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• Ricardo Herrera

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Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes. Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero: a) Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector. b) Vectores en R2 y R3: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial. c) Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices. d) Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales. e) Determinantes: Determinantes 3x3, algunas propiedades de los determinantes, inversas. Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 2 Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones. a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:

Fig 1. Representación gráfica de un vector. 𝑨 𝟏𝟐𝒊 + 𝟗𝒋 Representación rectangular a representación polar |𝑨| = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒚 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) 𝒙

|𝑨| = 𝟏𝟓 𝛼 = 36.86°

b) Dados los siguientes vectores en forma polar  |𝑢| = 2 ; 𝜃 = 120° 

|𝑣| = 3 ; 𝜃 = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes: ● 𝑣̅ − 𝑢̅ ● 5𝑣̅ − 2 𝑢̅ Representación polar a representación rectangular

|𝒖|; 𝜽 ⃗ = |𝒖| 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 𝒊 + |𝒖|𝒔𝒆𝒏(𝜽)𝒋 𝒖 ⃗ = 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟐𝟎°) 𝒊 + 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟐𝟎°)𝒋 𝒖 ⃗ = −𝒊 + √𝟑𝒋 𝒖

|𝒗|; 𝜽 ⃗ = |𝒗| 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 𝒊 + |𝒗|𝒔𝒆𝒏(𝜽)𝒋 𝒗 ⃗ = 𝟑 ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝟔𝟎) + 𝟑 ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝟔𝟎) 𝒗 𝟑 𝟑√𝟑 ⃗ = 𝒊+ 𝒗 𝒋 𝟐 𝟐

̅ ● 𝒗̅ − 𝒖 𝟑 𝟑√𝟑 𝒊+ 𝒋 − (−𝒊 + √𝟑𝒋) 𝟐 𝟐 𝟓 √𝟑 ⃗ −𝒖 ⃗ = 𝒊+ 𝒗 𝒋 𝟐 𝟐

⃗ −𝒖 ⃗ = 𝒗

̅−𝟐𝒖 ̅ ● 𝟓𝒗 𝟑 𝟑√𝟑 𝟏𝟓 𝟏𝟓√𝟑 ⃗ − 𝟐𝒖 ⃗ = 𝟓( 𝒊 + 𝟓𝒗 𝒋) − 𝟐(−𝒊 + √𝟑𝒋) = 𝒊+ 𝒋 + 𝟐𝒊 − 𝟐√𝟑𝒋 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

⃗ − 𝟐𝒖 ⃗ = 𝟓𝒗

𝟏𝟗 𝟏𝟏 𝒊+ √𝟑𝒋 𝟐 𝟐

c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: ● 𝑢̅= 2i + 9j y 𝑣̅ = -6i – 4j Ángulo

Producto punto

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =

𝒖∙𝒗 |𝒖||𝒗|

𝒖 ∙ 𝒗 = (𝟐 ∗ −𝟔) + (𝟗 ∗ −𝟒) = −𝟏𝟐 − 𝟑𝟔 = −𝟒𝟖

Magnitudes

|𝒖| = √𝟐𝟐 + 𝟗𝟐 = √𝟖𝟓 |𝒗| = √(−𝟔)𝟐 + (−𝟒)𝟐 = √𝟓𝟐

+ Solución

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =

−𝟒𝟖

= −𝟎. 𝟕𝟐𝟏𝟗𝟗 √𝟖𝟓 ∗ √𝟓𝟐 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 (−𝟎. 𝟕𝟐𝟏𝟗𝟗) 𝜽 = 𝟏𝟑𝟔. 𝟐𝟏𝟗°

