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Módulo de Matemática PNC Programa de Nivelación Competencial 2018-II Chiclayo, agosto de 2018 Contenido 3 SESIÓN 1...
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- Alejandro León
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Módulo de Matemática PNC Programa de Nivelación Competencial 2018-II Chiclayo, agosto de 2018
Contenido 3
SESIÓN 1...........................................................................................................................................................5 Los Números Reales................................................................................................................................5 SESIÓN 2...........................................................................................................................................................9 Polinomios-Operaciones.........................................................................................................................9 Clasificación De Las Expresiones Algebraicas..............................................................................10 Adición y Sustracción de Monomios.................................................................................................10 Multiplicación de Monomios................................................................................................................11 Multiplicación de Polinomios...............................................................................................................12 División de Polinomios..........................................................................................................................12 Métodos de División...............................................................................................................................13 SESIÓN 3.........................................................................................................................................................18 Factorización............................................................................................................................................18 Métodos de Factorización.....................................................................................................................19 SESIÓN 4.........................................................................................................................................................26 Ecuaciones Lineales y Cuadráticas...................................................................................................26 SESIÓN 5.........................................................................................................................................................33 Sistemas de Ecuaciones Lineales......................................................................................................33 Sistema de Primer Grado con Dos Variables..................................................................................34 Resolución de sistemas de primer grado.........................................................................................37 SISTEMA DE PRIMER GRADO CON TRES VARIABLES...............................................................39 SESIÓN 6.........................................................................................................................................................44 Intervalos...................................................................................................................................................44 Inecuaciones............................................................................................................................................46 Inecuaciones de Segundo Grado......................................................................................................50 SESIÓN 7.........................................................................................................................................................56 Relaciones Binarias................................................................................................................................56 SESIÓN 8.........................................................................................................................................................63 Funciones: Lineal, Constante, Identidad, Raiz Cuadrada, Valor Absoluto..............................63 SESIÓN 9.........................................................................................................................................................86 Función Cuadrática................................................................................................................................86 SESIÓN 10.......................................................................................................................................................94 Aplicación de las Funciones................................................................................................................94 3
SESIÓN 1
Los Números Reales 3
El conjunto de los números reales R resulta de la unión de los números racionales Q y los irracionales I. RACIONALES IRRACIONALES = REALES Ejemplos: Los siguientes números son reales:
Con los números reales podemos formar distintos conjuntos; tres disjuntos son el de los reales positivos R+, el de los reales negativos R - y el 0. Otros subconjuntos son R y que considera, respectivamente, a los reales positivos y el cero, y a los reales negativos y el cero, o el conjunto R* que considera a los reales menos 0. La recta real La recta en la que representamos los números reales recibe el nombre de recta real. En ella asociamos el cero a un punto y de allí representamos a la derecha del cero los números reales positivos
R
(semieje positivo) y a la izquierda del cero los números
reales negativos R- (semieje negativo) Al número asociado a un punto de la recta se le llama coordenada de dicho punto.
Relación de orden mayor que () y menor que () Mayor que (): decimos que x es mayor que y, lo que denotamos x y, cuando x – y R+ Ejemplo: 8 5 ya que 8 – 5 = 3 R+ 3 -1 ya que 3 – -1 = 4 R+ Mayor o igual que (): decimos que x es mayor o igual que y lo que denotamos x y, si y sólo si x es mayor que y o x es igual a y. Menor que (): decimos que x es menor que y, lo que denotamos x y, si y sólo si x – y R3
Ejemplo: 5 8 ya que 5 – 8 = 3 R-3 -1 ya que 3 – -1 = -2 RMenor que (): decimos que x es menor o igual que y lo que denotamos x y, si y sólo si x es mayor que y o x es igual a y. Tricotomía; dado dios números reales x e y se cumple una y sólo una de las siguientes relaciones: x es menor que y, x es igual a y o x es mayor que y. Antisimétrica: si un número x es menor o igual que un número y, y éste es menor o igual que x, entonces x es igual a y. Transitiva: si un número x es menor que el número y, y esté es menor que el número z, entonces x es menor que z.
PRACTIQUEMOS 1. Coloca V o F entre el paréntesis según las proposiciones sean verdaderas o falsas, respectivamente. a. R = Q I ( b. R = R+ R- ( c. R R+ = R+ ( ) d. R+ R- = ( e. R+ 0 = 0 f. R - R+= R-
) ) ) ( (
) )
2. Subraya la alternativa que complete y haga verdadera la proposición. En la recta real. a. Existe puntos sin coordenada b. Sólo se pueden representar números enteros y racionales c.Todos los puntos tienen coordenada real. d. El cero pertenece al semieje positivo e. No es posible representar raíces f. A un punto le pueden corresponder dos números 3
g.
Un número positivo siempre es menor que uno negativo.
3.
Escribe entre los paréntesis la letra correspondiente.
a. b. X y c. d. x Re. f. X – y R+
g. h. x Y
i. j. x o
( )
No es un número real.
( )
X R+ 0
( )
Es un número racional positivo
( )
Xyóx=y
( )
Es un número entero negativo
( )
X – y R-
( )
Es un número irracional
( )
X R-
( )
Es igual a 1
( )
Y>x
4.
En una misma recta grafica los puntos correspondientes a los siguientes números.
5.
Gráfica los puntos y coloca V o F entre los paréntesis según la proporción sea
verdadera o falsa a. 1 -2 b. c. d. a b a b o b a e. x 1 1 – x R6.
( ( ( ( (
) ) ) ) )
Que relación hay entre la propiedad de tricotomía y la de R = R + R- 0, en donde
R+, R- y 0, son disjuntos dos a dos 7.
Subraya las proposiciones equivalentes 3
a. X 0 b. X es negativo c.X o d. El punto asociado a x pertenece al semieje negativo. 8. Completa aplicando la definición y las propiedades de la relación menor o igual a. x 3 y 3 x x = b. x -7 ó x = -7 x c.-5 z y z x x d. 4 n 4 ó 4 = n 9. Aplica la propiedad transitiva y halla el valor de x a. x = m y m = 5,2 b. x = r y r = 0,333… c.x = t y t = 2 d. x = a, a = y b = e. x = b y b c
SESIÓN 2
Polinomios-Operaciones El Álgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente. Para su mejor comprensión es necesario conocer los conceptos básicos como: constante, variable y término algebraico; de esta manera los temas que continúan se harán más entendibles y familiares. 1.
CONSTANTE: Es todo aquello que no cambia de valor.
2.
VARIABLE: Todo aquello que cambia de valor o que no es constante
3. TÉRMINO ALGEBRAICO: Es aquella expresión algebraica en la que no se enlaza a las variables mediante la adición y la sustracción, presenta dos partes que con el coeficiente y la parte literal (parte variable) Ejemplo:
3
4.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Se llaman términos semejantes de una expresión algebraica a aquellos que tienen la misma parte literal, esto es; las mismas letras con los mismos exponentes. Difieren, entre sí en los coeficientes. Ejemplos: 3xyz2; - 3xzy2; –6xyz2
Son términos semejantes
2a2b; –3a2b; 7a2b; –a2b
Son términos semejantes
np3; np3, –np3
Son términos semejantes
–3a3b; 6ab3
No Son términos semejantes
Clasificación De Las Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican en Monomios y Polinomios. I)
Monomios: Es la expresión algebraica que consta de un solo término. 3x ; 7 x 2 y ; xy 3 ; 0 ; 7ab ; x 2 yz3 Ejemplos:
II)
Polinomios: Es la expresión algebraica de dos o más términos. Ejemplos: 4x 3y ; 5x 2 3y xy ; 3x´5y 3x 6 Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos. Son binomios: 3x 2 y ; 8x 2 y y ; 2x 3 ; 5x 2 6 Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos Son trinomios: 3x 2 7 x z ; 2a 2 3ab b 2 ; 7 x 3 2x 2 6
Adición y Sustracción de Monomios 3
Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados. Ejemplos: Sumar: a)
3xy2 + 7xy2 – 2xy2 = (3 + 7 – 2)xy2 = 8xy2
b)
5xyz3 + 8xyz3 = (5 + 8)xyz3 = 13xyz3
abc c) axnym + bxnym – cxnym = ( )xnym
Para sumar o restar dos o más monomios no semejantes, sólo se indica la suma o diferencia de ellos. Ejemplos: Sumar: a) 3xy + 3xz = 3xy + 3xz. b) 7ab2 + 8ab – 5b2a = 7ab2 + 8ab – 5b2a = 7ab2 – 5ab2 + 8ab = 2ab2 + 8ab
Multiplicación de Monomios Para hallar el producto de dos monomios se multiplican los coeficientes de ellos. A continuación de este producto se escriben en orden alfabético, todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. Ejemplo : Hallar el producto de: 3x 3
por
2x 2
Resolución:
3
3x 3 . 2 x 2 3 . 2 x 3 . x 2 6 x 3 2 6 x 5
3 . 2
x
3
.x
2
Multiplicamos los coeficientes Multiplicamos las partes literales
Ejemplo : Hallar el producto de: 8x 4 por
9x 2 y 3
8x4 por –9x2y3
Resolución:
8x 4 . 9 x 2 y 3 8 9 x 4 . x 2 . y 3 72 x 4 2 . y 3 72x 6 y 3
RECUERDA QUE: an . am = an+m
Multiplicación de Polinomios Se multiplica el primer término del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicando, y el segundo término del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicando. Luego, se escriben los productos parciales de manera que queden organizados en forma de columna los términos semejantes para luego reducirlos. Ejemplo: Hallar el producto de: 6 x 4 y por 3y 4x Ordenando respecto de la
x
de mayor a menor: 6x 4 y 4 x 3y
24 x 16 xy 2
18 xy 12 y 2
24 x 2 34xy 12 y 2
División de Polinomios
3
Se ordena el dividendo y el divisor respecto de una letra. Si cuando se ordena el dividendo los exponentes de los términos no siguen una secuencia ascendente o descendente, se deja el espacio donde debería estar escrito el exponente que complete la secuencia. Luego se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor aplicando la ley de los signos. Cada uno de los productos se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo a cada producto y se escribe cada término debajo de su semejante. Si algún término de estos productos no tiene término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente de acuerdo como se haya ordenado inicialmente el dividendo y el divisor. Se baja el o los términos siguientes y se repite de nuevo el proceso hasta que el residuo de la división sea cero, cuando la división es exacta.
Ejemplo: Dividir: 4x 3 4 8x entre 4 4 x Solución Se ordena el dividendo y el divisor respecto de la letra
4x
3
0 x 2 8x 4 4 x 4
x
Tendremos entonces:
Métodos de División a) MÉTODO DE HORNER
3
Ejemplo:
Dividir:
12x 4 17 x 3 17 x 2 2 x 9 4 x 2 3x 1 4
12
3
17 9
-1
17
2
-9
-3 -6
2 6
3
-2
2
10
x2
x
T.I
x
-2
-11 T.I
q(x) = 3x2 – 2x + 2 R(x) = 10x - 11 b) MÉTODO DE RUFFINI Se utiliza cuando el divisor es mónico y de primer grado. d(x) = x + b
b0
Dividendo x+b=0 -b
1 Lugar Cociente
Resto
Ejemplo
Dividir:
2x 5 15x3 20x 8 x3 2
0
15
0
20
8
6
18
9
27
21
6
3
9
7
13
x3 0 3 2
3
x 4 x 3 x 2 x T.I q(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7 R(x) = -13
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Opera los siguientes polinomios: 1.
(2x2 + 3x) + (3x2 - x) =
2.
(5x2 – 4x) + (2x2 – 3x) =
3.
(3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =
4.
(4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =
5.
(8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =
6.
(3x2 + 4x) – (2x2 - x) =
7.
(4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) =
8.
(5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) =
9.
