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1.1.1 - PROBLEMAS RESUELTOS        1. Se define una cruva por la condicion de que en cada uno de sus puntos ( x, y ) su pendiente dy/dx es igual al doble de la suma de las corrdenadas del punto. Exprese la condicion mediante una ecuacion diferencial.   La ecuacion diferencail que representa la condicion la condicion es  dy/dx  = 2 ( X + Y )         2.Una curva esta definida por la condicion de que la suma d los segmentos x, e y interpretados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2. expresar la condicion por medio de una ecuacion diferencial.   La ecuacion de la tangente a la curva en el punto ( x, y ) es Y - Y =  dx/dy ( X - x )  y los segmentos interceptados en los ejes son, respectivamente X = X Y dx/dy  Y = y- x  dy/dx la ecuacion diferencial que representa la condicion es  x + y = x -y dy/dx  +  y - x  dy/dx  =  2 o bien  x ( dy/dx )2 -  (x  + y - 2 ) dy/dx  +  y  = 0      3. Cien gramos de azucar de caña que estan en agua se convierten en dextrosa a una a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido. Hallese la ecuacion diferencial que exprese la velocidad de conversion despues de 1 minuto. Designado por q el numero de gramos convertidos en 1 minuto, el numero de gramos aun no convertidos.   sera (100 - q ) y la velocidad de conversion vendra dada por  dq/dt  = ( 100 - 9 ) siendo K la constante de  propocionalidad.     4. Una particula de masa m se mueve a lo largo de una linea recta ( el eje x ) estando sujeta a 1) una fuerza proporcinal a su desplazamiento x desde un punto fijo 0 en su trayectoria y dirijida hacia 0 y 2 ) una fuerza resistente proporcional a su velocidad. Expresar la fuerza total como una ecuacion diferencial.

  La primera fuerza se puede representar por -K1 X Y la segunda por -K2  dy/dx  siendo K1 Y K2  factores de proporcionalidad.   La fuerza total ( masa x aceleracion ) esta dada por M  d2x/dt2   =   - K1X - K2 dx/dt   5.Demostrar que cada una de las ecuaciones a) ( Y = X2 + A + B, b ) Y = Ae x+B , C ) Y = A + ln Bx  solamente es esencial una de las dos constantes arbitrarias.   a) como A + B no es mas que una sola constante arbitraria, la ecuacion contiene unicamente una constante arbitraria esencial.   b) Y = Ae x+B = A ex eB, Y AeB  no es mas que una sola constante arbitraria.   c) Y = A + ln Bx = A + ln B + ln X, Y ( A + ln B ) realmente es una sola constante.   6. Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva Y = AX2 + Bx + C   Como hay tres constantes arbitrarias, se consideran las cuatro ecuaciones.   Y = AX2 + BX + C                       dy/dx  = 2AX + B                      d2y/dx2 =2A                              d3y/dx3  = 0     La ultima ecuacion  d3y/dx3  esta libre de constantes arbitrarias y es del orden adecuado, luego esta la ecuacion pedida.   Obesrvese que no se hubiesen podido eliminar las constantes entre las primeras ecuaciones. Observese tambien que se puede obtener rapidamente la primitiva a partir de la ecuacion diferencial mediente integracion.   7.Obtengas la ecuacion diferencial asociada con la primitiva  X2Y3 + X3Y3 = C   Derivando una vez respecto a x  se obtiene ( 2xy3  +  3x2y2  dy/dx ) + ( 3x2y3  +  5x3y2  dy/dx ) = 0  o bien cuando  xy = 0 ( 2y + 3x  dy/dx  ) + xy2 ( 3y dx  +  5x dy/dx ) = 0 como la ecuacion pedida.

    Escritas con notacion diferencial, estas ecuaciones son.    1)  ( 2XY3 dx + 3x2y2dy ) + ( 3x2 y3 dx + 5x3y2 dy ) = 0     2)  ( 2y dx + 3x dy ) + xy2 ( 3y dx + 5x dy ) = 0       Observese que la primitiva se puede obtener  rapidamente de 1) mediante integracion pero no tan rapidamente de 2) . En efecto, para obtener la primitiva cuando se da 2) hay que determinar el factor  XY2  que se habia sacado de 1).   8.Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva y = A cos. ax + B sen ax + B sen ax, siendo A y B constantes arbitrarias y a una fija.     Derivando                       dy/dx  = - Aa sen ax + Ba cos ax                                            d2y/dx2  = - Aa2 cos ax - Ba2 sen ax = -a2 ( A cos ax + B sen ax ) = -a2 y     la ecuacion diferencial pedida es  d2y/dx2  + a2y = 0     9.Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva y = AC2x  + Bex  + C.    Derivando : dy/dx  =  2Ae2x    +  Bex                  d2y/dx2  = 4Ae2x   + Bex                        d3y/dx3  =  8Ae2x   +  Bex  

    Entonces: d3y/dx3  -  d2y/dx2  = 4Ae2x               d2y/dx2  - dy/dx  = 2Ae2x                        d3y/dx3  -  d2y/dx2  =  2 (d2y/dx2  -  dy/dx )         La ecuacion pedida es:  d3y/dx3 - 3  d2y/dx2   +  2 dy/dx  =  0         10.Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva  y = C1 e3x +  C2 e2x + C3 ex       Derivando                              dy/dx  = 3 C1 e3x + 2C2e2x +C2ex                                                      d2y/dx2  = 9C1e3x +4C2e2x +C2ex     y           d3y/dx3  =  27C1e3x + 8C2e2x + C2ex       La eliminacion de las constantes  por metodos elementales es, a veces laboriosa. Si se resuelven tres  de las ecuaciones respecto a C1  C2  C3  mediente determinantes y estas se sustituyen en la cuarta ecuacion , el resultado se puede poner en la forma ( llamada el eliminante ).

1.1.- ORIGEN DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES.   UNA ECUACION DIFERENCIAL es una ecuacion que contiene derivadas. por ejemplo.   1)  dyd / dx  =  x  +  5                                                                                  5) ( y" )2 +  ( y )3  +  3y  =  x 2    2)  d2y / dx2  +  3 dy/dx  +  2y = 0                                                               6) dz / dx  = z  + x  dz/dy   3)  xy + y  =  3                                                                                             7) d2z/dx2  +  d2z/dy2  =  x2  + y   4)  y  +  2 (  y" )2 + y  =  cos x         Si hay una sola variable independiente, como en 1)-5), las derivadas ordinarias y la ecuacion se denomina ecuacion diferencial ordinaria.  Si hay dos o mas variables independientes, como en 6) y 7) las derivadas son derivadas parciales y la ecuacion se llama entre derivadas parciales.    El orden de una ecuacion diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Las ecuaciones 1),3) y 6) son de primer orden; 2), 5) y 7) son de segundor orden.    El grado de una ecuacion diferencial que puede escribirse como un polinomio respecto a las derivadas es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Todas las ecuaciones de los ejemplos anteriores son de primer grado exepto la 5) que es de segundo grado.    En el capitulo 28 se estudian las ecuaciones parciales. Ahora unicamente se van a considerar las ecuaciones diferenciales ordinarias con una sola variable dependiente.   ORIGEN DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES.  

a) Problemas geometricos. Veanse problemas 1 y 2 expuestos a continuacion.   b) Problemas fisicos. Veanse problemas 3 y 4 expuestos a continuacion.   c) Primitivas. Una relacion entre las variables que contengan n constantes arbitrarias como Y = X4 + Cx O Y = AX2 + BX. se llama una primitivas. Las n constantes, que siempre se representaran aqui mediante letras mayusculas, se llaman esenciales si no se pueden sustituir por un numero menor de constantes. Vease problema 5.      En general. de uan primitiva que contenga n constantes arbitrarias esenciales se puede decucir una ecuacion diferencial, de orden n, libre de constantes arbitrarias. Esta ecuacion se obtiene eliminando las n constantes entre las (n + 1) ecuaciones siguientes: La primitiva y las n ecuaciones obtenidas derivando la primitiva n veces con respecto a la variable independiente. Veanse problemas 6-14 expuestos a continuacion.    17. Expresar mediante ecuaciones diferenciales cada uno de los siguientes principios fisicos.      a) El radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad Q del radio presente.         sol. dQ/dl = -kQ       b) La poblacion P de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional a la poblacion y a la diferencia entre         200.000 y la poblacion.         sol. dp/dl = kP(200.000 - P)       c) Para cierta sustancia la velocidad de cambio de presion de vapor (p) respecto a la temperatura (7) es proporcional a la presion de vapor e inversamente  porcional  al cuadrado  de la temperatura.          sol. dp/dT = KP/T         d)  La diferencia de potencial E atraves de un elemento de inductancia L es igual al producto de L por la velocidad de cambio de la corriente i en la inductancia.            sol.    E = L ( di/ dt )              e)  Masa x aceleracion = a fuerza   sol.  m  du/dt  = f o bien m d2s/dt2  = f

  18. Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitica dada, siendo A Y B constantes arbitrarias,   a) Y = AX                      Sol. Y =  X/Y                   e) Y = sen ( x + A )                  Sol. ( y ) 2 = 1 - y2   b) Y = AX + B               Sol. Y" = 0                       f) Y = Aex + B                          Sol. Y" = Y   c) Y = CX+A = BCX        Sol.  Y = Y                       g) X = A sen ( Y + B )               Sol. Y" = x ( y )3                                                              d) Y = A sen X            Sol. Y = Y ctg x                h) ln y = Ax2 + B                      Sol xyy" - yy - x ( y )2 = 0     19. Hallar la ecuacion de la familia de circunferencias de radio variable r cuyos centros estan sobre el eje x.      ( comparese el problema 12.)      sugerencia :(  X - A ) 2 + Y2 = r2 siendo A y r constantes arbitrarias Sol. yy" + ( y )2 + 1 = 0   20. Hallar la ecuacion diferencial de la familia de las cardiodes p = a (1 - cos 0 ).       sol.  (1 - cos 0)dp = p sen 0 d0   21. Hallar la ecuacion diferencial de todas la lineas rectas que estan a la distancia unidad del origen        sol. ( xy - y )2 = 1 + ( y )2   22. Hallar la ecuacion diferencial de todas las circunferencias del plano.       sugerencia:  X2 + Y2 - 2AX - 2BY + C = 0                          Sol.  [ 1 + ( Y )2 ]Y" - 3Y( Y" )2 = 0      OBSERVE EL VIDEO PARA OBTENER MAS AYUDA : http://www.youtube.com/watch?v=3QMXJg04lsY

Problemas propuestos 11.- clasificar cada una de las siguientes ecuaciones según el orden y el grado. 1.-                                                              

                                   sol. 1” orden: 1er grado

    2.-                                                                 

                                                            sol. 2° orden: 1” grado     

3.-                                                                                                                                                                                                                                     sol. 3” orden: 1” grado       4.-                                                                                               sol. 3”orden: 1 grado                                                                                                           5.-                                                                 

                                                    sol. 3” orden. No ce aplica. El grado

                                                                                          12.-Escribe la ecuación diferencial de cada una de las curvas definidas mediante las condiciones dadas. a)    En cada punto (x,y) la pendiente de la tangente es igual al cuadrado de la abscisa del punto. Sol. Y’=x2 b)    En cada punto (x,y) la longitud de la subtangente es igual a la suma de las coordenadas del punto. Sol. y/y2=x+y o bien (x+y)y’=y c)    El eje de las y divide en dos partes iguales al segmento que une p(x,y)con el punto de intersección de la normal en p. Sol. Y+x d)    En cada punto (p,0) la tangente del ángulo determinado por el radio vector y la tangente es igual a 1/3 de la tangente del ángulo vectorial Sol. P e)    El área limitada por el arco de una curva, el eje x y las dos coordenadas, una fija y una variable, es igual al doble de la longitud del arco entre las ordenadas Sugerencia:      

                           

                              

13.- expresar mediante ecuaciones diferenciales cada uno de los siguientes principios físicos. a)    el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad Q del radio presente Solución: dQ/dt=-kQ   b)    la población P de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional a la población y a la diferencia entre 200.000 y la oblación. Sol. dP/dt=kP(200.000-P) c)    para una cierta sustancia la velocidad de cambio de presion de vapor (P9 respecto a la temperatura (T) es proporcional a la presion de vapor e inversamente proporcional al cuadrado de la temperatura. Sol. dP/dT=kP/T2 14.-  hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio variable cuyos centros están sobre el eje x. Sugerencia:   Sol.  15.- hallar la ecuación diferencial de la familia de las cardiodes p=a(1-cos 0) Sol. (1-cos 0) dp =p sen 0 d0 16.- hallar la ecuación diferencial de todas las líneas rectas que están a la distancia unidad del origen Sol.  17.- hallar la ecuación diferencial de todas las circunferencias del plano.

Sugerencia: utilice  

 

Sol. [1+(y’)2]y’’-3y’(y’’)2=0

1.1.1 - PROBLEMAS RESUELTOS        1. Se define una cruva por la condicion de que en cada uno de sus puntos ( x, y ) su pendiente dy/dx es igual al doble de la suma de las corrdenadas del punto. Exprese la condicion mediante una ecuacion diferencial.   La ecuacion diferencail que representa la condicion la condicion es  dy/dx  = 2 ( X + Y )         2.Una curva esta definida por la condicion de que la suma d los segmentos x, e y interpretados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2.

expresar la condicion por medio de una ecuacion diferencial.   La ecuacion de la tangente a la curva en el punto ( x, y ) es Y - Y =  dx/dy ( X - x )  y los segmentos interceptados en los ejes son, respectivamente X = X Y dx/dy  Y = y- x  dy/dx la ecuacion diferencial que representa la condicion es  x + y = x -y dy/dx  +  y - x  dy/dx  =  2 o bien  x ( dy/dx )2 -  (x  + y - 2 ) dy/dx  +  y  = 0      3. Cien gramos de azucar de caña que estan en agua se convierten en dextrosa a una a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido. Hallese la ecuacion diferencial que exprese la velocidad de conversion despues de 1 minuto. Designado por q el numero de gramos convertidos en 1 minuto, el numero de gramos aun no convertidos.   sera (100 - q ) y la velocidad de conversion vendra dada por  dq/dt  = ( 100 - 9 ) siendo K la constante de  propocionalidad.     4. Una particula de masa m se mueve a lo largo de una linea recta ( el eje x ) estando sujeta a 1) una fuerza proporcinal a su desplazamiento x desde un punto fijo 0 en su trayectoria y dirijida hacia 0 y 2 ) una fuerza resistente proporcional a su velocidad. Expresar la fuerza total como una ecuacion diferencial.   La primera fuerza se puede representar por -K1 X Y la segunda por -K2  dy/dx  siendo K1 Y K2  factores de proporcionalidad.   La fuerza total ( masa x aceleracion ) esta dada por M  d2x/dt2   =   - K1X - K2 dx/dt   5.Demostrar que cada una de las ecuaciones a) ( Y = X2 + A + B, b ) Y = Ae x+B , C ) Y = A + ln Bx  solamente es esencial una de las dos constantes arbitrarias.   a) como A + B no es mas que una sola constante arbitraria, la ecuacion contiene unicamente una constante arbitraria esencial.   b) Y = Ae x+B = A ex eB, Y AeB  no es mas que una sola constante arbitraria.   c) Y = A + ln Bx = A + ln B + ln X, Y ( A + ln B ) realmente es una sola constante.  

6. Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva Y = AX2 + Bx + C   Como hay tres constantes arbitrarias, se consideran las cuatro ecuaciones.   Y = AX2 + BX + C                       dy/dx  = 2AX + B                      d2y/dx2 =2A                              d3y/dx3  = 0     La ultima ecuacion  d3y/dx3  esta libre de constantes arbitrarias y es del orden adecuado, luego esta la ecuacion pedida.   Obesrvese que no se hubiesen podido eliminar las constantes entre las primeras ecuaciones. Observese tambien que se puede obtener rapidamente la primitiva a partir de la ecuacion diferencial mediente integracion.   7.Obtengas la ecuacion diferencial asociada con la primitiva  X2Y3 + X3Y3 = C   Derivando una vez respecto a x  se obtiene ( 2xy3  +  3x2y2  dy/dx ) + ( 3x2y3  +  5x3y2  dy/dx ) = 0  o bien cuando  xy = 0 ( 2y + 3x  dy/dx  ) + xy2 ( 3y dx  +  5x dy/dx ) = 0 como la ecuacion pedida.     Escritas con notacion diferencial, estas ecuaciones son.    1)  ( 2XY3 dx + 3x2y2dy ) + ( 3x2 y3 dx + 5x3y2 dy ) = 0     2)  ( 2y dx + 3x dy ) + xy2 ( 3y dx + 5x dy ) = 0       Observese que la primitiva se puede obtener  rapidamente de 1) mediante integracion pero no tan rapidamente de 2) . En efecto, para obtener la primitiva cuando se da 2) hay que determinar el factor  XY2  que se habia sacado de 1).  

8.Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva y = A cos. ax + B sen ax + B sen ax, siendo A y B constantes arbitrarias y a una fija.     Derivando                       dy/dx  = - Aa sen ax + Ba cos ax                                            d2y/dx2  = - Aa2 cos ax - Ba2 sen ax = -a2 ( A cos ax + B sen ax ) = -a2 y     la ecuacion diferencial pedida es  d2y/dx2  + a2y = 0     9.Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva y = AC2x  + Bex  + C.    Derivando : dy/dx  =  2Ae2x    +  Bex                  d2y/dx2  = 4Ae2x   + Bex                        d3y/dx3  =  8Ae2x   +  Bex       Entonces: d3y/dx3  -  d2y/dx2  = 4Ae2x               d2y/dx2  - dy/dx  = 2Ae2x                        d3y/dx3  -  d2y/dx2  =  2 (d2y/dx2  -  dy/dx )         La ecuacion pedida es:  d3y/dx3 - 3  d2y/dx2   +  2 dy/dx  =  0         10.Obtener la ecuacion diferencial asociada con la primitiva  y = C1 e3x +  C2 e2x + C3 ex    