d) Encuentre la distancia entre los puntos: ● (3,-4, 7) ; (3,-4,9) Formula

𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 )𝟐

Solución

𝒅 = √(𝟑 − 𝟑)𝟐 + (−𝟒 − (−𝟒))𝟐 + (𝟗 − 𝟕)𝟐 𝒅=𝟐

e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k Producto cruz

𝒊 𝒋 |−𝟕 𝟗 𝟗 𝟑

𝒌 −𝟖| −𝟖

Desarrollo Solución Producto punto

Solución

(𝟗)(−𝟖)𝒊 + (−𝟖)(𝟗)𝒋 + (−𝟕)(𝟑)𝒌 − (𝟑)(−𝟖)𝒊 − (−𝟖)(−𝟕)𝒋 − (𝟗)(𝟗)𝒌 −𝟕𝟐𝒊 − 𝟕𝟐𝒋 − 𝟐𝟏𝒌 + 𝟐𝟒𝒊 − 𝟓𝟔𝒋 − 𝟖𝟏𝒌 −𝟒𝟖𝒊 − 𝟏𝟐𝟖𝒋 − 𝟏𝟎𝟐𝒌 (−𝟕 ∗ 𝟗)(𝒊 ∗ 𝒊) + (𝟗 ∗ 𝟑)(𝒋 ∗ 𝒋) + (−𝟖 ∗ −𝟖)(𝒌 ∗ 𝒌)

−𝟔𝟑 + 𝟐𝟕 + 𝟔𝟒 𝒖. 𝒗 = 𝟐𝟖

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. SOLUCIÓN: Trayectoria 1

Trayectoria 2

Trayectoria 3

Trayectoria final

⃗ = |𝒗| 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 𝒊 + |𝒗|𝒔𝒆𝒏(𝜽)𝒋 𝒗 ⃗ = 𝟒. 𝟏𝟑 ∗ 𝐜𝐨𝐬(−𝟏𝟑𝟓) 𝒊 + 𝟒. 𝟏𝟑 𝒗 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟑𝟓°)𝒋 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟏 = −𝟐. 𝟗𝟐𝒊 − 𝟐. 𝟗𝟐𝒋 ⃗ = |𝒗| 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 𝒊 + |𝒗|𝒔𝒆𝒏(𝜽)𝒋 𝒗 ⃗ = 𝟓. 𝟐𝟔 ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝟎) 𝒊 + 𝟓. 𝟐𝟔𝒊 ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝟎) 𝒋 𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒗𝟐 = 𝟓. 𝟐𝟔𝒊 ⃗ = 𝟓. 𝟗𝟒 ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝟔𝟒) 𝒊 + 𝟓. 𝟗𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏(𝟔𝟒)𝒋 𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐. 𝟔𝟎𝒊 + 𝟓. 𝟑𝟒𝒋 𝒗𝟑 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒗𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒗𝟑 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝒗𝟏 𝑽 = −𝟐. 𝟗𝟐𝒊 − 𝟐. 𝟗𝟐𝒋 + 𝟓. 𝟐𝟔𝒊 + 𝟐. 𝟔𝟎𝒊 + 𝟓. 𝟑𝟒𝒋 ⃗𝑽 = 𝟒. 𝟗𝟒𝒊 + 𝟐. 𝟒𝟐𝒋

Componentes polares

Volver al punto de partida

|𝑽| = √𝟒. 𝟗𝟒𝟐 + 𝟐. 𝟒𝟐𝟐 |𝑽| = 𝟓. 𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 𝜶 = 𝟐𝟔. 𝟎𝟗𝟗𝟐° −𝟒. 𝟗𝟒𝒊 − 𝟐. 𝟒𝟐𝒋

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

Descripción del ejercicio 4 a) Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales:

2 1 4 A= (1 3 5) 5 −2 7 Compruebe sus respuestas en Geogebra 𝟐 (𝟏 𝟓 𝟐

𝟏 𝟒 𝟑 𝟓) −𝟐 𝟕

𝟏 𝟓 𝟎 𝟐 𝟗 𝟎 − 𝟐 (

9 𝐹3 = 𝐹2 + 𝐹3 5

𝟒 𝟑 𝟕

𝟏 𝑭𝟐 = − 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 𝟐 𝟓 𝑭𝟑 = − 𝑭𝟏 + 𝑭𝟑 𝟐

)

