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…de Calibres y Tensiones http://www.m ugica strings.co m

Un buen set de cuerdas se distingue c uando al colocarlas y llevarlas a la afinación correcta, pareciera que cada una de ellas tuviese la misma tensión. En realidad, la tensión de las cuerdas es determinada por el largo, la masa y el tono. El diámetro por sí solo no determina la tensión de la c uerda. Usando distintos materiales o variando el radio entre el alma y el alambre del entorchado durante el proceso de bobinado, dos cuerdas c on el mismo diámetro y afinadas a un mismo tono pueden tener tensiones distintas. Por ejemplo, c omparando una c uerda MH Strings de guitarra c lásic a de tensión media (set Nº 530) con una similar pero de otro fabricante, pueden no tener la misma tensión al tocarla. En el caso de las c uerdas para guitarra eléctrica, por lo general las que no están entorchadas -1ª, 2ª y 3ª- están hechas de acero (high c arbon steel), por eso cualquier cuerda de este tipo que tenga el mismo diámetro tendrá una tensión similar. Claro que aquí hay que tener en c uenta la c alidad del material usado, que en el c aso de Mugica Hnos. es importado por la misma c ompañía. AGENTE D Son muc hos los factores, además del c alibre de la cuerda, los que determinan la tensión real y la que nosotros percibimos en el instrumento. - El largo de escala o la distanc ia entre la c ejuela y el puente. Cuanto más larga es esta escala, mayor será la tensión de una cuerda del mismo diámetro. - La flexibilidad de la tapa del instrumento y de su diapasón. - El ángulo desde donde la c uerda parte entre la c ejuela y la clavija, ó entre el puente y el c ordal en el c aso de la guitarra eléctric a tipo SG o Les Paul. - La altura de la cuerda según se la ajusta desde el puente. La altura de cuerdas no sólo afecta a la tensión de las mismas sino que también perjudic a la afinac ión. - El ángulo del mástil, factor éste que en guitarras acústicas, electroespañolas o eléctric as se regula c on el tensor. ¿CUAL ES MI CUERDA? Experimentar c on distintas tensiones y c alibres puede dar c omo resultado un c arácter totalmente distinto en cuanto al sonido de nuestro instrumento y afectar, de un modo positivo, a nuestro estilo de ejecución. Muc hos instrumentistas se asombran al ver que un set c on una tensión más liviana puede sonar mejor en su guitarra. Nunc a hay que asumir que la tensión elegida por el fabricante del bajo o la guitarra que compramos es la c orrec ta para uno. Una opc ión muy usada, sobre todo en el campo de las guitarras eléctric as, es mezc lar distintos sets para lograr un enc ordado más personalizado y de ac uerdo a

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Ferretería Musical - ...de calibres y te… nuestras necesidades. Por ejemplo para un género c omo el Metal Clásic o o en New Metal, donde c omo mínimo se afina medio tono más abajo de A=440, si elegimos una 1ª, una 2ª y una 3ª de un set MH Strings .010 (.010", .013", .017") junto a una 4ª, una 5ª y una 6ª de un set .011 (.028", .038", .050"), nos permitirá estirar fácilmente las tres primeras c uerdas pero teniendo una fuerte respuesta de graves con las cuerdas más gruesas del segundo set. Las cuerdas de c alibre liviano son las más populares y son las recomendadas por la mayoría de los fabricantes de guitarras acústicas. Este tipo de tensión asegura una vida más prolongada de la tapa y del mástil del instrumento. Los encordados más gruesos no son los más aptos para guitarras ac ústic as con tapas frágiles. Las cuerdas c on tensión medium ofrecen mayor proyecc ión sonora en instrumentos más pesados. MH Strings tiene en los sets para guitarra c lásic a diversas tensiones: alta, media, baja y normal. Aunque las tensiones de un set para guitarra c lásica son muc ho más bajas que las de su contraparte de acero, la altura de c uerdas, medidas desde la trastera, son también más altas. ¿PORQUE ROMPO CUERDAS? La c uestión sobre la vida de las c uerdas es tan vieja como las cuerdas mismas. Existe como en todo, muc hos aspectos a considerar: el ác ido en la transpirac ión del músic o, la c omposic ión de la cuerda, la humedad ambiente, etc . Cuanto más cuidemos nuestras cuerdas, más van a durar. Tan simple c omo parece, es muy importante limpiar las c uerdas -una por una- después de tocar. Otro aspecto a tener en c uenta para asegurarle mayor vida a las cuerdas es ver el lugar en donde se rompen, si es que esto suc ede siempre en el mismo sec tor del instrumento. Muchas vec es y sobre todo en los instrumentos eléctricos, los lugares de c ontac to entre las cuerdas y el metal de los acc esorios sufre un desgaste y esto produc e el rompimiento de las c uerdas. ¿Existe filo en el agujero de la c lavija donde calza la c uerda? ¿Están parejas las marcas en los puentes (saddles) individuales? ¿Tienen alguna marca los trastes? Si todo esto está bien y continuamos rompiendo cuerdas, es recomendable probar con un calibre más grueso. Y ya que Mugic a Hnos. nos ofrece cuerdas sueltas, también es posible armar un set propio a medida c omo vimos anteriormente La línea c uerdas MH inc luye modelos para guitarra c lásica en tensiones alta, media, baja y normal; para guitarra deac orde (diez c uerdas); para guitarra eléc trica en c alibres .008 a .011; para guitarra ac ústic a (.010 a .012) y para bajo eléctric o de cuatro y cinco cuerdas en calibres .040 y .045. Informate dónde podés c onseguir las cuerdas MH Strings al siguiente Email: [email protected] ¿Querés saber más secretos sobre las cuerdas? • Cuerdas Con Tradición • De Calibres y Tensiones • Manteniendo la Afinación... Algunos consejos • Quiero Tocar Siempre Afinado • Cuerdas Tempo • Nickel Cobre y Brass Cobra • Cuerdas Bass Cobra • Cuerdas de Guitarra Clásica Titanium