(9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) =
10. (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =
3
II. Resuelve los siguientes problemas 11. Si: A = 3x2 + x – 7 B = 8x2 – 5x – 10 C = 5x2 + 3x - 1 Hallar: A + B – C a) 6x2 – 7x - 16 b) 6x2 – 7x – 15 c) 6x2 – 7x + 16
d) 6x2 – 7x e) 6x2 + 7x - 16
12. Si: A = w3 – 8w + 4 B = 2w2 – 4w Hallar: A – 2B a) w3 + 4w2 - 4 b) w3 – 4w2 + 4 c) w3 – 4w2 – 4
d) w3 – 4w2 – 2 e) w3 + 4w2 + 4
13. Si: A = -8x2y + 3xy – 3y3 B = 4y3 – 7x2y + 2xy Hallar: 2A – 3B a) 5x2y + 18y3 b) 5x2y – 18y2 c) 5xy2 – 18y3
d) 5x2y – 18y3 e) 5xy – 18y3
III. Resuelve los siguientes productos algebraicos: 1) (x + 5)(x - 5) 2) (2x + 5)(2x - 5) 3) (5xy - 6)(5xy + 6) 4) (12 + 9ab)(12 – 9ab) 5) (3xyv - 4ab)(3xyv + 4ab)
3
6) (3ab2c - 4ad2)(3ab2c + 4ad2) 7) (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 - w4) 8) (5.32 + 4)(5.32 - 4) 9) [(a+4) - b][(a+4) + b] 14. Al efectuar la siguiente división:
4 x 4 13x 3 28x 2 25x 12 Indicar su cociente. 4 x 2 5x 6
15. Indicar la suma de coeficientes del cociente de dividir:
16. Calcular m + n si la división:
6x 5 x 4 11x 3 mx n 2 x 2 3x 1
6 x 4 7 x 3 3x 2 4 x 6 3x 2 2 x 1
Es exacta:
17. Calcular A + B si al dividir: 12 x 4 7 x 3 2 x 2 Ax B
entre 3x 2 x 3 El residuo es
4x 3
18. Hallar A/B si al dividir:
2x 4 x 3 Ax B x 2 2x 3
19. Si la división es exacta en:
El residuo es: 7 x 44
mx 4 nx 3 2 x 2 3x 2 Determinar: 4x 2 x 1
mn
20. Luego de dividir, indicar el coeficiente del término independiente del coeficiente: 2x 5 7 x 4 8x 3 13x 2 4 x 7 x 3
2x 5 3x 4 4 x 3 5x 2 3x 7 21. Hallar la suma de coeficientes del cociente de dividir: 1 x 2
3
SESIÓN 3
Factorización Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o más polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores: Multiplicación
(x + 1) (x + 3) = x2 + 4x + 3 Factorización
Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos.
Ejemplo 1 P x x 2 5x 14 Factorizando
P x x 7 x 2
Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2
Ejemplo 2 Q x , y x 4 y 3 x 2 y 5 Factorizando
3
Q x, y x 2 y 3 x y x y
Tiene 4 factores primos son: x , y , x y , x y
Completa el Cuadro:
POLINOMIO FACTORIZADO P(x, y, z) = (x + y)(x y)z2x3
# DE FACTORES PRIMOS
P(x, y, z) = x2y3w5 P(x, y) = (x + y)(x2 – xy + y2)x4 P(x) = (x - 2)(x + 3)(x 4)x p(x, y) = x3y4(x - 2)(x - y) p(x, y, z) = (xyz)2 p(x) = x3(x4 + 1) p(x, y, z) = (x + y)(x + y) (y + z)xyz p(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
Métodos de Factorización
Completa el Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es elCuadro máximo común divisor de
A. FACTOR COMÚN MONOMIO
los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variables comunes con su menor exponente.
3
Ejemplo 1: Factorizar: 25x 4 30x 3 5x 2
Se halla el máximo común divisor de los coeficien-tes M.C.D. (25; 30; 5) = 5
Se sacan las variables comunes de todos los términos.
25 – 30 – 5 5 5- 6 -1
x4
Se escoge el que tiene menor exponente.
x3 x2
x2
Se multiplica el M.C.D. por la variable común.
5x2
La factorización queda así:
5x2(5x2 – 6x + 1)
COMPLETA EL CUADRO POLINOMIO
FACTORIZACIÓN MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y P(x) = abx2 – acx P(x) = 2x2 – 4x + 6x3 3
P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3 P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 + 2ax5y5 P(x) = abx2 – ax3 + bx P(x, y) = x4 – x3 + x P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2 P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1 P(x, y) = 12nxayb + 4nxa-1yb-2 – 8nxa+1yb+2
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio. Ejemplo 1: Factoriza a) P x 2x 2 y m n 3z 4 m n 5 m n Observa que un polinomio m n se repite en todos los términos. El cual lo extraemos y queda:
m n 2x 2 y 3z 4 5 Ejemplo 2: Factoriza b)
P x , y x 2 y 2 x x 2 y 2 y 2 x 2 y 2
El polinomio que se repite es: x 2 y 2 Queda: P x , y x 2 y 2 x y 2 Completa el cuadro POLINOMIO
FACTORIZACIÓN POLINOMIO COMÚN
(a - 2)x2 – (a – 2) y2(x + y - z) + m2(x + y z)
3
x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b) a(p + q) + b(p + q) + c(p + q) a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c) C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes. Ejemplo 1: Factoriza a 2 5m 2 x a 2 y 2 5m 2 y 2 Para factorizar se agrupa los que tenga parte variable común. Entonces: a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2y2 Por monom io común
Tienen común x
Tienen común y2 y se puede sacar el (-)
Por monom io común
x(a2 + 5m2) – y2(a2 + 5m2)
(a2 + 5m2) (x – y2) Ejemplo 2: Factoriza
mx m 2 xy my
Monomio Común
mx + m2 + xy + my
Monomio Común
m(x + m) + y(x + m) Polinomio (m +Común y) (x + m)
Completa el cuadro POLINOMIO
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2 5a – 3b – 3bc5 + 5ac5 3
6x3 – 1 – x2 + 6x 7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2 d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m D. IDENTIDADES Aquí utilizamos dos diferentes productos notables. a 2 b 2 a b a b
a b a
a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 a b 3
3
a b a b 2
2
2
ab b
2
a 2ab b 2 2
a 2 2ab b 2
Ejemplo 1: Factorizar a)
4 x 2 9 2x 32 2 x 3 2 x 3 2
FACTORIZACIÓN IDENTIDADES
POLINOMIO c2 – b2 x2 + 10x + 25 64 – x3 64x2 – 25 49x2 – 14x + 1 25m2 – 36n2 36n2 + 48xy + 16y2 36x2 + 84xy + 49y2
E. ASPA SIMPLE Es un método que permite factorizar trinomios de la forma: ax 2 bxy cy 2
3
Su método es:
ax 2 bxy cy 2
Se descomponen en los factores extremos
Los factores se escriben en forma horizontal Se realiza un producto en aspa y los resultados se adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término central del trinomio dado.
Ejemplo 1: Factoriza a) x2 + 5x + 6 x +3 x +2 Observa que los factores son (x + 3)(x+2) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) Ejemplo 2: Factoriza b) x2 - 5x - 6 x -6 x +1 2 x - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) Ejemplo 3: Factoriza c) 6x2 - 7xy – 20y2 3x +4 2x -5 2 6x - 7xy – 20y2 = (3x + 4)(2x - 5)
Completa la Tabla 3
TRINOMIO
FACTORIZACIÓN ASPA SIMPLE
x2 + 7x + 12 x2 – 2x - 15 X2 + 8xy + 7y2 x2 + 2xy – 35y2 4x2 – 12xy + 5y2 12x2 - 8xy – 15y2
SESIÓN 4
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas 3
ECUACIONES José Antonio, alumno del taller de arte, pinta una imagen en una hoja rectangular de papel de 20 cm de ancho por 15 cm de alto. Luego, coloca esta hoja sobre una cartulina rectangular de manera que aparezca una banda de ancho constante alrededor de la imagen. José Antonio desea saber cuál es el ancho de la banda alrededor de la imagen sabiendo que el perímetro de la cartulina que utilizó mide 120cm.
¿Es posible determinar el ancho de la banda? Definición Una ecuación es una igualdad condicional, es decir, qu sólo se satisface para determinados valores numéricos de la incógnita. Ejemplos: 3x 2 7 Es una ecuación de la variable x 4x 8 y 2 Es una ecuación de la variable x e y 2 x 4 ( x 2)( x 2) Es una ecuación en la variable x Solución de una ecuación Se llama solución de una ecuación a un valor de la variable que al ser reemplazada en la ecuación da lugar a una proposición verdadera; es decir, la satisface. Conjunto Solución (C.S.) 3
Se llama conjunto solución (C.S.) de una ecuación al conjunto de soluciones de dicha ecuación. Clasificación de las ecuaciones. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a diferentes criterios 1. Según su grado. Las ecuaciones de acuerdo al grado de los polinomios de sus miembros pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc. Ejemplos: 3x 5 0
Es una ecuación de primer grado
1 Es una ecuación de segundo grado 3 x 3 2 x 5 x 2 3 0 Es una ecuación de tercer grado 2 x x40
2. Según su número de incógnitas. Las ecuaciones pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas. Ejemplos: 8x 3 0 x 5y 0 x y z0
Es una ecuación con una incógnita Es una ecuación con dos incógnitas Es una ecuación con tres incógnitas
3. Según sus soluciones. Las ecuaciones pueden ser: a. Ecuaciones compatibles. Son aquellas ecuaciones que tienen solución
Determinadas. Cuando la ecuación tiene un número finito de soluciones Ejemplo. 3 x 12 0 Resuelve Solución Despejamos la variable x: 3x 12 0 x 4 La variable x Solo toma un valor porque la ecuación es de primer grado. 3
Luego, C.S . {4}
Indeterminadas. Cuando la ecuación tiene infinitas soluciones Ejemplo. x 4 x( x 5) 5 x 4 Resuelve Solución Simplificamos el segundo miembro de la igualdad y tenemos: 2
x 2 4 x 2 5x 5x 4 x2 4 x2 4
Como esta igualdad se cumple para cualquier valor real de la variable Entonces, C.S . R
x
b. Ecuaciones incompatibles. Son aquellas ecuaciones que no tienen solución, pues no existe ningún valor real de la variable que satisface la ecuación. Su conjunto solución es el conjunto vacío (C.S . ) Ejemplo. 3 x 6 3( x 1) 4 Resuelve Solución Simplificamos el segundo miembro de la igualdad y tenemos: 3x 6 3x 3 4 3x 6 3x 1
Como esta igualdad no se cumple para ningún valor real de Entonces, C.S .
x
RESUMIENDO: Ecuación Compatible
Incompatible
Determinada Indeterminada
Ecuaciones Equivalentes Dos o más ecuaciones se llaman equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Es decir, si tienen exactamente las mismas soluciones. Ejemplo. Resuelve: ¿Son ecuaciones equivalentes, las ecuaciones lineales
2x 3 0
3
Y
6 18 x 0? 7 14
Solución Calculamos el conjunto solución, de cada una de las ecuaciones y obtenemos: 3 2 x 3 0 C.S . 2 6 18 3 x 0 C.S . 7 14 2
Luego, las ecuaciones dadas son equivalentes, porque tienen un mismo conjunto solución.
Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Las ecuaciones de primer grado, o lineales, con una incógnita son ecuaciones de la forma: ax b 0
Donde: a; ; b , con a 0 y x es la incógnita. Ejemplo. Resuelve: 5 x 3 7 x 6 Solución Dada la ecuación: 5 x 3 7 x 6 Despejamos la incógnita o variable: 2x 9 x
9 2
Por lo tanto: 3 C.S . 2
Modelo de una Ecuación Lineal Charles hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 litros de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: 3
a) Litros de gasolina que tenía en el depósito. b) Litros consumidos en cada etapa Solución: Primera etapa: Litros de gasolina que tenía en el depósito: 2x 3
Segunda etapa: 1 2x 1 3x 2 x 1 x x (x ) * * 2 3 2 3 2 3 6
Consumió 20 litros de gasolina: 2x x 4 x x 5x 120 20 5 x 120 x 24 3 6 6 6 5
Es decir:
2 x 2(24) 2(8) 16 litros 3 3
x 24 4 Litros 6 6
Los Litros de gasolina que tenía en el depósito son 24 litros Litros que se consume en la primera etapa es 16 litros y en la segunda 4 litros
Ejercicios Propuestos sobre Ecuaciones Lineales 1) Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando tus respuestas. a) Si a b , entonces a c b c b) La ecuación 8( x 5) 8 x 50 no tiene solución real c)
El conjunto solución de la ecuación
x2 1 es el conjunto formado por todos los x2
números reales. d) e)
2 6 x 8 Si 2 x 9 0 , y 4 x 9 2 x son ecuaciones equivalentes
8 no es solución de
3
f)
x 2 no tiene solución en x 3 El conjunto solución de 6 x 2(5 x) 3x 10 es el conjunto vacío 2 El conjunto solución de es (2 x) 4( x 5) 3x 22 es
La ecuación
g) h)
x 3
x 2
2 3
i) El conjunto solución de es 3 3 2 5 x 1 es
2) Resuelve , en es , las ecuaciones: e) 15 2 x 3 1 14 6 3x 1 4
a) 5 (5 (5 x)) 1
x2 x2 1 0 2 3
b)
3x 2 5 x 5 2 3 3
f) x
c)
x 1 2x 2
g)
x 1 1 1 x
d)
x6 1 x6
h)
x3 0 x3
3) Resuelve las siguientes ecuaciones: a)
x 3x 3 ( x 1) 2 2
c)
6 x 7 3 x 5 5 x 78 4 7 28
e) y 2 3 y y ( y 1) 4 2
g)
x x a 1 ´b 1 a b a b
i )7
3x 5 5 x 78 7 49
b) 2(3 x 1) 4
x5 3
x x d ) 2 x1 x 1 2 2
f ) m( x n ) n ( x m) n 2 m 2
h) x 4
x5 3
x x j )5 x1 x 1 2 2
4) Resolver gráficamente: a)
3x 20 4
b) b) x 5 0
5) De la ecuación lineal consistente: mx m 5 4x 3 2
¿Qué se puede afirmar del parámetro “m”, si este admite solución única? 3
6)Margarita tiene que resolver determinado número de problemas, el lunes resolvió
2 del 7
total, el martes resolvió el 40% de los restantes y aún le faltan por resolver 27 problemas. ¿Cuántos problemas tiene que resolver Margarita? 7)El perímetro de un triángulo es igual a 39 decímetros y se conoce que las longitudes de sus lados son números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide cada lado? 8) Entre dos brigadas A y B deben recoger en una jornada de trabajo 400 sacos de papa. A las 12 meridiano, la brigada A había recogido la mitad de lo que debía recoger y la B, el 75% de los que tenía previsto, por lo que entre ambas habían recogido 255 sacos. ¿Cuántos sacos le faltan por recoger a cada una? 9) En una fiesta, se observa que, en un determinado instante, el número de parejas que bailan es la mitad del número de hombres que no bailan y el número de mujeres que no bailan es el cuádruple del número de hombres que bailan. Si en total hay 120 personas, ¿cuántos hombres hay en dicha fiesta? 10) Se aplica una evaluación a 70 alumnos entre hombres y mujeres; de las mujeres aprobaron el 80% y únicamente el 10% de los hombres. Si el número de aprobados es el 70% del total, ¿cuántas mujeres rindieron la evaluación? 11) Un estudiante lee 64 páginas de la novela “Cien años de soledad” y al día siguiente lee 1/3 de lo que le falta; si todavía le quedan por leer los 4/7 del total de páginas, ¿cuántas páginas tiene dicha novela? 12) Un hombre lleva en hombros a un niño que pesa la mitad de él, el niño a su vez carga a otro niño que pesa la mitad de él, este último a su vez carga un bebé que pesa la mitad de él. Con toda esta carga el hombre se pesa en una báscula y este marca 120 kg. ¿Cuánto pesa el hombre solo?
3
13) Debido a que se pronostica una fuerte lluvia, el nivel del agua en una presa debe ser reducido en 1 m. Al abrir el vertedero A se logra el nivel deseado en 4 horas; mientras que con el vertedero B, que es más pequeño, se logra en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tomará reducir el nivel del agua en 1m si se abren ambos vertederos a la vez? 14) Manuel invierte $ 4 000 al 4% de interés al año. ¿Cuánto dinero adicional debe invertir al 5.5% para que el interés que reciba cada año sea el 4.5% de la inversión total? 15) Santiago condujo una rapidez promedio de 50 millas/hora desde su casa en Boston, para visitar a su hermana en Búfalo. Se quedó en Búfalo 10 horas, y en su recorrido de regreso condujo con una rapidez promedio de 45 millas/hora. Regresó a casa 29 horas después de haber salido. ¿Cuántas millas separan a Búfalo de Boston? 16) Un fabricante produce refresco de naranja que es anunciado como “natural”, aunque solo contiene el 5% de jugo de fruta. Una nueva reglamentación gubernamental estipula que para que una bebida sea anuncie como “natural” deberá contener 10% de jugo de fruta. ¿Cuánto jugo de fruta debe agregar el fabricante a 900 litros de refresco de naranja, para cumplir con la nueva reglamentación? 17) Un estudiante, en sus tres primeras pruebas de francés, obtiene las siguientes calificaciones: 79, 81 y 72 puntos. El estudiante necesita un promedio de por lo menos 80 puntos para obtener una calificación final de B. ¿Qué calificación mínima necesita obtener el estudiante en su cuarta prueba para obtener una calificación final de B? 18) Manuel y Pablo han sido contratados para pintar las casas de un condominio. Trabajando juntos, pueden pintar una casa en las dos terceras partes del tiempo que le tomaría a Pablo trabajando solo. Manuel necesita 6 horas para pintar él solo una casa. ¿Cuánto le toma a Pablo pintar una casa trabajando solo? 19) Una compañía de pastas dentales tiene 7 336 voluntarios para publicitar su producto. Los hay menores de 25 años, de 25 y 34 años y de 35 a 50 años. Si hay 32% más de voluntarios menores de 25 que de 25 a 34 y 15% más de voluntarios de 25 a 34 que en el grupo de 35 a 50. ¿Cuántos voluntarios hay en el grupo de 35 a 50? 20) Un matemático anuncia la hora de una conferencia programada para después del medio día de hoy de la siguiente manera: “Considerando la hora programada, si a la mitad del 3
número de horas que ha transcurrido desde el mediodía le sumamos la décima parte del número de horas que falta transcurrir para el medio día de mañana, el resultado será la cantidad de horas después de mediodía en que está programada la conferencia”. ¿A qué hora está programada la conferencia? 21) Claudia se compromete a presentar a su padre la resolución de 10 problemas de IMU diariamente. El padre da a Claudia S/3 por cada problema bien resuelto; y Claudia da a su padre S/. por cada problema mal hecho o no presentado. Si al cabo de 30 días Claudia ha ganado en total S/. 400. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente? ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Un estudiante universitario, observa lo siguiente. Si se aumenta la medida del lado de una baldosa cuadrada en 3cm, su área ha quedado multiplicada por 4. ¿Cuánto medía el lado de la baldosa?
Definición de una ecuación de segundo grado: Las ecuaciones de segundo grado, o cuadráticas, con una incógnita, son ecuaciones de la forma:
ax 2 bx c 0
Donde: a, b, c , con a 0 y x es la incógnita. Ejemplos: 3
5x 2 8x 3 0 3x 2 9 x 6 0 x 2 (3 / 4) x 2,8 0
Métodos de Resolución de Ecuaciones de segundo grado Para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática, podemos utilizar los siguientes métodos: I.
Método de Factorización Según la forma de la ecuación cuadrática, podemos tener tres casos para aplicar este método Caso 01: Ecuación de la forma: ax 2 c 0
Ejemplo. Resuelve: x 2 16 Solución Dada la ecuación: x 2 16 0 Factorizamos: ( x 4)( x 4) 0 x 4 x 4 Las soluciones de la ecuación son: -4 y 4 Por lo tanto:
C.S . 4;4
Caso 02: Ecuación de la forma: ax 2 bx 0
Ejemplo. Resuelve: x 2 6 x Solución Dada la ecuación: x 2 6 x 0 Factorizamos: x( x 6) 0 x0 x6 Las soluciones de la ecuación son: 0 y 6 Por lo tanto: C.S . 0;6
3
Caso 03: Ecuación de la forma: ax 2 bx c 0
Ejemplo. 2 Resuelve: x 8 x 33 Solución 2 Dada la ecuación: x 8 x 33 0 Factorizamos: ( x 3)( x 11) 0 x 3 x 11
Las soluciones de la ecuación son: -3 y 11 Por lo tanto: C.S . 3;11
Método del Aspa: Ejemplo: x 1 / 3 3x 2 5 x 2 0 (3 x 1)( x 2) 0 x 2
3 x........... 1 x............. 2
Fórmula General de una Ecuación de Segundo Grado Cuando es muy complicada la factorización del primer miembro de una ecuación cuadrática, previamente igualado a cero, a través de los métodos de factorización antes revisados, se utiliza la fórmula general. Dada la ecuación cuadrática: ax 2 bx c 0
Donde: a, b, c , con a 0 y x es la incógnita. Raíces de una Ecuación de Segundo Grado
Las raíces de la ecuación, se pueden hallar reemplazando los valores de los coeficientes a, b, c , en la siguiente fórmula (fórmula general): x
b b 2 4ac 2a
3
Es decir, las raíces de la ecuación son: x1
b b 2 4ac b b 2 4ac x2 2a 2a
Relación entre discriminante de un a ecuación cuadráticas y las soluciones A la expresión: b 2 4ac
Se le llama discriminante de la ecuación cuadrática y se denota por un triángulo Dependiendo del valor que toma la discriminante, la ecuación puede tener dos, una o ninguna solución en el conjunto de los números reales. Es decir: Si b 2 4ac 0 la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. Si b 2 4ac 0 la ecuación tiene una solución real Si b 2 4ac 0 la ecuación no tiene una solución real.
Teorema: Dada la ecuación cuadrática: ax 2 bx c 0
Donde: a, b, c , con a 0 y x es la incógnita. Si b 2 4ac 0 , entonces C.S .
Si b 2 4ac 0 , entonces C.S .
b 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac ; 2 a 2 a
Si b 2 4ac 0 , entonces C.S . Ejemplos: Resuelve, en : 3 x 2 4 x 2 0 Solución:
Calculamos: b 2 4ac 4 2 4(3)(2) 8 Como b 2 4ac 0
, entonces C.S .
