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• Rubí Serra

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8.6 REPRESENTACIONES DE FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS. En esta sección aprenderemos a representar ciertos tipos de funciones como sumas de series de potencias al manipular series geométricas o derivar o integrar esas series. El lector podría preguntarse por qué siempre deseamos expresar una función conocida como suma de un número infinito de términos. Esta estrategia es útil para integrar funciones que no tienen antiderivadas elementales, para resolver ecuaciones diferenciales, y para aproximar funciones por medio de polinomios. (En ciencias se hace esto para simplificar las expresiones que se manejan; en computación, para representar funciones en calculadoras y computadoras.) Empezaremos con una ecuación que ya hemos visto antes: 1) ∞

1 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ∙∙∙ = ∑ 𝑥 𝑛 1−𝑥

|𝑥| < 1

𝑛=0

Encontramos primero esta ecuación en el Ejemplo 5 de la Sección 8.2, donde la obtuvimos al observar que la serie es geométrica con 𝑎 = 1 y 𝑟 = 𝑥. Pero aquí nuestro punto de vista es diferente. Ahora consideramos la Ecuación 1 como que expresa la función 𝑓(𝑥) = 1/(1 − 𝑥)

como una suma de una serie de potencias.

Una ilustración geométrica de la Ecuación 1 se muestra en la Figura 1. Como la suma de una serie es el límite de la sucesión de sumas parciales, tenemos 1 = lim 𝑠 (𝑥) 1 − 𝑥 𝑛→∞ 𝑛 Donde

𝑠𝑛 (𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 Es la n-ésima suma parcial. Nótese que cuando n aumenta 𝑠𝑛 (x) se hace una mejor aproximación a f (x) para −1 < 𝑥 < 1. 1

Figura 1: 𝑓(𝑥) = 1−𝑥 y algunas sumas parciales. y

𝑠𝑛 𝑠8 f

𝑠5

1

−1 Ejemplo 1. Hallar

0 una nueva serie de potencias a partir de una antigua Exprese

1/(1 + 𝑥 2 ) como la suma de una serie de potencias y encuentre el intervalo de convergencia. SOLUCIÓN. Sustituyendo 𝑥 𝑝𝑜𝑟 − 𝑥 2 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∞

1 1 = = ∑(−𝑥 2 )𝑛 2 1+𝑥 1 − (−𝑥 2 ) 𝑛=0

∞

∑(−1)𝑛 𝑥 2𝑛 = 1 − 𝑥 2 + 𝑥 4 − 𝑥 6 + 𝑥 8 − ⋯ 𝑛=0

Como ésta es una serie geométrica, converge cuando | − 𝑥 2 | < 1, esto es, 𝑥 2 < 1 o |𝑥| < 1. Por tanto, el intervalo de convergencia es (−1,1). (Desde luego, podríamos haber

determinado el radio de convergencia al aplicar la Prueba de la razón, pero ese trabajo no es necesario aquí.) Ejemplo 2. Encuentre una representación de serie de potencias para 1/(𝑥 + 2). SOLUCIÓN. Para poner esta función en la forma del lado izquierdo de la Ecuación 1 primero factorizamos un 2 del denominador: 1 1 1 = = 2 + 𝑥 2 (1 + 𝑥) 2 [1 − (− 𝑥)] 2 2 ∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

1 𝑥 𝑛 (−1)𝑛 𝑛 = ∑ (− ) = ∑ 𝑛+1 𝑥 2 2 2 Esta serie converge cuando | − 𝑥/2| < 1, es decir, |𝑥| < 2. Entonces, el intervalo de convergencia es (−2,2). Ejemplo 3. Encuentre una representación de serie de potencias de 𝑥 2 /(𝑥 + 2). SOLUCIÓN. Como esta función es sólo veces la función del Ejemplo 2, todo lo que tenemos que hacer es multiplicar por la serie: ∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

𝑥3 1 (−1)𝑛 𝑛 (−1)𝑛 𝑛+3 3 3 =𝑥 ∙ = 𝑥 ∑ 𝑛+1 𝑥 = ∑ 𝑛+1 𝑥 𝑥+2 𝑥+2 2 2

=

1 3 1 4 1 5 1 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥6 + ⋯ 2 4 8 16

Es legítimo pasar 𝑥 3 al otro lado del signo de sigma porque no depende de n. [Use el Teorema 8.2.8(i) con 𝑐 = 𝑥 3 . ] Otra forma de escribir esta serie es como sigue:

∞

𝑥3 (−1)𝑛−1 𝑛 =∑ 𝑥 𝑥+2 2𝑛−2 𝑛=3

Al igual que en el Ejemplo 2, el intervalo de convergencia es (−2,2). Derivación e integración de una serie de potencias. 𝑛 La suma de una serie de potencias es una función 𝑓(𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎) cuyo dominio

es el intervalo de convergencia de la serie. Nos gustaría tener capacidad de derivar e integrar esas funciones, y el siguiente teorema (que no demostraremos) dice que podemos hacerlo al derivar o integrar cada término individual de la serie, como lo haríamos para un polinomio. Esto se denomina derivación e integración término a término. 2) Teorema. Si la serie de potencias ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 tiene radio de convergencia 𝑅 > 0, entonces la función f definida por ∞ 2

𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 (𝑥 − 𝑎) + 𝑐2 (𝑥 −) + ⋯ = ∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 𝑛=0

es derivable (y por tanto continua) en el intervalo (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) y (i)

𝑛−1 𝑓´(𝑥) = 𝑐1 + 2𝑐2 (𝑥 − 𝑎) + 3𝑐3 (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ = ∑∞ 𝑛=0 𝑛𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)

(ii)

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 + 𝑐0 (𝑥 − 𝑎) + 𝑐1

(𝑥−𝑎)2 2

+ 𝑐2

(𝑥−𝑎)3 3

+⋯

∞

(𝑥 − 𝑎)𝑛+1 = 𝑐 + ∑ 𝑐𝑛 𝑛+1 𝑛=0

Los radios de convergencia de la serie de potencias de las Ecuaciones (i) y (ii) son ambos R.

Nota 1: Las Ecuaciones (i) y (ii) del Teorema 2 se pueden reescribir en la forma ∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

𝑑 𝑑 [𝑐 (𝑥 − 𝑎)𝑛 ] (𝑖𝑖𝑖) [∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 ] = ∑ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑛 ∞

∞ 𝑛

(𝑖𝑣) ∫ [∑ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎) ] 𝑑𝑥 = ∑ ∫ 𝑐𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 𝑑𝑥 𝑛=0

𝑛=0

Sabemos que, para sumas finitas, la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la integral de una suma es la suma de las integrales. Las Ecuaciones (iii) y (iv) expresan que lo mismo es cierto para sumas infinitas, siempre que trabajemos con series de potencias. (Para otros tipos de series de funciones la situación no es tan sencilla; vea el Ejercicio 36.) Nota 2: Aun cuando el Teorema 2 dice que el radio de convergencia sigue siendo el mismo cuando una serie de potencias se deriva o integra, no quiere decir que el intervalo de convergencia siga siendo el mismo. Puede ocurrir que la serie original converja en un punto extremo, mientras que la serie derivada diverja ahí. (Vea el Ejercicio 37.) Ejemplo 4. Derivar una serie de potencias En el Ejemplo 3 de la Sección 8.5 vimos que la función de Bessel ∞

𝑗0 (𝑥) = ∑ 𝑛=0

(−1)𝑛 𝑥 2𝑛 22𝑛 (𝑛!)𝑛

está definida para toda x. Entonces, por el Teorema 2, 𝑗0 es derivable para toda x y su derivada se encuentra por derivación término a término como sigue:

∞

∞

𝑛=0

𝑛=1

𝑑 (−1)𝑛 𝑥 2𝑛 (−1)𝑛 2𝑛𝑥 2𝑛−1 𝑗´0 = ∑ = ∑ 𝑑𝑥 22𝑛 (𝑛!)2 22𝑛 (𝑛!)2 Ejemplo 5. Exprese 1/(1 − 𝑥)2 como una serie de potencias al derivar la Ecuación 1. ¿Cuál es el radio de convergencia? SOLUCIÓN. Derivando cada lado de la ecuación ∞

1 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ = ∑ 𝑥𝑛 1−𝑥 𝑛=0

Obtenemos ∞

1 = 1 + 2𝑥 + 3𝑥 2 + ⋯ = ∑ 𝑛𝑥 𝑛−1 2 (1 − 𝑥) 𝑛=0

Si lo deseamos, podemos sustituir n por n + 1 y escribimos la respuesta como ∞

1 = ∑(𝑛 + 1)𝑥 𝑛 (1 − 𝑥)2 𝑛=0

De acuerdo con el Teorema 2, el radio de convergencia de la serie derivada es el mismo que el radio de convergencia de la serie original, es decir, 𝑅 = 1. Ejemplo 6. Hallar una nueva serie de potencias al integrar una anterior Encuentre una representación de serie de potencias para 𝑖𝑛(1 + 𝑥) y su radio de convergencia. SOLUCIÓN. Observamos que la derivada de esta función es 1/(1 + 𝑥). De la Ecuación 1 tenemos 1 1 = = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + ⋯ 1 + 𝑥 1 − (−𝑥)

|𝑥| < 1

Integrando ambos lados de esta ecuación, obtenemos

𝑖𝑛(1 + 𝑥) = ∫

1 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ ) 𝑑𝑥 1+𝑥

𝑥2 𝑥3 𝑥4 = 𝑥 − + − +⋯+𝑐 2 3 4 ∞

= ∑(−1)𝑛−1 𝑛=0

𝑥𝑛 +𝑐 𝑛

|𝑥| < 1

Para determinar el valor de C ponemos x 0 en esta ecuación y obtenemos 𝑖𝑛(1 + 0) = 𝑐. Entonces C = 0 y ∞

𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥𝑛 𝑛−1 𝑖𝑛(1 + 𝑥) = 𝑥 − + − + ⋯ = ∑(−1) 2 3 4 𝑛

|𝑥| < 1

𝑛=1

El radio de convergencia es el mismo que para la serie original: R=1. Ejemplo 7. Encuentre una representación de una serie de potencias para 𝑓(𝑥)𝑡𝑎𝑛−1 𝑥. SOLUCIÓN. Observemos que 𝑓′(𝑥) = 1/(1 + 𝑥 2 ) y encontramos la serie pedida al integrar la serie de potencias de 1/(1 + 𝑥 2 ) hallada en el Ejemplo 1.

