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• Omar HO51

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EMPUJE HIDROSTÁTICO SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS UNIDAD III HIDROSTÁTICA

EMPUJE HIDROSTÁTICO SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS

El cálculo de la magnitud, dirección y sentido de las fuerzas totales sobre superficies planas sumergidas, son esenciales en el diseño de cortinas, compuertas, tanques y plataformas, entre otras.

Supongamos que se tiene una superficie sumergida la cual se irá colocando en diferentes posiciones.

Primero la colocaremos en forma horizontal a una profundidad h, donde la presión en todos sus puntos será la misma y tendrá un valor de: P=ϒh

Para calcular el empuje o fuerza total que actúa habrá que multiplicar la presión por el área. E = PA = ϒ hA

donde:

E = Empuje hidrostático…………………………………N, Lb, Kp P=

𝑁 Presión………………………………………………. 2 𝑚

, 𝑃𝑎

A = Área…………………………………………………..𝑚2 ϒ= Peso

𝐾𝑝 específico…………………………………….. 3 𝑚

h = Elevación o profundidad…………………………...m, cm

S.L.A

𝒉𝟏 𝑷𝟏

𝒉𝟐

𝒉𝟑 𝑷𝟐

𝑷𝟑

𝑷𝟏 = 𝑷𝟐 = 𝑷𝒏 P=ϒh

E=ϒhA

Para un área horizontal plana sumergida, el cálculo de la presión no varía sobre el área , mientras que para las superficies verticales o inclinadas es más laborioso su cálculo, debido a que las presiones son diferentes.

Este caso puede ser aplicado para calcular la base de una alberca o de un canal o de alguna cisterna, etc

Sin embargo la presión de los líquidos en una estructura vertical varía en forma lineal en función de la profundidad, produciéndose los diagramas de presiones típicas y las fuerzas resultantes. Estructura vertical

Estructura inclinada

El empuje se define como la resultante de un sistema de presiones sobre una superficie sumergida

Estructura vertical (h) S.L.A

Estructura inclinada (y) S.L.A

𝒉𝟏

𝒉𝟏

𝒉𝟐 𝒉𝒄𝒈 𝒉𝒄𝒑 𝒉𝟓

𝒀𝟏

𝒉𝟐 𝒉𝒄𝒈 𝒉𝒄𝒑

Cg Cp

𝒉𝟓

𝒀𝟐

Cg Cp

𝒀𝒄𝒈 𝒀𝒄𝒑

h

y 𝒀𝟓

S.L.A

P=ϒh

P=ϒh

E

E = ϒ hcg A E

Diagrama de presiones

Cg Cp

e

Estructura

E = ϒ hcg A Cg Cp

e

Para calcular las estructuras verticales se utilizan las fórmulas con h. Para las inclinadas se utilizan las que llevan Y, cabe mencionar que la única fórmula que usan en común es la del empuje es decir: E = ϒ hcg A

El punto de aplicación del empuje es el Centro de Presiones ( Cp ) La distancia que existe entre el Centro de Presiones (Cp) y el Centro de gravedad ( Cg ) se llama Excentricidad (e)

EJERCICIOS 1.- Calcular el empuje hidrostático, la distancia al centro de presiones y la excentricidad para una compuerta rectangular, de acuerdo con la siguiente figura. S.L.A.

S.L.A. ℎ1

𝒉𝟏

𝑪𝒈 b

Cg

𝒉𝒄𝒈

Datos b =4m a = 1.5 ℎ1 = 3 m

𝒉𝑪𝒑

Cg Cp e

a

Para determinar ℎ𝑐𝑔 no hay una fórmula, por lo tanto, se obtendrá del diagrama ya que cada caso será diferente. ℎ𝑐𝑔 = ℎ1 + Cg Cg =

1 2

a por ser un rectángulo

Cg =

1 2

a =

1.5 2

Cg = 0.75 m Área del rectángulo A = b x a = ( 4 ) ( 1.5 ) A = 6 𝒎𝟐

Distancia al Centro de Presiones hcg = ℎ1+ Cg = 3 + 0.75 hcg = 3.75 m Empuje E = ϒ hcg A =( 1000 ) ( 3.75 ) ( 6 ) E= 22,500 Kp Distancia la Centro de Presiones Se utilizará la fórmula hcp ya que la estructura está colocada en forma vertical. hcp =

𝐼𝑐𝑔 𝐴 ℎ𝑐𝑔

+ hcg

Como ya tenemos el área y el valor de hcg calcularemos Icg que es el Momento Central de Inercia para una figura rectangular. Momento Central de Inercia 𝐼𝑐𝑔 = Icg =

𝑏 𝑎3 12

4 (1.5)3 = 12 𝟒 1.125 𝒎

Por lo tanto sustituyendo en la ecuación de la distancia al Centro de Presiones vertical se tiene:

hcp =

𝐼𝑐𝑔 𝐴 ℎ𝑐𝑔

+ hcg =

hcp = 3.80 m

1.125 6 ( 3.75)

+ 3.75

Finalmente se calcula la excentricidad, recuerda que la hcp debe ser mayor que hcg en este caso. Excentricidad e = hcp – hcg e = 3.80 – 3.75 e = 0.05 m

2.- Con los datos del ejercicio anterior ahora calcula los mismos puntos pero aplicados a una compuerta triangular cuya base es de 4 m y la altura es de 1.5 m.

