Algebra Preuniversitario (600 Ejercicios Resueltos)
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SEMANA 1
TEORÍA DE EXPONENTES ECUACIÓN DE 1º GRADO 1.
E
Efectuar: 31
E 27
36
A) 3 D) 1
B) 6 E) 0
21
4 * 3
22
A) 8 D) 2
1
* 362
* 22
1 6
C) 4
6 2 9 3
1
2
23
23
E
1 4
3
1 8
3
1
2
23
23
E 8
RPTA.: D
3 82 4 RPTA.: C
Simplificar: 2 5 4 3 E 27 27 3 2 3
A)
2 3
3 2
B)
D) 3
0,2
4.
1 625
C) 2
* 27
* 3
4
2 3
5 3
1 3
3
27 1
27
E
2
1 9
5
1 243
1 625 4
B) 22 E) 25
C) 23
1 4
1 9
1 2
1 4
2
625 9 4² RPTA.: D
0,2
27 1 6 243
243 32
0,2
0,2
2 5 10
3 2
3 2
5.
Para n ; n 2 el equivalente de la expresión n² n a a² a³...a será:
A) a
RPTA.: B Calcule:
1
0,250,5
5 + 3 + 16 = 24
1 2 1 E 9 243 81 32 E 243
1 9
1
42
RESOLUCIÓN
1 81
0,2
1 16
A) 21 D) 24
E) 1
* 27
Efectuar: 0,5
RESOLUCIÓN
3.
B) 6 E) 5
0, 6
3 4
20 ,6
RESOLUCIÓN
E 1 1 2.
3
2
1
C) 2
RESOLUCIÓN 1 1 * 27 3 3 1
4 3
0, 125 3
D)
n
n
5
a a³ a ...a
B) a²
a
E)
RESOLUCIÓN
n
2n1
a
C) 0
n3
n
n² nn1 a 2
n
a2 b2 P 1 1 a b
n 3 n2 nn1 n 3 n n2 n 2 a a a
n n 3 a 2
n n 3
1
a2
a
C)
48 factores
A
3
x
3
x
x
44 factores
A) x6 D) x7
B) x9 E) x7
A
x
48
x
44
x x3
9.
2
1
b a
2
Simplificar:
14a 14b 2 b 14a 2 a 14b
A) 14a+b D)
x 1
20 4 22x 2
14 2
; si: a + b = ab
B) 14
C) 7
ab
E) 7a+b
x 2
B) 3 E) 6
RESOLUCIÓN C) 4
M
x
20x 20 4x 42 4x 41
x
5x 5
14a 14b
2 14a1 14b1
14a 14b
2 141 14a 14b
1 1 7 M 7
M
RESOLUCIÓN x
20x 20 4x 20
RPTA.: D Si:
2
RPTA.: E
RPTA.: E
8.
b a
PQ
A x7
A) 2 D) 5
a b
1
M
x
D)
2
1 ab ab
ab 1 y Q ba ab b a ab 1 PQ b a ab b a
x18 A 11 x
Efectuar:
B)
P
C) x4
x16 A 11 x2 x
7.
1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 3
a b
E)
x 3 1 ; x 0 x... x x
x...3 x
x
1 ba ab
A)
Efectuar: 3
a1 b1 y Q 2 b2 a
Halle P . Q, siendo b > a > 0
RPTA.: D 6.
1
RPTA.: C 10.
Si: a+b = 2ab ; {a;b}
-{0;1}
1 1 a b
Reducir:
x y
A)
a a 1 b
x
b 2a
2b
RESOLUCIÓN
y 1
y
a b
1 1 a b
x y x1 y1
1 1 b
y
y
12.
1 1 2 1 b
11.
Resolver
5
5
y
5
5
x2
Calcule:
E x 4x
1 2
B)
Elevando m. a.m.
x 2
x 2
x2
5
1 2
5 e indicar
E x
5
E)
2 x 1
1 4
C) 2
x
x
cuadrado
el dato
1
x
2x
1 C) 5
B) 5
5
5
22 x 2 2
4x
2
4x
2 x
4x
2 xx
Luego: E x
x 1
al
E x
D)
y
E) 5
RESOLUCIÓN
el valor de: x1
1 A) 5
y
2
D) 4
x y
1 x
Si: x
A)
RPTA.: A
x 1
RPTA.: B
1 1 2 a b 1 1 2 1 2 2 1 a b b b
x y
5
1 b
(*) a + b = 2ab
1 2
5
x 1 5
1 1 b
x
y y
y
y 5
x y
1 1 b
y
1
E) 1
1 a
y
y
RESOLUCIÓN 1 1 a b
1 y x
Cambio de variable:
x C) y
y x
B)
y D) x
x
x
4x2
x
1 2
4x
Ex
1 4 2
E = x² 2
1 1 E 2 2
1 5
RPTA.: A
13.
Calcule “x” en:
21 23 x
21 23 x
2123 x
x
xx
30
x27 60 x 51
60
x54 60 x51
A) 27 D)
21
3
B)
3
E)
3
9
C)
9
3
RPTA.: E 15.
n
n
Luego:
A) 236 D) 128
21 2 3 x
2 x 3
Si: 52x = 2(10x) 4x
n 21
21 n 21
5 2
n 21
x
2
2 x n 21.............()
2
3 n
x
n n 21
Solo se verifica para: n = 27
E
2 1
E
33
2x 0 5x 2x
1 2
2
1 16
4
1 E 16
16.
Reducir:
3 3
x² x 4 x7 3
B) x 4
A) x D) x
1 2
2
RPTA.: B
RPTA.: C
5
2 5x 2x 0
E = 16² = 256
x 93
14.
C) 512
Reemplazando:
2 3 n n 21
27
2
x4
x=0
n
x
x
5
() en ():
x 2
B) 256 E) 0
RESOLUCIÓN
n
3
x 21
Calcule: E
n x n x n.......()
23 x
x7 7
Trabajando con cada miembro.
x
x105
x4
20
RESOLUCIÓN xx
4
60
E) x
RESOLUCIÓN
4
1 x6 x x²
Resolver: 1 3 2 2 3 1 0 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
5
3 2 5 D) 2 A)
5
C) x 4
B)
2 5
E) 4,5
7 4
RESOLUCIÓN
C)
2 3
1 3 2 1 3 3 x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
RESOLUCIÓN d ax d bx d cx x x x bc ac ab
2 2x 5 3 2x 5 2x 5 2 2 2 x 5x x 5x 6 x 5x 4 1 2 3 2 2 2x 5 2 0 x 5x x 5x 6 x 5x 4 0
2x 5 0 5 x 2
RPTA.: D 17.
d x0 abc
d ax bx cx d bx ax cx bc ac d cx ax bx d ax bx cx 0 ab abc 1 1 1 1 d a b c x 0 b c a c a b a b c
0
d = (a + b + c) x
Halle el conjunto de solución de la ecuación en “x”. a b x a x b x ; a 0 ; b a
A) B) {a} D) {a + b} E) {a b}
x
b0
C) {b}
RPTA.: C 19.
Multiplicando por “ab”. a²x a³ + b²x + b³ = ab x
A)
(a² + ab + b²)x = a³ b³
3 2
C)
2 3
E) 1
Recordando que:
RPTA.: E Resolver en “x”; {a; b; c; d} R
ax + b = 0 tiene soluciones, si y solo si:
+
a=0
d ax d bx d cx d 4x bc ac ab abc
E)
B)
RESOLUCIÓN
Cs = {a b}
d abc
1 4
D) 3
(a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²) x=ab
C)
admite
infinitas soluciones.
a² (x a) + b² (x + b) = ab x
A) 1
Calcule a + b sabiendo que la ecuación en “x”
ax 1 x 2 x2 b 4
RESOLUCIÓN
18.
d abc
B) d D)
a 2b 3c d
infinitas
b=0
a 1 x 1 x x20 b b 4 2
a 1 1 1 b 4 1 x b 2 2 0
a 1 1 b 4
a 5 b 4
5 3 2 2
1 1 2 b 2
4
5 9 8
1 3 b 2
6
22 RPTA.: A
SEMANA 2
b
2 3
ab
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
5 6
a
21.
9 3 6 2
RPTA.: B 20.
A) 1 D) 4
Resolver la ecuación
x 2 3 5
x 3 2 5
x 5 2 3
3
x x
3 3
x 5
5
2
B) 25
D) 5 3
E) 7 5
T.I. = P(o) = nn coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
2
4
2n . nn = (3 + n)n 2n = 3 + n n = 3
RPTA.: C 22.
1
x 3 2 5
Calcule “m” si la expresión:
M x
C) 3 2
m
x
m
x²
m
x³
m
xm
se transforma a una expresión algebraica racional entera de 5to grado.
RESOLUCIÓN 3 5
C) 3
6
A) 22
x 2
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
luego indique el valor de: 2
Sea el polinomio: P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n veces su término independiente es igual a la suma de sus coeficientes, entonces “n” es:
A) 8 D) 11
1
B) 9 E) 12
C) 10
RESOLUCIÓN x 5 2 3
1 0
1 x 2 3 5 3 5
M x 1 2 5
0
x
2 3 5
Pero nos piden:
0 2 3 1
m
M X x
123....m
x
m1 2
m
m1 m 2
x
x5
m=9
RPTA.: B
23.
Calcule “n” para que el monomio sea de 2º grado.
M x
xn2
A) 4 D) 8
3
xn
x x
x2n3
2
2
25.
4
A) 0 D) 3
2
4
B) 5 E) 9
M x
x
x
2n 4
2
RPTA.: A x
2
4
x10n4 x4n8
26.
en donde: G.Rx G.Ry = 3 G.A(P) = 13 Calcule: a + b A) 6 D) 11
RPTA.: A a b c ab bc ac Halle el grado absoluto de: Si:
ab2 c2
RESOLUCIÓN G. RX = a + 3 G. Ry = b 2 a + b = 12
2
B) 4 E) 8
27.
C) 5
G.A(P) = a+b+1
Sea P(x) un polinomio lineal tal que verifica la relación
P P x P6X 9x 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4) A) 17 D) 32
9a² 8ac 8bc ..... a b ² c²
de la condición: a b c k ab bc ac
B) 18 E) 33
C) 19
RESOLUCIÓN
Propiedad de proporciones: abc 1 2 a b c 2
C) 8
RPTA.: E
RESOLUCIÓN El G.A. =
B) 7 E) 12
x9a y8ac z8bc
transformable a una E.A.R.E. A) 3 D) 7
Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b
M(x) = x6n 22 = x2 6n 22 = 2
E x;y;z
C) 2
E = 3² 3(3) + 1 + 1 3 + 1 E=0
n=4
24.
B) 1 E) 7
RESOLUCIÓN
C) 6
RESOLUCIÓN
3n6 2n3
Si: P(x+5) = x² 3x + 1 Calcule: E = P(8) + P(6)
a 1 abck ab 2 Lo reemplazamos en “” 9a² 8a² 8a² 25a² G.A. 5 4a² a² 5a²
RPTA.: C
Sea P(x) = ax + b P(6X) = 6ax + b P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b Luego: a²x + ab + b 6ax b = 9x+21
(a² 6a)x + ab = 9x + 21
a² 6a = 9 ab = 21 (a3)² = 0
a=3
3b = 21 b=7 Entonces: P(x) = 3x + 7
P(4) = 3(4) + 7 = 19
RPTA.: C 28.
Calcule “n”, si monomio es 6.
M x;y;z;w A) 12 D) 11
4
el
G.A.
x2n4
3
z2n3
y2n
5
w16
5
B) 13 E) 10
30.
del
Además P(P(x)) es independiente de “x”. Calcule “n”
C) 14
B) 8
D) 8
E) 5
P p x
2n 4 2n 3 2n 16 6 4 3 5 5
n
2
1 x n 8
n 8 x 65
46n = 552
n² 16n + 64 64n² + 16n + 1 = 0
RPTA.: A
Calcule “n” si el monomio es de
A) 1 1 D) 2
x
n
x2
B) 3 1 E) 3
3
x
C) 2 31.
M x x
2n
x²
8n
1n=
8n
1
27x 52
1 8
RPTA.: C
Si: P P P x
Calcule: P(1)
RESOLUCIÓN 6n
A) 1 D) 5
x
1 1 1 n 6n
M x x 2
B) 4 E) 1
C) 4
RESOLUCIÓN Como
es
P P P x
lineal,
1 1 1 4 2 n 6n
entonces: P(x) es lineal. Luego
3n + 6 + 1 = 24n
P(x) = ax + b
1 8
46n = 360 + 192
30n 60 + 40n + 60 24n 192 = 360
4to. grado M x
C)
como es independiente de “x” se cumple: n² 1 n 8 65n² + 65 = n8 65
n = 12 29.
