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• Odalis Mallqui Rios

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Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales Operador Diferencial.- Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos Definir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es: 𝐷0 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 ,

𝐷1 𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 ,

𝐷2 𝑓 𝑥 = 𝑓′′ 𝑥 ,………., 𝐷𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑓 (𝑛) 𝑥 ,

Es posible construir la siguiente combinación lineal con los operadores diferenciales 𝑃 𝐷 = 𝑎0 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎2 𝐷2 +……..𝑎𝑛 𝐷𝑛

(1)

Donde 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial de orden n. La utilidad de este objeto matemático quedara clara si hacemos la siguiente definición 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑎𝑛 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ . +𝑎2 𝐷2 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 𝑦 = 𝑎𝑛 𝐷𝑛 𝑦 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 𝑦 +….+𝑎2 𝐷2 𝑦 + 𝑎1 𝐷𝑦 + 𝑎0 𝑦 = 𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) +….+𝑎2 𝑦 (2) + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦

(2)

Por otro lado, recordemos que una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuación de la forma 𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) +….+𝑎2 𝑦 (2) + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑄(𝑥)

(3)

por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄(𝑥)

(4)

El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedades 1.- Si 𝑓1 (𝑥) y 𝑓2 (𝑥) son dos funciones diferenciables de orden n, entones 𝑃(𝐷) 𝛼𝑓1 𝑥 + 𝛽𝑓2 (𝑥) =α𝑃 𝐷 𝑓1 𝑥 + 𝛽𝑃 𝐷 𝑓2 𝑥 ,

donde 𝛼 y 𝛽 son constantes.

2.- Si 𝑦1 𝑥 ; 𝑦2 𝑥 ; … 𝑦𝑛 (𝑥) son n soluciones de la ecuación diferencial homogénea 𝑃 𝐷 𝑦 = 0 entonces 𝑦ℎ 𝑥 = 𝑐1 𝑦1 (𝑥) +𝑐2 𝑦2 (𝑥) +….+𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) es también una solución. 3.- Si 𝑦ℎ (𝑥) es una solución de 𝑃 𝐷 𝑦 = 0 y 𝑦𝑝 (𝑥) es una solución de 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄(𝑥) entonces 𝑦 𝑥 = 𝑦ℎ 𝑥 + 𝑦𝑝 (𝑥) es una solución de 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄(𝑥)

4.-Si 𝑦𝑃1 𝑥 , 𝑦𝑃2 (𝑥), … . , 𝑦𝑃𝑛 𝑥 son soluciones particulares de las respectivas n ecuaciones 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄1 𝑥 ; 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄2 𝑥 ; … … . 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄𝑛 𝑥 resulta entonces que 𝑃 𝐷 𝑦𝑃1 𝑥 + 𝑦𝑃2 𝑥 + ⋯ + 𝑦𝑃𝑛 𝑥

= 𝑄1 𝑥 + 𝑄2 𝑥 + ⋯ + 𝑄𝑛 𝑥

implica que 𝑦𝑝 𝑥 = 𝑦𝑃1 𝑥 + 𝑦𝑃2 𝑥 + ⋯ + 𝑦𝑃𝑛 𝑥 es una solución de 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄1 𝑥 + 𝑄2 𝑥 + ⋯ + 𝑄𝑛 𝑥

Ejemplo: Encuentre una ecuación particular de 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥𝑒 2𝑥 + 3 las soluciones particulares son, respectivamente 𝑦𝑝1

𝑥

= 𝑥 2 − 2;

𝑦𝑝2

𝑥

1 4 2𝑥 2𝑥 = 𝑥𝑒 − 𝑒 ; 5 5

𝑦𝑝3

𝑥

=3

por lo tanto, una solución particular de la ecuación diferencial es 𝑦𝑝

𝑥

= 𝑥2 − 2 +

1 4 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 3 5 5

= 𝑥2 + 1 +

1 4 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 5 5

Al operador diferencial también se le pueden agregar las siguientes propiedades. Consideremos los operadores 𝑃1 𝐷 = 𝑎𝑛 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ . +𝑎2 𝐷2 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0

