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Agrupamiento de proposiciones Es frecuente encontrar proposiciones que contienen más de un operador o conectivo. Así, cuando a partir de una o más proposiciones, formamos otra proposición mediante un conectivo u operador, se puede tomar a su vez esta nueva proposición para formar otras proposiciones más complejas. En tal caso se ha de señalar sin lugar a equívoco, en la escritura, la jerarquía de estas sucesivas composiciones. La manera más corriente de realizarlo es mediante el empleo de algunos signos de agrupación como los paréntesis, ( ); los corchetes, [ ] y las llaves, { }. Sin dichos signos de agrupación los esquemas proposicionales podrían ser ambiguos y a veces hasta carecer de sentido. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠. 1. 𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (~𝑟) 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝 ∧ 𝑞 𝑦, 𝑝𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ~𝑟 𝑦, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑦𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜𝑠. 𝐿𝑎 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟í𝑎 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟é𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ (~𝑟)) 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑛𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑦𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟. 2. 𝐿𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑝 → 𝑞 → 𝑟 𝑐𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜, 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) 𝑦 (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜, 𝑎𝑢𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜. 3. 𝑆𝑖 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑦𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑝 ∧ ~𝑟 𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 𝑝 → (𝑞 ↔ ~𝑡), 𝑎𝑏𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟í𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑐ℎ𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠: (𝑝 ∧ ~𝑟) ∨ [𝑝 → (𝑞 ↔ ~𝑡)] 4. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑦𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒: (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑞 → ~𝑝) 𝑝 ∨ ∨ F F

𝑞 ∨ F ∨ F

~𝑝 F F ∨ ∨

~𝑞 F ∨ F ∨

𝑝→𝑞 ∨ F ∨ ∨

~𝑞 → ~𝑝 ∨ F ∨ ∨

(𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑞 → ~𝑝) ∨ V V ∨

Observe que en la última casilla todos los valores obtenidos son verdaderos. En este caso decimos que la proposición compuesta es una TAUTOLOGÍA, pero podría darse el caso que en la última columna sólo se presenten valores falsos, diríamos entonces que la proposición es una CONTRADICCIÓN o un FALACIA. Cuando en la última columna aparecen falsos y verdaderos, la proposición se denomina una INDETERMINACIÓN. 𝐸𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠. 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑟𝑢𝑦𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 𝒂. (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (~𝑟)

𝒃. (𝑝 ∧ ~𝑝) → 𝑞

𝒄. 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ (~𝑟)) 𝒅. (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑞 → ~𝑝)