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EJERCICIOS RESULETOS DE TEORIA DE GRUPO JoeDoe Date

1 Abstract

Chapter 1

TEORIA DE GRUPO DE CAICEDO UNIDAD 1: TEORIA DE GRUPO 1. Considerese el conjunto Z de los numeros enteros con sus dos operaciones usuales de adicion (+) y multiplicacion (.). (a) Si se dene a ∗ b = a + b − ab, para a, b ∈ Z. (Z, ∗) es cerrado ya que si a, b ∈ Z, entonces a + b − ab ∈ Z, por ser Z cerrado, asi a ∗ b ∈ (Z, ∗) (b) Verique que ∗ es una ley de composicion interna asociativa y conmutativa y que existe e ∈ Z, tal qeu a ∗ e = e ∗ a = a para todo a en Z ¾Quien es e? ¾Es (Z, ∗) un grupo? Si a, b, c ∈ (Z, ∗), entonces a ∗ (b ∗ c) = a + (b ∗ c) − a(b ∗ c) = a + (b + c − bc) − a(b + c − bc) = a + b + c − bc − ab − ac + bca = (a + b − ab) + c − c(b + a − ba) = a ∗ b + c − (a ∗ b)c = (a ∗ b) ∗ c, entonces ∗ es distributiva. Ademas, es conmutativa ya que a ∗ b = a + b − ab = b + a − ba = b ∗ a.

Con respecto al elemento neutro, este debe cumplir que para todo a ∈ (Z, ∗), a ∗ e = a + e − ae = a, de aqui tenemos que e(1 − a) = 0, entonces e = 0 o a = 1, de esta forma e = o. Por ultimo para que (Z, ∗), sea un grupo, para todo elemento a ∈ (Z, ∗), debe existir el inverso b tal que, a ∗ b = e. a a∗b = a+b−ab = e = 0, luego a+b(1−a) = 0, por lo tanto b = a−1 , luego como no se cumple para a = 1, entonces (Z, ∗), no cumple con esta condicion, por lo tanto no es un grupo. (c) Demuestre que 0 y 2 son los unicos elementos inversibles con respecto al elemento e determinado en b) en (Z, ∗). Por denicion un elemento a ∈ (Z, ∗) es invertible si a ∗ a = e. 2

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Luego a ∗ a = a + a − aa = 2a − a2 = a(2 − a) = e = 0, asi que los unicos elementos de Z que cumplen con esta condicion son a = 0 o a = 2. (d) ¾Es ∗ distributiva con respecto a +? ¾Es distributiva con respecto a .? ¾Es . distributivo con respecto a ∗? Sea a, b, c ∈ (Z, ∗), luego a ∗ (b + c) = a + (b + c) − a(b + c) = a + b + c − ab − ac = a + b − ab + c − ac = a ∗ b + c − ac, por lo tanto ∗no es distributiva con respecto a +. Analizemos que ocurre con respecto a ., a ∗ (b.c) = a + bc − abc, inmediatamente podemos armar que ∗no es distributiva con respecto a .. Por ultimo, a.(b ∗ c) = a.(b + c − bc) = ab + ac − abc 6= ab + ac + abac = ab ∗ ac, por lo tanto . no es distributivo con respecto a ∗. (e) ¾Posee (Z, ∗) cancelativa a derecha? ¾A izquierda? Veamos que para todo a, b, c ∈ (Z, ∗), si a ∗ c = a ∗ b, entonces c = b. c = (a + c − ac) − a + ac = (a ∗ c) − a + ac = (a ∗ b) − a + ac = (a + b − ab) − a + ac = b − ab − a + ac, luego no es cancelativa a

la derecha, analogamente se obtiene el otro resultado, por lo cual tampoco es cancelativa a la izquierda.