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LA COMPENSACION DE LA SOBRETENSION APLICADA A LAS CUERDAS DE UN INSTRUMENTO MUSICAL PARA MANTENER LA AFINACION AL LARGO DE LA ESCALA

Cuándo se estudia el dimensionamiento de las distancias entre los trastes de los instrumentos musicales de cuerdas, se calcula matemáticamente donde ellos deben quedar-se para producir los sonidos que deben producir, com la frequência determinada. Lo que pasa es que la cosa no es asi tan facil, y en la práctica no acontece exactamente asi. ¿Y porque ? - Por una razón muy sencilla de ser entendida. Al mirar la figura situada luego hacia abajo usted sabrá porque. Al aplicar se el dedo sobre la cuerda es ejercida una sobretensión sobre la misma. El instrumento es afinado con una tensión de cuerda, y asi emite una cierta frecuencia determinada, que es función de cada instrumento en particular, entonces al aplicar la sobretensión hará con que suba la frecuencia un poco más arriba, y esto por lo tanto causa una desafinación. Para que esto no ocurriera seria necesario que la delimitación de la longitud de la cuerda fuese hecha en un punto a la misma altura de la cuerda, para no añadir cualquiera tensión extra en la cuerda, lo que es impracticable, puesto que la cuerda necesita de espacio para oscilar. Haciendo un recuerdo de nuestros estudios de física: La formula que relaciona TENSIÓN, LONGITUD DE LA CUERDA, FRECUENCIA DE VIBRACIÓN DE LA CUERDA Y LA DENSIDAD POR UNIDAD DE LONGITUD ES:

es la T es la tensión de la cuerda y densidad por unidad de longitud es la longitud de la cuerda es la frecuencia de vibración de la cuerda

Si tenemos entonces una cuerda com una densidad por unidad de longitud frecuencia sea , determinamos que tension tendremos.

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, una longitud

, y predeterminamos que su

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Por lo tanto ese proceso lo llamamos Afinación de las cuerdas, cuando aprietamos las cuerdas en el clavijero. Pero para que las cuerdas se mantengan en afinacion al largo de la escala los luthiers tienen que hacer ajustes en sus posiciones y tensiones en la puente.

Mirando la formula se puede deducir que las cuerdas más gruesas, con frecuencias mas bajas, tiene un las otras y por lo tanto a ellas se añadira una mayor compensación.