  Derivando                              dy/dx  = 3 C1 e3x + 2C2e2x +C2ex                                                      d2y/dx2  = 9C1e3x +4C2e2x +C2ex     y           d3y/dx3  =  27C1e3x + 8C2e2x + C2ex       La eliminacion de las constantes  por metodos elementales es, a veces laboriosa. Si se resuelven tres  de las ecuaciones respecto a C1  C2  C3  mediente determinantes y estas se sustituyen en la cuarta ecuacion , el resultado se puede poner en la forma ( llamada el eliminante ).

1.1.2 Problemas Resueltos     11.Obtener la ecuacion diferencial asociada  con la primitiva y = CX3   +  C2  

 como dy/dx  =  2Cx   C  =  1/2x  dy/dx  e   y  =  cx2  +  c2  =  1/2x  dy/dx   x2  +  1/4x2  ( dy/dx )2     la ecuacion diferencial pedida es  :  ( dy/dx )2  +  2x3  dy/dx   -  4x2 y  =  0       12. Hayar la ecuacion diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo r coyus centros estan en el eje x.

   la ecuacion de la familia de una circunferencia es  ( x  . c )2   + y2  =  r2  siendo C una constante  arbitraria   derivando se obtiene ( x  -  c ) + y dy/dx  =  0.x  -  c  =  - y dy/dx   y la ecuacion diferencial   es  y2 ( dy/dx )2  +  y2  =  r2          13.Hallar la ecuacion diferencial de la familia de parabolas cuyos focos estan en el origen y cuyos centros estan sobre el eje x.       la ecuacion de la familia de parabolas es y2  =  4A( A  + X ) Derivando yy  = 2A.  A  = 1/2 YY luego y2  =  2yy(1/2 yy +  X ) La ecuacion pedida es  y( dy/dx)2  +  2x dy/dx  -  y  =  0   14. Expresar mediante ecuaciones diferenciales cada uno de los siguientes principios fisicos.   a) El radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad Q del radio presente sol. dQ/dt = - kQ   b) La poblacion P de una ciudad aumenta a una velocidad a la poblacion y ala diferencia entre 200.000 y la poblacion  sol. dP/dt = kP(200.000 - P)   c) Para cierta sustancia la velocidad de cambio de presion  de vapor  ( p ) respecto a la temperatura ( 7 ) es proporcional a la presion  de vapor e inversamente  proporcional al cuadado de la temperatura sol. dP/dT = kp/T2 

  15.Hallar la ecuacion  diferencial  de la familia de las cardiodes P = a(1 - cos 0 ) sol (1 - cos 0 ) dp = p sen 0 d0.

2.- CAPITULO 2 SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES     EL PROBLEMA en la ecuaciones diferenciales elementales consiste en encontrar la primitiva que dio origen a la ecuacion. En otras palabras, resolver una ecuacion diferencial de orden n es, en realidad, hallar una relacion entre las variables conteniendo n, constantes arbitrarias independientes, que junto con las derivadas obtenidas de ella, satisfaga la ecuacion diferencial. por ejemplo.  Ecuacion diferencial.                                               Primitiva   1) d3y/dx3 = 0                                                                  Y = AX2 + Bx + C                         (Prob. 6. Cap. 1)     2) d3y/dx3  -  6d2y/dx2  +  11c2y/c2x  -  6y = 0              Y = C1e3x + C2e2x + C3 ex              (Prob.10.Cap. 1) 3) y2 (dy/dx )2 + y2  = r2 + y2 = r2                                   ( X - C )2 + Y2 = r2                           (Prob.12.Cap. 1)         AS CONDICIONES que han de cumplir una ecuacion diferencial para poder ser resuelta se dan en los teoremas de existencia. por ejemplo una ecuacion diferencial de la forma y = g ( x,y ) en la que.  