3.- Ahora calcula para una compuerta circular cuyo diámetro es de 4 m

Ejercicio 4 S.L.A.

Alberca de vista infinita

Datos Estructura rectangular b=3 m a =7m E=? Distancia al Centro de Presiones = ? e=?

Ejercicio 5 S.L.A.

Datos Estructura rectangular b=5m a=8m 𝐾𝑝 ϒ = 816 𝑚3 Bordo Libre (BL) = 0.30 m E=? Dist. al Centro de Presiones = ? e=?

Alberca con bordo libre

De los ejercicios anteriores se deduce que: Caso 1

Caso 2

S.L.A

Caso 3

S.L.A

S.L.A

hcp hcg hcp

E = ϒ hcg A hcg = 𝒉𝟏 + Cg

hcg

hcg

𝒉𝟏

Cg Cp

Cg Cp

hcp

E = ϒ hcg A

E = ϒ hcg A

hcg = Cg

hcg = Cg

𝟏 𝟐

Cg Cp

𝟏 𝟐

Cg = a

Cg = a´

Si es rectangular o circular.

Si es rectangular o circular.

Si es triangular dependerá de la posición del triángulo

Si es triangular dependerá de la posición del triángulo

Empuje sobre superficies planas inclinadas 1.- Calcular el empuje hidrostático, la distancia al centro de presiones y la excentricidad en el muro de un acuario de acuerdo con la siguiente figura: S.L.A 𝒉𝟏 hcg

𝒀𝟏 𝒉𝟐

hcp

E

Cg 𝒀𝟐

1 2

a

1 2

a

Ycg

a

b

Datos Ycp

b=2m a=6m ϴ = 60°

𝑲𝒑

ϒ = 1000 𝟑 𝒎 𝒉𝟏 = 𝟓 𝒎

Empuje E = ϒ hcg A Para el empuje recuerden que se usará la misma fórmula para las estructuras inclinadas y verticales. Observemos que para hcg se tiene una profundidad ℎ1 pero falta saber la distancia vertical formada por el triángulo amarillo, a esa distancia vertical la llamaremos ℎ2 por lo tanto: hcg = ℎ1 + ℎ2 ϴ 𝒉𝟐

Cg

Para obtener ℎ2 ℎ Sen ϴ = 𝐶𝑔2 ℎ

1

6

Cg = 2 a = 2 = 3

ℎ2 = Sen ϴ = 𝐶𝑔2 = Sen 60° ( Cg )

Cg = 3 m

ℎ2 = (0.8660) ( 3 )

hcg = ℎ1 + ℎ2 = 5 + 2.598

𝒉𝟐 = 2.598 m

hcg = 7.598 m

Área A=bx=(2)(6) A = 12 𝑚2

Empuje E = ϒ hcg A = (1000) (7.598) (12) E = 91,176 Kp

Distancia al Centro de Presiones Como es una estructura inclinada las fórmulas que se utilizan serán las de “Y”

Ycp =

𝑰𝒄𝒈 𝑨 𝒀𝒄𝒈

+ Ycg

Se busca el valor de Icg para un rectángulo 𝑏 𝑎3 12

2

(6)3 12

Icg = = Icg = 36 𝒎𝟒 Para la distancia al Centro de Presiones observa en el diagrama que Ycg está formada por: Ycg = 𝑌1 + Cg Pero no conocemos 𝑌1 por tal razón la obtendremos de la siguiente manera, observa el triángulo azul Para obtener 𝑌1 ℎ Sen ϴ = 1

S.L.A

𝑌1

ℎ1

Y1

𝑌1 =

ℎ1 𝑆𝑒𝑛 ϴ

=

𝒀𝟏 = 5.774 m

5 0.7071

Ycg = 𝑌1 + Cg = 5.774 + 3

Ycg = 8.774 m

Ycp =

𝐼𝑐𝑔 𝐴 𝑌𝑐𝑔

+ 𝑌𝑐𝑔 =

36 (12) (8.774)

Ycp = 9.116 m

Excentricidad

e = Ycp – Ycg = 9.116 – 8.774 e = 0.298 m

+ (8.774)

Ejercicios Calcular el empuje hidrostático, la distancia al centro de presiones y la excentricidad en el muro de un depósito de acuerdo con las siguientes figuras: 2.

3.

Datos b =6m a =4m ϴ = 45 ° 𝐾𝑝 ϒ = 916 𝑚3

Datos b = 10 m a = 1.5 m ϴ = 60 ° 𝐾𝑝 ϒ = 721 𝑚3 B.L.= 0.30 m

ING. ADRIANA SOLEDAD RODRÍGUEZ CRUZ