A) 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN G.A. =
nx 1 Si: P x x8
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
7 = 21n n=
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
1 3
a=3
b=4
P(x) = 3x + 4
RPTA.: E
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E
34. 32.
Halle la suma de los valores de “n” que hacen que la expresión: n 1 Px 2xn3 73 x x7n 6 sea 3 racional entera. A) 7 D) 12
B) 8 E) 13
A) 0 D) 729
n 3 n3n=3
n=3
RPTA.: E 7n 0 n7
35.
n=6
de "n" 9
Sabiendo que:
P x;y 5xm2yn²5
B) 3 E) 13
C) 5
Por ser ordenado y completo: a = 3; b = 2 y c = 1 2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17 Calcule “m” si el polinomio 2n
P x 7xn
8n
6x
n
n1
5x2n2
xn1 ... xm²m3
RESOLUCIÓN
C) 15
RPTA.: A 36.
A) 1 D) 8
B) 13 E) 18
RESOLUCIÓN
Q x;y
2xn5ym4 son semejantes. Calcule el menor valor de m + n.
Si el polinomio en “x” e “y” P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya es homogéneo ordenado y completo respecto de “x” e “y”. Calcule: 2a + b + 3c A) 17 D) 16
RPTA.: C 33.
C) 728
P(x)= (x+1)³ P(1)=0 P(P(1)) = 1 P(1) = (2)³ = 8 P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729 P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
n=6
B) 3 E) 730
RESOLUCIÓN
C) 9
RESOLUCIÓN n30
Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1 Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
Si: P(x; y) Q(x; y)
es completo y ordenado; en forma ascendente; de 4nn términos.
m 2 = n + 5 m n = 7 ....() n² + 5 = m+4 n²m = 1 ...() + : n² n 6= 0 n = 3 n = 2
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
RESOLUCIÓN
Es ordenado ascendente: Luego: n=3 m = 10 n = 2 m=5 menos: m + n = 3
RPTA.: B
C) 6
en
forma
n2n 8n = 0 n = 2 Luego:
Px 7x0 6x 5x² x³ ...xm³m3 El número de términos es:
P(x) = (3x 1)n+5x + 1; además la suma de coeficientes es 70.
m² m + 3 + 1 m² m + 4 = 4nn m² m + 4 = 16 m² m 12 = 0 m=4
Calcule el valor de: A) 6 D) 12
RPTA.: A 37.
Halle a y b en la identidad: b4ax7 bby8 abx7 aay8
B)
1 1 y 2 4 E) 0 y 1 C)
RPTA.: C 40.
aa = bb
a b ...
ab = b4a b = 2a
RPTA.: C Siendo: P(xn + 1) = x 1 7 Halle: “n”, si: P(3) = 8
Dado el polinomio mónico P(x) = 5x4 7ax5 + (n2)x74x 1 Calcule el valor de: nn A) 1 D) 25
1 1 a= b 4 2 38.
2n = 64 n = 6 10 6 4
RESOLUCIÓN b a
C) 4
RESOLUCIÓN coef P 1 2n 5 1 70
1 1 y 2 3 1 D) 1 y 4
A) 1 y 3
B) 5 E) 3
10 n
B) 4 E) 16
C) 27
RESOLUCIÓN
Por ser mónico y de una variable “x” (coeficiente principal = 1) (n 2) = 1 n = 3 Luego nos piden: nn = 33 = 27
RPTA.: C A)
1 3
D)
1 2 1 E) 3 B)
2 3
1 2
C)
PRODUCTOS NOTABLES 41.
RESOLUCIÓN n
SEMANA 3 Si
x2 y2 3x y , halle y x 4
n
x +1=3x =2x=
n
2
xy yx W x y x 0, y 0 x y
Luego: P(3) =
2 1
7 8
2
D) 2
1 n
Sea P(x) un polinomio
4
E) 16
C) 4
2
1 / 2
RESOLUCIÓN
x3 y3 3xy x y
RPTA.: E 39.
3
B) 2
A) 16
1 2 23 8 1 n 3 n
n
x y3 3xyx y 3xyx y x y3 0
4
RESOLUCIÓN
xx xx x y W x x 16 x x
x y z
3
6
3
6
6
1 12 12 Si a a 1 , halle W a a
x 6y
3
3
6
6
6
2
A)256 D)322
B)306 E)196
C) 343
= = = = =
1 3 7 343 322
Si
8
45.
Si
z ab c
Halle:
W
A) mnp
B)1
C) mnp
D) m n p
x2yz xy 2z xyz 2 b c ac a ba b ca b c
1
E) 2
A)
8
mn 0 m n
8
mp 0 m p
8
pm 0 p m
W
4
93 xyz x y z , x, y, z R 0 W xy xz yz 1
B) 32 E) 8
1 abc
C) 18
xyz x y z 1 xyz a b c
x+y+z=a+b+c
x 6 y 6 z 0, halle
A) 16 D) 16
D)
RESOLUCIÓN RPTA.: B
6
B) b c a
E) 1
w=1
Si:
x y
C) 2y z
RESOLUCIÓN
44.
x bca y c ab
m4n n2p 1 m4m p2n 1
m, np R
93 xyz x y z 2 4
m n 8 m p 8 p m 0,
Halle W
yz 93 xyz
3 9 xyz x y z W 24 16 93 xyz x y z 2 RPTA.: D
RPTA.: D 43.
z
2
6
xy xz yz
RESOLUCIÓN
a² 2 + a2 a² + a2 a4 + a4 a12 + a12 + 3(7) a12 + a12
36 xyz
z x 3 xy z y x y z 3 xyz x y z 2 xy xy
RPTA.: A 42.
3
6
RPTA.: E 46.
W
Simplificar: 5
4
8 2 1 4
A) 343
8
4
8
2 1
B) 4 2
2 1
C) 32 2
D) 8 2
D 2 12 1 22 1
E) 32
2 12 1 2 2
RESOLUCIÓN 24 8 2
2
f
4
f
4
2 1 2 1
8
2 1
n
2
1
8
f 2f 2
8
N 2 1 D 28
5
W 2 W4 2
1 24 1
4
2
2
3
N 1 22 1 22 1
22
2
N
22 22 28
1
. . .
8 2 1
8
24 8
2
22
2
2N3
D
1
. . .
RPTA.: B
2256 1
Si xy 1 3 x 1y, halle
47.
N 32 2256 28
x y 4 3x2y2 W 2 2 4 x y A)11 D)4
B)7 E)8
RPTA.: E
C)-6
49.
RESOLUCIÓN
x y 3 y x x2 y2 3xy x2 2xy y2 5xy
25x²y² 3x²y² 4x²y²
W
Simplificar: 32 2
n3
1 3 22 1 24 1 28 1 ... 2128 1
1 2 1 22 1 24 1 28 1 ...n fact
A) 0,5 D) 0,25
B)2 E)1
B)2
D) 2 7
E) 2 3
C)3
2 7 2 7 28 W 1 33 1 27 3 3 3 3 1 W3 2 33 W 27 W3 2 W W3 W 2 W 1 RPTA.: A
RPTA.:B 48.
A)1
W3 1
x y 5xy x y4 25x2y2 w
3
RESOLUCIÓN
2
1
2 7 3 2 7 1 3 3 3 3
Operar: W
C)4
50.
Si ab
1
ac bc
Halle: W
1
1
1 ,
a 1b 1c 1 , a 1b 1c 1
a, b, c 0
RESOLUCIÓN
A)1
B)-1
C)2
D)
1 abc
52.
E) 21
2
x
a b c abc 0
abc ac bc c ab a b 1 W 1 abc ac bc c ab a b 1
ab bc ac 1 1 ab bc ac 1
B) 0 E) 4096
x
D) a
2
2 C) 211
4
2048
4
1024
8
2048
8
2048
2048
2
2
1 ² 1 x2048 ² 2
1024
Halle: x1 y1 z1 , x, y, z 0 1
W = x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²... x 1 ² 1 x ² 2 W = x 1 ² x 1 ²... x 1 ² 1 x ² 2 W = x 1 ² x 1 ².... x 1 ² 1 x ² 2 1 ² x 1 ² 2 W = x 1024
4
Si 1 a1x a y 1 a1z a x y z ,
B) a
2
x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x4 1 ²...
1024
RPTA.:B
A)a
RESOLUCIÓN
W=
51.
2
1 1 x2048
A)1 D)-2
a b c abc
2
1024
1 1 1 1 ab ac bc
W=
W x 1 x 1 x2 1 x4 1 ...
RESOLUCIÓN
Simplificar:
1
C) a
E)1
2048
W = 2
RPTA.: D
RESOLUCIÓN x z 1 a a y 1 a a x y z
a xa y a z a a x y z 2
a3 a2 x y z axy xz yz xyz a3 a2 x y z
axy xz yz xyz xy xz yz 1 xyz a 1 1 1 a1 z y x x 1 y 1 z 1 a1
53.
Si n a b c 4ab bc ac 4
a
2
b2 c2 ab ac bc a 2 b 2 c2 8 y: Halle: n, a b c A) 2 2
B)
D)4
E)8
2 2
C)2
RESOLUCIÓN RPTA.: C
a2 b2 c2 x ab bc ac y n x 2y 4yx y n x2 4xy 4y2 4xy 4y2 2
n x²
n a2 b2 c2
a
2
n
a
2
2
2 2
2
b c
() β
8
a b c a b c 2 2abcc b a RPTA.: E a b c a b c 4abca b c Operar: a b c W a b c a b c 6ba c b a b c 2ab 2ac 2bc Si: b = 0,5 2
2 2
2
2
54.
b2 c2 a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 ...( )
4
4
2 2
2
4
4
4
2
3
3
2
D)
B)2
1 16
E) 16
C)
2 2
2
2
2
A)1
4
1 4
Ε
3 4
2
a
2
a
2
2
2
b2 c 2
2
b2 c 2 2ab ac bc
1
0
RPTA.: C
RESOLUCIÓN a+c=n
W n b n b 6b n2 b2 3
3
W n3 3n2b 3nb2 b3 n3 3n2b 3nb2 b3 2
56.
¿Cuál es el intervalo de valores de “”, de modo que la ecuación
2x2 2(1) x 8 0,
3
6bn 6b W 8b3
tenga
raíces de distinto signo?
3
1 W 8 1 2
A)
RPTA.: A
1 , 2
C) ;2 E)
55.
