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• Humberto Covilla

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ALGEBRA LINEAL

Unidad 2: Tarea 2 - Sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales

TRABAJO COLABORATIVO

CAMILO ANDRÉS COVILLA No. 1065.882.958 MAIRA CAMILA CLAROS No. YAMILETH PATRICIA CLAROS No.

ALGEBRA LINEAL -100408A_611

TUTOR RUBERNEY RAMOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL 2019

Introducción

Por otra parte, estas herramientas de aprendizaje se convierten en un referente muy valioso, que brindan un acompañamiento muy interesante en este tipo de educación autónomo. La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejercicios presentados en el Algebra Lineal, tales como Sistemas de Ecuaciones Lineales, a través de la utilización de los diferentes Sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales. En el siguiente documento se desarrollan métodos para para solución problemas planteados relacionados con sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos en R3, se resume el concepto de espacio vectorial mediante la presentación de un mapa conceptual. El dominio de los métodos para discutir y resolver sistema de ecuaciones lineales permite afrontar planteamientos y resolución de problemas diversos.

Descripción del ejercicio 1: Luego de haber estudiado los contenidos indicados, presente un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 2, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools o alguna otra similar que facilite su elaboración. Debe informar en el foro el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero. Los temas que pueden ser seleccionados son:

a) Qué es un sistema de ecuaciones lineales y a qué corresponden sus variables, coeficientes y valores independientes.

Camilo Andrés Covilla Pedrozo.

b) Cuáles son las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Dé ejemplos gráficos y clasifíquelas entre soluciones consistentes e inconsistentes.

c) Cuál es la diferencia entre los métodos de solución: reducción de Gauss-Jordan y eliminación gaussiana.

Yamileth Patricia Claros

d) Qué son rectas en R3, cuál es la estructura de sus ecuaciones verticales, paramétricas y simétricas, y qué parámetros se requieren para integrarlas. Qué papel juega el vector director en el establecimiento de las ecuaciones.

Maira Camila Claros

Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss–Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra. Se desea obtener un preparado semanal que cubra las necesidades mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas. Suponga que el preparado debe contener una mezcla de los productos A, B y C cuyos contenidos por onzas son los que se indican en la siguiente tabla:

Proteínas

Hidratos

Grasas

Producto A

2

1.5

0.5

Producto B

0.5

3

1.5

Producto C

1.5

2.2

0.5

Disponibilidad

0.5 lb

0.5 lb

0.5 lb

Entonces: 𝟎. 𝟓[𝐥𝐛] ∗

𝟏𝟔 𝐨𝐳 𝟏

[ 𝐥𝐛 ] = 𝟖 [𝐨𝐳]

Llamaremos las variables de la matriz de la siguiente forma: A= Cantidad de productos A, B=Cantidad de productos B y C=cantidad de productos C. Lo anterior puesto como ecuación sería: 2𝐴 + 0.5𝐵 + 1.5𝐶 = 8 1.5𝐴 + 3𝐵 + 2.2𝐶 = 8 0.5𝐴 + 1.5𝐵 + 0.5𝐶 = 8 Para solucionarlo con Gauss-Jordan hay que llevarlo a la forma matricial, es decir:

2 0.5 1.5 8 1 1 0.25 0.75 4 [1.5 3 2.2 ∶ 8] 𝑓1 → 𝑓1 ∗ [1.5 3 2.2 ∶ 8] 2 8 0.5 1.5 0.5 8 0.5 1.5 0.5

1 0.25 3 𝑓2 → − 𝑓1 + 𝑓2 [ 0 2.625 2 0.5 1.5 1 0.25 0.75 4 8𝑓2 1 [0 2.625 1.075 2] 𝑓2 → [0 21 0 1.375 0.125 6 0 1 0 [0 1 0 1.375

0.25 1 1.375

0.75 4 1 43/105 16/21] 𝑓1 → − 𝑓2 + 𝑓1 4 6 0.125

1 0 68/105 80/21 11 43/105 16/21] 𝑓3 → − 𝑓2 + 𝑓3 [0 1 8 0 0 6 0.125

𝑓3 → −

1 [0 0

0.75 4 1 1.075 2] 𝑓3 → − 𝑓1 + 𝑓3 2 0.5 8

1 0 105 𝑓3 [0 1 46 0 0

68/105 80/21 43/105 16/21 ] −46/105 −104/21

80/21 68/105 68 16/21 ] 𝑓1 → − 𝑓3 + 𝑓1 43/105 105 −260/23 1

256/23 0 0 1 43 16/21 ] 𝑓2 = − 𝑓3 + 𝑓2 [0 1 43/105 105 −260/23 0 0 1

0 0 256/23 1 0 124/23 ] 0 1 −260/23

De la matriz final se obtiene el siguiente resultado: 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 11.13 [𝑜𝑧] 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐵 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 5.39 [𝑜𝑧] 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐶 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 − 11.3 [𝑜𝑧]

