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ÁLGEBRA – EJERCICIOS CAPITULO 1 En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3. a). ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? b). ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio? n(U) = 100 n(E ∩ A ∩ F)=3 n(A ∩ F)=5 n(E ∩ F)=10 n(E ∩ A)=8 n(F)=42 n(A)=30 n(E)=28

E

A

5

13

20

3

7

U

2 20

30 F

n(E ∪ A ∪ F) = n(E)+ n(A)+ n(F) – n(E ∩ A) – n(E ∩ F) – n(A ∩ F) + n(E ∩ A ∩ F) = 28+30+42–8–10–5+3=80 a). No estudian idiomas = n(U) – n(E ∪ A ∪ F) = 100 – 80 = 20 b). Sólo francés 30 Cierto número de tarjetas rojas, blancas y azules es repartido entre 100 personas de las cuales 5 no reciben ninguna tarjeta, 45 personas reciben rojas, 45 reciben blancas, 60 reciben azules, 15 personas reciben rojas y blancas, 25 reciben tarjetas blancas y azules, 20 personas reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores. a). Cuántas personas reciben una tarjeta. b). Cuántas personas reciben dos tarjetas. c). Cuántas personas reciben una tarjeta blanca pero no azul. n(R)=45 n(B)=45 n(A)=60 n(R ∩ B)=15 n(B ∩ A)=25 n(R ∩ A)=20 n(R ∩ B ∩ A)=5

R

B 10

15 15

5

U

10 20

20

5

A a). 15+10+20 = 45 personas reciben una tarjeta. b). 10+20+15 = 45 personas reciben dos tarjetas. c). 10+10 = 20 personas reciben una tarjeta blanca pero no azul.

Hay 15 veteranos de los cuales 10 son muchachos; 15 muchachos que no son veteranos; 30 mujeres, a) cuántos estudiantes hay en la clase, b) cuántas mujeres no son veteranas. m

V

M

5

15 10

25

a). Los estudiantes que están en clase: 55 b). Las mujeres que no son veteranas: 25

Un curso de 40 alumnos tienen que optar por tres especialidades Matemáticas, Física y Química, seis alumnos quieren solo Química, 4 alumnos eligen Química y Física, el número de alumnos que escogen sólo física es la mitad de los que eligen matemáticas y es el doble de los que eligen matemática y química, no hay ningún alumno que escoge matemáticas y física. a) Cuántos alumnos eligen química. b) Cuántos eligen matemáticas. c) Cuántos eligen sólo física y d) cuántos eligen sólo física y química. n(U) = 40 n(solo Q) = 6 n(Q ∩ F) = 4 n(solo F) = n(M)/2 n(solo F) = 2*n(M ∩ Q) ⇒ n(M ∩ Q)= n(F)/2 n(M ∩ F)=0 ⇒ M y F disjuntos n(M)=x

M=x 3x 4

Q

F

6

x 4

4

x 2

3x/4 + x/4 + 10 + x/2 = 40 x 3x + x + 40 + 2x = 160 a). 15 alumnos eligen química. b). 20 alumnos eligen matemáticas. c). 10 alumnos eligen sólo física. d). 4 alumnos eligen sólo física y química. Entre un grupo de 105 Ingenieros civiles reunidos en un seminario de perfeccionamiento, conversan acerca de 3 métodos de diseño de estructuras: los métodos son A, B y C. De esta conversación se llega a las siguientes conclusiones: 60 ingenieros aplican el método A, 40 aplican el B, y 55 el C; 15 ingenieros aplican tanto el A como el B, 20 el B y el C y 25 el A y el C. Si todos los ingenieros saben aplicar al menos uno de los tres métodos, determine 1) cuántos profesionales de la ingeniería aplican los 3 métodos, 2) cuántos aplican únicamente el método A, 3) cuántos sólo el B. 4) Cuántos sólo el C. 5) Cuántos aplican únicamente 2 métodos. Datos

U= 105 n(A)=60 n(B)=40 n(C)=55 n(A ∩ B)=15 n(B ∩ C)=20 n(A ∩ C)=25 n(A ∪ B ∪ C)=105

n(A ∪ B ∪ C)= n(A)+ n(B)+ n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) 1. n(A ∩ B ∩ C) = n(A ∪ B ∪ C) – n(A) – n(B) – n(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C) n(A ∩ B ∩ C) = 105 – 60 – 40 – 55 + 15 + 20 +25 n(A ∩ B ∩ C) = 10 A B 2. 5 30 15 15

20 C

1) 10 aplican los 3 métodos 2) 30 aplican únicamente el método A, 3) 15 aplican sólo el B. 4) 20 aplican sólo el C. 5) 5 + 15 + 10 = 30 aplican únicamente 2 métodos.

10

10 U

En una encuesta realizada a 340 estudiantes del curso preuniversitario, se llegó a establecer 3 categorías de alumnos: astutos, charlatanes e ingenuos. Se conoce que 50 alumnos son astutos y charlatanes. Los ingenuos exceden en 60 a los astutos. Los charlatanes exceden en 50 a los astutos, 80 estudiantes sólo son ingenuos. Establezca 1) cuántos estudiantes son sólo astutos, 2) cuántos son charlatanes, 3) cuántos son ingenuos y charlatanes. Datos: n(U)= 340 n(A ∩ C) = 50 n(I) = n(A) + 60 n(C) = n(A) + 50 340 – n(A ∪ C) = 80 = sólo I 1. 340 - n(A ∪ C) = 80 340 - n(A) - n(C) + n(A ∩ C)= 80 340 - n(A) - n(A) - 50 + n(A ∩ C)= 80 340 - 2n(A) - 50 + 50= 80 - 2n(A) = -260 n(A) = 130

A 80

C 110

50

I 80

20

n(I) = n(A) + 60 = 130 + 60 = 190 n(C) = n(A) + 50 = 130 + 50 = 180 2.

A z

C 50 y

x

80 + x = z +50 + 60 (1) x – z = 30

I

x + y + 50 = 50 +z +50 (2) x + y – z = 50

80

x + y + z + 130 = 340 (3) x + y + z = 210 y + 30 = 50 y = 20

x + z = 210 – 20 = 190 x + z = 190 x – z = 30 2x = 220

-z = 30 – 110 z = 80

A 80

x = 110 C

110

50 20

I 80

1). 80 2). 180 3). 110

1). 80 2). 180 3). 110

En una encuesta realizada a 154 personas, se obtuvieron las siguientes informaciones: 6 personas cenan y desayunan pero no almuerzan 5 personas desayunan y almuerzan solamente 8 personas almuerzan solamente Él número de personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de las que sólo desayunan y el triple de las que solo cenan, nadie declara almorzar y cenar solamente. ¿Cuántas personas cenan por lo menos?

A

n(C) = 6X + 6 + 2X + 0

C 0

8 5

6X X

2X

n(U) = 154 = 6X + 6 + 2X + 0 + 8 + 5 + x

6 D

⇒ 9X + 19 = 154 ⇒ 9X=135 ⇒ X = 15

U

Una empresa de cosméticos ha lanzado al mercado dos productos A y B. De los cuales pasado un mes, ha contratado una empresa encuestadora para determinar la preferencia sobre sus productos A y B. Se selecciona a 100 personas entre señoritas y señoras para dar su preferencia sobre los productos mencionados, obteniéndose los siguientes resultados:  60 de ellos prefieren el producto A  50 de ellos gustan del producto B  Además 20 prefieren sólo el producto A ¿Cuál de los productos tuvo más impacto en las damas y cuántas de ellas no prefieren ninguno de los productos lanzados al mercado?