos:         

Costo mina Costo planta Capacidad de mina Capacidad de tratamiento Capacidad de venta Costos fijos Precio Recuperación Costo de Oportunidad

1.32 $/t 3.41 $/t 12 000 000 t/año 3.9 000 000 t/año 900 t/año 11.9 000 000 al año 60 $/kg 87 % 15.2 millones.

Ley de Corte para capacidad máxima de mina.

𝑉 = (𝑝 − 𝑘) ∗ 𝑔 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥 − 𝑚 − ℎ ∗ 𝑥 − (𝑓 + [𝑑 ∗ 𝑉 −

𝑑𝑉 ]) ∗ 𝑇 𝑑𝑇

𝑑𝑉 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎 0 𝑑𝑇

𝒈𝒎 =

𝒈𝒄 =

𝒈𝒓 =

𝟑. 𝟒𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟕 𝒌𝒈/𝒕 (𝟔𝟎) ∗ 𝟎. 𝟖𝟕

𝟏𝟏. 𝟗 + 𝟏𝟓. 𝟐 𝟑. 𝟗 = 𝟎. 𝟐 𝒌𝒈/𝒕 (𝟔𝟎) ∗ 𝟎. 𝟖𝟕

𝟑. 𝟒𝟏 +

𝟑. 𝟒𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟑 𝒌𝒈/𝒕 𝟏𝟏. 𝟗 + 𝟏𝟓. 𝟐 (𝟔𝟎 − ) ∗ 𝟎. 𝟖𝟕 𝟎. 𝟗

La teoría de Lane es un criterio optimizante que pretende incorporar el costo de oportunidad tanto en la definición de la envolvente económica como en la definición de mineral en el tiempo. El óptimo de producción se produce en el punto donde la estrategia de producción paga los costos marginales y los costos de oportunidad. Modelo descrito por el algoritmo de Lane.  La elección de la ley de corte afecta directamente las utilidades.  Se examinan los principios que determinan la mejor elección en lo que respecta a la ley de corte, bajo diferentes circunstancias. Los 3 criterios económicos más importantes que pueden ser aplicados son:   

Caso I: Máximo Valor Presente. Caso II: Máximas Ganancias Totales. Caso III: Máximas Ganancias Inmediatas.

Ley de Corte Marginal: Si el precio del metal aumenta, la ley de corte disminuye. Ocurre lo contrario si el precio del metal disminuye.

𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝑳𝒄 = 𝑹 ∗ (𝑷 − 𝑪𝟑 ) C1: Costo Mina ($/t)

C2: Costo Planta ($/t)

C3: Costo Refinamiento ($/metal)

P: Precio del metal ($/metal)

R: Recuperación Metalúrgica. Parámetros de formulación del Algoritmo de Lane

Etapas del Proceso

Capacidad Máxima

Costos Unitarios

Mina

M

m

Proceso

H

h

Mercado

K

k

f p gc gm y d

Costos Fijos Precios Ley de Corte Ley Media Recuperacion Costo de Capital

$/año $/metal %/metal %/metal

Flujo de Caja

𝐶 = (𝑝 − 𝑘 ) ∗ 𝑔 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥 − 𝑚 − ℎ ∗ 𝑥 − 𝑓 ∗ 𝑡 x, proporción de mineral con respecto al material removido. Sea V el valor máximo de los flujos de caja actualizado. W el valor máximo de los flujos de caja actualizados después de extraer Q

𝐶+𝑊 𝑉= (1 + 𝑑)𝑇 Si T es pequeño, entonces (1 + 𝑑)𝑇 ≈ 1 + 𝑑𝑇

Reemplazando:

𝑉 = (𝑝 − 𝑘) ∗ 𝑔 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥 − 𝑚 − ℎ ∗ 𝑥 − (𝑓 + 𝑑 ∗ 𝑉 ) ∗ 𝑇 Esta fórmula representa el incremento marginal del VAN que conduce a maximizarlo siguiendo una estrategia determinada.  

El parámetro dV representa el costo de oportunidad de postergar los flujos de caja futuros en el periodo T integrando el valor del dinero en el tiempo. La fórmula considera un escenario económico constante en el tiempo.

Incorporando las condiciones variables del mercado en la formula anterior. 𝑣 = (𝑝 − 𝑘) ∗ 𝑔 ∗ 𝑦 ∗ 𝑥 − 𝑚 − ℎ ∗ 𝑥 − (𝑓 + [𝑑𝑉 − 𝐹 = 𝑑𝑉 −

𝑑𝑉 ]) ∗ 𝑇 𝑑𝑇

𝑑𝑉 𝑑𝑇

F, corresponde al costo de oportunidad, se compone de dos partes: -

El costo de asignar capital a un bien en vez de invertir en un bien alternativo (dV) La variación del valor de este bien debido a condiciones variables en el mercado (-dV/dT)