(5)

𝑃2 𝐷 = 𝑏𝑛 𝐷𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ . +𝑏2 𝐷2 + 𝑏1 𝐷+𝑏0

(6)

PRIMERA PROPIEDAD DEL OPERADOR DERIVADA Propiedad 1.- Sea 𝑃 𝐷 Operador Polinomial de orden n, entonces

𝑃 𝐷 𝑒 ±𝑎𝑥 = 𝑃(±𝑎)𝑒 ±𝑎𝑥

(1)

Ejemplo .- Obtener la siguiente derivada 𝑑3 𝑑𝑥 3

8𝑒 3𝑥

+

𝑑2 8 𝑑𝑥 2

8𝑒 3𝑥 +20 8𝑒 3𝑥

factorizando en esta expresión 8𝑒 3𝑥 y sustituyendo las derivadas por el operador correspondiente tendremos: 𝑑3 𝑑𝑥 3

𝑑2

8𝑒 3𝑥 + 8 𝑑𝑥 2 8𝑒 3𝑥 +20 8𝑒 3𝑥 = 𝐷3 + 8𝐷2 + 20 8𝑒 3𝑥 =

3

3

+8 3

2

+ 20 8𝑒 3𝑥

=

3

3

+8 3

2

+ 20 8𝑒 3𝑥 =952𝑒 3𝑥

Aplicación a las ecuaciones diferenciales ordinarias Esta primera propiedad puede aplicarse también a la determinación de una solución particular 𝑦𝑝 , de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes; esto es, de la ecuación (1) donde 𝑃 ±𝑎 es una constante y 𝑃 𝐷 una función escalar, podemos entonces multiplicar dicha expresión por 1 𝑃 ±𝑎

⇛

1 𝑃 𝐷

𝑃 𝐷 𝑒 ±𝑎𝑥 =

1 𝑃 𝐷

𝑒 ±𝑎𝑥

1 𝑃 ±𝑎

1 = 𝑃 ±𝑎

Nota:Se debe hacer notar que en la expresión,

1 𝑃 𝐷

𝑃(±𝑎)𝑒 ±𝑎𝑥

𝑒 ±𝑎𝑥

1 𝑃(𝐷)

(2)

corresponde al

polinomio inverso de 𝑃(𝐷) y que representa realmente procesos de integración

Ejemplo .- Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 −3 + 2𝑦 = 10𝑒 4𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Solución:

Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos (𝐷2 −3𝐷 + 2)𝑦=0

Donde el CFS es : 𝑒 𝑥 , 𝑒 2𝑥 por tanto la solución homogénea de la ecuación diferencial es: 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 𝑥 +𝑐2 𝑒 2𝑥 Solución particular (𝐷2 −3𝐷 + 2)𝑦=10𝑒 4𝑥

Empleando Operador Diferencial o Derivada

⇛

𝑦𝑝 =

1 (𝐷2 −3𝐷+2)

10𝑒 4𝑥

Aplicando a ́esta expresión la primera propiedad del operador diferencial se obtiene 10 5 4𝑥 4𝑥 𝑦𝑝 = 𝑒 = 𝑒 (4)2 −3(4) + 2) 3

∴

5 𝑦 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥 +𝑐2 𝑒 2𝑥 + 𝑒 4𝑥 3

Ejemplo .- Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 −3 + 2𝑦 = 10𝑒 −4𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Solución:

Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos (𝐷2 −3𝐷 + 2)𝑦=0

Donde el CFS es : 𝑒 𝑥 , 𝑒 2𝑥 por tanto la solución homogénea de la ecuación diferencial es: 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 𝑥 +𝑐2 𝑒 2𝑥 Solución particular

Empleando Operador Diferencial o Derivada

(𝐷2 −3𝐷 + 2)𝑦=10𝑒 −4𝑥

⇛

𝑦𝑝 =

1 (𝐷2 −3𝐷+2)