𝑡𝑎𝑛−1 = ∫

1 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑥 2 + 𝑥 4 − 𝑥 6 + ⋯ ) 𝑑𝑥 1 + 𝑥2 𝑥3 𝑥5 𝑥7 =𝑐+𝑥− + − +⋯ 3 5 7

Para hallar C ponemos x = 0 y obtenemos 𝑐 = 𝑡𝑎𝑛−1 0 = 0. Por tanto, ∞

𝑡𝑎𝑛

−1

𝑥3 𝑥5 𝑥7 𝑥 2𝑛+1 𝑥 = 𝑥 − + − + ⋯ ∑(−1)𝑛 3 5 7 2𝑛 + 1 𝑛=0

Como el radio de convergencia de la serie para 1/(1 + 𝑥 2 ) es 1, el radio de convergencia de esta serie para 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 es también 1. Ejemplo 8. (a) Evalué ∫[1/(1 + 𝑥 7 )] 𝑑𝑥 como una serie de potencias. 0.5

(b) Use el inciso (a) para aproximar ∫0 [1/(1 + 𝑥 7 )] 𝑑𝑥 correcta a no más de 10−7. SOLUCIÓN (a) El primer paso es expresar el integrando, 1/(1 + 𝑥 7 ), como la suma de una serie de potencias. Al igual que en el Ejemplo 1, empezamos con la Ecuación 1 y sustituimos 𝑥 𝑝𝑜𝑟 − 𝑥 7 : ∞

1 1 = = ∑(−𝑥 7 )𝑛 1 + 𝑥 7 1 − (−𝑥 7 𝑛=0

∞

= ∑(−1)𝑛 𝑥 7𝑛 = 1 − 𝑥 7 + 𝑥14 − ⋯ 𝑛=0

Ahora integramos término a término: ∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

1 𝑥 7𝑛+1 𝑛 7𝑛 𝑛 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ∑(−1) 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 + ∑(−1) 1 + 𝑥7 7𝑛 + 1 𝑥 8 𝑥15 𝑥 22 =𝑐+𝑥− + − +⋯ 8 15 22 Esta serie converge para | − 𝑥 7 | < 1, es decir, para |𝑥| < 1. (b) Al aplicar el Teorema de evaluación no importa cuál antiderivada usemos, de modo que usemos la antiderivada del inciso (a) con C = 0:

0.5

∫ 0

1/2

1 𝑥 8 𝑥15 𝑥 22 𝑑𝑥 = [𝑥 − + − +⋯] 1 + 𝑥7 8 15 22 0

1 1 1 1 (−1)𝑛 − + − + ⋯ + +⋯ 2 8 ∙ 28 12 ∙ 215 22 ∙ 222 7𝑛 + 1)27𝑛+1 Esta serie infinita es el valor exacto de la integral definida, pero como es una serie alternante podemos aproximar la suma usando el Teorema de estimación de la serie alternante. Si dejamos de sumar después del término con n = 3, el error es menor al del término con n = 4: 1 ≈ 6.4 × 10−11 29 29 ∙ 2 Por tanto, tenemos 0.5

∫ 0

1 1 1 1 1 𝑑𝑥 ≈ − + − ≈ 0.499511374 7 8 15 1+𝑥 2 8∙2 12 ∙ 2 22 ∙ 222

Ejercicios 8.6. 3-10. Encuentre una representación de serie de potencias para la función y determine el intervalo de convergencia. 1

3) f(x) = 1+𝑥 1

El objetivo es escribir la función en a forma 1 𝑟, y entonces se usa la ecuación para representar la función como una suma de una 1

serie de fuerza. f(x) = 1+𝑥 =

1 1+(𝑥)

∞ 𝑛 𝑛 𝑛 = ∑∞ 𝑛=0(𝑥) = ∑𝑛=0(1) 𝑥 con |𝑥| < 1, entonces R=1 y

I=(1,1) 4) f(x) =

f(x) =

3 1−𝑥 4

3

∞

3

1−𝑥 4

|𝑥 4 | < 1 |𝑥| < 1, entonces R=1 y I= (1,1) 2

5) f(x) = 3−𝑥 2

∞

Reemplazando X con x3 en (1) tenemos f(x) = 3−𝑥 ∑𝑛=0(𝑥 3 )𝑛 = ∞

∑𝑛=0 𝑥𝑥3𝑛 . La serie converge cuando |𝑥 3 | < 1 |𝑥 | 3