2
B) 2; D) 6;2
8;
Si a1 b 1 c 1 0; a, b c 0,
RESOLUCIÓN
Halle:
2 1 x2 x 4 0 0 2
E
a4 b 4 c 4 4abca b c
A) 4abc D)2
a b c4
B)4abc E)abc
2
2 1 16 0 , como c0, b>0, mayor numero 3a siguiente: 5b
2
RPTA.: E
A) 1 D) 7
B) 3 E) 9
RESOLUCIÓN k x2 8 x 4 0
C) 5
0 b2 4 ac 0
A) 4, 0 C) 0, 3
2
8 4k x 4 0 64 16k 0 4 k 0 k 4 menor impar: k = 5
3 E) 0, 2
RPTA.: C
RESOLUCIÓN Si: 2 x 0
186. Halle el complemento del conjunto 1 solución de: 3 x
1 A) 0, 3
1 B) 0, 3
1 3
C)
0,
E)
1 , 3
D) 0,
1 3
4 x2 2 3 0 4 x2 3 2
0
RPTA.: C 188. Resolver: x2 6x 16 0 7 , 2 4 B) x
D) , 8 4, E) x
RESOLUCIÓN x 2 6x 16 0 x 2 6x 9 7 0 x 32 7 0 x RPTA.: E 189. Indicar el intervalo solución que satisface la desigualdad:
+
-
C) 8, 4 4,
1 3 x 1 3 0 x 1 3x 0 x 1 3x 0 x 3x 1 0 x Puntos críticos
0
0 4 x2 4
A)
RESOLUCIÓN
+
B) 0,2 D) 0, 4
4 x2 3x 7 0 x2
1 3
A) x 1;
0
B) x 7 / 4;1 2;
1 3
C) x ;
1 Complemento: 0; 3
RPTA.: A 187. Si:
7 1;2 4
D) x
1;2
E) x
;
2 x 0 , a que intervalo
pertenece la expresión:
3 4 x2 2
RESOLUCIÓN 4x2 3x 7
7 4
4x x
A) x
7 -1
C) x
4 x 7 x 1 x2
7 4
x
0;x 2
4x 7 0 x x 1 0 x 1 x2 0x 2
+
-
7 4
+
1
2
31 16
D) x
31 3 ; 16 4
3 4
E) x
Puntos críticos
-
B) x
RESOLUCIÓN 2x2 3x 5 0 3 5 x2 x 0 2 2 2 3 3 x2 2 4
7 ;1 2; 4
2
2
5 3 4 2 0
la mitad
RPTA.: B
2
190. Halle la suma de todos los números enteros que satisfacen la siguiente inecuación:
4x2 3x 2x 1 A)
5 4
B) 0
2
3 9 5 x 4 16 2 2
C)1
E)
D) 3
3 9 5 x 4 16 2 0
3 31 x 4 16
+
RESOLUCIÓN
1 4
-
192. El intervalo en el cual se satisface x2 x 6 la inecuación: 2 0 x x6 es: a;b c;d ; Calcule:
1 4x 1 0 x Puntos críticos: 4 x 1 0 x 1
-
>
RPTA.: A
4x2 3x 2x 1 0 4x2 5x 1 0 4x -1 x -1 4x 1 x 1 0
-
x
+ 1
1 x ;1 4
a2 b2 c2 d2
A) 13 D) 26
B) 18 E) 32
RESOLUCIÓN Factorizando el númerador denominador; vemos que: x 3 x 2 0 x 3 x 2
RPTA.: C 191. Resolver: 2x2 3x 5 0
C) 23
N P.C D
x=3 x=-2 x=2 x=-3
y
xa xb 2 x a xb Si: 0 < b < a
En la recta real:
A)
-
+
-
+
-3
-2
0
x 0
+
C) a;b
x 3; 2 2;3 a=-3 b = - 2 a2 b2 c2 d2 26 c=2 d=3
D) b;0 E) a;b
RESOLUCIÓN
RPTA.: D 193. Indique el conjunto solución de la x2 x 6 inecuación: 1 x2 x 6
2 ab ab
B) a;0
3
2
b;
xa xb 2 x a xb 2 a b x 4 ab
x a x b
Puntos referenciales: 2 ab x ;x a;x b ab
A) ; 2 0;3 B) ; 1 1; C) ;0 3;
-a
D) ; 2 1;6 E) ; 2 1;
0
b
Como x 0 x a,0
2 ab ab
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
Pasando todo al primer miembro x2 x 6 1 0 x2 x 6 2
2
x x6x x6 0 x2 x 6 x=0 N 2x P.C x 3 x 2 x=3 D x = -2
195. Calcule el conjunto solución de: x3 1 x2 x A) 4, 1 C) 1,
B) 1,1 D) ,1
E) 1,
RESOLUCIÓN x3 1 x2 x x3 x2 x 1 0
x x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 x x2 1 x2 1 0
-
+ -2
0
+ 3
2
2
x ; 2 0,3
194. Resolver:
2
RPTA.: A
x 1 x 1 x 1 0
x 1 x 1
2
0
Puntos críticos: -
+
+
-1
x 4,5 3
1
RPTA.: E
x 1,
197. El conjunto solución de la 2 inecuación: a x b x c 0
RPTA.: E
Es: ;3 6; Calcule a+b+c.
196. Resolver: x2 x 20 0 ………………………….(1) x2 6x 9 0 ………………….………(2) x2 x 2 0 ………..……….………..(3)
A) 6 D) 12
B) 8 E) 14
RESOLUCIÓN
C) 10
A) x 4 B) x 5 C) x 4 D) solución E) 4 x 5;x 3
La solución se inecuación x 3 x 6 0
RESOLUCIÓN
x2 9 x 18 0 Con lo cual ax2 bx c x2 9x 18
De (1): x2 x 20 0 x -5 x +4 x 5 x 4 0
deduce
de
la
a=1 b =-9 c =18
a + b + c = 10
RPTA.: C 5 -4 Por puntos críticos: +
+
-
198. Señale el valor máximo de k en la inecuación: 2 x2 k x 2 3 x de modo que la desigualdad se cumpla para todo valor de “x”.
-4
5
De (2): x2 6x 9 0
x 3
2
x
0
A) 8 D) 5
B) 7 E) 4
RESOLUCIÓN
Preparando la inecuación, se tendría 2x2 k 3 x 2 0
3
De (3): x2 x 2 0 1 7 x2 x 0 4 4
la condición es : 0 ; es decir
k 3 4 2 2 0 2 k 3 42 0 k 3 4 k 3 4 0 k 1 k 7 0 2
2
1 7 x 2 4 0
x
Los puntos críticos son k= -1; k=7 en la recta real
Al interceptar:
-
+
-4
C) 6
3
5
-1
0
+ 7
A) - 4 D) - 3
B) - 5 E) -1
C) - 2
RESOLUCIÓN k 1;7
Factorizando, se tiene
k max 6
x
3
RPTA.: C 199. Señale el valor entero satisface al sistema.
que
x
x
1
2
3
x2 2x 24...(2)
4
x 2 0
1
x 1 x 3
4
1
3
3
; se descarta ya que sus
x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 2 0 x 1 x 3 2
2
B) 4 E) 8
C) 5
2
2
se
descartan los factores: 2 x x 1 y x x 1 con lo cual
RESOLUCIÓN 1.
2
raíces sus complejas. Factorizando de nuevo.
x2 5x 24...(1)
A) 3 D) 7
x
1
2
x2 5x 24 0 x 8 x 3 0
x =1 N
-
+
+
x=2
x 1 x 1 x 2 0 x 1 x 3 2
-3
0
x=-1
8
2
P.C x=-1 D
2.
Recta real:
2
x 2x 24 0
x 6 x 4 0
-
-
+
3.
-4
+
0
6
+
-
-3
-
-1 0 1
+ 2
x 3, 1 1 2; RPTA.: C
Interceptando 201. Halle
el
intervalo
6
8
x=7
RPTA.: D 200. El mayor valor entero negativo que satisface a la inecuación:
x
6
x
1
2
4
x 2 0 es:
1
3
x2 4x 3
solución
al
resolver: x x 1 3x 1 4 2 1 4x 2
2
x=-3
3 5
3
A) x ;0
B) x ;0 5
C) x ;
3 5
E) x ;
3 0; 5
RESOLUCIÓN
D) x 0;
x2 x2 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x 5 x 3 5x 3 3 x 5
x2 x2 2x 1 3x 1 2x 3x
0x
A) 1 D) 6
B) 2 E) 11
C) 5
RESOLUCIÓN
0
3 5
203. Halle la suma de los , al resolver la inecuación: 16 x3 35 x2 51x 0 x4 x2 1
3
x 0;
RPTA.: D 202. Indicar
la suma de aquellos números enteros que satisfacen la inecuación:
x 5 2x4 32 3x2 x 2 2
48
A) 1 D) 5
17
B) 0 E) 6
0
C) 4
RESOLUCIÓN
x 5 2x4 32 3x2 x 2 2
48
X=5 “par”
17
3x
x4 16 0 2
2
+
2 3
16 x3 35 x2 51x 0
x 16x2 35x 51 0 16 x 51 x -1 x 16x 51 x 1 0
Puntos críticos x=0x=0 16 x + 51 =0
2 3
+ 1
+ 2
+ 5
-
+ 51 16
x ;
-
x=
x – 1 = 0 x = 1
-
x
3
x
-1
“par”
-2
0
2
x 4 x 4 0 x x 2 x
+
x4 x2 1 x2 x 1 x2 x 1
0
51 16
+ 1
51 0;1 16
1
RPTA.: A
2 x ;1 2;5 3 1 + 2 -2 + 5 = 5
RPTA.: D
204. Si: x 5,10 , halle : 32 M-17 N 2x 1 tal que: N M 3x 2 A) 18 D) 12
B) 16 E) 10
C) 14
206. Halle el conjunto 4x 3 2 3x
RESOLUCIÓN
2x 1 2 7 3x 2 3 3 3x 2
19 9 ; N 32 17 32M 17N 10
2
6 5
7x = 5 5 x 7
9 C) 4
2 3
C.S.
- 4x+3 = 2-3x 1 =x
5 7
1
1
RPTA.: B
M x 5 x5 2 Haciendo cambio de variable yx
1 5
5 8 8 B) C.S. 1; 5 8 C) C.S. 5
y2 y M 2 0 ; y 0 1 4 M 2 0
M
4x 7 2x 3 3
207. Resolver:
A) C.S. 1;
M y2 y 2
2 3
4x 3 2 3x 4x 3 2 3x
1
SOLUCIÓN 2
E) 0
2 3x 0 3x 2 0 x
se cumple: M x 5 x5 2
D)
5 7
4x 3 2 3x
205. Encontrar el número mayor M con la propiedad de que para todo
5 B) 6 2 E) 5
C)
de:
RESOLUCIÓN RPTA.: E
2 A) 3
5 7
D) 1;
M
x
B) 1
A)
Como: 5 x 10 9 2 7 19 17 3 3 3x 2 32
solución
9 4
D) C.S. 1;3
9 El mayor valor M 4
E) C.S.
RESOLUCIÓN RPTA.: C
SEMANA 11
INECUACIONES, VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES EXPONENCIALES
4x 7 2x 3 3
2x 3 0 x
3 2
4x 7 4x 7 2x 3 2x 3 3 3 4x-7=6x-9 -4x+7=6x-9 2=2x 16 = 10x 1=x 1,6= x 2 3
1
4x2 3x 1 x2 2x 1
4x
2
5x
2
1 6
4x 3 2x 1 ,
+
e
D) 3
-
+
+
2 3
1
1 2 ;1 5 3
El menor número entero
4x 3 2x 1 4x 3 2x 1 0 6x 4 2x 2 0 x
2 3
210. Halle la suma de los valores enteros que pertenecen al complemento del conjunto solución de la inecuación: x2 1 x x2
A) 0 D) 3
x=1
+
-
2 3
+
C) 2
x2 1 elevando al x x2 cuadrado y por diferencia de cuadrados: 1 x 2 1 x2 x x 2 x x 2 0
2 x ;1 =1 3
RPTA.: B
x2 4 x x2 4 x 0 x x 2 x x 2
209. Al resolver, indicar el menor valor entero que satisface la 2 2 desigualdad: 4x 3x 1 x 2x 1
RESOLUCIÓN
B) 1 E) 4
RESOLUCIÓN
1
B) E) -2
RPTA.: B
E) 5
4x 3 2x 1
A) 0 D) 2
2 x=1 3
x
C) 2
RESOLUCIÓN
1 5
x 0;
1 5
0
indicar como respuesta el mayor de los números enteros que pertenece a su conjunto solución.
B)1
x 3x 5x 2 0
x=0 x
RPTA.: C
2 A) 3
2
x 5x 1 3x 2 x 1 0
8 C.S. 5
208. Resolver:
3x 1 x2 2x 1 4x2 3x 1 x2 2x 1 0
x
2
x 4 x2 x 4 x2 x 2
C) 1 C.S.
,
2
1 17 1 17 1 17 1 17 , , 2 2 2 2
Entonces: {2, 2}
211. Si
-4x-7; x
RPTA.: B
el
x-7; x 7
conjunto solución de la x 1 1 inecuación 2 tiene x 1 x 4x 8 la forma:
;
a c Halle: b
a+b+c
A) 5 D) 9
B) 7 E) 10
Elevando al cuadrado 2
x 1 1 x2 4x 8 x 1 Luego: 1 x 1 1 x 1 x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1 0
x2 2x 1 x2 4x 8 x2 2x 1 x2 4x 8 0 x2 4x 8 x 1 x2 4x 8 x 1
2x 7 2x2 6x 9 2 x2 4x 8 x 12
E
4x 7 7 x x
5
RPTA.: E
A) 60 D) 63
B) 61 E) 64
C) 62
RESOLUCIÓN
x60 x 12 0 x6 x 12 x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
214. Resuelva la inecuación
x 1 x
A) 0;
B) 1;
C) ;1 E) ;0
D) 1;1
4x 7 x 7
x se resuelve a una constante, para x 2,5 ; halle dicha constante.