10𝑒 −4𝑥

Aplicando a ́esta expresión la primera propiedad del operador diferencial se obtiene 10 1 −4𝑥 −4𝑥 𝑦𝑝 = 𝑒 = 𝑒 (−4)2 −3(−4) + 2) 3

∴

1 𝑦 𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥 +𝑐2 𝑒 2𝑥 + 𝑒 −4𝑥 3

SEGUNDA PROPIEDAD DEL OPERADOR DERIVADA Consideremos en este caso funciones de tipo senoidal y cosenoidal como 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 ; cos 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 ; cos 𝑎𝑥 ; 𝑎. 𝑏𝜖𝑅

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) Aplicando sucesivamente el operador derivada a ́esta función hasta la cuarta derivada tendremos 𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑥

𝐷𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝐷2 𝑠𝑒𝑛 𝐷3 𝑠𝑒𝑛

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑎𝑥 + 𝑏 = acos(𝑎𝑥 + 𝑏)

𝑑2 =𝑑𝑥 2 𝑠𝑒𝑛

𝑑3 =𝑑𝑥 3 𝑠𝑒𝑛

𝐷4 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏 =

𝑑4 𝑠𝑒𝑛 𝑑𝑥 4

(a)

𝑎𝑥 + 𝑏 = −𝑎2 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)

(b)

𝑎𝑥 + 𝑏 = −𝑎3 cos(𝑎𝑥 + 𝑏)

(c)

𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎4 sen(𝑎𝑥 + 𝑏)

(d)

De las expresiones anteriores se observa que la función trigonométrica 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) se repite en (b) y (d) donde 𝐷2 es sustituida por −𝑎2 y 𝐷4 por 𝑎4

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)

Aplicando sucesivamente el operador derivada a ́esta función hasta la cuarta derivada tendremos 𝑑

𝐷𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 + 𝑏 =𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 + 𝑏 = −a𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)

𝐷2 𝑐𝑜𝑠

𝐷3 𝑐𝑜𝑠 𝐷4 𝑐𝑜𝑠

(a)

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑑2 =𝑑𝑥 2 𝑐𝑜𝑠

𝑎𝑥 + 𝑏 = −𝑎2 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)

(b)

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑑3 =𝑑𝑥 3 𝑐𝑜𝑠

𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎3 sen(𝑎𝑥 + 𝑏)

(c)

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑑4 =𝑑𝑥 4 𝑐𝑜𝑠

𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎4 cos(𝑎𝑥 + 𝑏)

(d)

De las expresiones anteriores se observa que la función trigonométrica 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) se repite en (b) y (d) donde 𝐷2 es sustituida por −𝑎2 y 𝐷4 por 𝑎4

Ejemplo.- Realizar la siguiente operación 𝑑3 𝑑2 𝑑 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 Solución: Factorizando la función 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2) y utilizando el operador derivada 𝐷 se obtiene (𝐷3 +𝐷2 + 𝐷)𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2) Al desarrollar se tiene (𝐷2 𝐷 + 𝐷2 + 𝐷)𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2)= =

−9 𝐷 − 9 + 𝐷 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2) −8 𝐷 − 9 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2)

= −8D𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2 − 9𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2 = −24𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 2 − 9𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 2

Ejemplo.- Realizar la siguiente operación 𝑑3 𝑑2 𝑑 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 4 + 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 4 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 4 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Solución: Factorizando la función cos(2𝑥 − 4) y utilizando el operador derivada 𝐷 se obtiene (𝐷3 +𝐷2 + 𝐷)𝑐𝑜𝑠(2𝑥 −4)

Al desarrollar se tiene (𝐷2 𝐷 + 𝐷2 + 𝐷)𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 4)= =

−4 𝐷 − 4 + 𝐷 cos(2𝑥 − 4) −3 𝐷 − 4 cos(2𝑥 − 4)

= −3D𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 4 − 4𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 4 = 6𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 4 − 4𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 4