Resuelve, en : 3x 2 2 6 x 2 0 3
Solución: Calculamos: b 2 4ac 2 6 4(3)(2) 0 2
Como b 2 4ac 0 , utilizamos la fórmula general y obtenemos 6 b 2 6 C.S . 6 3 2a
Problema de Aplicación de una Ecuación de Segundo Grado: Si se aumenta la medida del lado de una baldosa cuadrada en 3cm, su área ha quedado multiplicada por 4. ¿Cuánto medía el lado de la baldosa? ( x 3) 2 4.x 2
Solución: x 2 6.x 9 4.x 2 0 3.x 2 6 x 9 0 .x 2 2 x 3 0 ( x 3)( x 1) CS {1;3}
Ejercicios Propuestos de Ecuaciones Cuadráticas
3
1) Resuelve, en ,las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) x 2 3x
c) x 2
b)( x 3) 2 1 0
49 64
d )( x 3) 2 17 0
e)( x 3)( x 4) 12
g)x 2 x
f )10 x 2 19 x 15 0
3 4
h)(
2x 1 5) 2 100 0 4
j )( 2 x 1) 2 3 x 2
i )14( x 4) ( x 2) ( x 2)( x 4)
2
2) Resuelve en las siguientes ecuaciones cuadráticas a) x 2 5x 3 0
b)2 z 2 6 z 11 0
c )3x 2 6 x 11 0
d)y2 y 1 0
e) 4 x 2 x 3 0
f ) x 2 14 x 65
g )3 x 2 5 x 2
h) x 3 8 x 2 16 x 0
i )2 x 2 x 6 0
j )2 x 2 20 x 50 0
k )3 x 2 5 x 8
l )3 x 2 5 x 2
m) 2( x 2)( x 3) 0
n)(2 x 4) 2 8
3 11( x 1) o)( x 1)[ 2(1 x)] 3x 2 p)11( x 1) 2 (2 x 3) 2 4 x 2 1 2 2
3) Dada la siguiente ecuación: 2 x 2 3x k 0 .
Halla el valor de k para que la ecuación tenga: a) dos soluciones reales y distintas b) una única solución real c) ninguna solución real
3
4) Encuentra dos números cuyo producto sea 156, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 113. 5) La suma de los cuadrados de tres números impares consecutivos excede en 170 al cuadrado del segundo de ellos. ¿Cuál es la suma de los dos lados menores? 6) Halla dos números naturales consecutivos, tales que el cuadrado de la suma de dichos números aumentado en 1, sea igual al doble de la suma de los cuadrados de dichos números. 7) Actualmente la edad de un padre, es el cuadrado de la de su hijo y el tiple de la de su hija. Dentro de algunos años, la edad del padre será el doble de la edad de su hija y doce años después de ese entonces, la edad del padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de cada uno?
8) Un objeto está a 120 cm de una pared. Para enfocar la imagen del objeto sobre la pared, se utiliza una lente convergente con la longitud focal de 24 cm colocada entre el objeto y la pared, a una distancia de p centímetros del objeto, donde: 1 1 1 p 120 p 24
Determinar el valor de p redondeando a un decimal. 9) Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de malla serán utilizados? 10)Quince personas, entre hombres y mujeres, hacen sus compras en una misma tienda. Los hombres gastan en total S/. 2 160 y las mujeres gastan en total la misma cantidad de dinero. Una mujer gasta S/. 120 menos que un hombre. Considerando que todos los hombres gastan la misma cantidad de dinero y que todas las mujeres también gastan la misma cantidad de dinero, halle el número de hombres y su gasto individual. 11) Si sumamos el cuadrado de un número más el cuádruplo del siguiente resulta 225. ¿De qué número se trata? 12)La suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. ¿Cuáles son los números? 3
13)Escribe una ecuación de segundo grado, sabiendo que tiene como raíces a 1 y 4. 14)La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Halla sus dimensiones si un lado mide 2cm menos que el otro. 15)Averigua el número que cumple con la siguiente condición: Si se multiplica su siguiente número, por el número inicial disminuido en 3 unidades, se obtiene 77. 16)Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². 17)Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 centímetros cúbicos, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. 18)Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación siguiente sean iguales. x 2 kx 36 0
19)Una piscina rectangular de 15 m de largo por 9m de ancho está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el área del camino es 81metros cuadrados. ¿Cuánto mide su ancho? 20)La longitud de un terreno rectangular es el doble del ancho. Si la longitud aumenta 40m, y el ancho 6m, entonces el área se hace el doble. Halla las dimensiones 21)Don Rafael es 4 veces mayor que Héctor. Si el producto de los numerales, que expresa sus edades es 256. ¿cuál es la edad de Héctor? 22)El pasto de la cancha de fútbol tiene las siguientes dimensiones: Su largo es el doble de su ancho, dicho pasto actualmente está en reparación y ampliación, el largo y el ancho amplían dos metros. ¿Cuál es el área total del campo en función de la variable “x”? 23)Una persona compró cierto número de libros por S/.180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le hubiera costado S/1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno? 24)La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 24202. ¿Cuáles son los números?
3
25)Dos números suman 1018, y la diferencia de sus raíces cuadradas es 10, ¿Cuáles son estos números? 26)La suma de dos números es 10, y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números. 2 27)Hallar “p” si la ecuación. (7 p 4) x p( 3 p 5) x 8 5 p .Tiene raíces recíprocas. (Es
decir a=c)
SESIÓN 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición. Se llama así al conjunto de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas, las cuales pueden verificar para algunos valores asignados a sus incógnitas. Puede ocurrir también que no se verifique. Ejemplo 1: Las ecuaciones: 3x + 5y = 13 � � 7x - 2y = 3 � Se verifica para x = 1 e y = 2. Ejemplo 2: Las ecuaciones: 4x + y + z = 12 � � 3x - y - z = 9 � Se verifican para:
3
�x = 3 , y = 1 , �x = 3 , y = 0 , � � �x = 3 , y = 2 , � M �M
z = -1 z=0 z = -2 M
Para este ejemplo se puede observar que existen infinitas soluciones. Conjunto Solución de un sistema. Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierte en identidades. asumen las Es el conjunto “S” de pares, ternas, cuaternas, etc. de valores que incógnitas de las ecuaciones, que tienen la propiedad de verificar simultáneamente a las mismas. Considerando los ejemplos anteriores, se obtiene:
Del ejemplo 1: 3x + 5y = 13 � � 7x - 2y = 3 � El conjunto solución es: S = 1 ; 2 Del ejemplo 2: 4x + y + z = 12 � � 3x - y - z = 9 � El conjunto solución admite infinitas ternas ordenadas en su extensión. Veamos: S = 3 ; 1 ; -1 , 3 ; 0 ; 0 , 3 ; 2 ; - 2 , … Sistemas equivalentes Son aquellos sistemas de ecuaciones polinomiales que teniendo formas diferentes, aceptan el mismo conjunto solución. Por ejemplo, los sistemas de ecuaciones: �x + y = 5 � 2x + y = 8 �
�x + 2y = 7 � 3x - 2y = 5 � 3
Son equivalentes, ya que ambos verifican un mismo conjunto solución, el cual es:
S = 3 ; 2
Sistema de Primer Grado con Dos Variables Es de la forma: a1x + b1 y = c1
�
a 2 x + b2 y = c2
Que llevadas a un sistema de ecuaciones, su estructura es:
a1x + b1 y = c1 � � a 2 x + b2 y = c2 � Donde: a1 , a 2 , b1 , b 2 , c1 , c2 ; son números reales. Clasificación de los sistemas de ecuaciones: De acuerdo al número de elementos de su conjunto solución S. Estos pueden ser: 1.- Sistemas compatibles. Son aquellos que aceptan por lo menos un elemento en su conjunto solución. Debido a esto, se subdivide en: a) Determinados. Si admite un número finito de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: Dado el sistema: 5x + 6y = 20 � � �4x - 3y = -23
Es compatible, ya que su solución es una. S = -2 ; 5 b) Indeterminados: Si admite infinitos de elementos en su conjunto solución. Ejemplo: El sistema mostrado: 3x - 4y - 9z = 20 � � �x + 2y - 3z = 4 3
Admite un conjunto solución de infinitos elementos, el cual es:
S = 2 ; 1 ; 0 , 5 ; 1 ; 1 , -1 ; 1 ; -1 , … 2.- Sistemas incompatibles. Son aquellos que NO aceptan elemento alguno en su conjunto solución; o en todo caso, su conjunto solución S, es el vacío. Ejemplo: �x + 3y = 20 � �x + 3y = 10 Es incompatible, porque no hay ningún par de valores x e y que verifiquen ambas ecuaciones.
\ S=� Para la segunda forma de clasificar a los sistemas, establezcamos primero la siguiente definición: Ecuaciones independientes: Son aquellas ecuaciones polinomiales; en la que los coeficientes de las mismas incógnitas, no son proporcionales entre sí. Por ejemplo las ecuaciones polinómicas: x + 3y = 20 � �son independientes x + 3y = 10 � 1 3 � 1 5 Según el número de ecuaciones y el número de incógnitas:
Ya que verifican:
1. Sistema determinado: Cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas. Por ejemplo: 3x + 4y = 11 � � 2x - 5y = -8 � 2. Sistema indeterminado: Cuando el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, estos sistemas se caracterizan por tener infinidad de soluciones. Además se cumple que:
3
a1 b1 c1 = = a 2 b2 c2
Por ejemplo: 2x + y - z = 5 � �Se cumple 3x - y + z = 4 � 3. Sistema incompatible: Sistema imposible, absurdo o inconsistente, es cuando el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incógnitas. Además se cumple que: a1 b1 c1 = � a 2 b 2 c2
Por ejemplo 3x + y = 7 � � �2x - y = 3 �x + 3y = 4 �
Resolución de sistemas de primer grado El método que mayormente se utiliza es el denominado método algebraico que consiste en realizar transformaciones lineales con las ecuaciones del sistema para eliminar progresivamente las incógnitas. La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación genera 3 procedimientos: sustitución, igualación y reducción. (a) Método de sustitución. Se resume en los siguientes pasos: Reducir el sistema a su forma normal. En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita). Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita. Veamos el siguiente ejemplo. � 7x - 8y = 101 � Resolver el siguiente sistema: � 2x + y = - 4 � Solución:
K 1 L 2
3
1. 2.
Considerando la ecuación (2) y despejando “y”, se obtiene: y = - 4 - 2x K 3 Reemplazando (3) en la ecuación (1) y resolviendo:
7x - 8 - 4 - 2x
= 101
7x + 32 +16x = 101 23x = 69
� x =3 y = - 4 - 2 3 10
3.
Reemplazando el valor de “x” en la ecuación (3):
4.