  a) g ( x,y ) es continua y uniforme en una region R de puntos ( x, y ).     b) (ep) existe y es continua en todos los puntos de R.   admite infinitas resoluciones f (x, y, c ) = 0 ( siendo C una constante arbitraria ) tales que por cada punto de R pasa una y solo una curva d la familai f ( x, y, c ) = 0 vease problema 5.   UNA SOLOCION PARTICULAR de una ecuacion diferencial se obtiene de la primitiva dando valores definidos a las constantes arbitrarias. Asi, en el anterios ejemplo 1) son soluciones particulares y= 0 (A = B = C = 0), Y = 2x + 5 (A = 0, B = 2, C = 5 ), Y = X + 2x + 3 ( 4 = 1, B = 2, C = 3 ).   Goemetricamente, la primitiva es la ecuacion de una familia de curvas y una solucion particular es la ecuacion de una de las curvas. Estas curvas se llaman curvas integrales de la ecuacion diferencial.   Como se vera en el problema 6, puede ocurrir que una forma dada de la primitiva no incluya todas las soluciones particulares. Aun mas: es posible, como se vera en el problema 7. que una ecuacion diferencial tenga soluciones que nose puedan obtenerde la primitiva ni operando con la constante arbitraria como en el problema 6. se consideran tales soluciones, denomidas soluciones singulares, en el capitulo 10.   La primitiva de una ecuacion diferencial se denomina normalmente la solucion general de la ecuacion. Algunos autores, debido a las observaciones del parrafo anterior, la denominan una solucion general de la ecuacion.   UNA ECUACION DIFERENCIAL. dy/dx  = g ( x, y ) asociada con cada punto ( x0, y0 ) en la region R del    Punto  es la de la tangente a la curva de la familia  f( x, y, c ) = 0 es decir, la primitiva que pasa por el punto.   La region R con la direccion en cada uno de sus puntos se llama campo de direcciones, en la figura adjunta se  muestra  un ciero numero de puntos con su direccion  para la ecuacion dy/dx = 2x . Las curvan integrales de la ecuacion diferencial son aquellas curvas que tienen en cada uno de sus puntos la direccion dada por la ecuacion . En este ejemplo las curvas integrales  son parabolas.  

Estos diagramas son interesantes  en tanto que faciliten el estudio  y la relacion entre la ecuacion diferencial y una primitiva. Pero  como las curvas integrales  son por lo general, muy complejas  tales diagramas no constituyen  en realidad una ayuda para obtener  sus ecuaciones.

2.1 PROBLEMAS RESUELTOS       1.Demostrar por su situacion directa en la ecuacion diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva da lugar  a la correspondiente ecuacion diferencial.    a) y = C2 sen x + C2x                                                                                           ( 1 - x ctg x ) d2y/dx2  -  x  dy/dx  +  y  =  0     b) y = C1ex + C2xex + C2e-x + 2x2ex                                                                         d3y/dx3  -  d2y/dx2  - dy/dx + y  = bex       a) Sustituyendo y = C1 sen x + C2x (ep)= C1 cos x + C2 (ep ) = -C2 sen x en la ecuacion diferencial se obtiene.    ( 1 - x ctg x ) ( -C1 sen x ) - x( C1 cos x + C2 ) + ( C1 sen x + C2 x ) =   -1 sen x + C1 x cos x - C1 x cos x - C2x + C1 sen x + C2x = 0.  

   Estan de acuerdo el orden de la ecuacion diferencial ( 2 ) y el numero de las constantes arbitrarias  (  2 )   b)                               y =                  C2 ex + C2 xex + C2e-x + 2x2ex.                                                                                                     

y =                   (C2 + 2C2)ex + C2Xex - C2ex + 2x2ex + 4xex.                                                                       y =                  ( C2 + 2c2)ex + C2xex + C3e-x + 2x2ex + 8xex + 4ex.                                                                       y =                  (C2 + 3C2)ex + C2xex - C2e-x  + 2x2ex + 12xex + 12ex   y"´ - y" - y´- y = 8ex Estan de acuerdo el orden de la ecuacion diferencial y el numero de las cosntantes arbitrarias.     2. La primitiva de la ecuacion diferencial  dy/dx  =  y/x es  y  =  Cx  Hallar la ecuacion de la curva integral que pasa  por.   a) ( 1, 2 ) y  b ) ( 0, 0 ).   a) Si x = 1, y = 2; C =2, luego la ecuacion pedida es y = 2x.   b) Si x = 0, Y = 0, C, es indeterminada, es decir todas las curvas integrales pasan por el origen  obsevese que g ( x, y ) = y/x  no es continua en el origen y por tanto el teorema de existencia asegura una, y solamente una curva de la familia Y = Cx por cada punto del plano exepto el origen.   3.Derivando Xy = C ( X - 1 ) ( Y - 1 )  sustituyendo C por su valor se obtiene la ecuacion diferencial.      x dy/dx  +  y  = c { ( x - 1 ) dy/dx  +  y  -  1}  =  xy/ ( x - 1 )( y - 1 ) { ( x - 1 ) dy/dx  +  y  -  1}      