APLICACIÓN DE LA SEGUNDA PROPIEDAD DEL OPERADOR A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS La demostración de ́esta propiedad considerando operadores inverso es similar a la demostración de la primera propiedad, tomando en cuenta la siguiente fórmula de Euler 𝑒 𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃) Una aplicación de esta propiedad la tenemos en la determinación de una solución particular 𝑦𝑝 de una ecuación diferencia Ejemplo .-Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 5 + 6𝑦 = 20cos(4𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 Solución: Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos (𝐷2 +5𝐷 + 6)𝑦=0 Donde el CFS es : 𝑒 −3𝑥 , 𝑒 −2𝑥 por tanto la solución homogénea de la ecuación diferencial es:

𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 −3𝑥 +𝑐2 𝑒 −2𝑥

Solución particular Empleando Operador Diferencial o Derivada (𝐷2 +5𝐷 + 6)𝑦=20cos(4𝑥)

⇛

Multiplicando el operador inverso por

𝑦𝑝 =

1 (𝐷2 +5𝐷+6)

𝑦𝑝 =

1 (−16+5𝐷+6)

𝑦𝑝 =

1 (5𝐷−10)

𝑦𝑝 =

1 (𝐷−2)

𝐷+2 𝐷+2

se tiene 𝐷+2 (𝐷2 −4)

20cos(4x) 20cos(4x);

20cos(4x);

4cos(4x);

𝑦𝑝 =

1 𝐷+2 4cos(4x); (𝐷−2) 𝐷+2

⇛

𝑦𝑝 =

𝑦𝑝 =

𝐷+2 (−16−4)

⇛

𝑦𝑝 = − 20 𝐷 + 2 4cos(4x);

4cos(4x);

1

4cos(4x);

1

4

2

𝑦𝑝 = − 20 4𝐷𝑐𝑜𝑠(4𝑥) + 8cos(4𝑥) = 5 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − 5 cos(4𝑥)

∴

𝑦 𝑥 = 𝑐1

𝑒 −3𝑥

+𝑐2

𝑒 −2𝑥

𝐷2 = −16

4 2 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − cos(4𝑥) 5 5

𝐷2 = −16

TERCERA PROPIEDAD DEL OPERADOR DERIVADA En está propiedad se considera una función cualquiera de 𝑥, llamada 𝑢(𝑥) multiplicada por la función exponencial 𝑒 ±𝑎𝑥 es decir 𝑓 𝑥 = 𝑒 ±𝑎𝑥 𝑢(𝑥) Aplicando el operador derivada en forma sucesiva a la expresión anterior se obtiene 𝐷𝑛 𝑒 ±𝑎𝑥 𝑢 𝑥

= 𝑒 ±𝑎𝑥 𝐷 ± 𝑎 𝑛 𝑢(𝑥)

(2)

Esta propiedad nos permite anteponer la exponencial al operador derivada, afectando éste último únicamente a la función 𝑢(𝑥) Si en lugar del operador 𝐷 aplicamos a éste tipo de funciones un 𝑃(𝐷), entonces

𝑃(𝐷) 𝑒 ±𝑎𝑥 𝑢 𝑥

= 𝑒 ±𝑎𝑥 𝑃(𝐷 ± 𝑎) 𝑢(𝑥)

(3)

Ejemplo .-Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 +5 + 6𝑦 = 20sen(4𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Solución:

Aplicando el concepto de polinomio diferencial tenemos

⇛

(𝐷2 +5𝐷 + 6)𝑦=0 Solución particular 𝑦𝑝 =

1 (𝐷2 +5𝐷+6)

𝑦𝑝 =

1 (−16+5𝐷+6)

𝑦𝑝 =

𝐷+2 (𝐷2 −4) 1

Empleando Operador Diferencial o Derivada

20sen(4x) 20sen(4x);

4sen(4x);

𝑦𝑝 = − 20 𝐷 + 2 4sen(4x);