De donde se concluye que el conjunto solución es: S = 3 ; -10
(b) Método de igualdad. Se resume en los siguientes pasos: Reducir el sistema a su forma normal. Despejar de las dos ecuaciones la misma variable. Igual las dos expresiones de la variable despejada. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita. Ejemplo, consideremos el mismo sistema del primer método: � 7x - 8y = 101 � Resolver el siguiente sistema: � 2x + y = - 4 � Solución:
K 1 L 2
1.- Despejar de las dos ecuaciones dadas la variable “y”: 7x - 8y = 101 7x -101 = y L 3 8
2x + y = - 4 y = - 4 - 2x
L 4
2.- Igualando los dos resultados (3) y (4). Resolviendo: 7x -101 = - 4 - 2x 8 7x -101 = -32 -16x 23x = 69
�
x=3
3.- Reemplazando el valor de x, ya sea en (3) o en (4) el resultado sebe de ser el mismo. 3
y = - 4 - 2 3 10
4.- Considerando la expresión (4):
5.- De donde se concluye que el conjunto solución es: S = 3 ; -10 (c) Método de igualdad. Se resume en los siguientes pasos: Reducir el sistema a su forma normal. Multiplicar los dos miembros de las ecuaciones por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos. Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro. Resolver la ecuación obtenida. Sustituir la solución obtenida en cualquier de las ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita. Ejemplo, consideremos el mismo sistema del primer método: � 7x - 8y = 101 K 1 � Resolver el siguiente sistema: � 2x + y = - 4 L 2 � Solución: 1.- Multiplicarle a la ecuación (2) por 8, y resolviendo:
� 7x - 8y = 101 � 8� 2x + y = - 4 �
� 7x - 8y = 101 � � � � 16x + 8y = -32 � � 23x = 69 �� � x=3
2.- Reemplazando el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones dadas inicialmente se obtiene el valor de la variable “y”. 2x + y = - 4 2 3 + y = -4
�
y = -10
3.- De donde se concluye que el conjunto solución es: S = 3 ; -10
SISTEMA DE PRIMER GRADO CON TRES VARIABLES Un sistema de primer grado de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se presenta bajo su forma normal: 3
� a1x + b1 y + c1z = d1 � a 2 x + b2 y + c2z = d 2 � � a 3 x + b3 y + c3 z = d 3 �
L 1 L 2 L 3
En una de las tres ecuaciones podremos despejar una incógnita y sustituirla en las otras 2; se obtiene de esta forma un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas que podremos resolver. Las soluciones obtenidas se sustituyen en la expresión de la primera incógnita despejada, hallando así su valor. Ejemplo: Calcular. xyz , al resolver el siguiente sistema: �x + 2y - z = 7 � �2x + y + z = 6 �x - y + 3z = -1 � Solución: 1.- Estructuremos el sistema dado de la siguiente forma: L 1
�x + 2y - z = 7 � �2x + y + z = 6 � �x - y + 3z = -1
L 2 K 3
2.- De la ecuación (3) despejemos la variable “y” y reemplacémosla en las ecuaciones (1) y (2):
x - y + 3z = -1
�� � x + 3z +1 = y
x + 2 x + 3z +1 - z = 7 3x + 5z = 5
L 4
2x + x + 3z +1 + z = 6 3x + 4z = 5
L 5
3.- Considerando las ecuaciones (4) y (5), y procediendo algebraicamente:
3
3x + 5z = 5 � � 1 3x + 4z = 5 �
ޯޯ
� 3x + 5z = 5 � � -3x - 4z = -5 �
z=0 4.- Reemplazando el valor de “z” ya sea en la ecuación (4) o en la ecuación (5), se tiene: 3x + 4 0 = 5
� x=
5 3
5.- Reemplazando los valores ya encontrados de las variables “x” y “z” en la variable “y” que está despajada, se tiene: 5 8 + 3 0 +1 = y � y = 3 3 6.- Luego reemplazando en lo pedido se obtiene como respuesta 0.
APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Dos números enteros son tales que el doble de uno de uno de ellos aumentado en 5, equivale al triple del otro. Si la suma de ellos es 15, calcular los números. Solución: Sean los números: “x” e “y” x+y=5
Aumentar 5 : 2x + 5 � � Triple del otro : 3y �
� 2x + 5 = 3y
Formamos el sistema: � 2x - 3y = -5 � � �x + y = 15
… 1 … 2
Multiplicamos la ecuación (2) por 3 para eliminar “y”: 2x - 3y = -5 � 3x + 3y = 45 5x = 40 �� � x =8 Reemplazando “x” en la ecuación (2):
3
8 + y = 15 �� � y=7 2.- Una lancha que navega por un río recorre 40 km/h a favor de la corriente y 16 km/h contra la misma. Hallar la velocidad del río. Solución: Velocidad de la lancha: x Velocidad del río: y Velocidad a favor de la corriente: x + y Velocidad en contra de la corriente: x – y Planteamos el sistema de ecuaciones: … 1
� �x + y = 40 � �x - y = 16
… 2
Desarrollando el sistema: x + y = 40 � x - y = 16 2x = 56
�� � x = 28
Reemplazando en (2):
28 - y = 16
�� � y = 12
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Resolver: �x + 2y = 13 � �x - 2y = -17
Señalar: x + y 2. Resolver: 5x - 7y = 49 � � 2x + 3y = 8 �
3
y Hallar: x �
3. Resolver:
� � 2x + 7y +1 + 2x - 7y +16 = 9 � � 2x + 7y +1 - 2x - 7y +16 = 3 Señalar: x + y 4. Resolver: 3 17 � 2 �x - y -1 + 3x + y + 3 = 24 � � 1 3 � 3 + = � �x - y -1 3x + y + 3 8
5. Dado el sistema: �2x + y + z = 3 � �x - y + z = 0 , calcular x + y + z � 3x - y + 2z = 2 � 6. Dado el sistema: �2x - 3y + 8z = 2 x � 6x + 9y -12z = 3 , el valor de es: � yz �4x + 6y + 4z = 5 � 7. Dado el sistema: �1 4 2 �x y z 6 � �3 2 4 z � 3 , calcular xy �x y z �6 5 6 � 31 �x y z 8. La suma de las cifras de un número de dos cifras es 9. Al invertir el orden de sus cifras, la diferencia de estos números es 27. Hallar el número inicial.
3
9. Entre gallinas y conejos se cuentan 48 cabezas. Si el número de patas es el triple del número de animales, aumentado en 14, ¿cuántos conejos habían, si aumentaron luego 20. 10. Hace 4 años la edad de A era tres veces la edad de B y dentro de 6 años excederá en 8 años a la edad de B. ¿Qué edad tiene A?
SESIÓN 6 Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de números reales cuyos elementos satisfacen ciertas desigualdades. Se determinan en función de uno o dos números reales dados, llamados extremos.
Intervalos limitados Sean a, b tales que a b. Un intervalo es limitado si tiene como extremos a los números reales a y b Intervalo cerrado es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a, y menores o iguales que b. Lo denotamos por
Ejemplo: Intervalo cerrado de extremos 1 y 2: Intervalo abierto es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b, es decir, los números comprendidos entre a y b. lo denotamos por
3
Ejemplo: Intervalo abierto de extremos 1 y 2.5: Observa que si
, el intervalo
se reduce al conjunto unitario a y el intervalo
al conjunto vacío . Este tipo de intervalos se llama degenerado. Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. lo denotamos por
Ejemplo: Intervalo cerrado en y abierto en : Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menos o iguales que b. lo denotamos por
Ejemplo: Intervalo abierto en
y cerrado en :
Intervalos ilimitados Sea . Podemos considerar todos los números reales mayores (o menores) que a, o todos los mayores o iguales (o menores o iguales) que a y formar un conjunto llamado intervalo ilimitado, porque tiene un extremo que es a y el otro es ilimitado. Si es ilimitado a la izquierda lo representamos con el símbolo y si lo es a la derecha, usamos el símbolo Intervalo cerrado por la izquierda e ilimitado por la derecha
Ejemplo: Números reales mayores o iguales que : Intervalo abierto por la izquierda e ilimitado por la derecha 3
Ejemplo: Números reales mayores que : Intervalo ilimitado por la izquierda y cerrado por la derecha
Ejemplo: Números reales menores o iguales que : Intervalo ilimitado por la izquierda y abierto por la derecha
Ejemplo: Números reales menores que Observa que:
:
Representamos al conjunto
de los números reales por
no es un número real, es un símbolo que representa una cantidad tan grande como se
quiera.
Practiquemos 1. Grafica los siguientes intervalos: a. b. c. d. 2. Expresa cada conjunto en notación de intervalo, luego grafícalo. e. a. f. b. g. c. h. d. i.
3
Inecuaciones Una inecuación en una variable es un enunciado que involucra dos expresiones, donde al menos una expresión contiene la variable, separadas por uno de los símbolos de desigualdad , , , . Resolver una inecuación consiste en hallar todos los valores de la variable para los cuales el enunciado es cierto. Tal conjunto es llamado el CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S) de la inecuación. INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Es una inecuación con una sola incógnita cuyo exponente es 1. Estas inecuaciones se pueden escribir de la forma:
ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; ax b 0 ; con a 0
Para resolverlas se pasan todos los términos con
a un miembro y los que no tienen
al otro, se despeja la variable obteniéndose la solución. Ejemplos: Resolver: 1)
3 3 5 x x 2 2 4 x 1 4 4 2
Solución Quitar denominadores, multiplicando ambas partes de la inecuación por el mínimo común 3 5 3 4 x x 2 2 4 4 x 1 múltiplo de los denominadores 4 y 2 que es 4 4 4 2 3 x 3 x 2 8 16 10 x 1
Quitar paréntesis
3 x 3 x 6 8 16 10 x 10
3
Transposición de términos, los términos en “x” al primer miembro y los términos numéricos al segundo miembro.
3 x 3 x 10 x 16 10 6 8 16 x 24
Despejar la incógnita: x
3 2
x ,
1.
3 2
x 6 4 3 3x 2 x x 1 2 5 5 4
Solución: Quitar denominadores, multiplicando ambas partes de la inecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores 4, 5 y 2 que es 20 4 3 x 6 20 203x 202 x x 1 5 4 2 5
10 x 24 60 x 16 40 x 15 x 1
Separar la inecuación en dos inecuaciones 10 x 24 60 x 16
16 24 60 x 10 x 40 50 x
4 x 5
60 x 16 40 x 15 x 1
60 x 16 40 x 15 x 15 35 x 1
x
1 35
Intersectar las dos soluciones:
4 1 x 5 35
x
4 1 , 5 35
2.
Las funciones de oferta y demanda de un cierto artículo son respectivamente: y D( p ) 3 p 480 donde " p" es el precio. ¿Qué valores toma " p" , si la oferta es mayor que la demanda? Solución: S ( p) 4 p 200
S ( p ) D ( p)
4 p 200 3 p 480 4 p 3 p 480 200 7 p 280 p 40
3
1. 2.
Ejercicios Si x 3 ; 4 ¿a qué intervalo pertenece la expresión ( 4 2 x) ? Si (1 3 x ) 1; 2 ¿a qué intervalo pertenece la expresión (3 x 2) ?
3.
Si
4. 5.
3x 2 10 ; 20 Hallar los valores de m y M talque m x M x2 2x 1 8 ;16 Hallar los valores de m y M talque m x M Si x 1
Cada mes del año pasado una compañía tuvo utilidad (ganancia) mayor que $37000
pero menor que $53000. Si S representa la utilidad total del año, describa S utilizando desigualdades. 6. Un ingeniero constructor debe decidir entre alquilar o comprar una máquina excavadora. Si alquila la máquina, el pago mensual seria de $500 (el mínimo tiempo de alquiler es por un año), y el costo diario (gas, aceite, conductor), sería de $50 por cada día que sea utilizada. Si compra la máquina, su costo fijo anual sería de $3000 y los costos de operación y mantenimiento de $70 por cada día que la maquina sea utilizada. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usarse la máquina para justificar el alquiler en lugar de la compra? 7. Se compra igual cantidad de lapiceros de dos colores, al venderse la cuarta parte quedan menos de 118 por vender; si se vendiera la sexta parte quedarían más de 129 por vender, ¿cuántos lapiceros se compraron? 8. La comisión mensual de un agente de ventas es del 15% de las ventas por arriba de S / 12 000 . Si su objetivo es lograr una comisión de al menos S / 3 000 por mes, ¿cuál es el
volumen mínimo de ventas que debe alcanzar? 9. Una empresa alquila automóviles a sus clientes de acuerdo con dos planes. En el primero puede alquilar un auto a $160 a la semana con kilometraje ilimitado, mientras que en el segundo plan renta el mismo vehículo por $100 a la semana más 25 centavos de dólar por cada kilómetro recorrido. Hallar los valores de kilometraje para los cuales es más barato alquilar un automóvil con el segundo plan. Resolver las siguientes inecuaciones: 10. x 4 2 x 5 2 x (1 x) 11. 3 x 3x 2 5 x 2 4 ( 4 x 1) ( x 2) ( 4 x 2) 3 5 13. 5x 2 10x 8 2 x 8 14. 4 (5x 1) x 5 6x
12.
15.