  Ahora bien tanto Y = 0 como Y = 1  son soluciones de 1 ) ya que para cada una se satisface dy/dx = 0 y 1) la primera se obtiene de la primitiva poniendo C = 0 pero la segunda Y = 1 no se  puede obtener dando un valor finito a  C . Analogamente 1 ) se puede obtener de la primitiva Bxy = ( x - 1 ) ( Y - 1 ) ahora se obtiene la solucion Y = 1 poniendo B = 0 mientras que la solucion Y = 0 no se puede obtener dando a B un valor finito.   Queda pues probado que la forma dada de una primitiva puede no incluir todas las soluciones particulares de la ecuacion diferencial ( obsevese que  que x = 1 tambien es una solucion particular )     3.Derivando Y = Cx +2C2   se obtiene C =  dy/dx   y en sustituir a la primera se llega a la ecuacion diferencial.      1)   2(dy/dx)2   +  x(dy/dx)  -  y  =  0       Ahora bien la primitiva es la ecuacion de una familia  de lineas rectas y es evidente que la ecuaion de una parabola  no se puede obtener dando valores a la constante arbitraria en la primitiva. Tal solucion se denomina una solucion singular de la ecuacion diferencial.   4. Demostrar  que ln ( 1 + y ) + ln ( 1 + x ) = A se puede escribir como xy + x + y + = C   ln ( 1 + y ) + ln (1 + x ) = ln ( 1 + y ) ( 1 + x ) = A   Luego (1 + y ) (1 + x ) = xy +  x + y + 1 = eA = B y xy + x + y = B - 1 = C.          5. Demostrar  que Sh y + Ch y = Cx se puede escribir como y = ln x + A.  

Aqui Sh y + Ch y = 1/2 ( ey - e-y ) + 1/2 ( ey + e-y ) = ey = Cx   Luego y = ln C + ln x = A + ln x.

3.- ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO       UNA ECUACION DIFERENCIAL  de primer orden y primer grado se pueden escribir en la forma   M ( X, Y ) dx + N ( X, Y ) dy = 0.   Ejemplo 1 )   a )  dy/dx  +  y+x / y-x  =  0  se puede escribir asi : ( y + x )dx  +  ( y-x )dy = 0. donde  M( x, y ) = y + x y N ( x, y )  =  y - x     b)  dy/dx  =  1 +x2y se puede escribir asi : ( 1 + x2y ) dx - dy = 0 donde M ( x, y ) = 1 + x2y y N ( x, y) =  -1   Si M( x, y )dx  +  N ( x, y )dy     es la diferencial completa de una funcion    u ( x, y )   es decir, si     M( x, y )dx  + N( x, y )dy  = du ( x, y )        1 ) Se llama ecuacion diferencial exacta y u( x, y ) = C  es una primitiva o solucion general   Ejemplo 2)  3x2 y2 x + 2x3 y dy = 0 es una ecuacion diferencial exacta, ya que  3x2y2dx + 2x3 y dy = d ( x3 y2 ) su primitiva es  x3y2 = C

  Si 1 ) no es exacta, pero                                              ( x, y ) { M ( x, y ) dx + N ( x, y )dy} = du ( x, y )    ( x, y ) se llama un factor integrante de 1 ) y u( x, y ) = C es una primitiva.     Ejenplo 3 ) 3y dx +2x dy = 0 no es una ecuacion diferencial exacta, pero si se multiplica por  ( x, y ) = x2 y se tiene 3x2y2 dx + 2x3 y dy = 0 que es exacta. Por tanto la primitiva de 3y dx + 2x dy = 0 es x3 y2 = C vease el ejemplo 2    Si 1) no es exacta y no se encuentra rapidamente un factor integrante es posible que mediante un cambio de una o de las dos variables se obtenga una ecuacion en la que se pueda hallar un factor integrante.   Ejemplo 4 ) La transformacion x = t - y, dx = dt - dy, ( o sea, x + y = t ), reduce la ecuacion a                              ( x + y + 1 ) dx + (2x + 2y + 3) dy = 0 o sea,                      (t + 1) (dt - dy) + (2t + 3 ) dy = 0                                 (t + 1) dt + (t + 2) dy = 0   mediante el factor integrante 1 /1+2  la ecuacion toma la forma.     dy  +  t +1/ t + 2  dt  =  dy  +  dt - 1/ t + 2 dt  =  0     Entonces        y  +  t  -  ln  ( t + 2 )  =  c   y como  t  =  x  +  y,     2y  +  x  -  ln  ( x + y + 2 )  =  c .    