𝑦𝑝 = −

1 20

𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 −3𝑥 +𝑐2 𝑒 −2𝑥

𝐷2 = −16

⇛ ⇛

1 (𝐷−2)

4sen(4x);

𝐷+2 (−16−4)

4sen(4x);

𝑦𝑝 = 𝑦𝑝 =

⇛

4𝐷𝑠𝑒𝑛(4𝑥) + 8sen(4𝑥) = -

4 𝑐𝑜𝑠 5

2 5

4𝑥 − sen(4𝑥)

Ejemplo.- Realizar la siguiente operación (𝐷2 +2𝐷 − 6)𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) Solución: Aplicando la ecuación (2) se obtiene

𝑒 2𝑥 ((𝐷 + 2)2 +2 𝐷 + 2 − 6)𝑠𝑒𝑛(4𝑥) = 𝑒 2𝑥 (𝐷2 +6𝐷 + 2)𝑠𝑒𝑛(4x) = 𝑒 2𝑥 (−16 + 6𝐷 + 2)𝑠𝑒𝑛(4𝑥) = 𝑒 2𝑥 (6𝐷 − 14)𝑠𝑒𝑛(4𝑥)

= 𝑒 2𝑥 6𝐷 𝑠𝑒𝑛 4𝑥

− 14𝑠𝑒𝑛(4𝑥)

= 𝑒 2𝑥 24𝑐𝑜𝑥(4𝑥) − 14𝑠𝑒𝑛(4𝑥)

Propiedad 2

APLICACIÓN DE LA TERCERA PROPIEDAD DEL OPERADOR A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Demostración de está propiedad considerando operadores inversos. Si en la ecuación (3) hacemos el siguiente cambio 𝑢 𝑥 =

1 𝑣(𝑥) 𝑃 𝐷±𝑎

se tendrá 𝑃(𝐷) 𝑒 ±𝑎𝑥

⇛

1 𝑣(𝑥) 𝑃 𝐷±𝑎

𝑃(𝐷) 𝑒 ±𝑎𝑥

= 𝑒 ±𝑎𝑥 𝑃(𝐷 ± 𝑎)

1 𝑣(𝑥) 𝑃 𝐷±𝑎

multiplicando ambos miembros por

1 𝑣(𝑥) 𝑃 𝐷±𝑎

= 𝑒 ±𝑎𝑥 𝑣(𝑥)

1 𝑃(𝐷)

1 1 ±𝑎𝑥 𝑃(𝐷) 𝑒 𝑣(𝑥) 𝑃(𝐷) 𝑃 𝐷±𝑎

1 = 𝑒 ±𝑎𝑥 𝑣(𝑥) 𝑃(𝐷)

⇛

1 𝑃(𝐷)

𝑒 ±𝑎𝑥 𝑣(𝑥) = 𝑒 ±𝑎𝑥

1 𝑃 𝐷±𝑎

𝑣(𝑥 )

Una aplicación de esta propiedad la tenemos en la determinación de una 𝑦𝑝 de una ecuación diferencial Ejemplo.- Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial: 𝑦 ′′′ + 6𝑦 ′′ + 11𝑦 ′ + 6𝑦 = 8𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Solución Solución homogénea: conjunto fundamental de solución es 𝑒 −𝑥 , 𝑒 −2𝑥 , 𝑒 −3𝑥 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒 −𝑥 +𝑐2 𝑒 −2𝑥 +𝑐3 𝑒 −3𝑥 Solución particular:

Empleando las Propiedades del Operador Derivada

(𝐷3 +6𝐷2 + 11𝐷 + 6)𝑦𝑝 = 8𝑒 2𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑦𝑝 = 8𝑒 2𝑥