2 x x 4 2x 1 x 2 3 4 5
3
Inecuaciones de Segundo Grado Una inecuación de segundo grado con una incógnita es
cualquier desigualdad que,
directamente o mediante transformaciones de equivalencia se puede expresar en una de las formas siguientes: ax 2 bx c 0 ; ax 2 bx c 0 ; ax 2 bx c 0 ; ax 2 bx c 0 ; con a 0
Resolución de ecuaciones Cuadráticas: Sea b 2 4ac Primer caso: Si 0 , el primer miembro se puede factorizar y tiene dos raíces reales diferentes. Se puede resuelve mediante el método de los puntos críticos, este método también se cumplen para polinomio de grado mayor a dos que sean factorizables. Se factoriza el primer miembro, es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo. Se halla los valores críticos (raíces) Se ubica los valores críticos sobre una recta real Se coloca entre estos valores críticos los signos (+) y (-) alternados de derecha a izquierda, empezando siempre con el signo (+) El conjunto solución lo conforman la unión de intervalos con signo positivo si
,o
la unión de intervalos con signo negativo si Ejemplos: Resolver 1)
x 2 6x 7 0
Solución: Factorizar: x 7 x 1 0 Igualar a cero cada factor, para obtener los puntos críticos:
x 7 0 x 1 0
x7 x 1
Dibujar en la recta real los puntos críticos
C .S 1; 7
2)
2 5 x 3x 2 0
3
Solución: Multiplicar por 1 para que el coeficiente de x 2 sea positivo y ordenar los términos del polinomio cuadrático 3x 2 5x 2 0
Factorizar: x 2 3 x 1 0 Igualar a cero cada factor, para obtener los puntos críticos:
x 2 0 x 2 3x 1 0 x 1 3
Dibujar en la recta real los puntos críticos
1 C.S ; 2 ; 3
Segundo caso: Si 0 , entonces el primer miembro tiene dos raíces reales iguales Tener en cuenta la siguiente observación Observación: a 2 0 a R a2 0 a 0 a2 0 a 0 a 2 0 a no existe Ejemplos: Resolver 1)
x 2 8 x 16 0
Solución: Factorizar: x 4 2 0 x R
C.S R
2)
x 2 8 x 16 0
Solución: Factorizar: x 4 2 0 x R 4 C.S R 4
3)
x 2 8 x 16 0
3
Solución: Factorizar: x 4 2 0 x4 C.S 4
4)
x 2 8 x 16 0
Solución: Factorizar: x 4 2 0 C.S
Tercer caso: Si 0 , el primer miembro tiene raíces complejas Se puede resolver utilizando la siguiente proposición Proposición: un polinomio cuadrático ax 2 bx c es positivo para todo x R si y solo si a 0 y el discriminante es negativo, esto es: ax 2 bx c 0 ; x R a 0 0
Ejemplos: Resolver 1)
x2 x 2 0
Solución1: Utilizando la proposición a 1 a 0
b 2 4ac 12 4(1)(2) 7 0
Por lo tanto x 2 x 2 0 para todo x R C.S
Solución2: Completando cuadrados x 2 x 2 1 1 x 2 x 2 4 4 2
1 7 x 2 4 C.S
Ejemplos de aplicación: 1. Jaime desea delimitar un terreno rectangular que da a la rivera de un río, el cual no requiere cercado en el lado del río. El material para construir la valla cuesta $8 por metro lineal para los dos extremos y $16 por metro lineal para el lado paralelo al río. Si el área del terreno es de 12 000 m 2 y el costo de la cerca no debe exceder de $3 520, cuales son las restricciones aplicables a las dimensiones del terreno. Solución:
3
A 12000 xy 12000 y Costo 3520 16 y 16 x 3520 x y 220 12000 x 220 x x 2 220x 12000 0 ( x 120)( x 100) 0
12000 x
Costo ( 2 y )(8) x (16) Costo 16 y 16 x
El ancho puede medir desde 100m hasta 120m 2.
Si "x" unidades pueden venderse mensualmente al precio de $ p cada una, donde El costo de producir "x" unidades al mes del mismo artículo es C 650 5 x dólares ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea de por lo menos 2 500 dólares? p 200 3 x
Solución: Ingreso Total = (cantidad) (precio unitario) ( x)( p ) x 200 3 x Utilidad Total = Ingreso Total – Costo Total UT IT CT
UT x ( 200 3 x) (650 5 x ) UT 3 x 2 195 x 650
La utilidad mensual sea de por lo menos 2 500: UT 2500 UT 2500
3 x 2 195 x 650 2500 3 x 2 195 x 650 2500 0 3 x 2 195 x 3150 0 3 x 2 195 x 3150 0 x 2 65 x 1050 0 ( x 35)( x 30) 0
Deben producirse y venderse desde 30 hasta 35 unidades del artículo, para obtener una utilidad mensual de por lo menos 2500 dólares
3
1. 2. 3. 4. 5.
Ejercicios Si ¿a qué intervalo pertenece x ? Si 2 x 0 ¿a qué intervalo pertenece la expresión (4 x 2 ) ? Calcular el menor número real M tal que se cumpla: 6 + 6x – x 2 0, el dominio de la función es (0, ∞). De la información suministrada, se tiene C(t) = 0.69 C(t) = 0.69 + 0.58 = 1.27 C(t) = 0.69 + 2(0.58) = 1.85 C(t) = 0.69 + 3(0.58) = 2.43 y así sucesivamente. La gráfica se muestra en la figura
si 0 < t si 1 < t si 2 < t si 3 < t
≤1 ≤2 ≤3 ≤4
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Definición: La función valor absoluto es una función f de R en R con regla correspondiente:
f x x 0 , � . El dominio de esta función es R y el rango es � � De la definición de valor absoluto, se tiene:
�x , si x �0 f x x � x , si x 0 � Como puede verse la regla de correspondencia de f se divide en otras dos reglas. La gráfica de la función valor absoluto es:
85
Ejemplos:
Representar gráficamente la función: f1(x) = |5 − 3x|
Representar gráficamente la función: f2(x) = |3 + 2x − x2|
85
Ejemplo: La figura muestra la gráfica de la función lineal f(x)=3x-2 junto con una tabla de valores de muestra. Obsérvese que cuando x crece en 0.1, la función f(x) crece en 0.3, es decir, f(x) crece tres veces más rápido que x. Así, la pendiente de la recta, y=3x-2, que es 3 puede interpretarse como tasa o razón de cambio de y respeto de x. y
x y -2
. .
02 -2 3
=3x
x
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
f(x) =3x -2 1,0 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5
Problema: (a) Cuando el aire seco se eleva, se expande y enfría. Si la temperatura en el suelo es de 20ºC y la temperatura a un kilómetro de altura es de 10ºC, exprese la temperatura T en grados centígrados como función de la altitud h en kilómetros suponiendo que un modelo lineal es apropiado. (b) Trace la gráfica de la función de la parte a). ¿Qué representa la pendiente? (c) ¿Cuál es la temperatura a una altitud de 2.5km? Solución (a) Dado que suponemos que T es función lineal de h podemos escribir T = mh+b Un dato es que T=20 para h=0, de modo que 20 = m.0 + b = b En otras palabras, la ordenada al origen es b=20 Otro dato es que T=10 cuando h=1, de modo que 10 = m.1 + 20
85
Usaremos estos datos para obtener la gráfica de dispersión de la figura, donde t representa el tiempo (en años) y C representa el nivel de CO 2 (en partes por millón, ppm). La pendiente de la recta es, por tanto m = 10-20 = -10 y la función lineal pedida es T = -10h + 20 (a) La gráfica aparece en la figura. La pendiente m=-10ºC/km y esto representa la razón de cambio de la temperatura respecto a la altitud. T
20
10
0
T -10h+20
1
3
=
h
(c) A la altitud de h=2.5km la temperatura es T = -10(2.5)+20 = -5ºC Si no existe ley o principio físico que nos ayude a formular un modelo, construimos un modelo empírico, el cual se basa por completo en los datos que se reúnen. Buscaremos una curva que “se ajuste” a los datos, en el sentido de que capture la tendencia básica de los puntos dato. Problema: En la tabla se lista el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el observatorio del Mauna Loa, desde 1972 hasta 1990. Solución. Año 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990
CO2 nivel (ppm) 327,3 330,0 332,0 335,3 338,5 341,0 344,3 347,0 351,3 354,0
85
. . .
C 350
340
330
.
..
.
1972
.
.
.
1980 2
1990
1985
t
Note que los puntos dato parecen estar en casi una recta, de modo que resulta natural elegir un modelo lineal. Pero existen muchas rectas posibles que se pueden aproximar a estos puntos dato, de modo que, ¿Cuál debemos de usar? Una posibilidad es elegir una recta que pase por los puntos dato primero y último. La pendiente de esta recta es 354,0 327,3 26,7 1,48333 1990 1972 18 y su ecuación es: C – 327,3 = 1,48333(t-1972) o bien,
C = 1,48333t -2597,83
(1)
La ecuación (1) da un modelo lineal posible para el nivel de dióxido de carbono. Se le grafica en la figura
C 350
340
330
..
.
.
1972
.
.
1980 2
.
. . .
1985
1990
t
85
Aun cuando nuestro modelo se ajusta razonablemente a los datos, está dando valores más elevados que la mayoría de los niveles reales de CO2. La ciencia estadística proporciona un mejor modelo lineal con un proceso denominado regresión lineal. Si usaremos una calculadora graficadora, introducimos los datos de la tabla en el editor de datos y escogemos el comando de regresión lineal. La máquina de la pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión como: m = 1,496667 b = -2624,826667 De modo que nuestro modelo para el nivel de CO2 es: C 1,496667t (2) = 2624,826667
–
En la figura trazamos la recta de regresión, así como los puntos datos. Si la comparamos con la figura vemos que da un ajuste mejor que el modelo lineal anterior. C 350
340
330
..
.. 1975 2
.
.
1980
.
.
1985
. .
1990
t
Problema: Use el modelo lineal dado por la ecuación (2) para estimar el nivel promedio de CO2 para 1987 y predecir el nivel para el año 2005. De acuerdo con este modelo, ¿Cuánto excederá 400 partes por millón el nivel de CO2? Solución Usamos la ecuación con t = 1987, estimamos que el promedio del nivel de CO2 en 1987 fue C(1987) = (1,496667)(1987) – 2624,26667 349,05 Éste es un ejemplo de interpolación, porque hemos estimado un valor entre valores observados. (De hecho, el observatorio de Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO 2 en 1987 fue de 348,8 ppm, de suerte que nuestra estimación es bastante exacta). Con t = 2005, obtenemos C(2005) = (1.496667)(2005) – 2624.826667 375.99 Así pues, predecimos que el nivel de CO 2 en el año 2000 fue de 376.0 ppm. Éste es un ejemplo de extrapolación, porque hemos predicho un
85
valor fuera de la región de las observaciones. Como consecuencia, tenemos bastante menos certeza acerca de la exactitud del pronóstico. Si se usa la ecuación 2, vemos que el nivel de CO 2 es mayor que 400ppm cuando 1.496667t – 2624.826667 > 400 Si se resuelve esta desigualdad se obtiene 3024.826667 t 2021.04 1.496667 Por lo tanto predecimos que el nivel de CO2, será mayor que 400 ppm por el año 2021. Este pronóstico implica cierto riesgo porque concierne a una época muy alejada de la de nuestras observaciones. Problema: Si x representa la temperatura de un objeto en grados Celsius, entonces la temperatura en grados Fahrenheit es una función de 9 5
x dada por f x x 32 . a)El agua se congela a 0ºC (C = Celsius) y hierve a 100ºC. ¿Cuáles son las temperaturas correspondientes en grados Fahrenheit? b)El aluminio se funde a 660ºC. ¿Cuál es su punto de fusión en grados Fahrenheit? Solución Evaluando las funciones en los puntos respectivos, tenemos: 9 a) f 0 0 32 32 . El agua se congela a 32ºF 5 9 f 100 100 32 180 32 212 . El agua hierve a 212ºF. 5 9 b) f 600 600 32 1188 32 1220 . El aluminio se funde a 5 1220ºF Problema: Una importante firma de corretaje cobra una comisión de 6% en las compras de oro en cantidades con valor de $50 a $300 dólares. Para cantidades que sobrepasen los 300 dólares, la firma cobra el 2% de la cantidad más 12 dólares. Suponga que x denota la cantidad de oro comparando ( en dólares ) y f x la comisión cobrada como una función de x .
85
a) Describa f x . b) Encuentre f 100 y f 500 . Solución
a) La fórmula para f x depende de si 50 x 300 ò x >300. Cuando 50 x 300 el cargo es de 0.06x dólares. Cuando x >30. El cargo es de 0.02x +12 Escribamos , 50 x 300 0,06 x f x x 300 0,02 x 12 , b) Puesto que x= 100 satisface 50 x 300 , se utiliza la primera formula para
f x : f 100 0.06100 6 . Puesto que
satisface 300 < x, se utiliza f x : f 500 0.02 500 12 22
la
segunda
x= 500
fórmula
para
Problema: Cuando la agencia para La protección del Ambiente de Estados Unidos descubrió que cierta compañía descargaba ácido sulfúrico en el río Mississipi, multó a la compañía con 125000 dólares más 1000 dólares diarios hasta que la compañía cumpliera con la reglamentación federal de contaminación del agua. Exprese la multa total como una función del número x de días que la compañía continuó violando las reglas federales. Solución La multa variable para x días de contaminación a 1000 dólares diarios, es 1000 x Dólares. La multa total, por lo tanto, está dado por la función: f x 125000 1000 x , donde x 0 Puesto que la gráfica de una función lineal, es una recta, es suficiente hallar las intersecciones con el eje de las ordenadas y con el eje de las abscisas.
85
y x
y = 125000 + 1000x
0
125000
125
.
12500 0
0
.
-125
x
Ejemplo: Encuéntrese las coordenadas del punto de intersección de las rectas 3x – 4y = 5 y x +2y = 5 Solución: Simplemente hay que resolver al mismo tiempo las dos ecuaciones. Se multiplica la segunda ecuación por -3 y después se suman las dos ecuaciones. 3x 4 y 5 3 x 6 y 15 10 y 10 y 1 x3 El punto ( 3, 1) representa el punto de intersección de estas rectas.
85
85
1. Analice la tabla sobre ebullición del agua a diferentes alturas.
Altura Temperatura en de metros ebullición a nivel del agua del mar 100 99.7 300 99.0 500 98.4 700 97.7 900 97.0 1100 96.4 1300 95.7 1500 95.1 1700 94.4 1900 93.8 2100 93.1 2300 92.5 2500 91.8 2700 91.1 2900 90.5 ¿Tiene sentido unir los puntos para tener una representación de una gráfica continua? 2. Cuando las empresas adquieren equipo, los contadores por lo general asignan el costo el artículo sobre el periodo que éste se va a emplear. Por ejemplo, a un camión cuyo costo sea de $600000 y una vida útil de 5 años, los contadores podrían asignarle $24000 al año como costo de adquisición. El costo asignado a cualquier periodo se le denomina depreciación. Los contadores conservan registros de activo principal y su valor corriente o “del libro”. Así, el valor del camión podría aparecer en los estados de
contabilidad como $600000 al principio (6000000-24000) =$576000 al año siguiente, etc. La depreciación puede considerarse también como el monto en el que se ha disminuido el valor en libros de un activo. Un caso especial es la depreciación lineal, aquella en la que la tasa de depreciación se mantiene constante. En este caso del camión, si V es el valor en libros y t es el tiempo en años, entonces: V = costo de adquisición – depreciación V = 600000 – 240000 t Grafique la función correspondiente Nota: En una gran variedad de casos la tasa de depreciación no es constante a intervalos de tiempo iguales. Puede suceder, por ejemplo, que un artículo se deprecie rápidamente al principio y lentamente al final de su vida útil. Así, podemos tener distintas funciones no lineales, de valor, para los artículos.
3. Un recipiente cuya forma es la de un paralelepípedo rectangular se llena con un líquido. Considerando las dimensiones del recipiente de la figura, realice una gráfica volumen contra altura. Lo mismo para los otros dos recipientes.
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c) Grafique la curva asociada a la expresión algebraica encontrada en b). 5. En la tabla se muestran los billones de dólares gastados en juegos de casinos en Estados Unidos: Año Gast o
198 2 4.2
198 3 4.6
198 4 5.0
198 5 5.5
198 6 5.8
Año 1987 1988 1989 1990 1991 Gasto 6.5 7.0 7.5 8.7 9.0
Encuentre una función que modele el fenómeno utilizando los datos anteriores. Proporcione un modelo discreto y un modelo continuo.
4. Con un resorte de longitud igual a 13 centímetros se han suspendido varios pesos y se ha medido la longitud del resorte, lo que da como resultado la tabla.
Peso en Kg Longitud del resorte en cm
6. La tabla nos muestra lo que se obtuvo por concepto de impuestos sobre negocios en Estados Unidos de 1955 a 1990, en billones de dólares.
0
1
2
3
3.5
4
7
13
15
17
19
20
21
27
a) Grafique los puntos que da la tabla donde el peso está en kilogramos y la longitud del resorte en centímetros b) Encuentre una expresión algebraica que modele el fenómeno.
Año
1965
1970
1975
1980
1985
1990
Cantidad
25.41
30.81
36.15
41.57
47.03
52.42
Grafique los puntos correspondientes proporcionando un modelo discreto y encuentre una función que modele los datos para representar un modelo continuo.
7. Una compañía de automóviles al probar uno de sus nuevos modelos en relación con distancia
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de frenado bajo ciertas velocidades obtuvo la tabla: Velocidad en km/h 20 Distancia de frenado en m 4
40
60
80
100
8
12
16
20
área de la superficie del líquido, a la que llamaremos S, conforme varía la altura del líquido, esta última la denotaremos como h; es decir, S está en función de h
a) Construya una gráfica con los datos obtenidos. b) Si unimos cada uno de los puntos de la gráfica. ¿Tendrá sentido el contexto del fenómeno que estudiamos? c) Construya una función para un modelo discreto y una para un modelo continuo. Discuta la pertinencia de cada uno de los modelos. d) Para cada uno de los modelos construido en el inciso c), proporcione el dominio de definición para cada una de las funciones construidas. 8. Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible para 2500 litros. Al navegar cada día consume aproximadamente 150 litros de combustible. Esta situación la podemos modelar con C(t) = 2500150t, con t la variable tiempo. a) ¿Cuál es el dominio de definición de la función? b) ¿Cuál es el rango? c) ¿Después de cuántos días en el mar se le debe llenar el tanque de combustible? d) Dibuje la gráfica correspondiente
¿Qué agencia les conviene? Haz un gráfico que muestre tu conclusión.
9.. Considere los siguientes recipientes que se están 4 Manuel está sentado en un columpio, y llenando con un líquido. En este 1. El siguiente recipiente se está comienza a columpiarse. Está tratando de caso nos interesamos en el llenando con un líquido. ¿Qué elevarse lo más posible.
¿Qué diagrama representa mejor la altura de sus pies sobre el suelo mientras se columpia?
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gráfica, volumen contra altura, representa mejor al fenómeno? Justifique su respuesta.
A Altura de los pies
Tiempo
B Altura de los pies
TiTiempo
C
Altura de los pies
Tiempo
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2 El perímetro de un rectángulo es 24cm. ¿Cuáles serían los posibles valores de su base y de su altura? Elabora la respectiva gráfica considerando en el eje x la longitud de la base y en el eje y la longitud de la altura. 3 Para un viaje por distintas playas 120 estudiantes piden presupuestos a 2 agencias. ALAS les da buses de 30 asientos, cada uno por s/.960m, más s/.0,80 por km recorrido y URPI les da buses de 40 asientos, cada uno por s/.1500, más s/.0,70 por km recorrido. Si no saben cuántos kilómetros recorrerán, pero como máximo serán 1000km.
5 Un tanque de agua tiene la forma y las dimensiones que se muestran en el gráfico. Al comienzo, el tanque está vacío. Luego, se llena de agua a una velocidad de un litro por segundo. 1,0 m 1,5 m
1,5 m
Tanque de agua
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¿Cuál de los siguientes gráficos ilustra cómo cambia la altura de la superficie del agua con el transcurso del tiempo?
D Altura
A Altura
Tiempo
E Altura
Tiempo
B Altura
Tiempo
Tiempo
C Altura
Tiempo
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SESIÓN 9 Función Cuadrática Definición Una función cuadrática es una función f de R en R con regla de correspondencia:
f x ax 2 bx c Donde a, b y c son reales y a �0. El dominio de una función cuadrática es R y su rango es un subconjunto de. Gráfica de la función cuadrática La función cuadrática de la forma
f x ax 2 bx c , completando cuadrados en la
variable x cuando b �0, puede expresarse en la forma:
f x a x h k 2
La gráfica de f es una parábola de vértice h ; k . Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba y el valor mínimo de f ocurre en x = h y su valor es f h k .
Si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo y el valor máximo de f ocurre en x = h y su valor es f h k .
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La ventaja de escribir una función cuadrática en la forma f x a x h k es que 2
facilita identificar el vértice de la parábola.