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más grande que

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Mestre luthier William Cumpiano dice: "Asi que efectivamente: por mas grueso la cuerda, mas incremento a la compensacion. Pero fijese: en una guitarra, las cuerdas de nilon varian poco entre si en grosor. entre .71mm y 1mm, promedio. Pero las en las guitarras de cuerdas de acero varian en gran manera: de .28 mm y 1.35 mm (guitarra acustica). Por eso la compensacion de la guitarra de cuerdas de nilon es invariablemente 2.5mm, pero el hueso de la guitarra acustica es puesto en angulo con la compensacion de la cuerda mas gruesa casi 5mm y la cuerda mas fina, 1mm. Note que el lutier puede hacer ajustes leves de la compensacion, añadiendo o restando compensacion de cada cuerda tal y como lo necesite. La mandolina con la escala de apenas 330 mm (comparado con la guitarra de 650 mm) requiere una compensacion promedia de 6.4 mm (compara con 2.5 - 5 mm de la guitarra)."

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Observe cómo varia la locacion del punto de apoyo de las cuerdas, las notas más graves al lado izquierdo, mas alejadas de la cejuela.

Observe cómo varia la locacion del punto de apoyo de las cuerdas, las notas más graves al lado izquierdo, mas alejadas de la cejuela.

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"En realidad, en mi modo de pensar, es superior la solucion de compensacion uniforme. Si el luthier tiene que valerse de un hueso con compensacion individualizada, es resultado de haber tenido que compensar tambien por la seleccion de calibres de las cuerdas, cuyas tensiones no son uniformes--o resultado de otro problema no-aparente. Yo creo que puedes considerar que la configuracion del hueso es como una grafica (graph) de la variacion de tension entre cuerda y cuerda. Si el hueso parece un zig-zag, para mi es señal que el lutier trató de construir la guitarra para optimizarla para una marca (brand) especifica de cuerdas--ya que cada marca ofrece su propia combinacion de calibres--y más al caso--su propia seleccion de nucleo vs. entorchado para cada calibre dado. Esto es resultado de que una compañia de cuerdas puede incluir en un juego una cuerda entorchada de 1.27 mm con un nucleo de .5 mm y otra compañia puede incluir en su juego una cuerda entorchada de 1.27 mm con un nucleo de .8 mm. La diferencia es el calibre del entorchamiento. Las dos cuerdas tienen masa similar asi es que vibran de forma similar-pero tienen distintas caracteristicas. La de nucleo mas fino se puede romper mas facilmente, pero es mas flexible, y por lo tanto los nodos (region a los extremos que no pueden vibrar debido a la rigidez o tiesura natural de la cuerda) son mas pequeños y la afinacion mas exacta. La de nucleo mas grueso no se rompe tan facilmente, pero es mas inflexible y requiere mas compensacion. Asi, que los nodos tambien afectan la precision de afinacion. Es muy complejo, pero hay que mantener la vista clara. El problema con la compensacion individualizada es que es válida para una marca o surtido de cuerdas especificas, el juego que el luthier selecciono al determinar la configuracion del hueso. A veces tambien el luthier inexperimentado determina la compensacion individual necesaria para una cuerda nueva, puesta y afinada recientemente, y la cual no se ha estirado totalmente recto entre hueso y cejilla, lo que invalida la compensacion cuando se ha estirado completamente recto, no solo cuando el instrumento se hunde levemente al ceder completamente bajo tension. Y ademas cuando el musico cambia las cuerdas a otra marca o a otro surtido, o cuando cambia la altura de las cuerdas sobre el diapason--surgen problemas de precision de afinacion. El luthier mas pensador, creo, prefiere el hueso con compensacion uniforme, y recomienda un surtido de cuerdas que afinan con mas precision porque a dicha escala y a dicha afinacion, ofrecen una tension uniforme entre cuerda y cuerda. Y eso es una situacion que ofrece mejor sensacion tactil al musico por ser uniforme. Ya vera que en un dado instrumento afinado correctamente, cuando una cuerda queda mas tiesa y otra siente mas floja, le causa una sensacion de inseguridad tactil al musico." Nuestros agradecimientos al premiado Mestre luthier William Cumpiano por sus valiosos comentários.