1 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝐷3 + 6𝐷2 + 11𝐷 + 6

Aplicando la tercera propiedad del operador derivada 𝑦𝑝 =

⇛

8𝑒 2𝑥

𝑦𝑝 = 8𝑒 2𝑥

1 sen(x) 𝐷 + 2 3 + 6 𝐷 + 2 2 + 11 𝐷 + 2 + 6 1 sen(x) 𝐷3 + 12𝐷2 + 47𝐷 + 60

Aplicando la segunda propiedad del operador derivada

⇛

𝑦𝑝 = 8𝑒 2𝑥

1 sen(x) (𝐷2 )𝐷 + 12𝐷2 + 47𝐷 + 60

𝑦𝑝 = 8𝑒 2𝑥

1 sen(x) (−1)𝐷 + 12(−1) + 47𝐷 + 60

⇛

𝑦𝑝 = 8𝑒 2𝑥

1 sen(x) 46𝐷 + 48

46𝐷−48

multiplicando por 46𝐷−48

⇛ ⇛ ⇛

𝑦𝑝 =

8𝑒 2𝑥

𝑦𝑝 = 8𝑒 2𝑥

𝑦𝑝 =

8𝑒 2𝑥

⇛ ⇛ ⇛

46𝐷 − 48 1 sen(x) 46𝐷 − 48 46𝐷 + 48

𝑦𝑝 =

46𝐷 − 48 sen(x) 21160𝐷2 − 2304 46𝐷 − 48 sen(x) 21160(−1) − 2304 8𝑒 2𝑥

46𝐷 − 48 sen(x) −4420

8 𝑦𝑝 = 𝑒 2𝑥 46𝐷 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −4420

𝑦𝑝 =

8 𝑒 2𝑥 46𝐷 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −4420

− 48𝑠𝑒𝑛(𝑥)

− 48𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Ejemplo: 𝐷 − 2𝐷 − 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 2 = 𝐷 + 1 𝐷 − 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 2 = (𝐷 + 1) 𝐷 − 3 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 2 = (𝐷 + 1) cos 𝑥 + 2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝑥 2 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2 − 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 6𝑥 + 𝑐𝑜𝑥 𝑥 + 2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 3𝑥 2 = −4𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 2

Teorema : Si 𝑃 𝐷 = 𝑎𝑛 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ . +𝑎2 𝐷2 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 es un operador polinomial diferencial con coeficientes constantes y 𝑢(𝑥) es una función n veces diferenciable, entonces: 𝑃 𝐷 𝑢𝑒 𝑎𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑃 𝐷 + 𝑎 𝑢

Ejemplo: Evaluar la siguiente expresión:

𝐷2 − 𝐷 + 3 𝑥 3 𝑒 −2𝑥

al comparar la forma de esta expresión con la de teorema anterior, vemos que 𝑎 = −2, 𝑢 𝑥 = 𝑥 3 Por lo tanto, si hacemos 𝑃 𝐷−2 = 𝐷−2

2

− 𝐷 − 2 + 3 = 𝐷2 − 5𝐷 + 9

Ejemplo 1.3 Obtener la soluci ́on general de la siguiente ecuaci ́on diferencial lineal no homog ́enea

se obtiene que 𝐷2 − 𝐷 + 3 𝑥 3 𝑒 −2𝑥 =

𝑒 −2𝑥 𝐷 − 2 𝑥 3

=𝑒 −2𝑥 𝐷2 − 5𝐷 + 9 𝑥 3 =𝑒 −2𝑥 9𝑥 3 − 15𝑥 2 + 6𝑥 Ejemplo: Evaluar la siguiente expresión: 1.- 𝑦 ′ − 𝑘𝑦 = 0 2.- 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 3.- 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 4.- 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON EL OPERADOR POLINOMIAL El método puede aplicarse a ecuaciones diferenciales de orden 𝑛, ya que si se tiene que 𝐷 − 𝑚1 𝐷 − 𝑚2 … … 𝐷 − 𝑚𝑛 𝑦 = 𝑄(𝑥) entonces se puede definir la función 𝑢 como 𝑢 = 𝐷 − 𝑚 2 … … 𝐷 − 𝑚𝑛 𝑦 y lo que queda es resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden

𝐷 − 𝑚1 𝑢 = 𝑄(𝑥) Una vez resuelta la ecuación para 𝑢 se sustituye en 𝐷 − 𝑚2 … … 𝐷 − 𝑚𝑛 𝑦 = 𝑢(𝑥) Repitiendo el proceso 𝑣 = 𝐷 − 𝑚3 … … 𝐷 − 𝑚𝑛 𝑦

⇒

𝐷 − 𝑚2 𝑣 = 𝑢(𝑥)

Integrando: 𝐷 − 𝑚3 … … 𝐷 − 𝑚𝑛 𝑦 = 𝑣(𝑥) Esta repetición nos llevará entonces hasta la solución 𝑦(𝑥). Para resolver ecuaciones del tipo 𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) +….+𝑎2 𝑦 (2) + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑄 𝑥 ;

𝑎𝑛 ≠ 0

es decir, con coeficientes constantes, : Ejemplo : Resolver la ecuación 𝑦´´´ + 2𝑦´´ − 𝑦´ − 2𝑦 = 𝑒 2𝑥 Al escribir esta ecuación utilizando el operador diferencial resulta 𝐷3 + 2𝐷2 − 𝐷 − 2 𝑦 = 𝑒 2𝑥

⇒

Si llamamos 𝑢 = 𝐷 + 1 𝐷 + 2 𝑦 𝐷 − 1 𝑢 = 𝑒 2𝑥

⇒

𝐷 − 1 𝐷 + 1 𝐷 + 2 𝑦 = 𝑒 2𝑥

entonces se puede ver que

𝑢′ − 𝑢 = 𝑒 2𝑥

⇒

𝑢 = 𝑒 2𝑥 + 𝒞1 𝑒 𝑥

Conocida la función 𝑢 entonces se tiene que 𝐷 + 1 𝐷 + 2 𝑦 = 𝑒 2𝑥 +𝒞1 𝑒 𝑥 Repetimos el proceso, pero ahora hacemos 𝑣 = 𝐷 + 2 𝑦 , por lo tanto 𝐷 + 1 𝑣 = 𝑒 2𝑥 +𝒞1 𝑒 𝑥

⇒

𝑣 ′ + 𝑣 = 𝑒 2𝑥 +𝒞1 𝑒 𝑥

⇒

1 2𝑥 𝒞1 𝑥 𝑣 = 𝑒 + 𝑒 + 𝒞2 𝑒 −𝑥 3 2

⇒

Integrando una vez más: 𝑦′

1 𝒞1 𝐷 + 2 𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝒞2 𝑒 −𝑥 3 2

1 2𝑥 𝒞1 𝑥 + 2𝑦 = 𝑒 + 𝑒 + 𝒞2 𝑒 −𝑥 3 2

∴

1 2𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑒 + 𝒞1 𝑒 𝑥 + 𝒞2 𝑒 −𝑥 + 𝒞3 𝑒 −2𝑥 12

Ejemplo : Resolver la ecuación

𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑒 𝑥

EL OPERADOR INVERSO Los operadores suelen tener su inversa, esto significa que si 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄(𝑥)

⇒

𝑃−1 (𝐷)𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑃−1 (𝐷)𝑄(𝑥)

⇒

𝑦ℎ = 𝑃−1 (𝐷)𝑄(𝑥)

Donde 𝑦ℎ (x) es una solución particular de 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑄(𝑥). Notemos que esto significa que 𝐷−𝑛 𝑄 𝑥 =

……..