B) 2 E) 5
RESOLUCIÓN 4x+7; x 4x 7
para x 2;5
RPTA.: D
RPTA.: E
A) 1 D) 4
0
7 x ; 1 2 a + b + c = 7 + 2+1 = 10
212. Si la expresión E
7-x; x0 x>2 9–x>0 x 2 > 3... Domf n;
n = 10
f x 2x 3b , determinar el
valor
de
“b”
de
manera
f b 1 3 f * b ;b
RPTA.: D
que
2
A) 3 D) - 4
B) 4 E) 2
SEMANA 13
C) -3
TEMA: 246. Calcule el siguiente límite
RESOLUCIÓN
x3 5x2 3x 3 x 1 3x3 6x2 9x
Calculando f * x :
lim
f f * x x , x Df *
2 f * a 3b x
x 3b ;x Df * 2 Como: f b 1 3f * b2 f * x
D)
1 3 6 E) 5
A) 5
B)
1 6
C)
RESOLUCIÓN
b2 3b 2 b 1 3b 3 2 2 3b 11b 4 0 1 b= b=-4 3
Factorizando denominador. x 1 x2 6x 3 lim x 1 3x x 1 x 3
RPTA.: D
x2 6x 3 5 x 1 3x(x 3) 6 lim
5 6
numerador
RPTA.: C 247. Calcule el siguiente limite: x 8 lim x 64 3 x 4 A) 4
B) 3
1 4
E) 2
D)
C)
x 8
lim
x 64 3
x 4
1 3
C) 1
1 E) 2
2
x y2
lim y 2
y3 8 y2 4
a ax x2
1 4 3 1 5 2 como x P 1 2 5 1 6 2
a ax
A) 3a D) 1
B) a E) a2
RPTA.: C
C) -a
250. Halle el V.V. de la expresión x2 x2 12x , para x =4 T x2 5x 4
RESOLUCIÓN
Multiplicando al numerador y denominador por su conjugada se tiene: a2 ax x4 a ax lim x a a2 ax a ax x2
a a x a ax x a lim a a x a ax x
2
x a
B) 2
1 1 8 2 3 2 2 13 0 2 P 1 2 3 12 0 1 1 2 12 2 2 2 2 Factorizando: 2x 1 4x 3 4x 3 , y Luego: Px 2x 1 6x 2 6x 2
RPTA.: B
x a
P x
Evaluando:
3
lim
expresión
límite de la 8x2 2x 3 ; 12x2 2x 2
RESOLUCIÓN
y 2 y2 2y 4 lim y 2 y 2 y 2
248.
valor
A) -3 3 D) 4
Hacemos un cambio de variable x y3 y6 x
el
para x=0,5
RESOLUCIÓN 3
249. Hallar
2
ax
2
= 3a
RPTA.: A
1 2 1 D) 6 3
1 3 1 E) 5 2
A) 11
B) 9
C)
7
RESOLUCIÓN
4 4 12 4 T 2 4 5 4 4 3
2
64 16 48 0 16 20 4 0
Factorizando num. y den. N = x x2 x 12
x x
-4 3
2 3
x x 4 x 3
=
x2 5x 4 x -1 x -4 (x-1)(x-4)
D= = T
RPTA.: B
x x 4 x 3
x 1 x 4
253. Calcule: lim x 1
x x 3 x 1
,
y
como x = 4 4 7 28 T 3 3
D)
A) 6 D) 2
1 3
C)
RESOLUCIÓN
lim
RPTA.: B
x
B)
1 4
x 1
251. Halle el lim
1 2 1 E) 5
A) 1
x 1 x 1
x 1 x 1
RPTA.: B
8x2 5x 6 4x2 x 1 B) 0 E)
1 x 1 2
x 1
C) 1
x10 a10 xa x5 a5
254. Halle lim
B) a2 E) 2 a5
A) 2 D) a5
C) 5
RESOLUCIÓN 8 5 2
lim x
4 1 2
RESOLUCIÓN
Dividiendo numerados y denominados entre x² 5 6 x2 8 2 8 5 6 x x 2 8 0 0 2 lim x 1 1 1 1 400 2 x2 4 2 x x
RPTA.: D 252. Calcule: lim x 1
2 A) 3 1 D) 4
x3 1 x2 1
Factorizando: x5 a5 x5 a5 lim x a x5 a5
1 C) 2
D)
3 2
B)
3 4
1 2
C) -2
E)
RESOLUCIÓN x
5
255. Halle el valor de 2x20 3x10 1 lim x 4x20 2x5 1
lim
RESOLUCIÓN
2a
RPTA.: E
A) 2
3 B) 2 5 E) 4
x 1 x2 x 1 lim x 1 x 1 x 1
Coef de x20 Denominador
lim x
Coef de x20 Númerador
2 1 4 2
RPTA.: B
x10 x 2 x x2 x 1
256. Calcule lim
B) E)
A) 0 D) -1
RESOLUCIÓN T
C)
46 4 1 10 5 2 2 0 0 4 16 4 4 4
Efectuando operaciones: x6 x 1 x x 6 x 1 x 6 T x x 4 x 4 x 4 x 4 x x 4
RESOLUCIÓN x10 x 2 ; ya que el x x2 x 1 exponente de númerador es mayor que el exponente del denominador. lim
x4 1 y como x x 4 x 4 x x 4 x=4 T
1 1 ó 25 4 4 4 32
RPTA.: B 257. Halle el lim x2 4x x2 x
RPTA.: A 259. Halle el lim
x
4x
x 3
2 3 5 E) 7
A)
B)
3 D) 2
C)
2 3
lim 2 4 2
Multiplicando la expresión por conjugada x2 4x x2 x x2 4x x2 x
lim
x
4x x x
la
3x
x2 4x x2 x
D)
E)
C)
4 7
el
B) 24 E) 0,25
27 6 5 16 5 2 3
2
4x
lim 3
valor aproximado de x6 x 1 la función Tx 2 , para 2 x 16 x 4x x=4
A) 25 1 D) 3
B) 0
1 7
Indeterminado Transformando adecuadamente
RPTA.: D 258. Halle
x 3
x
4 4 x 1 x 1 x x 3 3 2 4 1 1 1
x
A) 6
4
lim
x
2
27x 6x 5 16x2 5x 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2
3
27
6 5 5 2 3 x2 16 2 2 x x x x
6 5 2 2
5 2 2
6
5
5
2
0
0
0
0
4x x 3 27 16
4 7
RPTA.: E
C) 23 260. Si: lim x 0
senkx 1 kx
sen5 x sen3 x Calcule lim x 0 3x 5x
34 15 5 E) 3 A)
B)
15 20 17 C) D) 34 31 19
RESOLUCIÓN 5 sen5x 3 sen3x E lim x 0 3x 3 5x 5 3 5 9 25 34 E 5 3 15 15
RPTA.: A 261. Halle la suma de las constantes k x3 1 y b, que cumple lim k x b 2 0 x 0 x 1 A) 1 D) 3
B) 0 E) -1
RPTA.: D 263. Calcule el siguiente limite 1 cos 6x lim x 0 sen 6x
C) 2 A) 0
1 6 E) 2 B)
RESOLUCIÓN
D) 6
x 1 lim k x b 2 x 0 x 1
RESOLUCIÓN
3
lim
kx b x2
1 x3 1
x2 1 kx3 b2 kx b x3 1 lim x 0 x2 1 3 k 1 x bx2 kx b 1 lim x 0 x2 1 como el limite es cero, entonces k = 1, b = 0 k +b = 1 x 0
6x 5 sen 2x x lim x 0 2x 3 sen 4x x sen 2x 6 x lim x 0 sen 4x 23 x sen2x 62 x lim x 0 sen 4x 23 4 4x 62 2 2 12 7
RPTA.: A 262. Calcule el siguiente limite: 6x sen2x lim x 2x 3 sen 4x A) 3 D)
2 7
B) 0 E)
RESOLUCIÓN
1 6
C)
6 5
C) 1
Aplicando la Regla de H´ospiral d 1 cos 6x 0 sen 6x 6 lim dx lim x 0 x 0 d cos 6x sen6x dx Evaluando: 0 0 uno
RPTA.: A 264. Calcule el siguiente limite: tg x sen x lim x x3 A) D)
B) E)
RESOLUCIÓN sen x sen x cos x lim x x3
C)
lim
sen x 1 cos x
a1 5
3
x cos x sen x 1 cos x 1 lim 2 x x cos x x 1 2 x
2 a1 n 1 r S n 2 2 5 n 1 2 437 n 2 437 4 n n
RPTA.: B 265. Halle el valor de “a”, sabiendo que:
a > 0
x3 2a2x ax2 2a 5 x 2ax x2
D)
1 2
B)
1 3
267. Encontrar la mayor edad de tres personas; sabiendo que forman una P.A creciente, cuya suma es 63 y la suma de sus cuadrados es 1373.
C) 2
E) 3
A) 27 D) 24
RESOLUCIÓN
Factorizando numerador denominador: x x 2a x a lim x x x 2a lim x
Este 2a-5 a=2
x x a
B) 26 E) 23
C) 25
RESOLUCIÓN
y
a-r,a,a+r S = 63 3a = 63 a = 21
a r
2
a2 a r 1 373 2
2 21 r 21 1 373 2 441 r 441 1 373 2 a2 r2 a2 1 373
1a
x resultado
n = 19
RPTA.: B
lim
A) 1
2
igualamos
con:
2
2
RPTA.: C
SEMANA 14
2
r2 25 r 5 16 , 21 , 26
PROGRESIONES
RPTA.: B
266. Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437. A) 11 D) 23
B) 19 E) 25
RESOLUCIÓN a9 a1 8r
C) 21
268. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42, la suma de los tres últimos es 312, y la suma de todos los términos 1062, ¿de cuántos términos consta dicha progresión? A) 14 D) 18
B) 16 E) 19
C) 17
RESOLUCIÓN 21 a1 8 2
a1,a2 ,a3.....an2,an1,an a1 a2 a3 42
+
an , an1 an 312
RESOLUCIÓN a3 4a1....
a1 an an a1 a1 an 354
3 a1 an 354
a6 17
a1 an 118
S 1 062
a6 3r 4 a6 5r 17 3r 4 17 5r
a1 an 2 n 1 062 118 2 n 1 062 n = 18
17 3r 4 17 20r 17r 3 17 r=3 a1 a6 5r
a1 17 5 3
RPTA.: D
a1 2
269. En una P.A. los términos de lugares 11 y 21 equidistan de los extremos y suman 48. Determinar la suma de todos los términos de dicha progresión. A) 360 D) 744
B) 372 E) 804
C)
720
a8 a6 2r
a8 17 2 3 a8 23
RESOLUCIÓN a1 ,........a11................a21 ..........an 10
RPTA.: C 271. Dadas las aritméticas: * x 2y 4x 1 ...
48
Último: a31 n 31
*
a an S 1 n 2 48 S 31 2 S = 744
x y 2y 2 ...
A) 3 D) 9
C) 80
B) 4 E) 12
C) 7
RESOLUCIÓN
2y – x = 4 x + 1 - 2y 4y - 5x = 1
270. En una P.A el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Halle la suma de los 8 primeros términos. B) 30 E) 20
y
progresiones
Calcule el valor de (xy)
RPTA.: D
A) 50 D) 10
a a8 a1 a2 ..... a8 1 8 2 2 23 a1 a2 ..... a8 8 2 a1 a2 ..... a8 25 4 100
10
a1 an a11 a21
De :
x + y – y = 2 y + 2 – x –y x=y+2–x 2x –y = 2 y=2x-2 4 2x 2 5x 1
8x - 8 - 5x = 1 3x = 9 x = 3 y = 4 x y = 12
7n 1 Sn n, a21 ?? 2 a an Sn 1 n 2
RPTA.: E
272. Calcule: 2 26 242 K 1 2 6 10 ... 3 3 3
201 80 80 D) 201
101 80 200 E) 81
A)
B)
2 a1 8
C)
a1 4
301 80
S1 : n 2
RESOLUCIÓN 2 26 242 K 1 2 6 10 .... 3 3 3 3 1 27 1 243 1 K 1 2 2 6 6 10 10 .... 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 K 1 3 5 ... 3 5 ... 3 3 3 9 9 9
1 3
K 1
1 1 1 2 2 3 9 1 3 9 9 1 80 8 80 81
RPTA.: A 273. La suma de los “n” términos de una P.A. es:
7n 1 Sn n 2 Calcule el término que ocupa el lugar 21. A) 122 D) 105
B) 144 E) 100
RESOLUCIÓN
a1 a2 15 r 7
4
11
a21 a1 20r a21 4 20 7 a21 144
RPTA.: B 274. En una P.A. la suma de sus “n” términos está dada por: S 3n2 n , ¿Cuál será la expresión de la suma sino se considera el primero ni el último?