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Cuerdas de acero

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(Portugal) La cejuela

La Cejuela es una pequeña pieza alargada de hueso o madera dura, que se coloca entre la Cabeza y el Diapasón del instrumento, sirviendo de puente a las Cuerdas a la vez que fija la separación de las mismas mediante unas rañuritas que lleva en la parte superior. Las cuerdas

as cuerdas son hilos de diferentes gruesos, que puestas en tensión producen los sonidos deseados. Son de tripa, de fibras, de acero y algunas de ellas con entorchado para hacer los sonidos mas graves; a estas se les llama Bordones. Las clavijas y el clavijero

as clavijas son piezas moviles de forma caprichosa, sujetan las cuerdas del instrumento para poder hacer tensión sobre las mismas y conseguir la afinación del instrumento. Son de madera semejantes a una paleta , con el espárrago algo cónico para fijar mejor su posición; actualmente han caído en desuso las clavijas de madera, que se han sustituido por clavijeros metálicos, colocados en dos filas, una a cada lado de la cabeza del instrumento y facilitan con su mecanismo hacer mejor la afinación de las cuerdas. El Mástil

l mástil es la parte alargada que une la Cabeza con la Caja armónica del instrumento, sobre la que se coloca el Diapasón, teniendo forma de media ca&nti lde;a en la parte inferior para facilitar los desplazamientos de la mano izquierda en los movimientos que hay que hacer para pisar las cuerdas Los trastes

on las barritas de metal incrustadas horizontalmente en el Diapasón y que forman los espacios de separación de un sonido a otro. Generalmente a estos espacios también se les llaman Trastes

La Boca

a Boca y las eses a boca es el orificio central de la tapa superior de la Caja de resonancia que junto con dos orificios en forma de ese siturados al lado de la boca, permiten la salida del sondo de la caja de resonancia. La Caja Armónica

a Caja Armónica o caja de resonancia como también se la denomina, es la parte vital del instrumento; todas las demás partes son elementos de colaboración y, como su mismo nombre indica, es donde se reproducen los sonidos. Con sta de tapa superior, tapa inferior y constados. En la tapa superior se situan la boca y el puente de asiento para las cuerdas.

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El Puente de asiento

a puente es una pieza estrecha y alargada que se coloca sobre la tapa superior de la caja armónica a poca distancia de la boca y eses del instrumento. Su misión es sujetar las cuerdas, llevando en la parte superior, una pieza movible de hueso o de pasta llamada Selleta, sirviendo esta para guardar la altura de las cuerdas. Las cuerdas

as cuerdas son como hilos de diferentes gruesos, que puestas en tensión producen los sonidos deseados. Son de tripa, de fibras, de acero y algunas de ellas con entorchado para hacer los sonidos mas graves; a estas se les llama Bordones.

Cordal

n los instrumentos de doce cuerdas como son el Laúd y la Bandurria, el puente no ofrece suficiente resistencia para contener la tensión de las doce cuerdas, por lo cual, suele usarse una pieza de metal o de madera semejante a una lira u otra forma parecida, llamada cordal que se coloca en la parte baja de la tapa de arriba sujeta en el borde de la caja armónica y del que parten las doce cuerdas del instrumento pasando por el puente. La Cabeza

a cabeza es la parte superior del instrumento, es una pieza de forma plana y alargada cuyo recorte de la parte de superior adopta una forma caprichosa. Está unida al Mástil y al Diapasón formando un ligero ángulo de uno s ocho grados. Sobre la cabeza, están situadas las clavijas clásicas o bien el clavijero mecánico moderno.

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Técnicas Experimentales de Mecánica y Ondas

Ana Cros, Andrés Cantarero y Chantal Ferrer

EL PUENTE DE TACOMA-NARROWS Formación de armónicos en una cuerda

En la mañana del 7 de Noviembre de 1940, en Tacoma Narrows (Estado de Washington, EE.UU.), los remolinos del viento hicieron que el puente se pusiera a oscilar más de lo que ya era habitual (al puente ya se le apodaba “Gerti al galope”, a pesar de que llevaba menos de un año en funcionamiento). A medida que pasaba el tiempo el puente se movía más y más en un movimiento de torsión hasta que, en un momento dado, uno de los cables centrales se rompió y el puente se derrumbó. Durante su construcción era difícil prever que aparecería un efecto de resonancia provocado por los remolinos de viento que se formaban al atravesar el puente. Este efecto produjo la aparición de ondas estacionarias de gran amplitud. Esta catástrofe determinó un cambio importante en el diseño y construcción de puentes. El fenómeno de la resonancia se encuentra presente en numerosos sucesos cotidianos: - Cuando os encontráis en un autobús que está parado en un semáforo, el motor hace que vibren los cristales, o incluso los asientos (con vosotros encima). Otros objetos, como los agarradores que cuelgan de las barras, sin embargo, no se ponen a oscilar. Al ponerse en verde el semáforo, el conductor o conductora aceleran, lo que aumenta las revoluciones por minuto del motor. Las vibraciones aumentan en frecuencia, pero dejamos de percibirlas de forma tan evidente como antes: la amplitud de vibración de los cristales y los asientos disminuye. - Cuando columpias a alguien, no empujas el columpio de cualquier manera, sino en determinados momentos bien elegidos. Tu intuición te indica cómo obtener la máxima oscilación con el menor esfuerzo. Práctica 2. El puente de Tacoma Narrows

