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ALGORITMO DE LANE

INTRODUCCION En 1964 K.F.Lane presento lo que llego a ser un paper clásico titulado:”choosing the optimun cut off grade”.En esta sección se describirá su alcance y se ilustrara con una aplicación propuesta por el elprofesor del curso,EL Ing.Henry Brañez. Como sabemos la ley de corte es el criterio normalmente usadao en minería para discriminar el desmonte del mineral en e cuerpo de un deposito mineralizado. El desmonte se podría ser dejado in situ o podría ser llevados a botaderos. El mineral es enviado a una planta de tratamiento para ser procesado y eventualmente comercializado

Material

capacidad máxima costos unitarios Mina

M

m

Mineral Concentradora

C

c

Concentrado Refinería

R

r

Producto

Mercado

Otros factores: Costos fijos Precio de venta Recuperación

f s y Figura 1.MODELO DESCRITO POR EL ALGORITMO DE LANE

La elección de la ley de corte afecta directamente las ganancias. En el presente informe examinaremos los principios que determinaran la mejor elección en lo que respecta a la ley de corte, bajo diferentes circunstancias. Una operación minera consiste en 3 etapas:  Minado  Procesamiento  Refinería Cada etapa tiene sus propios costos asociados y una capacidad limite. La operación como un todo incurrirá continuamente en costos fijos. Los tres criterios económicos más importantes que pueden ser aplicados son: Caso I: Maximo Valor Presente Caso II: Máximas ganancias totales Caso III: Máximas ganancias inmediatas

El máximo valor presente nos da el óptimo económico y es generalmente aplicado en circunstancias especiales. La cual aplicaremos en este informe como lo mostro Lane en 1964.El segundo y el tercer caso corresponde primeramente a la aplicación de tasas especiales de descuento. El caso II: Máximas ganancias totales, corresponde a una tasa de descuento de O%, mientras que en el Caso III la tasa de descuento tiene un valor mucho mayor. En este informe nos enfocaremos en la elección de la ley de corte que maximice el valor presente del flujo de caja de la operación. DEFINICION DEL MODELO L a figura 1 es una representación diagramática de los elementos y símbolos usados en el modelo. Las definiciones de las capacidades máximas, costos unitarios y cantidades involucradas en la evaluación son las que se presentan a continuación. 1. CAPACIDADES MAXIMAS: M

es la máxima cantidad de material (desmonte, mineral) que la mina produce en un determinado periodo (Por ejemplo 1000 ton/año).Existe una restricción con respecto al progreso de explotación del cuerpo mineralizado.

C

es la cantidad máxima de mineral el cual será destinado a la planta concentradora en un periodo de tiempo dado (por ejemplo 500 ton/año), asumiendo una disponibilidad sin restricciones de ingreso de mineral de mina. Se produce un concentrado de ley fija.

R

es la cantidad máxima del producto final producida en un periodo de tiempo (Por ejemplo 500 lbs./año), asumiendo una disponibilidad sin restricciones de concentrado proveniente de la planta concentradora. Lo máximo puede estar en función a la restricción de la performance de la refinería o a límites de mercado.

2. COSTOS m

son los costos de minado expresados en $/ton de material movido. Estos costos son asumidos sin diferenciar desmonte de mineral. Los costos unitarios de minado incluyen perforación, voladura, carguío y acarreo, etc.

c

son los costos de procesamiento expresados en $/ton de material molido. El costo unitario c incluye costos de chancado, molienda, flotación, lixiviación, etc. También incluye transporte, si el mineral es trasportado por camiones mas lejos de lo que es transportado el desmonte (sino, esto puede llegar a ser considerado en el cálculo d c)

r

involucra todos los costos incurridos en el producto y etapas de venta como fundición, refinación, empaquetado,mercancías,seguros,etc.Estos son expresados en términos de $ por unidad de producto. Para casos como el cobre este puede ser expresado en $/lb.