1 9
1
1 K 1 3 8 9 201 K 80
a1 an 7n 1 2 n 2 n a1 an 7n 1 S1 : n 1
C)
169
A) B) C) D) E)
3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5n 2 3n2 5
RESOLUCIÓN S 3n2 n a1 an a1 an 2 3n 1 2 n 3n n 2
Sin considerar a1 y an
a an1 S 2 n 2 2
T1 x 2, T3 x 6
a an S 2 n 2 2 S 3n 1 n 2 3n2 5n 2
RPTA.: D 275. En una P.G. de tres términos la suma de ellos es 248 y su producto es 64 000. Escribir la progresión y dar como respuesta el mayor de sus términos. A) 50 D) 200
B) 100 E) 220
C)
150
T1 T3 5 x2 5 2 T2 3 T2 3 3 T2 x 2 5 Además: T3 T 2 T22 T1 T3 T2 T1
9 2 x 2 x 6 x 2 25 Resolviendo x = 3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN T1 , T2 , T3 T , T, T q q T T T q 248 …………………. q T T T q 64 000 q T 3 64 000 T = 40
1 40 1 q 248 q Resolviendo: q=5 T q 40 5 T q 200
B) 4 E) 7
C) 5
RESOLUCIÓN T1 T1q2 T1q4 637
T1 q T1q3 T1q5 1911
RESOLUCIÓN
q T1 1 q2 q4 1 911
276. Determinar “x”, si el primer término de una P.G. es igual a (x-2); el tercer término es igual a (x+6) y la media aritmética de sus términos primero y tercero se 5 refiere al segundo como . 3 B) 3 E) 2
T1 1 q2 q4 637
RPTA.: D
A) 7 D) 5
A) 3 D) 6
T1 , T1 q, T1 q2 , T1 q3 , T1 q4 , T1 q5
En
277. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una PG. De 6 términos es 637 y la suma de los que ocupan el lugar por 1 911. Halle la razón.
C) 4
q=3
RPTA.: A 278. La suma de los términos de una P.G. de 5 términos es 484. La suma de los términos de lugar par es 120. ¿Cuál es la razón entera de la progresión? A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
RESOLUCIÓN
C) 5
T1 T1q T1q2 T1q3 T1q4 484
T1 1 q q2 q3 q4 484
A) 30 D) 33
B) 31 E) 34
C) 32
3
T1q T1q 120
RESOLUCIÓN
T1 q q3 120
a1 100
:
an ?
1 q q2 q3 q4 121 30 q q3 Resolviendo: q = 3
r = 96-100= -4 n = 18
RPTA.: A 279. La suma de 3 números en P.A. es 15, si a estos números se agregan el doble de la razón excepto al término central entonces ahora se encontrarán en P.G. indicar la razón de esta última progresión.
20 3 10 D) 3 A)
B) -3 E)
C) 5
5 3
an a1 n 1 r a18 100 18 1 4
a18 100 68 a18 32
RPTA.: C 281. Calcule el séptimo término de la sucesión 21 22..... A) 26 D) 20
B) 27 E) 22
C)
20
RESOLUCIÓN 1 2 n=7 1 1 1 r 4 2 4
RESOLUCIÓN
a1
a - r, a, a + r 3a = 15 a=5 5 – r, 5, 5 + r
a7
5+r, 5, 5+ 3r P.G. 5 5 3r 5r 5
1 1 6 2 4
1 3 2 2 2 a7 1 2
a7
25 5 r 5 3r
25 25 20r 3r2
RPTA.: C
2
3r 20r 20 r 3
RPTA.: A 280. En la P.A. 100 96 92.... Calcule el término que ocupe el lugar 18.
282. Señale el valor de: 1 1 1 1 1 P 1 ... 2 3 4 9 8 A) 0,2 D) 0,8
B) 0,4 E) 1, 0
RESOLUCIÓN
C) 0,5
1 1 1 1 3 S1 1 ..... 2 1 3 9 3 2 1 3 1 1 1 1 1 S2 ..... 2 2 1 1 1 2 4 8 1 2 2 S2 1
P
3 32 1 1 2 2 2
x 1 x 2 x 3 2
283. Halle el n-esimo término de la sucesión 8 13 18....
B)
C)
D)
E)
D) 4n2 2n 1
2x
2
6
n n 1
n n 1 2n 1
2 3 2n 1 2n 1 2x , x 3 6
E) 64n2 8n 21
RESOLUCIÓN
a1 = 8 = 5 + 3 a2 = 13 = 5 2 + 3 a3 = 18 = 5 3 + 3 an = 5n + 3 an² = 25n² + 30n + 9
RPTA.: C SEMANA 15 RPTA.: C
284. Calcule el valor de P 1 2 3 4 ... n
D) n -1
2 n n 1
Operando x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9
C) 16n2 25n 9
n E) 2
2n 1 6 n 1
A)
nx2 2x 1 2 3 ... n 12 22 32 ... n2 nx2
B) 25n2 30n 9
B) n
2n 1 6 n 1
2
x2 2nx n2 n x2
A) 16n2 30n 6
A) -n
... x n nx2
2
RESOLUCIÓN RPTA.: C
2
C)
n+1
LOGARITMOS E INECUACIONES LOGARÍTMICAS 286. Determine el valor L og100 N 1,5 L og512 29 A) 10 D) 2 200
“N”,
B) 100 E) 512
si
C) 1 000
RESOLUCIÓN
n: es un número par Para 2 términos: 1- 2 = -1 Para 4 términos: 1 - 2 + 3 - 4= -2 Para 6 términos:1-2+3-4+5-6=3 n Para n términos: 2
RPTA.: E 285. Señale el valor de “x” en la ecuación
RESOLUCIÓN L og100 N
3 3 L og512 512 L og100 N 2 2 3
1
N = 1002
N = 102
3 2
1 000
RPTA.: C
287. Calcule k L og 1 0,00032 L og 2 20,5 25
5 2 7 D) 2 A)
B)
3 2
C)
3 2
289. Halle el valor de W=Log2 L og3 antilog3 L og1,5 2,25 A) 0 D) 1,5
E) 3,7
B) 1 E) 0,75
C) 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN k L og 1 32 105 L og
2
2
w Log2 L og3 antilog3 L og1,5 1,5
2
1 2
25
x
2 w Log2L og3 antilog3 2 1
1
x
5 1 5 25 2 2 5 2x 5 25 25 55
2x
RPTA.: B Log23 x 2 Log3 x 3 ,
290. Resolver
5
5 5 -2x=-5 5 x 2 5 7 K 1 2 2
e
indicar el producto de sus raíces. A) -4
B) 9
D) -3
E) 1
1 9
C)
RPTA.: D 288. La expresión: 1 1 antilog L oga L ogb 2L ogc es 2 3 igual a: A)
ab c
B)
a b c2
D) 3
a b c2
E) 3
ab c2
C) 3
ab 2c
RESOLUCIÓN
Log3x
2
2 Log3x 3 0
a a 2a 3 0 a 3 a 1 0 2
a = -3 Log3 x 3
a=1 Log3 x 1
1 27 1 1 x1x2 = 3 2 9
RESOLUCIÓN
1 antilog L oga L og b L ogc2 3
a b c2
RPTA.: C 291. Resolver:
1 a b antilog L og 2 3 c
antilog L og 3
x2 3
x1
Logx xx
xx
x2
x 2
,
indicar el valor x2 1 3
a b c2
A) 15 D) 37
RPTA.: D
B) 8 E) 48
RESOLUCIÓN
C) 24
e
1
x
xx Logxxx x2x4 x x2x xx x 4 x x 4 x x x x2x
8
4
2 23 2 4
13
24
Log84 2 2 2 Log
1
23 2 4
1 2 22
3
Log 13 22
xx5 x2x x + 5 = 2x x=5 52 1 24
24
RPTA.: C 292. Resolver Ln 12 Ln x 1 Ln(x 2) ,
3 2 13 4 6 13
RPTA.: C
e indicar su conjunto solución: A) 5; 2
B) 2
D) 1;5
E) 3; 2
C) 5
RESOLUCIÓN Ln12 Ln x 2 Ln x 1 Ln12 Ln x 2 x 1
12 5 5 B) 12 C) Indeterminado D) Incompatible E) x A)
12 x2 3x 2 0 x2 3x 10 x -5 x 2 (x-5)(x+2)=0 x = 5 x = -2
294. Señale el valor de x que satisface a la igualdad. 7x2 1 Log (x 3) 5 5 7x 3
RESOLUCIÓN 7 x2 1 7x 3 7x2 3 x 21x 9 7x2 1 - 24 x +9 = - 1 10 = 24 x 5 x 12 x3
Verificando, no será valor de la ecuación C.S.= 5
RPTA.: C 293. Calcule el logaritmo de 2 2 en
7 2 8 D) 7
295. Resolver la ecuación 2
Logxxx Logx2 xx 24
base 8 4 2 A)
RPTA.: B
11 3 9 E) 4 B)
C)
6 13
A) 3 D) -8
B) 4 E) C ó D
RESOLUCIÓN Como: Log an am
RESOLUCIÓN 1 2
Log2 2 Log2 2 Log2
3 2
x
x2 24 2
m n
C) 6
2x x2 48 x2 2x 48 0
x 8 x 6 0
x=-8 x=6
ó
x2= x=6
298. Señale el valor de “x” que verifica la igualdad
B) 8 C) 10 E) Incompatible
Logx a a
1 27
RPTA.: C
296. Resuelva la ecuación 1 Logx Log x 2
RESOLUCIÓN
1 81
x1x2
RPTA.: C
A) 6 D) 100
1
x2 4 3
nlogn x
nn
A) n D) nn1
B) nn n 1 E) nn
logn x
1 1 a 2 2
n
C) nn1
RESOLUCIÓN
2 a a 1
Elevando a la potencia “n”
2 a a 1
nLogn x
nLognx
Elevando al cuadrado 4 a a2 2a 1
nn
nn
n
nLogn x n
2
0 a 2a 1 a = 1 Logx = 1 x = 10 Incompatible
Logn x nn1 n 1
x nn
RPTA.: E
RPTA.: E
297. Señale el producto de las raíces de la ecuación: 81 Logx 3 27 x
299. Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación
1 A) 3 1 D) 81
1.
E)
1 243
Log2x Log2 x
1 C) 27
A) 16 D) 21
b)
C) 19
Log2x z
Tomando logaritmo en base “x” Logx 3 Logx 81 Logx 27 Logx x
2 z z
z=4 4z z2 z = 0 Log2x 0 Log2x 4
4Logx 3 3Logx 3 1
Logx 3 z 4 z2 3z 1
x 20 x=1
2
a)
B) 17 E) 32
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN Logx 3
2.