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Ana Cros, Andrés Cantarero y Chantal Ferrer

Imagina que empujaras el columpio hacia delante justo cuando está empezando a retroceder. Solo conseguirías pararlo. Cuando te columpias tú mismo, adoptas posiciones con las piernas y el cuerpo que cambian de forma instintiva ajustándose al periodo de vaivén del columpio. Si realizas un vaivén más rápido o más lento de lo debido (como los niños pequeños que no han aprendido todavía a columpiarse), no hay forma de que puedas aumentar la amplitud de la oscilación. Cada cuerpo oscilante tiene una o más frecuencias naturales de oscilación. Para que oscile con la máxima amplitud, la fuerza externa que apliquemos debe tener una frecuencia cercana a esta frecuencia natural. En ocasiones, la amplitud máxima (amplitud de resonancia) puede superar el límite elástico del cuerpo, provocando su destrucción, como en el caso del puente de Tacoma Narrows. En este experimento estudiaremos las fecuencias naturales (o propias) de oscilación de una cuerda sujeta por sus dos extremos. Analizaremos la dependencia de estas frecuencias con dos parámetros externos que podemos cambiar a voluntad: la tensión a la que está sometida la cuerda y su densidad lineal (masa por unidad de longitud). Al finalizar la práctica serás capaz de determinar intuitivamente la relación entre las distintas frecuencias de resonancia de la cuerda, y podrás comprender mejor situaciones tan dispares como por qué se rompió el puente de Tacoma Narrows o qué variables debes cambiar para afinar una guitarra.

Objetivos: Estudiar las frecuencias naturales de vibración de cuerdas de distintas características que están sujetas por sus dos extremos. Determinar la relación entre longitud de la cuerda y longitud de onda para las distintas frecuencias naturales. Obtener la velocidad de propagación de las ondas transversales y estudiar su dependencia con la tensión aplicada a la cuerda. Relacionar la velocidad de propagación de las ondas y la densidad lineal de la cuerda.

Material Utilizado: vibrador mecánico, generador de ondas, pesas, cuerdas de distintas características, soporte de fijación, polea, cinta métrica y pie de rey.

1. Introducción teórica Estamos interesados en estudiar las frecuencias naturales de vibración de una cuerda sujeta por sus dos extremos y sometida a una cierta tensión y a una perturbación armónica. Estas frecuencias naturales o frecuencias propias de vibración de la cuerda se conocen también como ondas estacionarias. Para dar una descripción completa del movimiento de cada sección de cuerda, necesitamos conocer su forma, u(x, t), en cada punto y en cada instante. Una manera sencilla de analizar el sistema consiste en suponer que por la cuerda se desplaza una onda armónica, de frecuencia f (frecuencia angular ω=2π f) y vector de ondas k=2π/λ Práctica 2. El puente de Tacoma Narrows

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Ana Cros, Andrés Cantarero y Chantal Ferrer