Por medio de la herramienta geogebra y su comando “Escalonada Reducida( )” se

Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss–Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra. “Un virus ha destruido parte de la información de los datos de aprobación del curso de Álgebra Lineal (e-learning) del año 2018. Se ha logrado rescatar parte de la base de datos, sabiendo que el promedio de estudiantes del curso de Álgebra Lineal (e-learning) que entregaron y aprobaron las tareas 1, 2 y 3 del periodo 16-04 de ese año fue de 1.243 estudiantes. Se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 2 supera en 230 estudiantes al promedio de los que aprobaron la Tarea 1 y la Tarea 3. Así mismo, se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 3 es menor en 90 estudiantes al promedio de los estudiantes que aprobaron las Tareas 1 y 2. Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar.”

Solución. x + y + z = 1243 x − y + z = 230 x + y − z = −90 1 1 1 |1243| E 1 −1 1 |230| | 2 E3 1 1 −1 |−90|

− E1 | − E1

1 |1243| 1013 0 1 E1 − E2 0 | | 2 0 0 −2 |−1333| 1 1

1 1 1 |1243| 0 −2 0 |−1013| 0 0 −2 |−1333|

1473 1 | | 2 1013 0 1 0 | | 2 0 0 −2 |−1333|

E2 /−2

1 0

E3 /−2

1 0 1 0 1 0 0 0 1

1473 | | 2 1013 | | 2 1333 | | 2

1 0 0 1 0

E1 − E3

0 0 1

0

|70| 1013 | | 2 1333 | | 2

Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar. 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: X = 70 𝑌=

1013 2

𝑍=

1333 2

Ejercicio 4. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

a.

De la recta que pasa por los puntos P= (-3, 4,8) y Q= (2, 5,7).

Respuesta:

𝑃 = (−3,4,8); 𝑄 = (2,5,7)

El vector entre ellos es: 𝑣⃗ = (2 − (−3))𝑖̂ + (5 − 4)𝑗̂ + (7 − 8)𝑘̂ La ecuación vectorial es 𝑟⃗ = 𝑃⃗⃗ + 𝑡𝑣⃗

→

𝑣⃗ = 5𝑖̂ + 𝑗̂ + −𝑘̂

donde “v” representa la pendiente; que

reemplazando sería: 𝑟⃗ = (−3,4,8) + 𝑡(5,1, −1) En ecuaciones paramétricas se representa: 𝑟⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) Es decir; (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3,4,8) + 𝑡(5,1, −1) → (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3,4,8) + (5𝑡, 𝑡, −𝑡) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3 + 5𝑡, 4 + 𝑡, 8 − 𝑡)

Que en resumen se simplifican así: 𝑥 = −3 + 5𝑡

𝑦 =4+𝑡

𝑧 =8−𝑡

Las ecuaciones simétricas, se basan en hacer el despeje de “t” a partir de las ecuaciones paramétricas, como se muestra a continuación.

𝑡=

𝑥+3 5

𝑡 = 𝑦−4 𝑡 =8−𝑧 Como en todas se despejó t, se hacen ecuaciones iguales. 𝒙+𝟑 = 𝒚−𝟒=𝟖−𝒛 𝟓

b. De la recta que pasa por el punto R= (-5, 4,-3) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A= (-2, 4,6) y B= (1,-3,5).

𝑅 = (−5, 4, −3) → 𝐴 = (−2, 4, 6) 𝐵 = (1, −3, 5) 𝑉 = (𝐵 − 𝐴) = (1 − (−2), −3 − 4, 5 − 6) 𝑉 = (3, −7, −1) 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: L(t) = ⃗P⃗ + ⃗⃗⃗⃗ dt 𝐿(𝑡) = (−5, 4, −3) + 𝑡(3, −7, −1) 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝑋(𝑡) = −5 + 3𝑡 𝑌(𝑡) = 4 − 7𝑡 𝑍(𝑡) = −3 − 𝑡 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝑋+5 𝑌−4 𝑍+3 = = 3 −7 −1

c. De la recta que pasa por el punto S= (-9, 6,11) y cuyo vector director es V= (-2, 7,-6).