  SI LA ECUACION 1) admite una solucion  f ( X, Y, C ) = 0 donde C es una constante arbitraria existe una infinidad de factores integrantes ( X, Y ) tales que   ( x, y ) { M ( x, y ) dx + N ( x, y) dy } = 0    es exacta. Luego hay transformaciones de variables con las que 1) pasa al tipo de separacion de variables. Sin embargo, no se puede dar una regla general para hayar un  factor integrante o una transformacion. Se tienen, pues, limitaciones para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. esto. es aquellos tipos para los que fallan las reglas para determinar un factor integrante o una transformacoin efectiva.   En el capitulo 4 se estudian las ecuaciones  del tipo de separacion de variables y las ecuaciones que se pueden reducir a este tipo mediante una transformacion de variables.   En el capitulo 5 se consideran las ecuaciones diferenciales exactas y otros tipos que se pueden reducir a ecuaciones exactas mediante factores integrantes.   En el capitulo 6  se tratan la ecuacion lineal de primer orden.   El siguiente video muestra la forma de resolver ecuaciones de primer grado  :

4.CAPITULO 4 ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO ( separacion de variables y reduccion a separacion de variables )   SEPARCION DE VARIABLES. Las variables de la ecuacion M ( X, Y ) dx + N ( x, y ) dy = 0, se pueden separar si es posible escribir la ecuacion de la forma.          

                                                                        f ( x ) g ( y ) dx + f ( x ) + g ( y ) dy = 0         El factor integrante  1 f2( x ) + g2( y )  hallado simplemente observando la forma de la ecuacion.   transforma 1 ) en                                          f1( x ) / f2( x  )dx  + g1( y ) / g2( y )  dy  =  0   En donde se puede obtener por integracion la primitiva.   por ejemplo : ( x - 1 )2 y dx + x2(y + 1 )dy = 0 es de la fora 1) el factor integrante  1/x2y  convierte en la ecuacion en  ( x - 1)2/x2  dx  +  ( y + 1 )/ y  dy  = 0 donde la variables estan separadas veanse problemas 1 - 5.      ECUACIONES HOMOGENEAS. Una funcion f ( x, y )  se llama homogenea de grado n si.                                                                     f( ƛx, ƛ y ) =  ƛ"f( x, y )    por ejemplo:   a) f ( x, y ) = x4 - x3y es homogenea de grado 4 ya que                                      f( ƛx, ƛy ) = ( ƛx )4 - ( ƛx )3( ƛy ) = ƛ4 ( x4 - x3y ) = ƛ4 f ( x, y)   b) f ( x, y ) = e y/x + tg  y/x  es homogenea de grado 0, pues.  

                          f( 2x, 2y )  = e2y/2x  +  tg 2y/2x  =  ey/x  +  tg y/x  =  20 f ( x, y )                 c) f ( x, y ) = x2 + sen x cos y no es homogenea, ya que                             f( ƛx, ƛy  ) = ƛ2x2 + sen ( ƛ, x ) cos ( ƛy ) = ƛn f ( x, y )   La ecuacion diferencial M ( X, Y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 se denominan homogenea si M ( x, y ) y N ( x, y ) son homogeneas y del mismo grado.     por ejemplo : ( ecuaciones pendientes )     es homogenea de grado 1, pero ni ( x2 + y2 ) db - ( xy2 - y3 )dy = 0 ni ( x + y 2) dx + ( x - y ) dy = 0 son ecuaciones homogeneas.        ECUACIONES EN LAS QUE M ( X, Y ) Y N ( X, Y ) SON LINEALES PERO NO HOMOGENEAS.   a) La ecuacion ( a1x + b1y + c1 )dx + ( a2x + b2y + c2 )dy = 0, (a1b2 - a2b1 = 0 )  se reduce por la trasnformacion     reduce una ecuacion de este tipo a la forma.                                                                      P ( x, z ) dx + Q ( x, z ) dz = 0   En las que las variables son separables.   OTRAS SUSTITUCIONES. Hay ecuaciones  que no pertenecen a ninguno de los tipos que se acaban de ver y que medie¿ante una trasnformacion

adecuadamente escogida se pueden reducir a una forma en las que las variables sean separables. No es posible dar una regla general en cada caso la forma de la ecuacion sugiere la transformacion.