que viaja a lo largo del eje X con una velocidad de propagación v =

λ

= λf =

ω

. La T k forma de la cuerda bajo la acción de esta onda quedará determinada, en función del espacio y del tiempo, por la función u 0 sen (ωt − kx) . Cuando la onda llegue al extremo derecho de la cuerda se reflejará y comenzará a viajar hacia la izquierda. La función que caracteriza la forma de la cuerda bajo la acción de esta nueva onda es − u 0 sen (ωt + kx) , puesto que ahora se propaga en sentido opuesto y durante la reflexión en el extremo fijo se produce la inversión de la onda. La forma final de la cuerda vendrá dada por la superposición de estas dos ondas: u ( x, t ) = u 0 sen (ωt − kx) − u 0 sen (ωt + kx) = −2u 0 sen(kx) cos(ωt ) (1) La solución encontrada debe satisfacer las condiciones de contorno a las que está sometida la cuerda. Debe reflejar por tanto el hecho de que está sujeta por los dos extremos y para x=0 y x=L su desplazamiento u(0,t) y u(L,t) debe ser cero. El lector avezado se habrá dado cuenta de que al escribir la solución (1) ya hemos utilizado, aunque de forma sutil, una de estas condiciones de contorno (¿qué hubiera ocurrido con la ecuación (1) si hubiéramos descrito la onda en la cuerda mediante una función coseno en vez de una función seno?). La función (1) se anula entonces para x=0. Imponiendo la segunda condición de contorno encontramos que sólo pueden existir valores discretos de k: (2) sen(kL) = 0 ⇒ kL = nπ , con n = 1, 2, 3... Como el vector de ondas y la frecuencia están relacionados a través de la velocidad de propagación de la onda, obtendremos también valores discretos de la frecuencia, nπ (3) ω n = 2πf n = vk n = v L Si analizamos detenidamente la forma de la cuerda (ecuación (1)) en función del tiempo, nos daremos cuenta de que para estas frecuencias se formarán en ella ondas estacionarias, caracterizadas por puntos donde la cuerda permanece en reposo (nodos) y regiones donde la cuerda oscila, en cuyo centro se encuentran los puntos de amplitud máxima (vientres). La cuerda adquiere una forma de oscilación diferente para cada valor de n. Con n = 1 (modo fundamental de vibración) obtenemos un nodo en cada extremo fijo de la cuerda y un vientre en el centro (en x = L/2), como se ilustra en la figura.

vientre Con n = 2 (segundo modo) tendremos un nodo en el centro (para x = L/2) y dos vientres situados en x = L/4 y x = 3L/4. vientre

vientre

nodo El número de vientres va aumentando, y coincide siempre con el orden del modo, n. En la figura se representa por último el tercer modo. vientre

vientre

Práctica 2. El puente de Tacoma Narrows nodo

vientre 8 nodo

Técnicas Experimentales de Mecánica y Ondas

¿Cuánto valdrá

Ana Cros, Andrés Cantarero y Chantal Ferrer

f f2 ? ¿Y 3 ? f1 f1

Al analizar la ecuación (1) veremos que la distancia entre dos nodos o dos vientres consecutivos coincide siempre con media longitud de onda, λ/2.

Estos cálculos nos sirven para comprender en parte el comportamiento de las ondas estacionarias. Sin embargo distan mucho de ser una descripción completa del comportamiento de las ondas transversales en la cuerda. Necesitamos todavía relacionar la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda, v = ω/k con las características del material de que está hecha y con la tensión aplicada. Para ello, supongamos que la cuerda está sometida a una tensión longitudinal τ (por medio de una pesa, por ejemplo).

Cuando la cuerda se deforma, la tensión será un vector tangente a la cuerda. Consideremos dos puntos separados una distancia infinitesimal dx. Si σ es la densidad lineal de la cuerda, la masa contenida en esa distancia será σdx. La componente vertical de la tensión aplicada será: ∂u τ u = τ sin θ ≈ τ tan θ = τ , (4) ∂x donde hemos supuesto que las amplitudes de vibración son pequeñas, de forma que el ángulo θ es pequeño y el seno puede aproximarse a la tangente. La diferencia de tensiones entre los puntos x y x + dx es:

[τ u ]x+ dx − [τ u ]x

=

∂τ u ∂ ⎡ ∂u ⎤ dx ≈ τ dx . (5) ∂x ∂x ⎢⎣ ∂x ⎥⎦

Si las amplitudes son peque˜nas, la tensión es prácticamente constante a lo largo de la cuerda, con lo que podemos hacer la aproximación:

[τ u ]x +dx − [τ u ]x

≈τ

∂ 2u dx ∂x 2

(6)

Por otra parte, de la segunda ley de Newton tenemos:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u dm 2 = σ 2 dx = [τ u ]x + dx − [τ u ]x ≈ τ 2 dx ∂t ∂t ∂x Práctica 2. El puente de Tacoma Narrows

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De donde obtenemos la ecuación de ondas:

τ

∂ 2u ∂ 2u = σ . ∂x 2 ∂t 2

(8)

La función sinusoidal u0sen (kx ± ωt) que hemos utilizado al principio de esta sección es, entre otras, solución de esta ecuación. El análisis de la ecuación (8) nos permite deducir una expresión para la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda en función de la tensión aplicada a la cuerda y su densidad lineal. Si introducimos la función u0sen (kx ± ωt) en la ecuación (8), veremos que la igualdad es cierta únicamente si se satisface la ecuación:

ω k

τ, σ

=v=

(9)

que es la relación que buscábamos entre la velocidad de propagación de la onda, la tensión aplicada y las características (densidad lineal) de la cuerda. En general, las soluciones armónicas de la ecuación de ondas son del tipo:

u ( x, t ) = e i (ωt − kx ) . Como hemos discutido antes, las condiciones de contorno de nuestro problema exigen que la amplitud se anule en x = 0 y x = L en cualquier instante t. Eliminando el tiempo en la ecuación de ondas y buscando soluciones armónicas del tipo: u = u1e ikx + u 2 e − ikx , obtenemos la solución final de nuestro problema: u = u 0 sin(kx)e iωt , 2π nπ donde k ha de satisfacer la condición k = = , con n=1, 2, 3… (10) λ L Como vemos, es el mismo resultado que habíamos obtenido al principio de forma más intuitiva. Las frecuencias de vibración obtenidas corresponden a las frecuencias naturales o propias del sistema, de forma similar a los modos de vibración estudiados en la práctica de Oscilaciones Acopladas. La diferencia es que la cuerda es un sistema continuo de masa (infinitas masas puntuales), con lo que existen infinitos modos de vibración. A lo largo de esta práctica obtendremos las distintas frecuencias propias de vibración de la cuerda, fn. Mediante la ecuación (10), y contando el número de vientres n de la onda estacionaria, calcularemos la longitud de onda para cada modo de vibración, de forma que podamos obtener la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda a partir de la relación:

fn =

v

λn

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1.1.

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Montaje experimental.

En la figura se muestra el montaje de la práctica. La cuerda está sujeta por un extremo a un soporte fijo y por el otro se apoya en una polea y se tensa con varias masas. El vibrador mecánico, alimentado con una fuente de frecuencia variable, permite aplicar una oscilación sinusoidal sobre la cuerda.

Cuando la frecuencia del vibrador corresponda a una de las frecuencias propias de la cuerda, se formará una onda estacionaria. La frecuencia será la correcta cuando nos encontremos en resonancia, es decir, cuando la amplitud de los vientres sea la máxima. 1.2.

Medidas a realizar

Advertencia: No atar nunca el extremo de la cuerda al vibrador, puesto que soportaría demasiada tensión y se rompería. La cuerda debe ir fija en el soporte. Los colores de las cuerdas podrían variar dependiendo de su disponibilidad. Una vez sujeto un extremo al soporte, el otro se pasará por encima de la polea, y se colgarán de él las pesas necesarias para cada experimento. Cuando se acaben de realizar las medidas sobre una determinada cuerda, se dispondrá cuidadosamente a lo largo del banco, evitando que se enrede. En ningún caso debe liarse la cuerda, ni retirarse del banco. En la primera parte de la práctica se analizarán con detalle los distintos modos de vibración de la cuerda de COLOR AZUL colgando una pesa de 2 kg. 1. Medir la longitud de la cuerda entre sus dos puntos fijos. Medir su diámetro con un pie de rey o un tornillo micrométrico. ¿Variará el diámetro de la cuerda al someterla a distintas tensiones? ¿Y su longitud de vibración? Justifica la respuesta mediante observaciones experimentales. 2. Fijar la amplitud del generador de funciones aproximadamente a la mitad de su valor máximo. 3. Elegir la escala del vibrador con mayor precisión (tres cifras decimales). Variar la frecuencia del oscilador desde unos 40 Hz, disminuyéndola lentamente hasta encontrar una frecuencia para la cual se observe una onda estacionaria en la