𝟐

𝟏 𝟒 𝟓 𝟎 𝟑 𝟐 𝟗 𝟎 − 𝟕 𝟐 ( ) 𝟐 𝟏 𝟒 𝟓 𝟎 𝟑 𝟐 𝟔𝟐 𝟎 𝟎 𝟓) (

b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarrus

A=

B=

Determinante de A

Determinante de B

Determinante de C

C=

−𝟓 𝟒 −𝟏 𝐃𝐞𝐭 𝑨 = −𝟐 ∗ |−𝟏𝟎 𝟎 𝟎 | 𝟎 𝟎 𝟔 −𝟏𝟎 𝟎 𝐃𝐞𝐭 𝑨 = −𝟐 ∗ (−𝟒) | | 𝟎 𝟔 𝐃𝐞𝐭 𝑨 = −𝟐 ∗ −𝟒 ∗ (−𝟏𝟎 ∗ 𝟔) 𝐃𝐞𝐭 𝑨 = −𝟒𝟖𝟎 1 0 3 1 4 0 3 𝐷𝑒𝑡 𝐵 = |0 1 4| = (1) | | + (2) | | 1 0 1 4 2 1 0 𝐷𝑒𝑡 𝐵 = (1)(−4) + (2)(−3) = −4 − 6 𝑫𝒆𝒕 𝑩 = −𝟏𝟎 7 9 −5 3 1 9 1 9 3 𝐷𝑒𝑡 𝐶 = | 9 | − (9) | | − (5) | | 3 1 | = (7) | −8 10 −8 10 −8 −8 −8 −8 10 𝐷𝑒𝑡 𝐶 = 7 ∗ (38) − 9(98) − 5(−48) 𝑫𝒆𝒕 𝑪 = −𝟑𝟕𝟔

Y realice las siguientes operaciones si es posible: a) B*C 𝑩∗𝑪 𝟏 (𝟎 𝟐

𝟎 𝟑 𝟕 𝟗 𝟏 𝟒) ( 𝟗 𝟑 𝟏 𝟎 −𝟖 −𝟖

−𝟓 𝟏) 𝟏𝟎

𝟏 𝟎 𝟑 𝟕 𝟗 −𝟓 (𝟎 𝟏 𝟒 ) ( 𝟗 𝟑 𝟏) 𝟐 𝟏 𝟎 −𝟖 −𝟖 𝟏𝟎 7 − 24 9 − 24 −5 + 30 (9 − 32 3 − 32 1 + 40 ) 14 + 9 18 + 3 −10 + 1

𝟕 − 𝟐𝟒 (𝟗 − 𝟑𝟐 𝟏𝟒 + 𝟗

b)

𝟗 − 𝟐𝟒 𝟑 − 𝟑𝟐 𝟏𝟖 + 𝟑

−𝟓 + 𝟑𝟎 𝟏 + 𝟒𝟎 ) −𝟏𝟎 + 𝟏

−𝟏𝟕 −𝟏𝟓 (−𝟐𝟑 −𝟐𝟗 𝟐𝟑 𝟐𝟏

𝟐𝟓 𝟒𝟏 ) −𝟗

DET(C)*DET(A)*B

𝟏 −𝟑𝟕𝟔 ∗ −𝟒𝟖𝟎 ∗ (𝟎 𝟐

𝟎 𝟑 𝟏 𝟒) 𝟏 𝟎

(

𝟏𝟖𝟎𝟒𝟖𝟎 𝟎 𝟓𝟒𝟏𝟒𝟒𝟎 𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟒𝟖𝟎 𝟕𝟐𝟏𝟗𝟐𝟎) 𝟑𝟔𝟎𝟗𝟔𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟒𝟖𝟎 𝟎

c) 3 * A −6 −30 3 ∗ 𝐴 = ( 0 −15 0 −30 0 0

21 0 12 −3) 0 0 0 18

d) Compruebe todas sus respuestas en Geogebra

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. 𝟒𝟎 (𝟏𝟔𝟎 𝟖𝟎

𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟖𝟎 ) ( 𝟖𝟎 ) 𝟏𝟐𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟎

𝟒𝟎 ∗ 𝟓𝟎 + 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟓𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟓𝟎 ( 𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟔𝟎 + 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟐𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟖𝟎 ) 𝟓𝟎 ∗ 𝟖𝟎 + 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟐𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟖𝟎

𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎 (𝟐𝟓𝟔𝟎𝟎) 𝟐𝟏𝟔𝟎𝟎

26,6 1000 ∗ (25,6) 21,6

Se requieren 26,6 Kg de queso manchego, 25,6 Kg de roquefort y 21,6 Kg de camembert.