1 B) 9
x 24 x = 16
4 z 3z 1 0 4z 1 z z -1-4z - 3z 4z 1 z 1 0
z = 1 x=3 1 z = 4
300. Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación
16 + 1 = 17
RPTA.: B
Log2 y2 y Log2
xLog5x2 125 A) 5 D) 25
B) 15 1 E) 5
Log2y3 Log2y 8
C) 125
Logy
3
Logy Logy3 Logy 8
3Logy Log y 3Logy Log y 8 2Log y 4Log y 8
RESOLUCIÓN
Log2 y 1 Logy 1
Tomando logaritmos en base “x” Log5x 2 Logx x Logx125 Log5x 2 3Logx 5
Logy 1
Haciendo Log5x z; se tiene
3 z 2 z 2z 3 0
z- 2=
z 3 z 1 0
Logy 1
y1 10
y2 101
x1 102
x2 102
x1 x2 102 102 100 1
Log5x 3
y2 8 y
x = 125 Log5x 1
RPTA.: D
1 5 Por consiguiente: Producto = 25 x=
302. Si a;b
A) 2 D) 10
301. Resolver el sistema: x Log2 xy Log2 8 , y Logx Logy 2 4
D) 1
E) 0
RESOLUCIÓN 2Los x 22Logy Logx 2Logy
Logx Logy2 x y2 Log2xy Log2
x 8 y
B) 5 E) 12
C) 7
RESOLUCIÓN
1 b a1 a Ahora reemplazando: De: ab= 1 b
e indicar el producto de valores “x” B) 100
distintos de la unidad y
además: ab = 1 averigüe el valor de: aLogb 0,5 bLoga 0,2
RPTA.: D
A) 10
C)
1 10
Log
a
5
a1 10
Log
b
2
b1 10
aLoga 2 bLogb 5 2 5 7
RPTA.: C 303. Halle el Log 6!, sabiendo que Log 2=a; Log 3=b A) 2a+3b+1 B) 3a+2b+1 C) 4a+b+1 D) a+2b+1 E) 3a+b+1
RESOLUCIÓN
Log 6!= Log 1 2 3 4 5 4 6 Log 6!= Log 1 Log2 Log3 Log4 Log5 Log6
Pero la necesidad es expresado en términos de 2 y 3. Por ello. 10 Log 6!=0 a b Log2 22 Log Log2 3 2
1
x
2
2 2
x1x2 2
RPTA.: D
Log 6!=a b 2Log2 1 Log2 Log2 Log3
Log 6!=3a+2b+1
SEMANA 16 RPTA.: B
306. Halle la suma de valores de “n” que satisfagan la igualdad n! 3 n! 2 3 n! 6
304. El valor de la expresión: Log 4 3 Log9 27Log4 9
10
; será:
A) 0,001 D) 1 000
B) 0,1 C) 10 E) 100 000
A) 1 D) 4
RESOLUCIÓN
Aplicando la regla del sombrero dos veces en:
Log4 9Log3 4
10Log2 27
3
10Log3 4 Log4 9 Log9 27 10Log3 3
103 1 000
RPTA.: D 305. Halle el producto de los raíces de: Logx 2x
BINOMIO DE NEWTON Y RADICACIÓN
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
Sea n! = z z2 z 6 3z 18 z2 2z 24 0 z 6 z 4 0 z=6 n=3 n=3
ó
z = -4 n 4 no existe
x2 2
RPTA.: C
A) 2
B) 4
D)
2 E) 2
2
C) 8
RESOLUCIÓN
1 Log2x2 Log2 2 Logx 2x
Log2 x2
Log2 2x Log2 x
2 Log2x 1 Log2x 2
2Log2x Log2x 1 0 2Log2x
+1
Log2x
-1
Log2x 1 x 2
Log2x
1 2
307. Reducir: 12! 13! 14! K 12! 13! 12!x7 A) 28 D)
28 3
14 3 7 E) 3 B)
C) 14
RESOLUCIÓN K K
K
12! 13! 14! 12! 13! 12! 7 12! 1 13 13 14 12! 1 13 7
14 14 28 3 7 3
RPTA.: D
308. Calcule la suma de valores de “n” n 3 ! n2 3n 2 n2 3n
A) 3 D) - 8
B) -3 E) 9
11 12 12 12 P C11 6 C7 C4 C7 C8
C) 8
13 P C13 8 C5
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
n 3! n2 3n 2 n2 3n
n 3 ! n 1 n 2 n n 3 n 3 ! n n 1 n 2 n 3 n 1!n n 1n 2n 3 n n 1n 2 n 3 n 1 ! 1
10 11 12 P C10 5 C6 C7 C4
311. Resolver: 19 20 C18 C18 6 C7 C8 E 5 21 C13 C21 8
E) 6
C)
1 2
RESOLUCIÓN 18 19 20 C18 5 C6 C7 C8 E 21 C13 C21 8
309. Halle el valor de “n” en:
5!
A) 3 D) 6
719!
n!!
E
6!
n!!
B) 4 E) 7
720!
5!
19 20 C19 6 C7 C8 21 8
C
21 8
C
C21 8 2C
21 8
C) 5
719!
n!!
1 2
RPTA.: C 312. Si se cumple que Cxy 12 C6y 5
RESOLUCIÓN 119!
1 4
D)
n=1
RPTA.: A
720!
B) 4
n=2
3
119!
A) 2
6!
n!!
Halle x + y
n!!
720!119!x120 719! 6! 720
A) 13 D) 17
720! 120! 720!
B) 15 E) 18
C) 16
n!!
RESOLUCIÓN
n!!=120! n!=5! n= 5
RPTA.: C 310. Simplificar: 11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C4 A) C12 8 13 4
D) C
B) 2 C12 8
1)
y -1 = 6 y = 7 x + 2 = y + 5 x = 10
2)
y - 1 = 6 y-1+6 = x+2 = y+5 y=7 12 = x + 2 = 12 x = 10 X +y = 17
C) C13 5
12 5
E) C
RESOLUCIÓN 11 12 P C38 C84 C59 C10 6 C7 C4
11 12 P C94 C59 C10 6 C7 C 4
RPTA.: D
313. Reduzca 20 26 C10 C20 C19 C26 9 6 25 19 C525 C19 C C 9 6 10
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN 19 20 C26 6 C10 C9 E 19 25 C9 C5 C25 6 C26 .3 C19 E 619 269 C9 .C6 E= 3
*
RPTA.: C RPTA.: C
314. Determine el valor de “n” , si 18 17 16 15 20 cumple 4C19 11 C7 C10 C7 2C8 n C8 A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
15 8
15 7
2C
2.
16 16 16 17 C16 7 C8 C9 C8 C9
3.
17 18 C17 10 C9 C10
4.
18 18 18 19 C18 7 C10 C11 C10 C11
5.
19 11
4C
19 11
19 11
C
C
C
iii)
5C
nC
5C19 11
20 11 n C19 n 3 12
n+1 - n = n n ; n ; n 12! 1 3 5 7 9 11 64 6!
B) VVF E) FFF
C) VFV
Para el caso (i)
n 1 1 n(n)
Para el caso (ii) n 1 1 n 1 n n n 1 n
n2 n2
n 2n2 n2
n n
-1 -1
Luego:
n
n 1
n
n 1
2
1 n2 n 1 1 n2 n
1 n2 n 1 1 n2 n
2
2
RPTA.: B 317. Determine la suma de todos aquellos valores de “n” que verifiquen la igualdad: n! n! 321 80 5n! 9 A) 5 D) 8
RESOLUCIÓN =n
2
2
n 1 1 n1 n n1
n n 2 n4 2n3 n2 2n 1
3
Indique la razón de verdad
*
E) n
n
20 12
(n+1) n - n
D) n +1
20 8
nC
A) VVV D) VFF
C) n n 1
n n2 1
315. Respecto a las proposiciones
ii)
B) n n 1
1 n n…. 1 1 1 n 2 n….
RPTA.: B
i)
A) n2 1
Procesando el radicando
16 8
1.
C
n2 1 1 n2
316. El equivalente de:
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 15 8
n n2 n n2 n1 n1 0 = 2 ( falso) Para el caso (iii) Operando el segundo miembro 12! 12 11 10 9 8 7 6 64 6 64 6
B) 6 E) 9
RESOLUCIÓN
Hagamos que: a = n! a a 321 80 5a 9 a2 721a 720 0
C) 7
a a
- 720 -1
5
a' 720 a'' 1 Regresando el cambio n! = 720 n!=1
n2 1
n! = 6!
n3 0
n1 6
En consecuencia: n1 n2 n3 7
RPTA.: C 318. El valor de:
A) 8 D) 1 024
T6 256
RPTA.: C 320. Halle el grado absoluto del término 16 en la expansión de
P x, y x3 2y2
A) 20 D) 45
25
B) 25 E) 60
C) 35
RESOLUCIÓN
4 5 6
9 4 7 8
2 3
5
x y T51 C y x 10 9 8 7 6 T51 1 2 3 4 5 T51 4 9 7 10 5
Tk 1 Ckn a
nk
B) 256 E) 64
C) 512
b
k
2y
25 T151 C15 x3
10
15
2
25 T16 215 C15 x30 y30
G.A = 30+30=60
RPTA.: E
RESOLUCIÓN
Procesando por partes para el radicando: 9 9 8 7 9 8 7 8 7 8 7 8 7 7 1 8 Exponentes: 4 5 4 6 5 4 4 1 5 30 36 4 Ahora reemplazando en:
2 6
4
8
4
36
83 512
319. Halle el valor del termino central 10
x y del desarrollo de y x B) 128 E)1 024
RESOLUCIÓN
Analicemos un término genérico (Lugar K+1), en:
C) 265
k
14 K
TK 1 C
14k
x
TK 1 1
k
t central = t 111 2
b
k
C) 7
14
#t =10+1=11
nk
B) 8 E) 5
1 x = T1 T2 ..... TK 1 .......T15 x
RESOLUCIÓN
tk 1 Ckn a
14
1 x ; existe un termino que x 2 contiene a x . El termino que ocupa este termino contado a partir del extremo final es: A) 9 D) 6
RPTA.: C
A) 64 D) 512
321. En el desarrollo de la expresión
;k 0,1,2,.....n
12 x
14 k
C14 x k
k 2
Por condición: 3 3k 14 k 2 12 2 2 k=8
En consecuencia:
RESOLUCIÓN
14
1 x T1 T2 .....T9 T10 T11........T15 x Séptimo lugar
RPTA.: C
En el desarrollo de esta expresión existen 9 términos entonces el central estará ocupado por el quinto. 84 4 8 8 x TCnetral T5 T4 1 C4 8 x
n
n 322. En el desarrollo de x y los 8 coeficientes de los términos de lugar séptimo y octavo son iguales. Entonces el número de términos que presentará será:
A) 49 D) 45
B) 48 E) 44
C)47
n
n Si: x y T1 T2 .....T7 T8 .....Tn1 8 Averigüemos a los términos deseados n 6 n 6 n n 6 n n T7 T6 1 C6 x y C xexp y6 8 8 n7
n T8 T71 C x 8 Por condición: n 6 n 7 n n Cn6 Cn7 8 8 n 7
n n n n 6 6 8 8
Coef. n 7 7 N n y C7 xexp y7 8
n 7
n n n 7 7 8
1 1 n n 6 n 7 6 8 n 7 7 6 7n 8 n 6 48 n # términos = 49
RPTA.: A 323. Averigüe al termino central central 8 x 8 al expansionar: 8 x A) 80 D) 60
B) 70 E) 50
C) 60
RPTA.: B 324. En el desarrollo de
1 x
43
los
coeficientes de los términos de los lugares “2x+1” y “r+2” son iguales ¿De qué términos estamos hablando?
RESOLUCIÓN
n 7
8 7 6 5 70 4 3 2
TCentralC84
A) 14 y 29 C) 16 y 26 E) 18 y 30
B) 16 y28 D) 16 y 27
RESOLUCIÓN
Admitimos que en: 1 k T1 T2 .... T2r1 ....Tr2 .... t44 43
43 2r r 1 T2r 1 C2r r ; Tr 2 Tr 1 1 Cr43 1 r Según condición 43 43 C2r Cr431 C2r Cr431(r 1)
2r=r+1 r= 1
2r=42-r 3r=42 r=14
En base es esto los términos ocupan los lugares: Cuando r 1 T3 T3 Para
r 14 T29 T16 (esto
permite
decir
que
nos
T2 2 )
es
primero.