Decimos que el modelo es cuadrático si lo podemos expresar por medio de una función cuadrática. Un modelo cuadrático se puede determinar a través de una ecuación o bien, por medio de una gráfica que mejor aproxime a los datos. En algunos casos puede ocurrir que nuestro modelo coincida precisamente con una parábola, mientras que habrá otras ocasiones en las que no todos los datos pertenecen a la misma curva. En dicha situación trataremos de encontrar aquella parábola que mejor represente el modelo que estamos analizando. Ejemplo de Modelo Cuadrático Juan López atiende y es el dueño de la pastelería MILAGROS. Contrató un consultor para analizar las operaciones del negocio. El consultor, después de analizar sus ventas llegó a la conclusión que sus ganancias P(x) de la venta de x unidades de pasteles están dados por P(x) = 120x − x2. ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima? Solución A la función ganancia dada expresamos en la forma P(x) = −x2 + 120x Su gráfica es una parábola que se abre para abajo y su vértice es:
−2 2a
99
La coordenada x es el número de pasteles, la coordenada y es la ganancia con ese número de pasteles. Solo la porción de la gráfica en el cuadrante I (donde ambas coordenadas son positivas) es importante aquí, porque no puede vender un número negativo de pasteles y no tiene interés en una ganancia negativa. La ganancia máxima ocurre en el punto con la mayor coordenada”y”, es decir, el vértice como en la figura; la ganancia máxima de S/.3600 se obtiene cuando se vende 60 pasteles. Ejemplo. Máxima capacidad Una larga hoja rectangular metálica, de 12 pulgadas de ancho, se ha convertir en canal al doblar hacia arriba cada uno de los lados, de modo que sean perpendiculares a la hoja. ¿Cuántas pulgadas deben ser hacia arriba las que den al canal capacidad máxima? Solución. Si x denota el número de pulgadas hacia arriba en cada lado, el ancho de la base del canal es 12 − 2x pulgadas. La capacidad será máxima cuando el área de sección transversal del rectángulo con lados de longitudes x y 12 − x tiene su valor máximo. Si con f (x) denotamos esta área, tenemos
que tiene la forma f (x) = ax2 + bx + c con a = −2, b = 12, y c = 0. Como f es una función cuadrática y a = −2 < 0, se tiene
Por tanto, 3 pulgadas deben voltearse hacia arriba en cada lado para lograr máxima capacidad. Como solución alternativa, podemos observar que la gráfica de la función f (x) = x(12 − 2x) tiene cruces con el eje x en x = 0 y x = 6. En consecuencia, el promedio de las cruces,
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es la coordenada x del vértice de la parábola y el valor que da la máxima capacidad. Respecto a la gráfica de las funciones cuadráticas podemos tener en consideración el siguiente cuadro
Slos radicandos en (1) o (3) son negativos, entonces no hay puntos de intersección con el eje x. Si el lector tiene una función cuadrática de la forma (3) y desea hallar el vértice y puntos de cruce con eje x, puede ser primero hallar los puntos de intersección con el eje x con el uso de la fórmula cuadrática. A continuación puede fácilmente obtener la coordenada x del vértice, h, porque
Desde luego, si la función de la forma (3) es fácilmente factorizable, no es necesario usar la fórmula cuadrática. Problema Volumen de un tanque como función de su radio Un tanque de acero para gas propano se va a construir en forma de cilindro circular recto de 10 pies de altura, con una semiesfera unida a cada extremo. El radio r está por determinarse. Exprese el volumen V (en pies) del tanque como función de r (en pies). Solución Podemos hallar el volumen de la parte cilíndrica del tanque al multiplicar su altura 10 por área πr2 de la base del cilindro. Esto nos da volumen del cilindro = 20(πr2) = 10πr2
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Los dos extremos semiesféricos, tomados juntos, forman una esfera de radio r. Usando la fórmula para el volumen de una esfera, obtenemos
Por lo tanto, el volumen V del tanque es
Esta fórmula expresa V como función de r. En forma factorizada,
Problema Máxima ganancia Un fabricante de relojes puede producir un tipo de reloj a un costo de $15 por unidad. Si el precio de venta es de x dólares, entonces (125 − x) relojes se venden por semana. (a) Exprese el número de dólares en la ganancia semanal del fabricante como una función de x. (b) A partir de la función obtenida en el inciso (a), determine la ganancia semanal si el precio de venta es de $45 por reloj. (a) Trace la gráfica de la función del inciso (a) y estime el precio de venta para que la ganancia semanal del fabricante sea un máximo. (d) Compruebe algebraicamente lo estimado en el inciso (c). Solución (a) La ganancia puede obtenerse restando el costo total de las ventas totales. Sea R(x) dólares la venta semanal. Debido a que la venta total es el producto del precio de venta y el número de relojes vendidos, R(x) = x(125 − x) Sea C(x) dólares el costo total de los relojes que son vendidos semanalmente. Debido a que el costo total es el producto del costo de cada reloj y el número de relojes vendidos, entonces(x) = 15(125 − x) Si P(x) dólares es la ganancia semanal, entonces: P(x) =x(125 − x) − 15(125 − x)
99
P(x) =(125 − x)(x − 15) (b) Si el precio de venta es de $45 por unidad, el número de dólares en la ganancia semanal es P(45). A partir de la expresión para P(x) del inciso (a), se tiene: P(x) = (125 − 45)(45 − 15) P(x) = 2400 Conclusión: La ganancia semanal es de $2400 cuando los relojes se venden a $45 cada uno. (c) La figura muestra la gráfica de P trazada en el rectángulo de inspección. El vértice de la parábola que abre hacia abajo, parece estar en el punto donde x = 70. En consecuencia para que la ganancia semanal del fabricante sea un máximo, se estima que el precio de venta por reloj debe ser de $70.
(d) A partir de la expresión para P(x) del inciso (a) se tiene: La función P es cuadrática con a = −1 y b = 140. Debido a que a < 0, P tiene un valor máximo en el punto donde: Conclusión: La ganancia semanal del fabricante será un máximo cuando el precio del reloj sea $70. Esta conclusión está de acuerdo con lo estimado en la parte (c). Problema Máxima ganancia bruta El gerente financiero de un boletín informativo escolar determina que 1000 copias de éste deben venderse si el precio es 50 centavos y que el número de copias debe disminuirse en 10 por cada que se le agregue al precio.¿En qué precio se obtendrá más ganancia bruta?.
99
¿Cuál es la mayor ganancia bruta?. Solución El número de centavos en la ganancia bruta mayor depende del precio por copia. Sea F(x) centavos la ganancia bruta cuando x centavos es el precio de venta por copia. La cantidad por la cual x excede a 50 es x − 50. A fin de determinar el número de copias vendidas cuando x centavos es el precio por copia, debe restarse de 1000 el producto de 10 y este exceso. Por tanto cuando x centavos es el precio por copia, el número de copias vendidas es: 1000 − 10(x − 50) Se obtiene una expresión para la ganancia bruta si se multiplica el número de copias vendidas por el precio por copia. Por tanto: [1000 − 10(x − 50)]x F (x) = −10x2
F (x) = 1500x
+
Para esta función cuadrática a = −10, b = 1500 y c = 0. Debido a que a < 0, tiene un valor máximo en el punto donde: El valor máximo es: F (75) = −10(75)2 + 1500(75) F (75) = 56250 Conclusión: El precio de 75 centavos por copia da la mayor ganancia bruta de ventas, ésta es $562.50 Problema Un pomar produce una ganancia de $40 por árbol cuando tiene 1000 árboles planta- dos. Debido a la sobreproducción la ganancia por árbol (por cada árbol en el pomar) se reduce en dos centavos por cada árbol adicional que se plante. ¿Cuántos árboles se deben plantar de manera que se tenga la ganancia total máxima del pomar? Solución Sea: T = la ganancia total Como se pide el "número de árboles" óptimo. Sea: x = el número de árboles que deben plantarse La otra cantidad que varía es la "ganancia por árbol". Sea:
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g = la ganancia por árbol . El objetivo es maximizar la ganancia total, entonces: [ganancia total] = [ganancia por árbol] − [número de árboles] Entonces
T=g∗x
[ganancia por árbol] = [ganancia original por árbol] −[pérdida por árbol en la ganancia debido al incremento] g =40 − (x − 1000)(0.02) g =60 − 0.02x La pérdida en la ganancia (por árbol) debido al incremento en el número de árboles se obtuvo multiplicando (x − 1000), el número de árboles excedentes de 1000, por la cantidad de dinero perdido (por árbol) por cada árbol excedente. De ahí: g =p ∗ x = (60 − 0.02x)x g =60x − 0.02x2
De la gráfica se observa que la ganancia es máxima cuando x = 1500. Por lo tanto, se deben plantar 1500 árboles.
99
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1
Se va a cercar un terreno rectangular situado en la ribera de un río y no necesita valla en la orilla de éste. El material para construir la cerca cuesta S/. 8 por metro lineal para los dos extremos y S/. 12 por metro lineal para el lado paralelo al río; se utilizarán S/. 3600 de material para vallas. Si x metros es la longitud de un extremo, modela una expresión en metros cuadrados el área del terreno en función de x. ¿Qué valores puede tomar x? ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de mayor área posible que pueda cercarse con S/.3600 de material?
2
Un recipiente rectangular de almacenamiento, sin tapa, tiene 10m3 de volumen. La longitud de su base es el doble de su anchura. El material de la base cuesta S/. 10 por metro cuadrado, y el de los lados S/. 6 por metro cuadrado. Expresa el costo de los materiales en función del ancho de la base.
3
Un cultivo de bacterias crece de 50 a 300 en 4 horas. (a) Suponiendo que la población sigue creciendo sextuplicándose cada 4 horas, verificar que P(t) = 50(6)t/4 representa la población descrita de t horas. (b) Halle la población después de 8 horas.
4
La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de S/. 5 por kW h para los primeros 50 kW y a S/. 3 para cantidades que excedan los 50 kW . Determina el modelo C(x) que da el costo de usar x kW de electricidad.
5
Al trazar una recta en el plano, éste queda dividido en dos regiones. 99
Si trazamos dos rectas secantes las regiones determinadas serán 4. Seguimos trazando rectas de manera que cada una corte a todas las anteriores y que nunca se corten más de dos rectas en un mismo punto. Entonces, ¿es posible determinar una ley o fórmula que dé el número de regiones conocido el número de rectas?
SESIÓN 10 Aplicación de las Funciones Funciones como modelos matemáticos Un modelo matemático es un proceso mental que conduce a convertir un problema difuso de la realidad en un problema claramente matemático, de modo que, resolviendo este último, se consiga una solución, o al menos un buen conocimiento del primero. En su proceso de elaboración, las funciones constituyen una herramienta fundamental. Al proceso que permite traducir una situación real en una función matemática se le denomina modelización. EJEMPLO Costo de construcción de una cisterna: Un grupo de ingenieros construye una cisterna, de modo que su capacidad sea de 300 metros cúbicos de agua. La cisterna tiene como base un cuadrado, cuatro caras verticales, todas hechas de concreto y una tapa cuadrada de acero. Si el concreto cuesta S/. 1,5 el metro cuadrado y el acero, S/. 4 el metro cuadrado, determinar el costo total C, como una función de la longitud del lado de la base cuadrada. EJEMPLO Costo de naranjas al por mayor: Un ambulante puede comprar naranjas en el mercado mayorista a los precios siguientes: 60 céntimos, si adquiere 20 kilos o menos; 50 céntimos, si compra más de veinte y hasta cuarenta kilos; y 40 céntimos si la compra excede los 40 kilos. Determinar el costo C en función del número de kilos de naranjas compradas (x) 99
EJEMPLO Un problema de optimización: Un fabricante de relojes puede producir un reloj en particular con un costo de S/. 15 por unidad. Se estima que el precio de venta del reloj es x, entonces el número de relojes que se vende por semana es 125 – x.
Expresar el monto semanal de las utilidades del fabricante como función x. Utilizar el resultado anterior para determinar semanales, si el precio de venta es S/. 45 por reloj.
las
utilidades
Determinar cuál debe ser el precio de venta, si se busca que las utilidades semanales alcancen un valor máximo. EJEMPLO Construcción de un cerco: El departamento Vial de un distrito ha decidido construir un área para automovilistas al lado de una carretera. Será rectangular y tendrá una superficie de 5 000 metros cuadrados y estará cercada en los tres lados no adyacentes a la carretera. Expresar la cantidad de metros del cerco requerido como una función de la longitud del lado no cercado. EJEMPLO Expansión de un incendio: Un incendio comienza en un campo abierto y seco, extendiéndose en forma de círculo. El radio de tal círculo aumenta a razón de 6 m/min. Expresar el área de fuego como una función del tiempo t. EJEMPLO Una empresa ABC – SA produce artefactos electrodomésticos y puede tener una utilidad de 20 soles en cada artículo si se producen semanalmente no más de 800 artículos. La utilidad en cada artículo decrece 2 céntimos por artículo que sobrepase 800. ¿Cuántos artículos deben fabricarse a la semana para obtener la máxima utilidad? EJEMPLO
99
Encontrando un área mínima: Una página rectangular está diseñada para contener 48 pulgadas de impresión. Los márgenes de cada lado de la página son de ancho una y media pulgada. Los márgenes de la parte superior e inferior son de una pulgada. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para que la mínima cantidad de papel sea usada?
EJEMPLO Dos puntos A y B se encuentran separados 10 km en una playa recta. Un punto C está a 3 km directamente de B en el mar. Tender un km de tubería sobre la playa cuesta S/. 400 y en el mar el tendido de un km cuesta S/. 500. ¿Cuál es el costo más económico del tendido de una tubería desde A hasta C? EJEMPLO Un agricultor estima que si planta 60 manzanos, la producción media por árbol será 400 manzanas. La producción media decrecerá en 4 manzanas por cada árbol adicional, plantado en la misma extensión. Entonces el número de árboles adicionales que deberá plantar para maximizar la producción total es: EJEMPLO (Demanda) Si un artículo se ofrece a la venta al precio p por unidad, la cantidad q demandada en el mercado está dada por la relación 3q + p = 10. Dibuje la gráfica de esta relación. Coloque q en lugar de x (eje horizontal) y p en lugar de y (eje vertical). EJEMPLO (Modelo de costo lineal) El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50¢ y los costos fijos por día son de $300. a) Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica. b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día.
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EJEMPLO (Modelo de costos) El costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día es de $350, mientras que cuesta $600 producir 20 máquinas del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación entre el costo total de producir x máquinas de escribir al día y dibuje su gráfica. EJEMPLO (Demanda) Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal
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