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Índice 1.-Ecuaciones cuadráticas. 1.1 Concepto 1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas 1.3 Ecuaciones cuadráticas completas 1.4 Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas 1.5 Síntesis del tema

2.- Desigualdades  2.1 Concepto  2.2 Propiedades de las desigualdades  2.3 Desigualdades absolutas y condiciónales  2.4 Solución de desigualdades o inecuaciones  2.5 Síntesis del tema

En este proyecto sabrás acerca de las ecuaciones cuadráticas, sus distintas formas de resolverlas, ecuaciones cuadráticas completas y al final de estos temas encontraras un resumen de todo el 1° tema.

Nuestro segundo tema desigualdades en este tema encontraras el concepto, propiedades de la desigualdad, desigualdades absolutas y condicionales, solución de desigualdades o inecuaciones, y al final de la misma manera encontraras una síntesis del tema y de unos tutoriales seleccionados con atención para que sea de gran ayuda para el lector.

1.- ECUACIONES CUADRTICAS 1.1 Concepto: Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo. 3x - 8 = 10 Sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo) Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos.

1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas ¿Qué son las ecuaciones cuadráticas incompletas? Se llama ecuaciones incompletas de segundo grado o cuadráticas, cuando la ecuación carece del término en x o el término independiente, y se clasifican en ecuaciones cuadráticas incompletas puras (de la forma; ax2 + c = 0) y mixtas (de la forma ax2 + bx = 0), respectivamente. ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas puras? Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma ax2 + c = 0, deberás despejar la incógnita. Para esto pasamos c al 2° miembro, luego ay por último el cuadrado de x, como se muestra a continuación;

Entonces, las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática incompleta pura son;

- Si a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa, y si tienen signo distinto las raíces son reales. - También, se puede llegar al mismo resultado aplicando la fórmula general de la ecuación cuadrática completa, teniendo presente que b = 0, o sea, el término bx es nulo, donde tenemos que;

Fórmula General;

Si quitamos b, nos quedaría;

Ejemplos: a) Resolver la ecuación 7x2 + 14 = 0. Remplazamos los datos en la fórmula;

Respuesta: Las raíces de la ecuación son

. Las dos raíces son imaginarias

b) Resolver la ecuación (2x - 3) (2x + 3) - 135 = 0. Primero resolvemos la ecuación, como hay un producto notable (suma por su diferencia) aplicamos la fórmula (a + (a – b) = a2 – b2;

Ahora, reemplazamos en la fórmula;

Respuesta: Las raíces son 6 y -6, las dos raíces son reales y racionales.

¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas? Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas de la forma ax2 + bx = 0, deberás factorizar la ecuación por x. Donde se tiene que;

Igualando a cero ambos factores:

Recuerda que esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero.

En las ecuaciones incompletas mixtas, siempre una raíz es cero, y la otra es el coeficiente del término en x con el signo cambiado partido por el coeficiente del término en x2.

También, se puede llegar al mismo resultado aplicando la fórmula general de la ecuación cuadrática completa, teniendo presente que c = 0, o sea, el término independiente c es nulo, donde tenemos que; La fórmula general es;

Si quitamos c, nos quedaría;

Y de aquí obtenemos;

Ejemplos: a) Resolver la ecuación 4x2 = - 32x Ordenamos la ecuación;

Reemplazamos en la fórmula;

Respuesta: Las raíces son 0 y - 8.

b) Resolver la ecuación

Para resolver la ecuación hay que quitar los denominadores, para lo cual, tenemos que sacar el mínimo común múltiplo entre 3, 6 y 2, que es 6, y después transponemos los términos para igualar a 0;

Reemplazamos en la fórmula;

1.3 ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos 1.

2.

3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

1.4 Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas. Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 La condición de que a es un número diferente de cero en 2 la definición asegura que exista el término x en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadrátic as. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que seva a resolver. En este curso estudiaremo s los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadr ado y la fórmula cuadrática.

Factorización: Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se ig uala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por f actorización: 1) x2 - 4x = 0 2) x2 - 4x = 12 3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorizaci ón porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemo s que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada: Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real 2 la ecuación x = k es equivalente a :

k,

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada: 1) x2 - 9 = 0 2) 2x2 - 1 = 0 3) (x - 3)2 = -8

Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ? Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadra do perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un t rinomio cuadrado perfecto a

un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cu adrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0

Fórmula cuadrática: La solución de una ecuación ax2 + bx + cero está dada por la fórmula cuadrática:

c con a diferente de

La expresión:

Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del nú mero de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de: Tipo de solución positivo cero negativo

dos soluciones reales una solución real dos soluciones imaginarias

1.5 Síntesis del tema ¿Qué es una ecuación? Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Ejemplo. 3x - 8 = 10

sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos. Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de cumplen con la expresión, si es que existen.