RPTA.: C 325. Si los exponentes de “x” en los 1 términos del desarrollo xm m x3
n
van disminuyendo de 6 en 6 unidades y el décimo tercero resulta independiente de x. Indique al término independiente. A) 10 9 8 C) 10 13 14 E) 10 11 12
B) 10 3 2 D) 11 12 13
327. Calcule “a x b” si el resto de
x 14 4x 13 2x1 15x 2 Es equivalente a: (ax+b) A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
RESOLUCIÓN
x 1
RESOLUCIÓN Por condición:
n TIndependiente T12 1 C12 xm
n12
x
m 3
12
mn - 16m
4
4 x 1 2x3 15x 2 3
Si: x + 1=a 2x2 4x 11x 2 2 x2 2x 1 11 x 1 1
a4 4a3 2a2 11a 11 -1
n T13 C12 x
Será Independiente mn-16m=0 m(n-16)=0 De donde: m=0 v n = 16 16 n 16 Luego: TIndependiente C12 C12 12 4 16 15 14 13 12 14 13 10 12 4 3 2 1
RPTA.: C
4 -4
-2 -4 -6 6
1
2
(2 2) (2) (2 4
-11 12 +1
11 -9 2
R = a + 2 R= x + 1 + 2 R= x + 3 ax + b A=1,b=3
326. Extrae la raíz cuadrada de: 4x6 13x4 22x3 12x5 8x 25x2 16 A) B) C) D) E)
3x3 2x2 x 4 5x2 7x 2 2x3 3x2 x 4 4x2 8x 2 x4 2x3 x2 x 1
RPTA.: C 328. Calcule:
19 4 21 7 12 29 2 28 A) x+1 D) x+4
B) x+2 E) x+5
C) x+3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN 4x6 13x 4 22x3 12x5 8x 25x2 16 4 -12 13 -22 -4 -12 13 12 9 4 - 22 -4 6 -16 16
-3) (-3)
25 -8 16 2 -3 1 -4 (4 -3)(-3) (4 -6 1)(1) (4 -6 2 -4)(-4) 25 -1 24 -8 16 24 8 -16
19 4 21 7 12 29 2 28 19 2 84 7 12
12+7 12x7 12 7 7 12 2 7 1 1
RPTA.: A
329. Reducir:
E 6 2 10 2 8 2 7
2x3 3x2 x 4
28 1
RPTA.: C A)
7
B)
2 C) 7 1
D)
2 1
2 1
E)
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
332. Simplificar:
3x 1 3x 1
E 6 2 10 2 8 2 7
2 3x 9 x 2 1
7 1
E 6 2 10 2 7 2 6 2 8 2 7
E 6 2 7 1 8 2 7 2 1
B) 2 E) 0
2 3x 9x2 1
C) 3
7 1 6 5
6 1
E=0
RPTA.: E
331. Calcule:
6 4 3 1 8
5 24
B) 8 E) 6
1
2 2x 4x2 1
6 4 3 1 8
2
1 5 24
2
3 2
1
2
52 6 6 4 3 3 2 6 4 3 6 1
6 4 3
2
3x 1 3x 1 2
5x2 9x2 1 4x2 1 a b
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
2
5x2 a b
2x 1 2x 1
5x2
2
2
5 a b 5
6x 9x2 1 2 4x 2 4x2 1 ab 2 2
333. Efectuar: K 13 7 5 7
C) 9
6 4 3 1 8
3x a 2x b a b 5x
2
RESOLUCIÓN
P P=7
C) x 2
2x 1 2x 1
3x 1 3x 1
E 12 2 35 8 7 11 2 30 7 2 6
P
B) 2x E) 3x
3x 1 3x 1
E 12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
P
9x2 1 4x2 1
3x 1 3x 1
RESOLUCIÓN
P
RESOLUCIÓN
A) 1 D) 7
A) 7 D) 5
2 2x 4x 2 1
5x 2
A) -x D) 5x
12 140 8 28 11 2 30 7 2 6
P
2x 1 2x 1
RPTA.: D
330. Reducir
E 7 5
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
K K
7 5
13 7 3
32 10 7 8 2 7
K 5 7
4
5 7 3 7
7
2
K
4
3 7 7 3 7
13 7 5 7
13
3 7 C) 3
RESOLUCIÓN K
RPTA.: D
7 1 2
RPTA.: B 334. Reducir: 18
P
6
48
9 72 5 24 8 48 B) 1 C) 3 E) 4
A) 0 D) 2
RESOLUCIÓN 18
P
9 72
3 2
P
P
6 3
3 2 6 3 3
6
5 24
6
3 2
48
8 48
4 3
6 2
4 3 6 2
6 3 2
4
P 2 3 6 3 2 2 3 3 2 6 0
RPTA.: A
335. Transformar a radicales simples:
10 108
3
A)
3 2
B) 2
C)
3 1
D)
E)
2 3
3
3 1
RESOLUCIÓN Si:
3
10 108 A B
3
10 108 A B
10 3
108 3 10 108
(+)
3
2A
3
20 6 2A 8A3 10 6A 4A3 10 4A3 6A A 1
A 3 A 3
3
10 108 3 10 108
A2 B 2 1-B=-2B=3
3
10 108 1 3
RPTA.: D
SEMANA 1
CONJUNTOS I 336. Si: A ;a;a;a,b; Indicar las proposiciones que son verdaderas. I. aA {a, b} A II. {} A {} A III. A A A) solo I C) solo III E) II y III
B) solo II D) II y IV
RESOLUCIÓN
A ;a;a;a,b;
I.
II.
III.
aA
{a, b} A
F
F
{} A
=F
{} A
F
V
A
A
V
V
=V
=V
I y III son verdaderas
RPTA.: D 337. Dados los conjuntos: A x N 2x 13
B x A
x² 2x A
Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I. x A / x² 5 > 4 II. x (A B) / 2x + 5 < 8 III. x (A B) / x² B A) VVF D) VFF
B) FVF E) VVV
C) VFV
339. Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene. B x Z x 8 x 2
RESOLUCIÓN A x N
2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 B x A
x² 2x A
siendo : p q p q A B CONJUNTOS LÓGICA
´
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 x² 2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24
A) 48 D) 56
B = {1; 4; 5; 6} I.
x A / x² 5 > 4
II.
III. x (A B) / x² B
C) 63
RESOLUCIÓN
(V)
x (A B)/2x + 5 < 8
B) 42 E) 45
B x Z
x 8 x 2
(F)
(x > 8) (x = 2)
(V)
(x> 8) (x = 2)
RPTA.: C
338. Sea A n Z
x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
n 600
n(B) = 8
Calcule la suma de elementos del conjunto B; si B a 2 3 a A a A
A) 1000 D) 1424
B) 1296 E) 1528
RESOLUCIÓN
8 #Subconjuntos 8! C 3! 5! 3 Ternarios de B
C) 1312
A n Z
n 600 1,2,3, 4,5,...,600
B a 2
3 a A a A a es cubo perfecto
6x7x8 56 6
RPTA.: D 340. Dados los conjuntos unitarios A = {a + b; a + 2b3; 12} y
a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³
B = {xy ; yx ; 16};
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2
halle el valor de (x + y + a² + b)
2
elementos 8 x 9 2 8 de B 2
A) 81 D) 87
1312
Nota: SN3
n n 1 2
B) 92 E) 90
C) 96
RESOLUCIÓN
A y B son unitarios:
2
*
RPTA.: C
A = {a + b; a + 2b 3; 12} a+b = 12 a + 2b 3 = 12 a + 2b = 15 como: a + b = 12 b =3 a=9
*
B = {xy; yx; 16} xy = yx = 24 x=2;y=4 x + y + a² + b =
*
nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5 nP(AB) = 8 = 23 n(AB) = 3
90
RPTA.: E 341. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si: D = {(x² 1)Z / 0 < x 4} A) 132 D) 124
B) 126 E) 120
C) 105
RESOLUCIÓN
D = {(x² 1)Z / 0 < x 4} 0 < x 4 0 < x² 16
n(AB) = 7 + 5 3 = 9
nP(AB) = 29 = 512
*
5 C = 3x 1 Z x 3 5 x 3 5 x 31 3 1 3 (3x + 1) < 6 C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5
1 2} {3} {x E / x 7} A B C
´ ´ ´
Determinar n(A) + n(B) + n(C) A) 9 D) 13
B) 12 E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN
E={xZ+/x8
Pensando: m 14 (mayor valor) n 8 14 123 n 123 112 n 11
RESOLUCIÓN
0
n 8 m 123
“m” veces
valor de (m + b + d). B) 4 E) 8
C) 11
RESOLUCIÓN
además 6d6n mbmb5 . Halle el
A) 2 D) 6
123
a b 1 c 2 c9 b 1 3 3x y 59
m = 3; b = 0
Igualando:
m b d 3 RPTA.: C
381. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:
*c=5 * b 1 3;b 2 * a b 1;a 1
*c 2 3 x y 5 2 3x y
7 3x y ; x = 2
y=1
abcax 17a29 abcx.x a 1729.29 a abc x .x 36.29 Si
Pide: a b c x y 11
RPTA.: C
x 9 abc9 116 1389
383. En la siguiente expresión: Luego:
M 4n6m 54n 3mn8
a=1 ; b=3; c=8
x 1113n 9
n 1 3 9 n 5
Halle M. A) 42 D) 220
B) 532 E) 44
C) 24
Analizando:
A) 27 D) -3
n5
54n 4n6m
m6 mn
3mn8
5 n m8
C)-5
4 b a n m (Ordenando) 4 5 6 7 8 Luego: 656 7 517 8
M 4667 546 3768
34
B)3 E)5
RESOLUCIÓN
m7 y n6
M 244
a b c m n , sabiendo
que: aban bcnm Sabiendo que: m < 9 y b > 4
RESOLUCIÓN
RPTA.: E
385. Halle
254
a b c m n 6 5 1 7 3
3
M = 24
RPTA.: D
RPTA.: C
386. Calcule la suma de las dos últimas
384. Si se cumple que:
cifras del numeral: 16 1213 8n ,
abcaaaabn 17a29
al expresarlo en el sistema de base n 1 .
Calcule el valor de “n”
A) 6 D) 4
A)3 D)9
B)4 E)5
C)6
RESOLUCIÓN abcaaaabn 17a29 x 29 x cambio de variable
B) 7 E) 3
C) 5
RESOLUCIÓN N 1612138n Base n 1
Por descomposición:
16 12 13 8 n n 1 11n 11 5 12 n
1576n
11n
11n
143n 11n
5 5 n
44n
7n
36n
68n
33n
66n
3
Por división a base 4: 89 4 1 22 2
47n
7 13n 7
324 5 3 55 2 5 4 89
4 1
Números equivalentes
3245 11214 abcdx a 1;b 1; c 2; d 1; x 4 m3
2 N ...32(n 1)
4 5 1
a b c d x m 12
de las 2 últimas cifras = 5
RPTA.: C
A) 12 D) 18
B) 14 E) 19
C) 16
RESOLUCIÓN
Calcule a b c d m x B) 10 E) 15
388. Calcule : a n m Si: 120an 64a 2553m
387. Si se cumple: 9 6 12 abcd x m m m 2m1
A) 8 D) 13
RPTA.: C
120an 64a 2553m C) 12
1200 n 640 n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2)
n3 2n2 (n 2) 82 (8 2) n8
RESOLUCIÓN
64a 120a8 2553m ;m 5 m8 m6
9 6 12 abcdx m m m 2m1 “m” divide a 9; 6 y 12 por tanto m=3 Reemplazando.
3245 abcdx
a
mayor
valor
aparente menor base x 5 Se verifica para:
x=4
25536 2 63 5 6² 5 6 3 645 64a
a5 a m n 5 6 8 19 RPTA.: E 389. Halle “x” en:
abxn ccn7 , A)0
B) 2
D)5
E) 6
si: c 2
y ba
C) 3
2 2 En base n 18 324
RESOLUCIÓN abxn ccn7...(I) ; C 2 ; b a
Número 210 324 02 01 0018
RPTA.:E
2 c a b n 7 c 3 a4 b5 n6
391. Halle a b n k en la siguiente expresión:
9abk 213312n ; donde k n2
Luego en I 45x6 3367 174
A) 18 D) 41
45x6 4506 x 0 RPTA.:A
14
B) 24 E) 37
Luego: n
k n2 k
9abn2 213312n 10
15 14 15
1 11 12
Transformando de base (n) a base n2
21 33 12n
13
9
a
b n2
1 n 1n
¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se exprese en la base n2 ? A) 6 D) 9
C) 28
RESOLUCIÓN
390. Si se cumple que:
(2n) numerales
Número de cifras =5
n7
n(n 1) 2 n(n 1) 91 n n 18 2 9 9n
B) 7 E) 5
C) 8
RESOLUCIÓN Aplicando propiedad.
15 n(4) (n 1).5 n 0 1 2 3 ... (n 1) 1
21n 9
n 4 ; k 16
33 4 a
a 15
12 4 b
b 6
a b n k 41 RPTA.: D 392. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n. A) 10 D) 13
B) 11 E) 14
RESOLUCIÓN
C) 12
Sea: abc n el mayor a b c
abcn n 1 n 2 n 3n 42058
394. Si se cumple:
a10b11b2 15c8
pasando a base 10.
Halle: a b c
n 1.n2 (n 2).n n 3 4 83 2 82 0 8 5 2181
A)6 D)9
n3 n 2184 n(n2 1) 2184
= 15c 8
a 10b 11b2
n 1nn 1 12 13 14 n 13
a(4 b)(6 b)8 = 15c 8 RPTA.: D
*a 1 * 4 b 5 ;b 1 * 6 b c ;c 7 *a b c 9
393. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea:
RPTA.: D
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…
395. Si se cumple: abn ba7 Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible.
y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron? B) 15 E) 12
A) 37 D) 21
C) 11
RESOLUCIÓN
Descomponiendo:
Transformando a base 7:
7 2 915 (3)
B) 13 E) 10
C) 14
RESOLUCIÓN 1 000 000 7 (1) 142 857 7 20 408 (1) (3)
C)5
RESOLUCIÓN
n(n 1)(n 1) 2184
A) 16 D) 13
B) 7 E) 10
7 416 (3)
n a b 7b a 6b n 1 a 7
59 (3)
7 8 (1)
7 1
a7 y b7 a 1 ;b 6 n 37 3 7 10
1 000 000 11 333 311 7
RPTA.: D SEMANA 4
Número de personas:
1 1 3 3 3 3 1 1 16 N 16 RPTA.: A
NUMERACIÓN II 396. Si
el
término
ab
avo
de
siguiente serie aritmética es ba .
la
Calcule “a +b” si: 30;…;48;51… A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
2
1
305 110 n= 1 16 13
C) 8
a + b + n=19
RESOLUCIÓN
30;…;48;51… Razón: 3. Término 1: 30 Término n: tn t1 n 1 razón
398.