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cuerda. La frecuencia de la onda estacionaria será la correcta cuando la amplitud de los vientres sea máxima y la forma de la cuerda sea estable. 4. El orden del modo de vibración, n, vendrá dado por el número de vientres en la cuerda, y su frecuencia de oscilación será un múltiplo de frecuencia fundamental, f1. 5. A partir de la frecuencia medida, calcular el valor esperado para la frecuencia fundamental, y buscarla experimentalmente. Apuntar el valor experimental y comparar ambos valores. La diferencia ¿está dentro del margen de error esperado? ¿cómo estimarías el error cometido al determinar la frecuencia de resonancia? ¿coincide con el error del aparato? 6. Buscar las frecuencias de vibración correspondientes a los primeros ocho modos (f1 a f8). Calcula en cada caso la longitud de onda correspondiente. La amplitud del generador de ondas deberá disminuirse cuando el alumno lo estime oportuno, ya que si la amplitud de oscilación de la cuerda es muy grande, el sistema se desestabiliza. ¿Qué ocurrirá si sujetas un nodo con los dedos mientras la cuerda vibra? Piensa primero lo que ocurrirá, y luego prueba a hacerlo experimentalmente. Describe el comportamiento de la cuerda. Observa la onda estacionaria en la cuerda. ¿Hacia dónde se mueve la cuerda?¿Hacia dónde se propaga la onda? ¿Cuál será la velocidad máxima que puede adquirir una pequeña sección de la cuerda? Representar frecuencia en función de la inversa de la longitud de onda para obtener, mediante un ajuste por mínimos cuadrados, el valor de la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. 7. Variar la tensión de la cuerda sustituyendo la masa de 2 kg por la de 1,5 kg. Buscar, para cada tensión, las frecuencias propias f2 y f3. Determina las longitudes de onda correspondientes con su error. Con estos valores, calcular la velocidad de propagación de la onda para cada una de las tensiones. ¿Cuánto vale la densidad lineal de la cuerda? ¿y la densidad volúmica? 8. Retirar las pesas de la cuerda, desengancharla cuidadosamente del vibrador y del soporte y disponerla, cuidando de que no se enrede, a lo largo del banco. En la segunda parte de la práctica se medirá la velocidad de propagación de las ondas en una cuerda de otro diámetro, con el fin de determinar su densidad lineal y volúmica. Si la frecuencia de alguno de los modos sobrepasa los 100 Hz, será necesario cambiar la escala del vibrador. 1. Sujetar la cuerda verde cuidadosamente en el soporte, e introducir la clavija móvil en el vibrador. Medir la longitud y la sección de la cuerda. 2. Colocar en el extremo una pesa de 2 kg. 3. Buscar cinco frecuencias propias de vibración (desde f2 hasta f6. No incluir f1 en el rango de medida, puesto que tiene un mayor error asociado). Determinar en cada caso la longitud de onda correspondiente. 4. Representar las frecuencias frente a la inversa de la longitud de onda, para determinar la velocidad de propagación mediante un ajuste por mínimos cuadrados. 5. Repetir el experimento con pesas de 2.5 y 3 kg.

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¿Cómo habría que modificar la tensión de la cuerda para que la velocidad de propagación de la onda fuera el doble? Representar gráficamente la velocidad de propagación en función de τ para los tres puntos que se han medido. Obtener la densidad lineal con su error mediante un ajuste por mínimos cuadrados. A partir de la densidad lineal, obtener la densidad volúmica del material (te hará falta medir la sección de la cuerda). Compárala con la densidad del cobre y del aluminio (consulta el Handbook de Física y Química del Laboratorio).

Curiosidades y aplicaciones. Mejora tu intuición física Al tocar un instrumento de cuerda se generan ondas estacionarias que hacen vibrar el aire y llegan hasta nuestro oído en forma de sonido. Las ondas generadas en la cuerda son una superposición de los distintos modos de vibración que has estudiado en esta práctica. La frecuencia fundamental f1 es la responsable de la nota o altura del sonido que apreciamos, mientras que las frecuencias superiores o armónicos dan lugar al timbre característico del instrumento. Algo similar ocurre con los instrumentos de viento (Práctica del Tubo de Kundt y Práctica de Análisis de Fourier). A la vista de lo que has aprendido en la práctica, comenta por qué en una guitarra hay distintas cuerdas y cuál es el mecanismo físico que permite afinar el sonido de la guitarra. Esta misma práctica que acabas de realizar puede llevarse a cabo sustituyendo la cuerda por un muelle gigante llamado SLINKY. Para inducir las vibraciones en el muelle utilizaremos nuestro brazo, y averiguaremos la frecuencia de vibración con un cronómetro y contando el tiempo necesario para realizar varias oscilaciones. Con este sistema pueden obtenerse fácilmente desde el armónico fundamental hasta el sexto armónico. Consulta con tu

profesor para realizar parte de la práctica.

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Bibliografía ¾ K. R. Symon, Mecánica, Ed. Aguilar, 1974. ¾ J. B. Marion, Dinámica clásica de partículas y sistemas, Editorial Reverté, 1986. ¾ P. A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología, Vol. 2. Ed. Reverté 2000.

¾ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/sound/slnksw.html#c1

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