f

el costo fijo, incluye todos los costos tales como alquileres, administración, mantenimiento de vías y construcciones,etc. Los cuales son independientes de los niveles de producción (dentro de los límites normales de variación) pero los cuales podrían parar, si la mina fuera cerrada. Esto es expresado en términos de costos fijos sobre un periodo de producción considerado (Por ejemplo 1 año).Otros costos tales como cargos de oficina, depreciación, etc., no son incluidos.

s

es el precio de venta el cual esta expresado en términos de precio de venta por unidad de producto. Este valor es un valor bruto, todas las cargas de ventas están incluidas en r. Si no, ellos deben ser sustraídos de s.

y,

la recuperación, es un valor general de la concentradora y la refinería. Este es la proporción de mineral contenido en el alimento original de mineral retenido en el producto final.

3. CANTIDADES T

es el periodo de producción considerado (Por ejemplo 1 año), Qm es la cantidad de material a ser minado, Qc es la cantidad de mineral enviado a la concentradora, Qr es la cantidad de producto realmente producido en el periodo de producción.

ECUACIONES BÁSICAS: El Costo Total Tc es:

Dado que los ingresos son R:

El beneficio P esta dado por:

Entonces al final tenemos:

LEY DE CORTE PARA MÁXIMO BENEFICIO Paso 1: Determinación de la ley de corte económica de una operación limitando la capacidad total Como indicamos, la expresión básica de beneficio (6.10) es:

Calcular la ley de corte asumiendo que el ratio de producción es la principal restricción. Si la capacidad de minado M es la restricción aplicable, entonces el tiempo necesario para explotar la cantidad Qm es (6.11)

Ecuación (6.10) se convierte en: (6.12) Para encontrar la ley la cual maximice el beneficio bajo las restricciones primero debemos tomar la derivada de (6.12) con respecto a g.

(6.13) Sin embargo la cantidad a ser minada es independiente de la ley, por lo tanto

(6.14) La ecuación (6.13) será

(6.15) La cantidad de finos Qr es relativa a lo enviado por la mina para concentración Qc ya que

(6.16) Donde

es la ley promedio enviada para concentración, y y en la recuperación.

Tomando la derivada de Qr con respecto a la ley de mineral encontramos que

(6.17) Sustituyendo la ecuación (6.17) en (6.15) encontramos que

(6.18) El menor valor aceptable que

es el que hace

Así la ley de corte gm basada sobre las restricciones de minado es el valor de

el cual hace

Así

(6.19) Sustituyendo los valores del ejemplo encontramos que

Calcular la ley de corte asumiendo que el ratio de concentración en la principal restricción. Si la capacidad de concentración C es el factor de control del sistema, entonces el tiempo requerido

para minar y procesar un bloque Qc de material (considerando que el minado continúa simultáneamente con el procesado) es

(6.20) Sustituyendo la ecuación (6.20) en (6.10) tenemos

(6.21) Reordenando términos encontramos que

Diferenciando con respecto a g e igualando el resultado igual a cero

Como antes

Asi:

La Ley de corte cuando el concentrado es la restricción es

(6.22) Calcular la ley de corte asumiendo que el ratio de finos es la restricción principal. Si la capacidad de refinamiento (o la habilidad de vender el producto) es el factor de control entonces el tiempo será dado por

(6.23) Sustituyendo (6.23) en la ecuación (6.10)

O

(6.24) Diferenciando con respecto a g e igualando el resultado a cero

Simplificando y reordenando tenemos:

(6.25) PROBLEMA PROPUESTO Datos: Plan de minado por rango de leyes: año -3 a 0 Intervalo 0 20 21 22 23 24 25 26 27 28

k-tonne 75000 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ley AgEq 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

año 1 ktonne ley AgEq 5628 0 1584 20.5 1440 21.5 1296 22.5 1152 23.5 1008 24.5 864 25.5 720 26.5 576 27.5 11232 88.7

año 2 k-tonne 11328 1584 1440 1296 1152 1008 864 720 576 11232

Costos unitarios Precio 15 $/oz Costo refin 2 $/oz Costo min 1.1 $/ton Costo proc 6.5 $/ton ore Costo fijo 9.18 M/yr Capital 450 M US$ Rec. Metal 0.73 Tasa desc 0.1 Restriccion de Minado: 31.2 millones de toneladas Restriccion de procesamiento: 14.4 millones de toneladas de mineral Restriccion de mercado: 28.3 millones de oz al año

ley AgEq 0 20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.5 26.5 27.5 100

año 3 ktonne ley AgEq 2528 0 1584 20.5 1440 21.5 1296 22.5 1152 23.5 1008 24.5 864 25.5 720 26.5 576 27.5 11232 95

SOLUCION Identificacion de variables: s = 15 $/oz = 0.482 $/gr r = 2 $/oz = 0.064 $/gr m = 1.1 $/ton c= 6.5 $/ton ore f = 9.18 M/año y = 0.73 = 73%

M = 31.2 Mton C = 14.4 Mton R = 28.3 Moz/año

1. Ley de corte con Restricción de minado Utilizamos la siguiente formula:

gm  c /( y(s  r )) Reemplazando las variables identificadas en la formula de arriba obtenemos: gm = 0.685 oz/Tn, convirtiendo de oz a gr (1oz = 31.1 gr), tenemos: gm = 21.3014gpt El tiempo de minado se calcula como:

Tm  Qm / M Qm es el tonelaje total que sale de mina, es decir resulta de sumar los tonelajes que nos dan en la tabla: Qm = 154100 k-ton, reemplazando en la ecuación, tenemos: Tm = 4.939 años Ahora calculamos Qc, que es el tonelaje con ley mayor a la ley de corte asumida, es decir, 21.3 gpt. Entonces: Qc = 54864 k-ton, para el calculo de la ley promedio, promediamos todas aquellas leyes mayores a 21.3 gpt. Con lo que obtenemos una ley promedio de 33.25 gpt. Qr, es el tonelaje que pasa a ser refinado, es decir, es el producto de Qc con la ley promedio y la recuperación. Entonces Qr = Qc*leypromedio*Recup = 1332.02 ton Finalmente reemplazamos en:

P  (s  r )Qr  cQc  mQm  fT Pm = 41’542,911.82 $ 2. Ley de corte con Restricción de Procesamiento Primero hallamos gc con la formula:

gc  (c  f / c) /( y(s  r ))

gc = 0.834 oz/Tn = 25.93 gpt Análogamente al caso anterior sumamos los tonelajes con ley mayor a 25.93 gpt. Qc = 37584 k-ton Ahora calculamos el tiempo: Tc  Qc / C Tc = 2.6 años Para la ley promedio, cogemos las leyes mayores a 25.93 gpt de la tabla. Ley promedio = 49.52gpt Similar a lo anterior, Qr = 1358.708 ton Finalmente usamos la ecuación básica de Lane para calcular Pc = 130’182,687.717 $

3. Ley de corte con Restricción de Mercado

gr  c /( y(s  r  f / R)) De la formula: Calculamos gr = 0.702 oz/ton = 21.84 gpt La ley promedio la calculamos promediando las leyes mayores a 21.84, ley promedio = 34.9gpt Qc resulta de sumar los tonelajes con leyes mayores a 21.84 gpt. Qc = 50544 k-ton Qr = 1289.115 ton Ahora calculamos el tiempo de minado con: Tr  Qr / R Así tenemos que Tr = 1.465 años Finalmente Pr = 27’366,570.88 $ CONCLUSIONES  De los resultados obtenidos aplicando el algoritmo de Lane, concluimos que el mayor beneficio se obtiene utilizando una ley de corte con restricción de procesamiento.  En la practica casi no se da en nuestro medio las restricciones de mercado.  A pesar de haber obtenido un mayor valor restringiendo el procesamiento, esto no indica que sea el máximo, ya que el algoritmo de Lane consta de varios pasos mas, e los que interviene el valor presente neto.