RPTA.: E
¿Cuántos términos tiene siguiente progresión aritmética:
la
233 x ;242 x ;301 x ;........;1 034 x
A) 26 D) 19
t ab 30 ab 1 3 ba Descomponiendo: 30+3x ab -3= ba 30+3(10a+b)-3=10b+a 27+29 x a = 7 x b
B) 17 E) 22
C) 20
RESOLUCIÓN
Cálculo de la razón R:
242x 233x 301x 242x 1 a=1; b=8 a+b=9
Descomponiendo polinómicamente 2x2 4x 2 2x2 3x 3
8
3x
2
397. Dada la siguiente aritmética:
RPTA.: D
progresión
1 2x2 4x 2
2335 ;2425 ;3015 ;.........;1 0345
+4 “n” términos Halle: a+b+n B) 16 E) 19
x=5 R = x- 1 R=4
aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b;.....3a 05
A) 15 D) 18
+4
10345 2335 1 4 n = 20 n
C) 17
RESOLUCIÓN
“n” términos
aa0; ab(a 2); a(b 1)3b ;.....3a05
RPTA.: C 399.
En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro?
r ab(a 2) aa0 a(b 1)(3b) ab(a 2)
A) 165 D) 145
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2
RESOLUCIÓN
r =10b-9a+2=3b-a+8 7b = 8a+6 r = 13
B) 330 E) 325
C) 320
Suponiendo la última página con numeración PAR. Cantidad de cifras de las páginas impares: 1, 3, 5, 7, 9,
5#s 5 x 1 = 5 cifras
A) 159 D) 195
La numeración de las páginas será: 1, 2, 3, 4,……., 71, 72,……..,
45#s 45x2=90cifras
“x” Cifras utilizadas
101, 103, 105, 107,……….
n 72, n 71, n 70........,N
440-(5+90) = 345 cifras
“(x+69)” cifras utilizadas
Se han utilizado 345 cifras para escribir números de3 cifras:
(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135
345 115 3
La cantidad de cifras utilizadas en las 72 últimas páginas será:
números de 3 cifras
135+69=204
Total de páginas impares = 5+45+115=165 páginas.
Entonces si al total de cifras desde 1ª “N”, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N72) es igual a 204.
Total de páginas =330
RPTA.: B 400.
Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado?
Asumiendo para N=3 N 1 3 111 N 72 1 2 11 204
6667 ,6970;7273;7576 ;........... A) 664 D) 653
B) 665 E) 655
N=159
RPTA.: A
C) 620 402.
RESOLUCIÓN abc 1
6667 , 6970 ;...9697 ;99100 ;102103...abc 11#s
1#
101#s
En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo. 3, 9, 17, 27,……., 699 A) 559 D) 649
B) 597 E) 585
RESOLUCIÓN 11 x 4
1x5
101.6
RPTA.: E 401.
C) 148
RESOLUCIÓN
11, 13, 15, 17,……., 97, 99
3 cifras =
B) 157 E) 185
Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro?
tn = t1 n 1.r1
C) 647
n 1n 2 .r2 2
En el problema
tn
n 699 3 n 1.6
700 n2 3n n 25
2
3n 2 .2 2
t23 3 22.6 403.
22.21 .2 597 2
405.
RPTA.:B
¿Cuántos números de la forma:
a a 1 b b 2 c c / 2
d
A) 500 D) 635
existen? A) 960 D) 3600
B) 2160 E) 2400
C) 3200
a b
2 0 3 2 4 4 . 6 . 8 . . . 9 8 x 5
x
Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e impares luego:
RPTA.: C En que sistema de numeración existen 136 números de las formas:
aa bbK
A) 16 D) 19
B) 17 E) 20
C) 18
RESOLUCIÓN
a+b= k-1 (máximo) a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1 a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2 a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3 . . . . . . a=k-2; b=0,12 a=k-1; b=0 1
#s =
k 1 k
136
2 k 1 k 8 17 2
k=17
RPTA.: B
c
9x10x10=900 números de 3 cifras
0 1 2 . . . . . 9 10 =3200
2 2 d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; 8 ; 9
404.
C) 675
RESOLUCIÓN
N aa 1bb 2cc / 2 d
x
B) 625 E) 600
Sabemos:
RESOLUCIÓN 1 2 3 . . . . 7 8 C#s= 8
¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?
# de 3 cifras a b 2 0 4 2 6 4 8 6 8 4 x 5 x
pares c 0 2 4 6 8 5 = 100#s
# de 3 a 1 3 5 7 9 5 x
impares c 1 3 7 5 9 5 = 125 #s
cifras b 1 3 5 7 9 5 x
Entonces: 900-(100+125)675 #s
RPTA.: C 406.
¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000? A) 900 D) 750
B) 800 E) 810
RESOLUCIÓN
C) 700
800 < ”capicúas”< 80000 Capicúas
a b a ;
a b b a ;
8 9
1 0 2 1 3 2 . . . . . . 9 9 9x10=90
0 1 2 . . . 9 2x10 = 20
RESOLUCIÓN Nro capicúa: abcba Tenga 2 cifras “2” En su escritura: 2 b c b 2x a 2 c 2 a x 0 0 1 0 1 1 3 1 3 3 . 3 . . . . . . . . . . . .
a b c b a 1 0 0 2 1 1 1 2 2 . . . . . . . . . 7 9 9 7x10x10=700 C#s Capicúas= 20+90+700=810
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
2
x 1 x 1 x 2 x 1
x 2 x 1 66
x 1 x 1 x 2 66 6 11 x 1 2x 3 7 1 2 7 3 x7
RPTA.: B
RPTA.: C 407.
¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30? A) 990 D) 500
B) 800 E) 600
409.
C) 720
Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar? A) 5 D) 8
RESOLUCIÓN
Casos: I II Producto de =30= 2x3x5 = 5x6 cifras III IV =15 x 2 =10 x 3 Caso I : 10x9x8 = 720#s Caso II : 10x9 = 90#s Caso III : 10x9 = 90#s Caso IV : 10x9 = 90#s Total = 990#s ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura? A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
C) 7
RESOLUCIÓN
2226 cifras
1,2,…9; 10,11,….99,100,……U 9 #s Cifras: 9x1
90 #s 90x2
2037 cifras
2037 3 679 # s de 3 cifras
RPTA.: A 408.
B) 6 E) 9
679 U 100 1 U 778 Última cifra =8
RPTA.: D 410.
Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan
con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7? A) 76 D) 74
B) 67 E) 73
C) 70
RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será: 1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…, 1#s
10#s
700,701,702,..,746 47#s El libro tiene 746 páginas La secuencia de las páginas que terminan con la cifra 7 será: 7,17,27,37,47,…….,717,727,737 Total de números que terminan en la cifra 7: 737 7 Total= 1 74 10 Total= 74 números
RPTA.: D 411.
Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron.
Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1. Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39 La última página de 3 cifras es la 999 La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960 Cantidad de tipos=3(960+1)111=2 772 Total de tipos = 2 772
RPTA.: D 412. Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan? A) 506 D) 512
B) 510 E) 515
RESOLUCIÓN
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos: * De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s * De 2 cifras: a
B) 2 771 E) 2 774
RESOLUCIÓN
C) 2 769
En total de páginas =100 Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras.
b
7 x 8 = 56 #s * De 3 cifras: a
A) 2 661 D) 2 772
C) 511
b c
7 x8x 8=448 #s * De 4 cifras: (1000) 1# Luego : 7 +56 +448+1 =512#s
RPTA.: D 413. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas
cifras tendría si se enumerara en el sistema octal?
cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.
A) 3555 D) 4125
A) 5 D) 6
B) 4005 E) 4325
C) 3750
RESOLUCIÓN
B) 4 E) 7
C) 3
RESOLUCIÓN
x números de 3 cifras x+y=40 x=5
aba w
y números de 4 cifras 3x+4y=155 y= 35 Última página =1034 = 2012 8
Nros capicúas:
xyxz Además: w+z=15
# cifras = 4 2013 8 11118 3555
RPTA.: A Método combinatorio: 414. Sea la P.A.:
4a6;.....;68b;6c b 2;70d donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es 68b . Halle (a + b + c + d). A) 26 D) 25
B) 24 E) 13
b a (w)
1 2 3 . . . .
0 1 2 3 . . .
x
y
1 2 3 . . . .
0 1 2
w 1 w 1 w 1. w
C) 30
RESOLUCIÓN 4ab;.......;68b;6c b a;70d r=8; c=9 t30 68b 4a6 29. 8
xz
. . .
z 1 z 1 z 1. z
680 406 10a 232
42 b 10.a d 4 8
a
Por dato:
5
w w
2
a+b+c+d+=26 RPTA.: A 415. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3
2
z z w 56 w z2 z 56 2
w zw z 1 56 14
wz
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996
56 4 14
RPTA.: B 416.
4x=996-972 4x=24 x=6 números
Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número. A) 12 D) 14
B) 13 E) 15
abcd7 10057 1 + 0+ 0+ 5=6
RPTA.: C
C) 11
SEMANA 5
ADICIÓN - SUSTRACCIÓN
RESOLUCIÓN
Sucesión será: 4000;4001;4002………….…;N
418. Si : a0ca 8abc b7c8 ccab 24022
Halle: a b2 c “N” tipos de imprenta
A) 270 D) 245
Planteando el enunciado: (Cantidad de números) x 4 =N
a0ca abc b0c0 ccab 24022 - 8000 -708=15314.
Suma de cifras: 5+3+3+2=13
Entonces: a + b + c =14 (único valor que cumple)
RPTA.: B Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página. B) 5 E) 8
C) 6
RESOLUCIÓN
1;2;...6; 10 7 ;…; 66 7 ; 6 números 607 números
100 7 … 6667 1000 7 .. abcd7 600 7 números x números
C) 320
Si:
3N= 4x 3999 N= 4(1333) =5332 N=5332
A) 4 D) 7
B) 256 E) 325
RESOLUCIÓN
4N 3999 N
417.
* * *
1+(a+ b+ c)+c =.........1 15 + c=..........1 c = 6 2 + a + c = ...........3 8 + a = ...........3 a=5 1+ a + b + c = 15 1 + 5 + b +6 = 15 b=3 a b2 c 5 32 6 270
RPTA.: A 419. Halle : a b c ; si n + x =16 y
x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4 A) 13 D) 16
B) 14 E) 19
RESOLUCIÓN
C) 15
n + x = 16 ; (n 1) . x = ... 4 n = 10 x=6
SEMANA 6
MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN 420. Si al multiplicando y multiplicador se le disminuye en 2 y 4 respectivamente, el producto disminuye en 198. Halle la suma de los factores de dicha multiplicación si su diferencia es 8. A) 63 D) 66
B) 65 E) 69
C) 67
Mxm=P (M-2)(m-4) =P-198 M m -4M-2m+8= P -198 206 = 4M + m x 2
103=2M + m + 8= M-m 111 = 3M; M = 37 m = 29 M + m = 66
421. Si abcd7 22227 ...31257 Halle el número de divisiones de d dividendo ca y residuo ab b B) 2 E) 6
entonces a=4 b=2 c=5 d=6 luego d b ca Divisor
ab
Cociente
354 = divisor. cociente + 42 312= divisor. Cociente además divisor >42 divisor =52,104,78,156,312 hay 5 divisiones (tabla de divisores)
422. Calcular la cantidad total de números enteros los cuales al ser divididos entre 31, producen un resto triple que el cociente corresponde. A) 13 D) 11
B) 4 E) 12
C) 10
RESOLUCIÓN RPTA.: D
A) 1 D) 5
66667 100007 1 abcd7 100007 1 abcd00007 abcd7 ...24117
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
+
Expresando:
C) 4
RESOLUCIÓN abcd7.22227 ...31257 Multiplicando por 3. abcd7.22227 ...31257 ;
Sea “N” uno de dichos números: N= 31q + 3q N= 34q Además, sabemos: resto < divisor
3q 31
q 31 / 3 q 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9,10
Cantidad de valores =10
RPTA.: C 423. Si multiplicamos al número abc n0n (0 por = cero)
observamos que el producto total es **435 (cada asterisco representa una cifra). Dar como respuesta a + b + c; si además; a