𝑆 = (−9, 6, 11)

𝑉 = (−2, 7, −6)

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: L(t) = ⃗P⃗ + ⃗⃗⃗⃗ dt 𝐿(𝑡) = (−9, 6, 11) + 𝑡(−2, 7, −6) 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝑋(𝑡) = −9 − 2𝑡 − 9 − 2𝑡 = 0 𝑌(𝑡) = 𝑏 + 7𝑡 − 2𝑡 = 9 9 𝑍(𝑡) = 11 − 𝑏𝑡 𝑡=− 2 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝑋 + 9 𝑌 − 6 𝑍 − 11 = = −2 7 −6

Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

a)

¿Son paralelos los siguientes planos 𝝅𝟏: 𝟑𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟏 y 𝝅𝟐: −𝟏𝟓𝒙 − 𝟒𝟎𝒚 + 𝟏𝟓𝒛 = −𝟓? Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos.

Para el inciso a Por definición dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, que es lo mismo que decir que uno es combinación lineal del otro, en relación con los planos que se tienen es:

𝜋1 =∝∗ 𝜋2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜋1 = (3, 8, −3) 𝑦 𝜋2 = (15, −40,15) 3 −15 [ 8 ] =∝∗ [−40] −3 15 Al despejar ∝ para cada coordenada se tendrá que alfa es el mismo valor, independiente de dónde se despeje, lo anterior hace que uno sea combinación lineal del otro, es decir, que sean paralelos. ∝= −3/15 1 ∝= −8/40 ; ∝= − 15 ∝= −3/15

b) ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A (-3, 7,9), B (2, 4,6) y C (2, 2,-1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. 𝐴 = (−3, 7, 9) 𝐵 = (2, 4, 6) 𝐶 = (2, 2, −1) (𝐵 − 𝐴) = (5, −3, −3) (𝐵 − 𝐶) = (0, 2, 7) ∩= (𝐵 − 𝐴) 𝑥 (𝐵 − 𝐶) 𝑖 ∩= (𝐵 − 𝐴) 𝑥 (𝐵 − 𝐶) = |5 0

𝑗 𝑘 −3 −3 5 −3 5 |−𝑗| |+𝑘| −3 −3| = 𝑖 | 2 7 0 7 0 2 7

= (−21 + 6)𝑖 − 35𝑗 + 10𝑘 = −15𝑖 − 35𝑗 + 10𝑘 ∩= (−15, −35, 10) ∩∙ (𝑋 − 𝑋0 , 𝑌 − 𝑌0 , 𝑍 − 𝑍0 ) = 0 → 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐. (−15, −35, 10)(𝑋 + 3, 𝑌 − 7, 𝑍 − 9) −15𝑋 − 45 − 35𝑌 + 245 + 10𝑍 − 90 = 0 (−15𝑋 − 35𝑌 + 10𝑍 = 45 − 245 + 90) ∙ (−1) 15𝑋 + 35𝑌 − 10𝑍 = 110 → 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟓. 3𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧 = 22 → 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐.

−3 | 2

Ejercicio 6. Sustentación de la actividad en video.

Camilo Andrés Covilla Pedrozo Link: https://www.loom.com/share/854440a7cef341859f6360d0a7722a6b

Conclusiones

Para el desarrollo de los ejercicios de espacios vectoriales fueron aplicadas herramientas de cálculo vectorial, y sus características se basan en que posee un valor en números, una dirección y van hacia un sentido. Tratar de enlazar los temas de la presente asignatura fue satisfactorio ya que así nos damos cuenta la importancia de esta materia, los valores y vectores propios, en este se necesita que se denomine casi todo este trabajo para poder entender y poder analizar este tema y que está muy relacionados. A lo largo del curso es más amplia la visión en cuanto el entendimiento y la relación existente sobre nuestro desarrollo académico, rescatando ciertos enfoques matemáticos que nos ayudan al fortalecimiento profesional. La solución de cada uno de los ejercicios planteados en la guía de actividades permitió el reconocimiento de las temáticas relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales rectas y planos en el espacio, y así dinamizar el aprendizaje a través de la interacción en el trabajo en equipo.

Bibliografías.

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