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. 2 1 6 𝐴 = (2 2 4) 1 2 3 ● Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula Inversa de D - MÉTODO 1 OPERACIONES ELEMENTALES 𝟐 𝟏 𝟔 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝑭𝟑 ↔ 𝑭𝟏 (𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 ) (𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟔 𝐹2 → −2𝐹1 + 𝐹2 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 1 2 3 (𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 ) (0 −2 −2 𝐹3 → −2𝐹1 + 𝐹3 𝟐 𝟏 𝟔 𝟏 𝟎 𝟎 0 −3 0 𝐹2 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 1 2 3 0 𝐹2 → − (𝟎 −𝟐 −𝟐 𝟎 𝟏 −𝟐) (0 1 1 0 2 𝟎 −𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 −𝟐 0 −3 0 1

𝟎 𝟎 𝟏 0 0 1

𝟎 𝟏 𝟎 0 1 0 0 −1/2 0

𝟏 𝟎) 𝟎 1 −2) −2 1 1) −2

𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏

𝟏 𝟐 (𝟎 𝟏 𝟎 −𝟑 𝟏 (𝟎 𝟎 𝟏 (𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏/𝟑

𝟎 𝟏 −𝟏/𝟐 𝟏 ) 𝟎 −𝟐 𝟏 −𝟏/𝟐 −𝟑/𝟐 𝟏 −𝟏/𝟐 −𝟏/𝟐

𝐹1 → −2𝐹2 + 𝐹1 𝐹3 → 3𝐹2 + 𝐹3

−𝟏 𝟏) 𝟏

𝐹3 →

𝐹3 3

MATRIZ DE COFACTORES ADJUNTA

INVERSA

0 1 0 1 1 0 0 3 1

1 0 (0 1 0 0

𝐹1 → −𝐹3 + 𝐹1 −𝟏 1 0 𝟏 ) 𝐹2 → −𝐹3 + 𝐹2 (0 1 𝟏/𝟑 0 0 𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏/𝟑 𝟑/𝟐 𝟎 𝑨−𝟏 = (𝟎 𝟏 𝟎 −𝟏/𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏/𝟑 −𝟏/𝟐 𝟏 −𝟐 𝟗 −𝟖 −𝟏 𝑨 = (−𝟐 𝟎 𝟒 ) 𝟔 𝟐 −𝟑 𝟐

- METODO 2_ DETERMINANTES FORMULA 𝑨−𝟏 = DETERMINANTE

1 (0 0

2 1 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = |2 2 1 2

1 −1/2 −3/2

1 1 0 −1/2 1 0 1 1/3 −1/2 0 −1/3 0 −1/3 1 1/3 −𝟒/𝟑 𝟐/𝟑 ) 𝟏/𝟑

−1 1) 1 −1 1 ) 1/3

3/2 −4/3 0 2/3 ) −1/2 1/3

𝟏 ∗ 𝑨𝒅𝒋𝑨 𝑫𝒆𝒕𝑨

6 4| = (2)(6 − 8) − (1)(6 − 4) + (6)(4 − 2) 3 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = 2(−2) − (2) + 6(2) 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = −4 − 2 + 12 = 6

6 − 8 = −2 −(6 − 4) = −2 4−2=2 (−(3 − 12) = 9 6−6=0 −(4 − 1) = −3) 4 − 12 = −8 8 − 12 = −4 4−2=2 −2 9 −8 (−2 0 4 ) 2 −3 2 −𝟐 ( −𝟐 𝟔 𝟐 𝟏

𝟗 −𝟖 𝟎 𝟒 ) −𝟑 𝟐