. que

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación). Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta"). Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los

primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero). Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real"). El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones: Si es menor que los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo. Si es mayor que reales.

obtendremos dos valores distintos de X

Y si es igual que iguales.

obtendremos dos valores de X reales e

Al término

se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²6x+9

2.- Desigualdades  2.1 concepto Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: ≠ no es igual


mayor que

≤

menor o igual que

≥

mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: 5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: –9 < 0 ; porque –9 –0 = –9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo: –10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20 Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación. Por ejemplo: X+33

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a 16 − 2 x > 14 2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo: a 0) (c es positivo, mayor que cero)

a•cb

/ • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a•c>b•c Ejemplo 3 ≤ 5 • x / :5 3/5 ≤ x

esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo: ab•c a>b

/ • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a•c Mayor que ≤ Menor o igual que ≥ Mayor o igual que Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo: x + 3 (La punta del signo

 2.3 Desigualdades absolutas y condicionales Desigualdad absoluta: es aquella que se verid¡fica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Ejemplo: a²+3>a

Desigualdad condicional: es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Ejemplo: 2x-8>0, que solamente satisface para x>4. aquí se dice que 4 es el límite de x. Nota: las desigualdades condicionales se llaman entonces inecuaciones. Teoremas a) Axioma de tricotomía: Dados números reales a y b, Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a b , a = b b) Axioma de la adición: Si se suman dos desigualdades del mismo sentido, el sentido de la desigualdad resultante no se altera. a < b =""> a + c c) Axioma de la multiplicación: Si se multiplican ambos miembros de una desigualdad por el

mismo número positivo, el sentido de la desigualdad resultante no se altera. a 0 ⇒ ac d) Axioma de la transitividad: Si un número es menor que otro y este es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero. Intervalos Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos números dados: a y b que se denominan extremos del intervalo; también se llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b. los intervalos según sus características topológicas se clasifican en: abiertos, cerrados, semi-abiertos y semi-cerrado. Intervalo abierto: la solución no incluye los extremos y se representa con el signo de paréntesis en ambos lados que indica la exclusión de los límites (a, b) y significa a x b y que a su vez se representa con círculos sin rellenos en la recta numérica. Intervalo cerrado: la solución si incluye los extremos y se representa con el signo de corchetes en ambos lados indica la inclusión de los limites [a,b]y significa que a≤x≤b y se representa con círculos rellenos en la recta numérica. Intervalo semi-abierto: indica que por el lado izquierdo es abierto y por el derecho cerrado lo cual quiere decir que aIntervalo semi-cerrado: indica que por el lado derecho es abierto y por el izquierdo cerrado, quiere decir que a≤x

 2.4 Solución de desigualdades o inecuaciones Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias. En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación. Ejemplos.

· Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9. · Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1 · Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30 · Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30

En los diferentes ejemplos se observa que: · Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene

· Al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene · La multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,

· La multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera: · Si a < b entonces a + c < b + c · Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c · Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c. Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera. Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada. Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.

Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5. Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solución. · se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4) 2x < 1 · se multiplican ambos miembros por {short description of image}: x < {short description of image} La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que {short description of image}. Por lo tanto, el conjunto solución es S = {short description of image}. Gráficamente:

Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3. La solución se obtiene de la siguiente manera:

· Se suma - 8 a ambos miembros:

- 5x + 8 + (- 8) ³ 3 + (- 8) - 5x ³ - 5

· se multiplican ambos miembros por . Como el número es negativo se invierte el sentido de la desigualdad: {short description of image}.(- 5x) £ {short description of image}.(- 5) Þ x£1 Gráficamente: El conjunto solución es S = {x / x £ 1}



2.5 Síntesis del tema

Cuando se utilicen los símbolos menor que o mayor que entre dos o mas expresiones lineales para una desigualdad lineal o inecuación. El nuero o expresión una debe ser mayor que otro. Ejemplo: el número o expresión del lado izquierdo debe ser menor que el del lado derecho en el símbolo menor y el símbolo mayor el del lado izquierdo debe ser mayor que el del lado derecho. Si el símbolo menor o mayor tiene una línea abajo digamos que quiere decir igual.

Gracias a esta investigación ahora podemos saber mas a afondo acerca de las ecuaciones cuál es su fórmula sus distintas soluciones podemos resaberlas ahora con facilidad. En tema de desigualdades de la misma manera podemos ya resolver las desigualdades con facilidad y podemos leer este proyecto y después resolver los ejercicios, hacía es más fácil estos proyectos nos sirven para tener un mejor desempeño.

Bibliografía https://www.youtube.com/watc h?v=xmzG2xR-oBI https://www.youtube.com/watc h?v=dXakJkBRpqM https://www.youtube.com/watc h?v=6d9apezApqs