2. Este ejercicio es analogo al anterior cambiando Z por Q el conjunto de los numeros racionales, si denimos en Q, a∗b = a+b−ab. ¾Que subconjuntos S de Q son tales que (S, ∗) es un grupo? Por el ejercicio anterior enciso a), en (Q, ∗) no todo elemento tiene elemento inverso por lo tanto no es un grupo, ya que los elementos inversos a , para todo a ∈ (Q, ∗), por lo tanto tendrian la siguiente forma b = a−1 el subconjunto (S, ∗) = (Q − {1}, ∗), si es un grupo ya que todo elemento tendria inverso. 3. Sea (G, .) un grupo, a, b ∈ G y sea a−1 ba = c. Demuestre que: (a) a−1 b−1 a = c−1 .

c−1 = (a−1 ba)−1 = (a−1 (ba))−1 = (ba)−1 (a−1 )−1 = a−1 b−1 a.

(b) a−1 bn a = cn = (a−1 ba)n para todo n entero. Por hipotesis de induccion, supongamoslo valido para n ∈ Z, veamos que se cumple para n + 1 ∈ Z. Esto es, por hipotesis de induccion, a−1 bn a = cn = (a−1 ba)n , ∀n ∈ Z. cn+1 = cn c = a−1 bn ac = a−1 bn aa−1 ba = a−1 bn ba = a−1 bn+1 a, ademas, cn+1 = cn c = (a−1 ba)n (a−1 ba) = (a−1 ba)n+1 . Esto aplica para los enteros positivos, por teorema 1,9, inciso 3, es valido para los enteros negativos. (c) Si a−1 ba = b entonces a−n ban = b para todo n entero. Por hipotesis de induccion, supongamoslo valido para n ∈ Z, veamos que se cumple para n + 1 ∈ Z.

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Esto es, por hipotesis de induccion, si a−n ban = b,entonces a−(n+1) ban+1 = b, ∀n ∈ Z. b = a−n ban = a−n a−1 baan = a−(n+1) ban+1 .

Esto aplica para los enteros positivos, por teorema 1,9, inciso 3, es valido para los enteros negativos. (d) a−1 ba = b si y solo si (ab)2 = a2 b2 . Si a−1 ba = b, entonces veamos que (ab)2 = a2 b2 . (ab)2 = abab = aebab = aa(a−1 ba)b = a2 bb = a2 b2 . Ahora si (ab)2 = a2 b2 , entonces veamos que a−1 ba = b. a−1 ba = a−1 eba = a−1 b−1 bba = (ba)−1 bbae = (ba)−1 b2 aaa−1 = (ba)−1 b2 a2 a−1 = (ba)−1 (ba)2 a−1 = baa−1 = b.

4. Sea (G, .) un grupo, se considera el conjunto S = {a, a2 , . . . , an , . . . | n ∈ N}.

(a) Demuestre que si S es nito, existe dos enteros m y n, m > n tales que an = am , si se escoge como el minimo entero positivo en la relacion procedente, muestre que S = {a, a2 , . . . , an−1 }. (b) Supongase que (G, .)es un grupo nito, demuestre que si a ∈ G, existe un entero positivo minimo m = m(a), tal que am = e (e es el elemento neutro de G). (c) Demuestre que si (G, .) es nito, existe un n entero positivo, tal que an = e para todo a en G. 5. Sea (G, .) un grupo, en el cual a2 = e para todo a en G; demuestre que (G, .) es abeliano. ab = aeb = a(ab)2 b = aababb = a2 bab2 = ebae = ba. 6. Si (G, .) es un grupo en el cual (ab)2 = (ba)2 para todo a, b en G, y si ademas a2 = e implica que a = e, entonces G es abeliano. [sugerencias: a2 = (ab−1 b)2 = [(ab−1 )b]2 = ba2 b−1 , o sea a2 b = ba2 , luego b−1 (a−1 )2 = (a−1 )2 b−1 ; de esto demuestre que a−1 b−1 a = ab−1 a−1 , b−1 a−1 b = ba−1 b−1 .

Si c = aba−1 b−1 , demuestre que c2 = e.