𝑄 𝑥 𝑑𝑥

𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠

Ejemplo : Evaluar 𝐷 −2 (2𝑥 + 3) Se tiene entonces lo siguiente: 𝐷 −2 (2𝑥 + 3)= 𝐷 −1 (2𝑥 + 3)𝑑𝑥 = 𝐷−1 𝑥 2 + 3𝑥 =

1

3

𝑥 2 + 3𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2

El operador inversa de 𝑃 𝐷 , es decir 𝑃−1 𝐷 puede también representarse como 1 𝑃(𝐷) debe quedar claro que su significado radica en el hecho de que al actuar sobre 𝑄(𝑥) produce una solución particular 𝑦𝑝 Está ultima notación resulta ser a veces más conveniente y dependiendo de la forma de 𝑄(𝑥) Sí: 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑎𝑛 𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−1 + ⋯ . +𝑎2 𝐷2 + 𝑎1 𝐷 + 𝑎0 𝑦 = 𝑄 𝑥 entonces 𝑦𝑝 =

1 1 𝑄(𝑥) = 𝑄(𝑥) 𝑎𝑛−1 𝑛−1 𝑎𝑛 𝑛 𝑎1 𝑎1 2 𝑃(𝐷) 𝑎0 1 + 𝑎 𝐷 + 𝑎 𝐷 + ⋯ + 𝑎 𝐷 +𝑎 𝐷 0

1

0

0

0

= 𝑎 1 + 𝑐1 𝐷 + 𝑐2 𝐷2 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝐷𝑛−1 + 𝑐𝑛 𝐷𝑛 𝑄(𝑥) ; 0

𝑎0 ≠ 0

donde el término (1 + 𝑐1 𝐷 + 𝑐2 𝐷2 + ⋯ + 𝑐𝑛−1 𝐷𝑛−1 + 𝑐𝑛 𝐷𝑛 )/𝑎0 es la expansión en la serie de 1/𝑃(𝐷)

Nota:

𝑎0 = 0 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝐷 𝑎𝑛 𝐷𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 𝐷𝑛−2 + ⋯ . +𝑎2 𝐷1 + 𝑎1 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑎0 = 𝑎1 = 0

entonces se puede seguir factorizando. Por lo tanto, en general: 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝐷𝑟 𝑎𝑛 𝐷𝑛−𝑟 + ⋯ . +𝑎𝑟+1 𝐷 + 𝑎𝑟 𝑦 = 𝑄 𝑥

esto significa que 1 1 𝑦𝑝 = 𝑄(𝑥) = 𝑟 𝑄(𝑥) 𝑃(𝐷) 𝐷 𝑎𝑛 𝐷𝑛−𝑟 + ⋯ . +𝑎𝑟+1 𝐷 + 𝑎𝑟 1

=𝐷 𝑟

1 𝑎𝑛 𝐷𝑛−𝑟 +⋯.+𝑎𝑟+1 𝐷+𝑎𝑟

𝑄(𝑥)

Muchos cálculos se simplicarán notablemente por la forma que pueda tener la función 𝑄(𝑥) Si :

𝑄 𝑥 = 𝑏𝑥 𝑘 𝑃 𝐷 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑘

Note que si 𝑘 = 0, entonces: 1

𝑏

𝑦𝑝 = 𝑃(𝐷) 𝑏 = 𝑎 ; 0

𝑎0 ≠ 0

Porque 𝑏 es constante Ejemplos: Encontrar una solución particular de 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ − 3𝑦 = 5 Solución:

𝐷2 − 2𝐷 − 3 𝑦 = 5

Aquí 𝑎0 = −3, 𝑎1 = −2, 𝑎2 = 1, 𝑏 = 5, 𝑘 = 0 por lo tanto: 1

5

𝑦𝑝 = 𝑃(𝐷) 𝑏 = − 3;

2.- Encontrar una solución particular de 4𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 9𝑦 = 5𝑥 2

Solución:

4𝐷2 − 3𝐷 + 9 𝑦 = 5𝑥 2

Aquí 𝑎0 = 9, 𝑎1 = −3, 𝑎2 = 4, 𝑏 = 5, 𝑘 = 2 1

𝑦𝑝 = 𝑃(𝐷) 5𝑥 2 =

1 9

−3 4 1+ 9 𝐷+9𝐷2

5

1

4

5𝑥 2 =9 1 − 3 𝐷 + 9 𝐷2

𝑥2